เอกสารประกอบการอบรม คณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการอบรม

คณิตศาสตร์







หลักสูตรเพิ่มศักยภาพครูให้มีสมรรถนะของครูยุคใหม่ส าหรับการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21
















































ฝ่ายบริหารโครงการริเริ่ม


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)



คำแนะนำ วิธีการใช้เอกสารประกอบการอบรม วิชาคณิตศาสตร์
ค ำแนะน ำวิธีกำรใช้เอกสำรวิชำคณิตศำสตร์








โครงสร้าง


เอกสารเล่มนี้ประกอบด้วย 3 ส่วนหลัก คือ

1. แผนการอบรมเกี่ยวกับการวิเคราะห์ตัวชี้วัดการเรียนรู้และสมรรถนะ PISA

2. หน่วยการเรียนรู้และแผนการจัดการเรียนรู้

3. ภาคผนวกสำหรับ Mathematical literacy และระบบคลังข้อสอบออนไลน์





หน่วยการเรียนรู้


สำหรับวิชาคณิตศาสตร์จะประกอบด้วย 2 หน่วยการเรียนรู้ซึ่งครอบคลุมเนื้อหาที่สอน

ในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โดยเลือกหนึ่งเรื่องสำหรับแต่ละ

ภาคการศึกษาดังตาราง



หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ฟังก์ชันกำลังสอง หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ความน่าจะเป็น

สำหรับนักเรียนชั้น ม.3 ภาคเรียนที่ 1 สำหรับนักเรียนชั้น ม.3 ภาคเรียนที่ 2
เวลา 10 คาบเรียน เวลา 6 คาบเรียน

ประกอบด้วย 4 แผนการเรียนรู้ ประกอบด้วย 3 แผนการเรียนรู้





รายละเอียดเพิ่มเติม




สามารถศึกษาได้จากภาคผนวกหรือเอกสารอ้างอิงท้ายเล่ม



คำนำ




ท่ามกลางการเปลี่ยนแปลงอย่างรวดเร็วทั้งในด้านเศรษฐกิจ สังคมและวัฒนธรรม รวมไปถึงการเปลี่ยนผ่านสู่ดิจิทัล (digital
transformation) การมีความรู้เพียงอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอต่อการแก้ปัญหาหลากหลายที่เกิดขึ้น อีกทั้งในบางครั้งปัญหา

เหล่านี้ยังไม่สามารถคาดการณ์ได้ ทักษะและสมรรถนะต่าง ๆ ในการแก้ปัญหาจึงเป็นปัจจัยหนึ่งที่คนเราจำเป็นต้องมีอย่างยิ่ง
เพื่อให้สามารถปรับตัวได้เท่าทันกับสังคมและการเปลี่ยนแปลงใหม่ ๆ ที่จะเกิดขึ้นในอนาคต ตัวอย่างของทักษะการเรียนรู้และ
นวัตกรรมที่จำเป็นสำหรับศตวรรษที่ 21 ได้แก่ การคิดสร้างสรรค์และนวัตกรรม (learning and innovation skills)

การคิดแบบมีวิจารณญาณและการแก้ปัญหา (critical thinking and problem solving) การสื่อสาร (communication)
และการร่วมมือ (collaboration)


วิธีการหนึ่งในการเตรียมพร้อมกับการเปลี่ยนแปลงนี้คือ การปรับเปลี่ยนการเรียนการสอน ที่สามารถทำให้ผู้เรียนมี
“สมรรถนะ (competency)” ที่จำเป็นต่างๆ สามารถเรียนรู้วิธีการแก้ปัญหาได้มากกว่าการทำข้อสอบในห้องเรียน เพราะการ
แก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในชีวิตจริง ไม่ได้เป็นผลที่เกิดจากการจำได้จากการเรียนในชั้นเรียนเท่านั้น แต่ยังเป็นผลที่เกิดจากการมี

สมรรถนะและความสามารถที่จะแก้ปัญหาที่ไม่เคยพบเจอมาก่อนด้วย และเพื่อให้ครูผู้สอนสามารถสอนและจัดกิจกรรมต่างๆ
ให้บรรลุวัตถุประสงค์ดังกล่าว เอกสารประกอบการอบรมวิชาคณิตศาสตร์เล่มนี้ได้ถูกจัดทำขึ้นโดยมีจุดมุ่งหมายที่จะเป็น
แนวทางสำหรับครูผู้สอนในการวางแผน ออกแบบรวมไปถึงการใช้หน่วยการเรียนรู้และแผนการเรียนรู้สำหรับการสอนวิชา

คณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 โดยที่ครูผู้สอนสามารถนำตัวอยางการจัดกิจกรรมจากเอกสารเล่มนี้ไปใช้จัดกิจกรรม
การเรียนรู้ให้เหมาะสมกับบริบท ความพร้อมและความเหมาะสมของโรงเรียนในแต่ละพื้นที่ นอกจากนี้เอกสารเล่มนี้ยังมีการ
ให้ความรู้เพิ่มเติมที่จำเป็นสำหรับครูผู้สอน การเฉลยคำถามและแบบฝึกหัดต่างๆ เพื่อเสริมสร้างให้ผู้เรียนมีสมรรถนะและ

พัฒนาทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) ขอขอบคุณผู้ทรงคุณวุฒิ คณะอาจารย์จากมหาวิทยาลัยราชภัฏ

ครูผู้สอน ศึกษานิเทศก์ และนักวิชาการจากศูนย์ PISA สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) ที่ได้ให้ความ
ร่วมมือเป็นอย่างดียิ่งในการจัดทำและตรวจทานเอกสารประกอบการอบรมเล่มนี้ หากมีข้อเสนอแนะใดที่จะทำให้เอกสารเล่มนี้
มีความสมบูรณ์ยิ่งขึ้น โปรดแจ้ง สสวท. ให้ทราบ จะขอบคุณยิ่ง


สสวท. หวังเป็นอย่างยิ่งว่า เอกสารประกอบการอบรมวิชาคณิตศาสตร์เล่มนี้จะเป็นประโยชน์แก่ครูผู้สอนรวมไปถึงผู้เกี่ยวข้อง
ทุกฝ่ายที่จะช่วยจัดการศึกษาด้านคณิตศาสตร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ส่งผลให้ผู้เรียนมีทักษะแห่งศตวรรษที่ 21 มีความรู้

ความสามารถหรือสมรรถนะที่จะใช้กระบวนการสืบเสาะหาความรู้ และเชื่อมโยงความรู้ด้านคณิตศาสตร์กับกระบวนการ ต่าง
ๆ เพื่อแก้ปัญหาที่ประสบในชีวิตจริงทั้งในปัจจุบันและอนาคตได้






ศาสตราจารย์ชูกิจ ลิมปิจำนงค์
ผู้อำนวยการสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.)
กุมภาพันธ์ 2563



สารบัญ






หน้า

1 แผนการอบรม 1


แผนการอบรมหน่วยที่ 1 PISA คืออะไร 3

แผนการอบรมหน่วยที่ 2 การวิเคราะห์ตัวชี้วัดการเรียนรู้และสมรรถนะ PISA 17

2 หน่วยการเรียนรู้ 27


หน่วยการเรียนรู้ที่ 1 ฟังก์ชันกำลังสอง 29

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 ฟังก์ชันกำลังสอง 41
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 รูปแบบของฟังก์ชันกำลังสอง 61
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง 77

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 4 การนำความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองไปใช้ในการแก้ปัญหา 101
แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง 119


หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ความน่าจะเป็น 123
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 เหตุการณ์จากการทดลองสุ่ม 137
แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ผลลัพธ์ของเหตุการณ์และความน่าจะเป็น 155

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 3 การประยุกต์ของความน่าจะเป็น 175

3 ภาคผนวก 195


ภาคผนวกที่ 1 Mathematical Literacy 197

ภาคผนวกที่ 2 ระบบคลังข้อสอบออนไลน์ 207

เอกสารอ้างอิง 211



1




แผนการอบรม


























◼ หน่วยที่ 1 PISA คืออะไร



◼ หน่วยที่ 2 การวิเคราะห์ตัวชี้วัดการเรียนรู้



และสมรรถนะ PISA





























1

2

แผนการอบรมหน่วยที่ 1
PISA คืออะไร



วัตถุประสงค์


1. เพื่อให้ผู้เข้ารับการอบรมมีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับโครงการประเมินผลนักเรียนร่วมกับนานาชาติ
(Programme for International Student Assessment หรือ PISA)

2. เพื่อให้ผู้เข้ารับการอบรมมีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับสมรรถนะของ PISA


เนื้อหา


1. โครงการ PISA (ใบความรู้ที่ 1.1)

2. สมรรถนะ PISA (ใบความรู้ที่ 1.2)

3. ตัวอย่างข้อสอบ PISA (ใบความรู้ที่ 1.3)


กิจกรรม



กิจกรรมที่ เนื้อหา วิธีการ เวลา สื่อประกอบ

- PowerPoint
1 PISA คืออะไร บรรยาย 30 นาที
- ใบความรู้ที่ 1.1 โครงการ PISA



2 สมรรถนะของ PISA บรรยาย 30 นาที - ใบความรู้ที่ 1.2 สมรรถนะ PISA



บรรยาย/
3 ตัวอย่างข้อสอบ PISA 30 นาที - ใบความรู้ที่ 1.3 ข้อสอบ PISA
ปฏิบัติ



1. วิทยากรบรรยายให้ความรู้ เกี่ยวกับการประเมิน PISA โดยใช้ PowerPoint และใบความรู้ที่ 1.1

ประกอบ

2. วิทยากรบรรยายให้ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับสมรรถนะของ PISA โดยใช้ใบความรู้ที่ 1.2 (โดยวิทยากร
จะต้องบรรยายเรื่องสมรรถนะของ PISA โดยละเอียดอีกครั้งใน แผนการอบรมหน่วยที่ 2)







หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 1 จาก 14


3

3. วิทยากรยกตัวอย่างข้อสอบ PISA ตามใบความรู้ที่ 1.3 เพื่ออธิบายให้ผู้เข้ารับการอบรมเห็นลักษณะของ

ข้อสอบที่เน้นสมรรถนะ ซึ่งจำเป็นจะต้องมีทักษะด้านการอ่าน การแปลความ และการตอบคำถามโดยให้
เหตุผลจากวิชาวิทยาการคำนวณประกอบด้วย จึงจะสามารถทำให้ผู้เรียนทำข้อสอบลักษณะนี้ได้




ควรมีการฝึกทำข้อสอบ PISA หลังจากการฟังบรรยายโครงการ PISA เพราะจะช่วยให้ผู้เข้าอบรมสามารถ

เข้าใจ Concept ของข้อสอบและสมรรถนะที่จำเป็นในการทำข้อสอบได้ง่ายขึ้น



เวลา

ทฤษฎี จำนวน 1.10 ชั่วโมง
ปฏิบัติ จำนวน 20 นาที



สื่อ


1. PowerPoint เรื่อง โครงการ PISA

2. ใบความรู้ที่ 1.1 เรื่อง โครงการ PISA
3. ใบความรู้ที่ 1.2 เรื่อง สมรรถนะของ PISA

4. ใบความรู้ที่ 1.3 เรื่อง ตัวอย่างข้อสอบ PISA









































หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 2 จาก 14


4

ใบความรู้ที่ 1.1

โครงการ PISA




PISA คืออะไร

โปรแกรมประเมินสมรรถนะนักเรียนมาตรฐานสากล (Programme for International Student

Assessment หรือ PISA) ริเริ่มโดยองค์การเพื่อความร่วมมือทางเศรษฐกิจและการพัฒนา (Organisation for

Economic Co-operation and Development หรือ OECD) มีวัตถุประสงค์เพื่อประเมินคุณภาพของระบบ
การศึกษาของประเทศต่าง ๆ ในการ เตรียมความพร้อมให้เยาวชนมีศักยภาพหรือความสามารถพื้นฐานที่

จำเป็นต่อการดำรงชีวิตในโลกที่มีการเปลี่ยนแปลง โดย PISA เน้นการประเมินสมรรถนะของนักเรียนเกี่ยวกับ

ี้
การใช้ความรู้และทักษะในชีวิตจริงมากกว่าการเรียนรู้ตามหลักสูตรในโรงเรียน ปัจจุบันนมีประเทศจากทั่วโลก
เข้าร่วม PISA มากกว่า 80 ประเทศ (สามารถดูวีดิทัศน์ “How does PISA work” เพิ่มเติมได้ โดย PISA

Thailand)





PISA Thailand























(URL: https://www.youtube.com/watch?v=y1IJfkW9hso)



PISA ประเมินอะไร

PISA ประเมินสมรรถนะที่เรียกว่า Literacy ซึ่งในที่นี้จะใช้คำว่า “ความฉลาดรู้” และ PISA เลือกประเมิน

ความฉลาดรู้ในสามด้าน ได้แก่ ความฉลาดรู้ด้านการอ่าน (Reading Literacy) ความฉลาดรู้ด้านคณิตศาสตร์

(Mathematical Literacy) และความฉลาดรู้ด้านวิทยาศาสตร์ (Scientific Literacy)



หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 3 จาก 14

5

PISA ได้แบ่งการประเมินออกเป็น 2 รอบ กล่าวคือ รอบที่ 1 (Phase I: PISA 2000 PISA 2003 และ

PISA 2006) และรอบที่ 2 (Phase II: PISA 2009 PISA 2012 และ PISA 2015) ในการประเมินผลนักเรียนจะ

วัดความรู้ทั้ง 3 ด้าน แต่จะเน้นหนักในด้านใดด้านหนึ่งในการประเมินแต่ละระยะ กล่าวคือ

การประเมินผลระยะที่ 1 (PISA 2000 และ PISA 2009) เน้นด้านการอ่าน (น้ำหนักข้อสอบด้านการอ่าน
60% และที่เหลือเป็นด้าน คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์อย่างละ 20%)

การประเมินผลระยะที่ 2 (PISA 2003 และ PISA 2012) เน้นด้านคณิตศาสตร์ (น้ำหนักข้อสอบด้าน

คณิตศาสตร์ 60% และด้านการอ่านและวิทยาศาสตร์อย่างละ 20%)

การประเมินผลระยะที่ 3 (PISA 2006 และ PISA 2015) เน้นด้านวิทยาศาสตร์ (น้ำหนักข้อสอบด้าน

วิทยาศาสตร์ 60% และด้านการอ่านและคณิตศาสตร์อย่างละ 20%)

นอกจากข้อสอบของ PISA จะประเมินความฉลาดรู้ (Literacy) ในสามด้าน ได้แก่ ความฉลาดรู้ด้านการ

อ่าน (Reading Literacy) ความฉลาดรู้ด้านคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) และความฉลาดรู้ด้าน

วิทยาศาสตร์ (Scientific Literacy) แล้ว ยังมีการสำรวจข้อมูลพื้นฐานของนักเรียน และการจัดการเรียนการ

สอนอีกด้วย
ข้อสอบของ PISA มีความน่าสนใจและท้ายทาย โดยมีหลากหลายสถานการณ์ในชีวิตจริงให้นักเรียนอ่าน

แต่ละสถานการณ์อาจมีหลายคำถามและหลากหลายรูปแบบในการตอบคำถาม เช่น เลือกตอบ เขียนตอบสั้น

ๆ และเขียนอธิบายในการประเมินที่ผ่านมา นักเรียนจะทำข้อสอบในเล่มแบบทดสอบ

สำหรับ PISA 2015 รูปแบบการประเมินจะเปลี่ยนไปโดยนักเรียนต้องทำแบบทดสอบบนคอมพิวเตอร์

โดยใช้การคลิกเลือกตอบ พิมพ์คำตอบ ใช้เมาส์ลากและวางคำตอบหรือคลิกเลือกคำตอบจากรายการที่

กำหนดให้ การประเมินของ PISA ใช้เวลาสองชั่วโมงในการทำแบบทดสอบและใช้เวลาอีกประมาณหนึ่งชั่วโมง

ในการตอบแบบสอบถามเกี่ยวกับตัวนักเรียนและการเรียน นอกจากนี้ยังมีแบบสอบถามสำหรับโรงเรียนที่ต้อง
ตอบบนคอมพิวเตอร์เพื่อให้ข้อมูลเกี่ยวกับการบริหารจัดการการศึกษาภายในโรงเรียน



PISA ประเมินใคร

PISA เลือกประเมินนักเรียนอายุ 15 ปี ซึ่งเป็นวัยที่จบการศึกษาภาคบังคับ การสุ่มตัวอย่างนักเรียนทำตาม

ระบบอย่างเคร่งครัด เพื่อประกันว่านักเรียนเป็นตัวแทนของนักเรียนทั้งระบบ อีกทั้งการวิจัยในทุกขั้นตอนต้อง

อยู่ภายใต้การควบคุมดูแลของ OECD ทุกประเทศต้องทำตามกฎเกณฑ์และวิธีการที่กำหนดอย่างเคร่งครัด

เพื่อให้การวิจัยมีคุณภาพอยู่ในระดับเดียวกัน และข้อมูลของทุกประเทศมีมาตรฐานเดียวกัน เพื่อให้สามารถ

นำมาวิเคราะห์ร่วมกันได้ และตามข้อตกลงในการดำเนิน PISA ของ OECD ไม่อนุญาตให้เปิดเผยรายชื่อของ

โรงเรียนกลุ่มตัวอย่าง





หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 4 จาก 14

6

สำหรับ PISA ประเทศไทย ได้กำหนดกรอบการสุ่มตัวอย่าง (sampling frame) เป็นนักเรียนอายุ 15 ปี ที่

กำลังศึกษาอยู่ในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 ขึ้นไป จากโรงเรียนทุกสังกัด ได้แก่

- โรงเรียนในสังกัดของสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน

- โรงเรียนในสังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาเอกชน
- โรงเรียนในสังกัดสำนักการศึกษา กรุงเทพมหานคร

- โรงเรียนในสังกัดกรมส่งเสริมการปกครองท้องถิ่น กระทรวงมหาดไทย

- โรงเรียนสาธิตของมหาวิทยาลัย สังกัดสำนักงานคณะกรรมการการอุดมศึกษา

- วิทยาลัยในสังกัดสำนักงานคณะกรรมการการอาชีวศึกษา



จำนวนโรงเรียนและนักเรียนกลุ่มตัวอย่างในการประเมินผลของ PISA


จำนวนโรงเรียนและนักเรียนกลุ่มตัวอย่างในการ จำนวน จำนวน

ประเมินผลของ PISA โรงเรียน นักเรียน


PISA 2000 179 5,340

PISA 2003 179 5,236


PISA 2006 212 6,192


PISA 2009 230 6,225


PISA 2012 239 6,606


PISA 2015 273 8,249

PISA 2018 290 8,633




PISA ประเทศไทยเริ่มเมื่อใด

ประเทศไทยเข้าร่วม PISA ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2543 (PISA 2000) และดำเนินการต่อเนื่องมาใน PISA 2003,
PISA 2006, PISA 2009 และ PISA 2012 โดยจัดการประเมินต่อเนื่องทุกสามปี ซึ่งขณะนี้อยู่ในช่วงดำเนินงาน

PISA 2015 และ PISA 2018










หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 5 จาก 14

7

ประเทศไทยได้อะไรจากการเข้าร่วม PISA

ประเทศไทยไม่ใช่สมาชิก OECD แต่สมัครเข้าร่วม PISA ในฐานะประเทศร่วม (Partner countries) เพื่อ

ต้องการตรวจสอบคุณภาพของระบบการศึกษา และสมรรถนะของนักเรียนวัยจบการศึกษาภาคบังคับของชาติ

เกี่ยวกับความรู้และทักษะที่จำเป็นสำหรับอนาคต โดยใช้มาตรฐานของประเทศที่พัฒนาแล้วเป็นเกณฑ์ชี้วัด
ผลสัมฤทธิ์จากการทำแบบทดสอบและข้อมูลเกี่ยวกับตัวนักเรียน รวมทั้งข้อมูลนโยบาย การบริหารจัดการ

และการจัดการเรียนการสอนจากผู้บริหารของโรงเรียนทำให้ได้ข้อมูลคุณภาพการศึกษาของประเทศทั้งนี้เพื่อ

นำไปสู่การประเมินและพัฒนานโยบายทางการศึกษาการพัฒนาหลักสูตร การพัฒนาครูและบุคลากรทางการ

ศึกษา รวมไปถึงการจัดการเรียนการสอนของประเทศให้มีคุณภาพทัดเทียมกับนานาชาติต่อไป



แหล่งที่มา: https://pisathailand.ipst.ac.th/about-pisa



นอกจากนี้ยังมีบทความอื่น ๆ เกี่ยวกับโครงการ PISA ที่เผยแพร่โดย PISA Thailand เช่น ผลการประเมิน
PISA 2018: นักเรียนไทยวัย 15 ปี รู้และทำอะไรได้บ้าง


FOCUS ประเด็นจาก PISA

ฉบับที่ 48 (ธันวาคม 2562)















สามารถหาอ่านเพิ่มเติมได้ที่ https://pisathailand.ipst.ac.th/pisa/focus/





















หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 6 จาก 14

8

ใบความรู้ที่ 1.2

สมรรถนะ PISA




สมรรถนะ หมายถึง ความรู้ ความสามารถ ทักษะ และคุณลักษณะอื่น ๆ ที่มีอยู่ในตัวบุคคลที่สามารถวัด

หรือสังเกตได้จากพฤติกรรมการทำงานที่แสดงออกมาให้เห็นและส่งผลทำให้บุคคลนั้น ๆ สามารถปฏิบัติงาน


ให้บรรลุเป้าหมายหรือวัตถุประสงค์ของงานที่ตั้งไว้ได้ อย่างมีประสิทธิภาพ (สภาการศึกษา, 2560)


ด้านวิทยาศาสตร์




1. การอธิบายปรากฏการณ์ในเชิงวิทยาศาสตร์ (Explain Phenomena Scientifically)
การมีความสามารถในการรับรู้ เสนอและประเมินคำอธิบายที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและ

เทคโนโลยี

1.1 นำความรู้ทางวิทยาศาสตร์มาใช้สร้างคำอธิบายที่สมเหตุสมผล

1.2 ระบุ ใช้ และสร้างตัวแบบ และนำเสนอข้อมูลเพื่อใช้ในการอธิบาย

1.3 เสนอสมมติฐานเพื่อใช้ในการอธิบาย
1.4 พยากรณ์การเปลี่ยนแปลงในเชิงวิทยาศาสตร์โดยใช้ความเป็นเหตุเป็นผลที่เป็นไปได้

1.5 อธิบายถึงศักยภาพของความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่สามารถนำไปใช้เพื่อสังคม


2. การประเมินและออกแบบกระบวนการสืบเสาะหาความรู้ทางวิทยาศาสตร์ (Evaluate and Design

Scientific Enquiry)

การมีความสามารถในการอธิบายและประเมินคุณค่าของการสำรวจตรวจสอบทางวิทยาศาสตร์ และ
นำเสนอแนวทางในการตอบคำถามอย่างเป็นวิทยาศาสตร์


2.1 สามารถระบุประเด็นปัญหาที่ต้องการสำรวจตรวจสอบจากการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ที่กำหนดให้
2.2 แยกแยะได้ว่าประเด็นปัญหาหรือคำถามใดสามารถตรวจสอบได้ด้วยวิธีการทางวิทยาศาสตร์

2.3 เสนอวิธีสำรวจตรวจสอบปัญหาทางวิทยาศาสตร์ที่กำหนดให้

2.4 ประเมินวิธีสำรวจตรวจสอบปัญหาทางวิทยาศาสตร์ที่กำหนดให้
2.5 บรรยายและประเมินวิธีการต่าง ๆ ที่นักวิทยาศาสตร์ใช้ในการยืนยันถึงความน่าเชื่อถือของข้อมูล และ

ความเป็นกลางและการสรุปอ้างอิงจากคำอธิบาย





หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 7 จาก 14

9

3. การแปลความหมายข้อมูลและการใช้ประจักษ์พยานในเชิงวิทยาศาสตร์ (Interpret Data and

Evidence Scientifically)
การมีความสามารถในการวิเคราะห์และประเมินข้อมูล คำกล่าวอ้าง และข้อโต้แย้งในหลากหลายรูปแบบ

และลงข้อสรุปทางวิทยาศาสตร์ได้อย่างเหมาะสม

3.1 แปลงข้อมูลที่นำเสนอในรูปแบบหนึ่งไปสู่รูปแบบอื่น

3.2 วิเคราะห์และแปลความหมายข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ และลงข้อสรุป

3.3 ระบุข้อสันนิษฐาน ประจักษ์พยาน และเหตุผล ในเรื่องที่เกี่ยวกับวิทยาศาสตร์
3.4 แยกแยะระหว่างข้อโต้แย้งที่มาจากประจักษ์พยานและทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ กับที่มาจากการ

พิจารณาจากสิ่งอื่น

3.5 ประเมินข้อโต้แย้งทางวิทยาศาสตร์และประจักษ์พยานจากแหล่งที่มาที่หลากหลาย (เช่น หนังสือพิมพ์
อินเทอร์เน็ต และวารสาร)



แหล่งที่มา: ผลการประเมิน PISA 2015 วิทยาศาสตร์ การอ่าน และคณิตศาสตร์ ความเป็นเลิศและความเท่า
เทียมทางการศึกษา (PISA 2015 Results EXCELLENCE AND EQUITY IN EDUCATION) โดยองค์การเพื่อ

ความร่วมมือทางเศรษฐกิจและการพัฒนา (the Organisation for Economic Co-operation and

Development) หรือ OECD











































หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 8 จาก 14

10

ด้านคณิตศาสตร์



1. การคิดสถานการณ์ของปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์ (Formulating situations mathematically)

1.1 การระบุประเด็นทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่ตั้งอยู่ในบริบทโลกชีวิตจริง และการระบุตัวแปรที่สำคัญ
1.2 การรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (รวมถึง กฎเกณฑ์ ความสัมพันธ์ และแบบรูป) ของปัญหาหรือ

สถานการณ์

1.3 การทำสถานการณ์หรือปัญหาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย เพื่อทำให้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น
1.4 การระบุข้อจำกัดและสมมติฐานที่อยู่เบื้องหลังการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทำให้

อยู่ในรูป อย่างง่ายที่รวบรวมได้จากบริบท

1.5 การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์ โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์ แผนภาพ และแบบจำลอง
มาตรฐานที่เหมาะสม

1.6 การแสดงแทนปัญหาในหลากหลายวิธี รวมถึงการจัดการกับปัญหาให้สอดคล้องกับแนวคิดทาง

คณิตศาสตร์ และการสร้างสมมติฐานที่เหมาะสม
1.7 ความเข้าใจและการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างภาษาเฉพาะกับบริบทของปัญหากับภาษาที่เป็น

สัญลักษณ์และภาษาอย่างเป็นทางการที่จำเป็นต้องใช้ในการแสดงเชิงคณิตศาสตร์

1.8 การแปลงปัญหาให้อยู่ในรูปของภาษาทางคณิตศาสตร์หรือการแสดงแทน
1.9 การรู้แง่มุมต่าง ๆ ของปัญหาซึ่งสอดคล้องกับปัญหาที่รู้หรือแนวคิดหลักทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก

ข้อเท็จจริงหรือขั้นตอนวิธีการ

1.10 การใช้เทคโนโลยีเพื่อแสดงความสัมพันธ์ภายในปัญหาที่อยู่ในสถานการณ์เชิงคณิตศาสตร์ (เช่น ตาราง
โปรแกรมทำงาน หรือรายการที่มีให้บนเครื่องคำนวณเชิงกราฟ)



2. การใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริง ขั้นตอนวิธีการ และการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์
(Employing mathematical concepts, facts, procedures and reasoning)

2.1 การคิดและนำกลยุทธ์ในการหาวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไปใช้

2.2 การใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งเทคโนโลยีเพื่อช่วยหาวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องหรือเหมาะสม
2.3 การนำข้อเท็จจริง กฎเกณฑ์ ขั้นตอนวิธี และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการแก้ปัญหา

2.4 การจัดการจำนวน ข้อมูลและสารสนเทศเกี่ยวกับกราฟและสถิติ นิพจน์พีชคณิตและสมการ

และการแสดงแทนทางเรขาคณิต
2.5 การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัดข้อมูลทางคณิตศาสตร์จากสิ่ง

เหล่านั้น

2.6 การใช้และการสลับที่ระหว่างการแสดงแทนต่าง ๆ ในกระบวนการของการแก้ปัญหา

หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 9 จาก 14

11

2.7 การสร้างข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของผลลัพธ์ที่เกิดจากการนำขั้นตอนวิธีการทางคณิตศาสตร์ไปใช้

เพื่อแก้ปัญหา
2.8 การสะท้อนข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ การอธิบายและการแสดงเหตุผลต่อผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์



3. การตีความ การประยุกต์ใช้ และการประเมินผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ (Interpreting, applying and
evaluating mathematical outcomes)

3.1 การตีความผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์กลับไปที่บริบทโลกชีวิตจริง

3.2 การประเมินความเป็นเหตุเป็นผลของวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในบริบทของปัญหาโลกชีวิต
จริง

3.3 ความเข้าใจว่าสถานการณ์ในชีวิตจริงส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์และการคิดคำนวณตามขั้นตอนวิธีการ

หรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างไร เพื่อตัดสินว่าจะต้องปรับปรุงหรือนำผลไปประยุกต์ใช้
3.4 การอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดผลลัพธ์หรือข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จึงเหมาะสมหรือไม่เหมาะสมกับ

บริบทของปัญหา

3.5 ความเข้าใจขอบเขตและข้อจำกัดของแนวคิดทางคณิตศาสตร์และวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
3.6 การวิจารณ์และระบุข้อจำกัดของแบบจำลองที่ใช้แก้ปัญหา



แหล่งที่มา: OECD (2018), PISA 2021 MATHEMATICS FRAMEWORK (DRAFT), PISA, OECD Publishing,
Paris, https://pisa.e-wd.org









































หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 10 จาก 14

12

ใบความรู้ที่ 1.3

ข้อสอบ PISA




PISA จะประเมินความฉลาดรู้ในสามด้านได้แก่ ความฉลาดรู้ด้านการอ่าน (Reading Literacy) ความ

ฉลาดรู้ด้านคณิตศาสตร์ (Mathematical Literacy) และความฉลาดรู้ด้านวิทยาศาสตร์ (Scientific Literacy)

ไม่มีการประเมินเฉพาะของวิทยาการคำนวณ แต่จะมีสาระของวิชาวิทยาการคำนวณแทรกเข้าไปในแต่ละวิชา

เช่น ทักษะการคิดเชิงคำนวณ (Computational thinking) มีความพื้นฐานความรู้ด้านเทคโนโลยีดิจิทัล

(Digital technology) และมีพื้นฐานการรู้เท่าทันสื่อและข่าวสาร (Media and information literacy) โดย

จะยกตัวอย่างการแทรกเนื้อหาสาระของวิชาวิทยาการคำนวณเข้าไปในตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์ PISA เช่น

การใช้ Spreadsheet, Logic ในการเขียนโปรแกรม รวมถึงการทำข้อสอบ PISA บนคอมพิวเตอร์

(Computer-based assessments)

โดยสามารถศึกษาตัวอย่างข้อสอบ PISA ซึ่ง OECD เป็นผู้ถือลิขสิทธิ์และอนุญาตให้เผยแพร่ได้ โดยจัดทำ

เป็นภาษาไทยโดยสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีได้ที่





























URL: https://pisathailand.ipst.ac.th/pisa/released-items/













หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 11 จาก 14


13

สำหรับตัวอย่างข้อสอบความฉลาดรู้ด้านวิทยาศาสตร์ปี 2015 จำนวน 5 ข้อ และมีให้เลือกถึง 90 ภาษา

สามารถฝึกทำบนคอมพิวเตอร์ได้ที่






















URL: http://www.oecd.org/pisa/test/other-languages/





นอกจากนี้ยังมีคลังข้อสอบ PISA STYLE คือ ระบบข้อสอบออนไลน์ที่พัฒนาขึ้นเพื่อเป็นการส่งเสริมให้
นักเรียนมีความรู้ ความเข้าใจ ความคุ้นชิน และเตรียมความพร้อมให้กับนักเรียน ครู และบุคลากรทางการ

ศึกษาในสังกัดสำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐานด้วยรูปแบบข้อสอบตามแนว PISA 2018 ให้เด็ก

นักเรียนสามารถเข้ามาทดลองทำข้อสอบแนว PISA โดยสามารถเข้าทำการทดสอบได้หลายครั้ง เพื่อความ

เชี่ยวชาญและเป็นการเตรียมตัวสอบที่เสมือนจริง ด้วยเวลาการทำข้อสอบจริง และรูปแบบข้อสอบที่ตรงตาม

มาตรฐานสากล เตรียมความพร้อมก่อนเข้าทำการทดสอบ PISA จริง


ในระบบ PISA STYLE จะมีข้อสอบตามแนว PISA อยู่ 3 ด้าน คือ การรู้เรื่องการอ่าน การรู้เรื่อง
คณิตศาสตร์ และการรู้เรื่องวิทยาศาสตร์ มีจำนวนข้อสอบในคลังมากถึง 300 ข้อ รองรองรับเข้าทดสอบของ

นักเรียนได้พร้อมกันถึง 4,000 คนทั่วประเทศ

















หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 12 จาก 14


14

URL: https://www.pisacenterobec.org






















































หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 13 จาก 14


15

หนังสือ

ตัวอย่างข้อสอบคณิตศาสตร์ PISA 2012
ตัวอย่างของข้อมูลที่สามารถสืบค้นได้

ตัวอย่างข้อสอบและผลสอบวิชาคณิตศาสตร์ PISA 2012 และ
2006 ที่ OECD อนุญาตให้เผยแพร่
URL และ QR code

https://qrgo.page.link/KyuuQ


เอกสาร

PISA 2012 Released Items
ตัวอย่างของข้อมูลที่สามารถสืบค้นได้

ตัวอย่างข้อสอบและผลสอบวิชาคณิตศาสตร์ PISA 2012 ที่ OECD
อนุญาตให้เผยแพร่
URL และ QR code

https://qrgo.page.link/LBWB8


รายงาน

PISA 2021 Mathematics Framework Draft
ตัวอย่างของข้อมูลที่สามารถสืบค้นได้

คำนิยามของ mathematical literacy กรอบการประเมินวิชา
คณิตศาสตร์ซึ่งใช้ในการสอบปี ค.ศ. 2021 และตัวอย่างข้อสอบ
(ข้อมูลนี้ยังเป็นร่างฉบับล่าสุด อาจมีการเปลี่ยนแปลงได้)

URL และ QR code
https://qrgo.page.link/PY2VP


























หน่วยการอบรมที่ 1: PISA คืออะไร หน้า 14 จาก 14


16

แผนการอบรมหน่วยที่ 2

การวิเคราะห์ตัวชี้วัดการเรียนรู้และสมรรถนะ PISA



วัตถุประสงค์


1. เพื่อให้ผู้เข้ารับการอบรมมีความรู้ ความเข้าใจ สามารถวิเคราะห์ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551

2. เพื่อให้ผู้เข้ารับการอบรมมีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับสมรรถนะ PISA ของวิชาคณิตศาสตร์

3. เพื่อให้ผู้เข้ารับการอบรมมีความรู้ ความเข้าใจ สามารถวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของตัวชี้วัดฯ กับ
สมรรถนะ PISA



เนื้อหา


ั
1. ตัวชี้วดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตาม
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
2. สมรรถนะ PISA วิชาคณิตศาสตร์



กิจกรรม



กิจกรรมที่ เนื้อหา วิธีการ เวลา สื่อประกอบ

1 ทบทวนตัวชี้วัดฯ วิชาคณิตศาสตร์ บรรยาย 30 นาที - PowerPoint
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ปฏิบัติ - ใบความรู้ที่ 2.1
2 ทบทวนสมรรถนะ PISA วิชา บรรยาย 30 นาที - PowerPoint


คณิตศาสตร์ ปฏิบัติ - ใบความรู้ที่ 2.1
3 วิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ วิชาคณิตศาสตร์กับ บรรยาย 30 นาที - PowerPoint
สมรรถนะ PISA วิชาคณิตศาสตร์ ปฏิบัติ - ใบกิจกรรมที่ 2.1




1. วิทยากรบรรยายทบทวนความรู้เกี่ยวกับตัวชี้วัดฯ วิชาคณิตศาสตร์ ตามใบความรู้ที่ 2.1 และนำอภิปราย

ประกอบการบรรยายโดยใช้ PowerPoint เพื่อทบทวนถึงพฤติกรรมในสิ่งที่ตัวชี้วัดรายวิชาคณิตศาสตร์
ต้องการให้เกิด



คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 1 จาก 10


17

2. วิทยากรบรรยายทบทวนความรู้ กระตุ้นและนำอภิปรายเกี่ยวกับสมรรถนะ PISA วิชาคณิตศาสตร์
โดยใช้ใบความรู้ที่ 2.1

3. วิทยากรนำอภิปรายเพื่อกระตุ้นให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดฯ วิชาคณิตศาสตร์และสมรรถนะ

PISA วิชาคณิตศาสตร์ แสดงตัวอย่างให้ดูตาม PowerPoint และให้ครูวิเคราะห์ตัวชี้วัดและทำกิจกรรม
ที่ 2.1

4. วิทยากรลงข้อสรุป เพื่อให้เห็นแนวทางเพื่อโยงไปออกแบบการจัดกิจกรรมการเรียนรู้


เวลา



รวมทั้งสิ้น 1 ชั่วโมง 30 นาที


สื่อ


ั
1. ใบความรู้ที่ 2.1 เรื่อง การวิเคราะห์ระหว่างตวชี้วัดฯ กับสมรรถนะ PISA ของวิชาคณิตศาสตร์
ั
2. ใบกิจกรรมที่ 2.1 เรื่อง การเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างตวชี้วัดฯ กับสมรรถนะ PISA


การประเมิน


1. สังเกตพฤติกรรม

2. ประเมินผลงาน























คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 2 จาก 10


18

ใบความรู้ที่ 2.1

การวิเคราะห์ระหว่างตัวชี้วัดฯ กับสมรรถนะ PISA ของวิชาคณิตศาสตร์



ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง


พ.ศ. 2560) ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3


สำหรับการอบรมนี้จะกล่าวถึงตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ที่ใช้ในการสอน

ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เท่านั้น โดยสามารถแบ่งได้เป็น 3 สาระหรือ 6 มาตรฐานดังต่อไปนี้


สาระที่ 1 จำนวนและพีชคณิต


มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช ้


ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง
1.เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของ การแยกตัวประกอบของพหุนาม

พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสองในการแก้ปัญหา - การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสอง
คณิตศาสตร์
2.เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชัน ฟังก์ชันกำลังสอง

กำลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ - กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
- การนำความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองไปใช้ในการแก้ปัญหา


มาตรฐาน ค 1.3 ใช้นิพจน์ สมการ และอสมการ อธิบายความสัมพันธ์หรือช่วยแก้ปัญหาที่กำหนดให้


ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง
1.เข้าใจและใช้สมบัติของการไม่เท่ากัน อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เพื่อวิเคราะห์และแก้ปัญหาโดยใช้ - อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว - การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- การนำความรู้เกี่ยวกับการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวไปใช้ใน

การแก้ปัญหา
2.ประยุกต์ใช้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ - สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

- การแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว
- การนำความรู้เกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสองตัวแปรเดียวไปใช้ใน
การแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 3 จาก 10


19

ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง
3.ประยุกต์ใช้ระบบสมการเชิงเส้น ระบบสมการ
สองตัวแปรในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ - ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

- การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
- การนำความรู้เกี่ยวกับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรไปใช้ใน
การแก้ปัญหา



สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต


มาตรฐาน ค 2.1 เข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของสิ่งที่ต้องการวัด และนำไปใช้


ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง
1.ประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องพื้นที่ผิวของพีระมิด พื้นที่ผว
ิ
กรวย และทรงกลมในการแก้ปัญหา - การหาพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม

คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง - การนำความรู้เกี่ยวกับพื้นที่ผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลมไปใช้ใน
การแก้ปัญหา
2.ประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องปริมาตรของ ปริมาตร

พีระมิด กรวย และทรงกลมในการแก้ปัญหา - การหาปริมาตรของพีระมิด กรวย และทรงกลม
คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง - การนำความรู้เกี่ยวกับปริมาตรของพีระมิด กรวย และทรงกลมไปใช้ใน
การแก้ปัญหา


มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต

และทฤษฎีบททางเรขาคณิต และนำไปใช้


ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง
1.เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่ ความคล้าย

คล้ายกันในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และ - รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
ปัญหาในชีวิตจริง - การนำความรู้เกี่ยวกับความคล้ายไปใช้ในการแก้ปัญหา
2.เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วน อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ตรีโกณมิติในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และ - อัตราส่วนตรีโกณมิติ

ปัญหาในชีวิตจริง - การนำค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30 45 และ 60  ไปใช้ใน

การแก้ปัญหา
3.เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลมใน วงกลม
การแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ - วงกลม คอร์ด และเส้นสัมผัส
- ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม



คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 4 จาก 10


20

สาระที่ 3 สถิติและความน่าจะเป็น


มาตรฐาน ค 3.1 เข้าใจกระบวนการทางสถิติ และใช้ความรู้ทางสถิติในการแก้ปัญหา

ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง

1.เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติใน สถิติ
การนำเสนอและวิเคราะห์ข้อมูลจาก - ข้อมูลและการวิเคราะห์ข้อมูลจากแผนภาพกล่อง

แผนภาพกล่องและแปลความหมายผลลัพธ์ - การแปลความหมายผลลัพธ์
รวมทั้งนำสถิติ ไปใช้ในชีวิตจริงโดยใช้ - การนำสถิติไปใช้ในชีวิตจริง
เทคโนโลยีที่เหมาะสม


มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจหลักการนับเบื้องต้น ความน่าจะเป็น และนำไปใช้


ตัวชี้วัด สาระการเรียนรู้แกนกลาง
1.เข้าใจเกี่ยวกับการทดลองสุ่มและนำผล ความน่าจะเป็น
ที่ได้ไปหาความน่าจะเป็นของเหตการณ์ - เหตุการณ์จากการทดลองสุ่ม
ุ
- ความน่าจะเป็น
- การนำความรู้เกี่ยวกับความน่าจะเป็นไปใช้ในชีวิตจริง




ข้อมูลเพิ่มเติม รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้
แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง

พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2551 ในระดับชั้นอื่นๆ สามารถสืบค้นได้จากหนังสือคู่มือในลิงค์นี้
https://qrgo.page.link/NciPj หรือ QR code ด้านขวามือนี้






สมรรถนะของ PISA ในวิชาคณิตศาสตร์


การมีความรู้ในเนื้อหา (content) คณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอต่อการแก้ปัญหา (problem

solving) แต่ต้องอาศัย กระบวนการทางคณิตศาสตร์ (mathematical process) ร่วมด้วย กระบวนการ

เหล่านี้ถือเป็น สมรรถนะทางคณิตศาสตร์ (mathematical competency) ซึ่งจะสะท้อนและอธิบาย
วิธีการคิดให้เป็นคณิตศาสตร์เพื่อเชื่อมโยงบริบทของปัญหากับคณิตศาสตร์ แล้วนำไปสู่การแก้ปัญหา






คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 5 จาก 10


21

ในที่นี้จะเรียกแต่ละ “กระบวนการ” ว่าเป็น “สมรรถนะ” แทน โดยในแต่ละสมรรถนะจะแบ่งเป็น
่
ความสามารถย่อยต่าง ๆ เพื่อให้ง่ายต่อการอานและความเข้าใจโดยในการสอบ PISA 2012 2015 และ 2018
กระบวนการทางคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็น 3 กระบวนการดังต่อไปนี้


กระบวนการที่ 1 การคิดสถานการณ์ของปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์ (Formulating situations

mathematically)

1.1 การระบุประเด็นทางคณิตศาสตร์ของปัญหาที่ตั้งอยู่ในบริบทโลกชีวิตจริง และการระบุตัวแปรที่สำคัญ
1.2 การรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (รวมถึง กฎเกณฑ์ ความสัมพันธ์ และแบบรูป) ของปัญหาหรือ

สถานการณ์

1.3 การทำสถานการณ์หรือปัญหาให้อยู่ในรูปอย่างง่าย เพื่อทำให้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ง่ายขึ้น
1.4 การระบุข้อจำกัดและสมมติฐานที่อยู่เบื้องหลังการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการทำให้อยู่

ในรูปอย่างง่ายที่รวบรวมได้จากบริบท

1.5 การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์ โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์ แผนภาพ และแบบจำลอง
มาตรฐานที่เหมาะสม

1.6 การแสดงแทนปัญหาในหลากหลายวิธี รวมถึงการจัดการกับปัญหาให้สอดคล้องกับแนวคิดทาง

คณิตศาสตร์ และการสร้างสมมติฐานที่เหมาะสม
็
1.7 ความเข้าใจและการอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างภาษาเฉพาะกับบริบทของปัญหากับภาษาที่เปน
สัญลักษณ์และภาษาอย่างเป็นทางการที่จำเป็นต้องใช้ในการแสดงเชิงคณิตศาสตร์

1.8 การแปลงปัญหาให้อยู่ในรูปของภาษาทางคณิตศาสตร์หรือการแสดงแทน
1.9 การรู้แง่มุมต่าง ๆ ของปัญหา ซึ่งสอดคล้องกับปัญหาที่รู้หรือแนวคิดหลักทางคณิตศาสตร์ที่รู้จัก

ข้อเท็จจริง หรือขั้นตอนวิธีการ

1.10 การใช้เทคโนโลยีเพื่อแสดงความสัมพันธ์ภายในปัญหาที่อยู่ในสถานการณ์เชิงคณิตศาสตร์ (เช่น ตาราง
โปรแกรมทำงาน หรือรายการที่มีให้บนเครื่องคำนวณเชิงกราฟ)



กระบวนการที่ 2 การใช้แนวคิดทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริง ขั้นตอนวิธีการ และการให้เหตุผลทาง
คณิตศาสตร์ (Employing mathematical concepts, facts, procedures and reasoning)



2.1 การคิดและนำกลยุทธ์ในการหาวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ไปใช้
2.2 การใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ รวมทั้งเทคโนโลยีเพื่อช่วยหาวิธีการแก้ปัญหาที่ถูกต้องหรือเหมาะสม

2.3 การนำข้อเท็จจริง กฎเกณฑ์ ขั้นตอนวิธี และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการแก้ปัญหา

2.4 การจัดการจำนวน ข้อมูลและสารสนเทศเกี่ยวกับกราฟและสถิติ นิพจน์พีชคณิตและสมการและการ
แสดงแทนทางเรขาคณิต



คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 6 จาก 10


22

2.5 การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัดข้อมูลทางคณิตศาสตร์จากสิ่ง
เหล่านั้น

2.6 การใช้และการสลับที่ระหว่างการแสดงแทนต่าง ๆ ในกระบวนการของการแก้ปัญหา

2.7 การสร้างข้อสรุปทั่วไปบนพื้นฐานของผลลัพธ์ที่เกิดจากการนำขั้นตอนวิธีการทางคณิตศาสตร์ไปใช้เพื่อ
แก้ปัญหา

2.8 การสะท้อนข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ การอธิบายและการแสดงเหตุผลต่อผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์


กระบวนการที่ 3 การตีความ การประยุกต์ใช้ และการประเมินผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ (Interpreting,

applying and evaluating mathematical outcomes)

3.1 การตีความผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์กลับไปที่บริบทโลกชีวิตจริง
3.2 การประเมินความเป็นเหตุเป็นผลของวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในบริบทของปัญหาโลกชีวิตจริง

3.3 ความเข้าใจว่าสถานการณ์ในชีวิตจริงส่งผลกระทบต่อผลลัพธ์และการคิดคำนวณตามขั้นตอนวิธีการ

หรือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อย่างไร เพื่อตัดสินใจว่าจะต้องปรับปรุงหรือนำผลไปประยุกต์ใช้
3.4 การอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดผลลัพธ์หรือข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จึงเหมาะสมหรือไม่เหมาะสมกับ

บริบทของปัญหา

3.5 ความเข้าใจขอบเขตและข้อจำกัดของแนวคิดทางคณิตศาสตร์และวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์
3.6 การวิจารณ์และระบุข้อจำกัดของแบบจำลองที่ใช้แก้ปัญหา



ิ
ข้อมูลเพิ่มเตม รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับคำนิยามของ mathematical
ิ
literacy และกรอบการประเมนวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งใช้ในการสอบ PISA
2021 (ข้อมูลนี้ยังเป็นร่างฉบับล่าสุด อาจมีการเปลี่ยนแปลงได้) สามารถ

สืบค้นได้จากรายงานในลิงค์นี้ https://qrgo.page.link/PY2VP หรือ QR
code ด้านขวามือนี้
























คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 7 จาก 10


23

ตัวอย่างการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดฯ กับสมรรถนะ PISA ของวิชา

คณิตศาสตร์




พฤติกรรมของตัวชี้วัดที่
ตัวชี้วัด สมรรถนะของ PISA
แสดงถึงสมรรถนะ PISA

ค 3.2 ม.3/1 เข้าใจ (อธิบาย/ระบุ/บอก) สมรรถนะที่ 2 การใช้แนวคิด ข้อเท็จจริง
เข้าใจเกี่ยวกับการทดลองสุ่ม นำผลที่ได้ไปหาความน่าจะเป็น วิธีดำเนินการ และการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์
และนำผลที่ได้ไปหาความ 2.1 การคิดและนำกลยุทธ์ในการหาวิธีแก้ปัญหาทาง

น่าจะเป็นของเหตุการณ์ คณิตศาสตร์ไปใช้
2.2 การใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ รวมทั้ง
เทคโนโลยีเพื่อช่วยหาวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องหรือ

เหมาะสม
2.3 การนำข้อเท็จจริง กฎเกณฑ์ ขั้นตอนวิธี และ
โครงสร้างทางคณิตศาสตร์มาใช้ในการแก้ปัญห

2.4 การดำเนินการในเรื่องจำนวน ข้อมูลและ
ข้อสนเทศเกี่ยวกับกราฟและสถิติ นิพจน์พีชคณิต
และสมการ และการแสดงแทนทางเรขาคณิต

2.5 การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทาง
คณิตศาสตร์ และการสกัดข้อมูลทางคณิตศาสตร์
จากสิ่งเหล่านั้น


หมายเหตุ การวิเคราะห์ความสัมพันธ์นี้อาจไม่เด่นชัดหรือมีความสอดคล้องอย่างชัดเจนระหว่างตัวชี้วัดฯ กับสมรรถนะ PISA

ของวิชาคณิตศาสตร์ แต่ผู้สอนสามารถออกแบบและจัดกิจกรรมในแผนการจัดการเรียนรู้ เพื่อให้บรรลุวัตถุประสงค์ตาม
สมรรถนะ PISA ของวิชาคณิตศาสตร์ได้

























คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 8 จาก 10


24

ใบกิจกรรมที่ 2.1

การเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดฯ กับสมรรถนะ PISA




คำชี้แจง


1. ศึกษาตัวชี้วัดวิชาคณิตศาสตร์จากใบความรู้ที่ 2.1 และวิเคราะห์หาพฤติกรรมที่ต้องการให้นักเรียน

แสดงออกในแต่ละตัวชี้วัด

2. วิเคราะห์หาความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดฯ ในวิชาคณิตศาสตร์ว่าตรงกับสมรรถนะ PISA หัวข้อใดและ
บันทึกตามแบบบันทึกกิจกรรมที่ 2.1



แบบบันทึกกิจกรรมที่ 2.1


สมรรถนะ PISA
สมรรถนะที่ 1 สมรรถนะที่ 2 สมรรถนะที่ 3

การคิดสถานการณ์ การใช้แนวคิด ข้อเท็จจริง การตีความ การ
ตัวชี้วัด ของปัญหาในเชิง วิธีดำเนินการ และการให้ ประยุกต์ใช้ และ
คณิตศาสตร์ เหตผลทางคณิตศาสตร์ การประเมินผล
ุ
ลัพธ์ทาง
คณิตศาสตร์
1.เข้าใจและใช้การแยกตัวประกอบของ

พหุนามที่มีดีกรีสูงกว่าสองในการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์

2.เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชัน 1.5 / 1.9 2.1 / 2.2 / 2.5 3.1 / 3.4
กำลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์
3.เข้าใจและใช้สมบัติของการไม่เท่ากันเพื่อ
วิเคราะห์และแก้ปัญหาโดยใช้อสมการเชิง

เส้นตัวแปรเดียว
4.ประยุกต์ใช้สมการกำลังสองตัวแปรเดียว

ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์
5.ประยุกต์ใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัว
แปรในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

6.ประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องพื้นที่ผิวของ
พีระมิด กรวย และทรงกลมในการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง



คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 9 จาก 10


25

สมรรถนะ PISA
สมรรถนะที่ 1 สมรรถนะที่ 2 สมรรถนะที่ 3
การคิดสถานการณ์ การใช้แนวคิด ข้อเท็จจริง การตีความ การ

ตัวชี้วัด ของปัญหาในเชิง วิธีดำเนินการ และการให้ ประยุกต์ใช้ และ
คณิตศาสตร์ เหตผลทางคณิตศาสตร์ การประเมินผล
ุ
ลัพธ์ทาง

คณิตศาสตร์
7.ประยุกต์ใช้ความรู้เรื่องปริมาตรของ
พีระมิด กรวย และทรงกลมในการแก้ปัญหา

คณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง
8.เข้าใจและใช้สมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่

คล้ายกันในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และ
ปัญหาในชีวิตจริง
9.เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับอัตราส่วน
ตรีโกณมิติในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และ

ปัญหาในชีวิตจริง
10.เข้าใจและใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม

ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์
11.เข้าใจและใช้ความรู้ทางสถิติในการ
นำเสนอและวิเคราะห์ข้อมูลจากแผนภาพ

กล่องและแปลความหมายผลลัพธ์ รวมทั้ง
นำสถิติ ไปใช้ในชีวิตจริงโดยใช้เทคโนโลยี
ที่เหมาะสม

12.เข้าใจเกี่ยวกับการทดลองสุ่มและนำผล 1.3 2.3 / 2.8 3.1 / 3.4
ที่ได้ไปหาความน่าจะเป็นของเหตการณ์
ุ



























คณิตศาสตร์: การวิเคราะห์ตัวชี้วัดฯ หน้า 10 จาก 10


26

2




หน่วยการเรียนรู้


























◼ หน่วยที่ 1 ฟังก์ชันก าลังสอง






◼ หน่วยที่ 2 ความน่าจะเป็น




























27

28

หน่วยการเรียนรู้ที่ 1


เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง



รหัสวิชา .................. รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2563

หน่วยการเรียนรู้ที่ ............... เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง เวลา 10 คาบเรียน




มาตรฐานการเรียนรู้


มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ลำดับและอนุกรม และนำไปใช้



ตัวชี้วัด


ค 1.2 ม.3/2 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์



ความสัมพันธ์ระหว่างตัวชี้วัดกับสมรรถนะของ PISA


ตัวชี้วัด คำสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ สมรรถนะ PISA

เข้าใจและใช้ เข้าใจลักษณะ 1.นักเรียนสามารถจำแนกความสัมพันธ์ [PISA 1.2] การรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์
ความรู้เกี่ยวกับ ของฟังก์ชันกำลัง ที่เป็นฟังก์ชันกำลังสองจากสถานการณ์ที่ รวมถึงกฎเกณฑ์ ความสัมพันธ์ และแบบรูป
ฟังก์ชัน สอง กำหนดให้ได้ ของปัญหาหรือสถานการณ์

กำลังสองใน 2.นักเรียนสามารถอธิบายลักษณะกราฟ [PISA 1.5] การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิง
การแก้ปัญหา ฟังก์ชันของแต่ละความสัมพันธ์จาก คณิตศาสตร์โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์
คณิตศาสตร์ สถานการณ์ที่กำหนดให้ได้ แผนภาพ และแบบจำลองมาตรฐานที่

3.นักเรียนสามารถเขียนฟังก์ชันกำลังสอง เหมาะสม
ของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสอง [PISA 2.5] การสร้างแผนภาพ กราฟ และ
ปริมาณได้ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัด

4.นักเรียนตระหนักถึงควาสมเหตุสมผล ข้อมูลทางคณิตศาสตร์จากสิ่งเหล่านั้น
ในการหาฟังก์ชันกำลังสองจาก [PISA 3.4] การอธิบายได้ว่าเพราะเหตุผลใด
สถานการณ์ที่กำหนดให้ ผลลัพธ์ หรือข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จึง

ื
เหมาะสมหรอไม่เหมาะสมกับบริบทของ
ปัญหา
เข้าใจและใช้ เข้าใจลักษณะ 1.นักเรียนสำรวจเพื่อหาความสัมพันธ์ [PISA 1.2] การรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์

ความรู้เกี่ยวกับ ของฟังก์ชันกำลัง ระหว่างค่า a, h, k ของฟังก์ชันกำลังสอง รวมถึงกฎเกณฑ์ ความสัมพันธ์ และแบบรูป
ฟังก์ชัน สอง ที่อยในรูปมาตรฐานกับลักษณะของ ของปัญหาหรือสถานการณ์
ู่

คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 1 จาก 11


29

ตัวชี้วัด คำสำคัญ จุดประสงค์การเรียนรู้ สมรรถนะ PISA

กำลังสองใน กราฟและจุดวกกลับได้ และอธิบาย [PISA 1.5] การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิง
การแก้ปัญหา ลักษณะของพาราโบลาคว่ำและ คณิตศาสตร์โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์

คณิตศาสตร์ พาราโบลาหงายได้ แผนภาพ และแบบจำลองมาตรฐานที่
2.นักเรียนสำรวจเพื่อหาความสัมพันธ์ เหมาะสม
ระหว่างค่า a, b, c ของฟังก์ชันกำลังสอง [PISA 2.3] การนำข้อเท็จจริง กฎเกณฑ์
ที่อยในรูปทั่วไปกับลักษณะของกราฟ ขั้นตอนวิธีและโครงสร้างทางคณิตศาสตร์มา
ู่
และจุดวกกลับได้ และอธิบายลักษณะ ใช้ในการแก้ปัญหา
ของพาราโบลาคว่ำและพาราโบลาหงาย [PISA 2.5] การสร้างแผนภาพ กราฟ และ

ได้ โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัด
3.นักเรียนสามารถจัดรูปความสัมพันธ์ที่ ข้อมูลทางคณิตศาสตร์จากสิ่งเหล่านั้น
อยู่ในรูปของฟังก์ชันกำลังสองในรูป
มาตรฐาน ให้อยู่ในรูปทั่วไปได้

4.นักเรียนสามารถหาจุดยอดหรือจุด
วกกลับของความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูปของ
ฟังก์ชันกำลังสองในรูปมาตรฐานหรือรูป

ทั่วไปได้
1.นักเรียนสามารถเขียนกราฟของ [PISA 1.2] การรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์
ฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูป รวมถึงกฎเกณฑ์ ความสัมพันธ์ และแบบรูป

2
y = a(x – h) + k ได้ ของปัญหาหรือสถานการณ์
2.นักเรียนสามารถเขียนกราฟของ [PISA 1.3] การทำสถานการณ์หรือปัญหาให้อยู่

ฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูป ในรูปอย่างง่าย เพื่อทำให้การวิเคราะห์ทาง
y = ax + bx + c ได้ คณิตศาสตร์ง่ายขึ้น
2
3.นักเรียนสามารถสร้างสมการของ [PISA 1.5] การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิง
ฟังก์ชันกำลังสองจากเงื่อนไขที่กำหนดให้ คณิตศาสตร์โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์

ได้ แผนภาพ และแบบจำลองมาตรฐานที่เหมาะสม
[PISA 2.5] การสร้างแผนภาพ กราฟ และ

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัดข้อมูล
ทางคณิตศาสตร์จากสิ่งเหล่านั้น
1.นักเรียนสามารถใช้ความรู้เรื่องฟังก์ชัน [PISA 1.5] การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิง

กำลังสองในการแก้โจทย์ปัญหาทาง คณิตศาสตร์โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์
คณิตศาสตร์ได้ แผนภาพ และแบบจำลองมาตรฐานที่เหมาะสม
[PISA 2.5] การสร้างแผนภาพ กราฟ และ
โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัดข้อมูล

ทางคณิตศาสตร์จากสิ่งเหล่านั้น
[PISA 3.4] การอธิบายได้ว่าเพราะเหตุผลใด

ผลลัพธ์ หรือข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จึง
เหมาะสมหรือไม่เหมาะสมกับบริบทของปัญหา



คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 2 จาก 11


30

สาระสำคัญ/ความคิดรวบยอด




2
รูปทั่วไปของฟังก์ชันกำลังสอง คือ y = ax + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริง โดยที่ a ≠ 0 หรือ
2
รูปมาตรฐาน คือ y = a(x – h) + k กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะเป็นพาราโบลาหงาย เมื่อ a  0 และ
เป็นพาราโบลาคว่ำ เมื่อ a  0 เราสามารถใช้กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในการหาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของฟังก์ชัน

ได้



สาระการเรียนรู้


1. กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

2. การนำความรู้เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองไปใช้ในการแก้ปัญหา


สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน


1. ความสามารถในการสื่อสาร

2. ความสามารถในการคิด
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา



คุณลักษณะอันพึงประสงค์


1. ซื่อสัตย์สุจริต

2. ใฝ่เรียนรู้

3. มุ่งมั่นในการทำงาน


ชิ้นงาน/ภาระงาน


1. ใบกิจกรรมที่ 1 ฟังก์ชันกำลังสอง
2. ใบกิจกรรมที่ 2 ลักษณะของฟังก์ชันกำลังสอง

3. ใบกิจกรรมที่ 3 ความสัมพันธ์เกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสอง

4. ใบกิจกรรมที่ 4 การเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูป y = a(x – h) + k
2
2
5. ใบกิจกรรมที่ 5 การเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูป y = ax + bx + c
6. ใบกิจกรรมที่ 6 การสร้างสมการฟังก์ชันกำลังสอง

7. ใบกิจกรรมที่ 7 ปัญหา “ไกลแค่ไหน”
8. ใบกิจกรรมที่ 8 ปัญหา “ปราสาทเมืองโบราณ”


คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 3 จาก 11


31

สื่อการเรียนรู้/แหล่งเรียนรู้


1. หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1

2. หนังสือเรียนอื่น ๆ ที่มีเนื้อหาเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันกำลังสองและกราฟพาราโบลา

3. แอปพลิเคชัน GeoGebra หรือ https://www.geogebra.org




การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน


กิจกรรมที่ 1 การสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 ตัวใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันกำลังสอง [2 คาบเรียน]


1. สร้างแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันกำลังสองให้กับนักเรียนด้วยการให้ทำกิจกรรมเพื่อสำรวจความสัมพันธ ์

ระหว่างข้อมูล 2 ตัวใด ๆ ที่เป็นฟังก์ชันกำลังสอง โดยกำหนดปัญหาให้นักเรียนหาคำตอบ โดยใช้

กระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ PISA ต้องการวัด ดังนี้


กระบวนการทางคณิตศาสตร์ของ PISA พฤติกรรมที่ต้องใช้ในการหาคำตอบของปัญหา
การคิดสถานการณ์ของปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์ การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์ โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์

แผนภาพ และแบบจำลองมาตรฐานที่เหมาะสม


2. จากการทำกิจกรรมให้นักเรียนสรุปลักษณะความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2 ตัวใด ๆ ที่เป็นความสัมพันธ์ใน
รูปฟังก์ชันกำลังสอง



กิจกรรมที่ 2 การสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างค่าคงตัวของฟังก์ชันกำลังสองกับกราฟของฟังก์ชัน

[2 คาบเรียน]


2
1. สร้างแนวคิดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างค่าคงตัวในฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่ในรูป y = a(x – h) + k และ
2
y = ax + bx + c กับ ลักษณะของกราฟและจุดยอด โดยกำหนดกิจกรรมที่ให้นักเรียนทำการสำรวจ
โดยใช้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ PISA ต้องการวัด ดังนี้



กระบวนการทางคณิตศาสตร์ของ PISA พฤติกรรมที่ต้องใช้ในการหาคำตอบของปัญหา
การคิดสถานการณ์ของปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์ การใช้เทคโนโลยีเพื่อแสดงความสัมพันธ์ภายในปัญหาที่อยในสถานการณ์
ู่
เชิงคณิตศาสตร์ เช่น ซอฟต์แวร์ตารางทำงาน หรือรายการที่มีให้บนเครื่อง

คำนวณเชิงกราฟ
การใช้หลักการแสดงกระบวนการทางคณิตศาสตร์ การใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์รวมทั้งเทคโนโลยีเพื่อช่วยหาวิธีแก้ปัญหาที่
ในการแก้ปัญหา ถูกต้องหรือเหมาะสม



คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 4 จาก 11


32

กิจกรรมที่ 2.1 การสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ a, h และ k ของฟังก์ชันกำลังสองในรูป

2
y = a(x – h) + k กับลักษณะของกราฟและจุดยอด [1 คาบเรียน]

1. ใช้แอปพลิเคชัน GeoGebra ที่ผู้สอนได้สร้างพื้นที่ในการทำงานซึ่งนักเรียนใช้ในการสำรวจความสัมพันธ์

2
ระหว่างค่าของ a, h และ k ของฟังก์ชันกำลังสองในรูป y = a(x – h) + k กับลักษณะของกราฟและ
จุดยอด ด้วยวิธีดังต่อไปนี้
1) การกำหนดค่าของ a, h และ k ในรูป slider แสดงค่าพารามิเตอร์ 3 ตัวที่สามารถเปลี่ยนค่าได ้

2) เขียนกราฟของฟังก์ชัน f(x) = a(x – h) + k
2

2. จาก GeoGebra ที่ผู้สอนสร้างพื้นที่ในการทำงานเพื่อให้นักเรียนใช้ในการสำรวจความสัมพันธ์ระหว่าง

2
ค่าของ a, h และ k ของฟังก์ชันกำลังสองในรูป y = a(x – h) + k กับลักษณะของกราฟและจุดยอด
ให้นักเรียนสำรวจการเปลี่ยนแปลงของค่า a, h และ k ด้วยการเปลี่ยนค่าใน slider ว่ามีผลต่อ

การเปลี่ยนแปลงรูปร่างลักษณะของกราฟและจุดยอดอย่างไร แล้วสรุปและบันทึกผลการสำรวจที่ได ้




กิจกรรมที่ 2.2 การสำรวจความสัมพันธ์ระหว่างค่าของ a, b และ c ของฟังก์ชันกำลังสองในรูป

y = ax + bx + c กับลักษณะของกราฟและจุดยอด [1 คาบเรียน]
2


1. ใช้แอปพลิเคชัน GeoGebra ที่ผู้สอนได้สร้างพื้นที่ในการทำงานซึ่งนักเรียนใช้ในการสำรวจความสัมพันธ์

2
ระหว่างค่าของ a, b และ c ของฟังก์ชันกำลังสองในรูป y = ax + bx + c กับลักษณะของกราฟและ
จุดยอด ด้วยวิธีดังต่อไปนี้

1) การกำหนดค่าของ a, b และ c ในรูป slider แสดงค่าพารามิเตอร์ 3 ตัวที่สามารถเปลี่ยนค่าได ้

2
2) เขียนกราฟของฟังก์ชัน f(x) = ax + bx + c

2. จาก GeoGebra ที่ผู้สอนสร้างพื้นที่ในการทำงานเพื่อให้นักเรียนใช้ในการสำรวจความสัมพันธ์ระหว่าง
ค่าของ a, b และ c ของฟังก์ชันกำลังสองในรูป y = ax + bx + c กับลักษณะของกราฟและจุดยอด
2
−
b 4ac b 2
ให้นักเรียนสำรวจการเปลี่ยนแปลงของค่า a, b, c, − และ ด้วยการเปลี่ยนค่าใน slider ว่ามี
2a 4a
ผลต่อการเปลี่ยนแปลงรูปร่างลักษณะของกราฟและจุดยอดอย่างไร แล้วสรุปและบันทึก
ผลการสำรวจที่ได้












คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 5 จาก 11


33

กิจกรรมที่ 3 ฝึกปฏิบัติเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองและการสร้างฟังก์ชันกำลังสองตามเงื่อนไขที่กำหนด

[3 คาบเรียน]


1. ให้นักเรียนฝึกปฏิบัติเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

2. ให้นักเรียนฝึกปฏิบัติสร้างสมการฟังก์ชันกำลังสองตามเงื่อนไขที่กำหนด




กิจกรรมที่ 4 การนำความรู้เรื่องฟังก์ชันกำลังสองไปใช้ในการหาคำตอบของปัญหา [2 คาบเรียน]



1. กำหนดปัญหาสถานการณ์ตามบริบทของ PISA ให้นักเรียนฝึกหาคำตอบของปัญหา จำนวน 2 ปัญหา
2 สถานการณ์ ดังนี้



บริบท ปัญหา
บริบทส่วนตัว ไกลแค่ไหน
บริบททางการงานอาชีพ ประตูเมืองโบราณ


โดยปัญหาแต่ละข้อนักเรียนต้องใช้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ PISA ต้องการวัด 3 ด้าน เพื่อช่วยใน

การหาคำตอบ ดังนี้


กระบวนการทางคณิตศาสตร์ของ PISA พฤติกรรมที่ต้องใช้ในการหาคำตอบของปัญหา

การคิดสถานการณ์ของปัญหาในเชิงคณิตศาสตร์ การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์ โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์
แผนภาพ และแบบจำลองมาตรฐานที่เหมาะสม
การใช้หลักการและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ใน การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัด

การแก้ปัญหา ข้อมูลทางคณิตศาสตร์จากสิ่งเหล่านั้น
การตีความและประเมินผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ 1.การตีความผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์กลับไปที่บริบทโลกชีวิตจริง
2.การอธิบายได้ว่าเพราะเหตุใดผลลัพธ์หรือข้อสรุปทางคณิตศาสตร์จึง
ื
เหมาะสมหรอไม่เหมาะสมกับบริบทของปัญหา

ั
2. เมื่อนักเรียนหาคำตอบของปญหาเสร็จแล้ว ให้ส่งตัวแทนออกมาแลกเปลี่ยนนำเสนอวิธีและผลการหา
คำตอบของปัญหาที่ได้ในแต่ละปัญหา












คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 6 จาก 11


34

กิจกรรมที่ 5 การวัดประเมินผลหลังเรียน [2 คาบเรียน]



1. ให้นักเรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน



การวัดและประเมินผล



11.1 การประเมินผลระหว่างการจัดกิจกรรมการเรียนรู้


ตัวชี้วัด ภาระงาน/ชิ้นงาน วิธีการ/เครื่องมือ เกณฑ์การประเมิน
เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับ - ใบกิจกรรมที่ 1 - ตรวจใบกิจกรรม ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 50

ฟังก์ชันกำลังสองในการ - ใบกิจกรรมที่ 2 - แบบประเมินใบกิจกรรม
แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ - ใบกิจกรรมที่ 3
- ใบกิจกรรมที่ 4
- ใบกิจกรรมที่ 5

- ใบกิจกรรมที่ 6
- ใบกิจกรรมที่ 7
- ใบกิจกรรมที่ 8


11.2 การประเมินผลเมื่อสิ้นสุดการเรียนรู้


ตัวชี้วัด ภาระงาน/ชิ้นงาน วิธีการ/เครื่องมือ เกณฑ์การประเมิน

เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับ
ฟังก์ชันกำลังสองในการ แบบทดสอบหลังเรียน ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 50
แก้ปัญหาคณิตศาสตร์


เกณฑ์การประเมินผลตามสภาพจริง



ประเด็น ระดับคุณภาพ
การประเมิน 4 3 2 1
1.เขียนกราฟจากข้อมูล เขียนกราฟของฟังก์ชัน เขียนกราฟของฟังก์ชัน เขียนกราฟของฟังก์ชัน มีร่องรอยความ

ที่กำหนดให้ กำลังสองที่กำหนดให้ กำลังสองที่กำหนดให้ กำลังสองที่กำหนดให้ พยายามในการเขียน
ได้อย่างถูกต้อง ได้อย่างถูกต้องและ ได้อย่างถูกต้องและ กราฟของฟังก์ชันกำลัง
ครบถ้วนและ สอดคล้องกับค่าใน สอดคล้องกับค่าใน สองที่กำหนดแต่ไม่

สอดคล้องกับค่าใน ตารางแสดง ตารางแสดง ถูกต้อง
ตารางแสดง ความสัมพันธ์ระหว่าง ความสัมพันธ์ระหว่าง
ความสัมพันธ์ระหว่าง ค่าของข้อมูลจาก ค่าของข้อมูลจาก


คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 7 จาก 11


35

ประเด็น ระดับคุณภาพ
การประเมิน 4 3 2 1
ค่าของข้อมูลจาก ฟังก์ชันกำลังสองที่ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่

ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ กำหนด แต่ไม่มีการ กำหนดบางส่วน และ
กำหนด ลากเส้นเชื่อมระหว่าง ไม่มีการลากเส้นเชื่อม
จุด ระหว่างจุด

2.อธิบายลักษณะกราฟ อธิบายลักษณะกราฟ อธิบายลักษณะกราฟ อธิบายลักษณะกราฟ มีร่องรอยความ
จากข้อมูลที่กำหนดให ้ ของฟังก์ชันกำลังสองที่ ของฟังก์ชันกำลังสองที่ ของฟังก์ชันกำลังสองที่ พยายามในการบอก
กำหนดให้ได้อย่าง กำหนดให้ได้อย่าง กำหนดให้ได้ถูกต้อง ลักษณะกราฟของ

ถูกต้องและครบถ้วน ถูกต้อง 4 - 5 คำตอบ 2 – 3 คำตอบ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่
กำหนดให้แต่ไม่ถูกต้อง
หรือถูกต้องเพียง

คำตอบเดียว
3.อธิบายความเหมือน อธิบายความเหมือน อธิบายความเหมือน อธิบายความเหมือน อธิบายความเหมือน
หรือแตกต่างกันของ หรือแตกต่างกันของ หรือแตกต่างกันของ หรือแตกต่างกันของ หรือแตกต่างกันของ

กราฟของฟังก์ชันกำลัง กราฟของฟังก์ชันกำลัง กราฟของฟังก์ชันกำลัง กราฟของฟังก์ชันกำลัง กราฟของฟังก์ชันกำลัง
สองจากข้อมูลที่ สองที่กำหนดให้ได้ สองที่กำหนดให้ได้ สองที่กำหนดให้ได้ สองที่กำหนดให้ได้
กำหนดให้ อย่างถูกต้องตั้งแต่ 4 อย่างถูกต้อง 3 อย่างถูกต้อง 2 อย่างถูกต้อง 1

ประเด็นขึ้นไป ประเด็น ประเด็น ประเด็น
4.สร้างแบบจำลองทาง สามารถสร้าง สามารถสร้าง สามารถสร้าง มีร่องรอยของความ

คณิตศาสตร์จากข้อมูลที่ แบบจำลองทาง แบบจำลองทาง แบบจำลองทาง พยายามในการสร้าง
กำหนดให้เพื่อนำไปใช้ คณิตศาสตร์จากข้อมูล คณิตศาสตร์จากข้อมูล คณิตศาสตร์จากข้อมูล แบบจำลองทาง
ในการสร้าง ที่กำหนดให้ และ ที่กำหนดให้ และ ที่กำหนดให้ และ คณิตศาสตร์จากข้อมูล
ความสัมพันธ์ในรูป นำไปใช้ในการเขียน นำไปใช้ในการเขียน นำไปใช้ในการเขียน ที่กำหนดให้ แต่ไม่

ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ ความสัมพันธ์ในรูป ความสัมพันธ์ในรูป ความสัมพันธ์ในรูป สามารถนำไปใช้ในการ
สอดคล้องกับข้อมูลที่ ฟังก์ชันกำลังสองได้ ฟังก์ชันกำลังสองได้ ฟังก์ชันกำลังสองได้ เขียนความสัมพันธ์ใน
กำหนดให้ อย่างถูกต้อง 3 ข้อ อย่างถูกต้อง 2 ข้อ อย่างถูกต้อง 1 ข้อ รูปฟังก์ชันกำลังสองได้

อย่างถูกต้อง
5.นักเรียนสามารถ บอกความสัมพันธ์ บอกความสัมพันธ์ บอกความสัมพันธ์ มีร่องรอยของความ
สำรวจเพื่อหาความ ระหว่างค่า a, h, k ระหว่างค่า a, h, k ระหว่างค่า a, h, k พยายามหา
สัมพันธ์ระหว่างค่า a, h, ของฟังก์ชันกำลังสอง ของฟังก์ชันกำลังสอง ของฟังก์ชันกำลังสอง y ความสัมพันธ์ระหว่าง
2
2
2
k ของฟังก์ชันกำลังสอง y = a(x – h) + k กับ y = a(x – h) + k กับ = a(x – h) + k กับ ค่า a, h, k ของ
ที่อยในรูป ลักษณะของกราฟและ ลักษณะของกราฟและ ลักษณะของกราฟและ ฟังก์ชันกำลังสอง
ู่
2
2
y = a(x – h) + k กับ จุดวกกลับได้ และ จุดวกกลับได้ และ จุดวกกลับได้ และ y = a(x – h) + k กับ
ลักษณะของกราฟและ อธิบายลักษณะของ อธิบายลักษณะของ อธิบายลักษณะของ ลักษณะของกราฟและ
จุดวกกลับได้และอธิบาย กราฟคว่ำและกราฟ กราฟคว่ำและกราฟ กราฟคว่ำและกราฟ จุดวกกลับ
ลักษณะของกราฟคว่ำ หงายได้ครบถ้วน หงายได้ถูกต้อง 2-3 หงายได้ถูกต้อง 1
คำตอบ
คำตอบ
และกราฟหงายได้

คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 8 จาก 11


36

ประเด็น ระดับคุณภาพ
การประเมิน 4 3 2 1
6.นักเรียนสามารถ บอกความสัมพันธ์ บอกความสัมพันธ์ บอกความสัมพันธ์ มีร่องรอยของความ

สำรวจเพื่อหา ระหว่างค่า a, b, c ระหว่างค่า a, b, c ระหว่างค่า a, b, c พยายามหา
ความสัมพันธ์ระหว่างค่า ของฟังก์ชันกำลังสอง ของฟังก์ชันกำลังสอง ของฟังก์ชันกำลังสอง ความสัมพันธ์ระหว่าง
ู่
ู่
ู่
a, b, c ของฟังก์ชัน ที่อยในรูปทั่วไป ที่อยในรูปทั่วไป ที่อยในรูปทั่วไป ค่า a, b, c ของ
2
2
2
กำลังสอง ที่อยู่ในรูป y = ax + bx + c กับ y = ax + bx + c กับ y = ax + bx + c ฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่
2
y = ax + bx + c กับ ลักษณะของกราฟและ ลักษณะของกราฟและ กับลักษณะของกราฟ ในรูปทั่วไป
2
ลักษณะของกราฟและ จุดวกกลับได้ และ จุดวกกลับได้ และ และจุดวกกลับได้ และ y = ax + bx + c กับ
จุดวกกลับได้ และ อธิบายลักษณะของ อธิบายลักษณะของ อธิบายลักษณะของ ลักษณะของกราฟและ
อธิบายลักษณะของ กราฟคว่ำและกราฟ กราฟคว่ำและกราฟ กราฟคว่ำและกราฟ จุดวกกลับได้ และ
หงายได้ถูกต้อง 2-3
หงายได้ถูกต้อง 1
หงายได้ครบถ้วน
อธิบายลักษณะของ
กราฟคว่ำและกราฟ คำตอบ คำตอบ กราฟคว่ำและกราฟ
หงายได้ หงาย

7.นักเรียนสามารถจัดรูป จัดรูปความสัมพันธ์ที่ จัดรูปความสัมพันธ์ที่ จัดรูปความสัมพันธ์ที่ มีร่องรอยของความ
ความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูป อยู่ในรูปของฟังก์ชัน อยู่ในรูปของฟังก์ชัน อยู่ในรูปของฟังก์ชัน พยายามจัดรูปความ
ของฟังก์ชันกำลังสองที่ กำลังสองที่อยู่ในรูป กำลังสองที่อยู่ในรูป กำลังสองที่อยู่ในรูป สัมพันธ์ที่อยู่ในรูปของ
อยู่ในรูปมาตรฐาน มาตรฐาน มาตรฐาน มาตรฐาน ฟังก์ชันกำลังสองที่อยู่
2
2
2
y = a(x – h) + k ให้ y = a(x – h) + k ให้ y = a(x – h) + k ให้ y = a(x – h) + k ให้ ในรูปมาตรฐาน y =
2
2
อยู่ในรูปทั่วไป อยู่ในรูปทั่วไป อยู่ในรูปทั่วไป อยู่ในรูปทั่วไป a(x – h) + k ให้อยู่
2
2
2
2
y = ax + bx + c ได้ y = ax + bx + c y = ax + bx + c y = ax + bx + c ในรูปทั่วไป
2
ได้ถูกต้อง ครบถ้วน ได้ 2 ตัวแปร ได้ 1 ตัวแปร y = ax + bx + c
8.นักเรียนสามารถหาจุด หาจุดยอดหรือ หาจุดยอดหรือ หาจุดยอดหรือ มีร่องรอยของความ
ยอดหรือ จุดวกกลับของความ จุดวกกลับของความ จุดวกกลับของความ พยายามหาจุดยอด
จุดวกกลับของ สัมพันธ์ที่อยู่ในรูปของ สัมพันธ์ที่อยู่ในรูปของ สัมพันธ์ที่อยู่ในรูปของ หรือจุดวกกลับของ
ความสัมพันธ์ที่อยู่ในรูป ฟังก์ชันกำลังสอง y = ฟังก์ชันกำลังสอง y = ฟังก์ชันกำลังสอง y = ความสัมพันธ์ที่อยู่ใน
2
2
ของฟังก์ชันกำลังสองใน a(x – h) + k หรือ a(x – h) + k หรือ a(x – h) + k หรือ รูปของฟังก์ชันกำลัง
2
2
2
รูป y = ax + bx + c ได้ y = ax + bx + c ได้ y = ax + bx + c ได้ สอง 2
2
2
y = a(x – h) + k หรือ ถูกต้อง ครบถ้วน 2 ตัวแปร 1 ตัวแปร y = a(x – h) + k
y = ax + bx + c ได้ หรือ
2
y = ax + bx + c
2
9.บอกลักษณะกราฟ บอกลักษณะกราฟของ บอกลักษณะกราฟของ บอกลักษณะกราฟของ มีร่องรอยความ
ของฟังก์ชันกำลังสองที่ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ พยายามในการบอก
กำหนดให้ได้ กำหนดให้ได้อย่าง กำหนดให้ได้อย่าง กำหนดให้ได้ถูกต้อง 2 ลักษณะกราฟของ
ถูกต้องและครบถ้วน ถูกต้อง 4 คำตอบ – 3 คำตอบ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่
กำหนดให้แต่ไม่ถูกต้อง
หรือถูกต้องเพียง
คำตอบเดียว

10.กำหนดความสัมพันธ์ เขียนความสัมพันธ์ เขียนความสัมพันธ์ เขียนความสัมพันธ์ มีร่องรอยความ
ระหว่างค่าของข้อมูล ระหว่างค่าของข้อมูล ระหว่างค่าของข้อมูล ระหว่างค่าของข้อมูล พยายามในการเขียน

คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 9 จาก 11


37

ประเด็น ระดับคุณภาพ
การประเมิน 4 3 2 1
จากฟังก์ชันกำลังสองที่ จากฟังก์ชันกำลังสอง จากฟังก์ชันกำลังสอง จากฟังก์ชันกำลังสองที่ ความสัมพันธ์ระหว่าง

กำหนดให้ในรูปตาราง ที่กำหนดให้ในรูป ที่กำหนดให้ในรูป กำหนดให้ในรูปตาราง ค่าของข้อมูลจาก
เพื่อนำไปเขียนกราฟได้ ตาราง เพื่อนำไปเขียน ตาราง เพื่อนำไปเขียน เพื่อนำไปเขียนกราฟได้ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่
กราฟได้อย่างถูกต้อง กราฟได้ แต่มีค่าที่ยัง แต่มีค่าที่ยังไม่ถูกต้อง กำหนดให้ในรูปตาราง

ครบถ้วน ไม่ถูกต้องไม่เกิน 2 ค่า 3 - 5 ค่า เพื่อนำไปเขียนกราฟ
ได้ แต่มีค่าที่ยังไม่
ถูกต้อง มากกว่า 5 ค่า

11.เขียนกราฟของ เขียนกราฟของฟังก์ชัน เขียนกราฟของฟังก์ชัน เขียนกราฟของฟังก์ชัน มีร่องรอยความ
ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ กำลังสองที่กำหนดให้ กำลังสองที่กำหนดให้ กำลังสองที่กำหนดให้ พยายามในการเขียน
กำหนดให้ได้ ได้อย่างถูกต้อง ได้อย่างถูกต้องและ ได้อย่างถูกต้องและ กราฟของฟังก์ชันกำลัง

ครบถ้วนและ สอดคล้องกับค่าใน สอดคล้องกับค่าใน สองที่กำหนดแต่ไม่
สอดคล้องกับค่าใน ตารางแสดง ตารางแสดง ถูกต้อง
ตารางแสดง ความสัมพันธ์ระหว่าง ความสัมพันธ์ระหว่าง

ความสัมพันธ์ระหว่าง ค่าของข้อมูลจาก ค่าของข้อมูลจาก
ค่าของข้อมูลจาก ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่
ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ กำหนด แต่ไม่มีการ กำหนดบางส่วน และ

กำหนด ลากเส้นเชื่อมระหว่าง ไม่มีการลากเส้นเชื่อม
จุด ระหว่างจุด
12.สร้างแบบจำลองทาง สร้างแบบจำลองทาง สร้างแบบจำลองทาง สร้างแบบจำลองทาง มีร่องรอยของความ

คณิตศาสตร์จากข้อมูลที่ คณิตศาสตร์จากข้อมูล คณิตศาสตร์จากข้อมูล คณิตศาสตร์จากข้อมูล พยายามในการสร้าง
กำหนดให้เพื่อนำไปใช้ ที่กำหนดให้ได้ และ ที่กำหนดให้ได้ และ ที่กำหนดให้ได้ และ แบบจำลองทาง
ในการสร้าง นำไปใช้ในการหา นำไปใช้ในการหา นำไปใช้ในการหา คณิตศาสตร์จากข้อมูล

ความสัมพันธ์ในรูป ค่าคงที่ซึ่งใช้ในการ ค่าคงที่ซึ่งใช้ในการ ค่าคงที่ซึ่งใช้ในการ ที่กำหนดให้ แต่ไม่
ฟังก์ชันกำลังสองท ี่ กำหนดความสัมพันธ์ กำหนดความสัมพันธ์ กำหนดความสัมพันธ์ สามารถนำไปใช้ในการ
สอดคล้องกับข้อมูลที่ ในรูปฟังก์ชันกำลังสอง ในรูปฟังก์ชันกำลังสอง ในรูปฟังก์ชันกำลังสอง หาค่าคงที่ซึ่งใช้ในการ

กำหนดให้ ได้อย่างถูกต้อง ได้แต่ที่มาของการ ได้แต่ค่าคงที่ซึ่งหาได้ กำหนดความสัมพันธ์
ครบถ้วน ได้มาซึ่งค่าคงที่นั้นไม่ นั้นยังมีค่าที่ไม่ถูกต้อง ในรูปฟังก์ชันกำลังสอง
ชัดเจนหรือไม่ถูกต้อง อยู่ 1 ค่า ได้อย่างถูกต้อง

13.สร้างความสัมพันธ์ใน สร้างความสัมพันธ์ใน สร้างความสัมพันธ์ใน สร้างความสัมพันธ์ใน มีร่องรอยในการ
รูปฟังก์ชันกำลังสองที่ รูปฟังก์ชันกำลังสองที่ รูปฟังก์ชันกำลังสองที่ รูปฟังก์ชันกำลังสองที่ พยายามสร้าง
สอดคล้องกับข้อมูลที่ สอดคล้องกับข้อมูลที่ สอดคล้องกับข้อมูลที่ สอดคล้องกับข้อมูลที่ ความสัมพันธ์ในรูป

กำหนดให้ได้ กำหนดให้ได้อย่าง กำหนดให้ได้อย่าง กำหนดให้ได้และ ฟังก์ชันกำลังสองท ี่
ถูกต้องครบถ้วนและ ถูกต้องซึ่งไม่สอดคล้อง สอดคล้องกับ สอดคล้องกับข้อมูลที่
สอดคล้องกับ กับแบบจำลองที่ใช้ใน แบบจำลองที่ใช้ในการ กำหนดให้ได้แต่ไม่

แบบจำลองที่ใช้ในการ การหาที่สร้างขึ้น แต่ หาที่สร้างขึ้น แต่ยังมี ถูกต้อง
หาที่สร้างขึ้น ค่าที่ไม่ถูกต้องอยู่ 1 จุด

คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 10 จาก 11


38

ประเด็น ระดับคุณภาพ
การประเมิน 4 3 2 1
สามารถอธิบายที่มา

ของคำตอบได้
14.ระบุสิ่งที่สถานการณ์ เขียนระบุสถานการณ์ เขียนระบุสถานการณ์ เขียนระบุสถานการณ์ มีร่องรอยความ
ปัญหาต้องการให้หา สิ่ง ปัญหาต้องการให้หา ปัญหาต้องการให้หา ปัญหาต้องการให้หา พยายามในการเขียน

ที่สถานการณ์ปัญหา สิ่งที่สถานการณ์ปัญหา สิ่งที่สถานการณ์ปัญหา สิ่งที่สถานการณ์ปัญหา ระบุสถานการณ์
กำหนด กำหนดมาให้ความรู้ กำหนดมาให้ความรู้ กำหนดมาให้ความรู้ ปัญหาต้องการให้หา
้
มาให ความรู้ทาง ทางคณิตศาสตร์ ทางคณิตศาสตร์ ทางคณิตศาสตร์ สิ่งที่สถานการณ์ปัญหา
คณิตศาสตร์ กลยุทธ์ที่ กลยุทธ์ที่นำมาใช้ กลยุทธ์ที่นำมาใช้ กลยุทธ์ที่นำมาใช้ กำหนดมาให้ความรู้
นำมาใช้แก้ปัญหานี้ แก้ปัญหานี้ได้อย่าง แก้ปัญหานี้ได้อย่าง แก้ปัญหานี้ได้อย่าง ทางคณิตศาสตร์
ถูกต้องครบถ้วน ถูกต้องแต่ไม่ครบถ้วน ถูกต้องบางส่วนและไม่ กลยุทธ์ที่นำมาใช้

ครบถ้วน แก้ปัญหา แต่ยังไม่
ถูกต้อง
15.แสดงแนวคิดและวิธี เขียนแสดงแนวคิดและ เขียนแสดงแนวคิดและ เขียนแสดงแนวคิดและ มีร่องรอยความ
แก้ปัญหาอย่างละเอียด วิธีแก้ปัญหาอย่าง วิธีแก้ปัญหาอย่าง วิธีแก้ปัญหาอย่าง พยายามในการเขียน

ละเอียดได้อย่าง ละเอียดได้อย่าง ละเอียดได้อย่างถูกต้อง แสดงแนวคิดและวิธี
ถูกต้องครบถ้วน ถูกต้องแต่ไม่ครบถ้วน บางส่วนและไม่ แก้ปัญหา แต่ยังไม่

ครบถ้วน ถูกต้อง
16.ระบุคำตอบของ เขียนระบุคำตอบของ เขียนระบุคำตอบของ เขียนระบุคำตอบของ มีร่องรอยความ
ปัญหานี้ ปัญหานี้ได้อย่าง ปัญหานี้ได้อย่าง ปัญหานี้ได้อย่างถูกต้อง พยายามในการเขียน
ถูกต้องครบถ้วน ถูกต้องแต่ไม่ครบถ้วน บางส่วนและไม่ ระบุคำตอบของปัญหา
ครบถ้วน นี้ แต่ยังไม่ถูกต้อง
* ถ้าผลการประเมินในรายการใดไม่ถึงเกณฑ์ระดับ 1 ให้กำหนดเป็น 0


การแปลความหมาย

ระดับ 4 หมายถึง มีระดับคุณภาพดีมาก
ระดับ 3 หมายถึง มีระดับคุณภาพดี

ระดับ 2 หมายถึง มีระดับคุณภาพพอใช้
ระดับ 1 หมายถึง มีระดับคุณภาพปรับปรุง

สรุปผลการประเมิน

คะแนน 34 – 44 หมายถึง มีระดับคุณภาพดีมาก

คะแนน 23 – 33 หมายถึง มีระดับคุณภาพดี
คะแนน 12 – 22 หมายถึง มีระดับคุณภาพพอใช้

คะแนน 1 – 11 หมายถึง มีระดับคุณภาพปรับปรุง

เกณฑ์การผ่าน ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 50




คณิตศาสตร์: หน่วยการเรียนรู้ เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสอง หน้า 11 จาก 11


39

40

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1


เรื่อง ฟังก์ชันก าลังสอง



รหัสวิชา .................. รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
ชั้นมัธยมศึกษาปีท 3 ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2563
ี่
หน่วยการเรียนรู้ที่ ............... เรื่อง ฟังก์ชันก าลังสอง เวลา 2 คาบเรียน




มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวชี้วัด


มาตรฐานการเรียนรู้

มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวิเคราะห์แบบรูป ความสัมพันธ์ ฟังก์ชัน ล าดับและอนุกรม และน าไปใช้

ตัวชี้วัด/ผลการเรียนรู้
ั
ค 1.2 ม.3/2 เข้าใจและใช้ความรู้เกี่ยวกับฟงก์ชันก าลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์


จุดประสงค์การเรียนรู้สู่ตัวชวัด
ี้

1. นักเรียนสามารถจ าแนกความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชันก าลังสองจากสถานการณ์ที่ก าหนดให้ (K1)
2. นักเรียนสามารถอธิบายลักษณะกราฟฟังก์ชันของแต่ละความสัมพันธ์จากสถานการณ์ทก าหนดให้ (K2)
ี่
3. นักเรียนสามารถเขียนฟงก์ชันก าลังสองของปริมาณสองปริมาณที่มีความสัมพันธ์กัน (K3)
ั
4. นักเรียนตระหนักถึงความสมเหตุสมผลในการหาฟังก์ชันก าลังสองจากสถานการณ์ที่ก าหนดให้ (P)


สาระส าคัญ



1. ฟังก์ชันก าลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y ax 2  bx c เมื่อ a,bและ c เป็นจ านวนจริงใด ๆ
และ a 
0



สมรรถนะส าคัญของผู้เรียน



1. [PISA 1.2] การรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ (รวมถึงกฎเกณฑ์ ความสัมพันธ์ และแบบรูป) ของปัญหา
หรือสถานการณ์

2. [PISA 1.5] การแสดงแทนสถานการณ์ในเชิงคณิตศาสตร์โดยการใช้ตัวแปร สัญลักษณ์ แผนภาพ และ

แบบจ าลองมาตรฐานที่เหมาะสม
3. [PISA 2.5] การสร้างแผนภาพ กราฟ และโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ และการสกัดข้อมูลทาง

คณิตศาสตร์จากสิ่งเหล่านั้น


คณิตศาสตร์: ฟังก์ชันก าลังสอง หน้า 1 จาก 19


41

สาระการเรียนรู้


ฟังก์ชันก าลังสอง



สาระการเรียนรู้สู่การบูรณาการ


-


การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน


คาบเรียนที่ 1


ขั้นน า


1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับความรู้เรื่อง รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

2. ให้นักเรียนทบทวนความรู้เดิมเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

แนวค าตอบ
แบบที่ 1 นับช่องสี่เหลี่ยมในตารางแบบกริด (grid table)

ู
แบบที่ 2 ใช้ความยาวด้านมาคณกัน คือ พื้นที่รูปจัตุรัส คือ ด้าน x ด้าน และ
พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ กว้าง x ยาว


ขั้นสอน


3. แบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 4 คน ร่วมกันท าใบกิจกรรมที่ 1 ข้อ 1 โดยครูกระตุ้นให้นักเรียนสร้างรูป

สี่เหลี่ยมมุมฉากแต่ละข้อตามเงื่อนไขที่ก าหนด
แนวค าตอบ

แบบที่ 1 พื้นที่ของรูปที่เกิดขึ้นเกิดจากการนับรูปสี่เหลี่ยมย่อย ๆ

แบบที่ 2 ใช้สูตรการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
4. ครูให้นักเรียนสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากตามเงื่อนไขที่ก าหนดในใบกิจกรรมที่ 1 ข้อ 2 และให้นักเรียน

สังเกตความสัมพันธ์ของด้านยาวและพื้นที่

แนวค าตอบ
แบบที่ 1 พื้นที่ของรูปที่เกิดขึ้นเกิดจากแนวความคิดของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในข้อ 1

แบบที่ 2 ใช้ความสัมพันธ์ของความยาวของด้านกว้างคูณด้วยความยาวของด้านยาว

5. ครูให้นักเรียนสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากตามเงื่อนไขที่ก าหนดในใบกิจกรรมที่ 1 ข้อ 3 – 4 และให้นักเรียน
สังเกตความสัมพันธ์ของด้านยาวและพื้นที่





คณิตศาสตร์: ฟังก์ชันก าลังสอง หน้า 2 จาก 19


42