Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Copyright© PT Penamudamedia, 2024 Penulis: Muhammad Dzulfaqori Jatnika ISBN: 978-623-88989-0-9 Desain Sampul: Tim PT Penamuda Media Tata Letak: Enbookdesign Diterbitkan Oleh PT Penamuda Media Casa Sidoarium RT 03 Ngentak, Sidoarium Dodeam Sleman Yogyakarta HP/Whatsapp : +6285700592256 Email : [email protected] Web : www.penamuda.com Instagram : @penamudamedia Cetakan Pertama, Maret 2024 x + 235, 15x23 cm Hak cipta dilindungi oleh undang-undang Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku tanpa izin Penerbit
v Bismillahirrahmanirrahim, Segala puji hanya milik Allah, Tuhan semesta alam, yang telah memberikan rahmat dan petunjuk-Nya kepada kita. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, yang membawa risalah Islam sebagai pedoman hidup kita. Matematika Ekonomi dan Keuangan Islam merupakan bidang studi yang menggabungkan dua disiplin ilmu yang penting: matematika dan ekonomi Islam. Dalam dunia yang terus berkembang ini, pemahaman yang kuat tentang prinsip-prinsip ekonomi dan keuangan, yang sesuai dengan ajaran Islam, sangatlah penting. Dengan memahami keduanya, kita dapat mengelola keuangan dan melakukan transaksi ekonomi dengan penuh kesadaran dan keberkahan. Buku ini hadir sebagai upaya untuk menggali lebih dalam tentang hubungan antara matematika, ekonomi, dan ajaran Islam. Kami berusaha menyajikan materi dengan cara yang mudah dipahami, namun tetap mendalam dan informatif. Buku ini tidak hanya ditujukan bagi para pelajar dan mahasiswa yang sedang mempelajari mata kuliah terkait, tetapi juga bagi siapa pun yang ingin memperdalam pemahaman mereka tentang konsep-konsep ekonomi dan keuangan dalam perspektif Islam.
vi Kami ingin mengucapkan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada semua pihak yang telah turut serta dalam proses penulisan dan penyusunan buku ini. Semoga buku ini dapat memberikan manfaat yang besar bagi pembaca, serta menjadi sumber inspirasi dan pengetahuan yang berkelanjutan. Akhir kata, kami mohon maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang mungkin ada dalam buku ini. Semoga Allah SWT senantiasa memberikan hidayah-Nya kepada kita semua. Wassalamu'alaikum wr. wb. Penulis, Muhammad Dzulfaqori Jatnika
vii Kata Pengantar ............................................................... v Daftar Isi ...................................................................... vii BAB 1 HIMPUNAN ................................................................... 1 A. Pengertian Himpunan .....................................................................3 B. Demonstrasi Himpunan ..................................................................8 C. Jenis-Jenis Himpunan ....................................................................11 D. Operasi Himpunan ........................................................................15 E. Kaidah-Kaidah Matematika dalam Pengoperasian Himpunan .....22 F. Latihan Soal ...................................................................................37 BAB 2 PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ............................... 45 A. Pangkat..........................................................................................47 B. Akar ...............................................................................................55 C. Logaritma ......................................................................................60 D. Latihan Soal ...................................................................................67
viii BAB 3 DERET 69 A. Deret Hitung..................................................................................71 B. Deret Ukur.....................................................................................75 C. Penerapan Ekonomi ......................................................................80 D. Latihan Soal ...................................................................................88 BAB 4 BUNGA DAN BAGI HASIL .............................................. 91 A. Perbedaan Ekonomi Syariah Dan Ekonomi Konvensional.............93 B. Perbedaan Ekonomi Syariah Dan Ekonomi Konvensional.............95 C. Perbedaan Ekonomi Syariah Dan Ekonomi Konvensional...........102 D. Jenis-Jenis Akad Dalam Transaksi Keuangan Syariah..................109 E. Latihan Soal .................................................................................113 BAB 5 FAROID (WARISAN) .................................................... 117 A. Urgensi Dan Kewajiban Mempelajari Ilmu Faroid.......................119 B. Pembagian Warisan.....................................................................120 C. Latihan Soal .................................................................................169
ix BAB 6 ASET DAN LIABILITAS BANK ...................................... 171 A. Bank Syariah................................................................................173 B. Aset dan Liabilitas Bank...............................................................175 C. Perbedaan Aset dan Liabilitas Bank Syariah Dan Konvensional..182 D. Urgensi Memahami Dan Menerapkan Manajemen Aset Dan Liabilitas.......................................................................................184 E. Latihan Soal .................................................................................186 BAB 7 QARD DAN WADIAH ................................................... 187 A. Qardh (Pinjaman)........................................................................189 B. Wadiah (Titipan)..........................................................................190 C. Latihan Soal .................................................................................195 BAB 8 JUAL BELI .................................................................. 197 A. Akad Murabahah.........................................................................198 B. Akad Mudharabah.......................................................................201 C. Akad Musyarakah........................................................................202 204 D. Latihan Soal .................................................................................204 207
x BAB 9 SUKUK NEGARA RITEL ................................................ 207 A. Sukuk ...........................................................................................209 B. Hasil Berdasarkan Periode Kepemilikan Sr..................................211 C. Perbedaan Hasil Investasi Sukuk Dengan Bunga Deposito .........212 D. Latihan Soal .................................................................................215 BAB 10 ZAKAT 219 A. Zakat............................................................................................220 B. Jenis-Jenis Zakat ..........................................................................221 C. Urgensi Zakat...............................................................................225 D. Model Matematis Zakat..............................................................226 Daftar Pustaka ............................................................. 234 Tentang Penulis ........................................................... 235
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 1
2 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah eori himpunan menjadi dasar yang sangat penting dalam bidang matematika dan memberikan dukungan luas untuk hampir semua disiplin ilmu perhitungan modern. Oleh karena itu, bagian pertama buku ini secara mendalam membahas topik yang terkait dengan teori himpunan sebagai landasan yang esensial. Manusia seringkali tanpa disadari menerapkan konsep himpunan dalam berbagai aspek kehidupan. Sebagai contoh, berbagai organisasi seperti Himpunan Masyarakat Ekonomi Syariah, Himpunan Ikatan Ahli Ekonomi Islam, Himpunan Asosiasi Fintech Syariah Indonesia (AFSI), dan Himpunan Kelompok Studi Ekonomi Islam sejatinya merupakan implementasi dari konsep himpunan. Bahkan, aplikasi konsep himpunan ini dapat ditemukan dalam aspek-aspek mendasar kehidupan sehari-hari manusia. Berikut adalah beberapa contoh penerapan konsep himpunan dalam kehidupan sehari-hari: 1. Himpunan Buah: Kumpulan berbagai jenis buah seperti apel, jeruk, pisang, dan manga. 2. Himpunan Anggota Keluarga: Sekelompok orang yang terdiri dari anggota keluarga dalam sebuah rumah tangga, termasuk ayah, ibu, kakak, adik, nenek, dan kakek. 3. Himpunan Nama-nama Binatang: Kategori berisi berbagai nama binatang seperti kucing, anjing, burung, ikan, dan lainnya. 4. Himpunan Warna: Gabungan berbagai warna seperti merah, biru, kuning, hijau, dan sebagainya. 5. Himpunan Benda di Dapur: Kumpulan peralatan dan bahan makanan di dapur seperti panci, piring, sendok, garam, gula, dan sebagainya. T
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 3 6. Himpunan Nama-nama Kota: Kumpulan berbagai nama kota seperti Jakarta, Surabaya, Bandung, Medan, dan lainnya. 7. Himpunan Makanan Favorit: Kelompok makanan favorit seseorang seperti pizza, nasi goreng, burger, dan sejenisnya. 8. Himpunan Barang-barang di Tas: Sekelompok barang yang biasanya ada di dalam tas seperti dompet, kunci, dan handphone. 9. Himpunan Hari dalam Seminggu: Kumpulan hari dalam seminggu, termasuk Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, dan Minggu. Ilustrasi di atas mencerminkan beberapa kumpulan dalam rutinitas harian, di mana objek atau individunya memiliki kesamaan tertentu yang memungkinkan kita untuk menggabungkannya dalam suatu kategori. Secara konteks Matematika Ekonomi Islam, konsep himpunan digunakan sebagai fondasi dasar untuk menggambarkan kumpulan objek, elemen, atau anggota yang memiliki karakteristik atau sifat yang relevan dalam analisis ekonomi Islam. Objek-objek di dalam himpunan tersebut dapat berupa entitas seperti lembaga perbankan syariah, lembaga non perbankan syariah, akad transaksi, kegiatan filantropi, keputusan, atau variabel lain yang terlibat dalam konteks masalah ekonomi Islam. Secara konteks Matematika Ekonomi Islam, himpunan didefinisikan sebagai sekelompok elemen dalam bidang Ekonomi Islam yang memiliki kesamaan sifat tertentu atau
4 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah serupa. Himpunan umumnya disimbolkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, X, Y, dan Z, sedangkan anggotaanggotanya diwakili oleh huruf kecil seperti a, b, c, x, y, dan z (Dumairy, 2007). Berikut merupakan contoh penulisan notasi himpunan: berarti x adalah merupakan anggota (atau unsur atau elemen) dari himpunan Z. Anggota himpunan dapat berupa apa saja, dapat berupa angka, huruf, barang, jasa, sifat, orang, warna, dan lainlain. Sebagai contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, C = {lemari, kasur, bantal, guling, baju, celana}, D = {teller, customer service, manager, kepala cabang, direktur}, E = {senang, marah, sedih, galau, sabar, kreatif, semangat}, F = {Una, Althaf, Zaid, Dian, Luly, Listia, Ari}, G = {Merah, Putih, Biru, Abu-Abu, Kuning, Hijau, Pink}, H = {Zakat, Infaq, Sedekah, Wakaf}, I = {Fakir, Miskin, Amil, Mualaf, Riqab, Gharim, Fisabilillah, dan Ibnu Sabil}, J = {Wadiah, Mudharabah, Murabahah, Musyarakah, Salam, Isthisna, Ijarah}, K = {Bank Muamalat, Bank Syariah Mandiri, Bank Negara Indonesia Syariah, Bank BCA Syariah, Bank Mega Syariah, Bank Bukopin Syariah}. Sedangkan apabila suatu elemen tidak termasuk dalam suatu himpunan tertentu, dalam matematika seringkali kita menggunakan simbol "∉" (huruf "e" kecil dengan garis miring yang melintang di atasnya) untuk menunjukkan bahwa elemen tersebut tidak ada dalam himpunan tersebut.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 5 Contoh: 1. Misalkan kita memiliki himpunan bilangan prima kurang dari 10: Himpunan bilangan prima kurang dari 10, A = {2, 3, 5, 7} Kemudian kita memiliki anggota himpunan lain, yaitu: angka 4, 6, 8, dan 10. Karena 4, 6, 8, dan 10 bukan termasuk bilangan prima kurang dari 10, kita dapat menyatakan: 4 ∉ {2, 3, 5, 7} (4 bukan anggota himpunan) 6 ∉ {2, 3, 5, 7} (6 bukan anggota himpunan) 8 ∉ {2, 3, 5, 7} (8 bukan anggota himpunan) 10 ∉ {2, 3, 5, 7} (10 bukan anggota himpunan) Penggunaan simbol "∉", berarti kita menyatakan bahwa angka 4, 6, 8, dan 10 tidak termasuk dalam himpunan bilangan prima yang kurang dari 10. 2. Misalkan kita memiliki himpunan delapan asnaf zakat: Himpunan delapan asnaf zakat, I = {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir}. Kemudian kita memiliki anggota himpunan lain yaitu: Muzakki, Mualaf, Musafir, Mujahid, Mu’min, dan Mustami. Karena Muzakki, Mujahid, Mualaf, Musafir, Mu’min, dan Mustami bukan termasuk delapan asnaf zakat, kita dapat menyatakan:
6 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Muzakki ∉ {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} (Muzakki bukan anggota himpunan). Mualaf ∉ {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} (Mualaf bukan anggota himpunan). Musafir ∉ {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} (Musafir bukan anggota himpunan). Mu’min ∉ {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} (Mu’min bukan anggota himpunan). Mustami ∉ {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} (Mustami bukan anggota himpunan). Mujahid ∉ {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} (Mujahid bukan anggota himpunan). Penggunaan simbol "∉", berarti kita menyatakan bahwa Muzakki, Mualaf, Musafir, Mujahid, Mu’min, dan Mustami tidak termasuk dalam himpunan delapan asnaf zakat. Menetapkan dengan jelas elemen yang termasuk dan tidak termasuk dalam suatu himpunan menjadi penting, karena hal ini memengaruhi sifat dan karakteristik himpunan tersebut dalam konteks analisis matematika dan bidang lainnya.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 7 Jumlah elemen atau anggota dalam suatu himpunan disebut sebagai "kardinalitas" atau "ukuran" himpunan. Kardinalitas himpunan adalah total jumlah elemen atau anggota yang ada dalam himpunan tersebut. Dalam bidang matematika, untuk mengindikasikan kardinalitas suatu himpunan, kita menggunakan simbol "n(A)" atau "|A|", dengan "A" merujuk pada himpunan yang ingin diukur. Jumlah anggota dalam himpunan A diwakili oleh n(A) atau |A|. Contoh: 1. Misalkan kita punya himpunan bilangan prima kurang dari 10 seperti sebelumnya: Himpunan bilangan prima kurang dari 10: {2, 3, 5, 7} Kardinalitas himpunan bilangan prima kurang dari 10 adalah: {2, 3, 5, 7} = 4 Jadi, himpunan bilangan prima kurang dari 10 memiliki 4 anggota. 2. Misalkan kita memiliki himpunan delapan asnaf zakat: Himpunan delapan asnaf zakat: {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir}. Kardinalitas himpunan delapan asnaf zakat adalah: {Fakir, Miskin, Amil, Konvertit, Budak, Gharim, Fisabilillah, dan Musafir} = 8 Jadi, himpunan delapan asnaf zakat memiliki 8 anggota.
8 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Mengetahui kardinalitas suatu himpunan menjadi penting karena hal ini mendukung analisis matematika dan pemahaman terhadap sifat himpunan tersebut. Dalam ranah matematika, terdapat juga konsep himpunan yang bersifat tak terhingga, contohnya seperti himpunan bilangan bulat atau himpunan bilangan riil, yang memiliki kardinalitas yang tidak terbatas. Demonstrasi sebuah himpunan dapat dituliskan dengan beberapa macam cara, yaitu: cara pendaftaran, cara pencirian, cara tabel dan lain-lain. Cara penyajian himpunan tergantung pada konteks penggunaan dan preferensi visualisasi. Penggunaan simbol, notasi matematika, atau representasi grafis membantu menyederhanakan pemahaman tentang elemen-elemen yang terlibat dalam himpunan dan mempermudah analisis serta perhitungan matematika. Cara pendaftaran dapat dilakukan dengan mendaftarkan seluruh objek yang menjadi unsur atau anggota suatu himpunan, sebagai contoh: * + * + * + Berarti himpunan Z beranggotakan seluruh huruf vokal. Himpunan A beranggotakan bilangan pangkat tiga yang kurang dari lima. Himpunan X beranggotakan bilangan prima yang kurang dari tujuh belas.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 9 Cara pencirian dapat dilakukan dengan cara menyebutkan ciri-ciri dari unsur atau anggota suatu himpunan, sebagai contoh: Z = {x | Huruf Vokal} C = {x | Bilangan Pangkat 3 yang Kurang dari 5} D = {x | Bilangan Prima yang Kurang dari 11} E = {x | Nama-Nama Akad Hybrid} F = {x | Maqashid Syariah} Berarti himpunan Z beranggotakan a, i, u, e, o. Himpunan C beranggotakan 1, 8, 27, 64. Himpunan D beranggotakan 2, 3, 5, 7. Himpunan E beranggotakan Mudharabah-Murabahah, Mudarabah-Wakalah, IjarahMudarabah, Wakalah-Bai' Al-Inah. Himpunan F beranggotakan Agama, Jiwa, Akal, Keturunan, dan Harta. Selain menggunakan cara pencirian seperti sebelumnya, demonstrasi himpunan juga dapat dituliskan dengan cara pendaftaran lain sebagai berikut: K = { x | 2 < x < 18, bilangan genap } L = { x | x2 - 1 = 0 } M = { x | x + 2 = 6 } Berarti himpunan K beranggotakan 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. Himpunan L beranggotakan 1 dan -1. Himpunan M beranggotakan 4. Penyajian himpunan juga dapat dilakukan dengan cara membuat tabel. Tujuan penyajian himpunan dengan tabel adalah untuk himpunan dengan elemen yang banyak dan teratur, kita dapat menggunakan tabel untuk menyajikan
10 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah anggota-anggotanya. Setiap kolom mewakili satu himpunan dan setiap baris berisi elemen yang termasuk dalam himpunan tersebut. Berikut adalah contoh penyajian himpunan dengan menggunakan tabel: Misalkan kita memiliki dua himpunan berikut: A = {1, 2, 3, 4} B = {3, 4, 5, 6} Kita dapat menggunakan tabel untuk menyajikan elemen-elemen yang terdapat dalam himpunan A dan B: Tabel 1. 1 Himpunan A Himpunan B 1 5 2 6 3 7 4 8 Dalam tabel di atas, setiap kolom mewakili satu himpunan, yaitu A dan B. Kemudian, setiap baris dalam kolom menunjukkan elemen-elemen yang ada dalam himpunan tersebut. Jadi, pada baris pertama, terdapat angka 1 di himpunan A dan angka 5 di himpunan B. Demikian pula untuk elemen-elemen lainnya. Dengan menggunakan tabel, kita dapat dengan mudah melihat dan membandingkan elemen-elemen yang ada dalam dua himpunan. Tabel juga memudahkan untuk mencatat himpunan dengan elemen yang banyak dan teratur.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 11 1. Himpunan Semesta Istilah "Himpunan Semesta" tidak merujuk pada konsep matematika yang umumnya dikenal sebagai "Himpunan Semesta." Sebagai gantinya, mungkin terjadi kekeliruan antara bahasa Indonesia dan istilah matematika yang digunakan. Dalam matematika, "Himpunan Semesta" atau kadang juga disebut "Himpunan Universal" mengacu pada kumpulan semua elemen yang relevan atau dianggap dalam suatu konteks tertentu. Penulisan himpunan semesta dapat dilambangkan dengan notasi S atau U. Misalnya, jika kita membahas himpunan bilangan bulat, himpunan semesta akan mencakup semua bilangan bulat yang mungkin ada. Selain itu apabila kita sedang membahas mengenai Bank Syariah, maka himpunan semesta akan mencakup semua Bank Syariah yang ada. Kesimpulannya himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat keseluruhan objek yang sedang dibicarakan. 2. Himpunan Kosong Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota atau elemen. Dalam notasi himpunan, himpunan kosong sering dilambangkan dengan simbol ∅ atau {}. Himpunan ini sering disebut juga sebagai himpunan nol atau himpunan hampa. Contoh:
12 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah a. Himpunan dosen Ekonomi Syariah Unsil yang berhuruf awal M b. Himpunan kucing yang bertelur. c. Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2 d. Himpunan nama hari yang berawalan huruf “Q” e. Himpunan akad syariah yang mengandung unsur riba f. Himpunan Maisir, Gharar, Haram, dan Riba dalam transaksi Ekonomi Islam Kesimpulannya himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur-unsur (kosong). Himpunan kosong memiliki peran penting dalam matematika dan logika, dan konsep ini sering digunakan dalam berbagai konteks dan bukti matematis. 3. Himpunan Bagian Dalam matematika, "himpunan bagian" dari sebuah himpunan adalah himpunan yang berisi semua atau sebagian elemen dari himpunan tersebut. Dalam notasi himpunan, himpunan bagian sering dilambangkan dengan simbol . Contoh: a. Himpunan A dikatakan bagian dari himpunan B jika setiap elemen A merupakan elemen himpunan B. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {0, 1, 2, 3, 4} b. Himpunan C dikatakan bagian dari himpunan D jika setiap elemen C merupakan elemen himpunan D.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 13 C = (Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah, BTPN Syariah, Muamalat, Bukopin Syariah, Viktoria Syariah, Bank Jawa Barat dan Banten Syariah) D = (Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah, Muamalat, Bank Jawa Barat dan Banten Syariah, Bank Bukopin Syariah) c. Himpunan E dikatakan bagian dari himpunan F jika setiap elemen E merupakan elemen himpunan F. A = {Mudharabah, Murabahah, Ijaroh, Wakalah, Musyarakah, Salam, Isthisna} B = {Mudharabah, Musyarakah, Murabahah, Ijaroh} Penerapan himpunan bagian dalam matematika ekonomi dapat memberikan wawasan tambahan terkait dengan hubungan antarvariabel dan dapat membantu dalam menganalisis berbagai skenario atau kombinasi yang mungkin terjadi. Ini dapat digunakan dalam pengambilan keputusan, perencanaan strategis, dan pemahaman yang lebih baik tentang kompleksitas interaksi antarvariabel dalam konteks ekonomi. 4. HIMPUNAN KOMPLEMEN Himpunan komplemen adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang ada di luar suatu himpunan tertentu dalam suatu himpunan yang lebih besar. Dalam notasi himpunan, himpunan komplemen sering dilambangkan dengan simbol Ac, A’, A. Contoh: a. A = {3, 5, 7, 9} S = {11, 13, 15, 17, 19, 21}
14 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah A c = {11, 13, 15, 17, 19, 21} b. E = {Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah, Bank Victoria Syariah, BJB Syariah, Bank Muamalat} F = {Bank Mega Syariah, Bank Aladin Syariah, Bank Panin Dubai Syariah, Bank Bukopin Syariah, Bank Jago Syariah, BTPN Syariah} E c = {Bank Mega Syariah, Bank Aladin Syariah, Bank Panin Dubai Syariah, Bank Bukopin Syariah, Bank Jago Syariah, BTPN Syariah} c. H = {BPRS Amanah Rabbaniah, BPRS Amanah Ummah, BPRS Musyarakah Ummat Indonesia, BPRS Bina Amwalul Hasanah, BPRS Harta Insan Karimah Bekasi} I = {Bank Pembiayaan Rakyat Syariah Jam Gadang Perseroda, Bank Pembiayaan Rakyat Syariah Maslahat Dana Syariah Nusantara, BPRS Mitra Mentari Sejahtera, BPRS Fadhilah Kota Bengkulu, BPRS Mitra Agro Usaha, BPRS Taman Indah Darussalam} Hc = {Bank Pembiayaan Rakyat Syariah Jam Gadang Perseroda, Bank Pembiayaan Rakyat Syariah Maslahat Dana Syariah Nusantara, BPRS Mitra Mentari Sejahtera, BPRS Fadhilah Kota Bengkulu, BPRS Mitra Agro Usaha, BPRS Taman Indah Darussalam} 5. Himpunan Sama Himpunan sama adalah dua himpunan yang memiliki elemen-elemen yang identik atau setara satu sama lain. Dengan kata lain, dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika setiap elemen dari himpunan
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 15 pertama juga merupakan elemen dari himpunan kedua, dan sebaliknya. Himpunan C dapat dikatakan sebagai himpunan yang sama dengan himpunan D jika keduanya memiliki elemen atau unsur yang sama. Secara simbolis, apabila C dan D adalah dua himpunan yang sama, maka C sama dengan D dinotasikan sebagai berikut C = D. Contoh: 1. C = {2, 3, 5, 7, 9} D = {2, 3, 5, 7, 9} 2. E = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah, Usaha Syariah, Lembaga Zakat, Lembaga Wakaf, Koperasi Syariah dan Lembaga Keuangan Mikro Syariah} F = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah, Usaha Syariah, Lembaga Zakat, Lembaga Wakaf, Koperasi Syariah dan Lembaga Keuangan Mikro Syariah} 3. G = {Riba, Maisir, Gharar, Dharar, Maksiat, Suht} H = {Riba, Maisir, Gharar, Dharar, Maksiat, Suht} Operasi himpunan adalah serangkaian prosedur atau aturan matematis yang digunakan untuk menggabungkan, memisahkan, atau memanipulasi himpunan-himpunan. Berikut ini adalah beberapa pedoman yang mengatur pengoperasian himpunan, terutama dalam kaitannya dengan gabungan, irisan, dan selisih dua himpunan.
16 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah 1. Operasi Himpunan Gabungan Operasi gabungan (union) adalah salah satu operasi himpunan yang menggabungkan elemen-elemen dari dua atau lebih himpunan untuk membentuk suatu himpunan yang baru. Notasi untuk operasi gabungan adalah A ∪ B atau dapat juga dinotasikan A + B, yang dapat dibaca sebagai "A bersatu dengan B." Berikut adalah contoh penggunaan operasi gabungan: a. A = {2, 3, 6, 8, 9} B = {0, 2, 4, 6, 19, 20} Maka, A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 19, 20} b. C = {Ibnu Khaldun, Abdul Sattar Edhi, Muhammad Baqir al-Sadr, Ibnu Taimiyah, Muhammad Yunus} D = {Muhammad Syafi'i Antonio, Didin Hafidhuddin, Raditya Sukmana, Adiwarman Karim, Irfan Syauqi Beik} Maka, C U D = {Ibnu Khaldun, Abdul Sattar Edhi, Muhammad Baqir al-Sadr, Ibnu Taimiyah, Muhammad Yunus, Muhammad Syafi'i Antonio, Didin Hafidhuddin, Raditya Sukmana, Adiwarman Karim, Irfan Syauqi Beik} c. E = {Zakat Maal, Zakat Fitrah, Zakat Pertanian, Zakat Peternakan} F = {Zakat Profesi, Zakat Fidyah} Maka, E U F = {Zakat Maal, Zakat Fitrah, Zakat Pertanian, Zakat Peternakan, Zakat Profesi, Zakat Fidyah} Operasi gabungan sangat penting dalam analisis himpunan dan sering digunakan dalam berbagai bidang matematika dan aplikasi praktis, termasuk basis data, teori peluang, dan logika matematika.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 17 2. Operasi Himpunan Irisan Operasi irisan (intersection) dalam matematika, sering kali disebut sebagai "irisan himpunan" atau "interseksi,". Operasi irisan adalah operasi yang menghasilkan himpunan elemen-elemen yang terdapat dalam dua himpunan atau lebih. Notasi untuk operasi irisan adalah A ∩ B atau dapat juga dinotasikan AB, yang dapat dibaca sebagai "Semua unsur yang sama di dalam himpunan A dan B." Berikut adalah contoh penggunaan operasi irisan: a. A = {10, 20, 30, 40, 70, 90, 100} B = {10, 30, 100, 120, 150} Maka, A ∩ B = {10, 30, 100} b. C = {Wakaf Uang, Wakaf Tanah, Wakaf Bangunan, Wakaf Perpustakaan, Wakaf Pendidikan} D = {Wakaf Uang, Wakaf Bangunan, Green Wakaf, Blue Wakaf, Wakaf Pendidikan, Wakaf Kesehatan} Maka, C ∩ D = {Wakaf Uang, Wakaf Bangunan, Wakaf Pendidikan} c. E = {BPRS Aman Syariah, BPRS Harta Insan Karimah Bahari, BPRS Lampung Barat, BPRS Bogor Tegar Beriman, BPRS Unisia Insan Indonesia} F = {BPRS Kabupaten Ngawi, BPRS Saruma Sejahtera, BPRS Unisia Insan Indonesia, BPRS Harta Insan Karimah Bahari, BPRS Lampung Barat} Maka, E ∩ F = {BPRS Harta Insan Karimah Bahari, BPRS Unisia Insan Indonesia, BPRS Lampung Barat} Operasi irisan sering digunakan dalam berbagai bidang matematika, termasuk teori himpunan, aljabar, dan probabilitas. Irusan juga dapat melibatkan lebih
18 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah dari dua himpunan, dan konsep ini dapat diperluas untuk himpunan tak hingga. 3. Operasi Himpunan Selisih Operasi himpunan selisih dalam matematika adalah operasi yang digunakan untuk menentukan elemen-elemen yang terdapat di dalam satu himpunan tetapi tidak terdapat di dalam himpunan lain. Operasi ini sering kali disebut sebagai selisih di antara himpunan. Ada dua jenis operasi himpunan selisih yang umum: selisih A terhadap B dan selisih B terhadap A. Notasi untuk operasi selisih adalah A - B, atau yang dapat dibaca sebagai "Semua unsur himpunan A yang tidak termasuk di dalam B." Berikut adalah contoh penggunaan operasi selisih: a. A = {5, 15, 25, 35, 55, 75} B = {5, 45, 65, 75, 85, 105, 115} Maka, A – B dan B - A = {15, 25, 35, 55} {45, 65, 85, 105, 115} b. C = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah, Usaha Syariah, Lembaga Zakat} D = {Dana Pensiun Syariah, Usaha Syariah, Lembaga Zakat, Lembaga Wakaf, Koperasi Syariah dan Lembaga Keuangan Mikro Syariah} Maka, C – D dan D - C = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah} {Lembaga Wakaf, Koperasi Syariah dan Lembaga Keuangan Mikro Syariah} c. E = {Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah, Bank Victoria Syariah, BJB Syariah, Bank Muamalat,
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 19 Bank Mega Syariah, Bank Aladin Syariah} F = {Bank Muamalat, Bank Mega Syariah, Bank Aladin Syariah, Bank Panin Dubai Syariah, Bank Bukopin Syariah, Bank Jago Syariah, BTPN Syariah} Maka, E – F dan F - E = {Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah, Bank Victoria Syariah, BJB Syariah} {Bank Panin Dubai Syariah, Bank Bukopin Syariah, Bank Jago Syariah, BTPN Syariah} Perlu diingat bahwa operasi selisih adalah operasi yang non-komutatif, artinya A − B tidak sama dengan B − A kecuali jika A dan B adalah himpunan kosong. Operasi ini sering digunakan dalam pemrosesan dan analisis data, terutama dalam konteks teori himpunan dan statistika. 4. Operasi Himpunan Diferensiasi Simetris (Symmetric Difference) Operasi himpunan diferensiasi simetris (symmetric difference) antara dua himpunan adalah operasi yang menghasilkan himpunan baru yang terdiri dari elemenelemen yang hanya terdapat di salah satu himpunan dan tidak terdapat di himpunan lainnya. Simbol umum yang digunakan untuk operasi ini adalah ∆ (delta) atau ⊕ (oplus). Operasi ini sering disebut sebagai "simetris" karena menghasilkan himpunan elemen-elemen yang simetris terhadap himpunan asal. Dengan menggunakan simbol ∆, operasi diferensiasi simetris antara himpunan A dan B dapat dinyatakan sebagai: A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A)
20 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Dalam kata-kata, diferensiasi simetris antara A dan B adalah gabungan dari selisih A terhadap B dan selisih B terhadap A. Contoh: a. Apabila A = {2, 4, 8, 10, 12, 14} dan B = {2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 13} maka A ∆ B = {3, 4, 5, 9, 11, 12, 13, 14} Ini mencakup elemen yang hanya terdapat di dalam A atau di dalam B, tetapi tidak terdapat di dalam kedua himpunan tersebut. b. Apabila C = {Mudharabah, Murabahah, Ijaroh, Musyarakah, Salam, Isthisna} dan D = {Mudharabah, Wakalah, Musyarakah, Murabahah, Ijaroh} maka C ∆ D = {Salam, Isthisna, Wakalah} Ini mencakup elemen yang hanya terdapat di dalam C atau di dalam D, tetapi tidak terdapat di dalam kedua himpunan tersebut. c. Apabila E = {Wakaf Uang, Wakaf Tanah, Wakaf Bangunan, Wakaf Perpustakaan, Wakaf Pendidikan} dan F = {Wakaf Uang, Wakaf Bangunan, Green Wakaf, Blue Wakaf, Wakaf Pendidikan, Wakaf Kesehatan} maka E ∆ F = {Wakaf Tanah, Green Wakaf, Blue Wakaf} Ini mencakup elemen yang hanya terdapat di dalam E atau di dalam F, tetapi tidak terdapat di dalam kedua himpunan tersebut. Operasi diferensiasi simetris ini sering digunakan dalam pemrograman komputer dan struktur data untuk
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 21 mengelola himpunan data yang unik dan tidak tumpang tindih. 5. Operasi Himpunan Produk Kartesian (Cartesian Product) Operasi himpunan produk kartesian adalah operasi yang menghasilkan himpunan baru yang berisi semua pasangan terurut yang mungkin dari elemen-elemen yang berasal dari dua himpunan. Himpunan produk Kartesian (A x B) merupakan himpunan dari semua pasangan terurut (a, b) di mana a berasal dari himpunan A dan b berasal dari himpunan B. Secara formal, jika A dan B adalah dua himpunan apa pun, maka produk Kartesian A × B didefinisikan sebagai: A × B = {(a, b) ∣ a A dan b B} Misalnya, jika A = {1, 2} dan B = {x, y}, maka himpunan produk Kartesian A × B akan berisi empat elemen: A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)} Dengan kata lain, A × B adalah himpunan dari semua kemungkinan pasangan di mana elemen pertama berasal dari A dan elemen kedua berasal dari B. Produk Kartesian tidak terbatas pada dua himpunan saja; dapat diambil produk Kartesian dari lebih dari dua himpunan. Sebagai contoh, untuk himpunan A, B, dan C, produk Kartesian A × B × C akan berisi semua triplets (a, b, c) di mana a berasal dari A, b berasal dari B, dan c berasal dari C. Contoh:
22 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah a. Apabila A = {3, 4} dan B = {c, d} Maka, A x B = {(3, c), (3, d), (4, c), (4, d)} b. Apabila C = {Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah} dan D = {BMT Al-Barkah, BMT Al-Manshurin} Maka, C x D = {(Bank Syariah Indonesia, BMT AlBarkah), (Bank Syariah Indonesia, BMT AlManshurin), (BCA Syariah, BMT Al-Barkah), (BCA Syariah, BMT Al-Manshurin)} c. Apabila E = {Zakat, Wakaf} dan F = {Infaq dan Sedekah} Maka, E x F = {(Zakat, Infaq), (Zakat, Sedekah), (Wakaf, Infaq), (Wakaf, Sedekah)} Produk Kartesian memiliki banyak aplikasi dalam matematika, logika, ilmu sistem, dan berbagai bidang lainnya, termasuk dalam pemodelan relasi antar objek atau elemen dalam suatu sistem. Dalam matematika, terdapat beberapa kaidah atau aturan dasar yang digunakan dalam pengoperasian himpunan. Himpunan sendiri merupakan kumpulan objek atau elemen yang memiliki karakteristik atau sifat tertentu. Berikut adalah beberapa kaidah matematika yang umum digunakan dalam pengoperasian himpunan: 1. Kaidah Gabungan Dua Himpunan Komplemen Kaidah gabungan dua himpunan komplemen mengacu pada hubungan antara himpunan dan komplemennya dalam konteks operasi gabungan.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 23 Untuk memahami konsep ini, kita dapat menggunakan notasi himpunan dan komplemennya. Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Komplemen dari suatu himpunan X, dilambangkan sebagai X', adalah himpunan elemen-elemen yang tidak termasuk dalam X. Kaidah gabungan dua himpunan komplemen dapat dirumuskan sebagai berikut: (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′ Artinya, komplemen dari gabungan dua himpunan adalah irisan dari komplemen masing-masing himpunan. Dengan kata lain, elemen-elemen yang tidak termasuk dalam gabungan himpunan A dan B adalah elemen-elemen yang bukan bagian dari A dan bukan bagian dari B. Berikut adalah contoh untuk membantu memahami konsep ini: a. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9} Kita ingin mencari komplemen dari gabungan A dan B, yaitu (A ∩ B)′, dan juga mencari gabungan dari komplemen A dan komplemen B, yaitu A′ ∪ B′. Langkah pertama hitung A ∩ B: A ∩ B = {6} Langkah kedua hitung komplemen dari A ∩ B: (A ∩ B)′ = U − (A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
24 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Langkah ketiga hitung komplemen dari A: A’ = U – A = {1, 3, 5, 7, 9} Langkah keempat hitung komplemen dari B: B′ = U – B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} Langkah kelima hitung gabungan A’ dan B’: A′ ∪ B′ = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10} Ketika kita membandingkan (A ∩ B)′ dengan A’ ∪ B′ kita melihat bahwa kaidah gabungan dua himpunan komplemen terpenuhi: (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ Dengan contoh ini, kita dapat mengamati bahwa komplemen dari gabungan dua himpunan (A ∩ B) sama dengan gabungan dari komplemen himpunan pertama (A’) dan komplemen himpunan kedua (B’). b. U = {BPRS Kota Juang Perseroda, BPRS Amanah Insan Cita, BPRS Aman Syariah, BPRS Gunung Slamet, BPRS Artha Pamenang, BPRS Rahmania Dana Sejahtera, BPRS Mitra Harmoni Yogyakarta, BPRS Mitra Harmoni Kota Semarang, BPRS Unawi Barokah, BPRS Dharma Kuwera} C = {BPRS Kota Juang Perseroda, BPRS Aman Syariah, BPRS Lampung Barat, BPRS Bogor Tegar Beriman, BPRS Artha Pamenang, BPRS Rahmania Dana Sejahtera} D = {BPRS Alamadina, BPRS Aman Syariah, BPRS Bermartabat}
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 25 Kita ingin mencari komplemen dari gabungan C dan D, yaitu (C ∩ D)′, dan juga mencari gabungan dari komplemen C dan komplemen D, yaitu C′ ∪ D′. Langkah pertama hitung C ∩ D: C ∩ D = {BPRS Aman Syariah} Langkah kedua hitung komplemen dari C ∩ D: (C ∩ D)′ = U − (C ∩ D) = {BPRS Kota Juang Perseroda, BPRS Amanah Insan Cita, BPRS Gunung Slamet, BPRS Artha Pamenang, BPRS Rahmania Dana Sejahtera, BPRS Mitra Harmoni Yogyakarta, BPRS Mitra Harmoni Kota Semarang, BPRS Unawi Barokah, BPRS Dharma Kuwera} Langkah ketiga hitung komplemen dari C: C’ = U – C = {BPRS Aman Syariah, BPRS Gunung Slamet, BPRS Mitra Harmoni Yogyakarta, BPRS Mitra Harmoni Kota Semarang, BPRS Unawi Barokah, BPRS Dharma Kuwera} Langkah keempat hitung komplemen dari D: D′ = U – D = {BPRS Kota Juang Perseroda, BPRS Amanah Insan Cita, BPRS Gunung Slamet, BPRS Artha Pamenang, BPRS Rahmania Dana Sejahtera, BPRS Mitra Harmoni Yogyakarta, BPRS Mitra Harmoni Kota Semarang, BPRS Unawi Barokah, BPRS Dharma Kuwera} Langkah kelima hitung gabungan C’ dan D’: C′ ∪ D′ = {BPRS Aman Syariah, BPRS Kota Juang Perseroda, BPRS Amanah Insan Cita, BPRS Gunung Slamet, BPRS Mitra Harmoni Yogyakarta, BPRS Mitra
26 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Harmoni Kota Semarang, BPRS Unawi Barokah, BPRS Dharma Kuwera, BPRS Artha Pamenang, BPRS Rahmania Dana Sejahtera} Ketika kita membandingkan (C ∩ D)′ dengan C’ ∪ D′ kita melihat bahwa kaidah gabungan dua himpunan komplemen terpenuhi: (C ∩ D)′ = C′ ∪ D′ Dengan contoh ini, kita dapat mengamati bahwa komplemen dari gabungan dua himpunan (C ∩ D) sama dengan gabungan dari komplemen himpunan pertama (C’) dan komplemen himpunan kedua (D’). 2. Kaidah Idempoten (Idempotent) Dalam teori himpunan, kaidah idempoten (atau properti idempoten) merujuk pada sifat di mana operasi tertentu, jika diterapkan berkali-kali, memberikan hasil yang sama dengan hasil operasi awal. Dalam konteks himpunan, terdapat dua operasi utama, yaitu gabungan (union) dan irisan (intersection), dan kaidah idempoten berlaku untuk keduanya. a. Kaidah Idempoten untuk Gabungan (Union): A ∪ A = A Artinya, gabungan himpunan A dengan dirinya sendiri akan sama dengan himpunan A. Contoh: 1. Jika A = {1, 2, 3}, maka A ∪ A = {1, 2, 3}. 2. Jika B = {Zakat Fitrah, Zakat Mal, Zakat Pertanian}, maka B ∪ B = {Zakat Fitrah, Zakat Mal, Zakat Pertanian}
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 27 b. Kaidah Idempoten untuk Irisan (Intersection): A ∩ A = A Artinya, irisan himpunan A dengan dirinya sendiri akan sama dengan himpunan A. Contoh: 1. Jika A = {2, 3, 4}, maka A ∩ A = {2, 3, 4}. 2. Jika B = {BMT Al-Barkah, BMT AlManshurin, BMT Al-Kautsar}, maka B ∩ B = { BMT AlBarkah, BMT Al-Manshurin, BMT Al-Kautsar }. Kaidah idempoten ini mencerminkan sifat bahwa pengulangan operasi gabungan atau irisan pada suatu himpunan tidak akan mengubah hasilnya. Ini bisa diinterpretasikan sebagai "menyatukan" atau "memotong" himpunan dengan dirinya sendiri tidak memberikan kontribusi tambahan pada hasil. Kaidah idempoten sering digunakan dalam pengembangan logika matematika dan aljabar himpunan. Ini memainkan peran penting dalam memahami sifatsifat dasar dari operasi himpunan. 3. Kaidah Asosiatif (Associative) Kaidah asosiatif (associative) adalah sifat di mana urutan penerapan operasi pada tiga atau lebih elemen atau objek tidak memengaruhi hasil akhir. Dalam konteks himpunan, terdapat dua operasi utama, yaitu gabungan (union) dan irisan (intersection), dan kaidah asosiatif berlaku untuk keduanya. a. Asosiatif untuk Operasi Gabungan (Union) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
28 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Artinya, ketika kita menggabungkan tiga himpunan A, B, dan C, urutan penggabungan antara A ∪ B dan C tidak mempengaruhi hasil akhir. Kita dapat menggabungkan A dengan hasil penggabungan B dan C, atau menggabungkan B dengan hasil penggabungan A dan C, dan hasilnya tetap sama. b. Asosiatif untuk Operasi Irisan (Intersection) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Artinya, ketika kita mengambil irisan dari tiga himpunan A, B, dan C, urutan irisan antara A ∩ B dan C tidak mempengaruhi hasil akhir. Kita dapat mengambil irisan A dengan hasil irisan B dan C, atau mengambil irisan B dengan hasil irisan A dan C, dan hasilnya tetap sama. Contoh: 1) Jika A = {1, 2}, B = {2, 3}, dan C={3, 4}, maka (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4} (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {2, 3} 2) Jika D = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah}, E = {Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah}, dan F = {Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah}, maka (D ∪ E) ∪ F = D ∪ (E ∪ F) = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah} (D ∩ E) ∩ F = D ∩ (E ∩ F) = {Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah}
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 29 Kaidah asosiatif ini memungkinkan kita untuk mengekspresikan operasi penggabungan atau irisan dalam urutan yang berbeda tanpa mengubah hasil akhirnya. 4. Kaidah Distributif Kaidah distributif dalam himpunan menggambarkan hubungan antara operasi gabungan (union) dan irisan (intersection) dalam konteks himpunan. Terdapat dua kaidah distributif yang umum, yaitu distributif gabungan terhadap irisan dan distributif irisan terhadap gabungan. a. Distributif untuk Operasi Gabungan (Union) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Artinya, gabungan himpunan A dengan irisan B dan C sama dengan irisan antara gabungan A dengan B dan gabungan A dengan C. b. Distributif untuk Operasi Irisan (Intersection) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Artinya, irisan himpunan A dengan gabungan B dan C sama dengan gabungan antara irisan A dengan B dan irisan A dengan C. Contoh: 1) Jika A = {1, 2}, B = {2, 3}, dan C={3, 4}, kita dapat mengonfirmasi distributif gabungan terhadap irisan dengan menghitung kedua sisi persamaan: A ∪ (B ∩ C) = {1, 2, 3, 4}
30 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4} 2) Jika D = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah}, E = {Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah}, dan F = {Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah}, maka kita dapat mengonfirmasi distributif gabungan terhadap irisan dengan menghitung kedua sisi persamaan: A ∪ (B ∩ C) = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah} (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah, Dana Pensiun Syariah} Kaidah distributif ini berguna dalam menyederhanakan ekspresi himpunan dan mempermudah analisis hubungan antara himpunanhimpunan tersebut. Contoh penerapannya bisa dilihat pada hukum distributif dalam aljabar Boolean atau dalam konteks struktur aljabar lainnya. Dengan demikian, kita melihat bahwa kedua sisi persamaan tersebut menghasilkan himpunan yang sama, mengonfirmasi kaidah distributif gabungan terhadap irisan. Hal yang sama dapat dilakukan untuk kaidah distributif irisan terhadap gabungan. 5. Kaidah De Morgan Kaidah De Morgan adalah dua aturan yang berguna dalam teori himpunan yang menyatakan hubungan
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 31 antara operasi irisan (intersection) dan komplemen (complement) dari himpunan-himpunan. Terdapat dua hukum De Morgan, yaitu hukum De Morgan untuk irisan dan komplemen serta hukum De Morgan untuk gabungan dan komplemen. a. Kaidah De Morgan untuk Irisan dan Komplemen: (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′ Artinya, komplemen dari irisan A dan B sama dengan gabungan dari komplemen A dan komplemen B. b. Kaidah De Morgan untuk Gabungan dan Komplemen: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ Artinya, komplemen dari gabungan A dan B sama dengan irisan dari komplemen A dan komplemen B. Contoh: 1) Jika A = {1, 2, 3} dan B = {3, 4, 5}, kita dapat mengonfirmasi hukum De Morgan untuk irisan dan komplemen: (A ∩ B)’ = {1, 2, 4, 5} A’ ∪ B’ = {1, 2, 4, 5} Dan juga untuk hukum De Morgan untuk gabungan dan komplemen: (A ∪ B)’ = {1, 2} A’ ∩ B’ = {1, 2}
32 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah 2) Jika A = {Bank Syariah Indonesia, Bank Victoria Syariah, Bank Muamalat} dan B = {Bank Muamalat, BCA Syariah, Bank Jabar Banten Syariah}, kita dapat mengonfirmasi hukum De Morgan untuk irisan dan komplemen: (A ∩ B)’ = {Bank Syariah Indonesia, Bank Victoria Syariah, BCA Syariah, Bank Jabar Banten Syariah} A’ ∪ B’ = {Bank Syariah Indonesia, Bank Victoria Syariah, BCA Syariah, Bank Jabar Banten Syariah} Dan juga untuk hukum De Morgan untuk gabungan dan komplemen: (A ∪ B)’ = {Bank Syariah Indonesia, Bank Victoria Syariah} A’ ∩ B’ = {Bank Syariah Indonesia, Bank Victoria Syariah} Dengan demikian, kedua hukum De Morgan tersebut terbukti benar dalam contoh ini. 6. Kaidah Komutatif(Commutative) Kaidah komutatif (commutative) dalam himpunan merujuk pada sifat di mana urutan operasi gabungan (union) atau irisan (intersection) antara dua himpunan tidak mempengaruhi hasil akhirnya. Ada dua kaidah komutatif utama dalam himpunan, yaitu komutatif untuk operasi gabungan dan komutatif untuk operasi irisan. a. Komutatif untuk Operasi Gabungan (Union)
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 33 A ∪ B = B ∪ A Artinya, gabungan himpunan A dengan B sama dengan gabungan himpunan B dengan A. b. Komutatif untuk Operasi Irisan (Intersection) A ∩ B = B ∩ A Artinya, irisan himpunan A dengan B sama dengan irisan himpunan B dengan A. Kaidah-kaidah ini mencerminkan sifat bahwa urutan himpunan yang dioperasikan dengan operasi gabungan atau irisan tidak mempengaruhi hasil akhirnya. Contoh: 1) Jika A = {1, 2} dan B = {2, 3}, kita dapat mengonfirmasi kaidah komutatif untuk gabungan dan irisan: Komutatif untuk Gabungan: A ∪ B = {1, 2, 3} B ∪ A = {1, 2, 3} Komutatif untuk Irisan: A ∩ B = {2} B ∩ A = {2} 2) Jika A = {BMT Rukun Abadi, BMT Al-Manshurin} dan B = {BMT Al-Manshurin, BMT Al-Barkah}, kita dapat mengonfirmasi kaidah komutatif untuk gabungan dan irisan: Komutatif untuk Gabungan:
34 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah A ∪ B = {BMT Rukun Abadi, BMT AlManshurin, BMT Al-Barkah} B ∪ A = {BMT Rukun Abadi, BMT AlManshurin, BMT Al-Barkah} Komutatif untuk Irisan: A ∩ B = {BMT Al-Manshurin} B ∩ A = {BMT Al-Manshurin} Dengan demikian, kedua kaidah komutatif tersebut terbukti benar dalam contoh ini. 7. Kaidah Identitas (Identity) Kaidah identitas dalam himpunan tidak seumum kaidah identitas dalam operasi-aljabar. Namun, identitas dalam konteks himpunan sering kali merujuk pada himpunan yang, ketika digabungkan (union) atau diiris (intersection) dengan himpunan lain, memberikan hasil yang sama dengan himpunan itu sendiri. a. Identitas untuk Operasi Gabungan (Union) A ∪ ∅ = A Artinya, ketika himpunan A digabungkan dengan himpunan kosong (∅), hasilnya sama dengan himpunan A itu sendiri.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 35 b. Identitas untuk Operasi Irisan (Intersection) A ∩ U = A Artinya, ketika himpunan A diiris dengan himpunan semesta U, hasilnya sama dengan himpunan A itu sendiri. Dalam kedua kasus ini, himpunan ∅ (kosong) dan himpunan U (semesta) memiliki peran khusus sebagai identitas dalam operasi gabungan dan irisan, masingmasing. Contoh: 1) Jika A = {1, 2, 3}, himpunan ∅ adalah himpunan kosong, dan himpunan U adalah semesta semua elemen yang mungkin, misalnya, himpunan bilangan bulat. Maka: Identitas untuk Gabungan: A ∪ ∅ = {1, 2, 3} A ∪ U = U Identitas untuk Irisan: A ∩ ∅ = ∅ A ∩ U = {1, 2, 3} 2) Jika A = {Sedekah, Wakaf, Infaq}, himpunan ∅ adalah himpunan kosong, dan himpunan U adalah semesta semua elemen yang mungkin, misalnya, himpunan bilangan bulat. Maka: Identitas untuk Gabungan: A ∪ ∅ = {Sedekah, Wakaf, Infaq}
36 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah A ∪ U = U Identitas untuk Irisan: A ∩ ∅ = ∅ A ∩ U = {Sedekah, Wakaf, Infaq} Identitas dalam himpunan ini berguna dalam menyederhanakan ekspresi dan memahami sifat-sifat dasar dari operasi gabungan dan irisan. Kaidah-kaidah tersebut membantu dalam memahami dan melakukan operasi pada himpunan dengan cara yang konsisten dan benar.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 37 Cara Pendaftaran 1. M = {10, 20, 30, 40, 50} 2. N = {a, i, u, e, o} 3. X = {Mudharabah, Murabahah, Musyarakah, Ijarah} 4. Y = {Al-Quran, Hadist, Ijma, Qiyas} Cara Pencirian 1. Tentukan anggota himpunan R yang terdiri dari angkaangka genap antara 10 hingga 20. 2. Tentukan anggota himpunan T yang terdiri dari angkaangka ganjil antara 25 hingga 35. 3. Tentukan 4 anggota himpunan S yang terdiri dari jenisjenis Lembaga Non-Bank Syariah. 4. Tentukan 5 anggota himpunan K yang terdiri dari Bank Syariah yang beroperasi di Indonesia. Himpunan Bagian Manakah pernyataan di bawah ini yang benar: 1. Himpunan A dikatakan bagian dari himpunan B. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {0, 1, 2, 3, 4} 2. Himpunan C dikatakan bagian dari himpunan D. C = {a, b, c, d, e, f} D = {a, c, e, h, z, x, y}
38 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah 3. Himpunan E dikatakan bagian dari himpunan F. A = {Mudharabah, Murabahah, Ijaroh, Wakalah, Musyarakah, Salam, Isthisna} B = {Mudharabah, Musyarakah, Murabahah, Ijaroh} 4. Himpunan G dikatakan bagian dari himpunan H. G = {Zakat, Infaq, Shodaqoh, Wakaf} H = {Zakat Fitrah, Zakat Mal, Wakaf Uang, Wakaf Bangunan} Himpunan Kosong Manakah pernyataan di bawah ini yang termasuk ke dalam himpunan kosong: 1. Himpunan dari bilangan ganjil yang lebih besar dari 10 dan kurang dari 5 2. Jika A = {2, 4, 6} dan B = {x | x adalah bilangan prima}, tentukan apakah A ∩ B 3. Himpunan dari transaksi Mudharabah, Murabahah, Musyarakah, Ijarah yang mengandung riba 4. Jika A = {Bank Mandiri, Bank Syariah Indonesia, Bank Negara Indonesia} dan B = {x | x Bank Syariah yang beroperasi di Indonesia}, tentukan apakah A ∩ B Himpunan Komplemen 1. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} adalah himpunan bilangan bulat positif kurang dari 6, tentukan himpunan komplemen A terhadap himpunan bilangan bulat positif kurang dari 10.
Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 39 2. Jika C = {89, 99, 109} dan D = {89, 99, 109, 119, 129}, tentukanlah himpunan C komplemennya 3. Jika E = {Bank Mandiri, BCA Syariah, Bank Negara Indonesia, BJB Syariah, Bank Muamalat} dan F = {Bank Syariah Indonesia, Bank Aladin Syariah, Bank Panin Dubai Syariah, Bank Bukopin, Bank Jago Syariah, BTPN Syariah}, tentukanlah himpunan E komplemennya 4. Jika M = {Baznas, Lazismu, Rumah Zakat, Dompet Dhuafa} dan N = {Yatim Mandiri, Amil Zakat Nurul Hayat, Inisiatif Zakat Indonesia, Global Zakat}, tentukanlah himpunan N komplemennya Himpunan Sama Manakah pernyataan di bawah ini yang termasuk ke dalam himpunan sama: 1. Jika I = {mobil, sepeda, motor} dan J = {mobil, sepeda, motor} 2. Jika K = {17, 18, 19, 20, 21, 22} dan L = {18, 19, 17, 20, 22, 21} 3. Jika I = {LAZ Daarut Tauhid Peduli, LAZ Dewan Da'wah Islamiyah Indonesia, LAZ Panti Yatim Indonesia Al Fajr} dan J = {LAZ Yayasan Baitul Ummah Banten, LAZ Daarut Tauhid Peduli, LAZ Dewan Da'wah Islamiyah Indonesia} 4. Jika I = {LPH Sucofindo, LPH UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta, LPH Surveyor Indonesia} dan J = {LPH Surveyor Indonesia, LPH Sucofindo, LPH UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta}
40 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Operasi Irisan 1. Jika I = {merah, hijau, biru} dan J = {biru, kuning, putih}, tentukan himpunan hasil dari I ∩ J. 2. Jika G = {x | x adalah bilangan bulat positif kurang dari 10} dan H = {x | x adalah bilangan prima kurang dari 10}, tentukan himpunan hasil dari G ∩ H. 3. Jika O = {Badan Wakaf Indonesia, Badan Wakaf AlQur'an, Lembaga Wakaf Ma'had Ibnussabil Indonesia} dan P = {Bank Victoria Syariah, BTPN Syariah, Bank Muamalat}, tentukan himpunan hasil dari O ∩ P. 4. Jika R = {BPD Jateng Syariah, BPD Jatim Syariah, BPD Kaltim dan Kaltara Syariah} dan S = {BPRS Al Salaam Amal Salman, BPD Sumatera Barat, Bank DKI Syariah}, tentukan himpunan hasil dari R ∩ S. Operasi Gabungan 1. Jika I = {merah, hijau, biru} dan J = {biru, kuning, putih}, tentukan himpunan hasil dari I ∪ J. 2. Jika G = {x | x adalah bilangan genap kurang dari 10} dan H = {x | x adalah bilangan prima kurang dari 10}, tentukan himpunan hasil dari G ∪ H. 3. Jika O = {Badan Wakaf Indonesia, Badan Wakaf AlQur'an, Lembaga Wakaf Ma'had Ibnussabil Indonesia} dan P = {Bank Victoria Syariah, BTPN Syariah, Bank Muamalat}, tentukan himpunan hasil dari O ∩ P. 4. Jika R = {BPD Jateng Syariah, BPD Jatim Syariah, BPD Kaltim dan Kaltara Syariah} dan S = {BPRS Al Salaam Amal Salman, BPD Sumatera Barat, Bank DKI Syariah}, tentukan himpunan hasil dari R ∩ S.