แผนการจัดการเรียนรู้แบบมุ่งเน้นสมรรถนะความแข็งแรงของวัสดุ

หวั ขอ้ /งาน ใบงานที่ 10 หนา้ ท่ี 2
ช่ือรายวชิ า
(Work Sheet No 10)

การบดิ ของเพลากลม(Torsion)(ความสัมพันธ์ระหวา่ งเค้นเฉือน,
ความเครียดเฉอื นและมุมบิดของเพลา)
ความแขง็ แรงของวัสดุ

สตู รท่ี 10.2  = …………………………องศา
= …………………………rad.
= …………………………rad

G = …………………………GN/m2
= …………………………N/mm.2

T/J = G  / l

T = GJ / l

แทนคา่ สูตร T = ……………………………………………………N-mm.
= …………………………N-mm.
= …………………………kN-m. Ans

ข) การหาคา่ ความเคน้ เฉือนสูงสดุ ในเพลา

จากสูตรที่ (10.1) /r = G  / l

ได้  = G  r / l

แทนค่าสตู ร  = ………………………………………………… N/mm.2
= …………………………N/mm.2 Ans

หวั ข้อ/งาน เฉลยใบงานท่ี 10 หน้าที่ 1
ชอ่ื รายวิชา
(Answer Sheet No 10)

การบิดของเพลากลม(Torsion)(ความสัมพันธ์ระหว่างเคน้ เฉอื น,
ความเครียดเฉอื นและมุมบิดของเพลา)
ความแขง็ แรงของวัสดุ

ข้อที่ 1) ขณะทส่ี ่งกำลงั จำนวนหนึ่ง เพลาอนั หนง่ึ ขนาดเสน้ ผา่ ศูนยก์ ลาง 50 mm. ยาว 2 m. บิดไป 1.2 องศา
ถ้า Modulus of rigidity; G ของวสั ดใุ ชท้ ำเพลา = 106 GN/m2
จงหา

ก) แรงบดิ ท่สี ่งได้
ข) ความเคน้ เฉือนสงู สุดในเพลา

วิธที ำ

ก) การหาค่าแรงบดิ ท่ีส่งได้

โจทย์กำหนดให้

d = 50 mm.

 r = 50/2 = 25 mm.

สูตร J =  * d4 / 32

แทนค่าสตู ร J =  * 50 4 / 32 mm.4

= 613,592 mm.4

l =2 m.

= 2,000 mm.

เฉลยใบงานที่ 10

(Answer Sheet No 10)

หัวข้อ/งาน การบิดของเพลากลม(Torsion)(ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งเคน้ เฉอื น, หน้าที่ 2
ความเครยี ดเฉอื นและมุมบิดของเพลา)

ชื่อรายวชิ า ความแข็งแรงของวสั ดุ

 = 1.2 องศา

= 1.2 *  / 180 rad.

= 0.020 943 rad

G = 106 GN/m2

= 106,000 N/mm.2

สูตรท่ี 10.2 T/J = G  / l

T = GJ / l

แทนค่าสูตร T = (106,000 * 0.020 943 * 613,592) / 2,000 N-mm.

= 681,105 N-mm.

= 681 kN-m. Ans

ข) การหาคา่ ความเคน้ เฉือนสงู สดุ ในเพลา

จากสูตรท่ี (10.1) /r = G  / l

ได้  = G  r / l

แทนคา่ สตู ร  = 106,000 * 0.020 943 * 25 / 2,000 N/mm.2

= 27.749 N/mm.2 Ans

หัวข้อ / งาน ใบทดสอบ หนา้ ที่ 1
วตั ถุประสงค์ (Test Sheet No 10) เวลา 40 นาที

การบิดของเพลากลม(Torsion)(ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งเค้นเฉือน, ความเครียด
เฉอื นและมมุ บดิ ของเพลา)
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเคน้ เฉือนในเพลาท่ีรับแรงบิดได้อยา่ ง
ถกู ต้อง 1 ข้อ

ชอ่ื ...................................................ระดบั ปวส. แผนกวชิ า................................ห้อง.................เลขท่.ี ........วนั ที่

..............................

ข้อที่ 1) เพลาโรงสขี นาดเส้นผา่ ศูนยก์ ลาง 75 mm. ยาว 6 m. บิดไป 1 องศา ถา้ Modulus of rigidity; G ของ

วัสดใุ ช้ทำเพลา = 106 GN/m2 จงคำนวณหา

ก) แรงบดิ ท่สี ง่ ได้

ข) ความเค้นเฉือนสูงสดุ ในเพลา

วธิ ีทำ

ก) การหาค่าแรงบิดท่สี ่งได้

โจทยก์ ำหนดให้

d = ……………… mm.

 r = ………/…………… = …………….. mm.

สูตร J =  * d4 / 32

แทนคา่ สตู ร J =  * ………….. 4 / …………. mm.4

= …………………… mm.4

l = ………….…………. m. = …………………… mm.

 = ............................... องศา

= ……….. *  / 180 = ………………….. rad

G = ………………… GN/m2 = …………………N/mm.2

สตู รที่ 10.2 T/J = G  / l

T = GJ / l

แทนค่าสตู ร T = ………………. * ….…….. * …………… / …………….N-mm.

= ……………………… N-mm.

= …………………….. kN-m Ans

ข) การหาค่าความเคน้ เฉอื นสงู สดุ ในเพลา

เฉลยใบทดสอบ 10
(Answer Sheet No 10)

หัวข้อ / งาน การบดิ ของเพลากลม(Torsion)(ความสมั พันธ์ระหวา่ งเค้นเฉือน, ความเครยี ด หนา้ ที่ 1

เฉือนและมุมบิดของเพลา)

ข้อที่ 1) เพลาโรงสขี นาดเสน้ ผ่าศูนย์กลาง 75 mm. ยาว 6 m. บิดไป 3 องศา ถา้ Modulus of rigidity;

G ของวสั ดใุ ชท้ ำเพลา = 106 GN/m2 จงคำนวณหา

ก) แรงบดิ ท่ีสง่ ได้

ข) ความเคน้ เฉือนสงู สดุ ในเพลา

วิธีทำ

ก) การหาค่าแรงบิดที่สง่ ได้

โจทย์กำหนดให้

d = 75 mm.

 r = 75/2 = 37.5 mm.

สตู ร J =  * d4 / 32

แทนค่าสตู ร J =  * 75 4 / 32 mm.4

= 3,106,311.095 mm.4

l =6 m.

= 6,000 mm.

 = 1 องศา = 1  / 180 = 0.017453292 rad

G = 106 GN/m2 = 106,000 N/mm.2

สูตรท่ี 10.2 T/J = G  / l

T = GJ / l

แทนค่าสตู ร T = (106,000 * 0.017453292 * 3,106,311.095) / 6,000 N-mm.

= 957,804.6 N-mm.

= 957.805 kN-m Ans

ข) การหาค่าความเคน้ เฉอื นสงู สุดในเพลา

จากสตู รที่ (10.1) /r = G  / l

ได้  = G  r / l

แทนค่าสตู ร  = 106,000 * 0.017453292 * 37.5 / 6,000 N/mm.2

= 11.563 N/mm.2 Ans

สัปดาหท์ ี่ 11
แผนบทเรยี น

เรือ่ ง
“การบดิ ของเพลากลม (Torsion)”

(พลงั งานความเครยี ดของการบิด (Strain energy in Torsion))

แผนบทเรียน

วิชา ความแขง็ แรงของวัสดุ ระดบั ปวส.

เรื่อง การบิดของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครยี ดของการบิด ) เวลา 180 นาที

1. วัตถปุ ระสงค์เชิงพฤติกรรม

ญ. ความสามารถ ข. รายละเอียดระบไุ ว้ใน.....

1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาค่าพลงั งานความเครยี ดของการบดิ ได้ IS1-2 /WS ขอ้ 1 / AS ข้อ 1 / TS ข้อ

อย่างถูกต้อง 1 ข้อ 1

2. การนำเขา้ สู่บทเรยี น ข. คำถามประกอบ
ก. อุปกรณ์ช่วยสอน 1. ถามนกั ศึกษาวา่ เราซักผา้ จะตากต้องบดิ ผ้าก่อนตาก เมื่อ
บดิ เสร็จหากเราปลอ่ ยผา้ จะ ผา้ จะเป็นอย่างไร
1. Power point

3. การปฏิบตั กิ าร

เวลา (X นาที) 170 180
1
หมายเลขวตั ถปุ ระสงค์ 1

ขัน้ สนใจปญั หา

ขั้นศกึ ษาขอ้ มลู บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธิต

ขนั้ พยายาม

ขน้ั สำเรจ็ ผล

อปุ กรณช์ ่วย กระดานดำ
สอน Power
piont

แผ่นใส

ของจรงิ

แผน่ ภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. ส่งิ ท่ีแนบมาด้วย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเนอื้ หา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน การบิดของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครยี ดของการบิด ) หนา้ ท่ี 1
วตั ถปุ ระสงค์
1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาค่าพลังงานความเครียดของการบดิ ได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

พลังงานความเครียดของการบดิ (Strain energy in Torsion)
ช้นิ งานที่อยภู่ ายใตแ้ รงดงึ จะสะสมคล้ายสปริง เราเรยี กว่าพลังงานความเครียด(Strain energy) เชน่ สปรงิ

โชคอัพของรถยนต์ รถจักรยานยนต์ และช้ินงานทรี่ ับแรงบิดก็มีพลังงานความเครียดเชน่ เดียวกัน รถยนต์กระบะ
ขนาด 1 ตนั (รถป๊ิกอพั ) บางคันใช้ทอรช์ น่ั บาร์ เปน็ อุปกรณ์รองรบั น้ำหนกั ซึ่งเก็บพลงั งานในรูปแบบของพลงั งาน
ความเครยี ด (Strain energy) เช่นกนั

s

r


o

F

ภาพท่ี 10.5 แสดงลกั ษณะพลงั งานความเครยี ดเนอ่ื งจากแรงบิดในเพลากลม

จากภาพที่ 10.5 ออกแรงบิดท่ีปลายแขนหา่ งจากจดุ ศนู ย์กลางเพลาระยะ S โดยเพ่ิมแรงเริ่มจาก 0

จนกระทง่ั มีค่าเทา่ กับ F มีผลทำใหเ้ พลาบดิ ไปเทา่ กับ  องศาทำใหแ้ รง F เคลื่อนท่ีไปได้ระยะทางเทา่ กับ S

คา่ แรงเฉลย่ี = (0 + F) / 2 = F/2

งานที่กระทำ = แรงเฉลี่ย  ระยะทแี่ รงเคลอื่ นท่ี

= (F/2)  S

แต่ F  S = แรงบดิ

 งานทท่ี ำ = T / 2 ……………………(10.3)

ใบเน้อื หา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบิดของเพลากลม (Torsion) (พลังงานความเครยี ดของการบิด ) หน้าท่ี 2

วัตถุประสงค์ 1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าพลังงานความเครียดของการบดิ ได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

งานทเ่ี กดิ จากแรง F กระทำน้ี เม่ือผ่อนแรง F ใหล้ ดลง เพลาจะกลับมาสตู่ ำแหนง่ เดิม หมายถึงเปน็ การ

ปลดปล่อยพลงั งานท่เี ก็บไว้ออกมา เราเรยี กพลงั งานน้ีว่าพลงั งานความเครยี ดของการบิด ใชส้ ัญลักษณ์วา่ U

หรือ U = T / 2

และเมื่อประยุกตก์ ับสูตรท่ี 10.5 ทำให้ได้สตู รใหม่เป็น

U = T / 2 = T2l / 2GJ ……………………(10.4)

แต่ T/J = /r = G / l

 T = J/r

และ  = l / rG

 U = T / 2

=  J  r l / 2 r2G

ตัวอยา่ งที่ 10.2) เพลาอันหน่ึงบดิ ไป 3 องศา เมื่อรับแรงบิด 900 kN - m จงคำนวณหาพลงั งานความเครยี ดของ
แรงบิด (Strain energy in Torsion)

วิธีทำ 900 kN – m
โจทย์กำหนดให้ 3 องศา
T= 3   / 180 rad.
0.0523 598 rad.
=
900 0.0523 598 / 2
=
= T / 2 Ans
สูตร (900)( 0.0523 598) / 2 kN - m
23.5 kN-m
U=
แทนคา่ สูตร

U=
=
=

หัวข้อ/งาน ใบงานท่ี 11 หนา้ ที่ 1
ชอ่ื รายวิชา (Work Sheet No 11)

การบิดของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครยี ดของการบิด )
ความแขง็ แรงของวสั ดุ

ขอ้ ที่ 1) เพลาอันหนึ่งบิดไป 1.2 องศา เม่ือรบั แรงบดิ 700 kN - m จงคำนวณหาพลังงานความเครียดของแรงบดิ
(Strain energy in Torsion) (7.33 kN-m)

วธิ ีทำ ……………………. kN – m
โจทยก์ ำหนดให้
T= ……………………... องศา

= ……………  / 180 rad.

= …………………….. rad.
=
สูตร T / 2

U= …………………/…………………… kN-m
แทนคา่ สตู ร
7.33 kN-m Ans
U=
=

หวั ขอ้ /งาน เฉลยใบงานที่ 11 หน้าที่ 1
ชื่อรายวิชา (Answer Sheet No 11)

การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครียดของการบิด )
ความแขง็ แรงของวัสดุ

ข้อที่ 1) เพลาอันหนงึ่ บิดไป 1.2 องศา เม่ือรับแรงบดิ 700 kN - m จงคำนวณหาพลงั งานความเครยี ดของแรงบดิ
(Strain energy in Torsion)

วธิ ีทำ 700 kN – m
โจทย์กำหนดให้ 1.2 องศา
T= 1.2   / 180
0.0209439 rad.
= rad.

= T / 2
=
สูตร T / 2

U= (700)( 0.0209439) / 2 kN - m
แทนคา่ สูตร
7.33 kN-m Ans
U=
=
=

ใบทดสอบ 10 หนา้ ท่ี 1
(Test Sheet No 10)
หัวข้อ / งาน การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลังงานความเครยี ดของการบิด )

ข้อท่ี 1) เพลาอนั หน่ึงรบั แรงบิด 200 kN-m บิดไป 1.5 องศา จงคำนวณหา พลังงานความเครียดของแรงบิด

วิธีทำ

โจทยก์ ำหนดให้

T = …………. kN-m

 = …………. องศา

= ………… *  / 180 rad.

= ……………… rad

สตู ร = T / 2
U
= T / 2
แทนคา่ สูตร = (………..)( …………..) / ……….
U = …………….. kN-m

kN - m
Ans

เฉลยใบทดสอบ 10 หน้าท่ี 1
(Answer Sheet No 10)
หัวข้อ / งาน การบิดของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครยี ดของการบิด )

ขอ้ ที่ 1) เพลาอนั หน่ึงรบั แรงบดิ 200 kN-m บดิ ไป 1.5 องศา จงคำนวณหา พลงั งานความเครยี ดของแรงบิด

วธิ ที ำ

โจทยก์ ำหนดให้

T = 200 kN-m

 = 1.5 องศา

= 1.5 *  / 180 rad.

= 0.0326179 rad

สูตร = T / 2
U
= T / 2
แทนคา่ สูตร =
U =

(200)( 0.0326179) / 2 kN - m

3.26 kN-m Ans

สัปดาห์ที่ 12
แผนบทเรียน

เร่อื ง
“สปรงิ ขด (Coil spring)”

แผนบทเรียน

วิชา ความแขง็ แรงของวัสดุ ระดับ ปวส.
เรื่อง สปรงิ ขด(Coil spring) เวลา 180 นาที

1. วัตถปุ ระสงค์เชิงพฤตกิ รรม

ฎ. ความสามารถ ข. รายละเอียดระบไุ ว้ใน.....

1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าความเค้นเฉือนในสปริงเม่ือรบั แรงได้ IS1-6 /WS ข้อ 1/ AS ข้อ 1 / TS ขอ้ 1

อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

2. นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ คงที่ของสปรงิ ได้อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ IS 1-6 /WS ข้อ 1 / AS ขอ้ 1 / TS ขอ้

1

2. การนำเขา้ สู่บทเรียน

ก. อปุ กรณ์ช่วยสอน ข. คำถามประกอบ

1. ถามนกั ศึกษาว่าปากกาแบบกดทำไมปากกาเล่ือนเข้า

ออก

1. Power point

3. การปฏิบตั กิ าร

เวลา (X นาท)ี 170 180
1-2
หมายเลขวตั ถปุ ระสงค์ 1-2

ข้ันสนใจปญั หา

ขน้ั ศึกษาข้อมลู บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธิต

ขน้ั พยายาม

ขนั้ สำเร็จผล

อุปกรณช์ ่วย กระดานดำ
สอน Power
point

แผ่นใส

ของจรงิ

แผ่นภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. สง่ิ ทแ่ี นบมาด้วย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลังงานความเครียดของการบดิ ) หนา้ ท่ี 1
วตั ถุประสงค์
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเคน้ เฉือนในสปรงิ เมื่อรับแรงได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

2. นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ คงทข่ี องสปรงิ ได้อย่างถกู ตอ้ ง 1 ข้อ

สปรงิ ขด (Coil spring)

สปริงขดใชท้ ำประโยชน์ไดด้ งั นี้

1. ใช้บังคับการสน่ั สะเทือน เช่นสปรงิ ในรถยนต์ และสปรงิ ในฐานเครือ่ งตา่ งๆ
2. ใชบ้ งั คับแรงซ่ึงเกิดจากการกระแทก หรือแรงท่ีทำทันทที ันใด(Shock load)เชน่ ในลฟิ ต์ ในขอ

สบั ของตรู้ ถไฟ
3. ใช้เปน็ ตัวออกแรง และบังคบั ทิศทางการเคลื่อนท่ีของช้ินส่วนตา่ งๆ เชน่ สปรงิ ใน คลัตช์ และ

เบรกรถยนต์
4. ใชเ้ ป็นตัวเก็บพลังงาน เช่น ลานนาฬกิ า
5. ใชส้ ำหรบั วดั แรง เชน่ สปรงิ ของตาชั่งสปริง

ความเค้นของสปริงขดอย่ใู ต้แรงตามแนวแกน

พจิ ารณาสปริงขดดังรูป เปน็ แบบขดติดกัน นนั่ คือมมุ เกลยี วของขดจะต้องไมม่ ากกวา่ 12 องศา ถา้ มมุ
เกลยี วมากกว่าน้ีขดจะห่างกนั สตู รทจ่ี ะคิดต่อไปนจี้ ะใช้ไม่ได้

จากรปู กำหนดให้
d = ขนาดเส้นผา่ ศูนยก์ ลางเสน้ ลวด
R = รัศมีเฉลย่ี ของขด
D = เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางเฉลีย่ ของขด
P = แรงดงึ หรอื แรงกด ตามแนวแกน

ในการหาความเค้น ตดั สปรงิ ออกมา ¼ ขด เช่นในรปู แล้วพิจารณาลวดสปรงิ ทางดา้ นปลายขวามอื ถา้
ยา้ ยแรง P จากตรงกลางมากระทำที่ลวดสปรงิ ทางขวามือ จากวชิ ากลศาสตร์ จะมีแรงคู่ควบมคี า่ = PR
เกิดขนึ้ ดว้ ย แรงคู่ควบนกี้ จ็ ะบิดลวดสปรงิ คอื แรงบดิ = PR เกดิ ขน้ึ

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หวั ข้อ / งาน การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลังงานความเครยี ดของการบิด ) หน้าท่ี 2
วัตถุประสงค์
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าความเค้นเฉือนในสปริงเม่ือรบั แรงไดอ้ ย่างถูกตอ้ ง 1 ขอ้

2. นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าคงทขี่ องสปรงิ ได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

P

P d
P
PR
R P

รปู ท่ี 11.1 แสดงลกั ษณะของแรงบิดท่เี กิดขึ้นในสปรงิ

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบิดของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครียดของการบดิ ) หนา้ ท่ี 3

วตั ถุประสงค์ 1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเคน้ เฉือนในสปริงเมื่อรับแรงได้อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

2. นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าคงท่ีของสปริงได้อยา่ งถกู ตอ้ ง 1 ข้อ

การคำนวณหาคา่ ความเค้นเฉือน

max = 16 max -’
 =

+

max = 16 PR/d3 ’ = 16 PR/d3 max + ’

(ก) (ข) (ค)

รูปที่ 11.2 แสดงการรวมความเคน้ เฉือนทีเ่ กดิ จากแรงโดยตรง กับแรงบิด

ความเคน้ เฉือนทเ่ี กดิ ขนึ้ ภายในขดสปริงเกดิ จาก 2 กรณี คือความเคน้ ทเี่ กิดจากแรงบดิ และความเคน้ เฉือนที่
เกดิ จากแรงในแนวแรง P สามารถคำนวณได้ดังน้ี

1) ความเคน้ ที่เกิดจากแรงบดิ (Torpue = PR) จะทำให้เกิดความเค้นเฉือนข้ึนในลวดสปริงมีค่าสูงสดุ อยู่ที่

ผิวนอก คำนวณได้จากสูตร

max = T r / J ……………….(11.1)
max = 32 P R d / 2 d4 = 16 PR/d3

ถา้ เขียนกราฟระหวา่ งความเค้นเฉอื น  กบั r จะได้กราฟเสน้ ตรงเช่นในรูป 11.2 ก

2) ถา้ คดิ แรงในแนวแรง P ที่เฉอื นพื้นที่หนา้ ตัดของลวดสปริงจะมคี วามเค้นเฉือนเกิดข้ึนมีคา่ เทา่ กันหมด
ตลอดทงั้ หนา้ ตัด d จะไดก้ ราฟเช่นในรปู 11.2 ข ซึ่งคำนวณไดจ้ ากสูตร

 = 4 P / d2 ………………….(11.2)

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลังงานความเครยี ดของการบิด ) หนา้ ท่ี 4
วัตถุประสงค์
1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นเฉือนในสปริงเม่ือรับแรงได้อยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

2. นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าคงที่ของสปริงไดอ้ ย่างถกู ต้อง 1 ข้อ

3) ดงั นั้นถ้ารวมความเค้นเฉือนจากข้อ 1) และ 2) จะไดก้ ราฟเช่นในรปู 11.2 ค
ค่าความเค้นเฉอื นสงู สดุ จะเกิดขน้ึ ท่ีผิวนอกของลวดสปริงแต่อยทู่ ่ดี า้ นในของขดไดด้ งั สมการ

max = (16 PR/d3) + (16 P / d2 ) …………………….(11.3)

แต่จากการทดลองจริงพบวา่ คา่ ความเค้นสงู สุดมคี ่ามากกว่าทีห่ าไดจ้ ากสมการ 11.2 เนื่องจาก
- ในการใช้สูตรของเพลา เป็นสตู รของเพลาตรง แตส่ ปรงิ โค้งเป็นรปู วงกลม
- สปริงโค้งมี ความเค้นภายในอย่แู ลว้ คา่ หนึ่งเกิดจากการดดั โค้งขึ้นรปู ขณะทำการผลิตเรียกว่า Stress
concentration

นาย A.M. Wahl ไดท้ ำการทดลองเก่ยี วกับสปริงขดไวม้ าก และคิดสูตรให้ใช้สำหรบั สปริงขดอยภู่ ายใต้แรง
ตามแนวแกนดังน้ี

max = K . 16 PR/d3 ……………………….(11.4)

K = [(4m – 1) / (4m - 4)] + (0.615/m) เรียกว่า Wahl’s factor …….(11.5)

เมือ่ m = D / d เรยี กว่า Spring index ……………………….(11.6)

ระยะยดื หรอื ระยะหดตามแนวแกน (Deflection,)

เมอ่ื มีแรงมากระทำในแนวแกน = P สปริงจะยดื ออกตามแนวแกน = 

 งานทท่ี ำ = Strain energy ที่เกดิ ขึ้นเน่ืองจากมีการยืดตวั ของสปรงิ ทัง้ หมด

= P/2

ในขณะเดยี วกันลวดสปรงิ จะโดนบดิ ด้วยแรงบิด T ทำใหเ้ กิดมมุ บดิ 

 Strain energy ทเี่ กิดขึน้ เพราะแรงบิด = T  / 2

จากกฎการคงตัวของพลงั งาน พลังงานที่เกิดขน้ึ จะตอ้ งเท่ากัน

 P/2 = T/2

 = T/P …………………………….(11.7)

แต่ P = P . R และ  = T l / J G

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หวั ข้อ / งาน การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลงั งานความเครยี ดของการบิด ) หนา้ ท่ี 5

วัตถุประสงค์ 1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นเฉือนในสปริงเมื่อรับแรงได้อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

2. นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาค่าคงท่ขี องสปรงิ ไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง 1 ข้อ

เม่ือ l = ความยาวของขดลวด

l = 2  R n ให้ n เปน็ จำนวนขดของสปริง

J =  d4/32

  = (P R 2  R n 32 ) / ( d4 G)

แทนคา่ ในสมการ (11.6)

 = ( P R P R 2  R n 32) / (  d4 G P)

 = (64 P R 3 n) / ( G d4 ) …………………………….(11.8)

คา่ คงทีข่ องสปริง ( Scale of spring, Spring constant or spring stiffness; k )

ค่าคงที่ของสปรงิ k ให้คำจำกัดความวา่ แรงท่ีกระทำตอ่ ระยะยืดออกตามแนวแกน

k = P/ มีหนว่ ยเปน็ N/m

จาก (11.7)

k = P /  = (G d4) / (64 R3 n) …………………………….(11.9)

เนอ่ื งจากสปริงแต่ละอันย่อมมีค่า G, d, R และ n เปน็ คา่ คงที่ดงั นน้ั ค่า k จึงเปน็ คา่ คงท่ดี ้วย

ตัวอยา่ งที่ 11.1) สปรงิ ขดแบบชนิดตดิ กันทำจากลวดเหลก็ สปริงขนาดเสน้ ผ่าศนู ย์กลาง 5 mm. เส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง

เฉลีย่ ของขด = 50 mm.มจี ำนวนขออยู่ 8 ขด เม่ืออยภู่ ายใตแ้ รง 240 N จงหา

ก) shear stress

ข) ค่า deflection ถา้ modulus of rigidity G = 100 GN/m2

วิธที ำ โจทยก์ ำหนดให้

d = 5 mm.

D = 50 mm.

R = 25 mm.

n = 8 ขด

P = 240 N

G = 100 GN/m.2

= 100,000 N/mm.2

ใบเน้ือหา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบดิ ของเพลากลม (Torsion) (พลังงานความเครยี ดของการบิด ) หนา้ ท่ี 6
วตั ถปุ ระสงค์
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าความเคน้ เฉือนในสปริงเมื่อรบั แรงไดอ้ ย่างถูกต้อง 1 ข้อ

2. นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าคงที่ของสปรงิ ไดอ้ ยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

ก) คำนวณหาความเคน้ เฉือนสงู สดุ

สตู ร max = K16 PR/d3 ……………….(11.4)

แต่ K = [(4m – 1) / (4m - 4)] + (0.615/m)

และ m = D/d = 50/5 = 10

 K = [(40 – 1) / (40 - 4)] + (0.615/10)

= 1.145

 max = ( 1.145*16 *240*25 ) / ( 53 ) N/mm.2

= 279.868 N/mm.2 Ans

ข) การหาระยะยืดตวั ในแนวแกน

จากสูตรท่ี(11.8)

 = (64 P R 3 n) / ( G d4 )

แทนค่าสูตร

 = (64 *240 *25 3 *8) / ( 100,000 * 54 )

= 30.72 mm. Ans

ใบงานที่ 12
(Work Sheet No 12)

หวั ข้อ/งาน สปริงขด(Coil spring หนา้ ที่ 3
ช่อื รายวชิ า ความแข็งแรงของวสั ดุ

ขอ้ ที่ 1) สปริงขดแบบขดติดกันอันหน่งึ มี 27 ขด ทำจากลวดสปริงขนาดเสน้ ผา่ ศูนยก์ ลาง 3 mm. ขนาด
เสน้ ผา่ ศูนยก์ ลางเฉลย่ี ของขด = 30 mm. อยภู่ ายใต้แรง 50 N จงหาขนาดความเคน้ เฉือนสูงสดุ ในลวด และระยะยืด
ตัว ถา้ modulus of rigidity ของวัสดุ = 93 GN/m2

วธิ ีทำ

โจทย์กำหนดให้

N = ………… ขด

d = ………… mm

D = ………… mm หรือ R = …………. mm

P = ………… N

G = …… GN/m2 หรอื = …………………N/mm2

หาคา่ K จาก สตู ร K = [(4m-1) / (4m-4)] + [0.615 / m] เรียกว่า Wahl’s factor(11.5)

เมื่อ m = D/d = ……….. = …………

 K = [(……..*……. -1) / (…....*…….. - 4)] + [ …….. / ……… ]

= ………………….

หาคา่  จาก สูตร  = K * (16 * P * R ) / ( * d3)

แทนค่าสตู ร  = …………………………………………. N/mm.2

= 161.98 N/mm.2 Ans

หาคา่ ระยะยดื ตัวจากสตู ร

 = (64 P R 3 n) / ( G d4 ) ………………………….(11.9)

แทนคา่ สตู ร  = ………………………/………………. mm.
= 38.71 mm. Ans

เฉลยใบงานที่ 12
(Answer Sheet No 12)

หวั ขอ้ /งาน สปรงิ ขด(Coil spring) หน้าที่ 1
ชื่อรายวชิ า ความแขง็ แรงของวัสดุ

ข้อท่ี 1) สปริงขดแบบขดติดกันอนั หน่งึ มี 27 ขด ทำจากลวดสปริงขนาดเสน้ ผ่าศนู ยก์ ลาง 3 mm.
ขนาดเส้นผา่ ศนู ยก์ ลางเฉลีย่ ของขด = 30 mm. อยภู่ ายใต้แรง 50 N จงหาขนาดความเคน้ เฉอื นสงู สุด
ในลวด และระยะยืดตัว ถ้า modulus of rigidity ของวัสดุ = 93 GN/m2

วิธีทำ

โจทย์กำหนดให้

N = 27 ขด

d =3 mm

D = 30 mm หรือ R = 15 mm

P = 50 N

G = 93 GN/m2 หรือ = 93,000 N/mm2

หาคา่ K จาก สตู ร K = [(4m-1) / (4m-4)] + [0.615 / m] เรยี กว่า Wahl’s

factor(11.5)

เม่อื m = D/d = 30/3 = 10

 K = [(4*10 -1) / (4*10 - 4)] + [ 0.615 / 10 ]

= 1.145

หาค่า  จาก สตู ร  = K * (16 * P * R ) / ( * d3)

แทนคา่ สตู ร  = 1.145*(16*50*15) / ( * 33 )

= 161.98 N/mm.2 Ans

หาค่าระยะยืดตวั จากสตู ร

 = (64 P R 3 n) / ( G d4 ) ………………………….(11.9)

แทนคา่ สูตร  = (64*50*153*27) / (93,000* 34 ) mm

= 38.71 mm. Ans

หัวข้อ / งาน ใบทดสอบ หนา้ ท่ี 1
วตั ถปุ ระสงค์ (Test Sheet No 5) เวลา 40 นาที
สปรงิ ขด(Coil spring)
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าความเค้นทีเ่ กิดขึน้ ในวัสดุสองชนิดยึดติดกนั
(Composite bars ) เมอื่ รับแรงดึงหรือแรงอดั ไดอ้ ย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ชือ่ ...................................................ระดับปวส. แผนกวิชา................................หอ้ ง.................เลขท.่ี ........วนั ที่

..............................

1) สปริงขดแบบชนิดติดกนั ทำจากลวดเหล็กสปรงิ ขนาดเสน้ ผ่าศนู ยก์ ลาง 10 mm. เสน้ ผา่ ศนู ย์กลางเฉลย่ี ของขด =

200 mm. มจี ำนวนขดอยู่ 5 ขด เมอื่ อยภู่ ายใต้แรงดึง 500 N จงหา PP
ก) shear stress

ข) คา่ deflection ถ้า modulus of rigidity G = 100 GN/m2

โจทย์กำหนดให้ P
d = ……………..mm.
D = ……………..mm. DP
R = ……………..mm. d
n = ……………..ขด
P = ……………..N P
G = ………..GN/m.2 = ………....N/mm.2 RP

ก) คำนวณหาความเค้นเฉือนสงู สุด R

สตู ร max = K16 PR/d3 …….(11.4) N/mm.2

แต่ K = [(4m – 1) / (4m - 4)] + (0.615/m)

และ m = D/d = ………./………. = …….…….

K = [(………..–……….) / (………. - …….)] + (…………./………)
= ………………….

 max = (………………*…….. *………*…………. ) / (……………)

= …………………. N/mm.2 Ans

หัวข้อ / งาน ใบทดสอบ หน้าท่ี 2
วัตถปุ ระสงค์ (Test Sheet No 12) เวลา 40 นาที
สปรงิ ขด(Coil spring)
1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นที่เกดิ ขนึ้ ในวสั ดุสองชนิดยดึ ติดกัน
(Composite bars ) เม่ือรบั แรงดึงหรอื แรงอดั ไดอ้ ย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ชอื่ ...................................................ระดับปวส. แผนกวชิ า................................ห้อง.................เลขที.่ ........วนั ที่
..............................

ข) การหาระยะยดื ตัวในแนวแกน

จากสตู รท่ี(11.8)  = (64 P R 3 n) / ( G d4 )
แทนคา่ สตู ร

 = (………. *………. *……….. *………….) / ( ………….. * …………. )

= 4.32 mm. Ans

หาคา่ ระยะยดื ตวั จากสตู ร

 = (64 P R 3 n) / ( G d4 ) ………………………….(11.9)

แทนค่าสูตร  = ………………………/………………. mm.

= ……………………… mm. Ans

หวั ข้อ / งาน ใบทดสอบ หนา้ ที่ 1
วัตถปุ ระสงค์ (Answer Sheet No 12) เวลา 40 นาที
สปริงขด(Coil spring)
1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าความเคน้ ทีเ่ กดิ ข้นึ ในวัสดุสองชนิดยึดตดิ กนั
(Composite bars ) เมอ่ื รับแรงดึงหรอื แรงอดั ไดอ้ ย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ชอื่ ...................................................ระดับปวส. แผนกวชิ า................................หอ้ ง.................เลขที.่ ........วนั ท่ี

..............................

1.) สปรงิ ขดแบบชนดิ ติดกันทำจากลวดเหลก็ สปริงขนาดเสน้ ผ่าศนู ยก์ ลาง 10 mm. เสน้ ผ่าศนู ย์กลางเฉลีย่ ของขด =

200 mm. มจี ำนวนขดอยู่ 5 ขด เมือ่ อยภู่ ายใต้แรงดงึ 500 N จงหา

ก) shear stress PP
ข) คา่ deflection ถา้ modulus of rigidity G = 100 GN/m2

วิธที ำ

โจทยก์ ำหนดให้

d = 10 mm.

D = 200 mm. P
R = 10 mm.

n = 5 ขด

P = 500 N

G = 100 GN/m.2

= 100,000 N/mm.2

ก) คำนวณหาความเคน้ เฉือนสูงสดุ DP

สตู ร max = K16 PR/d3 …….(11.4) d
P
แต่ K = [(4m – 1) / (4m - 4)] + (0.615/m) RP
และ m = D/d = 200/10 = 20
R
 K = [(80 – 1) / (80 - 4)] + (0.615/80)
= 1.0471612 N/mm.2

 max = (1.0471612*16 *500*100 ) / ( 103 )

= 266.657 N/mm.2 Ans

หัวข้อ / งาน ใบทดสอบ หนา้ ที่ 2
วัตถปุ ระสงค์ (Answer Sheet No 12) เวลา 40 นาที
สปริงขด(Coil spring)
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าความเคน้ ทีเ่ กิดข้นึ ในวัสดุสองชนิดยึดติดกัน
(Composite bars ) เม่อื รับแรงดึงหรอื แรงอัดไดอ้ ย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ข) การหาระยะยดื ตัวในแนวแกน
จากสตู รที่(11.8)

 = (64 P R 3 n) / ( G d4 )

แทนคา่ สูตร

 = (64 *500 *30 3 *5) / ( 100,000 * 104 )

= 4.32 mm. Ans

สปั ดาหท์ ่ี 13
แผนบทเรียน

เรอื่ ง
“การบิดของท่อกลมท่บี างมาก”

แผนบทเรียน ระดบั ปวส.
วิชา ความแขง็ แรงของวสั ดุ เวลา 180 นาที
เรื่อง การบิดของท่อกลมท่ีบางมาก
1. วัตถุประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม ข. รายละเอียดระบุไวใ้ น.....
ฏ. ความสามารถ IS1-4 /WS ขอ้ 1 / AS ข้อ 1 / TS ข้อ
1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าความเค้นเฉือนในการบิดท่อกลมที่ 1
บางมาก ได้อย่างถกู ต้อง 1 ข้อ

2. การนำเข้าส่บู ทเรยี น ข. คำถามประกอบ
ก. อปุ กรณ์ช่วยสอน 1. ถามนกั ศึกษาว่าทำไมบิดลูกโปง่ เป็นลูกต่างๆ
ทำไมลูกโป่งไม่แตก
1. Power point

3. การปฏิบตั ิการ

เวลา (X นาที) 170 180
1
หมายเลขวตั ถปุ ระสงค์ 1

ขัน้ สนใจปญั หา

ขัน้ ศกึ ษาข้อมูล บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธติ

ขั้นพยายาม

ขั้นสำเรจ็ ผล

อุปกรณ์ช่วย กระดานดำ
สอน Power
point

แผ่นใส

ของจริง

แผน่ ภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. สงิ่ ท่ีแนบมาด้วย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบิดของท่อกลมทีบ่ างมาก หน้าท่ี 1
วัตถุประสงค์
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเคน้ เฉือนในการบดิ ท่อกลมทีบ่ างมาก ได้อย่างถูกตอ้ ง 1

ขอ้

ความเคน้ เฉือนในท่อกลมท่บี างมาก

Mean center line

r

t



รปู ที่ 12.1 ความเค้นเฉือนท่ีเกิดจากแรงบดิ ในท่อบาง

สำหรบั ท่อกลมกลวงทบ่ี างมาก ขนาดเสน้ ผ่าศูนยก์ ลางภายใน dI เกอื บเทา่ กับเส้นผ่าศูนยก์ ลางนอก do
ดังนั้นถ้าคิดค่า Polar second moment of area ;

J จากสตู ร J = (do4 – di4) แลว้ จะทำให้ไดค้ ่าที่ไม่ละเอียดแนน่ อนพอ จึงควรคิดจากหลักเบ้ืองตน้ นั่นคือ
ควรใชส้ ตู ร

∫ 2 ≈ 2 ∫ = 2 3 …………………(12.1)

เมอื่ r = รศั มเี ฉล่ยี ของท่อ
t = ความหนาของทอ่

เนื่องจากท่อบางมาก ค่า Shear stress ตลอดความหนาจะเปล่ียนแปลงเลก็ นอ้ ย ในทนี่ จ้ี ะสมมตุ วิ า่ ค่า Shear
stress คงทตี่ ลอดความหนา

ใบเนอื้ หา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน การบิดของท่อกลมทบี่ างมาก หนา้ ท่ี 2

วัตถุประสงค์ 1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเคน้ เฉือนในการบิดทอ่ กลมทบี่ างมาก ได้อยา่ งถูกต้อง 1

ข้อ

ดังนนั้ จาก  = T r / J = T / 2  r2 t ……………..……(12.2)

และ  = T l / G J = T l / 2  r3 t G ………………(12.3)

ถ้าให้ A =  r2 = พื้นทีห่ น้าตดั ท่ี mean center line ลอ้ มรอบ

และ s = 2  r = ความยาวของ mean center line

สูตรที่ (12.2) และ (12.3) สามารถเขยี นใหมไ่ ด้ดงั นี้

 = T / 2A t .………………………..……(12.4)

และ  =  s l / 2 A G ………………………………(12.5)

ในสูตรท่ี (12.4) และ (12.5) น้สี ามารถใช้กบั ทอ่ บาง ทม่ี ีพื้นทห่ี นา้ ตดั เช่นใดก็ได้ เชน่ ในรปู 12.2 ท่อบาง

อยภู่ ายใต้แรงบิด T

F=*t*
ds

ds

r

รูปท่ี 12.2 ทม่ี าของการหาสตู รในการคำนวณหาค่าความเค้นเฉือน
Shear strain;  ท่ี element เล็กๆ จะเท่ากัน ดังนนั้ shear stress; จะเท่ากนั ตลอด

พิจารณา element ยาว ds บนพ้นื ท่หี นา้ ตดั อนั หนึง่ ดังนั้นแรงเฉือน dF =  * t * ds

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบดิ ของท่อกลมที่บางมาก หนา้ ท่ี 3

วตั ถุประสงค์ 1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเคน้ เฉือนในการบดิ ท่อกลมทบ่ี างมาก ได้อย่างถูกตอ้ ง 1

ขอ้

ทำใหเ้ กดิ torque รอบศนู ย์กลาง = dT =  * t * r * ds

T =   * t * r * ds

=  * t  r * ds

แต่  r * ds = 2 A

ดังน้ัน T =  * t * *2 * A

หรือ  = T / 2 A t

การหา angle of twist ;
อาจหาไดจ้ าก strain energy พจิ ารณา element เลก็ ๆ ขนาด dx dy dz ดงั รูปที่ 13.3

 dy P= dx dz



dy

dx

รปู ท่ี 12.3 ความเค้นเฉอื นท่ขี น้ึ บนผิวผนังท่อทีเ่ กดิ จากแรงบิด
U = งานโดยแรงเฉอื น  dx dz ท่ีผิวบน
= ( dx dz  dy) / 2
= (  * ปริมาตร ) / 2
= (2 ) / ( 2 * G * ปริมาตร)
= (2 ) / ( 2 * G * s * l * t)

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หวั ขอ้ / งาน การบิดของท่อกลมทีบ่ างมาก หนา้ ที่ 4
วตั ถปุ ระสงค์
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าความเค้นเฉือนในการบดิ ท่อกลมท่ีบางมาก ได้อย่างถูกตอ้ ง 1

ขอ้

แตจ่ าก strain energy in torsion

U = T*/2

 T *  / 2 = (2 s l t) / ( 2 * G )

  = (2 s l t ) / ( T * G) ..........................................(12.6)

หรือ  = ( s l ) / (2 A G ) ...........................................(12.7)

ตวั อยา่ งท่ี 12.1) ท่อเหลก็ กลวงบาง พ้นื ที่หนา้ ตดั เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมผนื ผ้า ขนาดดา้ นนอกกว้าง 25
mm . ยาว 50 mm. หนา 1 mm. อยภู่ ายใต้ Torqu 100 N-m จงหา

ก) shear stress ที่เกดิ ขึ้น
ข) angle of twist ต่อความยาว 1 m ถ้า G = 80 GN/m2
วิธที ำ
โจทย์กำหนดให้

ท่อกวา้ ง = 26 mm, ยาว 51 mm.

 ความยาวของ mean centre line; s = ( 2 * 50) + ( 2 * 25 ) = 154 mm

พ้ืนท่ีที่ center line ล้อมรอบ A = 50* 25 = 1,250 mm2

ก) สตู ร  = T / 2 A t

แทนค่าสตู ร

 = 100 * 1000 / 2* 1250 * 1 N/mm2

= 40 N/mm2 Ans

ข) สูตร

 = ( s l ) / (2 A G )

แทนค่าสูตร

 = (40 * 150 * 1000 ) / ( 2 * 1250 * 80 * 1000 ) radian

= 0.03 radian

= 0.03 * 180 /  = 1.718 องศา Ans

ใบงานที่ 13

(Work Sheet No 13)

หัวข้อ/งาน การบิดของท่อกลมที่บางมาก หน้าท่ี 1

ชอ่ื รายวชิ า ความแขง็ แรงของวสั ดุ

ขอ้ ที่ 1) ท่อทองเหลอื งบางอันหนง่ึ มพี ้นื ที่หนา้ ตดั เป็นรูปส่เี หล่ยี มผนื ผา้ ขนาดดา้ นนอก 25.4 mm. x 17.7 mm. หนา

0.8 mm. ถา้ Shear stress หา้ มเกิน 30 MN/m2 กำหนดให้ G = 34.5 GN/m2 (99.6 N-m , 2.9o ) จง

หา

ก) Torque ท่จี ะรับได้ ข) Angle of twist ต่อความยาว 1 m

วิธีทำ ก) หาค่า Torque ทจ่ี ะรับได้

โจทยก์ ำหนดให้ หน้าตัดท่อ กว้าง = …………. mm.

ยาว = ………… mm.

t = …………. mm.

 ความยาวของ mean centre line; s = ( 2 * 25.4) + ( 2 * 17.7 ) = 86.2 mm

 = ……….. N/mm2

G = ……….. GN/m2

= ……………. N/m2

พน้ื ท่ีที่ center line ล้อมรอบ A = ……….. * …………..= …………….. mm2

สูตร  = T / 2 A t

แทนคา่ สูตร

…………. = ……… / ……* ………… * …….. N/mm2

T = …….. * …… * ……… * …….. N/mm2

= ……………….. N-mm.

= ……………….. N-m. Ans

ข) หาค่าAngle of twist ต่อความยาว 1 m

โจทยก์ ำหนดให้

ความยาวท่อ = 1 m.

= 1,000 mm.

สตู ร  = ( s l ) / (2 A G )

แทนคา่ สูตร

 = (…………*…………*………) / (…. * ……… * …… * ………… ) radian

= ………………… radian

= ………………* 180 /  = 2.060 องศา Ans

เฉลยใบงานที่ 13

(Answer Sheet No 13)

หัวข้อ/งาน การบดิ ของท่อกลมท่บี างมาก หน้าที่ 1

ช่ือรายวิชา ความแข็งแรงของวัสดุ

ขอ้ ท่ี 1) ทอ่ ทองเหลืองบางอันหนึ่ง มพี ้นื ที่หนา้ ตดั เป็นรปู ส่เี หลยี่ มผืนผา้ ขนาดด้านนอก 25.4 mm. x 17.7 mm.

หนา 0.8 mm. ถ้า Shear stress หา้ มเกิน 30 MN/m2 กำหนดให้ G = 34.5 GN/m2 (99.6 N-m , 2.9o )จง

หา

ก) Torque ทีจ่ ะรบั ได้ ข) Angle of twist ต่อความยาว 1 m

วิธที ำ ก) หาคา่ Torque ที่จะรบั ได้

โจทย์กำหนดให้ หนา้ ตัดท่อกว้าง = 17.7 mm.

ยาว = 25.4 mm.

T = 0.8 mm.

 ความยาวของ mean centre line; s = ( 2 * 25.4) + ( 2 * 17.7 ) = 86.2 mm

 = 30 N/mm2

G = 34.5 GN/m2

= 34,500 GN/mm2

พน้ื ท่ที ่ี center line ลอ้ มรอบ A = 25.4 * 17.7 = 449.58 mm2

สตู ร  = T / 2 A t

แทนค่าสตู ร

30 = T / 2* 449.58 * 0.8 N/mm2

T = 30 * 2 * 449.58 * 0.8 N/mm2

= 21,579.84 N-mm.

= 21.578 N-m. Ans

ข) หาค่าAngle of twist ต่อความยาว 1 m

โจทย์กำหนดให้ ความยาวทอ่ = 1 m.

= 1,000 mm. radian
Ans
สตู ร = ( s l ) / (2 A G )

แทนค่าสตู ร

 = (30 * 86.2 * 1000 ) / ( 2 * 449.58 * 80 * 1000 )

= 0.035 950 radian

= 0.035 950 * 180 /  = 2.060 องศา

หัวข้อ / งาน ใบทดสอบ หน้าที่ 1
วัตถุประสงค์ (Test Sheet No 13) เวลา 40 นาที
การบิดของท่อกลมท่บี างมาก
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นเฉือนในการบดิ ทอ่ กลมทบ่ี างมาก
ได้อย่างถูกตอ้ ง 1 ขอ้

ชื่อ...................................................ระดับปวส. แผนกวิชา................................ห้อง.................เลขท.ี่ ........วันที่
..............................

1) ท่อเหล็กกลวงบาง พืน้ ท่ีหนา้ ตัดเปน็ รปู สเ่ี หลีย่ มจตั รุ สั ขนาดด้านนอกกว้าง 30 mm. 30 mm หนา 1.2
mm. อยู่ภายใต้ Torque 180 N-m จงหา

ก) shear stress ที่เกิดขน้ึ
ข) angle of twist ต่อความยาว 1 m ถ้า G = 100 GN/m2

วิธที ำ

โจทย์กำหนดให้ 30 mm

ทอ่ กวา้ ง = ………… mm

ท่อยาว = …………. Mm

t = …………….. mm 30 mm
T = …………….. N-m

= ……………..N-mm

G = ……………… GN/m2

= …………….. N/mm2

ก) หาคา่ shear stress

จากขนาดทอ่ ที่กำหนดไดค้ วามยาวของท่อทั้งสี่ด้านเทา่ กนั เน่ืองจากมหี น้าตัดเปน็ สี่เหลี่ยมจัตรุ สั

ดงั นนั้ mean centre line; s = ( 4 ……….. ) = ……………….. mm

พนื้ ที่ท่ี center line ลอ้ มรอบ A = ……….. ………….. = ………………… mm2

สูตร  = T / 2 A t

แทนค่าสูตร

 = ……………… / ( ………….…………  ……………) N/mm2

= ……………… N/mm2 Ans

หัวข้อ / งาน ใบทดสอบ หนา้ ท่ี 2
วัตถปุ ระสงค์ (Test Sheet No 13) เวลา 40 นาที
การบดิ ของท่อกลมที่บางมาก
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นเฉือนในการบิดทอ่ กลมทีบ่ างมาก
ได้อยา่ งถูกตอ้ ง 1 ข้อ

ชื่อ...................................................ระดับปวส. แผนกวชิ า................................หอ้ ง.................เลขท.ี่ ........วันที่
..............................

ข) หาค่าAngle of twist ตอ่ ความยาว 1 m radian
โจทย์กำหนดให้ Ans
ความยาวทอ่ = …………. m.
= ……………. mm.

สตู ร  = ( s l ) / (2 A G )
แทนคา่ สตู ร

 = …………  …….  ……. ) / ( ……….  ……….  ……….. )
= ………….. radian

= ………….. * ………… / ……….. =………… องศา

หวั ข้อ / งาน เฉลยใบทดสอบ หนา้ ท่ี 1
วัตถปุ ระสงค์ (Answer Sheet No 13) เวลา 40 นาที
การบิดของท่อกลมที่บางมาก
1.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าความเคน้ เฉือนในการบดิ ทอ่ กลมท่บี างมาก
ไดอ้ ยา่ งถูกต้อง 1 ข้อ

1) ท่อเหลก็ กลวงบาง พืน้ ท่ีหน้าตัดเป็นรูปสเี่ หลีย่ มจตั ุรสั ขนาดด้านนอกกวา้ ง 30 mm. 30 mm หนา 1.2
mm. อยภู่ ายใต้ Torque 180 N-m จงหา

ก) shear stress ทเี่ กดิ ขน้ึ
ข) angle of twist ตอ่ ความยาว 1 m ถ้า G = 100 GN/m2

วิธที ำ

โจทย์กำหนดให้ 30 mm

ทอ่ กว้าง = 30 mm, ยาว 30 mm

t = 1.2 mm

T = 180 N-m 30 mm

= 180,000 N-mm

G = 100 GN/m2

= 100,000 N/mm2

ก) หาคา่ shear stress
จากขนาดท่อท่ีกำหนดได้ความยาวของทอ่ ทง้ั สด่ี า้ นเทา่ กัน เนือ่ งจากมหี นา้ ตัดเปน็ สี่เหลยี่ มจตั ุรัส

ดังนัน้ mean centre line; s = ( 4 30 ) = 120 mm

พื้นที่ท่ี center line ลอ้ มรอบ A = 30 30 = 900 mm2

สูตร  = T / 2 A t

แทนคา่ สตู ร

 = 180,000 / 2900  1.8 N/mm2

= 55.55 N/mm2 Ans

เฉลยใบทดสอบ

(Answer Sheet No 13)

หวั ข้อ / งาน การบิดของท่อกลมทีบ่ างมาก หนา้ ที่ 2

วตั ถุประสงค์ 1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ ความเค้นเฉือนในการบิดทอ่ กลมท่บี างมาก ได้ เวลา 40 นาที
อย่างถูกต้อง 1 ข้อ

ข) หาคา่ Angle of twist ต่อความยาว 1 m

โจทยก์ ำหนดให้

ความยาวทอ่ = 1 m.

= 1,000 mm.

สูตร  = ( s l ) / (2 A G )

แทนคา่ สูตร

 = (55.55  120  1000 ) / ( 2  900  100,000 ) radian

= 0.037 radian

= 0.037 * 180 /  = 2.12 องศา Ans

สัปดาห์ท่ี 14
แผนบทเรียน

เร่ือง
“โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน”
(โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน แบบ Cantilever)

แผนบทเรียน

วชิ า ความแข็งแรงของวสั ดุ ระดับ ปวส.

เรอื่ ง โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) เวลา 180 นาที

1. วตั ถปุ ระสงค์เชิงพฤตกิ รรม

ฐ. ความสามารถ ข. รายละเอียดระบุไว้ใน.....

1. นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัดและค่าแรงเฉือนในคาน IS1-7 /WS ข้อ 1/ AS ข้อ 1 / TS ขอ้ 1

แบบ Cantilever เมอื่ มีแรงกระทำแบบจุด ได้อยา่ งถูกต้อง1 ขอ้

2. นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนตด์ ดั และคา่ แรงเฉือนใแบบ IS 1-7 /WS ข้อ 2 / AS ข้อ 2/ TS ข้อ

Cantilever เมื่ออยู่ภายใต้แรงกระจายสม่ำเสมอได้อย่างถูกต้อง1 ข้อ 2

2. การนำเข้าสบู่ ทเรยี น

ก. อปุ กรณช์ ่วยสอน ข. คำถามประกอบ

1. Power point 1. ถามนกั ศึกษาว่าถา้ กระดานกระโดนนำ้ หกั จะหัก

ลกั ษณะอยา่ งไร

2. Power point 2. ถามนักศึกษาวา่ ว่าวบนท้องฟ้าถ้าวา่ วติดลมแล้วปกี ของ

วา่ ว จะเปน็ อย่างไร

3. การปฏบิ ัตกิ าร

เวลา (X นาที) 70 140 180

หมายเลขวตั ถปุ ระสงค์ 1 2 1-2

ข้นั สนใจปัญหา

ขนั้ ศกึ ษาข้อมลู บรรยาย
ถาม-ตอบ

สาธติ

ขั้นพยายาม

ขัน้ สำเรจ็ ผล

อปุ กรณ์ช่วยสอน กระดานดำ
Power

point

แผน่ ใส

ของจรงิ

แผน่ ภาพ

ใบงาน

ใบทดสอบ

4. ส่ิงทแ่ี นบมาด้วย IS, WS ,AS,TS, Power point,

ใบเนื้อหา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หนา้ ที่ 1
วตั ถุประสงค์
1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ือมีแรง

กระทำแบบจุด ได้อยา่ งถกู ต้อง1 ข้อ

2.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนต์ดดั และคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ืออยภู่ ายใต้

แรงกระจายสมำ่ เสมอได้อยา่ งถกู ต้อง1 ข้อ

ชนิดของการรองรบั ของคาน

ในบทก่อนๆ ได้พิจารณาชิน้ งานอย่ภู ายใตค้ วามเคน้ ดงึ ความเคน้ อัด และความเคน้ เฉือน ในบทน้จี ะไดก้ ลา่ วถงึ
ความเคน้ เน่ืองจากโมเมนต์ดดั ภายในคานลกั ษณะต่างๆกัน

แบง่ ออกเปน็

1 Simple supported beam เป็นระบบการรองรับของคานแบบง่าย ๆ ดังรปู ที่ 13.1

รูปท่ี 13.1 ลกั ษณะคานอย่างงา่ ย ( Simple supported beam)
2 Fixed end or built-in beam ปลายของคานยึดไว้แนน่ ปลายที่โดนยึดอยใู่ นแนวระดับ

( Slope เท่ากบั ศูนย์) ดงั รปู ที่ 13.2

Cantilever

Fixed Ends

รูปท่ี 13.2 แสดงคานแบบ Cantilever และ แบบ Fixed Ends

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หัวข้อ / งาน โมเมนต์ดัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หนา้ ท่ี 2

วัตถปุ ระสงค์ 1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ือมแี รง

กระทำแบบจดุ ได้อยา่ งถูกต้อง1 ขอ้

2.นักศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เมื่ออยภู่ ายใต้

แรงกระจายสมำ่ เสมอได้อยา่ งถูกต้อง1 ข้อ

ชนดิ ของแรงทกี่ ระทำบนคาน

1. แรงกระทำเป็นจุด Concentrated or Point load เช่นในรูปที่ 13.3

W1 W2

รปู ท่ี 13.3 แสดงคานที่มี แรงกระทำเปน็ จดุ
2. แรงกระจายบนคาน

2.1 แรงกระจายสม่ำเสมอ Uniformly Distributed Load เขียนยอ่ วา่ UDL อาจเขียนแทนแรง
ไดด้ ังภาพที่ 13.4

W/unit length

W/unit length

รปู ท่ี 13.4 แสดงแรงกระจายสมำ่ เสมอบนคาน

ใบเนอื้ หา

(Information Sheet)

หวั ข้อ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หนา้ ที่ 3
วตั ถปุ ระสงค์
1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนต์ดดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ือมีแรง

กระทำแบบจุด ได้อยา่ งถกู ต้อง1 ขอ้

2.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ดั และค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ืออยู่ภายใต้

แรงกระจายสมำ่ เสมอได้อยา่ งถกู ต้อง1 ข้อ

2.2 แรงกระจายท่เี พ่ิมข้ึนอย่างสม่ำเสมอ เช่นในรปู ท่ี 13.5

W/unit
length

รปู ท่ี 13.5 แสดงแรงกระจายทเี่ พม่ิ ขน้ึ อยา่ งสม่ำเสมอ
2.2 แรงกระจายทีไ่ ม่สม่ำเสมอ ดงั รปู ท่ี 13.6

รูปท่ี 13.6 แสดงแรงกระจายที่ไมส่ มำ่ เสมอ

ใบเนอื้ หา

(Information Sheet)

หัวขอ้ / งาน โมเมนตด์ ัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หนา้ ท่ี 4

วัตถปุ ระสงค์ 1.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนต์ดัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ือมแี รง

กระทำแบบจุด ได้อย่างถูกต้อง1 ข้อ

2.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เมื่ออยภู่ ายใต้

แรงกระจายสมำ่ เสมอได้อยา่ งถูกต้อง1 ข้อ

แรงเฉือนของคาน ( Shearing force )

W1 W2 W3

A

R1 M M R2
V V

A

รูปท่ี 13.7 แสดงลักษณะความเค้นเฉือน และโมเมนตท์ ี่เกิดขนึ้ บนคาน
แรงเฉือนของคาน Shearing force เขยี นย่อวา่ SF

พิจารณา Simply supported beam อยู่ภายใต้แรง W1, W2 และ W3 เชน่ ในรูปที่ 13.7 และมีแรง
ปฏิกริ ยิ าที่จุดรองรบั = R1 และ R2

พิจารณาแรงกระทำทีจ่ ดุ A

แรงที่ทำให้ด้านขวาของภาคตัดที่ A สมดุลคือ R2 – W3

แรงที่ทำให้ดา้ นซา้ ยของภาคตัดท่ี A สมดุล คอื W1 + W2 - R1

แต่คานทงั้ หมดสมดุล ดังนั้น R2 – W3 = W1 + W2 - R1

ใบเนือ้ หา

(Information Sheet)

หัวขอ้ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าท่ี 5
วัตถุประสงค์
1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนตด์ ดั และคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เมื่อมแี รง

กระทำแบบจุด ได้อย่างถูกต้อง1 ข้อ

2.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนต์ดัดและคา่ แรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เมื่ออยูภ่ ายใต้

แรงกระจายสม่ำเสมอได้อย่างถูกต้อง1 ข้อ

ทีจ่ ดุ A สมดุลได้ดว้ ยแรงขนานท่ีเท่ากันสองแรงซึง่ พยายามเฉือนวตั ถทุ ี่จุด A จึงให้คำจำกัดความ ของแรง
เฉือนของคานได้ดงั น้ี

“ แรงเฉอื นของคาน Shearing force (SF) ท่ีจุดๆหนึ่งบนคานภายใตแ้ รงคือ ผลรวมทางพชี คณติ ของแรงใน
แนวดงิ่ รวมจากด้านซา้ ยมอื หรอื ขวามือก็ได้มายังจุดนั้น (คา่ ท่ีออกมาจะเท่ากัน)”

โมเมนตด์ ัดของคาน Bending moment (BM)

จากรูป 13.5 แรง R2 และW3 จะทำให้เกดิ โมเมนตท์ วนรอบจดุ A สว่ นแรง W1 ,W2 และ R1 จะทำใหเ้ กิด
โมเมนต์ตามรอบจดุ A ซง่ึ มีคา่ เท่ากัน เพราะวา่ จุด A สมดลุ

ดังนน้ั คำจำกัดความของโมเมนต์ดัดในคานคือ “ โมเมนต์ดัด(MB) ท่ีจดุ หนึ่งบนคานภายใตแ้ รงคือ ผลรวม
ทางพชี คณิตของโมเมนตข์ องแรงในแนวด่งิ รอบจดุ ๆน้นั คดิ จากดา้ นซ้ายมือ หรอื ด้านขวามือมายังจดุ นั้น”

กราฟของโมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (Bending moment (BMD) and Shearing force
diagrams( SFD) )

ในการออกแบบหาขนาดของคาน จะต้องร้คู า่ ของโมเมนต์ดัด และแรงเฉือนสูงสดุ และตำแหน่งทแ่ี รงกระทำ
การเขียนกราฟต้องคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัด และคา่ แรงเฉือนทุกจดุ บนคานให้ไดก้ ่อน โดยกำหนดเคร่ืองหมาย บวก
ลบ ใหช้ ดั เจนดังน้ี

M MM M
โมเมนตบ์ วก
โมเมนตล์ บ

รูปท่ี 13.8 ข้อกำหนดเครอ่ื งหมายโมเมนตด์ ัด

ใบเน้อื หา

(Information Sheet)

หัวขอ้ / งาน โมเมนตด์ ัด และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าท่ี 6

วตั ถุประสงค์ 1.นักศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนตด์ ัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ือมีแรง

กระทำแบบจุด ได้อยา่ งถูกต้อง1 ขอ้

2.นักศึกษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนต์ดัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ืออยู่ภายใต้

แรงกระจายสม่ำเสมอได้อยา่ งถูกต้อง1 ข้อ

• แรงเฉือน กำหนดดงั รูปท่ี 13.9

V VV V

แรงเฉือนบวก แรงเฉือนลบ

รปู ท่ี 13.9 ขอ้ กำหนดเครื่องหมายความเคน้ เฉอื นในคาน

การเขยี นกราฟ Bending Moment Diagram(BMD) and Shearing Force Diagrams( SFD)

ลักษณะ SFD และ BMD ขึ้นอยูก่ ับลกั ษณะของคาน และประเภทของแรงดังน้ี
1 Cantilever มีแรงเปน็ จุดกระทำทปี่ ลายอสิ ระ

w

0 -- -w
SFD - w -- -wl

BMD 0

รปู ท่ี 13.10 แสดงกราฟ SFD และ BMD เมื่อมีแรงกระทำแบบจดุ ที่ปลาย

ใบเนอ้ื หา

(Information Sheet)

หวั ข้อ / งาน โมเมนตด์ ดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าท่ี 7
วตั ถุประสงค์
1.นกั ศึกษาสามารถคำนวณหาคา่ โมเมนตด์ ัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เม่ือมีแรง

กระทำแบบจดุ ได้อยา่ งถกู ต้อง1 ขอ้

2.นกั ศกึ ษาสามารถคำนวณหาค่าโมเมนตด์ ัดและค่าแรงเฉือนในคานแบบ Cantilever เมื่ออยภู่ ายใต้

แรงกระจายสมำ่ เสมอได้อย่างถูกต้อง1 ข้อ

2 Cantilever อยู่ภายใตแ้ รงกระจายสม่ำเสมอ

X/2 A
0X
SFD - - wl
BMD 0
--
รูปท่ี
มีแรงกระจายสม่ำเสมอบนคาน -w
l2/2
13.11 แสดงกราฟ SFD และ BMD เมอ่ื

หวั ขอ้ /งาน ใบงานท่ี 14 หนา้ ท่ี 1
ช่ือรายวชิ า (Work Sheet No 14)
โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever)
ความแขง็ แรงของวัสดุ

ขอ้ ที่ 1) Cantilever ยาว 5 m มแี รงสองแรงกระทำ แรงที่ 1 กระทำตรงกลางส่วนอีกแรงกระทำทีป่ ลายดังรูป ถา้
BMท่ีปลายยดึ และทตี่ รงกลางเท่ากับ 52.5 และ 12.5 kN-m ตามลำดบั จงหาค่าแรงทง้ั สอง

F1 F2
2.5 m 2.5 m

0

SFD F1 - F1 + F2
BMD 0
F1 + F2

วิธที ำ -

BM = 12.5จาkกNโ-จmทยก์ ำหนดใหเ้ มื่อทำการเขยี นรปู พบวา่ พจิ ารณาจดุ ก่ึงกลางคาน

BM= 2.5F=1 12.5 kN-m B=M2=.55F21.5 kN-m
= (5F1F+1=2.5…F2…)…=……………………….…./.…..…k…N…….. Ans

พิจารณาจดุ ปลายคานท่ีถูกยดึ อยกู่ บั ท่ี

BM = 52.5 kN-m = 5F1 + 2.5F2

แทนคา่ สมการ

(…………) = (………)(………) + (...........) F2

F2 = 11 kN Ans

ใบงานที่ 14

(Work Sheet No 14)

หวั ขอ้ /งาน โมเมนต์ดดั และแรงเฉือนของคาน (แบบ Cantilever) หน้าท่ี 2

ช่อื รายวิชา ความแขง็ แรงของวสั ดุ

ขอ้ ที่ 2) Cantilever ยาว 4 m มีแรงกระจายสม่ำเสมอ(Uniformly Distributed Load; UDL) = 5 kN/m ตลอด

ความยาว จงเขียน SFD และ BMD แลว้ หาคำนวณหา

ก) คา่ แรงเฉือน และ โมเมนตด์ ัดทีจ่ ดุ ตรงกลาง(V2 = 10 kN, M2 = - 10 kN-m)

ข) ค่าแรงเฉือน และ โมเมนตด์ ดั ท่ปี ลายยดึ แน่น (V4 = 20 kN, M4 = - 40 kN )

5 kN/m 4m

B X/2 A C
0X - wl
SFD
-w
โจทย์กำหนดBใMห้ D 0 m l2/2
L = …………….. kN / m
w = ……………..