Análisis Estructural, 8va Edición - R. C. Hibbeler-FREELIBROS.ORG

7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e portal. 279

7-17. Determ ine (en forma aproxim ada) los m om entos 7-19. D eterm ine (en form a aproxim ada) las reacciones en
internos en las ju n tas / y L. Por o tra parte, ¿cuál e s el m o­ los soportes A y B del m arco d e portal. Suponga q u e los so­
m ento interno en la junta / / causado por el elem ento H G1 portes e stá n (a ) articulados, y (b) fijos.

P ro b .7 -1 7

7-18. D eterm ine (en form a aproxim ada) las reacciones en *7-20. D eterm ine (en form a aproxim ada) e l m om ento in-
b s soportes A , B y C dcl marco. te m o y la fuerza c o rta n te e n lo s ex trem o s d e c ad a e lem e n to
del m arco de portal. Suponga q u e los soportes en A y ü
están parcialm ente fijos, d e m odo que hay un punto d e in­
flexión ubicado e n h ft d e la parte inferior d e cada colum na.

P ro h . 7 -1 8 P ro h . 7 -2 0

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280 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

7-21. Dibuje (en form a aproxim ada) el diagram a de m o­ 7-25. Dibuje (en form a aproxim ada) el diagram a de mo­
mento para el elem ento A C E del portal, el cual se cons­ m en to p a ra la c o lu m n a A G F cfcl p o rta l. S u p o n g a q u e to d o s
truyó con un elem ento rígido E G ysoportes acodados C F y los elem entos de la arm adura y las colum nas están articu­
D H . Suponga que todos los puntos de conexión están ar­ lados en sus extremos. Tam bién determ ine las fuerzas en
ticulados. También determ ine la fuerza en el refuerzo aco­ todos los elem entos d e la arm adura.
dado CF.

7-22. Resuelva el problem a 7-21 si los soportes en A y B
so n fijos e n vez de articulados.

Proh. 7-25

7-23. D eterm ine (en forma aproxim ada) la fuerza en cada 7-26. Dibuje (en form a aproxim ada) el diagram a de mo­
elem ento de la arm adura d el marco de portal. También en­ m ento p a ra la c o lu m n a A G F tk \ p o rta l. S u p o n g a q u e to d o s
cuentre las reacciones en los soportes fijos A y B de la co ­ los elem entos d e la arm adura están articulados en sus extre­
lumna. Suponga q u e todos los elem entos d e la arm adura mos. Las colum nas están fijas en A y tf.Tam bién determ ine
están articulados e n sus extremos. la fuerza d e to d o s lo s e le m en to s d e la a rm ad u ra.

*7-24. Resuelva el problem a 7-23 si los soportes c n A y B
e stán articulados e n vez d e fijos.

Probs. 7-23/7-24 Prob.7-26

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7 .4 M a r c o s y a r m a d u r a s d e portal. 281

7-27. Determ ine (en forma aproxim ada) la fuerza en cada 7-31. Dibuje (en form a aproxim ada) el diagram a de m o­
elem ento d e la a rm a d u ra d el m arco d e p o rta l. T am bién e n ­ mento para la colum na ACD del portal. Suponga que todos
cuentre las reacciones en los soportes A y tí de la colum na los elem entos d e la arm ad u ra y las colum nas están articu­
fija Suponga que todos los elem entos de la arm adura están lad o s e n sus ex trem o s. T am bién d ete rm in e la fu erza e n los
articulados en sus extremos. elem entos FG, FU y EH.

•7-28. Resuelva el problem a 7-27 si los soportes en A y tí •7-32. Resuelva e l p roblem a 7-31 si los soportes e n A y tí
están fijos en vez de articulados. están fijos en vez de articulados.

Probs. 7-27/7-28 Probs. 7-31/7-32

7 -2 9 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n los 7-33. Dibuje (en form a aproxim ada) el diagram a de m o­
elem entos GF, G K y JK del marco de portal. También e n ­ m entos p a ra la c o lu m n a A J I d el po rtal. S u p o n g a q u e to d o s
cuentre las reacciones en los soportes A y B de la colum na los elem entos de la arm adura y las colum nas están articu­
fija Suponga que todos los elem entos d e la arm adura están lad o s en su s ex trem o s. T am bién d e te rm in e la fuerza e n los
conectados en sus extremos. elem entos H G, IIL y KL.

7-30. Resuelva el problem a 7-29 si los soportes en A y tí 7-34. Resuelva el problem a 7-33 si los soportes en A y tí
están articu lad o s e n v ez d e fijos. están fijos en vez de articulados.

6<S> l í m = 9 m

2 kN /

4kN ] K L M N O

Probs. 7-29/7-30 Probs.7 -3 3 /7 -3 4

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282 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

7 .5 Cargas latera les en m arcos de
construcción: M é to d o del p o rta l

E n la sección 7-4 se an a liz ó la acción d e las cargas la te ra le s so b re los
m arcos d e p o rta l y se e n c o n tró q u e p a ra un m arco fijo ap o y ad o e n su
base, los p u n to s d e inflexión o c u rre n ap ro x im a d a m e n te e n el c e n tro de
cada viga y co lu m n a y q u e las co lu m n as so p o rta n las m ism as carg as c o r­
tan tes, fig u ra 7-8. U n c a b a lle te d e edificio s e d e fo rm a d e la m ism a m a­
n e ra q u e u n m a r c o d e p o r ta l, fig u ra 7 - 1 2a y, p o r lo ta n t o , s e r ía
c o n v en ie n te s u p o n e r q u e los p u n to s d e inflexión se p ro d u c e n e n el c e n ­
tro d e las colum nas y trabes. Si se considera q u e cada cab allete de la es­
tru ctu ra se com pone de u n a serie d e portales, figura 7-126, entonces,
co m o su p u esto adicional, las colum nas interiores rep resentarían e l efecto
d e dos colum nas del p o rta l y, p o r ende, so p o rta ría n e l d o b le d e fuerza
c o rla n te V q u e las d o s co lu m n as ex terio res.

o - punto de inflexión
(a)

V VV V

(b)
Hgura 7-12

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7 .5 C arg as la te ra le s e n m a r c o s d e c o n s tru c c ió n : M é tc o o d e l portal 283

En resum en, e l m étodo d el portal para analizar los m arcos d e cons­
trucción fijam ente apoyados requiere los siguientes supuestos:

L En e l centro de cada trab e se coloca una bisagra, puesto que se su ­
pone q u e éste es u n pu n to d e m om ento cero.

2. En e l cen tro d e cada colum na se coloca una bisagra, puesto q u e se
supone que éste e s un punto d e m om ento cero.

3. fin u n nivel d e p iso d ad o , la fu e rz a c o rta n te e n las bisagras d e la c o ­
lum na in terio r es e l doble q u e e n las bisagras de la colum na ex terio r,
puesto que e l m arco se considera una superposición d e portales.

E stos supuestos proporcionan una reducción adecuada d el m arco a una
estructura estáticam ente determ inada pero estable bajo carga.

En com paración co n e l análisis estáticam en te in d eterm in ad o q u e es
m ás e x acto , el m éto d o del p o rta l es e l m á s a d ecuado para las construccio­
nes co n p o c a altura y estructura u n ifo rm e . 1.a razó n d e e s to tien e relación
con la acción d e la estru ctu ra bajo carg a. A e ste respecto, considere q u e el
m arco actúa c o m o u n a viga en v o la d izo que e stá fija al suelo. R ecuerde
d el estu d io d e la m ecánica d e m ateriales q u e la resistencia a la fu e r za
cortante se vuelve m ás im portante e n e l diserto de vigas cortas, e n tan to
q u e la resistencia a la fl e x ió n e s m á s im p o rta n te si la v ig a e s la rg a (v e a la
sección 7-6). El m éto d o d el p ortal se basa en e l supuesto relacionado con
la fu erza c o rta n te c o m o se in d ica e n e l p u n to 3 a n te rio r.

Los siguientes ejem plos ilustran la form a d e aplicar el m étodo d el p o r­
tal p a ra an alizar un cab allete d e edificio.

EJ m éto d o del p o rta l p u e d e u sarse p a ra realizar u n análisis (a p ro x im ad o ) d e las c ar­
g as laterales e n este m arco d e una so la planta.

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284 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 7.5

D e te rm in e (en fo rm a ap ro x im a d a ) las reaccio n es e n la b a se de las c o ­
lum nas d el m arco q u e se m u estra e n la figura 7-13a. Use e l m étodo de
análisis d e l portal.

BM n N FO G

<b)

Figura 7-13

S O L U C IÓ N

A I aplicar los dos prim eros supuestos d e l m étodo del p o rtal, se colo­
can bisagras en lo s cen tro s de las trab es y las colum nas de la estru c­
tu ra, figura 7 -13a. U n a sección a través d e las bisagras d e colum na en
I ,J ,K , L p ro d u ce e l d iag ram a d e cu erp o lib re q u e se m u estra e n la fi­
gura 7-136. A q u í se aplica el tercer supuesto e n relación con las fuer­
zas cortantes en las colum nas. Se requiere

i* S F x= 0; 1200 - 6^ = 0 V = 200 Ib

C on base en este resultado, ah o ra se pu ed e d esm em brar e l m arco
en las bisagras y d eterm in ar sus reacciones, C om o regla general, siem ­
p re inicie este análisis en la esquina o ju n ta d o n d e se aplica la carga h o ­
rizontal. Por lo tanto, el diagram a d e cu erp o libre d el seg m en to IB M
se m uestra en la figura 7 13c. L as tres com ponentes de la reacción en
las b is a g ra s l y, M x y M y x d e te rm in a n al a p lic a r d e 1 M ^ = 0 , 2 f ', = 0,
'IF y = 0, resp ectiv am en te. A c o n tin u a c ió n se analiza el seg m en to
ad y acen te M JN , figura 7-13d, seg u id o p o r el seg m en to N K O , figura
7-13e,y p o r ú ltim o e l segm ento O G I., figura 7 -1 3 / U sando esto s re ­
sultados, lo s diagram as d e c u erp o libre d e las colum nas con las reac­
cio n es e n su s s o p o rte s s o n c o m o s e m u e s tra n e n la fig u ra 7- 13g.

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7 .5 C arg as la te ra le s e n m a r c o s d e c o n s tru c c ió n : M é tc o o d e l portal 285

Si se c o n sid eran los seg m en to s h o rizo n tales de tra b e s d e las figuras
7 -1 3 c,d ,ey /.en to n ces el diagram a d e m om ento p ara la trab e es com o
d q u e s e m uestra e n la figura 7-13h.

» S p te t" ’ 1501b M 8 pies * Ny - 1501b
M M , ~ 1000 Ib 8 pies
12001b
---N---------- N * = 6 0 0 Ib
6pÍC4 1000 Ib ^
/
2001b / 1501b* 6pie*

- J j 4001b

If - 1501b J ,-0

(c) (d)

N 8 p ies 8 p ies A O ,-1 5 0 1 b O

6001b 1 2001b
-U O . = 2 0 0 Ib
■n 8 p ie s
O
115 0 1 b * 6 p , e s
115500 IIbb*t 6 pies

4001b * ,K 2001b-*— o L

0 “I

L y = 150 Ib

(e) <0

■50lbu 2001b L1501b
2001b
► 4001b w------- ► 4 0 0 I b 6 pies
6 pies
6 p ies 6 pies H , -2001b
^
A , - 2 0 0 Ib C , - 4 0 0 1 b _________ ^ _____ E , - 4 0 0 I b | M „ - 1200 Ib-pie

M a = 1200 Ib*p ie | M c - 2 4 0 0 Ib*p ie A ft = 2 4 0 0 I b •pie Hy - 1501b
A y - 1501b

(g)

M (k-pie) 12 24 12 40 x (pies)
\ \
1 .2 (h ) 48
16 32
8 \ -1 2
-1 2 -1 2

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286 C a pit u lo 7 A n á lisis a p r o x i m a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 7.6

D e te rm in e (en fo rm a ap ro x im a d a ) las reaccio n es e n la b a se d e las c o ­
lum nas d el m arco q u e se m uestra e n la figura 7-14a. Use e l m étodo de
análisis d e l p o rtal.

r Hs i

20 kN' vi vj
25 m
*P, Q*
Ar i

*Or

(b)
Figura 7-14

S O L U C IÓ N

E n p rim er lu g ar.se colocan las bisagras e n los centros de las trab es y
las colum nas d el m arco, figura 7 -14a. U n a sección a través de las bisa­
gras en O , P , Q y J, K , L genera e l diag ram a d e cuerpo libre q u e se
m u e stra e n la figura 7-146. L as fu erzas c o rta n te s e n las co lu m n as
se calculan d e la siguiente m anera:

X l ,F x = 0; 20 - 4 F = 0 V = 5 kN

Í 2 F , = 0; 20 + 30 - 4 V ' = 0 V ' = 12.5 kN

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7 .5 C arg as la te ra le s e n m a r c o s d e c o n s tru c c ió n : M é tc o o d e l portal 287

U tilizando esto s resultados se p u ed e co ntinuar co n e l análisis de
cada p a rte del m arco. El análisis com ienza co n e l seg m en to e n esquina
O G R , figura 7 - 14c. Las tre s in có g n itas Oy, Rx y R y se h a n calcu lad o
em pleando las ecuaciones d e equilibrio. C o n esto s resultados, se ana-
iz a a co n tin u ació n e l seg m en to O JM , figura 7-14<f;luego el seg m en to
JA , figura 7-14c; K />S,figura 7-14/; P M K N , figura 7-14*. y K R , figura
7-146. C o m p lete este ejem p lo y an alice los seg m en to s S IQ , d esp u és
Q N L y p o r ú ltim o L C \ ta m b ié n d e m u e s tre q u e C , » 12.5 k N . Cy -
15.625 kN , y M c - 37.5 k N . m . A dem ás, u se lo s re s u lta d o s p a ra d e ­
m ostrar q u e el diagram a de m om ento para D M E N F es com o se
m u estra e n la fig u ra 7.14i.

O J ÍM ~ * lí, ^ 3.125 kN 3.125 kN t S’ ‘ 3 ' “ kN
I
■ “ - ¡2So mI | | L— =* . 1 5 k N '!_jL-2k'ikN
15k N -- J
«- i 2, 0, mm *
— * «-

« f t- » k N 10kN ^ |

(C) (O

3.125 kN

í_5kN p 10 kN
—►
° 4m |M r -l2 Jk N 1 2 S -k N --------- ^ 20 m A v - 1 12 2. 5.51k N
2.5 m _
U , = 725 kN 4m 4m L ,--------- N ¡ _ 7 .5 k N
3 0 k N ---------- * 4 |V

-a ■■J1-----------------------------------------------------------1--2-5---k--N---*------------- 1K3 m

Iz Jk Ñ ] 75 kN I

Jf “ 15.625 k N * K ,- O

(d) (g)

» 15.625 kN M (kN -m )

J l - 12.5 kN K * 25 kN
3m
3m B

/i ----- B ,
• Mb
T A , = 12J kN
M a - 37.5 k N -m <h)
A , = 15.625 kN

(e)

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288 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

7 .6 Cargas laterales sobre marcos de
construcción: M éto d o del voladizo

E l m éto d o d e l voladizo se basa en la m ism a acción q u e u n a viga e n v o la­
dizo larg a som etida a u n a carg a transversal. C om o se vio e n el estu d io de
la m ecánica d e m ateriales, tal c a rg a p ro v o ca u n e sfu erzo flex io n an te e n la
viga q u e v aría lin ealm en te d e sd e e l e je n e u tro d e la viga, fig u ra 7- 15a. D e
m anera sim ilar, las cargas laterales sobre u n m arco tienden a volcarlo o a
causarle u n a rotación respecto a un “eje n e u tro ".e l cual se en cu en tra en
un p lan o h o rizontal q u e pasa a través d e las colum nas e n tre cada piso.
P ara co n trarrestar este volcam iento, las fuerzas (o esfuerzos) axiales en
las colum nas serán d e tensión e n un lado d el eje n eu tro y d e com presión
e n el o tro lado, fig u ra 7-156. P o r lo ta n to , al igual q u e co n la viga e n v o la ­
dizo.p arece razonable sup o n er q u e e ste esfuerzo axial tiene u n a variación
lineal d esd e e l centroide d e las áreas d e la colum na o e l eje neutro. Por
consiguiente, el m étodo d el voladizo es adecuado si el m arco es alto y d el­
gado, o tiene co lu m n a s con áreas transversales diferentes.

marco de construcción
<b)

H g u ra 7 -1 5

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7 .6 C a r g a s la te r ale s so br e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o 289

En resu m en , cu an d o se em plee el m éto d o d el voladizo, deben apli­
carse los siguientes supuestos a un m arco fijam ente apoyado.

L E n el c e n tro d e cada viga se coloca una bisagra, p u esto q u e se su ­
pone q u e éste es u n pu n to d e m om ento cero.

2. En e l cen tro d e cada colum na se coloca una bisagra, puesto q u e se
supone que éste e s un punto d e m om ento cero.

3. El esfuerzo axial e n una colu m n a es proporcional a su distancia
desde e l centroide de las áreas transversales d e las colum nas en un
nivel d e p iso d ad o . C om o e l esfuerzo es igual a fuerza p o r área, e n ­
tonces e n el caso especial d e las colum nas que tienen áreas transver­
sales iguales, la fu e rza en u n a colum na tam b ién e s p ro p o rcio n al a su
distancia d esd e el cen tro id e d e las áreas de la colum na.

E stos tres supuestos hacen q u e el m arco sea estable y estáticam ente d e ­
term inado.

Los siguientes ejem plos ilustran la form a en q u e se aplica el m étodo
del voladizo para an alizar un cab allete d e edificio.

L a estru ctu ra d e l edificio tien e conexiones rígidas. E l m étodo d el v o la d i/o p u ed e
i& arsc p a ra re a liz ar u n análisis (a p ro x im ad o ) d e cargas laterales.

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290 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

30 kN D e te rm in e (en fo rm a ap ro x im a d a ) las reaccio n es e n la b a se de las c o ­
15 k N lum nas d el m arco q u e se m uestra e n la figura 7 -16a. Se su p o n e q u e las
colum nas tien en á re a s d e sección tran sv ersal iguales. U se el m éto d o
de análisis del voladizo.

-6m

(b)

S O L U C IÓ N
E n p rim e r lu g ar se co lo can b isag ras e n los p u n to s m edios d e la s c o ­
lum nas y trabes. L as ubicaciones d e estos puntos se indican m ediante
las letras G a L en la figura 7 -16a. L os cen tro id es d e las áreas tran s­
versales d e las colum nas p u ed en d eterm in arse por inspección, figura
7-166,0 analíticam ente d e la siguiente m anera:

Y .xA 0(i4) + 6(A )

x A+A 3m
2/1

E l esfuerzo axial e n cada colum na es p ro p o rcio n al a su distancia
d esd e este p u n to . A q u í las co lu m n as tie n e n la m ism a á re a e n su sec­
ción tra n sv e rsa l y. p o r lo ta n to , la fu e rz a e n ca d a co lu m n a e s p ro p o r­
cional a su distancia desd e el centroide. Entonces, u n a sección a través
de las bisagras H y K e n e l p iso su p erio r genera e l diagram a d e c u erp o
(c) lib re q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 16c. T e n g a e n c u e n ta q u e la c o ­
lu m n a a la iz q u ie rd a d e l c e n tro id e d e b e e s ta r so m e tid a a ten sió n , e n
tan to q u e la colum na d e la d erech a estará som etida a com presión.
E sto es necesario p a ra co n trarrestar el volcam iento cau sad o p o r la
fuerza d e 30 kN. A l sum ar los m om entos con respecto al eje n eu tro .se
tiene

i + S M = ü; -3 0 (2 ) + 3 Hy + 3K y = 0

I-as incógnitas p u ed en relacionarse p o r m edio d e triángulos p ro p o r­
cionales, figura 7-16c.es decir.

H y Ky o b ien Hy = K y
— =—

A sí que.

H y = K y = 10 k N

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7 .6 C a r g a s la te r ale s so br e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o 291

D e una m anera parecida, utilizando una sección d el m arco a través
de las bisagras e n G y L ,figura 7 -\6 d ,s c tien e

t+ Z M = 0; -3 0 ( 6 ) - 15(2) + 3 G , + 3 L , = 0

G om o G y/3 = Ly/3 o b ie n G y = Ly, e n to n c e s

G y = L y = 35 kN

A hora puede analizarse cad a p a rte del m arco usan d o los resultados

anteriores. C om o e n los ejem plos 7-5 y 7-6, se com ienza e n la esquina

superior, d o n d e se produce la carga aplicada, es decir, en el segm ento

W C /,figura 7-16o.A I aplicar las tres ecuaciones de equilibrio, SAZ/ = 0.

S f, = 0 y = 0 , se o b tie n e n los re s u lta d o s p a ra H „ I, e ^ ..re s p e c ­

tivam ente, q u e se m uestran e n el diagram a d e cu erp o libre d e la figura

7-16e. C o n b ase e n esto s resultados, enseguida se analiza e l seg m en to

/D A T,figura 7 -1 6 /;seg u id o d e H JG ,fig u ra 7 -16g; d e sp u é s K J L ,fig u ra

7 -1 6 /j,y p o r ú ltim o la s p a r te s in f e r io r e s d e la s c o lu m n a s , fig u ra s 7-16#

y 7-16/. L os d iag ram as d e m o m en to p a ra c a d a tra b e se m u e stra n e n la

figura 7-16*.

3 0 1N

10 kN 10 kN

7.5 kN M (kN -m )
30
G , - 22.5 s r i x (m )
A i (kN -m ) -3 0
35 kN
»35 kN (k)
G l 22.5 kN <h)

2m 35 kN

A A , = 22.5 kN — + 72S kN
Ma - 45 kN -m 2m

A , = 35 kN F, - 223 kN
N- ¡ 4 5 k N - m
(0 F, = 35 kN

Ü)

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292 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

EJEMPLO 7.8

M uestre cóm o se d eterm in an (en form a aproxim ada) las reacciones
en la base de las colum nas del m arco q u e se m uestra e n la figura 7-17a.
I^as c o lu m n a s tie n e n las á r e a s d e s e c c ió n tra n s v e rs a l q u e s e m u e s tra n
e n la figura 7-176. U se e l m étodo d e análisis d e l voladizo.

PO R

t *\ — T i--------- L
12pies 10pulg2 M 8 pulg2 N !6pulg2 O n O p u lg 7 10 pulg2 8 pulg2 6 pulg2

44 ' I T - .. / r , * — í I ;I

16 pies E 10pulg7 F 8 pulg7 G |6 p u lg 7 H 10pulg7

A R le O — 2 0 p ie s — |— 15 p ic s - -25 pies
-|
-20 pies— |—15 pies-j------25 pies Ti

(a) (b)
Figura 7-17

S O L U C IÓ N
P rim ero, se su p o n e q u e existen bisagras e n los cen tro s d e las trabes y
co lu m n as del m arco, figuras 7 -1 7 d y 7-1 le . E l cen tro id e de las áreas
tran sv ersales de las co lu m n as se d e te rm in a a p a rtir d e la fig u ra 7.1 Ib
de la siguiente m anera:

•ro

853 pies 6.47 pies 2 x A 0 ( 1 0 ) + 2 0 (8 ) + 3 5 ( 6 ) -f 6 0 (1 0 )

x = „ = ---------------n ------l. '.' " -j 1. = 28.53 pies
2 A 10 + 8 + 6 + 1 0
2853 pies------ 31.47 pies

(c) E n p r im e r lu g a r s e c o n s id e r a r á la s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s e n L ,
M .N y O .

<e>

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7 .6 C a r g a s la te r ale s so br e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o 293

E n este p ro b le m a las co lu m n as tie n e n diferentes á re a s tran sv ersales,
p o r lo q u e d eb e tenerse en cuenta que e l esfuerzo axial en cad a co ­
lum na es p ro p o rcio n al a su distancia d e sd e el eje n eu tro , ubicado en
x = 28.53 pies.

Los esfuerzos e n las colum nas pueden relacionarse m ediante trián ­
gulos sem ejantes, fig u ra 7-17c. Si se ex p resan las relaciones e n té rm i­
nos d e la fuerza en cad a colum na, p u esto q u e o = F /A ,se tiene

8 p u lg 2 28.53 ' «10 p u lg 2 /

6.47 p ie s Ny 6 .4 7 (/ L , \ „ P , - 0.725 k
6 pulg2 ,
28.53 ' ' L’ \ 0 .1 3 6 /.,
,1
0 pu lg 2/ 8 k ^ 1 0 p i « ___

6 pies />, = 6.791 k

L ,= 1209 k j 7

31.47 p ie s O , 31.47 I Ly

Z 7~y = t2í8T.5c T3 l 7^ T i l U y = l.W 5 L y 0.725k
10 p u lg 2 \ 10 p u lg 2 (0

A h o ra q u e cada fuerza e stá relacionada co n Z .,,el diagram a de cu erp o 0.725 k
Sbre es com o se m uestra e n la figura 7-17d.
Ti.209 i
O bserve có m o las colum nas a la izquierda d el centroide están so ­ I , - 2.902 k
m etidas a te n sió n y las de la d e rech a e s tá n so m e tid a s a co m p resió n .
¿Por q u é ? A l su m ar m om entos con respecto al eje n eu tro se tiene

6 p i« A /_

{,+ 1 M = 0 ; - 8 k ( 6 p i e s ) + ¿ , ( 2 8 . 5 3 p i e s ) + ( 0 . 2 3 9 / . , ) ( 8 . 5 3 p i e s ) l0J ~ ^ l O p i e s H r 8.489 k
+ (0.136¿,)(6.47 p ies) + (1.103/.,)(31.47 pies) = 0 „ . 2.720 k

3.627 k
(8)

R esolviendo,

L y = 0725 k M y = 0.174 k N y = 0.0987 k O , = 0.800 k 3-627k

U sando e ste m ism o m éto d o , d e m u e stre q u e se o b tie n e n los re su ltad o s kt
de la figura 7-17e pata las colum nas E ,F ,G y / / .
F .'------► 2 .7 2 0 k
A hora se puede proceder a analizar cad a parte d el m arco. C om o en
b s ejem plos an terio res, se com ienza con el segm ento d e la esquina 8 pies
su p e rio r L P , figura 7-17/. U tilizan d o los re su ltad o s calculados, en se-
guida se analiza el segm ento L E I, figura 7-17g, seguido p o r e l seg­ a , = 1720 k
m en to E A , figura 7-17/j. L uego p u e d e n seguirse a n a lizan d o los o tro s 4 A#*-2 1 .7 6 4 k pie
segm entos en secuencia.es d ecir, P Q M ,d esp u és M IF l,enseguida, FB »
y así sucesivam ente.
(h)

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294 C a p itu lo 7 A n á lis is a p r o x im a d o d e e s t r u c tu r a s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s

PROBLEMAS

7-35. U se el m étodo d e análisis d el portal y dibuje el dia­ 7-39. Use el m étodo d e análisis d el portal y dibuje el dia­
grama de m om ento para la trabe FED. grama de m om ento para la colum na A F E .

15 kN F *7-40. Resuelva el problem a 7-39 m ediante el m étodo de
análisis del voladizo. Todas las colum nas tienen la misma
área en su sección transversal.

|------ 8m ------ 1------8 m ------ 1
Proh. 7-35

*7-36. Use el m étodo de análisis del portal y dibuje el dia­
grama de m om ento para la trabe J1UGF.

Probs. 7-39/7-40

Proh. 7-36

7-37. Use el m étodo d el portal y determ ine (en forma 7-41. Use el m étodo del portal y determ ine (en forma
aproxim ada) las reacciones e n los soportes A . B , C y D. aproxim ada) las reacciones e n A .

7-38. Use el m étodo del voladizo y determ ine (en forma 7-42. Use el m étodo del voladizo y determ ine (en forma
aproxim ada) las reacciones e n los soportes A , B, C y D. aproxim ada) las reacciones e n A .Todas las colum nas tienen
Todas las colum nas tienen la mism a á re a e n su sección la misma área e n su sección transversal.
transversal.

5 m •[- 5 m ------------5 m 20[■— 18 pies — |"-------- p i e s ---------*|

Probs. 7-37/7-38 Probs. 7-41/7-42

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Pr o b lem as d e p r o y e c to 295

7-43. Dibuje (en form a aproxim ada) los diagram as de 7-45. Dibuje el diagram a de m om ento p ara la trabe ¡JKL
m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la co lu m n a B G L Q del del marco de construccióa U se el m étodo de análisis del
marco de construccióa Use el m étodo del portal. portal.

*7-44. Dibuje (en forma aproxim ada) los diagram as de 7-46. Resuelva el problem a 7-45 m ediante el m étodo de
m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la co lu m n a B G L Q del análisis del voladizo. C ada colum na tiene el área transversal
marco d e construcción. Use e l m étodo del voladizo. que se indica.

M 0 |>ies

H lOpies
9k

aJL *JL dL elL dlS?*

20 20 - I

Probs. 7-43/7-44 4 m -— -j------- 5 m --------t——- 4 m ---- -j

SI II
Area 24 (lO-3) m* 16 (10-3) m* 16 (10"*) m* 24(10", )m ?

Probs. 7-45/7-46

PROBLEMAS DE PROYECTO

7-1P. Los caballetes d el edificio de alm acenam iento q u e hasta los c u a tro largueros y efespués a las colum nas e n el lado
se m uestra e n la fotografía están separados p o r 10 pies y se d erecha H aga un análisis aproxim ado y determ ine la carga
puede suponer que están articulados en todos los puntos d e axial máxim a y el m om ento m áxim o e n la colum na A B . Su-
apovo. Utilice el m odelo idealizado que se m uestra y deter- ponga que las columnas y los puntales acodados están articu-
mine la carga del viento prevista sobre el caballete.Tenga en lados en sus extrem os. El edificio está situado en un terreno
cuenta q u e la carga del viento se tran sm ite desd e la p ared plano de Nueva O rleans.Louisiana, donde V — 125 mi/h.

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296 C a p it u l o 7 A n á l is is a p r o x im a d o d e e s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s

REPASO DEL C A P ÍTU LO

U n análisis estructural aproxim ado se utiliza p ara conver­
tir una estructura estáticam ente indeterm inada en estáti­
camente determ inada. D e esta m anera puede hacerse un
diserto prelim inar de los elem entos y, una vez com pleto,
efectuar el análisis indeterm inado, q u e e s más exacto, para
perfeccionar e l diserto.

Las arm aduras que tienen refuerzos diagonales trans­
versales dentro d e sus paneles pueden analizarse supo­
niendo que la diagonal en tensión soporta la fuerza
cortante del panel y que la diagonal en com presión e s un
elem ento d e fuerza cero. E sto es razonable si los elem en­
tos son largos y delgados. Para secciones m ás grandes, lo
razonable e s suponer q u e cada diagonal soporte la mitad
de la fuerza cortante del panel.

V F- \ v -
'fw . I

t i— ti

El análisis aproxim ado de una carga vertical uniforme que
actúa sobre una trabe d e longitud /-.e n un m arco d e cons­
trucción conectado fijam ente, puede aproxim arse me­
diante e l supuesto de que la viga no soporta ninguna carga
axial y que hay puntos de inflexión (bisagras), ubicados a
0.1 ¿ d e los soportes.

L

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R e p a s o d e l c a p it u l o 29 7

Los m arcos d e portal q u e cuentan con so p o rtes fijos se analizan e n form a aproxim ada suponiendo q u e hay bisagras e n el
punto m edio de cada altura de colum na, m edida hasta la parte inferior del refuerzo de arm adura. Además, en estos marcos
y en los articulados, se supone que cada colum na soporta la mitad de la carga cortante sobre el marco.

Para los m arcos de construcción fijos que están som etidos a cargas laterales, se puede suponer que hay bisagras e n los cen ­
tros de las colum nas y trabes. Si el marco tiene una elevación baja, la resistencia a la fuerza cortante es im portante y e s p o ­
sible em plear e l m étodo d e l portal, donde las colum nas interiores e n cualquier nivel d e piso d ado soportan e l doble de
fuerza cortante que las colum nas exteriores. Para los m arcos delgados y altos puede usarse e l m étodo del voladizo, donde el
esfuerzo axial en una colum na e s proporcional a su distancia desde el centroide del área de la sección transversal de todas
las colum nas en un nivel de piso dado.

N

M étodo d e l voladizo

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la deflexión de este p u en te arq u ead o d e b e supervisarse cuidadosa­
m ente mientras está en construcción.

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D eflexiones

En e s te c a p ítu lo se m o s tra rá c ó m o d e te rm in a r las d e fle x io n e s e lásticas
d e u n a vig a s ig u ie n d o e l m é to d o d e la d o b le in te g ra c ió n y d o s im p o r­
tan te s m é to d o s g e o m é tric o s , a saber, los te o re m a s d e l m o m e n to de
área y e l m é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a . La d o b le in te g ra c ió n se e m ­
p le a pa ra o b te n e r las e c u a c io n e s q u e d e fin e n la p e n d ie n te y la curva
elástica. Los m é to d o s g e o m é tric o s p ro p o rc io n a n una fo rm a d e o b te ­
ne r la p e n d ie n te y la d e fle x ió n e n p u n to s e s p e c ífic o s d e la v ig a . C a d a
m o d e e sto s m é to d o s tie n e sus ven taja s o desventajas, q u e se anali­
zarán al m o m e n to d e presentar cada m é to d o .

8 .1 D iagram as de d e fle x ió n y la curva
e lá s tic a

Las deflexiones d e las estru ctu ras p u ed en te n e r varias fu en tes, co m o las
cargas, la tem p eratu ra, los e rro re s d e fabricación o e l asen tam ien to .
D u ran te e l diseño d eb en lim itarse las deflexiones a fin d e garantizar la
integridad y la estabilidad d e los techos y ev itar el agrietam iento d e los
m ateriales rígidos adjuntos co m o e l concreto, e l yeso o el vidrio. A dem ás,
una estructura no d eb e vibrar o deform arse severam ente si se desea que
“p a re z c a " s e g u ra a la v ista d e s u s o c u p a n te s. A ú n m ás im p o rta n te e s e l
hecho d e q u e, p a ra analizar las estructuras estáticam en te in d eterm in a­
d as, se d e b e n d e te rm in a r las d eflex io n es en p u n to s esp ecífico s d e la e s­
tru c tu ra .

I-as d e flex io n es q u e se c o n sid e ra rá n e n e ste te x to só lo se a p lican a e s ­
tructuras q u e tien en una respuesta m aterial lineal elástica. E n estas c o n d i­
ciones. u n a e stru ctu ra so m etid a a u n a carg a volverá a su posición o rigi­
nal n o d e fo rm a d a a l re tira r la carg a. L a d eflexión d e u n a e stru c tu ra la
causan sus cargas internas, com o la fuerza norm al, la fuerza c o rta n te .o el

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300 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

T A B LA 8-1 m o m en to flexionante. Sin em b arg o , e n e l caso d e las vigas y lo s m arcos,
0) las m ayores desviaciones su elen ser causadas p o r la flexió n interna, en
ta n to q u e e n u n a arm adura las d eflex io n es las o casio n an las fu e rza s a x ia ­
A= o les internas.

rodillo u oscflador A ntes d e d eterm in ar la p en d ien te o el desplazam iento d e un punto
so b re u n a viga o un m arco, a m en u d o resu lta ú til b o sq u ejar e l perfil d e ­
(2) fo rm ad o d e la e stru c tu ra c u a n d o e s tá c a rg a d a p a ra v e rific ar p a rc ia l­
m e n te los resultados. E ste diagram a d e d eflexión rep resen ta la curva
A-0 elástica o e l lu g ar g eo m étrico d e los p u n to s q u e d efin e la p o sició n d esp la­
pasador zada del centroide d e la sección transversal a lo larg o d e los elem entos.
P ara la m ay o ría d e los p ro b lem as, la cu rv a elástica p u e d e b o sq u e ja rse sin
(3) m ucha dificu ltad . Sin em b arg o , a l h acerlo e s n ecesario co n o cer las re s­
tricciones en cuanto a la pendiente o e l desplazam iento q u e o cu rren a
A= 0 m en u d o e n u n so p o rte o u n a co n ex ió n . C on re fe re n c ia a la ta b la 8-1, los
0-0 so p o rte s q u e resisten u n a fu e r z a , co m o u n p a sa d o r, restringen e l despla-
so p o rte fijo zam ien to '.y lo s q u e resisten u n m o m e n to ,co m o una p a re d fija, restringen
h rotación. O bserve tam bién q u e la deflexión de los elem entos d e un
(4) m arco q u e están fijam ente conectados (4) hace q u e la ju n ta gire los e le ­
m e n to s c o n e c ta d o s e n la m ism a c a n ti d a d 0. P o r o t r o la d o , si e n l a j u n t a se
usa u n a articulación,cada elem en to ten d rá u n a pendiente diferente o una
rotación distinta e n el pasador, d eb id o a que éste n o pu ed e so p o rtar un
m om ento (5).

ju n ta fijam ente conectada II
(5)

ju n ta articulada

L o s m arcos d e d o s e le m e n to s so p o rta n ta n to la carga
m u e rta d e l te c h o c o m o la carg a viva d e la nieve. P u ed e
c o n sid e ra rse q u e el m a rc o e stá a rtic u la d o e n la p a re d ,
fijo e n e l s u e lo y q u e tie n e u n a ju n ta fijam ente c o n ec ­
ta d a .

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8 .1 D ia g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t ic a 301

Si la cu rv a elástica p arece difícil d e establecer, se sugiere d ib u jar p ri­ m o m e n to p o s itiv o ,
m ero e l diag ram a d e m o m en to p ara la viga o e l m arco. Por la convención c ó n c a v o h a c ia a rrib a
de signos p a ra los m o m en to s estab lecid a e n e l c ap ítu lo 4 , u n m o m en to
p ositivo tien d e a d o b la r u n a viga o elem en to h o rizo n tal cóncavo hacia HRura 8-1
arriba, figura 8-1. D el m ism o m odo, u n m o m en to negativo tiende a d o ­
b lar la viga o el e le m e n to cóncavo h a cia a b a jo , fig u ra 8-2. P o r lo ta n to , si -M
se c o n o c e la fo r m a d e l d ia g ra m a d e m o m e n to , la c o n stru c c ió n d e la curva ir» )m e n tó n e g a tiv o ,
elástica será fá c il y viceversa. Por e jem p lo , co n sid ere la viga d e la figura c ó n c a v o h a c ia a b a jo
8-3 c o n su d iag ram a d e m o m en to asociado. D eb id o al so p o rte d e p a sa ­
d o r y rodillo, e l desplazam iento en A y D debe se r cero. D en tro de la re ­ figura 8-2
g ió n d e m o m e n to n eg ativ o , la c u rv a e lá stic a e s có n cav a h a c ia a b a jo ; y
d en tro d e la región d e m om ento positivo, la curva elástica es cóncava
hacia arriba. E n particular, d eb e haber u n punto d e inflexión en el sitio
d onde la curva cam bia de cóncava h a d a abajo a cóncava h a d a arriba,
puesto q u e éste e s un pu n to d e m om ento nulo. U sando estos m ism os
principios, observe cóm o la cu rv a elástica p ara la viga e n la figura 8-4 se
elab o ró con base en su diagram a d e m om ento. E spcdficam entc, tenga en
c u en ta q u e la reacción d e m om ento positivo desde la p a re d m antiene la
p en d ien te inicial d e la viga h o rizo n tal.

P, ir
Lo
v ig a
v ig a
M

d ia g ra m a d e m o m e n to fig u ra 8 -4

p u n to d e in fle x ió n
c u r v a d o d e f l e x i ó n , ,v*

fig u ra 8 -3

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302 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

D ib u je la fo rm a a lte ra d a d e c a d a u n a d e las vigas q u e se m u e stra n en
la figura 8-5.

SO L U C IÓ N
E n la figura 8 -5 a,el rodillo ubicado e n A perm ite la rotación libre sin
d eflex ió n , m ie n tra s q u e la p a re d fija e n B im pide ta n to la ro tació n
com o la deflexión. La form a alterad a se m uestra m ediante la línea
g ru e s a . E n l a f ig u r a 8-5£>, n o p u e d e o c u r r ir r o ta c ió n n i d e f le x ió n e n A
y B . E n la figura 8 -5 c,el m om ento d e p a r g irará a l ex trem o A . E sto
o rig in ará deflex io n es e n am bos ex trem o s de la viga, p u e sto q u e la d e ­
flexión no es posible e n B ni e n C. O bserve q u e e l seg m en to C D p e r­
m anece sin d efo rm ació n (u n a línea re c ta ), d ad o q u e e n é l n o actú a
ninguna carg a interna. E n la figura 8-5¿/,el p asad o r (bisagra in tern a)
e n B p erm ite la ro ta c ió n lib re y, p o r lo ta n to , la p e n d ie n te de la cu rv a
d e d eflex ió n c a m b ia rá sú b ita m e n te en e s te p u n to , m ien tras q u e la
viga e stá restrin g id a p o r su so p o rte . E n la figura 8-5e, la viga c o m ­
puesta s e deform a d e la m anera q u e se m uestra. Ia p en d ien te cam bia
ab ru p tam en te a c a d a la d o de la articulación e n B. P o r últim o, e n la fi­
g u ra 8-5f e l claro B C se v o lv erá có n cav o h a d a a rrib a d e b id o a la
carg a. D ad o q u e la viga e s c o n tin u a , los d a ro s finales se v o lv erán c ó n ­
cavos hacia abajo.

p H'
8
A

-2 T D

AC

P
w

I

BC

F ig u ra 8 - 5

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8 .1 D ia g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t ic a 30 3

D ibuje las form as alteradas d e cada uno d e lo s m arcos que se m ues­
tran e n la figura 8-6.

B cB c D

'" I T

m \ |j/>
(a)

SO L U C IÓ N (c)
E n la fig u ra 8 -6 a , c u a n d o la c a rg a P e m p u ja las ju n ta s B y C h a d a la
derecha.se produce u n a ro ta d ó n d e cad a colum na en sentido horario, *í
de la m anera q u e se m uestra. C om o resultado, las ju n tas B y C deben
girar en el sentido horario. D ado q u e en estas articulaciones debe <d)
m an ten erse e l án g u lo d e 90° e n tre los e le m e n to s co n ectad o s, la viga figura 8-6
B C se d efo rm ará d e m odo q u e la curvatura s e invierta d e cóncava
hacia la izq u ierd a a cóncava h a d a la derecha. O bserve q u e e sto p ro ­
duce un p u n to d e inflexión d e n tro d e la viga.

En la figura 8 -6 b , P d esp laza la s ju n ta s B . C y D hacia la d e re c h a ,
h acie n d o q u e c a d a c o lu m n a se d o b le en la fo rm a q u e s e m u e stra . I-as
ju n tas fijas d e b e n m an ten er sus ángulos de 90° y. p o r lo ta n to . B C y
C D deb en te n e r una cu rv atu ra invertida con u n p u n to d e inflexión
cerca d e su pu n to m edio.

E n la figura 8-6c,la carga vertical en este m arco sim étrico doblará la
viga C D cóncava hacia arrib a, cau san d o una ro ta c ió n e n se n tid o h o ra ­
rio d e la ju n ta C y e n sen tid o an tih o ra rio d e la ju n ta D . C om o el á n ­
g u lo d e 9 0 ° e n la s ju n ta s d e b e m an ten erse, las co lu m n as se d o b la rá n
en la fo rm a q u e se m u e stra . E sto hace q u e los cla ro s B C y D E x v u el­
van cóncavos hacia abajo, lo que resulta en una rotación en sentido
antihorario e n B y en sen tid o h o rario e n E . P o r consiguiente, las c o ­
lum nas se d o b la n en la fo rm a q u e se m u estra. I\>r últim o, e n la figura
8-6d , las carg as em p u ja n las ju n ta s B y C hacia la d e re c h a , lo q u e
d o b la las co lu m n as e n la fo rm a q u e se m u estra. L a ju n ta fija B m an ­
tiene su án g u lo de 90°, sin em b arg o , n o h ay restricció n a la ro tació n
relativa e n tr e los e le m e n to s e n C p o rq u e la ju n ta e s tá articu lad a. En
consecuencia, sólo la viga C D no tiene u n a curvatura inversa.

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304 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

(b) R*-3. Dibuje la form a alterada d e cada marco. Indique los
puntos d e inflexión.
(c)
ro -i

18-2. Dibuje la form a alterada d e cada marco. Indique los
puntos d e inflexión.

» 8 -3

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8 - 2 T E O ftlA D E LA V IG A ELASTICA 305

8 .2 Teoría d e la v ig a elástica M

En esta sección se desarrollarán dos ecuaciones diferenciales im portan­ “(I
tes q u e relacionan e l m o m en to in tern o e n u n a viga co n e l desp laza­
m iento y la p en d ien te d e s u curva elástica. E stas ecuaciones form an la
base d e los m étodos d e deflexión q u e se p resen tan e n este capítulo, y p o r
esa razó n hay q u e co m p ren d er p len am en te los supuestos y las lim itacio­
nes que se apliquen en su desarrollo.

Para o b te n e r estas relaciones, e l análisis se lim itará al caso más com ún
de una viga q u e en principio es recta y q u e se d efo rm a elásticam ente d e ­
bido a las c a rg a s ap licad as d e m a n e ra p e rp e n d ic u la r al e je x de la viga, y
q u e s e sitú a n e n el p la n o de sim e tría x -v d e la secció n tra n sv e rsa l d e la
viga, fig u ra 8-7a. D eb id o a las cargas, la d eform ación de la viga es c a u ­
sad a tan to p o r la fuerza cortante in tern a com o p o r e l m om ento d e fle­
xión. Si la viga tie n e u n a lo n g itu d m u ch o m ay o r q u e su p ro fu n d id a d , la
m ayor d efo rm ació n se rá c a u sa d a p o r la flexión y,p o r e n d e , la a ten c ió n se
dirig irá a sus efectos. L as d eflex io n es c au sad as p o r la fu erza co rtan te
se analizarán m ás adelante e n este capítulo.

C uando e l m om ento in tern o M deform a el elem en to d e la viga, cada
sección transversal se m antiene plana y el ángulo en tre ellas s e convierte
en dO, figura 8-7 b. E l a rc o d x que rep resen ta una porción d e la curva
elástica in tersec a e l e je n eu tro d e cada sección tran sv ersal. E l radio de
c u r v a tu r a efe e s te a r c o se d e f in e c o m o la d is ta n c i a p. q u e s e m id e d e s d e el
centro d e la curvatura O ' hasta dx.C u alq u ier arco e n e l elem en to d istin to
a d x está som etido a u n a deform ación norm al. P or ejem plo. la deform a­
ción en e l a rc o d s.q u e s e ubica en una posición y respecto a l eje neutro,
e s € = (</s’ - d s )/d s . S in e m b a r g o , d s = d x = p d O y d s ' = ( p - y )d O ,y así

antes d e la d e sp u é s d e la
deform ación deform ación

(p - y ) dO - p dO o bien 1e
pdO - =—
(b )
Py F igura 8 -7

Si e l m a t e r i a l e s h o m o g é n e o y se c o m p o r ta d e m a n e r a lin e a l e l á s t i c a ,e n ­
tonces pu ed e aplicarse la ley d e H o o k e .f - tríE. A dem ás, d a d o q u e ta m ­
bién es aplicable la fórm ula d e la flexión, a = - M yll. A l com binar estas
ecuaciones y su stitu ir en la ecuación an terio r, se tiene

M
(8- 1)

El

A quí
p = el rad io de cu rv atu ra e n un pu n to específico d e la curva elástica

( 1/p s e c o n o c e c o m o la c u r v a tu r a )
M = e l m o m en to in tern o e n la viga e n e l p u n to d o n d e d eb e d e te rm i­

narse p
E = el m ódulo d e elasticidad d el m aterial
/ - el m o m en to d e inercia de la viga calculado respecto d e l e je n e u tro

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306 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

E n e s ta ecu ació n el p ro d u c to E l se co n o ce co m o la rigidez a la flexió n ,
y siem p re es u n a cantidad positiva. P uesto q u e d x = pdO ,entonces a p a r­
tir d e la ecuación 8-1,

rf» = f j d x (8-2)

Si s e elige e l eje v com o positivo hacia arrib a, figura 8-7a,y si e s posible
ex p resar la c u rv a tu ra ( 1/p) e n térm inos d e x y ^ .en to n ces s e p u e d e d e te r­
m in ar la curva elástica d e la viga. E n la m ayoría de los libros d e cálculo
se d em u estra q u e esta relación d e cu rvatura es

1 d ’v/d x2

p [1 + ( d v / d x ) 2? ' 2

I\>r lo ta n to .

M_ d 2v / d x 2

(8-3)

£ / " [ ! + ( d v /d x ) 2p

E sta ecuación rep resen ta una ecuación diferencial no lineal d e s e ­
g u n d o o rd e n . S u so lu c ió n , v = f( x ) , p ro p o rc io n a la fo rm a ex acta d e la
c u rv a elástica; su p o n ie n d o , p o r su p u e sto , q u e las d eflex io n es d e la viga se
producen só lo p o r flexión. C on e l fin de facilitar la solución d e un m ayor
núm ero d e problem as, la ecuación 8-3 se m odificará al h acer u n a im p o r­
tante sim plificación. C om o la pendiente d e la curva elástica p ara la m a­
yoría de las e s tru c tu ra s e s m uy p e q u e rta .se e m p le a rá la te o ría d e la p e ­
queña deflexión y se supondrá q u e d vld x « 0. E n consecuencia, su
cu ad rad o se rá insignificante e n com paración co n la u n id ad y p o r lo tan to
la e c u a c ió n 8-3 se re d u c e a

dh = M (8-4)
dx2 E l

T a m b ié n d e b e s e ñ a l a r s e q u e a l s u p o n e r q u e d v / d x =» 0 , la lo n g itu d
o riginal d e l e je x d e la viga y el arco de su cu rv a elástica serán ap ro x im a­
d am ente los m ism os. E n o tra s palab ras, d s en la fig u ra 8-76 es ap ro x i­
m adam ente igual a d x, puesto que

d s = V d x 2 + dv2 = V i + {d v/d x)2 d x * d x

E ste resu ltad o im plica q u e lo s p u n to s de la cu rv a elástica só lo s e d esp la­
zarán d e m anera vertical m as no horizontal.

R esultados tabulado s. En la sig u ien te sección se m o strará cóm o

aplicar la ecuación 8-4 p a ra en co n trar la pendiente d e una viga y la ecu a­
ción d e su curva elástica. E n la c o n tra p o rta d a d e l lib ro se ubica u n a tab la
q u e p re se n ta los re su ltad o s d e tal an álisis p a ra algunas carg as com unes
en vigas q u e se en cu en tran a m enudo e n e l análisis estructural. T am bién
se e n u m e ra n la p e n d ie n te y el d esp lazam ien to e n los p u n to s crítico s d e la
viga. P or su p u esto , u n a so la ta b la n o p u e d e in clu ir los m u ch o s d ife re n te s
casos d e carga y geom etría q u e s e presentan en la práctica. C u ando no se
d isp o n e d e u n a ta b la o se tie n e u n a in co m p leta, e l d esp lazam ien to o la
p endiente e n u n p u n to específico d e una viga o un m arco p ueden d e te r­
m inarse em plean d o el m étodo d e integración d o b le o algún o tro m étodo
analizado en este capítulo o en e l siguiente.

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8 .3 El m ít o o o d e in t e g r a c ió n d o b l e 307

8 . 3 El m é to d o d e in te g r a c ió n d o b le C

U n a vez q u e M se expresa com o una función de la posición x ,entonces las h « -l *
in teg racio n es sucesivas d e la e c u a c ió n 8.4 d a rá n la p e n d ie n te d e la viga.
0 ^ ta n 0 = d v /d x = J (M /E I) d x (ecu ació n 8-2), y la ecu ació n d e la curva --------------------- XJ-
e lá s tic a , t* = f { x ) ■ / f ( M / E Í ) d x , re s p e c tiv a m e n te . P a r a c a d a in te g ra - figura 8-8
rió n ,e s necesario introducir una "constante de integración" y después re ­
so lv er las c o n stan tes a fin d e o b te n e r u n a so lu ció n única p ara u n p ro ­ □
blem a p articular. R ecu erd e de la sección 4-2 q u e s i la carg a e n una viga e s
discontinua, es decir, consiste e n una serie de varias cargas co n centradas y (a)
distribuidas, entonces deben escribirse varias funciones p ara e l m om ento
interno, cad a una válida d e n tro d e la reg ió n e n tre las discontinuidades. c u rv a c lá stic a
Por e je m p lo , c o n sid e re la v iga q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 84*. E l m o ­
m ento in te rn o e n las regiones A B , B C y C D d ebe escribirse e n térm inos
de las c o o rd e n a d a s x \ , x i y x y U na vez q u e estas funciones se in te g re n a
trav és de la ap licació n de la e c u a c ió n 8-4, y q u e se h a y a n d eterm in a d o las
co n stantes d e integración, las funciones d a rá n la p en d ien te y la deflexión
(curva elástica) p ara cada región d e la viga e n la q u e son válidas.

C onvención d e signos. A l ap licar la ecu ació n 8-4 es im p o rtan te

usar el signo ad ecu ad o p a ra M según lo establece la convención de sig­
nos q u e s e usó e n la o b te n c ió n de e sta ecu ació n , figura 8-9a. A dem ás, re ­
cu erd e q u e la d eflex ió n v positiva e s hacia a rrib a y, e n co nsecuencia, el
ángulo d e la p en d ien te positiva d x m ed irá en sen tid o antih o rario desde
e l e je x . 1.a ra z ó n d e e s to s e m u e s tra e n la fig u ra 8 -9 b. A q u í, lo s in c re ­
m entos positivos d x y d v en x y r crean un increm ento d e dO que es en
sentido antihorario. A dem ás,com o el ángulo de la p en d ien te tfserá muy
pequeño, su valor en radianes pu ed e determ inarse directam ente d e 0 *
tan 0 » dvldx.

Condiciones de fro n te ra y de con tin u id a d . Las constantes

de integración se d eterm in an evaluando las funciones de la pendiente o
del d esplazam iento e n un p u n to p articu lar d e la viga d o n d e se conoce el
valor d e la función. E sto s valores se llam an condiciones d e frontera. Por
ejem p lo ,si la viga se so stien e m ediante un ro d illo o un p asad o r, en to n ces
se req u iere q u e e l desplazam iento sea cero e n estos puntos. Inclusive, en
un so p o rte fijo, la p en d ien te y e l d esplazam iento so n iguales a cero.

Si no puede usarse una sola co o rd en ad a x para ex presar la ecuación de
la p e n d ie n te o la c u rv a e lá stic a de la v ig a ,e n to n c e s d e b e n u sarse la s c o n ­
diciones d e continuidad p ara evaluar algunas d e las constantes d e in te­
gración. C onsidere la viga d e la figura 8-10. A q u í las co o rd en ad as x , y x 2
sólo son válidas d e n tro de las regiones A tí y B C , respectivam ente. U na
vez q u e se o b tie n e n las fu n cio n es d e la p e n d ie n te y la d eflex ió n , é sta s tie ­
nen q u e d ar los m ism os valores d e la pendiente y la deflexión e n el punto
B ,x i = *2 = a .d e m a n e ra q u e la cu rv a elástica e s físicam en te co n tin u a.
E x p resad o d e m an era m atem ática, e s to req u ie re q u e 0\(a ) = ^ ( a ) y
u ,( a ) = v 2(a ). E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d o s c o n s ­
tantes d e integración.

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C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

P ro c e d im ie n to de análisis

E l sig u ien te p ro c e d im ie n to p ro p o rc io n a u n m é to d o p a ra d e te rm in a r la p e n d ie n te y la
deflexión d e u n a viga (o e je ) usando e l m éto d o d e la integración d o ble. D eb e te n e rse en
cu en ta q u e e ste m éto d o só lo es ad ecu ad o e n deflexiones elásticas para las cuales la p e n ­
d ien te d e la viga e s m uy p e q u e ñ a . A d em ás, el m é to d o co n sid e ra sólo las deflexiones d e b i­
das a la flexió n . E n general, la deflexión adicional p o r la fuerza co rtan te rep resen ta sólo
u n p e q u e ñ o p o rc e n ta je d e la d e fle x ió n d e b id a a la flexión; p o r ello, e n la práctica de la in ­
geniería suele ignorarse.

C urva elástica

• D ib u je u n a vista e x a g e ra d a d e la c u rv a elástica d e la viga. R e c u e rd e q u e los p u n to s de
p en d ien te cero y d esplazam iento cero se pro d u cen e n un so p o rte fijo, y e l desp laza­
m iento cero se p ro d u ce en los soportes d e rodillo y articulados.

• E stablezca lo s ejes d e las co o rd en ad as x y y. El e je x d ebe ser p aralelo a la viga sin d e ­
form arse y su orig en d e b e e sta r e n e l la d o izq u ierd o de la viga, c o n sen tid o positivo
hacia la derecha.

• Si hay varias carg as discontinuas presentes, establezca las co o rd en ad as x que sean v á ­
lidas p a ra ca d a región d e la viga e n tre las d isco n tin u id ad es.

• En to d o s los casos, e l eje asociado positivo v d eb e dirigirse hacia arriba.

F u n ció n d e la c a rg a o d e l m o m e n to

• Para cad a región e n la q u e hay u n a co o rd en ad a x , exprese e l m om ento in tern o M en
función d e x.

• S iem p re su p o n g a q u e M actúa e n la d irecció n p o sitiv a a l a p lic a r la e c u a c ió n de e q u ili­
brio d e m om entos p a ra d eterm in ar M = f x ) .

P en d ien te y curva elástica

• S ie m p re q u e E l s e a c o n s t a n te , a p liq u e la e c u a c ió n d e m o m e n to E l <P v /d x * = M ( x ) ,
q u e req u iere d o s integraciones. P ara cada integración es im portante incluir una cons­
tan te d e integración. L as co n stan tes se d eterm in an usando las condiciones de frontera
p ara los so p o rte s y las co n d icio n es d e c o n tin u id ad q u e se ap lican a la p e n d ie n te y al
desplazam iento en los p u n to s donde se en cu en tran dos funciones.

• U n a vez q u e se d eterm in an las co n stan tes d e integración y s e sustituyen d e n u evo en
las e c u a c io n e s d e la p e n d ie n te y la d e fle x ió n , e s p o sib le d e te rm in a r la p e n d ie n te y el
desplazam iento en puntos específicos de la curva elástica. Los valores num éricos o b te ­
nidos p u ed en co m p ro b arse g ráficam ente al co m p ararlo s co n e l bosquejo d e la curva
d á s tic a .

• Los valores positivos d e la pendiente son en sentido an tih o rario y e l desplazam iento
positivo es hacia arriba.

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8 .3 El m é t o o o d e in t e g r a c ió n d o b l e 309

C ada vigueta d e p iso sim plem ente apoyada que se m uestra e n la foto­
grafía e stá som etida a una carg a d e d iseñ o uniform e d e 4 kN /m , figura
8-1 \a . D e te rm in e la d e flex ió n m áx im a d e la v ig u e ta . E l e s c o n sta n te .

C u rva e lá stica , l i b i d o a la sim e tría , la d eflex ió n m áx im a d e la vi­
g u eta se p ro d u c irá e n s u c e n tro . .Sólo se re q u ie re u n a sola c o o rd e n a d a
x p ara d eterm in ar el m om ento interno.

Función d e m o m e n to . C on b ase en e l d ia g ra m a d e c u e rp o lib re, fi­
gura 8-11 se tiene

“(!)M = 20x - 2 0 a: - 2x2

P endiente y cu rva elástica. Al aplicar la ecuación 8-4 e in teg rar
dos veces resulta

d 2v ■% 4 k N /m
E l — z = 20* - 2x
(a)
dx (4 x )N

E ¡ ^ ~ = lOx2 - 0.6667*3 + C ,
dx

E l v = 3 3 3 3 a : 3 - 0 . 1 6 6 7 a : 4 + C xx + C 2

A q u í v = O e n x = 0 , d e m o d o q u e C 2 = 0 y v = 0 e n . t = 10; p o r lo
que C , - -1 6 6 .7 . l\>r lo tanto, la ecuación de la curva elástica es

E l v = 3 .3 3 3 a 3 - 0 . 1667a:4 - 166.7a:

E n a = 5 m , o b serv e q u e d v /d x = 0. P o r consiguiente, la deflexión
m áxim a es

t» m á x = 521 Resp.
“ El

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310 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

EJEM PLO 8.4

L a viga e n voladizo q u e se m u estra en la fig u ra 8 -Í2a está so m etid a a
u n m o m e n to d e p a r M ,, e n s u e x tr e m o . D e te r m in e la e c u a c ió n d e la
c u rv a e lá s tic a . F.I e s c o n sta n te .

"■ * . ."

L ---------- ------___| |x

(a) (b)
Figura 8-12

S O L U C IÓ N

C u rv a e lá s tic a . La carg a tien d e a d efo rm ar la viga co m o se m uestra
en la fig u ra 8-9a. ft)r inspección, e l m o m en to in tern o pu ed e rep resen ­
tarse a lo larg o d e la viga em p lean d o u n sistem a de u n a so la co o rd e­
n a d a X.

F u n ció n d a m o m e n to . A p artir del diagram a d e cuerpo libre, co n
M q u e a c tú a en la á re c c ió n p o sitiv a ,fig u ra 8-12¿>,se tien e

5
ii
O*

P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a . Al aplicar la ecuación 8-4 e integrarla
dos veces se obtiene

d 2v (1)
E l— ¡ = M„

E 'T x = MoX + C | <2)
(3)
E lv = ^ * C ,x + C ,

Si se usan las condiciones de fro n te ra d v ld x = ü e n x = ü y t > = ü e n
x = (X e n to n c e s C \ = = 0. A l s u s tit u ir e s t o s r e s u lta d o s e n la s e c u a ­
ciones (2 ) y (3) co n 0 = d vld x,s e o b tien e

v m 2E l ReSp

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8 . 3 E l M ÉTO O O DE INTEGRACIÓN DO BLE 31 1

L a pendiente y e l desplazam iento m áxim os o cu rren e n A (x = L),
para lo cual

El resu ltad o po sitivo p a ra 0A indica u n a ro tació n e n sen tid o antihora-

rio y e l resu ltad o positivo p ara v A indica q u e v A actú a h a d a arriba.

Esto con cu erd a con los resultados bosquejados e n la figura 8-12a.

C on el fin d e o b te n e r u n a id ea d e la m a g n itu d real d e la p e n d ie n te y

d d esp lazam ien to e n el e x tre m o A , c o n sid e re q u e la viga d e la figura

8-12a tiene u n a longitud d e 12 pies, q u e so p o rta u n m o m en to d e p a r

d e 15 k . p ie , y e s tá h e c h a d e a c e r o c o n E K - 2 9 (1 0 3) ksi. Si e s ta v ig a

se diseñara sin un factor d e seguridad suponiendo q u e e l esfuerzo

norm al perm isib le es igual al esfuerzo d e ced en cia = 36 ksi, e n ­

to n ces s e e n c o n tra ría q u e u n p e rfil W 6 X 9 s e r ía a d e c u a d o ( / = 16.4

p ulg4). A p a rtir d e las ecu acio n es (4 ) y (5 ) se o b tie n e

e = 15 k ' p i e ( l 2 P u l&/ P 'e ) ( 12 P »es) (1 2 p u l g / p i e ) = ^
M 2 9 (1 0 3) k / p u l g 2( 16.4 p u lg 4)

15 k • pie(12 p u lg /p ie )(12 p ies)2(12 pu lg /1 p ie )2 _
2 ( 2 9 ( 1 0 ’ ) k /p u l g 2) ! 1 6 .4 p u lg 4)

D a d o q u e fl2, = 0 .0 0 2 9 7 r a d 2 « 1, s e ju s tif ic a e l u s o d e la e c u a c ió n
8-4 e n vez d e ap licar la ecu ació n m ás ex acta 8-3, p a ra e l cálcu lo d e la
deflexión d e las vigas. A dem ás, co m o esta aplicación n u m érica es para
una viga en v o la d izo ,se h a n o b te n id o valores m ás g ra n d es p a ra 9 y v
m áxim os q u e los q u e se h ab rían o b te n id o si la viga estu v iera ap o y ad a
m ediante pasadores, rodillos u o tro s soportes.

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312 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

E J E M P L O 8.5

L a viga d e la figura 8 -13a está so m e tid a a u n a c arg a P e n su e x trem o .
D eterm in e e l d esp lazam ien to e n C . E l es constante.

r ,,i . «. m2

F i) fi

| Vl 4 ' 3P
T

(b)

Figura 8-13

S O L U C IÓ N

C u rv a e lá s tic a . La viga se d efo rm a com o se m u estra e n la figura
8- 13a. D ebido a la carga, deben considerarse dos coordenadas x.

F u n c io n e s d e m o m e n to . Si se usan los diagram as d e cu erp o libre
q u e se m u estran en la figura 8-136.se tiene

M\ = P 0 2s i , s o

Xi

P 3P
M i = - - ^2* 2 + -2= - ( * 2 - 2 a )

P x2 ~ 3Pa 2a 3a

P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a . A p lican d o la ecu ació n . 8-4,

p ara x¡. «a

dx, +c, (»
E l vt (2 )
+ C xx %+ C 2

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8 . 3 E l M ÉTO O O DE INTEGRACIÓN DO BLE 313

P a r a * 2, d 2v 2
E I ~dTx~22 = P x i ~ ^ P a

.dv°l _ P 2 (3)

E l dt2 = 2Xl ~ 3PaX2 + C3 (4)

E l»l = - \ P a x * + CyX2 + C 4

L as cu a tro c o n sta n te s d e in te g ra c ió n se d e te rm in a n m e d ia n te tres
c o n d ic io n e s d e f r o n te r a , a s a b e r , v , = 0 e n x x = 0 , t>j = 0 e n x x = 2 a y
v2 = O en x 2 = 2 a ,y una ecuación d e continuidad. A q u í la continuidad
d e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo r e q u i e r e q u e d v \ ! d x \ = d v 2l d x 2 e n = x 2
= 2a. (T enga en cu en ta q u e la continuidad del desplazam iento e n tí
ha sido co n sid erad o d e m anera indirecta e n las condiciones d e fro n ­
tera, p u e sto q u e v¡ = v 2 = 0 e n = x 2 = 2a.) A l a p lic a r e s ta s c u a tro
condiciones resulta

«>i = O e n x \ = 0;0 = 0 + 0 + C2
= o e n = 2a\ 0= + C t{2a) + C 2

vz = O e n x 2 = 2 a \0 => £ ( 2 a )3 - \ P a i l a ) 1 + C 3(2 n )+ C 4
oZ

d v t(2 a ) d viila ) p, p

¿ r; - 7 + c - - 1 <2")2 - 3P° ™ + c >

R csolviendo.se ob tien e

C, - C2 = 0 C 3 = j P a 2 C4 = - 2 Pai

A l su stitu ir C 3y C4 en la ecuación (4) resulta

P , 3Pa 2 10P a 2 2Pa3
01 “ 6 é ¡ ^ ~ 2 ¡ n x *
~ ~e F

E l desplazam iento en C se d eterm in a al estab lecer x 2 = 3a. Se tiene
que

Pa3 Resp.
vc =

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314 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

PROBLEMAS FUNDAMENTALES

r a - 4 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la FR-7. D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em p lean do la coorden ad a x que e s válida p ara 0 < x < L. viga em p lean d o la co o rd en ad a * que e s válida p ara 0 < x < /..
E l es constante. E l es constante.

t

ra-4

F8-5. D eterm ine la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la r a - 8 . D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada x que es válida para 0 < x < L . viga em pleando la coordenada x que es válida para 0 < x < L.
E l es constante. F.I es constante.

ra-8

F 8 -6 . D eterm ine la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la F 8 -9 . D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coordenada .r que es válida para 0 < x < L. viga em pleando la coordenada x que es válida para 0 < x < L.
E l es constante. F.I es constante.

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8 .3 E l m é to o o d e in te g ra c ió n d o b le 3 15

PROBLEMAS

8 -1 . D e term in e la s e c u a c io n e s d e la c u rv a elá stic a p a ra la 8 -6 . D eterm ine la deflexión m áxim a en tre los sopo rtes A y B .
viga e m p le a n d o la s c o o r d e n a d a s x , y x 7. E sp e c ifiq u e la p e n ­ E l a constante. U tilice el m éto d o d e integración.
d ien te e n A y la deflexión m áxim a. E l es constante.

m .1

P roh. 8-1

8-2 . l a b a rra e s tá so p o rtad a p o r un a restricción d e ro d illo 8 -7 . I> íterm ine la curva elástica p a ra la viga sim plem ente
e n & ,q u e p e rm ite e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l p e r o re sis te la apoyada usando la co o rd en ad a i , 0 < í < I.)2. A d em ás.d e­
carg a ax ial y el m o m e n to . S i la b a rra s e so m e te a la carg a term in e la p e n d ie n te e n A y la d eflex ió n m áx im a d e la viga.
q u e se m u estra, d eterm in e la pend ien te e n A y la deflexión E l es constante.
e n C E l es constante.

8 -3 . D eterm ine la deflexión e n e l p u n to B de la b arra del
p ro b lem a 8-2.

L___ k u

22 Proh. 8-7
Probs. 8-278-3
•8 -8 . D eterm ine las ecuaciones d e la curva elástica e m ­
•8 -4 . D eterm ine las ecu acio n es d e la cu rv a elástica u san d o p lean d o las c o o rd e n a d a s x , y x*. y esp e c ifiq u e la p e n d ie n te
las c o o r d e n a d a s x , y x 7, e s p e c ifiq u e la p e n d ie n te y la d e fle ­ e n C y e l desplazam iento e n B . E l es constante.
xión e n B . E l es co n sta n te .
8 -5 . D eterm ine las ecuaciones d e la cu rv a elástica usando 8 -9 . D eterm ine la s ecuaciones d e la cu rv a elástica e m ­
las c o o r d e n a d a s X| y x3 y e s p e c ifiq u e la p e n d ie n te y la d e fle ­ plean d o las co o rd en ad as x i y x * y esp ecifiq u e la p e n d ie n te
xión e n el p u n t o B . F .I e s constante. e n B y la deflexión e n C. E l es constante.

u n i te

P ro b s .8 -4 /8 -5 h x>- P ro h s. 8 -8Z 8-9

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8 .4 Teorem as del m om e nto de área

L as ideas iniciales p ara los d o s teo rem as del m o m en to d e área fueron
desarrolladas p o r O tto M ohr y m ás tard e establecidas form alm ente p o r
C harles E . G reen e en 1873. E stos teorem as proporcionan u n a técnica se-
m igráfica p a ra d e te rm in a r la p e n d ie n te d e la c u rv a e lá stic a y su a lte ra ­
ción debido a la flexión. R esultan particularm ente ventajosos cu an d o se
utilizan p a ra reso lv er p ro b lem as d e vigas, e n especial las su jetas a una
serie d e cargas concentradas o que tienen segm entos con diferentes m o­
m entos d e inercia.

P ara d e sa rro lla r los teorem as, se hace referen cia a la viga d e la figura
8 -14a. Si se d ib u ja el d ia g ra m a d e m o m e n to p a ra la viga y d esp u é s se d i­
vide e n tre la rigidez a la flex ió n , £ 7 ,re s u lta e l "d ia g ra m a d e M I E F q u e se
m u e stra e n la fig u ra 8 -1 4 6 . C on b ase e n la e c u a c ió n 8-2,

A sí p u ed e verse q u e e l cam bio dO a i la p en d ien te d e las tangentes a cada
lado d el elem en to d x es igual a l área con so m b read o claro b ajo el d ia­
gram a M IE L A l integrar desd e el p u n to A hasta el p u n to B de la curva
elástica, figura 8 -14c,se tien e

E sta ecuación e s la base p ara e l p rim er teorem a d el m om ento d e área.
T eo re m a 1: E l cam b io e n la p e n d ie n te e n tre dos p u n to s cu ale sq u iera
d e la cu rv a elástica es igual a l á re a d e l d ia g ra m a M I E I e n tre eso s d o s
p u n to s .

La n o ta c ió n 0B,A se c o n o c e c o m o e l á n g u lo d e la t a n g e n t e e n B m e d id o
co n re sp e c to a la ta n g e n te e n /L A p a rtir d e la co m p ro b a c ió n d e b e ría se r
evidente q u e este án g u lo se m ide en sentido antihorario desde la ta n ­
g en te A h asta la ta n g en te B . si el á re a del d iag ram a M IE I es p ositiva, fi­
gura 8-14c. D e m anera in v ersa,si e sta á re a es negativa.o está p o r d eb ajo
d e l e je x . e l á n g u lo 0Bia se m id e e n s e n t id o h o ra rio d e s d e la t a n g e n t e A
hasta la tangente B. A dem ás, con base en las dim ensiones d e la ecuación
8 -5 ,0KA se m id e en radianes.

F ig u ra 8 -1 4

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8 .4 T e o r em as d e i m o m e n t o d e Ar e a 31 7

El segundo teo rem a del m om ento d e á re a s e basa e n la desviación re ­ --------------x ------------------------ d x
lativa d e las tangentes a la cu rv a elástica. E n la figura 8 -15c se m uestra (*>
u n a v ista m u y e x a g e r a d a d e l a d e s v ia c ió n v e rtic a l d t cfc las ta n g e n te s a
cada lado d el elem en to diferencial dx. E sta desviación se m id e a lo largo (b )
d e una línea vertical q u e p asa a través d el p u n to A . C om o se su p o n e q u e
la p e n d ie n te d e la cu rv a elástica y su d e fle x ió n so n m uy p e q u e ñ a s, resu lta curva clástica
satisfacto rio ap ro x im ar la lo n g itu d d e ca d a lín ea d e la ta n g e n te m ed ian te
* y e l a rc o d s' p o r m ed io d e dt. Si se usa la fó rm u la d el a rc o c irc u la r s = (c)
0 r, d o n d e r tiene u n a lo n g itu d * ,s e p u e d e e sc rib ir d t - x dO. E m p lean d o
la ecu ació n 8 -2 . dO - (M IE l) d x , la d eflex ió n v ertical d e la ta n g e n te e n A curva elástica
con respecto a la tangente en B p u ed e en co n trarse p o r integración, en
cuyo caso (d)

M Figura 8-15
— dx
U ,B (8- 6 )
Ja T i

R ecuerde q u e a l e stu d iar la estática se estableció q u e e l cen tro id e d e un
área se determ ina a p artir d c x f d A = f x d A . Puesto q u e / M /E ! d x
representa un área d el diagram a M /E I, tam bién es posible escribir

r m_
— dx
*A,B = X (8-7)
El
Ja

A q u í a: e s la d istan cia d e sd e e l e je v ertical q u e p a sa p o r A h asta e l cen­
troide del á re a co m p ren d id a e n tre A y fig u ra 8-156.

A h o ra puede enunciarse e l segundo teorem a d e l m om ento d e área de
la m an era sig u ien te:

T eorem a 2: L a desviación vertical de la tangente en u n p u n to (A ) d e
la cu rv a elástica con respecto a la tan g en te extendida d esd e o tro
p u n to (B ) es igual a l “ m o m en to ” del área b a jo e l d iag ram a M IE l
e n tre los d o s p u n to s (A y B \ E ste m o m e n to se calcula re sp e c to d e l
p u n to A (el pu n to so b re la curva elástica), donde d eb e d eterm inarse
la d e s v ia c ió n t A¡R.

C uando se calcula el m om ento d e u n área positiva M IE l desd e A hasta
B , com o e n la figura 8-156,é ste indica q u e la tan g en te en e l p u n to A está
p o r e n c im a de la ta n g e n te a la cu rv a e x te n d id a d esd e el p u n to B , fig u ra
8-15c. D el m ism o m odo, las á re a s negativas M IE I indican q u e la tangente
e n A e s tá p o r d e b a jo cfc l a t a n g e n t e e x te n d i d a d e s d e B . O b s e r v e q u e , e n
g e n e r a l . ia /b n o e s ig u a l a t BiA , q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 -1 5 d . E n
específico, el m o m e n to d el á re a b ajo el d ia g ra m a M IE I e n tre A y B se
calcula resp ecto del p u n to A p a ra d eterm in ar t^ , f i g u r a 8-156,y se calcula
re s p e c to a l p u n t o B p a ra d e t e r m i n a r tBIA.

E s im portante ten er en cu en ta q u e los teorem as d el m om ento d e área
sólo p u ed en usarse p ara d eterm in ar los ángulos o las desviaciones en tre
las d o s ta n g e n te s d e la c u rv a elástica d e la viga. P o r lo g e n e ra l n o p ro p o r­
cionan una solución d irecta p ara la pendiente o el desplazam iento en un
punto de la viga. E stas incógnitas d eb en relacionarse p rim ero co n los án ­
gulos o las desviaciones v erticales d e las ta n g en tes so b re lo s p u n to s d e la
cu rv a elástica. H ab itu alm en te, las ta n g e n te s e n los so p o rtes se d ib u jan
con esta intención, p u esto q u e estos puntos n o están som etidos a d esp la­
zam ientos y/o tienen p en d ien te cero. E n los problem as d e ejem plo se
proporcionan casos específicos para el establecim iento d e estas relacio­
nes geom étricas.

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318 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

P ro c e d im ie n to de análisis

El siguiente procedim iento proporciona u n m étodo q u e p u ed e usarse p a ra d eterm in ar el
d esp lazam ien to y la p e n d ie n te en u n p u n to d e la cu rv a elástica d e una viga m ed ian te los
teorem as d el m om ento d e área.

D iagram a M /EI

• D ete rm in e la s reaccio n es e n los s o p o rte s y d ib u je el d ia g ra m a M IE l d e la viga.
• Si la v ig a e s t á c a r g a d a c o n f u e r / a s c o n c e n tr a d a s , e l d ia g r a m a M I E l c o n s is tirá e n u n a

serie d e seg m en to s de linea recta, p o r lo q u e la s á re a s y m o m en to s re q u e rid o s p a ra
aplicar los te o re m a s d e l m o m en to d e á re a p o d rá n calcularse c o n relativ a facilidad.
• Si la carg a consiste e n u n a serie de fuerzas co n centradas y cargas distribuidas, pu ed e
resultar m ás sencillo calcular las áreas y sus m om entos req u erid o s al d ib u jar e l d ia­
g ra m a M IE l p o r p a rte s, e m p le a n d o e l m é to d o d e su p erp o sic ió n c o m o se e stu d ió e n la
sección 4-5. E n cualquier caso, e l diagram a M IE l constará d e curvas parabólicas, o
quizá d e o rd e n superior, p o r lo q u e p ara localizar el á re a y e l centroide b ajo cada
curva se sugiere consultar la tabla q u e ap arece en el in terio r de la co n trap o rtad a de
este libro.

C urva elástica

• D ib u je u n a v ista e x a g erad a d e la cu rv a elástica d e la viga. R ecu erd e q u e los p u n to s de
pendiente cero o cu rren e n los so p o rtes fijos y q u e lo s puntos d e d esp lazam iento cero
se p ro d u c e n e n los so p o rte s fijos, articu lad o s y d e rodillo.

• Si e s d ifíc il d ib u j a r la fo r m a g e n e r a l d e l a c u r v a e lá s tic a , u tilic e e l d ia g r a m a d e m o ­
m ento (o M /E I). O bserve q u e cuando la viga está som etida a u n m ám enlo positivo
ésta se d o b la cóncava h a d a arriba, e n ta n to q u e un m om ento negativo curva la viga
cóncava hacia a b a jo . P o r o tra p a rte , un p u n to d e inflexión o cam b io e n la cu rv atu ra
o cu rre c u an d o e l m o m en to e n la viga (o M IE l) e s igual a cero.

• E l d e sp lazam ien to y la p e n d ie n te a d e te rm in a r d e b e n indicarse e n la curva. C o m o los
teorem as d el m om ento de á re a sólo se aplican en tre dos tangentes, d eb e p restarse
atención a q u e las tangentes estén construidas d e m odo q u e lo s ángulos o las desvia-
d o n e s e n tre ellas conduzcan a la solución d el problem a. E n este sen tid o , deben consi­
derarse las tangentes en lo s p u n to s c o n p en d ien te y d esp la za m ien to d e sc o n o d d o s, así
co m o e n los so p o rtes, y a q u e g e n e ra lm e n te la viga tie n e d e sp la z a m ie n to c e ro y /o p e n ­
diente cero en los soportes.

Teorem as del m om ento de área

• A plique e l teo rem a i p ara d eterm in ar el ángulo e n tre dos tangentes, y el teo rem a 2
p ara e n c o n tra r las d esv iad o n es verticales e n tre las tangentes.

• lénga en cu en ta que, p o r lo general,el teorem a 2 n o resultará e n e l desplazam iento de
un p u n to sobre la curva elástica. C u an d o s e aplica co rrectam en te, só lo d ará la d istan ­
d a v ertical o la d esv iació n d e u n a ta n g e n te e n e l p u n to A so b re la cu rv a elástica co n
respecto a la tangente e n 8 .

• D espués d e aplicar el teo rem a 1o el teo rem a 2,el signo algebraico d e la respuesta puede
verificarse a p artir del ángulo o la d e sv iad ó n según se in d iq u e e n la curva elástica.

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8 .4 T e o r em as d e i m o m e n t o d e Ar e a 319

EJEMPLO 8.6 2k

D e te rm in e la p e n d ie n te e n los p u n to s B y C d e la viga q u e se m u estra I
e n l a f i g u r a 8 - I 60. C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( l ü 3) k s i y q u e / = 6 0 0 p u l g 4.
tan.-t
SO L U C IÓ N l 5 p i e s -------- \ B

D ia g ra m a M /E I. E ste d ia g ra m a s e m u e s tra e n la fig u ra 8-16¿>. R e ­ t---------- K3 ))pnii»
sulta más sencillo resolver el problem a en térm inos d e E l y sustituir
b s d ato s num éricos com o últim o paso. (a)

C urva elástica. L a carg a de 2 k hace q u e la viga s e d efo rm e com o se Í7
m uestra e n la figura 8-16c. (1.a viga s e vuelve cóncava hacia ab ajo ,
p u esto q u e M /E I es n eg ativ o .) A q u í la ta n g e n te e n A (el so p o rte )
siem pre es h o rizo n ta l.T am bién se indican las tangentes e n B y C. Se
d e b e e n c o n t r a r 0 R y 0 C. P b r la c o n s tru c c ió n , e l á n g u lo e n tr e t a n A y
tan fl.e s d e c ir 0 n A,e s e q u iv a le n te a 0R.

Ofí =

Adem ás.

e c = e c /A

Teorem a d e l m o m e n to d e área. A plican d o el teo rem a 1. 0KA es
igual al á re a b a jo e l d iag ram a M /E I e n tre los p u n to s A y fl.e s decir.

(30 k*pieV . x 1 / 60 k • pie 3 ü k - p i e \

- QB/ A - - ( J ( 1 5 p ie s ) - - y — -----------------— j

(15 pies) 675 k -p ie2
El

Al sustituir los d ato s num éricos d e E e I ,y convertir de pies a p ulga­
das, se tiene

- 6 7 5 k • p i e 2( 144 p u lg 2/ ! p i e 2)
=

a 2 9 (1 0 3) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4)

= -0.00559 rad Resp.

El signo negativo indica q u e el ángulo se m ide e n sen tid o horario
d e s d e A . fig u ra 8 - 16c.

D e m an era sim ilar, e l á re a b ajo el diagram a M /E I en tre los p u n to s
A y C es igual a 0QA. E ntonces.

\( 60k-pie\_ . 4 900 k -p ie2

»c = *c/a = 2 [ — E ¡ ~ J {30pies) Ti

Sustituyendo lo s valores num éricos d e E l, se o b tien e Resp.
- 9 0 0 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 7)

"C “ 2 9 (lU ')k /p u lg ¡ (6ü0pulg‘ )
= -0.00745 ra d

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320 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

E J E M P L O 8.7

¡ a b - 8 ( IíA) mm* \,BC. 4(10*)m m 4 D e te rm in e la d eflex ió n e n los p u n to s B y C de la v ig a q u e se m u e stra
en la figura 8 -17a. Los valores p a ra e l m om ento d e inercia d e cada
4m J . __ - 3 m i seg m en tó se indican en la figura. C onsidere q u e E = 200 G P a.
500 N-m
(a) S O L U C IÓ N

D ia g ra m a M /E I. ft>r in sp ecció n , el d ia g ra m a d e m o m en to p a ra la
viga es un rectángulo. A q u í s e co n stru irá el d ia g ra m a M IE I relativ o a
fflc . te n i e n d o e n c u e n ta q u e I AB m 2 I BC, fig u ra 8 -1 7 6 . C o m o ú ltim o
p a so , s e s u s titu ir á n lo s d a t o s n u m é r ic o s p a r a E I BC.

M C u rv a e lá s tic a . E l m om ento d e p a r e n C hace q u e la viga se d e ­
F Jñ form e, co m o se m uestra e n la figura 8-17c. S e indican las tangentes en
A (el s o p o r te ) . B y C .S e d e b e e n c o n tr a r Afl y Ac. E sto s d e sp la z a m ie n ­
250 tos p u ed en relacionarse directam ente con las desviaciones en tre las
ÉÍ7r ta n g e n te s , d e m a n e r a q u e p o r c o n s tr u c c ió n A fl e s ig u a l a la d e s v ia c ió n
de tan B en relación con tan A ;es decir.

m Adem ás. I b ¡a
FImc
'Ct A
|- 2 — B

(b) T e o r e m a d e l m o m e n t o d e á r e a . A p lic a n d o e l te o r e m a 2 . tB/A e s
igual a l m o m en to d e l área b ajo e l d iag ram a M /E IBí e n tre A y B calcu­
lado co n respecto a l p u n to B , ya q u e éste es e l p u n to d o n d e debe d e­
term inarse la desviación tangencial. ft>r lo tan to , a p artir d e la figura
8-176,

A » = t B/A 250 N -m 2000 N • m?
(4 m ) (2 m) E l BC

E IK

c A l sustituir los datos num éricos resulta

2000 N -m
AB =

(2 0 0 ( 109) N / m 2l(4 (1 0 6) m m 4( l m 4/ ( 1 0 3) 4 m m 4) |

0.0025 m = Z 5 m m Resp.

D e l m is m o m o d o , p a r a ¡cía se d e b e c a lc u la r e l m o m e n to d e to d o e l
diagram a M IE lg e desde A hasta C respecto del pu n to C. Se tiene

250 N -m 500 N - m

Ac = Ic / a (4 m) (5 m ) + (3 m) (1.5 m )
E l BC
E l BC

7250 N •m3 7250 N •m3
E I bc [200{109) N / n f l K l O ^ J Í l O " 12) m 4j

= 0.00906 m 9.06 m m Resp.

D ado q u e am bas respuestas so n positivas,indican q u e los p u n to s B
y C se en cu en tran por encim a d e la tangente e n A .

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8 .4 T e o r em as d e i m o m e n t o d e Ar e a 321

EJEMPLO 8.8

D e te rm in e la p e n d ie n te e n e l p u n to C d e la viga q u e s e m u estra e n la
fig u ra 8 - 18a. £ = 200 G P a . l = 6 (1 0 )6 m m '.

F igura 8 -1 8

SO L U C IÓ N

D ia g ra m a M /E f. F ig u r a 8-18¿>.

C u rv a e lá s tic a . C om o la carga s e aplica a la viga e n fo rm a sim é­
trica. la curva elástica es sim étrica, com o se m u e stra e n la figura 8-18c.
Se d e b e e n c o n t r a r 0C. E s to p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e t i e n e e n
cuenta q u e la tangente e n D e s horizontal y entonces, p o r construc­
c ió n . e l á n g u lo 0D¡C e n tr e t a n C y t a n D es ig u a l a 0 C\ e s d e c ir ,

6c = Od /c

Teorem a d e l m o m e n to d e á re a . C o n base e n e l te o re m a 1 ,0¡¡ic es
igual a l á re a so m b read a b a jo el diag ram a M IE I en tre los p u n to s C y D.
Se tien e

/30kN -m \ , 1 /60 kN •m 30kN -m \

c = = 3m\ T i ) + 5<3 Ii~ )

135 k N • m 2
El

R>r lo tanto.

135 k N - m 2 R esp
° C ~ (2 0 0 ( 106) k N / m 2| [ 6 ( 106) ( 1 0 " 12) m 4) ” 0,112 r a d

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322 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

EJEMPLO 8.9

8k D e term in e la p e n d ie n te e n el p u n to C de la viga q u e se m u estra e n la
f i g u r a 8 - 1 9 a. E = 2 9 ( 1 0 3) k s i, / = 6 0 0 p u l g 4.

S O L U C IÓ N
D iagram a M /E I. Figura 8-196.

M C urva elástica. La curva elástica se m u estra e n la figura 8-19c. Se
d e b e e n c o n t r a r 0C\ p a r a e l l o , s e e s t a b le c e n la s t a n g e n t e s e n A , B (lo s
El s o p o r te s ) y C ,ta m b ié n o b se rv e q u e Ocia e s e l á n g u lo e n tr e la s ta n g e n -
te s e n A y C .A d em ás.el ángulo «¿de la figura 8-19c puede encontrarse
u s a n d o <t>= tB/AI L Afí. E s ta e c u a c i ó n e s v á lid a p o r q u e lB/A e s r e a lm e n te
m uy p equeño, y p u e d e aproxim arse m ediante la longitud d e un arco
c ir c u la r d e f in id o p o r u n r a d io d e L AB - 2 4 p i e s y e l a lc a n c e d e <t>.( R e ­
c u e rd e q u e s ■ Or.) C o n b a s e e n la g e o m e tr ía d e la fig u ra 8 -1 9 c . se
tiene

e c = <b - o,C IA 'va ’C/A d)
24

T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a . U s a n d o e l te o r e m a 1, 0OA e s
eq u iv alen te al á re a b a jo e l d iag ram a M /E I en tre los p u n to s A y C;
e s decir,

Qc / a 1 /1 2 k /p ie \ 36 k -p i e2
- (6 pies) El

El )

A l a p lic a r e l te o r e m a 2 , i BIA e s e q u iv a l e n te a l m o m e n to d e l á r e a
bajo el diagram a M /E I entre B y A respecto al p u n to B , puesto que
é ste es e l p u n t o d o n d e d e b e d eterm in arse la d e s ría d ó n tangencial. Se
tiene

tB /A 6 pies + |( 1 8 pies) J [ |( 1 8 p ies)( - )]

+ - ( 6 pies)
4320 k - pie-3

El

S u stitu y en d o e sto s resu ltad o s e n la ecuación 1. resulta

4320 k •pie3 36 k • pie2 144 k •pie2
dc = El El

(24 pies) E l

de m odo que

144 k • pie'

" 2 9 (1 0 ’ ) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg 2/ p i e 2) 6 0 0 p u lg 4( l p i e 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)

= 0.00119 r a d Resp.

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8 .4 T e o r em as d e i m o m e n t o d e Ar e a 323

EJEMPLO 8.10

D e te rm in e la d e fle x ió n e n e l p u n to C d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la
f ig u r a 8 -20a . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 3) k s i, / = 21 p u l g 4.

u
Tí

S O L U C IÓ N
D iagram a M /EI. Figura 8-206.

C urva elástica. A q u í d eb em o s e n c o n tra r A c, figura 8-20c. É sta no

es necesariam ente la deflexión m áxim a d e la viga, puesto q u e la carga,

y p o r lo ta n to la curva elástica, no son sim étricas. E n la figura 8-20c

tam bién se indican las tangentes e n A , B (los so p o rtes) y C. Si se d e ­

term ina /xís, entonces A ' puede encontrarse por triángulos sem ejan­

te s, e s d e c ir , A '/1 2 = tAIBQ A o b i e n A ' = p artir d e la co nstruc­

ción e n la fig u ra 8 -2 0 c se tien e q u e

'AJfí ( 1)
~ ¡C/R

Teorem a d e l m om ento d e área. Se aplicará e l teo rem a 2 p ara d e ­
te r m in a r tAiB y Io b - A q u í ¡ajb es e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M / E I e n tr e
A y B respecto al p u n to A ,

- B f ) ]I a /b ^ ( 2 4 p ies) 2 (24 p ies) 480 k • pie3
El

y I c i b es e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M/EI e n tr e C y B r e s p e c to d e C.

60 k-p i e 3

lC/B i ( 12p ie s ) ] [ i( 12p i e s ) ( ^ ! ^ ) ] El

Sustituyendo esto s resultados e n la ecuación (1) se o b tien e

K:1 ( 4 8 0 k •p ie 3\ 60 k • pie3 180 k • pie3
El
El El

Si se trab aja e n unidades d e kips y pulgadas, resu lta

180 k - p i e 3( 1728 p u lg 3/ p i e 3)
AC =

» ( 1 0 5) k / p u l g ^ l p u l g 4)

0.511 pulg Resp.

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324 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

E J E M P L O 8.11 D e term in e la d eflex ió n e n e l p u n to C d e la viga q u e s e m u estra e n la
f i g u r a 8 - 2 1 o . E = 2 0 0 G P a . I = 2 5 0 ( 1 0 6) m m 4.
6 kN /m
S O L U C IÓ N
24 kN
D ia g ra m a M /E I. C o m o se m u estra e n la fig u ra 8-21 ¿>,este d iag ram a
R. se com pone d e un triángulo y u n segm ento parabólico.

El C urva elástica. La c a rg a hace q u e la viga se d efo rm e, com o se
m u e s tra e n la fig u ra 8 21c. S e d e b e e n c o n tr a r Ac - M e d ia n te la c o n s­
tru cció n d e Lis ta n g e n te s e n A , B (los s o p o r te s ) y C .s e v e q u e Ac =
t CIA - A '. S in e m b a r g o . A ' p u e d e r e la c io n a r s e c o n lBiÁ p o r tr iá n g u lo s
s e m e ja n t e s .e s d e c ir . A '/1 6 = tm A!8 o b ie n A ' = 21¡,/A. P o r lo ta n to .

- ¡C /A ~ 2*B/A (1)

Teorem a d e l m o m e n to d e área. Se aplicará el teo rem a 2 p ara d e ­
term in ar /cía y Iría• Si se u sa la tabla de la c o n tra p o rta d a in te rio r d e l
(b) lib ro p a r a e l s e g m e n to p a r a b ó lic o y s e c o n s i d e r a e l m o m e n to d e l d i a ­
gram a M IE l en tre A y C respecto d e l p u n to C .se tiene

ÍCM. g , s m) ] [ i ( 8m)p kN
-)}
[1<8+ | - ( 8 m ) + 8 m li­
li 264 kN •m 3
El

E l m om ento d el diagram a M IE l entre A y B respecto d el p u n to B es

J 192kN-m\l 2048 k N - m 3
El
)\
5(8m)j[-(8m\--- 17“1,«

I b/ a -

¿P or q u é esto s térm inos son negativos? A l sustituir los resultados en
la ecu ació n (1 ) se o b tie n e

11 2 6 4 k N • m 3 J ( 2 004488 kkNN •- m 3\‘
¿ c ----------------- Y ,
21 -
7168 k N - m 3
El \ El )

ft>r lo ta n to . Resp.

-7168 k N -m 3
Ac

|2 0 0 ( 106) k N / m 2I 2 5 0 ( 106) ( 1 0 " '2) m 4]
= -0 .143 m

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8 .4 T e o r em as d e i m o m e n t o d e Ar e a 325

D eterm ine la pendiente en el rodillo B de la viga co n d o b le saliente
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 2 a . C o n s id e r e q u e E = 200 G P a , / = 18
(106) m m \

SO L U C IÓ N (a)

D iagram a M /E f. La elab o ració n del d iag ram a M IE I p u ed e sim plifi­
carse a l dibujarlo p o r partes y co n sid erar los diag ram as M IE I d e las
tres cargas, d o n d e c a d a u n a actú a so b re una viga e n v o la d i/o fija e n D ,
figura 8.22b . (L a carga d e 10 kN no s e to m a e n cu en ta d a d o q u e no
produce ningún m om ento e n to rn o a D).

C u rv a e lá s tic a . Si s e d ib u ja n ta n g e n te s e n R y C , fig u ra 8 -2 2 c . la El
p e n d ie n te e n B p u ed e d e te rm in a rse a l e n c o n tra r t OB,y p a ra los á n g u ­
los p e q u e ñ o s.

*c íb 0)
2m

Teorem a d e l m o m e n to de área. P ara d eterm in ar íCib se aplica el M -3 0
teorem a d el m om ento d e área, a fin de en co n trar e l m om ento d el d ia­
g ram a M IE I e n tre B y C respecto d e l p u n to C. E sto só lo involucra El 10 20
al á re a so m b read a b ajo d o s d e los diagram as d e la figura 8-22b. E n­ F.l É l
tonces.

/- 3 0 kN-mY| . ^ 2 m \fl V lO kN -n A l

' c/b = (1 m ) U

53.33 k N - m 3 Él ■
El

Sustituyendo en la ecuación (1), Resp. 10

5333 kN •m3 Él
( 2 m )|2 0 0 { l(/* ) k N /m 3J[1 8 (1 0 6)( 1 0 “ 12) m4J
0.00741 ra d I

<b)

tan B

(c)

F ig u ra 8 -2 2

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C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

8 .5 M é to d o de la vig a conjugada

H. M üller-B reslau desarro lló e l m é to d o d e la viga conjugada en 1865. En
esencia, requiere la m ism a cantidad d e cálculos q u e los teorem as d e m o­
m e n to d e á re a p a ra d e te rm in a r la p e n d ie n te o la d eflex ió n de u n a viga;
s in e m b a r g o , e s t e m é to d o s e b a s a s ó l o e n lo s p rin c ip io s d e la e s t á tic a y.
p o r lo ta n to .s u ap licación re su lta rá m ás fam iliar.

I-a b a se p a ra el m é to d o p ro v ie n e d e la sim ilitu d de las ecu acio n es 4-1 y
4-2 c o n las ecu acio n es 8-2 y 8-4. P ara d e m o stra r e sta sem ejanza, las e c u a ­
ciones p u ed en escribirse de la siguiente m anera:

dv d 7M
dx W
d e _ A/ d 2v _ M
dx ~ El ~d¿ ~ T i

O al in teg rar

/ wdx M = / [ / w dx Idx

a. m dx It

/[/(!>-TT 1d x I dx

viga real A q u í la fu e r z a cortante V se c o m p a ra co n la p en d ien te e l m o m en to M
se co m p ara con e l desplazam iento v ,y la carga externa w se co m p ara con
viga conjugada e l diagram a M IEI. P ara aplicar esta com paración ahora se considerará,
figura 8-23, u n a viga co n la m ism a longitud q u e la viga re a l, p e ro a q u í se
fig u ra 8 -2 3 den o m in ará com o la “ viga co n ju g ad a", la cu al se “ca rg a "c o n el diagram a
M IE I o b te n id o d e la c a rg a w so b re la viga re a l. A p a rtir d e las c o m p a ra ­
ciones a n te rio re s se p u e d e n en u n c ia r d o s te o re m a s relacio n ad o s c o n la
viga co n ju g ad a , a sa b e r.

T eo rem a 1 : I-a p e n d ie n te e n u n p u n to d e la viga real e s n u m érica­
m e n te igual a la fiierza c o rla n te e n e l p u n to c o rre sp o n d ie n te d e la
viga co n ju g ad a .

T eorem a 2: El d esplazam iento d e un p u n to en la viga real es n u m éri­
ca m e n te igual al m o m en to e n el p u n to c o rre sp o n d ie n te d e la viga
c o n ju g a d a .

Soportes de la viga conjugada. A l d ib u ja r la v ig a c o n ju g a d a

es im portante q u e la fuerza co rtan te y el m om ento desarrollados en sus
soportes to m en en cuenta la pendiente y el desplazam iento co rresp o n ­
d ien tes d e la viga re a l e n su s so p o rtes, lo cual e s u n a co nsecuencia d e los
te o re m a s 1 y 2. P or ejem p lo , co m o se m u e stra e n la ta b la 8.2, u n so p o rte

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8 .5 M É T O D O D E L A VIG A CO NJU GADA 327

de p asad o r o rodillo e n el e x tre m o d e la viga re a l p ro p o rcio n a u n despla­
zam iento cero, p e ro la viga tien e una p en d ien te d istin ta d e cero . Por
consig u ien te, a p a rtir d e los teo rem as I y 2 , la vig a co n ju g a d a d eb e e sta r
soportada p o r un p asad o r o un rodillo, d ad o q u e este soporte tiene un
m om ento cero pero tiene una fu er/a cortante o una reacción en el ex ­
trem o . C u a n d o la viga real e s tá fi jamente a p o y a d a (3 ), ta n to la p e n ­
d ie n te c o m o e l d esp lazam ien to e n e l so p o rte son iguales a ce ro . A q u í la
viga co n ju g ad a tie n e un e x tre m o libre, y a q u e e n e ste ex tre m o hay una
fuerza c o rta n te c e ro y u n m o m e n to ce ro . E n la ta b la se e n u m e ra n los so ­
p o rte s c o rre sp o n d ie n te s d e las vigas real y co n ju g ad a e n o tro s casos, y en
la fig u ra 8-24 se m u e stra n ejem p lo s de vigas re a le s y conjugadas. O b ­
serv e q ue. co m o reg la, al p a sa r p o r alto la fu erza axial, las vigas reales
estáticam en te d eterm in ad as tien en vigas conju g ad as estáticam en te d e ­
term inadas; y las vigas reales estáticam en te indeterm inadas, co m o e n el
últim o caso de la fig u ra 8-24, se conv ierten e n vigas conjugadas in esta­
bles.A u n q u e e s to o c u rra , la c a rg a M IE l p ro p o rc io n a rá e l "e q u ilib rio " n e ­
cesario p ara m an ten er la estab ilid ad d e la viga conjugada.

TABLA 8 -2

V iga real V iga c o n ju g a d a

1) « - f i=

A -0 pasador

pasador

2) e V
M=0
A -0
ro d illa
rodillo

3) V -0 libre
fijo M =0 fijo
bisagra
4) V bisagra
libre Ai

5) V

A -0 pasador inlem o Af = 0

6) V
Ai - 0
4 =0 rodillo inlemo

b isa g ra V

M

rodillo interno

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328 C a p it u l o 8 D e f l e x io n e s

viga real viga conjugada

Figura 8-24

P ro c e d im ie n to de análisis

E l siguiente procedim iento pro p o rcio n a un m étodo q u e p u ed e em plearse p ara d eterm i­
n ar e l d esp lazam ien to y la p e n d ie n te e n u n p u n to so b re la c u rv a elástica d e una viga s¡-
guiendo el m étodo d e la viga conjugada.

C urva elástica

• D ib u je la viga co n ju g ad a p a ra la viga real. E s ta v ig a tie n e la m ism a lon g itu d q u e la
8 viga re a l y los so p o rtes co rresp o n d ien tes según se p resen tan en la ta b la 8-2.

• E n general, si e l so p o rte real perm ite una p e n d ie n te s I so p o rte conjugado d eb e desa­
rrollar u n a fu erza cortante',y si el so p o rte real p erm ite un d esp la za m ien to ,e l so p o rte
conjugado d eb e desarrollar un m om ento.

• La viga conjugada s e c a rg a con e l diag ram a M IE l de la viga real. S e su p o n e q u e esta
carga e stá d istribuida en la vig a co njugada y q u e se d irig e h acia arriba c u a n d o M IE l es
positiva, y hacia a b ajo c u a n d o M IE l es negativa. E n o tras p alab ras, la c a rg a a c tú a siem ­
p re alejándose d e la viga.

E q u ilib rio
• U san d o la s ecu acio n es de e q u ilib rio , d e te rm in e la s reaccio n es e n los so p o rte s d e la

viga conjugada.
• La sección la viga conjugada en e l p u n to d o n d e d eb en determ in arse la p en d ien te d y

d d esp lazam ien to A de la viga real. E n la sección m u estre la fuerza co rtan te V desco­
nocida y e l m om ento M ' q u e actúa e n su sen tid o positivo.
• D eterm ine la fuerza co rtan te y el m om ento em pleando las ecuaciones d e equilibrio.
V y M ' so n iguales a 9 y A, respectivam ente, p a ra la viga real. E n particu lar, si estos
v alores so n p ositivos, la p en d ien te tiene u n sentido antihorario y e l desp la za m ien to es
hacia arriba.

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