แผนการจัดการเรียนรู้แบบมุ่งเน้นสมรรถนะความแข็งแรงของวัสดุ

หัวข้อ/งาน ใบงานที่ 14 หน้าท่ี 3
ชอื่ รายวิชา (Work Sheet No 14)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever)
ความแขง็ แรงของวสั ดุ

สตู ร

Vx = -wx
BM ทจ่ี ดุ A = Mx = -wx.x/2 =- wx2/2

ก) แรงเฉอื น และ โมเมนต์ดดั ที่จุดตรงกลาง

กำหนดให้

V2 = แรงเฉอื นท่ีจุดตรงกลาง หรือ ทร่ี ะยะ x = ......... เมตรจากปลายซ้ายมือ
M2 = โมเมนตด์ ัดทจ่ี ุดตรงกลาง หรือ ท่ีระยะ x = …..... เมตรจากปลายซ้ายมือ
แทนคา่ สูตร

V2 = - (…….)(……..) = - ………. kN Ans
- …….. kN - m
M2 = - (……..)(…….2) / 2 = Ans

ข) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนตด์ ัดทปี่ ลายยดึ แนน่

กำหนดให้

V4 = แรงเฉอื นทีจ่ ดุ ตรงกลาง หรอื ท่รี ะยะ x = ………. เมตรจากปลายซ้ายมือ
M4 = โมเมนตด์ ัดที่จุดตรงกลาง หรอื ท่รี ะยะ x = ………เมตรจากปลายซา้ ยมือ
แทนค่าสตู ร

V2 = - (………)(……….)= - ………..kN Ans

x M2 = - (………)(………2) / 2 = -………… kN - m Ans

เฉลยใบงานท่ี 14

(Answer Sheet No 14)

หัวขอ้ /งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หนา้ ที่ 1

ชอ่ื รายวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ

ขอ้ ที่ 1) Cantilever ยาว 5 m มแี รงสองแรงกระทำ แรงท่ี 1 กระทำตรงกลางสว่ นอกี แรงกระทำทป่ี ลาย

ถ้า BMทป่ี ลายยึด และที่ตรงกลางเท่ากบั 52.5 และ 12.5 kN-m ตามลำดับ จงหาคา่ แรงทง้ั สอง

วิธที ำ
F1 F2

2.5 m 2.5 m

0 - F1 + F2
SFD F1
F1 + F2
BMD 0
-

BM = 12.5 kN-m

= 2.5F1 จากโจทยก์ ำหนดให้เมื่อทำการเขยี นรปู พบวา่
พจิ ารณาจุดกง่ึ กลางคาน
BM = 52.5 kN-m
BM = 12.5 kN-m = 2.5F1
F1 = 1(52F.51/+2.25.5F2)
=

= 5 kN Ans

พจิ ารณาจดุ ปลายคานท่ีถูกยดึ อยู่กบั ท่ี

BM = 52.5 kN-m = (5F1 + 2.5F2)

แทนค่า

5 * 5 + 2.5 * F2 = 52.5

F2 = (52.5 – 25 )/ 2.5 kN

F2 = 11 kN Ans

เฉลยใบงานท่ี 14 หน้าท่ี 2
(Answer Sheet No 14)
หวั ข้อ/งาน โมเมนตด์ ัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever)

ช่ือรายวิชา ความแขง็ แรงของวัสดุ
ขอ้ ที่ 2) Cantilever ยาว 4 m มีแรงกระจายสมำ่ เสมอ(Uniformly Distributed Load; UDL) = 5 kN/m
ตลอดความยาว จงเขียน SFD และ BMD แล้วหาคำนวณหา
ก) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนต์ดดั ทีจ่ ุดตรงกลาง(V2 = 10 kN, M2 = - 10 kN-m)
ข) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนตด์ ัดที่ปลายยึดแน่น (V4 = 20 kN, M4 = - 40 kN )

5 kN/m 4m

B X/2 A C
0X - - wl

SFD

BMD 0 --

วิธที ำ -w
โจทย์กำหนดให้ l2/2
L=4m
w = 5 kN / m

หวั ข้อ/งาน เฉลยใบงานที่ 14 หน้าท่ี 3
ชอ่ื รายวิชา (Answer Sheet No 14)
โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever)
ความแข็งแรงของวสั ดุ

สูตร =- wx2/2
Vx = -wx
BM ทจ่ี ดุ A = Mx = -wx.x/2

ก) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนตด์ ดั ทีจ่ ดุ ตรงกลาง

กำหนดให้

V2 = แรงเฉอื นทีจ่ ุดตรงกลาง หรอื ท่ีระยะ x = 2 เมตรจากปลายซา้ ยมือ
M2 = โมเมนต์ดัดที่จุดตรงกลาง หรอื ทร่ี ะยะ x = 2 เมตรจากปลายซ้ายมือ
แทนค่าสตู ร

V2 = - (5)(2) = - 10 kN Ans
- 10 kN - m Ans
M2 = - (5)(22) / 2 =

ข) ค่าแรงเฉือน และ โมเมนต์ดดั ท่ีปลายยึดแนน่

กำหนดให้

V4 = แรงเฉอื นทีจ่ ุดตรงกลาง หรือ ทีร่ ะยะ x = 4 เมตรจากปลายซ้ายมือ
M4 = โมเมนต์ดดั ทจ่ี ดุ ตรงกลาง หรอื ทรี่ ะยะ x = 4 เมตรจากปลายซ้ายมือ
แทนคา่ สูตร

V2 = - (5)(4) = - 20 kN Ans
- 40 kN - m Ans
M2 = - (5)(42) / 2 =

ใบทดสอบ
(Test Sheet No 14)

หวั ขอ้ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าที่ 1
วตั ถุประสงค์
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever

เมอื่ มีแรงกระทำแบบจดุ ได้อย่างถูกต้อง1 ขอ้ เวลา 40

2.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever นาที

เม่ืออย่ภู ายใต้แรงกระจายสม่ำเสมอไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง1 ข้อ

ช่อื ...................................................ระดับปวส. แผนกวชิ า................................หอ้ ง.................เลขท่ี.........วนั ท่ี

..............................

ขอ้ ที่ 1) Cantilever ยาว 4 m มแี รงกระทำท่ปี ลายเทา่ กับ 60 kN ดงั รูป จงหาคา่ Shear force และ คา่ Bending

moment ท่ีจุดปลายถูกยดึ ให้อยูก่ ับท่ี และเขยี นกราฟ Shear force Diagram และ Bending

Moment Diagram

60 kN 4 m วธิ ีทำ
m
- การหาคา่ SF

พิจารณาแรงจากด้านซา้ ยมือมีแรง 60 kN เพยี งแรงเดยี ว ดังน้ันคา่ Shear force มีคา่ เดียว

คือ .................... kN ตลอดคานรวมทง้ั ทปี่ ลายยึดแน่นท่ปี ลายยึดแน่น(ขวามือ)มีค่า SF = -…………………..

kN Ans

- การหาคา่ BM

ทป่ี ลายยึดแนน่ (ขวามือ)มีคา่ BM = -……………. kN  …………..m

= …………….. kN-m Ans

- การเขยี นกราฟ Shear force Diagram และ Bending Moment Diagram พิจารณา

แรงจากดา้ นซ้ายมือมแี รง .................. kN เพยี งแรงเดยี ว ดงั นั้นคา่ Bending Moment จึงมคี ่าเรมิ่ จาก 0
ท่ีปลายซา้ ยมือ และมีค่าเท่ากับ -............... kN จงึ ทำให้เขียนกราฟได้ดังภาพขา้ งลา่ งน้ี

4m C
60 kN A

Bx

0
SFD
BMD 0

ใบทดสอบ

(Test Sheet No 14)

หัวข้อ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าที่ 2

วตั ถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever

เมือ่ มีแรงกระทำแบบจุด ได้อยา่ งถกู ต้อง1 ขอ้ เวลา 40

2.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever นาที

เมือ่ อยภู่ ายใตแ้ รงกระจายสม่ำเสมอได้อย่างถูกต้อง1 ข้อ

ข้อที่ 2) Cantilever ยาว 5 m มีแรงกระจายสมำ่ เสมอ(Uniformly Distributed Load; UDL) = 3 kN/m ตลอด

ความยาว จงเขยี น SFD และ BMD แล้วหาคำนวณหา

ก) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนตด์ ัดทีจ่ ดุ ตรงกลาง

ข) ค่าแรงเฉือน และ โมเมนตด์ ดั ทีป่ ลายยดึ แน่น

3 kN/m 5m

B X/2 A C
0X

SFD

BMD 0

วิธีทำ =- wx2/2
โจทย์กำหนดให้
l = ……………. m
w = …………….. kN / m
สูตร
Vx = -wx
BM ทจ่ี ุด A = Mx = -wx.x/2

ใบทดสอบ

(Test Sheet No 14)

หวั ขอ้ / งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าท่ี 3
วตั ถุประสงค์
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนตด์ ัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever

เมอื่ มีแรงกระทำแบบจุด ได้อย่างถูกต้อง1 ขอ้ เวลา 40

2.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever นาที

เมือ่ อยภู่ ายใตแ้ รงกระจายสม่ำเสมอได้อยา่ งถูกต้อง1 ขอ้

ก) แรงเฉือน และ โมเมนต์ดดั ทจ่ี ุดตรงกลาง
กำหนดให้
V2 = แรงเฉือนทีจ่ ดุ ตรงกลางหรอื ท่รี ะยะ x = ........... เมตรจากปลายซ้ายมือ

M2 = โมเมนตด์ ดั ท่ีจดุ ตรงกลางหรอื ทร่ี ะยะ x =.…… เมตรจากปลายซ้ายมือ แทนคา่
สตู ร

V2 = - (………)(………….) = - …………… kN Ans
M2 = - (…...….)(……..….2) / 2 = - …………… kN - m Ans

ข) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนตด์ ดั ทีป่ ลายยดึ แนน่

กำหนดให้
V4 = แรงเฉอื นทีจ่ ดุ ตรงกลาง หรือ ที่ระยะ x = 5 เมตรจากปลายซา้ ยมือ
M4 = โมเมนตด์ ดั ทจ่ี ุดตรงกลาง หรือ ทรี่ ะยะ x = 5 เมตรจากปลายซ้ายมือ

แทนค่าสตู ร

V4 = - (………)(………….) = - ……… kN Ans

M4 = - (…...….)(……..….2) / 2 = - …………… kN - m Ans

เฉลยใบทดสอบ

(Answer Sheet No 14)

หวั ข้อ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าที่ 1

วัตถปุ ระสงค์ 1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ดั และคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เวลา 40

เมือ่ มีแรงกระทำแบบจดุ ได้อย่างถูกต้อง1 ขอ้ นาที

ข้อท่ี 1) Cantilever ยาว 4 m มแี รงกระทำท่ปี ลายเท่ากับ 60 kN ดังรูป จงหาคา่ Shear force และ คา่ Bending

moment ทจ่ี ุดปลายถูกยดึ ใ6ห0้อkยNกู่ บั ท่ี และเขยี นกราฟ Shear force Diagram และ Bending Moment
Diagram 4m
m

วิธีทำ
- การหาค่า SF

พจิ ารณาแรงจากดา้ นซา้ ยมือมีแรง 60 kN เพยี งแรงเดยี ว ดังนน้ั คา่ Shear force มีค่าเดยี ว คอื -60 kN ตลอด
คานรวมท้งั ท่ีปลายยึดแนน่ ด้วย ท่ปี ลายยดึ แน่น(ขวามือ)มีคา่ SF = -60 kN Ans

- การหาค่า BM

ท่ปี ลายยดึ แนน่ (ขวามอื )มคี ่า BM = -60 kN  4m = 240 kN-m Ans
- การเขียนกราฟ Shear force Diagram และ Bending Moment Diagram

พิจารณาแรงจากดา้ นซ้ายมือมแี รง 60 kN เพียงแรงเดยี ว ดงั นนั้ คา่ Bending Moment จึงมีคา่
เริ่มจาก 0 ทีป่ ลายซ้ายมือ และมคี ่าเทา่ กับ -240 kN จึงทำใหเ้ ขียนกราฟไดด้ ังภาพข้างลา่ งนี้

4m C
60 kN A

Bx

0 -- - 60 kN
SFD - 60 kN

BMD 0 --
-240 kN-m

เฉลยใบทดสอบ

(Answer Sheet No 14)

หวั ข้อ / งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าท่ี 2

วตั ถปุ ระสงค์ 2.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนต์ดดั และคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เวลา 40

เมือ่ อยู่ภายใตแ้ รงกระจายสม่ำเสมอได้อยา่ งถูกตอ้ ง1 ข้อ นาที

ขอ้ ท่ี 2) Cantilever ยาว 5 m มแี รงกระจายสมำ่ เสมอ(Uniformly Distributed Load; UDL) = 3 kN/m ตลอด

ความยาว จงเขยี น SFD และ BMD แล้วหาคำนวณหา

ก) ค่าแรงเฉือน และ โมเมนตด์ ดั ท่ีจดุ ตรงกลาง

ข) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนต์ดดั ท่ปี ลายยึดแนน่

3 kN/m 5m

B X/2 A C
X

วิธที ำ =- wx2/2
โจทย์กำหนดให้
L=5m
w = 3 kN / m
สตู ร
Vx = -wx
BM ท่จี ดุ A = Mx = -wx.x/2

เฉลยใบทดสอบ

(Answer Sheet No 14)

หวั ข้อ / งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าที่ 3
วัตถปุ ระสงค์
2.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เวลา 40

เมื่ออยภู่ ายใต้แรงกระจายสม่ำเสมอได้อยา่ งถกู ต้อง1 ข้อ นาที

ก) แรงเฉอื น และ โมเมนตด์ ดั ที่จุดตรงกลาง

กำหนดให้

V2 = แรงเฉือนทีจ่ ดุ ตรงกลาง หรือ ที่ระยะ x = 2.5 เมตรจากปลายซา้ ยมือ
M2 = โมเมนต์ดัดทจ่ี ุดตรงกลาง หรือ ท่รี ะยะ x = 2.5 เมตรจากปลายซ้ายมือ
แทนคา่ สูตร

V2 = - (3)(2.5) = - 7.5 kN Ans

M2 = - (3)(2.52) / 2 = - 9.375 kN - m Ans

ข) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนต์ดัดที่ปลายยดึ แน่น

กำหนดให้
V4 = แรงเฉือนทีจ่ ุดตรงกลาง หรือ ทรี่ ะยะ x = 5 เมตรจากปลายซา้ ยมือ
M4 = โมเมนต์ดัดท่ีจุดตรงกลาง หรือ ท่ีระยะ x = 5 เมตรจากปลายซ้ายมือ

เฉลยใบทดสอบ

(Answer Sheet No 14)

หัวข้อ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หนา้ ท่ี 4

วัตถุประสงค์ 2.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เวลา 40

เม่ืออยู่ภายใต้แรงกระจายสม่ำเสมอได้อยา่ งถกู ต้อง1 ข้อ นาที

แทนค่าสตู ร

V4 = - (3)(5) = - 15 kN Ans

M4 = - (3)(52) / 2 = - 37.5 kN - m Ans

3 kN/m 5m

B X/2 A C
0X - - 15 kN
SFD
--
BMD 0 - 37.5 kN-m

สัปดาห์ที่ 15
แผนบทเรียน

เรื่อง
“โมเมนต์ดัด และแรงเฉอื นของคาน”
(โมเมนตด์ ัด และแรงเฉือนของคาน แบบ Simply supported beam)

แผนบทเรียน

วชิ า ความแข็งแรงของวัสดุ ระดบั ปวส.

เรอ่ื ง โมเมนตด์ ัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported เวลา 180 นาที

beam)

1. วตั ถปุ ระสงค์เชิงพฤติกรรม

ฑ. ความสามารถ ข. รายละเอียดระบไุ ว้ใน.....

1 นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ IS1,3-4 /WS ข้อ 1/ AS ข้อ 1 / TS

Simply support beam เมื่อมีแรงกระทำแบบจดุ ได้อยา่ งถูกต้อง1 ข้อ ขอ้ 1

2.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ IS 2 /WS ข้อ 2 / AS ขอ้ 2/ TS ขอ้ 2

Simply support beam อยู่ภายใต้แรงกระจายสมำ่ เสมอไดอ้ ยา่ งถูกต้อง

2. การนำเขา้ สบู่ ทเรยี น

ก. อุปกรณ์ช่วยสอน ข. คำถามประกอบ

1. Power point 1. ถามนักศึกษาวา่ คนหามเสลี่ยงน้ำหนักจะอยูท่ จ่ี ดุ ใด

2. Power point 2. ถามนกั ศึกษาว่ารถบรรทกุ ทรายน้ำหนักจะกดลงส่วนใด

ของแซดซี

3. การปฏิบัตกิ าร

เวลา (X นาท)ี 70 140 180

หมายเลขวตั ถปุ ระสงค์ 1 2 1-2

ขัน้ สนใจปญั หา

ข้ันศึกษาขอ้ มูล บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธติ

ข้ันพยายาม

ขั้นสำเรจ็ ผล

อปุ กรณ์ช่วยสอน กระดานดำ
Power

point

แผน่ ใส

ของจรงิ

แผน่ ภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. สิ่งท่ีแนบมาดว้ ย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเนือ้ หา

(Information Sheet)

หวั ข้อ / งาน ความเคน้ วัสดุสองชนิดยึดตดิ กนั (Composite bars ) หน้าที่ 1
วตั ถุประสงค์
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าความเคน้ ทีเ่ กิดข้นึ ในวสั ดุสองชนดิ ยดึ ตดิ กัน(Composite bars )

เมอื่ รบั แรงดึงหรือแรงอัดได้อยา่ งถกู ต้อง 1 ข้อ

3 Simply supported beam มีแรงกระทำแบบจดุ

F1 F2 F3

Ra Rb

Ra + F1 F2
F3
SFD 0

-

Rb

BMD +
0

รูปที่ 13.12 แสดงกราฟ SFD และ BMD เมื่อมีแรงกระทำแบบจุดกระทำบนคานอยา่ งง่าย

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน ความเคน้ วสั ดุสองชนิดยึดตดิ กนั (Composite bars ) หน้าที่ 2
วัตถุประสงค์
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นท่เี กิดขึน้ ในวสั ดุสองชนิดยึดตดิ กัน(Composite bars )

เมื่อรับแรงดงึ หรอื แรงอดั ได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

4 Simply supported beam อย่ภู ายใต้แรงกระจายสม่ำเสมอ (UDL) w/unit length

รปู ท่ี 13.12 แสดงกราฟ SFD และ BMD เม่ือมีแรงกระจายสม่ำเสมอกระทำบนคานอยา่ งง่าย

ใบเนือ้ หา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน ความเคน้ วัสดุสองชนดิ ยดึ ติดกนั (Composite bars ) หน้าที่ 3

วัตถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นทีเ่ กดิ ขนึ้ ในวสั ดุสองชนดิ ยดึ ตดิ กนั (Composite bars )

เม่ือรับแรงดึงหรือแรงอดั ได้อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

ตวั อยา่ งท่ี 1) Simply Supported beam ยาว 10 m. อยูภ่ ายใตแ้ รงแบบจดุ มคี ่า 20, 40, และ 50 kN ดงั ภาพ

จงเขยี น shearing force diagram และ bending moment diagram

F1 F2 F3
3m 3m 2m 2

m B CD E
A

Ra Rb

วิธีทำ
โจทยก์ ำหนดให้
F1 = 20 kN
F2 = 40 kN
F3 = 50 kN

หา RE โดยการเทคโมเมนต์รอบจุด A

10 RE = (20*3) + (40 * 6) + (50 * 8) = 700
RE = 700/10 = 70 kN
RA = 20 + 40 + 50 – 70 = 40 kN

ก) หาคา่ แรงเฉอื น (Shear Force ; SF)บนคาน

ช่วง ABVAB คงที่ = 40 kN
ช่วง BCVBC มแี รงจากทางซ้ายมอื 2 แรง คอื +40 และ – 20 kN รวมได้

= 20 kN จงึ มี แรงเฉอื น (Shear Force ; SF) = 20 kN
ช่วง CD SF = 40 – 20 – 40 = - 20 kN
ช่วง DESF = 40 – 20 – 40 - 50 = - 70 kN

ใบเน้ือหา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน ความเคน้ วัสดุสองชนดิ ยดึ ติดกนั (Composite bars ) หนา้ ท่ี 4
วัตถปุ ระสงค์
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าความเค้นทเี่ กดิ ขึน้ ในวสั ดุสองชนดิ ยดึ ติดกัน(Composite bars )

เม่ือรับแรงดงึ หรือแรงอัดได้อยา่ งถกู ต้อง 1 ข้อ

ข) หาคา่ โมเมนต์ดดั (Bending Moment; BM) บนคาน

ชว่ ง AB ค่า BM เปน็ เสน้ ตรง เรม่ิ จาก MA = 0 จนถึง MB = + ( 40*3) = +120 kN-m.
ช่วง BC คา่ BM เปน็ เส้นตรงเร่ิมจาก MB = +120 kN-m.

ถึง MC = (40*6) – (20*3) = +180 kN-m.
ชว่ ง CD คา่ BM เปน็ เส้นตรงเร่ิมจาก MC = +180 kN-m.

ถึง MD = (40*8) – (20*5) – (40*2) = +140 kN-m.
ช่วง DE คา่ BM เปน็ เส้นตรงเรมิ่ จาก MD = +140 kN-m.

ถงึ ME = (40*10) – (20*7) – (40*4) – (50*2) = 0 kN-m.

ค) การเขียนกราฟได้ดังน้ี

F1 F2 F3
3m 3m 2m 2

m B CD E
A

Ra F1 Rb
Ra
+ F2
SFD 0 F3 -

Rb

BMD +
0

หวั ขอ้ /งาน ใบงานท่ี 15 หน้าท่ี 1
ชอื่ รายวิชา (Work Sheet No 15)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแขง็ แรงของวัสดุ

ขอ้ ท่ี 3) Simply Supported beam ยาว 10 m. อยภู่ ายใตแ้ รงแบบจดุ มีค่า 20, 40, และ 50 kN ดังภาพ
จงเขยี น shearing force diagram และ bending moment diagram

F1 = 20 kN F2 = 40 kN F3 = 50 kN
3m 3m 2m 2

m B CD E
A

วธิ ที ำ Ra Rb

โจทย์กำหนดให้
F1 = ……….. kN
F2 = ……….. kN
F3 = ……….. kN

หา RE โดยการเทคโมเมนต์รอบจดุ A

………. RE = (…...…….) + (…...…...) + (……..……..) = 700
RE = ……/…….. = ……….. kN
RA = ……+………….+………….-………….. = ………….. kN

ก) หาค่าแรงเฉือน (Shear Force ; SF)บนคาน

ช่วง ABVAB คงท่ี = ………… kN
ช่วง BCVBC มแี รงจากทางซ้ายมอื 2 แรง คือแรงขึ้น =………….kN
และแรงลง = – ………….. kN

VBC = (……….) +(……………) kN
= …………………….kN

จึงมี แรงเฉอื น (Shear Force ; SF) = 20 kN

ใบงานท่ี 15

(Work Sheet No 15)

หัวข้อ/งาน โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam ) หนา้ ท่ี 2
ช่ือรายวิชา
ความแขง็ แรงของวสั ดุ

ชว่ ง CD SF = ……….. – ……….. – …………… = …………….. kN

ช่วง DE SF = ……….. – ……….. – …………-………. = …………….. kN

ข) หาค่าโมเมนต์ดัด (Bending Moment; BM) บนคาน

ชว่ ง AB ค่า BM เปน็ เส้นตรง เริม่ จาก MA = 0

ถึง MB = + ( ………………..) = +………… kN-m.
ช่วง BC คา่ BM เป็นเส้นตรงเริ่มจาก MB = +…………… kN-m.

ถงึ MC = (………..…………) – (……….……….) = +…….… kN-m.
ชว่ ง CD ค่า BM เปน็ เสน้ ตรงเรมิ่ จาก MC = +180 kN-m.

ถึง MD = (……….……….) – (……….……….) – (……….……….)
= +……………….. kN-m.

ช่วง DE คา่ BM เป็นเส้นตรงเร่ิมจาก MD = +140 kN-m.

ถงึ ME = (……….…….) – (…….…….) – (…….……) –

(…….…….) = 0 kN-m.

หัวข้อ/งาน ใบงานที่ 15 หน้าท่ี 3
ชอื่ รายวชิ า (Work Sheet No 15)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแขง็ แรงของวัสดุ

ค) การเขยี นกราฟได้ดงั น้ี F1 = 20 kN F2 = 40 kN F3 = 50 kN
A 3m 3m 2m 2

m CD E
B

Ra Rb

SFD 0

BMD
0

ใบงานที่ 15

(Work Sheet No 15)

หวั ข้อ/งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam ) หน้าที่ 4

ชอ่ื รายวชิ า ความแข็งแรงของวสั ดุ

ข้อที่ 4) Simply Supported beam ยาว 10 m มีแรงกระจายสมำ่ เสมอ(Uniformly Distributed Load; UDL)

= 8 kN/m ตลอดความยาว จงเขียน SFD และ BMD แลว้ หาคำนวณหาคา่ แรงเฉือน และ โมเมนต์ดดั ที่จุดก่งึ กลาง

คาน

(V2 = 10 kN, M2 = - 10 kN-m)

8 kN/m

10 m

A

Ra x Rb

วธิ ที ำ โจทย์กำหนดให้
l = …………… m
w = …………… kN/m

การหาค่าแรงเฉือน(SF)ทรี ะยะกง่ึ กลางคาน
กำหนดให้ A คือจุดใดๆบนคาน อยูห่ ่างจากปลายซ้ายมือเท่ากบั x
แรงปฏิกิรยิ าที่ A และ B มคี ่าเท่ากบั wl / 2
ดงั นั้น RA = RB = ………..……… / 2 = ………….. kN
แรงเฉอื นท่จี ดุ A = Vx = wl / 2 - wx

หวั ข้อ/งาน ใบงานที่ 15 หน้าท่ี 5
ชอ่ื รายวิชา (Work Sheet No 15)
โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแข็งแรงของวสั ดุ

นั่นคอื VX เปน็ ปฏภิ าคโดยตรงกับค่าของ x
ท่ี x = 0 คา่ แรงเฉือน Va = wl / 2
ท่ี x = l/2 หรือ x = 5 m ค่าแรงเฉือน = wl/2 – wx

= ……..…… / 2 - (…….) (…….)

= 0 kN Ans

การหาโมเมนต์ดัด BMทรี่ ะยะก่ึงกลางคาน = wl2/8
กำหนดให้ Ans

MX = (wl/2) (x) - (wx)(x/2)
= (wlx/2) - (wx2/2)

กราฟของโมเมนต์ดัดจะเป็นรูปโพลาโบลา
ทรี่ ะยะ x = 0 มีคา่ โมเมนต์เทา่ กับ MB = 0

ทร่ี ะยะ x = l/2 มีค่าโมเมนตเ์ ท่ากับ M = (wl/2)(l/2) - wl2/8
แทนค่าสูตร
Mระยะกงึ่ กลางคาน = (……..)(………)2 /8 = ……….. kN-m
ที่ระยะ x = l มีคา่ โมเมนตเ์ ทา่ กับ MC = 0

หวั ข้อ/งาน ใบงานที่ 15 หน้าท่ี 6
ชือ่ รายวชิ า (Work Sheet No 15)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแขง็ แรงของวัสดุ

การเขยี นกราฟไดด้ ังน้ี

10 m 8 kN/m

A Rb

Ra x

SFD 0

BMD
0

หัวข้อ/งาน เฉลยใบงานที่ 15 หนา้ ที่ 1
ชอ่ื รายวชิ า (Answer Sheet No 15)
โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแขง็ แรงของวสั ดุ

ข้อท่ี 3) Simply Supported beam ยาว 10 m. อยู่ภายใต้แรงแบบจดุ มีคา่ 20, 40, และ 50 kN ดังภาพ จงเขียน
shearing force diagram และ bending moment diagram

F1 F2 F3
3m 3m 2m 2

m B CD E
A

วิธที ำ Ra Rb

โจทย์กำหนดให้
F1 = 20 kN
F2 = 40 kN
F3 = 50 kN

หา RE โดยการเทคโมเมนต์รอบจดุ A

10 RE = (203) + (40  6) + (50  8) = 700
RE = 700/10 = 70 kN
RA = 20 + 40 + 50 – 70 = 40 kN

หัวขอ้ /งาน เฉลยใบงานที่ 15 หน้าท่ี 2
ช่อื รายวชิ า (Answer Sheet No 15)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแข็งแรงของวสั ดุ

ก) หาคา่ แรงเฉือน (Shear Force ; SF)บนคาน

ช่วง ABVAB คงที่ = 40 kN
ช่วง BCVBC มีแรงจากทางซ้ายมือ 2 แรง คือ +40 และ – 20 kN รวมได้

= 20 kN จึงมีแรงเฉอื น (Shear Force ; SF) = 20 kN
ชว่ ง CD SF = 40 – 20 – 40 = - 20 kN
ชว่ ง DESF = 40 – 20 – 40 - 50 = - 70 kN

ข) หาค่าโมเมนต์ดดั (Bending Moment; BM) บนคาน

ช่วง AB คา่ BM เปน็ เส้นตรง เริ่มจาก MA = 0 จนถึง MB = + ( 403) = +120 kN-m.
ชว่ ง BC คา่ BM เปน็ เส้นตรงเรม่ิ จาก MB = +120 kN-m.

ถึง MC = (40*6) – (20*3) = +180 kN-m.
ช่วง CD คา่ BM เปน็ เส้นตรงเริม่ จาก MC = +180 kN-m.

ถงึ MD = (40*8) – (20*5) – (40*2) = +140 kN-m.
ช่วง DE ค่า BM เป็นเส้นตรงเริ่มจาก MD = +140 kN-m.

ถงึ ME = (40*10) – (20*7) – (40*4) – (50*2) = 0 kN-m.

หวั ข้อ/งาน เฉลยใบงานท่ี 15 หนา้ ที่ 3
ชอ่ื รายวชิ า (Answer Sheet No 15)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแข็งแรงของวัสดุ

ก) หาคา่ แรงเฉือน (Shear Force ; SF)บนคาน
ช่วง ABVAB คงท่ี = 40 kN
ชว่ ง BCVBC มีแรงจากทางซ้ายมือ 2 แรง คอื +40 และ – 20 kN รวมได้
= 20 kN จึงมแี รงเฉอื น (Shear Force ; SF) = 20 kN
ชว่ ง CD SF = 40 – 20 – 40 = - 20 kN
ชว่ ง DESF = 40 – 20 – 40 - 50 = - 70 kN

ข) หาค่าโมเมนต์ดดั (Bending Moment; BM) บนคาน

ชว่ ง AB ค่า BM เปน็ เสน้ ตรง เรมิ่ จาก MA = 0 จนถงึ MB = + ( 403) = +120 kN-m.
ช่วง BC ค่า BM เป็นเสน้ ตรงเรม่ิ จาก MB = +120 kN-m.

ถงึ MC = (40*6) – (20*3) = +180 kN-m.
ชว่ ง CD ค่า BM เป็นเสน้ ตรงเรม่ิ จาก MC = +180 kN-m.

ถึง MD = (40*8) – (20*5) – (40*2) = +140 kN-m.
ช่วง DE ค่า BM เปน็ เส้นตรงเริม่ จาก MD = +140 kN-m.

ถึง ME = (40*10) – (20*7) – (40*4) – (50*2) = 0 kN-m.

ค) การเขียนกราฟได้ดังน้ี F1 F2 F3 E
3m 2m 2
3m
m B CD
A

Ra Rb

40 kN + 20 kN -
SFD 0 -70
kN
BMD 180 kN-
0 m k+N

เฉลยใบงานท่ี 15

(Answer Sheet No 15)

หัวข้อ/งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam ) หน้าที่ 4

ชอื่ รายวชิ า ความแข็งแรงของวสั ดุ

ข้อที่ 4) Simply Supported beam ยาว 10 m มแี รงกระจายสม่ำเสมอ(Uniformly Distributed Load; UDL)

= 8 kN/m ตลอดความยาว จงเขียน SFD และ BMD แลว้ หาคำนวณหาค่าแรงเฉือน และ โมเมนตด์ ัดทีจ่ ุดกงึ่ กลาง

คาน (V2 = 10 kN, M2 = - 10 kN-m)

8 kN/m
10 m

A

Ra x Rb

วธิ ีทำ
โจทยก์ ำหนดให้
l = 10 m
w = 8 kN/m

การหาค่าแรงเฉือน(SF)ทรี ะยะก่งึ กลางคาน
กำหนดให้ A คือจุดใดๆบนคาน อยหู่ า่ งจากปลายซ้ายมือเท่ากบั x
แรงปฏกิ ิรยิ าที่ A และ B มคี ่าเท่ากับ wl / 2
ดังน้นั RA = RB = (8)(10) / 2 = 40 kN
แรงเฉือนทจ่ี ดุ A = Vx = wl / 2 - wx

หวั ขอ้ /งาน เฉลยใบงานท่ี 15 หนา้ ท่ี 5
ชอื่ รายวิชา (Answer Sheet No 15)
โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแขง็ แรงของวัสดุ

น่นั คอื VX เปน็ ปฏิภาคโดยตรงกับคา่ ของ x
ท่ี x = 0 คา่ แรงเฉอื น Va = wl / 2
ที่ x = l/2 หรอื x = 5 m ค่าแรงเฉือน = wl/2 – wx = (8)(10)/2 - (8)(5)

= 0 kN Ans

การหาโมเมนตด์ ดั BMที่ระยะกึง่ กลางคาน

กำหนดให้

MX = (wl/2) (x) - (wx)(x/2)
= (wlx/2) - (wx2/2)

กราฟของโมเมนต์ดดั จะเปน็ รูปโพลาโบลา

ทีร่ ะยะ x = 0 มคี า่ โมเมนต์เท่ากับ MB = 0
ที่ระยะ x = l/2 มีค่าโมเมนต์เทา่ กับ M = (wl/2)(l/2) - wl2/8 = wl2/8

แทนค่าสตู ร

Mระยะก่ึงกลางคาน = (8)(10)2 /8 = 100 kN-m Ans
ที่ระยะ x = l มคี ่าโมเมนตเ์ ทา่ กับ MC = 0

หัวขอ้ /งาน เฉลยใบงานท่ี 15 หนา้ ท่ี 6
ชอ่ื รายวชิ า (Answer Sheet No 15)
โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Simply supported beam )
ความแขง็ แรงของวัสดุ

การเขยี นกราฟได้ดงั นี้ 8 kN/m

10 m

A

Ra x Rb
+
+20 kN -
-20 kN
SFD 0

BMD 100 kN-m
0 +

สปั ดาห์ที่ 16
แผนบทเรียน

เร่อื ง
“ความเค้นดดั ในคาน (Bending stress in beam)”

แผนบทเรยี น

วิชา ความแข็งแรงของวสั ดุ ระดบั ปวส.

เรือ่ ง ความเคน้ ดัดในคาน (Bending stress in beam) เวลา 180 นาที

1. วตั ถปุ ระสงค์เชิงพฤติกรรม

ฒ. ความสามารถ ข. รายละเอียดระบไุ วใ้ น.....

1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเค้นดัดในคานได้อยา่ งถูกต้อง IS1-2 /WS ข้อ 1 / AS ข้อ 1 / TS ข้อ

1 ขอ้ 1

2. การนำเขา้ สูบ่ ทเรยี น ข. คำถามประกอบ
ก. อุปกรณช์ ่วยสอน 1. ถามนกั ศึกษาวา่ ทำไมตกึ ถงึ ถล่มและทำไมสะพานถงึ พงั

1. Power point

3. การปฏิบตั กิ าร

เวลา (X นาที) 160 180
1
หมายเลขวัตถุประสงค์ 1

ขัน้ สนใจปญั หา

ข้ันศกึ ษาข้อมูล บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธติ

ขน้ั พยายาม

ข้นั สำเรจ็ ผล

อปุ กรณ์ช่วย กระดานดำ
สอน Power
piont

แผน่ ใส

ของจริง

แผ่นภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. สง่ิ ที่แนบมาดว้ ย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเน้อื หา หน้าท่ี 1
(Information Sheet)
หัวข้อ / งาน ความเคน้ ดดั ในคาน (Bending stress in beam)
วัตถปุ ระสงค์ 1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาความเค้นดัดในคานได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ
ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam)

บทนจ้ี ะพจิ ารณาเฉพาะความเคน้ ท่เี กดิ จาก Bending moment เท่าน้นั เพราะมีค่าสูงสุด และเป็นคา่ ที่จะ
ไปใช้ในการออกแบบคาน จากบทท่ผี า่ นมาจะเหน็ วา่ ภาคตัดท่ีอย่ภู ายใต้ Bending moment สงู สดุ Shearing
force จะเปน็ ศูนย์ นั่นคอื ภาคตัดน้นั ซง่ึ มคี วามเค้นดึงและอัดสูงสุดที่เกิดจาก BM จะไมม่ ีความเค้นเฉือนจาก SF

ความสมั พันธ์ระหว่างความเค้น, รศั มีความโค้งของคาน, และระยะจาก neutral axis ไปยงั จดุ ท่ีต้องการ
หาความเค้น

MM

รปู ที่ 14.1 แสดงลักษณะโมเมนต์ดดั ในคาน

พจิ ารณาคานอยู่ภายใต้ Bending moment ทม่ี ีคา่ คงที่ เรียกวา่ อยูภ่ ายใต้ Pure bending เช่น ในรูป
14.1 บรเิ วณดา้ นล่าง วตั ถจุ ะยดื ออกทำใหเ้ กิดความเค้นแรงดึง ส่วนบรเิ วณดา้ นบนวัตถจุ ะหดเข้าทำให้เกิดความเคน้
อดั ความเคน้ ทั้งสองน้ีมีความสมั พนั ธก์ บั โมเมนต์ดดั , รัศมีความโคง้ และขนาดของคาน กอ่ นอนื่ เราตอ้ งกำหนดให้

ก) วสั ดขุ องคานต้องมีเน้อื สม่ำเสมอ คือ เปน็ ชนดิ เดยี วกัน และมคี ุณสมบตั เิ หมือนกันตลอด
ข) ภาคตัดของคานจะต้องสมมาตรรอบระนาบทถ่ี ูกดัด (Symmetry at plane of bending) นัน่ คือ

สำหรับคานในแนวระดบั อยู่ภายใต้แรงในแนวดง่ิ ภาคตดั จะต้อง Symmetry รอบแกนในแนวด่งิ (คือ
ขนาดท่วี ัดจากแกนในแนวด่งิ ออกไปสองขา้ งจะต้องเท่ากนั หรือรปู ร่างสองข้างของแกนจะต้อง
เหมอื นกนั )

ใบเนอื้ หา

(Information Sheet)

หัวขอ้ / งาน ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam) หนา้ ท่ี 2

วัตถุประสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดัดในคานได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ค) กอ่ นใสแ่ รง คานจะตอ้ งตรง และไม่มคี วามเคน้ ก่อน

ง) แรงทก่ี ระทำจะต้องอยู่ใน Plane of bending

จ) ภาคตดั ทเี่ ป็นระนาบก่อนคานงอ ยังเป็นระนาบหลังคานงอ

ฉ) กฎของฮกุ ใช้ได้กับช้นั ตามแนวยาวของโลหะทกุ ๆ ชน้ั และคา่ E เทา่ กนั ท้ังดา้ นที่อยูภ่ ายใต้ การอัด และ

ด้านท่อี ยภู่ ายใต้การดงึ

ช) ผลรวมของแรงกระทำท่ีตั้งฉากกับพ้ืนท่หี น้าตัดเทา่ กบั ศูนย์

mp Neutral axis
ac bd
nq NA
พ้ืนที่หนา้ ตดั
ก่อนถกู ดดั

d

m’ R M
p’
M c’a
n’ b
d’

q’

ขณะถูกดดั

รูปท่ี 14.2 แสดงชิ้นงานก่อนดดั และขณะถูกดัด

ใบเน้อื หา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam) หน้าท่ี 3

วัตถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดดั ในคานได้อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

พิจารณาคานอันหน่งึ ดังรปู ที่ 14.2 ทีห่ นา้ ตัด m – n ขนานกับหนา้ ตัด p – q ก่อนถกู ดดั จะเป็นระนาบที่

ขนานกัน เมื่ออยู่ใต้ภาระโมเมนตด์ ดั M ผิวบนจะไดร้ ับการอัด (Compressive) ดงั นนั้ m’ – p’ จะหดเข้า สว่ นผิว

ดา้ นลา่ งจะถูกดงึ (Tensile) n’ – q’ จะขยายออก สว่ นทร่ี ะยะ a-b จะมคี วามยาวเท่าเดมิ คืออยู่บริเวณท่ีไม่ถูกอัด

หรือถูกดึง ถงึ แม้วา่ จะถูกดดั จนโคง้ กต็ าม เราเรียกระดับน้ีว่า Neutral surface ความเค้นเท่ากบั ศนู ย์ เราเรยี กเส้นที่

อยรู่ ะดับเดยี วกบั Neutral surface ว่า Neutral axis

พิจารณาคานขณะท่ีถกู ดัด ระนาบ m’ – n’ และ p’ – q’ ตดั กนั ทจี่ ุด o กระทำมุม d และมีรศั มีความ
โคง้ R เม่อื ต้องการหาความเค้นท่รี ะดับ c’ – d’ อย่หู ่างจาก Neutral axis เทา่ กบั y วิธหี าคอื หา strain ก่อน
เพราะการเปลยี่ นแปลงขนาดหาไดง้ ่ายกวา่ แลว้ จงึ เปลีย่ น strain ใหเ้ ป็น stress

กอ่ นถูกดดั ความยาวท่รี ะดับนคี้ อื cd = ab = R d

ขณะถูกดัด ความยาวท่รี ะดับน้ีคือ c’d’ = (R + y ) d

ความยาวทีย่ ืดออก = (R + y ) d - R d = y d

ความเครียด strain = (ความยาวท่ยี ืดออก) / (ความยาวเดิม)

= y d / R d

=y/R

จากสมมุตฐิ านข้อ ฉ) กฎของฮุกใช้ได้

ดงั น้นั ความเคน้ stress;  =  / E =yE/R

หรอื  / y = E / R …………………………………..(14.1)

แต่ E และ R เปน็ ค่าคงท่ี ดังนนั้ stress;  เปน็ ปฏภิ าคโดยตรงกับระยะ y ถา้ เขยี นกราฟระหวา่ ง  กับ

y จะได้กราฟเส้นตรง เช่นในรปู 14.3 บริเวณดา้ นบนจะอยูภ่ ายใตค้ วามเค้นอัด c ซ่ึงเพิม่ มากขึ้นตามระยะ y

บรเิ วณด้านล่างจะอยภู่ ายใตค้ วามเคน้ ดึง t ซ่งึ เพ่ิมมากขึ้นตามระยะ y เช่นเดียวกนั คา่ บรเิ วณดา้ นบนจะอยู่

ภายใต้ความเคน้ อัด c ซ่ึงเพิม่ มากข้ึนตามระยะ y ค่า c maxอยทู่ ร่ี ะยะ y = c1 และคา่ t
maxอยู่ทร่ี ะยะ y = c2

ใบเนือ้ หา หนา้ ท่ี 4
(Information Sheet)
หัวข้อ / งาน ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam)
วตั ถุประสงค์ 1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดัดในคานได้อย่างถกู ต้อง 1 ข้อ
การหาตำแหน่งของ Neutral Axis

b

c c MN Az C1
M xx y C2
dy
t t y
yy dA

รูปท่ี 14.3 แสดงความสมั พันธ์ระหว่าง ความเค้นดดั กับระยะ y

พิจารณาภาคตัดอนั หนง่ึ ในภาพ 14.3 ให้ Neutral axis อย่ทู ่ี ZZ’

กำหนดพน้ื ที่ dA หา่ งจาก neutral axis = y

ทร่ี ะดับนีค้ ่าความเคน้  = E y / R

พ้ืนท่ี dA จงึ มแี รงเทา่ กับ E y dA / R

พน้ื ทที่ ้งั หมดมแี รงรวมเทา่ กับ (E / R)  y A

แตก่ ฎข้อ ช) ผลรวมของแรงทกี่ ระทำตงั ฉากกับพื้นทห่ี น้าตัด = 0

 (E / R)  y A = 0

แต่ (E / R)  0   y A = 0 ซ่ึงเป็นสตู รสำหรบั หา Centroid ของพ้นื ท่ี
ดงั น้นั neutral axis (บางทเี ขยี นยอ่ วา่ NA) จะเป็นเส้นท่ลี ากผ่าน Centroid ของพืน้ ท่หี นา้ ตัด

ใบเนื้อหา หนา้ ที่ 5
(Information Sheet)
หัวขอ้ / งาน ความเคน้ ดดั ในคาน (Bending stress in beam)
วตั ถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเค้นดดั ในคานได้อย่างถกู ต้อง 1 ข้อ

ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ดดั M และความเคน้ ดดั 

จากรูป 14.3 take moment ของแรงบนแถบเลก็ ๆ รอบ neutral axis = (E / R ) y dA

จะได้ dM = (E / R ) y dA y = (E / R ) y2 dA

M =  (E / R ) y2 dA
A

โดยท่ี  y2 dA คอื I (second moment of area)
A

M = EI /R
(M / I) = (E / R) ……………………………………(14.2)

เม่ือรวม (14.1) และ (14.2) เข้าด้วยกนั จะได้

(M / I) = ( / y ) = (E / R) ……………..…(14.3)

 = M y / I …………………………………...(14.4)
เม่อื

M = bending moment (N – m.)
I = second moment of area รอบ neutral axis (m4.)

 = stress ในทศิ ทางความยาว (N/m2)
y = ระยะจากneutral axisไปยังระดบั ทต่ี ้องการหา stress (m)
E = modulus of elasticity (N/m.2)
R = neutral surface (m.)

ใบเน้อื หา หนา้ ที่ 6
(Information Sheet)
หวั ข้อ / งาน ความเคน้ ดดั ในคาน (Bending stress in beam)
วตั ถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดดั ในคานได้อย่างถกู ต้อง 1 ข้อ
Section Modulus; Z

c max M C2
M N
x A
 t max
y C1

รปู ที่ 14.4 แสดงความเค้นดึง ความเค้นอดั บนคานสี่เหล่ียมคางหมูท่ีเกิดจากโมเมนต์ดัด

จากรูปที่ 14.4 ถ้าใหค้ า่ c1 เปน็ ระยะจาก neutral axis ไปยงั ผิวนอกด้าน Tension
c2 เปน็ ระยะจาก neutral axis ไปยงั ผิวนอกด้าน Compression

ดังนั้น t max = M c1 / I ………………………(14.5)
และ c max = M c2 / I ………………………(14.6)

I / c มชี ื่อเรยี กว่า Z

 I / c1 = Z1 , I / c2 = Z2
 t max = M / Z1
และ c max = M / Z2

ใบเน้ือหา

(Information Sheet)

หัวขอ้ / งาน ความเค้นดดั ในคาน (Bending stress in beam) หนา้ ที่ 7

วตั ถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดัดในคานได้อย่างถกู ต้อง 1 ข้อ

ตวั อยา่ งที่ 14.1) คานเหล็กอนั หนง่ึ มีพน้ื ทห่ี น้าตัดเป็นรปู สเี่ หล่ียมผนื ผา้ เชน่ ในรปู อยู่ภายใต้ Pure bending

จงหา Bending moment ทีค่ านจะรบั ไดถ้ ้าความเค้นหา้ มเกิน 150 MN/m2 ถ้า

ก) BM กระทำในแนว plane Cy (หมนุ รอบ Cz)
ข) BM กระทำในแนว plane Cz (หมุนรอบ Cy) y

100 mm C Z

วธิ ีทำ 50 mm
ก) BM กระทำในแนว plane Cy (หมุนรอบ Cz)

โจทย์กำหนดให้

max = 150 MN/m2
Iz = 50 * 1003 / 12 mm2 y

100 mm N AZ
C

50 mm

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หัวขอ้ / งาน ความเคน้ ดดั ในคาน (Bending stress in beam) หน้าท่ี 8

วตั ถปุ ระสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดัดในคานได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

สูตร max = M y / Iz
แทนค่า 150 = (M * 100/2) / (50 * 1003 / 12) = (M*100*12 ) / (2*50*1003 ) N/mm2

M = (150 * 2 * 50 * 1003 )/ (100 * 12 )

= 12,500,000 N–mm

= 12,5 kN–m Ans

ข) BM กระทำในแนว plane Cz (หมุนรอบ Cy)
โจทยก์ ำหนดให้

max = 150 MN/m2
Iz = 100 * 503 / 12 mm2

z

N50 y
Cmm A

50 mm

สูตร max = M y / Iz

แทนค่า 150 = (M * 50/2) / (100 * 503 / 12) = (M*50*12 ) / (2*100*503 ) N/mm2

M = (150 * 2 * 100 * 503 )/ (50 * 12 )

= 6,250,000 N–mm

= 6.25 kN–m Ans

ใบงานที่ 16

(Work Sheet No 16)

หัวขอ้ /งาน ความเคน้ ดดั ในคาน (Bending stress in beam) หน้าที่ 1

ช่อื รายวิชา ความแขง็ แรงของวัสดุ

ขอ้ ที่ 1) Simply Supported beam อันหน่ึงยาว 1.6 m มีพน้ื ท่ีหน้าตดั เป็นรปู สี่เหล่ียมผนื ผา้ กว้าง 64 mm.

หนา 100 mm. มีแรง 10 kN กระทำตรงกาลาง จงหาความเคน้ สูงสุดในคาน ( 37.5 MN/m2 )

วิธีทำ

F1 = 10 kN
RA 0.8 m. RB

1.6 m.

โจทย์กำหนดให้ N A h=100 mm.

F1 = …………. kN = ……………y.. N

คานกวา้ ง (b) = …………….. mm.

คานหนา (h) = ..................... b=64 mmmm. .

y = h/2

= …………../……….. mm.

= …………………. mm.

ใบงานท่ี 16

(Work Sheet No 16)

หวั ขอ้ /งาน ความเค้นดดั ในคาน (Bending stress in beam) หน้าท่ี 2

ช่ือรายวชิ า ความแข็งแรงของวสั ดุ

ข้อท่ี 1) Simply Supported beam อนั หนง่ึ ยาว 1.6 m มีพื้นท่หี น้าตัดเปน็ รูปส่เี หลีย่ มผืนผ้า กว้าง 64 mm.

หนา 100 mm. มแี รง 10 kN กระทำตรงกาลาง จงหาความเค้นสูงสุดในคาน ( 37.5 MN/m2 )

วิธที ำ

F1 = 10 kN
RA 0.8 m. RB

1.6 m.

โจทยก์ ำหนดให้ N A h=100 mm.

F1 = …………. kN = ……………y.. N

คานกว้าง (b) = …………….. mm.

คานหนา (h) = ..................... b=64 mmmm. .

y = h/2

= …………../……….. mm.

= …………………. mm.

หัวขอ้ /งาน เฉลยใบงานที่ 16 หน้าที่ 1
(Answer Sheet No 16)
ความเคน้ ดดั ในคาน (Bending stress in beam)

ชื่อรายวชิ า ความแขง็ แรงของวัสดุ
ขอ้ ท่ี 1) Simply Supported beam อันหนึ่งยาว 1.6 m มีพ้ืนทห่ี นา้ ตดั เปน็ รูปสเ่ี หลยี่ มผนื ผา้ กวา้ ง 64 mm.
หนา 100 mm. มีแรง 10 kN กระทำตรงกาลาง จงหาความเค้นสงู สดุ ในคาน ( 37.5 MN/m2 )
วิธที ำ F1 = 10 kN

RA 0.8 m. RB
1.6 m.

NA h=100 mm.
y

b=64 mm.

โจทย์กำหนดให้

F1 = 10 kN = 10,000 N

คานกว้าง (b) = 64 mm.

คานหนา (h) = 100 mm.

y = 100 / 2

= 100 / 2 mm.

= 50 mm.

ความยาวคาน = 1.6 m. = 1,600 mm.

หัวข้อ/งาน เฉลยใบงานท่ี 16 หนา้ ท่ี 2
ชือ่ รายวชิ า (Answer Sheet No 16)
ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam)
ความแข็งแรงของวัสดุ

หาโมเมนต์ดัดสงู สดุ ซ่งึ อยู่ตรงกลางคานอย่างง่ายมแี รงแบบจดุ 1 แรง กระทำตรงกลางจะทำให้
แรงปฏกิ ริ ิยาท่ีจุด A และจุด B มีค่าเท่ากนั

RA = RB = F1 / 2 = 10,000 / 2 = 5,000 N
BDmax = RA * (ความยาวคาน / 2)

= 5,000 * (1,600 / 2) N-mm.

= 4,000,000 N-mm.

สตู ร

max = M y / Iz

และ Iz = (bh3)/ 12

แทนคา่ สตู ร

max = (4,000,000 * 50 ) / (64 * 1003 / 12) N/mm.2

= 37.5 N/mm.2 Ans

หวั ขอ้ / งาน ใบทดสอบ หน้าที่ 1
วตั ถุประสงค์ (Test Sheet No 16) เวลา 40 นาที
ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam)
1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดัดในคานได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ช่ือ...................................................ระดับปวส. แผนกวิชา................................ห้อง.................เลขท่.ี ........วันท่ี
..............................

ข้อท่ี 1) กระดานสปริงบอร์ด สำหรบั นักกระโดดนำ้ พ้ืนท่ีหนา้ ตดั ขนาด 15  1 ½ น้ิว ดังภาพ รบั แรง
โมเมนตด์ ดั สูงสดุ 50,000 N-m จงหาความเค้นดดั สูงสุดที่เกดิ ข้นึ ในคาน กำหนดให้ 1 นิ้ว = 25.4 mm (0.542)

1 ½ ิ้นว

วธิ ที ำ 15 นิ้ว
โจทยก์ ำหนดให้

b = ………25.4 = 381 mm

h = ……….25.4 = 38.1 mm

M = …………… N-m

y = b / 2 = ………. / 2 mm = ………………. mm

สูตร max = M y / Iz

และ Iz = (bh3)/ 12

แทนคา่ สูตร

max = ( ……………………….) / (……….. ………..3 / 12) N/mm.2

= ………….. N/mm.2 Ans

เฉลยใบทดสอบ

(Answer Sheet No 16)

หัวขอ้ / งาน ความเค้นดัดในคาน (Bending stress in beam) หน้าท่ี 1

วัตถุประสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาความเคน้ ดัดในคานได้อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ เวลา 40 นาที

ขอ้ ท่ี 1) กระดานสปริงบอร์ด สำหรบั นกั กระโดดน้ำ พืน้ ท่ีหน้าตัดขนาด 15  1 ½ นิ้ว ดงั ภาพ รับแรงโมเมนต์

ดดั สงู สดุ 50,000 N-m จงหาความเค้นดัดสูงสดุ ท่ีเกดิ ขนึ้ ในคาน( 1 นิ้ว = 25.4 mm)

1 ½ ิ้นว

วิธีทำ 15 นิ้ว
โจทย์กำหนดให้

b = 1525.4 = 381 mm

h = 1.525.4 = 38.1 mm

A = bh = 38138.1 mm2
= 14,516.1 mm2

M = 50,000 N-m

y = b / 2 = 38.1 / 2 mm = 19.05 mm

สูตร max = M y / Iz

และ Iz = (bh3)/ 12

แทนค่าสตู ร

max = ( 50,00019.05) / (381 38.13 / 12) N/mm.2

= 0.542 N/mm.2 Ans

สัปดาหท์ ่ี 17
แผนบทเรียน

เร่ือง
“การโกง่ งอของคาน(Deflection of beam)”

แผนบทเรยี น ระดับ ปวส.
วชิ า ความแขง็ แรงของวัสดุ เวลา 180 นาที
เรื่อง การโก่งงอของคาน(Deflection of beam)
1. วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม ข. รายละเอียดระบไุ ว้ใน.....
ณ. ความสามารถ IS1-5 /WS ขอ้ 1 / AS ข้อ 1 / TS ขอ้
1 .นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ระยะโก่งตัวสูงสุดในคาน(Deflection 1
of beam)ได้อย่างถูกต้องอย่างน้อย 1 ข้อ

2. การนำเขา้ ส่บู ทเรยี น ข. คำถามประกอบ
ก. อุปกรณช์ ่วยสอน 1. ถามนักศึกษาว่าทำไมเชือกทใ่ี ช้ในการเดนิ ข้ามนำ้ และปีน
เขาถงึ ไม่ขาด
1. Power point

3. การปฏิบตั กิ าร

เวลา (X นาท)ี 160 180
1
หมายเลขวตั ถปุ ระสงค์ 1

ขน้ั สนใจปญั หา

ข้ันศกึ ษาข้อมลู บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธติ

ข้นั พยายาม

ขัน้ สำเร็จผล

อปุ กรณช์ ่วย กระดานดำ
สอน Power
piont

แผน่ ใส

ของจริง

แผน่ ภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. สิ่งท่แี นบมาด้วย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การโกง่ งอของคาน(Deflection of beam) หน้าท่ี 1

วัตถปุ ระสงค์ 1 .นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ระยะโกง่ ตวั สูงสุดในคาน(Deflection of beam)ได้อย่างถูกต้อง

อยา่ งน้อย 1 ข้อ

การหาค่าโกง่ งอของคาน(Deflection of beam) โดยวธิ ีโมเมนตพ์ ้นื ท่ี (Moment Area)

F1 F2 F3

Ra Rb

O B
d d xd

AR 
ds
B’
A’ 
dx
x

MG

x
รปู ที่ 15.1 แสดงหลักการคำนวณหาคา่ การโก่งงอในคาน

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การโกง่ งอของคาน(Deflection of beam) หน้าที่ 2

วตั ถปุ ระสงค์ 1 .นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ระยะโกง่ ตัวสงู สุดในคาน(Deflection of beam)ได้อย่างถูกต้อง

อยา่ งน้อย 1 ข้อ

การหาค่ามุมความชันของคาน

จากรูปที่ 15.1 ให้AB เป็นสว่ นของคานถูกแรงตา่ งๆกระทำ และมี Bending Moment Diagram เช่นในรูป
AB’ เป็นเส้นสมั ผสั ที่จุด A
BA’ เปน็ เสน้ สมั ผสั ท่ีจุด B

เสน้ ทัง้ สองทำมมุ กนั  องศา ซ่งึ ตามปกติจะมีคา่ น้อยมาก
พจิ ารณาช่วงคานสนั้ ๆ ช่วงหนึง่ ยาว ds

ลากเส้นสมั ผัสสองเสน้ ทรี่ ะยะ ds นี้ จำตดั กนั ทำมุม d
ลากเสน้ ต้ังฉากกับเส้นสมั ผสั ท่ี ds จะไดจ้ ุดศูนย์กลาง O ของความโคง้ ท่ีที่ ds และ มมุ ระหวา่ งรัศมคี วามโค้ง

จะเท่ากับ d

ds = d
หรอื dds = 1R = MEI
แต่ ds dx  ความชัน และ ds มีคา่ น้อยมาก


ddx = EMI

d = EMI dx …………………………………(15.1)

พจิ ารณาพน้ื ท่ีเล็กๆ กวา้ ง dx สูง M บนพ้นื ที่ Bending Moment จากสตู รที่ 15.1 จะไดค้ ่ามมุ  ดังสตู ร

 = B EMI dx
A
 = พ้นื ที่ของ BMEID จากA ถึง B ………………………..(15.2)
ดงั นั้นมุม  ระหวา่ งเสน้ สัมผัสทจ่ี ดุ A และ B บนคาน มีค่าเทา่ กับพืน้ ทีข่ อง Bending

Moment Diagram ระหว่างจดุ สองจุดนัน้ หารดว้ ย EI

ใบเน้ือหา

(Information Sheet)

หวั ข้อ / งาน การโก่งงอของคาน(Deflection of beam) หน้าท่ี 3

วตั ถปุ ระสงค์ 1 .นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าระยะโก่งตัวสูงสุดในคาน(Deflection of beam)ไดอ้ ย่างถกู ต้อง

อยา่ งน้อย 1 ข้อ

การหาคา่ ระยะการโกง่ ตวั ของคาน

การหาค่าระยะจาก B วดั ไปยงั เส้นสมั ผัสท่ี A คือ BB’

คา่ BB’ หาไดจ้ ากผลรวมของ xd

́ = = ∫
แทนค่า d จากสามการ (15.1)

́ = ∫


́ = (พน้ื ทข่ี อง จาก ถงึ )(ระยะ ของพนื้ ทไ่ี ปยงั )



́ = (พื้นที่)( ̅) ………………………………..(15.3)



การหาคา่ ระยะโกง่ ตัวของ Simply supported beam with concentrated load
ในการหาคา่ ระยะโก่งตัวสูงสุดของคานอยา่ งง่ายกค็ ือการหาคา่ BB’นัน่ เองโดยใชส้ ตู รท่ี 15.3

กับรูปที่ 15.2 กำหนดใหค้ านยาว l มแี รงแบบจดุ กระทำตรงกลาง

W B

A C B ymax

l

Ra Rb

BM G Wl/4
Dx

l /2

รูปที่ 15.2 แสดงภาพหลักการคำนวณหาคา่ ระยะโก่งตัวของคานอย่างงา่ ย