Geometría_2°

UNIDAD III Los rieles siempre paralelosCapítulo 1Ángulos determinados entre dos rectasparalelas y una secante .................................. 59Capítulo 2Operaciones entre ángulos determinadospor rectas paralelas ....................................... 67Capítulo 3Aplicaciones de ángulos entrerectas paralelas ............................................... 74Capítulo 4Recordando lo aprendido................................ 82Capítulo 5Triángulos ................................................. 88 UNIDAD II Todo sobre ángulosCapítulo 1Identificando y midiendo ángulos .................. 27Capítulo 2Operaciones con ángulos ............................... 34Capítulo 3Solo con enunciados ...................................... 43Capítulo 4Complemento y suplemento de un ángulo .... 48Capítulo 5Repaso bimestral ........................................... 54 UNIDAD II Conociendo a la geometríaCapítulo 1Introducción ................................................. 5Capítulo 2Segmento de recta ........................................ 12Capítulo 3Punto medio y el segmento de recta ............. 18Capítulo 4Recordando lo aprendido ............................... 23 UNIDAD IV El triángulo de las bermudas, ¿verdad o fantasía?Capítulo 1Líneas notables en el triángulo I ................... 97Capítulo 2Lineas notables en el triángulo II .................. 105Capítulo 3Repaso bimestral ........................................... 113Índice

TRILCEGeometría UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTACapítulo 1Estudiando las figuras de más de tres lados ................................................. 120Capítulo 2¿Cuál será la suma de ángulos internos ......... 129Capítulo 3Estudiando las figuras de cuatro lasdos......... 136Capítulo 4Conociendo los paralelogramos .................... 144Capítulo 5Operaciones en el cuadrilátero ...................... 152UNIDAD VII Región y área, ¿lo mismo?Capítulo 1Perímetro es lo mismo que área .................... 182Capítulo 2Conociendo las regiones poligonales ............. 190Capítulo 3Calculando el área de regiones triángulares .. 199Capítulo 4Calculando el área de diversas regiones ........ 208UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Capítulo 1Reconociendo los elementos ......................... 215Capítulo 2¿Area es lo mismo que volumen? .................. 223Capítulo 3Recordando lo estudiado ............................... 231 UNIDAD VI calculando la suma de los ladosCapítulo 1¿Qué es perímetro? ........................................ 159Capítulo 2Calculando el perímetro de diversas figuras .. 167Capítulo 3Repaso general .............................................. 175

AprendiZajes esperadosUNIDAD1La base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y crear la forma de \"medir la tierra\" aplicando conocimientos matemáticosEuclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra \"Elementos\" (que consta de 13 libros) ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.¿Cuál es la etimología de Geometría?¿Qué estudia la Geometría?¿Qué es postulado?Conociendo a la geometríaUNIDAD 1• Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos.• Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte.• Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables.• Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás.• Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe

A diario vemos objetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términosgeométricos. • ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado?• ¿Es igual círculo que circunferencia?IntroducciónEn este capítulo aprenderemos:• A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano.• A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales.• A identificar y graficar rectas paralelas y secantes.• A identificar y graficar planos paralelos y secantes.• A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas.51Central: 619-8100 Unidad I CAPITULO

6TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIntroducciónConceptos básicosFigura geométricaSon las ideas obtenidas a partir de la forma de un objetoObjeto Figura geométricaesferacubocilindroElementos geométricosSon las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes:El punto Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc.,nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra mayúscula.A Punto \"A\" M Punto \"M\"La rectaLos puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta. Recta llRecta aaEl planoEs la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula.Plano RR

7 TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I1División de la GeometríaPara el mejor estudio de la geometría elemental se divide en:Geometría planaEstudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano.Circunferencia PentágonoCentro RadiorTriánguloVérticesCuadriláteroLadosGeometría del espacioEstudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más planos.Cono Prisma TetraedroRayoEs la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido.O ARayo OA: OABPRayo PB: PBa es paralela a b (a // b)abm y n son secantes\"P\" es el punto de intersecciónmnPRectas secantesDos rectas son secantes si tienen un punto en común.Rectas paralelasDos rectas paralelas son aquellas que no tienen punto de corte.Ten en cuenta

8TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIntroducciónNúmero de puntos de corte• Entre dos rectas paralelas y una secante.\"P\" y \"Q\" son planos paralelos (P//Q)Planos paralelosSon aquellos que no tienen ni un punto en común.Planos secantesSon aquellas que tienen una recta en común.l\"R\" y \"Q\" son planos secantesl es la intersección entre \"R\" y \"Q\"Dos puntos de corte • Entre tres rectas secantes. Un punto de cortecomo mínimoTres puntos de corte como máximo

9 TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I1Conceptos básicos Aplica lo comprendido10 x 5501. Graficar un rayo OA en posición horizontal.2. Graficar un rayo PB en posición vertical.3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos opuestos. ¿Qué se forma?4. Graficar tres rectas paralelas y una secante. ¿Cuántos puntos de corte se obtienen?5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximonúmero de puntos de corte.6. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cinco rectas paralelas y dos rectas secantes.7. Calcular el máximo número de puntos de corteentre un triángulo y tres rectas secantes.8. Calcular el máximo número de puntos de corteentre un cuadrilátero y tres rectas secantes.9. Calcular el máximo número de puntos de corteentre un pentágono y dos rectas secantes.10. Calcular el número de puntos de corte entreuna circunferencia y seis rectas paralelas. • Entre una circunferencia y una recta secante. • Entre un triángulo y una recta secante. Dos puntos de corte. Dos puntos de corte • Entre una circunferencia y dos rectas secantes.Tres puntos de corte como mínimo.Cinco puntos de corte como máximo.Comunicación matemática1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\") • Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro ........................................................ ( ) • La Geometría se divide en plana y del espacio. ................................................................... ( )2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\") • Las rectas paralelas tienen un punto de intersección............................................................ ( ) • Las rectas secantes no tienen ningún punto en común......................................................... ( )Conceptos básicos Aprende más...

10TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIntroducciónResolución de problemas6. Calcular el máximo número de puntos de corteentre cinco rectas secantes.7. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas secantes.8. Calcular el máximo número de puntos de corteentre seis rectas paralelas y dos rectas secantes.9. Calcular el máximo número de puntos de corteentre una circunferencia y cuatro rectas secantes.10. Calcular el máximo número de puntos de corteentre una circunferencia y cinco rectas secantes.Aplicación cotidiana• Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneaspara trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados.ArequipaPiuraLimaIcaAyacucho11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho?12. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica?13. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa?14. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho?15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos?3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta.• El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo ..................................rectas - punto - planos - dos - una - sentido - número4. Graficar un plano \"H\" y a una circunferencia contenida en \"H\".5. Graficar un plano \"M\" y a dos rectas a y b secantes en \"P\".

11 TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad I1¡Tú puedes!Conceptos básicos1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes.2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes.3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes.4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas.5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas.1. Hallar el máximo número de puntos de corteentre tres rectas secantes y una circunferencia.2. Calcular el máximo número de puntos de corteentre ocho rectas paralelas y una circunferencia.3. Calcular el máximo número de puntos de corteentre un triángulo y tres rectas paralelas.4. Hallar el máximo número de puntos de corteentre un triángulo y una circunferencia.5. Hallar el máximo número de puntos de corteentre dos rectas secantes y un triángulo.6. Calcular el máximo número de puntos de corteentre dos rectas secantes y un cuadrilátero.7. Calcular el máximo número de puntos decorte entre cuatro rectas secantes y dos rectas paralelas.8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?9. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?10. Hallar el máximo número de puntos de corteentre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.11. Hallar el máximo número de puntos de corteentre cinco rectas paralelas y una circunferencia.12. Hallar el máximo número de puntos de corteentre seis rectas paralelas y un triángulo.13. Hallar el máximo número de puntos de corteentre tres rectas secantes y un triángulo.14. Hallar el máximo número de puntos de corteentre un cuadrilátero y una circunferencia.15. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?Practica en casa18:10:45Conceptos básicos Practica en casa18:10:45

12TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100Saberes previosSegmentos de rectaEn este capítulo aprenderemos:• A identificar al segmento de recta y a su medida.• A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos.• A sumar y restar longitudes de segmentos consecutivos.Podemos mencionar otros tipos de líneas: línea curva y línea quebrada. En nuestro lenguaje común, el término \"segmento\"significa parte o porción de algo con lo cual lo podemos conjugar a términos anteriores.• ¿Qué líneas observas? • Unidades de longitud - Centímetros, metros, kilómetros.- Pulgadas, pies, yardas, millas. • Unidad de peso: ....................... Unidad de temperatura: ......................... • Ecuaciones de primer grado:2x + 10 = 18 ⇒ x =3x + x + 5 = 25 ⇒ x =CAPITULO 2En el capítulo anterior, mencionamos a la \"línea recta\", pero no es el único tipo de línea, en lanaturaleza encontramos diversidad de formas así como en nuestro mismo cuerpo.

13GeometríaTRILCE Unidad IColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100ObservaciónDefinición de segmento de rectaEs la parte de una línea recta que tiene por extremos a dos puntos. Su medida esta representada por ladistancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros, metros,pulgadas, pies, etc.).RS 8 cm• Segmento RS: RS o SR• Medida de RS : mRS = 8 cmL RS = 8 cm• Cuando no se conoce la medida de unsegmento de recta, se usan variables como en el Álgebra.• También se usan unidades arbitrariasde longitud, es decir, si no son centímetros, pulgadas, etc. se emplea la letra \"∝\" de unidades. PQ = 12 cm12 cmP Q\"x\" µM NPuntos colinealesSon puntos que pertenecen a una línea recta.\"A\", \"B\" y \"C\" son puntos colineales por que pertenecen a L y se pueden contar tres segmentos de recta.A B CLSegmentos consecutivos Son segmentos que tienen un extremo común y son de dos tipos:A CBCABDSegmentosno colinealesA B CA B C DSegmentoscolinealesConceptos básicos

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810014Segmento de rectaSuma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales.EH = 8 + 14 = 22 cm8 cmE F H14 cmAD = 6 + 10 + 14 = 30 cm6 cm 10 cmA B C D14 cmPQ = 36 - 12 = 24 cmP Q R12 cm36 cmLE = 23 - (13 + 7)LE = 3 cm13 cmA L E J7 cm23 cmMP = a + bAN = x - yAxNyQMa bN P1 + 2 + 3 = 6 segmentosA B C D1 + 2 = 3 segmentosP Q R1 + 2 + 3 + 4 = 10 segmentosM N E F QLLLNúmero máximo de segmentos de rectaSuma y resta con variablesTen en cuenta

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 152Unidad IAplica lo comprendidoConceptos básicos10 x 5501. Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular \"AB\".A B C2. Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular \"EF\".E F H3. Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular\"MF\".M N E F4. Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm,calcular \"PS\".P Q R S5. Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm,calcular \"AD\".A B C D6. Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular \"FH\".E F H N7. Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular\"QT\".P Q T U8. Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm,calcular \"JK\".E J K L9. Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u,calcular \"BC\".A B C D10. Si: PT = 56 cm, calcular \"x\".P Q2x 5xTComunicación matemática1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\") • El segmento de recta está formado por dos puntos................................................................. ( ) • El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos......................................... ( )2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro: • La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ derecta que los une. • Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a unamisma recta.plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes.Conceptos básicos Aprende más...

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810016Segmento de rectaResolución de problemas6. En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm yBC= 6 cm. Calcular \"AD\".A B C D7. Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular\"PS\".P Q R S8. Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular\"EF\".A E F N9. Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u,calcular \"x\".P Q E F10. Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u,calcular \"x\".A B C11. Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u,calcular \"x\".A B C D12. Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u,calcular \"k\".P Q R TAplicación cotidiana• Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto \"A\", en una carretera recta, siendo sudestino el punto \"B\". Pero tienen que hacer escala en los puntos \"E\" y \"F\". La distancia entre \"A\" y \"F\" es de 34 km, la distancia entre \"E\" y \"B\" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto de destino es 63 km.A E F B13. Calcular la distancia entre \"A\" y \"E\".14. Calcular la distancia entre \"E\" y \"F\".15. Calcular la distancia entre \"F\" y \"B\".3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase:E P Q EQ = .......... + .........P M N PM = ......... – .........4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luegomide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros)5. Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cmy QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR.

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 172Unidad IConceptos básicos Practica en casa18:10:451. Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular \"AB\"A B C2. Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular \"QR\".P Q R3. Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular \"BC\".A B C D4. Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular \"PQ\".P Q R5. Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular \"AB\".A B C D135 cm1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos \"A\", \"B\" y \"C\". ¿Cuántos segmentos como máximo se determinan?2. Si: AB = 72u, calcular \"x\".A Ex 8xB3. Si: AC = 120 cm, calcular \"x\".A B3x 7xC4. Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular \"MN\"M N Q5. Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular \"EH\".E M F H6. Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular \"PT\".P Q R T7. Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u, calcular \"MN\".E M N H8. Si: AE = 96 cm, calcular \"x\".A B C D2x x 4x 5xE9. Si: AP = 60u, calcular \"AB\".A B2x 8xP10. Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular\"FT\".E F T Q11. Si: PR = 21u, calcular \"RT\".P Q R4a 3a 10aT12. En el problema anterior, calcular \"PT\"13. Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular \"x\".A L E28 cmJ14. Si: MT = 98u, calcular \"x\".M N Q5x 26u 7xT15. ¿Cuántos segmentos se cuentan como máximoen la siguiente figura?A B C D E¡Tú puedes!Conceptos básicos

18TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100Punto medio del segmentode rectaEn este capítulo aprenderemos:• A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas.• A usar variables para representar segmentos congruentes.• A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta. CAPITULO 3En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son: • 1 metro = 100 centímetros • 1 kilómetro = 1000 metrosEn las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros. Por ejemplo, en Norte América se usan: pulgadas; pies; yardas y millas.1 pie = 12 pulgadas 1 yarda = 3 pies 1 milla = 1760 yardas Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla esaproximadamente 1,6 kilómetros

19GeometríaTRILCE Unidad IColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100Saberes previosConceptos básicos•rBOAO:r:mAO = mOBCircunferencia • Trazar con el compás una circunferencia de 2,5 cm de radio.• AC = ......... + .........CD = ......... – .........AD =......... + ......... A B C Da ybDefinición del punto medio de un segmento de rectaEs el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide alsegmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales)Q Ma aRA P 19 cm38 cm19 cm B• \"P\" es punto medio de AB• AP es congruente con PB (AP ≅ PB)• mAP = mPB• Si no se conoce la medida se usan variablesiguales: QM = MR = a• \"M\" es punto medio de QRUbicación del punto medio del segmento usando el compásDado el segmento RG y tomando como centro a cada extremo se trazan circunferencias con el mismoradio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas (\"E\" y \"F\") y el punto de corte entre RG y EFes el buscado punto medio \"M\" de RG.FGR ME

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810020Punto medio y el segmento de rectaConceptos básicos Aprende más...Conceptos básicos Aplica lo comprendido10 x 5501. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros)2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm y ubica a su punto medio, usando el compás. (Usar regla calibrada en centímetros)3. Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y \"M\" es puntomedio de BC, calcular \"AM\".A B M C4. Si: PQ = 48u; QR = 14u y \"N\" es punto mediode PR, calcular \"NQ\".P N Q R5. Si: EF = 23u; NG = 25u y \"F\" es punto mediode EN, calcular \"EG\".E F N G6. Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar \"MN\", si \"M\"y \"N\" son puntos medios de AB y BC.A M B N C7. Si: AM = 79u; MF = 31u y \"E\" y \"N\" son puntosmedios de AM y MF respectivamente, calcular \"EN\".A E M N F8. Si: RB = 70u; \"A\" es punto medio de RM y \"C\" es punto medio de MB, calcular \"AC\".R Aa a b bM C B9. Si: PR = 55u, calcular \"MN\"; siendo \"M\" y \"N\"puntos medios de PQ y QR.N Rx x y yP M Q10. Si: EF = 118 cm, calcular \"AB\", siendo \"A\" y\"B\" puntos medios de EK y KF respectivamente.E A K B FComunicación matemática1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\") • Cada segmento de recta tiene solo un punto medio................................................................( ) • El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento .........( )2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.• Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos ..........................• El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentoscongruentes.iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos - divide - determina3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 213Unidad IResolución de problemas6. Si: AB = 31u; BC = 75u y \"M\" es punto mediode AC, calcular \"BM\".A B M C7. Si: EQ = 86u; FQ = 32u y \"N\" es punto mediode EF, calcular \"NQ\".E N F Q8. Si: MQ = 33u; MN = 97u y \"P\" es punto mediode QN, calcular \"MP\".M Q P N9. Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular\"MN\", siendo \"M\" y \"N\" puntos medios de ABy CD respectivamente.A M B C N D10. Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y \"A\" y \"B\"son puntos medios de PQ y RS, calcular \"AB\".P A Q R B S11. Si: AB = 26u; BC = 58u; \"M\" y \"N\" son puntosmedios de AB y BC y además \"P\" es punto medio de MN, calcular \"BP\".A M B P N C12. Si: PQ = 72u; QR = 28u y \"E\", \"F\" y \"M\" sonpuntos medios de PQ, QR y EF respectivamente, calcular \"MQ\".P E M Q F R4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usarregla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa?5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros)Aplicación cotidiana• Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer pisotiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura.13. ¿Qué altura tiene el edificio?14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso?15. ¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?

TRILCEColegiosTRILCE www.trilce.edu.pe Central: 619-8100Colegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810022Punto medio y el segmento de recta¡Tú puedes! Conceptos básicosConceptos básicos Practica en casa18:10:451. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\". Si: AB = CD y AD + BC = 16,calcular \"BD\".2. En una recta se ubican los puntos consecutivos \"A\", \"B\" y \"C\". Si: AB + AC = 28, calcular\"AM\", siendo \"M\" punto medio de BC.3. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\". Calcular \"AD\", si: AC = 12µy AD + CD = 28µ.4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\". Si: AC + BD = 64µ, calcular \"PQ\", siendo \"P\" y \"Q\" puntos medios de AB y CD respectivamente. 5. En una recta se ubican los puntos consecutivos \"P\", \"Q\", \"R\" y \"S\". Si \"M\" es punto medio dePS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m,calcular \"RS\".1. Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm,hallar \"BC\".A B C D2. Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y \"C\" es puntomedio de BD, hallar \"AC\".A B C D3. Si: PM = 58; TM = 34 y \"Q\" es punto medio dePT, hallar \"QM\".P Q T M4. Si: AC = 24; CB = 50 y \"M\" es punto medio deAB, hallar \"CM\".A C M B5. Si: AB = 18; BC = 32, \"M\" y \"N\" son puntosmedios de AB y AC , hallar \"MN\".A M B N C6. ¿Cuántos segmentos hay?P E F T Q7. Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y \"M\" y \"N\"son puntos medios de AB y CD, hallar \"MN\".A M B C N D8. Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y \"M\" es puntomedio de EF, hallar \"MH - AM\".A E M F H9. Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar \"FM\".P E F M T10. Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar \"PQ\", siendo\"P\" y \"Q\" puntos medios de AB y BC.A P B Q C11. Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm,hallar \"AQ\".A T R Q12. Si: EN = 48; EM = 26 y \"N\" es punto medio deMF, hallar \"EF\".E M N F13. Si \"E\" es punto medio de AF y AG = 60u,calcular \"x\".A E F Gx 3x14. Si \"R\" es punto medio de PT y PT = 70u,calcular \"PQ\".P Q R T2x 3x15. Si \"C\" es punto medio de AD y AD = 160 cm,calcular \"x\".A B C D5x 3x

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 234TRILCE Unidad IColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100Comunicación matemática• Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\")1. Por un punto pasan infinitas rectas. ............................................................................ ( )2. Por dos puntos solamente pasa una recta.................................................................... ( )3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta. .................. ( ) 4. Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces esnecesariamente el punto medio.................................................................................. ( )5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales............................ ( )• Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado:6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ...................................7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y ........................ igual distancia a los ................................. del segmento.8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una misma recta y tienen un ................................... en común.extremos - medio - plano - congruentesconsecutivos - geométricos - calculanpunto - pertenecen - tiene - recta - medida• Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico:9.BC < ...............A CB3 cm1 cm10.AC = ...............B C3 cm 1 cmAConceptos básicos Aprende más...Recordando lo aprendido

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810024Recordando lo aprendido¡Tú puedes!Conceptos básicosResolución de problemas11. Calcular el máximo número de puntos de corteentre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.12. Calcular el máximo número de puntos de corteentre dos rectas paralelas y tres rectas secantes.13. Calcular el máximo número de puntos de corteentre dos circunferencias y tres rectas paralelas.14. Si: AB = 28u; BC = 12u y \"P\" y \"Q\" son puntosmedios de AC y BC respectivamente, calcular \"PQ\".A P B Q C15. Si \"M\" y \"N\" son puntos medios de EN y EQrespectivamente, calcular \"MN\", si además: EQ = 60uE M N Q16. Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y \"M\" espunto medio de QR, calcular \"MR\".P Q M R E17. Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u,calcular \"AC\".A B C D E18. Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular \"AB\"A B C19. Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular \"QR\".P Q R20. Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular\"MN\", si además \"M\" y \"N\" son puntos medios de EP y QF.E M P Q N F1. En una recta se marcan los puntos consecutivos \"A\", \"B\", \"C\", \"D\", \"E\", \"F\", \"G\" y \"H\". Calcular el máximo número de segmentos determinados.2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"A\", \"B\" y \"C\", tal que: AC + BC = 68u y \"M\" espunto medio de AB. Calcular \"MC\".3. Se tienen los puntos colineales \"P\", \"Q\" y \"R\" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular \"MQ\",siendo \"M\" punto medio de PR.4. Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte.5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas paralelas y 10 rectas secantes.

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 254Unidad IPractica en casaConceptos básicos18:10:451. Calcular el máximo número de puntos de corteentre dos triángulos.2. Calcular el máximo número de puntos de corteentre cuatro rectas secantes.3. Calcular el máximo número de puntos de corteentre cinco rectas secantes.4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo ABC y la circunferencia?BA C5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las circunferencias y las rectas paralelas?6. Si: AD = 58 cm, calcular \"x\".A B Cx 18 cm 3xD7. Si: AB = 11u; BC = 39u y \"M\" y \"N\" son puntosmedios de AB y BC respectivamente, calcular \"MN\"A M B N C8. Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular \"MF\", siendo\"M\" el punto medio de PE.P M E F9. Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + bA B C Da b10. Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y \"M\" espunto medio de BD, calcular \"AM\".A B C M D11. Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y \"N\" espunto medio de AQ, calcular \"NP\".A M N P Q12. Si: AD = 72u, calcular \"y\"A B Cy 16u 7yD13. Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular \"AB\"A B C14. Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular \"PQ\"P Q R15. Si: AB=24u; BC=30u y \"M\" y \"N\" son puntosmedios de AB y BC respectivamente, calcular \"MN\"A M B N C

AprendiZajes esperadosUNIDAD1Existen tres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal.Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.¿Cómo se mide un ángulo?Todo sobre ángulosUNIDAD 2• Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz.• Resolver ejercicios sin usar el transportador.• Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y alángulo llano.• Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos.• Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos.• Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos.TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe

Identificando y midiendo ángulosAntigüamente; al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes,dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para laelaboración del reloj.Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo elcampo de estrellas.Los egipcios sabían que el Sol tardaba aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculoen 360º donde \"cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en un día\". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada.Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes conanimales especialmente sacrificados para este periodo.¿Por qué una vuelta mide 360º?1º: un grado sexagesimal360º1º126115101º49 38271En este capítulo aprenderemos:• A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular.• A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida.• A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos.• Atrazarla bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador. CAPITULO 271Central: 619-8100 Unidad II

28Identificando y midiendo ángulosTRILCEColegioswww.trilce.edu.peClasificación de ángulosÁngulo agudoEs aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.θº 0º<θº<90ºÁngulo rectoEs el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendicularesAO Bm AOB = 90ºOA OBLos rayos OA y OB son perpendicularesObservaciónSaberes previosConceptos básicos• O AOA es un .............................• Algunas letras griegas:α = Alphaβ = Betaθ = Tetha• Dos rayos opuestos con el mismo origen formanuna ........................................AOBDefinición de ánguloEl ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura entre sus lados.αºABO RegiónangularVértice : OLados : OA y OBMedida : αºElementosÁngulo AOB : AOB; BOA; AOB; BOA.Medida del AOB: m AOB = αºNotación

291Central: 619-8100 Unidad IIClasificación de ángulosÁngulo agudoEs aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.θº 0º<θº<90ºÁngulo rectoEs el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendicularesAO Bm AOB = 90ºOA OBObservaciónLos rayos OA y OB son perpendicularesÁngulo obtusoSe denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º.αº 90º<αº<180ºÁngulo llanoEs el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos.m AOB = 180ºA O B180º RectaÁngulo no convexoEs aquel cuya medida varía entre 180º y 360º.180º<βº<360ºβºOM N

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810030Identificando y midiendo ángulosAplica lo comprendidoConceptos básicos10 x 550Uso del transportadorSe ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo.110ºO MFE• Con cualquier abertura se traza elcompás obteniéndose los puntos \"E\" y \"F\" .• Luego, tomando como centros aestos puntos \"E\" y \"F\", se trazan circunferencias con el mismo radio;obteniéndose el punto \"M\".• Finalmente, el rayo OM es la bisectrizdel ángulo.1. Mide los siguientes ángulos mostrados y clasifícalos.

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 311Unidad IIAprende más...Conceptos básicos2. Trazar una recta a perpendicular a la recta mostrada L y que pase por el punto \"E\".EL3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos.4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el uso del compás.5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado.6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz con el transportador.7. Grafica un ángulo de 70º y traza su bisectriz con el transportador.8. Grafica un ángulo de 60º y traza su bisectriz con el uso del transportador.9. Grafica un ángulo de 140º y traza su bisectriz con el uso del transportador.10. Grafica un ángulo de 200º y traza su bisectriz con el uso del transportador.Comunicación matemática1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\") • El ángulo de una vuelta mide 360º ....................................................................................( ) • El ángulo llano mide 90º ...................................................................................................( )2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro. • La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales. • Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ...................................rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º.4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º.5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º.

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810032Identificando y midiendo ángulosResolución de problemas6. Medir los ángulos internos \"A\", \"B\" y \"C\" usando el transportador.ACB7. Medir los ángulos en los vértices \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\" usando el transportador.DABC8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el transportador.O CA B9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD usando el transportador.AD CBO10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el transportador.CBDOARecta11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuántomide el ángulo AOC? (Usar el transportador)12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN tal que: m PQM=70º y m MQN=50º.¿Cuántomide el ángulo PQN? (Usar el transportador)13. Usando el compás, trazar la bisectriz del ánguloAOB. Luego ubicar a un punto \"P\" de dicha bisectriz y medir las distancias de \"P\" a los lados OA y OBOABAplicación cotidiana• Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anitaque entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que:14. Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, lasagujas forman un ángulo de:15. Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas delreloj forman un ángulo de:http://es.123rf.com

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 331Unidad IIConceptos básicos Practica en casa18:10:45¡Tú puedes!Conceptos básicos1. Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador.2. Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás.3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar la bisectriz OM del ángulo AOC.4. En el problema anterior, calcular: m MOB.5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado por dichas bisectrices.A O CB• Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usael transportador)1. 35º2. 65º3. 104º4. 170º5. 28º6. 126º7. 58º8. 220º• Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC.Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador)9. m AOB = 30º y m BOC = 60º10. m AOB = 40º y m BOC = 80º11. m AOB = 20º y m BOC = 70º12. m AOB = 80º y m BOC = 70º13. m AOB = 110º y m BOC = 90º14. m AOB = 130º y m BOC = 80º15. m AOB = 100º y m BOC = 50º

GeometríaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810034Ordenamiento lineal y circularSe cree que el alfabeto griego deriva de una variante del fenicio, introducido en Grecia por mercaderes de esa nacionalidad. El fenicio, como los alfabetos semíticos posteriores, no empleaba signos para registrar las vocales; para salvar esta dificultad,que lo hacía incompleto para la transcripción de la lengua griega, los griegos adaptaron algunos signos utilizados en fenicio para indicar aspiración para representar las vocales. Este aporte puede considerarse fundamental; la inmensa mayoría delos alfabetos que incluyen signos vocálicos se derivan de la aportación original griega. Además de las vocales, el griego añadió tres letras nuevas al final del alfabeto: fi y ji, pararepresentar sonidos aspirados que no existían en fenicio, y psi.En el Álgebra se usan variables como \"x\", \"y\" y \"z\" para señalar valoresnuméricos, en general trabajandobásicamente con las operaciones.En Geometría para señalar valores angulares no conocidos se utilizan letras griegas como: \"α\";\"β\";\"θ\" y \"δ\";etcOperaciones con ángulosEn este capítulo aprenderemos:• A relacionar ángulos por sus lados• A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y ángulo llano.• A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos.2A α alfa N ν niB β beta Ξ ξ xir γ gamma O o ómicron∆ δ delta ∏ π piE ε épsilon P p roZ ζ dseta ∑ σ sigmaH η eta T τ tauΘ θ zeta ϒ υ ipsilonI ι iota Φ ϕ fiK κ kappa X χ jiΛ λ lambda Ψ ψ psiM µ mi Ω ω omega

GeometríaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 35 Unidad IISaberes previosConceptos básicos• Rectas .................................................• Rectas..................................................• Una vuelta mide ..................................• El ángulo POQ mide............................PO Q• El ángulo llano AOB mide.................... A O BÁngulos opuestos por el vérticeSon los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes.M αºαºNFEAVérticeLos ángulos MAN y EAF son opuestos por el vérticem MAN = m EAF = αºθºBP QA CVérticeθºLos ángulos PBQ y ABC son opuestos por el vérticem PBQ = m ABC = θº

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810036Operaciones con ángulosÁngulos consecutivosSon dos, tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente.En el gráfico:40º 60º m AOC = 40º + 60º = 100ºOCBAAOB y BOC son consecutivos o adyacentesEn el gráfico:m POR = 50º + 70º = 120ºm QOS = 70º + 20º = 90ºOS QR20º70º50ºPPOQ; QOR y ROS son consecutivosEn el gráfico:m POR = 35º + 65º = 100ºO S m ROS = 180º - 100º = 80ºQR65º35ºPRectaPOQ; QOR y ROS son consecutivos.Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables.Bαº βº AC O yºyº = αº + βºβºαºαº + βº = 90º

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 372Unidad IIAplica lo comprendidoConceptos básicos10 x 550xº = bº – qºOθºβº xºABCm AOB = 180º - θºA O CB 180º – θºθºxº90º – xºQO RPm QOR = 90º - xºOαº βºθºαº+ βº + θº = 180º αº+ βº + θº + ωº = 360ºωº βºαºqº1. Calcular \"xº\", si: m AOF = 18ºOEBFA2xºxº2. Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOMOMFN E3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y m BOC = 32º, calcular: m MOC.A O CMB4. Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular:m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MONO QA MN

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810038Operaciones con ángulosConceptos básicos Aprende más...5. Calcular \"xº\"4xºxº6. Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es bisectriz del ángulo AOC, calcular \"θº\".OABθºMC7. Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BONOAB NC8. Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular \"αº\"FE O H9. Calcular \"αº\".αº8αº10. Calcular \"αº\".80º 4αº αºComunicación matemática1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\") • La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto. ........................ ( ) • La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo............. ( )2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado: • Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en sentidos opuestos y sus medidas son ........................................... • Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ......................................consecutivos.perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos - iguales - consecutivos - lados - ángulos

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 392Unidad II Completar las relaciones, según los gráficos:3.m AOE = ........ − ........A OβºEB 4.m FOM = ........ − ........E O MFαº5.αº + βº + θº + ωº = ........θºβº αº ωºResolución de problemas6. Si: m COD = 23º, calcular: m AOB.A OCBD7. Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC.AMBOC8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON.OAB NC9. Calcular \"αº\"2αº4αº3αºαºA BCDO

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810040Operaciones con ángulos¡Tú puedes!Conceptos básicos10. Calcular \"xº\", si: m AOD = 148º.AOCBD xº68º 3xº11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular: m BOCAMBCN26ºO D34º12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D. Si: m AOB=36º, calcular: m MONABMC100º NO D13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C, calcular: m EOFAFBE30ºCOAplicación cotidiana• Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casaestá decorada y asegurada por varillas que forman ángulos consecutivos congruentes.14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han formado?15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor?1. Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcular la m MON.A DMBCNO2. Calcular \"xº\", si: m AOC + m BOD = 130º.xºA BCO D

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 412Unidad IIConceptos básicos Practica en casa18:10:453. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR.Se traza OM bisectriz del ángulo POQ. Si: m POR + m QOR =140º, calcular lam MOR.4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular lam MOB. Además OM es bisectriz del ángulo AOC.BCMA O5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC de tal manera que el ángulo AOB mide 50º. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOC y BOC.1. Si: m AOB = 20° y m AOC = 100°, calcule:m BOC.B COA2. Si: m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º,calcule: m AOB.A OBC D3. Calcule \"α°\"32º αº4. Calcule \"x°\"4xº xº5. Calcule \"x°\", si: m AOD = 110°.50º 2xºxºOABCD6. Calcule \"x°\"120ºxº 3xº

TRILCEColegiosTRILCE www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810042Operaciones con ángulos7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC.COBMA8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ.PM QOR9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si además: m BOC=40º.AM B NCO10. Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON.A O DNCBM11. Calcular: m BOC.AB CD3xº 5xº2xºO8xº12. Calcule \"xº\", si: m AOC=158º y OM es bisectriz del ángulo BOC64ºxºABMCO13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule \"θ°\".OAM48º θº5θº BC14. Calcule \"β°\"ABC38ºβº64ºRectaO D15. Si: m AOB = 30° y m BOC = 80º y además OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM.OABMC

TRILCEColegiosTRILCE www.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100Conceptos básicos343¿Qué es generalizar?¿Qué es para ti una fórmula?123n........\"n\" puntos segmentosn n( )2- 11233 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos1234En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de lavida cotidiana como compra, venta, edades, etc.En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización queimplica la representación de cantidades por letras.En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos.Solo con enunciadosEn este capítulo aprenderemos:• A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos.• A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables.• A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos.• \"Q\" es punto medio de ANA Q Na a• Puntos y segmentos consecutivos ycolineales.A B Cab yDAB = a – bAD=a+yRecuerda que...

44Solo con enunciadosTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad II• • Suma y resta de ángulos consecutivos.m AOB = θº - βºm AOD = θº + αºOA B CβºθºαºDEFAαºO αºOF es bisectriz del ángulo AOE1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos \"A\", \"B\" y \"C\" tal que: AC = 25u. Calcular lalongitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC.Resolución:Se ubican arbitrariamente a los puntos medios \"M\" y \"N\" de AB y BC respectivamente. Como no se conocen los valores de AB y BC se ponen letras.A M B25uN Ca a b b • Del gráfico: 2a + 2b = 25u, simplificando: a + b = 12,5u • Nos piden: MN = a + b∴ MN = 12,5uEjemplos2. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC; tal que: m AOC = 128º. Calcular la medida delángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC.Resolución:OPABxºQαºθº θº αºC • Se trazan las bisectrices OP y OQ, siendo el ángulo POQ el pedido en el ejercicio. • Sumando ángulos consecutivos:2θº + 2αº = m AOC2θº + 2αº = 128ºθº + αº = 64º • Finalmente: m POQ = xº y del gráfico: xº = αº + θº∴xº = 64ºRecuerda que...

453TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIAplica lo comprendidoConceptos básicos10 x 550Conceptos básicos Aprende más...1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"A\"; \"B\" y \"C\" tal que: AB = 32u y AC = 46u.Calcular \"AM\", siendo \"M\" punto medio de BC.2. Se tienen los puntos colineales \"P\"; \"Q\" y \"R\",tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular \"MQ\",siendo \"M\" el punto medio de PR.3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular \"MN\",siendo \"M\" y \"N\" puntos medios de AE y EFrespectivamente.4. PQ y QR son segmentos colineales y consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u.Calcular \"EQ\", siendo \"E\" el punto medio de PR.5. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\" tal que: AB=20u; BC=16uy CD=34u. Calcular \"MN\", siendo \"M\" y \"N\"puntos medios de AB y CD respectivamente.6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcularm BOM, siendo OM bisectriz del AOt C.7. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR,tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcularm POE, siendo OE bisectriz del QOR.8. Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC yCOD, tal que: m AOB=m BOC=m COD ym AOD=144º. Calcular: m BOD.9. Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR,tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º.Calcular: m QOR.10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE, tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º.Calcular: m NOE.Comunicación matemática1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:• Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes si tienen sus ..................................... iguales respectivamente.• La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ..................................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos.distancia - medidas - recta - punto une - plano - denominan - longitud2. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones (\"V\" o \"F\")• El ángulo de una vuelta mide 360º ...................................................................................... ( )• El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º................................................... ( )• Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º.................................................................. ( )3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el transportador. ¿Qué observas?4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas?5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?

46Solo con enunciadosTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad II¡Tú puedes! Conceptos básicosResolución de problemas6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"A\", \"B\" y \"C\" tal que: AB = 86uy BC =58u. Siendo \"M\" punto medio de AC, calcular \"BM\".7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"P\", \"Q\" y \"R\" tal que: PR=68uy PQ=22u. Calcular la distancia entre \"P\" y elpunto medio de QR.8. Se tienen los puntos colineales \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.9. Se tienen los puntos colineales \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u.Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º.Calcular la medida del ángulo formado por OAy la bisectriz del ángulo BOC.11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR que miden 100º y 50º respectivamente.Calcular el ángulo formado por OQ y la bisectriz del ángulo POR.12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º ym COD=76º, calcular: m BOC.13. En el ejercicio anterior, calcular la medida delángulo formado por las bisectrices de AOt B y COt D.Aplicación cotidiana• Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para sucuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longituden tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm.1. Se tienen los puntos colineales \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB). Calcular \"AB\".2. Se tienen los puntos colineales \"P\", \"Q\", \"R\" y \"S\" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR.3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medidadel ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ánguloformado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC.14. ¿Cuántos cortes realiza Alejandrita?15. ¿Cuánto miden las otras dos partes?2 metros

473TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 Unidad IIPractica en casaConceptos básicos18:10:451. Se tienen los puntos colineales \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u,calcular \"BC\".2. Se tienen los puntos colineales \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u,calcular \"BC\".3. Se tienen los puntos colineales \"P\", \"Q\", \"R\",\"S\" y \"T\". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u yRT = 20u, calcular \"QS\".4. Calcular \"PM\", siendo \"M\" punto medio de QR.P18u22u30uQ R S5. Calcular \"x\",si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.A C M Dx6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos \"P\", \"Q\", \"R\" y \"S\" tal que \"Q\" es punto medio dePR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar \"QS\".7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos \"P\", \"Q\", \"R\" y \"S\", tal que: PR=10 m; QS=12 my QR=4 m. Calcular \"MN\", siendo \"M\" y \"N\"puntos medios de PQ y RS.8. Se tienen los puntos colineales \"A\", \"B\", \"C\" y \"D\". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular\"BC\".9. Del gráfico mostrado, calcular \"MN\", siendo \"M\" y \"N\" puntos medios de AC y BDrespectivamente.18u12u 8uA B C D10. Calcular \"xº\".2xº40º11. Calcular \"xº\".3xº 2xº12. Calcular \"xº\".3xº + 5º 4xº - 10º13. Calcular \"xº\".2xº - 15º 2xº + 15º60º14. Calcular \"xº\".2xº - 10º 3xº + 10º15. Calcular \"xº\".4xºABCxº + 10ºO

GeometríaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810048Complemento y suplemento de un ánguloComplemento y suplemento de un ánguloEn este capítulo aprenderemos:• A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano.• A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de unángulo.• A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios.Torre de PisaLa torre de Pisa (Italia)se construyó verticalmente,pero por lo débil de los cimientos de la torre se produjo una ligera inclinación dejandola torre en tres pisos. Después de 100 años aproximadamente se reinició la construcciónde los cuatro pisos restantes con la finalidad de corregir la inclinación pero la torre se inclinó más.Desde el 2001 se reabrió el acceso al públicoya que no existe riesgo alguno.Actualmente se hacen edificaciones con inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le da un aspecto de modernidad.• ¿Qué ángulo está inclinada la torre de Pisa?• ¿La inclinación de la torre de Pisa fue adrede?http://www.viajesmag.com CAPITULO 4

GeometríaTRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-8100 49 Unidad IIConceptos básicosSaberes previos• El ángulo recto AOB mide ...................... OAB• Una recta se grafica idénticamente a un ángulo 180º• 5 – [12 + (8 - 2)] = ........................................... 16 – [24 – (12 – 5)] = ........................................... 2x – [6x + 10x – (6x – 3x)] = ........................................... 18a – [12a – 3(4a – a)] = ........................................................................................Definición de ángulos complementariosSon aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º.OAαºBEHFθºαº + θº = 90ºLos ángulos AOB y EFH son complementarios.Definición de ángulos suplementariosSon aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º.Φº + ωº = 180ºPωºRQΦºNMOLos ángulos MON y RPQ son suplementariosCAPITULO

TRILCEColegioswww.trilce.edu.pe Central: 619-810050Complemento y suplemento de un ánguloComplemento de un ánguloEs el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90ºComplemento de 30º = 90º - 30ºComplemento de 30º = 60ºC30º = 60º30ºComplemento de 50º = 90º - 50ºComplemento de 50º = 40ºC50º = 40º50ºqº CqºComplemento de \"qº\":Cqº = 90º – qºSuplemento de un ánguloEs el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º.Suplemento de 40º = 180º - 40ºSuplemento de 40º = 140ºS40º = 140º40ºSuplemento de 60º = 180º - 60ºSuplemento de 60º = 120ºS60º = 120º60ºSuplemento de 100º = 180º - 100ºSuplemento de 100º = 80ºS100º = 80º100ºSuplemento de 130º = 180º - 130ºSuplemento de 130º = 50ºS130º = 50º130ºSuplemento de ωº = Sωº = 180º - ωºωº SωºLos ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos.Ten en cuenta