Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

1 0 .9 E s t r u c t u r a s s im é t r ic a s 429

A unque los detalles p ara la aplicación d el m étodo d e análisis d e la
fuerza m ediante m étodos inform áticos tam bién se om ite aquí, es posible
hacer algunos com entarios y observaciones g enerales q u e se aplican al
utilizar este m étodo p a ra resolver problem as q u e son altam ente indeter­
m inados y q u e, por consiguiente, im plican grandes conjuntos d e ecuacio­
n e s. A e s te re s p e c to , la p re c is ió n n u m é r ic a d e la s o lu c ió n m e jo r a si lo s
co eficien tes d e flexibilidad situ a d o s cerca d e la d ia g o n a l p rin cip al d e la
m atriz f son m ayores q u e los situ ad o s fu era d e la d iag o n al. P ara lo g rar
e ste o b jetiv o , d e b e d e d ic a rse a lg u n a reflex ió n a la selección d e la e stru c ­
tu r a p r im a r ia . P a r a f a c ilita r e l c á lc u lo d e fj;, ta m b ié n e s c o n v e n ie n te e l e ­
gir la estru ctu ra prim aria d e m odo q u e se a algo sim étrica. E sto ten d erá a
producir algunos coeficientes d e flexibilidad sim ilares o iguales a cero.
ft)r últim o, la form a alterad a d e la e stru ctu ra p rim aria d ebe ser sim ilar a
la de la e stru c tu ra re a l. Si e s to o c u rre , e n to n c e s las re d u n d a n te s in d u ­
cirán só lo pequeñas correcciones a la estru ctu ra prim aria, lo que resu lta
e n u n a so lu ció n m ás p recisa de la ecu ació n 10-2.

1 0 .9 E structuras sim étricas

U n análisis estru ctu ral d e cualquier e stru ctu ra altam en te indeterm inada
o. p a ra ese caso, incluso u n a estru ctu ra estáticam en te d eterm inada, se
puede sim plificar siem pre que e l diseñador o el analista puedan recono­
cer aquellas estructuras que son sim étricas y que so p o rtan cargas sim é­
tricas o antisim étricas. E n un sen tid o general, una estru ctu ra p u e d e ser
clasificada co m o sim étrica siem p re q u e la m itad d e é s ta d e sa rro lle la
m ism a carga interna y deflexiones q u e las d e su im agen reflejada en el
espejo respecto a s u eje cen tral. N orm alm ente la sim etría requiere q u e la
com posición del m aterial, la g eo m e tría , los so p o rte s y la carga se a n ig u a­
les e n ca d a la d o d e la e stru c tu ra . Sin e m b a rg o ,e sto no sie m p re tien e q u e
ser así.T enga en cu en ta q u e p a ra la estabilidad h o rizontal se req u iere un
p a s a d o r p a ra s o p o rta r la v ig a y la a rm a d u ra e n las fig u ra s 10-1 la y 10-1 I b .
A quí, la reacción horizontal e n el p a sa d o r e s igual a cero y. p o r lo tan to ,
am bas estructuras se deform an y producen la m ism a carga interna q u e
su co n trap arte reflejada. C om o resultado, p u ed en clasificarse com o
sim étricas. O b se rv e q u e e s to n o se ría a sí p a ra el m arco d e la fig u ra 10-17c,
si e l so p o rte fijo en A se sustituyera p o r u n pasador, puesto que entonces
la fo rm a a lte ra d a y las cargas in te rn a s n o se ría n iguales e n su s la d o s iz­
quierdo y derecho.

eje de sim etría

(«)

Figura 10-17

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430 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

eje d e sim etría E n ocasiones, u n a estructura sim étrica so p o rta una carga antisim é­
trica, es decir, la c a rg a d e su la d o re fle ja d o tie n e la d irecció n o p u e sta ,
(c) co m o lo m u e stra n lo s d o s e je m p lo s d e la fig u ra 10-18. S ie m p re q u e la e s­
tru ctu ra sea sim étrica y su carga sea sim étrica o antisim étrica, un análisis
Figura 10-17 estru ctu ral sólo ten d rá q u e llevarse a c a b o e n la m itad d e lo s elem entos
d e la estructura, p u esto q u e en la o tra m itad se producirán resultados
iguales (sim étrica) u o p u esto s (antisim étrica). Si una estru ctu ra e s sim é­
trica y su carga aplicada es antisim étrica,en to n ces e s posible tran sfo rm ar
e sa carga en com ponentes sim étricos y antisim étricos. P ara ello .prim ero
la ca rg a s e d iv id e e n dos, lu e g o se refleja h a c ia e l o tr o la d o d e la estru ctu ra
y se producen los com ponentes tanto sim étricos co m o antisim étricos. Por
ejem p lo , la c a rg a so b re la viga d e la fig u ra 10- 19a se d iv id e e n d o s y s e re ­
fleja so b re e l e je d e sim etría de la viga. A p a rtir d e esto , se p ro d u c e n los
com ponentes sim étricos y antisim étricos d e la carga com o se m uestra
e n l a f ig u r a 10-19¿>. C u a n d o e s t o s c o m p o n e n t e s s e s u m a n s e p r o d u c e la
carga original. A hora pu ed e realizarse un análisis estructural p o r se p a ­
rado em pleando los com ponentes d e carga sim étrica y antisim étrica,
p ara desp u és su p erp o n er los resultados y así o b te n e r e l com portam iento
real d e la estructura.

8 kN 2 kN /r

t JJTTTTTT[_

(a)

41N 4kN

1k N /m

carga sim étrica

+

4 kN 1k N /m

i r í íj u t 11
,-^r, A

Je 1 k N /m 4kN

carga antisimétrica carga antisimétrica
Figura 10-18
(b)

Figura 10-19

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1 0 .9 E s t r u c t u r a s s im é t r ic a s 431

PR O BLEM AS

10-25. Determ ine la tuerza en cada elem ento de la arm a­ 10-27. Determ ine la fuerza en el elem ento A C de la arm a­
dura. A E es constante. dura. A E es constante.

Proh. 10-25

Proh. 10-27

10-26. Determ ine la fuerza en cada elem ento de la arm a­ •10-28. D eterm ine la fuerza en el elem ento A D de la ar­
dura. E l área de la sección transversal de cada elem ento se madura. El área de la sección transversal de cada elem ento
indica e n la figura. E = 29 (105) ksi. S uponga q u e lo s ele­ se m uestra en la figura. Suponga q u e los elem entos están a r­
mentos están articulados en sus extremos. ticulados e n sus extrem os. C onsidere que E = 29(10*) ksi.

P roh. 10-26 P roh. 10-28

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432 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

10-29. D eterm ine la fuerza e n c a d a e lem e n to d e la arm a ­ 10-31. Determine la fuerza en el elem ento CD de la ar­
dura. Suponga que los elem entos están articulados en sus m ad ur a . A E e s consta nte.
extremos. A E e s constante.

10-30. D eterm ine la fuerza e n c a d a e le m e n to s de la a rm a ­
dura articulada. A E e s constante.

*10-32. Determine la fuerza en el elem ento G B de la a r­
madura. A E es constante.

HG F

Prob. 10-30 lOk 151 5 k
Prob. 10-32
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1 0 .9 E structuras sim étricas 433

10-33. l a viga en voladizo A lt recibe soporte adicional 10-35. l a viga arm ada soporta la carga uniform em ente
mediante dos tirantes D eterm ine la fuerza en cada una de distribuida Si todos los elem entos d e la arm adura tienen un
estas b a rra s Pase p o r alto la com presión axial y la fuerza área e n s u sección tran sv ersal de 1.25 pulg2 d ete rm in e la
cortante en la viga. Para la viga. Ib = 200(l(^) mm4 y para fuerza e n e l e le m e n to BC . P a se p o r a lto la p ro fu n d id a d y
cada tiran te,/! - 100 mm. Considere q u e E - 200 G Pa. la com presión axial e n la viga. C onsidere q u e E = 29(10*) ksi
p ara to d o s los elem en to s. A dem ás, p a ra la viga, IAn = 750
pulg4. Suponga q u e A es u n p a sa d o r y D e s un oscilador.

1

80 kN

Proh. 10-33

10-34. Determ ine la fuerza en los elem entos A B , B C y •10-36. La viga arm ada soporta una fuerza concentrada
B ü que se utilizan ju n to con la viga para soportar la carga d e 80k e n s u c e n tro . D eterm in e la fu erza e n c ad a u n o d e los
d e 30 k. La viga tiene un m om ento d e inercia d e / = 600 tres puntales y dibuje el diagram a d e m om ento flexionante
pulg4, los e le m e n to s A B y B C tienen una sección tran sv er­ para la viga. lx>s p u n ta le s tienen u n á re a e n s u sección
sal de 2 pulg2 y B D tiene una sección transversal d e 4 pulg2. transversal d e 2 p u lg 2. S upongam os q u e e s tá n articu lad os
C bnsidcrc que E = 29(10*) ksi. Ignore e l esp eso r de la viga e n su s extrem os. N o to m e e n cu e n ta la p ro fu n d id ad d e la
y su compresión axial,asimismo suponga q u e todos los ele­ viga ni e l efecto d e la com presión axial en ésta. C onsidere
mentos están articulados. A sum a tam bién que el soporte en que E = 29 (10*) ksi p a ra la viga y los p u n tales A dem ás,
A es un pasador y en E es un rodillo. para la viga. / = 400 pulg4.

80k

Proh. 10-34 Proh. 10-36

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434 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

10-37. D eterm ine las reacciones e n el soporte C. F.I es 10-39. l a viga en voladizo se sostiene en un extrem o m e­
constante p a ra a m b a s vigas. d iante una b a rra de su sp en sió n A C (fe $ p ulgadas d e d iá m e ­
tro y e stá fija e n el o tro e x tre m o B . D eterm in e la fuerza e n la
b a rra d e b id o a u n a carga u n ifo rm e d e 4 k /p ie . F. = 29(10*)
ksi. tan to p ara la v ig a c o m o p a ra la b arra .

P

Prob. 10-39

10-38. 1.a viga A B tiene u n m o m en to d e in ercia / = 475 *10-10. El ensam ble estructural soporta las cargas indica­
pulg4 y yace sobre los soportes lisos e n sus e x trem o s U na das. D ibuje los diagram as d e m om ento p ara cada una d e las
varilla CD de 0.75 pulgadas d e diám etro está soldada al s ig a s C o n sid ere q u e / » 100(10®) m m 4 p ara las vigas y A -
centro de la viga y al soporte fijo e n D. Si la tem peratura de 200 m m ' para el tirante. Todos los elem entos están hechos
la varilla se reduce e n 150 °F, determ ine la fuerza desarro­ de acero para el cual F = 200 GPa.
llada en la barra. Tanto la viga com o la barra están hechas
de u n a c e ro para el cual E = 200 G P a y o = 6.5(10~6)/°F.

15 kN

10 6 m 2 m —

|--------------5 p ie s - 5 pies- *

4m

8 kN /m

í iiiiíii 3.

6m

Proh. 10-38 Prob. 10-40

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1 0 . 1 0 LINEAS D E IN EIU E N C IA PARA VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERM INADAS

1 0 . 1 0 Lineas d e in flu e n cia pa ra vigas
estáticam ente indeterm inadas

En la sección 6-3 se analizó e l uso d el principio d e M llller-B reslau co n el
fin d e d ib u ja r la línea d e in flu en cia p a ra la reacció n , la c o rta n te y e l m o ­
m ento e n un p u n to d e una viga estáticam en te d eterm in ad a. E n e sta sec­
ción se ex ten d erá e ste m éto d o y se aplicará a vigas estáticam en te inde­
term inadas.

R ecuerde que, p a ra u n a viga, el principio de M llller-B reslau establece
q u e ¡a lín e a d e in flu e n c ia p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o
m o m e n to ) está a la m ism a escala q u e la fo r m a alterada d e la viga cu ando
la v ig a s e ve a fecta d a p o r ¡a fu n c ió n . P a ra d ib u ja r la fo rm a a lte ra d a c o ­
rrectam en te, d e b e elim inarse la ca p a c id a d d e la viga p a ra resistir la fu n ­
ció n ap licad a a fin d e q u e la viga p u e d a d e fo rm a rse c u a n d o se ap lica la
función. P a ra la s vigas estáticam ente d eterm in a d a s, las fo rm a s a lte ra d a s
(o las líneas de in flu en cia) se rá n u n a serie d e segm entos d e línea recta.
P ara las vigas estáticam ente indeterm inadas, re su lta rá n curvas. S e an ali­
zará la construcción d e cad a u n o d e los tres tip o s d e líneas d e influencia
(de reacción, d e fuerza co rtan te y d e m o m en to ) p ara u n a viga estática­
m en te in d eterm in ad a. E n c a d a c a s o .s e ilu strará la validez d el p rin cip io
d e M llller-B reslau u san d o el teo rem a d e M axw ell d e los desplazam ien­
tos recíprocos.

Reacción en A . P ara d e te rm in a r la lín ea d e in flu en cia p a ra la re a c ­ D

ción e n A e n la figura 10-2üa,se coloca u n a carga u n itaria so b re la viga viga real
en p u n to s sucesivos, y e n cad a p u n to d e b e d eterm in arse la reacción e n A .
U na gráfica de esto s resultados g en era la línea de influencia. I\>r ejem ­ (a)
plo, cuando la carga está en el p u n to D ,fig u ra 10-20a,la reacción en A ,
q u e representa la o rd en ad a d e la línea d e influencia e n D , p u e d e d e te r­ R
m inarse m ed ian te el m étodo d e la fueiza. P ara ello, se aplica el principio
d e s u p e rp o s ic ió n , c o m o s e m u e s tra e n la s fig u ra s IO -20a a 10-20c. P o r lo An
tan to , la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a ra e l p u n to A es 0 » f AD + A J a a
o b i e n A y = —/ « © / / x a i s ¡ n e m b a r g o , p o r e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s estructura prim aria
d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s f AD = ~ / m . fig u ra 10-2 lk /, p o r lo q u e ta m ­ (b )
bién es posible calcular A y (o la o rd en ad a d e la lín ea d e influencia e n D )
usando la ecuación

*,f*A

-X-- r

A r aplicación de A , redundante

(c)

P br com paración, el principio d e M llller-B reslau requiere elim inar el Jaa
so p o rte en A y aplicar u n a carga unitaria vertical. La curva d e deflexión
r e s u lta n te ,f ig u r a 10-2 0 </,es a c i e r t a e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n ­ D
cia p ara A ,. Sin em bargo, e n la ecuación an te rio r se observa q u e el factor
de escala es I/f AA. (d)

F igura 1 0 -2 0

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436 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

C o r t a n t e e n E . Si d e b e d eterm in arse la línea d e influ en cia p ara
la fu erza co rtan te e n e l p u n to E de la viga q u e se m u estra e n la figura
10-2la . entonces, p o r e l principio d e M üller-B reslau, la viga se im agina
cortada e n este p u n to y se inserta u n dispositivo de deslizam iento e n E ,
figura 10-216. E ste dispositivo transm itirá un m om ento y u n a fu erza n o r­
m al, p e ro n in g u n a fuerza co rtan te. C uando la viga se flexiona d eb id o a
las cargas co rtan tes unitarias positivas q u e actúan e n E , la p en d ien te de
cada lado d e la g u ía sigue sien d o la m ism a,y la curva d e deflexión re p re ­
se n ta a c ie r ta escala la lín ea d e influencia p a ra la fu erza c o rta n te e n ¿« fi­
gura 10-2le. Si se aplica el m éto d o básico p a ra establecer la línea d e in­
fluencia de la fu erza c o rta n te e n E ,e n to n c e s se ría n ecesario a p lic a r u n a
carga un itaria e n cada p u n to D y calcular la fuerza co rtan te e n E , figura
10-2la . E ste v a lo r, VF,re p re se n ta ría la o rd e n a d a d e la lín ea d e influencia
e n D . C om o en e l caso an terio r, usan d o e l m éto d o d e la fuerza y el te o ­
rem a d e M axw ell d e lo s desplazam ientos recíprocos, p u ed e d e m o s­
trarse que

D e n u ev o , e s to esta b le c e la v alid ez d e l p rin cip io d e M ü ller-B reslau , es
decir, u n a carg a u n ita ria c o rta n te p o sitiv a a p lic a d a a la viga e n E , figura
10-21c, h a rá q u e la viga se a lte re c o n la fo r m a de la lín ea d e influencia
p a ra la f u e r z a c o r t a n t e e n E . A q u í e l f a c to r d e e s c a la e s (1 / f FF).

l

10 t

1 <b)

I

1 (c)
Figura 10-21

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1 0 . 1 0 LINEAS D E IN EIU E N C IA PARA VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERM INADAS 437

M o m e n to en E. L a lín e a d e in flu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n E d e la

figura 10-22a pu ed e d eterm in arse al co lo car u n pasador o bisagra e n E ,
puesto que esta conexión transm ite fu er/as norm ales y cortantes, pero
no puede resistir u n m om ento, figura 10*226. A l aplicar un m om ento de
par u n itario positivo, la viga se d efo rm a a la posición m arcada co n trazo s
d isco n tin u o s e n la fig u ra 10-22c,k> q u e g e n e ra a c ie rta e sc a la la lín ea d e
in flu en cia.d e n u evo una consecuencia d el principio d e M üller-B reslau.
Si se e m p le a el m éto d o d e la fu e rz a y e l te o re m a d e la recip ro cid ad de
M axw ell, se p u e d e d em o strar q u e

E l f a c t o r d e e s c a la a q u í e s ( \ / a KF) .

11

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438 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

El sig u ien te pro ced im ien to p roporciona u n m éto d o p a ra establecer la línea d e influencia
d e la reacción, la fuerza co rtan te o e l m om ento e n un pu n to d e u n a viga, m ediante la téc­
nica d e M U ller-B reslau.

Línea d e influencia cu alitativ a

En e l p u n to de la viga p ara el cual d eb e determ in arse la línea d e influencia,coloque una
co n ex ió n q u e elim in e la ca p a c id a d de la viga p a ra so p o rta r la fu n ció n d e la lín ea d e in ­
fluencia. Si la fu n ció n e s u n a reacción vertical, u se u n a guía d e ro d illo s vertical; s i la fu n ­
ción esco ría m e,utilice u n dispositivo de d e sliza m ie n to s s\ la función es u n m o m en to .u se
u n p a sa d o r o u n a bisagra. C o lo q u e u n a c a rg a u n itaria en la co n ex ió n q u e ac tú e so b re la
viga e n la "d irecció n p o sitiv a" d e la función. D ibuje la cu rv a d e d e flex ió n d e la viga. E sta
cu rv a re p re se n ta a cierta e sc a la la fo rm a de la lín ea d e influencia p a ra la viga.

Línea d e influencia c u a n tita tiv a

Si d e b e n d e te rm in a rse los v alo res n u m érico s de la lín e a d e in flu en cia, calcule e l d espla­
zam iento de p u n to s sucesivos a lo largo d e la viga cu an d o la viga está so m etid a a la carga
u n itaria co lo ca d a e n la c o n e x ió n m en cio n ad a a n te rio rm e n te . D ivida c a d a v a lo r de d e s ­
plazam iento en tre e l desplazam iento d eterm in ad o en el p u n to donde actú a la carga u n i­
taria. A l a p lic a r e s te fa c to r d e escala, los v a lo re s re su lta n te s so n las o rd e n a d a s d e la línea
d e influencia.

10

*

P a ra este v iad u cto s e c o n stru y ero n las líneas
d e influencia d e la trab e continua p a ra d i­
señ arla adecuadam ente.

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1 0 .1 1 LINEAS D E INFLUENCIA CU AIITATVA S PARA M ARCOS 439

1 0 .1 1 Líneas d e in flu e n d a cu a lita tiva s
para marcos

H1 p rin c ip io d e M U IIer-B re sIa u p r o p o r c io n a u n m é to d o r á p i d o y tie n e u n
gran valor p ara estab lecer la form a g eneral d e la lín ea de influencia e n la
construcción d e m arco s U na vez q u e se co n o ce la fo rm a de la línea de
influencia, es posible especificar d e inm ediato la ubicación de las cargas
vivas de m o d o q u e c reen la m ayor influencia d e la función (reacció n ,
fuerza c o rta n te o m o m en to ) en el m arco. P or ejem p lo , la fo rm a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to p o s itiv o e n e l c e n tr o / de la tr a b e
F G cfel m a rc o d e la fig u ra 1 0 -2 3 a se m u e s tra m e d ia n te lín e a s d is c o n ti­
nuas. E ntonces, las cargas uniform es se co locarían só lo so b re las vigas
A B .C D y F G con el fin d e crear e l m ayor m om ento positivo e n /.C o n el
m arco c a rg a d o d e e sta m a n e ra , fig u ra 10-23/»,en to n ce s p o d ría re a liz a rse un
análisis indeterm inado del m arco para e n co n trar e l m om ento crítico e n /.

(b)

« g u ra 1 0 -2 3

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440 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

D ib u je la lín e a d e influencia d e la re acció n v ertical e n A p ara la viga q u e
se m uestra en la figura lü-24a. E l es constante. G rafiq u e los valores
num éricos cada 6 pies.

SO L U C IÓ N
Se re tira la capacidad d e la viga p a ra resistir la reacción A r E sto se hace
usan d o un dispositivo de ro d illo s verticales el cual se m u e stra e n la fi­
gura 10-246. A l ap licar u n a carga un itaria vertical e n A se obtiene la
fo rm a d e la lín e a de influencia d e la fig u ra 10-24c.

C on el fin d e d eterm in ar las o rd en ad as de la lín ea d e influencia, se
usará e l m é to d o d e la viga co njugada. L as reaccio n es e n A y H sobre
la “v ig a re a l”, c u a n d o s e s o m e te a la c a rg a u n ita ria e n A ,s e m u e s tra n e n la
figura 10-246. L a viga co n ju g ad a c o rre sp o n d ie n te se m u e stra e n la figura
10-24d. O b serv e q u e e l so p o rte e n A ' sigue sie n d o e l m ism o que e l d e A
en la figura 10-246. E sto se d ebe a q u e u n dispositivo d e rodillos vertica­
les e n la viga c o n ju g a d a so p o rta u n m o m e n to , p e r o n o u n a fu e r /a c o r­
ta n te . k> q u e c o r r e s p o n d e a u n d e s p la z a m ie n to p e r o n o a u n a p e n d ie n t e
en el p u n to A de la viga real, figura 10-24c. I-as reaccio n es e n lo s so p o r­
tes d e la viga co n ju g ad a se h an calc u lad o y se m u e stra n e n la fig u ra
10-24d. A h o ra se calcularán los desplazam ientos d e los p u n to s e n la viga
real, fig u ra 10-246.

1k

ik

viga conjugada

(d)

Figu ra 1 0 -2 4

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1 0 . 1 1 LINEAS D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S PARA M A R C O S 441

P ara B ', p u esto q u e no existe un m o m en to so b re la viga conjugada en
B ’, fig u ra 10-24</, e n to n c e s

AB = M b = 0 ------6 p i e s --------1

P ara D ',fig u ra 10-24e: v ilix S H .
162
2M „. = 0; AD = - U ±- 936 El
E l (6) 2 \ E I (e)
El

Para C \ figura 10-24/

1656
El El

P a r a A ',f i g u r a 10 -2 4 d: Mr -12 pies-

1944 t (0
A Á = M ,. =
Vr
El

P uesto q u e u n a carg a vertical d e 1 k q u e actú a e n A » b r e la viga de
fa fig u ra 1 0 -2 4 a c a u s a r á u n a r e a c c ió n v e r tic a l e n A de 1 k , e l d e s p la z a ­
m ien to e n A , &A = 1944/£Y, d e b e co rre sp o n d e r a u n v alo r n u m érico
de 1p a ra la o rd en ad a d e la línea de influencia e n A . Por lo tan to , al di­
vidir los o tro s d esp lazam ien to s calcu lad o s e n tre e s te fa c to r.se o b tie n e

X

A1
C 0 .8 5 2
D 0 .4 8 1

tí 0

U na gráfica de esto s valores g en era la línea d e influencia q u e se
m u estra e n la fig u ra 10-24g.

A,

E° " 2 12 18

Unca d e influencia cuantitativa
para la reacción e n A
(g)

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442 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

EJEMPLO 10.11

D ibuje la línea d e influencia d e la fuerza cortante e n D para la viga
q u e se m u estra e n la figura 10-25a. E l es co nstante. G rafiq u e los valo­
res num érico s cad a 9 pies.

p i e s - 4 - 9 p i e s - |--------- 18 p ie s -

(a)

Figura 10-25

S O L U C IÓ N
Se elim in a la capacidad d e la viga p ara resistir u n a fu erza c o rlan te e n D .
E sto se hace m ed ian te el dispositivo d e ro d illo q u e se m uestra e n la fi­
gura 10-256. A l a p lic a r u n a fu erza c o rta n te u n ita ria p o sitiv a e n f í se
o b tie n e la form a d e la línea d e influencia d e la figura 10-25c.

E n la fig u ra 10-256 se m u e stra n las reaccio n es e n los so p o rte s A , R
y C so b re la "v ig a re a l" , c u a n d o é s ta se so m e te a la fu erza c o rta n te
u n itaria e n D . L a v ig a c o n ju g a d a c o rre sp o n d ie n te s e m u e stra e n la fi­
gura 10-25d. A q u í d e b e aplicarse un m o m en to d e p a r e x te rn o M 0 . en
D ' a fin d e provocar un m om ento interno diferente justo a la izquierda
y justo a la d erech a d e D \ E stos m om entos in tern o s co rresp o n d en a
tos d esp la z a m ie n to s ju s to a la izq u ierd a y ju s to a la d e re c h a e n de
so b re la v ig a real, fig u ra 10-25c. L as reaccio n es e n lo s s o p o rte s A ’, B ' ,
C y e l m o m e n to e x te r n o M/>- so b re la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u ­
lad o y s e m u estran e n la figura 10-25e. C o m o ejercicio, v erifique los
cálculos.

Ik 1k

9 k -p ie | 9 k pic i.

-P=1M =— íf linea d e influencia cualitativa
| — 9 p ie s —^ 9 p i e s 18 p ies 1 para la c o rta n te e n D
Ik (c)
Ik Ik 2 k

vig(abr)eal

162 162
El
El
108 i " i - -
r
¡fiT í
'•f W T 7
-T^° o ^ - j c

12 pies — 1-6 pie*—) F l |~6 Pic»-|--- 12 P*es~ J

270 54

EÍ El

(d) (e )

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1 0 .1 1 LINEAS D E INFLUENCIA CU AIITATVA S PARA M ARCOS 443

D ado q u e existe u n a discontinuidad del m om ento en D \ s e calculará 405
el m om ento in tern o ju sto a la izquierda y ju sto a la d erech a d e D '. h‘ n
Justo a la izquierda d e D \fig u ra 10-25/,se tien e
h ;i. i M«r,
lM n. = 0; A , = 40-5 2 7 0 ... 2308.5 I3 I
= -z rr(3 ) - — -(9) = - pies
El El El
(0
Justo a la d e re c h a d e D ’, fig u ra 10-25g, re su lta

40-5 270 . 3 888 1579.5

ÍM ff' = 0; '~ = ~ E I~ ~ ~e T ~E I~ = E /

D e la figura 10-25e, 405
El ±

= M* = 0 ¿a = = 0 A c = Afc . = 0

P ara el p u n to E ,fig u ra 10-25í>.si se u sa el m éto d o d e las seccio n es e n .J m,
d p u n to E ' corresp o n d ien te so b re la viga conju g ad a, figura 10-25/i,se - 6 pies-i-. -j
tiene |¿

XMr = 0; a£ = Mf = ^ ( 3 ) - ^ ( 9 ) = - ^ <*>

Las o rd en ad as d e la línea d e influencia se ob tien en al d iv id ir cada AQ5
uno d e lo s v a lo re s a n te rio re s e n tr e e l fa c to r d e e s c a la W D- = 3 8 8 8 / f /.
E n to n c e s, 4v * - : '

X Vo I 6 _J
I 3 pies 1
A0 pies 54

o,. - 0 . 5 9 4 (h)
D* 0 .4 0 6

B0
E -0 .0 9 3 8
C0

Al graficar esto s valores s e o b tien e la línea d e influencia q u e se m ues­ 10
tra e n la figura 10-25/.

V'n 36

U 4( 16

27
9 18

-0 .0 9 3 8

-0 3 9 4

línea d e influencia cuantitativa
p a ra la co rtan te e n D

(0

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444 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

D ib u je la lín ea d e influencia del m o m en to e n D p ara la viga q u e se
m uestra en la figura 10-26a. E l es constante. G rafique los valores
num éricos cada 9 pies.

(a)
Figura 10-26

S O L U C IÓ N
Se in serta u n a b isa g ra e n D con el fin d e e lim in a r la ca p a c id a d d e la
viga p a ra resistir u n m o m en to en ese p u n to , figura 10-266. A l a p licar
m om entos p ar unitarios positivos en D .se o b tien e la línea d e influen­
cia d e la figura 10-26c.

E n la fig u ra 10-26b se m u e stra n las reaccio n es e n A . B y C so b re la
“ viga real", c u an d o ésta se so m ete a los m om entos de p a r u n itario s e n D.
L a viga conjugada corresp o n d ien te y su s reacciones se m uestran en la fi­
g u ra 10-26d. S e sugiere verificar las reaccio n es e n am bos casos. A p artir
de la figura W - 26d , observe q u e

A¿ = M a = 0 Afl = M f l = 0 A¿- = =0

lk -p ic lk -p ic

B

0.111 k 0222 k 0.111 k

a viga real 1

1 k-pie , , 1 k-pie <b) El

hn ca d e influencia cualitativa p a ra e l m o m en to e n D I8 48 .6
n
(c) E l FJ

<d)

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1 0 .1 1 LINEAS D E INFLUENCIA CU AIITATVA S PARA M ARCOS

Para e l p u n to D ' , figura 10-26e:

S M „ . - 0; A„ - - |5 ( 3 ) + J |( 9 ) -

Para e l p u n to figura 10-26/

£ M c = 0; A £ - M £. - ^ ( 3 ) - - | 7 ( 9 ) . - ^

E l d e s p la z a m ie n to a n g u la r a n o e n D d e la “v ig a re a l" q u e s e m u e s ­
tra en la figura 10-26c se d e fin e p o r la re a c c ió n e n D ' sobre la viga
c o n ju g a d a . E s te f a c to r , D ’y = 4 8 /E l , s e d iv id e e n t r e lo s v a lo r e s a n t e ­
riores p ara o b ten er las co o rd en ad as de la línea d e influ en cia.es decir.

X md

A0
D 3.656
B0
E -0 .8 4 4
C0

A l g raficar esto s valores se o b tien e la línea d e influencia q u e se
m u estra e n la fig u ra 10-26g.

Mn

3.656

—0 .8 4 4
In c a d e influencia cuantitativa

p ara e l m om ento e n D

(8)

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446 C a p it u l o 10 A n á l i s i s d e e s t r u c t u r a s e s t á t i c a m e n t e i n d e t e r m i n a d a s p o r ...

PR O BLEM AS

10—41. D ibuje la linea d e influencia p a ra la reacción e n C. 10-45. D ibuje la línea d e influencia para la reacción e n C.
G rafique los valores num éricos e n los picos. Suponga q u e A G rafique los valores num éricos cada 5 pies. E /e s constante.
es un pasador y que B y C » n rodillos E l es constante.

* _jf
15 pies • 15 pies -i

Proh. 10-45

10-42. Dibuje la linca d e influencia p ara e l m om ento e n A . 10-46. Bosqueje la linea d e influencia p ara (a) el m o­
G rafique los valores num éricos e n los picos. Suponga que A m ento e n E\ (b ) la reacción e n C y (c) la fu erza co rtan te e n E.
está fijo y que e l soporte e n B es un rodillo. E l es constante. En cada caso, indique en un dibujo de la viga, dónde debe
colocarse una carga viva uniformemente distribuida de modo
10-43. D ibuje la linca de influencia p ara la reacción verti­ que produzca un valor positivo máximo d e estas funciones.
cal en B . G rafique los valores num éricos en los picos S u­ Suponga q u e la viga está fija en D.
ponga q u e A está fijo y que e l soporte e n fí es un rodillo. E l
es constante.

Proh. 10-46

*10-44. Dibuje la linea de influencia para la fuerza cor­ 10-47. Bosqueje la línea d e influencia para (a) la reacción
10 ta n te e n C. G rafiq u e los v alo res n um éricos cada 1.5 m . S u ­ vertical en C ;(b) el m om ento en fl y (c) la fuerza cortante
en E. E n cada caso, indique en un dibujo d e la viga, dónde
ponga q u e A está fijo y que e l soporte e n fí es un rodillo. E l debe colocarse una carga viva uniform em ente distribuida
de modo que produzca un valor positivo máximo de estas
es constante. (unciones Suponga que la viga está fija en F.

P roh. 10-44 P ro h .10-47

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10.11 LINEAS D E INFLU EN CIA CUALITATIVAS PARA M ARC O S 447

•10-48. Use el principio de M üller-Brcslau para bosque­ 10-50. Use el principio de Mllller-Breslau para bosquejar
ja r la form a g en eral d e la línea d e influencia p ara (a ) e l m o ­ la form a general d e la línea de influencia p ara (a ) el m o ­
mento en A y (b) la fuerza cortante e n B, mento en A y (b) la fuerza cortante e n B.

C
Prob. 10-50

Prob. 10-48

10-49. Use el principio d e Mllller-Breslau para bosquejar 10-51. Use el principio de Mllller-Breslau para bosquejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­ la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) e l m o ­
mento en A y (b) la fuerza cortante en B. mento en A y (b) la fuerza cortante en B.

10

Añ

Proh. 10-51

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448 C a p itu lo 10 A n á lis is de e s tr u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s p o r...

REPASO D EL C A P ÍT U L O

El análisis de una estructura estáticam ente indeterm inada requiere que se satisfagan el equilibrio, la com patibilidad y
las relaciones d e fuerza-desplazam iento p a ra la estructura. U n m étodo d e análisis d e la fuerza consiste e n escribir las
ecuaciones q u e satisfacen los requisitos d e com patibilidad y d e fuerza-desplazam iento, lo que proporciona una solución
directa p ara las reacciones redundantes. U na vez obtenido esto, las reacciones restan tes se encuentran con base e n las
ecuaciones de equilibrio.

h - - - - - *viga r—eal fl? ^- - - - - ■£-ír r n r : ------------- ’u b ” B . Í b b |

+

estructura prim aria red u n d an te d e B , aplicada

i 0 = - B f f RH

E l m éto d o d e la fuerza p u e d e sim plificarse m e d ia n te el 1
teorem a d e Maxwell d e los desplazam ientos recíprocos,
el cual establece que el desplazam iento de un punto B i
sobre una estructura debido a una carga unitaria que
actúa en e l p u n to A . f m , es igual al desplazam iento del -I—
punto A cuando la carga actú a e n B , f AH.
Iba

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Repaso d e l c a p itu lo 449

El análisis de una estructura estáticam ente indeterm inada 8 kN 2kN /m
puede simplificarse si la estructura tiene una sim etría del
material, la geom etría y la carga respecto a su eje central. ^ < JJTTTTTTL
En particular, las estructuras q u e tienen una carga asim é­
trica pueden sustituirse p o r la superposición d e una carga II
simétrica y antisimétrica.

4kN 4kN

, 1 k N /m |
II.1I1IU I11L

carga sim étrica

+

4 kN IkN/m

f_ í i ii .i ir<i i m I U
1kN/m 4kN

carga antisim étrica

Las líneas de influencia para estructuras estáticam ente in­ - fc : ; ^ =1- J L.
determ inadas consistirán e n Uneos curvas. Se pueden bos­
quejar usando e l principio d e MUller-BresIau. el cual esta­ fo rm a d e la lín e a d e in flu en cia p a ra el m o m e n to e n A
blece que la form a de la línea d e influencia, ya sea para
u n a reacción, u n a fu erza c o rta n te o u n m o m en to esté a la
misma escala que la forma alterada de la estructura cuando
se vea afectad a p o r la reacción, la fu erza co rta n te o el m o­
mento. respectivamente. Si se em plea el teorem a de M ax­
well de las deflexiones recíprocas, es posible o b te n e r los
valores específicos d e las o rdenadas de cualquier línea de
influencia.

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Los elem en to s d e e ste m arco e stá n c o n ectad o s fijam ente, p o r lo q u e e l m arco
es estáticam ente indeterm inado.

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M étodo de análisis
del desplazam iento:
Ecuaciones de
pendiente-deflexión

En e s te c a p ítu lo se d e s c rib e n b re v e m e n te las id eas básicas pa ra a n a li­
zar e structu ras u tiliz a n d o el m é to d o d e análisis d e l de spla zam ie nto.
U na v e z q u e s e ha yan p re s e n ta d o e s to s c o n c e p to s , s e d e s a rro lla rá n las
ecuaciones g e n e ra le s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n , y d e s p u é s se usarán
para analizar vigas y m arcos está tica m e n te in dete rm ina dos.

11 .1 M é to d o d e análisis
del desplazam iento:
P rocedim ientos generales

T odas las estructuras d eb en satisfacer los requisitos d e equilibrio, d esp la­

zam iento d e carga y com patibilidad d e los desplazam ientos a fin d e g a­
ra n tiz a r su se g u rid a d . E n la secció n 10-1 se e sta b le c ió q u e h a y d o s fo r­
mas diferentes d e satisfacer estos requisitos cuando se analiza una
estructura estáticam ente indeterm inada. E l m étodo d e análisis d e la
fu erza,q u e se estudió e n e l capítulo a n te rio r.se b asa e n la identificación
d e las fu erzas re d u n d a n te s d esconocidas, p a ra d esp u é s satisfacer las
e cu acio n es d e co m p atib ilid ad d e la e stru c tu ra . E sto se hace a l e x p re sa r
los d esp lazam ien to s e n té rm in o s de las carg as u sa n d o las relacio n es de
carga-desplazam iento. A l resolver las ecuaciones resu ltan tes se obtienen
las reaccio n es re d u n d a n te s, y d e sp u é s s e u tilizan las ecu acio n es de e q u i­
lib rio p a ra d e te rm in a r las reaccio n es re sta n te s d e la e stru c tu ra .

E l m étodo d el desplazam iento funciona d e m anera inversa. R equiere
e n p rim e r lu g a r sa tisfa c e r las ecu acio n es d e e q u ilib rio p a ra la e stru c tu ra .
P ara e llo se escrib en los d esp lazam ien to s d esco n o cid o s e n térm in o s d e la
carga usando las relaciones d e carga-desplazam iento, luego se resuelven
esta s ecu acio n es p a ra o b te n e r los d esp lazam ien to s. U na vez q u e se c o n o ­
cen los desplazam ientos, s e d eterm in an las cargas desconocidas a p artir
de las ecu acio n es d e c o m p atib ilid ad e m p le a n d o la s relacio n es d e carga-
desplazam iento. Todos los m étodos d e desplazam iento siguen este pro-

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452 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

(a) cedim iento general. E n este cap ítu lo se generalizará e l procedim iento
p ara p roducir las ecuaciones de p en d iente-deflexión. E n e l cap ítu lo 12 se
fig u ra 11-1 desarrollará el m étodo d e distribución d e m om entos,el cual deja d e lado
el cálculo de los d esp lazam ien to s y e n su lugar h ace posible ap licar una
serie de correcciones d e convergencia que perm iten calcular directa­
m e n te lo s m o m e n to s e x tr e m o s . F\>r ú ltim o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,15 y 1 6 se
ilu strará la m a n e ra d e a p lic a r e s te m é to d o m ed ian te u n análisis m atri-
d al. lo que lo hace adecuado p ara su uso en com putadoras.

E n e l análisis siguiente se m o strará la fo rm a d e id en tificar los d e sp la ­
zam ientos desconocidos e n u n a estructura y s e desarrollarán algunas de
las relaciones de carga-desplazam iento más im p o rtan tes para los e le ­
m entos d e vigas y m arcos. Los resu ltad o s se u sarán e n la p ró x im a sección
y en los capítulos posteriores com o b ase p ara aplicar e l m étodo d e análi­
sis d el desplazam iento.

Grados de libertad. C u an d o u n a estru ctu ra e stá cargada, los p u n ­

tos especificados sobre ella, llam ados nodos, ex p erim en tarán desplaza­
m ientos desconocidos. A estos desplazam ientos se les conoce com o grados
d e libertad para la estructura, y e n e l m éto d o d e análisis del desplaza­
m iento resu lta im p o rtan te especificar esto s grados d e libertad puesto
q u e se co n v ierten e n las incógnitas al aplicar e l m étodo. El n ú m ero de
estas incógnitas se conoce com o e l grado e n q u e la estructura es cin em á­
ticam ente indeterm inada.

ftira c o n o c e r la in d eterm in ació n cin em ática se p u e d e c o n sid e ra r q u e
la e stru c tu ra co n siste en u n a se rie d e e le m e n to s c o n ectad o s a los nodos,
los cuales se en cu en tran usualm ente e n las juntas, soportes o extrem os de
un elem ento, o cuando éste experim enta un cam bio repentino en su sec­
ción transversal. E n tres dim ensiones, c a d a n o d o e n u n m arco o u n a viga
puede ten er un m áxim o d e tres desplazam ientos lineales y tres desplaza­
m ientos d e ro tació n ; y e n d o s d im en sio n es, cad a n o d o p u e d e te n e r a lo
sum o d o s desplazam ientos lineales y un desplazam iento d e rotación.
A dem ás, los d esp lazam ien to s nodales p u e d e n restrin g irse m ed ian te los
so p o rte s, o d e b id o a los su p u e sto s b asa d o s e n el c o m p o rtam ien to d e la
estru ctu ra. P o r ejem p lo , si la e stru c tu ra es una viga y só lo s e co n sid era
la deform ación debida a la flexión,entonces no puede haber un desplaza­
m ie n to lin eal a lo largo del e je de la viga p u esto q u e este d esp lazam ien to
lo c a u sa la d efo rm ació n p ro v e n ie n te d e u n a fu erza axial.

E stos conceptos se aclaran si se consideran algunos ejem plos, co m en ­
za n d o c o n la viga d e la fig u ra 11- l a . A q u í c u a lq u ie r c a rg a P ap licad a a la
viga h a rá q u e e l n o d o A sólo g ire (si se ig n o ra la d efo rm ació n ax ial), en
tan to q u e e l m ovim iento del no d o B está totalm ente restringido. E n co n ­
s e c u e n c ia , la v ig a tie n e s ó l o u n g r a d o d e l i b e r t a d d e s c o n o c id o . 0A, y p o r
lo ta n to e s cin em áticam en te in d eterm in ad a de p rim e r grado. La viga de
la figura 11-lfi tie n e n o d o s e n A , B , y C y, p o r lo ta n to , tie n e c u a tro g ra ­
d o s d e lib e rta d , d e s ig n a d o s p o r lo s d e s p la z a m ie n to s d e r o t a c ió n 0 A, 0 B,
Oc y e l d e sp la z a m ie n to v ertical A¿-;es c in e m á tic a m e n te in d eterm in ad a
de c u a rto g rad o . C o n sid e re a h o ra el m arco de la fig u ra 11-lc. U na vez
m ás, si se p asa p o r a lto la deform ación axial d e los elem en to s, una c arg a P
arb itraria aplicada al m arco puede h acer q u e los nodos B y C giren y se
p uedan d esp lazar h orizontalm ente u n a can tid ad igual. E n consecuencia,
e l m a r c o tie n e tr e s g ra d o s d e li b e r t a d . 0„. 0 C, A fl, y p o r lo t a n t o e s c i­
nem áticam ente indeterm inado d e tercer grado.

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1 1 2 E cuaciones d e p e n d ie n te -d e fle xió n 453

En resum en, la especificación d e la indeterm inación cinem ática o la
cantidad d e grados d e libertad n o restringidos para la estructura, e s un
prim er p aso necesario cuando se aplica e l m étodo d e análisis del despla­
zam iento. C o n esto se identifica e l n ú m ero d e incógnitas e n el pro b lem a,
con base en los supuestos sobre el co m p o rtam ien to d e la deform ación de
la e stru c tu ra . A d em ás, u n a vez q u e se c o n o c e n e sto s d esp la z a m ie n to s n o ­
dales, e s posible especificar co m p letam en te la d efo rm ació n d e los e le ­
m entos estru ctu rales, y o b te n e r las cargas d e n tro d e los elem entos.

1 1 .2 Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n Figura 11-2

C om o se indicó a n terio rm en te, e l m é to d o de los desplazam ientos consis­
ten tes q u e se estudió e n el capítulo 10e s un m étodo d e análisis d e la fuerza,
puesto que req u iere escribir las ecuaciones que relacio n an las fuerzas o
m o m en to s d esco n o cid o s e n u n a e stru c tu ra . P or d esg racia, su uso e s tá li­
m itado a estructuras q u e n o son m uy indeterm inadas. E sto se debe a que
se re q u ie re m ucho tra b a jo p ara e sta b le c e r las ecu acio n es de co m p atib ili­
d a d y, adem ás, cada ecuación escrita involucra a todas las incógnitas, lo
q u e hace difícil reso lv er el sistem a d e ecuaciones resu ltan te a m enos que
se cuente co n una com putadora. E n com paración, e l m étodo d e la pen­
d en te-d eflex ió n no es tan com plicado. C om o se verá m ás ad elan te.se re ­
q u iere m enos trab ajo ta n to al escribir las ecuaciones necesarias p ara o b ­
te n e r la solución d el p roblem a com o al resolver estas ecuaciones y encontrar
los desplazam ientos y carg as in tern as desconocidas. A dem ás, e l m éto d o
puede program arse fácilm ente en una com putadora y em plearse para
analizar una am plia gam a d e estructuras indeterm inadas.

El m étodo d e la pendiente-deflexión fue desarrollado originalm ente
por H einrich M anderla y O tto M ohr co n el p ro p ó sito d e estudiar los es­
fuerzos se c u n d a rio s en las arm ad u ras. D espués, en 1915.G .A . M aney d e ­
sarro lló u n a versión m ejorada de e sta técnica y la aplicó al análisis de
vigas in d eterm in ad as y e stru c tu ra s arm adas.

Caso general. E l m éto d o de la p en d ien te-d eflex ió n se llam a así

p o rq u e re la c io n a las p e n d ie n te s y las d eflex io n es d esco n o cid as co n la
carga aplicada so b re una estru ctu ra. C on el fin de desarrollar la form a
g eneral d e las ecuaciones d e pendiente-deflexión, se co n siderará un
claro típico A B de u n a viga co n tin u a, com o e l q u e se m u estra e n la figura
11-2,el c u a l se so m e te a una c arg a arb itra ria y tie n e u n a E l co n stan te. Se
d esea re la c io n a r lo s m o m e n to s in te rn o s e n los ex tre m o s d e la viga M AB y
M ba en térm inos d e sus tres g rad o s d e libertad, es decir, sus desplaza­
m ie n to s a n g u la r e s 0 A y Bb y e l d e s p la z a m ie n to l i n e a l A , q u e p u e d e s e r
c au sad o p o r un a se n ta m ie n to relativ o e n tre los so p o rtes. C om o se d e sa ­
rrollará u n a fórm ula, los m o m en to s y desplazam ientos angulares se co n ­
sid erarán positivos cuando actúen en sentido horario sobre el claro,com o
se m u e stra e n la fig u ra 11-2. A d em ás, e l d esp la za m ien to lin ea l A se co n si­
d e ra p o sitivo , d e la m an era q u e s e m u estra, p u e sto q u e este d esp la z a ­
m ie n to h a c e q u e la c u e r d a d e l c la r o y e l á n g u lo d e la c u e r d a d e l c la r o «/»
giren e n sentido horario.

Las ecuaciones d e pendiente-deflexión pueden obtenerse em pleando
el principio d e su p erp o sició n a l co n sid e ra r e n fo rm a separada los m o ­
m entos desarrollados en cad a so p o rte d eb id o a cada uno d e lo s desplaza­
m ien to s 0A. Bn y A, y d esp u é s la s cargas.

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454 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

viga real ) viga conjugada

(a) M/m (b)
Va -»a

Figura 11-3

D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e n A , 0 A. C b n sid ere q u e el n o d o A del
ele m e n to q u e s e m u e stra e n la fig u ra I l-3 a g ira fl^ .en ta n to q u e el n o d o
B en su extrem o lejano se m antiene fijo . P ara d eterm in ar e l m om ento
M AB n ecesario p a ra c a u sa r este d e sp la z a m ie n to se u sa rá el m é to d o d e la
viga conjugada. P a ra este caso, la v ig a co n ju g ad a se m u e stra e n la figura
11 -3 b . O b s e r v e q u e la f u e r z a c o r t a n te e n e l e x tr e m o A ' a c tú a h a d a a b a jo
so b re la viga, p u e s to q u e 0 A tien e se n tid o h o rario . L a d eflex ió n d e la

“ v ig a r e a l " en la fig u ra 1 l- 3 a d e b e s e r c e r o e n A y B , y p o r lo ta n t o la su -

m ato ria c o rre sp o n d ie n te d e los m o m e n to s en c a d a e x tre m o A ' y B ’ d e la
viga co n ju g ad a tam b ién d eb e s e r igual a cero. D e e s to resu lta

L | y + 0aL

de lo cu al se o b tie n e n las siguientes re la d o n e s de carga-desplazam iento.

M AB 4E l (11- 1 )

U s a = I ? Sa (11- 2 )

D e s p la z a m ie n t o a n g u l a r e n B , 0 b - D e m an era sim ilar, si e l e x ­
tre m o B de la viga gira h asta su p o sició n final 0„, m ie n tra s el e x tre m o A
s e m a n tien e fijo , fig u ra 4.11. e s p o sib le re la a o n a r e l m o m e n to a p licad o
Afih c o n e l d esp lazam ien to a n g u la r Bfí y el m o m e n to d e re acció n M AB en
la p a r e d L os re su lta d o s son

2El (H -3)
(11-4)
M ab

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1 1 2 E cuaciones d e p e n d ie n te -d e fle xió n 455
M ha
MAB
——
(
----------- L --------
F igura 1 1 -4

D e s p la z a m ie n to lin eal re la tiv o , A . Si el nodo lejano B del e le ­
m ento se desplaza con respecto a A ,de m odo q u e la cuerda d el elem ento
gira e n sentido h o rario (desplazam iento positivo) p e ro los d o s ex trem o s
no giran ,en to n ces en e l elem ento se desarrollan m om entos y reacciones
c o r t a n te s ig u a le s p e r o o p u e s to s , f ig u r a 1 1-5a. C o m o a n te s ,e l m o m e n to M
puede relacio n arse con el d e sp lazam ien to A usando el m éto d o de la viga
c o n ju g a d a . E n e s t e c a s o , la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 11 -5 b , e s t á lib re e n
am bos extrem os, p u esto q u e la viga real (elem en to ) está fijam ente so-
p o rta d a . Sin e m b a rg o , d e b id o al d esp la za m ien to d e la viga real e n B ,e \
m o m en to en el e x tre m o B ' de la viga conjugada d e b e te n e r u n a m agni­
tud d e A ,com o se indica.* A l su m a r m o m en to s re sp e c to a f f .s e tie n e

i- íí . KIO] - [BWW] - *-°
2 E l

-6 El

M ab = M b a = M (H -5)

f\>r la convención d e signos a d o p ta d a , este m o m en to in d u cid o e s n eg a­
tivo deb id o a q u e. p ara lograr e l equilibrio, d ebe actuar e n sen tid o a n ­
tihorario so b re el elem ento.

viga real viga conjugado

(a) <»»

F igura 1 1 -5

•L o s d iagram as de m om ento q u e se m uestran sobre la viga conjugada se determ inaron
m ediante e l m étodo d e superposición p a ra u n a viga sim plem ente apoyada, según se ex­
plicó e n la secció n 4-5.

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456 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

pi .

íñ

\ i ----------------- t" i ^ < T T íT T T fT r> ^

1— L L

1
M1 2 1M
2

U 1¡

viga real viga conjugada

(a) (b)

Figura 11-6

M om entos en extrem os fijos. En los casos an terio res se han

co n sid erad o las relacio n es e n tre los d esp lazam ien to s y lo s m o m en to s n e ­
cesario s M AB y M /u que actú a n e n los n o d o s A y B ,resp ectiv am en te. Sin
em bargo, p o r lo g en eral los d esp lazam ien to s lineales o an g u lares d e los
nodos son causados p o r las cargas q u e actú an sobre e l claro de lo s e le ­
m entos. n o p o r los m om entos q u e actú an en sus nodos. P ara desarro llar
las ecuaciones de pendiente-deflexión es necesario tran sfo rm ar estas
cargas sobre el claro en m om entos equivalentes q u e actúen en los nodos,
y después u sar las relaciones carga-desplazam iento q u e se acab an d e o b ­
tener. E sto se logra sim plem ente al en co n trar el m om ento d e reacción
q u e cad a carga desarrolla en los nodos. ft>r ejem plo, con sid ere e l e le ­
m e n t o f ija m e n te a p o y a d o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -6 a, e l c u a l e s tá
so m etid o a una carg a co n cen trad a P en su cen tro . La viga conjugada
p a ra e s t e c a s o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-6¿>. C o m o s e r e q u i e r e q u e la
p endiente e n cada ex trem o sea igual a cero.

E ste m om ento se denom ina m om ento d e extrem o fijo (FE M ). O bserve
q u e d e a c u e rd o co n la co n v en ció n de signos a d o p ta d a .e s n eg a tiv o e n el
no d o A (sentido an tih o rario ) y positivo e n el no d o B (sentido horario).
I\>r co m o d id ad en la resolución de problem as, los m om entos d e extrem o
fijo se h an calculado p ara o tras cargas y se m uestran tab u lad o s e n e l in­
terio r de la c o n trap o rtad a d el libro. Si se su p o n e q u e estos F E M s e han
d e te r m i n a d o p a r a u n p r o b le m a e s p e c ífic o (f ig u ra 11 -7 ). s e ti e n e q u e

M a b = ( F E M ) ^ fl M ba = (F E M )BA (11-6)

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1 1 2 E cuaciones d e p e n d ie n te -d e fle xió n 457

Ecuación de pendiente-deflexión. Si lo s m o m e n to s e n lo s e x tr e ­

m o s d e b id o s a c a d a d e s p la z a m ie n to (e c u a c io n e s 1 1-1 a 11-5) y la c a rg a
(ecuación 11-6) se su m an , los m o m entos resu ltan tes e n los ex trem o s
pueden escribirse com o

M a b = 2e (j ^ 2 6 a + 9„ - 3 ( | ) ] + ( F E M ) x f l

(11-7) Este puente peatonal tiene una cubierta
de concreto reforzado. Como se extiende
M b a = 2 £ ( 0 2 0 fl + d A - + ( F E M ) Bíl sobre todos sus soportes, es indeterminada
de segundo grado. Las ecuaciones de pen­
D ebido a q u e estas d o s ecuaciones so n sim ilares, e l resu ltad o puede e x ­ diente-deflexión proporcionan un método
presarse com o una so la ecuación. Si se refiere a uno d e los extrem os d el conveniente para encontrar los mom entos
claro com o e l ex trem o cercano (N ) y al o tro extrem o com o e l extrem o
lejan o (F), y se re p re se n ta la rigidez d el elem en to co m o k = I I L , y la m ia- internos e n cada claro.
ción de la cuerda del claro co m o (psi) = A IL .se p u ed e e sc rib ir

Aív = 2 E k (2 0 N + 9f - 3 * ) + (FEM )jy (H -8)
Para el c la ro in te rn o o e l c la ro final
con e l e x tre m o lejano fijo

donde

M n = m om ento interno en e l extrem o cercano d el claro; este
m om ento es positivo en sentido horario cuando actú a sobre
el claro.

E .k = m ódulo de elasticidad del m aterial y rigidez d el claro
k = l/L.

9h , 9f = p e n d ie n te s d e los e x tre m o s c e rc a n o y le ja n o o d e s p la z a ­
m ientos an g u la re s d e l c la ro e n los so p o rtes; los ángulos
se m iden e n radianes y so n positivos en sentido horario.

™ rotación d e la cuerda d el claro debida a un desplazam iento
lin e a l, e s d e c i r . «/» = A / / . ; e s t e á n g u lo se m id e e n ra d ia n e s y
es positivo en sentido horario.

( F E M ) |V « m o m e n to d e l e x tr e m o fijo e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o c e r ­
cano; e l m om ento es positivo en sentido horario cuando
actúa so b re el claro ; consulte la tabla e n el in terio r d e la
contraportada p ara ver distintas condiciones d e carga.

A p a rtir d e la d ed u cció n a n te rio r, la e c u a c ió n 11-6 e s a la vez u n a re la ­
ción d e com patibilidad y d e carga-desplazam iento, que se encontró c o n ­
sid eran d o só lo lo s efecto s d e la flexión e ig norando las deform aciones
axiales y cortantes. S e conoce com o la ecuación general de pendiente-de­
flexió n .C u a n d o se utiliza p a ra la solución d e problem as, esta ecuación se
ap lica do s veces p a ra c a d a e le m e n to d e l c la ro (A B ) \ e s d e c ir, se aplica
d esd e A h asta B y d esd e B hasta A p ara el cla ro A B que se m uestra e n la
figura 11-2 .

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458 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

4á Claro final articulado. E n ocasiones, u n c la ro fin al d e u n a v ig a o

un m arco está so p o rtad o m ed ian te u n p a sa d o r o un rodillo e n su extrem o
le ja n o , fig u ra 11-8 a. C u a n d o e s t o o c u r r e , e l m o m e n to e n e l ro d illo o p a s a ­
dor d eb e se r cero; y siem pre q u e e l desplazam iento an g u lar 0Ben este so ­
p o rte no d eba d eterm in arse.es posible m odificar las condiciones g en era­
les d e la ecuación d e pendiente-deflexión a fin d e aplicarla sólo una vez
al c la ro , e n vez d e d o s veces. P a ra e s to se a p lic a rá la e c u a c ió n 11-8 o las
e c u a c io n e s 11-7 a c a d a e x tre m o d e la v ig a q u e s e m u e stra e n la fig u ra 11-8.
E sto re su lta e n las d o s ecu acio n es sig u ien tes:
(a)

M N = 2 E k (2 0 N + 0F - t y ) + (FE M )jv (11-9)
0 = 2 E k { 2 B F + 0N - 3 * ) + 0

(b) A q u í e l (F E M )f es igual a cero , p u e sto q u e e l o tro ex trem o e stá fijo, fi­
Rgiira 11-8 g u ra 11 -8 6 . P b r o t r o la d o , e l ( F E M ) lVp u e d e o b te n e r s e , p o r e je m p lo , m e ­
d ia n te la ta b la e n la co lu m n a d e re c h a d e l in te rio r d e la c o n tra p o rta d a de
este libro. A l m ultiplicar la p rim era ecuación p o r 2 y restar la segunda
e cu ació n d e é sta , se elim ina la in c ó g n ita 0F y se o b tie n e

M n = 3 E k (8 „ - * ) + (FEM )jv ( 11- 10)

Sólo p a ra un cla ro fin al c o n el ex trem o lejano
articulado o so p o rtad o p o r u n rodillo

C óm o el m o m en to e n e l ex trem o lejan o es igual a c ero ,só lo se necesita
una aplicación d e esta ecuación p ara el claro final. E sto sim plifica el a n á ­
lisis p o rq u e la e c u a c ió n g e n e ra l 11-8, re q u e riría d o s ap licacio n es p a ra
e ste claro y p o r lo ta n to in v o lu cra a l d e sp lazam ien to an g u la r (ad icio n al)
d e s c o n o c id o 0R ( o d F) e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o .

P ara re s u m irla ap licació n d e las ecu acio n es d e p e n d ie n te -d e fle x ió n ,se
co n sid e ra la viga c o n tin u a d e la fig u ra 11-9, la c u a l tie n e c u a tro g rad o s de
lib ertad . A q u í la e c u a c ió n 11-8 p u e d e ap licarse d o s v eces p a ra c a d a u n o
de los tres claros, es decir, d e A a fl.d e fl a A ,d e tí a C ,d c C a fl.d e C a
D y d e D a C . E stas ecu acio n es invo lu cran a las c u a tro ro tacio n es d e sc o ­
n o c id a s ,^ , 0b.O c,0D ‘Sin e m b a rg o ,c o m o lo s m o m en to s ex trem o s e n A y
D son iguales a cero, n o es necesario 0A y 0D. S e p ro d u ce una solución
m ás c o rta al ap licar la ecu ació n 11-10 d e f l a A y d e C a D , p a ra d esp u é s
a p li c a r la e c u a c ió n 11 -8 d e f l a C y d e C a f l . E s ta s c u a t r o e c u a c i o n e s in ­
v o lu c r a n s ó l o a la s r o t a c io n e s d e s c o n o c id a s 0 H y 0 C.

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1 1 . 3 A N Á L IS S DE VIGAS 459

1 1 .3 A nálisis d e vigas

Procedim iento de análisis

G rados d e libertad

M arque lodos los soportes y articulaciones (nodos) con e l fin d e identificar los claros de
la viga o d e l m arco e n tre los n o d o s A l d ib u ja r la fo rm a alterad a d e la estru ctu ra se rá p o ­
sible identificar e l n ú m ero d e g rad o s d e lib ertad . E s posible q u e c a d a n o d o te n g a u n d e s­
plazam iento an g u lar y u n d esp lazam iento lineal. La com patibilidad en los nodos se
m a n tie n e sie m p re q u e los e lem en to s q u e están co n ectad o s fijam en te a u n n o d o e x p e ri­
m enten lo s m ism os desplazam ientos q u e el nodo. Si esto s desplazam ientos n o se co n o ­
cen, y e n g eneral así será, en to n ces p o r com odidad suponga que actúan e n dirección
p o sitiva de m odo q u e cau san u n a ro tación e n sentido hora rio de un e le m e n to o ju n ta , fi­
gura 11-2.

E cuaciones d e p endiente-deflexión

E stas ecu acio n es relacio n an los m o m en to s d esconocidos q u e se aplican a los n o d o s a fin
de cau sar su desplazam iento en cualquier claro de la estructura. Si existe una carga en el
claro, calcule los F E M u san d o la ta b la q u e se e n c u e n tra e n el in te rio r d e la c o n tra p o r­
t a d a . A d e m á s , s i u n n o d o ti e n e u n d e s p la z a m ie n to li n e a l. A , c a lc u le i\¡ = A / / , p a r a lo s c la ­
ro s ad y acen tes. A p liq u e la e c u a c ió n 11-8 a c a d a e x tre m o d e l claro , g e n e ra n d o a sí do s
ecuaciones d e pendiente-deflexión p ara cada claro. Sin em b arg o , si un claro e n e l ex­
trem o de u n a viga o u n m arco c o n tin u o está articu lad o , a p liq u e la ecu ació n 11-10 só lo al
extrem o restringido, lo q u e g e n e ra una ecuación d e pendiente-deflexión p a ra e l claro.

E cuaciones d e equilibrio

E scriba una ecuación d e equilibrio para cad a grado d e libertad desconocido d e la estru c­
tura. C ad a u n a d e estas ecuaciones d eb e expresarse en térm inos d e los m om entos in te r­
n o s d esco n o cid o s seg ú n se especifica e n las ecu acio n es d e p e n d ien te-d eflex ió n . P a ra las
vigas y los m arcos escriba la ecuación de equilibrio d e m o m entos e n c a d a so p o rte, y p ara
los m arcos tam bién escriba las ecuaciones d e equilibrio d e m om entos e n cad a ju n ta. Si el
m arco se lad ea o se defo rm a e n sen tid o horizontal, d e b e n relacionarse las fuerzas co rta n ­
te s de la co lu m n a co n los m o m en to s e n los ex tre m o s d e é sta . L o a n te r io r se analiza e n la
sección 11.5.

Sustituya las ecu acio n es d e p en d ien te-d eflex ió n e n las ecu acio n es d e e q u ilib rio y
resu elv a los d esp lazam ien to s d esco n o cid o s d e las ju n ta s. E sto s re su lta d o s se su stitu y en
e n las ecuaciones d e pendiente-deflexión a fin de d e term in ar los m o m en to s in tern o s en los
ex trem o s d e cad a elem en to . Si algunos de los re su ltad o s s o n negativos. indican g iro en
sentido antihorario,en ta n to q u e los m om entos y los desplazam ientos positivos se aplican
e n sentido horario.

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460 C a p itu lo 11 M é to d o de a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to : E c u a c io n e s de p e n d ie n te -d e fle x ió n

E J E M P L O 11.1 D ibuje los diagram as d e fuerza c o rta n te y d e m o m en to p ara la viga
que se m uestra en la figura ll-1 0 a . E l es constante.
6 kN /m
M BC
L -r-rfíT fi
6m Mc*

(a) (b)

Figura 11-10

S O L U C IÓ N

Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . E n e s te p ro b le m a d e b e n
consid erarse d o s claros. P uesto q u e no hay un claro q u e tenga e l e x ­
trem o lejano articu lad o o so p o rta d o p o r rodillos, se ap lica la ecuación
11-8 p a ra o b te n e r la so lu ció n . Si s e e m p le a n las fó rm u las d e lo s F E M
tabuladas p ara la carga triangular q u e s e m uestran e n el in terio r d e la
co n trap o rtad a.se tiene

wL 6 (6 )J -7 .2 kN •m
(F E M )bc = -
30
30

( F E M ) Cfl wL 6(6)- 10.8 k N • m
20 20

O b s e r v e q u e ( F E M ) flC e s n e g a tiv o p o r q u e a c tú a e n s e n t id o a n ti h o r a ­
rio sobre la viga e n B . A d em ás. ( F E M ) ^ - (F E M )** = O puesto que
no hay carga e n el claro A B.

A fin d e id en tificar las incógnitas, e n la fig u ra 11-106 se m u e stra la
curva elástica d e la viga. C o m o se in d ica, hay c u a tro m o m en to s in te r­
n o s d e s c o n o c id o s . S ó lo la p e n d ie n t e e n f l , 0 fl, e s d e s c o n o c id a . C o m o A
y C so n s o p o rte s fijos, 0 A = Oc = 0. A d e m á s, d a d o q u e los s o p o rte s n o

s e a s i e n ta n , n i s e d e s p la z a n h a c ia a r r i b a o h a c ia a b a jo , i¡i Ab = •I'b c = 0 .
P ara el c la ro A B , si se c o n sid e ra q u e A e s e l e x tre m o c e rc a n o y B e s el
extrem o lejano.se tiene

M n = 2 e ( { ) ( 2 * * + « f - 3*) + (FE M )*

= 2 / r ( 0 [ 2 ( O ) + 0B - 3 (0 )1 + 0 = ^ 9 „ (1 )

A hora, tom ando a B com o el extrem o cercano y a A com o e l extrem o
lejano, resulta

M ,Á = 2 e ( ^ [ 2 9 8 + 0 - 3 (0 )1 + 0 - Y " (2)

D e m an era sim ilar, p ara el claro B C se tien e

M bc = 2 / - ( ^ ) | 20b + 0 - 3 (0 )| - 7 .2 = ™ - 7 .2 (3 )
(4 )
M cb 2 E [ - )[2(0) + 0* El

3 ( 0 ) ] + > 0 .8 = — e R + 1 0 .8

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1 1 . 3 A n ÁLISS DE VIGAS 461

Ecuaciones d e e q u ilib rio . Las c u a tr o e c u a c io n e s a n te rio re s c o n tie ­ M,
n en cin co incógnitas. L a q u in ta ecu ació n n ecesaria p ro v ie n e d e la c o n ­
dición d e l equilibrio d e m om entos e n el so p o rte //.E n la figura II-10c C ty l
* m u estra el d ia g ra m a d e c u e rp o libre d e u n se g m e n to de la viga e n fí.
A q u í se s u p o n e q u e M u * y M flC a c tú a n e n d ir e c c ió n p o s itiv a p a r a s e r I V .,
consistentes con las ecuaciones d e pendiente-deflexión.* l.as cortantes
en la viga con trib u y en con un m o m en to insignificante a lre d e d o r d e fí (C>
puesto q u e el segm ento tiene una longitud diferencial. Por lo tan to .

= O, M Ba + M bc = 0 (5)

P ara reso lv er, su stitu y a las ecu acio n es (2) y (3) e n la ecu ació n (5),
de donde se obtiene

El
Si s e s u s titu y e d e n u e v o e s t e v a lo r e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) r e s u lta

M a b = 1.54 k N - m

M ñÁ = 3.09 k N • m

M bc = -3 .0 9 kN • m

M c b = 12.86 k N • m
H valor negativo p a ra M B( indica q u e e ste m om ento actúa e n sentido
an tih o rario so b re la viga, n o en se n tid o h o ra rio co m o se m o stró e n la
figura 11-106.

C on b ase e n estos resultados, las fuerzas co rtan tes e n lo s claros e x ­
trem os se d eterm in an a p artir d e las ecuaciones d e equilibrio, figura
11-10d. E l d iag ram a d e cu erp o lib re d e to d a la viga y lo sd ia g ra m a s de
fuerza co rtan te y d e m om ento se m uestran e n la figura ll-1 0 e.

6 kN /r

L54 kN -m B f[ = 0.579 kN 1.54 k N -m

(1 3.09 k N -m 1 t 12.86kN -m
4.95 kN
A , - 0.579 kN •8 m - 0.579 kN

P (kN )

- t t 579 4.37. .10.% ,(m)

A# ( k N - m ) sf
1 5 4 2.67
6 k N /m

' ?' . ~ 4 J7 k N ^ r f T í l c / - ,3 6 3 k N

3.09 kN I 6» 112.86 k N • 547 -,M 3

(d) II -

•E n sen tid a horario so b re e l segm ento d e la viga, p e ro (p o r e l p rincipio d e acción, reac­ -3.09 -12.86
ción igual p ero o p u esta) e n sen tid o an tih o rario sobre e l so p o rte
(e)

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462 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

EJEMPLO 11.2

D ib u je los d iag ram as de fu erza c o rta n te y d e m o m en to p a ra la viga
q u e se m uestra en la figura 11-la. E l es constante.

12 k

cr n fí; rm <

— 2 4 p i e s --------- 4

(a) pK
fig u ra 11-11
-g p ie s-

S O L U C IÓ N

Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . E n e s te p ro b le m a d e b e n
co n sid erarse d o s d a ro s . L a ecu ació n 11-8 se ap lica a l d a r o A B . Se
pu ed e u sar la ecuación 11-10 p a ra el claro B C p o rq u e e l extrem o C
está so b re un rodillo. Si s e usan las fórm ulas p a ra los FE M tab u lad as
q u e se encuentran en el interior d e la contraportada, se tiene

w l*21 \_
12( F E M ) * , ---------— = - — ( 2 ) ( 2 4 ) 2 = - 9 6 k - p i e

(FE M )** wL£

12 ^ ( 2 ) ( 2 4 ) 2 % k • p ie

^ -« -S gS = -1 8 k-pie

O b s e r v e q u e ( F E M ) ^ fl y ( F E M ) flí s o n n e g a tiv o s , p u e s to q u e a c tú a n
en sentido a n tih o rario so b re la viga e n A y B , respectivam ente.
A d e m á s , c o m o lo s a p o y o s n o se a s i e n ta n . f AB - if/BC = 0. A l a p lic a r la
ecu ació n 11-8 p a ra e l d a r o A B y to m a r e n c u e n ta q u e 0A = 0 ,s e tiene

M N = 2 e ( 0 2 0 v + eF - 3 * ) + (FE M )*

M ab = 2 f ( ^ ) [ 2 ( 0 ) + 9B - 3(0)J - % ( 1)
M a b = O .O 8333£/0fl - 96

M ba = 2 e (J ^ )\2 0 b + 0 - 3(0)] + %

M B A O .1 6 6 7 £ /0 fl + 96 (2 )

Si se aplica la ecuación 11-10 co n B com o e l e x tre m o cercano y C
com o e l extrem o lejano, resulta

M.v - 3e (j -)(« * - * ) + (FEM)„

M k = 3 Eh| y , - o ) - «8

M bc = 0 3 7 5 E l e b - 18 (3)

R e c u e rd e q u e la ecu ació n 11-10 n o se aplica d e C (ex trem o cercan o ) a
B (extrem o lejano).

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1 1 . 3 A n ÁLISS DE VIGAS 463

E cuaciones d e eq u ilib rio . Las tres ecuaciones anteriores contie­ t ♦J♦" * \ K
nen c u a tr o in có g n itas. 1.a c u a rta e c u a c ió n n e c e s a ria p ro v ie n e d e las t V ..
c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io e n e l s o p o r te H. E n la fig u ra 11 -11 b se m u e s ­ (b)
tra e l diag ram a de c u e rp o libre. Se tien e

t + 2 W fl = O. M ba + M b c = 0 (4 )

P ara reso lv er, su stitu y a las ecu acio n es (2) y (3) en la ecu ació n (4 ), de
d onde resulta

144.0

• '- - i r

C o m o 0b es n eg ativ o (se n tid o a n tih o ra rio ), la c u rv a elástica p a ra la
viga se d ib u jó c o rre c ta m e n te e n la fig u ra 11-1 la . A l su s titu ir 0„ e n las
ecuaciones (l)-(3 ), se obtiene

m a b = - 108.0 k - pie

Mba = 72 .0 k - p i e

M ac = -7 2 .0 k -p ie
C on b a se en esto s d a to s p a ra lo s m om en to s, se h a n d e te rm in a d o las
reacciones c o rta n te s e n los ex trem o s d e los claro s d e la viga, se g ú n se
m u estra e n la figura 11-1 le . L o s d ia g ra m a s d e fu erea c o rta n te y d e
m o m en to se g rafican e n la figura 11-1 Id.

V . - 253 k ±48 k VBf - 22.5 k 12 k
P ..-1 5 k

t í t C t ' t C , = 31) k

108 k ’pic |— 12pie«— |— 12 pies— | 72 k-p 72 k-pie 4 ' 4 1

p ie s pies

(c)

V k)

255 / 15P124 2—8 332
M (k-pie) / -22.5
/
/

/

12.75
54A

x (pies)

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464 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

EJEMPLO 11.3

D ete rm in e el m o m en to e n A y B p ara la viga q u e s e m u e s tra e n la fi­
gura 11-12a. El so p o rte e n B x desp laza (asien ta) 80 m m . C onsidere
q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 (1 0 * ) m m 4.

8 kN

(a)

Figura 11-12

SO L U C IÓ N

Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . E n e s te p ro b le m a só lo d e b e
c o n s id e r a r s e u n c la r o ( A B ) p u e s t o q u e e l m o m e n to e n M Bc d e b i d o a
la salien te p u e d e calcularse a p a rtir d e la estática. C o m o n o hay c arg a
e n el c la ro A B , los F E M so n iguales a cero . C om o se m u estra e n la fi­
gu ra 11-12a.el d esp lazam ien to hacia ab ajo (asen tam ien to ) d e B hace
q u e la c u e rd a del c la ro A B gire e n sen tid o h o rario . P o r lo ta n to ,

0.08 m ,w „

J>ab = ¡>ba = — i— = 0.02 r a d

La rigidez p a ra A B es
(b)

5 (1 0 6) m m 4(1 0 ~ 12) m 4/ m m 4
I ^ I O " 6) m3

4m

A l ap licar la ecuación d e pendiente-deflexión (ecuación 11-8) al
claro A B con 0A = 0 ,se tiene

M n = 2fcQ -)(20* + eF - + (FE M )*

= 2 (2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) [ l . 2 5 ( 1 0 ^ ) m ‘] [ 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 .0 2 ) ] + 0 (1 )

M BA = 2 ( 2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) | 1 .2 5 (1 0 -6) m 3] |2 0 fl + 0 - 3 ( 0 . 0 2 ) ] + 0 (2)

V-£ 8)00 N E cuaciones d e e q u flib rio . E l d iag ram a d e c u e rp o lib re d e la viga
e n e l s o p o r te B s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -12 c. E l e q u il ib r io d e
M|m l E l 8000 N(3m) m om entos requiere que

t + 2 M fl = O, M ra - 8000 N (3 m ) = 0

Br Si se sustituye la ecuación (2) e n e sta ecuación resulta
(C) l( lO 6)0 fl - 3 0 ( 1 0 ') = 2 4 (1 0 3)

dB = 0.054 rad
Por lo tan to , a p a rtir de las ecuaciones (1 ) y (2)

M ab = -3 .0 0 kN • m

M b a = 24.0 k N -m

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1 1 . 3 A n ÁLISS DE VIGAS

M U SIJM KPE1

D eterm in e los m o m en to s in tern o s e n los so p o rte s d e la viga q u e se
m uestra e n la figura 11-13a. E l so p o rte de ro d illo e n C es e m p u ja d o
hacia a b a jo 0.1 p ies p o r la fu e rz a P. C o n sid e re q u e E = 29(10’ ) k si e /
= 1500 pulg4.

-1 5 p ie r­
da»

BJ

+ * .< (' ~ * ID

(b)

Ugura 11-13

SO L U C IÓ N

Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . E n e s te p ro b le m a d e b e n
co n sid erarse tre s claros. Se aplica la ecu ació n 11-8 p o rq u e los so p o rte s
en los e x tre m o s A y D e stá n fijos. A dem ás, sólo e l claro A B tiene
FEM .

w [2 l

(F E M ).,» = = - - ( 1 .5 ) ( 2 4 ) J = -7 2 .0 k -p ie

WI ^ 1
(F E M )BA = — = ~ ( 1 .5 ) ( 2 4 ) = 72.0 k -p ie

C om o se m uestra en la figura 11-136, e l desplazam iento (o asen ta­
m ien to ) d el s o p o rte C o casio n a q u e ip sc sea positivo, p u e sto q u e la
c u e r d a d e l c l a r o B C g ira e n s e n t id o h o r a r io , y t¡/cD * a n e g a tiv o , p o r ­
que la cuerda del c la ro C D gira en sen tid o antihorario. Por lo tanto.

0.1 p ie 0.1 p ie
* cd = - 15 pies
*BC 20 pies 0.005 rad -0.00667 rad
..........~

A sim ism o, al ex p resar las unidades de la rigidez e n p ies.se tiene

■AB 1500 4 = 0.003014 p i e s 3 k Bc = = 0.003617 p ies3
24(12) 20(12)

* c d = ^ ^ = 0.004823 p ie s 3

Si se o b s e r v a q u e 0A = 6 n = 0 p u e s t o q u e A y f í s o n s o p o r te s fijo s, y
se ap lica la e c u a c ió n p e n d ie n te -d e fle x ió n (e c u a c ió n 11-8 ) d o s veces a
cada claro, resulta

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466 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

EJEMPLO 11.4 (C ontinuación)

13 k/pic Para el claro AB:
(a)
M a b = 2 [2 9 (1 0 3)( 1 2 )2] ( 0 .0 0 3 0 1 4 )(2 (0 ) + d„ - 3 (0 )1 - 72

M AB = 25 173.60* - 72 (1)
(2)
M b a = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 2](O.OO3O14)|20* + 0 - 3 ( 0 ) J + 7 2

M BA = 5 0 3 4 7 .2 0 * + 7 2

Para el claro BC:

M b c = 2[29{103) ( 1 2 ) 2l(0 .0 0 3 6 1 7 )I2 « fl H c - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0

M b c = 6 0 4 1 6 .7 0 * + 30 2O8.30C - 453.1 (3)

M c b = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 21(O.OO3617)(20C + 0 * - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0

M C b = 6 0 416.70c + 30 208.30* - 453.1 (4)

Para el claro CD:

Mcd = 2 |2 9 (1 0 3) ( 12 )2J(0 .0 0 4 8 2 3 ) [20c + 0 - 3 ( - 0 .0 0 6 6 7 )| -f 0

M c d = 80 555.60c + 0 + 805.6 (5)

M o c = 2 (2 9 ( 10 3) ( 1 2 )21(0 .0 0 4 8 2 3 )(2 (0 ) + 0C - 3 ( - 0 .0 < ) 6 6 7 ) | + 0

M o c = 4O 2 7 7 .8 0 C + 8 0 5 .6 (6)

P Ecuaciones d e e q u ilib rio . E sta s seis ecu acio n es c o n tie n e n o c h o
Meo incógnitas. Si s e escrib en las ecu acio n es d e e q u ilib rio d e m o m en to s
p a ra los so p o rte s e n B y C. figura 10-13c,se tie n e
U í cn
M í v- (,+ 2 M * = 0; M b a + M bc = 0 (7)
M c. Ve. (,+ S M c = 0 . Mcs + M eo = 0 (8)
»r

(C ) P a r a e n c o n tr a r la so lu c ió n s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 ) y ( 3 ) e n la
ecuación (7). y las ecuaciones (4) y (5) e n la ecuación (8). D e esto resulta,

0c + 3.66708 = 0.01262
- 0 C - O.2140fl = 0 .00250

ft>r lo ta n to .

0ñ = 0.00438 ra d 0C = -0 .0 0 3 4 4 rad

El v alo r negativo d e 0C indica un g iro e n sen tid o inverso d e la ta n ­
gen te e n C , figura 11-13a. A l su stitu ir estos valores e n las ecuaciones
(l)-(6 ) se obtiene

M a b = 38.2 k • pie Resp.
M ba = 292 k -p ie Resp.
M bc = -292 k-p ie Resp.
M Cfl = - 5 2 9 k - p i e Resp.
M e o = 529 k • pie Resp.
M qc = 667 k -p ie Resp.

A p liq u e e sto s m o m en to s e n los e x tre m o s a los claro s B C y C D y d e ­
m uestre q u e Vc . “ 41.05 k, Vc - -7 9 .7 3 k y q u e la fuerza so b re el ro ­
dillo e s P = 121 k.

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1 1 . 3 A n ÁLISS DE VIGAS 467

PROBLEMAS

1 1 -1 . D eterm ine los m om entos en A , B y C .y después d i­ •1 1 -4 . Determ ine los m om entos en los soportes, y des­
buje e l diagram a d e m om ento. E l es constante. Suponga pués dibuje el diagram a de m om ento. Suponga q u e & es un
q u e e l soporte e n R es un rodillo y q u e A y C están fijos. rodillo y q u e A y C están fijos. E l es constante.

3k 3 k 4k

P ro b . 11-4

P r o h . 11—1

11—2 . D eterm in e los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­ 11-5. Determ ine el m om ento c n A . B . C y /) ,y después d i­
buje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la viga. E l m o m e n to de buje el diagram a d e m o m en to p ara la viga. S uponga q u e los
inercia d e cada claro se indica e n la figura. Suponga que el soportes e n A y D están fijos y q u e B y C son rodillos. E l es
soporte e n B es un rodillo y q u e A y C están fijos. E — constante.
2 9 (!0 5) ksi.

P roh. 11-2

11-3. Determ ine los momentos en los soportes A y C , y 1 1 -6 . D eterm in e los m o m en to s e n A , B, C y D. y d e sp u és
después d ib u je e l diagram a de m om ento. S uponga q u e la dibuje el diagram a d e m om ento para la viga Suponga que
junta B es un rodillo. E l es constante. b s soportes e n A y D están fijos y que B y C son rodillos. El
es constante.

9 k 9k

P roh. 11-3

P roh. 11-6

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468 1 1C a p i t u l o M é t o d o d e a n á l isis d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e -d e fl e x ió n

11-7. D eterm ine el m om ento en ti, y después dibuje el 11-10. D eterm ine los m om entos en A y II. y después di­
diagram a de m om ento p ara la viga. Suponga que los sopor- buje e l diagram a d e m om ento para la viga. £ / es constante,
tes e n A y C están articu lad o s y q u e t i es u n rodillo. El es
constante.

*11-8. D eterm ine los m om entos en A. ti y C .y después 11-11. D eterm ine los m om entos en A, B y C .y después di­
dibuje el diagram a d e m om ento. El es constante. Suponga buje e l diagram a de m om ento para la viga. Suponga que el
que e l so p o rte e n t i es u n rodillo y qu e A y C están fijos. soporte e n A está fijo, que ti y C son rodillos, y que D está
articulado. El es constante.

1 1 -9 . D eterm ine los m om entos en cada soporte, y des­ • 1 1 - 1 2 . D eterm ine lo s m o m en to s q u e actú a n e n A y ti.
pués dibuje el diagrama de momento. Suponga que A está Suponga q u e A está fijam ente apoyado, q u e ti es un rodillo
fijo. F.I es constante. y que C está articulado. El es constante.

Proh. 11-9 Proh. 11-12

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1 1 .4 A n á lis is d e m a u c o s : S in l a d e o 469

1 1 .4 A nálisis de m arcos: Sin ladeo

U n m arco n o se ladeará, o no se d esplazará a la izquierda o a la d erech a,
sie m p re y c u a n d o e s té d e b id a m e n te restrin g id o . E n la fig u ra 11-14 se
m uestran algunos ejem plos. A dem ás, n o se producirá un desplazam iento
lateral en un m arco no restringido, siem pre q u e sea sim étrico con res­
pecto a la carga y a la geom etría, com o s e m u estra e n la fig u ra 11-15.
ftira am bos casos, el térm in o y e n las ecuaciones d e pendiente-deflexión
es igual a cero, puesto q u e la flexión n o hace q u e las ju n ta s tengan un
desplazam iento lineal.

Los siguientes ejem plos ilu stran la aplicación d e las ecuaciones d e p en ­
diente-deflexión usando e l procedim iento d e análisis q u e se describió en
la secció n 11-3 p a ra e ste tip o d e m arcos.

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F igu ra 11-15

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470 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

EJEMPLO 11.5 D eterm ine los m om entos en cada ju n ta del m arco q u e se m uestra en
la fig u ra 11-16 a , E l es co n stan te.
24 kN /m
S O L U C IÓ N
/X -.
Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . E n este p ro b le m a d e b e n
121 considerarse tres claros: A B , B C y CD. C om o lo s claros están fija­
m e n te a p o y a d o s e n A y D, se ap lica la ecu ació n 11-8 p a ra e n c o n tra r la
(a) solución.

Figura 11-16 A p a rtir d e la ta b la q u e s e e n c u e n tra e n e l in te rio r d e la c o n tra p o r­
tada. los FE M p a ra B C son

(FE M ) BC 5\vl. 5 (2 4 )(8 )2 -8 0 kN -m
96 96

5wL2 5 (2 4 ) (8 )2
(F E M )cfl = 96 96 - = 80 k N -m

O b s e r v e q u e 0 A = = 0 y q u e i¡,AB = 4>b c = •I'c d = 0 . p u e s t o q u e n o
se producirá un desplazam iento lateral.

A l a p lic a r la e c u a c ió n 11 -8 . se ti e n e

M n = 2 E k (2 0 N + BF - 34,) + (F E M )N

M ab = 2 £ ( ^ ) [ 2 ( ° ) + ~ 3(°)1 + 0
M á b = 0 .1 6 6 7 £ /* fl
(1)
M ba = 2e ( J ^ [ 2 0 b + 0 - 3 ( 0 ) ] + 0 (2)
(3)
M ba = 0.333E Id„ (4)
(5)
M bc = 2 ^ ( g ) |20B + e c - 3(0)1 - 80 (6)
M /u: = 0.5E ie „ + 0.25E I6 C - 80

M cb = 2 * ( j ) p * c + 0B ~ 3(0)1 + «0
M cb = 0.5E 16c + 0.25E I 0 B + 80

M cd = 2 E ( j^ [ 2 d c + 0 - 3(0)J + 0
M cd = O .333£70c

Mdc = 2e (J ^ [ 2 { 0 ) + 9 c - 3 (0 )1 + 0

M o c = O .1667E/0C

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1 1 .4 A n á lis is d e m a r c o s : S in l a d e o 471

E cu acio n es d e e q u ilib rio . Las seis ecuaciones anteriores co n tie­ m. Mo
nen o ch o incógnitas. L as dos ecuaciones d e eq u ilib rio restantes p ro ­ C
vienen d el eq u ilib rio d e m o m en to s e n las ju n tas H y C , figura 11-166. -fr*
Se tie n e ^

T M eo

M b a + M Bc ~ 0 (7) (b)
M Cb + M Cd - 0
(8 )

P ara resolver e sta s o c h o ecuaciones se sustituyen las ecuaciones (2)
y (3) en la ecuación (7). y se rem plazan las ecuaciones (4) y (5 ) en la
ecuación (8). R esulta

0.833E 10b + Q 25EI0C = 80
0 .8 3 3 E !0 C + O .2 5 E /0 fl = - 8 0

Al resolver sim ultáneam ente se ob tien e

••--« c -T r

la c u a l c o n c u e r d a c o n la m a n e r a e n q u e s e d e f o r m a e l m a r c o .c o m o se
m u estra e n la fig u ra II-1 6 a . Si se su stitu y e e n la s ecu acio n es (1 )-(6 ).
se tiene

M a r = 22.9 k N -m Resp.
M b a = 45.7 kN • m Resp.
M Bc = - 4 5 .7 k N - m Resp.
M Cñ = 45.7 kN • m Resp.
M Cd = - 4 5 . 7 k N • m Resp.
M oc = -2 2 .9 k N -m Resp.

C 6n b a se e n e sto s re su lta d o s p u e d e n d e te rm in a rse las reaccio n es e n
los extrem os de cad a ele m e n to a p artir de las ecuaciones d e eq uilibrio y
es p o sib le d ib u ja r el d ia g ra m a d e m o m en to p a ra el m arco, fig u ra 1l - 16c.

823 kN-m

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472 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

EJEMPLO 11.6

D eterm ine los m om entos internos en cada ju n ta d e la estructura q u e
se m uestra e n la fig u ra 11-17a. E l m o m en to d e inercia p a ra cad a e le ­
m e n to s e d a e n la f ig u r a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si.

6k

Figura 11-17

S O L U C IÓ N

Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . E n e s te p ro b le m a d e b e n
co n sid erarse c u a tro claros. S e ap lica la ecu ació n 11-8 a los claro s A B y
B C , y la ecu ació n 1 1-10 a C D y C E , p o rq u e los ex trem o s e n D y E
están articulados.

Si se calculan las rigideces d e los elem entos, se tien e

400 200
* A B 4 = 0 0 0 1 2 8 6 p i e s ' k CD 4 = (1000643 p ie s 3
15(12)4 ”r " 15(12)'

kñc 0.002411 p ie s 3 k CE = = 0.002612 p ie s 3

16 (12)4 *'*’ ‘ 12(12)'

Los F E M d eb id o s a las cargas son

(FE M ) s c P L 6(16) -1 2 k-pie
- = --^ =

P L 6(16)
( F E M ) Cfi = — = - Y 2 = 12 k • p ie

(F E M ) c e wL2 3(12)2

g - j - = - 5 4 k -pie

A l a p licar la s ecu acio n es 11-8 y 11-10 a la e stru c tu ra y to m ar en

c u e n ta q u e 0 A = 0 , i/>AB = i¡ib c = •k c n = I c e = O d a d o q u e n o s e p r o ­
duce desplazam iento lateral.se tiene

M n = 2E k(2B N + 0F - t y ) + (FE M )*

M a b = 2 (2 9 (1 0 3)( 12 ) 2|( 0 .0 0 1 2 8 6 ) ( 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 )1 + 0

M Añ = 10740.70« (1)

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1 1 A A n á lis is d e m a u c o s : S in la d e o 473

M BA = 2 [2 9 ( 103) ( 1 2 )2] (0 .0 0 1 2 8 6 )[20B + 0 - 3 ( 0 ) ] + 0 (2)
A #*, « 2 1 481.5»*

M « 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 ) 2|( 0 .0 0 2 4 1 1 )[20„ + 0C - 3 ( 0 ) ] - 12

M k = 40 277.86B + 20 138.90c - 12 (3)

M c b = 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 )2](0 .0 0 2 4 11 )[26c + 0 B - 3 ( 0 ) ] + 12

M c b = 2 0 1 3 8.90fi + 40 2 7 7 .8 6C + 12 (4)

M s = 3E k ( 6 N ~ * ) + (FEM)*, (5)

M c n = 3 [2 9 ( 103) (1 2 )2] (0 .0 0 0 6 4 3 ) [dc - 0 ] + 0

M Cn = 8055.60c (6 )
M Ce = 3 [2 9 ( 103) (1 2 ) 2| (0 .0 0 2 6 1 2 )|0 c - 0 ] - 5 4
M Ce = 32 7 2 5 .7 6C - 54

Ecuaciones d e e q u ilib rio . E stas seis e c u a c io n e s c o n tie n e n o ch o
incógnitas. E s p o sib le escrib ir d o s ecu acio n es de eq u ilib rio d e m o ­
m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 11 - 17 b . S e o b tie n e

T «„ Í Mc»

M ba + M k = 0 (7) <b)
Mcb + M cd + M ce - 0
(8 )

A fin d e e n c o n tra r la so lu ció n ,se su stitu y en las ecuaciones (2 ) y (3) en
ki e c u a c i ó n ( 7 ) , y la s e c u a c io n e s ( 4 ) - ( 6 ) e n la e c u a c ió n (8 ). D e e s t o r e ­
sulta

6 1 7 5 9 3 6 B + 2 0 1 3 8.90c = 12

2 0 138.90fl + 81 0 5 9 .0 0 c = 42

Al resolver estas ecuaciones sim ultáneam ente se ob tien e

0fl = 2 .7 5 8 ( 10-5) ra d 0C = 5.113(10-4) rad

Al te n e r un sen tid o h o rario ,esto s valores tienden a d istorsionar la es­
tru ctu ra co m o se m u estra e n la fig u ra 11-17a. S i se su stitu y en e sto s va­
lores e n las e c u a c io n e s (1 )-(6 ) y se resu elv e, re s u lta

M a b = 0.296 k - p ie Resp.
M ,m = 0.592 k - p ie Resp.
M BC = - 0 .5 9 2 k - p i e Resp.
M c b = 3 3 .1 k • pie Resp.
M c n = 4.12 k - pie Resp.
M c e = “ 3 7 .3 k -pie Resp.

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474 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

lig a ra 11-18 1 1 .5 A nálisis de m arcos: C on la d e o

U n m arco se ladea, o se desplaza lateralm en te.cu an d o la carga q u e actúa
sobre él n o es sim étrica. Para ilu strar este efecto, considere e l m arco de
la fig u ra 11-18. A q u í, la c a r g a P p ro v o c a m o m e n to s d e s ig u a le s M flC y
M Cfl e n la s j u n t a s t í y C , r e s p e c tiv a m e n te . M flC ti e n d e a d e s p l a z a r la
ju n ta tí h a d a la derecha, m ientras q u e M ea tiende a desplazar la ju n ta C

h a c ia l a iz q u ie rd a . P u e s to q u e M n c e s m a y o r q u e M< * ,e l r e s u lta d o n e to

es un d esplazam iento la te ra l A de las d o s ju n ta s B y C hacia la d erech a,
co m o se m u estra e n la fig u ra.* P o r lo ta n to , a l a p lic a r la e c u a c ió n de
pendiente-deflexión a cada colum na d e este m arco d eb e considerarse
la r o t a d ó n d e la c o lu m n a (p u e s to q u e ip = A / £ ) c o m o in c ó g n ita e n la
ecuación. E n consecuencia, d e b e incluirse u n a ecuación d e equilibrio
adicional p ara o b te n e r la solución. E n las secciones anteriores se d e ­
m o stró q u e los desplazam ientos angulares desconocidos 0 se re la d o n a n
m ediante las ecuaciones d e equilibrio de m om entos en las juntas. D e una
m anera sim ilar.cu an d o se p ro d u cen desplazam ientos lineales desconoci­
d o s A e n la s ju n ta s ( o r o t a c io n e s i¡i d e l c la r o ) , s e r e q u i e r e e s c r ib ir las
ecuaciones de equilibrio d e fu erza s p ara o b te n e r la solución com pleta.
Sin e m b a rg o , las incógnitas en esta s ecuaciones só lo d e b e n incluir los
m o m en to s internos q u e actú an e n lo s ex trem o s de las colum nas, puesto
q u e las ecuaciones de pendiente-deflexión involucran a esto s m om entos.
L a técnica p ara resolver los problem as de m arcos co n desplazam iento la­
teral se ilustra d e m ejor m anera m ediante ejem plos.

EJEMPLO 11.7

D eterm ine los m om entos en cada ju n ta del m arco q u e se m uestra en
la figura 1 l-1 9 a. E l es c o n stan te.

401c S O L U C IÓ N

12 pies

(a) E cu acio n es d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . C óm o los extrem os e n A y
Figura 11-19 D están fijos, se aplica la ecu ació n 11-8 a los tre s claros d e la e stru c ­
tura. A q u í se produce desplazam iento lateral porque ni la carga ap li­
M AB cada ni la geo m etría d e la estructura son sim étricas. E n este caso, la
carga se ap lica d irectam en te a la ju n ta tí y, p o r lo ta n to , ningún FE M
M BA a c tú a e n la s ju n ta s . C o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 11-1 9 a . s e s u p o n e
q u e am b as ju n ta s tí y C se d e sp la z a n u n a cantidad ig u a l A. E n c o n se ­
Mi c u e n c ia . j»AB = A /1 2 y i[id c = A /1 8 , A m b o s té r m in o s s o n p o s itiv o s
p o rq u e la cu erd a de los ele m e n to A tí y C D "g iran ” en se n tid o h o ra ­
rio . S i s e r e l a c io n a il/AB c o n i|»o c , s c t i e n e jiAB = (1 8 /1 2 )i/rDO A l a p lic a r
la e c u a c ió n 11-8 al m arco , re su lta

“ ( n ) 2 (0 ) + 9fí ~ l f * DC) ] + 0 = E l (O.16670fl - 0 .7 5 * n c ) (1)

©2 £ [ — 2 0 , + 0 - 3 ( | | * « ; ) ] + 0 = E l { 0 3 3 3 0 B - O J S t o c ) (2 )

2 E [ j ^ j [ 2 B B + 0C - 3 ( 0 ) ] + 0 = £ 7 ( 0 .2 6 7 0 * + O .1 3 3 0 c ) (3)

•Recuerde que la deformación de los tres elementos debida a la tuerca cortante axial es in­
significante.

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1 1 . 5 A n Al is i s d e m a r c o s : C o n l a d e o 475

M cb = 2 E ( j ^ j [ 2 B c + 0„ ~ 3 ( 0 ) | + 0 = E l (0.2610C + O.1330fl) (4)

M e o = 2 e ( J ^ [ 2 B c + 0 - 3 * K \ + 0 = E /(O .2 2 2 0 C - 0.3334>oc) (5 )

M o c = 2 E ^ ) [ 2 ( 0 ) + dc - 3 M + 0 = £ 7 (0 .1 110c - 0 . 3 3 3 * d c ) (6 ) Msc

40 k ■ ^ &
T~„
Ecuaciones d e e q u ilib rio . Las seis e c u a c io n e s c o n tie n e n n u ev e T MCD
incógnitas. E s p o sib le escrib ir d o s ecu acio n es de eq u ilib rio d e m o ­
m entos p ara las ju n ta s B y C , figura 11-196,a sab er,

M ba + M bc = 0 (7 ) (b)
A fea + M cn = 0
(8)

C om o se presenta un desplazam iento horizontal A. se considerará

la s u m a to r i a d e la s fu e rz a s s o b r e io d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n x . D e
esto resulta

■ ± Z F , = 0; 40 — V A — V p = 0 p-

Las reacciones horizontales o fuerzas cortantes d e colum na VA y VD 12 pies
pueden relacionarse con los m om entos internos al considerar el d ia­
gram a d e cu erp o libre d e cad a colum na p o r sep arad o , figura 1l-19c.
Se tie n e

SAZ*, = 0; M ab + M ba MV'amT •

12

2 A /C = O, M pc + M eo v „-f-
R>r lo tanto, Vd - -
(c)
18

40 + M a b + M b a + M oc + M cn 0 (9)
12 18

A fin d e resolver, se sustituyen las ecuaciones (2 ) y (3) en la ecua-

d ó n (7), las ecuaciones (4 ) y (5 ) e n la ecuación (8), y las ecuaciones

(1), (2), (5 ) y (6) e n la ecuación (9). D e aq u í se o b tien e

O.60fl + 0 .1 3 3 0 c - 0.75 * dc = 0

0.1330b + O.4890c - 0 .3 3 3 ^ o c = 0

480
0 . 5 0 b + O.2220c. - 1.944V/OC = -

£/

Al resolver sim ultáneam ente, se tiene

£ / 0 fl = 438.81 £ / 0 c = 136.18 E l ^ p c = 375.26

ft>r ú ltim o , co n b a se e n e s to s re s u lta d o s y reso lv ie n d o las e c u a c io n e s ( l) - ( 6 )
s ; obtiene

M Ab = - 2 0 8 k -p ie Resp.

M Ba ° -1 3 5 k •p ie Resp.

M b c ~ 135 k •p i e Resp.

M cb = 94.8 k •p ie Resp.

M Co = ^ 9 4 .8 k ■p ie Resp.

A /bc = - 1 1 0 k -p ie Resp.

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476 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

D eterm ine los m om entos en cada ju n ta del m arco q u e se m uestra en
la fig u ra 1 l- 2 0 a . L o s s o p o r te s e n A y D e s tá n fijo s y s e s u p o n e q u e la
ju n ta C está articulada. E l es constante p a ra cada elem ento.

S O L U C IÓ N
Ecuaciones d e p e n d ie n te -d e fle x ió n . Se ap lic a rá la ecu ació n 11-8
al elem en to A fí puesto q u e está conectado fijam ente en am bos ex tre ­
m os. La ecuación 11-10 p u ed e ap licarse d e / í a C y d e / ) a C p o rq u e el
pasador en C so p o rta un m om ento cero. C om o se m uestra en el d ia­
gram a de deflexión, figura 11-206. hay un desplazam iento lineal d e s­
conocido d e la estructura y un desplazam iento angular desconocido
6„ en la ju n ta B * D ebido a A. los elem entos de la cu e rd a A B y C D
g ira n e n s e n t id o h o r a r io , i = i¡iAfí = iftp c = A /4 . S i s e to m a e n c u e n ta
q u e dA = 0 D = O .y q u e n o h a y F E M p a r a lo s e le m e n to s , s e ti e n e

+ 0F - 3*) + (FE M )*

+ 0B - 3 * ] + 0

+ 0 - 3*) + 0

~ t ) + (FE M )*

E cuaciones de e q u H ib rio . E l e q u ilib rio d e m o m en to s e n la ju n ta B .
figura 11-2 0 c.req u iere q u e

M ba + M ac = 0 (5 )

Si las fu e rz a s se su m an p a ra to d o el m a rc o en la d irecció n h o rizo n ­
tal, resulta

X S F , = O. 1 0 - VA - V D - 0 (6)

C om o se m u estra e n e l diagram a d e c u e rp o lib re d e cad a colu m n a, fi­
gura ll - 20d.se tiene

M ab + M ba
V 'x

VD

• L o s d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s 0 CB y Bc n e n la j u n t a C ( a r ti c u la d a ) n o e s t á n in c lu i­
d o s e n e l análisis d eb id o a q u e se d e b e u sar la ecuación 11-10.

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1 1 .5 A n á lis is d e m a r c o s : C o n l a d e o 477

Entonces, a p artir d e la ecuación (6), - é r v* t

(7) - ^ Vc
A l su stitu ir las ecuaciones d e pendiente-deflexión e n las ecuaciones
(5) y (7 ) y al sim plificar se o b tien e

» * ¥ (!-■- ¥ * ) -

R»r lo tanto. v- t " -

(d)

240 320
e* 21 E l 2 \E l

Si s e s u s titu y e n e s t o s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) , s e tie n e

M a r = -1 7 .1 k N - m . M BA = - 1 1 .4 k N • m Resp.
M b c = 11.4 k N - m , M ^ = - 1 1 .4 k N • m Resp.

C b n base e n estos resultados, es posible d eterm in ar las reacciones en
b s extrem os d e cada elem en to a p artir d e las ecuaciones d e e q u ili­
brio, figura 1l-20e. E l diagram a d e m om entos p a ra el m arco se m ues­
tra e n la figura 11-20/

3.81 k N 3.81 kN 3.81 k N

2 8 6 kN 2 8 6 kN

10 kN I H *“ 2«.86«k NH i *1"

l1M1 . 4kkKN--im» 11.4 kN* 3.81 kN

t ir 2.86 kN

11.4 k N -m

3.81 kN

3.81 kN

11.4 k N -r
7.14 kN

2 * 6 kN

11.4 kN*

T"7 . 1 4 k N ♦ + - 381 kN
.1 k N • i
3.81 k N (e) (0

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478 C a p it u l o 11 M é t o d o d e a n á l is is d e l d e s p l a z a m ie n t o : E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f l e x ió n

EJEMPLO 11.9 E xplique có m o se d e te rm in a n los m o m en to s en cad a ju n ta d e la e s­
tr u c tu r a d e d o s n iv e le s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -2 1 a . E l e s c o n s ­
A, + A , ta n te .
4)kN
S O L U C IÓ N
7 m ------
Ecuación de pendiente-deflexión. C o m o los s o p o r te s e n A y F
<■)
Figura 11-21 e stá n fijos, la ecuación 11-8 se aplica p a ra los seis claro s d e la e stru c ­
tura. N o es necesario calcular ningún FE M porque la carga aplicada
ac tú a e n las ju n ta s. A q u í, la carg a d esp la z a a las ju n ta s R y E una c a n ­
tid a d A i. y a C y D u n a c a n tid a d A | + A?. E l re s u lta d o es q u e lo s e le ­
m e n to s A B y F E e x p e rim e n ta n ro tacio n es d e = A ,/5 .y B C y E D se
som eten a rotaciones d e “ A ^S.

A l a p lic a r la e c u a c ió n 11-8 a l m arco se o b tie n e

Mab = 2 f ( j y [2 (0 ) + e B - 3 * ,] + 0 (1)
Mba = 2 E ^ [ 7 B b + 0 - 3 * J + 0 (2)
M b c = 2 ¿ ( 0 [ 2 0 s + ec - 3<tel + o (3)
M c b = 2 £ ^ 0 [ 2 0 c + 0B - 3 ^ 2] + 0 (4)

M c d = 2 E Í ^ p 0 c + 0D - 3 (0 )1 + 0 (5)

M a c = 2 e ( ^ ) [ 2 B d + 0 C - 3(0)1 + 0 (6)

M b e = 2 £ ^ ) [ 2 0 a + eE - 3(0)1 + 0 (7)

M f b = 2 e ( Í ) [ 2 0 * + Bñ - 3(0)1 + 0 (8)
(9)
M Ef> = 2 e [ ^ \ 2 B e + 0 n - 3 * 21 + 0

M nE = 2 e Q ) [ 2 9 0 + B E - 3 * 2) + 0 (10)

M f e = 2 £ G ) ,2 (o ) + °F ~ 3^ '1 + 0 (11)
(12)
Me f = 2 e ( -‘ W + 0 - 3^,1 + 0

E stas 12 ecu acio n es co n tien en 18 incógnitas.

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