Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

1.4 Disefco EsraucruRAi 29

1-15. El viento sopla lateralm ente sobre un hospital com ­ 1-17. Un edificio cerrado d e alm acenam iento se encuen­
pletamente cerrado que se ubica en un terreno abierto y tra so b re u n te rre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro d e O h io . Si
plano en A rizona. D eterm ine la presión externa que actúa la pared lateral d e l edificio tiene 20 pies de altura, d e te r­
sobre la pared en barlovento, la cual tiene u n a altura de 30 mine la presión externa del viento q u e actúa sobre las pare­
pies. El techo es plano. des en barlovento y sotavento. C ada pared tiene 60 pies de
largo. Suponga qu e e l techo es esencialm ente plano.

Proh. 1-15 Proh. 1-17

•1-16. El viento sopla lateralm ente sobre un hospital 1-18. El edificio m etálico d e alm acenam iento ligero está
completam ente cerrado que se ubica en un terreno abierto e n u n terre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro de O k lah o m a. Si
y p la n o en A rizona. D ete rm in e la p resió n e x te rn a q u e actú a la p a re d la te ra l d e l edificio tien e 14 p ie s de a ltu ra , ¿cuáles
so b re la p a re d e n sotav en to , la c u a l tien e u n a longitud de son los dos valores d e la presión externa del viento que
200 pies y una altura de 30 pies. actúa sobre esta pared cuando el viento sopla sobre la parte
trasera del edificio? El techo es esencialm ente plano y el
edificio está totalm ente cerrado.

Proh. 1-16 Proh. 1-18

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30 C a p it u l o 1 T ip o s d e e s t r u c t u r a s y c a r g a s

1-19. D eterm ine la fu e ra resultante que actúa en forma 1-21. E l edificio d e la escuela tiene un techo plano. Se en ­
p e rp en d icu lar a la c a ra d e l e sp ectacu lar y a trav és d e su cuentra en u n área abierta donde la carga d e la nieve sobre
centro sise encuentra en M ichigan sobre u n terreno plano y el su e lo e s d e 0.68 kN /m 7. D ete rm in e la carga d e n iev e que
ab ierto . E l esp e c ta c u la r e s rígido y tien e una a n ch u ra d e 12 se requiere p ara diseñar el techo.
m etro s y una altu ra d e 3 m. Su parte su p erio r e stá a 15 m del
suelo.

Proh. 1-21

1-22. E l hospital tiene u n techo plano y se ubica en una
zona a b ie rta d o n d e e l p eso d e la nieve so b re el su elo e s de
30 lb/piez. D eterm ine la carga de nieve d e diseño p ara el
techo.

Proh. 1-19

*1-20. U n hospital ubicado en el centro d e Illinois tiene
un techo plano. D eterm ine la carga de nieve en kN/m7 que
se requiere p ara diseñar el techo.

Proh. 1-22

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Repaso d e l c ap itu lo 31

REPASO DEL CAPÍTULO

Los elem entos estructurales básicos son:

Tensores m em entos delgados som etidos a tensión. A m enudo se usan com o soportes.

Vigas E lem entos disertados p ara resistir m om entos d e flexión. S uelen se r fijos o articulados, y pueden te n e r la form a de
una trabe d e placa de acero, una viga d e concreto reforzado o de m adera lam inada.

C olum nas m em entos que resisten una fuerza d e com presión axial. Si la colum na tam bién resiste flexión, se denom ina
colum na viga.

te n so r $

JE= colum na colum na d e siga

viga sim plem ente apoyada

v ig ae n voladizo

Los tipos de estructuras consideradas e n este libro son las armaduras hechas de elem entos delgados articulados, que
form an una serie d e triángulos; los cables y los arcos,q u e sostienen cargas d e tensión y com presión, respectivam ente, y los
m arcos que se com ponen d e vigas y colum nas conectadas e n form a rígida o m ediante pasadores.

Las cargas se especifican en códigos, com o el código
A SCE 7-10. Las cargas muertas son fijas y se refieren a
los pesos d e elem entos y m ateriales. Las cargas vivas
son móviles y consisten en cargas uniform es sobre los
pisos d e los edificios, las cargas del tráfico y el tren
sobre los puentes, las cargas de impacto causadas por
autom óviles y m áquinas, las cargas del viento, las
cargas d e la nieve, las c arg as sísm icas y la presión
hidrostática y geostática.

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Con frecuencia los elem entos estructurales, com o las vigas y trabes que fo r­
man e l soporte de este edificio, están conectados entre si de tal m odo que el
análisis puede considerarse estáticam ente determ inado.

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Análisis de estructuras
estáticam en te
d eterm in ad as

En e l p re s e n te c a p ítu lo se p re sta rá a te n c ió n a la fo rm a m á s c o m ú n d e
e stru ctu ra q u e e l in g e n ie ro te n d rá q u e analizar, la c u a l se e n c u e n tra e n
un p la n o y está s o m e tid a a u n sistem a d e fue rza s q u e ta m b ié n p e rte ­
n e ce a l m is m o p la n o . E n la p rim e ra p a rte d e l c a p ítu lo se e s tu d ia rá la
im p o rta n cia d e e le g ir u n m o d e lo a p ro p ia d o d e análisis p a ra una es­
tru c tu ra e n la q u e sus fu e rza s p u e d e n d e te rm in a rs e c o n u n a p re c is ió n
razonable; d e s p u é s se analizarán los crite rio s necesarios para o b te n e r
la e s ta b ilid a d e s tru c tu ra l y, p o r ú ltim o , se p re s e n ta rá e l an á lisis d e es­
tructuras e s tá tic a m e n te de term ina da s, planas y articuladas.

2 .1 Estructura idealizada

El análisis exacto d e u n a estructura es im posible d e realizar, d eb id o a
q u e siem p re h ay q u e realizar estim aciones d e las cargas y la resistencia
de los m ateriales q u e com ponen la estru ctu ra. A dem ás, tam bién deben
estim arse los p u n to s d e ap licació n de las c a rg a s P o r lo ta n to , en la p rá c ­
tica es im p o rtan te q u e el in g en iero estru ctu ralista d e sa rro lle la cap aci­
d ad d e m odelar o idealizar u n a estructura a fin d e p o d er efectuar un
análisis d e fuerzas d e los elem entos. E n e sta sección se d esarro llarán las
técnicas básicas necesarias p a ra llevar a c a b o tales idealizaciones.

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34 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

O b serv e q u e la c u b ie rta d e e ste p u en te de Conexiones de soporte (apoyo). Los elem en to s estru ctu rales
concreto está hecha d e fo rm a q u e p u ed e con­
siderarse q u e u n a sección está unida ircd ian te se u n en de diversas m aneras dependiendo d e la intención d el diseñador.
u n so p o rte d e rodillo so b re la o tra sección. L o s tre s tip o s de ju n ta s q u e s e especifican c o n m a y o r fre cu en cia s o n la
ju n ta articu lad a, e l so p o rte d e ro d illo y la ju n ta fija. L as ju n ta s a rticu ­
ladas y los so p o rtes d e rodillo perm iten cierta libertad d e ro tació n , en
tan to q u e una ju n ta fija n o perm ite la rotación relativa en tre los elem en ­
tos c o n ectad o s y, e n c o n se c u e n c ia .su fabricación e s m ás costosa. E n las
figuras 2-1 y 2-2 se m u estran ejem p lo s d e estas ju n ta s fo rm ad as, resp ecti­
vam ente, e n m etal y concreto. P ara la m ay o ría d e las estructuras d e m a­
d era. s e su p o n e q u e los e le m e n to s d e b e rá n s e r articu lad o s ya q u e el
h e c h o d e a to rn illa rlo s o clav arlo s n o e s su ficien te p a ra restrin g ir la ro ta ­
ción d e un elem en to c o n resp ecto a los dem ás.

E n las figuras 2 -3 a y 2 3 -b se m u e stra n m o d elo s id ea liza d o s q u e se usan
en e l análisis estru ctu ral y q u e rep resen tan so p o rtes fijos y articulados,
así com o ju n ta s fijas y articuladas. Sin em bargo, e n realid ad todas las c o ­
nexiones m uestran cierta rigidez a la rotació n de las articulaciones, d e ­
bido a la fricción y al com portam iento d el m aterial. E n este caso, un
m odelo m ás apropiado p ara un soporte o ju n ta podría ser e l que se
m u e stra e n la fig u ra 2 -3 r. Si la c o n sta n te to rsio n a l d e re s o rte k = 0 , la
ju n t a e s a r tic u la d a , y s i k —* o o , la ju n t a e s fija .

conexión “ articulada” típica (de m etal) 1I L i0S -
(a)
co n ex ió n “fija " típ ica (d e m eta l)

<ar

figura 2-1

fr

)

y -------------------------------------------
t

co n ex ió n “d e ro d illo ” típ ica (d e c o n c re to ) c o n e x ó n “fija” típ ica (d e c o n c re to )
(a) (b )

fig u ra 2-2

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2 .1 E s tr u c tu r a id e a l iz a d a 35

soporte articulado ju n ta articulada so p o rte fijo ju n ta fija

(a) (b)

soporte d e resorte angular ju n ta d e reso rte angular

(c)

F ig u ra 2 - 3

A l seleccionar un m odelo concreto p ara cada soporte o ju n ta , el inge­
niero debe e sta r consciente d e cóm o afectarán los supuestos el d esem ­
peño real de los elem en to s y si los supuestos son razonables p a ra el
diserto estru ctu ral. Pbr ejem plo, considere la viga q u e se m u estra e n la fi­
gura 2-4*.la cual se usa p ara so p o rtar u n a carga co n cen trad a P. La cone­
xión m ediante ángulos e n e l so p o rte A es com o la d e la figura 2. la y p o r
lo ta n to p u e d e idealizarse c o m o u n so p o rte articu lad o típico. A d em ás, el
so p o rte e n H prop o rcio n a un p u n to ap ro x im ad o d e c o n tac to liso, de
m odo q u e pu ed e idealizarse com o un rodillo. El esp eso r de la viga p u e­
d e ig n o rarse, d a d o q u e e s p e q u e ñ o e n c o m p aració n co n la lon g itu d d e la
viga y, p o r lo ta n to ,e l m o d elo id e a liz a d o d e la viga e s c o m o s e m u e stra en
la figura 2 -4 6 . E l análisis d e carg as e n e s ta viga d e b e p ro p o rc io n a r resu l­
tados q u e se a p ro x im e n m u ch o a las carg as reales e n la viga. P a ra d em o s­
trar q u e el m odelo es ad ecuado, considere e l caso p articu lar d e una viga
d e acero co n P - 8 k (8000 libras) y I. - 20 pies. U n a d e las sim plificacio­
nes más im portantes que se hicieron aquí fue su p o n er que e l soporte en
A es u n a articulación. E l diserto d e la viga usando e l código de p ro c e d i­
m ie n to s e s t á n d a r * in d ic a q u e u n a s e c c ió n W 1 0 X 19 s e r ía s u f ic ie n te p a ra
so p o rta r la carg a. A l u sar u n o d e los m éto d o s d e d eflex ió n d e l cap ítu lo 8,
la ro ta c ió n en e l s o p o r te " a rtic u la d o " p u e d e ca lc u la rse c o m o 0 = 0.0103
rad = 0.59°. C on b ase e n la fig u ra 2-4 c. tal ro ta c ió n sólo m u e v e el p atín
( a la ) s u p e r io r o in f e r io r a u n a d is ta n c ia d e A = Or = (0 .0 1 0 3 ra d )(5 .1 2
pulg) = 0.0528 p u lgadas! Sin d u d a , e sta pequeña c a n tid a d puede in ­
c lu irse a l fa b ric a r la c o n e x ió n c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 2 - l a y ,p o r lo
tanto, la articulación sirve com o un m odelo adecuado.

viga real viga idealizada 0.0528 pulg
(a) (b) (c)

Figura 2 -4

•C ódigos com o e l M anual d e C onsim cción en acero del A m erican Instituto o f Steel Cons-
truction.

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36 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

S oporte oscilante com ún q u e se usa e n En la tabla 2-1, se m uestran o tro s tipos de conexiones com únm ente
u n a trab e d e puente. p re se n te s e n las e stru c tu ra s c o p lan a res. E s im p o rta n te te n e r la cap acid ad
de re c o n o c e r los sím bolos d e esta s co n ex io n es y los tip o s de reaccio n es
L os rodillos y los co jin etes asociados se q u e e je rc e n so b re los e le m e n to s a los q u e se e n c u e n tra n unidas. E sto
usan p ara so sten er las tra b e s d e c o n ­ p u e d e h acerse fácilm en te si s e o b serv a la fo rm a e n q u e la c o n e x ió n res­
creto presforzado d e un p u en te c a rre ­ tringe cu alq u ier g ra d o d e lib ertad o d esplazam iento de los elem entos. En
te ro . particu lar, e l so p o rte d esarro llará una fu e rza sobre e l elem en to si evita su
traslación y d esarro llará un m o m en to so b re e l elem en to s i evita su rota­
ción. P or ejem plo, en el caso d e un elem ento que está en contacto con
u n a su p erficie lisa (3) s e im pide su traslac ió n e n u n a so la d ire c c ió n , la
cual es p erp en d icu lar o norm al a la superficie. P or lo tan to , la superficie
ejerce sólo u n a fuerza n o rm a l F sobre el elem en to en esa dirección. La
m agnitud d e e sta fuerza re p re se n ta una incógnita. A dem ás, observe q u e
e l elem en to es libre d e girar so b re la superficie, d e m odo q u e é sta no
puede desarrollar un m om ento so b re e l elem ento. C onsidere o tro ejem ­
plo e n el q u e e l so p o rte fijo (7) im pide tanto la traslación com o la ro ta ­
ción d e un elem en to e n e l p u n to d e conexión. En co n secu en cia,este tipo
de so p o rte ejerce dos com ponentes d e fuerza y un m om ento so b re e l e le ­
m en to . E l “g iro " d e l m o m e n to s e e n c u e n tra en el p la n o de la página,
dado q u e la rotación se evita en ese plano. P or consiguiente, en un so ­
p o rte fijo h a y tres incógnitas.

E n la p ráctica, to d o s los so p o rtes eje rc e n rea lm e n te cargas superficiales
d istrib u id a s so b re los e le m e n to s c o n q u e e s tá n e n c o n ta c to . l>as fu e rz a s y
m o m e n to s c o n c e n tra d o s q u e se m u e s tra n e n la tab la 2-1 re p re s e n ta n las
resultantes de estas distribuciones d e carga. Por supuesto, e sta re p re se n ­
tació n e s u n a idealización; sin em b arg o , se u sa a q u í p o rq u e el á re a d e la
superficie sobre la q u e actú a la carga distribuida es considerablem ente
m en o r que la superficie total d e los elem entos conectados.

E l eslabón co rto se usa p a ra conec­ A rticu lació n típica em p lead a para
ta r las d o s tra b e s d el p u e n te c a rre ­ so p o rtar la tra b e d e acero d e un
te ro y p e rm ite la ex p an sió n térm ica p u en te ferroviario.
d e la cu b ierta.

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2 .1 E s tr u c tu r a id e a l iz a d a 37

T A B LA 2 -1 S o p o rte s p a ra e s tru c tu ra s co p la n a re s

T ipo de conexión S ím bolo idealizado Reacción N úm ero de incógnitas

W ¿ P ' Y cable ligero U na incógnila. L a reacción es u n a fuerza
que actúa e n la dirección del
cab le o d e l cstabón.

E slabón sin peso U na incógnila. L a reacción es u n a fuerza
qu e actú a p erpcndicularm cntc a la
(2) superficie e n el p u n to d e contacto.

&

rodillos

b a la n c ín j; f U na incógnita. La reacción es una fuerza
qu e actú a p erp en d icu larm cn tc a la
y( 3 ) F superficie e n el p u n to d e c o n ta c ta

su p erficie d e c o n ta c to lisa f U n a in c ó g n ita . 1.a re a c c ió n e s u n a fu e rz a
qu e actú a p erp en d icu larm en te a la
(4) F superficie e n el p u n to d e contacto.
j
collarín articu lad o liso £- D as incógnitas. Las reacciones son
M d o s co m p o nen tes de la fuerza.
articulación o bisagra lisa
D a s in c ó g n ita s. I-a»s r e a c c io n e s so n
( 6) una fu e rz a y u n m om ento.

tr 9- T res incógnitas. L as reacciones son
el m om ento y las d o s com ponentes
deslizador d e la fuerza.

Ir=

collarín co n ectad o fijam ente
(7 )

so p o rte fijo

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38 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

estructura real Estructura idealizada. D espués d e estab lecer las d iferen tes fo r­
(a)
m -------------| m as e n q u e p u e d e n id ealizarse las co n ex io n e s d e u n a e stru c tu ra , a h o ra
es posible analizar algunas d e las técnicas em pleadas p ara re p re se n ta r
4m los d istintos sistem as estru ctu rales m ediante m odelos idealizados.

estructura idealizada C om o p rim er ejem plo, considere el brazo d e grúa y e l carro q u e se
<b) m uestran e n la figura 2-5a. P ara el análisis estru ctu ral se p u e d e ignorar el
esp eso r de los (tos elem entos principales y su p o n er q u e la ju n ta e n B es
Figura 2 -5 rígida. A d em ás, la c o n e x ió n e n A p u e d e m o d e la rse co m o u n so p o rte fijo
y e s p o sib le ex clu ir los d e ta lle s d e l carro . P or lo ta n to , los e le m e n to s d e la
e stru ctu ra idealizada se rep resen tan m ed ian te dos líneas co nectadas, y
la c a rg a so b re e l g a n c h o s e re p re se n ta m e d ia n te u n a sola fu erza c o n c e n ­
tra d a F .figura 2-56. E sta estructura idealizada q u e se m uestra aq u í com o
un dib u jo de lineas p u e d e u sarse a h o ra p a ra ap licar tos principios del
análisis e stru c tu ra l.e l cu al conducirá fin alm en te al d iseño de sus d o s e le ­
m entos principales.

Las vigas y trab es su elen em p learse p ara so ste n e r los pisos e n edificios.
E n p a rtic u la r, u n a trabe es e l e le m e n to p rin cip al p a ra e l so p o rte d e las
carg as d e l p iso , m ie n tra s q u e los e le m e n to s m ás p e q u e ñ o s q u e tien en
un claro m ás c o rto y q u e e stá n c o n e c ta d o s a las tra b e s se llam an vigas.
A m enudo, las cargas aplicadas so b re una viga o trab e se tran sm iten hacia
é sta s a tra v é s d e l p iso q u e so stie n e n . U n a vez m ás, e s im p o rta n te te n e r la
capacidad d e idealizar apropiadam ente el sistem a com o u n a serie d e m o­
delos. los cu ales p u ed en usarse p ara d eterm in ar d e m an era aproxim ada
las fu e r/a s q u e actú an sobre los elem entos. C onsidere, p o r ejem plo, la es­
tructura utilizada p ara so p o rtar u n a losa d e piso e n un edificio típico com o
el q u e se m u e stra e n la fig u ra 2-6 a. A q u í la losa s e so stie n e m e d ia n te vi­
guetas d e p iso situ ad as a intervalos regulares, las cu ales a su v ez están so ­
p o rtad as m ediante las dos trabes laterales A B y CD . P ara el análisis, es
razonable su p o n e r q u e las ju n ta s so n articu lad as y/o q u e están c o n e c ta ­
das m ediante rodillos a las trabes y q u e éstas son articuladas y/o están
conectadas m ediante rodillos a las colum nas. E n la figura 2-6b se m uestra
la v ista su p e rio r d el p la n o e stru c tu ra l d e e s te sistem a. E n e s te esq u em a
“gráfico", observe q u e las "líneas" que rep resen tan las viguetas n o tocan
las tra b e s y q u e las líneas d e las tra b e s n o to can las colum nas. L o a n te rio r
sim boliza conexiones articu lad as y/o ap o y ad as en rodillos. Por o tro lado.

(a) H
F igu ra 2 -6 piano estructural idealizado

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2 .1 E s tr u c tu r a id e a l iz a d a 39

si e l p lan o estructural trata d e representar elem entos conectados fija­ {>
m ente, com o ju n tas soldadas en vez d e sim ples uniones atornilladas, e n ­
tonces las líneas p ara las vigas o trab es to carían las colum nas co m o e n la viga conectada fijam ente
figura 2-7. D e m an era sim ilar, una viga saliente co n ectad a fijam ente es­
ta ría re p re se n ta d a e n la vista su p e rio r co m o se m u e stra e n la fig u ra 2 -8 . M i
Si s e u sa la co n stru cció n de c o n c re to refo rz ad o , las vigas y tra b e s se
rep resentan m ediante líneas dobles. P o r lo g eneral esto s sistem as están viga idealizada
con ectad o s fijam en te y, p o r lo ta n to , los e le m e n to s se d ib u jan to can d o
los so p o rtes. P o r ejem plo, e l gráfico estru ctu ral p a ra e l sistem a d e con­ Figura 2 -7
creto vaciado e n sitio d e la figura 2-9a se m uestra e n su vista su p erio r
com o e n la fig u ra 2-96. L as líneas d e las vigas se d ib u jan discon tin u as d e ­
bido a q u e están p o r d eb ajo d e la losa.

Las gráficas e idealizaciones estru ctu rales p ara estru ctu ras de m adera
so n sem ejantes a las d e m etal. Por ejem plo, el sistem a estru ctu ral q u e se
m uestra e n la figura 2 -10a representa la construcción d e una viga de
pared, donde la cu b ierta d el tech o se sostiene m ediante vigas de m adera,
q u e tra n sm ite n la c a rg a a u n m u ro de m an ip o stería. P u ed e su p o n erse q u e
las vigas e s tá n sim p lem en te ap o y ad as e n la p a re d , d e m o d o q u e e l p lan o
estructural idealizado se ría co m o el q u e s e m uestra e n la figura 2- 106.

viga idealizada
F igura 2 -8

(a) (b)

Figura 2-9

plano estructural idealizado
(b)

Figura 2-10

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40 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

E l m arco estru ctu ral d e e ste edificio co n ­ Cargas trib u ta ria s. O ta n d o las superficies planas com o paredes,
siste en v ig u etas d e c o n c re to , las cuales se
fo rm aro n en e l sitio u san d o placas m etáli­ pisos o lechos están soportadas p o r un m arco estructural, e s necesario
cas. E sta s viguetas e stá n sim p lem en te a p o ­ determ inar la form a en q u e s e transm ite la carga so b re estas superficies
y ad as s o b re las tra b e s, q u e a s u vez se hacia lo s diversos elem entos estructurales utilizados p a ra su so p o rte. En
a p o y a n sim p le m en te e n las colum nas. general, existen d o s form as e n las q u e puede hacerse esto. La elección
depende d e la geo m etría d el sistem a estru ctu ral,el m aterial d el q u e está
hecho y e l m étodo em pleado para su construcción.

Sistema de una dirección. U n a lo s a o u n a c u b ie rta q u e s e a p o y a d e

tal m anera q u e transfiere su carga a los elem entos d e so p o rte m ediante
u n a a cció n e n u n solo se n tid o .se co n o ce c o m o u n a ¡osa e n u n a dirección.
Para ilustrar e l m éto d o d e transm isión d e cargas,considere el sistem a es­
tru ctu ra l q u e se m u e stra la figura 2-1 la d o n d e las vigas A tí , C D y E F
descansan sobre las trab es A E y B E. Si se coloca una carg a uniform e de
100 Ib/pie2 so b re la losa, en to n ces p u e d e su p o n erse q u e la viga cen tral
C D so p o rta la carga q u e a c tú a so b re e l área tributaria, la cual se m uestra
con u n so m b read o o scu ro e n e l p lan o d el m arco estru ctu ral d e la figura
2-11 b. P o r lo ta n to , el e le m e n to C D se so m e te a u n d istrib u ció n d e carg a
B n e a lá e (1 0 0 lb /p ie 2X 5 p ie s ) = 5 0 0 lh / p ¡ e ,q u e s e m u e s tr a e n la v ig a id e a ­
lizada de la figura 2-1 le . I.as reacciones so b re e sta viga (2500 lib ras) se
aplicarán después a l ce n tro d e las trab es A E (y B F \ q u e se m uestran
idealizadas e n la figura 2-11 d. Si se u sa este m ism o co n cep to , ¿es posible
observar cóm o el resto d e la carga d e la losa se transm ite a lo s extrem os
de la trab e co n u n valor d e 1250 libras?

A ________________________B.. 1

2.5 pies
l

úes
“f

lies

lies

E “f
f

piano estructural idealizado

(a) (b)

12501b 2500 Ib 12501b
|
1. _h
I

l _ 5 pies- ■5 p ie s

« g a idealizada trabe idealizada

(c) (d)

Figura 2-11

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2 .1 E structura id e a liz a d a

E je m p lo d e la co n stru cció n d e u n a lo sa e n u n a d irecció n
en u n edificio con e stru c tu ra d e a c e ro q u e tie n e u n piso
d e concreto vaciado so b re una cu b ierta d e m etal co rru ­
g ad o . S e c o n sid e ra q u e la carga s o b re e l p iso s e tra n sm ite

a las vigas y n o a las trabes.

Para algunos sistem as de piso, las vigas y trabes están conectad as a las
colum nas a la m ism a altura,com o e n la figura 2-12a. Si éste es e l caso, en
ocasiones la losa tam bién p u ed e considerarse com o u n a “ losa e n u n a d i­
re c c ió n ’'. P o r e je m p lo , s i l a lo s a e s d e c o n c r e t o c o n r e f u e r z o e n u n a s o la
dirección o si el co n creto s e vacía e n u n a cu b ierta d e m etal corrugado,
com o e n la fotografía superior, entonces pu ed e suponerse una acción de
transm isión d e carg a en un so lo sentido. Por o tro lado, si la losa es plana
e n las p a rte s su p e rio r e in fe rio r y se re fu e rz a e n dos d ire c c io n e s,e n to n ­
ces es necesario considerar la posibilidad d e q u e la carg a s e transm ita a
los e le m e n to s d e so p o rte e n u n o o d o s sen tid o s. P or e je m p lo .c o n sid e re la
losa y e l p la n o e s tr u c tu r a l d e la fig u ra 2-12¿>. D e a c u e rd o c o n e l A m e ri­
can C o n crete In stitu te. código A CI 318, si > / .| y si b relación del
claro ( L J L \) > 2, la losa se com portará c o m o u n a losa en u n a dirección,
d a d o q u e co m o L¡ se hace m ás p eq u eñ o , las vigas A S , C D y E F propor­
cionan una m ayor rigidez p a ra so p o rtar la carga.

tra b e losa d e co n creto hA'
ailum na reforzado en dos
—i
direcciones,
vaciada e n form a ¿Í
Lx
plana

2 4—

~ Y -i—

MM

X ra q u e la losa actú e en un
icntido, e l plano estructural
fclealizado re q u ie re q u e L j / L \ > 2

fl>)

Hgura 2-12

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42 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

500 Ib/pie

— 5 pies — — 5 pies—
viga idealizada

(a)
F igura 2 -1 3

Sistema en dos direcciones. Si d e a c u e rd o co n e l có d ig o d e c o n ­

c re to A C I 3 1 8 la re la c ió n d e s o p o r te e n la fig u ra 2 -1 2 6 e s ( L j /L x) s 2 , se
su p o n e q u e la carg a se tra n sfie re a la s vigas d e so p o rte y a las tra b e s en
dos direcciones. C uando s e p resen ta e sta situación, la losa se denom ina
losa en d o s direcciones. P a ra m o strar un m étodo m ediante el cual p u ed a
estudiarse este caso, con sid ere la losa cu ad rad a d e concreto reforzado
q u e se m u estra en la figura 2 -13a, la cu al está so p o rta d a p o r cu atro vigas
en el b o rd e .d e 10 pies d e largo: A B , B D , Ü C ,y C A . A q u í L jfL x = 1. E l
úrea tributaria su p u esta p ara la viga A /f,d eb id a a la acción d e la losa en
d o s d ireccio n es, se m u estra c o n u n s o m b re a d o o sc u ro e n la fig u ra 2-136.
Esta área se d eterm in a al co n stru ir líneas diagonales a 45° com o se m ues­
tra e n la figura. P o r lo tan to , si se aplica una carga u n ifo rm e d e 100 Ib /p ie2
s o b r e la lo s a .s e o b te n d r á u n a in te n s id a d m á x im a d e (1 0 0 lb /p ie 2)(5 p ie s )
= 500 Ib/pie so b re el c e n tro d e la viga A /Í.lo q u e resu lta e n una d istrib u ­
ción d e carg as triangular co m o la q u e se m uestra e n la figura 2 -13c. P ara
o tras geom etrías q u e ocasionan acciones en dos direcciones, p u ed e em ­
p le a rse u n p ro c e d im ie n to sim ila r. P o r e je m p lo , s i L ^ L X = 1.5 e n to n c e s e s
necesario construir líneas cruzadas a 45°, com o se m uestra en la figura
2 -14a. D e e sta fo rm a, una carga d e 100 Ib/pie2colocada e n la losa p ro d u ­
c irá cargas d istrib u id a s trapezoidales y triangulares en los e lem en to s A B
y A C re sp e c tiv a m e n te , fig u ra s 2 -1 4 6 y 2 - 14c.

500 lb/ptc 500 Ib/pie

.pies-t~ > p ie s -
viga idealizada

(c)

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2 .1 E structura id e a liz a d a 43

La capacidad d e red u cir una estructura real a una form a idealizada, 2
co m o s e m u e stra e n esto s ejem plos, só lo p u e d e ad q u irirse a tra v é s de la
ex p erien cia. P ara p ro p o rcio n ar una práctica a este resp ecto , los p ro b le­
m as d e e jem p lo y los pro b lem as a reso lv er que se inclu y en e n e ste libro se
presentan en form a realista, y e l enunciado del problem a ayuda a explicar
có m o p u e d e n m odelarse las co n ex io n es y los so p o rtes m ed ian te los ele-
m en to s en listad o s e n la ta b la 2-1. E n la práctica d e la in g en iería.si s e tien e
una d uda so b re c ó m o m o d elar una e stru c tu ra o tran sferir las carg as a los
elem entos, lo reco m en d ab le es co n sid erar varias estru ctu ras y cargas
idealizadas p ara después diseñar la estru ctu ra real de m odo que pueda
resistir las carg as incluidas e n todos los m odelos idealizados.

EJEM PLO 2.1

El p iso d e u n saló n d e clases d e b e e sta r so p o rta d o p o r las viguetas e n
form a d e b arra com o se m uestran en la figura 2-15a. Las viguetas tie­
nen 15 p ies d e largo cada u n a y e n tre su s ce n tro s hay un esp acio de
2 5 pies. E l piso s e h ará d e con creto ligero de 4 pulgadas d e espesor.
Ignore los p eso s d e las viguetas y d e la c u b ierta d e m etal co rru g ad o , y
determ ine la carga q u e actúa a lo largo d e cada vigueta.

SO LU C IÓ N
La carg a m u erta so b re e l p iso se d e b e a l peso d e la losa d e concreto.
C b n base en la ta b la 1-3 p a ra 4 p u lg ad as d e co n c re to ligero, é sta es
(4 )(8 lh /p ie 2) = 3 2 lb /p ie . D e la ta b l a 1 -4 s e s a b e q u e la c a r g a v iv a
p a ra u n s a ló n d e clases e s d e 40 lb /p ic ?. A sí, la c a rg a to ta l d e l p is o e s
d e 3 2 lb /p ie 2 + 4 0 lb / p ic 2 = 7 2 lb /p ie 2. P a r a e l s is te m a d e l p is o , L x =
2 5 p i e s y L* = 15 p ie s . C o m o L j l L x > 2 , la lo s a d e c o n c r e to s e tr a ta
com o u n a losa e n una dirección. El á re a trib u taria d e cada vigueta se
m uestra e n la figura 2-156. P o r lo tan to , la carga uniform e e n to d a su
bngitud es

iv = 72 lb /p ie 2 (2.5 p ie s ) = 180 lb /p ie

En la figura 2-15c se m u estran e sta carga y las reacciones finales sobre
cada vigueta.

F ig u ra 2 -1 5

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44 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJE M P LO 2.2

E l techo p lano d el edificio co n estru ctu ra d e acero q u e se m uestra en
la fo to g rafía está d estin ad o a so p o rta r u n a carga to ta l d e 2 kN /m 2
e n to d a su superficie. D eterm ine la carga del techo d e n tro d e la región
A B C D que se transm ite a la viga BC. L as dim ensiones se m uestran en
la fig u ra 2 - 16a.

4m

n

(a)

S O LU C IÓ N
E n e s te c a so . L i ■ 5 m y L \ - 4 m. C o m o ls ¿ L \ ■ 1.25 < 2. se tie n e la
acción d e u n a losa e n d o s direcciones. E n la figura 2 -16a se m uestra
la c a rg a trib u ta ria a lo largo d e ca d a viga e n el b o rd e, d o n d e e l á re a de
carga trapezoidal con u n som breado claro se transm ite al elem ento B C .
L a in te n s id a d m á s a lt a d e e s ta c a rg a e s ( 2 k N /m 2)(2 m ) = 4 k N /m . E n
consecuencia, la d istrib u ció n d e c arg a a lo larg o d e B C e s c o m o se
m u e stra e n la fig u ra 2-16b.

4k N /ta

E ste proceso d e transm isión d e la carg a trib u ta ria tam bién d eb e calcu ­
larse p a ra la reg ió n a la d e re c h a d e B C com o s e m u estra e n la fo to ­
grafía; adem ás, esta carg a tam bién d eb e colocarse e n BC. Vea el
siguiente ejem plo.

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2 .1 E structura id e a liz a d a 45

EJEMPLO 2.3

Las trab es d e concreto q u e se m uestran e n la fotografía d el estacio ­
nam iento para autom óviles d e pasajeros m iden 30 pies y entre sus
c e n tr o s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 15 p ie s . S i la lo s a d e l p is o ti e n e 5 p u l ­
gadas de e sp eso r, está h ech a d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o y la
carg a viva especificada e s d e 5 0 Ib/pie2 (v ea la ta b la 1.4), d e te rm in e
ki c a r g a d is tr ib u id a q u e e l s is te m a d e p is o tr a n s m ite a c a d a t r a b e in ­
terior.

SO L U C IÓ N
A q u í, L 2 = 3 0 p ie s y L x = 15 p ie s , d e m o d o q u e L j J L x = 2 S e ti e n e
u n a losa e n do s d ireccio n es. D e la ta b la 1-2, p a ra el c o n c re to d e p ie ­
d r a re f o rz a d o , e l p e s o e s p e c ífic o d e l c o n c r e t o e s 150 Ib /p ie 3. A sí, la
carga d e diseño para e l piso es

p = 150 I b / p i e ' p i e ^ + 50 Ib /p ie 2 = 112.5 Ib /p ie 2

U na carga distribuida trapezoidal se transm ite a cada trabe interior
A R d esd e cada u n o d e sus lados. L a in te n sid a d m áxim a d e cada
u n a d e e s ta s c a rg a s d is trib u id a s e s (112.5 lb 'p ie 2)(7.5 p ie s ) = 843.75 Ib/pie,
de m o d o q u e e n la tra b e e sta in ten sid ad se co n v ierte e n 2(843.75
b /p ie ) = 1687.5 lb /p ie, fig u ra 2 -1 7 6 . N o ta : P a ra e fe c to s d e d ise ñ o , ta m ­
bién d eb e tenerse en cuenta e l peso d e la trabe.

16873 Ib/pie

Figura 2-17

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46 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

2 .2 P rincipio d e superposición

E l principio d e superposición es la base d e g ran p a rte d e la teo ría del
análisis e stru c tu ra l. E s p o sib le afirm a r lo sig u ien te: F] desplazam iento
total o las cargas internas (esfuerzos) en un p u n to d e u n a estructura so m e­
tida a varias cargas exte m a s puede determ inarse al su m a r los desplaza­
m ien to s o cargas internas (esfuerzos) causados p o r c a d a u n a d e las cargas
externas que actúan p o r separado. P ara q u e e ste en u n ciad o se a válido es
n ecesario q u e exista u n a relación lineal e n tre las cargas, lo s esfu erzo s y
los desplazam ientos.

P ara ap licar e l principio d e superposición d eb en im ponerse d o s req u i­
sitos:

1. El m aterial d eb e com portarse d e una m anera clástica lineal, de
m odo q u e la ley de H o o k e sea v álid a y, p o r lo tan to , la c a rg a será
proporcional al desplazam iento.

2. l a geom etría d e la estructura no d eb e experim entar un cam bio sig­
nificativo al a p licar las carg as; e s d e c ir, s e a p lic a la te o ría d e los
p eq u eñ o s d esp lazam ien to s. Si se d a n g ran d es d e sp lazam ien to s, la
posición y la o rien tació n d e las cargas cam biarán e n fo rm a significa­
tiva. U n ejem p lo p o d ría s e r u n a b arra d elgada e n voladizo som etida
a u n a fuerza en s u extrem o.

A lo largo d el p resen te texto d eb en cum plirse esto s dos req u isito s A quí,
los m ateriales sólo p re se n ta n u n c o m p o rta m ie n to lin eal elástico y los
d esp lazam ien to s p ro d u cid o s p o r las carg as n o c am b ian significativa­
m e n te las d ireccio n es d e las c a rg a s ap licad as n i las d im en sio n es usad as
para calcular los m om entos d e las fuerzas.

v en to

ti?

Las p a re d es laterales d e e ste edificio se utilizan p a ra re fo r­
z a r su e stru c tu ra c u a n d o la co nstru cció n e stá s u je ta a g ra n ­
d es cargas d e vientos h u racan ad o s, las cuales s e aplican en
las p a rte s fro n ta l o tra s e ra d e l edificio. E sta s p a re d e s la te ra ­
les s e d e n o m in a n "m u ro s c o rta n te s ”.

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2 . 3 Ec u a g c n e s d e EQUILIBRIO 47

2 . 3 Ecuaciones de e q u ilib rio

D e la estática, debe recordarse q u e una estructura o uno de su s elem en ­
tos está e n eq u ilib rio c u a n d o se m an tien e u n b alan ce d e fu e iz a s y m o ­
m entos. E n general, esto req u iere q u e se satisfagan las ecuaciones de
equilibrio d e las fuerzas y de los m om entos a lo largo d e tres ejes inde­
pendientes, a saber,

2FX = 0 lP y = 0 S f'r = 0
2M X = 0 2M y = 0 2M Z= 0

No o b stan te, las p artes principales q u e so p o rtan carga e n la m ayoría de
las e stru c tu ra s se e n c u e n tra n e n un so lo p lan o , y co m o las carg as ta m b ié n
son co p lan ares. los req u isito s a n te rio re s p ara el e q u ilib rio se red u cen a

(2 -2 )

A quí, y SE y rep resen tan respectivam ente las sum as algebraicas de

las co m p o n e n te s x y y de to d a s las fu e rz a s q u e a ctú a n so b re la e stru c tu ra

o uno d e sus elem entos, y representa la sum a algebraica de los m o­

m entos d e estos com ponentes d e fuerza alred ed o r d e u n eje que es p er­

pendicular al p lano x - y (el e je z ) y q u e p asa a través del p u n to O .

Siem pre q u e se ap liq u en estas ecu acio n es,prim ero es necesario dibujar

un diagram a de cu erp o libre d e la estructura o de su s elem entos. Si se se ­

leccio n a u n e le m e n to , d e b e aislarse tfc su s so p o rte s y e n to r n o p a ra d ib u ­

jar só lo su contorno. E s necesario m o strar todas las fuerzas y m om entos

d e p ar que actúan sobre e l elem ento.A este respecto, lo s tipos de reaccio­

nes e n los soportes p u ed en d eterm inarse usando la tabla 2-1. T am bién,

d ebe recordarse que las fuerzas com unes a dos elem entos actúan con

m agnitudes iguales p e ro en direcciones o p u estas en los respectivos d ia­

gram as d e cuerpo libre d e los elem entos.

Si es necesario d e te rm in a r las cargas internas en un p u n to específico

d e un elem ento, d eb e em plearse el m étodo d e las secciones. E sto re ­

quiere hacer u n "corte" o sección perpendicular al eje d el elem ento en el

punto d o n d e se d eterm in arán las cargas internas. D espués se aísla un M M V,

diagram a d e cu erp o libre d e cualquier segm ento d e l "corte" del e le ­ * ¡.-íC
v
m ento y entonces se d eterm in an las cargas internas a p a rtir d e las ecu a­ D
figura 2-18
ciones d e eq u ilib rio aplicadas a e ste segm ento. Por lo g e n e ra l las cargas

internas que actúan e n la sección consisten en una fuerza n o rm al N .u n a

fuerza co rtan te V y u n m om ento flexionante M .co m o se m uestra en la

figura 2-18.

En la sección 2-5 se estu d iará n los prin cip io s d e la e stá tic a q u e se

em p lean p ara d eterm in ar las reacciones ex tern as sobre las estructuras.

Las cargas internas e n los elem entos estru ctu rales se analizarán en el

cap ítu lo 4.

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48 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

2 .4 D eterm inación y esta bilid ad

A ntes d e iniciar e l análisis d e fuerzas d e una eslru ctu ra.es necesario es­
tablecer la determ inación y la estabilidad d e la estru ctu ra.

D e t e r m in a c i ó n . Las ecuaciones de equilibrio proporcionan las co n ­
diciones necesarias y suficientes p a ra el equilibrio. C u an d o to d as las fu e r­
zas en una estructura pueden determ inarse estrictam ente a partir de estas
ecuaciones, la estru ctu ra se d e n o m in a estáticam ente determ inada. L as es­
tructuras que tienen m ás fuerzas desconocidas que ecuaciones d e equili­
b rio disponibles se llam an estáticam ente indeterm inadas. C om o regla
general, una estructura p u ed e identificarse com o estáticam ente determ i­
n ada o indeterm inada al d ib u jar diagram as d e cu erp o libre d e to d o s sus
elem entos,o partes seleccionadas d e sus elem entos, p a ra después co m p a­
ra r e l total d e fuerzas d e reacción y com ponentes d e m om ento descono­
cidos co n el total d e ecuaciones d e equilibrio disponibles.* P ara una
e stru c tu ra co p lan a r existen a lo su m o tres ecuaciones d e e q u ilib rio p a ra
cad a p a rte , p o r lo q u e s i hay u n to ta l d e n p artes y r co m p o n en tes de
fuerzas y m om entos de reacció n ,se tiene q u e

r - 3/i.es estáticam en te determ inada (2-3)
r > 3n,es estáticam ente indeterm inada

E n p artic u la r, si u n a e stru c tu ra e s estáticam ente in d eterm in a d a , las
ecuaciones adicionales necesarias p ara resolver las reacciones desco­
nocidas se o b tien en al re lacio n ar las cargas aplicadas y las reacciones
con e l d esp lazam ien to o la p en d ien te e n d iferen tes p u n to s d e la es­
tru ctu ra. E stas ecuaciones,q u e se conocen co m o ecuaciones d e c o m p a ­
tibilidad, d eb en se r iguales en n ú m ero al grado d e indeterm inación de
la e s tru c tu ra . Las ecu acio n es d e co m p atib ilid ad incluyen las p ro p ie d a d e s
g eo m étricas y físicas de la e stru c tu ra y s e e stu d ia rá n m ás a d e la n te e n el
cap ítu lo 10.

A c o n tin u ació n se c o n sid e ra rá n a lg u n o s e je m p lo s p a ra m o strar la
form a d e clasificar la d eterm in ació n de una estructura. E l prim er e je m ­
plo tra ta so b re vigas,el segundo sobre estructuras articuladas y el tercero
so b re m arcos. L a clasificación d e arm ad u ras se e stu d ia rá e n e l cap ítu lo 3.

•E l trazad o d e diagram as de cuerpo libre n o es estrictam ente necesario, puesto q u e tam ­
b ié n p u e d e h a c e rs e u n ,,c o n tc o m e n ta l" d e l n ú m e r o d e in c ó g n ita s p a r a c o m p a r a r lo c o n e l
núm ero de ecuaciones d e equilibrio.

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2.4 D e te r m in a c ió n y estabilidad

EJEMPLO 2.4

G a sifiq u e c a d a u n a d e las vigas q u e se m u e stra n e n las fig u ras 2-19a a
2-19d com o estáticam ente d eterm inada o estáticam ente in d eterm i­
nada. Si so n estáticam ente in d eterm inadas, indique e l n ú m ero d e g ra ­
dos d e indeterm inación. Se su p o n e q u e las vigas están som etidas a
cargas e x tern as conocidas q u e p u ed en a ctu a r e n cu alq u ier lugar de las
vigas.

SO LU C IÓ N
l a s vigas c o m p u e sla s.e s d e c ir la s de las figuras 2 - 19c y 2-19<¿.que se
com ponen d e elem entos articulados, d e b e n desensam blarse. C onsi­
dere q u e en estos casos las fuerzas d e reacción desconocidas q u e
actúan en tre cad a elem ento d eb en m ostrarse en parejas iguales p ero
opuestas. E n las figuras se m u estran los d iag ram as d e c u e rp o lib re de
cada elem en to . D esp u és d e a p lic a r r = 3/i o r > 3 n .se in d ic a n las cla-
á fic a d o n e s resultantes.

(a) *T = F Resp.
r-3 .ii-l.3 -3 (l)
E státicam ente determ inada
(b)
r - 5 .1 1 -1 .3 >3(1) J— i Resp.

E státicam ente indeterm inada d e segundo grado

H E státicam ente determ inada Resp.
Resp.
<d) f -*------ *— t - i

r - 10. n - 3 . 1 0 > 3 (3 ) E státicam ente indeterm inada d e prim er grado

figura 2-19

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50 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 2.5

C lasifique cada u n a d e las estru ctu ras articuladas q u e s e m uestran en
las fig u ras 2 -20a a 2 -20d co m o e stá tic a m e n te d e te rm in a d a o e stá tic a ­
m ente in d eterm in ad a. Si e s estáticam en te indeterm inada, indique el
n ú m ero d e g ra d o s d e in d eterm in ació n . S e su p o n e q u e las e stru c tu ra s
están som etidas a cargas externas arbitrarias conocidas y que pueden
actuar e n cualquier p u n to d e las estructuras.

S O L U C IÓ N
L a clasificación de estru ctu ras articuladas es sem ejan te a la d e las
vigas. E n las fig u ras s e m u estran los d iag ram as d e c u e rp o libre d e los
elem entos. A l ap licar r = 3 n o r > 3 n ,s e indican las clasificaciones re ­
su lta n te s .

C -J r

r-7./i -2.7 >6 t

E státicam en te in d ete rm in ad a d e p ri­ J

m er grado Resp.

(b ) r - 9 , n - 3.9 - 9 . Resp. T

jr t E stática m e n te d e te rm in a d a

(C) r - lO .n = 2 ,1 0 > 6,

(d) E státicam en te in d ete rm in ad a d e

c u arto g rad o Resp. T

\ tr

r-9 .n ~ 3 .9 ~ 9 . Resp.

E stática m e n te d e te rm in a d a

Figura 2-20 j
r

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2.4 D e te r m in a c ió n y estabilidad 51

EJEMPLO 2.6 D

C lasifique c a d a u n o de los m arcos que se m u estran e n la s figuras 2 -2 la r = 9 ,/i = 2 ,9 > 6,
y 2 -2 1 ¿> c o m o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o o e s t á tic a m e n te in d e t e r m i­
nado. Si es estáticam ente indeterm inado, indique el núm ero d e grados Estáticamente indeterminado de
de indeterm inación. Se su p o n e q u e los m arcos e stá n som etidos a car­
gas e x tern as conocidas, las cuales p u ed en a c tu a r e n cualquier p u n to tercer grado Resp.
de los m arcos.
(a)
SO L U C IÓ N
A diferencia d e las vigas y las estructuras articuladas q u e se m o stra­
ron e n los ejem plos a n te rio re s, lo s m arcos e stá n co m p u esto s p o r e le ­
m entos q u e s e co n ectan e n tre sí m ediante ju n tas rígidas. E n ocasiones,
los e le m e n to s fo rm a n c irc u ito s (c ru jía s ) in te rn o s c o m o e n la fig u ra
2-21a.A q u í A B C D form a un circu ito cerrado. P ara clasificar estas es­
tru c tu ra s e s n e c e s a rio e m p le a r e l m é to d o d e la s se c c io n e s y " c o r ta r " el
circuito e n d o s. E n la fig u ra se m u e stra n los d iag ram as d e c u e rp o libre
de las partes seccionadas, d e m anera q u e es posible clasificar e l m arco.
Tenga en cu en ta q u e sólo se necesita una sección a través d el circuito,
p uesto q u e al d eterm in ar las incógnitas e n la sección e s posible encontrar
las fu e rz a s in te rn a s en c u a lq u ie r p u n to d e los e lem en to s, em p lean d o
el m étodo d e las secciones y las ecuaciones de equilibrio. E n la figura
2-21 b se m u estra u n seg u n d o e je m p lo d e esto . Si b ie n e l m arco d e la fi­
gura 2-2le no tiene circuitos cerrados, e s posible em p lear el m ism o
m étodo con secciones verticales p a ra clasificarlo. E n este caso , ta m ­
bién se p u ed e d ib u ja r su d iag ram a de c u erp o libre com pleto. La clasi­
ficación resu ltan te se indica e n c a d a figura.

t

.E h r - 9,n - 1 ,9 > 3 .

Estáticamente indeterminado de

sexto grado Resp.

(Este marco no tiene circuitos cerrados.)

4v * ^ ,4 —

j t

-4 = ¡-

rT r r

r = 18,n = 3 ,1 8 > 9 , r = 1 8 ,n = 4 ,1 8 > 12,

Estáticamente indeterminado de (c) Estáticamente indeterminado de

ruveno grado Resp. sexto grado Resp.

(b) Figura 2-21

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C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

zr E stabilida d. Para garantizar el equilibrio d e u n a estructura o d e sus

j M. elem entos, no só lo e s n ecesario satisfacer las ecuaciones d e equilibrio,
sin o q u e los e lem en to s tam b ién d e b e n e sta r c o rre c ta m e n te su je to s o re s­
restricciones pardales tringidos p o r sus soportes. C uando no se han cum plido las condiciones
Figura 2 -2 2 adecuadas d e restricción pueden presen tarse dos situaciones distintas.

Restricciones parciales. E n a lg u n o s casos, u n a e s tru c tu ra o u n o d e

sus elem en to s p u ed en te n e r m enos fuerzas reactivas q u e ecuaciones
de equilibrio a satisfacer. E ntonces la estru ctu ra se convierte sólo e n par-
d a lm e n ie restringida. P or ejem p lo , co n sid ere e l e le m e n to d e la fig u ra 2-22
co n su c o rre sp o n d ie n te d ia g ra m a d e c u e rp o lib re. A q u í, la ecu ació n 2.F ,
= 0 n o se rá satisfecha p o r las condiciones d e carg a y, p o r lo tan to , e l e le ­
m en to será inestable.

Restricciones impropias. E n a lg u n o s c a so s p u e d e h a b e r ta n ta s

fu erzas d esco n o cid as co m o ecu acio n es d e e q u ilib rio ; sin em b arg o , la
inestabilidad o e l m ovim iento d e u n a estructura o sus elem entos p u ed en
d esarro llarse d eb id o a la restricción im p ro p ia de los so p o rtes. E sto p u ed e
o c u rrir s i to d a s las reacciones e n lo s so p o rte s s o n c o n c u rre n te s e n un
punto. E n la figura 2-23 se m uestra u n ejem plo d e e sta situación. A p a rtir
del diag ram a d e c u e rp o libre d e la viga p u e d e o b serv arse q u e la su m a de
los m o m en to s a lre d e d o r d e l p u n to O n o será igual a c e ro (F d * 0), p o r lo
que se p resen tará rotación alred ed o r d el punto O.

O tra form a en la cual la restricción im propia conduce a la inestabili­
dad o cu rre cu an d o to d a s las fuerzas reactivas s>n paralelas. U n ejem p lo
de este caso se m uestra en la figura 2-24. A quí, cu an d o se aplica una
fuerza inclinada P .la sum a d e fuerzas en la dirección horizontal no será
igual a ce ro .

oo

reacciones concurrentes

Figura 2-23 z

z,P T

Fa F„

reacciones paralelas

Hgura 2-24

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2.4 D e te r m in a c ió n y estabilidad 53
2
E n general, u n a estructura será geom étricam ente in esta b le —e s decir, se
m overá ligeram ente o colapsará— si hay m enos fu erza s d e reacción q u e
ecuaciones d e equilibrio; o, si hay suficientes reacciones, se p roducirá ines­
tabilidad s i las líneas d e acción d e las fu e r z a s d e reacción se cru za n en un
punto com ún o so n paralelas entre sí. Si la estru ctu ra se co m p o n e d e va­
rios elem entos o com ponentes, la inestabilidad local d e uno o varios d e
esto s elem en to s puede d eterm in arse g eneralm ente m ediante inspección.
Si los e le m e n to s fo rm a n u n m ecanism o co lap sab le, la e stru c tu ra se rá
inestable. A continuación se form alizarán estos enunciados p a ra u n a es­
tructura co p la n a r con n elem en to s o com p o n en tes y r reacciones d esco ­
nocidas. D ad o q u e hay tres ecuaciones d e eq u ilib rio d isp o n ib les para
cada elem ento o com ponente.se tien e que

r <3>n es inestab le
r a 3n es inestable si las reacciones d e los
elem entos so n concurrentes o paralelos
o algunos d e los com ponentes form an un (2 -4 )
m ecanism o colapsable

Si la estru ctu ra e s in estab le, no im p o rta si e s e stá tic a m e n te d e te rm i­
nada o in d e te rm in a d a . E n to d o s los casos, ese tip o d e e stru ctu ras d eb e
evitarse en la práctica.

Los siguientes ejem plos ilustran la form a e n q u e las estructuras o sus
elem entos pueden clasificarse com o estables o inestables. E n el capítulo 3
se analizarán las estructuras en la fo rm a d e una arm adura.

E l refu e rzo e n K so b re e ste m arco
p ro p o rc io n a s o p o rle late ra l c o n ­
tra el v ien to y so p o rte v ertical d e
las tra b e s d e l p iso . O b s e rv e e l
a s o d e la le c h a d a d e c o n c re to ,
q u e se a p lic a p a ra a isla r e l a c e ro
y e v ita r q u e p ie rd a s u rig id e z e n
c a so d e p re s e n ta rs e u n in cen d io .

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54 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

C lasifique c a d a u n a d e las estru ctu ras q u e se m u estran e n la figura
2 -2 5 a a 2-25d com o e sta b le o inestable. S e su p o n e q u e las e stru c tu ra s
están som etidas a cargas externas arbitrarias conocidas.

S O L U C IÓ N
Las estru ctu ras se clasifican de la m anera indicada.

(a)
Figura 2-25

E l ele m e n to es estable p uesto q u e las reacciones n o so n co n cu rren tes

ni paralelas. T am bién es estáticam en te determ inado. R esp .

tr

(b)

E l e le m e n to e s inestable p u esto q u e las tre s reacciones son co n c u rre n ­

tes e n B . R esp .

(C) \ rt

L a viga es inestable p uesto que las tres reacciones so n paralelas. R esp.

f— r
j

D rj r
C

(d)

L a e s t r u c tu r a e s in e sta b le p u e s to q u e r = 7 , n = 3. p o r lo q u e s e g ú n la
ecuación 2-4, r < 3 n ,7 < 9. A dem ás,esto p u ed e ob serv arse p o r inspec­
ció n . y a q u e A B p u ed e desp lazarse horizx)ntalm ente sin restricción.

R esp .

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2.4 D e te r m in a c ió n y estabilidad

PROBLEMAS

2- 1. 1.a e s tru c tu ra d e a c e ro se u sa p a ra s o s te n e r una 2-6. El m arco se usa para soportar un piso de m adera
losa de concreto de piedra reforzado que se em plea en de 2 pulgadas de espesor en una vivienda residencial. D i­
una oficina. L a losa tien e 200 m m de espesor. D ibuje las buje las cargas que actúan a lo largo de los elem entos
cargas que actúan a lo largo de los elem entos B E y FED . B G y A B C D . C o n s id e re a = 5 p ie s , b = 15 p ies. Sugeren-
C o n sid ere a —2 m, b — 5 m. Sugerencia: Vea las tablas d a : V ea las ta b la s 1-2 y 1-4.
1-2 y 1-4.
2-7. R esuelva el problem a 2-6. con a - 8 pies, b - 8
2-2. R esu elv a e l p ro b le m a 2-1 co n a = 3 m ,b = 4 m. pies.

• 2 -8 . R e su e lv a e l p ro b le m a 2 -6 , c o n a —9 p ie s y b — 15
pies.

Probs. 2-1/2-2

2-3. El sistem a de piso em pleado en un aula consiste Probs. 2-6Z2-7/2-8
en una losa d e concreto de piedra reforzado de 4 pulga­
das. D ibuje las cargas que actúan a lo largo de la vigueta 2-9. La estructura de acero se usa p a ra soportar una
B F y la tr a b e la t e r a l A B C D E . C o n s id e r e a « 10 p ie s , losa de concreto d e piedra refo rzad o de 4 pulgadas, la
b « 3 0 p i e s Sugerencia: V ea la s ta b la s 1-2 y 1-4. c u a l s o s tie n e u n a c a rg a v iv a u n ifo rm e d e 500 Ib /p ie 2. D i ­
buje las cargas que actúan a lo largo de los elem entos
•2 -4 . R e su e lv a e l p ro b le m a 2 -3 co n a = 10 p ie s .6 = 15 B E y FED . C onsidere 6 - 1 0 pies y a - 7.5 pies. Suge­
pies. rencia: C o n su lte la ta b la 1-2.

2-5. R esuelva el problem a 2-3 co n a - 7.5 pies, b - 20 2- 10. R esuelva e l p ro b le m a 2-9, c o n b — 12 pies, a — 4
pies. pie&

P toIk . 2 -3 /2 -4 /2 -S Probs. 2-9/2-10

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56 C a p itu lo 2 A n á lis is de e s tru c tu r a s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s

2- 11. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e s tá ­ *2-12. C lasifique cada uno d e lo s m arcos com o estáti­
ticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada o cam ente determ inados o indeterm inados. Si es indeter­
inestable. Si es indeterm inada, especifique el grado de m inado, especifique el grado d e indeterm inación. Todas
indeterm inación. Los soportes o conexiones deben suje­ las ju n tas in tern as están conectadas fijam ente.
tarse a los supuestos indicados.

¿V n i , — -------------

(a) (a)

0»

(C)

Prolx 2-11 (d)

Proh. 2-12

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2.4 D e te r m in a c ió n y estabilidad 57

2-13. C lasifique cada una de la s estructuras co m o está­ a rtic u la c ió n
ticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada,
estable o inestable. Si es indeterm inada, especifique el
grado de indeterm inación. Los soportes o conexiones
d eb en sujetarse a los supuestos indicados.

(¡rlc u la d ó n Ir o d i l l o ♦Aja

(a)

articulación articulación flja 2-15. G asifique cada una de la s estructuras co m o está­

0» ticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada o
inestable. Si es in d eterm in ad a, especifique el grado de
indeterm inación.

¿rU culaclón jlicu ladó n

(c)

Proh. 2-13

2-14. G asifique cada una de la s estructuras com o está­
ticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada,
estable o inestable. Si es indeterm inada, especifique el
grado de indeterm inación. Ix » soportes o conexiones
deb en sujetarse a los supuestos indicados.

articulación

rodillo a rtic u la c ió n (b)

(a)

I ‘S)

¿ r o d i l l o artic u la ció n ro d illo ^ - artic u la ció n fija

(b)

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58 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

*2-16. C lasifique cada u n a d e las estru ctu ras com o 2-17. C lasifique cada una de las estructuras com o está­
estáticam ente determ inada, estáticam ente indeterm i­ ticam ente determ inada, estáticam ente indeterm inada,
nada o inestable. Si es indeterm inada, especifique el estable o inestable. Si es indeterm inada, especifique el
grado de indeterm inación. g rado de indeterm inación.

(a)
(a)

<b) (b)

(c) <c)

& A

<d) (d)
Proh. 2-17
P roh. 2 -16

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2 .5 A p lic ac ió n d e ia s ecu ac io nes d e eq u iu br io 2

2 . 5 A p lica ció n de las ecuaciones
de e q u ilib rio

Hn form a ocasional, los elem entos d e u n a estructura se conectan en tre sí
d e m odo q u e las ju n tas p u ed en asum irse com o articulaciones. L os m ar-
eos y las arm aduras p ara construcción son ejem plos típicos q u e suelen
form arse d e e sta m anera. Si u n a e stru c tu ra c o p la n a r articulada e stá bien
restringida y n o contiene ningún so p o rte o elem en to adicional necesario
p ara ev itar el co lap so , las fu e r/a s q u e a c tú a n e n las ju n ta s y so p o rte s p u e ­
d e n d e te rm in a rse m e d ia n te la ap licació n a ca d a e le m e n to d e las tre s
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io (2 .F , = 0 = 0 ,X A 1a = 0 ). E s c o m p r e n s ib le
q u e, u n a v e / q u e se h a y a n calcu lad o las fu e r/a s e n la s ju n ta s , s e rá p o sib le
d e te rm in a r e l ta m a ñ o d e los e lem en to s, las co n ex io n e s y lo s so p o rte s co n
base en las especificaciones d e los códigos d e diseño.

Para ilustrar e l m étodo d e análisis d e fuerzas, considere el m arco de
tres elem entos q u e se m uestra en la figura 2-26a,el cual está som etido a
las c a r g a s P i y P 2. E n la fig u ra 2 -2 6 6 s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e
cu erp o libre d e c a d a elem en to . E n to ta l hay nu ev e incógnitas; sin e m ­
bargo, p u ed en escribirse nueve ecuaciones d e equilibrio, tres para cada
elem en to , p o r lo q u e e l p ro b lem a es estáticam ente determ inado. P a ra la
solución real tam bién es posible, y co n v en ien te a veces, considerar una
porción d el m arco o su totalidad al m om ento d e aplicar alguna d e estas
nueve ecuaciones. Por ejem plo, en la figura 2-26c se m uestra un diagram a
d e c u e rp o lib re de to d o e l m arco. S e p o d rían d e te rm in a r las tre s reaccio ­

nes A ,,A vy C , s o b re e ste siste m a a rtic u la d o “ríg id o ” p a ra d e s p u é s a n a ­

lizar d o s d e cualquiera de sus elem entos, figura 2-2 6 6 ,y o b te n e r las o tras
seis incógnitas. A dem ás, las respuestas p u ed en com probarse, e n p arte
m ediante la aplicación d e las tres ecuaciones de equilibrio e n e l “tercer"
elem ento restante. E n resum en, este problem a pu ed e resolverse a l escri­
bir un m áxim o de nueve ecuaciones de equilibrio usando diagram as de
cuerpo libre de cualesquier elem entos y/o com binaciones d e elem entos
conectados. Si se escriben más de nueve ecuaciones, habría redundancia
sobre las nueve ecuaciones originales y algunas d e éstas sólo servirían
p ara co m p ro b ar resultados.

D, A,

Figura 2-26

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60 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

2 C onsidere a h o ra el m arco d e d o s elem en to s q u e s e m u e stra e n la fi­
g u ra 2-27a. A q u í, los d ia g ra m a s d e cu erp o lib re d e los e lem en to s m u es­
tran seis incógnitas, figura 2-276; sin em bargo, es posible escribir seis
ecuaciones de equilibrio, tres p a ra cada elem en to , p o r lo q u e d e nuevo el
problem a es estáticam ente determ inado. Al igual q u e en el caso anterior,
tam bién puede em plearse un diagram a d e cu erp o libre d e to d o e l m arco
para u n a p arte d el análisis, figura 2-27c. A u nque, com o se m u estra, el
m arco tie n e ten d en c ia al co lap so si n o c u e n ta c o n su s so p o rte s, a l g ira r
so b re la artic u la c ió n e n R . e s to n o su c e d e rá p u e sto q u e e l sistem a de
fuerzas que actúan so b re e l m arco todavía pueden m antenerlo en equili­
brio. P o r lo ta n to , si a s í se d e sea, las seis in có g n itas p u e d e n d e te rm in a rse
m ediante la aplicación d e las tres ecuaciones d e equilibrio a to d o el
m arco, figura 2-27c, y tam bién a l aplicar estas ecuaciones a u n o d e sus
elem entos.

Los dos ejem plos anteriores m uestran q u e si una estructura está bien
soportada y no contiene ningún apoyo o elem ento adicional que sea n e­
cesario p a ra ev itar el colapso,e l m arco se convierte e n estáticam ente d e ­
te rm in ad o y, p o r lo ta n to , las fu erzas d esconocidas e n los so p o rte s y
conexiones p u ed en d eterm in arse a p artir de las ecuaciones d e equilibrio
ap licad as a ca d a e le m e n to . A d em ás, si la e stru c tu ra se m a n tie n e rígida
(no colapsable) al retira r los so p o rtes (figura 2-26c), las tres reacciones
e n lo s soportes p u ed en determ in arse m ed ian te la aplicación d e las tres
ecuaciones de e q u ilib rio a to d a la e stru c tu ra . S in em b arg o , si la estru c tu ra
no p arece se r rígida (co lap sab le) desp u és d e re tira r lo s so p o rte s (figu­
ra 2 -2 7 c ),se rá n ecesario d e sm e m b ra r la e stru c tu ra y c o n sid e ra r el e q u ili­
brio d e los elem entos individuales a fin d e o b ten er suficientes ecuaciones
p ara d e te rm in a r todas las reacciones e n los so p o rtes.

Hgura 2-27

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2 .5 A p lic a c ió n d e las ecu ac io nes d e equilibrio

Procedim iento de análisis

E l sig u ien te p ro ced im ien to p ro p o rc io n a u n m éto d o p a ra d e te rm in a r las reacciones en las
ju ntas estru ctu ras com puestas p o r elem en to s articulados.

D iag ram as d e c u e rp o libre

• D esensam ble la estructura y dibuje un diagram a d e cu erp o libre d e cada elem ento.
A dem ás, puede se r conveniente com plem entar e l diagram a d e cuerpo libre de un e le ­
m en to con e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re d e toda la estructura. C o n e ste d iag ram a e s p o ­
sible d eterm in ar to d as o algunas d e las reacciones e n los soportes.

• R ecuerde que las fuerzas d e reacción com unes a dos elem entos actúan con m agnitu­
des iguales p e ro co n direcciones opuestas e n los respectivos diagram as de c u erp o libre
de los elem entos.

• D eben identificarse todos los elem en to s d e dos fuerzas. S obre estos elem entos, in d e ­
p en d ie n te m e n te d e su fo rm a , n o a c tú a n cargas e x te rn a s y, p o r lo tan to , su s d iag ram as
de cu erp o libre se rep resen tan co n las fuerzas colineales iguales pero o p u estas ac­
tuando en su s extrem os.

• En m uchos casos es posible estab lecer p o r inspección e l sentido co rrecto d e la flecha
que indica la dirección de una fuerza o m om ento desconocido; sin em bargo, si esto p a ­
rece difícil, el se n tid o d e la fu e rz a p u e d e su p o n e rse a rb itra ria m e n te .

E cuaciones d e equilibrio

• C uente e l n ú m ero to tal de incógnitas p a ra asegurar q u e se p u e d a escribir u n núm ero
equivalente d e ecuaciones d e equilibrio p a ra su solución. A excepción d e lo s elem en ­
tos d e dos fuerzas, recuerde q u e generalm ente pueden escribirse tres ecuaciones de
equilibrio p a ra cada elem ento.

• E n m uchas o casio n es la so lu ció n d e las in có g n itas se rá sencilla, s i la ecu ació n d e m o ­

m ento “ O se aplica alred ed o r d e un pu n to (O ) q u e se encuentre en la in tersec­

ción d e las líneas d e acción d e tan tas fuerzas desconocidas co m o sea posible.

• Al ap licar las ecuaciones d e fu erza Í F , = 0 y Z Fy = 0, o rien te los ejes x y y a lo largo
de las líneas q u e ofrecen la reducción d e fuerzas m ás sim ple e n sus co m p o n en tes x y y .

• Si la so lu ció n d e las ecu acio n es d e e q u ilib rio p ro p o rc io n a u n a m ag n itu d negativa p ara
u n a fu erza o m o m e n to d esco n o cid o , e sto indica q u e el se n tid o d e la fu e rz a e s o p u e sto
al q u e s e su p u so e n e l diag ram a de c u e rp o libre.

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62 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 2.8

D ete rm in e las reacciones so b re la viga q u e s e m u estra en la figura 2-28a.

A60 k 50 k p ie 60 i 60" k 50 k-pie
60* -------- 7 p ie s --------
cos60°k
!r

7 10 p ies -4 p ie s-t
------------ 10 p ie s ------------ 1- »•
pJ
(b)
(a)
Figura 2-28

S O L U C IÓ N

D ia g ra m a d e cu e rp o líb re . C o m o se m u e stra e n la fig u ra 2-286, la
fu e rz a d e 60 k se re su e lv e e n su s c o m p o n e n te s x y y . ft>r o tr a p a rte ,
la lín ea d im e n sio n a l d e 7 pies n o e s n e c e sa ria p u e sto q u e u n m o m en to
d e p a r es un vector lib re y. p o r lo ta n to , p u e d e a c tu a r e n cu alq u ier
p u n to de la viga p a ra los fin es de calcu lar las reaccio n es externas.

Ecuaciones d e e q u flib rio . A l a p lic a r las ecu acio n es 2-2 e n u n a se ­
cu en cia y a l e m p le a r los resu ltad o s calcu lad o s p re v ia m e n te .se tiene

Í 2 F X = 0- A x ~ 60 eos 60° = 0 A , = 30.0 k Resp
Resp.
o. -6 0 sen 60°(10) + 60cos60°(1) + « ,(1 4 ) - 50 = 0 Bf = 38.5 k Resp.
0;
+ Ísf, - 6 0 sen 60° + 38.5 + A . 13.4 k

EJEMPLO 2.9 D ete rm in e las reacciones so b re la viga q u e s e m u estra en la figura 2-29a.

15 k N / r

5 kN /n S O L U C IÓ N

------------------------------ 1 2 m ------------------------------ 1 D iagram a d e cuerpo lib re . G om o s e m u estra e n la fig u ra 2-29b,
la c a rg a tra p e z o id a l d istrib u id a se divide e n u n a carg a tria n g u la r y u n a
(a) carga uniform e. Las áreas bajo e l triángulo y e l rectángulo represen­
ta n las fueizas resultantes. E stas fuerzas actú a n a través d e l cen tro id e
U l0 k N /m K I2 m ) -6 0 k N de sus áreas correspondientes.
| (5 k N /m )(1 2 m ) =
Ecuaciones de e q u ilib rio
t e 4 “ kN
-H -

(b) S F X = o; A * = o 0 120 kN Resp.
+ Í 2 F , = 0; A y - 60 - 6 0 Resp.
Figura 2-29
L + 2 M a = 0; -6 0 ( 4 ) - 60 (6 ) + M A = 0 M A = 600 kN -m Resp.

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2 .5 A p lic ac ió n d e ia s ecu ac io nes d e eq u iu br io 63

EJEMPLO 2.10

D e te rm in e las reaccio n es so b re la viga m o stra d a e n la fig u ra 2-3(ta.
Suponga que A es u n a articulación y e l soporte en fí es u n rodillo (su­
perficie lisa).

Figura 2-30

S O L U C IÓ N
D iagram a d e cu e rp o lib re . C óm o se m u estra en la figura 2 -3 0 6 .el
so p o rte (“ ro d illo ") e n B ejerce u n a fu e rza n o rm a l so b re la viga e n s u
punto d e contacto. L a línea d e acción d e esta f u e r a está definida p o r
d trián g u lo 3-4-5.

(b)

Ecuaciones d e e q u ilib rio . A l d e sc o m p o n e r N # e n su s c o m p o n e n ­
tes x y y ,y al su m a r los m o m entos a lred ed o r d e A se o b tien e una solu-
d ó n d ire c ta p a ra N B. ¿ P o rq u é ? C o n e s te re su lta d o es p o sib le o b te n e r
Ax y A y.

- 3 5 0 0 ( 3 . 5 ) + ( i ) N B( 4 ) + (Í)A rA( 1 0 ) = 0 R esp .

N „ = 1331.51b = 1.33 k

0; A , _- * (11/3m3 1i . 5o) = 0n = 1.07 k R esp.

0; A , - 3500 + f( 1331.5) = 0 A y = 2 .7 0 k Resp.

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64 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 2.11

L a viga co m p u esta q u e se m u estra e n la figura 2 -3 \a está fija e n A .
D eterm ine las reacciones en A , B y C. Suponga q u e la conexión en B
es u n a articulación y q u e C es un rodillo.

(a)
Figura 2-31

S O L U C IÓ N

D ia g ra m a s d e c u e rp o lib re . E n la fig u ra 2-316 se m u e s tra el d ia ­
gram a de cu erp o libre d e cad a segm ento. ¿P o r q u é e ste p ro b lem a es
estáticam ente determ inado?

#000 ib 6000 Ib •pie

i “ ^A , — (j! ^ ® iJ1---------- 15pies---------\
A , | — l O p i e s -— |----- lOpies— I

(b)

Ecuaciones d e e q u flib rio . H ay seis incógnitas. A l a p lic a r la s seis
ecuaciones d e equilibrio y em p lear los resultados calculados previa­
m ente,se tiene

Segm ento BC\

5,+ Z M c = O. 6000 + fl,(15) = 0 B y 4001b Resp.

+ t Z F , = 0; -400 + Cy = 0 4001b Resp.
Resp.
% - Z F , = 0;

Segm ento AB:

l + S M * = O. M a ~ 8000(10) + 400(20) = Resp.
Ma = 72.0 k - pie Resp.
0;
A y - 8000 + 400 = 0 A, 7.60 k

0; A t - 0 = 0 At 0 Resp.

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2 .5 A p lic ac ió n d e ia s ecu ac io nes d e eq u iu br io

EJEMPLO 2.12

D ete rm in e las co m p o n e n te s h o riz o n ta l y v ertical d e re acció n e n las
a rtic u la c io n e s A , B y C cfcl m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n
b figura 2-32a.

Figura 2-32

S O L U C IÓ N

Diagramas da cuerpo libre. E n la fig u ra 2 -3 2 b s e m u e s tr a e l d ia ­

gram a de cuerpo libre d e cada elem ento.

Ecuaciones de equilibrio. 1.a a p lic a c ió n d e la s s e is e c u a c io n e s d e

equilibrio en la siguiente secuencia perm ite una solución d irecta para
cada una d e las seis incógnitas.

E lem ento BC : By = 3kN Resp.
L + S A fc = 0; ~ B y{ 2 ) + 6 (1 ) = 0

E lem ento AB:

J.+ 2 M Á = 0. - 8 ( 2 ) - 3 (2 ) + B ,{ 1.5) = 0 B , = 14.7 kN Resp.
Resp.
= 0; A x + ^ (8 ) - 14.7 = 0 A , = 9.87 kN Resp.

+ Í Z F y = 0; A y - Í ( S ) - 3 = 0 A y = 9.40 kN

E lem ento BC: C , = 14.7 kN R esp.
- ¿ Z F , = 0. 14.7 - C , = 0
+ Í 2 F , = 0; 3 - 6 + C y = 0 Cy = 3 kN Resp.

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66 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 2.13

E l lad o d e la co n stru cció n q u e se m u e stra en la figura 2-33a está
som etido a una carga d e viento q u e crea una presión uniform e nor­
m a l de 15 k P a so b re e l lado en b arlo v en to y u n a p resió n d e succión de
5 k P a e n el lad o e n so ta v e n to . D ete rm in e las c o m p o n e n te s h o rizo n tal
y vertical d e la reacción e n las conexiones articuladas A , R y C e n el
arco a dos ag u as q u e da so p o rte a la construcción.

(a)
Figura 2-33

S O L U C IÓ N
C om o la carga está distrib u id a uniform em ente, el arco central a dos
aguas so p o rta una carga q u e actúa sobre las p ared es y el tech o d el
área tributaria q u e se m uestra con un som breado oscuro. E sto rep re­
s e n ta u n a c a rg a d is trib u id a u n ifo rm e d e (1 5 k N /m ?)(4 m ) = 60 k N /m
e n e l la d o d e b a r lo v e n to y ( 5 k N /m 7)(4 m ) = 2 0 k N /m e n e l la d o d e s o ­
tavento, figura 2-336.

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2 .5 A p lic ac ió n d e ia s ecu ac io nes d e eq u iu br io 67

D iagram as de c u e rp o lib re . Si se sim plifican las carg as d istrib u i­
das. los diag ram as de c u erp o libre d e to d o e l m arco y cad a u n a d e sus
p a rte s so n co m o se m u e stra n e n la fig u ra 2-33c.

254.6 k N 2.12 B. Br B 8M4.v9 ki N
« i* 45 m B .J
A*

180 kN 15 m 60 kN

A. r C,

rn - 4 - l"

*1.5 m 1 5 m

(c)

Ecuaciones d e e q u ilib rio . L a so lu ció n d e ecu acio n es sim u ltá n e a s
se ev ita a l ap licar las ecuaciones d e equilibrio en la secuencia si­
guiente y usan d o los resultados calculados previam ente.*

M arco com pleto:

t + I M * = O. - ( 1 8 0 + 6 0 ) ( 1 .5 ) - (2 5 4 .6 + 8 4 . 9 ) e o s 4 5 ° ( 4 .5 )

- (2 5 4 .6 s e n 4 5 °)( 1.5) + (84.9 se n 4 5 ° )(4 .5 ) + C ,{ 6 ) = 0

C y = 240.0 kN Resp.

+ 1 Z F y = 0; - A y - 254.6 sen 45° + 84.9 s e n 45° + 240.0 = 0

A y = 120.0 k N Resp.

E lem ento AB:

\ , + Z M b = 0; - A t (6 ) + 120.0(3) + 180(4.5) + 254.6(2.12) = 0

A , = 285.0 k N Resp.

- i 1 F , = 0; -2 8 5 .0 + 180 -f 254.6 e o s 45° - B t = 0 Resp.
B x = 75.0 kN

+ ] ' Z F y = 0 ; -1 2 0 .0 - 254.6 sen 45° + B y = 0 Resp.
B y = 300.0 kN Resp.

E lem ento CB:

-4 = 0; - C , + 60 4- 84.9 eos 45° + 75.0 = 0

C x = 195.0 kN

•E l problem a tam b ién p u e d e resolverse a l ap licar las seis ecuaciones d e equilibrio sólo
a los d o s elem entos. Si se hace csto .cs recom endable sum ar prim ero los m om entos a l­
re d ed o r d e l p u n to A «obre e l elem en to /lfi.d c sp u é s los d e l p u n to C sobre e l elem en to
C B . D e e sta m anera resultan d o s ecuaciones q u e d eb en resolverse sim ultáneam ente
para obten er B , y B r

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68 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

REPASO DEL CAPÍTULO

S oportes—A m enudo se supone q u e los elem entos estructurales deben estar conectados m ediante articulaciones si en tre
ellos puede ocurrir una rotación relativa leve, y q u e deben estar conectados fijamente si la rotación n o es posible.

sddadura

costillas

conexión “articulada” típica (de m etal) so ld a d u ra
conexión “ fija" típica (de m etal)

Estructuras idealizadas—O tan d o se realizan supuestos acerca de soportes y conexiones, al considerar p or ejem plo q u e son
rodillos, articulaciones o fijos, los elem entos pueden representarse com o líneas, p o r lo que e s posible establecer u n m odelo
idealizado que puede usarse en e l análisis.

c EL

viga real T

viga idealizada

Las cargas tributarías sobre losas pueden determ inarse al clasificar, en prim er lugar, la losa com o e n una dirección o e n dos
direcciones. C om o regla general, si L? es la dim ensión m ás grande y L j/ L t > 2, la losa se com portará com o una losa en
una dirección. Si ¿ /Z ., < 2. la losa se com portará com o una losa en dos direcciones.

la acción d e u n a losa en una la acción d e u n a losa e n dos
direcciones req u iere q u e L 2/ L , s 2
dirección requiere q u e L 3/ L i > 2

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R e p a s o d e l c a p it u l o 69

Principio d e su p erp o sició n - Las cargas o los despla7am ienios pueden sum arse siem pre q u e e l m aterial sea elástico lineal
y q u e sólo ocurran pequeños desplazam ientos d e la estructura.

Equitibrio Las estructuras estáticamente determ inadas pueden analizarse al desensam blarlas y al aplicar las ecuaciones
de equilibrio a cada elem ento. El análisis de una estructura estáticamente determ inada requiere, prim ero, dibujar el dia­
gram a de cuerpo libre de todos los elem entos, para después aplicar las ecuaciones de equilibrio a cada elem ento.

2 F .-0
2Fy = o
ZMo = 0

El núm ero de ecuaciones de equilibrio para losn elem entos de u n a estructura es 3n. Si la estructura tiene r reacciones,en­
to n ces la estru c tu ra e s estáticamente d eterm inada si

r »3n

y estáticamente indeterm inada si

r >3n
El núm ero adicional de ecuaciones necesarias para obtener la solución se conoce como el grado de indeterm inación.

E stabilidad —Si h a y m e n o s reac c io n es q u e ecu acio n es d e equilibrio, en to n c e s la e stru c tu ra será inestable p o rq u e e stá res­
tringida parcialm ente.Tam bién puede presentarse una inestabilidad debida a las restricciones impropias, si las líneas de ac­
ción d e las reacciones so n c o n c u rre n tes e n u n p u n to o p a ralelas e n tre sí.

T' reacciones paralelas

rea c c io n e s c o n c u r r e n te s

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70 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

PROBLEMAS FUNDAM ENTALES

F2-1. Determ ine las com ponentes horizontal y vertical de ¥2-4. D eterm ine las com ponentes horizontal y vertical de
la reacción e n las articulaciones A . B y C . la reacción e n el so p o rte d e ro d illo s A y e n el so p o rte fijo R.

F2-2. Determ ine las com ponentes horizontal y vertical de F2-5. D eterm ine las com ponentes horizontal y vertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y C. la reacción e n las articu lacio n es A , B y C del m arco d e d o s
elem entos.

300 Ib

10 k N /m

F2-3. Determ ine las com ponentes horizontal y vertical de F2-Ó. D eterm ine las com ponentes d e la reacción en e l so­
la reacción e n las articulaciones A ,B y C. porte de rodillos A y en la articulación C. La ju n ta B está
conectada fijamente.

6kN

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P roblemas r jn d am en taies 71

R - 7 . Determ ine las com ponentes horizontal y vertical de F2-9. I^term in e las com ponentes de la reacción en el so­
la reacción e n las articu lacio n es A , B y D d e l m arco d e tres
elem entos. La junta e n C está conectada fijamente. porte fijo D y en las articulaciones A . B y C d ¿ \ m arco d e tres
elementos. No tom e en cuenta e l espesor d e los elem en to s

8 kN 8 kN 2 k/pie

F2-8. Determ ine las com ponentes de la reacción en el so­ F2-10. D eterm ine las com ponentes de la reacción e n el s o ­
porte fijo D y en las articulaciones A. B y C del m arco de tres porte fijo D y en las articulaciones A, li y C del m arco d e tres
elementos. No tom e en cuenta e l espesor d e los elem entos. elem entos N o tom e en cuenta el espesor d e los elem entos

6kN 6kN 8 kN 8 kN

F2-8 F 2 -I0

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72 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

PR O BLEM AS

2-18. D eterm ine las reacciones sobre la viga. No tom e en 2 -2 1 . D eterm in e las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y B de la
cuenta su espesor. viga com puesta. Suponga que en C hay una articulación.

18 IN

LJa20 kN 20 kN *-"
Í
Hr - J«

É - ..-

Prob. 2-18

2 -1 9 . D eterm ine las reaccio n es so b re la viga. 2-22. D eterm ine las reacciones en los soportes A , B . D
3k/pie
yf.

2 pies

Prob. 2-22

•2 -2 0 . D eterm ine las reaccio n es so b re la viga. 2-23. La viga com puesta se sostiene m ediante u n a articu­
lación en C y está apoyada sobre un rodillo e n A y B . Hay
2 k/pie una bisagra (articulación) e n D. D eterm ine las reacciones
en los soportes. No tom e en cuenta el espesor d e la viga.

I é12k
A \ D S1 "' P C

A6 4 « -— --Dp ¡8ieess--^»L'-op iiee8as -HJ

4 k pies 2. pie s

pies

P rob. 2 -23

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PfOBlEMAS 73

•2-24. D eterm ine las reacciones sobre la viga. Puede su- 2-27. La viga com puesta está fija e n A y se sostiene me-
ponerse que el soporte en B es un rodillo.
diantc un oscilador en tí y C . Hay bisagras (articulaciones)
en D y E. D eterm ine las reacciones en los soportes.

15 kN

Proh.2-24

2 -25. D eterm ine las reacciones e n e l so p o rte liso C y en el •2-2#. D eterm ine las reacciones en los soportes A y tí.
soporte articulado .4.Suponga que la jun ta en flestá conec­ Las cubiertas CD. D E. E F y FG del piso transm iten sus car­
tada fijamente. gas a la trabe sobre soportes lisos. Suponga que A es un ro ­
dillo y q u e tí es una articulación.

3 k /p ic 10 k

n u- irÍ 3 p i i

1 1 U 1 ,1 1[ I

ar

P ro b .2 -2 5 4 444
pies pies pies pies

P ro b .2 -2 #

2-26. Determ ine las reacciones en los soportes A y B de la 2 -2 9 . D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rte s A y tí d e la
armadura. La carga distribuida es causada por el viento. viga com puesta. H ay una articulación e n C.

P ro h .2 -2 6 P rob, 2-29

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74 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

2 -3 0 . D eterm in e las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y B de la 2-33. D eterm ine las com ponentes horizontal y vertical de
viga com puesta. Hay una articulación en C la reacción q u e a c tú a e n lo s s o p o rte s A y C.

2 kN /m

2-31. La viga está som etida a las d o s cargas concentradas
como se m uestran e n la figura. Si se supone q u e el cimiento
ejerce una distribución de carga que varía linealm cnte e n el
fondo, determ ine las intensidades d e carga h'i y w 2 necesa­
rias para e l equilibrio (a) en térm inos d e los parám etros
m ostrados, y (b ) co n sid eran d o P = 500 Ib, L = 1 2 pies.

2P

P ro h 2-31 2-34. D eterm ine las reacciones e n e l soporte liso A y e n el
soporte articulado B. La junta en C está conectada fija­
*2-32. La zapata superficial se usa para sostener una mente.
pared cerca de su borde A , de manera que causa una pre­
sión uniform e del suelo d eb ajo d e la zapata. D eterm ine las
cargas uniform em ente distribuidas wA y wB medidas en
Ib/pie sobre las alm ohadillas A y B ,necesarias p a ra so p o rtar
las fuerzas d e la p ared de 8000 y 2 0 000 lib ras

200001b

P roh 2-32 P roh 2-34

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PfOBlEMAS 75

2-35. D eterm ine las reaccio n es en lo s so p o rte s A y /?. 2-37. D eterm ine las com ponentes de fuerza horizontal y
vertical en las articulaciones A y C del m arco de dos ele­
mentos.

200 N/r

Proh. 2-35

•2-36. D eterm ine las com ponentes horizontal y vertical 2-38. 1.a grúa de p a re d so p o rta una c arg a d e 700 Ib. D e­
d e la reacción en los soportes A y B. Suponga que las juntas term ine las com ponentes horizontal y vertical d e la reac­
e n C y D so n con ex io n es fijas. ció n en las articu lacio n es A y D . A dem ás, ¿cu ál e s la fu erza
del cable en W sujeto al malacate?

7001b

Proh. 2-38

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76 C a p it u l o 2 A n á l is is d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m in a d a s

2-39. D eterm ine las fuerzas resultantes en las articulacio­ 2-41. D eterm ine las reacciones verticales y horizontales
nes B y C sobre el elem ento A BC del marco de cuatro ele­ en las conexiones A y C del m arco a dos aguas. Suponga que
mentos. A , B y C son conexiones articuladas. Las cargas concentra­

das, c o m o D y E se ap lican e n fo rm a p erp en d icu lar a la
linea central de cada trabe.

Prob. 2-41

*2-40. D eterm ine las reacciones en los soportes A y D. 2-42. D eterm ine las com ponentes horizontal y vertical de
Suponga que A está fijo y q u e B .C y D están articuladas. la reacción e n A , C y D . S uponga q u e el m arco e stá articu ­

lado en A , C y D, y que hay una junta conectada fijamente
en B.

* .kN 40 kN
j--1.5 m-^ - -2 m -^ - 1.5 m -•

T 15 kN/m

4m

6m

Prob. 2 -4 0 Prob. 2-42

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P fO B LE M A DE PROYECTO 77

2-43. Determ ine las com ponentes horizontal y vertical en *2-44. D eterm ine las reacciones en los soportes A y tí.
l a s juntas en C y D están conectadas fijamente,
A . tí y C. Suponga que el m arco está articulado e n estos
puntos. Las juntas en D y E están conectadas fijamente.

Proh. 2-43 Proh. 2-44

PROBLEMA DE PROYECTO

2-1P. E l puente ferroviario d e caballetes q u e se m uestra
en la fotografía se sostiene m ediante pilas d e concreto re­
forzado. Suponga que las dos trabes laterales sim plem ente
apoyadas, la base d e la vía y los d o s carriles, tienen u n peso
d e 0.5 Ic/pie y q u e la carga im p u e sta p o r u n tre n e s d e 7.2
k/pic (vea la figura 1-11). C ad a viga tiene 20 pies d e largo.
Aplique la carga sobre todo el puente y determ ine la fuerza
d e com presión en las colum nas d e cada pila. Para e l análisis,
suponga que todas las juntas están articuladas y no tom e en
cu en ta el p eso d e la p ila ¿E sto s su p u esto s s o n reales?

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Las fuerzas en los ele m e n to s d e este p u e n te p u e d e n analizarse a p lic a n d o el
m é to d o de los nodos o e l m é to d o de las secciones.

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