Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 41 Operasi Diferensiasi Simetris 1. Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 4, 5, 6}, tentukan himpunan hasil dari A ∆ B 2. Jika C = {a, b, c, d} dan D = {c, d, e, f}, tentukan himpunan hasil dari C ∆ D 3. Jika E = {Mudharabah, Murabahah Musyarakah} dan F = {BMT, Bank Syariah, BPRS}, tentukan himpunan hasil dari E ∆ F 4. Jika G = {Lembaga Amil Zakat, Lembaga Perbankan Syariah, Badan Wakaf Indonesia} dan H = {Masyarakat Ekonomi Syariah, Ikatan Ahli Ekonomi Islam Indonesia, Asosiasi Fintech Syariah Indoensia}, tentukan himpunan hasil dari G ∆ H Operasi Produk Kartesian 1. Jika I = {m, n, o} dan J = {10, 20}, tentukan himpunan hasil dari I × J 2. Jika G = {red, blue} dan H = {1, 2, 3}, tentukan himpunan hasil dari G × H 3. Jika O = {BCA Syariah, Bank Muamalat} dan P = {Asuransi Syariah, Pegadaian Syariah, Pasar Modal Syariah}, tentukan himpunan hasil dari O × P 4. Jika R = {Budak, Konvertit} dan S = {Zakat, Wakaf}, tentukan himpunan hasil dari R × S

42 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Operasi Selisih 1. Diketahui dua himpunan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6, 7}. Tentukan himpunan selisih A – B! 2. Diketahui dua himpunan X = {a, b, c, d, e} dan Y = {c, d, e, f, g}. Tentukan himpunan selisih X – Y! 3. Diketahui dua himpunan C = {Bank Syariah Indonesia, BCA Syariah, Bank Jabar Banten Syariah, Bank Victoria Syariah, Bank Muamalat} dan D = {Bank Muamalat, Bank Syariah Indonesia, Bank Mandiri, Bank Negara Indonesia, Bank Indonesia}. Tentukan himpunan selisih C – D! 4. Diketahui dua himpunan M = {Maisir, Riba, Gharar, Dharar, Maksiat} dan N = {Maksiat, Haram, Dusta, Ingkar, Dharar}. Tentukan himpunan selisih M – N! Kaidah Idempoten 1. Jika B = {1, 2, 3}, tentukan B ∩ B dengan menggunakan kaidah idempoten. 2. Jika X = {q, w, e, r}, tentukan X ∩ X dengan menggunakan kaidah idempoten. 3. Jika Y = {Rumah Zakat, Bank Muamalat, Investree}, tentukan Y ∩ Y dengan menggunakan kaidah idempoten. 4. Jika T = {Masyarkat Ekonomi Syariah, Badan Amil Zakat Nasional, Badan Wakaf Indonesia}, tentukan T ∩ T dengan menggunakan kaidah idempoten.

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 43 Kaidah Komutatif 1. Jika A = {5, 6} dan B = {7, 8}, maka tentukanlah a. Komutatif untuk Gabungan: b. Komutatif untuk Irisan: 2. Jika A = {Mudharabah, Ijarah} dan B = {Isthisna, Musyarakah}, maka tentukanlah a. Komutatif untuk Gabungan: b. Komutatif untuk Irisan: Kaidah Distributif 1. Jika A = {10, 20}, B = {20, 30}, dan C = {30, 40}, maka tentukanlah kaidah distributifnya 2. Jika D = {Pariwisata Halal, Makanan Halal}, E = {Makanan Halal, Kosmetik Halal}, dan F = {Kosmetik Halal, Farmasi Halal}, maka tentukanlah kaidah distributifnya Kaidah Asosiatif 1. Jika A = {10, 20}, B = {20, 30}, dan C = {30, 40}, maka tentukanlah kaidah asosiatifnya 2. Jika D = {Pariwisata Halal, Makanan Halal}, E = {Makanan Halal, Kosmetik Halal}, dan F = {Kosmetik Halal, Farmasi Halal}, maka tentukanlah kaidah asosiatifnya

44 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Kaidah De Morgan 1. Jika A = {11, 21, 31} dan B = {31, 41, 51}, maka tentukanlah kaidah De Morgan untuk: a. Irisan dan komplemen b. Gabungan dan komplemen 2. Jika A = {BMT Al-Barkah, BMT Al-Manshurin, BMT Rukun Abadi} dan B = {BMT Rukun Abadi, BMT Sejahtera, BMT Maju Bersama}, maka tentukanlah kaidah De Morgan untuk: a. Irisan dan komplemen b. Gabungan dan komplemen

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 45

46 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah alam eksplorasi matematika yang mendalam, kita seringkali bertemu dengan konsep-konsep yang mendasar namun memiliki dampak yang sangat luas dalam pemahaman struktur bilangan dan hubungan matematis. Tiga konsep yang sangat penting dalam konteks ini adalah pangkat, akar, dan logaritma. Ketiganya tidak hanya menjadi landasan bagi berbagai bidang dalam matematika, tetapi juga memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai disiplin ilmu, mulai dari ilmu fisika hingga keuangan. Bab ini akan membawa pembaca melalui perjalanan yang menarik dan bermakna dalam memahami pangkat, akar, dan logaritma. Kita akan memulai dengan merinci pengertian dasar dari ketiga konsep tersebut, menjelajahi sifat-sifat khusus, dan menyajikan berbagai metode untuk menerapkan konsep-konsep ini dalam penyelesaian masalah nyata. Penting untuk dicatat bahwa pemahaman yang kuat tentang pangkat, akar, dan logaritma bukan hanya kunci untuk menguasai keterampilan matematika tingkat tinggi, tetapi juga memberikan landasan yang kokoh bagi pemahaman konsepkonsep lebih lanjut seperti fungsi eksponensial dan persamaan diferensial. Oleh karena itu, bab ini tidak hanya merupakan perkenalan singkat, tetapi juga merupakan fondasi yang kokoh untuk pemahaman matematika yang mendalam. Selama kita menjelajahi bab ini, kita akan menemukan bagaimana konsep-konsep ini muncul secara alamiah dalam berbagai konteks matematika dan bagaimana kita dapat mengaplikasikannya dalam berbagai situasi. Mari kita bersamasama merenung dan merayakan keindahan serta kekuatan pangkat, akar, dan logaritma dalam dunia matematika. D

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 47 Pangkat adalah konsep matematika yang sering digunakan dalam ilmu ekonomi untuk menyajikan data secara efektif, memodelkan pertumbuhan, dan menghitung perubahan persentase. Dalam bab ini, kita akan memahami definisi pangkat, notasi pangkat, dan bagaimana konsep ini dapat diaplikasikan dalam konteks ekonomi. Notasi Xa menyatakan bahwa nilai X harus diperkalian dengan dirinya sendiri sebanyak a kali. Penggunaan notasi pangkat sangat berguna dalam menyederhanakan penulisan perkalian. Misalnya, perkalian bilangan 10 sebanyak 6 kali tidak perlu dituliskan secara terperinci sebagai 10 × 10 × 10 × 10 × 10 x 10, melainkan dapat disingkat menjadi 106 . Dengan demikian, Notasi pangkat memungkinkan kita menyatakan eksponen atau pangkat dengan cara yang ringkas dan mudah dipahami. 10 10 10 10 10 10 = 3 3 3 3 = = Bilangan berpangkat atau eksponen memiliki peran yang sangat penting dalam berbagai aspek kehidupan, terutama dalam konteks pendidikan, seperti dalam perhitungan rumus atau perbandingan. Sebagai contoh, dalam pembelajaran ekonomi, khususnya dalam perhitungan bunga majemuk, ketika suku bunga dibayarkan sekali dalam setahun, dapat dihitung menggunakan rumus: Mn = M (1 + i)n .

48 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Dalam aktivitas sehari-hari, seringkali kita menghadapi berbagai masalah atau situasi yang melibatkan konsep perpangkatan. Berbagai sektor kehidupan telah mengintegrasikan masalah-masalah perpangkatan ke dalam domain khusus mereka, termasuk bidang pendidikan dan bidang lainnya. Esensi dari perpangkatan adalah proses perkalian berulang suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Makna konsep pangkat juga dapat ditemukan dalam AlQur'an yang dapat diperoleh dari ayat 11 surat Al-Hadiid (Eva et al, 2021). Surat Al-Hadid ayat 11 tersebut menjelaskan tentang Siapa yang bersedia memberikan pinjaman yang baik kepada Allah, niscaya Allah akan melipatgandakan balasan pinjaman tersebut dan memberikan kepadanya pahala yang besar. Dari ayat tersebut dapat disimpulkan bahwa ketika kita memberikan kebaikan kepada orang lain, kita akan menerima balasan kebaikan yang berlipat ganda. Notasi pemangkatan juga berguna untuk menyederhanakan angka-angka yang merupakan kelipatan perkaliansepuluh dengan nilai yang sangat besar atau sangat kecil. Sebagai ilustrasi, angka 100.000 dapat disingkat menjadi 105 ; sedangkan angka 1/100.000 atau 0,00001 dapat disingkat menjadi 10-5 . Demikian pula, notasi ini membantu dalam merepresentasikan nilai numerik dengan cara yang lebih ringkas dan mudah dipahami. 2.000.000 = 9.000.000.000 = 9 . 6.300.000 = 6,3 . atau 63 . 0,000.056 = 56 . atau 5,6 .

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 49 Pemangkatan suatu bilangan dan operasi dengan bilangan pangkat tunduk pada aturan-aturan tertentu. Dengan merinci aturan-aturan yang akan dijelaskan, kita dapat mengidentifikasi berbagai manfaat tambahan dari penggunaan notasi pemangkatan. 1. Kaidah Pemangkatan Bilangan Pemangkatan bilangan melibatkan penggunaan pangkat, dan terdapat beberapa kaidah atau aturan yang berguna untuk mempermudah manipulasi atau perhitungan bilangan pangkat. Berikut adalah beberapa kaidah pemangkatan bilangan: a. Kaidah Pemangkatan Bilangan yang Dipangkatkan Nol Pemangkatan bilangan yang dipangkatkan nol adalah kaidah matematika yang menjelaskan hasil pemangkatan suatu bilangan dengan eksponen nol. Bilangan bukan nol berpangkat nol pasti akan bernilai 1. Contoh: = 1 Kaidah ini mengindikasikan bahwa ketika sebuah bilangan apabila dipangkatkan 0 akan selalu sama dengan 1. b. Kaidah Pemangkatan Bilangan Satu Kaidah pemangkatan bilangan satu sangat sederhana dan khusus. Kaidah ini menyatakan bahwa = 1 ( ≠ 0)

50 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah bilangan apapun yang dipangkatkan dengan eksponen 1 akan tetap sama dengan bilangan itu sendiri. Contoh: = 32 Kaidah ini mengindikasikan bahwa setiap bilangan pangkat 1 akan selalu sama dengan bilangan itu sendiri. c. Kaidah Pemangkatan Bilangan Nol Pemangkatan Bilangan Nol adalah kaidah bilang nol berpangkat sebuah bilangan selain nol pasti akan memiliki nilai nol. Contoh: = 0 Kaidah ini mengindikasikan bahwa setiap bilangan 0 dipangkatkan dengan bilangan berapapun akan selalu sama dengan bilangan itu sendiri atau memiliki nilai 0. d. Kaidah Pemangkatan Bilangan Negatif Bilangan pangkat negatif dapat diinterpretasikan sebagai invers dari bilangan pangkat positif dengan eksponen yang sama. Contoh: = = ( = 16-1 ) = = =

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 51 Kaidah ini mengindikasikan bahwa setiap bilangan yang dipangkatkan dengan bilangan negatif berapapun akan diinterpretasikan sebagai invers dari bilangan pangkat positif dengan eksponen yang sama. e. Kaidah Pemangkatan Bilangan Pecahan Bilangan berpangkat pecahan adalah seperangkat kaidah matematika yang digunakan untuk memahami dan menyederhanakan operasi pemangkatan bilangan dengan eksponen berbentuk pecahan. Eksponen berbentuk pecahan muncul ketika kita memiliki pangkat yang bukan bilangan bulat tetapi dinyatakan dalam bentuk pecahan. Jika x adalah bilangan positif atau negatif, dan m/n adalah pecahan, maka xa/b dapat diartikan sebagai akar b dari xa Contoh: = √ √ = 2 Kaidah ini mengindikasikan bahwa bilangan pangkat pecahan dapat diinterpretasikan sebagai akar pangkat dari suatu bilangan pangkat. f. Kaidah Bilangan Pecahan Berpangkat Bilangan pecahan berpangkat adalah ekspresi matematika yang melibatkan pemangkatan suatu bilangan pecahan dengan eksponen tertentu. Bilangan pecahan berpangkat adalah hasil bagi suku-suku berpangkatnya. = √ ( ) a =

52 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Contoh: ( ) 3 = = = 0,244 Kaidah ini mengindikasikan bahwa kaidah-kaidah pemangkatan, seperti kaidah eksponen positif, distributif, dan kaidah eksponen nol, juga berlaku untuk bilangan pecahan berpangkat. g. Kaidah Pemangkatan Pangkat dengan Pangkat: Bilangan berpangkat dipangkatkan lagi bertujuan untuk menggambarkan bagaimana kita memperlakukan ekspresi yang melibatkan pemangkatan suatu bilangan yang sudah dipangkatkan. Contoh: (23 ) 3 = 2 3.3 = 29 = 512 Kaidah ini juga berguna untuk menyederhanakan ekspresi matematika dan dapat membantu dalam perhitungan yang melibatkan pemangkatan dengan eksponen yang lebih kompleks. h. Kaidah Bilangan Dipangkatkan Pangkat-berpangkat Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil pemangkatan pangkatnya. Contoh: = 8 = 256 ( ) b = ab = c di mana c = ab

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 53 Prinsip penyelesaian untuk bilangan yang memiliki pangkat yang berjenjang adalah menyelesaikan pangkat-pangkatnya terlebih dahulu. i. Kaidah Perkalian Pangkat dengan Dasar Sama: Kaidah Perkalian Pangkat dengan Dasar Sama (atau sering disebut kaidah eksponen perkalian) menyederhanakan ekspresi matematika yang melibatkan perkalian antara dua bilangan yang memiliki dasar (basis) yang sama dan eksponen yang berbeda. Perkalian bilangan berpangkat dengan basis yang sama menghasilkan bilangan berpangkat dengan basis yang tetap, dan pangkatnya adalah jumlah dari pangkatpangkatnya. Contoh: 5 3 . 52 = 53+2 = 55 = 3125 Kaidah ini sangat membantu dalam menyederhanakan dan mempermudah perhitungan ekspresi matematika yang melibatkan perkalian antara suatu bilangan dengan dasar yang sama. j. Kaidah Perkalian Pangkat Dua Bilangan Perkalian bilangan berpangkat dengan pangkat yang identik, namun hasilnya berbeda, menghasilkan bilangan berpangkat dengan basis yang sama, namun bilangan yang dipangkatkannya adalah hasil perkalian dari bilangan-bilangan tersebut. a . b = a + b a . a = () a

54 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Contoh: 103 . 113 = (10.11)3 = 1103 = 1331000 Fungsi kaidah perkalian pangkat dua bilangan melibatkan menyederhanakan ekspresi dan membuat perhitungan matematika lebih mudah. Kaidah ini sering digunakan dalam aljabar untuk mempermudah manipulasi ekspresi matematika dan membuatnya lebih mudah dipahami. k. Kaidah Pembagian Pangkat dengan Dasar Sama Kaidah Pembagian Pangkat dengan Dasar Sama (atau sering disebut kaidah eksponen pembagian) menyederhanakan ekspresi matematika yang melibatkan pembagian antara dua bilangan yang memiliki dasar (basis) yang sama dan eksponen yang berbeda. Pembagian bilangan berpangkat dengan basis yang sama menghasilkan bilangan berpangkat dengan basis yang tetap, dan pangkatnya adalah selisih dari pangkat-pangkatnya. Contoh: 6 3 : 62 = 63-2 = 61 = 6 Kaidah ini sangat membantu dalam menyederhanakan dan mempermudah perhitungan ekspresi matematika yang melibatkan pembagian antara suatu bilangan dengan dasar yang sama dengan pangkat yang berbeda. l. Kaidah Pembagian Pangkat Dua Bilangan Pembagian bilangan berpangkat dengan pangkat yang identik, namun hasilnya berbeda, menghasilkan bilangan berpangkat dengan basis yang sama, namun a : b = a-b

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 55 bilangan yang dipangkatkannya adalah pembagian dari bilangan-bilangan tersebut. Contoh: 2 3 : 83 = ( ) 3 = Fungsi kaidah pembagian pangkat adalah menyederhanakan ekspresi matematika yang melibatkan pembagian dan eksponen, sehingga memudahkan perhitungan dan manipulasi aljabar. Kaidah ini merupakan bagian dari aturan eksponen yang lebih umum, yang membantu dalam menyederhanakan suatu bilangan dengan dasar yang berbeda dengan pangkat yang sama. Dalam matematika, akar merujuk pada operasi kebalikan dari pemangkatan. Akar merupakan operasi dalam aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan suatu bilangan. Sebuah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk akar memiliki metode untuk menyelesaikannya secara rasional dan memiliki sifat-sifat khusus terkait dengan bentuk akar. Akar sering digunakan dalam berbagai bidang matematika, fisika, dan rekayasa untuk menyelesaikan masalah dan menyederhanakan ekspresi matematika. Jika a dipangkatkan dengan eksponen n dan menghasilkan b, maka akar n-nya dari b adalah nilai a yang, jika dipangkatkan dengan n, akan menghasilkan a : a = ( ) a

56 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah b. Simbol akar biasanya dilambangkan dengan simbol akar atau notasi pangkat pecahan. Berdasarkan konsep pemangkatan, jika kita mengalikan bilangan yang sama (contohnya m) sejumlah tertentu, sebanyak n kali, maka kita dapat menulisnya sebagai mn ; dimana m adalah basis dan n adalah pangkat. Jika mn = o, maka m juga dapat disebut sebagai akar pangkat n dari o, yang dapat dituliskan dalam bentuk akar sebagai = √ . Dengan kata lain, √ = m karena mn = o; atau dengan pernyataan lain, √ = m apabila mn = o. Secara umum: √ = m apabila mn = o Contoh: √ = 15 Sebab 152 = 225 √ = 10 Sebab 103 = 1000 Dalam notasi √ , n merupakan pangkat dari akar, sementara o disebut radikan. Penting untuk dicatat bahwa biasanya pangkat 2 dari akar tidak diindikasikan secara eksplisit dalam penulisan, sehingga jika tidak ada angka pangkat di tanda akar, dapat diasumsikan bahwa akar tersebut merupakan pangkat 2. Contoh: √ = √ , √ = √

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 57 1. Sifat-Sifat Akar a. Akar Bilangan Genap Radikan Positif Jika pangkat dari akar adalah bilangan genap, maka hasilnya akan menghasilkan dua jenis akar ketika radikan positif: satu akar positif dan satu akar negatif. Ini sesuai dengan kaidah perkalian dalam operasi tanda, di mana baik bilangan positif maupun bilangan negatif, jika dipangkatkan dengan bilangan genap, akan menghasilkan bilangan positif. Contoh: Jadi, sesungguhnya √ = 15 (baca: = 15 dan - 15), bukan hanya +15; sebab (-15)2 = 225 juga. Sama halnya , √ = 13 dan bukan hanya +13 tapi juga - 13, √ = 3 dan bukan hanya +3 tapi juga -3. b. Akar Bilangan Genap Radikan Negatif Jika pangkat dari akar adalah bilangan genap, maka hasilnya akan menghasilkan dua jenis akar ketika radikan negatif, maka akan menghasilkan bilangan khayal. Bilangan khayal adalah bilangan yang merupakan akar pangkat genap dari suatu bilangan negatif. Bilangan ini tidak memiliki sifat yang dapat dikategorikan secara jelas sebagai positif atau negatif. (Dumairy, 2007). Contoh: √ adalah bilangan khayal, sebab baik +15 maupun -15 jika dipangkatkan 2 tidak ada yang menghasilkan -225.

58 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah c. Akar Bilangan Ganjil Jika pangkat dari akar adalah bilangan ganjil, baik radikan positif maupun radikan negatif hanya akan menghasilkan satu jenis akar; radikan positif akan menghasilkan akar positif, sementara radikan negatif akan menghasilkan akar negatif. Contoh: √ = +3 sebab hanya (+3)(+3)(+3) = 27 √ = -3 sebab hanya (-3)(-3)(-3) = -27 Seperti halnya dalam pemangkatan, pengakaran bilangan pun memiliki beberapa kaidah. Kaidah-kaidah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut: 2. KAIDAH PENGAKARAN BILANGAN a. Akar dari Satu √ = 1 Akar pangkat n dari satu selalu sama dengan satu. b. Akar dari Nol √ = 0 Akar pangkat n dari nol selalu sama dengan nol. c. Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya. Berdasarkan √ = jika a = m ( adalah basis), maka: √ = 1

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 59 Sebab ( 1 ) b = = 1 = , dalam hal ini 1 adalah basis. Contoh: √ = 1 = 11 d. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan, dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi, sedangkan pangkat dari akar menjadi suku pembagi. Contoh: √ = = 8 e. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya. √ = √ . √ Contoh: √ = √ . √ = 3 . 5 = 15 f. Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya. Contoh: √ = √ √ = = 0,833 g. Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisien-koefisiennya terakar. m √ n √ = ( m n ) √ √ = √ = √ √

60 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Contoh: 6√ 3√ = 9√ dan 3√ = 9 (2,23) dan 3 (2,23) = 20,07 dan 6,69 h. Hasil kali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi dari biangan-bilangannya. Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. √ . √ = √ Contoh: √ . √ = √ = √ = 15 i. Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan; pangkat baru akarnya ialah hasil kali pangkat dari akar-akar sebelumnya. √ √ = √ Contoh: √ √ = √ = √ = 2 j. Hasil bagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasil bagi bilangan-bilangannya. Pembagia hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama. √ √ = √ Contoh: √ √ = √ = √ = 1,36 Logaritma adalah suatu fungsi matematika yang menyatakan eksponen atau pangkat yang perlu diberikan pada suatu bilangan (yang disebut basis logaritma) untuk

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 61 mendapatkan bilangan tertentu. Pada dasarnya, logaritma merupakan kebalikan dari operasi pemangkatan dan/atau pengakaran. Fungsinya adalah untuk mempermudah operasi-operasi seperti perkalian, pembagian, pencarian pangkat, dan penarikan akar. Logaritma memiliki banyak penerapan dalam berbagai bidang, termasuk matematika, fisika, ilmu komputer, ekonomi, dan lainnya. Dalam ilmu komputer, logaritma sering digunakan untuk menganalisis kompleksitas waktu algoritma. Logaritma dapat digunakan untuk memodelkan pertumbuhan eksponensial dan penurunan. Ketika suatu variabel berkembang atau menyusut dengan laju tetap, logaritma dapat memberikan pemahaman yang baik tentang perkembangan tersebut. Secara umum, logaritma didefinisikan sebagai berikut: Apabila terdapat bilangan sama dengan n, dengan mengungkapkannya dalam bentuk pangkat, kita dapat menyajikannya sebagai: = n di mana: adalah basis dan x adalah pangkat. Pangkat x tersebut juga logaritma dari n terhadap basis , yang jika dituliskan dalam bentuk logaritma menjadi: x = m atau x = . Bilangan pokok (basis) logaritma, dalam contoh di atas, dapat dituliskan di pojok kiri atas dari tanda log (singkatan logaritma) atau di pojok kanan bawah dari tanda

62 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah tersebut. Dengan kata lain, logaritma adalah cara untuk memahami eksponen atau pangkat yang dibutuhkan untuk mencapai suatu nilai tertentu dari suatu basis. Berdasarkan kesamaan bentuk pemangkatan dan logaritma sebagaimana ditunjukan di atas, kita dapat pula menarik analogi untuk pernyataan-pernyataan di bawah ini: 2 2 = 4; pangkat 2 adalah logaritma dari 4 terhadap basis 2, atau 2 = 2 5 3 = 125; pangkat 3 adalah logaritma dari 125 terhadap basis 5, atau 5 = 3. Selain melalui proses pemangkatan, bentuk logaritma juga memiliki hubungan yang erat dengan bentuk pengakaran. Keterkaitan yang kuat di antara ketiga bentuk ini dapat diamati sebagai berikut: Bentuk Pangkat Bentuk Akar Bentuk Logaritma = m √ x = a Suku-suku di ruas kanan menunjukan bilamgan yang dicari atau hendak dihitung pada masing-masing bentuk Dalam pemangkatan, kita memiliki informasi tentang basis (x) dan eksponen (a), dan tujuannya adalah menemukan hasil dari pemangkatan tersebut (m). Pada pengakaran, kita memiliki nilai tertentu yang disebut radikan (m) dan pangkat akar (a), dan kita ingin mengetahui nilai dari akar tersebut (x). Sementara dalam logaritma, kita memiliki pengetahuan tentang basis logaritma (x) dan

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 63 bilangan logaritma (m), dan kita berusaha menemukan nilai eksponen yang menghasilkan logaritma tersebut (yaitu a). Perhatikan posisi variabel a, m, dan x dalam setiap bentuk di atas. Bilangan a, yang merupakan hasil logaritma, sebenarnya merupakan eksponen dari basis dalam bentuk pangkat, dan juga eksponen dari akar dalam bentuk akar. Sementara m, yang merupakan hasil pemangkatan, sebenarnya adalah radikan dalam bentuk akar dan bilangan logaritma dalam bentuk logaritma. Adapun x, yang merupakan hasil pengakaran, sebenarnya adalah basis baik dalam bentuk pangkat maupun dalam bentuk logaritma. Logaritma dapat dihitung untuk berbagai basis. Namun, umumnya basis logaritma selalu merupakan bilangan positif yang tidak sama dengan satu. Dalam praktik perhitungan, basis logaritma yang paling umum digunakan adalah bilangan 10 karena pertimbangan praktis. Karena keumuman penggunaan basis 10, seringkali basis ini tidak disertakan dalam notasi logaritma. Dengan demikian, log m dapat diartikan sebagai 10logm, dan penulisan seperti log 24 ≡ 10log24, serta 10log65 dapat disederhanakan menjadi log 65. Logaritma berbasis 10, yang juga dikenal sebagai logaritma biasa atau logaritma Briggs (dinamai setelah Henry Briggs, yang hidup antara tahun 1561-1630), dapat disandingkan dengan logaritma berbasis bilangan e (e = 2,728287 atau disingkat sebagai 2,72). Logaritma berbasis e ini juga disebut logaritma alam atau logaritma Napier (dinamai setelah John Napier, yang hidup antara tahun 1550-1617). Jika notasi logaritma Briggs diwakili dengan log, maka logaritma Napier diwakili dengan ln. Oleh karena itu,

64 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah ln m dapat diartikan sebagai e logm, ln 24 sebagai e log24 (Dumairy, 2007). 1. Kaidah-Kaidah Logaritma a. sebab x 1 = x Contoh: 1) 5 log 5 = 1 2) 12log 12 = 1 b. ` sebab x 0 = 1 Contoh: 1) 6 log 1 = 0 2) 3 log1 = 0 c. sebab x a = a Contoh: 1) 11log 115 =5 2) 13log137 = 7 d. Contoh: 1) 12log 1442 = 2 12 log 144 = 2 12 log 12 2 = 2.2 = 4 x log 1 = 0 x log x a = a x log m a = a x log m x log x = 1

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 65 2) 3 log 813 = 3 3 log 81 = 3 3 log 3 3 = 3.3 = 9 e. Contoh: 1) 7 7 log 49 = 7 7 log 72 = 72 = 49 2) 6 6 log 36 = 6 6 log 62 = 62 = 36 f. Contoh: 1) 7 log (49) (343) = 7 log 49 + 7 log 343 = 2+3 = 5 2) 4 log (1024) (65536) = 4 log 1024 + 4 log 65536\ = 5 + 8 = 13 g. 1) 7 log = 7 log 49 - 7 log 343 = 2 - 3 = -1 2) 4 log = 4 log 1024 - 4 log 65536 = 5-8 = -3 x x log m = m x log m n = x log m + x log n x log = x log m - x log n

66 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah h. sehingga x log m = 1) 7 log 49 . 49log 7 = 7 log 7 2 + 49log 490,5 = 2 × 0,5 = 1 2) 4 log 256 . 256log 4 = 4 log 4 4 + 256log 2560,25 = 4 × 0,25 = 1 i. 1) 7 log 49 × 49log 2401 × 2401log 7 = 7 log 7 2 × 49log 492 × 2401log 24010,25 = 2 × 2 × 0,25 = 1 2) 3 log 9 × 9 log 729 × 729log 3 = 3 log 32 × 9 log 93 × 729log 7291/6 = 2 × 3 × ⁄ = 1 x log m . m log x = 1 x log m . m log n . n log x = 1

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 67 1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut dan selesaikan: (a) 2 5 . 2 3 . 2 -6 (c) 17 9 . 178 . 17-16 (b) 8 4 . 7 4 . 3 4 (d) 104 . 114 . 124 2. Ubahlah bentuk-bentuk berikut ke dalam bentuk akar: (a) 12 3/5 (c) 3 3/9. 38/9: 31/9 (b) (8 1/4) 2 (d) 101/2 + 202/3 3. Sederhanakan dan kemudian selesaikan: (a) √ √ √ (c) ∜ √ (b) (√ ) ( √ ) (d) ( √ ) ( √ ) 4. Ubahlah ke dalam bentuk logaritma: (a) 2 3 (c) 104 . 114 . 124 (b) √ (d) 4 3/3 : √ 5. Hitunglah: (a) 2 log 32 (c) In e (b) 9 log 729 (d) In 29

68 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 69

70 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah eret matematika ekonomi merupakan konsep fundamental dalam analisis ekonomi yang memberikan dasar untuk memahami perubahan dan dinamika dalam fenomena ekonomi. Deret matematika menjadi alat yang sangat berguna dalam menggambarkan pola-pola perubahan, mengukur pertumbuhan ekonomi, dan menganalisis perilaku pasar. Deret adalah urutan bilangan yang diatur secara sistematis dan mematuhi aturan-aturan tertentu. Bilanganbilangan yang membentuk deret disebut sebagai suku-suku. Aturan yang mengatur urutan bilangan dalam deret terlihat melalui pola perubahan bilangan-bilangan tersebut dari satu suku ke suku berikutnya (Dumairy, 2007). Deret bilangan merupakan penjumlahan dari suatu suku-suku sautu barisan. Secara umum dapat ditulis U1 + U2 + U3 + …+ Un Dalam konteks ekonomi, deret matematika sering digunakan untuk menyelidiki pola waktu, seperti tren pertumbuhan ekonomi, perubahan harga, dan tingkat pengangguran. Analisis deret waktu ini memberikan wawasan mendalam tentang bagaimana variabel ekonomi berkembang seiring waktu dan bagaimana perubahan tersebut dapat mempengaruhi keputusan ekonomi. Bab ini akan membahas berbagai jenis deret matematika yang relevan dalam konteks ekonomi, mulai dari deret aritmatika hingga deret geometri. Kami akan mengulas konsep dasar, sifat-sifat, dan aplikasi praktis deret matematika dalam analisis ekonomi. Selain itu, pembahasan akan mencakup contoh-contoh nyata yang memperlihatkan bagaimana deret matematika digunakan untuk menggambarkan dan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks. D

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 71 Melalui pemahaman deret matematika ekonomi, pembaca diharapkan dapat memperoleh landasan yang kuat untuk menerapkan alat matematika ini dalam konteks analisis ekonomi yang lebih luas. Dengan demikian, pembaca akan dapat menggali lebih dalam dan memahami dinamika kompleks di balik keputusan ekonomi, perubahan pasar, dan perkembangan ekonomi secara keseluruhan. Dengan memadukan teori dan aplikasi praktis, bab ini dirancang untuk menjadi sumber pengetahuan yang bermanfaat bagi mahasiswa, peneliti, dan praktisi ekonomi yang ingin mengasah keterampilan analitis mereka dan memahami peran penting deret matematika dalam konteks ekonomi modern. Dilihat dari jumlah suku yang terlibat, deret dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, yakni deret berhingga dan deret takberhingga. Deret berhingga merujuk pada deret dengan jumlah suku yang terbatas, sedangkan deret takberhingga adalah deret yang memiliki jumlah suku yang tidak terbatas. Sementara itu, dari segi pola perubahan bilangan pada sukusukunya, deret dapat dibedakan menjadi deret hitung (arithmetic), deret ukur (geometric), dan deret harmoni. Deret hitung adalah suatu rangkaian bilangan dimana setiap suku mengalami perubahan berdasarkan penambahan suatu bilangan tetap. Bilangan yang menjadi ciri khas untuk membedakan suku-suku dalam deret hitung ini disebut sebagai pembeda, yang sebenarnya merupakan selisih antara nilai dua suku berurutan (Dumairy, 2007). Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa deret hitung atau deret aritmatika adalah suatu

72 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah rangkaian bilangan yang setiap suku berbeda dari suku sebelumnya dengan suatu selisih tetap. Secara umum dapat dituliskan U1 + U2 + U3 + U4 + U5…. Dst. Contoh: 1. 2, 5, 8, 11, 14, ….. 2. 80, 75, 70, 65, ….. Dalam deret aritmatika, setiap suku berbeda dengan suku sebelumnya oleh selisih yang tetap. Beberapa konsep penting dalam deret aritmatika melibatkan penjumlahan suku-suku deret, jumlah suku-suku tertentu, dan rumus umum. 1. Rumus Suku ke-n dari DH Nilai suatu suku tertentu (ke-n) dalam deret hitung dapat diperoleh dengan menggunakan suatu rumus perhitungan. Deret ini dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut: ( ) a : suku pertama atau b : pembeda n : indeks suku Dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan sebelumnya, kita dapat dengan mudah dan cepat menghitung nilai-nilai suku tertentu. Sebagai contoh: Diketahui: a = 2 dan b = 3

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 73 Ditanya: Suku ke-12 dan Suku ke-29 Jawab: S12 = 2 + (12 - 1) 3 S12 = 2 + (11) 3 S12 = 2 + 33 S12 = 35 S29 = 2 + (29 - 1) 3 S29 = 2 + (28) 3 S29 = 2 + 84 S29 = 86 2. Jumlah n Suku Jumlah dari suatu deret hitung hingga suku tertentu adalah total dari nilai-nilai suku-sukunya, mulai dari suku pertama ( atau a) hingga suku ke-n ( ) yang bersangkutan. Jumlah suku ke-n ini dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut: * ( ) + ( ) ( ) Dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan sebelumnya, kita dapat dengan mudah dan cepat menghitung jumlah suku tertentu. Sebagai contoh: a. Diketahui: a = 2 dan b = 3

74 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Ditanya: Jumlah suku ke-12 dan jumlah suku ke-29 Jawab: J12 { ( ) ( – ) } J12 * ( )+ J12 * + J12 * + J12 J29 { ( ) ( – ) } J29 * ( )+ J29 * + J29 * + J29 b. Diketahui: a = 2 dan suku ke-12 = 35 dan suku ke-29 = 86 Ditanya: Jumlah suku ke-12 dan jumlah suku ke-29 Jawab: J12 ( ) J12 ( ) J12 J29 ( ) J29 ( )

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 75 J29 c. Diketahui: a = 2 dan b = 3 Ditanya: Jumlah suku ke-12 dan jumlah suku ke-29 Jawab: J12 ( ) ( – ) J12 ( ) J12 J12 J12 J29 ( ) ( – ) J29 ( ) J29 J29 J29 Deret ukur adalah deret matematika di mana perubahan antar suku-sukunya bergantung pada perkalian dengan suatu bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan suku-suku dalam deret ukur dikenal sebagai pengganda, yang didefinisikan sebagai hasil bagi antara nilai suatu suku dan nilai suku yang mendahuluinya

76 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah (Dumairy, 2007). Berdasarkan penjelasan di atas maka dapat disimpulkan bahwa deret ukur adalah suatu rangkaian bilangan yang setiap suku berbeda dari suku sebelumnya yang bergantung pada perkalian dengan suatu bilangan tertentu. Contoh: 1. 6, 18, 54, 162, 486 2. 800, 200, 50, 12,5, 3,125 3. 8, -16, 32, -64, 128, -256 1. Suku ke-n Dari DU Nilai suatu suku tertentu (ke-n) dalam deret ukur dapat diperoleh dengan menggunakan suatu rumus perhitungan. Deret ini dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut: Dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan sebelumnya, kita dapat dengan mudah dan cepat menghitung nilai-nilai suku tertentu. Sebagai contoh: a. Diketahui: a = 6 dan p = 4 Ditanya: Suku ke-15 dan suku ke-20 Jawab: S15 = 6 . 415-1 S15 = 6 . 414 S15 = 6 . 268435456 S15 = 1610612736 S20 = 6 . 420-1 S20 = 6 . 419 S20 = 6 . 274877906944

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 77 S20 = 1649267441664 b. Diketahui: a = 0,5 dan p = 5 Ditanya: Suku ke-8 dan suku ke-12 Jawab: S8 = 0,5 . 58-1 S8 = 0,5 . 5 7 S8 = 0,5 . 78125 S8 = 39062,5 S12 = 0,5 . 512-1 S12 = 0,5 . 511 S12 = 0,5 . 48828125 S12 = 24414062,5 2. Jumlah n Suku Seperti dalam urutan matematis, total dari sebuah deret ukur hingga suku tertentu adalah hasil penjumlahan nilai-nilai suku-sukunya mulai dari suku awal hingga suku ke-n yang bersangkutan. Pn Ekspresi umum untuk jumlah suku ke-n dalam deret ukur ini dapat dirumuskan sebagai berikut: ( ) ( ) Dengan menggunakan rumus yang telah disebutkan sebelumnya, kita dapat dengan mudah dan cepat menghitung jumlah suku tertentu. Sebagai contoh: a. Diketahui: a = 6 dan p = 3 Ditanya: Jumlah suku ke-9 dan jumlah suku ke-15

78 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Jawab: J9 ( ) J9 ( ) J9 J9 59049 J15 ( 1 ) J15 ( ) J15 J15 43046721 b. Diketahui: a = 6 dan p = 3 Ditanya: Jumlah suku ke-9 dan jumlah suku ke-15 Jawab: J9 ( ) J9 ( ) J9 J9 59049 J15 ( 1 ) J15 ( ) J15

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 79 J15 43046721 Dengan mengakhiri pembahasan mengenai deret hitung dan ukur ini, kita dapat menyimpulkan bahwa penerapan prinsip deret hitung telah memberikan landasan yang kokoh untuk menganalisis perkembangan berbagai fenomena matematika. Melalui pemahaman yang mendalam terhadap sifat-sifat deret, kita dapat mengidentifikasi dan merinci pola perubahan secara sistematis. Hal ini tidak hanya meningkatkan pemahaman kita terhadap konsep matematika dasar, tetapi juga membuka peluang untuk menerapkan pengetahuan tersebut dalam berbagai bidang, termasuk ilmu ekonomi. Kesimpulan ini menekankan pentingnya deret hitung sebagai alat analisis yang relevan dan berguna dalam memahami dan menginterpretasi perubahan-perubahan dalam suatu sistem matematika. Sementara itu, penutup bab deret ukur menyoroti peranan krusial deret ukur dan konsep logaritma dalam analisis pertumbuhan. Dengan alat-alat ini, kita dapat mengukur dan mengevaluasi laju pertumbuhan variabel matematika secara lebih akurat. Pemahaman mendalam terhadap deret ukur membuka peluang untuk menggali wawasan lebih lanjut dalam dinamika pertumbuhan dan memberikan dasar yang kuat untuk menghadapi tantangan matematika yang melibatkan konsep perubahan dan perkembangan. Dengan demikian, pemahaman konsep deret ukur bukan hanya memperkaya pemahaman kita terhadap matematika, tetapi juga mempersiapkan kita untuk menghadapi

80 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah kompleksitas dalam berbagai disiplin ilmu yang memanfaatkannya. Penerapan deret dalam konteks ekonomi memberikan dimensi baru dalam pemahaman dan analisis fenomena ekonomi yang kompleks. Deret, sebagai suatu konsep matematika yang melibatkan jumlah suku berturut-turut, memiliki peranan yang signifikan dalam menganalisis pola perubahan, pertumbuhan, dan perilaku variabel ekonomi. Dalam pendahuluan ini, kita akan menjelajahi bagaimana penerapan deret membuka pintu untuk pemahaman lebih mendalam terhadap dinamika ekonomi, memberikan alat analisis yang efektif dalam menguraikan fenomena ekonomi yang seringkali dipengaruhi oleh berbagai faktor kompleks. Deret matematika dan konsep deret waktu memiliki berbagai aplikasi dalam analisis ekonomi. Berikut adalah beberapa contoh penggunaan deret dalam konteks ekonomi: 1. Analisis Penjualan dan Pendapatan: Deret waktu dapat digunakan untuk menganalisis tren penjualan dan pendapatan suatu bisnis dari waktu ke waktu. Ini membantu dalam pemahaman fluktuasi dan pola yang dapat memengaruhi keuangan perusahaan. 2. Peramalan Ekonomi: Deret waktu sering digunakan dalam peramalan ekonomi untuk memprediksi perilaku variabel ekonomi

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 81 seperti tingkat pengangguran, inflasi, dan pertumbuhan GDP. Model deret waktu seperti ARIMA dapat membantu mengidentifikasi tren dan pola dalam data historis untuk membuat prediksi. 3. Investasi dan Portofolio Manajemen: Analisis deret waktu digunakan untuk memahami kinerja historis instrumen keuangan dan portofolio investasi. Ini membantu investor dalam membuat keputusan investasi yang lebih informasional. 4. Pengelolaan Persediaan dan Produksi: Deret waktu dapat diterapkan dalam analisis persediaan dan produksi untuk memprediksi tingkat permintaan, menyesuaikan produksi, dan mengoptimalkan rantai pasok. 5. Analisis Konsumen dan Pembelian: Dengan menggunakan deret waktu, perusahaan dapat menganalisis perilaku konsumen dari waktu ke waktu, mengidentifikasi musiman, dan merancang strategi pemasaran yang lebih efektif. 6. Analisis Kredit dan Risiko: Penggunaan deret waktu dalam analisis kredit dapat membantu memodelkan risiko pembayaran dan mengidentifikasi pola keterlambatan pembayaran atau ketidakmampuan pembayaran. 7. Pemodelan Harga dan Inflasi: Deret waktu digunakan untuk memahami perilaku harga barang dan jasa serta mengukur tingkat inflasi.

82 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah Ini membantu pemerintah dan perusahaan dalam perencanaan kebijakan harga dan mengantisipasi dampak inflasi. 8. Analisis Siklus Bisnis: Model deret waktu membantu dalam menganalisis siklus bisnis seperti ekspansi, kontraksi, dan pemulihan ekonomi. Ini membantu perusahaan dan pemerintah dalam mengambil langkah-langkah yang sesuai dengan fase siklus bisnis. 9. Manajemen Keuangan Perusahaan: Deret waktu dapat digunakan dalam mengelola arus kas perusahaan, menganalisis kesehatan keuangan, dan merencanakan keuangan jangka panjang. Penerapan deret dalam ekonomi memberikan alat analisis yang kuat untuk memahami dan merespons dinamika kompleks ekonomi dan bisnis. Aplikasi ini dapat membantu para pengambil keputusan membuat keputusan yang lebih informasional dan strategis. 1. Model Perkembangan Usaha Jika evolusi variabel tertentu dalam operasi bisnis, seperti produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau investasi modal, mengikuti pola serangkaian angka aritmetika, maka konsep-konsep dasar deret aritmetika dapat diterapkan untuk mengevaluasi perubahan variabel tersebut. Pola angka aritmetika dalam konteks ini menunjukkan bahwa variabel terkait mengalami peningkatan yang konsisten

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 83 dari satu periode ke periode berikutnya (Dumairy, 2007). Sebagai Contoh Bank Syariah Indonesia menghasilkan menyalurkan pinjaman dengan akad mudhrabah kepada 10000 nasabah pada bulan pertama. Kemudian, Bank Syariah Indonesia melakukan rekrutmen pegawai, sehingga mampu meningkatkan penyaluran pinjamannya sebanya 1000 nasabah per bulannya. Jika perkembangan penyaluran pinjaman dengan akad mudharabahnya konstan, maka berapa nasabah yang akan dihasilkannya pada bulan keenam belas? Berapakah jumlah nasabah yang telah diperoleh hingga bulan tersebut? Diketahui: a = 10000 b = 1000 n = 16 Ditanya: ? ? Jawab: = 10000 + (16-1) 1000 = 25000 = (10000 +1000) = 88000 Jumlah nasabah pada bulan keenam belas adalah 25000 nasabah, sedangkan jumlah seluruh nasabah

84 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut adalah 88000 nasabah. 2. Model Suku Majemuk Penerapan deret ukur dalam konteks simpanpinjam dan investasi terwujud dalam bentuk model sukuk majemuk. Dengan menggunakan model ini, kita dapat menghitung, jumlah pengembalian sukuk di masa mendatang dengan memperhatikan tingkat margin sukuk. Sebaliknya, kita dapat mengukur nilai sekarang dari jumlah investasi yang akan diterima di masa mendatang. ( ) P: jumlah sekarang i: tingkat margin sukuk per tahun n: jumlah tahun Rumus di atas mengandung anggapan tersirat bahwa margin dihitung untuk dibayarkan satu kali dalam setahun (misalnya m kali, masing-masing i/m per termin) dalam setahun, maka jumlah dimasa datang menjadi: ( ) m : frekuensi pembayaran margin dalam setahun Suku (1+i) dan (1+i/m) dalam dunia bisnis dinamakan "faktor sukuk majemuk" (compounding interest factor), yaitu suatu bilangan lebih besar dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung jumlah dimasa datang dari suatu jumlah sekarang.

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 85 Berdasarkan rumus di atas, dengan sedikit manipulasi matematis, dapat pula dihitung besarnya nilai sekarang apabila yang diketahui jumlahnya dimasa datang. Nilai sekarang (present value) dari suatu jumlah uang tertentu dimasa datang adalah: ( ) atau ( ) Suku 1/( ) dan 1/( ) dinamakan "faktor diskonto" (discount factor), yaitu suatu bilangan lebih kecil dari 1 yang dapat dipakai untuk menghitung nilai sekarang dari suatu jumlah dimasa datang. Sebagai Contoh: a. Zaid ingin melakukan investasi melalui sukuk sebesar 2.000.000.000 untuk jangka waktu 3 tahun, dengan tingkat margin 6% per tahun. Berapa jumlah penerimaan saat jangka waktunya selesai? Diketahui: P = 2.000.000.000 n = 3 i = 6% = 0,06 Ditanya: F3? Jawab: = ( ) = 2.000.000.000 ( ) = 2.000.000.000 ( )

86 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah = 2.000.000.000 (1,191016) = 2.382.032.000 Jadi pada saat waktunya selesai Zaid secara keseluruhan akan mendapatkan penerimaan mengembalikan sebanyak Rp 2.382.032.000. 3. Model Pertumbuhan Penggunaan deret ukur yang paling umum dalam konteks ekonomi adalah pada estimasi jumlah penduduk. Seperti yang diungkapkan sebelumnya oleh Malthus, pertumbuhan populasi dunia mengikuti pola deret ukur (Dumairy, 2007). Secara matematis, fenomena ini dapat diungkapkan sebagai: di mana R= 1+r P₁: jumlah pada tahun pertama (basis) Pt : jumlah pada tahun ke-t persentase pertumbuhan per tahun r : persentase pertumbuhan per tahun t : indeks waktu (tahun) Sebagai Contoh: Jumlah penduduk Kota Tasikmalaya adalah 500 ribu jiwa pada tahun 2000, sedangkan tingkat pertumbuhannya 5 persen per tahun. Berapakah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2010? Diketahui: P1 = 500 ribu r = 0,05

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 87 R = 1,05 Ditanya: P2010? Jawab: = 500.000 ( ) = 500.000 (1,628894) = 814.447,3134 jiwa

88 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah 1. Diketahui: a = 450 dan b = -25, berapakah: (a) S10 (c) J10 (b) S20 (d) J20 2. Jika a = 25 dan S10 = 95, berapa: (a) b? (c) n untuk Sn =130? (b) S20? (d) J15? 3. Untuk S3 = 74.000 dan S7 =22.000, hitunglah: (a) b (c) J31 (b) n untuk Sn = -17.000 (d) J16 4. Diketahui: S6 = 70 dan J10 = 140, hitunglah: (a) a (c) S10 (b) b (d) J13 5. Diketahui: sebuah deret ukur yang suku-sukunya 900, 300, 100, 33 , hitunglah: (a) S10 (c) J10 (b) S15 (e) J15

Muhammad Dzulfaqori Jatnika | 89 6. Diketahui suku ke-4 dan suku ke-8 dari sebuah deret ukur masing-masing adalah 250 dan 4000, berapa: (a) a? (c) S6? (b) p? (d) J6? 7. Pengganda sebuah deret ukur diketahui sebesar 5. Jika S = 6.250, hitunglah: (a) a? (c) J15 (b) S15 (d) J18 8. Diketahui: a = 12 dan p = -6, maka berapakah: (a) S7 (c) S12 (b) J7 (d) J12

90 | Matematika Ekonomi & Keuangan Syariah