324 APÉNDICE Sucesiones y series
7. q 1)k 1 a 1 1b q 1)k 1 k 1 En los problemas 41 y 42, estime el error de usar la suma par-
k 3k 4k
a( 8. a ( cial indicada como una aproximación a la suma de la serie
k1 k1 convergente.
9. q 1)n 1 4 1n q 1)n 1 13 n q (Ϫ1)kϩ1 q (Ϫ1)kϩ1
2n 1 n1
a( 10. a ( 41. a ; S100 42. a ; S6
n1 n1 kϭ1 kϭ1
q 1n 1 q 2k2 1 k k2k
n 2 k3
11. a (cos np) 12. a ( 1)k
n2 k2 En los problemas 43-48, indique por qué la prueba de la serie
alternante no es aplicable a la serie dada. Determine si la
13. q 1)k k 14. q ( 1)k serie converge.
ln
a( k a ln k
k2 k2
En los problemas 15-34, determine si la serie dada es absolu- q sen (kp>6) q 100 ϩ (Ϫ1)k2k
tamente convergente, convergente de manera condicional o 43. 44. a
divergente. a 2k4 3k
1 kϭ1
k1
q (Ϫ1)kϩ1 q (Ϫ1)kϪ1 45. 1 Ϫ 1 Ϫ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϪϪϩϩ p
2 4 8 16
15. a 2k ϩ 1 16. a 1k ϩ
5
kϭ1 kϭ1 1 1 1 1 1 1
1 4 9 16 25 36
q 2 k q ϩ122k 46. Ϫ Ϫ ϩ ϩ ϩ ϪϪϪϩϩϩ p
3 3k
17. a (Ϫ1)kϩ1 a b 18. a (Ϫ1)k
kϭ1 kϭ1 2 1 2 1 2 1 2 1 p
1 1 2 2 3 3 4 4
q k q 47. Ϫ ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϩ Ϫ ϩ
5k
19. a (Ϫ1)k 20. a (Ϫ1)k (k2Ϫk)2 [Sugerencia: Considere las sumas parciales S2n para
n = 1, 2, 3, . . .]
kϭ1 kϭ1
q (Ϫ1)k q (Ϫ1)k (k!)2
21. a 22. (2k)!
k! a 1 1 1 1 1 1 1 1 1
kϭ1 48. 2 ϩ 2 Ϫ 3 Ϫ 3 Ϫ 3 ϩ 4 ϩ 4 ϩ 4 ϩ 4 ϪϪϪϪϪ p
kϭ1
23. q (Ϫ1)kϩ1 k! 24. q (Ϫ1)kϪ1 52kϪ3
100k 10kϩ2
a a En los problemas 49-52, determine si la serie dada converge.
49. 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p
kϭ1 kϭ1 50. (1 Ϫ 1) ϩ (1 Ϫ 1) ϩ (1 Ϫ 1) ϩ p
51. 1 ϩ (Ϫ1 ϩ 1) ϩ (Ϫ1 ϩ 1) ϩ p
25. q (Ϫ1)kϪ1 k k2 26. q (Ϫ1)kϩ1 k k4 52. 1 ϩ (Ϫ1 ϩ 1) ϩ (Ϫ1 ϩ 1 Ϫ 1) ϩ p
1 ϩ 1 ϩ
a a
kϭ1 kϭ1
q q sen Q 2k 2 1 pR
1
27. a cos kp 28. a 1k
k1 k1
q 1 q( 1)k 1 1
k 30. a k2 k
29. a( 1)k 1 sen Q R sen Q R Piense en ello
k1
k1
31. q k 1 1 Ϫ 1 d q 53. Vuelva a leer la discusión previa a Notas desde el aula de
ϩ k esta sección. Explique después por qué el siguiente enun-
a (Ϫ1)k c 32. a (Ϫ1)k [1k ϩ 1 Ϫ 1k] ciado es cierto:
kϭ1 kϭ1
33. q (Ϫ1)k a k 2k k 34. q (Ϫ1)kϩ1 63k Si una serie de términos positivos gak es convergente, enton-
ϩ 50 kk ces los términos de la serie pueden rearreglarse de cualquier
a b a
manera y la serie que resulta converge al mismo número que la
kϭ1 kϭ1
serie original.
En los problemas 35 y 36, aproxime la suma de la serie con-
vergente al número indicado de lugares decimales.
q ( 1)k 1 q ( 1)k 1 54. Suponga que S es la suma de la serie armónica alternan-
35. 1)!; cinco 36. a ; tres
a (2k k! te convergente 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p .
k1 2 3 4 5 6
k1
En los problemas 37 y 38, encuentre el entero positivo n más Demuestre que el rearreglo de la serie
pequeño de modo que Sn aproxime la suma de la serie conver- 1 Ϫ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 p
gente al número indicado de lugares decimales. 2 4 3 6 8 5 10 12 7 14
q ( 1)k 1 q ( 1)k 1 ϭ a1 Ϫ 1 b Ϫ 1 ϩ a 1 Ϫ 1 b Ϫ 1 ϩ a 1 Ϫ 1 b Ϫ 1
37. a ; dos 38. a ; tres 2 4 3 6 8 5 10 12
k3 1k
k1 k1
En los problemas 39 y 40, aproxime la suma de la serie con- ϩ a 1 Ϫ 1 b Ϫ p ,
vergente de manera que el error sea menor que la cantidad 7 14
indicada.
produce 1 S ϭ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p .
2 2 4 6 8
1 1 1 10Ϫ3 55. Utilice S ϭ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p y el resultado
42 43 44 2 3 4 5 6
39. 1 Ϫ ϩ Ϫ ϩ p ;
del problema 54 en la forma
40. 1 Ϫ 2 ϩ 3 Ϫ 4 ϩ p ; 10Ϫ4 21S ϭ 0 ϩ 1 ϩ 0 Ϫ 1 ϩ 0 ϩ 1 ϩ 0 Ϫ 1 ϩ p
52 53 54 2 4 6 8
A.8 Series de potencias 325
para demostrar que la suma de otro rearreglo de términos 58. Proporcione un ejemplo de una serie convergente a ak
de la serie armónica alternante es para la cual a a2k diverge.
3 S ϭ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p . 59. Proporcione un ejemplo de una serie convergente a ak
2 3 2 5 7 4 para la cual a a2k converge.
56. La serie 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p es una serie geométrica 60. Dé un ejemplo de una serie divergente a ak para la cual
3 9 27 a ak2 converge.
absolutamente convergente. Demuestre que su rearreglo 61. Explique por qué la serie
e x sen x e 2x sen 2x e 3x sen 3x p
Ϫ13 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ p es convergente. Intente con la
1 27 9 converge para todo valor positivo de x.
prueba de las proporciones y con la prueba de la raíz.
[Sugerencia: Examine 3k+(-1)k, k = 0, 1, 2, . . .]
57. Si a ak es absolutamente convergente, pruebe que a ak2
converge. [Sugerencia: Para n suficientemente grande,
0 an 0 6 1. ¿Por qué?]
A.8 Series de potencias
Introducción En matemáticas aplicadas es común trabajar con la serie infinita de funciones,
q (1)
a ckuk(x) ϭ c0u0(x) ϩ c1u1(x) ϩ c2u2(x) ϩ p .
kϭ0
Los coeficientes ck son constantes que dependen de k y las funciones uk(x) podrían ser diversos
tipos de polinomios o incluso funciones seno y coseno. Cuando se especifica la variable x, por
ejemplo x ϭ 1, entonces la serie se reduce a una serie de constantes. La convergencia de una
serie tal como (1) dependerá, desde luego, de la variable x, con la serie convergiendo usualmen-
te para algunos valores de x mientras que divergirá para otros valores. En ésta y en la siguiente
sección se considerarán series infinitas (1) donde las funciones uk(x) son polinomios (x Ϫ a)k.
Estudiaremos las propiedades de este tipo de series y se demostrará cómo determinar los valo-
res de x para los cuales la serie converge.
Series de potencias Una serie que contiene potencias enteras no negativas de (x Ϫ a)k,
q (2)
a ck(x a)k c0 c1(x a) c2(x a)2 p cn(x a)n p ,
k0
recibe el nombre de serie de potencias en x ؊ a. Se dice que la serie de potencias (2) está cen-
trada en a o tiene centro a. Un importante caso especial de (2), cuando a ϭ 0,
q (3)
a ckxk c0 c1x c2x2 p cnxn p ,
k0
se denomina serie de potencias en x. La serie de potencias en (3) está centrada en 0. Un proble-
ma que enfrentaremos en esta sección es:
• Encontrar los valores de x para los cuales una serie de potencias converge.
Observe que (2) y (3) convergen a c0 cuando x ϭ a y x ϭ 0, respectivamente. Es conveniente definir
(x - a)0 = 1 y x0 = 1
EJEMPLO 1 Serie de potencias centrada en 0
incluso cuando x = a y x = 0,
La serie de potencias en x donde los coeficientes ck ϭ 1 para todo k,
respectivamente.
q
a xk ϭ 1 ϩ x ϩ x2 ϩ p ϩ xn ϩ p ,
kϭ0
se reconoce como una serie geométrica con el mismo cociente común r ϭ x. Por el teorema
A.3.1, la serie converge para aquellos valores de x que satisfacen ͿxͿ 6 1 o Ϫ1 6 x 6 1. La serie
diverge para 0 x0 1, esto es, para x Յ -1 o x 1.
En general, la prueba de las proporciones, como se establece en el teorema A.7.4, es espe-
cialmente útil al determinar los valores de x para los cuales una serie de potencias converge. La
prueba de la raíz, en la forma del teorema A.7.5, también es útil pero en menor grado.
326 APÉNDICE Sucesiones y series
EJEMPLO 2 Intervalo de convergencia
Encuentre el intervalo de convergencia para q xk 1)2.
2k(k ϩ
a
kϭ0
Solución Con la identificación de que an ϭ xn>(2n(n ϩ 1)2) se usa la prueba de las proporcio-
nes, teorema A.7.4,
an 1 xn 1 . 2n(n 1)2
an 1(n 2)2 xn `
lím ` ` lím `
nSq 2n
nSq
lím a n 1 2 x d divida entre n el numerador y el
n 2 2 denominador del primer término
nSq b
x . lím 1 1>n 2 x
2 a 2>n b 2.
nSq 1
Del inciso i) del teorema A.7.4, se tiene convergencia absoluta siempre que este límite sea estric-
tamente menor que 1. De tal modo, la serie es absolutamente convergente para aquellos valores
de x que satisfacen ͿxͿ>2 6 1 o ͿxͿ 6 2. Puesto que la desigualdad de valor absoluto ͿxͿ 6 2 es
equivalente a Ϫ2 6 x 6 2, advertimos que la serie dada convergerá para cualquier número x en
el intervalo abierto (-2, 2). Sin embargo, si ͿxͿ>2 ϭ 1, o ͿxͿ ϭ 2, o cuando x ϭ 2 o x ϭ Ϫ2,
entonces la prueba de las proporciones no brinda información. Es necesario efectuar verificacio-
nes independientes de la serie dada para la convergencia en estos puntos extremos. Al sustituir 2
por x la serie se convierte en
q (k 1 1)2,
ϩ
a
kϭ1
que es convergente por comparación directa con la serie p convergente g q 1(1>k2). De manera
kϭ
similar, al sustituir -2 por x se obtiene
q (Ϫ1)k
1)2,
a (k ϩ
kϭ1
que es convergente por la prueba de la serie alternante, teorema A.7.1. Concluimos que la serie
dada converge para toda x en el intervalo cerrado [Ϫ2, 2]. La serie diverge para x 6 -2 y x 7 2,
o equivalentemente, para ͿxͿ 7 2.
divergente convergente divergente Intervalo de convergencia En la FIGURA A.8.1 se ha ilustrado el conjunto [-2, 2] de todos los
números reales x para los cuales la serie en el ejemplo 2 converge y el conjunto (Ϫq, Ϫ2) ´ (2, q)
Ϫ2 0 2 de números x para los cuales la serie diverge. El conjunto de números para los cuales la serie
Rϭ2 converge es un intervalo centrado en 0 (el centro de la serie). Como se muestra en la figura, el
radio de este intervalo es R ϭ 2. En general, el conjunto de todos los números reales x para los
FIGURA A.8.1 El conjunto de cuales converge una serie de potencias ͚ck(x Ϫ a)k se dice que es su intervalo de convergen-
números x para los cuales la serie cia. El centro del intervalo de convergencia es el centro a de la serie. El radio R del intervalo de
en el ejemplo 2 converge se convergencia se denomina radio de convergencia.
muestra entre corchetes.
El siguiente teorema, que se presenta sin demostración, resume todas las maneras posibles
en las que puede converger una serie de potencias.
Teorema A.8.1 Convergencia de una serie de potencias
Para una serie de potencias g q 0 ck (x Ϫ a)k exactamente uno de los siguientes puntos es cierto:
kϭ
i) La serie converge sólo en el número x ϭ a.
ii) La serie converge absolutamente para todos los números reales x.
iii) La serie converge absolutamente para los números x en un intervalo finito (a Ϫ R, a ϩ R),
R 7 0, y diverge para los números en el conjunto (Ϫq, a Ϫ R) ´ (a ϩ R, q). En un
punto extremo del intervalo finito, x = a - R o x = a + R, la serie puede converger abso-
lutamente, converger de manera condicional o divergir.
Desde luego en ii) y en iii), cuando la serie de potencias converge absolutamente a un núme-
ro x, sabemos, por el teorema A.7.3, que converge. En i) del teorema A.8.1 el intervalo de con-
vergencia consiste de un elemento {a} y afirmamos que la serie tiene radio de convergencia
R ؍0. En ii) del teorema A.8.1, el intervalo de convergencia es (Ϫq, q) y la serie tiene radio
A.8 Series de potencias 327
de convergencia R ؕ ؍. Por último, en iii) del teorema A.8.1, hay cuatro posibilidades para el aϪR a aϩR
intervalo de convergencia con radio de convergencia R Ͼ 0:
aϪR a aϩR
(a R, a R), [a R, a R], (a R, a R] o [a R, a R).
aϪR a aϩR
Vea la FIGURA A.8.2.
Como en el ejemplo 1, si R 7 0, debe manejarse la cuestión de convergencia en un punto aϪR a aϩR
FIGURA A.8.2 Posibles intervalos
extremo x ϭ a Ϯ R al sustituir estos números en la serie dada y reconociendo después la serie
resultante como convergente o divergente o probando la serie que resulta respecto a la conver- finitos de convergencia con R 7 0
gencia mediante una prueba apropiada diferente a la prueba de las proporciones. Recuerde que:
• La prueba de las proporciones siempre es no conclusiva en un punto extremo x = a ; R.
EJEMPLO 3 Intervalo de convergencia
Encuentre el intervalo de convergencia para q xk!k.
a
kϭ0
Solución Por la prueba de las proporciones, teorema A.7.4, se tiene
lím ` an 1 ` lím ` xn 1 . n! ` lím n! x lím x 1.
an (n xn 1)!
nSq nSq 1)! nSq (n nSq n
Puesto que lím 0 x 0 ͞(n + 1) = 0 para cualquier elección de x, la serie converge absolutamente para
nSq
todo De tal modo, el intervalo de convergencia es (Ϫq, q) y el radio de conver-
número real.
gencia es R ϭ q.
EJEMPLO 4 Intervalo de convergencia
q (x Ϫ 5)k
Encuentre el intervalo de convergencia para a .
k3k
kϭ1
Solución Por la prueba de las proporciones, teorema A.7.4, tenemos
lím ` an 1 ` (x 5)n 1 . n3n `
an lím ` 1)3n 1 5)n
nSq nSq (n (x
lím a n 1b x 5
nSq n 3
lím a 1 b x 5 x5
nSq 1 1>n 3.
3
La serie converge absolutamente si Ϳx Ϫ 5Ϳ>3 6 1 o Ϳx Ϫ 5Ϳ 6 3. Esta desigualdad de valores La primera serie es
absolutos produce el intervalo abierto (2, 8). En x ϭ 2 y x ϭ 8, los puntos extremos del interva- 1 1 1 p
2 3
lo, obtenemos, a su vez,
o ( 1)[1 1 1 p]
q (Ϫ1)k q 2 3
1
a k y a k . La serie entre corchetes es la
kϭ1 kϭ1 serie armónica alternante
La primera serie es un múltiplo de la serie armónica alternante y por ello es convergente, la segun- convergente.
da serie es la serie armónica divergente. Consecuentemente, el intervalo de convergencia es [2, 8).
El radio de convergencia es R ϭ 3. La serie diverge si x 6 2 o x Ն 8. Vea la FIGURA A.8.3. divergente convergente divergente
EJEMPLO 5 Intervalo de convergencia 02 58
Rϭ3
Encuentre el intervalo de convergencia para g q 1 k!(x ϩ 10)k. FIGURA A.8.3 Intervalo de
kϭ
convergencia del ejemplo 4
Solución De la prueba de las proporciones,
lím ` an 1 ` lím ` (n 1)!(x 10)n 1 `
an
nSq nSq n!(x 10)n
lím (n 1) x 10
nSq
se observa que el límite cuando n S q sólo puede existir si Ϳx ϩ 10Ϳ ϭ 0, a saber, cuando
x ϭ -10. De tal manera,
lím ` an 1 ` e q, x 10
an 0, x 10.
nSq
328 APÉNDICE Sucesiones y series
La serie diverge para todo número real x, excepto x = -10. En x = -10, obtenemos una serie con-
vergente que consta sólo de ceros. El intervalo de convergencia es el conjunto {10} y el radio de
convergencia es R ϭ 0.
PROBLEMAS A.8 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.
Fundamentos En los problemas 31-38, la serie dada no es una serie de
En los problemas 1-24, recurra a la prueba de las proporcio- potencias. No obstante, encuentre todos los valores de x para
nes para encontrar el intervalo y el radio de convergencia de los cuales la serie dada converge.
la serie de potencias dada. 31. q1 32. q 7k
a a
q( 1)k q xk xk x 2k
a k kϭ1 kϭ1
1. xk 2.
k1 a k2 q ax ϩ 1 k q 1 x k
33. x 34. 2k ax ϩ
k1 a b a 2b
3. q 2k k 4. q 5k xk kϭ1 kϭ1
k k!
a x a q ax2 ϩ 2 k 2 q k!
6
k1 k0 35. a b 36. a (k x)k
q (x 3)k q (x 7)k kϭ0 kϭ1
5. a k3 6. a 1k q q
k1 k1 37. a ekx 38. a k!eϪkx2
q ( 1)k q kϭ0 kϭ0
7. a (x 5)k 8. a k (x 4)k 39. Encuentre todos los valores de x en [0, 2p] para los cua-
k 1 (k 2)2 q
k1 10k les a 2 k x converge.
a
q q k 1 13 b senk
k1
9. a k!2kxk 10. a x k
k0
k0 k 2k 40. Demuestre que g q (sen kx)͞k2 converge para todos los
k=1
q (3x 1)k q (4x 5)k valores reales de x.
11. a k2 k 12. a 3k Problemas con calculadora/SAC
k1 k0
13. q xk 14. q ( 1)kxk 41. Algunas funciones importantes en matemáticas aplicadas
se definen en términos de integrales no elementales.
a ln k a k ln k Algunas de estas funciones especiales de matemáticas
aplicadas también se definen mediante series infinitas. La
k2 k2 serie de potencias
15. q k2 (x 7)k q 1)k
32k
a 16. a k324k(x
k1
k1
17. q 25k a x k 18. q 1 000kxk (Ϫ1)k
52k 3 kk 22k(k!)2
a b a q 2k
k1 k1 J0(x) ϭ a x
q ( 3)k q 3k kϭ0
2)k k (k
19. a (k 1)(k 2) (x 1)k 20. a ( (x 5)k recibe el nombre de función de Bessel de orden 0.
1)
k0 k1
21. q ( 1)k 1 ax 2 k 22. q (6 x)k 1 a) El dominio de la función J0(x) es su intervalo de con-
vergencia. Determine el dominio.
a (k!)2 3 b a 12k 1
k1 k0 b) El valor de J0(x) se define como la suma de la serie
para x en su dominio:
23. q( 1)k x2k 1 24. q 5k x2k
a 9k (2k)!
a J0(x) lím Sn(x),
k0
k1 nSq
En los problemas 25-28, emplee la prueba de la raíz para donde Sn(x) n ( 1)k x2k
22k(k!)2
determinar el intervalo y el radio de convergencia de la serie a
de potencias dada. k0
q xk q es el término general de la sucesión de sumas parcia-
25. a k)k 26. a (k 1)k(x 1)k les. Emplee una calculadora o SAC y grafique las
k2 (ln k1 sumas parciales S0(x), S1(x), S2(x), S3(x) y S4(x).
c) Hay varios tipos de funciones de Bessel de diferentes
q 4 k q k k2
3
27. a a b (x 3)k 28. a a k 1b (x e)k órdenes. J0(x) es un caso especial de una función más
general Jn(x) llamada función de Bessel de primer
k1 k1 tipo de orden v. Las funciones de Bessel son funcio-
En los problemas 29 y 30, encuentre el radio de convergencia nes incorporadas en sistemas algebraicos computari-
de la serie de potencias dada.
29. q k! a x k zados tales como Mathematica y Maple. Emplee un
.. 2
a 1 . 3 . 5 . (2k Ϫ 1) b SAC para obtener la gráfica de J0(x) y compárela con
las gráficas de las sumas parciales en el inciso b).
kϭ1
q 1 . 3 . 5 . . . (2k Ϫ 3) 1)k [Sugerencia: En Mathematica, J0(x) se denota por
3kk! medio de BesselJ[0, x].]
30. a (x Ϫ
kϭ2
A.9 Representación de funciones mediante series de potencias 329
A.9 Representación de funciones mediante
series de potencias
Introducción Para cada x en su intervalo de convergencia, una serie de potencias ack(x Ϫ a)k
converge a un número. Por esta razón, una serie de potencias es en sí misma una función, la cual
se denota como f, cuyo dominio es su intervalo de convergencia. Entonces para cada x en el inter-
valo de convergencia se define el elemento correspondiente en el rango de la función, el valor
f (x), como la suma de la serie:
q
f (x) ϭ c0 ϩ c1(x Ϫ a) ϩ c2(x Ϫ a)2 ϩ p ϭ a ck(x Ϫ a)k.
kϭ0
Los dos siguientes teoremas, que se anuncian sin demostración, responden algunas de las
preguntas fundamentales acerca de la diferenciabilidad, integrabilidad y continuidad de una fun-
ción f definida por una serie de potencias.
Diferenciación de una serie de potencias La función f definida por una serie de potencias
a ck(x Ϫ a)k es diferenciable.
Teorema A.9.1 Diferenciación de una serie de potencias
Si f(x) ϭ g q 0 ck (x Ϫ a)k converge sobre un intervalo (a Ϫ R, a ϩ R) para el cual el radio de
kϭ
convergencia R es positivo o q, entonces f es diferenciable en cada x en (a Ϫ R, a ϩ R), y
q (1)
f ¿(x) a kck(x a)k 1.
k1
El radio de convergencia R de (1) es el mismo que el de la serie original.
El resultado de (1) establece simplemente que una serie de potencias puede diferenciarse
término por término como se haría para una función polinomial:
f ¿(x) ϭ d c0 ϩ d c1(x Ϫ a) ϩ d c2(x Ϫ a)2 ϩ p ϩ d cn(x Ϫ a)n ϩ p
dx dx dx dx
(2)
q
ϭ c1 ϩ 2c2(x Ϫ a) ϩ 3c3(x Ϫ a)2 ϩ p ϩ ncn(x Ϫ a)nϪ1 ϩ p ϭ a kck(x Ϫ a)kϪ1.
kϭ1
Puesto que (1) es una serie de potencias con un radio de convergencia R, es posible aplicar el
teorema A.9.1 a f ¿ definida en (2). Esto es, puede afirmarse que f ¿ es diferenciable en cada x en
(a Ϫ R, a ϩ R) y f – está dada por
q
f –(x) ϭ 2c2 ϩ 3 # 2c3(x Ϫ a) ϩ p ϩ n(n Ϫ 1)cn(x Ϫ a)nϪ2 ϩ p ϭ a k(k Ϫ 1)ck(x Ϫ a)kϪ2.
kϭ2
Continuando de esta manera, se concluye que:
• Una función f definida por una serie de potencias sobre (a - R, a + R), R 7 0, o sobre
(- q, q), posee derivadas de todos los órdenes en el intervalo.
El radio de convergencia R de cada serie derivada es el mismo que el de la serie original.
Además, puesto que la diferenciabilidad implica continuidad, también tenemos el resultado:
• Una función f definida por una serie de potencias sobre (a - R, a + R), R 7 0, o sobre
(- q, q), es continua en cada x en el intervalo.
Integración de una serie de potencias Como en (1), el proceso de integración de una serie
de potencias puede llevarse a cabo término por término:
Ύ Ύ Ύ Ύ Ύf(x) dx ϭ c0(x Ϫ a)0 dx ϩ c1(x Ϫ a) dx ϩ c2(x Ϫ a)2 dx ϩ p ϩ cn(x Ϫ a)n dx ϩ p
ϭ c0(x Ϫ a) ϩ c1 (x Ϫ a)2 ϩ c2 (x Ϫ a)3 ϩ p ϩ cn 1 (x Ϫ a)nϩ1 ϩ p ϩ C
2 3 ϩ
n
q ck
ϩ
ϭ a k 1 (x Ϫ a)kϩ1 ϩ C.
kϭ0
El resultado se resume en el siguiente teorema.
330 APÉNDICE Sucesiones y series
Teorema A.9.2 Integración de una serie de potencias
Si f(x) ϭ g q 0 ck (x Ϫ a)k converge sobre un intervalo (a Ϫ R, a ϩ R) para el cual el radio de
kϭ
convergencia R es positivo o q, entonces
f(x) dx q ck 1 (x a)k 1 C. (3)
a k
k0
El radio de convergencia R de (3) es el mismo que el de la serie original.
Puesto que la función f(x) ϭ g q ck (x Ϫ a)k es continua, su integral definida existe y está
kϭ0
definida por
b qb a)k dxb
f(x) dx a cka (x
a k0 a
para cualesquiera números a y b en (a Ϫ R, a ϩ R), R 7 0, o en (Ϫq, q) si R ϭ q.
q
Es recomendable que lea este En los teoremas A.9.1 y A.9.2 se estableció que si la función f(x) ϭ g kϭ 0 ck (x Ϫ a)k tiene
párrafo varias veces.
radio de convergencia R 7 0 o R = q, entonces la serie obtenida que forma f ¿(x) e ͐f(x) dx
tiene el mismo radio de convergencia R. Esto no significa que la serie de potencias que definen
a f (x), f ¿(x) e ͐f(x) dx tengan los mismos intervalos de convergencia. Esto no es tan malo como
parece. Si el radio de convergencia de la serie que define a f(x), f ¿(x) e ͐f(x) dx es R 7 0, enton-
ces los intervalos de convergencia pueden diferir sólo en los puntos extremos del intervalo.
Como regla, al diferenciar una función definida por serie de potencias con radio de convergen-
cia R 7 0 es posible perder convergencia en un punto final del intervalo. Al integrar una fun-
ción definida por una serie de potencias con radio de convergencia R 7 0 puede ganarse con-
vergencia en un punto extremo del intervalo.
EJEMPLO 1 Intervalo de convergencia
Para la función f definida por f (x) ϭ q xk , encuentre los intervalos de convergencia de
k
a
kϭ1
a) f ¿(x) Ύb) f(x) dx.
Solución Se muestra fácilmente de la prueba de las proporciones que el intervalo de conver-
gencia de la serie de potencia que define a f es [-1, 1).
a) La derivada
f ¿(x) ϭ q d xk ϭ q ϭ 1 ϩ x ϩ x2 ϩ x3 ϩ p (4)
dx k
a a x kϪ1
kϭ1 kϭ1
se reconoce como una serie geométrica cuyo intervalo de convergencia es (-1, 1). La
serie diferenciada (4) ha perdido convergencia en el punto extremo izquierdo en el
intervalo de convergencia de f.
b) La integral de f es
Ύ Ύq xk dx ϭ q xkϩ1 ϩ C. (5)
f(x) dx ϭ a k a
kϭ1 k (k ϩ 1)
kϭ1
En x ϭ -1 y x ϭ 1, las series en (5) se convierten, respectivamente, en
La primera serie converge por la q ( 1)k 1 y q1 1).
prueba de la serie alternante; la
segunda converge por la prueba a k(k 1) a k(k
de comparación directa (la serie
es dominada por la serie p k1 k1
convergente g1͞k 2).
Como ambas series convergen, el intervalo de convergencia de (5) es [-1, 1]. En este
caso, la serie integrada (5) ha ganado convergencia en el punto extremo derecho del
intervalo de convergencia de f.
Representación de series de potencias de una función Con frecuencia es posible expresar
una función f conocida o dada (tal como ex o tanϪ1 x) como la suma de una serie de potencias
en algún intervalo. En este caso puede afirmarse que la serie es una representación de f en serie
de potencias sobre el intervalo.
El siguiente ejemplo es importante debido a que conduce a muchos otros resultados.
A.9 Representación de funciones mediante series de potencias 331
EJEMPLO 2 Representación de una función por una serie de potencias
Encuentre una representación en serie de potencias de 1 1 x centrada en 0.
Ϫ
Solución Recuerde que una serie geométrica converge a a>(1 Ϫ r) si ͿrͿ 6 1: y
a ϭ a ϩ ar ϩ ar2 ϩ p ϩ ar nϪ1 ϩ p .
Ϫ
1 r
Identificando a ϭ 1 y r ϭ x, observamos que S2 S8
y ϭ1Ϫ1x
1 1 x x2 x3 p xn p q (6) 1
1x Ϫ1
a xk.
k0
La serie converge para 0 x 0 6 1. El intervalo de convergencia es (-1, 1). En la FIGURA A.9.1 se ha x
desplegado la gráfica de y ϭ 1>(1 Ϫ x) junto con las gráficas de las sumas parciales S2(x), S5(x), S5 S9
S8(x) y S9(x) de la serie de potencias (6). Al inspeccionar esta figura, ponga atención sólo en el
intervalo (-1, 1). La serie no representa la función fuera de este intervalo. FIGURA A.9.1 Gráficas de las
sumas parciales del ejemplo 2
Al sustituir x por Ϫx en (6), obtenemos una representación de serie de potencias para la fun-
ción 1>(1 ϩ x):
1 1 x x2 x3 p ( 1)nxn p q (7)
1x
a ( 1)kxk.
k0
La serie (7) converge para 0 -x 0 6 1 o x 6 1. El intervalo de convergencia es otra vez (-1, 1).
Muchas funciones conocidas pueden representarse mediante una serie infinita a través de
cierto tipo de manipulación de las series en (6) y en (7). Por ejemplo, podría multiplicarse la serie
por una potencia de x, reemplazar x con otra variable o quizá combinar la sustitución de x con
otra variable con el proceso de integración (o diferenciación), etcétera.
EJEMPLO 3 Representación de una función por una serie de potencias
Encuentre una representación de serie de potencias de 1 1 3x centrada en 0.
ϩ
Solución Al sustituir simplemente el símbolo x por 3x en (7) obtenemos
1 ϭ 1 Ϫ 3x ϩ (3x)2 Ϫ (3x)3 ϩ p ϩ (Ϫ1)n(3x)n ϩ p ϭ q
ϩ 3x
1 a (Ϫ1)k3kxk.
kϭ0
Esta serie converge cuando 0 -3x 0 6 1 o 0 x 0 6 31. El intervalo de convergencia es AϪ13, 1 B.
3
EJEMPLO 4 Representación de una función por una serie de potencias
Encuentre una representación de series de potencias de 5 1 x centrada en 0.
Ϫ
Solución Factorizando 5 del denominador,
5 1 x ϭ 1 ϭ 1 . 1 x,
Ϫ Ϫ 5 Ϫ 5
5Q1 x R 1
5
estamos en posibilidad de utilizar (6). Al reemplazar el símbolo x en (6) con x͞5 obtenemos
5 1 x ϭ 1 . 1 x ϭ 1 c1 ϩ x ϩ Q x 2 ϩ Q x 5 ϩ pd
Ϫ 5 Ϫ 5 5 5 5 5
R R
1
o 5 1 x ϭ 1 q Q x k ϭ q 1 x k.
Ϫ 5 5 5kϩ1
a R a
kϭ0 kϭ0
La serie converge para 0 x ͞50 6 1 o 0 x 0 6 5. El intervalo de convergencia es (-5, 5).
332 APÉNDICE Sucesiones y series
Con un poco de habilidad, las representaciones en serie de potencias en (6) y (7) muy a
menudo se utilizan para encontrar una representación de serie de potencias de una función
centrada en un número a diferente de 0.
EJEMPLO 5 Serie de potencias centrada en 3
Determine una representación de serie de potencia de 1 1 x centrada en 3.
ϩ
Solución Puesto que el centro de la potencia va a ser 3, deseamos que la serie de potencias con-
tenga sólo potencias de x Ϫ 3. Con ese fin, sustraemos y sumamos 3 en el denominador:
1 1 x ϭ 1 ϩ x 1 3 ϩ 3 ϭ 4 ϩ 1 Ϫ 3).
ϩ Ϫ (x
A partir de este punto, procedemos como en el ejemplo 4, a saber: factorizamos 4 del denomi-
nador y usamos (7) con x sustituida por (x Ϫ 3)>4:
1 1 x ϭ 4 ϩ 1 Ϫ 3)
ϩ (x
ϭ 1 . 1 Ϫ 3
4 x 4
1 ϩ
ϭ 1 c1 Ϫ x Ϫ 3 ϩ Qx Ϫ 3 2 Ϫ Qx Ϫ 3 3 ϩ p d
4 4 4 4
R R
o 1 ϭ 1 q (Ϫ1)k Q x Ϫ 3 k ϭ q (Ϫ1)k (x Ϫ 3)k.
ϩ 4 4
1 x a R a 4kϩ1
kϭ0 kϭ0
Esta serie converge para 0 (x Ϫ 3 )͞40 6 1 o 0 x Ϫ 3 0 6 4. La solución de la última desigualdad
muestra que el intervalo de convergencia es (-1, 7).
EJEMPLO 6 Diferenciación de una serie de potencias
La diferenciación término por término de (7) produce una representación en serie de potencias
de 1>(1 ϩ x)2 sobre el intervalo (-1, 1):
d1 ddx1 d x d x2 d x 3 p ( 1)n d xn p
dx 1 x dx dx dx dx
produce 1 1 2x 3x2 p ( 1)n nxn 1 p d se multiplican ambos
1 2x 3x2 p ( 1)n 1 n xn 1
(1 x)2 lados por -1
o1 q
(1 x)2
p a ( 1)k 1 kxk 1.
k1
EJEMPLO 7 Integración de una serie de potencias
Encuentre una representación de serie de potencias de ln(1 ϩ x) sobre (-1, 1).
Solución Primero introducimos un cambio de variable de integración al sustituir x ϭ t en (7):
1 ϭ 1 Ϫ t ϩ t2 Ϫ t3 ϩ p ϩ (Ϫ1)n tn ϩ p .
ϩ
1 t
Entonces, para cualquier x dentro del intervalo (-1, 1),
x
t dt ϩ
Ύ Ύ Ύ Ύ Ύx
1
1 t dt ϭ x xx
ϩ
dt Ϫ t2 dt Ϫ p ϩ (Ϫ1)n tn dt ϩ p
0 00 0 0
ϭ x Ϫ 1 t 2 d x ϩ 1 t3 d x Ϫ p ϩ (Ϫ1)n 1 x ϩ p
2 0 3 0 ϩ
td n 1 t nϩ1 d 0
0
ϭ x Ϫ x2 ϩ x3 Ϫ p ϩ (Ϫ1)n x nϩ1 ϩ p .
2 3 nϩ1
ΎPero x 1 t dt ϭ ln (1 ϩ t) d x ϭ ln (1 ϩ x) Ϫ ln 1 ϭ ln (1 ϩ x)
ϩ 0
1
0
A.9 Representación de funciones mediante series de potencias 333
y así
ln (1 ϩ x) ϭ x Ϫ x2 ϩ x3 Ϫ p ϩ (Ϫ1)n xnϩ1 ϩ p ϭ q (Ϫ1)k xkϩ1. (8)
2 3 nϩ1 kϩ1
a
kϭ0
Advierta que el intervalo de convergencia de la serie en (8) es ahora (-1, 1], esto es, hemos
agregado la convergencia en x ϭ 1. Dejando x ϭ 1 en (8), la serie en el lado derecho de la igual-
dad es la serie armónica alternante convergente; sobre el lado izquierdo se obtiene ln 2. De tal
manera, hemos obtenido la suma S de la serie armónica alternante:
ln 2 1 1 1 1 p. (9)
2 3 4
EJEMPLO 8 Aproximar un valor de ln x
Aproxime ln (1.2) hasta cuatro lugares decimales.
Solución Al sustituir x ϭ 0.2 en (8) se obtiene
(0.2)2 (0.2)3 (0.2)4 (0.2)5 (0.2)6 (10)
ln(1.2) ϭ 0.2 Ϫ 2 ϩ 3 Ϫ 4 ϩ 5 Ϫ 6 ϩ p
ϭ 0.2 Ϫ 0.02 ϩ 0.00267 Ϫ 0.0004 ϩ 0.000064 Ϫ 0.00001067 ϩ p
Ϸ 0.1823. (11)
Si la suma de la serie (10) en el ejemplo 8 se denota mediante S, entonces sabemos del teo-
rema A.7.2 que 0 Sn Ϫ S 0 Յ anϩ1. El número dado en (11) es exacto hasta cuatro decimales, ya
que, para la quinta suma parcial de (10),
0 S5 Ϫ S 0 Յ 0.00001067 6 0.00005.
Aritmética de series de potencias Las dos series de potencias f (x) ϭ a bk(x Ϫ a)k y g(x) =
gck(x - a )k pueden combinarse mediante las operaciones aritméticas de adición, multiplicación
y división. Es factible que calculemos f(x) ϩ g(x) y f(x)g(x) como en la adición y multiplica-
ción de dos polinomios: agrupamos términos a partir de potencias similares de x - a. En cada
punto en el cual las series de potencias que definen a f y g convergen absolutamente, las series
f (x) g(x) (b0 c0) (b1 c1)(x a) (b2 c2)(x a)2 p (12)
y f (x)g(x) b0c0 (b0c1 b1c0)(x a) (b0c2 b1c1 b2c0)(x a)2 p (13)
convergen absolutamente. De manera similar, para c0 0 podemos calcular f(x)>g(x) mediante
división larga:
b0 b1c0 c20 b0c1 (x a) p d cociente
c0 p
c0 c1(x a) p b0 b1(x a) Desde luego, no memorice (12),
(13) y (14); sólo aplique el
b0 b0c1 (x a) p (14) álgebra como lo haría para dos
c0 polinomios.
0 b1c0 c0 b0c1 (x a) p
o
La división es válida en alguna vecindad del centro a de las dos series.
En ocasiones es posible que utilicemos las operaciones aritméticas tal como se ilustró junto
con los resultados conocidos previamente para obtener una representación de serie de potencias
de una función.
EJEMPLO 9 Suma de serie de potencias
Determine una representación de serie de potencias de x2 ϩ 4x Ϫ 3 centrada en 0.
2x
Solución Para comenzar, descomponemos la función en fracciones parciales
x2 4x Ϫ 3 ϭ 3 3 x Ϫ 1 1 x.
ϩ 2x ϩ Ϫ
334 APÉNDICE Sucesiones y series
Después factorizamos 3 del denominador de la primera fracción parcial y usamos (7) con x sus-
tituida por x͞3:
3 ϭ 1 ϭ 1 Ϫ x ϩ x2 Ϫ x3 ϩ p ϭ q (Ϫ1)k x k. (15)
ϩ ϩ 3 32 33 3k
3 x 1 x a
3
kϭ0
Esta serie converge para 0 x ͞30 6 1 o 0 x 0 6 3. El intervalo de convergencia para (15) es (-3, 3).
Ahora sabemos de (6) que
1 ϭ 1 ϩ x ϩ x2 ϩ x3 ϩ p ϭ q (16)
Ϫ
1 x a xk
kϭ0
converge para 0x 0 6 1. El intervalo de convergencia para (16) es (-1, 1). Por último, la suma de
(15) y (16) produce la siguiente representación de serie de potencias para la función dada:
4x ϭ 3 Ϫ 1 Ϫ34 x Ϫ 8 2 Ϫ 28 x3 Ϫ p ϭ q (Ϫ1)k Ϫ 1b x k.
ϩ 2x ϩ Ϫ ϭ 9 x 27 aa (17)
x2 Ϫ 3 3 x 1 x 3k
kϭ1
La serie (17) converge para todas las x comunes a (esto es, la intersección de) los intervalos
(-3, 3) y (-1, 1), es decir, para toda x en (-1, 1).
El resultado (17) también puede obtenerse al multiplicar dos series de potencias.
EJEMPLO 10 Repaso del ejemplo 9
Si reescribimos la función en el ejemplo 9 como un producto
x2 4x ϭ Ϫ34 x . 1 x . 1 1 x
2x ϩ 3 Ϫ
ϩ Ϫ 3 1
y después usamos (15) y (16), se concluye que
x2 4x ϭ Ϫ34 x . a1 Ϫ x ϩ x2 Ϫ x3 ϩ pb . (1 ϩ x ϩ x2 ϩ x3 ϩ p)
ϩ 2x 3 32 33
Ϫ 3
ϭ Ϫ34 x . c1 ϩ 1a1 Ϫ 1 b x ϩ a1 Ϫ 1 ϩ 1 b x2 ϩ pd
3 3 32
ϭ Ϫ34 x Ϫ 8 x 2 Ϫ 28 x3 Ϫ p.
9 27
PROBLEMAS A.9 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-20.
Fundamentos tación de serie de potencias, centrada en 0, de la función que
se indica. Señale el intervalo de convergencia.
En los problemas 1-8, utilice (6) y (7) para determinar una
representación de serie de potencias, centrada en 0, de la fun- 9. 1 10. 1
ción indicada. Proporcione el intervalo de convergencia. (3 Ϫ x)2 (1 ϩ 2x)2
1. 1 2. 1 11. 1 12. 1
3Ϫx 4ϩx (5 ϩ 2x)3 (4 ϩ x)3
3. 1 4. 1 13. x 14. 1 Ϫ x2
1 ϩ 2x 5 ϩ 2x (1 ϩ x2)2 (1 ϩ x2)2
5. 1 6. x En los problemas 15-20, utilice la integración de una serie
1 ϩ x2 1 ϩ x2
apropiada de los problemas 1-8 para encontrar una represen-
1 4 tación de serie de potencias, centrada en 0, de la función indi-
4 ϩ x2 4 Ϫ x2
7. 8. cada. Proporcione el intervalo de convergencia.
15. tan-1 x 16. tanϪ1 (x>2)
17. ln (1 ϩ x2) 18. ln(5 ϩ 2x)
En los problemas 9-14, utilice la diferenciación de una serie 19. ln(4 ϩ x) 20. ln a 3 ϩ x b
apropiada de los problemas 1-8 para encontrar una represen- 3 Ϫ x
A.10 Serie de Taylor 335
En los problemas 21-28, utilice (6), (7) o resultados previos para En los problemas 39-44, use la serie de potencias para apro-
encontrar una representación de serie de potencias, centrada en
0, de la función dada. Indique el intervalo de convergencia. ximar la cantidad dada hasta cuatro lugares decimales.
39. ln(1.1) 40. tan 1 (0.2)
21. 1 x 22. 3 x 41. 1>2 1 x3 dx 42. 1>3 x x4 dx
1 2x 1 x
01 01
x2 x3
23. (1 x)3 24. 8 2x 0.3 1>2
43. x tan 1 x dx 44. tan 1 x2 dx
25. x ln (1 x2) 26. x2 tan 1 x 00
x x 45. Utilice el problema 15 para demostrar que
27. tan 1 t dt 28. ln (1 t2) dt p ϭ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p .
4 3 5 7
00
En los problemas 29-32, proceda como en el ejemplo 5 y 46. Se sabe que la serie en el problema 45 converge muy len-
encuentre una representación de serie de potencias, centrada
en el número dado a, de la función indicada. Señale el inter- tamente. Demuestre lo anterior encontrando el entero
valo de convergencia.
positivo n más pequeño de manera que Sn aproxime p>4
hasta cuatro lugares decimales.
29. 1 1 x; aϭ6 30. 1 ; a ϭ Ϫ2 En los problemas 47 y 48, demuestre que la función definida
Ϫ x
por la serie de potencias satisface la ecuación diferencial dada.
31. 2 x x; a ϭ Ϫ1 32. x Ϫ 2 ; aϭ2 47. yϭ q (Ϫ1)kϩ1 x k; (x ϩ 1)y– ϩ y¿ ϭ 0
ϩ x Ϫ 1 k
a
kϭ1
En los problemas 33 y 34, proceda como en el ejemplo 9 y 48. J0(x) ϭ q (Ϫ1)k x2k; xy– ϩ y¿ ϩ xy ϭ 0
22k(k!)2
utilice fracciones parciales para encontrar una representación a
de serie de potencias, centrada en 0, de la función dada. kϭ0
Indique el intervalo de convergencia. Piense en ello
33. 7x 34. 3 49. a) Si f(x) ϭ q xk , entonces demuestre que f ¿(x) ϭ f (x)
x2 ϩ x Ϫ 12 x2 Ϫ x Ϫ 2 k!
a
En los problemas 35 y 36, proceda como en el ejemplo 10 y
utilice multiplicación de serie de potencias para determinar los kϭ0
primeros cuatro términos distintos de cero de una representa-
ción de serie de potencias, centrada en 0, para la función dada. para toda x en (Ϫq, q).
b) ¿Qué función tiene la propiedad de que su primera deri-
vada es igual a la función? Conjeture sobre cuál función
se representa mediante la serie de potencias del inciso a).
35. 1 36. x 50. a) Si f (x) ϭ q (Ϫ1)k x2k ϩ 1, entonces demuestre
(2 Ϫ x)(1 Ϫ x) (1 ϩ 2x)(1 ϩ x2) (2k ϩ 1)!
a
kϭ0
En los problemas 37 y 38, encuentre el dominio de la función que f –(x) ϭ Ϫf (x) para toda x en (Ϫq, q).
dada.
b) ¿Qué funciones tienen la propiedad de que su segun-
x x2 x3 x4 da derivada es igual al negativo de la función?
3 2 . 32 3 . 33 4 . 34
37. f (x) ϭ Ϫ ϩ Ϫ ϩ p Conjeture respecto a cuál función se representa
mediante la serie de potencias del inciso a). Advierta
38. f (x) ϭ 1 ϩ 2x ϩ 4x2 ϩ 8x2 ϩ p que las potencias de x en la serie de potencias son
1.2 .2.
1 3 enteros positivos impares.
A.10 Serie de Taylor
Introducción Suponga que a ck(x Ϫ a)k es una serie de potencias centrada en a y que tiene
un intervalo de convergencia con un radio de convergencia R distinto de cero. Luego, como se
vio en la sección anterior, dentro del intervalo de convergencia una serie de potencias es una fun-
ción continua que posee derivadas de todos los órdenes. También se abordó la idea de usar una
serie de potencias para representar una función determinada (tal como 1>(1 ϩ x)) sobre un inter-
valo. En esta sección se va a extender de manera adicional la noción de representar una función
mediante una serie de potencias. El problema básico es:
• Suponga que se cuenta con una función ƒ que posee derivadas de todos los órdenes en un
intervalo abierto I. ¿Es posible encontrar una serie de potencias que represente a ƒ sobre I?
En palabras un poco diferentes: ¿podemos expandir una función diferenciable infinitamente (tal
como f (x) ϭ sen x, f (x) ϭ cos x o f (x) ϭ ex) en una serie de potencias a ck(x Ϫ a)k que conver-
ge al valor correcto de la función ƒ(x) para toda x en algún intervalo abierto (a Ϫ R, a ϩ R),
donde R es R 7 0 o R ϭ q?
336 APÉNDICE Sucesiones y series
Serie de Taylor para una función f Antes de responder la pregunta del último párrafo, se va
a hacer simplemente la suposición de que una función ƒ infinitamente diferenciable sobre un
intervalo (a Ϫ R, a ϩ R) puede representarse mediante una serie de potencias ack(x Ϫ a)k sobre
ese intervalo. En ese caso es relativamente fácil determinar cuáles deben ser los coeficientes ck.
La diferenciación repetida de
f (x) ϭ c0 ϩ c1(x Ϫ a) ϩ c2(x Ϫ a)2 ϩ c3(x Ϫ a)3 ϩ p ϩ cn(x Ϫ a)n ϩ p (1)
produce
f ¿(x) ϭ c1 ϩ 2c2(x Ϫ a) ϩ 3c3(x Ϫ a)2 ϩ p (2)
f –(x) ϭ 2c2 ϩ 3 . 2c3(x Ϫ a) ϩ p (3)
f ‡(x) ϭ 3 . 2 . 1c3 ϩ p , (4)
y así sucesivamente. Al evaluar (1), (2), (3) y (4) en x ϭ a, encontramos que
f (a) c0, f ¿(a) 1!c1, f –(a) 2!c2 y f ‡(a) 3!c3,
respectivamente. En general, se ve que ƒ(n)(a) ϭ n!cn o
(5)
f (n)(a)
cn ϭ n! , n Ն 0.
Cuando n ϭ 0, interpretamos la derivada 0-ésima como ƒ(a) y 0! ϭ 1. Al sustituir (5) en (1) se
producen los resultados resumidos en el siguiente teorema.
Teorema A.10.1 Forma de una serie de potencias
Si una función ƒ posee una representación en serie de potencias f(x) ϭ a ck(x Ϫ a)k sobre un
intervalo (a Ϫ R, a ϩ R), entonces los coeficientes deben ser ck ϭ f (k)(a)>k!.
En otras palabras, si una función ƒ tiene una representación en serie de potencias centrada
en a, entonces debe verse como lo siguiente:
f (x) f(a) f ¿(a) a) f –(a) a)2 f ‡(a) a)3 p q f (k)(a) (x a)k. (6)
1! (x 2! (x 3! (x
a k!
k0
La serie en (6) se denomina serie de Taylor de ƒ en a, o centrada en a. La serie de Taylor cen-
trada en a ϭ 0,
f (x) f(0) f ¿(0) f –(0) x2 f ‡(0) x 3 ... q f (k)(0) xk (7)
1! x 2! 3! k!
a
k0
se denomina serie de Maclaurin de ƒ.
La pregunta planteada en la introducción ahora puede reformularse como:
• ¿Es posible expandir una función ƒ infinitamente diferenciable en una serie de Taylor
(6)?
Parecería que la respuesta es afirmativa (calculando simplemente los coeficientes como lo indi-
ca la fórmula (5)). Por desgracia, no es tan simple el concepto de expandir una función ƒ dada
infinitamente diferenciable en una serie de Taylor. Es necesario tener en mente que (5) y (6) se
obtuvieron bajo la suposición de que ƒ era representada por una serie de potencias centrada en
a. Si no se conoce a priori que una función ƒ infinitamente diferenciable tiene una representa-
ción en serie de potencias, entonces debe considerarse una serie de potencias obtenidas de (6) o
(7) como un resultado formal, en otras palabras, una serie de potencias que es simplemente gene-
rada por la función ƒ. No se sabe si la serie generada de esta manera converge o, incluso si lo
hace, si converge a ƒ(x).
EJEMPLO 1 Serie de Taylor de ln x
Encuentre la serie de Taylor de f (x) = ln x centrada en a ϭ 1. Determine su intervalo de conver-
gencia.
A.10 Serie de Taylor 337
Solución La función ƒ, sus derivadas y sus valores en 1 son:
f(x) ln x f(1) 0
f ¿(1) 1
1
f ¿(x) f –(1) 1
x f ‡(1) 2!
o
f –(x) 1
f ‡(x) x2 f (n)(1) ( 1)n 1(n
1.2
x3
o
f (n)(x) ( 1)n 1(n 1)! 1)!
xn
Puesto que (n Ϫ 1)!>n! ϭ 1>n, n Ն 1, (6) produce
(x Ϫ 1) Ϫ 1 (x Ϫ 1)2 ϩ 1 (x Ϫ 1)3 Ϫ p ϭ q (Ϫ1) kϪ1 (x Ϫ 1)k. (8)
2 3
a k
kϭ1
La prueba de las proporciones,
lím ` an 1 ` ( 1)n(x 1)n 1 n 1)n `
an lím ` n 1)n 1(x
nSq .
nSq 1(
lím n 10x 10 0x 10,
nSq n
muestra que la serie (8) converge para 0 x Ϫ 10 6 1 o sobre el intervalo (0, 2). En los puntos extre-
mos x ϭ 0 y x ϭ 2, las series
Ϫ q 1 y q (Ϫ1)kϪ1
k
a a k
kϭ1 kϭ1
son divergente y convergente, respectivamente. El intervalo de convergencia de estas series es
(0, 2]. El radio de convergencia es R ϭ 1.
Advierta en el ejemplo 1 que no se escribió la igualdad
ln x q ( 1)k 1 (x 1)k.
a k
k1
En este punto no se ha establecido que la serie dada en (8) representa a ln x sobre el intervalo
(0, 2].
Teorema de Taylor De acuerdo con (5), es claro que para tener una serie de Taylor centrada
en a es necesario que una función ƒ posea derivadas de todos los órdenes que estén definidas en
a. Así, por ejemplo, f (x) = ln x no posee una serie de Maclaurin, debido a que f (x) = ln x y todas
sus derivadas no están definidas en 0. Además, es importante notar que incluso si una función ƒ
posee derivadas de todos los órdenes y genera una serie de Taylor convergente sobre algún inter-
valo, es posible que la serie no represente a ƒ sobre el intervalo, esto es, la serie no converge a
ƒ(x) en toda x en el intervalo. Vea el problema 63 de los ejercicios A.10. La pregunta fundamen-
tal de si una serie de Taylor representa la función que la generó puede resolverse por medio del
teorema de Taylor.
Teorema A.10.2 Teorema de Taylor
Sea ƒ una función tal que f (nϩ1)(x) existe para toda x en un intervalo que contiene al número
a. Entonces para toda x en el intervalo
f (x) Pn(x) Rn(x),
donde Pn(x) f(a) f ¿(a) a) p f (n)(a) a)n (9)
1! (x n! (x (continúa)
338 APÉNDICE Sucesiones y series
recibe el nombre de polinomio de Taylor de ƒ en a, de grado n-ésimo, y
Existen varias formas del Rn(x) f (n 1)(c) a)n 1 (10)
residuo. Esta forma se debe al (n 1)! (x
matemático francés Joseph
Louis Lagrange (1736-1813). se llama forma de Lagrange del residuo. El número c yace entre a y x.
Puesto que la demostración de este teorema desviaría la principal finalidad de esta discu-
sión, puede omitirse. La importancia del teorema A.10.2 radica en el hecho de que los polino-
mios de Taylor Pn(x) son las sumas parciales de la serie de Taylor (6). El residuo se define como
Rn(x) f (x) Pn(x) y así Pn(x) f (x) Rn(x). (11)
Si lím Pn(x) = f (x), entonces la función ƒ es la suma de la serie de Taylor que la genera. Sin
nSq
embargo, de (11) observamos que
nlSímqPn(x) f (x) nlSímqRn(x)
por lo que sí es posible mostrar de algún modo que Rn(x) S 0 cuando n S q, y entonces la
sucesión de sumas parciales converge a ƒ(x). Resumimos el resultado.
Teorema A.10.3 Convergencia de una serie de Taylor
Suponga que ƒ es una función que posee derivadas de todos los órdenes sobre un intervalo
centrado en el número a. Si
nlSímqRn(x) 0
para toda x en el intervalo, entonces la serie de Taylor generada por ƒ converge a ƒ(x),
f (x) ϭ q f (k)(a) (x Ϫ a)k.
a k!
kϭ0
En la práctica, la prueba de que el residuo Rn(x) tiende a cero cuando n S q depende
muchas veces del hecho de que
lím xn 0. (12)
nSq n!
Este último resultado sigue de aplicar el teorema A.3.2 a la serie g q 1 xk> k!, la cual se sabe que
mϭ
es absolutamente convergente para todos los números reales. (Vea el ejemplo 3 en la sección A.8.)
EJEMPLO 2 Repaso del ejemplo 1
Demuestre que la serie (8) representa a f (x) = ln x sobre el intervalo (0, 2].
Solución En la solución para el ejemplo 1 vimos que la derivada n-ésima de f (x) = ln x está
dada por
f (n)(x) ϭ (Ϫ1)nϪ1(n Ϫ 1)!
xn .
De f (nϩ1)(c) ϭ (Ϫ1)n n! obtenemos de (10)
cnϩ1 ,
0 Rn(x) 0 ϭ 0 f (nϩ1)(c) 0 0 x Ϫ 1 0 nϩ1 ϭ ` (Ϫ1)nn! . (x Ϫ 1)nϩ1 ` ϭ 1 ` x Ϫ 1 nϩ1
(n ϩ 1)! cnϩ1(n ϩ 1)! ϩ c
n 1 `,
donde c es algún número en el intervalo (0, 2] entre 1 y x.
Si 1 Յ x Յ 2, entonces 0 6 x - 1 Յ 1. Puesto que 1 6 c 6 x, debemos tener
0 6 x Ϫ 1 Յ 1 6 c y, en consecuencia, (x Ϫ 1)>c 6 1. Por consiguiente,
0 Rn(x) 0 1 y lím Rn(x) 0.
n1
nSq
A.10 Serie de Taylor 339
En el caso en el que 0 6 x 6 1, también puede mostrarse que lím Rn(x) = 0. Se omite la demos-
tración. En consecuencia, nSq
ln x (x 1) 1 (x 1)2 1 (x 1)3 p q ( 1)k 1 (x 1)k
2 3
a k
k1
para todos los valores de x en el intervalo (0, 2].
EJEMPLO 3 Representación de la serie de Maclaurin de cos x
Encuentre la serie de Maclaurin de f (x) ϭ cos x. Demuestre que la serie de Maclaurin represen-
ta a cos x para toda x.
Solución Determinamos primero la serie de Maclaurin generada por f (x) ϭ cos x:
f(x) cos x f (0) 1
f ¿(x) sen x f ¿(0) 0
f –(x) cos x f –(0)
f ‡(x) f ‡(0) 1
sen x 0
y así sucesivamente. De (7) obtenemos la serie de potencias
1 Ϫ x2 ϩ x4 Ϫ x6 ϩ p ϭ q (Ϫ1)k x2k. (13)
2! 4! 6! (2k)!
a
kϭ0
La prueba de las proporciones indica que (13) converge absolutamente para todos los valores
reales de x, en otras palabras, el intervalo de convergencia es (Ϫq, q). En este caso, con el fin
de demostrar que cos x es representada por la serie (13), debemos mostrar que lím Rn(x) = 0.
Para este fin, advertimos que la derivada de ƒ satisface
nSq
f (n 1)(x) e sen x, n par
cos x, n impar.
En cualquier caso, Ϳ f (nϩ1)(c)Ϳ Յ 1 para todo número real c, y consecuentemente por (10),
ͿRn(x)Ϳ ϭ Ϳ f (nϩ1)(c)Ϳ ͿxͿnϩ1 Յ ͿxͿnϩ1
(n ϩ 1)! (n ϩ 1)!.
En vista de (12), tenemos para cualquier elección fija aunque arbitraria de x,
lím xn 1 0.
nSq (n 1)!
Pero lím 0 Rn(x)0 = 0 implica que lím Rn(x) = 0. Por tanto,
nSq nSq
cos x 1 x2 x4 x6 p ( 1)n(2xn2n)! p
2! 4! 6!
es una representación válida de cos x para todo número real x.
EJEMPLO 4 Representación de la serie de Taylor de sen x
Determine la serie de Taylor de f (x) ϭ sen x centrada en a ϭ p>3. Compruebe que la serie de
Taylor representa a sen x para toda x.
Solución Tenemos
f(x) sen x p 13
fa b
32
f ¿(x) cos x p1
f¿a b
32
p 13
f –(x) sen x f –a b
32
f ‡(x) cos x p 1
f ‡a b 2
3
340 APÉNDICE Sucesiones y series
y así sucesivamente. Por consiguiente, la serie de Taylor centrada en p>3 generada por sen x es
13 ϩ 1 ax Ϫ p b Ϫ 13 ax Ϫ p 2 Ϫ 1 ax Ϫ p 3 ϩ p . (14)
2 . 1! 3 2 . 2! 3 . 3! 3
2 b 2 b
También en este caso, de la prueba de las proporciones se sigue que (14) converge absolutamen-
te para todos los valores reales de x, esto es, su intervalo de convergencia es (Ϫq, q). Para
demostrar que
sen x 13 2 1 ax p b 13 ax p 2 2 1 ax p 3 p
2 . 1! 3 2 . 2! 3 . 3! 3
b b
para todo valor real x, advertimos que, como en el ejemplo anterior, Ϳ f (nϩ1)(c)Ϳ Յ 1. Esto impli-
ca que
Ϳx Ϫ p>3Ϳnϩ1
ͿRn(x)Ϳ Յ (n ϩ 1)!
a partir de lo cual vemos, con la ayuda de (12), que lím Rn(x) = 0.
nSq
Se resumen algunas representaciones importantes de series de Maclaurin y sus intervalos de
convergencia:
Series de Maclaurin Intervalos de
convergencia
ex 1 x x2 x3 p q xk ( q, q) (15)
2! 3! a ( q, q) (16)
k! ( q, q) (17)
k0 (18)
[ 1, 1] (19)
cos x 1 x2 x4 x6 p q ( 1)k x2k ( q, q) (20)
2! 4! 6! (2k)! ( q, q) (21)
a
[ 1, 1]
k0
sen x x x3 x5 x7 p q( 1)k x2k 1
3! 5! 7! 1)!
a (2k
k0
tan 1 x x x3 x5 x7 p q( 1)k x2k 1
3 5 7 1
a 2k
k0
cosh x 1 x2 x4 x6 p q x2k
2! 4! 6! a
(2k)!
k0
senh x x x3 x5 x7 p q x2k 1
3! 5! 7! a
(2k 1)!
k0
ln(1 x) x x2 x3 x4 p q( 1)k x k 1
2 3 4 1
a k
k0
Se pide al lector demostrar la validez de las representaciones (15), (17), (19) y (20) como ejer-
cicio. Vea los problemas 51-54 en los ejercicios A.10.
Además, se le recomienda observar con cuidado las series dadas en (16)-(20) y responder
después la pregunta del problema 61 de los ejercicios A.10.
Algunas gráficas de polinomios de Taylor En el ejemplo 3 observamos que la serie de Taylor
de f (x) ϭ cos x en a ϭ 0 representa la función para toda x, ya que lím Rn(x) = 0. Siempre es de
nSq
interés ver gráficamente cómo las sumas parciales de la serie de Taylor, las cuales son los poli-
nomios de Taylor definidos en (9), convergen a la función. En la FIGURA A.10.1a) las gráficas de los
polinomios de Taylor
P0(x) ϭ 1, P2(x) ϭ 1 Ϫ 1 x 2, P4(x) ϭ 1 Ϫ 1 x 2 ϩ 1 x 4,
2! 2! 4!
y P10(x) ϭ 1 Ϫ 1 x2 ϩ 1 x4 Ϫ 1 x6 ϩ 1 x8 Ϫ 1 x10
2! 4! 6! 8! 10!
se comparan con la gráfica de f (x) ϭ cos x.
A.10 Serie de Taylor 341
Una comparación de los valores numéricos se presenta en la figura A.10.1b).
y
2 P4 (x)
1 P0 (x)
Ϫ9 Ϫ8 Ϫ7 Ϫ6 Ϫ5 Ϫ4 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 x
Ϫ1 123456789
ƒ(x) ϭ cos x
Ϫ2 P2 (x) P10 (x)
a)
b)
FIGURA A.10.1 Polinomios de Taylor P0, P2, P4 y P10 para cos x
Aproximaciones Cuando el valor de x es cercano al centro a (x Ϸ a) de una serie de Taylor,
puede usarse el polinomio de Taylor Pn(x) de una función f en a para aproximar el valor de la
función f (x). El error en esta aproximación está dado por
0 Rn(x) 0 ϭ 0 f (x) Ϫ Pn(x) 0 .
EJEMPLO 5 Aproximación utilizando un polinomio de Taylor
Aproxime eϪ0.2 mediante un polinomio de Taylor P3(x). Determine la exactitud de la aproxima-
ción.
Solución Como el valor x ϭ -0.2 es cercano a 0, recurrimos al polinomio de Taylor de
f (x) ϭ ex en a ϭ 0:
P3(x) ϭ f (0) ϩ f ¿(0) ϩ f –(0) x 2 ϩ f –(0) x 3.
1! x 1! 3!
Se sigue de
f (x) ϭ f ¿(x) ϭ f –(x) ϭ f ‡(x) ϭ ex
f(0) ϭ f ¿(0) ϭ f –(0) ϭ f ‡(0) ϭ 1
que P3(x) ϭ 1 ϩ x ϩ 21x2 ϩ 1 x3.
6
Este polinomio es la cuarta suma parcial de la serie dada en (15). Ahora,
P3(Ϫ0.2) ϭ 1 ϩ (Ϫ0.2) ϩ 1 (Ϫ0.2)2 ϩ 1 (Ϫ0.2)3 Ϸ 0.8187
2 6
y por ello, eϪ0.2 Ϸ 0.8187. (22)
Después de esto, de acuerdo con (10) es posible escribir
0 R3(x) 0 ϭ ec 0x04 6 0x04
4! 4!
puesto que -0.2 6 c 6 0 y ec 6 1. La desigualdad
0 R3(Ϫ0.2) 0 6 0 Ϫ0.2 0 4 6 0.0001
24
implica que el resultado en (22) es exacto hasta tres lugares decimales.
342 APÉNDICE Sucesiones y series
En la FIGURA A.10.2 hemos comparado las gráficas de los polinomios de Taylor f (x) ϭ ex cen-
trados en a ϭ 0:
P1(x) 1 x, P2(x) 1 x 1 x 2 y P3(x) 1 x 1 x 2 1 x 3.
2 2 6
Advierta en las figura A.10.2b) y A.10.2c) que las gráficas de los polinomios de Taylor P2(x) y
P3(x) son indistinguibles de la gráfica de y ϭ ex en una pequeña vecindad de x ϭ 0.2.
yy y
4 yϭex 4 yϭex 4 yϭex
2 P1(x) 2 P2(x) P3(x)
2
Ϫ1.5 Ϫ1 Ϫ0.5 x Ϫ1.5 Ϫ1 Ϫ0.5 x Ϫ1.5 Ϫ1 Ϫ0.5 x
0.5 1 1.5 0.5 1 1.5 0.5 1 1.5
a) b) c)
FIGURA A.10.2 Gráficas de los polinomios de Taylor del ejemplo 5
Una integral tal como μsen x2 dx, donde sen x2 no posee una antiderivada en la forma de una
función elemental, se conoce como una integral no elemental. La serie de Taylor es de gran
ayuda cuando se trabaja con integrales no elementales. Por ejemplo, la serie de Maclaurin que
se obtiene al sustituir x por x2 en (17) converge para Ϫq 6 x 6 q, y por ello, de acuerdo con
el teorema A.9.2,
sen x2 dx ax2 x6 x10 x14 pb dx
3! 5! 7!
x3 x7 x11 x15 p C. (23)
3 7 . 3! 11 . 5! 15 . 7!
EJEMPLO 6 Aproximación utilizando una serie de Taylor
Aproxime μ01 sen x2 dx hasta tres lugares decimales.
Solución De (23) advertimos de inmediato que
1 x3 x7 x11 x15 1
15 . 7!
sen x2 dx 3 7 . 3! 11 . 5! pd
1
0 15 . 7! 0
11 1 p. (24)
3 7 . 3! 11 . 5!
Por el teorema de la cota del error para la serie alternante, teorema A.7.2, el cuarto término en
la serie (24) satisface
a4 ϭ 1 Ϸ 0.000013 6 0.0005.
15 . 7!
Por tanto, la aproximación
1 1 1 1 0.3103
3 7 . 3! 11 . 5!
sen x2 dx
0
es exacta hasta tres lugares decimales.
Límites Una representación de serie de potencias de una función algunas veces es útil en el
cálculo de límites. Por ejemplo, en la sección 3.4 se recurrió a un sutil argumento geométrico
sen x
para demostrar que lím x = 1. Pero si usamos (17) y la división entre x observamos de inme-
diato que
xS0
el límite de cada uno
de estos términos es 0
x x3 x5 p ⎞
lím 3! 5! ⎪
⎪
xS0 x ⎬
⎪
⎪
⎠
lím sen x lím a1 x2 x4 p b 1.
x 3! 5!
xS0 xS0
A.10 Serie de Taylor 343
EJEMPLO 7 Cálculo de un límite
Evalúe lím x tan 1 x.
x3
xS0
Solución Observe que el límite tiene la forma indeterminada 0͞0. Si revisa el problema 25 en
el ejercicio 5.11, tal vez recuerde evaluar este límite mediante la regla de L’Hôpital. Pero en vista
de (18), podemos escribir
lím x tan 1 x x ax x3 x5 pb también vea el problema 15 en los
x3 3 5
xS0 lím d ejercicios A.9 para la representación
x3 de tan-1 x en serie de potencias
xS0
x3 x5 p d se factoriza x3 del numerador
lím 3 5 y se cancela
x3
xSq
lím a 1 x2 pb 31.
3 5
xS0
Empleo de la aritmética de una serie de potencias En la sección A.9 se discutió la aritmé-
tica de la serie de potencias, esto es, las series de potencias pueden básicamente manipularse de
manera aritmética igual que los polinomios. En el caso en que las representaciones de las series
de potencia f (x) ϭ a bk(x Ϫ a)k y g(x) ϭ a ck(x Ϫ a)k convergen en el mismo intervalo abierto
(a Ϫ R, a ϩ R) para R 7 0 o (Ϫq, q) para R ϭ q, pueden obtenerse las representacio-
nes de la serie de potencias para f (x) + g(x) y f (x)g(x) a su vez, sumando las series y multipli-
cándolas. La suma y el producto convergen en el mismo intervalo. Si dividimos la serie de poten-
cias de f entre la serie de potencias de g, entonces el cociente representa a f (x)>g(x) en alguna
vecindad de a.
EJEMPLO 8 Serie de Maclaurin de tan x
Encuentre los primeros tres términos distintos de cero de la serie de Maclaurin de f (x) = tan x.
Solución De (16) y (17) podemos escribir
tanx sen x x x3 x5 x7 p
cos x 1 3! 5! 7! p
x2 x4 x6
2! 4! 6!
Entonces mediante división larga
x ϩ 13x3 ϩ 125x5 ϩ p
1 Ϫ 21x2 ϩ 214x4 Ϫ p ͤ x Ϫ 16x3 ϩ 1120x5 Ϫ p
x Ϫ 21x3 ϩ 214x5 Ϫ p
31x3 Ϫ 310x5 ϩ p
13x3 Ϫ 61x5 ϩ p
125x5 ϩ p
125x5 ϩ p
o
Por consiguiente, tenemos
tan x x 1 x 3 2 x5 p.
3 15
Desde luego, el último resultado pudo también obtenerse utilizando (7). Vea el problema 11
en los ejercicios A.10. Después de trabajar en el ejemplo 8 se le recomienda leer ii) en las Notas
desde el aula.
344 APÉNDICE Sucesiones y series
Polinomios de Taylor (Redux) En la sección 5.8 se introdujo la noción de una aproximación
lineal local de f en a dada por f(x) Ϸ L(x), donde
L(x) ϭ f(a) ϩ f ¿(a)(x Ϫ a). (25)
Esta ecuación representa la línea tangente a la gráfica de f en x ϭ a. Como es un polinomio li-
neal, otro símbolo apropiado para (25) es
P1(x) ϭ f (a) ϩ f ¿(a)(x Ϫ a). (26)
La ecuación se reconoce ahora como el polinomio de Taylor de primer grado de f en a. La idea
detrás de (25) es que la línea tangente puede usarse para aproximar el valor de f (x) cuando x está
en una pequeña vecindad de a. Pero, puesto que la mayoría de las gráficas tienen concavidad y
una línea tangente, no es posible esperar que un polinomio de grado superior proporcionaría una
mejor aproximación a f (x) en el sentido de que su gráfica estaría cerca de la gráfica de f sobre
un intervalo más grande que contenga a a. Advierta que (26) tiene las propiedades de P1 y su pri-
mera derivada concuerda con f y su primera derivada en x ϭ a:
P1(a) ϭ f (a) y P1¿(a) ϭ f ¿(a).
Si deseamos que una función polinomial cuadrática
P2(x) ϭ c0 ϩ c1(x Ϫ a) ϩ c2(x Ϫ a)2
tenga las propiedades análogas, a saber:
P2(a) f (a), P2¿(a) f ¿(a) y P2–(a) f –(a),
entonces, siguiendo un procedimiento similar a (1)-(5), se advierte que P2 debe ser
Pn(x) es el polinomio de grado P2(x) ϭ f (a) ϩ f ¿(a) (x Ϫ a) ϩ f –(a) (x Ϫ a)2. (27)
n definido en (9). 1! 2!
Gráficamente, esto significa que la gráfica de f y la gráfica de P2 tienen la misma línea tangente
y la misma concavidad en x = a. Desde luego, se reconoce (27) como el polinomio de Taylor de
segundo grado. Se afirma que f(x) Ϸ P2(x) es una aproximación cuadrática local de f en a. Al
continuar de esta manera se construye f(x) Ϸ Pn(x), que es una aproximación local de grado
n-ésimo de f en a. Con esta discusión en mente, el lector necesita prestar mayor atención a las
gráficas de f (x) = cos x, P0, P2, P4 y P10 cerca de x = 0 en la figura A.10.1a) y las aproximacio-
nes en la figura A.10.1b). También debe reexaminar la figura A.10.2.
Posdata: Un poco de historia El teorema A.10.2 recibe su nombre en honor del matemático
inglés Brook Taylor (1685-1731), quien publicó este resultado en 1715. Sin embargo, la fórmu-
la en (6) fue descubierta por Johann Bernoulli casi 20 años antes. La serie en (7) recibe su nom-
bre en honor al matemático escocés y estudiante de Isaac Newton, Colin Maclaurin (1698-
1746). No es claro por qué el nombre de Maclaurin se asocia con esta serie.
g NOTAS DESDE EL AULA
i) El método de la serie de Taylor para encontrar la serie de potencias de una función y la
prueba posterior de que la serie representa a la función tiene una gran y obvia desventa-
ja. La obtención de una expresión general para la derivada n-ésima de la mayoría de las
funciones es casi imposible. De tal modo, se presenta con frecuencia la limitación de
determinar sólo algunos de los primeros coeficientes cn.
ii) Es fácil pasar por alto la importancia de los resultados en (6) y (7). Suponga que se desea
encontrar la serie de Maclaurin para f(x) ϭ 1>(2 Ϫ x). Es posible, desde luego, utilizar
(7), lo cual se le pide al lector en el problema 1 de los ejercicios A.10. Por otro lado, el
lector debe reconocer, de los ejemplos 3-5 de la sección A.9, que la representación en
serie de potencias de f puede obtenerse utilizando series geométricas. El punto es:
• La representación es única. De tal modo que sobre su intervalo de convergencia,
una serie de potencias que representa a una función, independientemente de cómo
se obtuvo, es la serie de Taylor o de Maclaurin de esa función.
A.10 Serie de Taylor 345
PROBLEMAS A.10 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-20.
Fundamentos En los problemas 39 y 40, utilice división para encontrar los
En los problemas 1-10, emplee (7) para determinar la serie de primeros cinco términos distintos de cero de la serie de
Maclaurin de la función dada.
Maclaurin de la función dada.
1. f (x) ϭ 1 2. f(x) ϭ 1 39. f (x) ex 40. f (x) sec x
Ϫ 1 ϩ 5x cos x
2 x
En los problemas 41 y 42, establezca el valor indicado de la
3. f(x) ϭ ln(1 ϩ x) 4. f(x) ϭ ln(1 ϩ 2x)
integral definida dada.
5. f (x) ϭ sen x 6. f (x) = cos 2x Ύ41. 1 1 1 1
3 10 42
7. f (x) ϭ ex 8. f (x) ϭ eϪx eϪx 2 dx ϭ 1 Ϫ ϩ Ϫ ϩ p
0
9. f (x) ϭ senh x 10. f (x) = cosh x 1sen x 1 1 1 p
x 3 . 3! 5 . 5! 7 . 7!
En los problemas 11 y 12, emplee (7) para determinar los pri- 42. dx 1
0
meros cuatro términos distintos de cero de la serie de Ma- En los problemas 43-46, encuentre la suma de la serie dada.
claurin para la función dada. 1 1 1 1 1 1 1
3 5 7 2! 3! 4! 5!
11. f (x) = tan x 12. f (x) ϭ sen-1 x 43. 1 Ϫ ϩ Ϫ ϩ p 44. Ϫ ϩ Ϫ ϩ p
En los problemas 13-24, emplee (6) para determinar la serie de 45. 1 Ϫ p2 ϩ p4 Ϫ p6 ϩ p 46. p Ϫ p3 ϩ p5 Ϫ p7 ϩ p
Taylor de la función dada centrada en el valor indicado de a. 2! 4! 6! 3! 5! 7!
13. f (x) 1 1 x, a 4 14. f(x) 1x, a 1 En los problemas 47-50, aproxime la cantidad indicada utili-
zando el polinomio de Taylor Pn(x) para los valores señalados
15. f(x) 1x, a 1 16. f(x) 1x, a 5 de n y a. Determine la exactitud de la aproximación.
17. f (x) sen x, a p>4 18. f (x) sen x, a p>2 47. sen 46°, n = 2, a = p͞4 [Sugerencia: Convierta 46° a
radianes.]
19. f(x) cos x, a p>3 20. f(x) cos x, a p>6 48. cos 29Њ, n = 2, a = p>6 49. e0.3, n ϭ 4, a ϭ 0
1 50. senh(0.1), n = 3, a = 0
2
21. f (x) ex, a 1 22. f(x) e 2x, a 51. Demuestre que la serie obtenida en el problema 5 repre-
senta a sen x para todo valor real de x.
23. f(x) ln x, a 2 24. f(x) ln(x 1), a 2
52. Demuestre que la serie obtenida en el problema 7 repre-
En los problemas 25-32, utilice resultados, métodos o proble- senta a ex para todo valor real de x.
mas previos para determinar la serie de Maclaurin de la fun- 53. Demuestre que la serie obtenida en el problema 9 repre-
senta a senh x para todo valor real de x.
ción dada.
25. f (x) e x2 26. f (x) x2e 3x 54. Demuestre que la serie obtenida en el problema 10 repre-
senta cosh x para todo valor real de x.
27. f(x) x cos x 28. f (x) sen x3
29. f(x) ln(1 x) 30. f(x) ln a 1 x b Aplicaciones
1 x
31. f (x) sec2 x 32. f(x) ln(cos x) 55. Al nivelar una larga autopista de longitud L, debe hacer-
se una compensación con respecto a la curvatura de la
En los problemas 33 y 34, emplee la serie de Maclaurin como Tierra.
una ayuda en la evaluación de límite indicado. a) Demuestre que la corrección de nivelación y indicada
x3 1 x ex en la FIGURA A.10.3 es y = R sec(L>R) - R, donde R es
sen x 1 cos x
33. lím x 34. lím el radio de la Tierra medido en millas.
xS0 xS0 b) Si P2(x) es el polinomio de Taylor de segundo grado
para f (x) = sec x en a = 0, utilice sec x P2(x) para x
En los problemas 35 y 36, use adición de series de Maclaurin cercano a cero con el fin de demostrar que la correc-
para ex y eϪx para determinar la serie de Maclaurin de la fun- ción aproximada del nivelado es y Ϸ L2>(2R).
ción dada.
35. f (x) ϭ cosh x 36. f (x) ϭ senh x c) Encuentre el número de pulgadas de la corrección del
nivelado que se necesita para una autopista de 1 milla.
En los problemas 37 y 38, use multiplicación para encontrar Emplee R ϭ 4 000 mi.
los primeros cinco términos distintos de cero de la serie de d) Si se usa sec x P4(x), entonces demuestre que la
corrección de nivelación es
Maclaurin para la función dada.
37. f(x) ϭ ex 38. f (x) ϭ ex sen x y Ϸ L2 ϩ 5L4 .
1Ϫx 2R 24R3
346 APÉNDICE Sucesiones y series
Repita el cálculo en el inciso c) utilizando la última 59. Sin utilizar (6), encuentre la serie de Taylor para la fun-
fórmula. ción f (x) ϭ (x ϩ 1)2ex centrada en a ϭ 1. [Sugerencia:
ex ϭ exϩ1Ϫ1.]
yL
60. Discuta: ¿ f (x) ϭ cot x posee una representación en serie
R de Maclaurin?
x
61. Explique por qué resulta lógico que las series de
FIGURA A.10.3 La Tierra en el problema 55 Maclaurin (16) y (17) para cos x y sen x contengan sólo
potencias pares de x y sólo potencias impares de x, res-
56. Una onda de longitud L viaja de izquierda a derecha a tra- pectivamente. Después reinspeccione la serie de Maclau-
vés de agua a una profundidad d (en pies), como se ilus- rin en (18), (19) y (20) y comente.
tra en la FIGURA A.10.4. Un modelo matemático que relacio-
na la velocidad y de la onda con L y d es 62. Suponga que se desea calcular f (10)(0) para f (x) ϭ
x4 sen x2. Desde luego, podría utilizarse el enfoque de
y ϭ gL a 2pd b. fuerza bruta: recurrir a la regla del producto y cuando se
B 2p L obtenga (a la larga) la décima derivada igualar x a 0.
Piense en una manera más hábil de determinar el valor de
esta derivada.
tanh
a) Para agua profunda demuestre que y Ϸ 1gL>2p. Proyectos
b) Utilice (7) para determinar los primeros tres térmi-
63. Un clásico matemático La función
nos distintos de cero de la serie de Maclaurin para
f (x) = tanh x. Demuestre que cuando d͞L es pequeña, f (x) ϭ e eϪ1>x 2, x0
y Ϸ 1gd. En otras palabras, en agua poco profunda 0, xϭ0
la velocidad de una onda es independiente de la lon-
gitud de la onda. aparece en casi todo texto de cálculo. La función f es con-
tinua y posee derivadas de todos los órdenes en todo
L valor de x.
d a) Emplee una calculadora o un SAC para obtener la grá-
fica de f.
FIGURA A.10.4 Onda del problema 56
b) Emplee (7) para determinar la serie de Maclaurin
correspondiente a f. Tendrá que recurrir a la definición
de la derivada para calcular f ¿(0), f –(0), … Por ejem-
plo,
Piense en ello f ¿(0) lím f(0 ¢x) f(0)
¢S0 ¢x .
En los problemas 57 y 58, encuentre dos maneras, aparte Podría ser de utilidad utilizar t ϭ ¢x y recordar la
regla de L’Hôpital. Demuestre que la serie de
de utilizar (7), de determinar la representación de la serie de Maclaurin de f converge para toda x. ¿La serie repre-
senta a la función f que la generó?
Maclaurin de la función dada.
57. f (x) ϭ sen2 x 58. f (x) ϭ sen x cos x
A.11 Serie del binomio
Introducción La mayoría de los estudiantes de matemáticas están familiarizados con la
expansión binomial en los dos casos:
(1 ϩ x)2 ϭ 1 ϩ 2x ϩ x2
(1 ϩ x)3 ϭ 1 ϩ 3x ϩ 3x2 ϩ x3.
En general, si m es un entero positivo, entonces
m(m Ϫ 1) m(m Ϫ 1)(m Ϫ 2) p (m Ϫ n ϩ 1) xn
2! n!
(1 ϩ x)m ϭ 1 ϩ mx ϩ x2 ϩ p ϩ (1)
ϩ p ϩ mxmϪ1 ϩ xm.
La expansión de (1 ϩ x)m en (1) se denomina teorema del binomio. Utilizando la notación de
sumatoria, (1) se escribe
(1 x)m m amk b x k, (2)
a
k0
A.11 Serie del binomio 347
donde el símbolo Qmk R se define como
por conveniencia este (m k 1) (m (k 1))
término se define como 1
2) p (m T
T k!
am0 b 1, k 0 y amk b m(m 1)(m k 1) 1.
,k
Estos números se llaman coeficientes binomiales. Por ejemplo, cuando m ϭ 3, los cuatro coe-
ficientes binomiales son
a30b ϭ 1, a13b ϭ 3 ϭ 3, a23b ϭ 3(3 Ϫ 1) ϭ 3, a33b ϭ 3(3 Ϫ 1)(3 Ϫ 2) ϭ 1.
1 2 6
Si bien (2) tiene la apariencia de una serie, es una suma finita consistente en m ϩ 1 términos que Isaac Newton fue el primero
finalizan con xm. En esta sección se verá que cuando (1) se extiende a potencias m que no son que dio en 1665 la extensión del
teorema del binomio (m un
enteros positivos, el resultado es una serie infinita. entero positivo) a la serie del
binomio (m fraccionario y
Serie del binomio Suponga ahora que f(x) ϭ (1 ϩ x)r, donde r representa cualquier número números reales negativos).
real. De
f(x) ϭ (1 ϩ x)r f(0) ϭ 1
f ¿(x) ϭ r(1 ϩ x)rϪ1 f ¿(0) ϭ r
f –(x) ϭ r(r Ϫ 1)(1 ϩ x)rϪ2 f –(0) ϭ r(r Ϫ 1)
f –¿(x) ϭ r(r Ϫ 1)(r Ϫ 2)(1 ϩ x)rϪ3 f –¿(0) ϭ r(r Ϫ 1)(r Ϫ 2)
o o
f (n)(x) ϭ r(r Ϫ 1) p (r Ϫ n ϩ 1)(1 ϩ x)rϪn f (n)(0) ϭ r(r Ϫ 1) p (r Ϫ n ϩ 1)
advertimos que la serie de Maclaurin generada por f es
q f (k)(0) xk ϭ 1ϩrx ϩ r(r Ϫ 1) x2 ϩ r(r Ϫ 1)(r Ϫ 2) x3 ϩ p r(r Ϫ1) p (r Ϫ n ϩ 1) xn ϩ p
k! 2! 3! ϩ n!
a
kϭ0
ϭ 1 ϩ q r(r Ϫ 1) p (r Ϫ k ϩ 1) xk
a k!
kϭ1
ϭ q a kr b x k. (3)
a
kϭ0
La serie de potencias dada en (3) se denomina serie del binomio. Advierta que (3) termina sólo
cuando r es un entero positivo; en este caso, (3) se reduce a (1). De acuerdo con la prueba de las
proporciones, la versión dada en el teorema A.7.4,
lím ` an 1 ` r(r 1) p (r n 1)(r n) xn 1 n! 1)xn `
an lím ` (n 1)! 1) p (r
nSq . r(r n
nSq
rn
lím 1x
n
nSq
` r 1`
n 1 0x0
lím n 0x0
nSq 1
concluimos que la serie del binomio (3) converge para 0 x 0 6 1 o -1 6 x 6 1 y diverge para
0 x 0 7 1, esto es, para x 7 1 o x 6 -1. La convergencia en los puntos extremos x ϭ Ϯ1 depende
del valor de r.
Desde luego no es una gran sorpresa aprender que la serie (3) representa la función f que la
generó. Se enuncia esto como un teorema formal.
348 APÉNDICE Sucesiones y series
Teorema A.11.1 Serie del binomio
Si 0x 0 6 1, entonces para cualquier número real r,
(1 x)r q a kr b x k, (4)
a
k0
donde y a kr b r(r 1)(r 2) p (r k 1) 1.
a0r b 1, k 0 k! ,k
EJEMPLO 1 Representación de una función mediante una serie del binomio
Encuentre una representación en serie de potencias para f(x) ϭ 11 ϩ x.
Solución Reescribiendo f como f(x) ϭ (1 ϩ x)1>2 identificamos r ϭ 21. Después se deduce de
(4) que para 0x 0 6 1,
21 ϩ x ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p ϩ a 1 b xn ϩ p
2
a12 b x a22 b x2 a32 b x3
n
ϭ 1 ϩ 21x ϩ 1 A12 Ϫ 1B ϩ 1 A 1 Ϫ 1B A 1 Ϫ 2B ϩ p
2 x2 2 2 2 x3
2! 3! 1 A12 1 1
2 2 2
ϩ Ϫ 1 B A Ϫ 2B p A Ϫ n ϩ 1B xn ϩ p
n!
21x 2212!x2 123.33! x3 (Ϫ1)nϪ11 . 3 . 5 p (2n Ϫ 3)xn
2nn!
ϭ 1 ϩ Ϫ ϩ ϩ p ϩ ϩ p.
La última línea se escribe utilizando la notación de sumatoria como
11 ϩ x ϭ 1 ϩ 21x ϩ q 1 . 3 . 5 p (2k Ϫ 3)xk.
2kk!
a (Ϫ1)kϪ1
kϭ2
Suponga que la función en el ejemplo 1 ha sido f(x) ϭ 14 ϩ x. Para obtener la represen-
tación en serie del binomio de f tendríamos que reescribir la función en la forma (1 ϩ x)r facto-
rizando el 4 fuera del radical, esto es,
f(x) ϭ 14 ϩ x ϭ 14 a 1 ϩ 41x 1>2 ϭ 2a1 ϩ 1 1>2
4
b xb .
Ahora es posible emplear (4) en la cual el símbolo x es sustituido por x͞4. La serie resultante
convergería entonces para 0 x>4 0 6 1 o 0x 0 6 4.
EJEMPLO 2 Una fórmula de la física
En la teoría de la relatividad de Einstein, la masa de una partícula que se mueve a una velocidad
y relativa a un observador está dada por
mϭ m0 , (5)
21 Ϫ y2>c2
donde m0 es la masa en reposo y c es la velocidad de la luz.
Muchos de los resultados de la física clásica no se cumplen para partículas, tales como elec-
trones, los cuales se mueven a una velocidad cercana a la de la luz. La energía cinética ya no es
K ϭ 1 m0y2 sino
2
K ϭ mc2 Ϫ m0c2. (6)
Si identificamos r ϭ Ϫ12 y x ϭ Ϫy2>c2 en (5), tenemos 0 x 0 6 1, ya que ninguna partícula puede
superar la velocidad de la luz. En consecuencia, (6) puede escribirse:
K ϭ m0 c2 x Ϫ m0 c2
11 ϩ
[ ]ϭ m0 c2 (1 ϩ x)Ϫ1>2 Ϫ 1
A.11 Serie del binomio 349
m0 c2 c a1 21x 3 x2 5 x3 pb 1d d ahora se sustituye
8 16 el valor por x
m0 c2 c 1 a y2 b 3 a y4 b 5 a y6 b pd. (7)
2 c2 8 c4 16 c6
En el mundo cotidiano donde y es mucho más pequeña que c, son ignorables los términos más
allá del primero en (7). Esto conduce al resultado clásico bien conocido
K Ϸ m0 c2 c 1 a y2 b d ϭ 1 m0 y 2.
2 c2 2
g NOTAS DESDE EL AULA
Al llegar al final de la discusión de series infinitas es probable que el lector tenga la fuerte
impresión de que las series divergentes son inútiles. Nada de eso. Los matemáticos odian
que algo se desperdicie. Las series divergentes se usan en una teoría conocida como repre-
sentaciones asintóticas de funciones. Ocurre algo como lo siguiente; una serie divergente
de la forma
a0 ϩ a1>x ϩ a2>x2 ϩ p
es una representación asintótica de la función f si
lím xn [ f(x) Sn(x) ] 0,
nSq
donde Sn(x) es la suma parcial (n ϩ 1) de la serie divergente. Algunas funciones impor-
tantes en matemáticas aplicadas se definen de esta manera.
PROBLEMAS A.11 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-20.
Fundamentos 14. a) Demuestre que la longitud de un cuarto de la elipse
x2>a2 ϩ y2>b2 ϭ 1 está dada por L ϭ aE(k), donde
En los problemas 1-10, recurra a (4) para determinar los pri-
E(k) es
meros cuatro términos de una representación en serie de poten-
p>2
cias de la función dada. Indique el radio de convergencia.
E(k) 21 k2 sen2 u du
1. f (x) ϭ 13 1 ϩ x 2. f(x) ϭ 11 Ϫ x 0
3. f(x) ϭ 19 Ϫ x 4. f(x) ϭ 1 y k2 ϭ (a2 Ϫ b2)>a2 6 1. Esta integral recibe el nom-
11 ϩ 5x bre de integral elíptica completa del segundo tipo.
5. f(x) ϭ 1 b) Demuestre que
21 ϩ x2 6. f(x) ϭ x
23 1 Ϫ x2 L ϭ p Ϫ a p k 2 Ϫ a 3p k4 Ϫ p .
7. f (x) ϭ (4 ϩ x)3>2 a2 2 4 8 16
8. f(x) ϭ x
2(1 ϩ x)5 15. En la FIGURA A.11.1 un cable colgante está sostenido en los
9. f (x) ϭ (2 x x)2 10. f (x) ϭ x2(1 Ϫ x2)Ϫ3 puntos A y B y soporta una carga distribuida uniformemen-
ϩ te (tal como el piso de un puente). Si y ϭ (4d>l2)x2 es la
En los problemas 11 y 12, explique por qué el error en la apro- ecuación del cable, demuestre que su longitud está dada por
ximación dada es menor que la cantidad indicada. [Sugeren- s ϭ l ϩ 8d 2 Ϫ 32d 4 ϩ p .
3l 5l3
cia: Revise el teorema A.7.2.]
11. (1 ϩ x)1>3 Ϸ 1 ϩ 3x; 91x2, x 7 0 2᎐l
d
12. (1 ϩ x2)Ϫ1>2 Ϸ 1 Ϫ x2 ϩ 38x4; 5 x6 A B
2 16 cable
13. Encuentre una representación en serie de potencias para 0
senϪ1 x utilizando
carga uniforme distribuida horizontalmente
sen 1 x x 1 dt. FIGURA A.11.1 Cable colgante del problema 15
0 21 t2
350 APÉNDICE Sucesiones y series
16. Aproxime las siguientes integrales hasta tres lugares 18. a) Suponga que
decimales. f (x) ϭ 1 ϩ rx ϩ r(r Ϫ 1)x2 ϩ p
2!
Ύ 0.2 Ύ 1>2
ϩ r(r Ϫ 1) p (r Ϫ n ϩ 1) xn ϩ p
a) 21 ϩ x3 dx b) 23 1 ϩ x4 dx n!
0 0
17. Por la ley de los cosenos, el potencial en el punto A en la
FIGURA A.11.2 debido a una carga unitaria en el punto B es para 0x 0 6 1. Determine f ¿(x) y xf ¿(x).
1>R ϭ (1 Ϫ 2xr ϩ r2)Ϫ1>2, donde x = cos u. La expresión b) Muestre que
(1 Ϫ 2xr ϩ r2)Ϫ1>2 se dice que es la función generadora
r(r Ϫ 1) p (r Ϫ n) r(r Ϫ 1) p (r Ϫ n ϩ 1)
de los polinomios de Legendre Pk(x), puesto que (n ϩ 1) ϩn
(n ϩ 1)! n!
q
r(r Ϫ 1) p (r Ϫ n ϩ 1)
(1 Ϫ 2xr ϩ r2)Ϫ1>2 ϭ a Pk(x)rk. ϭ r n! .
kϭ0 c) Demuestre que f ¿(x) ϩ x f ¿(x) ϭ rf(x).
Recurra a (4) para determinar P0(x), P1(x) y P2(x).
yA d) Resuelva la ecuación diferencial de primer orden
R (1 ϩ x)f ¿(x) ϭ rf (x)
B r sujeta a f (0) ϭ 1.
1
En los problemas 19 y 20, emplee (4) para determinar la
x representación en serie de potencias en x Ϫ 1 de la función
dada. [Sugerencia: 1 ϩ x ϭ 2 ϩ (x Ϫ 1).]
FIGURA A.11.2 Carga unitaria en el punto B del problema 17 19. f(x) ϭ 11 ϩ x 20. f (x) ϭ (1 ϩ x)Ϫ2
Repaso de álgebra
Enteros Expansiones binomiales
{p , Ϫ4, Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3, 4, p} (a ϩ b)2 ϭ a2 ϩ 2ab ϩ b2
(a ϩ b)3 ϭ a3 ϩ 3a2b ϩ 3ab2 ϩ b3
Enteros positivos (números naturales) (a ϩ b)4 ϭ a4 ϩ 4a3b ϩ 6a2b2 ϩ 4ab3 ϩ b4
{1, 2, 3, 4, 5, p} (a ϩ b)5 ϭ a5 ϩ 5a4b ϩ 10a3b2 ϩ 10a2b3 ϩ 5ab4 ϩ b5
Enteros no negativos (números enteros) Triángulo de Pascal
{0, 1, 2, 3, 4, 5, p}
Los coeficientes en la expansión de (a ϩ b)n siguen el
Números racionales patrón: FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Un número racional es un número en la forma p>q, donde p 1
y q 0 son enteros. 11
121
Números irracionales 1331
14641
Un número irracional es un número que no puede escribirse
en la forma p>q, donde p y q 0 son enteros.
Números reales o
El conjunto R de números reales es la unión de los conjun- Cada número en el interior de este arreglo es la suma de los
tos de números racionales e irracionales. dos números directamente arriba del mismo:
Leyes de exponentes 14641
RbR bR bRb
aman ϭ amϩn, am ϭ amϪn 1 5 10 10 5 1
an
El último renglón son los coeficientes en la expansión de
(am)n ϭ amn, (ab)n ϭ anbn (a ϩ b)5.
Q a n ϭ bann, a0 ϭ 1, a 0 Fórmulas de factorización
b a2 Ϫ b2 ϭ (a Ϫ b)(a ϩ b)
R a3 Ϫ b3 ϭ (a Ϫ b)(a2 ϩ ab ϩ b2)
a3 ϩ b3 ϭ (a ϩ b)(a2 Ϫ ab ϩ b2)
Exponente negativo a4 Ϫ b4 ϭ (a Ϫ b)(a ϩ b)(a2 ϩ b2)
aϪn ϭ 1 , n 7 0
an
Radical Definición del valor absoluto
a1>n ϭ 1n a, n 7 0 un entero
Exponentes racionales y radicales 0a0 ea a si a es no negativo (a 0)
si a es negativo (a 6 0)
am>n ϭ AamB1>n ϭ Aa1>nBm
am>n ϭ 1n am ϭ A 1n a Bm Propiedades de desigualdades
1n ab ϭ 1n a 1n b Si a 7 b y b 7 c, entonces a 7 c.
Si a 6 b, entonces a ϩ c 6 b ϩ c.
na ϭ 1n a Si a 6 b, entonces ac 6 bc para c 7 0.
Ab 1n b Si a 6 b, entonces ac 7 bc para c 6 0.
Fórmula cuadrática
Las raíces de una ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0,
a Z 0, son
x ϭ Ϫb Ϯ 2b2 Ϫ 4ac
2a
FM-1
Fórmulas de geometría
Área A, circunferencia C, volumen V, área superficial S
RECTÁNGULO PARALELOGRAMO TRAPEZOIDE
a
w h h
l b
A ϭ lw, C ϭ 2l ϩ 2w b
TRIÁNGULO RECTÁNGULO A ϭ bh
TRIÁNGULO A ϭ 1 (a ϩ b)h
2
FÓRMULAS MATEMÁTICAS TRIÁNGULO EQUILÁTERO
ca cha ss
b b s
Teorema de Pitágoras:
A ϭ 1 bh, Cϭaϩbϩc hϭ 3 s, Aϭ 3 s2
c2 ϭ a2 ϩ b2 2 2 4
CÍRCULO
ANILLO CIRCULAR SECTOR CIRCULAR
r
r s
R r
A ϭ r2, C ϭ 2r A ϭ (R2 Ϫ r2) A ϭ 12r2 , s ϭ r
ELIPSE ESFERA
ELIPSOIDE
b c r
a ba
A ϭ ab V ϭ43 abc V ϭ43r3, S ϭ 4r 2
FM-2
CILINDRO RECTO CILINDRO CIRCULAR RECTO Fórmulas matemáticas FM-3
h PARALELEPÍPEDO
r RECTANGULAR
V ϭ r 2h, S ϭ 2r h (lado lateral)
h CONO CIRCULAR RECTO h w
B l
h
V ϭ Bh, B, área de la base V ϭ lwh, S ϭ 2(hl ϩ lw ϩ hw)
CONO r FRUSTO DE UN CONO
V ϭ 31r 2h, S ϭr r 2 ϩ h2
r1
h h
B
r2
V ϭ 1 Bh, B, área de la base V ϭ 31h(r 2 ϩ r 1 r 2 ϩ r 22)
3 1
FÓRMULAS MATEMÁTICAS
Gráficas y funciones
Para encontrar intersecciones Transformaciones rígidas
Intersecciones y: sea x = 0 en la ecuación y resolvemos La gráfica de y ϭ f(x) para c 7 0:
para y y ϭ f(x) ϩ c, desplazada hacia arriba c unidades
Intersecciones x: sea y = 0 en la ecuación y resolvemos y ϭ f(x) Ϫ c, desplazada hacia abajo c unidades
para x y ϭ f(x ϩ c), desplazada hacia la izquierda c unidades
y ϭ f(x Ϫ c), desplazada hacia la derecha c unidades
Funciones de polinomios y ϭ f(Ϫx), reflexión sobre el eje y
y ϭ Ϫf (x), reflexión sobre el eje x
f (x) ϭ an xn ϩ anϪ1 xnϪ1 ϩ p ϩ a1x ϩ a0,
FÓRMULAS MATEMÁTICAS donde n es un entero no negativo. Función racional
Función lineal f (x) ϭ p(x) ϭ an xn ϩ p ϩ a1x ϩ a0 ,
q(x) bm xm ϩ p ϩ b1x ϩ b0
f(x) ϭ ax ϩ b, a 0
La gráfica de una función lineal es una recta. donde p(x) y q(x) son funciones polinomiales.
Formas de ecuaciones de rectas: Asíntotas
Punto pendiente: y Ϫ x0 ϭ m(x Ϫ x0), Si las funciones polinomiales p(x) y q(x) no tienen ningún
Pendiente ordenada al origen: y ϭ mx ϩ b, factor en común, entonces la gráfica de la función racional
donde m es la pendiente. f (x) ϭ p(x) ϭ an xn ϩ p ϩ a1x ϩ a0
q(x) bm xm ϩ p ϩ b1x ϩ b0
Función cuadrática
f (x) ϭ ax2 ϩ bx ϩ c, a 0 tiene una
La gráfica de una función cuadrática es una parábola. asíntota vertical:
x = a cuando q(a) ϭ 0,
Vértice (h, k) de una parábola
asíntota horizontal:
Complete el cuadrado en x para f (x) ϭ ax2 ϩ bx ϩ c para y = an>bm cuando n = m y y = 0 cuando n 6 m,
obtener f(x) ϭ a(x Ϫ h)2 ϩ k. De manera alterna, calcule
las coordenadas asíntota oblicua:
y = ax + b cuando n ϭ m ϩ 1.
Q 2ba, f Q b RR.
2a La gráfica no tiene una asíntota horizontal cuando n 7 m.
Una asíntota oblicua se encuentra mediante una división.
Funciones par e impar
Función potencia
Par: f(Ϫx) ϭ f(x); simetría de la gráfica: el eje y f (x) ϭ xn,
Impar: f(Ϫx) ϭ Ϫf(x); simetría de la gráfica: el origen
donde n es cualquier número real.
FM-4
Revisión de trigonometría
Definición de seno y coseno de acuerdo Valores de seno y coseno para ángulos especiales
con el círculo unitario
ͱ3ස y
y 2
(Ϫ 1 , ) (0, 1) ( 1 , ͱ3ස )
1 P(x, y) y sen u 2 2 2
x x cos u
(Ϫͱස12 ,ͱස21 ) 2 2 3 (1 , 1 )
3 3 ͱස2 ͱස2
(Ϫͱස32 , 1 ) 5 4 4 (ͱස3 , 1)
2 6 2
6 2
(Ϫ1, 0) 0 x
2
7 11 (1, 0)
7 6
(Ϫͱස32 , Ϫ 1 ) 6 5 (ͱ23ස ,Ϫ 1 ) FÓRMULAS MATEMÁTICAS
2 4 2
5 4
Otras funciones trigonométricas (Ϫͱස12 , Ϫͱස12) 4 3 3 (ͱස21 ,Ϫͱස12 )
3 2 Ϫͱස23 )
y Ϫ1) (
tan u x sen uu, cot u x cos u (Ϫ 1 , Ϫͱස23 ) (0, 1 ,
cos y sen u 2 2
sec u 1 1 u, csc u 1 1 Límites para las funciones seno y coseno
x cos y sen u 1 sen x 1 y 1 cos x 1
Fórmulas de conversión Periodicidad de las funciones trigonométricas
sen (x 2p) sen x, cos(x 2p) cos x
1 grado p radianes sec(x 2p) sec x, csc(x 2p) csc x
180 tan(x p) tan x, cot(x p) cot x
1 radián 180 grados
p
Definición de seno y coseno de acuerdo Identidades de cofunción
con el triángulo recto
sen Q p xR cos x
opu 2
hip sen u hip
cos Q p xR sen x
opu ady 2
cos u hip
tan Q p xR cot x
2
ady
Otras funciones trigonométricas Identidades pitagóricas
opu ady sen2 x cos2 x 1
1 tan2 x sec2 x
tan u ady, cot u opu 1 cot2 x csc2 x
hip hip
Identidades par/impar
sec u ady, csc u opu
Par
Signos de seno y coseno y cos( x) cos x Impar sen x
0 sen sec( x) sec x sen ( x) csc x
II 0 cos csc( x) tan x
sen I tan( x) cot x
cos 0 cot( x)
0
sen 0 sen
cos 0 cos x
0
III 0
IV
FM-5
FM-6 Fórmulas matemáticas
Fórmulas de suma Funciones trigonométricas inversas
y sen 1 x si y sólo si x sen y, p>2 y p>2
sen (x1 x2) sen x1 cos x2 cos x1 sen x2 y cos 1 x si y sólo si x cos y, 0 y p
y tan 1 x si y sólo si x tan y, p>2 6 y 6 p>2
cos (x1 x2) cos x1 cos x2 sen x1 sen x2
Ciclos para seno, coseno y tangente
tan (x1 x2) tan x1 tan x2
1 tan x1 tan x2 y
Fórmulas de diferencia 1
sen (x1 x2) sen x1 cos x2 cos x1 sen x2
cos (x1 x2) cos x1 cos x2 sen x1 sen x2
tan (x1 x2) tan x1 tan x2 x
1 tan x1 tan x2 32
22
Fórmulas del ángulo doble 1
seno
sen 2x 2 sen x cos x y
cos 2x cos2 x sen2 x 1 y
FÓRMULAS MATEMÁTICAS Fórmulas alternas del ángulo doble para coseno x x
cos 2x 1 2 sen2 x 32 22
cos 2x 2 cos2 x 1
2 tangente
Fórmulas del medio ángulo como se usa en cálculo 2
1
sen2 x 1 (1 cos 2x)
2
cos2 x 1 (1 cos 2x) coseno
2
Leyes de los senos
sen a sen b sen g
abc
Leyes de los cosenos
a2 b2 c2 2bc cos a
b2 a2 c2 2ac cos b
c2 a2 b2 2ab cos g
c ␣
 b
a ␥
Funciones exponencial y logarítmica
El número e Funciones hiperbólicas
e ϭ 2.718281828459...
senh x ex e x cosh x ex e x
2 2
,
Definiciones del número e senh xx, cosh x
cosh senh x
e lím Q1 1 x tanh x coth x
x
xSq R
e lím (1 h)1>h sech x 1 x, csch x 1
hS0 cosh senh x
Función exponencial Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos FÓRMULAS MATEMÁTICAS
f (x) ϭ bx, b 7 0, b 1
senh 1 x ln Ax 2x2 1 B
cosh 1 x
Función exponencial natural tanh 1 x ln Ax 2x2 1 B, x 1
f (x) ϭ ex
coth 1 x 12ln Q 1 x R, 0x0 6 1
1 x
sech 1 x
Función logarítmica 21ln Q x 1 R, 0x0 7 1
f (x) ϭ logb x, x 7 0 csch 1 x x 1
donde y ϭ logb x es equivalente a x ϭ by
ln Q 1 21 x2 R, 0 6 x 1
Función logarítmica natural x
f (x) ϭ loge x ϭ ln x, x 7 0
donde y ϭ ln x es equivalente a x ϭ ey ln Q 1 21 x2 R, x 0
x 0x0
Leyes de logaritmos Identidades par/impar Impar
senh( x) senh x
logb MN ϭ logb M ϩ logb N Par
cosh( x) cosh x
logb M ϭ logbM Ϫ logb N Identidades adicionales
N
cosh2 x senh2 x 1
logb Mc ϭ c logb M 1 tanh2 x sech2 x
Propiedades de logaritmos coth2 x 1 csch2 x
logb b ϭ 1, logb 1 ϭ 0 senh(x1 x2) senh x1 cosh x2 cosh x1 senh x2
logb bx ϭ x, blogb x ϭ x cosh(x1 x2) cosh x1 cosh x2 senh x1 senh x2
senh 2x 2 senh x cosh x
Cambio de la base b a la base e
cosh 2x cosh2 x senh2 x
ln x senh2 x
logb x ln b cosh 2x 1 ( 1 cosh 2x)
2
1 (1 cosh 2x)
2
FM-7
Diferenciación
Reglas 17. d tan 1x 1 18. d cot 1x 1
dx 1 x2 dx 1 x2
d
1. Constante: dx c ϭ 0 d 1 d 1
dx 0 x 0 2x2 dx 0 x 0 2x2
19. sec 1x 20. csc 1x
1
2. Múltiplo constante: d cf (x) ϭ cf ¿(x) 1
dx
Hiperbólicas:
3. Suma: d [ f (x) Ϯ g(x)] ϭ f ¿(x) Ϯ g¿(x) 21. d senh x cosh x 22. d cosh x senh x
dx dx sech2 x dx csch2 x
FÓRMULAS MATEMÁTICAS 4. Producto: d f (x)g(x) ϭ f (x)g¿(x) ϩ g(x) f ¿(x) 23. d tanh x 24. d coth x
dx dx dx
5. Cociente: d f (x) ϭ g(x) f ¿(x) Ϫ f(x)g¿(x) 25. d sech x sech x tanh x
dx g(x) [ g(x) ] 2 dx
6. Cadena: d f (g(x)) ϭ f ¿(g(x))g¿(x) 26. d csch x csch x coth x
dx dx
7. Potencia: d xn ϭ n xnϪ1 Hiperbólicas inversas:
dx
8. Potencia: d [ g(x) ] n ϭ n [ g(x) ] nϪ1g¿(x) 27. d senh 1x 1 28. d cosh 1x 1
dx dx 1 dx
2x2 2x2 1
Funciones 29. d tanh 1x 1 30. d coth 1x 1
dx dx
Trigonométricas: 1 x2 1 x2
d d 31. d sech 1x 1
dx dx dx
9. sen x cos x 10. cos x sen x x 21 x2
csc2 x 1
d d 32. d csch 1x
11. dx tan x sec2 x 12. dx cot x dx 0 x 0 2x2 1
13. d sec x sec x tan x 14. d csc x csc x cot x Exponenciales:
dx dx d d
33. dx ex ex 34. dx bx bx(ln b)
Trigonométricas inversas:
15. d sen 1x 1 16. d cos 1x 1 Logarítmicas:
dx 21 dx
x2 21 x2 35. d ln 0 x 0 1 36. d logb x 1
dx x dx x (ln b)
FM-8
Fórmulas de integración
Formas básicas Formas que implican 2a 2 u 2
1. u dy uy y du 21. 2a2 u2 du u 2a2 u2 a2 ln 0 u 2a2 u2 0 C
2 2
2. un du n 1 1 un 1 C, n 1 22. u2 2a2 u2 du u (a2 2u2) 2a2 u2
8 u2 0
3. du ln 0u 0 C 4. eu du eu C a4 ln 0 u 2a2 C
u 8
5. au du 1 au C 6. sen u du cos u C 23. 2a2 u2 du 2a2 u2 a ln ` a 2a2 u2 ` C FÓRMULAS MATEMÁTICAS
ln a u u
7. cos u du sen u C 8. sec2 u du tan u C 24. 2a2 u2 du 2a2 u2 ln 0u 2a2 u2 0 C
u2 u
9. csc2 u du cot u C 25. du ln 0 u 2a2 u2 0 C
10. sec u tan u du sec u C 2a2 u2
11. csc u cot u du csc u C
12. tan u du ln 0cos u 0 C 26. u2 du u 2a2 u2 a2 ln 0 u 2a2 u2 0 C
2a2 u2 2 2
27. du 1 ln ` 2a2 u2 a` C
u 2a2 u2 a u
28. du 2a2 u2 C
u2 2a2 u2 a2u
13. cot u du ln 0sen u 0 C 29. du u u2 C
(a2 u2)3>2 a2 2a2
14. sec u du ln 0sec u tan u 0 C Formas que implican 2a 2 u 2
30. 2a2 u2 du u 2a2 u2 a2 sen 1u C
2 2 a
15. csc u du ln 0csc u cot u 0 C
du 1u 31. u2 2a2 u2 du u (2u2 a2) 2a2 u2
2a2 u2 a 8
16. sen C
a4 1u
8 sen a C
17. du 1 tan 1u C 2a2 u2 du aln ` a 2a2 u2 `
a2 u2 a a u u
32. 2a2 u2 C
18. du 1 sec 1 ` u ` C
u 2u2 a2 a a
33. 2a2 u2 du 1 2a2 u2 sen 1u C
u2 u a
19. du 1 u a
a2 u2 2a ln ` u a ` C 34. u2 du u a2 1u
2a2 u2 2 2 a
2a2 u2 sen C
35. du
20. du 1 ln ` u a ` C u 2a2 u2 1 a 2a2 u2 `
u2 a2 2a u a a u
ln ` C
FM-9
FM-10 Fórmulas matemáticas
36. du 1 2a2 u2 C 53. u2 du 1 Qa bu a2 2aln 0a bu 0 R C
u2 2a2 u2 a2u (a bu)2 b3 a bu
37. (a2 u2)3>2 du u (2u2 5a2) 2a2 u2 54. u1a bu du 2 (3bu 2a)(a bu)3>2 C
8 15b2
3a4 sen 1u C 55. u du 2 (bu 2a)1a bu C
8 a 1a bu 3b2
38. du u u2 C 56. u2 du 2 (8a2 3b2u2 4abu)1a bu C
(a2 u2)3>2 a2 2a2 1a bu 15b3
Formas que implican 2u 2 a 2 57. du 1 ln ` 1a bu 1a ` C, si a 7 0
u u1a bu 1a 1a bu 1a
2
39. 2u2 a2 du 2u2 a2 2 1a bu
1 A a
a2 tan C, si a 6 0
2 a
ln 0 u 2u2 a2 0 C
40. u2 2u2 a2 du u (2u2 a2) 2u2 a2 58. 1a bu du 21a bu a du
8 a2 0 u u1a bu
FÓRMULAS MATEMÁTICAS a4 2u2 59. 1a bu du 1a bu b du
8 u2
ln 0 u C u 2 u1a bu
41. 2u2 a2 du 2u2 a2 a cos 1a C 60. u2 1a bu du 2un(a bu)3>2
u u b(2n 3)
42. 2u2 a2 du 2u2 a2 2na un 1 1a bu du
u2 u b(2n 3)
ln 0 u 2u2 a2 0 C 61. un du 2un 1a bu 2na un 1 du
1a bu b(2n 1) b(2n 1) 1a bu
43. du ln 0 u 2u2 a2 0 C
2u2 a2 62. du 1a bu
un 1a bu a(n 1)un 1
u2du u
44. 2u2 a2 2 2u2 a2 b(2n 3) du
2a(n 1) un 1 1a
a2 bu
2
ln 0 u 2u2 a2 0 C
45. du 2u2 a2 Formas trigonométricas
u2 2u2 a2 a2u
C 63. sen2 u du 1 u 1 sen 2u C
2 4 C
46. du uC 64. cos2 u du 1 u 1 sen 2u
(u2 a2)3>2 a2 2u2 a2 2 4
Formas que implican a + bu 65. tan2 u du tan u u C
47. u du 1 (a bu aln 0a bu 0) C
a bu b2
66. cot2 u du cot u u C
u2 du 1
48. a bu 2b3 [ (a bu)2 4a(a bu)
2a2 ln 0 a bu 0 ] C 67. sen3 u du 1 (2 sen2 u) cos u C
3
49. du 1 ln ` a u bu ` C 68. cos3 u du 1 (2 cos2 u) sen u C
u(a bu) a 3
50. du 1 b ln ` a u bu ` C 69. tan3 u du 1 tan2 u ln 0cos u 0 C
u2(a bu) au a2 2
51. u du a 1 ln 0 a bu 0 C 70. cot2 u du 1 cot2 u ln 0sen u 0 C
(a bu)2 b2(a bu) b2 2
52. du 1 1 ln ` a u bu ` C 71. sec3 u du 1 sec u tan u 1 ln 0 sec u tan u 0 C
u(a bu)2 a(a bu) a2 2 2
Fórmulas matemáticas FM-11
72. csc3 u du 1 csc u cot u 1 ln 0csc u cot u 0 Formas trigonométricas inversas
2 2 C
u2 C
90. sen 1 u du u sen 1 u 21
73. senn u du 1 senn 1u cos u n1 senn 2 u du
n n
91. cos 1 u du u cos 1 u 21 u2 C
74. cosn u du 1 cosn 1 u sen u n1 cosn 2 u du 1
75. tann u du n n 2
76. cotn u du 92. tan 1 u du u tan 1 u ln(1 u2) C
77. secn u du 93.
78. cscn u du n 1 1 tann 1 u tann 2 u du 94. 2u2 1 sen 1 u u 21 u2
95. 4 4
96. u sen 1 u du C
C
n 1 cotn 1u cotn 2 u du 2u2 1 cos 1 u u 21 u2
1 4 4
u cos 1 u du
n 1 1 tan u secn 2 u n 2 secn 2 u du u2 1 tan u
n 1 2 2
u tan 1 u du 1u C
n 1 cot u cscn 2u n 2 cscn 2 u du un sen 1 u du n 1 1 c un 1 sen 1 u
1 n 1
sen (a b)u sen (a b)u FÓRMULAS MATEMÁTICAS
79. sen au sen bu du 2(a b) 2(a b) C
un 1 du d , n 1
21 u2
80. cos au cos bu du sen (a b)u sen (a b)u C
2(a b) 2(a b) 97. un cos 1 u du n 1 1 c un 1 cos 1 u
81. sen au cos bu du cos(a b)u cos(a b)u
2(a b) C
2(a b) un 1 du d , n 1
82. u sen u du sen u u cos u C 21 u2
98. un tan 1 u du n 1 1 c un 1 tan 1 u
83. u cos u du cos u u sen u C un 1 du
84. un sen u du un cos u n un 1 cos u du 1 u2
d , n 1
85. un cos u du un sen u n un 1 sen u du Formas exponenciales y logarítmicas
99. ueau du 1 (au 1)eau C
senn 1 u cosm 1 u
nm a2
86. senn u cosm u du 100. uneau du 1 uneau n un 1eau du
a a
n 1
n m senn 1 u cosm u du eau sen bu du eau
a2
101. b2 (a sen bu b cos bu) C
C
senn 1u cosm 1 u 102. eau cos bu du eau (a cos bu b sen bu)
nm
m 1 senn u cosm 2 u du a2 b2
n m
du 1 p au 103. ln u du u ln u u C
1 sen au a 4 2
87. tan Q R C
du 1 p au 104. u 1 u du ln 0 ln u 0 C
sen au a 4 2 ln
88. tan Q R C
1 un 1
105. un ln u du (n
udu u p au 1)2 [ (n 1)ln u 1] C
1 sen au a 4 2
89. tan Q R um 1 lnn u
m1
2 p au 106. um lnn u du
a2 4 2
ln ` sen Q R ` C
n um lnn 1 u du, m 1
m1
FM-12 Fórmulas matemáticas
107. ln (u2 a2) du u ln (u2 a2) 2u 2a tan 1u C 121. u22au u2 du 2u2 au 3a2 22au u2
a C 6
108. ln 0 u2 a2 0 du u ln 0 u2 a2 0 2u a ln ` u a ` 122. a3 cos 1Qa a uR C
u a 123. 2
124.
109. du u 1 ln 0 a beu 0 C 125. 22au u2 du 22au u2 a cos 1Q a a u R C
a beu a a 126. u
Formas hiperbólicas 127. 22au u2 du 222au u2 cos 1Q a a u R C
u2 u
110. senh u du cosh u C du cos 1 Q a a u R C
22au u2
111. cosh u du senh u C 22au u2 a cos 1Q a a u R
u du
22au u2 C
112. tanh u du ln (cosh u) C u2 du (u 3a)
22au u2 2 22au
u2
113. coth u du ln 0senh u 0 C 3a2 1Qa uR
2
FÓRMULAS MATEMÁTICAS cos a C
114. sech u du tan 1(senh u) C du 22au u2
u 22ua u2 au
C
115. csch u du ln 0 tanh 1 u 0 C
2
Algunas integrales definidas
116. sech2 u du tanh u C p>2 p>2
117. csch2 u du coth u C 128. sen2n x dx cos2n x dx
0 0
p 1 . 3 . 5 p (2n 1) 1, 2, 3, p
2 2 . 4 . 6 p 2n , n
118. sech u tanh u du sech u C p>2 p>2
129. sen2n 1 x dx cos2n 1 x dx
0 0
119. csch u coth u du csch u C 2 . 4 .6 p 2n
3 . 5 p (2n
1 . 1), n 1, 2, 3, p
Formas que implican 22au u 2
120. 22au u2 du u 2 a 22au u2
a2 cos 1Qa a uR C
2
Respuestas a la evaluación diagnóstica
Evaluación diagnóstica, página xv 31. d(P1, P2) ϩ d(P2, P3) ϭ d(P1, P3)
1. falso 2. verdadero 32. c) 33. falso RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA
3. falso 4. verdadero 34. Ϫ27 35. 8
5. 12 6. Ϫ243 36. 32; (Ϫ9, 0); (0, 6) 37. y ϭ Ϫ5x ϩ 3
7. 3x3 ϩ 8x 8. 2Ax ϩ 3 B2 ϩ 1 38. y ϭ 2x Ϫ 14 39. y ϭ Ϫ31x ϩ 3
2x2 ϩ 4 2 2
9. a) 0, 7 b) Ϫ1 ϩ 16, Ϫ1 Ϫ 16 40. y ϭ Ϫ85x 41. x Ϫ 13y ϩ 413 Ϫ 7 ϭ 0
c) 1 d) 1
10. a) (5x ϩ 1)(2x Ϫ 3) b) x2(x ϩ 3)(x Ϫ 5) 42. i ) g); ii ) e); iii ) h); iv ) a); v) b); vi ) f);
c) (x Ϫ 3)(x2 ϩ 3x ϩ 9) d) (x Ϫ 2)(x ϩ 2)(x2 ϩ 4) vii ) d); viii ) c)
11. falso 12. falso 43. falso 44. falso
13. verdadero 14. 6; Ϫ 6 45. 4p>3 46. 15
15. Ϫa ϩ 5
16. a), b), d), e), g), h), i), l) 47. 0.23 48. cos t 2 12
3
17. i ) d); ii ) c), iii ) a); iv) b)
49. sen u 53; cos u 54; tan u 43; cot u 43; sec u 45;
18. a) Ϫ2 6 x 6 2; b) 0x 0 6 2
csc u 5
3
19. ] ] 20. (Ϫq, Ϫ2) ´ A83, q B 50. b 10 tan u, c 10 sec u 51. k 10 ln 5
Ϫ1 3 22. (Ϫq, Ϫ2) ´ [0, 1] 52. 4 641>3 53. logb 125
21. (Ϫq, Ϫ5 ] ´ [ 3, q) 24. (5, Ϫ7)
23. cuarto 54. aproximadamente 2.3347 55. 1 000
25. Ϫ12; 9 c) (Ϫ1, Ϫ5)
26. a) (1, Ϫ5) b) (Ϫ1, 5) 28. segundo y cuarto 56. verdadero
27. (Ϫ2, 0), (0, Ϫ4), (0, 4) 30. x2 ϩ y2 ϭ 25
29. x = 6 o x = -4
RES-1
Respuestas de los
problemas impares
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 1 Problemas 1.4 17. (- q, -4] ´ [9, q) 19. (- q, - 1] ´ [ 1 , q)
2
1. Demostración 3. 5.25 21. (- q, -3] ´ [1, q) 23. (- 6, 0)
5. -0.2352941176470588 7. 1.23 25. (- q, -3) ´ (-2, -1) 27. (- 37 - 5 , 37 - 5 )
6 6 6 6
11. 3141615͞106
9. 0.05 29. [0, π ) ´ ( 5π , 9π ] 31. (6, 9)
4 4 4
13. 23͞90 15. 571 715͞105
,116 2
17. 134͞9 990 19. 123͞999 33. (- 9 - 12) 35. [ 3 , 3)
21. 4 018͞999 23. Demostración. 37. [ 1 - 5 , 0) ´ [ 1 + 5 , q) 39. (0, 4 ] ´ (2, q)
2 2 2 2 3
25. Demostración. 27. Demostración. 41. (- q, -4) ´ [5 - 65, 0) ´ [5 + 65, q )
29. Demostración. 31. Demostración. 43. (- q, 1 ) ´ (4, q) 45. (- 1, 4)
2
33. Irracional. 35. Irracional. 47. (- q, 1) [ 4 , q)
3
´
37. Irracional. 39. Demostración.
41. Demostración. 43. Demostración. 49. (4 - 7 , 2) ´ [3, 4 + 7 ) 51. (- q, - 1) ´ (- 2 , q)
7
45. Si A ( ޒ, entonces no hay un ínfimo y .5 es el supremo. 53. (- q, - 5) ´ (15, q) 55. (- q, - 1) ´ (- 1, 0)
47. Si A ( ޑ, entonces no hay ínfimo ni supremo. 57. (- q, 5] 59. (- q, 1 ) ´ ( 1 , 3 )
3 3 4
49. Considerando que A ( ޚ, el ínfimo es 1 y no hay supremo. 61. (- q, - 3 ) ´ (1, q) 63. (- q, - 1 )
7 2
51. Si A ( ޚentonces el ínfimo es el 0 y el supremo 2.
65. [- 11 , 5 ] 67. Demostración.
4 4
53.
-10 -2 69. Demostración. 71. Demostración.
55. Problemas 2.1
-2
14 1. 24; 2; 8; 35, 3. 0; 1; 2; 16
57. 5. Ϫ23; 0; 23; 12
0
7. Ϫ2x2 ϩ 3x; Ϫ8a2 ϩ 6a; Ϫ2a4 ϩ 3a2; Ϫ50x2 Ϫ 15x;
59. Ϫ8a2 Ϫ 2a ϩ 1; Ϫ2x2 Ϫ 4xh Ϫ 2h2 ϩ 3x ϩ 3h
-9
9. Ϫ2, 2 11. [21, q B
13. (Ϫq, 1) 15. {x 0x 0, x 3}
61. (- q, 10] 63. (-3, 3) 17. {x 0x 5} 19. (Ϫq, q)
65. (-4, 1) 67. ޒ
69. (- q, -1] ´ [8, q) 71. (-3, 2) 21. [Ϫ5, 5] 23. (Ϫq, 0] ´ [5, q)
25. (Ϫ2, 3] 27. no es una función
Problemas 1.5 29. función
5 31. dominio: [Ϫ4, 4]; rango: [0, 5]
3
1. Demostración. 3. (- q, ) 33. dominio: [1, 9]; rango: [1, 6]
5. (-8, q) 7. [- 1 , q) 35. (8, 0), (0, Ϫ4) 37. A32, 0B, A 25, 0B, (0, 15)
5 39. (Ϫ1, 0), (2, 0), (0, 0) 41. A0, Ϫ41B
43. (Ϫ2, 0), (2, 0), (0, 3)
9. (-2, 0) 11. ( 2 , 1]
3
13. (- 9 , q) 15. (- q, 1) ´ (5, q)
5
Respuestas de los problemas impares RES-3
45. 0; Ϫ3.4; 0.3; 2; 3.8; 2.9; (0, 2) e) f)
x
47. 3.6; 2; 3.3; 4.1; 2; Ϫ4.1; (Ϫ3.2, 0), (2.3, 0), (3.8, 0) y y
49. f1(x) ϭ 1x ϩ 5, f2(x) ϭ Ϫ 1x ϩ 5; [ Ϫ5, q)
51. a) 2; 6; 120; 5 040 c) 5; 42 x
d) (n ϩ 1)(n ϩ 2)(n ϩ 3)
Problemas 2.2 41. a) y b) y
1. Ϫ2x ϩ 13; 6x Ϫ 3; Ϫ8x2 Ϫ 4x ϩ 40; Ϫ24xxϩϩ58, x 2 1 Ϫ Ϫ2 x RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 2
Ϫ1
x2 ϩ ϩx ϩ1)1; x2 Ϫ x Ϫ 1 1 x2 Ϫ Ϫ2
3. x(x x(x ϩ 1) ; ϩ 1; ϩ 1, x 0, x Ϫ1 c) x 2
x x
x
5. 2x2 ϩ 5x Ϫ 7; Ϫx ϩ 1; x4 ϩ 5x3 Ϫ x2 Ϫ 17x ϩ 12; 2 3
9. el intervalo [1, 2)
x ϩ 34, x 1, x Ϫ4 y d) y 2
x ϩ 1 1
x
7. el intervalo [ 1, 2 ]
11. 3x ϩ 16; 3x ϩ 4 13. x6 ϩ 2x5 ϩ x4; x6 ϩ x4 Ϫ2 Ϫ32 Ϫ x 2
3x ϩ 3; 3 Ϫ2 x
x 3ϩx 2 2
Ϫ1
15. 17. (Ϫq, Ϫ1] ´ [1, q) Ϫ1 2
19. [Ϫ15, 15 ] 21. 128x9; 1 e) y f) y
4x9 1 1
23. 36x2 Ϫ 36x ϩ 15 25. Ϫ2x ϩ 9
27. f (x) ϭ 2x2 Ϫ x, g(x) ϭ x2 29. (Ϫ2, 3), (3, Ϫ2)
31. (Ϫ8, 1), (Ϫ3, Ϫ4) 33. (Ϫ6, 2), (Ϫ1, Ϫ3) Ϫ Ϫ2 x Ϫ Ϫ2
Ϫ1
35. (2, 1), (Ϫ3, Ϫ4) 2
g) y
37. a) y b) y Ϫ1
x h) y
1
2
1 Ϫ Ϫ2 1
x 2
x Ϫ Ϫ2 Ϫ
2
c) y d) y Ϫ1
x 45. y ϭ Ϫ(x ϩ 7)4
43. y ϭ (x Ϫ 1)3 ϩ 5
x 47. y 49. 10, 8, Ϫ1, 2, 0
e) y f) y
39. a)
x
c)
x x 51. y
3
y b)
2
x y1
d)
x x
yy Ϫ1 1 2 3 4
x 53. y ϭ 2 Ϫ 3U(x Ϫ 2) ϩ U(x Ϫ 3)
55. y
3
2
1
x
Ϫ1Ϫ1 1 2 3 4
x Ϫ2
Ϫ3
RES-4 Respuestas de los problemas impares
Problemas 2.3 27. La gráfica se desplazó de manera horizontal 10 unidades a la
derecha
1. y ϭ 32x ϩ 4 3. y ϭ 2 29. La gráfica se comprime de manera vertical, luego hay una
3
9. 32; A29, 0B, (0, Ϫ3); reflexión sobre el eje x, después un desplazamiento horizontal
y
5. y ϭ Ϫx ϩ 3 de 4 unidades hacia la izquierda y finalmente un desplazamien-
7. 43; (Ϫ4, 0), (0, 3); to vertical de 9 unidades hacia arriba
y
31. La gráfica se desplazó de manera horizontal 6 unidades a la
izquierda, después hay un desplazamiento vertical de 4 unida-
des hacia abajo
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 2 x y 35. y
33.
x 1
11. y ϭ Ϫ2x ϩ 7 13. y ϭ Ϫ3x Ϫ 2 x 1
1 1
15. y ϭ Ϫ4x ϩ 11
19. y ϭ x ϩ 3 x
21. a) (0, 0), (Ϫ5, 0)
17. f(x) ϭ 1 x ϩ 11
c) AϪ52, Ϫ245B; x ϭ Ϫ52 2 2
b) y ϭ Ax ϩ 5 B2 Ϫ 25 37. y 39. y
2 4
d) y x
x
x
41. y 43. f )
[e) Ϫ245, q B f) [Ϫ52, q B; AϪq, ]Ϫ25 1 x
1
23. a) (Ϫ1, 0), (3, 0), (0, 3) b) y ϭ Ϫ(x Ϫ 1)2 ϩ 4
c) (1, 4); x ϭ 1 d) y
45. e) 47. b)
x 49. asíntotas: x 23, y 2; intersecciones: A49, 0B, (0, 3);
y
e) (Ϫq, 4 ] f) (Ϫq, 1 ] ; [1, q) 2
25. a) (1, 0), (2, 0), (0, 2) b) y ϭ Ax Ϫ 3 B2 Ϫ 1 22 x
2 4 2
c) A23, Ϫ14B; x ϭ 3 d) y
2
51. asíntotas: x 1, y 0; intersecciones: (0, 1);
y
x
e) [Ϫ14, q B f) [32, q B; ]AϪq, 3
2
x
53. asíntotas: x 1, x 1, y 0; intersecciones: (0, 0); 69. t = 0 y t = 6; Respuestas de los problemas impares RES-5
y s
100
x t
Problemas 2.4
55. asíntotas: x 0, y 1; intersecciones: ( 1, 0), (1, 0); 1. y 3. y RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 2
y 3
3
2 2
1 1
1
2
Ϫ 1 x x
2 2 2
x 5. y 7. amplitud: 4; periodo: 2;
y
57. asíntotas: x 0, y x; intersecciones: ( 3, 0), (3, 0); 2
y x4
Ϫ2
x Ϫ4 2
Ϫ6 2
x
12
Ϫ2
Ϫ4
9. amplitud: 3; periodo: 1; 11. amplitud: 4; periodo: 2p;
59. asíntotas: x 2, y x 2; intersecciones: (0, 0); y y x
y 6 2
3 4 3 sen x
2 2
1 x
Ϫ2
Ϫ1 1 1
2 15. y
Ϫ2
Ϫ3
13. amplitud: 1; periodo: 3p;
y
2
1
x x
33
2
17. y 1 3 cos x 19. y 3 sen 2x
21. y 1 cos px 23. y sen px
2
61. asíntotas: x 1, y x 1; 25. amplitud: 1; periodo: 2p; desfasamiento: p>6;
intersecciones: ( 1, 0), (3, 0), (0, 3);
y
y
1
x 6 x
1 13
6
27. amplitud: 1; periodo: 2p; desfasamiento: p>4;
63. -1 está dentro del rango de f, pero 2 no está en el rango de f y
1
65. TF ϭ 9 ϩ 32 x
5TC
7
67. 1 680; 35.3 años aproximadamente 44
1
RES-6 Respuestas de los problemas impares
29. amplitud: 4; periodo: p; desfasamiento: 3p>4; 49. periodo: 2p; intersecciones x: (p>2 ϩ 2np, 0), donde n es
y un entero; asíntotas: x ϭ 3p>2 ϩ 2np, donde n es un entero;
4y
24
x 3
3 7 2
4
Ϫ2 4
Ϫ4 1
3 x
22
31. amplitud: 3; periodo: 4p; desfasamiento: 2p>3; ϪϪ21
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 2
Ϫ2
y Ϫ3
3
2 Ϫ4
1
x 51. periodo: 1; intersecciones x: A14 ϩ n, 0B, donde n es un ente-
Ϫ1 2 ro; asíntotas: x = n, donde n es un entero;
Ϫ2 3 14
Ϫ3 3
33. amplitud: 4; periodo: 6; desfasamiento: 1; y
y x
4 4
2 7
3
1
Ϫ2 2
Ϫ4
1
x
Ϫ1 1 1 1
4 2
Ϫ2
Ϫ3
35. y 5 sen apx p b Ϫ4
2
53. periodo: 2; asíntotas: x = n, donde n es un entero;
37. (p>2, 0); (p>2 ϩ 2np, 0), donde n es un entero y
39. (n, 0), donde n es un entero
41. ((2n ϩ 1)p, 0), donde n es un entero 4
3
43. (p>4 ϩ np, 0), donde n es un entero 2
1
45. periodo: 1; intersecciones x: (n, 0), donde n es un entero;
x
asíntotas: x ϭ 1 (2n ϩ 1), donde n es un entero; Ϫ1 1 1 3 2
2
Ϫ2 2 2
y Ϫ3
4 Ϫ4
3
2 55. periodo: 2p>3; asíntotas: x ϭ np>3, donde n es un entero;
1
11 x y
Ϫ1 2 4
Ϫ2 3
Ϫ3 2
Ϫ4 1
2
x
47. periodo: p2 ; intersecciones x: A41 (2n ϩ 1)p, 0B, donde n es un 2
entero; asíntotas: x ϭ np>2, donde n es un entero; 3
Ϫ1 6 3
Ϫ2
Ϫ3
y Ϫ4
4
3 57. d
2 20
1 15
x 10
5
Ϫ1 2
Ϫ2
Ϫ3
Ϫ4 t
5 10 15 20 25
2
59. a) 978.0309 cm/s2 b) 983.21642 cm/s2
c) 980.61796 cm/s2
Respuestas de los problemas impares RES-7
Problemas 2.5 17. y 19. y
4
1. porque f (0) = 1 y f (5) = 1 3. no es uno a uno 1 x 3
5. uno a uno 7. uno a uno 1 2
Ϫ1 1
9. f Ϫ1(x) ϭ 3 x Ϫ 7 11. fϪ1(x) ϭ 2 Ϫ x Ϫ1 x
3 1 Ϫ x Ϫ2 Ϫ2 2
A
15. dominio: [ 0, q); rango: [Ϫ2, q) Ϫ3
17. dominio: (Ϫq, 0) ´ (0, q); rango: (Ϫq, Ϫ3) ´ (Ϫ3, q) Ϫ21 1
2
19. (20, 2) 21. x ϭ 12 21. y 23. ϭ log4
23. 25. y
y Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 x (estudiantes)
y ϭ f –1(x) ( 3 , ) Ϫ1 123
2 RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 2
0
x
(0, 1) y ϭƒ(x) 27. 27 128
31. f (x) log7 x
(0, Ϫ1) 25. 4 log10 10 000 35. 36
29. A 13 B8 81
x
33. e
27. f (x) ϭ (5 Ϫ 2x)2, x Ն 25; f Ϫ1(x) ϭ 1 (5 Ϫ 1x) 37. 1
2 7
29. f (x) ϭ x2 ϩ 2x ϩ 4, x Ն Ϫ1; f Ϫ1(x) ϭ Ϫ1 ϩ 1x Ϫ 3
33. 3p>4 35. p>4 39. (0, q); (1, 0); x ϭ 0;
y
37. 3p>4 39. Ϫp>3
41. 4 43. 2 1
5 47. 13(2 ϩ 110)>9 x
45. 4 12>9 1
49. 21 Ϫ x2 51. 21 ϩ x2 41. (Ϫ1, q); (0, 0); x ϭ Ϫ1; 43. el intervalo (Ϫ3, 3)
y
57. cos t 15>5, tan t 12, sec t 15,
csc t 15>2 2, cot t
63. a) p>4 b) 0.942 radianes 53.97° Ϫ1 x
45. (Ϫ1, 0), (1, 0); x ϭ 0; 47. ln (x2 Ϫ 2)
Problemas 2.6 y
1
1. (0, 1); y ϭ 0; 3. (0, Ϫ1); y ϭ 0; 2 x
y Ϫ2Ϫ1
y
4 x
3
2 Ϫ4 Ϫ2Ϫ1 2
1 Ϫ2
Ϫ3 49. 0
x Ϫ4 51. 10 ln x 1 (x2 1 (8x3
2 3
Ϫ4 Ϫ2 24 7. f (x) ϭ 6x 53. 5 ln (x3 ln 5) ln 2)
5. (0, Ϫ4); y ϭ Ϫ5; 3) 8 ln (x4 3x2 1) 1 ln x 9 ln (7x 5)
y 2
2 55. log6 51 ln 51 2.1944 57. 5 ln 9 1.8301
ln 6 ln 2
Ϫ4 Ϫ2 x
Ϫ2 2 59. 1 ln 2 2.7782 61. 3
1 ln 5
Ϫ4 11. x 7 4 63. a) P(t) ϭ P0 e0.3466t b) 5.66P0 c) 8.64 h
15. y 65. a) 82 b) 8.53 días
9. f (x) ϭ eϪ2x d) P 5 10 15 20
13. x 6 2 3 c) 2 000 (días)
2 2 000
1 1 500
1 000
Ϫ1
500
t
x
1
RES-8 Respuestas de los problemas impares
Problemas 2.7 31. a) V ϭ 6l3 b) Vϭ 2 w3 c) Vϭ 3 h3
9 4
1. S(x) ϭ x ϩ 5x0; (0, q)
3. S(x) ϭ 3x2 Ϫ 4x ϩ 2; [ 0, 1 ] 33. V(u) 360 75 cot u
5. A(x) ϭ 100x Ϫ x2; [ 0, 100 ]
35. A(f) 100 cos f 50 sen 2f 37. V(x) 213(1 x2)
Problemas 3.1
7. A(x) ϭ 2x Ϫ 1 x2; [ 0, 4 ] 1. 8 3. no existe
2
9. d(x) ϭ 22x2 ϩ 8; (Ϫq, q) 5. 2 7. no existe
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 3 11. P(A) ϭ 4 1A; (0, q) 9. 0 11. 3
13. d(C) ϭ C>p; (0, q) 13. 0
15. A(h) ϭ 1 h2; (0, q) 15. a) 1 b) Ϫ1 c) 2 d) no existe
13
17. a) 2 b) Ϫ1 c) Ϫ1 d) Ϫ1
17. A(x) ϭ 1 x2; (0, q) 19. correcto 21. lím 11 x 0
4p 23. lím :x ; 0 xS1
xS0 25. correcto
19. C(x) 8x 3 200 ; (0, q) 27. lím 29 x2 0
x xS3
21. S(w)
3w2 1 200 ; (0, q) 29. a) Ϫ1 b) 0 c) Ϫ3 d) Ϫ2 e) 0 f) 1
23. d(t) w
25. V(h)
27. h(u) 20 213t2 8t 4; (0, q) 35. no existe 37. Ϫ41
29. L(u)
31. u(x) e 120h2, 0 h 6 85; [0, 8] 39. Ϫ2 41. Ϫ3
1 200h 3 000, 5 h
1
300 tan u; (0, p>2) 43. 0 45. 3
3 csc u 4 sec u; (0, p>2) 1
4
tan 1(1>x) tan 1(1>2x); (0, q) 47. 49. 5
Competencia final de la unidad 2 Problemas 3.2
A. 1. falso 3. verdadero 1. 15 3. Ϫ12
5. falso 7. verdadero 7. 4
9. falso 11. verdadero 5. 4
13. verdadero 15. verdadero 11. 14
17. verdadero 19. verdadero 9. Ϫ58
13. 28 15. Ϫ1
9
B. 1. [Ϫ2, 0) ´ (0, q) 3. (Ϫ8, 6) 17. 17 19. no existe
5. (1, 0); (0, 0), (5, 0) 7. A0, Ϫ54B
9. 6 11. 0 21. Ϫ10 23. 3
15. log3 5 25. 60 27. 14
13. (3, 5) ln 5 29. 1 31. Ϫ81
ln 3 5
17. 1 19. y ln x 33. 3 35. no existe
9
C. 1. a) 3 b) 0 c) Ϫ2 d) 0 e) 2.5 37. 2 39. 128
3
f ) 2 g) 1 h) 0 i) 3 j ) 4 41. Ϫ2 43. a2 Ϫ 2ab ϩ b2
3. 1 y 8 están en el rango; 5 no está en el rango 45. 16 47. Ϫ1>x2
5. Ϫ3x2 ϩ 4x Ϫ 3xh Ϫ h2 ϩ 2h Ϫ 1 1 1
2 5
7. f ) 9. d) 49. 51.
11. h) 13. c) 53. 32 55. 1
2
17. 31Ϫh Ϫ 3
15. b) h 57. no existe 59. 8a
19. a) ab
b) b>a c) 1>b
21. f (x) 5eA 1 ln 5B x 5e 0.2682x 23. f (x) 5 A 1 Bx Problemas 3.3
6 2
1. ninguno
25. b) 27. d) 5. np>2, n ϭ 0, Ϯ1, Ϯ2, . . . 3. 3 y 6
7. 2
29. c)
Respuestas de los problemas impares RES-9
9. ninguno 11. eϪ2 17. 1 19. 0
12
13. a) continua b) continua 23. Ϫp>6
21. 1 27. Ϫ 2 ; 2
15. a) continua b) continua
25. Ϫ4; 4 13 13
17. a) no continua b) no continua 31. Ϫ1; 1
29. Ϫ1; 1
19. a) continua b) no continua 33. AV: ninguna; AH: y ϭ 0;
21. a) no continua b) no continua y
23. a) no continua b) continua
25. m ϭ 4 27. m ϭ 1; n ϭ 3 RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 3
29. discontinua en n͞2, donde n es un entero;
y x
35. AV: x ϭ Ϫ1; AH: ninguna;
y
1 x
1
x
31. defina f(9) ϭ 6 33. 13 37. AV: x ϭ 0, x ϭ 2; AH: y ϭ 0;
2 y
35. 0 37. 1
39. 1
43. (Ϫ3, q) 41. Ϫp>6
47. c ϭ 0, c ϭ Ϯ 12
57. 2.21 45. c ϭ 4
55. Ϫ1.22, Ϫ0.64, 1.34
59. 0.78 x
Problemas 3.4
1. 3 3. 0 39. AV: x ϭ 1; AH: y ϭ 1;
2 y
5. 1 7. 4
11. 36
9. 0
13. 1 15. no existe
2
17. 3 19. 3 x
7 x
21. 0 23. Ϫ4 41. AV: ninguna; AH: y ϭ Ϫ1, y ϭ 1;
y
25. 4 27. 1
2
29. 5 31. 1
6
33. 8 35. 12
37. 12 43. 3 43. a) 2 b) Ϫq c) 0 d) 2
2 45. a) Ϫq b) Ϫ1 c) q d) 0
51. 3
Problemas 3.5 3. elija d ϭ e
7. elija d ϭ e>3
1. Ϫq 3. q Problemas 3.6 11. elija d ϭ e
7. q 15. elija d ϭ 1e
5. q 1. elija d ϭ e
5. elija d ϭ e
9. 1 11. 5 9. elija d ϭ 2e
4 13. elija d ϭ e>8
13. Ϫ41 15. 5
2
RES-10 Respuestas de los problemas impares
17. elija d ϭ e2>5 19. elija d ϭ e>2 13. mtan ϭ Ϫ21; y ϭ Ϫ12x Ϫ 1
21. elija d ϭ min{1, e>7} 23. elija d ϭ 1e
25. elija d ϭ 1ae 31. elija N ϭ 7>(4e) 15. mtan ϭ 2; y ϭ 2x ϩ 1
33. elija N ϭ Ϫ30>e
17. mtan ϭ 41; y ϭ 41x ϩ 1
Competencia final de la unidad 3 19. mtan ϭ 123; y ϭ 123x Ϫ 13p ϩ 1
12 2
A. 1. verdadero 3. falso 21. no una recta tangente 23. y ϭ x Ϫ 2; (0, Ϫ2)
5. falso 7. verdadero
RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 4 9. falso 11. falso 25. mtan ϭ Ϫ2x ϩ 6; (3, 10)
13. verdadero 15. verdadero 27. mtan ϭ 3x2 Ϫ 3; (Ϫ1, 2), (1, Ϫ2)
17. falso 19. verdadero
21. falso 29. 58 mi/h 31. 3.8 h
3. Ϫ15
B. 1. 4 7. q 33. Ϫ14
11. 3Ϫ
5. 0 15. Ϫ2 35. a) Ϫ4.9 m/s b) 5 s c) Ϫ49 m/s
9. 1 19. continua
13. Ϫq 37. a) 448 pies; 960 pies; 1 008 pies; 960 pies
17. 10
21. 9 b) 144 pies/s d) 16 s e) Ϫ32t ϩ 256
f) -256 pies/s g) 1 024 pies
Problemas 4.2
1. 0 3. Ϫ3
5. 6x 7. Ϫ2x ϩ 4
C. 5. a), e), f ), h) 7. c), h) 9. 2x ϩ 2 11. 3x2 ϩ 1
9. b), c), d), e), f ) ; continua en todas partes
11. y 13. Ϫ3x2 ϩ 30x Ϫ 1 15. Ϫ2>(x ϩ 1)2
17. 5>(x ϩ 4)2 19. Ϫ1>(2x3>2)
21. y ϭ Ϫx Ϫ 4 23. y ϭ 2x Ϫ 2
25. (Ϫ4, Ϫ6) 27. (1, Ϫ2), (Ϫ1, 2)
x 29. x; A3, 7 B 31. Ϫ3x2; (2, Ϫ4), (Ϫ2, 12)
2
13. (Ϫq, Ϫ1), (Ϫ1, 0), (0, 1), (1, q) 33. f ¿ (2) 2 pero f ¿ (2) 1 35. 20a
15. (Ϫq, Ϫ15), (15, q) 37. 3a2 Ϫ 8a 39. 4>(3 Ϫ a)2
17. 1
41. y ϭ 1 x ϩ 3; f (Ϫ3) ϭ 23; f ¿(Ϫ3) ϭ 1
6 2 2
43. ƒЈ 45. ƒЈ
Problemas 4.1 1 1
1. Ϫ4.5; 3. 7; 1 x x
Ϫ1 1
y y
Ϫ1
x 47. ƒЈ 49. e)
1
x
1
Ϫ1
x 51. b) 53. a)
Problemas 4.3
5. 3 13 Ϫ 6; 7. mtan ϭ 6; y ϭ 6x Ϫ 15 1. 0 3. 9x8
p 5. 14x Ϫ 4 7. 2xϪ1>2 ϩ 4xϪ5>3
y 9. x4 Ϫ 12x3 ϩ 18x 11. 20x4 Ϫ 20x3 Ϫ 18x2
13. 6x5 ϩ 40x3 ϩ 50x 15. 16 ϩ 4> 1x
x 17. 192u2 19.
ր2
Ϫ1>r2 Ϫ 2>r3 Ϫ 3>r4 Ϫ 4>r5
9. mtan ϭ Ϫ1; y ϭ Ϫx Ϫ 1 21. y ϭ 6x ϩ 3 23. y ϭ 41x ϩ 5
11. mtan ϭ Ϫ23; y ϭ Ϫ23x ϩ 32
25. (4, Ϫ11) 27. (3, Ϫ25), (Ϫ1, 7)
Respuestas de los problemas impares RES-11
29. y ϭ 41x Ϫ 7 31. x ϭ 4 53. no diferenciable en 0, Ϯp, Ϯ2p, p
2 35. 32 14(0.2 cos u sen u)
33. Ϫ2 55. b) (0.2 sen u cos u)2 c) 0.1974 radián
37. 60>x4 39. 1 440x2 + 120x d) 13.7281 aproximadamente
41. (Ϫ4, q), (Ϫq, Ϫ4) 43. (Ϫ4, 48) e) el esfuerzo mínimo requerido para jalar el trineo es alre-
45. (1, q), (Ϫq, 1) 49. (2, 8)
51. A14, Ϫ136B 53. y ϭ Ϫ7x dedor de 13.73 lb cuando u es aproximadamente 0.1974
55. S ϭ 4pr2 radián u 11.31Њ.
57. Ϫ15 N
Problemas 4.6
1. Ϫ150(Ϫ3x)29 3. 200 (2x2 ϩ x)199(4x ϩ 1) RESPUESTAS DE LOS PROBLEMAS IMPARES, UNIDAD 4
Problemas 4.4 5. Ϫ4(x3 Ϫ 2x2 ϩ 7)Ϫ5(3x2 Ϫ 2x)
7. Ϫ2(3x Ϫ 1)3(Ϫ2x ϩ 9)4(27x Ϫ 59)
1. 5x4 Ϫ 9x2 ϩ 4x Ϫ 28 3. 8xϪ7>3 Ϫ 4xϪ5>6 ϩ 121>2 9. cos 12x 11. 2x
12x 2x2 Ϫ 1(x2 ϩ 1)3>2
5. Ϫ20x>(x2 ϩ 1)2 7. Ϫ17>(5 Ϫ 2x)2
9. 72x Ϫ 12 11. (2x5 ϩ x2 Ϫ 40x Ϫ 12)>x4 13. 10(1 ϩ 6x(x2 Ϫ 4)2)(x ϩ (x2 Ϫ 4)3)9
13. (x2 ϩ 2x)>(2x2 ϩ x ϩ 1)2 15. 18x2 ϩ 22x ϩ 6 15. 5x14 9x13 13x12 17. p cos(px 1)
(x2 x 1)5
17. (6x2 ϩ 8x Ϫ 3)>(3x ϩ 2)2
19. (2x3 ϩ 8x2 Ϫ 6x Ϫ 8)>(x ϩ 3)2 19. 15 sen2 5x cos 5x 21. 3x5 sen x3 3x2 cos x3
21. y ϭ Ϫ4x ϩ 1 23. y ϭ 7x Ϫ 1 23. 10 (2 x sen 3x)9(3 x cos 3x sen 3x)
25. (0, 24), (15, Ϫ1), (Ϫ 15, Ϫ1) 25. x 2 sec2(1>x)
27. (0, 0), ϪA 1, 1 B, A1, 1 B 29. A3, 3 B, AϪ5, 1 B 27. 3 sen 2x sen 3x 2 cos 2x cos 3x
2 2 2 2 29. 5(sec 4x tan 2x)4(4 sec 4x tan 4x 2 sec2 2x)
31. (Ϫ4, 0), (Ϫ6, 2) 33. k ϭ Ϫ21 31. 2 cos 2x cos(sen 2x)
33. (2x 5) 1>2cos 12x 5 sen (sen 12x
35. Ϫ28 37. 11 35. 24 x sen2(4x2 1) cos (4x2 1) 5)
3
39. Ϫ30 41. 13
2
43. (x2 f –(x) Ϫ 2xf ¿(x) ϩ 2f(x))>x3 37. 360 x2(1 ϩ x3)3(1 ϩ (1 ϩ x3)4)4(1 ϩ (1 ϩ (1 ϩ x3)4)5)5
45. f ¿(x) 7 0 en ( q, 0) ´ (0, 1); f ¿(x) 6 0 en (1, 2) ´ (2, q) 39. Ϫ54 41. Ϫ7
47. f ¿(x) 7 0 en A q, 5 B; f ¿(x) 6 0 en A58, q B 43. y ϭ Ϫ8x Ϫ 3 45. y ϭ 6x Ϫ 1 Ϫ 3p
8 2
49. Ϫ16 km1m2 51. Ϫ (V RT ϩ 2a 47. y ϭ 16 ϩ 12 ax Ϫ 1 b
Ϫ b)2 V3 4 p(2 12 ϩ 2
3 16)
49. p3 cos px 51. 125x cos 5x 75 sen 5x
Problemas 4.5 53. (13>3, 3 13>16), (Ϫ13>3, Ϫ313>16); no
1. 2x sen x 3. 7 cos x sec2 x 55. 1
18
5. x cos x sen x 7. (x3 2) sec2 x 3x2 tan x
57. Si 0 u p, entonces u p>4 o u 3p>4.
9. x2 sec x tan x 2x sec x sec2 x 59. dr>dt 5>(8p) pulg>min
11. 0 13. cos x Problemas 4.7
15. x csc2 x csc2 x cot x 17. 2x2 sec2 x 4x tan x 2x
(x 1)2 (1 2 tan x) 2
1. 4x2y3 dy 2xy4 3. 2y sen y2 dy
19. 1 1 dx dx
cos x
5. 1 2x Ϫ y2
21. x4 sen x sec2 x x4 sen x 4x3 sen x tan x 2y Ϫ 2 7. 2xy
23. y 123x 1 13p 25. y 32x 2 p 9. 2x 4x 3x2y2
2 6 13 9 3 sen y 11. 2x3y 2y
27. p>6, 5p>6 29. p>2 x2 Ϫ 4x (x2 ϩ y2)5 2x4y4 ϩ 3y10 Ϫ 6x9y
13. y2 ϩ 4y (x2 ϩ y2)5 15. 6xy9 Ϫ 3x10
31. y 2x 13 8p 33. y x 2p
2 3 1Ϫx 3
17. yϩ4 19. 2y(x ϩ 2)2
35. 2(cos2 x sen2 x) 2 cos 2x 37. 2 cos x x sen x
39. x2 sen x 2x cos x 2 sen x cos(x y) y 23. cos y cot y
x3 21. x cos(x y)
41. csc x cot 2 x csc 3 x 25. cos 2u 27. 2
r 5
45. Ϫ1630; cuando el ángulo de elevación aumenta, la longitud s de
la sombra decrece 29. 1 y 2 31. y 83x 22
3 3 3
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Matemática 1 - Cálculo Diferencial - Dennis Zill
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