Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

8 .5 M É T O D O D E L A VIG A CO NJU GADA 329

D eterm in e la p e n d ie n te y la d eflex ió n e n el p u n to & de la viga de
acero q u e se m u estra en la figura 8-25a. L as reacciones ya se han
c a lc u la d o . E = 2 9 (1 0 3) k s i , / = 8 0 0 p u lg 4.

(!■ Slc 15

75 k-pie I

1 5 p ies.

viga real

<■)

Figura 8-25

S O L U C IÓ N viga co n ju g ad a
(b)
V ig a co njugada. L a fig u ra 8-25b m u estra la viga co n ju g ad a. L os s o ­
p o r te s e n A ' y B ' c o r r e s p o n d e n a lo s s o p o r t e s A y B ck: la v ig a r e a l,
ta b la 8-2. E s m u y i m p o r t a n te e n t e n d e r p o r q u é s u c e d e e s t a E l d i a - 75
gram a M IE l es negativo, p o r lo q u e la carga distribuida actúa hacia "
a b a jo .es decir, se aleja d e la viga.

E q u ilib rio . D a d o q u e hay q u e d e te rm in a r 0 B y Afl. es n e c e s a rio calcu­
la r V B‘ y Affl<e n la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 8-25c.

+ T2F, = 0; 562.5 k - p i e 2 -2 5 pie M,
El
reacciones 1
562.5 k • pie2 (c)
V,

0b - V tr - - El

-562 .5 k -p i e2 5 6 2 .5
2 9 (1 0 5) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg V p ie 2) 8 0 0 p u I g 4( I p ie 4/ ( 1 2 )4 p u lg 4) El

-0.00349 rad Resp.

562 5 k •oie2
= 0;— -------------- (2 5 p ie s ) + M K = 0

14062.5 k - p i e 3 — r~

Afl = M tt = - El a.

— J-

- 1 4 062.5 k -p ie 3 (d>
2 9 (1 0 3)( 1 4 4 ) k / p i e 2|8 0 0 /( 1 2 ) 4l p ie 4

-0.0873 p ies = -1 .0 5 pulg Resp.

Ix>s sig n o s n e g a tiv o s in d ic a n q u e la p e n d ie n te d e la v ig a se m id e e n
sentido h o rario y q u e el d esp lazam iento es hacia ab ajo , figura 8-25d.

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330 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

E J E M P L O 8.14 D e term in e la d e fle x ió n m áxim a de la viga d e a ce ro q u e se m u estra en

8 kN la fig u ra 8 -2 6 a . L as re a c c io n e s y a h a n s id o c a lc u la d a s. E = 200 G P a ,

J / = 6 0 ( 1 0 6) m m 4.

18

Fl

\- -9 m - m—j
viga ical
2kN 6kN

(a)
figura 8-26

(b)

^ 4 A 27 S O L U C IÓ N

•i rk V ig a c o n ju g a d a . E n la figura 8-26b se m u estra la viga conjugada
cargada con e l diagram a M /E I. C om o óste es positivo, la carga d istri­
I- 1— ~ — K2" 4 bu id a a c tú a h acia a rrib a (aleján d o se d e la viga).

45 63 E q u H íb río . L a s re a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a se d e ­
term inaron e n prim er lu g ar y se indican en e l diagram a d e cu erp o
0 El libre d e la figura 8-26c. L a deflexión m á xim a de la viga re a l se produce
e n e l p u n to d o n d e la p endiente d e la viga es cero. E sto co rresp o n d e al
reacciones externas m ism o p u n to e n la viga conjugada d o n d e la fu erza cortante es cero. Si
(c) se su p o n e q u e este pu n to actú a d e n tro d e la región ü s r s 9 m desde
A \ se p u e d e a isla r la secció n q u e se m u estra e n la fig u ra 8-26d. O b ­
g < í> - serve q u e el pico de la carga distribuida se d eterm in ó p o r triángulos
sem ejantes, es decir, w /x = (\S /E I)/9 . Se requiere q u e V' = ü d e m odo
r<rfrT ff !»! que

A' + Í 2 f \ . = 0; El 2 \ EI/ =0
x - 6.71 m (0 s x 9m lO K
f v-o
U sando este v alo r d e x , la deflexión m áxim a en la viga real co rres­
45 p o n d e a l m o m e n to M '. P o r co n sig u ien te.
El
§ (6 7 .) - [ f ( ® H -(6.71) + M '
reacciones in tern as

<d)

'mlx = M ' = - 201.2 k N - m -

El

-201.2 IcN-m3 Resp.
[2 0 0 ( 106) k N / m 2][60( 106) m m 4( l m 4/ ( 103)4 m m 4)j

= -0.0 16 8 m = -1 6 .8 mm
F.1 s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e la d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo .

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8 .5 M É T O D O D E L A VIG A CO NJU GADA 331

L a trab e d e la fig u ra 8-27a está h echa d e una viga con tin u a y refo r­ 6 k 8 k 6k
zada en su centro, con placas d e co b ertu ra e n e l sitio d o n d e su m o ­
m ento de inercia es m ayor. L os segm entos extrem os d e 12 pies tien en i 1i
un m om ento d e inercia d e / = 450 pulg4 y la p a rte cen tral tiene un
m o m e n to d e in e r c ia d e / ' = 9 0 0 p u lg 4. D e te r m in e la d e f le x ió n e n e l ah
c e n tr o C. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. L a s r e a c c io n e s y a h a n s id o .o
calculadas.
* /= 4 5 0 p u lg * / = 900pulg* /= 4 5 0 p u lg 4A
SO L U C IÓ N
10 k 10 k
V ig a c o n ju g a d a . E n p rim er lugar se determ ina el d iagram a de
m o m e n to p a r a la v ig a, f i g u r a 8-27¿>. C o m o / ' = 2 /, p o r sim p lic id a d , viga real
la c a rg a so b re la viga co n ju g ad a p u e d e ex p re sa rse e n térm in o s d e la
co nstante d e £7, com o se m u estra e n la figura 8-27c. (a)

Figura 8-27

E q uilibrio. Las reacciones so b re la viga co n ju g ad a p u ed en calcu ­
larse p o r la sim etría d e la carga o m ediante las ecuaciones d e eq u ili­
brio. L os re s u lta d o s s e m u e s tra n e n la f i gur a 8-27</. C o m o d e b e d e te r ­
m inarse la deflexión e n C ,se d eb e calcular e l m om ento in tern o en C \
E m pleando e l m éto d o d e las secciones.el seg m en to A 'C ' se aísla y se
determ inan las resultantes d e las cargas distribuidas, así com o su ubi ­
cación. figura 8-27e. Por lo tan to ,

1+2M c = O, ^ ( 1 8 ) - f > ) - ~ * ( 3 ) - j - ^ 2 ) + M C = 0

Mc =~ II 736 k-p ie3 A /(k p ie)
120 144 120
El

Al sustituir los datos num éricos p ara E l y al co n v ertir las unidades, se * (pies)
tiene 36

11 7 3 6 k - p i e 3( 1728 p u l g '/ p i e 3) PU' 8 12 18 24
A c = M c ' = - 2 9 ( lÓ ') k /p u lg ?(4 5 0 p u lg 4) = diagram a d e m om ento

(b)

El signo negativo indica q u e la deflexión e s hacia abajo.

720 720

y - tí ?

,-í R d X

m acao n es externas reacciones in tern as
(e)
«b

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332 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

E J E M P L O 8.16

D e te rm in e e l d e s p la z a m ie n to d e l p a s a d o r e n B y la p e n d ie n te d e c a d a
se g m en to d e viga c o n ec ta d o a l p a sa d o r p a ra la viga c o m p u esta q u e se
m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 - 2 8 a . E = 2 9 ( 1 0 3) k s i , / = 3 0 p u l g 4 .

8k

T ^ O k - P*e 8k

— 12 pies — 12 pies -j- 15 pies — I curva elástica
viga conjugada (b)
(a)

Figura 8 -2 8

S O L U C IÓ N

V ig a c o n ju g a d a . En la figura 8-28b se m uestra la curva elástica
p a ra la v ig a c o n e l fin d e id e n tif ic a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o Afl
y la s p e n d ie n t e s ( 0 fí)L y ( 0 fí) R a la iz q u ie r d a y a la d e r e c h a d e l p a s a ­
d o r. U sa n d o la ta b la 8.2. la viga co n ju g ad a s e m u estra en la figura
8.28c. R jr sim plicidad e n e l cálculo, e l d iag ram a M /E I se h a e la b o ra d o
e n parles em pleando el principio d e superposición com o se describe
e n la sección 4-5. A este respecto, la viga real se co n sid era e n voladizo
desde e l soporte izquierdo, A . Se p roporcionan los diagram as d e m o­
m e n to p a ra la c a rg a de 8 k , la fu erza re a c tiv a Cy = 2 k , y la c a rg a d e 30
k • pie. O b s e rv e q u e la s re g io n e s n e g ativ as d e e ste d ia g ra m a d e s a rro ­
llan u n a carg a d istrib u id a hacia ab ajo y las regiones positivas tienen
u n a carga distribuida q u e actúa hacia arriba.

(c) reacciones externas
<d)
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8 .5 M É T O D O D E L A VIG A CO NJU GADA 333

E q u ilib rio . En p rim er lugar se calculan las reacciones ex tern as en 225 3.6
B ' y C ' y los re su ltad o s se indican e n la figura 8-28d. P a ra d e te rm in a r El
(0fí)R se seccio n a la viga co n ju g ad a ju s to a la d erech a d e B ' y se calcula E l.
h f u e r z a c o r t a n t e (V'/J-)#í. fig u ra 8 -2 8 e . E n to n c e s .
5P ^ -:

+ Í 2 F y = 0; b p ie i

228.6 k • pie7 450
El El

(e)

(0 b ) r = { V B' ) r

228.6 k • pie2
(2 9 (1 0 3) ( 1 4 4 ) k / p i c 2] [ 3 0 /( 1 2 ) 4j p ie 4

0.0378 rad Resp.

El

E l m om ento interno en B ’ produce e l desplazam iento d el pasador. 5 p ta -¡ I-.. M
Así que.
M » . *— l S p i c S - ^ l

(,+ S W b - = O, - M e + | í ( 5 ) - |5 (7 .5 ) - |y (1 5 ) = 0

2304 k • pie3 (0

As = M g = - El

-2304 k-pie3
(29( 10 3) (1 4 4 ) k / p i e 2|( 3 0 / ( 12 ) 4| p i e 4

-0 3 8 1 p ies = -4 .5 8 pulg Resp.

L a p e n d ie n te ( 6a)¡. p u e d e e n c o n tra rse a p a rtir d e u n a sección de la
viga ju s to a la izq u ierd a d e B ’. figura 8-28f P o r lo ta n to .

(V \ , 228.6 225 450 3.6 _
El + El El El

(Bb )l = [ V it)l = 0 Resp.

I b r s u p u e s t o , Afl = M ñ >p a r a e s t e s e g m e n to e s e l m is m o q u e s e c a lc u ló
con an terio rid ad , ya q u e e n las figuras 8-28e y 8 -2 8 /lo s brazos d el m o­
m ento sólo son algo diferentes.

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334 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

13-10. Use los teorem as d e l m om ento de á re a y d e te r­ 13-16. Use los teorem as d e l m om ento de á re a y d e te r­
mine la p e n d ien te e n A y la d e flex ió n e n A , E l e s constante. mine la p e n d ie n te e n A y e l desplazam iento e n C. F.I es
13-1L R esuelva e l problem a F 8-10em p lean d o e l m étodo constante.
de la viga conjugada.
13-17. Resuelva el problem a F8-16 em pleando e l m étodo
6kN de la viga conjugada.

8kN

3m — 2 t= r A-

RI-10/8-11 | 3 m ------------------1--------------- 3 m -----------------1

1 3 -1 6 /8 -1 7

13-12. Use los teorem as d e l m om ento de á re a y d e te r­ 13-18. Use los teorem as d e l m om ento de á re a y d eter­
mine la pendiente en B y la deflexión en B. E l es constante. mine la p e n d ie n te e n A y e l d esp lazam ien to e n C. E l es
constante.
13-13. Resuelva e l problem a F8-12 em pleando e l m étodo
de la viga conjugada. 13-19. Resuelva el problem a F8-18 em pleando e l m étodo
de la viga conjugada.

4 kN 4 kN

8 kN-m

■)

|‘ 4 m 'I

1 3 -1 2 /8 -1 3

13-14. Use los teo rem as d e l m om ento d e área y d e te r­ 13-20. Use los teorem as del m om ento de área y d eter­
m ine la p e n d ien te e n A y e l d esp lazam ien to e n C. E l es mine la p e n d ie n te e n B y e l d esplazam ien to e n B . E l es
constante. constante.

13-15. Resuelva el problem a F8-14 em pleando el m étodo 13-21. Resuelva e l problem a F8-20 em pleando e l m étodo
<fc la viga conjugada. <fc la viga conjugada.

5 kN-m I

^= 7 15 2m 2 m
1 3 -2 0 /8 -2 1
I 1 .5 m -----------
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1 3 -1 4 /8 -1 5

8 .5 M É T O D O D E L A VIG A CO NJU GADA 335

PROBLEMAS

8-10. Determ ine la pendiente en fí y el desplazamiento 8-18. D eterm ine la pendiente y e l desplazam iento e n C.
máximo d e la viga. Use los teorem as d e l m om ento d e área. E l es constante. Use los teorem as del m om ento d e área.
C onsidere q u e F. = 29(10’) ksi. / = 500 p u lg 4. 8-19. Resuelva el problem a 8 -1 8 em pleando el m étodo de
la viga conjugada.
8-11. Resuelva el problem a 8-10 em pleando el m étodo de
la viga conjugada. JE

15 k P ro b s. 8-18/8-19
•8-20. D eterm ine la pendiente y el desplazam iento en el
frc1. J e x tre m o C tfc la viga. E = 2 0 0 G P a . / = 7 0 ( 1 0 6) mm* U se
R los teorem as del m om ento de área.
--------- 6 pies--------------- ---------- 6 pies-------------- - 8-21. Resuelva el problem a 8 -2 0 em pleando el m étodo de
la viga conjugada.
Probs. 8-10/8-11
8 kN
*8-12. D eterm ine la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n C.
E l es constante. Use los teorem as del m om ento d e área. 8-22. ¿A qué distancia a deben colocarse los soportes de
cojinete en A y tf.de modo que el desplazam iento e n el cen­
8-13. Resuelva el problem a 8-12 em pleando el m étodo de tro del eje sea igual a la deflexión en sus extrem os? Los co ­
la viga conjugada. jinetes sólo ejercen reacciones verticales sobre el eje. E l es
constante. U se los teorem as del m om ento d e área.
15 k 8-23. Resuelva el problem a 8 -2 2 em pleando el m étodo de
la viga conjugada.
=i

- 30 p ies — 15 pies— |

Probs. 8-12/8-13

8 -1 4 . D eterm ine e l v a lo r d e a tfc m o d o q u e la p e n d ie n te
en A sea igual a cero. £ / es constante. Use los teorem as del
m om ento de área.

8-15. Resuelva el problem a 8 -1 4 em pleando el m étodo de
la viga conjugada.

•8-16. Determ ine el valor de a de modo que el desplaza­
m iento en C sea igual a cero. E l o constante. Use los teore­
mas d el m om ento de área.

8-17. Resuelva el problem a 8 -1 6 em pleando el m étodo de
la viga conjugada.

PP

A --2 — D L
2
_ a H ---------L ----------1

P ro b s. 8 -1 4 /8 -1 5 /8 -1 6 /8 -1 7 P ro b s . 8 -2 2 /8 -2 3

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336 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

*8-24. Determine el desplazam iento en C y la pendiente *8-28. D eterm ine la fuerza F en e l extrem o d e la viga C
en B. E l es constante. U se los teorem as d e l m om ento de de modo que el desplazam iento en C sea igual a cero. E l es
área. constante. Use los teorem as del m om ento d e área.

8-25. Resuelva el problem a 8.24 em pleando el m étodo de £L
la viga conjugada.
P rob. 8-28
4 kN 151 ■1.5 m 4 kN 8-29. D eterm ine la fuerza F en e l extrem o de la viga C de
3m modo que el desplazam iento en C sea igual a cero. E l es
4, constante. Use el m étodo de la viga conjugada.

3m

Prob*. 8-24/8-25

8-26. D eterm ine el desplazamiento e n C y la pendiente L
en B. E l es constante. Use los teorem as del m om ento de
área. i— 1 a --------
P rob. 8-29

8-30. D eterm ine la pendiente en B y el desplazam iento
en C. E l es constante. U se los teorem as d e l m om ento de

L --------
a P roh. 8-30

8-27. Determ ine el desplazamiento en C y la pendiente
en B. E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada.

8-31. D eterm ine la pendiente en B y el desplazam iento
en C. E le s constante. U se el m étodo de la viga conjugada.

1 2:

i “* * *
1- a 1a

P ro b . 8 -2 7 P ro b . 8 -3 1

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8 .5 M É T O D O D E L A VIG A CO NJU GADA 337

•8-32. D eterm ine el desplazam iento máximo y la p e n ­ •8-36. D eterm ine el desplazam iento en C.Suponga q u e A
diente en A . E l es constante. U se los teorem as del m om ento es un so p o rte fijo, B es u n a articulación y D es un rodillo.
de área. E l es constante. U se los teorem as d e l m om ento d e área.

Mo 25 kN

P ro h. 8 -3 2 Proh. 8-36

8 -3 3 . D eterm ine e l d esp la z am ie n to m áxim o e n B y la 8-37. Determ ine el desplazam iento en C. Suponga que A
pendiente e n A . E l es constante. U se e l m étodo d e la viga es un so p o rte fijo, B es u n a articulación y D es un rodillo.
conjugada. E l es constante. U se e l m étodo de la viga conjugada.

Mo

P roh . 8 -33

8-34. D eterm ine la pendiente y e l desplazam iento e n C. 8-38. D eterm ine el desplazam iento en D y la pendiente
E l es constante. Use los teorem as del m om ento d e área. e n D. Suponga que A es un soporte fijo, B es una articulación
y C es un rodillo. U se los teorem as del m om ento de área.
M0 ~ P a P
6k
i

Proh. 8-34

8 -35. D eterm ine la pendiente y e l desplazam iento e n C. 8-39. D eterm ine el desplazam iento en D y la pendiente
E l es constante. Use e l m étodo de la viga conjugada. en D. Suponga q u e A es u n so p o rte fijo. B es una articula­
ción y C es un rodillo. U se e l m étodo d e la viga conjugada.
P
6k
i
M0 - Pa

P ro h . 8 -3 5

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338 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

REPASO DEL C A P ÍTU LO P,

La deflexión de un elem ento (o estructura) siempre viga
puede establecerse cuando se conoce el diagram a de d e inflexión
m om ento, porque los m om entos positivos tenderán a
doblar el elem ento cóncavo hacia arriba, y los mo­ curvado deflexión
mentos negativos tenderán a doblar el elem ento cón­
cavo hacia abajo. Del mismo modo, la form a general M
del diagram a de m om ento puede determ inarse si se
conoce la curva d e deflexión.

La alteración de una viga debido a la deflexión puede
determ inarse m e d ian te la doble in teg ració n d e la
ecuación

(fv M

dx2 El

Aquí, el m om ento interno M debe expresarse en fun­
ción d e las coordenadas x que se extienden a través
de la viga. Las constantes d e integración se obtienen de
las condiciones de frontera, com o la deflexión cero en
u n so p o rte d e p a sa d o r o rodillo, y la d eflexión y la
pendiente cero e n un soporte fijo. Si se requieren algu­
nas coordenadas ^.entonces debe considerarse la con­
tinuidad de la pendiente y la deflexión,donde 0\(a) =
0?(a) y üi(a) - ^ (a ) e n x , - x 2 - a.

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R e p a s o d e l c a p it u l o 339

Si el d iag ram a d e m o m en to tien e u n a fo rm a sim ple, se p u e d e n u sa r los teo re m a s d e l m o m en to d e á re a o e l m é to d o d e la
viga conjugada p ara determ inar la desviación y la pendiente e n un punto d e la viga.

Ix>s teo rem as d el m o m en to d e á re a co n sid e ra n los án g u lo s y las desviaciones verticales e n tr e las ta n g e n te s e n d o s p u n ­
to s A y fí so b re la curva elástica. E l cam b io e n la p e n d ie n te se e n c u e n tra a p a rtir d e l á re a b ajo e l d ia g ra m a M /E I e n tre los
dos puntos, y la desviación se determ ina con base en el m om ento d e área del diagram a M IEI con respecto al punto donde
ocurre la desviación.

jnrnrfTnTm^ ° k/a ” A re a d e l d iag ram a M /E I

M

U /b ~ í (Á rea d el diagram a M /E f)

El m étodo d e la viga conjugada e s muy detallado y requiere la aplicación d e los principios d e la estática. D e m anera muy
sim ple.se establece la viga conjugada usando la tabla 8-2, después se considera la carga com o e l diagram a M IEI. La p en ­
diente (deflexión) en u n punto sobre la viga real e s entonces igual a la fuerza cortante (m om ento) en el mismo p unto sobre
la viga conjugada.

M

M

\-

viga real viga conjugada

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El d e spla zam ie nto en los extrem os d e la cub ierta d e este p u e n te pu e d e d e te r­
minarse durante su construcción em pleando m étodos de energía.

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Deflexiones empleando
métodos de energía

En e s te c a p ítu lo se m ostrará c ó m o a p lic a r los m é to d o s d e e n e rg ía
pa ra re s o lv e r p ro b le m a s q u e in v o lu c ra n a la p e n d ie n te y a la d e fle x ió n .
El c a p ítu lo c o m ie n z a c o n u n an á lisis d e l tr a b a jo y la e n e rg ía d e d e fo r ­
m a c ió n , s e g u id o p o r u n d e s a rro llo d e l p r in c ip io d e l tra b a jo y la
energía. D e spu és se e s tu d ia n e l m é to d o d e l tra b a jo v irtu a l y el te o ­
rem a d e C a stig lia n o , y estas técnicas se e m p le a n p a ra d e te rm in a r los
desplazam ientos e n p u n to s e sp e cífico s d e arm aduras, v ig a s y m arcos.

9 .1 T rabajo e x te rn o y energía
de deform ación

Los m étodos sem igráfícos p re se n ta d o s e n los cap ítu lo s a n te rio re s son
m uy efectivos p a ra e n c o n tra r los d esp lazam ien to s y p e n d ie n te s e n p u n ­
tos d e vigas so m etid as a carg as b asta n te sim p le s P ara carg as m ás co m p li­
cadas o en estructuras com o arm aduras y m arcos, se sugiere realizar los
c álc u lo s s ig u ie n d o lo s m é to d o s d e e n e rg ía . 1.a m ay o ría d e lo s m é to d o s d e
e n erg ía se b asan e n e l principio d e conservación de la energía, q u e e sta ­
blece q u e el trab ajo realizado p o r todas las fuerzas externas q u e actúan
s o b r e u n a e s t r u c tu r a . U r, s e tr a n s f o r m a e n tr a b a jo in t e r n o o e n e r g ía d e
d e f o r m a c ió n , U¡, la c u a l s e d e s a r r o ll a a l d e f o r m a r s e l a e s tr u c tu r a . Si n o se
ex ced e el lím ite elástico d e l m a te ria l, la energía de d efo rm a ció n elástica
reg re sa rá a la e stru c tu ra a su e sta d o sin d e fo rm a r, c u a n d o las carg as sean
retiradas. El principio d e conservación d e la en erg ía p u ed e establecerse
m atem áticam ente com o

Ur = U t (9 -1 )

Sin em bargo, an tes d e d esarro llar cualquiera d e los m étodos de
energía basados en este principio, p rim ero se d eterm in arán el trabajo ex ­
tern o y la energía de deform ación causados p o r u n a fuerza y un m o­
m ento. Las form ulaciones que se presentarán servirán de base p a ra com ­
p re n d e r los m éto d o s d e tra b a jo y energía q u e le siguen.

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342 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

Trabajo e xte rn o , fuerza. O ian d o u n a fu erza F experim en ta un

desplazam iento d x en la m ism a dirección q u e la fuerza, e l trabajo reali­
zado e s dU e = F dx. S i el desplazam iento to ta l es x, el trabajo se con­
vierte en

U .= ¡ F d x (9-2)

C onsidere ahora e l efecto causado p o r una fuerza axial aplicada al ex ­
trem o d e u n a b a rra com o la q u e se m uestra en la figura 9 -la . A m edida
q u e la m ag n itu d d e F se in c re m e n ta gradualm ente d esd e c e ro h asta un
valor lím ite F = P ,la elongación final de la b a rra se co n v ierte e n A. Si el
m aterial tien e u n a resp u esta elástica lineal, e n to n c e s F = ( P /A)x. Si se
sustituye en la ecuación 9-2 y se integra desde 0 hasta A, resulta

1 , = iPA (9-3)

lo q u e re p re se n ta el área triangular so m b read a d e la figura 9 - la .
De e sto tam b ién p u e d e concluirse q u e cuando u n a fu eiza se aplica

gradualm ente sobre la b arra, y su m agnitud s e construye linealm ente
d esd e c e ro h asta algún v a lo r Pte \ tra b a jo rea liz a d o e s igual a la m a g n itu d
d e la fu e r za m e d ia (/*/2) p o r el d e sp la z a m ie n to (A).

(a)

fig u ra 9 -1

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9 .1 T r a b a j o e x t e r n o y e n e r g ía d e d e e o r m a o ó n 343

S u p o n g a a h o ra q u e F ya e s tá ap licad a so b re la b a rra y q u e a h o ra se
aplica otra fu e r z a F , p o r lo q u e la b a rra se d e fo rm a a ú n m ás e n una c a n ­
tid ad A ', figura 9-1 b. E n to n ces, el tra b a jo realizado p o r P (n o p o r F ')
cuando la b a rra experim enta la deform ación adicional A' es

U; = P A ' (9-4)

A q u í el tra b a jo re p rese n ta e l área rectangular so m b read a d e la figura c
9-l¿>. E n este c a so . P no ca m b ia su m ag n itu d p o rq u e A ' es c a u sa d o só lo R Dr\
por F '. Por lo tanto, e l trabajo es sim plem ente la m agnitud d e la fuerza
(P ) p o r e l d e sp lazam ien to (A ').

E ntonces, p u ed e afirm arse de m anera resum ida q u e al aplicar una
fuerza P a la b arra, seguida p o r la aplicación d e u n a fuerza F . e l trabajo
total realizado p o r las dos fuerzas e stá rep resen tad o p o r el á re a triangu­
la r A C E ife la fig u ra 9-l¿>. E l á re a tria n g u la r A B G re p re s e n ta e l tra b a jo
d e P que es causado p o r su desplazam iento A,e l área triangular B C D re­
presenta el trabajo d e F ' tb b id o a q u e esta fuerza provoca u n desplaza­
m i e n to A ' y, p o r ú ltim o , e l á r e a r e c ta n g u la r s o m b r e a d a B D E G r e p r e ­
sen ta el trabajo adicional realizado p o r P cuando se desplaza A ' a causa
d e F '.

F’ + P

Trabajo e x te rn o , m o m e n to . El tra b a jo d e u n m o m en to se d e ­

fine p o r e l p ro d u c to d e la m agnitud d e l m o m e n to M y el án g u lo dO a
través d e l cual g ira, es d e c ir, dU e = M dO\fig u ra 9-2. Si el án g u lo to ta l de
rotación es 0 radianes, el trab ajo se convierte en

G E
l ------A ------- -1— A'
Ue = J M dd (9-5)

C o m o e n e l caso d e la fu erza, s i el m o m e n to se ap lic a g ra d u a lm en te a
u n a e s tru c tu ra q u e tie n e re s p u e s ta e lá stic a lin e a l e n tr e c e ro y Ai, e n to n ­
ces e l trabajo es

Uf = \M 6 (9-fi) (b)

Sin em b arg o , si e l m o m en to y a está aplicado a la e stru c tu ra y o tra s carg as fig u ra 9-1
d e fo rm a n a ú n m ás la e stru c tu ra en u n a c a n tid a d F ,e n to n c e s M g ira 0 ' y
el trabajo es

U; = M 6‘ (9-7)

M
figura 9-2

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C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

., Ener gí a d e d e fo rm a c ió n , fu e rz a a x ia l. C u a n d o s e a p lic a u n a

1 fuerza axial N d e m an era gradual a la b a rra q u e se m u estra en la figura
9-3, d efo rm ará e l m aterial d e m an era q u e e l trabajo extern o realizado
! I* p o r N se co n v ie rte e n energía de d e fo r m a c ió n M c u a l se alm acen a e n la
b a rra (ecu ació n 9-1). Siem pre q u e el m aterial se a elástico lineal, la ley de
H o o k e será válid a, o- = E e ,y s i la b a rra tien e un área c o n sta n te A e n su
sección tran sv ersal y u n a lo n g itu d L ,e l e sfu erzo n o rm al e s cr= N / A y la
deform ación final es t = A/L . En consecuencia, N /A = E (A /L ),y la d e s­
viación final es

Hgun. 9-3 A AE

I b r lo ta n to , a l s u s tit u ir c o n P «= N en la e c u a c ió n 9 -3 . la e n e r g ía d e d e ­
form ación en la b a rra es

N 2I <’ - 9 >
U‘ = 2A E

Energía de deform a ció n, fle xió n . C onsidere la viga d e la fi­

gura 9-4 u ,q u e se distorsiona p o r la aplicación gradual de las cargas P y
w . E stas cargas crean u n m om ento in te rn o M en la viga e n u n a sección si­
tuada a u n a distancia x del so p o rte izquierdo. La rotación resultante del
ele m e n to d ife re n c ia l d x , fig u ra 9-46. p u e d e d e te rm in a rse co n b ase e n la
ecuación 8-2, es decir, dO = (M /E I) dx. E n consecuencia, la energía de
deform ación, o el trab ajo alm acenado e n e l elem ento, se determ ina a
p artir de la ecuación 9-6 puesto que e l m om ento in tern o se desarrolla
gradualm ente. E ntonces.

dU l= p . 10)

L a e n e rg ía d e d efo rm a c ió n p ara la viga se d e te rm in a al in te g ra r e s te r e ­
su lta d o p o r to d a la lo n g itu d /. d e la viga. E l re su lta d o es

t i* | rM a m_ sM

(a) dx
Hgura 9-4
(b)
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9 .2 P r i n c i p i o d e l t r a b a j o y l a e n e r g Ia 345

9 .2 Principio del trab a jo y la energía

A hora q u e y a se h an form ulado e l trabajo y la energía de deform ación
p ara u n a fu e rz a y u n m o m en to , se ilu stra rá c ó m o p u e d e n ap licarse la
co n serv ació n d e la e n e rg ía o el p rin cip io d e l tra b a jo y la e n e rg ía p a ra d e ­
term inar e l desplazam iento en u n punto sobre una estructura. P ara h a­
cerlo. considere la determ inación d el desplazam iento D e n e l pu n to
d o n d e se ap lica la fu erza P a la v ig a e n v o la d iz o d e la fig u ra 9-5. A p a rtir
d e la ecu ació n 9-3, el tra b a jo e x te rn o e s Uf = J/*A . P ara o b te n e r la
energía d e deform ación resultante, prim ero d eb e determ inarse e l m o ­
m ento in tern o com o una función d e la posición x e n la viga y desp u és
aplicar la ecuación 9-11. E n e ste caso M = - P x .d c m odo q u e

f L M } dx r L(-P x)2dx 1 p*Q
1 ~ L 2E l Jn 2E l 6 El

Al igualar e l trab ajo e x te m o con la en erg ía d e deform ación in tern a y al
despejar e l desplazam iento desconocido A ,se tiene

Ue = U,

i2p A = 6 E l

Aa = -3P--E-,-?-I-

A u n q u e la so lu ció n a q u í e s b a sta n te d ire c ta , la ap licació n de e s te m é­
todo se lim ita a unos cuantos problem as seleccionados. C abe señ alar que
sólo p u ed e aplicarse una carga a la estru ctu ra, p u esto q u e si se aplicase
m ás d e una carga habría un desplazam iento desconocido bajo cada carga
c inclusive po d ría escrib irse só lo una ecuación de “tra b a jo " p a ra la viga.
A dem ás, sólo p u ed e o b tenerse e l d esp la za m ien to b a jo la fu e r z a , p o rq u e el
trabajo externo d ep en d e tan to d e la fuerza com o d e su desplazam iento
correspondiente. U n a m anera de so rtear estas lim itaciones consiste en
em plear e l m étodo del trabajo virtual o e l teo rem a d e C astigliano. los
cuales se explican e n las siguientes secciones.

pp

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346 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

9 .3 P rin áp io del trabajo virtual

A p lic a c ió n d e la c a rg a v irtu a l / * ' - I E ste principio fu e desarrollado por John B ernoulli en 1717, y en ocasio­
(a ) n e s se le co n o ce ta m b ié n c o m o e l m é to d o d e la c a rg a u n itaria. P ro p o r­
ciona un m edio general p ara o b te n e r e l desplazam iento y la pendiente
r> en un pu n to específico de u n a estru ctu ra, ya sea una viga, un m arco o
A p l i c a c i ó n d e la s c a r g a s r e a le s P ,. P2. P; una arm adura.

(b ) A ntes d e desarrollar e l principio d el trabajo virtual se req u iere h acer
algunos enunciados generales so b re e l principio d el trabajo y la energía,
Figura 9-6 lo c u a l se an alizó e n la secció n an terio r. S i se to m a u n a e s tru c tu ra d e-
form able de cu alq u ier fo rm a o tam año y se le aplica u n a se rie d e cargas
extern a s P .s c p ro d u c irá n carg as internas u en p u n to s a trav és d e to d a la
estru ctu ra. E s necesario relacionar las cargas internas y externas m ediante
las ecuaciones d e equilibrio. C om o co n secu en cia d e esta s cargas, o c u ­
rrirán desplazam ientos ex tern o s A en las carg as P y se p resen tarán d e s­
plazam ientos intern o s 5 en cada p u n to d e carga in tern a u. E n general,
estos desplazam ientos n o tienen que ser elásticos,y quizá no s e relacionen
c o n las c arg as; sin em b arg o , los d esplazam ientos internos y extern o s deben
estar relacionados p o r la co m p a tib ilid a d d e lo s d esp la za m ien to s. E n o tra s
palab ras, s i se co n o cen los d esp lazam ien to s ex tern o s, los d e sp lazam ien ­
tos in tern o s co rresp o n d ien tes estarán defin id o s d e m an era única. E n to n ­
ces. e l prin cip io del tra b a jo y los estad o s d e en erg ía p u e d e en u n ciarse de
m anera general com o sigue:

SPA = lu S

T rab ajo d e las T rab ajo d e las (9-12)

cargas externas cargas internas

C on base en este concepto, ahora se desarrollará el principio d e l tra ­
bajo virtual. P ara ello se co n siderará q u e la estru ctu ra (o cu erp o ) tien e
u n a fo rm a a rb itra ria c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 9.6b * S u p o n g a q u e es
necesario d eterm in ar e l desplazam iento A del punto A en el cuerpo ca u ­
sado p o r las “cargas reales” Pi. P 2y P 3. D eb e en ten d e rse q u e estas cargas
no causan m ovim iento d e los soportes; sin em bargo, en general, p u ed en
d efo rm ar el m aterial m ás allá del lim ite elástico.C om o ninguna carg a e x ­
tern a actúa sobre e l cu erp o en A ni en la dirección d e A, el desplaza­
m iento A puede d eterm in arse si se coloca prim ero u n a carga "virtual"
sobre e l cu erp o d e m odo q u e esta fuerza P ' actúe e n la m ism a dirección
q u e A. figura 9-6a . Por co n v en ien cia, q u e se rá e v id en te m ás a d e la n te .se
e le g irá P ' co n u n a m a g n itu d “ u n it a r i a " , e s d e c i r , P ' = 1. P a r a d e s c r ib ir la
c a rg a s e u sa e l té rm in o “v ir tu a l” d e b id o a q u e es im a g in a ria y e n rea lid a d
n o e x is te c o m o p a r le d e la ca rg a rea l. S in e m b a r g o , la c a rg a u n it a r i a ( P ’)
crea una carga virtual in tern a u en u n elem ento o fibra representativa
del cuerpo, com o se m uestra e n la figura 9-6a.A q u í se req u iere q u e P ' y
u se relacionen m ed ian te las ecuaciones de eq u ilib rio .’

• E s t a f o r m a a r b i t r a r í a r e p r e s e n t a r á p o s t e r i o r m e n t e u n a a r m a d u r a , u n a v i g a o u n m a r c o es­
pecífico*.

'A u n q u e e s ta s c a rg a s p ro v o c a rá n d e s p la z a m ie n to s v irtu a le s , n o se to m a rá n e n c u e n ta sus
m a g n itu d e s .

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9 . 3 P a .N G P IO DEL TR ABA JO VIRTUAL

U n a vez ap licad as las cargas virtu ales, el c u e rp o e s tá so m e tid o a la s cargas
reales P , t P 2 y P 3, fig u ra 9 -6 b . E l p u n to A se d e s p la z a r á u n a c a n ti d a d A, la
cual causará que el elem en to se deform e una cantidad d L . C om o resul­
tado, la fu erza virtu al e x te rn a P ’ y la carg a v irtu al in te rn a u se “p asearán
a lo la r g o ’’ d e A y d L , re s p e c tiv a m e n te , y p o r lo ta n t o r e a liz a r á n u n tra b a jo
virtual externo d e I • A sobre el cu erp o y un trabajo virtual interno d e u - d L
sobre el elem ento. Si se tom a en cuenta que e l trab ajo virtual ex tern o es
igual al tra b a jo virtual in te rn o realizad o e n todos los elem en to s del
cu erp o .es posible escribir la ecuación del trab ajo virtual com o

p-------------j --------------c a rg a s v ir tu a le s

1•A = lu -d L

donde
P ' = l = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A.

u - carga virtual interna q u e actúa so b re el elem ento e n la dirección de d L

A = desplazam iento e x te m o causado p o r las cargas reales.

d L = deform ación in tern a d el elem en to cau sad a p o r las cargas reales.

Al e le g ir P = 1, p u e d e verse q u e la solución p a ra A resulta d ire c ta ­
m ente, puesto q u e A - l u d L .

D e m an era p a re c id a , si d e b e n d e te rm in a rse e l d esp lazam ien to ro ta c io ­
nal o la p e n d ie n te d e la ta n g e n te e n u n p u n to so b re u n a e stru c tu ra , se
aplica u n m o m en to d e p a r virtual M ’ con m agnitud u n itaria e n e l p u n to .
Cóm o consecuencia, este m om ento d e p a r causa una carga virtual u# en
u n o d e los e le m e n to s del cu erp o . Si se su p o n e q u e las carg as re a le s d e fo r­
m an el elem en to u n a cantidad d L , la rotación 0 p u ed e encontrarse a p ar­
tir d e la ecuación d el trab ajo virtual

ll cargas virtuales
1 -0 = 2 u e ‘ d L (9-14)

t 1_ desplazam ientos reales

donde
M '= 1 = m o m en to d e p a r u n ita rio v irtu al e x te rn o q u e ac tú a e n la
d ire c c ió n d e 6.
ue - carga virtual in tern a q u e actúa sobre u n elem en to en la dirección
dc d L .
0 = desplazam iento rotacional ex tern o o pendiente en radianes
causados p o r las cargas reales.

d L = deform ación in tern a d el elem en to cau sad a p o r las carg as reales.

E ste m étodo para aplicar el principio d el trab ajo virtual se conoce
co m ú n m en te co m o e l m étodo d e las fu e rza s virtuales,d a d o q u e se aplica
una fuerza virtual d e lo q u e re su lta e l cálculo d e u n desplazam iento real.
E n este caso, la ecuación d e l trab ajo virtual rep resen ta un requisito de
com patibilidad para la estructura. A unque aq u í no es im portante, o b ­
serve q u e tam bién es posible aplicar el principio d el trab ajo virtual com o

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348 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

u n m étodo de desplazam ientos virtuales. E n e ste caso.se im ponen d esp la­
zam ientos virtuales sobre la estructura cuando ésta se en cu en tra so m e­
tid a a cargas reales. E ste m étodo puede usarse p a ra d eterm in ar una
fu erza so b re o d e n tro u n a e stru c tu ra ,* de m o d o q u e la ecu ació n d e l tr a ­
bajo virtual s e expresa entonces co m o un requisito de equilibrio.

9 .4 M é to d o del tra b a jo virtual:
Arm aduras

I E l m étodo d el trabajo virtual puede usarse p ara d eterm in ar e l desplaza­
Aplicación de la carga unitaria virtual en R m ie n to d e u n a ju n ta d e a rm a d u ra c u a n d o la a rm a d u ra está so m e tid a a
u n a carga ex tern a, a un cam bio de tem p eratu ra, o p o r erro res d e fabrica-
(a) d ó n . A c o n tin u a d ó n se analizará cad a u n a d e e sta s situaciones.

Carga externa. Para facilitar la ex p licad ó n . considere el desp laza­

m i e n to v e r t ic a l A d e u n a j u n t a H d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra e n la f¡-
gura 9-7a. A q u í, u n m iem b ro típ ico d e la a rm a d u ra se ría u n o d e su s ele-
m en to s con longitud L , figura 9-7b . Si las cargas aplicadas P | y P }
ocasio n an u n a respuesta m aterial lineal elástica.este m iem bro se d efo rm a
e n u n a c a n tid a d A /. - N L / A E .d o n d e N es la fu erza n o rm al o ax ial e n el
elem ento, causada p o r las cargas. Si se aplica la ecu ació n 9-13, entonces
la e c u a c ió n d e l tra b a jo v irtu al p a ra la a rm a d u ra es

Aplicación de las cargas reales P |, Pj (9-15)
(b)
donde
fig ó n 9-7
1 = carg a u n ita ria v irtu al e x te rn a q u e ac tú a so b re la ju n ta d e la
arm adura en la dirección indicada d e A

n = fuerea norm al virtual interna en un elem ento de una arm adura
cau sa d a p o r la c a rg a u n itaria v irtu al e x te rn a .

A = d esp lazam ien to e x te rn o d e la ju n ta c a u sa d o p o r las carg as reales
sobre la arm adura.

N = fuerza no rm al interna en u n elem en to de la arm ad u ra causada
por las cargas reales.

L = longitud d e un elem ento.

A * área transversal d e un elem ento.
E - m ódulo d e elasticidad d e u n elem ento.

La form ulación d e esta ecuación se sigue en form a natural d el d esarro ­
llo e n la sección 9-3. A q u í la c a rg a u n ita ria virtu al e x te m a c re a fu erzas
virtuales in tern as n en cad a uno de los elem entos de la arm adura. E n to n ­
ces la s cargas reales h acen q u e la ju n ta d e la a rm a d u ra se d esp la c e A en
la m ism a d ire c c ió n q u e la c a rg a u n ita ria v irtu al, y q u e c a d a e le m e n to se
desplace N L /A E en la m ism a dirección q u e su respectiva fuerza n. En
coasecuencia.el trabajo virtual ex tern o 1 - A es igual a l trabajo virtual in­
te rn o o la e n e rg ía d e d efo rm a c ió n in te rn a (v irtu al) alm a c e n a d a e n to d o s
los elem en to s d e la arm ad u ra.es d ecir, Y n N L /A E .

•Así se usó en la sección 6-3 en relación con el principio de MUller-Brcslau.

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9 .4 M é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l : A r m a d u r a s 349

Tem peratura. E n alg u n o s casos, los elem en to s d e una arm ad u ra

p o d rían cam b iar su lo n g itu d d e b id o a la te m p e ra tu ra . S i o es e l co efi­
ciente de expansión térm ica d e un elem en to y A T es el cam bio en su tem ­
p e r a t u r a , e l c a m b io e n la lo n g i tu d d e u n e le m e n to e s A L - a A 7* L .P o r lo
tanto, e l desplazam iento d e u n a ju n ta seleccionada en u n a arm ad u ra d e­
bido a e ste cam bio d e tem p eratu ra puede d eterm in arse a p artir d e la
ecuación 9-13, escrita com o

1 • A = 2 /io A T L (9-16)

donde

1 = carg a u n ita ria v irtu al e x te rn a q u e actúa so b re la ju n ta
de la arm ad u ra en e l sen tid o indicado d e A.

n ■ fuerza norm al virtual interna en un elem ento de una arm adura
causada p o r la carga unitaria virtual externa.

A = desplazam iento externo d e la ju n ta cau sad o por el cam bio de
tem peratura.

a = coeficiente d e expansión térm ica d el elem ento.
AT = cam bio e n la tem peratura d el elem ento.

L = longitud d el elem ento.

Errores de fabricación y com ba. E n o casio n es p u e d e n p re se n ­

tarse e rro res de fabricación e n las longitudes d e los elem entos d e u n a a r­
m adura. A dem ás, e n algunos casos es necesario h acer los elem en to s un
poco más largos o m ás co rto s para o b te n e r u n a com ba en la arm adura.
L a co m b a su ele co n stru irse e n u n a a rm a d u ra d e p u e n te p a ra q u e la
cuerda inferior se curve hacia arrib a en u n a cantidad eq u iv alen te a la d e­
flexión hacia ab ajo d e la cu erd a cu an d o e stá som etida a to d o el peso
m uerto d el puente. Si u n elem ento d e la arm adura es m ás o m enos largo
de lo previsto,e l desplazam iento de u n a ju n ta d e la arm adura respecto a
su posición esp erad a puede d eterm in arse m ed ian te la aplicación d irecta
de la ecuación 9-13, escrita com o

1 •A = 2 /i AL (9-17)

donde
1 = carga unitaria virtual ex tern a q u e actúa so b re la ju n ta
de la a rm a d u ra e n la d irecció n in d icad a d e A.
n = fuerza norm al virtual interna de u n elem en to de una arm adura
cau sa d a p o r la c a rg a u n ita ria v irtu al e x te rn a .
A = cfcsplaza m ien to e x te rn o d e la ju n ta o casio n a d o p o r los e rro re s
de fabricación.

AL = d ife re n c ia e n lo n g itu d d e l e le m e n to re s p e c to a s u ta m a ñ o
esperado a causa d e un e rro r d e fabricación.

Si so b re la a rm ad u ra a c tú a n cargas e x te rn a s y algunos de los e lem en to s
están som etidos a u n cam bio térm ico o s e h an fabricado con dim ensio­
nes incorrectas, s e rá n ecesaria una co m b in ació n d e los lados d ere c h o s de
las ecu acio n es 9-15 a 9-17.

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350 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

Procedim iento de análisis

El siguiente procedim iento p u ed e usarse p ara d eterm in ar u n desplazam iento específico
de cualquier ju n ta en una arm adura aplicando e l m éto d o del trabajo virtual.

Fuerzas virtuales n

• C oloque la carga unitaria sobre la arm ad u ra en la ju n ta d o n d e debe determ in arse el
desplazam iento. La carga debe estar e n la m ism a dirección q u e e l desplazam iento es­
pecificado, p o r ejem plo, horizontal o vertical.

• C on la c arg a u n itaria co lo cad a d e e sta m a n e ra y c o n to d a s las c a rg a s re a le s retiradas
d e la viga, u tilice e l m éto d o d e los n u d o s o e l m é to d o d e las seccio n es y c alc u le la
fuerza in tern a n en cada elem en to de la arm adura. Suponga q u e las fuerzas d e tensión
so n p ositivas y q u e las fu erzas d e c o m p resió n son negativas.

Fuerzas reales N

• U se e l m é to d o d e las seccio n es o e l m é to d o de los n u d o s p a ra d e te rm in a r la fu e rz a N
en cada elem ento. E stas fuerzas so n causadas únicam ente p o r las cargas reales q u e
actúan so b re la arm ad u ra. U n a vez más,su p o n g a q u e las fuerzas d e tensión so n p o siti­
vas y q u e las fuerzas d e com presión so n negativas.

E cuación d e l tra b a jo virtual

• A plique la ecuación d el trab ajo virtual, p ara d eterm in ar e l d esp lazam iento deseado.
E s im p o rta n te c o n se rv a r e l sig n o a lg eb raico d e ca d a u n a de las fu e rz a s n y N c o rre s­
p o n d ie n te s al su stitu ir e sto s té rm in o s e n la ecu ació n .

• Si la su m a to ria re su lta n te 'L n N L /A E es p o sitiv a, e l d e sp lazam ien to A tiene la m ism a
direcció n q u e la carga u n itaria. Si se o b tie n e u n v a lo r n eg ativ o . A es o p u e sto a la c arg a
u n ita ria .
A l aplicar 1 • A = I n a A T L , tenga en cu en ta d e q u e si alguno d e los elem en to s ex p eri­
m enta un aum ento d e tem peratura, AT será p o sitivo ,en tan to q u e una á sm in u ció n de
la te m p e ra tu ra re s u lta rá e n u n v a lo r n e g a tiv o p a ra A T.

P ara q u e 1 • A = Z /i A /..c u a n d o u n e rr o r d e fab ricació n aum enta la lo n g itu d d e u n e le ­
m en to , A L e s p o sitiv a .e n ta n to q u e u n a d ism inución d e la lo n g itu d e s negativa.
A l aplicar cualquier fórm ula d ebe prestarse atención a las unidades de cada cantidad nu­
m érica. E n particular, a la carg a un itaria virtual p u ed e asignársele cu alq u ier un id ad
arb itra ria (Ib, k ip , N ,e tc ), p u esto q u e las fu e rz a s n ten d rán estas m ism as u n id a d es,y en
co n secu en cia las u n id ad es, ta n to de la c a rg a u n ita ria v irtu al co m o d e las fu erzas n se
cancelarán a am bos lados d e la ecuación.

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9 .4 M é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l : A r m a d u r a s 351

D ete rm in e el d e sp la z a m ie n to v ertical de la ju n ta C d e la a rm a d u ra de
acero q u e s e m u e stra e n la fig u ra 9-8a. E l á re a d e la secció n tra n sv e r­
sal d e cad a ele m e n to e s A = 0.5 p u lg 2 y E = 29(10’) ksi.

SO L U C IÓ N -0 333 k

Fuerzas v irtu a le s n . S ólo s e c o lo ca u n a carg a v ertical d e 1 k e n la 1k
ju n ta C y la fuerza en cada elem en to se calcula aplicando e l m étodo fuerzas virtuales n
d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -8¿>. I-o s n ú m e ­
ros positivos indican fuerzas d e ten sió n y los nú m ero s negativos in d i­ (b )
can fuerzas de com presión.
fu erzas reales N
Fuerzas reales N . Las fuerzas reales e n los elem en to s se calculan
u sando el m é to d o d e los nudos. L os resu ltad o s se m u e stra n e n la fi­ (c)
gura 9-8c. figura 9-8

E cuación d e l tra b a jo v irtu a l. A l d isp o n e r lo s d a to s e n fo rm a ta b ú - 0 3 3 3 k
tar, se tie n e

Elem ento n (k) N ( k) L (pies) n N L (le2 • pie)

AB 0.333 4 10 13.33
BC 0.667 4 10 26.67
CD 0.667 4 10 26.67
DE -0.943 -5 .6 6 14.14 75.42
FE -0.333 -4 10 13.33
EB -Ü 471 0 14.14
BF 0.333 4 10 0
AF -0.471 -5 .6 6 14.14 13.33
CE 1 4 10 37.71
40

2246.47

E n to n c e s. ~nN L 246.47 k2 -p ie
lk -A c.= AE

¿ AE

.Si s e c o n v ie r te n la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e l e m e n t o a p u lg a d a s y se
sustituyen los valores num éricos d e A y £ , resulta

(246.47 k2 • p ie ) (12 p u lg /p ie )

1 k • Ac, =
(0 .5 p u lg 2)( 2 9 ( 1 0 3) k /p w lg 2)

0.204 p u lg Resp.

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352 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

E l área de la sección transversal de cad a elem en to de la arm adura que

term ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta C si se aplica u n a fuerza
de 4 k N so b re la a rm a d u ra e n C. (b ) Si n in g u n a c a rg a ac tú a so b re la
viga, ¿cuál sería e l d esp lazam ien to v ertical d e la ju n ta C á el elem en to
A R fuera 5 m m m ás corto d e lo esperado?

c

(a)

Figura 9-9

S O L U C IÓ N
In c is o (a)
F u e rza s v irtu a le s n . D a d o q u e d e b e d e te r m in a rs e e l desplaza­
miento vertical de la ju n ta C ,se ap lic a u n a fu e rz a v irtu al de 1 k N e n C
con dirección vertical. Las unidades de e sta fu eiza so n las m ism as que
las d e la carg a real. S e calculan las reacciones e n los so p o rtes A y B y
después se determ in a la fuerza N en cad a elem ento p o r el m étodo de
los nudos, co m o se m uestra e n lo s diagram as d e cu erp o libre d e las
ju n ta s A y B ,fig u ra 9-9b.

Fuerzas reales N . En la figura 9-9c se m u estra el análisis d e las ju n ­
tas A y B cuando se aplica la carga real d e 4 kN sobre la arm adura.

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9 .4 M é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l : A r m a d u r a s 353

2.5 kN 2 5 kN

4 kN ►2 kN 2 kN ^B

1.5 kN 1.5 kN 1 5 kN hiervas reales N 1.5 kN

(C)

Ecuación d e l tra b a jo v irtu a l. C o m o A E e s c o n sta n te , c a d a u n o d e
b s térm inos n N L puede calcularse y disponerse en form a tabular.
A quí los núm eros positivos indican fuerzas d e tensión y los núm eros
negativos indican fuerzas d e com presión.

Sem entó n (kN) N (kN) Mm) n N L (kN2 • m)

AB Q667 2 8 10.67
AC -0.833 2.5 5 -10.41
CB -0.833 -2 .5 5
10.41
210.67

rt>r lo tan to .

nN L 10.67 k N 2 -m
1 k N • A c> = 2 AE

AE

A l s u s titu ir lo s v a lo r e s A = 400 m m ? = 4 0 0 ( 1 0 6) m 2, E = 200 G P a
200 (1 0 6) k N / m 2, s e ti e n e

10.67 kN 2-m

Cr 4 0 0 (1 0 ~ 6) m 2(2 0 0 (1 0 6) k N /m 2)

Ac . = 0.000133 m = 0.133 m m Resp.

Inciso (b). A q u í d e b e ap lic a rse la e c u a c ió n 9-17. C o m o se d e s e a d e ­
term in ar e l d e sp lazam ien to v ertical d e C , p u e d e n u sarse los resu lta­
dos d e la figura 9-76. Sólo e l elem en to A B experim enta un cam bio en
su longitud, e sto es. d e A L = - 0.005 m. E ntonces.

1 •A = 2 /i AL Resp.
1 k N • Ac , = (0.667 k N ) ( - Q 0 0 5 m )

Ac = -0 .0 0 3 3 3 m = - 3 .3 3 mm

E l signo negativo indica q u e la ju n ta C se desplaza hacia arriba,e n form a
opuesta a la carga vertical d e 1 kN . O bserve q u e si se tom an e n cuenta
b carga d e 4 kN y e l e rro r de fabricación, e l desplazam iento resul­
tan te es ACt = 0.133 - 3.33 = -3 .2 0 m m (hacia arrib a).

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354 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO 9.3

D eterm ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta C d e la arm ad u ra
q u e se m uestra e n la figura 9 -lü u . D e b id o al calo r ra d ia n te de la p a re d ,
el elem en to A D está som etido a un aum ento en la tem p eratu ra d e A T
= + 120°F. C o n s id e r e q u e a = 0 .6 ( 1 0 - 5) / " F y q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i. E l
á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a e l e m e n t o s e in d ic a e n la fig u ra .

i k ik

pared, I |C

D

2 pulf? o

fuerzas virtuales n fuerzas reales N

<b) (c)

S O L U C IÓ N

Fuerzas v irtu a le s n. Se aplica una c a rg a vertical de I k so b re la a r­
m ad u ra e n la ju n ta C y se calculan las fuerzas en los elem entos, figura
9-106.

Fuerzas reales N . C om o las fuerzas n en los e le m e n to s A B y B C
son iguales a cero, n o es necesario calcular las fuerzas N en esos e le ­
m entos. ¿P or qué? Sin em bargo, co n e l propósito d e com pletar e l m é­
todo, e n la figura 9- 10c * m uestra el análisis de todas las fuerzas reales.

E cuación d e l tra b a jo v irtu a l. T a n to las c a rg a s co m o la te m p e ra ­
tura afectan la d efo rm ació n ; p o r lo tan to , las ecuaciones 9-15 y 9-16 se
com binan. Si se em p lean unid ad es de kips y pulgadas, resulta

1-A c.

(0.75)( 1 2 0 )(6 )( 12) (1 )(8 0 )(8 )(1 2 )

2 [2 9 (1 0 3)] 2 (2 9 ( 1 0 3)]

( 1-2 5 )( —100) (10) (12)
+ (1 ) (0.6( 10-5)J(120) (8 ) (12)

1 .5 I2 9 ( 103) ]

A Cw = 0 .6 5 8 p u l g Resp.

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9 .5 T eo r em a d e C a s t g u a n o

9 .5 Teorem a d e C astigliano

En 1879, A lberto C astigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un
libro en e l q u e exponía un m étodo p ara d eterm in ar la deflexión o la p e n ­
diente e n un p u n to en u n a estru ctu ra, e n u n a arm a d u ra , una viga o un
m arco. E ste m étodo, conocido co m o el segundo teorem a de C astigliano,o el
m étodo d el trabajo m ín im o ,só lo aplica a las estructuras q u e tien en u n a tem ­
p eratu ra co n stan te, so p o rtes q u e n o ced en y re sp u e sta m aterial elástica li­
neal. Si d eb e d eterm inarse e l desplazam iento d e un punto, el teorem a e sta ­
blece q u e é ste es igual a la p rim era d eriv ad a parcial d e la en erg ía de
d efo rm ació n en la e stru c tu ra co n resp ecto a u n a fu erza q u e a c tú a e n el
p u n to y e n la d irecció n d el d esp lazam ien to . O e u n a m a n e ra p a re c id a , la
pendiente en un p u n to d e una estructura es igual a la prim era derivada p a r­
cial de la e n e rg ía d e d efo rm a c ió n e n la e stru c tu ra co n re sp e c to a u n m o ­
m en to d e p a r q u e actúa e n el p u n to y c o n la d irecció n d e la ro tació n .

Para o b ten er el segundo teo rem a d e C astigliano. considere un cuerpo
(estructura) d e cualquier fo rm a arbitraria que está som etido a una serie de
n fu e r z a s /* ,, P 2........P„. C o m o e l t r a b a j o e x t e r n o r e a liz a d o p o r e s t a s c a rg a s
es igual a la en erg ía d e deform ación in te rn a alm acen ad a e n e l cuerpo,
puede escribirse

A h o ra b ien , si cu alq u iera d e las fuerzas, p o r e je m p lo Pt, se in crem en ta en
u n a c a n tid a d d if e r e n c ia l d P t, e l tr a b a jo in t e r n o ta m b ié n a u m e n t a d e m o d o
q u e la m ueva energía d e deform ación s e convierte en

(9-18)

Sin em b arg o , e ste valor n o d e b e d e p e n d e r d e la secu en cia en la q u e e s ta s n
fuerzas se aplican al cuerpo. P or ejem plo, si prim ero se aplica dP , al cuerpo,
e sto h ará q u e el cuerpo s e desplace u n a c a n tid ad diferencial d&t en la dirección
d e dPr Por la ecuación 9 -3 ( u f = } P A ), el increm ento d e la energía d e d e fo r­

m ación se ría \d P ,d ¡ s t. Sin em b arg o , e sta can tid ad es un d iferen cial de
seg u n d o o rd e n y p u e d e p a sa rse p o r a l t a U n a ap licació n p o ste rio r d e las
c a r g a s /* ,. P ^ ,..., Pn q u e d e s p la z a r ía a l c u e r p o A ,. A2, . . . , A ,,,p ro d u c ir ía la s i­
guiente energía d e deform ación.

U , + dU , = U¡ + dP ,A , (9-19)

A quí, com o antes, U ¡es la en erg ía d e deform ación interna e n e l cuerpo,c a u ­
s a d a p o r la s c a r g a s P \ , P-¡_ P„ y d U t = d P ,A , e s la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n
ad icional causada p o r dP , (ecuación 9-4, U , = /'A '),

En resum en, la ecuación 9-18 rep resen ta la energía d e deform ación e n el
c u e rp o .d e te rm in a d a a l ap licar p rim e ro las c a rg a s P \. P i P„,después dP,.
y la ecuación 9-19 re p re se n ta la e n e rg ía d e d efo rm ació n d e te rm in a d a al

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356 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

ap licar p rim e ro dP¡ y luego las c a rg a s P \, P i,---. Pn•C o m o e sta s dos e c u a ­
ciones d eb en ser iguales, se req u iere q u e

k> q u e d e m u e s tr a e l te o r e m a : e s d e c ir , e l d e s p la z a m ie n to A, e n la d ir e c ­
c ió n d e P¡ es ig u a l a la p rim e ra d e riv a d a p a rc ia l d e la e n e rg ía d e d e f o r ­
m ación co n respecto a P¡*

D ebe señalarse q u e la ecuación 9-20 es un en u n ciad o acerca d e la co m ­
pa tibilidad d e la estructura. A d em ás, la d ed u cció n a n te rio r exige q u e en
el an álisis só lo se co n sid eren la s fu e rza s conservadoras. E sta s fu erzas
realizan trabajo q u e es in dependiente d e la trayectoria y p o r lo ta n to no
c re a n p é rd id as de e n e rg ía . C o m o la s fu e rz a s q u e c a u sa n u n a re sp u e sta li­
neal elástica son conservadoras, el teorem a se lim ita a un com porta­
m ie n to lin ea l elástico tfcl m aterial. E sto co n stitu y e u n a d ife re n c ia c o n el
m éto d o de la fuerza virtual analizado e n la sección an terio r, q u e se aplica
tanto al co m p o rtam ien to elástico co m o al no elástico.

9 .6 Teorem a d e C astigliano para
arm aduras

1.a e n e rg ía d e d e fo rm ació n p a ra u n e le m e n to d e u n a a rm a d u ra e stá d a d a
p o r la e c u a c i ó n 9 -9 , U¡ -* N 2L / 2 A E . A l s u s titu ir e s t a e c u a c i ó n e n la e c u a ­
ción 9-20 y si se om ite e l subíndice /.resu lta

A = — y ] ——
dP 2A E

P br lo g en eral es m ás fácil realizar la diferenciación an tes d e la sum ato-
ria. E n el caso g en eral L , A y E so n constantes p a ra u n elem ento dado, y
p o r k) ta n to p u e d e escribirse así

*■ M m (9-21)

donde
A = d esp lazam ien to de la ju n ta e x te rn a d e la a rm a d u ra .
P = fuerza ex tern a aplicada a la ju n ta de la arm adura e n la dirección

d e A.
N ■ fuerza interna en un elem en to cau sad a tanto por la fuerza P co m o

por las cargas so b re la arm adura.
L » longitud d e un elem ento.
A = área d e la sección transversal d e un elem ento.
E = m ódulo de elasticidad de un elem ento.

*EI prim er leo rem a d e C astig lian o e s p a re cid o a su seg u n d o te o re m a ; sin em b arg o , re la ­
ciona la carga P t co n la d eriv ad a p a rd a l d e la energía d e d e fo rm a d ó n resp ecto a l d es­
p la z am ie n to c o rre s p o n d ie n te , es d e d r P, = d U / d 1-a c o m p ro b a d ó n e s p a re c id a a la
dada anteriorm ente y,com o e l m étodo del desplazam iento virtual, e l prim er teorem a de
C astigliano se aplica tan to a l com portam iento m aterial clástico com o a l no clástico. Este
te o r e m a e s o t r a m a n e r a d e e x p r e s a r lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io p a ra u n a e s tr u c t u r a y,
puesto q u e tien e u n uso m uy lim itado e n e l análisis estructural, n o se analiza e n este lib ra

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9 .6 TPOREM A d e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s

E sta ecuación e s sem ejan te a la q u e se utiliza en e l m étodo del trab ajo
v irtual, e c u a c ió n 9-15 (1 • A = 'Z n N L /A E ), e x c e p to q u e n se su stitu y e
p o r dN /dP . O bserve q u e co n el fin d eterm in ar esta deriv ad a parcial será
necesario tra ta r P com o u n a variable (no u n a can tid ad num érica esp ecí­
fica) y, adem ás, cada elem en to de la fu erza N debe ex p resarse e n función
d e P. E n consecuencia, el cálculo d e dN /dP generalm ente req u iere un
poco más d e o p eraciones q u e las necesarias p ara calcular cad a fuerza n
d e m anera d irecta. ft»r supuesto,estos térm inos serán iguales p o rq u e n o
d N /d P es sim plem ente e l cam bio d e la fuerza in tern a del elem en to con
resp ecto a la c a rg a P . o e l c a m b io e n la fu erza d el e le m e n to p o r carg a
unitaria.

Procedim iento de análisis

El siguiente procedim iento pro p o rcio n a un m étodo q u e p u ed e utilizarse p a ra d e te rm i­
n ar el desplazam iento d e cualquier ju n ta d e una arm adura usando el teo rem a d e C asti­
gliano.
Fuerza e xte rn a P
• C oloque una fuerza P sobre la arm ad u ra en la ju n ta d o n d e se desea d eterm in ar el d e s­

plazam iento. S e su p o n e q u e e sta fuerza tien e u n a m agnitud variable con e l fin d e o b ­
ten er e l cam bio SN /dP. A segúrese de q u e P esté dirigida a lo largo de la lín ea de
acción d el desplazam iento.
Fuerzas in te rn a s N
• D eterm in e la fu erza .V en cada elem en to causada tan to p o r las cargas reales (n u m é ri­
cas) c o m o p o r la fu e rz a v a ria b le P . S u p o n g a q u e las fu erzas d e te n sió n so n p o sitiv as y
que las de com presión so n negativas.
• C alcule las derivadas parciales respectivas dN /B P p ara cada elem ento.
• D espués de d eterm in ar N y dN /dP , asigne a P su v alo r num érico si ha reem plazado
un a fu erza real so b re la a rm a d u ra . D e lo c o n tra rio .c o n sid e re q u e P e s ig u al a cero.
Teorem a d e C astiglia no
• A plique e l teo rem a d e C astigliano p a ra determ inar el desplazam iento A deseado. Es
im p o rtan te co n se rv a r los signos algebraicos p ara los valores c o rre sp o n d ien tes d e N y
dN /d P al sustituir esto s térm inos en la ecuación.
• Si la su m a to ria re su lta n te 1 N ( d N /d P ) L /A E es p o sitiv a, A tien e la m ism a d irecció n
q ue P .S i se obtiene un valor negativo,A es o p u esto a P.

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358 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO

3m ---------- * - 4 k N D eterm ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta C d e la arm ad u ra
-U - q u e se m uestra e n la figura 9-11 a. El á re a d e la sección transversal de
———^ cada elem en to es A = 400 m m 2y E - 200 G Pa.

4 m ---------- 1 S O L U C IÓ N
(3)
Fuerza exte rn a P. Se aplica u n a fuerza vertical P sobre la arm a­
dura en la ju n ta C, p u esto q u e es d o n d e d eb e d eterm inarse e l d esp la­
zam iento vertical, figura 9-116.

Fuerzas in te rn a s N . Se d e te rm in a n las reacciones e n los so p o rtes
A y H de la a rm a d u ra y los resu ltad o s se m u e stra n en la fig u ra 9-116.
U tilizando el m éto d o de lo s nudos, se d eterm in an las fu erzas N en
cada elem ento, figura 9-1 le * P or conveniencia,estos resultados junto
c o n las d eriv ad as p a rc ia le s A V /dP se e n u n c ia n e n fo rm a ta b u la r d e la
siguiente m anera:

¿>N N (P = 0)

E lem en to N L

dP “ ( S >

4 kN AB 0.667P + 2 0 .6 6 7 2 8 10.67
0 5 P - 1.5 kN AC - ( 0 .8 3 3 /' - 2.5) -0 .8 3 3 2.5 5 -1 0 .4 2
BC -(0 .8 3 3 /* + 2.5) -0 .8 3 3 -2 .5 5 10.42

0-5P + 1.5 kN 1 = 10.67 k N • m

(b )

E n vista d e q u e P en realid ad n o existe com o u n a carga real so b re la
arm adura, se requiere q u e P = O en la tabla anterior.

Teorem a de C a *tig lia n o . Al ap licar la ecuación 9-21.se tien e

Na c - 0.833P - 2-5 kN * \d P J AE 10.67 k N • m
AE
4kN - A Á
Si se s u s tit u y e A = 400 m m 2 = 4 0 0 (1 0 “ 6) m 2. E = 200 G P a = 2 0 0 (1 09)
- 0667P * 2 kN P a,y las unidades d e se convierten d e kN a N .se tien e
0 -5P - 1.5 kN
10.67(103) N *m 0.000133 m = 0.133 m m
N„c - 0 * 3 3 P + 2.5 kN 4 0 0 ( 10”6 ) m 2( 2 0 0 (1 0 * ) N /m 2)

N a» “ 0.667/* + 2 k N ♦ Resp.
0.5/* + 1-5 kN
E sta solución d eb e com pararse con e l m étodo d el trabajo virtual d el
(c) e jem p lo 9-2.
R g H M 9 -1 1

'Q u iz á sea m ás conveniente analizar la arm adura sólo co n la carga de 4 k N sobre ella,
y luego an alizar la arm ad u ra con la carga P , D e este m odo p u ed en sum arse lo s resul­
tad o s p a ra o b te n e r las fuerzas N.

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9 .6 TEORÉM A d e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s

EJEMPLO 9.5

D e te r m in e el d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e la j u n t a I ) efe la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 - 17a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. E l
área d e la secció n tran sv ersal d e ca d a e le m e n to se in d ica e n la figura.

(b)

Figura 9-12

SO L U C IÓ N

Fuerza e x te rn a P. C om o d e b e d eterm in arse el d esp lazam iento h o ­
rizontal d e D ,s e aplica una fuerza variable h o rizo n tal P a la ju n ta D,
figura 9-12b.

Fuerzas in te rn a s N. A plicando el m éto d o d e los nudos, se calcula
la fu erza N e n ca d a elem ento.* U n a vez m ás, al aplicar la ecuación 9-21.
se estab lece P = 0 porque esta fuerza no existe realm ente so b re la a r­
m adura. Los resultados se m u estran en la figura 9-126.A l disponer los
datos en form a tabular, se tiene

E le m e n to N dN N ( P = 0) L
dP
A B -13.33 -13.33 12 0
B C -13.33 0 -13.33 12 0
CD 16.67 0 15 0
D A 16.67 + 1.25/' 16.67 15 312.50
0 16.67 135.00
BD -(20 + 0.75P) 1.25 -20 9
-0.75

Teorem a d e C a stig lia n o . A l ap licar la ecu ació n 9 -2 1 ,se tie n e

A _ y N ( M \ L _ = 0 + Q + o + 3 1 2.50 k - p i e ( 12 p u lg /p ie ) + 135.00 k - p i e ( 1 2 p u lg /p ie )

¿ \d P )A E ~ (0 .5 p u lg 2)[2 9 (1 0 J ) k /p u lg 2! (0 .7 5 p u lg 2) [2 9 (1 0 3) k /p u l g 2]

= 0.333 p u lg Resp.

•Como en el ejempkj anterior, quizá lo recomendable sea realizar un análisis p o r sepa­
rado de la armadura cargada con 10 k y cargada con P, para después superponer los
resultados.

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360 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO 9.6 D eterm ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta C d e la arm ad u ra
q u e se m u e stra en la fig u ra 9 - 13a. S u p o n g a q u e A = 0.5 pulg* y q u e E
(a) = 2 9 (1 0 3) ksi.

S O L U C IÓ N

Fuerza e xte rn a P. La fuerea d e 4 k e n C se sustituye p o r una fuerza
variable P en la ju n ta C. figura 9-136.

Fuerzas in te rn a s N. Se usa e l m éto d o d e lo s n u d o s p a ra d e te r­
m inar la fuerza N en cad a elem en to d e la arm adura. Los resultados
se resum en en la figura 9-136. A q u í. P = 4k cuando se aplica la
ecuación 9-21. Los d a to s requ erid o s p u ed en d isp o n erse en form a
tabular d e la siguiente m anera:

E le m e n to N (P = 4 k) L
Tr »

A B 0.333P + 2667 0333 4 10 13.33
B C 0.667P + 1.333 0.667 4 10 26.67
C D 0.667 P + 1.333 0.667 4 10 26.67
D E -(0.943/* + 1.886) -0.943 -5 .6 6 14.14 75.42
EF -(0.333P + 2667) -0.333 -4 10 13.33
FA -(0 .4 7 1 /* + 3.771) -0.471 -5 .6 6 14.14 37.71
R F 0.333 P + 2.667 0333 4 10 13.33
B E - 0 4 7 1 P + 1.886 -0.471 0 14.14
CE P 4 0
1 10 40

2 = 246.47 k -p ie

Teorem a d e C a stig lia n o . Si se sustituyen los d a to s e n la ecuación
9-21. resu lta

0.333/*+2.667k 4 k P 0.667/*+1333k L _ 246.47 k • p ie
AE AE

(b) A l co n v ertir las unidades d e longitud d el elem ento e n pulg ad as y al
Figura 9-13 sustituir e l valor num érico d e A E ,se tien e

(246.47 k - p ie ) (12 p u lg /p ie )
¿ ^ ( 0 , p ^ ) ( M (ltf) W ) - a204pu'8

D ebe observarse la sem ejanza en tre esta solución y la del m étodo
del tra b a jo virtual, ejem p lo 9-1.

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PROBLEMAS FUNDAMENTALES

19-1. D eterm ine el desplazam iento vertical de la junta B. 19-7. D eterm ine el desplazam iento vertical de la junta D.
A E e s constante. Use el principio del trabajo virtual. A E e s constante. Utilice e l principio d e l trabajo virtual.

F9-2. Resuelva el problem a F9-2 usando el teorem a de F9-8. Resuelva el problem a F9-7 usando e l teorem a de
Castigliano. Castigliano.

P9-19-2 19-79-8
19-3. D eterm ine el desplazam iento horizontal de la junta A.
A F e s constante. Use el principio del trabajo virtual. 1-9-9. D eterm ine e l desplazam iento vertical d e la ju n ta B.
A F e s constante. Utilice e l principio d e l trabajo virtual.
1-9-4. Resuelva el problem a F9-3 usando e l teorem a de 19-10. Resuelva el problem a F9-9 usando el teorem a de
Castigliano. Castigliano.

19-3/9-4 19-99-10
I 9 - 1 L D eterm ine e l desplazam iento vertical de la ju n ta C.
F9-5. Determine el desplazamiento horizontal d e la junta D. A E es constante. Use el principio d el trabajo virtual.
A E c s constante. Use el principio del trabajo virtual.
19-6. Resuelva el problem a F9-5 usando el teorem a de 19-12. Resuelva el problem a F9-11 usando el teorem a de
Castigliano. Castigliano.

19-119-12

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362 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

PR O BLEM AS

9 -1 . D eterm in e e l desplazam iento vertical d e la ju n ta A . 9 -7 . D eterm ine e l d esplazam iento vertical de la ju n ta D.
C a d a b arra e stá hech a d e a c e ro y tiene u n área e n su sección U se el m éto d o d el trab ajo virtual. A E es co n stan te. S u ­
transversal d e 600 m m ?.C o n sid ere q u e £ = 200 G P a U se el p onga q u e los elem en to s e s tá n articu lad o s e n su s extrem os.
m éto d o d el tra b a jo virtual.
*9-8. R esuelva el p ro b lem a 9-7 u sa n d o el te o re m a d e C as­
9 -2 . R esuelva e l p ro b lem a 9-1 u san d o e l te o re m a d e C asti­ tig lia n o .
gliano.

5 kN

Probs. 9 -1/9-2 P robs. 9-7Z9-8

9 -3 . D eterm in e e l d esplazam iento vertical d e la ju n ta B. 9 -9 . U se e l m éto d o del tra b a jo virtual.
Para cada elem en to A = 400 m m \ £ = 200 G P a. U se e l m é­
to d o d el trab ajo virtual. 9 -1 0 . R esuelva e l p ro b lem a 9-9 u sa n d o el te o re m a d e C as­
tig lia n o .
*9-4. R esuelva e l p ro b lem a 9-3 a san d o el teo rem a d e C as­
tig lia n o .

9 -5 . D eterm in e e l desplazam iento vertical d e la ju n ta £.
P a r a c a d a e l e m e n t o A = 4íX) m m 2, £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­
to d o d el trab ajo virtual.

9 -6 . R esuelva e l problem a 9-5 usando e l teo rem a d e C asti­
gliano.

P ro b s . 9-V 9-4/9-5E> -6 P ro b s. 9 -9 /9 -1 0

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9 .6 TPORPMA o e C a s tig h a n o par a a rm a d u ra s 363

9 -1 1 . D eterm ine el desplazam iento vertical d e la junta A. 9-15. Determine el desplazam iento vertical de la junta C
EJ á re a d e la sección transversal d e c a d a e le m en to se indica d e la arm adura. Cada elem ento tiene un área en su sección
en la figura. Suponga que los elem entos están articulados en transversal d e A ~ 3H) m m '. E ^ 200 G P a U se e l m étod o
sus extrem os. £ = 29(10)3 ksi. U se el m étodo del trabajo del trabajo virtual.
virtual.
•9 -1 6 . Resuelva el problem a 9-15 usando el teorem a de
•9 -1 2 . Resuelva el problem a 9-11 usando el teorem a de Castigliano.
Castigliano.
HG F

P ro b s. 9-11/9-12 9 -1 7 . Determine el desplazam iento vertical de la junta A .
Suponga que los elem entos están articulados en sus extre­
mos. C o n sid ere q u e A = 2 p u lg 2 y E = 29Í103) p a ra c a d a
elem ento. U se el m étodo del trabajo virtual.

9 -1 8 . Resuelva el problem a 9-17 usando el teorem a de
Castigliano.

9 -1 3 . Determine el desplazamiento horizontal de la junta D.
Suponga que los elem entos están articulados en sus extre­
mos. AF. es constante. U se el mótodo del trabajo virtual.

9 -1 4 . Resuelva el problem a 9-13 usando el teorem a de
Castigliano.

9 - 1 9 . D eterm ine e l d esp la z a m ie n to v ertical d e la ju n ta A si
b s e le m e n to s A B y B C ex p erim entan u n a u m e n to d e la
tem p eratu ra d e A T = 200 "F. C o n sid ere q u e A =2 p u lg 2 y £
= 29(103)k si. A d e m á s .« = 6 .6 0 ( 10~V F

•9 -2 0 . D eterm ine el desplazam iento vertical de la junta A
si e l elem ento A E se fabrica 0.5 pulgadas m ás corto d e lo es­
perado.

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364 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

9 .7 M é to d o del tra b a jo virtual:
V igas y m arcos

A p licació n d e la c a rg a u n itaria v irtu al al p u n to A E l m éto d o del tra b a jo v irtu al tam b ién p u e d e aplicarse a los pro b lem as de
deflexión e n vigas y m arcos. C om o las deform aciones d eb id as a la flexió n
(») so n la causa principal d e las deflexiones en vigas o m arcos, p rim e ro se a n a ­
lizarán sus efectos. Las deflexiones debidas a las cargas cortantes, axiales y
Aplicación d e la carga real * d e to rs ió n , así c o m o a la te m p e ra tu ra , s e c o n s id e ra rá n e n la secció n 9-8.
(b )
E l p rin cip io d el tra b a jo v irtu al o, m á s e x a c ta m e n te , el m é to d o de la
R gttra 9-14 fuerza v irtu al, pu ed e form ularse p ara deflexiones e n vigas y m arcos al
c o n sid erar la viga q u e se m u estra e n la fig u ra 9-146. A q u í d e b e d e te rm i­
narse e l desplazam iento A d e u n pu n to A . Para calcular A se coloca una
carg a virtu al u n itaria q u e ac tú a e n la d irecció n de A so b re la viga e n A , y
e l m o m e n to virtu a l in tern o n i se d e te rm in a m e d ia n te e l m éto d o de las s e c ­
ciones e n una ubicación a rb itra ria x m edida desde el so p o rte de la iz­
q u ierd a, fig u ra 9 -14a. C u an d o las cargas reales a c tú a n so b re la viga, figura
9-146, e l p u n to A se desplaza A. Siem pre que estas cargas cau sen u n a res­
p u e sta m a te r ia l e lá stic a lin e a l,e n to n c e s c o n b a s e e n la e c u a c ió n 8 -2 , e l e l e ­
m e n to d x se d e fo rm a o g ir a d O - ( M / E l ) d x .* A q u í M es e l m o m e n to in ­
te rn o e n x c au sad o p o r las cargas reales. E n co n secu en cia, e l trabajo
virtual externo realizad o por la c a rg a u nitaria e s 1 • A, y e l trabajo virtual
interno realizado por e l m om ento m es m d d = m (M / E l) dx. L a sum atoria
de los efectos so b re to d o s los e lem en to s d x a lo larg o d e la viga req u iere
u n a in te g ra c ió n y. p o r lo ta n to , la e c u a c ió n 9-13 se co n v ierte en

J.1 • A mM (9-22)
dx
I
El
*
donde
A p licació n d e l m o m e n to d e p a r u n itario virtual 1 = carga u n itaria virtual ex tern a q u e actú a so b re la viga o e l m arco e n
en el p u n to A
la d ir e c c ió n d e A.
<•) m = m o m en to virtual in tern o e n la viga o el m arco, ex p resad o co m o una

Ü S* función d e x y q u e es causado por la carga unitaria virtual externa.
A = d esp lazam ien to ex te rn o d e l p u n to c a u sa d o p o r las carg as reales

q u e actú a n so b re la viga o e l m arco.
M = m om ento in tern o e n la viga o el m arco, ex p resad o com o una

función d e x y q u e e s c a u sa d o p o r las carg as reales.
E ■ m ódulo d e elasticidad d el m aterial.
I ■ m om ento de inercia d el área transversal, calculado con respecto

al eje neutro.

D e u n a m anera sem ejante, si d eb e determ in arse la rotación d e la ta n ­

gente o e l ángulo 0 d e la pendiente en un p u n to A de la curva elástica de

la viga, fig u ra 9 -1 5 , s e ap lica p rim e ro u n m o m en to d e p a r u n ita rio e n el

p u n to , y s e d e te r m in a n lo s m o m e n to s in te rn o s c o rr e s p o n d ie n te s m e.

C om o el trab ajo d el p ar unitario es 1 • 0. entonces (9-23)

rm dM

1 dx
El

A p lica c ió n d e la c a rg a re a l w •R ecu erd e q u e si e l m aterial se d efo rm a m ás allá d e su lim ite elástico, todavía p u ed e ap li­
carse e l principio del trabajo virtual, au n cu an d o en este caso debe e m p le a re u n análisis
figura 9-15 no lineal o plástico.

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9 . 7 M É T O D O DEL TR ABAJO V lR TU A i: V>GAS Y M A3C O S

1

Figón 9-16

Al aplicar las ecuaciones 9-22 y 9-23, e s im portante te n e r en cuenta
q u e las in teg rales d efin itiv as a l lad o d e re c h o re p re se n ta n e n realidad
la c a n tid a d d e e n e rg ía d e d efo rm ació n v irtu al q u e e s tá alm acenada e n la
viga. Si so b re la viga a c tú a n fu e rz a s c o n c e n tra d a s o m o m en to s d e p a r o si
la c a rg a d istrib u id a e s d isco n tin u a, n o se p u e d e re a liz a r só lo u n a in te g ra ­
ción a través d e to d a la lo n g itu d d e la viga. E n vez d e e sto d e b e rá n e le ­
girse coordenadas x separadas d e n tro d e las regiones q u e no tienen d is­
continuidad d e carga. A dem ás, no es necesario que cad a x tenga el
m ism o origen; sin em b arg o , la x seleccionada p a ra d eterm in ar e l m o ­
m ento M real en u n a región particular d eb e ser la m ism a x q u e la selec­
cionada p a ra d e te rm in a r e l m om ento virtual m o m 0 d en tro d e la m ism a
región. Por ejem plo, considere la viga de la figura 9-16. P ara d eterm in ar
el d esp lazam ien to d e D cfcben co n sid erarse c u a tro regiones d e la viga, y
por lo tanto, d eb en evaluarse cuatro integrales q u e contengan la form a
f( m M /E I ) d x . E s posible u s a rx , p ara d eterm in ar la en erg ía d e deform a­
ció n e n la reg ió n A B . x2 p ara la reg ió n B C .x j p a ra la re g ió n D E y x 4 para
la región D C . E n c u a lq u ie r caso, c a d a c o o rd e n a d a x d e b e seleccio n arse
d e m o d o q u e W y m ( o m e) s e p u e d a n fo r m u la r c o n fa c ilid ad .

Integración utilizando tablas. C uando la estru ctu ra e stá so m e­

tida a una carga relativam ente sim ple y q u e aún así la solución p ara un
desplazam iento req u iere varias integraciones, puede usarse un m étodo
tabular para realizar estas integraciones. E n este m étodo, prim ero se di­
bujan los diagram as d e m om ento p a ra cada elem en to , ta n to p a ra las c ar­
gas reales com o virtuales. A l relacio n ar esto s diagram as p a ra m y M con
los in d icad o s e n la ta b la d e la p o rta d a in te rio r, se p u e d e d e te rm in a r la
integral J m M d x con b ase en la fó rm u la ap ro p iad a. l o s ejem plos 9-8 y
9-10 ilu stran la aplicación d e e ste m étodo.

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366 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

P ro c e d im ie n to d e a n á lis is

E l sig u ien te p ro c e d im ie n to p u e d e u sa rse p a ra d e te rm in a r e l d e sp la z a m ie n to y / o la p e n ­
diente en un pu n to d e la curva elástica de una viga o un m arco m ediante e l m étodo del
trab ajo virtual.

M o m e n to s v ir tu a le s m o m0

• C oloque u n a carga unitaria sobre la viga o m arco e n e l p u n to y e n la dirección d e l des­
plazam iento deseado.

• Si d e b e d eterm in arse la pendiente, coloque u n m o m en to d e p a r unitario en e l punto.
• E stab lezca las co o rd e n a d a s x a p ro p ia d a s q u e so n válidas d e n tro d e las re g io n es d e la

viga o e l m arco d o n d e no haya d isco n tin u id ad d e la carg a re a l o virtual.
• C o n la c a r g a v ir tu a l e n s u s i ti o y to d a s la s c a r g a s r e a l e s r e m o v id a s cte la v ig a o el

m arco, calcule e l m om ento in tern o m o m 0 com o una función d e cad a co o rd en ad a x,
• S uponga q u e m o m 0 a c tú a n e n la d irecció n positiva co n v en cio n al, seg ú n se indica en

la fig u ra 4 -1 .

M om entos reales

• U s a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e la s e s ta b le c id a s p a r a m o m 0, d e te r m i n e lo s m o ­
m entos in tern o s M causados só lo p o r las cargas reales.

• D e b id o a q u e se su p o n e q u e m o m 0 a ctú a n e n la d irecció n p o sitiv a c o n v en cio n al, es
im portante q u e M p o sitivo actú e e n la m ism a dirección. E sto es n ecesario p o rq u e el
tra b a jo in te rn o p o sitiv o o n eg ativ o d e p e n d e d e l se n tid o d ireccio n al de la carg a (d e fi­
n id o p o r ± m o ± m 0) y e l d e s p la z a m ie n to ( d e f in id o p o r ± M d x / E ¡ ).

Ecuación d e l tra b a jo virtual

• A p liq u e la e c u a c ió n d el tra b a jo v irtu al p a ra d e te rm in a r e l d e sp la z a m ie n to d e se a d o A
o l a r o t a c ió n Q. E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a in te g r a l c a lc u la d a
dentro d e su región específica.

• Si la su m a algebraica de to d as las integrales p ara to d a la viga o m arco es p o sitiva. A o
A tienen la m ism a dirección q u e la carga unitaria virtual o e l m om ento d e p ar unitario,
respectivam ente. Si se o b tie n e u n v alo r neg ativ o , la d ire c c ió n d e A o # c s o p u e sta a la
de la carga u n itaria o e l m om ento de p ar unitario.

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9 . 7 M É T O D O DEL TR ABAJO V lR TU A i: V>GAS Y M A3C O S 367

EJEMPLO

D eterm in e el d esplazam iento d el p u n to B d e la viga d e acero q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 9 .1 7 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 0 ü ( l( /* ) m m 4.

12 kN /m

TTTTTTTTTTTTTTH

10 m -

(a)

SO L U C IÓ N i kN

M om ento v irtu a l m . El desplazam iento vertical d el punto B x o b ­ |" • - h i
tiene al colocar una carga virtual un itaria d e 1 kN e n B . figura 9-176.
ft»r insp ecció n se o b serv a q u e n o h ay d isco n tin u id ad es de c a rg a e n la fu e rz a u n ita r ia |--------- * -
viga, lanío p a ra las carg as re a le s co m o p a ra las virtuales. A sí, p u ed e (b )
usarse una sola co o rd en ad a x p ara d eterm in ar la energía d e deform a­
ción virtual. E sta co o rd en ad a se seleccionará con origen e n B ,p o rq u e ,rf-1
de ese m odo n o h ab rá necesidad d e d eterm in ar las reacciones e n A
con e l fin d e en co n trar los m om entos in tern o s m y M . U sando e l m é­ i * - - # i f ífc
todo de la s secciones, el m o m en to in te rn o m se fo rm u la de la m an era
q u e s e m uestra en la figura 9-176. carga real
(c)
M om ento re a l M . C on base en la m ism a coordenada j.e l m om ento
n t e r n o M se fo rm u la c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 9 - 17c. H gara 9-17

E cuación d e l tra b a jo v irtu a l. E n to n c e s,e l d e sp la z a m ie n to vertical
de «es

‘— i T í mJ Ti----

1 kN -A , 15(10*) kN 2 -m 3
El

o r bien.

15(103) k N • nv
2 0 0 ( l ü 6) k N / m 2(5 0 0 (1 0 6) m m 4) ( l < r 12 m 4/ m m 4)

0.150 m = 150 m m Resp.

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368 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

E JE M P L O 9.8

D ete rm in e la p en d ien te 0 e n el p u n to R de la viga d e a c e ro q u e se m ues­
tr a e n la fig u ra 9 1 8 a . C o a s id e r e q u e F. - 2 0 0 G P a . / = 60(10*) m m 4.

3 kN

<»>
Hgura 9-18

S O L U C IÓ N

M o m e n t o v i r t u a l m „. 1.a p e n d ie n t e e n R se d e te r m i n a a l c o lo c a r u n
m om ento de p ar unitario virtual d e 1 kN • m e n R , figura 9-186. A quí
d e b e n seleccio n arse d o s c o o rd e n a d a s x con el fin d e d e te rm in a r la
e n e rg ía d e d efo rm a c ió n v irtu a l to ta l e n la v ig a. 1.a c o o rd e n a d a x x
tom a en cuenta la energía d e deform ación d e n tro del segm ento A R y
la c o o rd e n a d a x2 incluye la d e l se g m e n to R C . L os m o m en to s in te rn o s
m 0 dentro d e cada u n o d e estos segm entos se calculan usando e l m é­
todo d e las secciones co m o se m uestra e n la figura 9-186.

I m „-0

p a r u n ita rio v irtual
(b )

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9 . 7 M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S 369

3 kN 3 kN

é fcr*
x , |V,
carga real
3 kN
f c — 3(5 + x j

8.1 )

V2

(C)

M o m e n t o s r e a l e s M . Si s e u s a n la s m is m a s c o o r d e n a d a s x x y *2.1os
m om entos in te rn o s M se calc u lan c o m o se m u e stra e n la fig u ra 9-18c.

E cuación d e l tr a b a jo v irtu a l. Entonces, la pendiente e n R es resul­
tado d e

1 '0 , / m„M

dx 5 ( l ) I - 3 ( 5 + x 7) \ d x 2
El
I. El
/ * (0)(-3*,)< /a:,
Jo E l m» flcN -m )
-112.5 k N -m ?
O)
El

T a m b ié n s e p u e d e n e v a lu a r la s in t e g r a l e s J m 0M d x efe f o r m a g r á ­ 10 -x(m>
fica. e m p le a n d o la ta b la q u e se e n c u e n tra a l re v e rso d e la p o rta d a de
este lib ro . P ara ello , p rim ero e s n e cesario e s ta b le c e r los d ia g ra m a s <d>
d e m o m e n to p a ra las vigas e n la s figuras 9 -1 8 6 y 9 - 18c. É sto s se m u e s­
tran en las figuras 9-18d y 9-18e. respectivam ente. C o m o n o hay
m om ento m para 0 S r < 5 m , sólo se utilizan las áreas som breadas
rectan g u lares y trap e z o id a le s p a ra e v a lu a r la in te g ra l. D e sp u és d e e n ­
c o n tra r e sta s fo rm as en la fila y la co lu m n a c o rre sp o n d ie n te s d e la
tabla.se tiene

c + M 2) L = $ (1 )(-1 5 - 30)5
/ dx =
M (kN • m)
J5

= -1 12.5 kN 2 -m 3

É ste e s e l m is m o v a lo r q u e s e d e te r m i n ó e n la e c u a c ió n 1. P o r lo ta n to .

( l k N - m l - 0 - ________________ - 1 1 2 .5 k N 2 - m 3________________
‘ ~ 20<)(106) k N / m 2|6 0 (1 0 6) m m 4|(1 0 ~ 1 2 m 4/ m m 4)

e B = -0.00938 rad Resp. 30

E l sig n o n eg a tivo indica q u e 0B es o p u esto a la d ire c c ió n d e l m o m en to (e)
de p a r virtual q u e se m u estra e n la figura 9-186.

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370 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO 9.9

D eterm in e el d esp lazam ien to e n D de la viga d e acero q u e se m u estra
e n la fig u ra 9 - 19a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 ( 103) k s i, / = 8 0 0 p u lg 4.

6k

80 k pie

G* D

lO pii 10 pies 15 p ie s-

(a)
figura 9-19

S O L U C IÓ N

M o m e n to s v irtu a le s m . La viga está so m etid a a u n a carga virtual
unitaria e n D, com o se m uestra en la figura 9-196. P or inspección,
d e b e n u sarse tres co o rd en a d a s, c o m o X j, x 2 y x3 p ara c u b rir to d a s las
regiones de la viga. O bserve q u e estas co o rd en ad as cu b ren las regio­
nes d o n d e no ocurren discontinuidades e n las cargas y a sean reales o
virtuales. Los m om entos in te rn o s m se calcu laro n en la figura 9-196
p o r e l m éto d o d e las secciones.

ik

0.75 k 1.75 k 1

P .,- 1

Ik

m ,— lx,

I— ,-i

■n-awfr-nlf fi 1k . m ,— 0.75*,

1* ' S= 1 ” -|V

^ 1“
0.75 k
" -\
1.75 k

cargas virtuales

(b)

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9 . 7 M É T O D O DEL TR ABAJO V lR TU A i: V>GAS Y M A3C O S 371

80 I pie 1 ______________________________________________________________

& E 5 T=T- I
7k
Ik

[* E 3 Cí j ™

I-— * i— I

80kpie

* 3 ------ 1 V ,

7 k lk
cargas reales
(c)

M o m e n to s re a le s M . E n p rim er lugar se calculan las reacciones
sobre la viga; d esp u és, em p lean d o las m ism as co o rd en ad as x que se
usaron para rn.se d eterm inan los m om entos internos M com o se m ues­
tra e n la fig u ra 9 - 19c.

E cuación d e l tr a b a jo v irtu a l. Al aplicar la ecuación del trabajo vir­
tual a la v ig a ,c o n los d a to s d e las figuras 9-196 y 9 -1 9 c ,s e tien e

c1 ‘ A " ‘ 1 T T d x
f ' 5 ( - 1 x ^ ( 0 ) d X l y 10( 0 .7 5 * 2 - 1 5 )( 7 * 2) d x 2

" Jo E l Jo El
, 0 ( - 0 . 7 5 * 3) ( 8 0 - 1*3) d x j

El

0 3500 2750 6250 k -p ie3

* n= E l~ El ~ El ~ ~ El

o bien

- 6 2 5 0 k • p ie 3( 12) 3 p u lg 3/ p i e 3 Resp.
A„ =

2 9 (1 0 3) k /p u l g 2( 8D« p u lg 1)

= -0 .466 pulg

EJ signo negativo indica q u e e l desplazam iento es h a d a arrib a,
opuesto a la carg a unitaria hacia abajo .fig u ra 9-196.T am bién tenga en
cuenta que en realidad no hay necesidad d e calcular m i puesto que
A i, - 0.

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372 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

D eterm ine el desplazam iento horizontal del p u n to C en e l m arco que
s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 tto . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i e / = 600
pulg4 p ara am bos elem entos.

Rgura 9-20

S O L U C IÓ N
M o m e n to s v ir tu a le s m . R>r co n v en ie n cia, se u sa rá n las c o o rd e n a ­
d a s x \ y x 2 en la figura 9-206. Se aplica u n a carga unitaria horizontal
e n C , figura 9-2 0 6 . ¿P o r q u é ? L as reaccio n es en los so p o rte s y los m o ­
m entos internos virtuales se calculan com o se m uestra.

m : - 1.2 5 1. v.

125 k
Ik

cargas virtuales
(b)

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9 . 7 M É T O D O DEL TR ABAJO V lR TU A i: V>GAS Y M A3C O S 373

W? - 25xj 25 k
N, I
V j|—

-8 pies-

Mi ~ 40.t, - W 25 k

N,

4 .v , 40 k

4« 2 i )ics
40 k
4 0 k - -----
25 k
25 k
caigas reales

(c)

M om entos reales M . D e igual m an era, las reacciones e n los so p o r­ 10 kpic
tes y los m o m en to s reales s e calc u lan co m o se m u e stra e n la figura
9-20c. 10 k p i c

E cuación d e l tra b a jo v irtu a l. C b n b a se e n lo s d a to s d e las fig u ra s 8 pies
9-206 y9-2 0 c.se tiene

[ LmM , / • 10( l i i ) ( 4 0 * 1 - 2 x ¡ ) d x , f» (\.2 5 x 2)( 2 5 x , ) d x ¡ \
\
' • Ac- = i =i — ü— + y. — t ,—
10 pies
8333.3 + S333.3 13 6 6 6 .7 k • p ie-
Eí \
4c, E l El (1)
(d)

Si se desea, las integrales J m M /d x tam bién p u ed en evaluarse g ráfi­ 200 k- pie
cam ente em pleando la tabla que está detrás de la portada. Los diagra­
m as d e m o m e n to p a ra el m arco d e las figuras 9-206 y 9-20c se m uestran 200 k pie
en las figuras 9-20d y 9-20e, respectivam ente. P or lo ta n to , utilizando las 8 pies
fórm ulas para las form as sem ejantes d e la ta b la .se obtiene
1\
fm M d x = é ( 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 1 0 ) + J ( 1 0 ) ( 2 0 0 ) ( 8 )
= 8 3 3 3 .3 + 5 3 3 3 .3 = 13 6 6 6 .7 k 2 • p ie 3 \\ 10pies
\
Q u e es igual a lo q u e se calcu ló e n la ecu ació n 1. A sí,

____________________________13 6 6 6 .7 k - p i e 3_________________________

C* (2 9 (1 0 3) t f p u t f ( ( 1 2 J 2 p u lg 2/ p i e 2) ] |60() p u lg 4( p ie 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)]

= 0.113 p ie s = 1.36 p u lg Resp. (e)

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374 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO 9.11

D eterm ine la rotación tangencial en el pu n to C d el m arco que se m ues­
t r a e n la f ig u r a 9 - 2 l a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 15( 106) m m 4.

5 kN

I kN -m lk N -m SkN 5 kN

(a)
Figura 9-21

cargas virtuales

cargas reales

S O L U C IÓ N

M o m e n to s v ir tu a le s m 0. S e u s a r á n las c o o r d e n a d a s xt y x j q u e se
m uestran en la figura 9-2 la . Se aplica un m om ento d e p ar u nitario en
C y s e c a lc u la n lo s m o m e n to s i n t e r n o s m g, fig u ra 9 -2 1 b.

M o m e n to s reales M . D e una m anera sim ila r.se calcu lan los m o ­
m entos reales M com o se m u estra e n la figura 9-2le.

E cuación d e l tra b a jo v irtu a l. C o n b a s e e n lo s d a to s d e las fig u ras
9-2\b y9-21c.se tiene

f Lm,M , [ H - l ) { - 2 . S x , ) d x , . /*2 (1 )(7 .5 ) d x j
l -*“ y„ ~irix- i — Ti +i — ¡n—

11.25 15 _ 26.25 k N • m 2

c El + El El

o bien

0 _ _________________ 2 6 .2 5 k N - m 2_________________

C “ 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2|1 5 ( l( J 6) m m 4|( 1 0 " 12 m4/ m m 4)

= 0.00875 ra d Resp.

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9 .8 E n e r g Ia d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , f u e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a 375

9 . 8 Energía de d e fo rm a c ió n virtu a l
causada p o r carga axial, fu e rza
cortante, to rsió n y tem p eratu ra

A unque las deflexiones e n vigas y m arcos se pro d u cen principalm ente
debido a la energía d e deform ación p o r flexión,en algunas estru ctu ras la
en erg ía d e d eform ación ad icio n al d e la carga ax ial, la fuerza co rtan te,
la to rsió n y q u iz á la te m p e ra tu ra p u e d e n llegar a s e r im p o rtan tes. A c o n ­
tinuación s e co n siderará cad a u n o d e esto s efectos.

Carga axial. Los e le m e n to s d e u n m arco p u e d e n e s ta r so m e tid o s a

cargas axiales y la energía de deform ación virtual causada por estas car­
gas s e ha establecido en la sección 9-4. Para lo s elem en to s q u e cuentan
con un área constante en su sección tran sv ersal se tiene

c r .- = g
donde

n = carga axial virtual interna cau sad a p o r la carga unitaria virtual
extem a.

N = fuerza axial in tern a en e l elem en to causada p o r las cargas reales.
E = m ódulo d e elasticidad d el m aterial.
A = área d e la sección transversal del elem ento.
L = longitud d el elem ento.

Fuerza co rta n te . P ara d e te rm in a r la e n e rg ía d e d efo rm ació n v ir­

tual d eb id a a la fuerza co rtan te e n u n a v ig a.se considerará el elem en to
d x de la viga q u e se m u estra e n la fig u ra 9-22. La distorsión co rtan te dy
d el e le m e n to c u a n d o e s cau sa d a p o r la s cargas reales e s d y ■ y d x . Si la
deform ación c o rta n te y es cau sad a p o r la respuesta de u n m aterial elás­
tico lineal, en to n ces p u e d e aplicarec la ley d e H o o k e, y = t/ G . P o r lo
tanto, d y = ( t/G ) d x. El esfuerzo co rtan te pu ed e expresarse com o t =
K (V /A ), d o n d e K es u n factor d e fo rm a que d ep en d e d el perfil d el área
transversal A d e la viga. ft>r lo ta n to .s e p u e d e escrib ir d y = K ( V / G A ) d x .
El trabajo virtual in tern o hecho por u n a fuerza co rtan te virtual v .q u e
actúa so b re e l elem en to d y m ientras se deform a, es en to n ces dU , = v dy
= v ( K V / G A ) dx. Para to d a la viga, la en erg ía d e deform ación virtual se
determ ina p o r integración.

U, (9-25)

donde
v = fuerza co rtan te virtual interna en el elem ento, expresad a en

función d e x y causada p o r la carga virtual unitaria externa.
V = fuerza co rtan te interna e n el elem ento,expresada com o una

función d e x y causada p o r las cargas reales.
A - área d e la sección transversal del elem ento.
K ■ factor d e form a p ara e l á re a d e la sección transversal:

K - 1.2 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s .
K = 10/9 p a ra secciones transversales circulares.
K as 1 p a ra vigas d e ala ancha o do ble T , d o n d e A es el área del alm a.
G = m ódulo d e elasticidad a l corte p a ra e l m aterial.

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376 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

T o r s ió n . C on frecuencia, los m arcos tridim ensionales se som eten a
cargas d e to rsió n . Si el elem en to tien e una sección tran sv ersal circular,
no o cu rrirá n ingún p an d eo en su á re a transversal al cargarlo. C om o re ­
sultado. puede o b ten erse la energía d e deform ación virtual en el e le ­
m ento. P ara ello se considera u n elem en to dx del elem ento q u e está
so m etid o a un p a r d e to rsió n T aplicado, figura 9-23. E ste p a r d e torsión
p ro d u ce u n a d e fo rm ació n c o rta n te d e y = (c d d ) /d x . D a d o q u e s e p ro ­
duce u n a respuesta m aterial lineal elástica, en to n ce s, y ■ t / G , d o n d e r -
T c/J. Por lo tan to , el ángulo d e g iro d 0 = (y d x )/c = (t/ G c ) d x = ( T/G J)
dx. Si se aplica una carga unitaria virtual a la estructura q u e ocasione un
p a r d e toreión virtual in tern o t e n e l elem ento, después d e ap licar las c ar­
gas reales, la en erg ía d e deform ación virtual en e l elem en to d e longitud
d x será dU , = t d Ü = t T d x / G J . In teg rar a to d a la longitud L del elem ento
da p o r resultado

(9-26)

donde
r = par d e torsión virtual in tern o causado p o r la carg a unitaria virtual
externa.

T - par d e to rsió n in tern o e n e l elem en to causado por las cargas reales.

G = m ódulo d e elasticidad al co rte d el m aterial.
J = m o m e n to p o la r d e in e rc ia p a r a la s e c c ió n tr a n s v e rs a l. J = ttc* /2 ,

donde c es e l rad io del á re a d e la sección transversal.

L = longitud d el elem ento.

1.a e n e rg ía d e d e fo rm a c ió n v irtu a l d e b id a a la to rsió n d e e le m e n to s
q u e n o tienen áreas transversales circulares s e determ in a m ed ian te un
análisis m ás rig u ro so q u e el q u e se h a p resen tad o aquí.

T e m p e r a t u r a . E n la sección 9-4 se co n sid eró el efecto d e u n cam bio
d e te m p e r a tu r a u n if o r m e A 7*s o b r e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a y s e in ­
dicó q u e e l elem en to se alargaría o a c o rtaría una can tid ad A L = a A T L .
Sin em bargo, e n algunos casos un elem en to estru ctu ral p u ed e esta r so ­
m etid o a una diferencia d e tem peratura e n toda su p ro fu n d id a d , co m o en
el caso d e la viga q u e se m u e stra e n la fig u ra 9 -2 4 a. Si e sto o c u rre , e s p o ­
sible d e te rm in a r e l d e sp la z a m ie n to d e los p u n to s a lo la rg o d e la cu rv a
elástica d e la viga usando el principio d e l trab ajo virtual. P ara ello, p ri­
m ero d e b e calcularse la can tid ad d e rotación de un elem en to diferencial
d x d e la v ig a .c a u sa d o p o r el g ra d ie n te té rm ic o q u e a c tú a so b re la sección
transversal d e la viga. P ara hacer m ás claro el análisis, se elegirá el caso
m ás co m ú n d e u n a viga q u e tie n e u n eje n e u tro situ a d o a la m itad d e la
p ro fu n d id a d (c) d e la viga. A l g raficar el p e rfil d e la te m p e ra tu ra , figura
9-24¿>.se o b se rv a rá q u e la te m p e ra tu ra m ed ia e s Tm = ( 7 , + T?)/2 . Si 7 ,
> 7*2, la d if e r e n c ia d e t e m p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r d e l e le m e n to
c a u sa u n a d efo rm a c ió n d e a la rg a m ie n to , m ie n tra s q u e e n la p a rte b aja
provoca u n a deform ación por contracción. E n am bos casos la diferencia
d e t e m p e r a t u r a e s A T m = 7 ’, — T m = T m — T 2. C o m o e l c a m b io té r m ic o

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9 .8 E n e r g Ia d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , f u e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a

d e lo n g itu d e n la p a rte su p erio r e in ferio r es d e 8 x = a &Tm d x , figura perfil de la tem p eratu ra
9-24c, e n to n c e s la ro ta c ió n d el m ie m b ro e s
<b)
d e m aA Ts dx
c rotación positiva

Si se aplica una carg a unitaria virtual en u n p u n to d e la viga d o n d e
d eb e determ inarse e l desplazam iento, o se aplica u n m om ento d e p ar
unitario virtual en un p u n to d o n d e desea conocerse e l desplazam iento
rotacional d e la tan g en te, entonces esta carga crea un m om ento v irtu al m
e n la viga e n e l p u n to d o n d e se en c u e n tra e l elem ento dx. C u an d o s e im ­
pone el gradiente d e tem p eratu ra, la energía d e deform ación virtual en
la viga es

donde '&r

m = m om ento virtual in te rn o e n la viga ex p resad o e n función d e x , y —d x —
causado p o r la carga unitaria virtual externa o e l m o m en to de
par unitario virtual externo. (C )

a = coeficiente d e expansión térm ica. figura 9-24
&Tm = diferencia d e tem p eratu ra en tre la tem p eratu ra m edia y la tem ­

p e ra tu ra e n la p a rte su p e rio r o in fe rio r d e la viga.
c = p ro fu n d id ad m ed ia d e la viga.

A m enos q u e se in d iq u e lo co n trario , e n este texto se considerarán só lo
las deflexiones en vigas y m arcos debidas a la fle x ió n . N o o b sta n te , p o r lo
g en eral los elem en to s de vigas y m arcos p u ed en e sta r so m etid o s a varias
d e las o tra s carg as a n a lizad as e n esta secció n . Sin e m b a rg o .c o m o se m e n ­
cionó an terio rm en te, las deflexiones adicionales causad as p o r las fuerzas
co rtan tes y axiales alteran la deflexión d e las vigas e n só lo u n p eq u eñ o
porcentaje p o r lo q u e g eneralm ente se ignoran, incluso e n e l análisis de
“p e q u e ñ o s ” m arco s d e d o s o tr e s e le m e n to s c o n u n n iv e l d e a ltu ra . S i
ésto s y o tro s efectos d e la torsión y la tem p eratu ra d eb en considerarse
e n un análisis, e n to n ce s sim plem ente se agrega su en erg ía d e d efo rm a­
ción v irtu al d efin id a p o r las ecuacio n es 9-24 a 9-27 a la ecu ació n d el
tra b a jo v irtu al d efin id o p o r la ecuación 9-22 o la ecu ació n 9-23. L os si­
guientes ejem plos ilustran la aplicación d e estas ecuaciones.

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378 C a p it u l o 9 D e f l e x io n e s e m p l e a n d o m é t o d o s d e e n e r g ía

EJEMPLO 9.12

D eterm ine e l desplazam iento horizontal d el p u n to C en e l m arco de
la f ig u r a 9 -2 5 a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, G = 1 2 (1 0 3) k s i, / =
600 pu lg 4 y A = 80 p u lg 2 para am b o s elem entos. E l á re a de la sección
transversal es rectangular. Incluya la energía d e d eform ación interna
debida a la carga axial y la fuerea cortante.

-S p ies-

4 k/pic 10

T

(a)

fig u ra 9 -2 5

S O L U C IÓ N

A q u í debe aplicarse u n a carga unitaria horizontal e n C. Los diagra­
m as de cu erp o libre necesarios p ara las cargas reales y virtuales se
m u e stra n e n las fig u ra s 9 -2 5 b y 9-25c.

g i -125 M 2 -2Sx}

V2 - 0 ♦ —f

25 k

125 k 25 k

n , = 125 www.FreeLibros.me
10 pies

T i-i
i

lk -U -| I k J - j

125 k 1.25 k
cargas virtuales
(c)
(b )