\
i
s E c .2 - 3 T E O R E M A SB A S I C O SY P R O P I E D A D EDSE L A L G E B R AB O O L E A N A 4 1
6. El postulado 6 se satisface, ya que el álgebra bivalente tiene dos
e l e m e n t o sd i s t i n t o s 1 y 0 c o n 1 1 0 .
Se ha establecidouna álgebra de Boole bivalente que tiene un conjun-
to de dos elementos 1 y 0, dos operadoresbinarios con reglas de operación
equivalentes a las operacionesAND y OR y el operador complemento equiva-
lente al operador NOT. Así, el álgebra de Boole ha sido definida de una ma-
nera matemática formal y se ha demostrado que es equivalente a la lógica
binaria representada heurísticamente en la Sección 1-8. La representación
heurística es una ayuda para entender la aplicación del álgebra de Boole a
los circuitos tipo compuertas. La representación formal es necesaria para
desarrollar los teoremas y propiedades del sistema algebraico. El álgebra de
Boole bivalente definida en esta sección, es llamada por los ingenieros "ál-
gebra de conmutación". Para darle énfasis a la similitud que hay entre el
álgebra de Boole bivalente y otros sistemas binarios, se Ie ha llamado "lógi-
ca binaria" en la Sección 1-8. De aquí en adelante se omitirá el adjetivo bi-
valente del álgebra de Boole en las discusionessubsiguientes.
2 - 3 T E O R E M A SB A S I C O SY P R O P I E D A D E S
D E L A L G E B R AB O O L E A N A
D u al i d a d
Los postuladosde Huntingtonhan sido listadosen paresy repartidosen
parte (a) y parte (b). Una parte puedeobtenersede otra si los operadores
binarios y los elementosde identidad son intercambiables.Este princi-
pio importante del álgebra de Boole se llama el princípio de dualídad.
Este último estableceque las expresionesalgebraicasdeducidas de los
postulados del álgebra de Boole permanecenválidos si se intercambian
los operadoresy elementosde identidad. En el álgebrade Boolebivalente,
los elementosde identidad y los elementosdel conjunto B son los mismos:
1y 0. EI principiode dualidadtiene muchasaplicacionesS. i se deseauna
expresiónalgebraicadual, se intercambiasimplementelos operadoresOR y
AND y se remplazaunospor cerosy cerospor unos.
Teoremasbásicos
En la Tabla 2-1 se listan los seis teoremasdel álgebrade Boole y cuatro
de sus postulados.La notación se simplifica omitiendo el toda vez que
no causeconfusión.Los teoremasy postuladoslistados son las relaciones
más básicasen el álgebrade Boole. Se advierte al lector que debefamilia-
rizarsecon ellas tan pronto como pueda.Tanto los teoremascomo los pos-
tulados se listan en paresy cada relaciónes dual con la que está apareada.
Los postuladosson axiomas básicosde la extructura algebraicay no ne-
cesitan prueba. Los teoremasdeben probarsea partir de los postulados.
Las pruebasde los teoremascon una variable se presentana continua-
ción. En la parte derechase lista el número del postuladoque justifica
l cadapasode la prueba.
Tabla 2-l Postulados y teoremas del álgebra de Boole
P o s t u l a d o2 (a)x*0=x (b)x'l: x
P o s t u l a d o5 (a)x+x':l (b)x'x' = 0
TeoremaI (a)x4'x:x (b)x.x = x
Teorema 2 (a)x+l:l
(b)x'0:0
Teorema3, involución (x')' : x
Postulado3, conmutativo(a) x * y : y * x z (b) xy : yx
Teorema4, asociativo (a) x + (y + z): (x + y)+ (b) x(yz): (xy)z
Postulado4, distributivo (a) x(y i z¡:' xy i xz (b)x+yz:(x+y)(x+z)
Teorema 5, DeMorgan (a) (x + y), : xiy, ,
Teorema 6, absorción (a) x + A : x O) (rv)'= x' * /'
(b) x(r + y): x
TEOREMA l(a): ¡ * x: x.
x+x:(x*x).1 delpostulado:2(b)
: (x + x)(-r * x,)
:x*xx, 5(a)
:x*0 4(b)
-x 5(b)
2(a)
TEOREMA l(b): ¡. r: .,r.
x-x:xx*0 del postulado:2(a)
:xx+xx' 50)
: x(x * x') 4{a)
: x. l
:x 5(a)
20)
so ad-leNpóluateepdsreeudqeeubreaiveealnrtspeeaosrrirmeemi(labar1)m(ebes)neetlesddeuel adllaudapelrdulaeelbptaaedroteereuam.;rJ'ap.1-u¿(ra-;".)ályqr;.qi"eurpreoctnaedodiraeepnitaiae_.
du
TEOREMA 2(a\: x + 1: 1.
x*l:l'(-r+l) del postulado:2(b)
: (x + x')(x + l)
:x*x'.1 5(a)
(b)
: x'* x' 2(b)
:l 5(a)
TEOREMA 2(b): ¡.0: 0 pordualidad.
:0, TEOREMA 3. (Í )' : x.. Del postulado5, se tiene ¡ I x, : I y x. x,
tam fineel complementóde r. Er c'omplu-"" tá áu ,, ., y
io cual de sícom oel complementoesúnicot*at"-"r , x. ".
bién(¡')" A que (r,), :
42
s E c .2 - 3 T E O R E M A SB A S I C O SY P R O P I E D A D EDSE L A L G E B R AB O O L E A N A 43
Los teoremasque comprendendos o tres variables pueden ser probados
algebraicamentéde los postuladosy de los teoremasya probados.Tómese
por ejemploel teoremade absorción.
TEOREMA 6(a): ¡ i xY: x. del Postulado2(b)
del Postulado4(a)
x * xy : x' I I xY del Postulado3(a)
: x(l * y)
: x(Y + l) del teorema2(a)
: x. I
-x del postulado2(b)
TEOREMA 6(b): ¡(¡ *l') ::r pordualidad'
Los teoremasdel álgebra de Boole pueden demostrarsepor medio de
las tablas de verdad. En estastablas, ambosladosde la relación se com-
prueban para arrojar resultadosidénticos para todas las combinaciones
posiblesáe los variablesintegrantes.La siguientetabla de verdad verifi-
ca el primer teoremade absorción.
xy x + x y
00 0
0I 0
I00
II I
Las pruebas algebraicas de la ley asociativa y del teorema de De Morgan
son largas y no se dará una prueba de ellas. Sin embargo, su validez es
fácilmente demostrable mediánte las tablas de verdad. Por ejemplo, la
tabla de verdad para el primer teoremade De Morgan (r*J)':¡'y'se
muestra a continuación:
x+y (x + v)' x'y
I I
0 0
0 0
0 0
P r i o r i d a dd e l o P e r a d o r
La prioridad del operadorpara la evaluaciónde las expresionesde Boole es
(1)él paréntesis,(l) NoT, (3) AND y (4) OR. En otraspalabraslas expresio-
nes déntro de un paréntesisdeben ser evalUadasantes de otras operacio-
nes. La siguiente óperaciónen orden prioritario es el complemento,luego
sigue la AÑn y finálmente la OR. Como ejemplo,considéresela tabla de
u".dud del teorema de De Morgan. El lado izquierdo de la expresiónes
4 4 A L G E B R AD E B O O L EY C O M P U E R T A SL O G I C A S CAP.2
(r-1--r )'. Así, la expresión dentro del paréntesis es evaluada primero y
luego se complementa el resultado. El lado derecho de Ia expresión es
¡'-r''. Por tanto. el complemento de r y el complemento de ¡ se evalúan
primero y el resultado se somete a una operación AND. Nótese que en la
aritmética se tiene en cuenta la misma prioridad (excepto para ei comple-
mento) cuando la multiplicación y la suma se remplazan por AND y OR
respectivamente.
Diagrama de Venn
Una figura útil que puede ser usada para visualizar las relaciones entre
las variables del álgebra de Boole es el diagrama de Venn. Este diagrama
consiste en un rectángulo tal como el que se muestra en la Figura 2-1, en
el cual se dibujan círculos traslapados para cada una de Ias variables.
Cada círculo es designado por una variable. Se asignan todos los puntos
dentro del círculo como pertenecientes a dichas variables y todos ios
puntos por fuera del círculo como no pertenecientes a Ia variable. .Tóme-
se por ejemplo el círculo designado r. Si estamos dentro del círculo, se
dice que ¡:1 y cuando estamos fuera de él se dice que r:0. Ahora bien,
con dos círculos traslapados se forman cuatro áreas distintas dentro del
rectángulo: el área que no perteneceni a ¡ ni ay (x'y'), el área dentro del
círculo y pero por fuera de r (r',r'), el área dentro del círculo y pero por
fuera de -v (rJ') y el área dentro de ambos círculos (ry).
Los diagramas de Venn se usan para demostrar los postulados del
álgebra de Boole y para demostrar la validez de los teoremas. La Figura
2-2, por ejemplo, muestra que el área que pertenece a :r1' está dentro del
círculo r y por tanto ¡*¡-r':.r. La Figura 2-3 ilustra la ley distributiva
r (y + zl: xy f rz. En este diagrama se tienen tres círculos traslapados
para cada una de las variables-r, J'y z. Es posible distinguir ocho áreas
diferentes en el diagrama de Venn de tres variables. Para este ejemplo
en particular, se demuestra la le¡' distributiva al notar que el área de
Figura 2-1 Diagrama de Venn de dos variables
Figura 2-2 liustración del diagrama de Venn x: ry + r
.r r--->l'--\ .\
ffa\
1
I t+\
I
l:, :li;tl
_/-
\ #\F\Z. /\{
\\l
.¡(.r' ¡)
Figura2-3IlustracióndeldiagramadeVennparalaleydistributiva
intersección entre el círculo f con el área que contiene y ó 2 es la misma
área que pertenece a x)' o rz'
2 - 4 F U N C I O N E SB O O L E A N A S
u"A. r.nÑpua.rDñi "v,¿úa"etr"lirao, 'bplfaloeerrbfmaui dnnaoacdrirNaói anOcpápTun-,te"vedáale"rpt' itoaa"mtrbéla0enrstóeebls1ivin.sa-yaCl-roeioral n0sssi,ógiddn1o¿o.srui egnosuappéaeolfr'ruaPendajceorimóar enupsbdnl oienvl aBaaolrfouioornlsdeceaiOósdRnuonddyaee
Boole:
Ft: xvz'
LpEd-cáo.latourmt.efriudb"ó;e'"inr¿n,mcoa.airpclónlgiooánelFanabt,sen"rbstaecdeliousecrimiaorg..d'bUrrueoienna,sa"vla"yeuiforn1ucdnansea"cir,dfoiuró.psn:nPa1dcaredyiaórealnlaaBshdysoae:noc1cluBevyeaoarplloroeuilazseesb'lder:aleele;tpsfstueerbencrdinscereaeiseóornipntittaarraeesuadssnymaecainguaotunlmnaiaasedolt-racaapuaoFonld1truae:móm0e2'nex0"^--' a
idFmzC'i1ofl):ee1:mc0sroeot. rnneasttsieePeqe,anmupqreeauauuriecvnlaasuaat0alrefsaluóqni gn-eiuuencni.aaeirórrlolnadbteipirt,Tcsaaia'rrceabqeonicausmaleaibd2gszia-ul2:ntuaraxeel0casx.a)iiósvdFC1ntaee'roensi:naos0osbtl'aiacldehmsés(ocNer.oeLpnómsaotteeebsl accsii bnoueslalqaeuicugnsmiuedocnionoleaaemxndas:tbLe.efiiafnmr!u,maanTcyarcaicoci-bóa-inlóndaIen:as
Fz: x * )"2
Fz:l si ¡:1 ó si !:0, m i e n t a s - e : 1 ' 8 " l a T a b l a2 - 2 ,x : 1 e n l a sú l t i -
mas cuatro filas y ít:Ot en las filas 001y 191'La última combinaciónse
u¡i"u también páíu-r: i. A"i, hay cinco óombinacionespara hacerFr:1.
io-o tercer ejemplo,considéresela función:
Ft: x'Y'z+ x'Yz+ xY'
Esto se muestra en la Tabla 2-2 con cuatro unos y cuatro ceros.Fn es lo
mismo que F3 y se consideraa continuación:
45
Tabla 2-2 Tablas de verdad para F, : ry2,, Fz: x * y,z,
Ft: x'y,z * x,yz * A,, ! Fa: ry,+ x,z
000 Fl F2 F3 F4
001
010 00 00
0ll 0l ll
100 00 00
r0l 00
ll0 0l 00
0l 00
lll ll
0l
fsáeúLipdvvugilnn.aoueognuacirernedccaidrodeaabeielcanóesbarssudtnpanldmprae.1a:aodeulEsáqr0rbóeealsbudtsa0eiBionusnte2'nasoúinar"mpseomareeafr-ilpxuafeeráflfpnas1eruoscorc.snredeieipmdlcóepmssaaeiniuatópoeraIlfrna^arnanisaildecatcapdfeerasasuhreaaBpednorleoaggiBacrmrnoreauiafoóaillbnlylresonaaarctoml.paaearptduisaLm^adcdreeeaebaaáefsdlsuglsafanaepinusl?tctaasecníeao.aeri_sbóamdlDnrtrdnea"rbeapeíe.e:His,rlnpoohhc2p"uartsobae"ev.ecnl"yccnedsi,"hsio,ue.of"iion.imnudnncrp,"eétdaelvuaJaesrerdarleld""uoanelfsmaotsp.éreebrmueaounpspinsnrr.cioias,roiooeurapmrs'¿nlnarueiatyEnaalolrjaaeúasl.ftgccurmrafcpnieeuneóboeopbrncxnlnorslaricpootóasdiiabróldndiseeancrne?eele_a-
Fq: xY'* x'z
pivnDgoaeuesrnaiilablaueblneslTeossadssibebyelilanalclasa2ersn-ri2aotvssisea.iednrE.iéeaennnbntlgcieeceulsone.smenprti a.ramaqlr,auod eocusa" nudf ulaonec.csopiiomudnrébeuni snttdaiocecdaiaónas. tvFdraaór ,rs' ui ay2Jba^olreqc"susobemidanbemai nrlbiaaaascssitostrinoeeens- s
send$lcHorslbraelnxeeoeeR-ra.pIvcabsmafy:moveroie:lpicepi:urugrnzu"caamsslFnnursaeoeroiaaraiaaaóctnsdra.linuctonceeópsFrrfdonocouoarsnaF,meaemnnprddeoeearcpqeBibecnslfaiuuurisóoccógnnolenleemraaonaraeircsadslt¡tlorceeiidaamaeFomde,cAremqoniaidsufpvgNouoseaaBelaaluóDii¡sndorpo.tfermgi¡rdiieTeoorcmpiiospecaean,mlauie2aoánbfdIdlBuir.rssapólmena-a.enoe"to4duispéecrcomm.eelcL_rriaanlPIóduemigopd,sozlaneeosasuiaiasgnüfeenseutcdqcáoonsétesinaiouspbut¡ietarnlemome.lcni"ing-tai;ot"cobr.ircprcd"nnn,aoaaneooueoe"sdcmennoeel,fsiu;dsuotó*srla;rcdteprtnmascaiime";lftdlrops"aioáóu"raacyBmá"rsgyt"isd";mro*reip;;etecapce;loialñl;co"nurdenalr"ioestiem;dr.tr,nliipüioaeoai"euóears"d.n.n,mIjcra'ao,m"ataotnoñsiyi,v-cámdt.oqeo.euoo,sé.fbpuxRl,bnrulestipleelrauoeeaesmuryvirmFnceotnnauaaoedN3scqerumrii.sicdounfóslareuliTpeeictncor"ocnuc.ucopabsuc.cueasaml,i(nigiL*sriEióbrotó)taoeaaeoanol-n-
46 "q.ripo.
f
(a) Fr - ,xr-¿ (b) F2
(c) F3 :x'Y'2. +.r'-): . ir)'
(d) F4 - xr'* 'r'z
Figura 2-4 Ejecución de las funciones de Boole con compuertas
M a n ip u l a c i ó na l g e b r a i c a
:lJnliteral es una variable tildada o no tildada. cuando una función de
Biscmnmrdlá.ioeeoe"iinmnn"nomB;oiopldmopsetuirorsiseodezlpe"ersapa;toerápoaccnájurs.iieóLiibetecbanceldonleuraeemtimsotr*soaaloisiea"tndcr";r,io;a"o"m-im's;.lun;"ii,.i;-ric'nz"óiÁlttoi"a""muidp'mcr¿iu"ioiiztó.oup'"ia'ncnóluuododlnen¡omeorPfp,tpcoa5,oiusrdrr.srúeciemEelmmurótlIliuaeeitgmtolnyódteiáúcoirccodnmaamoaeedlsendeeae,lransimcomtm.tteadoPeéeraedsnroannmaetlsloeeiilttpisl.inseeiPutmcorryeolaoiaiorrstlmecaaerelilmrsoplo-ráonoeenerlúnnaeeneemelsgltutiaenzreusnclaatgrleraeaoidectsrdfedoebu'sNirenrlsneiaaooccuttiféuciinudeóeratae--nnsis-c' i ó n
47
I
4 8 A I - G E B R AD E B O O L EY C O M P U E R T A SL O G I C A S C A P ,2
ostuDaitngerraousysiareefmnaostcrépetotuusorenetdajaseortdms"aafdiupmneslaoeamlsn.nitaldEeun'oosl i.tplúrouanhslniaa.pccyeooissómrttneeuégqritraruooadedcsooesesdde,sliiopsmhipeai océgt eínnafoitinbcoralfe.easmeamsai lsseibael "áigpesu.sioic-rccoqoesundyei mecrgui eauanrslaetoons.,qt,Litucroaeise_nr
al EJEMPI O 2-_t; Simplifiquesela siguiente función de Boole
mínimo númerode literáles.
l. x * x'y : (x + x,)(x * y) : I . (x + y) : x * y
2. x(x' * y): xx'* ry:0 '- xy : xy
3. x'y'z + x'yz * xy' : x,z(y,+ y) + ry' : x,z * ry,
4. xy * x'z * yz= xy * x,z * yz(x I x,)
: xy + x'z * xyz * x,yz
: xy(l * z) + x,z(l + y)
- xy * x'z
5. (x + y)(x, + z)(y + z): (x + y)(x,* z) por dualidadde
la función 4.
dsFepLienaeamsslepayolflsuednFcn.uúoncLami iraloteerdnsarfeeoput asolndodIncesaidyólpsiineta2aensbn¡tosaetosenlseunLro.sisaod,asrauedfmlauoghelnsuietnpcntstiaiaómeersn.naiLzvtBdraaeeemcdecsiuuiíusiec",ayp"sirrtrttu"orla-aasd*adiluf"anuecnmeei gc,x"ruipuróa"reonlesd""4s.ta"J.iipaodoq=nd"ur"ee".dsrdleiauóusnnafdlfieuanesnuadecmluincomeinnIráoestsoses
Complementode una función
vpdtpaEeaoeulourseDircntadeuoeobemlm-saldMbadypessoolrdeeurisvegymsnatla.eálrspnosnnrspeatilomutiadseceleetgoedarerlredaetohenomsrfoesuaearxeninecstncsemaeionómllaandndeveaFTeanrqltasDoeueebdrseaeleal.dlttlMore"t2esyoeF-slro1is.ÁgorepaetEamaonmldrbásaaotcseidsodevedemonanesbeprreditvilaaveeabamlrfMlaiieaaenobsbntcrü.elgtLoéoraancsdznat.ei_fL.mnofuoE.urbnsmsaiatoctaeedifódóupenernace.crtLemrioredóoassenss
(A+B+C)':(A+X)' hágaseB+ C: X
: A,X,
= A' .(B + C)' del teorema5(a) (De Morgan)
: A, . (8,C,) sustitúyaseB+ C: X
= A'B'C' del teorema5(a) (De Morgan)
del teorema4(b) (asociativo)
Los teoremas de De-Morgan para cualquier número de variables se pare-
cen al caso de las dos.variabiesy pu"d"rr,a.ri*i." por Justitucionessu-
cesivassimilares al método usadó én la dórivaci¿n tiecha anteriormente.
Estos teo¡emas pueden generalizarsede la siguiente
;;;;",
\
sEc.2-5 F O E M A SC A N O N I C AY N O R M A L I Z A D A 4 9
(A+B +C+ D+''' +F)':A'B'C'D'-".F'
(ABCD''' F)': A' + B' + C' + D' + "' +F'
La forma generalizadadel teorema de De Morgan expresaque el comp_le-
mento de una función se obtiene intercambiandolos operadoresAND y OR
y complementandocada literal.
EJDMPLO 2-2: Encuéntrese el complemento de las funcio-
nes F1 : x'yz' + x'y'z Y Fz: x(y'z' *yz\' Aplicandoel teoremade
De Morgan tantas vecescomo sea necesariose obtienen los com-
plementosde la siguientemanera:
Fi : (x'yz' * x'y'z)': (x'yz')'(x'y'r)' : (x + y' + z)(x + y + z')
F i : l x ( y ' z ' + y z ) ) ' = x ' + ( y ' t ' + y z ) ': x ' + ( y ' z ' ) ' ' ( y z ) '
= x' + (y + z)(Y' + z')
Un procedimientomás sencillo para derivar el complementode una
función es tomando el dual, de una función y complementandocada lite-
ral. Este método se deduce del teorema de De Morgan generalizado.Se
debe recordarque el dual de cada función se obtiene intercambiandolos
operadoresAND y OR y los unos y ceros.
EJEMPL,2.S..EncontrarelcomplementodelafunciónF1
y Fz del Ejemplo 2-2 tomando los d¡*alesy complementandocada
literal.
I Ft: x'Yz'+x'Y'2.
El dualdeF, es(x' * Y * z')(x'* Y' I z).
Complemeniandocada literal: (¡ *y' * z)(x *y * z'): FI'
2. Fz: x(Y'z'+Yz).
E l d u a ld e F 2e sx + ( Y '* z ' ) ( Y * z ) .
Complemenlandcoadaliteral: r' + (y ¡ z)(l' t z') : Fí'
2.5 FORMASCANONlCA
Y NORMALIZADA
Términosmínimosy términosmáximos
una variable binaria puede apareceren su forma normal (¡) o en Ia forma
de complemento(r'). considéreseahora dos variablesbinarias f y y com-
binadas con la operaciónAND; como cada variable puedeaparecerde cual-
quier forma, habiá cuatro combinacionesposiblestx'y-',!'1, xl'y ry' Cada
úno de estoscuatro términos AND representanuna de las
áui¿i"gt"-a de Venn de la Figura 2-{ y se llaman término diferentes áreas
s mínimos (min'
term) áe un pparroadufocrtmo anror2m" atléizramdinoo. sDemiígnuimalosm.aLnoesra2, "sed_ipfeureednetenscatmérbrniai-r
n l,"riubl".
nos mínimos pueden determinarse por un método similar al mostrado en
Tabla 2-3 Términos mínimos y máximos para tres variables binarias
T é r m i n o sm í n i m o s T é r m i n o sm á x i m o s
x Y z Término Designación Término Designación
00 0 x'y'z' mo x+y+z Mo
00 I x'yz' ml x+y+z' Ml
0l 0 xy'z' m2 x+y'+z M2
0l I x+y'+z' M3
l0 0 xyz l7l3 x'+y+z M4
l0 I m, x'+y+z' Ms
ll 0 m5 x'+y'+z M6
ll I m6 x'+y'+z M1
tlt7
tmImdlaeaeíennnTnrtbieoamavbbdjoaoeilnasrclaaie2iamsri-biln3oauleplsevdsatasrcerra0oalianentybrnúcelsmealsaisdev.ncatraaooavrbbdiaealiaarsnbittaaeláéerbnrtisolmiler.Ladditoniaeflsobddr rnmtaaméúdaíranmamil,dme.isnerouioomnsesib¡eíl,.siobrndí¡ii.maiotrirernbciondoooeesclrjodáropeeLdrárseu0erpnnasaooptcnetzoaadr^ndm,i-edearilinnteeéotnasqerAtlmeueNinl.ivinDúsao_-_
vmssvamtvéeieasaái.rrrinroexmsgiioablaiaDn.micsbtbn.aieoleolodemernsmasreátee,mpsiaxlssdudneiáepemeaelxoddurolcinimaeansosdsntmoiadoitedsmépnenern(limttelmoleeaebamirrnaisntm,teixoltldntreiarenaoatsesoraRdsm0drTna_sesay,vved)bsaadeddtulr¡eiaaeilinadarcmálbabo2vanaldlr-asee¡3nar2ess.ies"fa,s.orcucipbacroumorm;osnáe;naimjalsmduse"inbnin¡soied-liotq.annao,rurüatumm".eitIcuenéiaeci"á.or.lnatumiéniztd"ere,aiamnrs;c-d"p;áioiit"o¿oinénams.sor-¡.miLiíllcboreanoarilRineosdmnso,ssaoioolcmltmcaoétypbhimnárraoomdvxrcaliaatioiacdméndgedarnoaoí_-asa
r2xocdey-obe4s'mtzeuus'ubnnl,etnyieaanadreratlenaacftyb/iueó,-olnrzanRm:cdridieó1enden,saelsapvedetseeoxetrcvdpide-taorBianevrsdoiesaaroad:moblnaseleeddptnésoautlqr,aeemuccsd.o.oiencmnpbsofroe.omo.ri-cá-bFeua.ironx"d"a.paeaoercnuejiueonsunmnoaned¿p1sat0l"¿oae0".,rnirl.gi,"tile*,.a1r?rbor0rrfraru0rnmrin,c"iclílnaráriJom,óri.s,mneecnpnooatlpmmeaaroaoírTnpxlcuaia,myaebr,tdgloziaraos,
ft: x'y'z* xy'z'* ryz : m, * mo* m,
De manera similar, se puedefácilmente verificar que:
.fz: x'yz* xy'z* ry2,* xyz: mr* m,i mui m,
'Algunos textos definen un término máximo (maxterms) como un término oR de n va-
riables con cada variable no tildada si el bit es I y tildada si es 0. La defi-nriucnió"lnoand.,optadaen
este libroes preferibleya que lleva a con ve¡sionesmás no¡mal". u.ri." iu.
mino máximoy términominimo. tipo tér-
50
Tabla 2-4 Funciones de tres variables
xy z F u n c i ó nf t F u n c i ó n/ 2
0 0 0' 0 0
00 t I 0
010. 0 0
0l I 0 I
100 I 0
0
101 0 i
I l0 I I
lll I
I
Estos ejemplos demuestran una propiedad importante del álgebra de
Boole. óuaiquie. función de Boole puede ser expresadacomo una suma
de términos mínimos (por "suma" se quiere decir la suma oR de los tér-
minos). c o m p l e m e n t od e una función de Boole.Este pue-
Cánsidéreseahora el
de Ieersede una tabla de ueidad formando un término mínimo por cada
combinaciónque produceun cero y luegohaciendola función OR de esos
términos. El complementode /r se lee así:
.fí: *'Y'z' I x'Yz'* x'Yz* xY'z'l ryz'
Si se obtiene el complementode /i se obtiene la función /t:
ft: (x * y * z)(x + y' + z)(x + y' + z')(x'* y * z')(x'1-y' * z)
: Mo'Mr'Mt'Ms'Mu
De igual manera,es posible leer Ia expresión/2 de la tabla:
f z : G * y * z ) ( x + y + z ' ) ( x* Y ' * z ) \ x ' + Y + z )
: MoMlM2Ma
Estos ejemplosdemuestranuna segundapropiedadimportante del álge-
bra de Boole: cualquier función de Boole puede expresarsecomo un pro-
ducto de términqs máximos(por "producto" seimplica el productoAND de
los términos). El procedimiento para obtener el producto de términos
máximos directamentede una tabla de verdad se logra de la siguiente
manera: fórmeseun término máximo para cada combinaciónde variables
que produzcanun 0 en la función y luegoforme la función AND de todoslos
términos máximos. A las funcionesde Boole expresadascomo una suma
de términos mínimos o producto de términos máximos se les dice que
estánen forma canónica.
S u m a d e t é r m i n o sm i n i m o s
Se había dicho antes que para n variables binarias, se pueden-obtener
2' términos mínimos diferentesy que cualquier función de Boole puede
5l
5 2 A L G E B R AD E B O O L EY C O M P U E R T A SL O G I C A S CAP,2
teshesgtlcecaaéejauliuuxellósracminpymmnncefaareasuope^fsexsapnimlsdnnpouvlecateooaeamaciuro-nccsxctnamunéeldeiaIaocnerdsiírmennoaseetaxnaiampsfiomcn'eidbo,noacosmoolsepadoydtsuieárbolnana-dimsplnmvytaeerévdefaíseounarevnsqrcmqnireuiomrueeiucrmai.ednnideolsbóaaiotaspemrnehe.deuadpeaxdis.ééeeáxupyeic,dsnprnrotaee2Betrnéamoena"souor.sdmpiofoeótoaeelélriinrelrsncraasmllmstaaoaiáuoafsslicuanfnnreoumvsnaonafnnaecusísqtcncrieniuóuimieoiascómmnenntbiínalónepoallnoenditrsfdm"orsse.ÁeduvqrfoLñ"amáatBuso.étr"reoa;,sirts;asaimo,d"e;btenslaérierntenpré1eevomupsseanósu"eu.ilr"nAnEdeiI0-1aoaaNoeldbspdeneDfsleaoxmeciI.igrlprsatleaím.Laur.nrgSeucicaiefamsueia¡unrrdilgdnlóo_atae.oae-nser
EJEMPLO .2-4: Expresa¡ la función de Boole F : A + B,C
comosuma de términos mínimos. La función tiene tres variables:
A, B y c. como el primer término A no tiene las otras dos va¡ia-
blespor tanto:
A : A(B + B'): AB + AB,
Como la expresióncarecede una variable:
A:AB(C+C,)+AB,(C+C,)
= ABC + ABC' + AB'C + AB,C,
El segundotérmino B'c carecetambién de una variable:
B'C : B'C(A + A'): AB,C + A'B,C
Combinandotodos los términos se obtendrá:
F: A + B,C
: ABC+ ABC'+ AB'C + AB'C' + AB'C + A'B'C
Pero como AB'c aparecedos veces,y de acuerdoal teorema 1
(¡*¡: ¡), es posiblequitar uno de ól los. Rearregla ndolos tér-
finalmentei
mino s en orden ascendentese obtendrá
F: A,B,C+ AB,C,+ AB,C+ ABC,+ ABC
mt + m4+ ms+ mu* m,
Es convenientealgunas veces,expresarla función de Bo ole cuando
está co mpuestade una suma de términos mínimos por medio de ra siguien-
te form a simplificada:
F(A,B, C) : ) (1,4,5,6,7)
l pli El s ímbolode su m atoria I implica los términos a los cualesse les
ca la función OR. L os térm-iiosentre paréntesisson los términos míni-
s E c .2 - 5 FORMASCANONICAY NORMALIZADA 53
mos de la función. Las letras entre paréntesisa continuaciónde la F for-
man la lista de las variablesen el orden tomadocuandoel término mínimo
se convierteen un término AND.
Productode términosmáx¡mos
Cada una de las 22' funcionesde n variablesbinarias puedenexpresarse
como un producto de términos máximos. Para expresarlas funcionesde
Boolecomb un productode términos máximosse debeprimero llevar a una
forma de términos OR. Esto puede lograrseusando la ley distributiva ¡ *
yz-- (x*y)(¡ *z) y si hay una variabler faltanteen cadatérmino OR se
le aplicarrí la función OR conjuntamentecon ff'. Este procedimientose
clarifica por medio del siguiente ejemplo:
EJEMPLO 2-5: Expresar la función de Boole F:xy*x'z
comoun productoen la forma de términos máximos.Primero con-
viértase la función a términos oR usando la ley distributiva:
F: xl I x'z : (xy + x')(xy + z)
: (x * x')(y + x')(x + z)(y + z)
- (x' t yXx + z)(Y + z)
La función tiene tres variables:x, y y z. A cadatérmino oR le hace
falta una variable, Por tanto:
x' + y : x' + y * zz': (x' * y * z)(x' I Y * z')
x + z : x * z * yy' : (x I y -l z)(i + y' + z)
y + z : y + z * xx' : (x 4 Y + z)(x' + Y + z)
Combinandotodos los términos y quitando aquellosque aparez-
can más de una vez se obtendráfinalmente:
F : (x * y * z)(x + y' + zl(x' -r y * zl(x' * y + z'\
: MoMzMqMs
una forma convenientede expresaresta función es de la siguien-
te manera:
F(x,y,z): fI(0,2,4,5)
El símbolode producto II denota la aplicación de la función AND a los
términos máximos. Los números teptesetttanlos términos máximos de la
función.
Conversiónentre las formas canónicas
El complementode una función expresadacomo la suma de términos mí-
igual a la suma de los términos mínimos faltantes de la función
nimos es E"stoúltimo es debido a que la función original es expresadapor
orllinat.
A L G E B R AD E E O O L EY C O M P U E R T A SL O G I C A S CAP.2
aquellostérminos mínimos que hacen la función igual a r mie ntras que
un complementoes ul 1 para aquellostérminos mínimos en que I a función
es un 0. Como ejemploconsidérésela función:
F(A,B, C) : Xl, 4,5,6,7)
Esta función tiene un complernentoque puede expresarseasí:
t F'(A, B, C) : )(0, 2,3) : mn* m, * m,
I Ahora si se obtiene el complementode F' por el teoremade De Morgan
obtendremosuna F de manéra diferente:
I
F : (moI m, * mt)' : m[. mL.m\: MoMzM3: fI(0, 2,3)
It
La última definición se de¡iva de la definición de los términos mínimos
I y términos máximosque fig'ran en la Tabra 2-3. De i" t"¡tu, .ú;; qr;
es válida la siguienterelación:
I ".
I ^j: M¡
i Esto es, el término máximo con suscritoj es un complementode un tér-
mino mínimo con el mismo suscritoj y vióeversa.
i
tivtmscnaoeoatni rnned,dseoarvEeiceónsclárntolmmséaúmgiríólbemfntooniiniemiuremnemsnnooroeataaslsreoloes.mejsPrueesiágammsl sxirínappamii mmalrdobholioe.lodadasCrecutr.oéoemc.csrmrtmoSuoIlnñaeedi n-oseecouttvrrostsnoaétn.maIIreavaImbjíerenlgyiórenmis'omcuoilpneómísoalsvnosemthed,eanloreáasstrxsoeia"fósiuu""mi"nuqnme"eoucqnis"irluópatiiyi¡rinrárev-o:".aüs-"uln"een¿t*lnammia*mt"neeof uiócrseonontnrscmidatcioeóraoqándpluaoqereesouoxcdetftpoéaruralnrlcea__,---
F(*,y,2): II(0,2,4,5)
se.expresacomo producto de la forma de términos máximos. su conver_
sión a la suma de términos mínimosserá:
F(r,y,z): )(1,3,6,7)
2cNunóeetnentsadeqoqunuedeeepnlarneaúsmpeoel drneoúrtmoetneacrloodvnaetrratiéarrblmolesinbtoéinsrammriiníonoeismnfoalaslty-afnuttnre;c;si;ó,osn.e. debetener en
máximos es
Formasnormalizadas
bmalLallaeísnslseiqcmeduorooemlsaotpfioeflteuérnmmnremcnaeiisónnentdolaeddmmleaeáásolnlaxgnoiemtorab.onbr,úaladmdedeeberBeovocdeooerlndeltaiestdeon.rnenar.flptoeuors.mrddai"oets.úf-bi;un-á."isc-iii;có,,aniusl qjLud,uceoarssude-aleaontsbétvterimaesrniinoaeon-n
do. otra forma de expresar ras funciones de Boole es la forma normariza-
En esta config uraiión, los términos que forman la función debencon_
I
sEC.2-6 OTRASOPERACIONESLOGICAS 55
t,snáeru.oonnsiett-rnALr¿.tauNduaufneDifrsonu"u,¿nolmlctadaaisoamól:sdanaleaodaeopsipcpstururiotm"ea¿ádslarqc,aÁuuiddáciie"aet"oorp¿et'esnrn"sop'úrsdruumuounemdfcaurutaonocecsddtxoiyepeó.rndpeelierlotsoeuiRpódrnranuooldceddoetseuo'emcsBsHteáootaossod:ysleletiétdsqerouurmasmeiltneacipososos'cns.atuidednnaeeuefntjoeéormrm'mLpaial-so
Ft: !' * xy * x'Yz'
Esta expresión tiene tres términos producto de uno' dos y tres literales
;J; respectivamente'Su suma es en efectouna operaciónoR'
r"J^n;,p r o d u c t o dt,iÁr.Áte;¡s;';iuáá;mt;;;adi"esioeu.sáneaunneCoaxatpeadrxaleapstériaóerpnmsleiiicnnóaonpcrdipóoue1deBuddcoeetoot1elde1neqefusrunucecmuciaóaolnsqneuAtsiieNe: rDnneúat-é r m i -
"j.-pto
nos OR, llamados Fz: x(Y'+ z)(x'* Y * z'* w)
mero de literales.
ttt-inos. Un
".to*
Lsáuuiani ttoÁne.a¿xEtps]ler" e"pesrsoi tó(damnubtucil eelttconi pe"eldr' i't;á"riüdec"isátn"é)p;r lmtlyaai nclsaoi iómsnssii-¡muAt ,miNul idtaDu.dddeeEdull aenuoolsá,podeodorpeaseclyraiaósccnpiuAóaanNltaOrDobRrlyiatceseoprlnrapolle-darsuosccduatuomdcyaat o
aritmética(adición).
UnafuncióndeBoolepuedeSerexpresadaenunaformanonormali-
zada.Por ejemPlola función:
F3: (AB + cD)(,q'n'+ c'D')
no es ni surna de productos ni producto de sumas' Puedecambiarsea una
for ma normalizad r';;;á; la ley distributiv a para quitar el parentesis:
Ft: A'B'CD + ABC'D'
2 - 6 O T R A S O P E R A C I O N E SL O G I C A S
cuando los operadoresbinarios AND y oR se colocanentre las dosvariables
ptp;étbctsnipi.lea.voiirraó'ynbor"r"ild"im;au"al";ye.aLmetriei,"duisanpnajno"bpaseaacs-asotnlporFt.lxsasa.llavnao.iaFibaóysbtls,rAaolrilpaa!eofislF,ausaprgas.r,nb"dlmrrufdateclFoo.nie"sauirvrs,oas-rrnpi"onaudsi-u,;r.'it;edr;ldf*"i"ráa-"nrespuaeZ";ülsendA.rs;lbr.ntfaN.a"11ut.s"""eD";4"1no;ltq"fl'6.aclfuau,ayunindnceotndúaOcTaonciomhdi;bmaReoit,aaol-ebuansbysnsvdilneiioaao6dexneas2nresda2siP2yfteaseó-ev,a'5roboie.bfmofiy.loltunrueal"E'tdualNnvitnsmeoa"neeccó.tpddebxsistiteoo"renpe'titisysnrninmtasga"vetaeefreaaaynedoarss.trrircordqdaaiusd!moaseu+ebsunasndae,ylasdnB.aedqu',rl,AoldpáSunaevtcoerNseeosasoaóslrtDrepuppfdíaoíiumaneaupialnenyacbeombduddctldsFeoneiuofaiievoutlabslysdoaannnbloevrdsemsecieiapsnensei1spre'óeseasr6lirtananr-erearfasbisutuspasde^dlnce1eios1e'og--n6s'-6-r--''
I
Tabla 2-5 Tablas de verdad para las 16 funcionesde dos variablesbinarias
Yv Fo Ft F2 F3 F4 F5 F6 F7 Fs Fs Fto F,, F,z F,¡ Ft. F,,
00 00 0 00 0 0 0 I I I I III I
0l 00 0 0t I I I 0 0 0 0 III I
l0 00 I I0 0 I I 0 0 I I 00 I I
ll 0I 0 I0 I 0 I 0 I 0 I 0I0 I
Símbolo
operador o+ ú fI
c
ta la tabla de verdad para la oR. Los s í m b o l o s o p e r a d o r e sp a r a estas fun_
c i o n e ss o n (.) y (*) iespectiva-".ri*
oortvdeappeasdeersadrrAeaaLseandudalBegonoslsoerqarteeobu1ássplern6esaereAicfssimucailNpminadeseDcmtparcaia,lioefinafuconnilcneoRe"tacreslsutdip.ólvpmaitans"o.ñrniarapo.ma""dtutge,aeaeuxe-dsdiip"riel""oáiraÁ;*e.u-"udJsi,rt"aeü"a.o¡;"rb;el?r"li-Lpaáx,óüu."spnr."u.rr2.ou".eo-ddts6raei¿.apoL"sad.arerveruafsn"eu.ranrnetiidt"¿o"cxe-¡arilpp¡mgo"daorlno_eripdnee;0suelossJ.ierou..]ad'nTndseea.iesngtsldoiensr.eo,saesrBresssoemoeíípmmxobepplbbaeruroaorelegildrsosdoooa_ses,--
Tabla 2-G Expresionesde Boole para 16 funcionesde dos variables
Funcionesde Boole Símbolo Nombre Comentarios
operador
Fo:0 x.y Nulo C o n s t a n t eb i n a r i a0
AND ryy
Ft=x! x/v Inhibición r peronoy
Fz = xy' x
Ft: * y/, Trasferencia y pefo no ¡
F¿ = x'Y Inhibición
Fs: / x@y Trasferencia v
F6= xy'+ x'y x+y OR-exclusiva r óy perono ambas
F 1: x I y OR xóy
xIv NOR
Fr: (x + y)' xoy No-OR
Fg= xy * x'y' v' Equivalencia*
Frc: /' Complemento r igualay
Ftt=x1y, x Cl Implicación Noy
F,, : ,, x' Complemento Siy entonces.r
Fn:x'*y x)l Implicación
NAND No¡
Ftq: (ry)' xlv Identidad Si r entoncesy
No-AND
4s=l
Constantebinaria 1
*Equiualenciaesconocidatambiéncomoigualdad,Ñ.
56
s E c .2 - 6 OTRASOPERACIONESLOGICAS 57
tediooixdeconnl suCt eslaoindvsoaasmOuí mbn, rabelniosdoVlteo.aos.dlotanattsu"s"eá"fpvul."uontuiescosidmi ooeonncqseostusrmueeabdúnedonxilsvapp,ilodciTcrioraanspbesael uarxetcenf2ue-dtnp6reccesiislóóeonncsl ida.sdd9tteeiaJsgsfeocoíñmori amanbsdao:solusor eicdmsdoepirgllreaei t.saoLplReaos-sn' -
""io""s
1. Dos funcionesque producenuna constante0 ó 1'
2. Cuatro funcionescon operacionesunarias de complementoy tras-
ferencia.
3. Diez funciones con operadoresbinarios que definen ocho operacio-
nesdiferentesAND, ÓR, NINO, NOR, OR-exclusiva,equivalencia,
inhibición e imPlicación.
bdáfrlgi""nn"".c";alicrtó"iu";nafavl'plsacáqüiorunievmai dáecbpreralielasemf ubemxbnlreeicóiagnidróyuiesonaudeelpensvsutaotercrallaadaodsdermaf.aseeeDsrunierendtieaalgela_ouad-sha1eatlor aaólcdavhasu0éodn.svooaLadpearceeil aorfcnabnuoodlsnmemtocsaprib.óneuArntseebericdI,ntpaaoeaesmfrtruqriopoaunlussecef,nimeófdaornoeerfsnmnuqtc(nuaoiicpnneairh-yóeloia.n-sa-
trición e implicación) son usadospor los logistas,perofnuyfara vez se usan
en lógica dL computadores.Los óperadoresAND y OR se-han mencionado
conjuirtamente con el álgebra de Boole. Las otras cuatro funcionesse usan
mucho en el diseño de sistemasdigitales.
La función NOR es el complementode la función oR y su nornbrees
una contracciónde not-OR. De manerasimilar, NAND esel complemento
de AND y es una contracción de noü-AND. La OR-exclusiva,abreviado
XOR ó EbR es similar al OR peroexcluyela combinaciónde ambosx y y
igo"l u 1. La equivalencia es una función que es l,cuando las dos variables
es'decir,cuandoambasson ceroo ambasson 1. La OR-exclu-
.;;ig""I.., ¡"nción de equivalencia son complelrentarias entre sí. Esto puede
;i;;; la
spis-i-eoeár..lrulv"añ,-mtieuásrarieOfgaicc"Rbaom-rdmeeaoxpnfcálduelcuedmisloBmeiNvoneaootnaRletenes-t"eaFtaxilo.lcócilynuossm"ppii.vaoeafsPc,ecoeihrloasaendseadetqreáciufiairrinavoTiazdRaóleo-bnneellacnxaical2lfa-uu-e5snSs.icevFLicóanacnNyitóOdaneebT2sle.a-tq2adu,steidiveoavnsleeerfndudcanoid-as
operadore-sbinarios que nosotros hemos llamado AND y OR y el operador
udedipdtneioose-tarrüeBperteioprsOojoeb.rO'opNmNinciIeóOpaeeddlrdToieaoi,mdsplo(aeciabeesorf.nndaOtm"tótotprpérm.otler"esmsas,emttqieoneehursosinueostotbarospmidsee)ee.ersDrhaaonleaodnptlsolohbadprdeuseericedifsdmhiynoneoeaifc.risrsonLoeArmiOscaNh.ieszoaNDnoCnno,zneoaesdOnhrs,eccaRspeofyeaipnnyrnhtiaedoaaNlosdi"dnOoaaetapT.redhnoesuoddrepacr"unea,dicdc"otioooérir"turrNlre"m-noOulsiyn:nKáToúol".gpmsl.(oe"€dei-bdrterar)".oa'lt-
familiares y la genie los usa día a día para expres_airdeas lógicalr 49"-
son lo. postuiadosie Huntington reflejan la naturaleza doble del álgebra
;Á,
haciendo-énfasisen la simetría de * Y ' entre sí'
2 - 7 C O M P U E R T A SL O G I C A SD I G I T A L E S
como las funcionesde Boole se expresanen términos de operacionesAND,
oR y Nor, es más fácil llevar a cabouna función de Boole con esretipó
de compuertas.La posibilidad de construir compuertaspara las otras ope-
racioneslógicas es de interés práctico. Los factoresque van a ser valori-
zados cuando se considerala construcciónde otros iipos de compuertas
Iógicas son (1) la factibilidad y economíade producir la compuerra con
compuertasfísicas, (2) la posibilidad de expandir Ia compuertaa más de
dos entradas, (3) las propiedadesbásicasdel operadorbinario tales como
conmutatividad y asociatividady (a) la habilidad de la compuerrapara
Ilevar a cabo las funcionesde Boolepor sí solaso conjuntamentecon otras.
De las 16 funcionesdefinidas en la Tabra 2-6, dos son igualesa una
constantey las otras cuatro se repiten
funciones para ser consideradascomo dos veces.euedan solamentediez
candidatas pu.u lógi-
cas. Dos de ellas, la inhibición e implicaciónno son con"mo.urrtpa.trievratsaosa*-
ciativas y por tanto imprácticas de usar como compuertaslógicas norma-
lizadas;Las ot¡asocho:complemento,trasferencia,AñD, OR, ñAND, NOR,
oR-exclusiva y- equivalenciase usan como compuertasnormalizadár p"rá
el diseñodigital.
Los símbolosgráficosy las tablas de verdad de las ocho compuertas
se muestran en la Figura 2-5. Cada compuertatiene una o dos entradas
variables designadascomo r y y y una variable de salida binaria desig-
nada comoF. Los circuitos AND, oR e inversorfuerondefinidosen la Figü-
ra 1-6. El circuito inversorinvierte el sentidológicode una variablebinaiia
y producela función NoT o complemento.El círculopequeñoa la salida del
símbolográfico de un inversor implica un complemuntotagi"o. El símbolo
triángulo designapara sí solo un circuito sepárador(buffér). un circuito
separadorproduce la función de trasferenoa pero no produce ninguna
operaciónlógica particular ya que el valor binario de la salida es iguál al
valor binario de la entrada. Este circuito se usa solamentepara amplifi-
cación Ce señal de potencia y es equivalentea dos inversoresconectatlos
en cascada.
La función NAND esel complementode la función AND tal comose in-
dica por el símbolo gráfico que cons.isteen un símbolo gráfico AND seguido
de un pequeñocírculo.La función NoR esel complem"ito d" la funciói oR
y ylq un símbolo gráfico oR seguidode un pequeñocírculo. Las compuertas
NAND y NoR se usan mucho como compueriaslógicasnormalizadasy de
hl aescchooms opnu me rát as spNoApNu lDa r eysgNyo9R_ ! apsuceodmepn.c, eorni as.t rAuNi rDs eft oá Rc i.l
Ello se debea que
mentecon transi sto-
res y ademásporque las funcionesde Boole pueden llevarse a cabofácilmen-
te conellas.
La compuertaoR-exclusiva tiene un símbolográficosimilar al de la
compuerta oR exceptopor una línea curva adicional del lado de la entrada.
La equivalenciao compuertaNoR-exclusiva es el complementode la oR-
exclusivade la maneracomoindica un pequeñocírculo áel lado de la salida
del símbolográfico.
58
Nombre Símbolo Función Tabla de
gráfico algebraica verdad
AND x-----ñ )-F F:x./ 00 0
v -------l-|/ 0l 0
l0 0
OR i--1-\ ' F:x*v ll I
.Inversor " ->- F F:x', 0'|
0
F:x I
'l F
0lt
ll0
Separador ' --)-.
NAND x-----ñ. F_-F F:(xy)'
)'-----l-I/
NOR ¡ =-ñ. F:(x+y)' 00 I
, -----1I-/ > - - F 0l 0
l0 0
ll 0
oR-exclusiv¿ x --\1]- F F: ry' I x'/ 00 0
0l I
(xoR) v-+l-/ :x@Y l0 I
ll 0
ri
sivyxa-J-f-\l_L.J F : ry + x'y'
NoR - exc lu ' :xoy
o
-
equivalencia
Figura 2-5 Compuertaslógicasdigitales
59
6 0 A L G E B R AO E B O O L EY C O M P U E R T A SL O G I C A S CAP.2
E x p a n s i ó na e n t r a d a s m ú l t i p l e s
tspesLieeeulapnnesáatedlacg-:eroeeaemsbdxcroppaoruapdnenuemrdetBuiadrtosseameontailoveesamxttiypreúaanaldtnesiadponsilcree.esisnasetteila"vansatdrFm.Laoiaágdsssuaprsoradsópei2pe-irledbaaodcaosai opedenexenecrstasAe.prcapNaidc¿¡Daainó-sbiyn.aid-nouefaRnul ranii andcvei"qóeohunr-nespiooudrRreáayprsüerseenel_
**y:y+x conmutativo
y
(x + y) * z: , + (y * z): x * y * z asociativo
lo cual.indi_cgque las com pu ertasde en trada puedeninte r ca m bia r s ey que
la función OR puedeexten de rsea tres o más variables.
cNdraoeOcnniRtóeLinnxaunpssaoaefcnusmidnóoiocnrnsdi:oeiafnipsceaoasrcNauiaAnmtNiávpDososcdy,oee.sNdLodaoseRdeciinfsrit,corau(nrdlctaatodsgnsmei Jusslte)qa-ut*tiieevnail"els.;y-ie"-pn;s;á,ucrsu"ace"onrcmt"oa"pmquuoNeesr¡tñelaaiísvpoeupeeva--
(xly)It:f (" + y), + ,f,: (x r y)2,: xz,+ yz,
xl}!z):1" + (y + ,),1,= x,(t * z): x,yr x,z
Para vencer esta dificultad, se define u.nacompuerta NoR múltiple (ó
NAND) comouna oR complementada(ó AND). e"i, poi J"rirri"io'se tiene:
xlyl,z:(xty*z)'
xlylz : (ry2)'
atlLaedonesFe.ci.rgusueaímrndaabc2dou-eleo7lns.aAgtsarláceefoilscmcoc¡posiub.¡dreieerroctlatpaoses.rrpcasaocormiaodpneduleeespcmroatoarnéssNntdrtoaeeRrstlvirosepsaNune.Át"neñtrriio-oaprdiia"ct"rsolransrsecidamlaéduraseeesscseteruealedncneiec¡b-inae
l.rly) I r : (x *,r,) z,
Figura 2-6 Demostración de la no asociatividad del operador NO_O;
(xtry)l,z+ x(y!z)
I
'____ñ. x--ñ p- (.r.r'z)'
___- (.r r r,*:) I --{
I -----l-./ )o_ z ---L_./
z
(a) CompuertaNOR detres entradas (b) CompuertaNAND de tres entradas
A
B
C F = |(ABC)' ' (DE)'l' --ABC + DE
(c) Compuertas NAND en cascada
Figura 2-7 Compuertas NOR en cascada y de multi-entrada y compuertas NAND
cuito de la Figura 2-7(c).La función de Boolepara el circuito debeescribir-
SE ASí:
F :I(A B C )'(D E )'f:' ABC+ DE
tLdNtd"mdla"rria-eaiiuveoA¡¿aáa1ussbnNsdcssqrdLlseÉ-oeedD.ee¿a,in*fgoey1seip"stlnuvraldrsdain"rcascoeNpeqleddoasisuruóv"pOamsote.vnai.auecvnn,patrcsexia,'tiaauro"dpareli"teaemaNeOrbinverdn"blAp,""t"oles"acla"a.uNeirr"iiilsrsóue-aitisD"iQ.idynt^.S.ieüet.'L.",sR"rnne-airpáeíe-ycPuru"edn"ofcrO1unnoux-ebi.nacRos.acnu-"traeitil¿incn.-ooeuef.n"iaeurnrre*sónui3ncsnexioenettvcliú-cp*srxuedai6oemmirditsnócyeeá,Rneie4eenuvlsnt-bned-rnaiidtepót7oeeteoexeounyopcmsrcdrenesrs4oa.'leqeoueenn-rnEeumds8maússtnidoii'ravvfmuuteadiaardcmmelteoetlaeaecifeácareerresotnsiDásnicrrdpicie'tomtemerdoioescsaape,pMsopsu'-dada-Laobraaouideorarnrgn,rnoedudgdcenasucaeoauolosmcaolmnnedtussabnos'aneepnasosEt1ccuortfsnepasoriuesrcsuxotdmnr,'caiocptreaLcoapnclassiammmasuómin'ói'seenuguAdfunSrudenvuestdtdiniaaesaaínoaee'-s--sl-
F=Yoy@z
(a) Usando compuertas de dos entrad¿ 0 00 0
0 0l I
."zt --t{-\. >- t' = Y +.1'+ : 0 l0 I
0 tl 0
____# I
00 0
---H-/ 0
0l I
(b) Una compue¡tadetres entradas
l0
ll
(c) Tabla deverdad
Figura 2-8 Compuerta OR-exclusivade tres ent¡adas
6l
A L G E B R AD E E O O L EY C O M P U E R T A SL O G I C A S CAP.2
vsisL1duEmieea,ensrpnseatádtoaostanaoflrdbaurúe'selmnnlcuateccoinelmniiadnraónt,eornStucaeuveunduoslectaaaneRercnsadr-sirdióeaceooeonxodalrn4eacmelt-dlilrz9nucoiansao.scús(cimcrnvemuajaopesme"ruisdrrmóueoueingerartt.tuouslao¡m,ttaebd'aru"lsa.el.ena,eedJit"ernn1eaelt-iruos('noa"anodensd)orii.n-acsr"tCts"a*rdo"rsartedq*¿aedia";nlna.m;asd-.ssuiluoü;acer've,"onsn"aqsm"ierrit.cáirirnoavataát.abssr,elláeceensdasniFeralddcaúspaeiesasucFsteoeoriniangdmgtueuri"pgar;aruaudeleGaap2arlris_eteaa1egs._s.
2 - 8 F A M I L I A SD E C I R C U I T O SI N T E G R A D O S
L O G I C OD I G I T A L E S
phpltdnescsdicrEoaauiosiuueoigcl.pnreplccisloiactuórctecco.sLutmaligicibasiDaróaólidiíceeátrcNnsfneioouinsnsiad.csaAsdi-ittim.tacocpeenneNHodoopdsuágttacDersaimoéipsrgoniervarsrrlipidctacoldtóodsemiouuaupsoreugumecl,cuitisetroainorushcoyadpst,napeahaasdolmesudlabsaNobsele.eseépsáocdsacof_rdeeotssiocaRcgádtiri,minimEaorct.iónietaetsnonelantiintnclLnrtsrsrlaiceouóceauae-tpdidsirtgcsesasraoiouecuuéi,lcilsccdíóu.jmsniváoi.aocóe;iacr.atünué,mcn.eionsró;anai..nidppipninbaltdnr"uearvles"sadooae.r,aAreercappririfq.Sottidiadoopaceouameemerrisd.ebrceeestprcaillecnlsalareuueidiariear"ómemiccfersttnanaort"osq"ti¡ttnglind1lsraaó.ueli"u,aaa-iris.e"tnngrrálnr""lfiaieóte,h'*aao"re*ds1guulam.uágo-"i.n.ncnc,err.inorr.oac"aard-.i"miimacd"á's.lloerccioddbrp.e"saursc"rcirusedegnsreiulteioiasizddetiygotrtosaaienoisutj,tiadolcfanleliseaoiailclarsqnódbelcaefcugteeuscauencoeiqneomiccgtntunmrlnooirosilórea-oaass_--s_,_
TTL Lógica de transistores (transistor-transistor logic)
ECL
MOS Lógica de acoplamientode emisor (emitter-coupledlogic)
S e m i c o n d u c t o rd e óxido de metal ( m e t a l - o x i d es e m i c o n -
ductor)
cMos s emiconduct orde óxi do de metal comple m e n t a r i o( c o m -
plementary metal_o xidesemicon ductor)
I:L Lógica de inyección integrada (integrated_injection logic)
ftspcqmraeuaóumeirnrrtnaeeioiElLct_iprsealaaesrreq-lnaibalzTsuonsáaeeTptáfsearnLelirrimmctusreaaaieaiqtcslqcpinsiuoeaduiuioneneeeelnleóredrreegoCeseunsdisqtarncoaeóucpaaslfiitíaeermcatlculrriitsáurielardcotsinsateubo1evpnias3t.eeosoaj.xelpoi.toEdtrucececal"laniiao"didpltscrne.dai.aiásic.eLud¿rdutat,o.nemLc"i rciooEcooqfim.utodCsu¡nsepe¿MLc".oJpe;ión;oAi.os;cs;en;qtdo;;áne;ule;s;;.tsfír;i;-eea,-d-ssnm"i"ye"gc;iil-ltaliisaaamdi"rlsraeiiCttz"sfaecaaMurymodmárOnoa"eirSlslcesia,aorcqensdfrouineóinemseglcuceúrdiisucecrnea__a__-
s E C .2 - 8 F A M I L I A SD E C I R C U I T O SI N T E G R A D O SL O G I C OD I G I T A L E S 6 3 l
;ssfptcinp;qpseaunnixrii:ounúuueasóe'sstitnioeemtemeertta"unecooanárrDtgdlsacetpAg"aiierraeedleoafanrreuaaslllsonagaabinndgasdepaqccdudlsSdiae;op_osrdua"oanoetSleLsf.ajcopdoeapallonsElooiSIprfuLrsdsorsasplMplmacsoLraSansu"srrietodlrppi,rOoiuleIípL,gl.lnuc(imucllpidspayoSaauaa'ue""uu"eprirsimiotsrt;ed""adt-qinteot;oo';;iiJ;ude"i]a'';hnit"eá;l"á;"e';Inii";aábfd;ir;'-ntJ;'ftbttit*ncit;lJ";e*etl;'uSa*;*lteo;tel-";¿ec"iá'ts;-Stt'qgáp;;su5ci.st;g.;ápI"rriueaa;o'¿oaeña;e.'dssttme"d.or*;Litenreüo;ooti3,tueláimcealpclam'atálIropid"orooaptic'tndualoag"trdnaiiUeteoetnSatad:eliriaultn_esniepel1e9spfltmt1tccanatuccs"'rdtTfii.iq^telcae"y"ea,r'2ant.stiaTüdicna"npitnótae"ll.*u".toupaLeitnoxtetátienaltp,ittl.Tl6oisf1eo"asnl'dul-sBl6"rntsa2psesleitneáaflúCc's)pneidodoaniadiqm'beareLrasuiFo"pc"muLntfer:yt:siisutevnadttu[gt:ratuaaa1"io"sosdreutnt9dnscsoMieesanprladt'o"y-puaslstnpeetoflSmr9'srttp1Laqsats'2áitISlvabnpeparurdl-epvae"saeo-s9cesansatt.rdcen'iñilsct'Ssstppl:iraineloCfueceoolaaSaidltnpcayedaaturmleItidaaoaddmnosdl.eslenredLaspcsaalaqerlolleaSaoaseauucunncscjsmsIsisneeeeirstiFvtrtrccaemnpercearceciuao'gu^oustuunnlpninaa-uymnnetiiteluotntlea-oreassrooal--a-ls'-elf n c r r c u l .
tsd7dnGtdu-2Nietf;riSneetits*uueg'eon_4soxN".oJtninonrn;pg0aecns5R";Dmlcl"aa;o(0lgteacEopiuvisbfLvcui;n,órolm7fnt"aleosd)aiosoisisnmó4;mbapirleeo4dlsorevttna0tllapca¿nian0oui,e2aerp0conirultIj"ie*sr,sp1aoeae,eei2sreuc.rsZNr0"ídnno¿c".rpura"t*fr?E¿1"oottru.O.tu"¿"aiuar4*a""0OtrC,¡vnair2atrn,os"i0tp2i.Jraacd¿z.*L.-i-srv"0r)e"utÑ'9eii"ar&";"'tal.u*ióÑtit?;*^a"''li*i(sÁ"ipicuJ;inim"niiia"il?i{;;..'".fl"u'N'jta";óñr)*'iir;'Ñaipe;'-."lt(iirnridÑbOó;.iJtl'r"t.lg"ro"iu'fui)eá"'t'ár..t***cir".inoistno""iciñ".ah.a'i""-rrt"ooldut"d;1r"rivÁir;á-eraa'ytoqooárdJo-q"m-do¿asul"Jd"t.I2ut-róai¿"t""tbaiaTenogaoo.ef"ro"guo,ajl9iTics"iepoteiag"".lu'l"sb"LaaeLncoeaetngaüdrr.".citf.ds*rur.ialriraurtecaoitie"e"ca-di"r¿5se"a.at¿"-p1cnciuE¿1"-ope"i.osnlu"cu";rnii"íolg4".;¿_;tt''t"iio5."r;"tÑdio"atn"0.;ióu"eitoel1'0aÑlis.*2'tá0ádno.s-si0iui"i^üJTor00te"vtrov;1ii9tlLs"?'islTon."u0nr"z9tlae'pLlg"m"""E2it"t-ysc"e"toaimiu+v9Coitncéogdr"eviceo"svsiutetinLretóro""noinsl'salecn"tm"garc_t-nma.lius'ld,perse.oq.orcuitytuoptcrnsn-uomoccr9yEtudsuaetedaegRoom{1"mpileoltrteenttne,mirai,rourúe.:?seaeecset:lsteúnndciaen4r1(qonesegcpuerpemssmt0u0nninsticanElainmai4e'aeentaecaeo0tdctávc'nerucrcendrrmL0ooLi9Fnocdeeitgaentoa0móapeViaonrtndtsgnpcn'rnauedsot"uLseoeoouuonitpdeo-eeneeamtlcrmursolorsrennariacotmeassrmprvlentaeFcivaen2rroucTétrsnola¿diiscqr-ocangilerTOaned9rat6dutuiuadaurcrcLdrae('eigtRiealojirutIcaaeyaesece-eoaas--s)isr,sst--'ea
a tierra.
r vcc
t4 13
vcc
t4 13
23456 7 34s67
740<t-Seisinverso¡es
Tie¡ra Tierra
7400-Cuatro compuertasNAND dedosentradas
CompuertasTTL
vccz vccz
16 t5 tó 15
vcct 8l
vre vcct NC Vte
10102-cuatro compuertasNoR dedosentradas 10107-Tres compuertasoR_exclusiva,/NoR
(b) CompuertasECL
voo NC NC
t4 13 16 13 12
123456.7 34567 zss
NC l/ss voo
4002-Dos compuertasNOR de 4 entradas 4050-Seis separadores
(c) CompuertasCMOS
Figura 2-9 Algunas compuertastípicas en circuitos integradoa
Lógica PositivaY negativa
La señal binaria a la entrada ó salida de cada compuerta puedetener uno
sdbdlp2baeioe_aadnsda1rjotoas0ovacaia.cpsuogllóolovnnnogpmdasarireielccvoidonsiraaéó¿rcdllrrnoeóiiepsrgs(dvsiltio,ed,iec".oneor*ut¿wgob.sno""u,le;".ipi;ri".rá;"otñ";"""oo;f';ñ;á"ü;;,-t.;"-;A-'.;duO;f;yta*ibáaá";;l:d".iao","-lrdi;"rn;gre"nt"nsqetaaólidue.lp1toa.eei-ovÁntrseealr.áeata-llss.dnoa"us.e.ltsell*-rgáiñsío"ecr.eaái,iypgñlróaaabanienleliarqnndü'asnEuaeualelracndvBisaotaoaióiagemsllmfsneonuvoia,erognaHddnscnloauetiaqrórsnu(aceunaHdnisieóniadaldganstueseehdearenl)seróclñ'eydgallañaaiimfcealeFarblllróe'aiiengogpDniulivodrtcereeeseaa-sl-.
Valor Valor Valor Valor
lógico señal lógico señal
0
(a) Lógica Positiva (b) Lógica negativa
Figura 2-1O Asignaciónde amplitud de señal v tipo de lógica
EFdñLqládeldea"iouis.onegssJs-ecssruu;tnpoiéa*.dL"rtdi;urgv"érsaaerermieeeir^_"sgft2mld.;ireitenndin-oheari1aleoom(nonlb0ctnn,ojoiar)ia(ino"sfv"aaus,a(lriep")aíI,nvtp"{"lop¿esc),í.oas,-ol.ip-aiT"o¿luá"Vo,itiminJ*-eo-¿i.i;"rü"nüieipá¿."i".H;il;tsiielá.ui;'";irdo-t.o"r?yuápi-f;gs";dIarÉi-?ái;enrt;l;ágae;.aa"s*e;;tij"tliil;-t.og;aee;t+r;.ici-earls"li"(a;u""sTpt_.Litti;aer'nu)i.;rveliiooyólp;assse";-nsaesneeedr.nonnrddadelóí-t.eeaseajtgtarffoálriieitlaacdnnnraeaasmsaeelesslaiTfó1guieadIesdnaganslmade"eobiualtsceñspcsiloadclaiaiaouislsirseaaóillatltosea2deneldmóscr-emImdod7ia'ogdaealsesamoiyanocecdasddlpeaoioelreocrdiqss1csairleeuluroótt.óivcauelimsltuagunnaoilalsciuióiossctdmatloegroarasiessainbsnpdcestdtaeiroañvednaalsssoagó0et_aeseilrlgtteteuenasgaiitucnssuiñdrjlnIleoaaa.aaoaaooss-r;'s-
Tabla 2'7 Niveles HyL en las familias de CI lógicos
Tipo defamilia Voltaje de Nivel alto de.'/oltaje(v) Nivel bajo devoltaje (V)
tuente (V) Rango TíPico
de CI
TTL Vcc= 5 2,4- 5 3,5 0 - 0,4 0,2
ECL V¿¿: -5'2 -1,9- -1,6 -1,8
CMOS -0,95- -0,7 -0,8
Voo:3-I0
Voo Vpo 0-0,5 0
lógica0
Iógica1
66 ALGEBRDAEBooLEY coMPUERTLAosGIcAs cAP,2
vCdctneelioóMeeiMllslgnqtcOtsOiieriuoTcersoSdeoscTrcousLscdsopsdieotoemvuionguntaeoidipseflvdtooruaauoneersnlemleneeftcdevassuáviernoi'ósesaereElanetnlscgaonr¿ccotajríuoieempeatcnnisplisavúcvoat,donuoíoc,raspemoaseletgiflr""dcacetau""o;ojnamJ¡t;esmei;t:"váie¿looa.i.Ára"-s9un,r_""¡,¡-ihiLirvi.idiü:auiie"ir.-uy-il.,g¿i'i,nsiau".o:.,i-rl-rlsátrnttooi"r"_rovo1.ao-so,inc"."l¡,átg"o;liviá"*""oonío.Jr-r"sd"¿H-oi^uáey.-u":rei ,:".vLnbáiraVo:."lr0'e'r.oñioñ"",lnt,ir2,áoreyarrds.rnsdueLrvge;e":o"rro0c.qaorvodtuo.imsedoeltevtíepsaa3poñ.ujspialEecaetuelioCqrmoes1tueLsaani5es_.sr
ffi',-"X;i:l S,f:"ffll"dá"'-;;'j" üri*'*,i ",f ] negatisveain-j27gsa-í4um10rd1ab0eD(2o.beeE-l)o9ss.lLspp' Taldeuóóicégatmisafigcidbecroelasaaslmecudoaiáoseonnadrtveedeeessro"jirbeesod.mprmalo"pdp.uilulaeoaár"s,nálu;t;trnrher-a"aa"blemld¡;n.;eiá;e".ll"aln.at-etp.oFuc,i"osgdi.nemutet"repahlaguar2eccas_reoedtImaIon(mssedpdmuc.ueeeeloEsscrsttasitrarrrtacdaoiouadejeiudontsosasptreeiiaenfnnictceFillafaagii¡gcrhuaaFleoordia-l-so
Tabla de ve¡dad en (b) Diagrama de blooue
té¡minosdeHyL. de la compuerta
( c ) Tabla de verdad x---ñ
para la lógica
positiva; /__l F____: _1. '
H:T,L:0. (d) Símbolográficopara la
compuertaNAND de
lógicapositiva.
(e) Tabladeverdad ( f ) Símbolográficopara
delógicanegativa
L:r,H:0. ra compuertaNOR
de lógicanegativa.
Figura 2-11 Demostración de lógica positiva y lógica negativa
sEC.2-8 F A M I L I A SD E C I R C U I T O SI N T E G R A D O LSO G I C OD I G I T A L E S 6 7
comportamiento físico de la compuerta con H con un valor típico de 3'5
volt iosyLde0,2volt i o s.Estac o mcopmupeuret artfaíNsOi cRa pdueep ednedf iuenncdiodoenlaaracsoimg-o
una c o m p u e r t aN A N D ó comoun a
nbHtliea"aaon^:cltñFofiIíiLóAiasEgganhiiuyrcrFdoárartaeLrif"agia-cc:lb2u0,oaozl-rc.na5_aPpo,-L"ond1rsZn:l"se1e1a-fif1rdr1.vi.e¿,éyd(oe.ce;¡rrarr;ueeoiid:d.i-ós.n-al'.r-e.oosud-*Emicñnmsdeiaiqrteuia"luleaa.atIuerasralttaibsatagabelFnaá.llitaaNágloqscAuqetidrNó-u.aetnreD-eddv2sc"ee-edo1r"uelhnd1.ón"aoa(gltacócudia)cgeccdaaqiootcasáupnmapubeoltmpplaasarouesidetsedioptlivraóteprtiaevgabrveasaNilceaveAasrseindaeNdsptamateDmoadlesav'umcnieetoEtiforsevumdIsta'nratpsacrcduíaiomedóedrnenr-at-
pNctEmcmraaolaoiersdmdRpanmoaeotuareasqNnpduyacd,eOeeoesscpRñmpaoaooelmprtlianarddueipdraaeeiuirnsdrqeoetigana."gru.ddttif""álai,iá,si;.;-.-\i-Ñ,clñnei',;aO;eo"."-;e;inpiri:aa*;n*uñ¿t"ite";v"rt.duaaiilleqói.d"fg-auEl*óins¡clgrcaed.uisincesonaetnoeéágtaJsdtenará"ti"lebtgeoiipusvi".nctiájattiaodausttda"mideuc.odiamosa¿aeesduNunyaóadeAelrsssrÑdliqaetgDdreulvniaiedpaéeáadgoanseerldl.llaaEateIdrmeósliFirdgssiamgiiaíegcemndinrasnaraebcprandnaoooluo2'mlsnlorA-ai1tpdgissin1vleríeeda'(sátflniaeaf)'o-i'-ac o
emplear.
erogdgtIceheaisRaiuebnugllaltlrer-biaoliotceaDvdsiaeixaiicmónlesFnreceunaoemdiilssgnanuñeismaucnuscoseparnsdiu"savovudaoea"aáds"on.o2rlo"laiyqrar-iderd,9ruudsnolása"aisrpeitoeem*uae,e-i,;srpirlit;m,"i".*iie;,"il"a!;;Jtrai*u'"ñ;'J;m.-"e.s;;erI;i"Ñi"i,;uiis"lm"*le"ii1i.a"t;uiÑirsibd"¿s"*al."pou"nDcl"doooic"es"qgmo""iep"í"tnlb"apore"nltpsute"lurele.an"daisrr*rvf1oldtegi¡sNaa'oa.ÑmsiossicAmlfoe-oouAicoNdtbssrn"oaNseeDoramltlDclqfroiulputadóeisNereuiyralglráróioiecemrdrrtOláráuoceósitisfRassegnaniaecesi.asecñNonolooolc-aos.estOaueerdgidnAoeNsnResaeeslatleogtrglgylirmóeaovuRai¡gososNniétldnciaiusoctvcAeIcosmasasiNlrdliuc'ppdcóeoDLoiusroiglrsseaóme.isitpeesgcioEpthaeñmliaisutcvunrnaripaeaadbstideáaor'mniihogetsdnsseaarairto-e-ies-ae-tssi v a
duecoienntartaslrameaLfdadauedaanncosrctoáe.iVóneunvslnemaadrtuiisdsoaiaópml,sneodr"áeair.e'cli""óis.ógtu"ni¡lJcq¡t"a^ua-dppede"oocesqarittmuaitvo.eb-adtiaoaoD-smuleónlbaogoisridsceotaalednarcmueqegalurnaloeadtsileeevysasl atycadfe-uveorinopcuescenraivaaóecunprinsóo' Eaonla'seIprrsrieedoenasdsduuIeaclnas-e-
tadode".t""orrro"r.iórr". quetodas r a;;s o p edr.abc" i oolnveidsa.rAeNl Dinscelucior nevli einrdt ei-n a
operacioneson v-ri.-L;;""r.". Ad"-á", gráfi"céos cuando se asume lógica ne-
cádor de polaridad i;;
símbolos
*ppl aueo"rqrueuÉsee,li ñpoopetcerr ooíqr,ucsuesr gliñonos. qretrrrrirtác"i enatngdéeuopls'od"e"inefqencurtueeaenrntueetnpasar,eqptsuooeer*npsttlaauen-u"itnnot ti'teai nrpcpduiróieecndat aedcnoitór.irenednmeeespnplodaelizaffeear ricrdetsaoneedst elsI.iumun9nio-l
68 ALGEBRADE EooLE Y CoMPUERTASLOGfCAS cAp. 2
círculo seguidopor un triángulo, tal c.oT9 en la Figura 2-ll(f), representa
una complementaciónseguidade un indicador de polaridad de lóeica ne_
gativa. Los dos se cancelan entre sí y puedenquitarse. pero si se-quitan
ambos, las entradasy salidas de la compuerta representaránpolaridades
diferentes.
C ar a c t e r í s t i c a se s p e c i a l e s
cdcmaLoainasermasitáprlpoiacpzascarariirónmamandrecláoartdsoeseerlfilímapascmostipridocicpleariuratrosia,stdpno{eleitóeedggdsleoaai 1csdlqaaaeusfseadcddmoeeesmiCopleipnrIaso.ustpebeavsrdgat-eapal ubaccaári Iódásnomi clysóéay-"gt*r¿iuocec.sogopc"ma"dr.,diupgáaidtrtfaeraarldmeerougsisilodisausoeo.s. naLcSroolfeousms.eprpxp' aoapl rrrrlaráai _i ,-n
pdpesmcccpelldnml,aariueasaoasoeboeasipernntrn.lreslssgoáeediemteeoaaaznliatcexs?dnrncallpat"ciaiiiosrlatfocdddóal-arasiubdoincascoaanrerdmmra"aeogdsduaeaddfladm.aaineddicsecneEsadsdaiepaqipstncsldsoleearfaudueoaiútiegteosnaneaertlmnacppanaesecroopdscotearenovtcarcoamuardclrcemeeoeauL<lme.sirizpligmfnasípaad¡ediaúulpc.ddulaao.elcnaeaoaeecsnesnolemgrddaaaorfemtmcllrteeaaulaeaseoicopsnrindsnpsgsnacpciudú-aatnmeuaaenooeeeemrcmadctdupmrarmmmiiaetadtetafiaapfr.niaeracaracarcEosuliannlodsaamssiesddcorfetniufdrctriamraeausclleenteauaircoadnaciácgiltlacmocdutataéamaooadbif.ner¡oprEa.rmsedaemáagnruemlaeiAsxioec"iaenecl.ni"ilfsiInmmrltlnaadc.oairnttoatneuanaaaeioóasepyxtá-dcgridaneron"ccoduamegi.ese*utae"manuoddeac."tnddceri"yee"per*etdáei"ireaidllrusr.stdia-riicáscaJmuciesalteuqqejrmolucear"áimliutlutem"dtp-aaedaeo"neudaao.enpedspú".,elpcrestul,.,oaamed"Lauelhecrssrriare,edsuJaeregecrgstdtrerrciiualaeuogtcrrea,hqascy-c.ocLamma"oaulauoaengápcsdeááiresnelsctc"eraexxcooltcci.iinreseiiaÁoqtaeqtmmaoénarnrJniudxudtgr-rooaeataa-ea_e-eaar I
i
cLnd_aooopssdaLeeacassmidsaimparcrldpiaofaliplicdlfaaiaicccrdaeiioodnxnrapeladarselesndssdfoeiuoenanifncceavicsnoqei-onuronseeuoastrdrmedeeseiseuEonllbattesoocnpeleoape.mranSarpeuaeunddleaoecrstbacsaesoedtomeeúdbnp.ee"eu"nrcecamrtofrauugnc*casohsindopseescursouamabirddrisnaeaecidcssuao.tarrdagnera- .
ddncprcoreeeuaeoopppldarmresrprotrlepDereaoaosupseidrseeuefnevulin-enapreertdcttdaacnaaueciceotseIeeoiahsiósnpmsadtlnatepaebeapduoed-upoprprqeEecaoodumrnlrdpteteáceaueopmitn.crarotoe.eEcheddurpinostoeaenrrcstsaeoredilstoclnciooeipsdrIosteniiaaeupstCrcslaiiaántoiIoldgldm.canasnailseuaópppitydpuiroooneoaaattrtetd-epsrlencgoaooencarreacicedpanodlixaoáamosupstu.óenrupcmeonyomussmcmieniai,inrsáprpitesrtiauus.esntseretumarperrmmadttoaxaadatiiieg.len.aiEsivanEirsnancálltaelitraaidacnousseedúscnudsamolmeaa(msdebmraiferipesuaowtutnoepoe)eqntatimraeurtrtaye-álaaa
s.r c.l,oRnedt aer dpor odger apmr oapcai óg andcei óunneas el tiempo promedio de demora en la tran-
señal de la entrada a la salida, cuan dolas
SEC.2.8 F A M I L I A SD E C I R C U I f O SI N T E G R A D O SL O G I C OD I G I T A L E S 6 9
scEeiseñtreataliencstbaeinrnvtaiadrlaoiadsdedceatimetimbeimpaonpodseepadvraeafloinpre'roLtp"a;a;slg; "sie."ñ alesen una compuertatoman
a" las entradas a la salida'
demora de propaga"tul 9:'11
compuerta.EstaúltimaSeexpresaennanoseconds(ns).UnnseSlgu'al
to;t"rt".1;1!l'o,r" dlv^ipe'a'sn"jle*qiaa"frrnisoi-reot"cicndaoraeáemdd¿lptae"ousm'eod"ooerpet*rnauapots"rá"pta""t"etid"-frtupa'attis"ocLidp¿óueu""n-"geou"'"usrnct-a'"iiutmócitntiproycdoteraere¡ntli'lattl.ordacneesitrdeclpdia'gurescioitatmapeodlaonadgrtariacagasocidltadimaaósesnl-
"
salidas pasan po' "
propagaciónu t."u¿"t"
del circuito' cu"nál
puerta debetener,ri"
debe tener ,r. .tt-ut
tcttanscerlca"nies.sñbasaosrtiliilrt"imsúvauuneóaei"anórm^nleLlmd¡ysñitnliñniiqd.rd¿úlsldlteeeeaeaaae"ruodaimsaEñnnelnTdrml:dreneeda(:leniooeteasinDleu3pdv:lvssrrtr;docdcflaelledyleoCouu:tófiooileelrp;amcel:titdrng)aaesdnai5sccrinoceailpdbsioumliecuoc"lm:icsraoeornna"eac'ispldiucctHó*srsneri,unbo(teuv"tAccg"raV"iat."lnelituiitreiut"dttdTác;n"rc)-iiasolt?i?rvl"c"ieioitoi"g;ud;.t':i;oeJyui"."ostmsióTip'a-s'"dl"s#ti;"H;elA;tadt;ea,"pó;rt;"Jlorlspai;-;e"alii-r¿uuáge;riJs'l'oimp;y¿;t;á*egm"áip;sáliecdpri'uuhpriáaaadeiropcreatdg.eoccnts"r'síaa.sunr,ositaeoti^etsaei,-de.s"rmrap"r,nrs,noteestu"aA'oerptedto.otrxaiiepynáléautr¿pqemic*,"adIec"l*no"uomalletutaoLae"rcuoauseulra,¡ytaárcl"spevtri-a"-nrrousr"tindsci¿"sccouüovt"aertr'^i;oi*odsu"ooíratJneágeiiraiocam.tiÁ"*áo-dme"ulttect;r-uápldo't;¡auusinpipoa"tteoiut.lde'céJ.tsádirunju.nAtootatc;eor'"ou"elqs"tqm.oisnp":sdeLnó'er"udtELsí"aetdti:eain"uq,lneaueva*:olñgeucnuuoded'idsTlpsaaidntomaenrrleelu:oleccapr¿nccuqa^na"ed{luddmveaolais.u"raatrvTdeciiJeelremmradógtoe1eeaoaobl9dld--erd-orbpl,:cmdsetnaal:eouuvene^gcq^iui.aqoesicódtópdmnirt.pdeoaddsu"rrcndequciiaortecgoeauneeindo1eaetrcóridrradndxloatncleqralouolnyvauaastedtaarsaumeieqaodalddmcdsesiededdrndrueldmeecepotsnoacaeeeoeeainpeaupóbaopplslrsspmoj'murlberaenirsmopeeeeoteeeoLnlorraracredcrepeatnspdpaúirñrnaaoom'ieeaaxnpatueambpeutcneap.glhegrdseeisoEdrinseaed-laróaarraeereanra-elsl--ee-n---r-
tolerada Por una compuerta'
Característicasde las familias de Cl lógicos
Emtv.TmLa"alaT"ubocflcLlqrioaTharL."rcTlaae"dduLstSaseicv.tloeiotpSfsumra"brscgt"omp¡iah.opí"uuiodsalunegitoagiret,"cuüas,sio;"ooJcS;i;fdiue"ióoiTret"n;in";i;.li;lp"ttaó;[ree'unf*anrap.;oodmrlr"eqomigsustl"auitaee.v"a,lr"nai"l"*'z"ócrlt"ltaoua¿utg"tdritatiiiie"a*áaict"vs""e-fa.puodssdue"seeqeecnlirlidTaaniorseeusTn,tpn'n'aoLtbrfvunavieamaaamtstrsurceeilieameilcraoisareanec'nesonvnoeneltlmsdooa-qreglscupadíieoóauCeThnmeraIaeadbrpsldtelóiapaaugglrNcrna2ioacea-Agocfn8carNsiil'eóamóE'DsnLnsidao.ltd.ieHdaasPe-oaa.yr a
j
--á
r
Tabla 2-8 Características de familias de CI lógicos
Familia de Fan-out D i s i p a c i ó nd e Demorade
CI lógico
potenciaen (mW) Margende
propagación(ns) ruido (V)
TTL normalizada l0 l0 l0 0,4
TTL Schoftky l0 22 J 0,4
TTL Schottkyde
bajapotencia 20 2 l0 0,4
ECL 25 25 2 o9
CMOS 50 0,t 25 3
encia'potLa
*i::.i-demodreapropagaci¿;l"J11
versión.T Tr . Schottk y fdret"b,a,"jaiup.oEtesnracúialrsiamcrairfiiceanaelrgqumnaicv_e_o
11"1'.i" á' p""ü;:
de05, ns.Laais[áciond;;";;;;l';";i'ir;-t";#lTtr,i"ilhl,iflfJ.iT"H':HÍi:"J:,ilT,?;,d*Beo,oeseea2"jpIio0s"0oo1.ctnpEeei1eelns,rrámco"tai"'aar#bsEariacgüfvose"e'tnf"nar1i3dsn:ii;ctóT:"e;irJ*iod:edsrXnde;c,elün?.as.ico"L"rit.""dat-":l'a"v"mii,t.E,iá1"fi.fi.,"riOÉJ"ua".,n"ó:rf:"-r:_roi:o0.u-p'_,"dt4oaVn.l","-;",";,nrc;;";"op;iun,;"-;uáui;;"in;;r,;;;i1vo;ra"nJl'uiopiN"rnrngrato,.Ífa,pcaniiónncu.nLo-ono.dra.mueevttráaldgeVnre,in._,z2áota0aiud.jtaa
.;: i?":ri.T ""."::Ll:i"",,,1.,1ttdcmroleuedeissranEuvstlelealbaanscaslticjtarafacoajaudmymlietpsiemoruusia¡oecm¿srroastvasai".rcesdegxorl"sear;-uxrn¿f"¿onaep-.mcrú;ür;riu;lótviiiiaóé--añor;on;*o'iburñ;r.l"","*;uoái^"or.rLi,'c.naolr.tv.po"eas.n,rpiúatrearlstc"jci.iatmso"oeltna"oes?semlpiarrdea'sc"ocs,dusirraéáa"plmdpiaseirádáelsompc.spvMue.eeerorrodoossec,saniodcepnaoseudnssdnsuaea-r
ü"'iff"i::,";o¡,Tff;;:?*,3;Ím*, " o* _u,,;""iaiio" "".,.t¿ii.u,p.o*"áiu lo rV iJwr. curndo la señal':t]",i^YoS es,despreciabv.l,e ;;;
havu.nadisipaciápn.i.;d;;"; ai.,i.'rr;ir#T.tilf JT'ri?.*,iilrriisnucoctc:iiosiputspóe;metai:nr'crilpoL'lLao:eu'aEa"cldetiLstoercmdtatrnroiiaroaslecadcsiyspueMiodgdaimrteovricosrosdiióaieerfepianrsclsatdtdaaav-cáee.euqi.pónetvu^pgerrxeepo'aenpld..tonj.odue;a,copeedn;i.á;d"nseecig¿u";aisá;;uerld.iap;.-."l..ui-sr'';áuiEiá;iioa";orcci;i.'¿or;int;""rtif--"racifi.pioio""i"euisaururvvoe¿seu"sa-"lore.rri.asiltmarutd.o"ausemeoasd^"n-re-"e-o1,-un'nr.a"ei",fairiur;.nuos;árn;"td.;l;c""ar;;e--o4;";u..l;rm0"trl"var"ri."porzbiut.lqdta*peauedor;edeteredseavrdereaupspercqvrnlaqMoosouru¡pvulaioeteadamasrslgóri.oeieaea_lrn_
R E F ER E N C I A S
t #a':' G'' An Inuestígatioonf theLawsof Thought.Nuevayork: Doverpub..
70
PROBLEMAS7I
2- . S h a n n o n , C . E . , " A S y m b o l i c A n a - l y s i s o f R e l a y a n d S w i t c h i n g C i r c u i t s " ' T r a n s '
if tn" AIEE, vol. 57 (1938),713-23'
"3 . Huntingt o n,E .V . ,..se tsof 5l n(d1e9p0e4 )n'2d8e8n-3t .0P9o' s t u l a t e s f o r t h e A l g e b r a o f L o g i c ' ' '
iiá"t.Árn. Ma th' Soc', Vol'
4. Birkhofl G., y T. C. Bartee,Modern AppliedAlgebra' Nueva York: McGraw-
Hill BookCo., 1970.
5. Birkhoff, G., y S. Maclane, A Surueyof Modern Algebra'3a' ed' Nueva York:
The Macmillan Co.,1965'
6 . H o h n , F . 8 . , A p p l i e dB o o l e a nA l g e h r a2' a ' e d ' N u e v aY o r k : T h e M a c m i l l a n C o ' '
1966.
?.Whitesitt,J.E.,BooleanAlgebraanditsApplications,Reading,Mass.:Addi.
son-WesleYPub. Co', 1961'
S.TheTTLDataBoohforDesignEngineers,DaIIas,Texas:Texaslnstruments
Inc.,1976.
g.MECLIntegratedCircuitsDataBooh.Phoenix,Ariz.:MotorolaSemiconduc-
tor Products,Inc.' 1972'
1- 0 . R CA Solí dSt ate Da taBookSe trej eDsi vl C' ' O1 9s7/ M4 ' O s D i g i t a t l n t e g r a t e d C i r c u i t ' .
S om eruil l eN, ' J.: RC A SolidSta
PROBLEMAS
¿C uál de las seis ley es básicas ( c o n ¡unt ocerrado a sociativ a, conmutativa, -
áe ide ntidad, inve rsa y distributi v a ) son cumplida s Por el Pa r de oPerado
ies bir.,arioslistadosa continuación?
.10 | 2
2-2.Demuestrequeelconjuntodelostreselementosl0'1'2lylosdosopera-
dores b i na rios + ydel ama ner ad e fin i daen ldaet al obsl apaons tt uelraidoors, ndoecHounnsttinl -g t o n
tuyen e l ál gebr J ¿"' S ""it' Etl uU tt "u cuál
no se cumple.
2-S.Demuestrepormediodetablasdeverdadlavalidezdelossiguientesteo-
remas del álgebra de Boole'
2-4. ( a t L a s l e Y e sa s o c i a t i v a s '
(b) Los teoremas de De Morgan para tres variables'
(c) La ley distributiva de * sobre "
Repita el Problema 2-3 usando ios diagramas de Venn'
2-S.simplifiquelassiguientesfuncionesdeBoolealmenornúmerodeliterales.
(d) zx + zx'Y
@) xy + ry'
(e) (l + B)'(A' + B')'
(b) (x + Y)(¡ + Y')
(f) Y(wz'I wz)* ry
(c) ryz * x'Y 1 ryz'
72 A L G E B RDA E B O O L EY C O M P U E R T AL OS G I C A S CAP.2 I
2-6. Refuzga-las siguientes expresionesde Boole al número I
tado al frent ede cadauna áe ellas. I
de literales solici_
I
I
(a)ABC + A,B,C + A,BC + ABC, + A,B,C, a cinco literales
(b) BC + AC' + AB + BCD a cuatro literales
(c) [(CD| + A], + A + CD + AB a tres literales
(d) (A + C + DXA + C + D')(A + C' + D)(A + B') a cuatro literales
Encuentreel complementode las s i g urie n t e s f u n c i o n e s de Boole y redúzcalas
al mínimo númerode literales.
'(a) (BC' + A'D)(AB, + CD,)
.(b) B'D + A'BC' + ACD + A'BC
(c) I@B)'AI[@B),Bl
@)¿n'+ C'D'
2-8. Dadasdos funcionesde BooleF, y Fr:
(a) Demuestre ^q uela fun cf ui ónnc ido en ÁB ocool en t!i:e n eFi:"* F2,
.uiu
función OR a las dos obtenidaal aplicar la
mínimosen F, y F, . J. to¿o, los términos
(b) D e m u e s t r e - q u el a función de B oole.G:F¡F2, obt e nidaal a
función AND a las dos funcionesl contieneto. t¿r-i'o. mínimos
a ambasFt ! F, plicar la
comunes
2-9. Obtengala tabla de verdadde la siguientefunción:
F:xl+ry,+y,z
2 10' Ex'rese funciones de Boole simplificadas del problema
ulas
2-6 con compuer_
2-ll. Dada la función de Boole:
F=x!*x,y,*y,z
(a) Expréselacon compuertasAND, OR y NOT.
(b) Expreselacon compuertasOR y NOT solamente.
(c) Expréselacon compuertasAND y NOT solamente.
2-12' simplifique las funciones?r J ?, al mínimo númerode riterales.
00 r0
00 l0
0l t0
0t 0l
IO 0t
t0 0l
tl 0l
ll 0t
2-13. d9 .-¡*tfé1r.m. . .i las siguientesf u nc i o nesen suma de términos mínimosy
n o sm á x i m o s .
producto
(a) F(A,B, C, D): D(A,+ B) + B,D
O) F(r, x,y, z) - y,z I wxy,+ wxz,* w,x,z
P F O B L E M A S 73
(c) F(A,B, C,D) = (' rAi '+ B' + cCX+AD! 'lX'XBA+ + C' + D')
*
t + c' + D')
(d) F(A, B, C) = (A' + B)(B' + C)
(e) F(r, Y, z) : I
(fl F(x, Y, z) - (ry + z)(Y + xz)
2.L4.Conviertalassigrrientesexpresionesalaotraforma:
= )(l' 3' 7 )
(a ) F(x,Y, z) '6 ' 1 1 '1 3t'4 )
, D):> (0' 2
a ,tn, B ,c
(c) F(x, Y, z) : II(0' 3' 6' 7) 3' 4' 6' t2)
(d) F(A, B, C' D) : Ír(0' I' 2'
¿Cuál es Ia dif'erenciaentre la forma canónicay I" 'f9t11 normalizada?¿Cuál
2-15. ó.Iarormap'"'riu''iJ' '" un¿o1':Hl;ji ¡ll,"m"l"i:'ff "l:'""1" iJT;;;.t;Cuál ós la forma que se obtrel
""iü, ,a. ;::*a
de rodoslos términos mínimosde una función de Boolede n varia-
bleses 1' aunanptreorcioerdaimfiriemnatocipóanrapaurnaanp:ruóe' ba general'
(a) Pruebe l
(b) Sugiera
2-|7'Elproductodetodoslostérminos-á*i.o.deunafuncióndeBooleden
variables es 0'
l;]:ü:n'ilTü,üf:f'i"':"""111,:"""1g"-i3¡;'Á\-¿l'-r"
DPdeeomrfipnsuriuedisnsattcisrteeiupqnciuioóleani 'eTtld'a¿debiu"llaaai ilr2fd¿u-e6inalcdadieóeomnsRupd-eeeusx,éBtcrtloeduqotsul-iev;e;ae:"qüeutsilviagapuleáanrl ttaees(aubl)acdosemfluPpnlrecomiobenl enetsmob'ainza-rrioa:s
2-1g.
2-19.
(a)Losoperadoresdeinhibicióneimplicaciónnosonniconmutativosnl
,r, ilJt:il:ilres oR_exclusivyadeequivalencsiaonconmutativovsaso-
ciativos'
U((vcdon))raíLEacoldosoemopl*pea'ru"saáedoerottn"arttNrmaAdaNNayODsoRsrniosyontaeNl:.sAta:DNlsDeoc":rniia;"oitt;ris;tv;ooo"ni'"didsitgriibtau¡ltuicvr'oiuásya' a,ssearliád0a'
2-20' es l si Ia ma-
Por m edio de
¿¿L22-2'21'2!uut.EsEannrvdilafaaaisqtcleaSuúonebemeI-dIl:paalreaud"rT-eiéetga'TitvubaerLlmaarvdaYd2iya"-elo8udynt(e.iqctEem'ga)d'nroE'i"acaFa.duvgd:dAeaoee.n,Ir3Olamt^r"alzeti,eilc-t;,e""o-jnád'xmn"tt"@ñeptP' "lael.YaisrS¿ts@atiO'oimdlzcRleph'at-l.oei^sBfcxit-qooci:u!moiXell:b"elliainllltafeÍuOc"vni";oaci3nXidóeeanfsndaf'teirciarla'idlba1os'ylciszo;-'n
Hill'"lT¿nji*:f,*í,US;:.i;';::*Sl¡jl'."i'il;;;st-iiladeesteestilo si t";;i;;; tt-tigoit"t" tipo de compuertas?
(a) CompuertasOR-exclusivasde 2 entradas'
(b) ComPuertasAND de 3 entradas'
{
74 ALGEERADE EOOLEY COMPUERTALSOGICAS
(c) CompuertasNAND de 4 entradas. cAP.2
(d) CompuertasNOR d" 5;;;d;,
(e) CompuertasNAND ,";;;;".
224u";i";-,,,"#'üiirJiliJlllic; ornpue2-23.
D e m u e s t r eq uenI n á corrpüerta AND de lógica positiva es una compuertaoR
d" ló;i;;';.üc
$j"i,lx..":ñffi:.ñtHtilitt",",""..#fri1puertasseparada
Simplificación de :ffi
funciones de Boole
3 - 1 E L M E T O D OD E L M A P A
La complejidad de las compuertas lógicas digitales con que se llevan a ca-
bo las f.,.t.iott"t de Boole se relacionan directamente con la complejidad
de la expresión algebraica de la cual se desprende la función. Aunque la
,epre.enfación de la tabla de verdad de una función única, puede apare-
.ui du muchas formas diferentes. Las funciones de Boole pueden ser sim-
plificadas por medios algebraicos de la manera vista en la Sección 2-4'
Sin embargo el procedimiento de minimización es un tanto raro ya que
carece de ieglas específicaspara predecir cada paso sucesivo en el proce-
so de manipulación. El método del mapa presenta un procedimiento simple
y directo para minimizar las funciones de Boole. Este método puede ser
iratado no solamente en la forma pictórica de una tabla de verdad, sino
como una extensión del diagrama de Venn. El método del mapa, propues-
to primero por Veitch (1) y modificado ligeramente por Karnaugh (2), se
comó el "diagrama de Veitch" o el "mapa de Karnaugh"'
"orroE""l mapa es un diagrama, hecho de cuadros. cada cuadro representa
un término mínimo. como cualquier función de Boole puede ser expresada
como una suma de términos mínimos, se desprende que dicha función, se
reconoce gráficamente en el mapa a partir del área encerrada por aque-
llos cuadros cuyos términos mínimos se incluyen en la función. De hecho,
el mapa presenta un diagrama visual de todas las formas posibles en que
una función en la forma normalizada. Al reconocer
puede .ui
varios patr"o*npet.s.u, deal usuario puede derivar expresiones algebraicas alter-
,ru. puü la misma función de las cuales se puede escoger la más simple.
Se aiume que la expresión algebraica más simple es cualquiera en una
suma de prtductos o producto de sumas que tiene el mínimo número de
Iiterales. (Esta expresión no es necesariamente única.)
3 - 2 M A P A SD E D O S Y T R E SV A R I A B L E S
un mapade dos variablesse muestraen la Figura3-1.on Jt hay.cuatro
términós mínimos para dos variables, es decir que el mapa consiste en
75
",*,1",'-r Mapdae*. ,ll]"0*.
cuatro cuadrados, uno para cada término mínimo. El mapa que se dibuja
de nuevo en (b) sirve para demostrar la relación entre los cuadrados y
las dos variables. Los ceros y unos marcados para cada fila y columna
designan los valores r y y respectivamente. Nótese que la r aparece til-
dada en la fila 0 y no tildada en la fila 1. De manera similar,-l,aparece
tildada en la columna 0 y no tildada en la columna 1.
Si se marcan los cuadrados cuyos términos mínimos pertenecen a una
función dada, el mapa de dos variables se convierte en otro método útil
para representar una cualquiera de las 16 funciones de Boole de dos va-
riables. como ejemplo, la función Íy se muestra en la Figura B-2(a). como
ry es igual & zl3, S€ coloca un 1 dentro del cuadrado que pertenece a ÍLz.
De manera similar, la función rf y se representa en el mapa de la Figura
3-2(b) por medio de tres cuadrados marcados con unos. Estos cuadrados
se escogende los términos minimos de la función:
x * y : x'y t xy' * xy : m, I mr* m,
Los tres cuadrados pudieron haberse determinado de la intersección de
la variable ¡ en Ia segunda fila y la variable y en Ia segunda columna, lo
cual cubre el área perteneciente a r o y.
(a) .ry (b) ¡ * y
Figura 3-2 Representaciónde las funcionesen un mapa
En la Figura 3-3 se ilustra un mapa de tres variables.Hay ocho tér-
minos mínimos para las tres va¡iables.EI mapa por tanto consisteen ocho
cuadrados.Nóteseque los términos mínimos se arreglan, no en secuencia
binaria sino en una secuenciasimilar al códigoreflejaáolistado en la Tabla
l-4. La característicade esta secuenciaes que solamenteun bit cambia
de 1 a 0 o de 0 a 1, en la secuenciadel listado. El mapa dibujadoen la parte
(b) se marca con los números de cada fila o cada iolumná para mostrar
la relación entre los cuadradosde las tres va¡iables.por ejemplo,el cua-
drado asignadoa m, correspondea la fila 1 y columna 01. óuando se con-
76
i m m m m2
0 I 3
)m a m - m 1 m .
o
L=-Y-
(a) /hr
Figura 3-3 Mapa de tres variables
catenan estos dos números darán el número binario 101, cuyo equivalente
decimai es 5. Qtra manera de mirar el cuadrado ñs: x!,2 es considerar
que está en la fila marcada r y en la columna que petieneceay'z (columna
01). Nótese_que hay cuatro cuadrados donde cada variable ei igual a 1 y
cuatro donde cada una es igual a 0. La variable aparece ,,o tildud"
aquellos cuatro cuadrados donde sea igual a 1 y tiláada en aquellos q"une
sea igual a 0. Por conveniencia, se escribe la variable usando un símbólo
de letra que abarca aquellos cuatro cuadrados donde la primera no esté
tildada.
Para entender la utilidad del mapa en la simplificación de funciones
de Boole, se debe reconocer la propiedad básica que tienen los cuadrados
adyacentes. cualquier par de cuadrados adyacenles en el mapa difieren
por una va¡iable tildada en un cuadrado y no tildada en el otro. por ejem-
plo, m, y m, están en dós cuadrados adyacentes. La variable y está til-
dada en m5 y no tildada en m7, mientras que las otras dos uaiiable, ,o.,
iguales en ambos cuadrados. A partir de los postulados del álgebra de Boole,
se desprende que la suma de los términos mínimos en cuadiados adyacen-
tes pueden ser simplificados a un simple término AND consistente en dos
literales. Para aclarar lo anterior, considérese la suma de dos cuadraáás
adyacentes tales como m5 y m7i
m s - l m ¡ : x J ' ' z+ x y z - x z ( y ' * y ) : x z
Aquí los dos cuadrados difieren en la variable y, que puede ser removida
cuando se forme la suma de los términos mínimos. Así, a cualquier par de
té¡minos mínimos en cuadrados adyacentes a los cuales se le aplica la fun-
ción oR se les causará la remoción de la variable diferente. El siguiente
ejemplo explica el procedimiento para minimizar una función de Boóle con
un mapa.
EJEMPLO 3-I.. Simplificar la función de Boole:
F: x,yz * x,yz,* ry,z, * ry,2
Primero, se marca un 1 en cada cuadradocuando sea necesario
para representarla función de la manera mostrada en la Figura
3-4' Esto puedelograrsede dos maneras:convirtiendo cada térmi-
no a un número binario para luego marcar 1 en el cuadradocorres-
77
)'
lr- 'A-
0 t-- -_Ll
1
trt , r'l
tr l ¡
+
Figura 3-4 MapadelEjemplo3-1;r'-r'+z r'l'z'+ xJ-'z+' xJ-'2:r''\'+'x'\''
pondienteu obteniendoIa coincidenciade las variablesen cada
iérmino. Por ejemplo, el término x'7,2tiene su correspondiente
011 y representael término mínimo m3 en el cua-
númerobinario segunda forma de reconocerel cuadrado es por
drado 011. La
coincidenciade las variablesx" y y z, las cualesse encuentranen
el mapa observandoque f' pertenecea los cuatro cuadradosde la
primera fila, y pertenecea los cuatro cuadradosde las dos colum-
nas de la derlcña y z pertenecea los cuatro cuadradosde las dos
columnas del medio. El área que pertenecea los tres literales es
el cuadradode la primera fila y la tercera columna. De igual ma-
nera, los otros tres cuadradosque pertenecena la función F se
marcan con un 1 en el mapa. Se representaasí la función en el
área que Contienecuatro cuadrados,cada uno marcado con un
1, de la manera mostrada en la Figura 3-4. El siguientepasoes
subdividir el área dada en cuadradosadyacentes.Estos se indi-
can en el mapa por medio de dos rectángulos,cada uno contenien-
do dos ,rno.. Ei rectángulo superior derecho representael área
encerradawr x'y; el inferior izquierdoel área encerradapor fy'.
La suma de estosdos términos dará Ia respuesta:
F: x'y * xy'
Seguidamenteconsidéreselos dos cuadradosmarcadosmo y m2 en
la Figura3-3(a)o x'y'z'y x'yz' en la Figura3-3(b).Estosdostérminosmíni-
mos lambién difieren un ,r.tu variable y y su suma puedeser simplificada
a una expresiónde dos literales:
x'y'z'+x'yz':x'z'
En consecuencias, e puedemodificar la definición de los cuadradosadya-
para inclúir este y otros casossrmilares.Esto se logra consideran-
d""onteulrmapa como un dibújo en una superficiedonde los bordesizquierdoy
derechoJe tocan entre sí para formar cuadradosadyacentes'
EJEMPLO 3-2; Simplificar la función de Boole:
F: x'yzi xy'z'* ryz * ryz'
El mapa de esta función se muestra en Ia Figura 3-5. Hay cuatro
marcadoscon 1, para cada uno de los términos míni-
",rad.ado.
78
sEc.3-2 M A P A S D E D O S Y T R E SV A R I A B L E S
mos de la función. Dos cuadrados adyacentes se combinan en la
tercera columna para dar un término de dos literales yz. Los dos
cuadrados restantes con 1, son adyacentes por la nueva defini-
ción y se muestran en dos cuadrados que cuando se combinan
darán un término de dos literales xz'. La función simplificada será:
I f: yz * xz,
I
tl v a y
00
i
0 ¡
x t |, -it l_1_.1l r
)t
I
+J
Figura 3-5 Mapadel Ejemplo3-2;x'12+ ¡.r''z+' xJ'z+ r.t'l,: \.2+ xz,
Considérese ahora cualquier combinación de cuatro cuadrados adya-
centes en el mapa de tres variables. Una combinación como ésta representa
la aplicación de la función OR de cuatro términos mínimos adyacentes y que
resulta en una expresión de un literal solamente. Por ejemplo, Ia suma de
cuatro términos mínimos adyacentes trl6, trL2, lrlq y ffia, se reduce al
solo literal z' como se muestra a continuación:
x'y'z'* x'yz'* xy'z'* x!z': x'z'(y'+y) + xz'(y'* y)
: x'z' + xz' : z'(x'* xl: z'
EJEMPLO 3-3.. Simplificar la función de Boole:
F: A'C + A'B + AB'C + BC
EI mapapara simplificar estafunción se muestraen la Figura 3-6.
Algunos de los términos de la función tienen menosde tres lite-
rales y son representadosen el mapa por más de un cuadrado.
Así, para encontrar los cuadrados correspondientesa A'C se
forma la coincidenciade A' (primera fila) y C (dos columnasdel
i medio) y se obtienen los cuadrados001 y 011. Nótese que al en-
I marcar los unos con cuadradoses posible encontrar un uno ya
IA
I0
I
A ltl
C
Figura 3-6 Mapa del Ejemplo 3-3 A'C + A'B + AB'C + BC : C + A,B
80 S I M P L I F I C A C I ODNE F U N C I O N E SD E B O O L E CAP. 3
colocado en el término anterior. En este ejemplo, el segundotér-
mino A'B tiene unos en los cuadrados011 y 010,pero el cuadrado
011 es común al primer término A' C y solamentecontieneun uno.
La función de esteejemplotiene cinco términos mínimos,comose
indica por los cinco cuadradosmarcadoscon un 1. Se simplifica
combinandocuatro cuadradosdel centro para dar el literal C. El
cuadradorestante marcadocon 1 en 010se combina con un cua-
drado adyacenteque ya ha sido usado una vez. Esto es permisi-
ble y aun deseableya que la combinación de los dos cuadradosda
el término A'B mientras que el término mínimo sencillo represen-
tado por el cuadradoda el término A'BC'de 3 variables.La función
simplificadaes:
F:C+A,B
EJEMPLO 3-4: Simplifiquese la función de Boole:
F(r, y, z) : )(0, 2,4,5,6)
Aquí se han dado los términos mínimos por medio de números
decimales. Los cuadrados correspondientesse marcan con unos
de la manera mostrada en la Figura 3-7. Del mapa se obtiene la
función simplificada:
F:z'*ry'
v7 J
0I
' ( ' , -t--'-TI Lr
1l r
t
Figura 3-7 l(x, y, z) : X0, 2,4,5,6) : z' * U'
3 - 3 M A P A D E C U A T R O V A R I A B L E S\ .
El mapa para las funciones de Boole de cuatro variables binarias se mues-
tra en Ia Figrrra3-8. En (a) se listan los 16 términos mínimos y los cua-
drados asignadosa cada uno. En (b) se redibuja el mapa para demostrar
la relación con las cuatro variables. Las columnas y las filas se enumeran
en la secuenciadel código reflejado con un dígito que cambia de valor en-
tre dos columnas o filas adyacentes. El término mínimo correspondiente
a cada cuadrado puede obtenersepor la concatenación del número de la
fila con el número de la columna. Así, los númerosen la tercera fila (11)y
la segunda columna (01) una vez concatenados,dan el número binario
1101,equivalentebinario al decimal 13. Por tanto, el cuadradoen la terce-
ra fila y la segundacolumna representael término mínimo m 13.
;t
)
I t 0l ll l0
ml m" ^z w'x'y':,' w'x'y'z v)'x'y: w ' x ' \
t, -t
m a m 5 m 1 m -o \9'.xya w'.ryz' I
w.ry: rrxyl
m 12 m 15 ^14 "t01 tt'xy' a w'xy'i
l3 II I wxy'a' w-r)'rl
m8 mg mrl n' lo I t'y': wx't'z wf'yz v'.r'yi'
( a ) (b.)
Figura 3-8 Mapadecuatrovariables
La minimización,por medio del mapa,de una función de Boolede cua-
tro variables,es similar al método usadopara minimizar funcionesde tres
variables. Los cuadrados adyacentesse definen como cuadrados cercanos
entre sí. Además,se considerael mapa que yace en una superficiecon los
bordes superior e inferior y los bordes izquierdo y derechotocándoseentre
sí para formar cuadradosadyacentes.Por ejemplo, fro y m, forman cua-
drados adyacentesde la misma forma que m3 y mt. La combinaciónde
cuadradosadyacentes,útil durante el procesode simplificación, se deter-
mina fácilmentepor inspeccióndel mapa de cuatro variables:
Un cuadrado representaun término mínimo, dando un término de
cuatro literales.
Dos cuadradosadyacentesrepresentanun término de tres literales.
Cuatro cuadrados adyacentes representan un término de dos lite-
rales.
Ocho cuadradosadyacentesrepresentanun término de un literal.
Dieciséis cuadradosadyacentesrepresentanla función igual a 1.
Ninguna otra combinación de cuadradospueden simplificar la función.
Los siguientes ejemplos muestran el procedimiento usado para simplifi-
car las funciones de Boole de cuatro variables.
EJEMPLO 3-5; Simplifiquese la función de Boole:
F(w, x, !, z\ : >(0, l, 2, 4, 5, 6,8,9, 12,13,14)
Como la función tiene cuatro variables,se debeusar un mapa de
cuatro variables. Los términos mínimos listados en la suma se
marcan con unos en el mapa de la Figura 3-9. Ocho cuadrados
adyacentes marcados con unos pueden combinarse para formar
un término literal y'. Los restantestres unos a la derechano pue-
den combinarseentre sí para dar un término simplificado. Deben
combinarse como dos o cuatro cuadrados advacentes.Entre ma-
81
ü
I
FS=--
rI tIr
0l 1t L'
t_.1
II
Figura 3-9 Mapa del Ejemplo 3-5;F (u, x, z):
>(0, 1,2, 4, 5, 6, 8, 9, t2, t3, 14): y' + w'z' * xz'
yor sea el número de cuadrados combinados, menor será el número
de literales en el término. En esteejemplo,los dosunos superiores
a la derechase combinan con los dos unos superioresa la izquier-
da para dar el término u'z'. Nótesequees permisibleusarel mismo
cuadrado más de una vez. Queda entoncesun cuadradomarcado
con 1en la tercerafila y cuarta columna(cuadrado1110).En vez
de tomar este cuadradosolo (lo cual dará un término de cuatro
Iiterales) se combina con cuadradosya usados para formar una
área de cuatro cuadrados.Estos cuadradoscomprendenlas dos
filas del medio y las dos columnas de los extremospara dar el
término xz'. La funciónsimplificadaes:
F : l , * w , z ,* x z ,
EJEMPLO 3-6: Simplificar la función de Boole:
F: A'B'C' + B'CD' + A'BCD'+ AB'C'
El área,en el mapa, cubierta por esta función consisteen los cua-
drados marcadoscon unos en la Figura 3-10. Esta función tiene
cuatro variables y como se ha expresadoconsisteen tres térmi-
nos' cada uno con tres literales y un término de cuatro literales.
Cada término de tres literales se representaen el mapa por dos
cuadrados.Por ejemplo, A'B' C' se representapor los cuadrados
0000y 0001.La función puedesimplificarseen el mapa tomando
los unos de las cuatro esquinaspara formar el término 8,D,. Esto
es posible porque estos cuatro cuadradosson adyacentescuando
el mapa se dibuja en una superficiecon los bordessuperiore in-
ferior, izquierdo y derecho tocándoseentre sí. Los dos unos de
mano izquierdaen la fila superiorse combinan con los dos unos
en la fila inferior para dar el término B'C' . EI 1 restantepuede
combinarseen una área de dos cuadradospara dar el término
A' C'D'. La funciónsimplificadaes:
82
lr"
D fi
F i g u r a 3 - l O M a p a d e l E j e m p l o3 - 6 ;A ' B ' C ' + B , C D ' + A , B C D , + A B , C ,
rj
: B'D, + B,C,+ A,CD,
I
3 - 4 M A P A S D E C I N C O Y S E I S V A R I A B L ES ' /
f
Los mapas de más de cuatro variables no son simples de usar. El número
I
de cuadrados se hace muy grande y la geometría de combinar cuadrados
adyacentes se complica. El número de cuadrados es siempre igual al nú- I
rnero de términos mínimos. Para mapas de cinco variables se necesitan
32 cuadrados y para seis variables se necesitan 64 cuadrados. Mapas de i'fli
siete variables en adelante necesitan muchos cuadrados y son muy im-
prácticos de usar. En las Figuras 3-11 y 3-12 se muestran los mapas para ;.:l
cinco y seis variables respectivamente. Las columnas y filas se numeran
ü
de la misma forma que la secuencia del código reflejado. El término mínimo
asignado a cada cuadrado se lee de esos números. De esta manera el cua- .u
drado en la tercera fila (11) y la segunda columna (001) en el mapa para
il
c i n c o v a r i a b l e s s e n u m e r a 1 1 0 0 1y e s e q u i v a l e n t e a l d e c i m a l 2 5 . P o r t a n t o ,
{q
este cuadrado representael término mínimo m2r. El símbolo de letra de
cada variable se marca abarcando aquellos cuadrados donde el valor del ¡.
bit correspondiente al número del código reflejado es 1. Por ejemplo, en
1?
CDE I 3) 2 ll I
B E
6 '7 ) 4
0 Ftü
8 9 ll l0 t 4 l 5 l - t t2 I
30 3l 29 28
^T:' 22 2 3 2 l 20 I
l l 24 25 2 7 2 6
tl 0 l 6 t 7 l 9 t 8 ¡
D I¡
Figura 3-11 Mapa de cinco variables fr
83 I
-/¡
frr
DEF 110 lti 101 100
ABC 000 00r 0l I 010 6 ,7 54
000 0 32
001 8 9 u t0 l4 l5 l3 l2 I
\C
0lt a1 l 5 27 2 6 30 JI 29 i6
'c
0 1 0 l 6 1 7 t 9 1 8 22 l.t 2l 20
l l 0 48 49 5 l 50 54 ) f 5 3 52
l l l )t) 57 59 58 o¿ 63 61 60
r01 40 4 l 43 / 1 46 Á 1 45 44
100 1 Z )-) 3 5 3 4 3 8 39 37 -to
FF
Figura 3-12 Mapa de seis variables
el mapa de cinco variables, la variable A es un 1 en las últimas dos filas
y B es un 1 en las dos filas del medio. Los números reflejados en las colum-
nas muestran la variable C con un 1 en las cuatro columnas de la extrema
derecha, la variable D con un 1 en las cuatro columnas del medio y los unos
para la variable E, no adyacentes físicamente,,se dividen en dos partes. La
asigrración de las variables en un mapa de seis variables se determina de
manera similar.
La definición de los cuadrados adyacentes para los mapas de las Fi-
guras 3-11 y 3-12 deben modificarse de nuevo para tener en consideración
el hecho de que algunas variables están divididas en dos partes. Debe
pensarse que el mapa de cinco variables consiste en dos mapas de cuatro
variables y el mapa de seis variables consiste en cuatro mapas de cuatro
variables. Cada uno de estos mapas de cuatro variables se reconocen por
las líneas dobles en el centr¿ riel mapa; cada uno de ellos conserva la cer-
canía definida cuando se toma individualmente. Además, la línea doble
del centro debe ser considerada como el centro de un libro con cada mitad
del mapa como una página. Cuando se cierra el libro, los dos cuadrados
adyacentes coinciden uno sobre el otro. En otras palabras, Ia línea doble
del centro actúa como un espejo ya que cada cuadrado es adyacente, no
solamente con sus cuatro cuadrados vecinos, sino con su imagen de es-
pejo. Por ejemplo, el término mínimo 31 en el mapa de 5 variables es ad-
yacente a los términos mínimos 30, 15, 29,23 y 27. El mismo término mínimo
en el mapa de seis variables es adyacente a todos esos términos mínimos
más el término mínimo 63.
84
Tabla 3-l La relación entre el número de cuadrados adyacentesy el número 1p
de literales en el término
iF
IF
li
Número Número de literales de un término en un
de mapa de n variables
cuadrados
adyacentes
2k n - 2 n : 3 n : 4 n : 5 n = 6 n : 7
0I 1 4567
I2 I 2345ó
24 0 I 2345
58 0I2 4
4 l6 0 I 2J
5 32 0I 2
6g 0I
- Por inspeccióny teniendo en cuenta la nueva definición de cuadrados
adya c€ntes,es posi ble mostrar que cualquier
para ft:O,1,2, ..., en un mapade n varia 2h cuadrados adyacentes
para un términ n, b l e sr,e p r e s e n t aunn a á r e a
o de n-& literales. para que la afirmaóión ant erior tenga
algun significado,n debeser mayor que fr. cuando n:h el área total d"el
mapase combinapara dar una función de identidad. La Tabla B-1muestra
la relación entre el número de cuadradosadyacentesy el número de lite-
rales en el término. Por ejemplo,ocho cuadradosadyácentesse combinan
en-una área del mapa de cinco variablespara dar un término de dos lite-
rales.
EJEMPLO 3-Z: Simplificar la funciónde Boole:
F ( A ,B , C ,D , E ) : > ( 0 ,2 , 4 , 6 , 9 ,l l , 1 3 ,1 5 , 1 7 , 2 1 , 2 5 , 2 7 , 2 9 , 3 1 )
l-a El mapa de cinco variables de esta función, se muestra en
Figura 3-13. cada término mínimo se convierte a un número
binario equivalente y los unos se marcan en sus cuaclradosco-
rrespondientes.Es necesarioahora encontrar combinacionesde
cuadrados adyacentes que resulten en la mayor área posible.
Los cuatro cuad¡adosen el centro del mapa de la mitad áerecha
se reflejan a través de la línea doble y se combinan con los cuatro
cuadradosen el centro del
ocho cuadrados adyacente mapa de la mitad izquierda,-ptaérramdinaor
spermisibles equivalentesal
BE. Los dos unos en la fila inferior son el ieflejo entre sí con res-
pecto a la línea del centro. combinándolos con los otros dos cua-
d¡ados adyacentes,se obtiene el término AD,E. Los cuatro unos
e-n la fila superior son todos adyacentesy pueden ser combina-
dosparadar el término A'B'E'. La funciónsimplificadaes:
F: BE + AD,E + A,B,E,
85
\-D
E
Figura 3-13 Mapadel EjemploB-7F; (A,B, C,D, E) :
> ( 0 , 2 , 4ó, , 9 ,l l , 1 3 ,1 5 ,1 7 , 2 t , 2 5 , 2 t , 2 9 , 3 t )
= BE+ AD,E+ A,B,E,
3 - 5 S I M P L I F I C A C I ODNE U N P R O D U C T OD E S U M A S
paLenatqseuErfeiuloñnrpaecmrsioofocnudeeeidsrfoiidcmneaieceBixnóoptnooresrpeesamaprdaiunaeoismdebentiezoanlbadetearfounsrne,mda¡ eeaflruidpvneracodsidóuaunmscdamteoialn¿"miempa'*iiproznaa¿udeu.an".toelosns. ejemplos
con una
producto
emtgdvmfmB*iusaeeeeoainmcnnnFnopcí:eeo'etlao"i.eerósqdsua..p"neicEmnLlraoinoaozdlnrícnanlsetaeocedinscmuxumuoefoenpoadnotprorrdeadsolenesreensasdrjDmsceaeyidepóoemdleornlsleosnecapMsenctonplioomoadfmocrdu.ordeoeppgnmd-omdlFraciuseeaf'ebniicórmcnidtcl.neaoa,eaal.uldsdodnrtLaeápsotrpoo.rdsdsncdrosueoepuedmpltoancuéuircudueacrnoeramdsutaamovd.aniLdondroapfaouluoesslaseán.ssímdmofcbsoemu,eiáibeólnajístno;.ncáaeiótrciitunótóm"-ra;"d;in-spd;or;"e;;Friors;d"sar.lreqe"ina"u"D".r'op,-tá"lfeaáaá.uli"ib's"n,dn.li"coodcnfmrausisotuóuno,rainc'ctdsluoittoeoarmerssanosdoeáeredersrnetanseetiosdécumcdbItoarniaoe-ar-s-
en EJEMPI,-O B-8; Simplificar la siguiente función de Boole
(a) suma de productosy (b) productó de sumas.
F(A, B, C,D) : >(0, l. 2,5,g,9, l0)
ppdcdLroooooonrsssdtclcuuaooecnnsnrtotootoséussrnmd:rmeoeapisnnrrocoseatessadenmoonebsítlnt.aeeicnmnnol odeomsrlsápmtdléueearnmmplaaaei nfndfuoutenosndclcmaieióóíF"Fnn.ii..mg*icL,uoooorspmastnibcBnoui_.na"1iaánd4nucri aedl udporior.dlerososmssseucaenumrnrcaaaaFdndtdroaoye__s
(a) F: B'D' + B,C,+ A,C,D
B6
C E
to- '
t-,-]CD -lr
00 I
/B - !9-- e.l
;l F l f
0 0I F
I'r--+ in
l._0 l 0 OI IE $t
:¡j
il
I.
^\ i] I3.1
ID
F i g u r a 3 - 1 4 M a p a d e l E j e m p l o3 ' 8 ; F ( A ' B ' C , D \ :
>(0,l, 2,5,8,9, l0) : B'D' + B'C' + A'C' D
: (A' + B'XIC'+ D')<B'+ D)
si se combinan los cuadradosmarcadoscon ceros,como se mues-
tra err el diagrama, se obtiene la siguiente función simplificada
de complemento:
F,: AB + CD + BD,
Aplicando el teoremade De Morgan (sacándoleel dual y comple-
mentando cada literal de la manera descrita en la Sección2-4),
se obtieneuna función simplificada en productode sumas:
(b) r:(A'+ B')(C'+ D')(B'+ D)
La ejecuciónde las expresionessimplificadasobtenidasen el Ejemplo
3-8 se muestran en la Figura 3-15. La expresiónde la suma de productos
se ejecuta en (a) con un grupo de compuertasAND una para cada término
ANb. Las salidas de IaJ compuertasAND se conectana las entradasde
una compuertaoR. La misma función se ejecutaen (b) en la forma de pro-
ducto de sumascon un grupode compuertasOR, una para cadatérmino OR'
Las salidas de las compuertasOR se conectana la$ entradasde una com-
puerta AND sencilla. En cada casose asumeque las variablesde entrada
il"gutt en forma de complementode tal maneraque no se necesitaninverso-
tu"l El patrón de configuración establecidoen la Figura 3-15es la forma ge-
neral por medio de la cual se ejecuta cualquier función de Boole.Unavez
en una de las formas normalizadas las compuertasAND se co-
"n*epc."t.aándaa una compuertaOR en el casode suma de productos;las compuer-
tas OR se conectana una sola compuertaAND en el casode productode
sumas. Cualquiera de las dos configuracionesforman dos niveles de com-
puertas. Así, la ejecuciónde una función en la forma normalizadase dice
que es una ejecuciónde dos niveles.
El Ejemplo 3-8 muestra el procedimientopara obtener la simplifica-
ción del producto de sumas cuando la función se expresaoriginalmente
en la suma de términos mínimos de la forma canónica.El procedimiento
es válido cuando la función se expresaoriginalmente en el producto de
87
- A'
B' B'
D'
,;,
D
( a ) F - . . . 8 ' D-' B ' C ': A ' C ' D lhr F - tA' I B't t(" t l) ¡t.[] Dt
Figura 3-15 Ejecucióncon compuertasde la función del Ejemplo 3-8
Tabla 3-2 Tabla de verdadde la función F
términos máximos de Ia forma canónica. Cónsidéresepor ejemplo Ia tabla
de verdad que define la función F en la Tabla 3-2. En suma de términos
mínimos esta función se expresaasí:
F(*,y,z) : )(1, 3,4,6)
Como productode términos máximos se expresaasí:
F(r,y,z): fI(0,2,5,7)
En otras palabras los unos de Ia función representanlos términos míni-
mos y los cerosrepresentanlos términos máximos. El mapa de esta función
se dibuja en la Figura 3-16. Se puedesimplificar esta función marcando
y? 0l I'
I
00 0
0I
I
00
f
11l
I
1
Figura 3-16 Mapa de la función de la Tabla 3-2
88
sEc.3-6 E J E C U C I O NC O N N A N D Y N O R 8 9
primero los unos para cada término mínimo en que la función sea 1. Los
cuadradosrestantesse marcan como ceros.Si por otra parte se da inicial-
mente el productode términos máximos se puedecomenzarmarcandoceros
en aquellos cuadradosque comprendeIa función; los cuadradosrestantes
se marcan con unos. Una vez que se hayan marcadolos unos y los ceros,
la función puedeser simplificada en cualquierade las dos formas norma-
lizadas. Para la suma de productosse combinan los unos para obtener:
F: x'z * xz'
Para el producto de sumasse combinan los cerospara obtener la función
simplificadadel complemento:
F': xz * x'z'
lo cual muestraque la función oR-exclusivaesel complementode la función
de equivalencia(Sección2-6). Tomandoel complementode F'se obtiene
la función simplificadaen productode sumas:
p : (x,.* z')(x+ z)
Para colocaruna función expresadaen producto de sumas en el mapa, se
saca el complementode la función y de ella se buscan los cuadradosque
se van a marcar con ceros.Por ejemplo,Ia función:
F: (A' + B, + C)(B+ O)
puedecolocarseen el mapa obteniendoprimero su complemento:
F,: ABC,+ B,D,
para luego marcar con ceros los cuadradosque representanlos términos
mínimos de F'. Los cuadradosrestantesse marcan con unos.
3 - 6 E J E C U C I O NC O N N A N D Y N O R
Los circuitos digitales se construyen más frecuentementecon compuertas
NAND y NOR que con compuertasAND y OR. Las compuertasNAND y
NOR son más fácilesde fabricar con compuertaselectrónicasy son las com-
puertasbásicasusadasen todas las familias de CI lógico digitales. Debido
a la importancia de las compuertasNAND y NoR en el diseñode circuitos
digitales se han desarrolladoreglasy procedimierrtospara la conversiónde
funcionesde Boole en términos de AND, OR y NOT a diagramaslógicos
equivalentesen NAND y NoR. El procedimientopara la ejecuciónen dos
niveles se presentaen esta sección.La ejecuciónen multiniveles se discu-
tirá en la Sección4-7.
Para facilitar ldionversión a lógica NAND v NOR esconvenientedefi-
nir otros dos símbolosgráficospara estascompuertas.En la Figura 3-1?(a)
semuestrandossímbolosequivalentespara la compuertaNAND. El símbolo
AND inversor ha sido definido precisamentey consisteen un símbolográ-
fico AND seguidode un pequeñocírculo. En vez de lo anterior es posible
F = (xt,z)'
AND-inversor lnversor-OR
\ a ) Dos símbolosgráficospara la compuerta \A\D
F=(-r*-l +z)' I = ¡ ' r ' : ' = ( . r* t , * z ) '
AND-inversor
OR-inversor
(b) Dos símbolosgráficos para la compuerta NOR
J_{
Separador-inversor AND-inversor OR-inversor
', (c) Tres símbolosgráñcosparaun inversor
figura 3-17 Símbolosgráficospara las compuertasNAND ¡ ). _-.
representar una compuerta NAND por medio de un símbolo gra:-:.-., oR pre-
cedido de pequeños círculos en todas las entradas. El símboic,:r..-ersor-oR
para la compuerta NAND se deduce a partir del teorema de De \lorgan y
de la convención de que pequeños círculos denotan complemen!acron.
De manera similar, hay dos símbolos gráficos para 1a compuerta NoR
como se muestra en la Figura 3-17(b). El inversor OR es el símirr:,loconven-
cional. El inversor AND es una alternativa conveniente que urrliza el teo-
rema de De Morgan y la convención de pequeños círculos en Ias entradas
que denotan complementación.
Una compuerta NAND o NOR de una entrada se comporra como un
inversor. Como consecuencia una compuerta inversor puede cet-lnirse de
tres maneras diferentes como se muestra en la Figura 3-1?(cr.Los círculos
pequeños en todos Ios símbolos de inversor pueden trasferirse al terminal
de entrada sin cambiar la lógica de la compuerta.
se debe resaltar que los símbolos alternos para las compuertas NAND
y NoR deben dibujarse con pequeños triángulos en todas las terminales
de entrada en vez de los círculos. un pequeño triángulo es un indicador
de la polaridad de Ia lógica negativa (ver Sección 2-8 y Figura 2-11). Con
pequeños triángulos en los terminales de entrada, el símboio gráfico de-
nota una polaridad de lógica negativa para las entradas, pero ia salida de
la compuerta (un triángulo) debe tener una asignación de lógica positiva.
En este libro, se prefiere usar la lógica positiva y emplear pequeñoscírculos
cuando sea necesario con el fin de denotar complementación.
Ejecución con NAND
La ejecución de una función de Boole con compuertas NAND requieren que
la función sea simplificada en la forma de suma de productos. Para ver la
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arquitectura de computadoras morris mano
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