0.0 แผนการสอนคณิตฯ เพิ่มเติม ม.3_เทอม_2-2564_ครูจำเนียร_(ปรับปรุง 1-11-64)

หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 1 พาราโบลา พาราโบลาท่กี ำหนดดว้ ยสมการ เมื่อ

ลองทำดนู ะ จงเขียนกราฟและตอบคำถามต่อไปน้ี
จากสมการ y = x2 และ y = −x2

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = x2

y = −x2

1. จากกราฟ y = x2 มีลักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรือคว่ำ
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟ y = −x2 มลี กั ษณะเป็นพาราโบลาหงายหรือคว่ำ
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟ y = x2 ถ้า x = 4 ค่า y เป็นเทา่ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟ y = −x2 ถา้ x = −5 ค่า y เป็นเท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

5. จากกราฟ y = x2 มีจดุ ตำ่ สดุ หรอื จุดสงู สุด ท่ีจดุ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

6. จากกราฟ y = −x2 มจี ุดตำ่ สดุ หรือจุดสงู สดุ ทีจ่ ุดใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

7. จากกราฟท้ังสองมีเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

9

แบบฝกึ หดั ที่ 2 พาราโบลาท่ีกำหนดดว้ ยสมการ เมื่อ

1. จากสมการ y = 2x2 และ y = −2x2 จงเขยี นกราฟและตอบคำถาม

x -3 -2 -1 0 1 2 3

y = 2x2
y = −2x2

1.1 จากกราฟ y = 2x2 มลี ักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรือควำ่
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.2 จากกราฟ y = −2x2 มลี ักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรอื คว่ำ
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.3 จากกราฟ y = 2x2 ถ้า x = −5 คา่ y เป็นเท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.4 จากกราฟ y = −2x2 ถา้ x = 6 ค่า y เป็นเท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

10

แบบฝึกหัดท่ี 2 พาราโบลาทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

1.5 จากกราฟ y = 2x2 ถา้ y = 98 ค่า x เปน็ เท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.6 จากกราฟ y = −2x2 ถา้ y = −200 คา่ x เปน็ เท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.7 จากกราฟ y = 2x2 มีจดุ ตำ่ สดุ หรือจุดสงู สดุ ทีจ่ ุดใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.8 จากกราฟ y = −2x2 มจี ดุ ต่ำสดุ หรือจดุ สงู สดุ ที่จดุ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

1.9 จากกราฟท้ังสองมเี สน้ ตรงใดเปน็ แกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟจงตอบคำถามต่อไปน้ี

2.1 กราฟทั้งสามมเี ส้นตรงใดเปน็ แกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.2 จดุ สูงสุดของกราฟทง้ั สามคือจดุ ใด และคา่ สูงสุดของ y เป็นเทา่ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.3 กราฟทั้งสามจะบานมากหรอื นอ้ ยขน้ึ อยู่กบั ค่าใด อยา่ งไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

11

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 พาราโบลา พาราโบลาทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

3. พาราโบลาท่ีกำหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมื่อ a  0 2

ตวั อยา่ งท่ี 4 สมการ y = 2x2 , y = 2x2 + 2 และ y = 2x2 − 2

x -2 -1 0 1
y = 2x2
y = 2x2 + 2
y = 2x2 − 2

1. จากกราฟมีลกั ษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรือคว่ำ อยา่ งไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟท้งั สามเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟ y = 2x2 + 2 มจี ุดตำ่ สุดคือจุดใด และค่าตำ่ สดุ ของ y เปน็ เทา่ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟ y = 2x2 − 2 มีจดุ ต่ำสุดคือจุดใด และค่าต่ำสดุ ของ y เป็นเท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

12

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 1 พาราโบลา พาราโบลาทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

ตวั อย่างท่ี 5 สมการ y = −2x2 , y = −2x2 + 2 และ y = −2x2 − 2 1 2

x -2 -1 0

y = −2x2
y = −2x2 + 2
y = −2x2 − 2

1. จากกราฟมีลักษณะเป็นพาราโบลาหงายหรือควำ่ อย่างไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟท้ังสามมเี ส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟ y = −2x2 + 2 มีจดุ สงู สุดคือจุดใด และค่าสงู สุดของ y เปน็ เท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟ y = −2x2 − 2 มีจดุ สงู สดุ คอื จุดใด และค่าสูงสดุ ของ y เปน็ เทา่ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

13

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 1 พาราโบลา พาราโบลาท่ีกำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

ลองทำดูนะ นำสมการทกี่ ำหนดให้ เขยี นใต้ภาพให้ถกู ตอ้ ง

14

แบบฝกึ หัดที่ 3 พาราโบลาท่ีกำหนดดว้ ยสมการ เม่ือ

1. ให้นักเรียนนำสมการท่ีกำหนดให้ไปเขยี นใต้กราฟให้ถกู ตอ้ ง

สมการ y = 5x2 + 4 y = −1 x2 + 2 y = −3x2 − 2 y = 1 x2 −1
3 4

ตอบ…………………………………………………………………………… ตอบ…………………………………………………………………………….

ตอบ…………………………………………………………………………… ตอบ…………………………………………………………………………….
2. ให้นักเรยี นจบั คู่สมการกบั กราฟให้ถูกต้อง
2.1 y = −x2 +1 คู่กบั ……………………………
2.2 y = − 1 x2 +1 คูก่ บั ……………………………

4

2.3 y = 1 x2 − 5 คู่กับ ……………………………

3

2.4 y = 3x2 − 5 คู่กบั ……………………………

15

หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 พาราโบลา พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เมื่อ

4. พาราโบลาทก่ี ำหนดด้วยสมการ y = a(x − h)2 + k เม่ือ a  0

พจิ ารณาจากสมการ 1. y = 2(x + 3)2 แสดงว่า a = 2 , h = −3 , k = 0

2. y = − 1 (x + 5)2 แสดงว่า a = − 1 , h = −5 , k = 0

2 2

3. y = 3(x −1)2 แสดงวา่ a = 3 , h = −1 , k = 0

4. y = −(x + 3)2 − 5 แสดงว่า a = −1 , h = −3 , k = −5

5. y = 2(x − 7)2 + 2 แสดงวา่ a = 2 , h = 7 , k = 2

6. y = − 4 (x −1)2 + 2 แสดงว่า a = − 4 , h = 1 , k = 2
55 55

ตัวอย่างท่ี 6 จงเขียนกราฟของสมการ y = (x − 2)2 และตอบคำถามตอ่ ไปน้ี

x 012 3 4

y = (x − 2)2

1. จากสมการใหน้ ักเรียนหาค่า a, h, k
ตอบ………………………………………………………………………………………………………

2. จากกราฟมลี ักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรือคว่ำ อยา่ งไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………

3. จากกราฟมีเสน้ ตรงใดเปน็ แกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………

4. จากกราฟมจี ดุ ต่ำสุดคือจุดใด และค่าตำ่ สุดของ y เป็นเท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………

16

หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 1 พาราโบลา พาราโบลาทก่ี ำหนดด้วยสมการ เม่ือ

ตัวอยา่ งที่ 7 จงเขยี นกราฟของสมการ y = −2(x +1)2 และตอบคำถามต่อไปนี้ 0 1

x -3 -2 -1

y = −2(x +1)2

1. จากสมการให้นกั เรียนหาค่า a, h, k

ตอบ…………………………………………………………………………………………
2. จากกราฟมลี ักษณะเป็นพาราโบลาหงายหรอื ควำ่
อยา่ งไร

ตอบ…………………………………………………………………………………………
3. จากกราฟมเี ส้นตรงใดเปน็ แกนสมมาตร

ตอบ…………………………………………………………………………………………
4. จากกราฟมีจดุ สงู สดุ คือจดุ ใด และค่าสูงสุดของ y เป็น

เทา่ ใด
ตอบ…………………………………………………………………………………………

ตวั อย่างที่ 8 จงเขยี นกราฟของสมการ y = (x − 2)2 + 3 และตอบคำถามต่อไปน้ี 3 4

x 012

y = (x − 2)2 + 3

1. จากสมการใหน้ ักเรยี นหาคา่ a, h, k

ตอบ…………………………………………………………………………………………
2. จากกราฟมีลักษณะเป็นพาราโบลาหงายหรอื ควำ่
อยา่ งไร

ตอบ…………………………………………………………………………………………
3. จากกราฟมีเสน้ ตรงใดเป็นแกนสมมาตร

ตอบ…………………………………………………………………………………………
4. จากกราฟมีจุดต่ำสดุ คือจุดใด และค่าตำ่ สดุ ของ y เป็น

เทา่ ใด
ตอบ…………………………………………………………………………………………

17

แบบฝกึ หัดท่ี 4 พาราโบลาท่กี ำหนดด้วยสมการ เม่อื

1. ให้นกั เรยี นนำสมการท่ีกำหนดใหไ้ ปเขยี นในกราฟใหถ้ ูกตอ้ ง

สมการ y = −4(x + 2)2 y = (x +1)2 y = (x − 3)2 y = −3(x −1)2
y = −3(x +1)2 + 3
y = 1 (x + 2)2 + 2 y = −(x +1)2 − 3 y = 1 (x −1)2 − 2

5 3

18

แบบฝกึ หัดท่ี 4 พาราโบลาทีก่ ำหนดด้วยสมการ เม่อื

2. ให้นกั เรยี นจบั คสู่ มการกับกราฟใหถ้ ูกต้อง

2.1 y = −(x + 3)2 คูก่ บั …………………………… 2.2 y = (x + 5)2 คกู่ ับ ……………………………
2.3 y = −(x − 2)2 คูก่ บั …………………………… 2.4 y = (x −1)2 คกู่ ับ ……………………………

2.5 y = −(x − 6)2 −1 คูก่ บั …………………………… 2.6 y = (x + 4)2 −1 ค่กู บั ……………………………
2.7 y = −(x − 4)2 คกู่ ับ …………………………… 2.8 y = (x + 2)2 คกู่ บั ……………………………

19

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 1 พาราโบลา พาราโบลาท่กี ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

5. พาราโบลาท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 +bx + c เมอื่ a  0

ตวั อย่างท่ี 10 จงเขียนกราฟของสมการ y = 3x2 − 6x +1 และตอบคำถามตอ่ ไปน้ี
วิธีทำ
เขียนสมการให้อยู่ในรูป y = a(x − h)2 + k โดยทำบางส่วนให้เปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ได้ดังน้ี
y = 3x2 − 6x +1

y = 3 x2 − 2x + 1 

 3

3 x2 − 2(x)(1) + 12 1
( )y= − 12 + 3

y = 3(x −1)2 − 2
3 

y = 3(x −1)2 − 2

x -1 0 1 2 3
y = 3(x −1)2 − 2

1. จากสมการให้นักเรียนหาค่า a, h, k
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟมลี ักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรือควำ่ อย่างไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟมเี ส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟมีจดุ ต่ำสดุ คือจดุ ใด และคา่ ตำ่ สุดของ y เปน็ เทา่ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

20

หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 พาราโบลา พาราโบลาทกี่ ำหนดด้วยสมการ เมอ่ื

ตวั อยา่ งท่ี 11 จงเขยี นกราฟของสมการ y = −2x2 −12x −17 และตอบคำถามต่อไปน้ี
วธิ ีทำ เขยี นสมการให้อยใู่ นรปู y = a(x − h)2 + k โดยทำบางส่วนให้เปน็ กำลังสองสมบรู ณไ์ ด้ดังน้ี

y = − 2x2 −12x −17
y = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
y = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
y = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
y = ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

x -1 -2 -3 -4 -5
− 2(x + 3)2 +1

1. จากสมการให้นักเรยี นหาคา่ a, h, k
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟมลี กั ษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรอื คว่ำ อยา่ งไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟมีเสน้ ตรงใดเป็นแกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟมีจดุ สูงสดุ คือจุดใด และคา่ สงู สดุ ของ y เปน็ เท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

21

หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี 1 พาราโบลา พาราโบลาทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

ตวั อยา่ งที่ 12 จงเขยี นกราฟของสมการ y = x2 + 6x + 8 และตอบคำถามตอ่ ไปน้ี
วิธีทำ เขียนสมการให้อยู่ในรปู y = a(x − h)2 + k โดยทำบางสว่ นให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ดังน้ี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………

x -1 -2 -3 -4 -5 -6

1. จากสมการให้นักเรียนหาค่า a, h, k
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟมีลักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรอื คว่ำ อยา่ งไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟมเี ส้นตรงใดเปน็ แกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟมีจดุ สงู สดุ หรือจุดตำ่ สูดคือจดุ ใด และค่าสูงสดุ หรอื ค่าตำ่ สดุ ของ y เป็นเท่าใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

22

หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 1 พาราโบลา พาราโบลาทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

ตวั อยา่ งที่ 13 จงเขยี นกราฟของสมการ y = −x2 − 4x − 2 และตอบคำถามต่อไปน้ี
วธิ ีทำ เขียนสมการให้อยู่ในรปู y = a(x − h)2 + k โดยทำบางส่วนให้เปน็ กำลังสองสมบรู ณไ์ ด้ดังน้ี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………

x

1. จากสมการให้นกั เรยี นหาคา่ a, h, k
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2. จากกราฟมลี ักษณะเปน็ พาราโบลาหงายหรอื คว่ำ อย่างไร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3. จากกราฟมีเสน้ ตรงใดเปน็ แกนสมมาตร
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4. จากกราฟมีจุดสูงสุดหรอื จุดต่ำสดู คอื จุดใด และคา่ สูงสดุ หรือค่าต่ำสดุ ของ y เปน็ เทา่ ใด
ตอบ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

23

แบบฝึกหัดที่ 5 พาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการ เม่อื

1. จงเขียนกราฟของสมการตอ่ ไปน้ี

24

แบบฝกึ หดั ที่ 5 พาราโบลาท่กี ำหนดดว้ ยสมการ เม่อื

25

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 พาราโบลา การแกโ้ จทยป์ ัญหาโดยใช้ความรเู้ กย่ี วกับพาราโบลา

6. การแกโ้ จทยป์ ัญหาโดยใชค้ วามร้เู กย่ี วกบั พาราโบลา

ตวั อยา่ งท่ี 14 ลงุ ป่านมีทดี่ นิ ติดริมคลองชลประทาน และต้องการใชล้ วดหนาดยาว 40 เมตร กนั้ รอบพืน้ ทร่ี ูปสี่เหลยี่ ม
วิธที ำ มุมฉากสามดา้ น โดยด้านที่ติดริมคลองชลประทานไม่ต้องกั้นรวั้ ลุงป่านจะตอ้ งกนั้ อย่างไรจงึ จะได้พื้นท่ี
มากท่ีสุด
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

26

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 พาราโบลา การแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใชค้ วามรเู้ กย่ี วกับพาราโบลา

ตัวอย่างท่ี 15 ในการเกดิ ปฏกิ ริ ิยาทางเคมีของสารชนิดหน่ึงครั้งหน่งึ สามารถหาอุณหภูมิได้จากสมการ
C =10 + 4t − 0.2t2 เมอ่ื C เปน็ อณุ หภมู ทิ มี่ หี นว่ ยเป็นองศาเซลเซียส และ t เปน็ เวลาท่ีมีหน่วยเปน็ วนิ าที
อยากทราบวา่ เวลาใดที่อุณหภมู จิ ะขน้ึ สูงสดุ และอุณหภมู สิ ูงสดุ เป็นเท่าใด

วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

27

แบบฝึกหดั ท่ี 6 การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใชค้ วามรเู้ กีย่ วกบั พาราโบลา

คำชแ้ี จง จงแก้โจทยป์ ัญหาตอ่ ไปนี้
1. ในการทดลองปลกู พชื ชนดิ หนึ่ง เม่ือใส่ปุ๋ยมากข้ึนผลผลิตจะมากขน้ึ ดว้ ย และการใส่ปุ๋ยก็ไม่ควรใส่มากจนเกินไป
เพราะจะทำให้พชื นั้นตายได้ ถา้ ให้ x เป็นจำนวนปุ๋ยทใ่ี ช้หน่วยเป็นกิโลกรัมต่อไร่ และ y เปน็ ปรมิ าณของผลผลติ ที่ได้หนว่ ย
เปน็ ถงั ต่อไร่ ถ้า y = 20 + 24x − x2 จะต้องใช้ปยุ๋ ปริมาณเท่าใดจึงจะได้ผลผลิตมากทสี่ ุด และผลผลิตทไ่ี ดเ้ ปน็ เทา่ ใด

วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

28

ภาคผนวก ข

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ระบบสมการ
รายวชิ า ค23202 เสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ 6

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 2 ระบบสมการ

รายวิชา ค23202 เสรมิ ทักษะคณิตศาสตร์ 6
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3

ภาคเรียนท่ี 2 ปีการศึกษา 2564

สอนโดย

ชอ่ื ครผู ูส้ อน : …………………………….…………………………………

โรงเรียนบางบวั ทอง

สำนักงานเขตพ้นื ทีก่ ารศกึ ษามัธยมศกึ ษา เขต 3
สำนกั งานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พ้ืนฐาน

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ระบบสมการ ระบบสมการ
ระบบสมการ

1

หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบดว้ ยสมการเชงิ เสน้ และสมการดกี รีสอง

การแก้ระบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการเชิงเสน้ และสมการดกี รสี อง

การแก้ระบบสมการ คือ การหาคําตอบของระบบสมกาตัวอย่างของระบบสมการทีป่ ระกอบด้วย สมการเชิงเส้นและสมการ
ดกี รสี อง

เราอาจหาคาํ ตอบของระบบสมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน ซ่งึ ได้แก่ สมบตั สิ มมาตร สมบตั ิ ถ่ายทอด สมบัตกิ ารบวก
และสมบตั กิ ารคณู

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแก้ระบบสมการ x+ y=2
วิธีทำ y − x2 = 0

กราฟของระบบสมการ Ex1
2

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดกี รสี อง

ตัวอย่างที่ 2 จงแก้ระบบสมการ x2 − y = 4
วิธที ำ x + y = −2

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงแกร้ ะบบสมการ x2 + y = 10
วธิ ีทำ x + y = 10

3

หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 2 ระบบสมการ การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

ลองทำดูนะ 1. จงแก้ระบบสมการ x+2y =1
วธิ ที ำ x + y2 = 0

2. จงแกร้ ะบบสมการ x2 - y = 0
2x - y = -3

วธิ ีทำ

4

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดกี รสี อง

ตวั อยา่ งที่ 4 จงแกร้ ะบบสมการ y = x2 + 2
วิธที ำ 12x − 4 y = 1

ตวั อย่างที่ 5 จงแกร้ ะบบสมการ x2 + 3y =1
วิธที ำ 4x +5y = 8

5

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 ระบบสมการ การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

ลองทำดนู ะ 3. จงแก้ระบบสมการ y = (x −1)2
วิธีทำ y = 2x +13

4. จงแก้ระบบสมการ y = x2 + 2x +1
วธิ ีทำ x+ y =1

6

แบบฝกึ หัดที่ 1 การแก้ระบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดกี รสี อง

คำชี้แจง จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี

1. จงแก้ระบบสมการ x + 2y = −1 และ x − y2 = 0
วธิ ีทำ

2. จงแก้ระบบสมการ y = x2 + 2x + 5
วิธีทำ y−x=3

7

หนว่ ยการเรียนรู้ที่ / ระบบสมการ การแก้ระบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดกี รสี อง

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงแก้ระบบสมการ xy +15 = 0
วิธที ำ y+x=2

ตวั อยา่ งที่ 7 จงแกร้ ะบบสมการ 2x - y = 9
วธิ ที ำ xy = -4

8

หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

ตัวอย่างที่ 8 จงแก้ระบบสมการ x+y = 1
วิธที ำ x2 + y2 = 25

ตัวอย่างที่ 9 จงแกร้ ะบบสมการ 2x2 − 2xy + y2 = 10
วธิ ีทำ 2x − y + 2 = 0

9

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

ลองทำดูนะ 5. จงแก้ระบบสมการ x + y = 8
วธิ ที ำ
x2 + y2 = 64

6. จงแก้ระบบสมการ x−2y =8
วิธที ำ xy = 24

10

แบบฝกึ หดั ท่ี 2 การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

คำชี้แจง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้

1. จงแก้ระบบสมการ x + y = 1 และ xy = −12
วธิ ที ำ

2. จงแกร้ ะบบสมการ y − x = 2 และ x2 + y2 =10
วิธที ำ

11

แบบฝึกหัดท่ี 3 การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

คำชี้แจง จงแก้ระบบสมการตอ่ ไปนี้

1. จงแกร้ ะบบสมการ y = − x2 + 7x − 6 และ x − y = 6
วิธที ำ

2. จงแก้ระบบสมการ x2 − 2x +1 = 2y และ x + y = 1
วิธที ำ

12

แบบฝกึ หัดท่ี 3 การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบดว้ ยสมการเชงิ เส้นและสมการดีกรสี อง

3. จงแกร้ ะบบสมการ x + y = 5 และ x2 + y2 =13
วิธีทำ

4. จงแกร้ ะบบสมการ x2 − xy − y2 = 1 และ x + y = 1
วิธีทำ

13

หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 2 ระบบสมการ การแก้ระบบสมการท่ีประกอบด้วยสมการดกี รสี องท้ังสองสมการ

การแกร้ ะบบสมการท่ีประกอบด้วยสมการดกี รสี องทัง้ สองสมการ
ในหัวขอนี้จะกล่าวถึงระบบสมการดีกรีสองทั้งสองสมการและทั้งสองสมการจะมีตัวแปรแต่ละพจน์ ปรากฏอยู่

เพยี ง 2 แบบ จาก 5 แบบ ต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 10 จงแกร้ ะบบสมการ x2 + y2 = 13
วิธที ำ x2 − y2 = −5

14

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 2 ระบบสมการ การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

ตวั อย่างท่ี 11 จงแกร้ ะบบสมการ 4x2 + y2 = 16
วิธีทำ x2 + y2 = 4

ตัวอยา่ งที่ 12 จงแกร้ ะบบสมการ 3x2 − y2 = −1
วธิ ที ำ x2 + 4y2 = 17

15

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 ระบบสมการ การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

ลองทำดูนะ 7. จงแกร้ ะบบสมการ x2 + y2 =10
วิธที ำ
9x2 + y2 = 18

8. จงแกร้ ะบบสมการ 2x2 + 3y2 = 30
วิธที ำ x2 + y2 = 13

16

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2/ ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

ตวั อยา่ งที่ 13 จงแก้ระบบสมการ 2x2 −3y2 = 6
วธิ ที ำ 3x2 − 2 y2 = 19

ตัวอยา่ งท่ี 14 จงแกร้ ะบบสมการ 2x2 + 4y2 = 10
วธิ ที ำ x2 + 2y2 = 5

17

หน่วยการเรยี นรูท้ ี่ 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

ลองทำดนู ะ 9. จงแก้ระบบสมการ 2x2 − y2 = 0
วิธที ำ
3x2 + 4y2 = 0

10. จงแก้ระบบสมการ 2x2 + 2y2 = 20

3x2 + 3y2 = 30

วิธที ำ

18

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 15 จงแก้ระบบสมการ 2x −3y2 =1
วธิ ีทำ 3x + 2y2 = 8

ตวั อย่างที่ 16 จงแกร้ ะบบสมการ x2 + xy = −3
วิธีทำ x2 − 5xy = 10

19

หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ระบบสมการ การแกร้ ะบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการดีกรสี องท้งั สองสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 17 จงแก้ระบบสมการ y(2x − 3) = 3

2 y − xy +1 = 0

วิธีทำ

ลองทำดูนะ 11. จงแกร้ ะบบสมการ 5x2 − xy = 3
วธิ ีทำ
3x2 + 4xy =11

20

แบบฝกึ หดั ท่ี 4 การแกร้ ะบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

คำชี้แจง จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนี้

1. จงแก้ระบบสมการ x2 + y2 = 4 และ 4x2 + 9y2 = 36
วธิ ีทำ

2. จงแกร้ ะบบสมการ x2 + y2 =10 และ 9x2 + y2 =18
วิธที ำ

21

แบบฝึกหดั ท่ี 4 การแก้ระบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รสี องทั้งสองสมการ

3. จงแก้ระบบสมการ 3(xy − x) =1 และ 3x( y + 2) = 7
วิธีทำ

4. จงแก้ระบบสมการ x2 − y = 0 และ x2 + 3y = −1
วธิ ที ำ

22

หนว่ ยการเรยี นรู้ที่ 2 ระบบสมการ โจทย์ปญั หาของระบบสมการ

โจทยป์ ญั หาระบบสมการทป่ี ระกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรสี อง

ตัวอยา่ งที่ 18 ผลบวกของสองจาํ นวนเท่ากบั -4 ผลบวกของกําลงั สองของแต่ละจํานวนเท่ากับ 40 จงหาจาํ นวนท้ังสอง
วธิ ีทำ

23

หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 2 ระบบสมการ โจทย์ปญั หาระบบสมการท่ีประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรสี อง

ตวั อยา่ งท่ี 19 ท่ดี นิ แปลงหน่ึงมีลกั ษณะเปน็ รปู สีเ่ หล่ยี มผืนผา้ มีความยาวรอบรปู 72 เมตร มีพืน้ ท่ี 320 ตารางเมตร จงหา
ขนาดของท่ีดินแปลงน้ี

วธิ ที ำ

ตวั อยา่ งท่ี 20 จงหาจดุ ตัดของพาราโบลา y = x2 − 6x + 9 กับกราฟเสน้ ตรง y = x + 3 พร้อมท้ังเขียนกราฟแสดงจดุ ตดั
วธิ ีทำ

24

หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 2 ระบบสมการ โจทยป์ ญั หาระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรสี อง

ลองทำดนู ะ 12. พ้นื ทีร่ ปู สีเ่ หล่ยี มผนื ผ้ารูปหน่ึงเท่ากับ 400 ตารางเซนติเมตร และความยาวรอบรปู
วิธที ำ เทา่ กบั 82 เซนตเิ มตร จงหาขนาดของรปู สีเ่ หลยี่ มผืนผา้ รูปนี้

25

หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2 ระบบสมการ โจทย์ปญั หาของระบบสมการ

โจทยป์ ญั หาของระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสองท้งั สองสมการ

ตวั อยา่ งท่ี 21 จำนวนสองจำนวนมีผลตา่ งกำลังสองเปน็ 3 และผลบวกของสามเทา่ ของกำลังสองของจำนวนมากกับส่เี ทา่
ของกำลังสองของจำนวนน้อยเปน็ เปน็ 16 จงหาจำนวนท้งั สอง

วิธีทำ

26

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ระบบสมการ โจทย์ปญั หาของระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดกี รีสองท้งั สอง
สมการ

ตวั อยา่ งท่ี 22 รปู สี่เหลยี่ มผืนผ้ารูปหน่ึงมีเสน้ ทแยงมุมยาว 5 เซนติเมตร และพ้ืนท่ีรปู สามเหลยี่ มอกี รูปหนึ่งซง่ึ มีความยาว
ของฐานและส่วนสูงเท่ากับดา้ นยาวและด้านกว้างของรปู สเี่ หลี่ยมผนื ผ้าดงั กลา่ วเทา่ กบั 6 ตารางเซนตเิ มตร
จงหาผลต่างระหว่างดา้ นยาวและด้านกวา้ งของรูปส่ีเหลย่ี มผนื ผ้ารูปนี้

วธิ ที ำ

27

หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ระบบสมการ โจทยป์ ญั หาของระบบสมการท่ปี ระกอบด้วยสมการดกี รีสองท้งั สอง

ลองทำดูนะ 13. กําลงั สองของอายุอ้อมากกว่าผลคูณของอายุเอกและอออ้ อยู่ 44 ปี สามเท่าของผลคูณของอายเุ อก
วธิ ที ำ และอ้อมากกว่ากาํ ลงั สองของอายุอ้ออยู่ 110 ปี เอกและออ้ อายุเทา่ ไร

28