Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

6 .4 LIN FA S D E INFLUENCIA PARA VIGAS D E PISO 229

La línea de influencia p a ra un p u n to específico so b re la viga puede 6
d eterm in arse m ed ian te e l m ism o procedim iento estático q u e se usó en
la sección 6-1, es decir, colocar la carga u n itaria en diversos puntos x d e la
losa del p iso y calc u lar siem p re la función (d e fu erza c o rta n te o d e m o ­
m en to ) e n e l p u n to específico P de la viga, figura 6-206. A l g raficar estos
v alo res e n función d e x se o b tie n e la lín e a d e influencia p a ra la función
e n P . E n particular, e l valor p a ra el m om ento in tern o en un panel d e la
trab e d ep en d erá d e d ó n d e se elija e l p u n to P p ara la línea d e influencia,
puesto q u e la m agnitud d e M p depende de la ubicación del p u n to desde
e l e x tre m o d e la tra b e . P o r ejem p lo , si la carg a u n itaria ac tú a so b re la losa
d el p iso co m o se m u e stra en la figura 6-20c, p rim e ro se e n c u e n tra n las
re a c c io n e s F fl y F (; so b re la lo sa y lu e g o s e c a lc u la n las re a c c io n e s e n lo s
so p o rtes F! y F¿ sobre la trabe. D espués se d eterm in a e l m om ento in ­
tern o e n P m ediante el m éto d o d e las secciones, figura 6-20d. E sto re ­
su lta e n M p = F \d - F g fd - s). ft>r m ed io d e u n análisis sim ilar, e s
p o s ib le d e t e r m i n a r la f u e iz a c o r t a n te in t e r n a \ P. S in e m b a r g o , e n e s te
caso VP se rá co n sta n te a lo larg o d el p a n e l B C (V P = F y — FB) y, p o r lo
ta n to , n o d e p e n d e d e la u b ic a c ió n e x a c ta d d e /* e n e l p a n e l. P o r e s ta
razón, las líneas d e influencia p ara la fu erza co rtan te en vigas d e p iso se
especifican p a ra los paneles de la tra b e y n o en p u n to s específicos a lo
largo d e ésta . I-a fu erza c o rtan te se co n o ce e n to n ce s co m o fu e rza co r­
tante de p a n el.T am bién d eb e h acerse n o ta r q u e co m o la trab e só lo se ve
afectada p o r las cargas transm itidas p o r las vigas de piso, g en eralm en te
la carg a u n ita ria se co lo ca e n ca d a u b icació n de las vigas d e p iso p a ra e s­
tab lecer lo s d a to s n e c esario s p a ra d ib u ja r la lín e a d e influencia.

Los siguientes ejem plos num éricos d eb en clarificar e l análisis d e fuerzas.

E l diseño d el sistem a d el piso e n cale alm acén d eb e te n e r en
c u e n ta las u b icacio n es críticas d e los m ateriales d e alm a ce n a ­
m iento so b re el piso. Para e ste p ro p ó sito d eb en utilizarse lí­
n e as d e influencia. {Fotografía cortesía d e P ortland C em ent
A ssociation).

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230 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.13

D ibuje la lín ea d e influencia p ara la fu erza corlante e n e l p an el C D de
la viga d e p is o q u e se m u e stra en la fig u ra 6 -2 la.

HM B C P F.

£

■10pies -G 10pies—(—10pies —)
10 pies

fig u ra 6-21 <«)

X VCD S O L U C IÓ N
0 0333
10 0 Tabulación de v a lo re s. La c a rg a u n ita ria se co lo ca e n ca d a ubica-
20 -0 3 3 3 d ó n d e las vigas de p iso y se calcula la fu erza c o rta n te e n el p a n e l C D .
30 0333 En la figura 6-2 Ib se m uestra u n a tabla con los resultados. L os detalles
40 0 cb los cálculos, c u a n d o x = ü y x = 20 pies, se d a n e n las figuras 6-21 c
(b) y 6 - 2 1</, r e s p e c tiv a m e n te . O b s e r v e c ó m o , e n c a d a c a s o , p r i m e r o s e
calculan las reacciones d e las vigas de p iso so b re la tra b e , lu eg o se d e ­
lenx =0 term in a la re acció n d el so p o rte e n e l p u n to F d e la tra b e ( G , no e s n e ­
cesario),y finalm ente s e considera un segm ento d e la trab e y se calcula
la f u e r z a c o r t a n t e d e p a n e l i n t e r n a V Cf>. C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s
v a lo re s d e V c d c u a n d o x 10 p ie s . 30 p ie s y 4 0 p ies.

í en x ■20 pies

fc T l 1

t1-10 pies- T Fy - 0333 IM (;= 0 ^ = 0 3 3 3
G,
-30p J

M

2A/G - 0 ; F , - 0 3 3 3 t *^-10 pies- -20 p in

V£D M| 1 F .-0 -.V cd- -0333
VCD
0; V 'o = 0.333 t

Fy - 0333

(c) « 0

Línea d e influencia. Si se g ra fic a n los valores ta b u la re s y s e co n ec­
tan lo s p u n to s co n segm entos d e lín ea recta, la línea d e influencia re ­
s u l ta n t e p a r a V CD e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 .2 le .

CD 0333

0333 10 *
-0333
40
Nnca de influencia para Vcn
(e)

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6 .4 LIN FA S O E INFLUENCIA PASA VIGAS D E PISO 231

EJEMPLO 6.14

D ibuje la línea d e influencia p a ra e l m om ento en el p u n to F de la
trabe d e piso q u e se m uestra en la figura 6-22a.

X Mr

00
2 0.429
4 0.857
8 2.571
10 2.429
12 2 2 8 6
16 0

(b)

Figura 6-22

SO L U C IÓ N

Tabulación d e v a lo re s. La carg a u n itaria se co lo ca e n r = 0 y e n
cada pu n to p o sterio r e n e l pan el. Los valores correspondientes p ara
M Fse calculan y s e m uestran e n la tabla, figura 6-22b . Los detalles de
b s cálculos p a ra i = 2 m s e m uestran e n la figura 6-22c. A l igual q u e
en e l ejem plo an terio r, prim ero e s n ecesario d eterm in ar las reacciones
de las vigas de p iso so b re la tra b e , seg u id a s p o r la d e te rm in a c ió n d e la
reacción d e la tra b e d e ap o y o G y (H v no es necesaria) y, fin alm en te.se
considera e l seg m en to G F d e la viga y se calcula el m o m en to in tern o
M f. C o m o ejercicio , d e te rm in e los o tro s v alo res d e M f listados e n la
figura 6-22b.

Línea d e in flu e n cia . A l g raficar los v a lo re s de la tab la se o b tie n e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a M F,f i g u r a 6 -2 2 d.

I en* - 2 m

U i A - 0 ; R , - 0.5 Mr

L -J

A - 05

'

| 8m [£ 6 m í

n * 2 M „ - 0 ; G , - 0.0714

M,

S A Í, - 0; M , - 0.429 |*

'V d 1“ ----- 6 m — f

G r ~ 0^)714

(C> (d>

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232 C a p it u l o 6 LIn e a s d e i n f l u e n c i a p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6 .5 Lineas de influencia para arm aduras

L o s e le m e n to s d e e s te p u e n te d e a rm a d u ra s se Las arm ad u ras se utilizan com o elem entos principales para el so p o rte de
d iseñ aro n u san d o las lincas d c in flu c n c ia.d c cargas en puentes. P or lo tan to , p a ra e l d iseñ o e s im portante p o d er co n s­
acu erd o c o n las especificaciones d e A A S IIT O . tru ir las líneas de influencia d e cad a uno d e sus elem entos. C om o se
m uestra en la figura 6-23, la carg a so b re la cubierta del p u en te se tra n s­
m ite a los largueros, q u e a su vez tran sm iten la carga a las vigas de p iso y
lu eg o a la s ju n ta s a lo larg o d e la c u e rd a in fe rio r d e la a rm a d u ra . D a d o
q u e los e le m e n to s d e la a rm a d u ra só lo se v en a fe c ta d o s p o r la c a rg a en
las ju n tas, e s posible o b te n e r los v alo res d e las o rd en ad as d e la línea de
influencia p a ra u n elem en to al c a rg a r c a d a ju n ta a lo larg o d e la c u b ierta
con una carga unitaria, p ara después usar e l m étodo d e los nudos o el
m éto d o de las secciones a fin d e calcular la fuerza e n el elem ento. Los
d a to s p u e d e n d isp o n e rse e n fo rm a tab u la r, lista n d o la “c a rg a u n ita ria en
la ju n ta ” c o n tra la “fu e rz a e n e l e le m e n to ” C o m o u n a c o n v e n c ió n , si la
fuerza en el elem en to es d e tensión se considera un v alo r p o sitivo ,y si es
d e com presión el valor s e rá negativo. La lín ea d e influencia p ara e l e le ­
m e n to se co n stru y e al grafícar los d a to s y d ib u ja r lín eas re c ta s e n tre los
puntos.

Los siguientes ejem plos ilustran e l m étodo d e construcción.

refuerzo cuerda
s u p e rio r
contra ladeo
refuerzo

la te ra l

refuerzo
del portal"

cubierta
cuerda inferior

la rg u e ro s

v ig a d e piso

Hgura 6-23

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6 . 5 LINEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS 233

EJEMPLO 6.15

D ib u je la lín ea d e in flu en cia p a ra la fu erza e n e l e le m e n to G B de la
a rm ad u ra d e p u e n te q u e s e m u e stra e n la fig u ra 6 -2 4a.

SO L U C IÓ N X Fgb
00
T abulación d e v a lo re s . A quí, a cada ju n ta sucesiva e n la cuerda in­ 6 0354
ferior se le agrega u n a carga unitaria y se calcula la fuerza en el e le ­ 12 -0 .7 0 7
m ento G B aplicando e l m éto d o d e las secciones, figura 6-246. Por 18 -0 3 5 4
ejem plo, a l colocar la carga unitaria en x = 6 m (ju n ta B ), p rim ero se 24 0
calcula la reacció n e n el s o p o rte E , figura 6 -2 4 a, y lu eg o se p a sa u n a
sección a través d e H G , G B , B C y aislando el segm ento d e la d erech a, (b)
se d eterm in a la fuerza e n G B , figura 6-24c. D e la m ism a m anera, se
d eterm in an los o tro s v alo res en listad o s en la tabla. S F , - 0 ; 0.25 F UB s e n 4 5 ° - 0

L ínea d e influencia. Al graficar los d ato s tab u lares y co nectar los Fg b = 0 3 5 4
puntos se o b tien e la línea d e influencia p a ra el elem en to G B , figura
6-24d. C o m o la lín ea d e in flu en cia se e x tie n d e p o r to d o e l claro d e la 035
arm adura, e l elem en to G B se conoce com o un elem ento prim ario.
Esto significa q u e G B está so m etid o a una fu erza, in d ep en d ien te­
m ente d e dónde esté cargada la cubierta del p u en te (carretera), ex ­
cepto. p o r su p u esto , e n x ■ 8 m. El p u n to d e fuerza c ero , x ■ 8 m . se
d eterm in a p o r triángulos sem ejan tes e n tre x = 6 m y x ■ 12 m, es
decir, (0.354 + 0.707)/(12 - 6 ) - 0 .3 5 4 /x \x ' - 2 m .d e m odo q u e x - 6
+ 2 = 8 m.

(c)

Fon

fz l± -0 3 5 4

0.707
lin c a d e in f lu e n c ia p a i a FOB

(d)

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234 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.16 D ibuje la línea de influencia p a ra la f u e r a e n e l elem en to C G d e la
a rm a d u ra d e p u e n te q u e s e m u e stra e n la fig u ra 6-25a.
I-*
(a) Fea

X Fac Fea Feo

00 I
60
12 1 (c)
18 0
24 0

(b )

Hgura 6-25

S O L U C IÓ N

T a b u la c ió n d e v a lo re s . E n la fig u ra 6-25¿> se m u e s tra u n a ta b la c o n
la p o sició n de la c a rg a u n ita ria e n las ju n ta s d e la c u e rd a in ferio r c o n ­
tra la fuerza e n e l elem en to C G . E stos valores se o b tien en fácilm ente
al aislar la ju n ta C .fig u ra 6-25c. A q u í se ve q u e C G es un elem en to de
fuerza cero a m enos q u e la carga unitaria s e aplique en la ju n ta C .en
cuyo caso F ^ - 1(T).

Línea de in flu e n cia . A l g raficar los d a to s ta b u la re s y c o n e c ta r los
puntos se o b tien e la línea de influencia p a ra e l elem en to C G com o se
m u e stra en la fig u ra 6 -2 5 d .E n p a rtic u la r, o b serv e q u e c u a n d o la carg a
u n ita r ia e s t á e n x = 9 m . la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G e s FCG = 0.5.
E sta situación req u iere q u e la carga unitaria se ubique sobre la cu ­
b ie rta d el p u e n te entre las ju n ta s. L a tra n sfe re n c ia de e s ta carg a d esd e
la c u b ie rta h asta la a rm a d u ra se m u e stra e n la fig u ra 6-25e. A p a rtir de
e s t o p u e d e v e rs e q u e , e f e c tiv a m e n te . F Cg = 0 .5 a l a n a li z a r e l e q u il i­
brio de la ju n ta C, figura 6-25/. D ado q u e la lín ea d e influencia p a ra
C G no se extiende a to d o el claro d e la arm adura, figura 6-25d.el e le ­
m en to C G x conoce co m o un elem ento secundario.

rc o

l i n c a ü c i n f l u e n c i a p a r a FCa Feo-0 5
(d)
le f
c a rg a d e la a rm a d u ra
(e) CD

www.FreeLibros.me 05
(0

6 . 5 LINEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS 235

EJEMPLO 6.17

P ara d e te rm in a r la fuerza m áxim a en cad a elem en to de la arm adura Wa-
rren que se m uestra en la fotografía, prim ero d eb en dibujarse las líneas
d e influencia de los elem entos. Si se considera una arm adura sim ilar a la de
la figura 6.26a, d e te rm in e la fu erza m á s g ran d e q u e p u e d e desarrollarse
e n el elem en to B C d e b id a a u n a fuei7.a m óvil d e 2 5 k y u n a carga móvil
d istrib u id a d e 0.6 le/pie. 1.a carg a se a p lic a e n la c u e rd a su p erio r.

-20 p ie s-j-20 pics-j-2 0 p ie s j- 2 0 p ie s-| X Fb c
00
(a) 20 1
40 0.6 6 7
60 0333
80 0

(b )

figura 6-26

SO L U C IÓ N

Tabulación d e va lo re s. E n la fig u ra 6-26b se m u e stra u n a tab la d e la
posición .t d e la carga unitaria e n las juntas a lo largo d e la cuerda supe­
rior co n tra la fu erza e n el elem en to B C . P ara los cálculos p u ed e usarse
el m étodo de las secciones. P o r ejem plo, cuando la carga unitaria e stá en
la ju n ta / (x = 20 p ies), fig u ra 6-26a, p rim e ro s e d e te rm in a la reacción
E y (Ey = 0.25). D espués, la a rm ad u ra s e secciona a través d e B C , IC y
/ / / y se aísla el se g m e n to d e la d erech a, fig u ra 6-26c. F/k- se o b tie n e al
su m ar los m om entos resp ecto al p u n to / , p a ra elim in ar F /// y F/c. Los
d em ás valores de la fig u ra 6-26b se determ in an d e igual m anera.

Línea de in flu e n cia . A l g raficar los v a lo re s ta b u la re s se o b tie n e la
línea d e influencia, figura 6-26d. P o r inspección. B C es un elem en to
prim ario. ¿Por q u é?

F u e rza v iv a c o n c e n tra d a . 1.a m a y o r fu e rz a e n e l e le m e n to B C Fa t - 1.00 (T )

o cu rre c u a n d o la fu erea m óvil d e 2 5 k se co lo ca e n x = 20 p ie s P or lo (c)

tanto,

F r c = (L 0 0 )(2 5 ) = 25.0 k F*

C arga v iv a d is trib u id a . La carga viva u n ifo rm e d eb e colocarse 20 80
sobre to d a la cubierta d e la arm ad u ra p a ra c re a r la m ayor fuerza de linca d e influencia p a ra Fbc
tensión B C * Entonces,
<d)
F bc = [J(8 0 )(1 .0 0 )]0 .6 = 24.0 k

Fuerza m áxim a to ta l. 25.0 k + 24.0 k = 49.0 k Resp.

( F B c)m ix

•L a m ayor fuerza d e tensión en e l e le m en to G B del ejem plo 6 1 5 se c re a c u an d o la
carga distrib u id a actú a sobre la cubierta de la arm adura desde x = 0 h a sta x e 8 m , fi­
gura 6 2 4 i.

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236 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

PROBLEMAS

6 -2 6 . U n a carg a viva uniform e de 1.8 kN/m y u n a sola 6-29. D ibuje la linea de influencia para (a) la fuerza co r­
tuerza viva concentrada d e 4 kN se colocan sobre las vigas tante en el p an el B C de la trabe, y (b) el m om ento en D.
de piso. D eterm ine (a) la fuerza cortante positiva máxima
en el panel B C de la trabe, y (b) el m om ento máximo en el
punto G de la trabe.

A H IG C D i£

L - Ut\ cj —m_——li\OC—n y_itUC.3min
i0 2 5 m 0 2 ! m

Proh. 6-26

6-27. U na carga viva uniform e de 2 8 kN/m y u n a sola 6-30. U n carga viva uniform e de 250 Ib/pie y una sola
tuerza viva concentrada de 20 kN se colocan sobre las vigas fuerza viva concentrada de 1.5 k d eb e n colocarse so b re las
de piso. Si las vigas tam bién soportan una carga m uerta uni­ « g a s de piso. D eterm ine (a) la fuerza cortante positiva m á­
form e d e 700 N /m , d eterm in e (a) la fuerza c o rta n te positiva xima en e l panel AB, y (b) e l m om ento máximo e n D. S u­
máxima en el panel B C de la trabe y (b) el m om ento posi­ ponga que en los soportes sólo se producen reacciones
tivo m áxim o en el punto G de la trabe. verticales.

G d 6 2XF
-15 m- -1.5 m-
1—15 m---- -15 m-

0.75 m 0.75 m

Prob.6-27

*6-28. Una carga viva uniform e d e 2 k/pic y una sola 6-31. U na carga viva uniform e d e 0.6 k/pic y una sola
fuerza viva concentrada de 6 k se colocan sobre las vigas de tuerza viva concentrada d e 5 k deben colocarse sobre las
piso. Si las vigas tam bién soportan una carga m uerta uni­ « g a s superiores. D e te rm in e (a ) la fu erza c o rta n te positiva
form e d e 350 Ib/pie, determ ine (a) la fuerza cortante posi­ máxima en el panel B C de la trabe, y (b ) el m om ento posi­
tiva m áxim a d e l p an el C D de la trabe, y (b ) el m om ento tivo m áxim o e n C.Suponga que e l soporte en B es un rodi­
negativo máximo en el p u n to D de la trabe. Suponga q u e el llo y q u e D está articulado.
soporte en C es un rodillo y que E está articulado.

P roh. 6-28 Proh. 6-31

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6 . 5 LhJEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS 237

•6 -3 2 . D ibuje la línea d e influencia p ara e l m om ento e n el 6 -3 5 . D ib u je la línea d e influencia p ara la fu e rz a co rta n te
punto F de la trabe. D eterm ine el m om ento vivo positivo en el panel CD de la trabe. D eterm ine la fuerza cortante ne­
máximo e n e l punto F de la trabe, si una sola fuerza viva gativa m áxim a en e l panel C D .debida a una carga viva uni­
concentrada d e 8 kN se m ueve a través d e las vigas d e piso forme d e 500 lb/pic q u e actúa sobre las vigas superiores.
superiores Suponga q u e los soportes d e todos los elem en­
tos sólo pueden ejercer fuerzas hacia arriba o hacia abajo
sobre los elementos.

P ro h . 6 -3 2 P ro h . 6 -3 5

6-33. Una carga viva uniform e d e 4 k/pie y u n a sola fuerza •6-36. U na carga viva uniform e d e 6 kN /m y una sola
viva concentrada d e 20 k se colocan so b re las vigas d e piso. fuerza viva concentrada d e 15 k N se colocan so b re las vigas
Si las vigas tam bién soportan una carga m uerta uniform e de d e piso. Si las vigas tam bién soportan una carga m uerta uni- 6
700 Ib/pie, determ ine (a) la fuerza cortante negativa má­ forme de 600 N /m ,determ ine (a) la fuerza cortante positiva
xim a en el p an el D E <fc la trab e, y (b ) el m om ento negativo máxima en el panel CD de la trabe, y (b) el m om ento posi­
m áxim o e n e l p u n to C <fe la trabe. tivo máximo en e l punto D de la trabe.

— - ._ f .....f —

^ - £ b— c v - = 3?

--------4 m --------- 1-------- 4 m --------- -------- 4 m ------- -------4 m ---------1

Proh. 6-33 Proh. 6-36

6-34. U na carga viva uniforme d e 0.2 k/pie y una sola fuerza 6 -3 7 . U na carga viva uniform e d e 1.75 kN /m y un a sola
viva co n centrada de 4 k se colocan sobre las vigas d e piso. D e­ fiierza viva concentrada d e 8 kN se colocan sobre las vigas
term ine (a) la fuerza co rta n te positiva máxim a e n el p an el DF. d e piso. Si las vigas tam bién soportan una carga m uerta uni­
tfe la tra b e ,y (b ) el m om ento positivo m áxim o e n H. forme de 250 N /m ,determ ine (a) la fuerza cortante negativa
máxima e n el panel B C de la trabe, y (b) el m om ento posi­
tivo m áxim o e n B.

j----------------- 3 m •{• 1.5 m —- -—1-5 m —|

1% “ - - tr ci 0

-

Proh. 6 -3 4 Proh. 6 -3 7

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238 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6 -3 8 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el 6-45. D ibuje la línea d e influencia para la fuerza e n (a) el
elem ento K J y (b) el elem ento CJ. elem ento F .tl y (b) el elem ento JF.

6-39. D ibuje la línea d e influencia para la f u e r a e n (a) el 6-46. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en el ele­
e lem en to y /;(b ) e l e le m e n to IF , y (c ) e l e le m e n to EF. m ento JI.

6-47. D ibuje la línea d e influencia para la fuerza e n el ele­
m ento A L .

L KJ

|*6 pies—1—6P*es—) 6 pies—|—6 p i e s - ^ 6 p ie s -|-6 pies-] Prob*. 6-45/6-46/6-47
Probs. 6-38/6-39

*6-40. D ibuje la línea d e influencia p ara la fuerza en el *6-48. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
elem ento KJ. elem ento B C de la arm adura W arren. Indique los valores
numéricos d e los picos.Todos los elem entos tienen la misma
6-41. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en e l ele­ longitud.
m ento JE.

[-8 pies—|—8 pies—J—Hpies— 8 pies- {-8 pies—[-8 p i c s - | Prob. 6-48
Probs. 6-40/6-41

6-42. D ibuje la línea d e influencia para la fuerza en el ele­ 6-49. D ibuje la línea d e influencia para la fuerza e n el ele­
m ento CD. m ento B F de la arm adura W arren. Indique los valores
num éricos d e los pico s.T o d o s lo s e le m e n to s tie n en la misma
6-43. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en e l ele­ longitud.
m ento JK.
6-50. D ibuje la línea d e influencia para la fuerza e n el ele­
*6-44. Dibuje la línea d e influencia p ara la fuerza en el m ento F E de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e lo s valores
elem ento D K. numéricos d e los picos.Todos los elem entos tienen la misma
longitud.

Probs. 6-42/6-43/6-44 P ro b s . 6-49/6-50

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6 . 5 LhJEAS DE INFLUENCIA PARA ARMADURAS 239

6-51. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en el ele­ •6 -5 6 . D ibuje la línea d e influencia p ara la fuerza e n el
mento CL. elem ento G D . luego determ ine la fuerza m áxim a (en ten ­
sión o com presión) que puede desarrollarse en este ele­
*6-52. Dibuje la línea de influencia para la fuerza e n el mento debido a una carga viva uniforme d e 3 kN /m que
elem ento D L. actúa sobre la cubierta del puente a lo largo de la cuerda in­
ferior de la arm adura.
6-53. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en e l ele­
mento CD.

6 ® 9 pies - 54 pies------- P ro h . 6 -5 6
Probs. 6-51/6-52/6-53

6-54. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en el ele 6-57. Dibuje la linca d e influencia para la fuerza en el ele­ 6
mentó CD. m ento C D y después d eterm ine la fuerza máxima (en tensión
o com presión) que puede desarrollarse en este elem ento
debido a la carga viva uniforme d e 800 Ib/pie, la cual actúa a
lo largo d e la cuerd a inferior d e la arm ad u ra.

P rob . 6 -54 Prob. 6-57

6-55. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en el ele­ 6-58. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en el ele­
m ento KJ. m ento C F y después efetermine la fuerza m áxima (e n tensión
o com presión) que puede desarrollarse en este elem ento
d eb id o a la c arg a viva uniform e d e 800 Ib/pie, q u e se tra n s­
mite a la arm adura lo largo de su cuerda inferior.

Prob. 6-58

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240 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6 .6 Influe nda m áxim a en un p u n to
d e b id o a una serie d e cargas
concentradas

U na vez q u e se h a esta b le c id o la lín ea d e influencia d e u n a fu n ció n p a ra
un punto d e una estructura, el efecto m áxim o causado p o r una fuerza
viva c o n c e n tra d a se d e te rm in a a l m u ltip licar la o rd e n a d a m áx im a d e la
línea de influencia p o r la m agnitud d e la fuerza. S in em b arg o , e n algunos
casos se d eb en colocar varias fuerzas concen trad as sobre la estructura;
p o r ejem plo, las cargas d e las ru ed as d e un cam ión o u n tren. P ara d e te r­
m inar el efecto m áxim o en este caso pu ed e usarse un procedim iento de
prueba y erro r, o b ien u n m étodo basado en e l cam bio en la función q u e
se p resen te co n e l m ovim iento d e la carga. A continuación se d a rá una
ex p licació n d e ca d a u n o d e e sto s m éto d o s, específica m e n te ap licad o s a la
fuerza co rtan te y e l m om ento.

Cuando el Iren pasa sobic esle puente de Fuerza co rta n te . C o n sid ere la viga sim p lem en te ap o y ad a c o n la
vigas, la locom otora y sus vagones ejercen
reacciones verticales sobre la trabe. Para el línea de influencia asociada p a ra la fu erza co rta n te e n e l p u n to C d e la fi­
diseño del puente, deben considerarse estas g u ra 6 -27a . I ja fu e r z a co rla n te p o s itiv a m á x im a e n e l p u n to C e s tá d e te r ­
reacciones junto con la carga m uerta del m inada p o r la serie de cargas concentrada (ruedas) q u e se m ueven de
puente. d e re c h a a izq u ierd a so b re la viga. 1.a c a rg a crítica se p ro d u c irá c u a n d o
u n a d e las c a rg a s s e c o lo q u e ju s to a la d e re c h a cfel p u n to C , e l c u a l es
6 coincidcnte co n el p ico positivo d e la línea d e influencia. E ntonces, cada
un o de los tres casos posibles p u e d e investigarse m ediante p ru eb a y
error, figura 6-27b. Se tiene

C a so 1: (V V ), = 1(0.75) + 4 (0 .6 2 5 ) + 4 (0 .5 ) = 5.25 k
C a s o 2 : ( V c ) 2 = 1 ( - 0 .1 2 5 ) -t 4 (0 .7 5 ) + 4 (0 .6 2 5 ) = 5.375 k
C a so 3: ( V c )s = *(0) + 4 (- 0 .1 2 5 ) + 4(0.75) = 2.5 k

E n el caso 2 , c o n la fuerza d e 1 k localizada a 5* pies del so p o rte iz­
q u ierdo, s e o b tie n e el v a lo r m ás g ran d e d e V c y, p o r lo tan to , rep re se n ta
la c a rg a crítica. E n realid ad , la in v estig ació n d e l caso 3 n o es n ecesaria,
puesto q u e p o r inspección p u ed e verse q u e un arreg lo de cargas com o
é s t e g e n e r a r ía u n v a lo r d e ( V c h , q u e s e r í a m e n o r q u e ( Vc ) 2.

lk 4k 4 k

neE =? h+H

10 pies- 1--------------- 30 pies-

0.75

10
025
línea de influencia para Vc

(a)
Hgura 6-27

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6 .6 In f l u e n c ia m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a serie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 241

|— 10 p ie s —|--------------------3 0 pi< i ¿ il k 4 k 4 k

I5 I 5 I
pies pies

lk 4 k 4k Caso I

i — Í t— Í l

M O pies-4^

V c 0.75

&

10 15 20
-0 2 5

lk 4k 4 k

Caso 2

-0 2 5

lk 4 k 4k Caso 3

Í>— Í)

0.75
’c

5
10

-0 .1 2 5 .
-0 2 5

(b)
F ig u ra 6 -2 7

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242 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e d e t e r m i n a d a s

C uando m uchas carg as concentradas actúan sobre e l claro, com o e n el
c a s o d e la c a r g a d e E -7 2 d e la fig u ra 1- 11, lo s c á lc u lo s p o r p r u e b a y e r r o r
utilizados an terio rm en te p u ed en resu ltar tediosos. E n vez d e esto , la p o ­
sición crítica de las cargas puede d eterm in arse d e u n a m anera m ás d i­
recta s i s e e n c u e n tra e l c a m b io e n la fu erza c o rta n te , A V , q u e se p ro d u c e
c u a n d o las cargas se m ueven d el caso 1 al caso 2;lu e g o d el caso 2 al caso 3
y a sí su cesiv am en te. S iem p re q u e c a d a A V calcu lad o s e a p o sitivo , la
nueva posición producirá una fuerza co rtan te m ás grande en e l p u n to C
de la viga q u e la posición an terio r. Se investiga cada m ovim iento hasta
q u e se presente un cam bio negativo en la fuerza cortante. C uando esto
o c u rre , la p o sició n a n te rio r d e las carg as p ro p o rc io n a rá e l v a lo r crítico.
E l c a m b io AV' e n la fu e r z a c o r ta n te p a r a u n a c a r g a P q u e s e m u e v e d e s d e
la p o sició n x i h asta x i so b re u n a viga p u e d e d e te rm in a rse a l m u ltip licar
P p o r e l c a m b io e n la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia , e s d e c ir (><2 -
y , ) . S i la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s .e n t o n c e s O 2 —>'») = s ( x 2
- x }) y. p o r lo ta n to

AV' = P s ( x 2 ~ x , ) (6- 1)
L ínea inclinada

Si la carg a se m ueve m ás allá d e un p u n to e n el q u e hay una d isco n ti­
n u id a d o “s a lto " en la lín e a d e in flu en cia, c o m o e l p u n to C d e la fig u ra
6 -27a,entonces el cam bio en la fuerza co rtan te no e s m ás q u e

(6- 2)

E l uso de las ecuaciones an terio res s e ilu stra rá co n referen cia a la viga,
la c a r g a y la lín e a d e in flu e n c ia p a r a V 'c .q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -28 a .
O b serv e q u e la m agnitud d e la p en d ien te d e la lín ea d e influencia e s s =
0.75/(40 - 10) = 0.25/10 = 0.025, y el salto e n C tien e u n a m agnitud de
0 .7 5 + 0.25 = 1. C o n s id e r e q u e la s c a rg a s d e l c a s o 1 s e m u e v e n 5 p ie s h a sta
el caso 2,fig u ra 6-286. C u an d o esto ocurre, la carga d e 1 k salta hacia abajo
( 1) y to d a s la s c a rg a s s e m u e v e n h a c ia a rr ib a p o r la p e n d ie n t e d e la
lín ea de influencia. E sto causa un cam bio d e la fuerza cortante,

A V 'j_2 = 1 ( - 1 ) + [1 + 4 + 4J(0 .0 2 5 )(5 ) = + 0 1 2 5 k

C o m o AV'i_ 2 es p o s itiv o ,e l c a so 2 g e n e ra r á un v a lo r m ás g ra n d e p a r a V c
q u e e l c a so 1. (C o m p a re las resp u estas p a r a ( V ¿ )\ y ( V ¿ h calculadas p r e ­
v ia m e n te , d o n d e d e h e c h o ( V c h = ( ^ c ) i + 0 1 2 5 .) A l in v e s tig a r AV' 2_ 3
q u e se p roduce cu an d o e l caso 2 se m ueve hasta el caso 3, figura 6-286,
debe ten erse e n cu en ta e l salto hacia ab ajo (negativo) de la carga d e 4 k
y e l m ov im ien to horizo n tal d e 5 p ies d e to d as las carg as hacia arrib a p o r
la p e n d ie n te d e la lín ea de in flu en cia. Se tie n e

AV'2-3 = 4 ( - l ) + (1 + 4 + 4 )(0 .0 2 5 )(5 ) = - 2 .8 7 5 k

C o m o AV'2 -3 e s n e g a tiv o ,e l c a s o 2 e s la p o s ic ió n c r ític a d e la c a r g a ,c o m o
se determ inó previam ente.

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6 .6 In f l u e n c ia m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a serie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 243

lk 4 k 4 k

Á r r -4—j l

hr+rH
pies pies

línea d e influencia para Vc

(a)

lk 4k 4 k

-0 .2 5 Caso 1

il k 4 k 4 k Caso 2
40
5 5 15
p .e s p í o p*es Caso 3

vc u J 0.625

5 10
-0 .1 2 5 .

lk 4k 4 k

-0 .2 5

(b)
figura 6-28

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244 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

M o m e n to . L os m étodos anteriores tam bién p u ed en utilizarse p ara d e ­

term inar la posición crítica d e u n a serie de fuerzas concentradas p ara
que creen e l m ayor m om ento in tern o e n u n p u n to específico d e una es­
tructura. Por supuesto, p rim ero es necesario d ib u jar la lín ea d e influencia
para el m om ento e n el p u n to y d eterm in ar las p en d ien tes s de sus seg­
m entos d e línea. Para un m ovim iento horizontal (x2 - ^ i) de u n a fuerza
co n cen trad a P ,e 1cam bio e n e l m o m en to A W .es eq u iv alen te a la m agni­
tu d d e la fu erza p o r e l cam b io e n la o rd e n a d a d e la lín e a d e influencia
bajo la carga, es decir.

Las trab es d e este p u e n te d eb en resistir e l m o­ A M = P s{ x 2 ~ x x)
m en to m áx im o c au sad o p o r e l p e so d e este lin e a inclinada
avión a p ro p u lsió n m ie n tra s p a sa s o b re él.

C ó m o ejem p lo , co n sid ere la viga, la c a rg a y la lín e a de influencia p a ra
el m o m e n to en e l p u n to C d e la fig u ra 6 -2 9 a. Si c a d a u n a de las tre s fu e r­
zas concentradas se coloca sobre la viga, en form a coincidente con el
pico d e la línea d e influencia, se o b te n d rá la m ayor influencia d e cada
fu erza. E n la fig u ra 6-29b se m u e stra n lo s tr e s caso s d e carg a. C u a n d o las
cargas del caso 1 se m ueven 4 pies a la izquierda hasta e l caso 2 . se o b ­
6 serv a q u e la c a rg a d e 2 k á s m in u y e A W ,_2,y a q u e la p en d ien te (7.5/10)

e s descendenteJig u ra 6-29a . A sim ism o, las fuerzas de 4 k y 3 k ocasionan
u n a u m e n to d e A W |_ 2. p u e s t o q u e l a p e n d ie n te f7.5 /(4 0 - 10)J e s a s c e n ­
d ente.Se tiene

A * .-» - - * ( l £ ) w + (4 + 3) ( ió Zn o ) (4) = , 0k pie

C om o A W |_2 es po sitiv o .es necesario investigar aún m ás e l m ovim iento
de las c a rg a s d e 6 p ie s d e l caso 2 al caso 3.

“ » = - ( 2 + 4> © < 6> + i w h ¡ ) w = - 2 2 -5 k - p ie

A q u í e l cam bio e s negativo, p o r lo q u e e l m ayor m om ento e n C ocurrirá
cuando la viga e sté carg ad a co m o s e m u estra e n el caso 2. figura 6-29c.
Por lo tan to , e l m om ento m áxim o en C es

(M c L i* = 2 (4 .5 ) + 4 (7 .5 ) + 3 (6 .0 ) = 57.0 k - pie

L os siguientes ejem plos ilustran aú n más este m étodo.

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6 .6 In f l u e n c ia m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a serie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 245

2k 4k 3k

'V i o pies- 30 pies jk Á -

“ *f4> H

« I pies pies

In e a de influencia para M c
(a)

2 k 4k 3k

Caso 2

(c)

Figura 6-29

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246 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.18

D eterm ine la fuerza co rtan te positiva m áxim a cread a en el p u n to B
d e la viga q u e se m u e stra e n la fig u ra 6 -3 0 a ,d e b id o a las cargas d e las
ruedas d el cam ión en m ovim iento.

15 k 10 k

-10 p ies- B -| |-,
-10 p ie s

(a)

fig u ra 6 -3 0

S O L U C IÓ N

La línea d e influencia p a ra la fuerea co rta n te e n B se m uestra e n la fi­
gura 6-306.

0.5

10 20

-0 3

In e a de influencia p a ra V„
(b )

M o v im ie n to d e 3 pies d e la c a rg a d e 4 k. Im ag in e q u e la c a rg a de
4 k actú a ju s to a la d erech a d e l p u n to f l.d e m an era q u e se o b tien e
su influencia positiva m áxim a. D ad o que e l seg m en to d e viga B C tiene
10 p ie s d e largo, la c a rg a d e 10 k no está to d av ía so b re la viga. C uan d o
el c a m ió n se m u ev e 3 pies a la izq u ierd a, la c a rg a de 4 k salta 1 unidad
hacia ahajo so b re la línea d e influencia y las carg as d e 4 k, 9 k y 15 k
c r e a n un in c re m e n to p o sitiv o e n AVfl. p u e sto q u e la p e n d ie n te e s a s ­
c e n d e n te hacia la izq u ierd a. A unque la c a rg a de 10 k tam b ién se m ueve
hacia adelante 3 pies, aú n n o está so b re la viga. Por lo tan to .

AV'fl = 4 ( —1) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ j ) 3 = + 0 .2 k

M o v im ie n to d e 6 p ie s d e la c a rg a d e 9 k . C u a n d o la c a rg a d e 9 k
ac tú a ju sto a la d e re c h a d e B ,y d esp u é s e l cam ió n se m u ev e 6 pies a la
izquierda, se tiene

= 9( 1) + (4 + 9 + 1 5 ) ( ^ ) ( 6 ) + i o ( 5 0 4 ) = +1.4 k

O bserve en el cálculo q u e la carga de 10 k sólo se m ueve 4 pies sobre
la viga.

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6 .6 In f l u e n c ia m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a serie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 247

M o v im ie n to d e 6 p ie s d e la c a rg a d e 1 5 k . Si la carga d e 15 k se
coloca ju sto a la d erech a d e R y después e l cam ión se m ueve 6 pies a
la iz q u ie r d a , la c a rg a d e 4 k s ó l o s e m u e v e u n p ie h a s ta q u e e s tá fu e ra
d e la viga, y ta m b ié n la c a rg a d e 9 k se m ueve só lo 4 p ie s h a sta q u e
q u ed a fu e ra d e la viga. Por lo tanto.

AV„ = 1 5(-1) + + 9 g ) ( 4 ) + (15 + 1 0 ) ( ^ ) ( 6 )
= -5 .5 k

C o m o A VB ah o ra e s neg ativ o , la p o sició n c o rre c ta d e las c a rg a s se
produce cu an d o la carg a d e 15 k e s tá ju sto a la d e re c h a d el p u n to R ,fi­
gura 6-30c. E n consecuencia,

( V 'flW = 4 (-0 .0 5 ) + 9 ( - 0 .2 ) + 15(0.5) + 10(0.2)

= 7.5 k Resp.

En la práctica, tam b ién d eb e considerarse e l m ovim iento d el cam ión
de izquierda a d ere c h a y luego elegir el valor m áxim o e n tre estas d o s
situaciones

14 10 ().?
- c L5 16 20
^ ---- J

-°°5 .0 2 -

(c)

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248 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.19

D eterm ine e l m om ento positivo m áxim o cread o en el p u n to B d e la
viga q u e se m u e stra en la fig u ra 6 -3 la , d e b id o a las cargas d e las ru e ­
d a s d e la grúa.

4 kN 8 kN

I 3 kN

u *Á 3m u
'A
( - 2 m - ----- 3 m — |

4 kN 8 ljN 3 kN t 20
4,
¿ ' m - ¿ ■ '" i ,

r l t1 - 2 m -|— 3 m — + -2 m -j ínea de influencia para MH
(b)
(a)
Figura 6-31

S O L U C IÓ N
L a línea d e influencia p a ra e l m o m e n to e n B s e m u e stra e n la fig u ra 6-31 b.

M o v im ie n to d e 2 m de la carga d e 3 k N . Si se su p o n e q u e la
carga d e 3 kN actú a en B y luego se m ueve 2 m a la d erech a, figura
6-31/>,el cam b io e n e l m o m en to es

A M „ = - 3 ( i f S ) ( 2 ) + s ( ^ ) ( 2 ) - 7.20 kN m

¿P o r q u é n o s e incluye la c arg a d e 4 kN e n los cálculos?

M o v im ie n to de 3 m d e la carga d e 8 k N . Si se su p o n e q u e la
carga d e 8 kN actúa en B y luego s e m ueve 3 m h a d a la d erech a, el
cam bio e n el m om ento es

AMs = _ 3 ( l | 0 ) ( 3 ) _ 8( l f 0 ) o ) + 4 ( l | 0 ) ( 2 ,

= -8 .4 0 k N -m

O b serv e a q u í q u e la c a rg a d e 4 k N e s ta b a in icialm en te 1 m fu e ra d e la
viga, p o r lo q u e se m ueve s ó lo 2 m so b re la viga.

C o m o n o h a y u n c a m b io d e sig n o e n DASg.la p o s id ó n co n-ecta d e
las cargas p ara e l m om ento positivo m áxim o e n B se p roduce cu an d o
la fu erza d e 8 k N e s tá e n B ,fig u ra 6-31 b. ft» r lo ta n to .

{ M b ) mi* = 8 ( 1.20) + 3 ( 0 .4 ) = 10.8 k N • m Resp.

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6 .6 In f l u e n c ia m á x im a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s 249

D eterm ine la fuerza m áxim a d e com presión desarro llad a en e l e le ­
m ento B G d e la arm ad u ra lateral q u e se m uestra e n la figura 6-32a,
d eb id o a las cargas d e las ruedas del lado d erech o del autom óvil y el
rem olque. S u p o n g a q u e las carg as se ap lic a n d ire c ta m e n te a la a rm a ­
dura y q u e se m ueven sólo a la derecha.

(■)
Figura 6-32

SO L U C IÓ N
La línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l elem en to B G se m uestra en
b figura 6-32b. A quí se usará un enfo q u e d e p ru eb a y e rro r para o b te ­
ner la solución. C om o se busca la m áxim a fuerza negativa (com pre­
sión) e n B G ,s e com ienza d e la siguiente m anera:

C arga d e 1.5 k N en e l p u n to C . E n este caso,

= -0.729 kN

C arga d e 4 k N en e l p u n to C. I\>r inspección, é ste p arece u n caso
más razonable q u e el anterior.

F bg = 4 k N ( - 0 . 6 2 5 ) + 1.5 k N ( - | ^ P ) ( 4 m ) + 2 k N ( 0 3 1 2 5 )
= -2 .5 0 kN

C arga d e 2 k N en e l p u n to C E n e s te caso to d a s las carg as
crearán una fuerza de com presión en BC.

F bg = 2 k N (-0 .6 2 5 ) + 4 kN Resp.
= -2 .6 6 kN

C om o este últim o caso resulta en la resp u esta m ás grande, la carga crí­
tica se p ro d u c e c u a n d o la c a rg a d e 2 k N e s tá e n C.

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250 C a p it u l o 6 LIn e a s d e i n f l u e n c i a p a p a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

i 6 .7 Fuerza co rta n te y m o m e n to m áxim o
a b s o lu to
vg ¿
„ E n la sección 6-6 se d esarro llaro n lo s m éto d o s p a ra calcu lar la fuerza
c o r t a n te y e l m o m e n to m á x im o s e n u n p u m o e s p e c ífic o cfc u n a v ig a d e ­
rig u ra 6 -3 4 bido a u n a serie d e cargas m óviles concentradas. U n p ro b lem a m ás g e n e ­
ral involucra la d eterm inación tan to d e la ubicación d e l p u n to en la viga
( i — J> J) ii co m o d e la p o sició n d e la carga en la viga de m o d o q u e s e o b te n g a la
fuerza cortante y e l m om ento m áxim o absolutos resultantes d e las c ar­
« g u ra 6-35 A». gas. Si la viga está en v o lad izo o sim p lem en te ap o y a d a , e s te p ro b le m a
puede resolverse con facilidad.

Fuerza co rta n te . P ara u n a viga en v o la d izo la fu erza c o rta n te m á­

xim a ab so lu ta se pro d u cirá e n u n p u n to situ ad o ju sto enseguida d el so ­
p o rte fijo. L a fu e rz a c o rta n te m áxim a se e n c u e n tra p o r e l m éto d o d e las
secciones, con las cargas ubicadas en cu alq u ier lu g a r d e l claro , figura
6-33.

P ara la s vigas sim p lem en te a p o ya d a s la fu erza c o rtan te m áx im a a b so ­
lu ta s e p ro d u c e ju s to en se g u id a d e u n o d e los so p o rtes. P or ejem p lo , s i las
cargas son equivalentes,se colocan d e form a q u e la p rim era e n la secuen-
cia se u b iq u e ce rc a d e l s o p o rte , co m o e n la fig u ra 6-34.

M om ento. El m om ento m áxim o ab so lu to d e u n a viga en voladizo se

produce en e l m ism o p u n to d o n d e ocurre la fuerza co rtan te m áxim a ab ­
soluta. au n q u e e n e ste caso las cargas concen trad as d eb en ubicarse e n el
o tro extrem o d e la viga,co m o e n la figura 6-35.

P a ra u n a viga sim p le m e n te a p o y a d a , e n g e n e ra l, la p o sició n c rític a d e
las cargas y el m om ento m áxim o absoluto asociado no pueden determ i-
n arse p o r inspección. Sin e m b a rg o .e s p o sib le d e te rm in a r la p o sició n de
m an era analítica. P a ra fines d e este análisis,co n sid ere u n a viga som etida
a la s f u e r z a s F ,. F 2. F , q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 6 a . D a d o q u e e l d i a ­
gram a d e m om ento p ara una serie d e fuerzas concentradas consta de
segm entos d e recta q u e tien en picos e n cad a fuerza,el m om ento m áxim o
absoluto ocurrirá bajo una de las fu e iz a s Suponga que este m om ento
m á x im o s e p r o d u c e b a jo F 2. L a p o s ic ió n d e la s c a r g a s F ,, F 2. F 3 s o b r e la
viga e s ta rá esp ecificad a p o r la d istan cia x, m ed id a d e sd e F2 h asta la línea
central de la viga, tal com o se m uestra. P ara d eterm in ar un v alo r especí­
fico d e x ,p rim e ro se o b tien e la fuerza resu ltan te d e l sistem a. F * ,y su dis-

F*

F, F2

U =1' rm :M,
L
2 (b)

A, »*
(a)

Figura 6-36

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6 . 7 F lE R Z A CONTANTE Y M O M EN TO M Á X IM O ABSOLUTO 251

ta n c ia x ' m e d id a d e s d e F 2. U n a v ez h e c h o e s lo , lo s m o m e n to s s e s u m a n
respecto a B , d e d o n d e s e o b tie n e la reacció n a la izquierda d e la viga,
A v, e s d e c ir ,

S M fí = 0; A y ° T ( F *) | - ( T -

S i la v ig a se s e c c io n a ju s to a la iz q u ie rd a d e F 2, e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re r e s u lta n te e s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 6-36¿>. P o r lo ta n to , e l
m o m en to M 2 bajo F 2es

S M = 0; Mi - F td El m o m e n to m áxim o ab so lu to e n este
p u e n te d e tra b e s e s e l re s u lta d o d e las c a r­
A{ \ ~ x) •■ g a s m ó v iles c o n c e n tra d a s c a u sa d a s p o r las
m edas d e los vagones d el tren. L os vagones
FrL F & F„x 2 . F „ xx' .. , d eb en e sta r e n la posición crítica y debe
Mi id e n tific a rs e la u b ic a c ió n d e l p u n t o e n la
viga d o n d e s e p ro d u c e e l m o m e n to m áxim o
a b so lu to .

“1 -----ñ / + — i

P a ra q u e Af2 s e a m á x im o s e re q u ie re

d M i = -2 F rx x F rx' _ Q
dx L L

o bien.

x'
X~2

ft>r lo ta n to , se p u e d e co n c lu ir q u e el m o m en to m á xim o absoluto en
una viga sim p lem en te a p o ya d a se p ro d u c e b a jo u n a d e Lis fu e r z a s co n cen ­
tradas, p o r lo q u e esta fu e r za se co lo ca sobre la viga d e m o d o q u e ella y la
fu e rza resultante d el sistem a sean equidistantes desde la línea central de
la viga. P uesto q u e hay u n a se rie d e cargas so b re el cla ro (p o r ejem p lo ,
F |, F 2, F , e n la fig u ra 6 -3 6 a ), e s t e p r in c ip io te n d r á q u e a p lic a r s e a c a d a
carga d e la serie y d e b e rá calcularse en cada m om ento m áxim o co rres­
pondiente. Por com paración, e l m om ento más grande será e l m om ento
m áxim o absoluto. Sin em bargo, com o regla g en eral e l m om ento m áxim o
absoluto suele o cu rrir bajo la fuerza m ás g ran d e q u e se ubica m ás cerca
de la fuerza resultante del sistem a.

E nvolvente de los valores m áxim os de la línea de in ­
fluencia. Las reglas o fórm ulas p a ra d e te rm in a r la fu e rz a c o rta n te o

el m o m e n to m áxim os a b so lu to s s o n d ifíciles de e sta b le c e r p a ra las vigas
q u e se apoyan d e u n a m anera distinta al voladizo o a l apoyo sim ple.que
ya se analizaron aquí. N o o b stan te, una form a elem ental d e p ro ced er
p ara la so lu ció n de e s te p ro b le m a re q u ie re la co n stru cció n d e líneas de
influencia p a ra la fu erza c o rta n te o e l m o m en to en los p u n to s seleccio n a­
dos a lo larg o d e to d a la viga y e l cálculo p o ste rio r d e la fuerza c o rta n te o
e l m o m en to m áxim os e n la viga p ara cada p u n to , em p lean d o p a ra ello
los m éto d o s d e la sección 6-6. A l graficar e sto s valores se o b tie n e u n a
“e n v o lv e n te d e m á x im o s", a p a r tir d e la c u a l p u e d e d e te rm in a rs e ta n to
el valor m áxim o absoluto d e la fuerza cortante o del m om ento com o su
ubicación. Por su p u esto , se recom ienda una solución e n com putadora
para las situaciones com plicadas d e e ste pro b lem a, ya q u e el trab ajo
puede ser ted io so si s e realiza m anualm ente.

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252 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

D eterm ine e l m om ento m áxim o ab soluto en la cu b ierta del puente
sim p lem en te ap o y ad o d e la figura 6-37a.

“ 4-5 k

|.____________ 3 0 p ie s -

F„ - 4.5 k S O L U C IÓ N
P rim ero se d eterm inan la m agnitud y la posición de la fuerza resu l­
tan te d el sistem a, figura 6-37a. Se tien e

+ 1Fr = ZF; F * = 2 + 1.5 + 1 = 4.5 k

* . — ¡ i — *>, '• —u “ y~ *

A h o ra , u sando la sección izq u ierd a d e la viga, fig u ra 6-37c. se obtiene

i + Z A /s = 0; -2.50(16.67) + 2(10) + M s = 0
M s = 21.7 k - p ie

A , = 2S k

(c)

Hgura 6-37

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6 . 7 F l f R7A CONTANTE Y M O M EN TO M Á X IM O ABSOLUTO 253

H ay una posibilidad d e que e l m om ento m áxim o absoluto pu ed a
o c u r r ir b a jo la c a r g a d e 2 k , p u e s to q u e 2 k > 1 .5 k y F/* e s tá e n t r e 2 k
y 1.5 k. P a ra in v e stig a r e s te caso , la c a rg a d e 2 k y F * se c o lo c a n e q u i­
d istan tes d e la lín e a c e n tra l d e la viga, figura 6-37d . D e m u e stre q u e A y
= 1.75 k co m o se indica en la figura 6 -3 7 e y q u e

M s = 20.4 k • pie

ft>r co m p aració n , el m o m en to m áxim o a b so lu to es

M s = 21.7 k -p ie

e l c u a l s e p ro d u c e b a jo la c a rg a d e 1.5 k . c u a n d o las carg as s e u b ic a n
so b re la viga co m o se m u e stra e n la fig u ra 6-37b.

F , - 43 k

2 k 13 k lk

2k
A , - 1.75 k

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254 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

EJEMPLO 6.22

E l cam ión tiene una m asa d e 2 M g y un centro d e gravedad en G .com o
se m uestra e n la figura 6-3&I. D eterm ine el m om ento m áxim o absoluto
que se desarrolla en la cubierta del p u en te sim plem ente apoyado, d e­
bido al peso del cam ión. El puente tiene una longitud de 10 m.

S O L U C IÓ N

C o m o s e o b s e r v a e n la f ig u r a 6 - 3 8 a ,e l p e s o d e l c a m i ó n , 2 ( 103) k g (9 .8 1
m /s2) = 19.62 k N .y la s r e a c c io n e s d e la s r u e d a s s e c a lc u la ro n c o n b a s e
en la estática. D ado q u e la m ayor reacción se p ro d u ce e n la rueda d e­
lan tera, se seleccionará esta ru ed a ju n to con la fuerza resultante y se
co lo carán equidistantes de la línea cen tral d el p u en te, figura 6-386. Se
u sa rá la fu erza re su lta n te en lugar d e la s carg as d e las ru ed as, e n to n ­
ces la reacción vertical en B es

Í + S M a = O, # ,(1 0 ) - 19.62(4.5) = 0
B y = 8.829 k N

E l m om ento m áxim o o cu rre b ajo la carga d e la n ied a delantera. U tili­
za n d o la secció n d e re c h a de la c u b ie rta d e l p u e n te , fig u ra 6-38c, se
tiene

¡,+ 2M s = 0; 8.829(4.5) - M , = 0
M s = 39.7 k N • m
Resp.

Figura 6-38

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6 . 7 F lE R Z A CONTANTE Y M O M EN TO M Á X IM O ABSOLUTO 255

PROBLEMAS

6 -5 9 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to C d e la 6-62. D eterm ine el m om ento positivo máximo en el em ­
trabe simple, causado por el m ovim iento de la plataform a palm e C sobre la trab e lateral, causado p o r la carga móvil
móvil que tiene una m asa de 2 Mg y un centro d e m asa en G. que se desplaza a lo largo del centro del puente.
Suponga q u e A es un rodillo.

T F« c R2

U j ni *
jw t Dm

Prob. 6-59 Prob. 6-62

*6-60. D eterm ine e l m om ento máximo e n e l p u n to B del 6 -6 3 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o e n C d eb id o a la
carril suspendido si é ste so po rta la carga d e 2.5 k so b re el carga móvil.
carro.

P rob. 6-60 P rob. 6-63

6 -61. D eterm ine la fuerza c o rtan te positiva m áxim a e n el •6-64. D ibuje la línea d e influencia p ara la fuerza e n el
punto B si e l carril so p o rta la carga d e 2.5 k sobre e l carro. e le m en to I H de la a rm a d u ra p ara puente. D e te rm in e la
fuerza máxima (en tensión o com presión) que puede desa­
rrollarse en este elem ento debido a un cam ión de 72 k que
tiene las cargas de las ruedas que se m uestran en la figura.
Suponga q u e el cam ión p u e d e viajar *7? cu a lq u ier dirección
a lo largo del centro d e la cubierta, d e m odo q u e la m itad de
su carga se transfiere a cada una d e las do s arm aduras late­
rales. Suponga tam bión que los elem entos están articulados
en las placas d e refuerzo.

Prob. 6-61 Prob. 6 -6 4

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256 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

6-65. D eterm ine el m om ento positivo m áxim o en el *6-68. D ib u je la linea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
punto C sobre la trabe simple, debido a la carga móvil. e lem e n to I C de la arm ad u ra p a ra p u en te. D ete rm in e la
tuerza máxima (en tensión o compresión) que puede desa­
bollarse en el elem ento debido a un camión de 5 k con las
cargas de las ruedas q u e se m uestran en la figura Suponga
que e l camión puede viajar en cualquier dirección a lo largo
del centro de la cubicrta.de modo q u e la mitad de la carga
se transfiere a cada una d e las dos arm aduras laterales. S u­
ponga tam bién q u e los elem entos están articulados en las
placas d e refuerzo.

5m
P ro b . 6 -6 5

6-66. E l carro tiene un peso de 2500 libras y un centro de Probs. 6-67/6-68
gravedad en G . D eterm ine el m om ento máximo positivo
creado en el punto C de la trabe lateral m ientras pasa por el 6-69. E l camión tiene una masa de 4 M g y centro de masa
puente. Suponga q u e el carro puede viajar en cualquier di­ en G ,.p o r su parte el rem olque tiene una masa de 1 Mg y
rección a lo largo d e l centro d e la cu b ierta, d e m o d o q u e la centro de m asa e n G?. D eterm ine e l m om ento vivo máximo
mitad de su carga se transfiere a cada una de las dos trabes absoluto desarrollado en el puente.
laterales.

Prob. 6-69

6-67. Dibuje la línea d e influencia para la fuerza en e l ele­ 6-70. D eterm ine el m om ento vivo máximo absoluto en el
m ento B C de la arm adura para puente. D eterm ine la fuerza puente d el problem a 6-69 si se retira el rem olque.
máxima (en tensión o compresión) que puede desarrollarse
en el elem ento debido a un camión d e 5 k que tiene las car­ P roh. 6 -70
gas d e las ruedas q u e se m uestran e n la figura. Suponga que
el cam ión puede viajar en cualquier dirección a lo largo del
centro de la cu b ierta, d e m o d o q u e la m ita d de la c arg a se
transfiere a cad a una d e las dos arm aduras laterales. S u­
ponga tam bién que los elem entos están articulados e n las
placas d e refuerzo.

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6 . 7 F lE R Z A CONTANTE Y M O M EN TO M Á X IM O ABSOLUTO 257

6 -7 1 . D eterm ine la fu erza c o rta n te viva y e l m o m en to 6-73. D eterm ine el m om ento máximo absoluto en el
vivo m áxim os ab so lu to s e n el b ra zo A l t cíe la g rú a, d eb id o s puente de trabes, debido a las cargas del cam ión q u e se
a la carg a d e 10 kN. L as restricciones e n los e x tre m o s re­ muestra. Las cargas se aplican directam ente sobre la trabe.
quieren q u e 0.1 m < i < 3 . 9 m .

15 k

PTOb.6 -7 3

6 -7 4 . D eterm in e la fuerza c o rta n te m áx im a ab so lu ta e n la
viga d ebido a las cargas mostradas.

20 kN

Prob. 6-71

•6-72. Determ ine el m om ento máximo en C causado por
las cargas móviles.

6 -7 5 . D eterm ine e l m om ento máximo ab so lu to e n la viga
debido a las cargas mostradas.

20 kN

P rob. 6 -72 P rob. 6 -75

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258 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

* 6 -7 6 . D eterm in e la fu e r/a c o rta n te m áx im a a b so lu ta en 6 -7 9 . D e te rm in e la fu e rz a c o rta n te m á x im a a b s o lu ta e n la
la tra b e d e l p u e n te , d e b id o a las c a r g a s m o s tr a d a s sig a d e b id o a las c arg as m o s tra d a s

6k

533 -30 pies -
pies pies pies
Proh. 6 -7 9

P roh. 6-76

6 - 7 7 . D e t e r m i n e e l m o m e n t o m á x im o a b s o l u t o e n la *6 -80 . D e term in e e l m o m en to m áxim o a b so lu to e n el
trab e d e l p u e n te , d e b id o a las carg as m o stra d a s p u e n te d e b id o a las c a rg a s m o s tra d a s

6k

P roh. 6-77 6 -8 1 . E l c a r ro ru e d a e n C y D a lo la rg o d e la s a la s in fe rio r
y su p e rio r d e la v ig a A R . D e te rm in e e l m o m e n to m áxim o
6 -7 8 . D e term in e e l m o m en to m áx im o ab so lu to en a b so lu to d e sa rro lla d o e n la viga si la c arg a so p o rta d a p o r el
tra b e d e b id o a las carg as m o stra d a s c arro e s d e 2 K. S u ponga q u e e l so p o rte e n A está articu lad o
y q u e B es u n rodillo.

10 k

8k

32 2 -25 pies-
pies pies pies
Proh.6-78
Proh. 6-81

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PR O B .E M A S DE PROYECTO 259

PROBLEMAS DE PROYECTO

6-1P. El polipasto de cadena puede colocarse en cual­ 6-2P. Se va a construir un puen te peato n a l sim plem ente
q u ier p un to a lo largo d el aguilón de un a grúa de pared (0.1 apoyado e n un parque de la ciudad, por lo que se lian p ro ­
m < x < 3.4 m ) y tiene una capacidad n o m inal d e 28 kN. puesto dos m odelos que se m uestran com o caso a y caso b.
Use un factor de impacto de 0.3 para determ inar el mo­ Los elem entos de la arm adura deben estar hechos de m a­
m ento flexionante m áxim o ab so lu to e n e l aguilón y la d e ra . La cu b ie rta se co m p o n e d e planchas d e 1.5 m etro s de
fuerza máxima desarrollada en la varilla d e refuerzo BC. El largo q u e tienen una m asa de 20 kg/m?.U n código local es­
aguilón está articulado a la colum na d e pared en su extrem o tablece que la carga viva sobre la cubierta d eb e ser de 5 kPa
izquierdo A . Pase p o r alto el tam año del carro en D. con un factor de im pacto de 0.2. C onsidere que la cubierta
estará sim plem ente apoyada e n los largueros. Entonces, las
vigas d e piso tran sm iten la c a rg a a las ju n ta s inferiores de la
arm adura (vea la figura 6-23). E n cada caso, encuentre cuál
es el elem ento som etido a la m ayor carga en tensión y en
com presión, y sugiera p o r qué debe elegirse un diseño
sobre el otro. No tom e en cuenta el peso de los elem entos
de la arm adura.

caso a

125 m- 125 1 2 5 m —|— 1 2 5 m —|

P roh. 6 -1 P caso b
P ro b . 6 -2 P

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260 C a p it u l o 6 LIn e a s d e in f l u e n c i a p a r a e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d a s

REPASO DEL CAPÍTULO

U na línea d e influencia indica el valor d e una reacción, una fuerza cortante o u n m om ento en un punto específico d e un
elemento, cuando u n a carga unitaria se mueve sobre éste.

D espués d e construir la línea de influencia para una reacción, una fuerza cortante o un m om ento (función), se podrá lo­
calizar la carga viva sobre e l elem ento que produzca e l máximo valor positivo o negativo d e la función.

Una fuerza viva concentrada se aplica en los picos positivos (negativos) de la línea de influencia. El valor d e la función
es igual a l p ro d u c to de la o rd e n a d a d e la línea d e influencia p o r la m agnitud d e la fuerza.

f±d

U na carga uniform em ente distribuida se extiende sobre u n a región positiva (negativa) d e la línea d e influencia. El valor
de la función e s igual al p ro d u c to d e la z o n a b ajo la línea d e influencia p a ra la reg ió n y la m agnitud d e la carga uniform e.

"o

M 3,

La form a general de la línea d e influencia puede determ inarse m ediante e l principio d e M UUer-Breslau.el cual establece
que la línea d e influencia p a ra una reacción, una fuerza cortante o un m om ento, está a la misma escala que la forma alte­
rada d el elem ento cuando actúan sobre él la reacción, la fuerza cortante o el m om ento.

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Repaso d el c ap itu lo 2 61

L as lin eas d e influencia p a ra trab es d e piso y a rm ad u ras p u e d e n establecerse a l c o lo c a r la c arg a un itaria en c a d a p u n to o
junta del panel, y calcular e l valor d e la reacción, la fuerza cortante o e l m om ento necesarios.

Si so b re el e lem en to p asa una serie de c arg as co n cen trad as, en to n ces d e b e n co n sid erarse las d iferen tes posiciones d e la
carga sobre el elem ento a fin de determ inar la mayor fuerza cortante o el m ayor m om ento en el elem ento. Hn general, co­
lo q u e la carg a de m a n e ra q u e c a d a u n a ap o rte s u m áxim a influencia, la cual se d e te rm in a m ultiplicando c a d a carg a p o r la
ordenada de la línea d e influencia. Este proceso d e encontrar la posición real puede hacerse m ediante una técnica de
prueba y error, o buscando el cam bio en la fuerza cortante o el m om ento cuando las cargas se m ueven de una posición a
otra. Cada m om ento se investiga hasta que se presenta un valor negativo d e la fuerza cortante o el m om ento. Una vez que
ocurre esto, la posición anterior definirá la carga crítica.

Ij i fuerza córlam e máxima absoluta en una viga en vo­
ladizo o sim plem ente apoyada se producirá en un so­
porte, cuando u n a de las cargas se coloque al lado de ese
soporte.

E l m om ento máximo absoluto en una viga en voladizo se
produce cuando la serie de cargas concentradas se colo­
can e n e l p u n to m ás alejad o d e l s o p o rte fijo.

Para determ inar el m om ento máximo absoluto en una <
viga sim plem ente apoyada, prim ero se determ ina la
fuerza resultante del sistema. Después, junto con una de F, F}
las fuerzas concentradas e n e l sistem a, se coloca de m odo
que las dos fuerzas se encuentren equidistantes de la Ht
línea c e n tra l d e la viga. E l m o m en to m áxim o se p ro d u ce F=i — ^
bajo la fuerza seleccionada. C ada fuerza en el sistema se
selecciona de esta m a n e ra y, p o r c o m p aració n . la m ás L
grande de todos estos casos e s el m om ento máximo abso­ 2
luto.
A.
^!
-J|«N

u

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El portal d e este puente debe resistir cargas laterales debidas al vie nto y al trá­
fico. Para hacer un diseño prelim inar d e los ele m e n to s puede realizarse un
análisis aproxim ado de las fuerzas producidas, antes de llevar a cabo u n an áli­
sis estructu ral más preciso.

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Análisis aproximado de
estructuras estáticamente
indeterm inadas

En e s te c a p ítu lo se presentarán a lg u n o s d e los m é to d o s a p ro xim a d o s
pa ra an a liza r a rm a d u ra s y m a rco s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d o s . Estas
té c n ic a s s e d e s a rro lla ro n c o n b a s e e n e l c o m p o r ta m ie n to e s tr u c tu ra l y,
e n la m a y o ría d e lo s casos, su p re c is ió n se c o m p a ra fa v o ra b le m e n te
con m é to d o s a n a lític o s m ás exactos. A u n q u e a q u í n o se estudiarán
to d o s los tip o s d e fo rm a s estructurales, m e d ia n te e l e s tu d io d e estos
m é to d o s se p re te n d e p ro p o rc io n a r un e n te n d im ie n to suficiente para
que e l e s tu d ia n te p u e d a d e te rm in a r cuáles serían lo s m ejores acerca­
m ie n to s para realizar un análisis a p ro x im a d o d e fuerzas d e una estru c­
tura está tica m e n te in d e te rm in a d a .

7 .1 Uso de m é to d o s aproxim ados

Q ia n d o s e utiliza un m odelo para rep resen tar cualquier estru ctu ra, el
análisis d e la m ism a d eb e satisfacer tanto las condiciones d e equilibrio
com o las d e com patibilidad d e d esp lazam ien to e n las juntas. C om o se
m ostrará en capítulos posteriores d e e ste texto, las condiciones d e com ­
patibilidad p a ra una estru ctu ra estáticam ente indeterm inada pueden rela­
cionarse co n las cargas siem pre q u e se cono zca e l m ódulo de elasticidad
del m aterial, así com o e l tam añ o y la form a de los elem entos. S in em ­
b a rg o . p a r a u n d is e ñ o in ic ia l n o se c o n o c e r á e l ta m a ñ o d e l e l e m e n t o y.
por en d e, n o se p o d rá considerar un análisis estáticam ente indeterm i­
nado. P ara llevar a cabo el análisis se req u erirá desarrollar u n m odelo
más sim ple d e la estructura q u e sea estáticam ente d eterm in ad o . U na vez
especificado este m o d elo , e l estu d io se d e n o m in a análisis aproxim ado.
M ediante u n análisis d e e ste tip o puede hacerse un diseño prelim inar de
los e lem en to s de una e stru c tu ra , y al c o m p le ta r éste e s p o sib le realizar
un análisis in d eterm in ad o más exacto y perfeccionar el diseño. U n a n á li­
sis ap ro x im ad o ta m b ié n p ro p o rc io n a in fo rm ac ió n so b re el c o m p o rta ­
m ien to d e u n a e stru c tu ra b a jo c a rg a y re su lta ú til al v e rific ar la validez
d e un análisis m ás exacto o cuando el tiem po, el d in ero o la capacidad no
son suficientes p a ra efectu ar el análisis con m ayor precisión.

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264 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s

Es n e cesario te n e r en c u e n ta q u e, p o r lo g e n e ra l, to d o s los m é to d o s de
análisis estru ctu ral son aproxim ados, sim p lem en te p o rq u e las con d icio ­
nes reales d e carga, la g eo m etría,el com portam iento d el m aterial y la re ­
sisten cia d e la s ju n ta s e n los so p o rte s nunca se co n o cen e n u n sentido
estricto. Sin em bargo, e n e ste tex to el análisis estáticam ente indeterm inado
d e u n a e stru c tu ra se llam ará análisis exa cto y el análisis estáticam en te
determ in ad o , q u e es m ás sencillo, se d en o m in ará análisis aproxim ado.

7 .2 Arm aduras

E n la figura 7 -la se m u estra u n tip o com ún d e arm ad u ra q u e se usa con
frecuencia com o so p o rte lateral p ara edificios o en las cuerdas su p erio r
e in ferio r d e los p u e n te s (v ea ta m b ié n la fig u ra 3-4). C u an d o se usa p a ra
tal p ro p ó sito , e sta arm ad u ra n o se considera un elem en to prim ario
p ara so p o rta r la estructura y,e n consecuencia, suele analizarse p o r m étodos
aproxim ados. E n el caso que se m uestra se podrá observar que a l elim i­
n a r una d iag o n al d e cad a u n o de los tre s p an ele s, la a rm a d u ra se vuelve
e stá tic a m e n te d e te rm in a d a . E n to n ces, la a rm a d u ra e s e stá tic a m e n te in ­
d e te r m in a d a d e te r c e r g ra d o ( a p a r tir d e la e c u a c ió n 3 - 1 ,6 + r > 2/', o
bien 16 + 3 > 8(2)) y, p o r lo tan to , d e b e n hacerse tre s su p u esto s resp ecto
de las fuerzas e n las b arras a fin d e co n v ertir la arm ad u ra e n estática­
m e n te d e te rm in a d a . E sto s su p u esto s p u e d e n h a c e rse co n re sp e c to a las
diagonales transversales, si s e observa q u e cuando u n a diagonal e n un
panel está en tensión, la correspondiente diagonal transversal está en
com presión. E sto es evidente en la Ggura 7-16,donde la “ fuerza co rtan te
d e l p a n e l” V es so p o rta d a p o r la com ponente vertical d e fuerza d e te n ­
s i ó n e n e l e l e m e n t o a , y l a c o m p o n e n te v e rtic a l efe la f u e r z a d e c o m p re s ió n
e n e l elem en to 6. E n g en eral se aceptan d o s m étodos de análisis.

F igura 7 -1 M étodo 1: Si las d iag o n ales s e d iseñ an in ten cio n alm en te largas y
ftak rs M étodo 2: delgadas.es razonable su p o n er q u e no pu eden so p o rtar
una fuerza de com presión; de lo contrario, se pandearían
con facilidad. P br co n sig u ien te, la fu erza c o rta n te d el
panel es resistida en su totalidad p o r la á a g o n a l d e ten ­
sión. m ientras q u e la diagonal de com presión se asum e
co m o un elem ento d e fu e rza cero.
Si los e lem en to s d iag o n ales s e co n stru y e n a p a rtir de
grandes secciones lam inadas, co m o ángulos o canales,
pueden ser igualm ente capaces d e so p o rtar u n a fuerza
de tensión q u e u n a d e com presión. A q u í se supondrá
que cada diagonal de tensión y d e com presión so p o rta
la m ita d d e la fu e rz a c o rta n te d e l p an el.

E stos dos m étodos de análisis ap ro x im ad o s e ilustran n um éricam ente
e n los sig u ien tes ejem plos.

P a ra d e te rm in a r las fu erzas d e l re fu e rz o tra n sv ersa l en
c a d a p a n e l d e e ste p u e n te ferro v iario levadizo, p u ed e
usarse u n m éto d o aproxim ado. A quí, los elem entos
tra n s v e rs a le s s o n d e lg a d o s y. p o r lo ta n to , p u e d e s u p o ­
n erse q u e n o so p o rtan ninguna fuerza d e com presión.

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7 2 A rm a d u ra s 265

D ete rm in e (en fo rm a ap ro x im a d a ) las fu e rz a s e n los e le m e n to s d e la 20 kN
arm adura q u e se m uestra e n la figura 1 -la . Las diagonales d eb en di­
s e ñ a r s e p a r a s o p o r ta r ta n t o f u e r z a s d e te n s ió n c o m o d e c o m p r e s ió n y,
p o r en d e, se su p o n e q u e cada una so p o rta la m itad d e la fuerza co r­
tante d e l pan el. I-as reaccio n es e n los so p o rtes y a se h a n calculado.

20 kN

(b)

10 kN 20 kN 10 kN

(a) (c)

F ig u ra 7 -2 F Í O -----------► sf-

SO L U C IÓ N V - 10 kN ¿d
R>r in sp ecció n , la a rm a d u ra e s e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e se ­
gundo grado. Los dos su p u esto s req u ieren q u e las diagonales de I *D t,y
te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r te n fu e r z a s ig u a le s , e s d e c ir , Ff b = F AE
= F. P ara u n a sección v ertical a tra v é s del panel izq u ierd o , figura 7-2b,
se tiene

+ 1 2 F y = 0; 20 - 10 - 2 (j)F = 0 F = 8.33 kN Resp.

de m odo que

Ff b = 8.33 k N (T ) Resp. 10kN
F u = 8.33 k N (C ) Resp.
(d)

t+ Z M a =0; -8 .3 3 ( f)(3 ) + Ffe(3 ) = 0 Ff e = 6.67 kN (C )R esp.

6.67 kN- X/

l+ X W f = 0; - 8 .3 3 ( |) ( 3 ) + ^ ( 3 ) = 0 FAfí = 6 .6 7 k N ( T ) Resp.

A p a rtir de la ju n ta A ,fig u ra 7-2c, 833 kN Foc-

+ 1 2 F , = 0; F a f - 8.33(í) - 1 0 = 0 F AF = 15 k N (T ) Resp. (e)

Enla figura 7-2d sem uestra u n a sección vertical a trav és del p an el
derecho. D em uestre que

F DB = 8.33 k N (T ) , F ED = 6.67 k N (C ) Resp. 6.67 kN — — 6,67 kN
F ec = 8.33 k N ( C ) , F BC = 6 .6 7 k N ( T ) Resp. 8 3 3 kN
8.33 kN ‘ F f/
P br o tr a p a rte , em p lean d o los d iag ram as de cu erp o lib re d e las a rtic u ­
laciones D y £ , figuras l-2 e y 7-2/,dem u estre q u e (0

Fiyc = 5 k N ( C ) Resp.
F eb = 10 kN (T ) Resp.

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266 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 7.2

P ara pro p o rcio n ar so p o rte lateral a e ste p u en te co n tra el viento y las
cargas d esbalanceadas d el tráfico, se em p lea un refuerzo transversal.
D ete rm in e (e n fo rm a ap ro x im a d a ) las fu erzas e n los e le m e n to s de
e sta arm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales son d elg ad a s y p o r lo
ta n to n o s o p o r ta n n in g u n a fu e rz a d e c o m p re s ió n , l^as c a rg a s y las
reaccio n es e n los so p o rte s se m u e stra n e n la fig u ra 7-3a.

(a)
Figura 7-3

P = 6k

S O L U C IÓ N
P o r inspección, la a rm a d u ra e s e stá tic a m e n te in d eterm in ad a de c u a rto
grado. A sí, los c u a tro su p u esto s q u e se utilizarán req u ieren q u e cada
diagonal d e com presión sostenga una fuerza n ula. P or lo tanto, a
p a rtir d e u n a se c d ó n vertical a trav és d e l p an el izquierdo, figura 7-36,
se tiene

+ TZFv = 0; Fai = 0
8 - 2 - F jb eos 45° = 0

F jn = 8.49 k (T )
-8 .4 9 sen 45°(15) + F ; / (15) = 0

6k<C )

1 + 2 A/y = 0;

Fab = 0
A p a r tir d e la ju n ta A ,fig u ra 7 -3 c.

F ja = S k (C )

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7 2 A rm a d u ra s 267

En la figura 7 3 d se m uestra una sección vertical d e la arm ad u ra a
través d e los e lem en to s III, IC , B H y B C . La fu erza c o rtan te d e l p an el
e s V = 'LFy = 8 - 2 - 4 = 2 k . S e r e q u i e r e q u e

Fbh = 0 Resp.
8 - 2 - 4 - F IC e o s 4 5 ° = 0
+ 1 '¿ F y - 0 ;

F IC = 2 .8 3 k ( T ) Resp.

t + S A / , , = 0 ; - 8 ( 1 5 ) + 2 ( 1 5 ) - 2 .8 3 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) + F /w(15) = 0

F /H = 8 k ( C ) Resp.

J.+ 2 A /, = 0 ; -8 (1 5 ) + 2(15) + F ^ 15) = 0

F bc = 6 k (T ) Resp.

A p a rtir de la ju n ta B , figura 7-3e,

+ 1 2 F y = 0; 8.49 s e n 4 5 ° - F B, = 0 Fs,
F fl/ = 6 k ( C ) 8 49^ | 45 > °
Resp.
457 .
I-as fu e iz a s e n lo s o tro s e le m e n to s se p u e d e n d e te rm in a r p o r si­ 6k
m etría, excepto Fc //;sin em bargo, a p artir d e la ju n ta C, figura 7-3/,se
tiene (e)

1 2 F , = 0; 2(2.83 sen 45°) - F CH = 0 f(„
Fch = 4 k (C ) 283 k I 283 k
R esp.
6k 6k

(f)

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268 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

PROBLEMAS

7-1. Determ ine (en form a aproxim ada) la fuerza en cada 7-5. Determ ine (en form a aproxim ada) la fuerza en cada
elem ento de la arm adura. Suponga q u e las diagonales p u e­ elem ento de la arm adura. Suponga q u e las diagonales p u e­
den soportar una fuerza de tensión o de compresión. den soportar una fuerza de tensión o de compresión.

7 -2 . R esuelva e l p ro b lem a 7-1 su p o n ie n d o q u e las d ia g o ­ 7-6. Resuelva el problem a 7-5 suponiendo que las diago­
nales n o pueden soportar una fuerza de compresión. nales n o p ueden soportar una fuerza de com presión.

50 kN 40 kN 20 kN 7 k 1 4 k 14 k 7 k

fO

P robs. 7 -1 /7 -2 pies pies pies

P robs. 7-577-6

7-3. Determ ine (en form a aproxim ada) la fuerza en cada 7-7. D eterm ine (en form a aproxim ada) la fuerza en cada
elem ento de la arm adura. Suponga q u e las diagonales p u e­ elem ento de la arm adura. Suponga q u e las diagonales p u e­
den soportar una fuerza de tensión o de compresión. den soportar una fuerza de tensión o de compresión.

*7-4. Resuelva el problem a 7-3 suponiendo q u e las diago­ *7-8. Resuelva e l problem a 7-7 suponiendo q u e las diago­
nales n o pueden soportar una fuerza de com presión. nales n o pueden soportar una fuerza de com presión.

Probs. 7-377-4 Probs. 7-777-8

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72 A rm aduras 269

7-9. Determ ine (en form a aproxim ada) la fuerza en cada 7-11. D eterm ine (en form a aproxim ada) la fuerza en cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las diagonales p u e ­ elem ento de la arm adura. Suponga que las diagonales pue­
den soportar tanto fuerzas de tensión com o de compresión. den soportar una fuerza de tensión o una de com presión.

pies
Prob. 7-9

Prob. 7-11

7-10. Determ ine (en forma aproxim ada) la fuerza en cada •7 -1 2 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en
elem ento de la arm adura. Suponga que las diagonales D G y cada elem ento de la arm adura. Suponga que las diagonales
A C no pueden soportar una fuerza de compresión. no pueden soportar una fuerza de compresión.

pies P ro b . 7-12
Proh.7-10

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C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

7 .3 Cargas verticales sobre m arcos
de construcción

l\>r lo com ún, los m arcos de construcción consisten en trab es q u e están
conectadas rígidam ente a c o lu m n a s .d e m o d o q u e to d a la e stru c tu ra tie n e
u n a m ay o r cap acid ad p a ra resistir los efecto s d e la s fuerzas laterales d e ­
bidas al v ie n to y a los te rre m o to s. E n la fig u ra 7-4 se m u e stra u n e je m p lo
de un m arco rígido, deno m in ad o cab allete de edificio.

E n la práctica, un ingeniero estructural puede e m p lear diversas técni­
cas p a ra realizar un análisis aproxim ado d e u n cab allete de edificio. C ada
u n o s e b asa en e l conocim iento d e la form a e n q u e la estructura se defor­
m ará b a jo carga. U n a técnica sería la d e co n sid erar so lam en te los e le ­
m en to s d e n tro d e u n a región lo calizad a de la estru ctu ra. E sto e s p o sib le
siem pre q u e las deflexiones d e los elem en to s d e n tro d e la región alteren
p oco a los q u e e s tá n fu era d e ella. Sin em b arg o , c o n m ucha frecu en cia se
tom a en cu en ta la curva d e deflexión d e to d a la estru ctu ra. A p a rtir de
esto p u ed e cspecificarec la ubicación aproxim ada d e los p u n to s de infle­
xión; es decir, de los puntos d o n d e el elem en to cam bia su curvatura.
E sto s p u n to s p u e d e n co n sid erarse c o m o articulaciones, y a q u e e n los
puntos d e inflexión d e l ele m e n to se p resen tan m om entos nulos. E n esta
sección se u tilizará e s ta id e a p a ra an a liz a r las fu erzas en los m arco s de
co n stru cció n d e b id a s a las carg as v erticales, y en las seccio n es 7-5 y 7-6 se
presen tará un análisis aproxim ado d e los m arcos som etidos a cargas la te ­
rales. D ad o q u e el m arco p u e d e so m eterse a e sta s d o s carg as al m ism o
tiem p o , e n to n ce s, sie m p re q u e e l m a te ria l p erm a n e z c a elástico , la carg a
resultante podrá determ inarse p o r superposición.

Supuestos para el análisis aproxim ado. C o n sid ere una

trab e típ ica localizada d e n tro d e un cab allete d e edificio q u e e stá so m e ­
tid a a u n a c a rg a v ertical u n ifo rm e, co m o se m u e stra e n la fig u ra 7-5a. Los
soportes d e colum na en A y H ejercerán, cad a uno, tres reacciones sobre
la viga, p o r lo q u e ésta e s e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e te rc e r g ra d o
(6 reacciones - 3 ecuaciones d e equilibrio). E ntonces, un análisis aproxi-

M arco d e construcción típica
Hgura 7-4

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7 .3 C a r g a s v e r t ic a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n

colum na •y c o lu m n a
.
.■ ■
viga

1 1
(a)
fijam cnic ap o y ad a
(b)

sim plem ente apoyada (d)

(C)

Figura 7-5

m ado re q u e rirá Ires su p u esto s p ara h acer q u e la viga sea estáticam ente F 0.1/. o.i/.
determ inada. Si las colum nas son ex trem ad am en te rígidas no se p ro d u ­
cirá rotación en A y B ,y la curva d e deflexión d e la trab e se p arecerá a la 0XI.
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 7-5¿>.Si se e m p le a u n o d e lo s m é to d o s q u e s e
presen tan e n los capítulos 9 a 11, un análisis ex acto rev ela q u e e n este m ídelo
caso los p u n to s d e inflexión, o p u n to s d e m o m en to nulo, se p ro d u c e n a (e)
0.21 L d e cada so p o rte . S in e m b a rg o , si las c o n e x io n e s d e las co lu m n a s en
A y fí son m uy flexibles, entonces, co m o si s e tra ta ra de u n a viga sim p le­
m en te a p o y a d a .se p ro d u cirán m o m en to s nulos en los so p o rtes, figura 7-5c.
N o ob stan te, e n realid ad las colum nas p ro p o rcio n an cierta flexibilidad
en los so p o rtes y. p o r consiguiente, se su p o n d rá q u e o c u rre un m om ento
n u lo e n e l p u n to m e d i o e n tr e lo s d o s e x tr e m o s , e s d e c ir , a ( 0 .2 1Z. + 0 )/2 =*
0.1 L de cad a so p o rte , figura. 7-5d . P or o tra p a rte , un análisis ex acto d e los
m arco s q u e so p o rta n cargas v erticales in d ica q u e la s fu e rz a s axiales e n la
tra b e se p u e d e n p asar p o r alto.

En resum en, cada trab e de longitud /. puede m odelarse m ediante un
claro sim plem ente apoyado d e 0 .8 /. de largo que descansa so b re dos ex ­
trem os e n voladizo, c a d a uno con una longitud d e 0 .1 L , figura 7-5e. En
este m odelo se h an in co rp o rad o los siguientes tres supuestos:

L H ay un m om ento nulo e n la tra b e a 0.1 L del so p o rte izquierdo.
2. H ay u n m o m en to n u lo e n la tra b e a 0. \L del so p o rte d erech o .

X 1.a tra b e n o so p o rta u n a fu erza ax ial.

A h o ra es p o sib le o b te n e r, m e d ia n te e l u so d e la e stá tic a , las carg as in ­
ternas e n las trabes y puede hacerse un diseño p relim in ar d e sus seccio­
nes transversales. El siguiente ejem plo ilustra esto en form a num érica.

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272 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 7.3

D eterm in e (en form a aproxim ada) e l m om ento e n las ju n tas E y C
causado por los elem entos E F y C D del caballete d e edificio q u e se
m u estra e n la fig u ra 7-6a.

8 » Ib/pie

(b )

Figura 7-6

S O L U C IÓ N
Para un análisis aproxim ado, el m arco se m odela d e la m anera q u e se
m u e stra en la fig u ra 7 -6 6 . T en g a e n c u en ta q u e los claro s en voladizo
q u e so p o rta n la p a r te c e n tra l d e la tr a b e tie n e n u n a lo n g itu d d e 0.1 /.
= 0.1 (2 0 ) = 2 p ies. E l e q u ilib rio re q u ie re q u e las re a c c io n e s e n los e x ­
tre m o s d e la p a rte c e n tra l d e la tra b e se a n d e 6400 Ib. fig u ra 7-6c. E n ­
tonces, los claro s e n voladizo están som etidos a u n m om ento de
reacción de

M = 1 6 0 0 (1 ) + 6 4 0 0 (2 ) = 14 4 0 0 I b - p ie = 14.4 k - p ie R esp .

E ste m om ento aproxim ado, co n dirección o p u e sta , actúa so b re las
ju n tas en E y C ,fig u ra 7 -6a.C on base e n lo s resu ltad o s,el diagram a de
m o m e n to ap ro x im a d o p a ra u n a de las tra b e s e s c o m o se m u estra e n la
figura 7-6d.

12 8 0 0 1 b

i

t 1 6 p i a --------1
6400 Ib <400 Ib

1600 Ib 6400 Ib 6 4 0 0 1Ib 1U600 Ib A (k-pic)
U n 14400 Ib-pie
1 4 4 0 0 1b p ie : 4 256
2 pies 80001b
14.4 ' 2 20
80001b x (p ie s)

18 4

(c) <d)

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7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e portal. 273

7 .4 M arcos y arm aduras de po rtal

M arcos. Los m arcos d e p o rtal s e suelen u sar a la e n tra d a de un

puente* y co m o un elem en to d e refuer7o prin cip al en e l diserto d e edifi­
cios co n e l fin d e tra n sfe rir fu e rz a s h o riz o n ta le s ap licad as e n la p a rte su ­
p erio r d e l m arco h a d a los cim ientos. E n los p uentes, e sto s m arcos
resisten las fuerzas pro d u cid as p o r el viento, los terrem o to s y las cargas
desbalanceadas d el tráfico so b re la cubierta del puente. Los portales
p ueden te n e r so p o rtes articulados o fijos, o b ien se p u ed en so sten er m e­
d iante una fijación parcial.A continuación se estudiará e l análisis ap ro x i­
m ado d e cada caso m ed ian te un p o rtal sencillo d e tres elem entos.

A rtic u la d o s . E n la figura 1 -la se m uestra un m arco d e p o rtal ar­
ticulado. D ad o q u e ex isten c u a tro incógnitas en los so p o rtes, p e ro só lo
tres ecu ad o n es d e equilibrio p a ra o b te n e r la so lu d ó n . esta estructura es
estáticam ente indeterm inada d e prim er grado. E n consecuencia, sólo
debe ad o p tarse un supuesto para convertir el m arco e n estáticam ente
determ inado.

E n la fig u ra 1 -lb se m u estra la d eflex ió n elástica d e l p o rta l. E ste d ia ­
gram a indica q u e un p u n to d e inflexión, es decir, aquel donde e l m o ­
m ento cam bia d e flexión positiva a flexión negativa, se en cu en tra
aproxim adam ente en el p u n to m edio d e la trabe. C om o e l m om ento es
c e ro en e s te p u n to d e la tra b e , se p u e d e su p o n er q u e allí existe u n a bisa­
g ra, p ara después p ro ced er a d eterm in ar las reacciones en los soportes
utilizando la e stática. Si se hace e sto , p u e d e c o n sta ta rse q u e las reaccio ­
nes horizontales (fu e r/a co rtan te) e n la base de cada colum na so n igua­
les y q u e las o tras reacciones so n las indicadas en la figura 7-7c. A dem ás,
los d iag ram as d e m o m en to p a ra este m arco so n co m o lo indica la figura
1 -ld .

(b )

? r

r— í- Pb

V ea la fig u ra 3 -4 . (d) <c)
Pb

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274 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

(a) F i j a m e n t e a p o y a d o s . Ix>s p o rta le s c o n d o s s o p o r te s fijo s, fig u ra
Figura 7-8 7-8u,son estáticam ente indeterm inados d e tercer grado, puesto q ue hay
u n to ta l d e seis incógnitas en los so p o rtes. Si los e lem en to s v erticales tie ­
n en longitudes y áreas transversales iguales,e l m arco s e d efo rm ará com o
se m uestra en la figura 7-8b . E n este caso se supondrá q u e los puntos de
inflexión o c u rre n e n los p u n to s m edios de los tre s e lem en to s y, p o r lo
tanto, las bisagras se colocan en estos puntos. Por consiguiente, las re a c ­
ciones y los diagram as d e m om ento para cad a elem en to p u ed en d eterm i­
n arse al d e sm e m b ra r e l m arco en las b isagras y al ap licar la s ecu acio n es
d e e q u ilib rio p a ra ca d a u n a d e las c u a tro p artes. L os re su lta d o s s e m u e s­
tran e n la figura 7-8c.T enga e n cu en ta q u e,co m o e n el caso d el p o rtal a r­
ticu lad o , las reaccio n es h o rizo n tales (fu e rz a c o rta n te ) e n la b ase de ca d a
colum na so n iguales. E l d iag ram a d e m o m en to para e ste m arco se indica
en la figura 7-8d.

r T 1 Ph f f1
Ph 1

f*

hH * «I 9
n ■i
(b) HH \
ri
Li 9 -9

(c) diagram a de
m om ento

<d)

F ija c ió n p a r c ia l. D ado q u e es difícil y costoso co n stru ir u n so p o rte o
cim iento p e rfe c ta m e n te fijo p a ra un m arco d e p o rtal, es co n serv ad o r y
algo realista su p o n e r q u e s e p ro d u ce u n a ligera ro tació n e n los soportes,
figura 7-9o. C om o resu ltad o , lo s p u n to s d e inflexión e n las co lu m n as se
e n c u e n tra n e n algún lugar e n tre el caso d e te n e r un p o rta l articu lad o , fi­
g u ra 7-7í i , d o n d e los "p u n to s d e inflex ió n " están e n lo s so p o rte s (b a s e de
las c o lu m n a s),y u n p o rta l fijam en te a p o y ad o , figura 7 -8 u ,d o n d e los p u n ­
tos d e inflexión están e n e l ce n tro d e las colum nas. M uchos ingenieros
definen arbitrariam ente la ubicación en hH , figura 7-96, y p o r en d e u b i­
can bisagras e n estos puntos, así com o e n e l ce n tro de la trabe.

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7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e portal. 275

Figura 7-9

Armaduras. C u an d o un p o rta l se utiliza p a ra a b arcar g randes d is­

ta n d a s , p u e d e u sarse u n a a rm a d u ra e n vez d e la tra b e h o rizo n tal. D ich a
estru ctu ra s e em plea e n grandes p u en tes e inclinaciones transversales
para grandes auditorios e instalaciones fabriles. U n ejem plo típico se
m uestra e n la figura 7-10a. En to d o s los casos,se supone q u e la arm adura
suspendida e stá articulada en sus puntos d e fijación a las colum nas.
A dem ás, la a rm a d u ra m a n tie n e re c ta s las co lu m n as d e n tro d e la región
de unión cu an d o e l p o rtal s e so m ete a l d esp lazam iento lateral A. figura
7-1 Ob. E n c o n s e c u e n c ia , lo s p o rta le s d e a rm a d u ra p u e d e n a n a liz a rs e c o n
los m ism os su p u esto s q u e se u saro n p a ra los p ó rtico s sim ples. P ara las
colum nas articuladas, suponga q u e las re a c d o n e s horizontales (fuerza
c o rta n te ) son iguales, c o m o e n la fig u ra 7-7c. P ara las co lu m n as fijam en te
apoyadas, suponga q u e las re a c d o n e s horizontales so n iguales y q u e en
cada colum na se p ro d u ce un pu n to de inflexión (o bisagra) a m edia d is­
tan cia e n tre la b ase d e la co lu m n a y e l p u n to m á s b a jo de la co n ex ió n d e l
e le m e n to d e la a rm a d u ra co n la co lu m n a , v e a las fig u ra s 7-8c y 7-106.

El sig u ien te ejem plo ilustra la fo rm a en q u e se d eterm in an las fuerzas
e n los e lem en to s d e u n p o rta l d e arm a d u ra s siguiendo e l m éto d o d e a n á ­
lisis ap ro x im a d o q u e se d escrib ió a n te rio rm e n te .

Figura 7-10

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276 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 7.4

D eterm in e m ed ian te m étodos aproxim ados las fuerzas q u e actúan en
los e le m e n to s d e l p o rta l W arren m o stra d o en la fig u ra 7-1 lo.

40 kN

V - 20 kN

(a)
Fl«ura 7-11

S O L U C IÓ N
L a porción B , C , F , G de la arm a d u ra actú a com o u n a unidad rígida.
D ado q u e los so p o rtes están fijos,se su p o n e q u e existe un p u n to d e in­
flexión 7 m /2 = 3.5 m p o r en cim a d e A e / .y q u e e n la b ase de las c o ­
lum nas a c tú a n reacciones horizontales o transversales iguales, es
d e c ir . 2 F , = O, V = 4 0 k N /2 = 20 k N . C o n e s t o s s u p u e s to s e s p o s ib le
sep arar la estru ctu ra e n las bisagras J y K , figura 7-116.y d eterm in ar
las reacciones e n las colum nas d e la siguiente m anera:

M itad in ferio r d e la colum na

5,+ S M a = 0 ; M - 3 .5 ( 2 0 ) = 0 M = 70 kN • m

P orción su p e rio r d e la colum na N = 27.5 kN
1 + 2 A#, = 0 ; -4 0 ( 5 .5 ) + N ( 8) = 0

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7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e portal. 277

C on b a se e n e l m éto d o d e las secciones, fig u ra 7-1 le , a h o ra es posi­
ble o b te n e r las fu eizas e n lo s e le m e n to s C D , B D y B U .

+ 1 2 F y = 0; -2 7 .5 + F BDsen 45° = 0 F BD = 38.9 k N ( T )R esp.

5,+ S M f l = O, - 2 0 ( 3 . 5 ) - 4 0 ( 2 ) + F CD( 2 ) = 0 F CD = 7 5 k N ( C ) Resp.

{,+ 1 M d = 0; F b h {2 ) - 2 0 (5 .5 ) + 2 7 .5 (2 ) = 0 F „„ = 27.5 k N ( T )R esp .

D e m an era parecida, d em u estre q u e los resultados p u ed en obtenerse (C )
en el d iag ram a d e c u e rp o lib re d e la co lu m n a F G I de la figura 7-1 Id.
C ón esto s resultados, ah o ra p u ed e en co n trarse la fuerza en cad a u n o
de los o tro s elem entos d e la arm adura d el p o rtal em p lean d o e l m é­
todo d e los nudos.

Ju n ta D, figura 7 -1 1 * k-2m -|
+ 1 2 F y = 0 ; F dh s e n 4 5 ° - 38.9 s e n 4 5 ° = 0 F DH = 38.9 k N (C ) Resp.
• i 2 F X = 0 ; 75 - 2(38.9 e o s 4 5 °) - FDE = 0 F DE = 2 0 k N (C ) Resp. 38.9 kN 2m
_ 4 5 °/
Ju n ta H, figura 7 -1 1 f 35 m
+ ] 2 F y = 0 ; F h e sen 45° - 38.9 sen 45° = 0 F „ E = 38.9 kN (T ) Resp. 275 kÑ
E sto s re su lta d o s s e re su m e n en la fig u ra 7-1 lg.

20 kN t
27.5 kN

<d)

40 kN C

2 7 5 k N CT) H 27.5 k N (C ) a

75kN_IJ^>* _ 38.9 kN

38.9 kN Fdh 275 kN H 275 kN

(e) (0

, ?0kN 20kN,
! 70kNm 70 kN - m |
275 kN
'2 7 5 kN
(8)

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278 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

PROBLEMAS

7-13. D eterm ine (en form a aproxim ada) los m om entos 7-15. D eterm ine (en form a aproxim ada) los m om entos
internos en las juntas A y B del marco. internos e n A causados p o r las cargas verticales.

T l■ i l i rn x f lili

i F H

6m

A B C D

6m 1 8m 6m
P ro b . 7 -13

Prob. 7-15

7-14. Determ ine (en form a aproxim ada) los m om entos •7-16. D eterm ine (en form a aproxim ada) los m om entos
internos en las juntas F y D del marco. internos en A y B causados por las cargas verticales.

Prob. 7 -1 4 Prob. 7-16

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