174 UNIDAD 4 La derivada
EJEMPLO 10 Uso repetido de la regla de la cadena
Diferencie y ϭ cos 4(7x3 ϩ 6x Ϫ 1).
Solución Para recalcar, primero escribimos la función dada como y ϭ [cos(7x3 ϩ 6x Ϫ 1]4.
Observe que esta función es la composición ( f ؠg ؠh)(x) ϭ f(g(h(x))) donde f (x) ϭ x4, g(x) ϭ
cos x y h(x) ϭ 7x3 ϩ 6x Ϫ 1. Primero aplicamos la regla de la cadena en la forma de regla
de potencias (6) seguida por la segunda fórmula en (11):
dy 4 [ cos (7x3 6x 1) ] 3 . d cos (7x3 6x 1) d primera regla de la
dx dx cadena: diferenciar
d la potencia
dx
4 cos3(7x3 6x 1) . c sen(7x3 6x 1) . (7x3 6x 1)d d segunda regla de la
cadena: diferenciar
4(21x 2 6) cos3(7x3 6x 1) sen (7x3 6x 1). el coseno
En el ejemplo final, la función dada es una composición de cuatro funciones.
EJEMPLO 11 Uso repetido de la regla de la cadena
Diferencie y = sen (tan23x2 4).
Solución La función es f (g(h(k(x)))), donde f (x) ϭ sen x, g(x) ϭ tan x, h(x) ϭ 1x, y k(x) =
3x2 + 4. En este caso se aplica la regla de la cadena tres veces consecutivas como sigue:
dy ϭ cos Atan 23x2 ϩ 4 B . d tan 23x2 ϩ 4 primera regla de la cadena:
dx dx d
diferenciar el seno
ϭ cos Atan 23x2 ϩ 4 B . sec2 23x2 ϩ 4 . d 23x2 ϩ 4 segunda regla de la cadena:
dx d
ϭ cos Atan 23x2 ϩ 4 B . sec2 23x2 ϩ 4 . d (3x2 ϩ 4)1>2 diferenciar la tangente
dx d se vuelve a escribir la potencia
ϭ cos Atan 23x2 ϩ 4 B . sec2 23x2 ϩ 4 . 1 (3x2 ϩ 4) Ϫ1>2 . d (3x2 ϩ 4) tercera regla de la
2 dx d cadena: diferenciar
la potencia
ϭ cos Atan 23x2 ϩ 4 B . sec2 23x2 ϩ 4 . 1 (3x2 ϩ 4)Ϫ1>2 . 6x d simplificar
2
3x cos Atan 23x2 ϩ 4 B . sec2 23x2 ϩ 4
ϭ.
23x 2 ϩ 4
Por supuesto, usted debe volverse tan apto en aplicar la regla de la cadena que al final ya
no piense en el número de funciones presentes en la composición que se trate.
d
dx NOTAS DESDE EL AULA
i) Quizás el error más frecuente es olvidar efectuar la segunda parte de la regla de la cade-
na; a saber: la derivada de la función interna. Ésta es la parte du͞dx en
dy ϭ dy ddux .
dx du
Por ejemplo, la derivada de y ϭ (1 Ϫ x) 57 no es dy>dx ϭ 57(1 Ϫ x) 56 puesto que
57(1 Ϫ x) 56 es sólo la parte dy> du. Podría ser útil usar de manera consistente el símbo-
lo de operación d>dx:
d (1 Ϫ x) 57 ϭ 57(1 Ϫ x) 56 . d (1 Ϫ x) ϭ 57(1 Ϫ x) 56 . (Ϫ1).
dx dx
4.6 La regla de la cadena 175
ii) Un error menos común, pero tal vez más grave que el primero, consiste en diferenciar
dentro la función dada. En su examen, un estudiante escribió que la derivada de
y ϭ cos(x2 ϩ 1) era dy͞dx ϭ Ϫsen(2x); es decir que la derivada del coseno es el nega-
tivo del seno y que la derivada de x2 ϩ 1 es 2x. Ambas observaciones son correctas, pero
la forma donde se escribieron juntas es incorrecta. Tenga en cuenta que la derivada de la
función interna es un múltiplo de la derivada de la función externa. De nuevo, podría ser
de ayuda usar el símbolo de operación d͞dx. La derivada correcta de y ϭ cos (x 2 ϩ 1) es
el producto de dos derivadas.
dy sen (x 2 1) . d (x 2 1) 2x sen (x 2 1).
dx dx
4.6 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-11.
Fundamentos En los problemas 39-42, encuentre la pendiente de la recta tan-
gente a la gráfica de la función dada en el valor indicado de x.
En los problemas 1-20, encuentre dy͞dx.
1. y ( 5x)30 2. y (3>x)14 39. y (x2 2)3; x 1 40. y 1 ;x 0
3. y (2x2 x)200 4. y (3x 1)2
1 5
Qx 41. y sen 3x 4x cos 5x; x p
x2 R
1 6. y 10 42. y 50x tan3 2x; x p>6
2x2 2x2 4x 1
5. y (x3 7)4 En los problemas 43-46, encuentre una ecuación de la recta
tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado
7. y (3x 1)4( 2x 9)5 8. y x4(x2 1)6 de x.
9. y 10. y sec x2
11. y sen 12x x 2 x ϭ Ϫ21 44. y ϭ x2(x Ϫ 1)3;
x2 1 12. y 3x 4 43. y ϭ ax ϩ xϭ2
13. y (5x 2)3 1b ;
A x2 1
c1 45. y tan 3x; x p>4
(x3 x
[ x (x2 4)3 ]10 14. y 4 46. y ( 1 cos 4x)3; x p>8
d
1)2
15. y x (x 1 x 2 x 3) 4 16. y (2x 1)3 23x2 2x En los problemas 47 y 48, encuentre una ecuación de la recta
normal a la gráfica de la función dada en el valor indicado
17. y sen(px 1) 18. y 2 cos( 3x 7) de x.
19. y sen3 5x 20. y 4 cos2 1x
47. y sen Q p R cos (px 2); x 1
6x 2
En los problemas 21-38, encuentre f Ј(x).
48. y sen3 3x; x p
21. f (x) x3 cos x3 22. f(x) sen 5x
cos 6x
23. f (x) (2 x sen 3x)10 24. f (x) (1 cos 4x)2 En los problemas 49-52, encuentre la derivada indicada.
(1 sen 5x)3
49. f(x) ϭ sen px; f ‡(x)
25. f(x) tan(1>x) 26. f (x) x cot(5>x2) 50. y ϭ cos(2x ϩ 1); d 5y>dx5
27. f(x) sen 2x cos 3x 28. f (x) sen2 2x cos3 3x 51. y ϭ x sen 5 x; d3y͞dx3 52. f(x) = cos x2; f –(x)
29. f (x) (sec 4x tan 2x)5 30. f (x) csc2 2x csc 2x2 53. Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de f(x) =
x>(x2 + 1)2 donde la recta tangente es horizontal. La grá-
31. f(x) sen (sen 2x) 32. f(x) tan Qcos x R
33. f(x) cosAsen 22x 5 B 34. f(x) 2 fica de f, ¿tiene alguna tangente vertical?
tan(tan x) 54. Determine los valores de t en los que la razón de cam-
35. f (x) sen3(4x2 1) 36. f (x) sec (tan2 x4) bio instantánea de g(t) ϭ sen t ϩ 1 cos 2t es cero.
2
37. f (x) (1 (1 (1 x3)4)5)6 55. Si f(x) ϭ cos(x>3), ¿cuál es la pendiente de la recta tan-
gente a la gráfica de f ¿ en x ϭ 2p?
38. f(x) c x2 a1 1 b 42 56. Si f(x) ϭ (1 Ϫ x)4, ¿cuál es la pendiente de la recta tan-
x gente a la gráfica de f – en x = 2?
d
176 UNIDAD 4 La derivada
Aplicaciones a) Compruebe que x(t) satisface la ecuación diferencial
57. La función R ϭ (y02͞g)sen 2u proporciona el rango de d 2x ϩ 2x ϭ 0.
un proyectil disparado a un ángulo u con respecto a la dt 2
horizontal con una velocidad inicial y0. Si y0 y g son b) Compruebe que x(t) satisface las condiciones inicia-
constantes, encuentre los valores de u con los cuales les x(0) ϭ x0 y x¿(0) ϭ y0.
dR>du ϭ 0.
58. El volumen de un globo esférico de radio r es V ϭ 4 pr 3. Piense en ello
3
El radio es una función del tiempo t y aumenta a razón d
dx
constante de 5 pulg/min. ¿Cuál es la razón de cambio 61. Sea F una función diferenciable. ¿Qué es F(3x)?
instantánea de V con respecto a r?
59. Suponga que un globo esférico se infla a razón cons- 62. Sea G una función diferenciable. ¿Qué es d [ G(Ϫx2) ]2?
tante dV͞dt ϭ 10 pulg3/min. ¿A qué ritmo aumenta su dx
radio cuando r ϭ 2 pulg? 63. Suponga d f (u) ϭ u1. ¿Qué es d f (Ϫ10x ϩ 7)?
du dx
60. Considere una masa sobre un resorte como se muestra d 1 d
en la FIGURA 4.6.1. En ausencia de fuerzas de amortigua- 64. Suponga dx f (x) ϭ 1 ϩ x2. ¿Qué es dx f (x3)?
ción, el desplazamiento (o distancia dirigida) de la masa,
medido desde una posición denominada posición de En los problemas 65 y 66, el símbolo n representa un entero
equilibrio, está dado por la función positivo. Encuentre una fórmula para la derivada dada.
x(t) x0 cos t y0 sen t, 65. dn (1 ϩ 2x)Ϫ1 66. dn 11 ϩ 2x
dxn dxn
donde ϭ 1k>m, k es la constante del resorte (un indi-
cador de la rigidez del resorte), m es la masa (medida 67. Suponga que g(t) ϭ h( f(t)), donde f (1) ϭ 3, f ¿(1) ϭ 6,
en slugs o kilogramos), y0 es el desplazamiento inicial y h¿(3) ϭ Ϫ2. ¿Qué es g¿(1)?
de la masa (medido por arriba o por debajo de la posi-
68. Suponga que g(1) ϭ 2, g¿(1) ϭ 3, g–(1) Ϫ 1, f ¿(2) ϭ 4,
ción de equilibrio), y0 es la velocidad inicial de la masa
y t es el tiempo medido en segundos. y f –(2) ϭ 3. ¿Qué es d2 f (g(x)) `?
dx2
xϭ1
69. Dado que f es una función impar diferenciable, use la
regla de la cadena para demostrar que f Ј es una función
par.
70. Dado que f es una función par diferenciable, use la regla
de la cadena para demostrar que f Ј es una función impar.
Equilibrio xϽ0
xϾ0
FIGURA 4.6.1 Masa en un resorte en el problema 60
4.7 La derivada implícita
Introducción Las gráficas de las diversas ecuaciones que se estudian en matemáticas no
son las gráficas de funciones. Por ejemplo, la ecuación
x2 ϩ y2 ϭ 4 (1)
describe un círculo de radio 2 con centro en el origen. La ecuación (1) no es una función,
puesto que para cualquier elección de x que satisfaga Ϫ2 6 x 6 2 corresponden dos valores
de y. Vea la FIGURA 4.7.1a). A pesar de ello, las gráficas de ecuaciones como (1) pueden tener
rectas tangentes en varios puntos (x, y). La ecuación (1) define por lo menos dos funciones f
y g sobre el intervalo [Ϫ2, 2]. Gráficamente, las funciones evidentes son la mitad superior y
la mitad inferior del círculo. A fin de obtener fórmulas para éstas, se despeja y de la ecuación
x2 ϩ y2 ϭ 4 en términos de x:
y ϭ f (x) ϭ 24 Ϫ x2, d semicírculo superior (2)
y y ϭ g(x) ϭ Ϫ 24 Ϫ x2. d semicírculo inferior (3)
4.7 La derivada implícita 177
Vea las figuras 4.7.1b) y c). Ahora ya es posible encontrar pendientes de las rectas tangentes x2 ϩ y2 ϭ 4 y (x, y)
para Ϫ2 6 x 6 2 al diferenciar (2) y (3) con la regla de potencias para funciones. 2
En esta sección veremos cómo obtener la derivada dy͞dx para (1), así como para ecua-
ciones más complicadas F(x, y) = 0, sin necesidad de resolver la ecuación para la variable y.
Funciones implícitas y explícitas Se dice que una función donde la variable dependiente x
Ϫ2 2
se expresa sólo en términos de la variable independiente x, a saber, y = f(x), es una función
(x, Ϫy)
explícita. Por ejemplo, y ϭ 1 x3 Ϫ 1 es una función explícita. Por otra parte, se dice que una Ϫ2
2 a) No es una función
ecuación equivalente 2y Ϫ x3 ϩ 2 ϭ 0 define implícitamente la función, o que y es una fun-
y y ϭ 4 Ϫ x2
ción implícita de x. Acabamos de ver que la ecuación x2 ϩ y2 ϭ 4 define implícitamente las 2
dos funciones f (x) ϭ 24 Ϫ x2 y g(x) ϭ Ϫ24 Ϫ x2. x
Ϫ2 2
En general, si una ecuación F(x, y) = 0 define implícitamente una función en algún inter-
b) Función
valo, entonces F(x, f(x)) ϭ 0 es una identidad sobre el intervalo. La gráfica de f es una por-
y y ϭ Ϫ 4 Ϫ x2
ción o un arco (o toda) de la gráfica de la ecuación F(x, y) = 0. En el caso de las funciones x
en (2) y (3), observe que ambas ecuaciones Ϫ2 2
x2 [ f (x) ] 2 4 y x2 [ g(x) ]2 4 Ϫ2
c) Función
son identidades sobre el intervalo [Ϫ2, 2 ]. FIGURA 4.7.1 La ecuación
La gráfica de la ecuación x3 ϩ y3 ϭ 3xy que se muestra en la FIGURA 4.7.2a) es una curva x2 ϩ y2 ϭ 4 determina por lo
menos dos funciones
famosa denominada hoja de Descartes. Con ayuda de un SAC como Mathematica o Maple,
encontramos que una de las funciones implícitas definidas por x3 ϩ y3 ϭ 3xy es
yϭ 2x ϩ 1 43 Ϫ4x3 ϩ 4 2x6 Ϫ 4x3. (4)
ϩ 4 2x6 Ϫ 4x3 2
43 Ϫ4x3
La gráfica de esta función es el arco que se observa en la figura 4.7.2b). En la figura 4.7.2c)
se proporciona la gráfica de otra función implícita definida por x3 + y3 = 3xy.
yyy
3 33
2 22
1 11
x x x
123
Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 123 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 123 Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1
Ϫ1
Ϫ1 Ϫ1
Ϫ2 Ϫ2 Ϫ2
Ϫ3 Ϫ3 Ϫ3
a) Hoja b) Función c) Función
FIGURA 4.7.2 Las porciones de la gráfica en a) que se muestran en b) y c) son gráficas de dos funciones implícitas de x
Diferenciación implícita A partir del análisis anterior, no salte a la conclusión de que siem-
pre es posible resolver una ecuación F(x, y) ϭ 0 para una función implícita de x como se hizo
en (2), (3) y (4). Por ejemplo, resolver una ecuación como
x4 ϩ x2y3 Ϫ y5 ϭ 2x ϩ y (5) Aunque no es posible resolver
ciertas ecuaciones para una fun-
para y en términos de x es más que un ejercicio en algún desafío algebraico o una lección ción explícita, sigue siendo posi-
ble graficar la ecuación con
sobre el uso de la sintaxis correcta en un SAC. ¡Es imposible! Sin embargo, (5) puede deter- ayuda de un SAC. Así, es posi-
ble ver las funciones como se
minar varias funciones implícitas sobre un intervalo restringido del eje x. A pesar de ello, pode- hizo en la figura 4.7.2.
mos determinar la derivada dy͞dx por medio de un proceso denominado diferenciación implí-
cita. Este proceso consiste en diferenciar ambos miembros de una ecuación con respecto a x,
usando las reglas de diferenciación y luego resolviendo para dy͞dx. Puesto que se considera
que y está determinada por la ecuación dada como una función diferenciable de x, la regla de
la cadena, en forma de la regla de potencias para funciones, proporciona el resultado útil
d yn nyn 1 dy (6)
dx dx,
178 UNIDAD 4 La derivada
donde n es cualquier número real. Por ejemplo,
d x2 ϭ 2x mientras d y2 ϭ 2y dy
dx dx dx.
En forma semejante, si y es una función de x, entonces por la regla del producto
d xy ϭ x d y ϩ y d x ϭ x dy ϩ y,
dx dx dx dx
y por la regla de la cadena
d sen 5y cos 5y . d 5y dy
dx dx 5 cos 5y dx.
Directrices para diferenciación implícita
i) Al diferenciar con respecto a x ambos miembros de la ecuación, use las reglas
de diferenciación y considere a y como una función diferenciable de x. Para
potencias del símbolo y, use (6).
ii) Agrupe todos los términos donde aparece dy͞dx en el miembro izquierdo de la
ecuación diferenciada. Mueva todos los otros términos al miembro derecho de
la ecuación.
iii) Factorice dy͞dx en todos los términos donde aparezca este término. Luego, des-
peje dy͞dx.
En los siguientes ejemplos se supondrá que la ecuación dada determina por lo menos una
función diferenciable implícitamente.
EJEMPLO 1 Uso de la diferenciación implícita
Encuentre dy>dx si x2 ϩ y2 ϭ 4.
Solución Se diferencian ambos miembros de la ecuación y luego se usa (6):
use la regla de potencias (6) aquí
d d T d
dx dx dx
x2 y2 4
2x dy
2y dx 0.
Al despejar la derivada obtenemos
dy ϭ Ϫyx. (7)
dx
Como se ilustra en (7) del ejemplo 1, la diferenciación implícita suele producir una deri-
vada que depende de ambas variables x y y. En el análisis introductorio vimos que la ecua-
ción x2 ϩ y2 ϭ 4 define dos funciones que pueden diferenciarse implícitamente sobre el inter-
valo abierto Ϫ2 6 x 6 2. El simbolismo dy>dx ϭ Ϫx>y representa la derivada de cualquiera
de las funciones sobre el intervalo. Observe que esta derivada indica con claridad que las fun-
ciones (2) y (3) no son diferenciables en x = Ϫ2 y x = 2 puesto que y = 0 para estos valo-
res de x. En general, la diferenciación implícita produce la derivada de cualquier función que
puede derivarse implícitamente definida por una ecuación F(x, y) = 0.
EJEMPLO 2 La pendiente de una recta tangente
Encuentre las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de x2 ϩ y2 ϭ 4 en los puntos
correspondientes a x ϭ 1.
Solución Al sustituir x ϭ 1 en la ecuación dada obtenemos y2 ϭ 3 o y ϭ Ϯ 13. Por tanto,
hay rectas tangentes en A1, 13B y A1, Ϫ13 B. Aunque A1, 13B y A1, Ϫ13 B son puntos sobre la
4.7 La derivada implícita 179
gráfica de dos funciones que pueden diferenciarse implícitamente, indicadas en la FIGURA 4.7.3, y (1, 3)
(7) en el ejemplo 1 proporciona la pendiente correcta en cada número en el intervalo (Ϫ2, 2). 2
Tenemos 1 x
12
dy 1 y dy 11 Ϫ1
dx ` A1, 13B 13 dx ` A1, 13B 13 13. Ϫ1 (1,Ϫ 3)
Ϫ2
Ϫ2
EJEMPLO 3 Uso de diferenciación implícita
Encuentre dy͞dx si x4 ϩ x2y3 Ϫ y5 ϭ 2x ϩ 1.
Solución En este caso, usamos (6) y la regla del producto:
regla del producto aquí regla de potencias (6) aquí FIGURA 4.7.3 Las rectas
tangentes en el ejemplo 2
d x4 d T d T d d
dx dx dx dx 2x dx 1
x2y3 y5
4x3 x2 . 3y2 dy 2 xy3 5y4 dy 2 d factorice dy>dx de los términos
dx dx segundo y cuarto
(3x2y2 5y4) dy 2 4x3 2 xy3
dx
dy 2 4 x3 2 xy3
dx 3 x2y2 5y4 .
Derivadas de orden superior Por medio de diferenciación implícita determinamos dy͞dx.
Al diferenciar dy͞dx con respecto a x obtenemos la segunda derivada d 2y>dx2. Si la primera
derivada contiene a y, entonces d 2y>dx2 de nuevo contiene el símbolo dy> dx; esa cantidad
puede eliminarse al sustituir su valor conocido. El siguiente ejemplo ilustra el método.
EJEMPLO 4 Segunda derivada
Encuentre d 2y>dx2 si x2 ϩ y2 ϭ 4.
Solución Por el ejemplo 1, ya sabemos que la primera derivada es dy>dx ϭ Ϫx>y. La segunda
derivada es la derivada de dy> dx, de modo que por la regla del cociente:
al sustituir por dy>dx
TT
d 2y d x y.1 x . dy y xQ x R y2 x2
dx2 dx y dx y y3 .
Q R
y2 y2
Al observar que x2 ϩ y2 ϭ 4, es posible volver a escribir la segunda derivada como
d 2y ϭ Ϫ 4 .
dx2 y3
EJEMPLO 5 Reglas de la cadena y del producto
Encuentre dy͞dx si sen y ϭ y cos 2x.
Solución Por la regla de la cadena y la regla del producto obtenemos
d sen y d y cos 2x
dx dx
cos y . dy y( sen 2x . 2) cos 2x . dy
dx dx
(cos y dy 2y sen 2x
cos 2x) dx
dy 2y sen 2x
dx cos y cos 2x.
180 UNIDAD 4 La derivada
Posdata: Otro repaso a la regla de potencias Hasta el momento se ha demostrado la regla
de potencias (d>dx)x n ϭ nx nϪ1 para todos los enteros exponentes n. La diferenciación implí-
cita constituye un mecanismo para demostrar esta regla cuando el exponente es un número
racional p͞q, donde p y q son enteros y q 0. En el caso donde n ϭ p>q, la función
y ϭ x p>q proporciona yq ϭ x p.
Luego, para y 0, la diferenciación implícita
d yq d xp produce qy q 1 dy px p 1.
dx dx dx
Al despejar dy͞dx en la última ecuación y simplificar con las leyes de los exponentes obtene-
mos
dy ϭ p x pϪ1 ϭ p x pϪ1 ϭ p x pϪ1 ϭ p x p>qϪ1.
dx q y qϪ1 q (x p>q) qϪ1 q x pϪp>q q
Al examinar el último resultado observamos que se trata de (3) de la sección 4.3 con n ϭ p>q.
4.7 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-11.
Fundamentos En los problemas 29 y 30, encuentre dy͞dx en los puntos que
corresponden al número indicado.
En los problemas 1-4, suponga que y es una función diferen-
ciable de x. Encuentre la derivada indicada. 29. 2y2 2xy 1 0; x 1 30. y3 2x2 11y; y 1
2
1. d x2y4 2. d x2 En los problemas 31-34, encuentre una ecuación de la recta
dx dx y2
tangente en el punto o número indicado.
d d 1 1
3. dx cos y2 4. dx y sen 3y 31. x4 ϩ y3 ϭ 24; (Ϫ2, 2) 32. x ϩ y ϭ 1; xϭ3
En los problemas 5-24, suponga que la ecuación dada define 33. tan y ϭ x; y ϭ p>4 34. 3y ϩ cos y ϭ x2; (1, 0)
por lo menos una función diferenciable implícita. Use dife-
renciación implícita para encontrar dy͞dx. En los problemas 35 y 36, encuentre el o los puntos sobre la
gráfica de la ecuación dada donde la recta tangente es hori-
5. y2 Ϫ 2y ϭ x 6. 4x2 ϩ y2 ϭ 8 zontal.
7. xy2 Ϫ x2 ϩ 4 ϭ 0 8. ( y Ϫ 1)2 ϭ 4(x ϩ 2)
9. 3y ϩ cos y ϭ x2 10. y3 Ϫ 2y ϩ 3x3 ϭ 4x ϩ 1 35. x2 Ϫ xy ϩ y2 ϭ 3 36. y2 ϭ x2 Ϫ 4 x ϩ 7
11. x3y2 ϭ 2x2 ϩ y2 12. x5 Ϫ 6xy3 ϩ y4 ϭ 1
13. (x2 ϩ y2)6 ϭ x3 Ϫ y3 14. y ϭ (x Ϫ y)2 37. Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de x2 ϩ y2 ϭ 25
15. yϪ3x6 ϩ y6xϪ3 ϭ 2x ϩ 1 16. y4 Ϫ y2 ϭ 10x Ϫ 3 donde la pendiente de la tangente es 21.
17. (x Ϫ 1)2 ϩ (y ϩ 4)2 ϭ 25 18. xϩy 38. Encuentre el punto donde se cortan las rectas tangentes
xϪyϭx a la gráfica de x2 ϩ y2 ϭ 25 en (Ϫ3, 4) y (Ϫ3, Ϫ4).
y2 39. Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de y3 ϭ x2 donde
x la recta tangente es perpendicular a la recta y + 3x - 5 = 0.
40. Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de x2 Ϫ xy ϩ y2
ϭ 27 donde la recta tangente es paralela a la recta y ϭ 5.
19. y2 ϭ x Ϫ 1 20. x ϩ ϭ 5 En los problemas 41-48, encuentre d 2y>dx2.
x ϩ 2 y2
41. 4y3 ϭ 6x2 ϩ 1 42. xy4 ϭ 5
21. xy ϭ sen(x ϩ y) 22. x ϩ y ϭ cos(xy)
43. x2 Ϫ y2 ϭ 25 44. x2 ϩ 4y2 ϭ 16
23. x ϭ sec y 24. x sen y Ϫ y cos x ϭ 1
45. x ϩ y ϭ sen y 46. y2 Ϫ x2 ϭ tan 2x
En los problemas 25 y 26, use diferenciación implícita para 47. x2 ϩ 2xy Ϫ y2 ϭ 1 48. x3 ϩ y3 ϭ 27
encontrar la derivada indicada.
25. r2 sen 2u; dr>du 26. pr 2h 100; dh>dr En los problemas 49-52, primero use diferenciación implícita
para encontrar dy͞dx. Luego despeje y explícitamente en tér-
En los problemas 27 y 28, encuentre dy͞dx en el punto indi-
cado. minos de x y diferencie. Demuestre que las dos respuestas
27. xy2 4y3 3x 0; (1, 1)
son equivalentes.
28. y sen xy; (p>2, 1)
49. x2 Ϫ y2 ϭ x 50. 4 x2 ϩ y2 ϭ 1
51. x3y ϭ x ϩ 1 52. y sen x ϭ x Ϫ 2y
4.7 La derivada implícita 181
En los problemas 53-56, determine una función implícita a Si todas las curvas de una familia de curvas G(x, y) ϭ c1, c1 una
partir de la ecuación dada tal que su gráfica sea la curva en constante, cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra fa-
milia H(x, y) ϭ c2, c2 una constante, entonces se dice que las
la figura. familias tienen trayectorias ortogonales entre sí. En los proble-
mas 63 y 64, demuestre que las familias de curvas tienen trayec-
53. ( y Ϫ 1)2 ϭ x Ϫ 2 54. x2 ϩ xy ϩ y2 ϭ 4 torias ortogonales entre sí. Trace las dos familias de curvas.
yy 63. x2 Ϫ y2 ϭ c1, xy ϭ c2 64. x2 ϩ y2 ϭ c1, y ϭ c2x
xx Aplicaciones
FIGURA 4.7.4 Gráfica FIGURA 4.7.5 Gráfica 65. Una mujer conduce hacia una señal en la carretera como
para el problema 53 para el problema 54 se muestra en la FIGURA 4.7.9. Sea u su ángulo de visión
de la señal y sea x su distancia (medida en pies) a esa
55. x2 ϩ y2 ϭ 4 56. y2 ϭ x2(2 Ϫ x) señal.
y y a) Si el nivel de sus ojos está a 4 pies de la superficie
de la carretera, demuestre que
tan u x2 4x .
252
xx b) Encuentre la razón a la que cambia u con respecto a x.
c) ¿A qué distancia se cumple que la razón del inciso
b) es igual a cero?
FIGURA 4.7.6 Gráfica FIGURA 4.7.7 Gráfica Ruta 1 Este 4 pies
para el problema 55 para el problema 56
En los problemas 57 y 58, suponga que tanto x como y son
x
diferenciables de una variable t. Encuentre dy͞dt en térmi- 18 pies
nos de x, y y dx͞dt.
57. x2 ϩ y2 ϭ 25 58. x2 ϩ xy ϩ y2 Ϫ y ϭ 9
59. La gráfica de la ecuación x3 ϩ y3 ϭ 3xy es la hoja de
Descartes proporcionada en la figura 4.7.2a).
a) Encuentre una ecuación para la recta tangente en el FIGURA 4.7.9 Automóvil en el problema 65
punto en el primer cuadrante donde la hoja corta la
gráfica de y ϭ x. 66. Un avión caza describe un círculo de 1 km de radio
como se muestra en la FIGURA 4.7.10. Suponga que se
b) Encuentre el punto en el primer cuadrante donde la escoge un sistema de coordenadas rectangulares de
recta tangente es horizontal. modo que el origen está en el centro del círculo. La nave
dispara un misil que describe una trayectoria rectilínea
60. La gráfica de la ecuación (x2 ϩ y2)2 ϭ 4(x2 Ϫ y2) mos- tangente al círculo e impacta en un blanco sobre el suelo
trada en la FIGURA 4.7.8 se denomina lemniscata. cuyas coordenadas son (2, Ϫ2).
a) Encuentre los puntos sobre la gráfica que correspon- a) Determine el punto sobre el círculo donde fue dispa-
den a x ϭ 1.
rado el misil. ( )Ϫ12,
b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la grá-
fica en cada punto encontrado en el inciso a). b) Si un misil se dispara en el punto Ϫ 13 sobre el
2
c) Encuentre los puntos sobre la gráfica en los que la
tangente es horizontal. círculo, ¿en qué punto choca contra el suelo?
y
x
FIGURA 4.7.8 Lemniscata en el problema 60 Suelo Objetivo
En los problemas 61 y 62, demuestre que las gráficas de las FIGURA 4.7.10 Avión caza en el problema 66
ecuaciones dadas son ortogonales en el punto de intersección
indicado. Vea el problema 64 en la sección “Desarrolle su
competencia 4.3”.
61. y2 ϭ x3, 2 x2 ϩ 3y2 ϭ 5; (1, 1)
62. y3 ϩ 3x2y ϭ 13, 2x2 Ϫ 2y2 ϭ 3x; (2, 1)
182 UNIDAD 4 La derivada
Piense en ello 69. Considere la ecuación x2 ϩ y2 ϭ 4. Establezca otra fun-
ción implícita h(x) definida por esta ecuación para
67. El ángulo u (0 6 u 6 p) entre dos curvas se define como Ϫ2 Յ x Յ 2 diferente de la proporcionada en (2), (3) y
el problema 55.
el ángulo entre sus rectas tangentes en el punto P de
70. Para Ϫ1 6 x 6 1 y Ϫp͞2 6 y 6 p͞2, la ecuación x ϭ
intersección. Si m1 y m2 son las pendientes de las rectas sen y define una función implícita diferenciable.
tangentes en P, es posible demostrar que tan u ϭ (m1 Ϫ
m2)͞(1 ϩ m1m2). Determine el ángulo entre las gráficas a) Encuentre dy͞dx en términos de y.
de x2 ϩ y2 ϩ 4y ϭ 6 y x2 ϩ 2x ϩ y2 ϭ 4 en (1, 1). b) Encuentre dy͞dx en términos de x.
68. Demuestre que una ecuación de la recta tangente a la
elipse x2͞a2 ϩ y2͞b2 ϭ 1 en el punto (x0, y0) está dada
por x x0 y y0
a2 b2
ϩ ϭ 1.
4.8 Derivada de funciones inversas
Introducción En la sección 2.5 vimos que las gráficas de una función f uno a uno y su
inversa f Ϫ1 son reflexiones entre sí en la recta y ϭ x. Como una consecuencia, si (a, b) es un
punto sobre la gráfica de f, entonces (b, a) es un punto sobre la gráfica de f Ϫ1. En esta sec-
ción también veremos que las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de una función
diferenciable f están relacionadas con las pendientes de tangentes a la gráfica de f Ϫ1.
Empezamos con dos teoremas sobre la continuidad de f y f Ϫ1.
Continuidad de f ؊1 Aunque los dos teoremas siguientes se plantean sin demostración, su
validez se concluye a partir del hecho de que f Ϫ1 es una reflexión de la gráfica de f en la recta
y ϭ x.
Teorema 4.8.1 Continuidad de la función inversa
Sea f una función continua uno a uno sobre su dominio X. Entonces f Ϫ1 es continua sobre
su dominio.
Funciones crecientes-decrecientes Suponga que y ϭ f(x) es una función definida sobre
un intervalo I, y que x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo tales que x1 6 x2.
Entonces por la sección 2.3 y la figura 2.3.4, recuerde que se dice que f es
• creciente sobre el intervalo si f (x1) 6 f (x2), y (1)
• decreciente sobre el intervalo si f (x1) 7 f (x2). (2)
y (ƒ(b), b) Los dos teoremas siguientes establecen una relación entre el concepto de creciente/decre-
y ϭƒϪ1(x) yϭx ciente y la existencia de una función inversa.
(b, ƒ(b))
Teorema 4.8.2 Existencia de una función inversa
(ƒ(a), a) y ϭƒ(x) Sea f una función continua y creciente sobre un intervalo [a, b]. Entonces f Ϫ1 existe y es
continua y creciente sobre [ f(a), f(b)].
(a, ƒ(a)) x
El teorema 4.8.2 también se cumple cuando sustituimos la palabra creciente por la pala-
ƒ(a) a ƒ(b) b bra decreciente y el intervalo en la conclusión se reemplaza por [ f (b), f (a) ] . Vea la FIGURA 4.8.1.
Además, por el teorema 4.8.2 concluimos que si f es continua y creciente sobre un intervalo
FIGURA 4.8.1 f y f Ϫ1 (Ϫq, q), entonces f Ϫ1 existe y es continua y creciente sobre su dominio de inspección. Al
son continuas y crecientes analizar las figuras 2.3.4 y 4.8.1 también observamos que si f en el teorema 4.8.2 es una fun-
ción diferenciable sobre (a, b), entonces
f creciente y diferenciable • f es creciente sobre el intervalo [a, b] si f ¿(x) 7 0 sobre (a, b), y
significa que las rectas tangen- • f es decreciente sobre el intervalo [a, b] si f ¿(x) 6 0 sobre (a, b).
tes tienen pendiente positiva.
Estas afirmaciones se demostrarán en la siguiente unidad.
4.8 Derivada de funciones inversas 183
Teorema 4.8.3 Diferenciabilidad de una función inversa
Suponga que f es una función diferenciable sobre un intervalo abierto (a, b). Si f ¿(x) 7 0
sobre el intervalo o f ¿(x) 6 0 sobre el intervalo, entonces f es uno a uno. Además, f Ϫ1 es
diferenciable para toda x en el rango de f.
EJEMPLO 1 Existencia de una inversa
Demuestre que f (x) ϭ 5x3 ϩ 8x Ϫ 9 tiene una inversa.
Solución Puesto que f es una función polinomial, es diferenciable en todas partes; es decir,
f es diferenciable sobre el intervalo (Ϫq, q). También, f ¿(x) ϭ 15x2 ϩ 8 7 0 para toda x
implica que f es creciente sobre (Ϫq, q). Por el teorema 4.8.3 se concluye que f es uno a
uno y entonces f Ϫ1 existe.
Derivada de f ؊1 Si f es diferenciable sobre un intervalo I y es uno a uno sobre ese inter-
valo, entonces para a en I el punto (a, b) sobre la gráfica de f y el punto (b, a) sobre la grá-
fica de f Ϫ1 son imágenes especulares entre sí en la recta y ϭ x. Como veremos a continua-
ción, las pendientes de las rectas tangentes en (a, b) y (b, a) también están relacionadas.
EJEMPLO 2 Derivada de una inversa
En el ejemplo 5 de la sección 2.5 se demostró que la inversa de una función uno a uno y y ϭ x2 ϩ 1, x Ն 0
f (x) ϭ x2 ϩ 1, x Ն 0 es f Ϫ1(x) ϭ 1x Ϫ 1. En x ϭ 2, 6 (2, 5) ƒЈ(2) ϭ 4
5
f (2) 5 y f 1(5) 2. 4
3
Luego, por 1 2
1
f ¿(x) 2x y ( f 1)¿(x) 21x 1
(ƒϪ1)Ј(5) ϭƒЈ1(2)ϭ 1 yϭ xϪ1
4
observamos que f Ј(2) ϭ 4 y ( f Ϫ1)Ј(5) ϭ 14. Esto muestra que la pendiente de la tangente a la
gráfica de f en (2, 5) y la pendiente de la tangente a la gráfica de f Ϫ1 en (5, 2) son recíprocas: (5, 2)
( f 1)¿(5) 1 o ( f 1)¿(5) f ¿( f 1 . x
f ¿(2) 1(5)) 1 2 3 4 56
Vea la FIGURA 4.8.2. FIGURA 4.8.2 Rectas tangentes
en el ejemplo 2
El siguiente teorema muestra que el resultado en el ejemplo 2 no es una coincidencia.
Teorema 4.8.4 Derivada de una función inversa
Suponga que f es diferenciable sobre un intervalo I y que f Ј(x) nunca es cero sobre I. Si f
tiene una inversa f Ϫ1 sobre I, entonces f Ϫ1 es diferenciable en un número x y
d f 1(x) f ¿( f 1 . (3)
dx 1(x))
DEMOSTRACIÓN Como vimos en (5) de la sección 2.5, f ( f Ϫ1(x)) ϭ x para toda x en el domi-
nio de f Ϫ1. Por diferenciación implícita y la regla de la cadena,
d f( f 1(x)) d x o f ¿( f 1(x)) . d f 1(x) 1.
dx dx dx
Al despejar d f Ϫ1(x) en la última ecuación obtenemos (3).
dx
Resulta evidente que la ecuación (3) muestra que para encontrar la función derivada para
f Ϫ1 es necesario conocer de manera explícita f Ϫ1(x). Para una función uno a uno y ϭ f(x),
resolver la ecuación x ϭ f(y) para y algunas veces es difícil y a menudo imposible. En este
184 UNIDAD 4 La derivada caso resulta conveniente volver a escribir (3) usando otra notación. De nuevo, por diferencia-
Lea otra vez este párrafo.
ción implícita,
d x d f (y) proporciona 1 f ¿(y) . dy
dx dx dx.
Al despejar dy͞dx en la última ecuación y escribir dx>dy ϭ f ¿(y) obtenemos
dy dx1>dy. (4)
dx
Si (a, b) es un punto conocido sobre la gráfica de f, el resultado en (4) permite evaluar la
derivada de f Ϫ1 en (b, a) sin contar con una ecuación que defina f Ϫ1(x).
EJEMPLO 3 Derivada de una inversa
En el ejemplo 1 se indicó que la función polinomial f(x) ϭ 5x3 ϩ 8x Ϫ 9 es diferenciable
sobre (Ϫq, q) y por tanto es continua sobre el intervalo. Puesto que el comportamiento final
de f es el de la función polinomial con un solo término y ϭ 5x3, podemos concluir que el
rango de f también es (Ϫq, q). Además, puesto que f ¿(x) ϭ 15x2 ϩ 8 7 0 para toda x, f es
creciente sobre su dominio (Ϫq, q). Entonces, por el teorema 4.8.3, f tiene una inversa dife-
renciable f Ϫ1 con dominio (Ϫq, q). Al intercambiar x y y, la inversa se define por la ecua-
ción x ϭ 5y3 ϩ 8y Ϫ 9, pero resolver esta ecuación para y en términos de x es difícil (se
requiere la fórmula cúbica). No obstante, al usar dx>dy ϭ 15y2 ϩ 8, se encuentra que la deri-
vada de la función inversa está dada por (4):
dy ϭ 1 . (5)
dx 15y2 ϩ 8
Por ejemplo, puesto que f(1) ϭ 4, sabemos que f Ϫ1(4) ϭ 1. Entonces, la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f Ϫ1 en (4, 1) está dada por (5):
dy ` ϭ 1 8 ` ϭ 213.
dx 15y2 ϩ
xϭ4 yϭ1
En el ejemplo 3, la derivada de la función inversa también puede obtenerse directamente
a partir de x ϭ 5y3 ϩ 8y Ϫ 9 usando diferenciación implícita:
d x d (5y3 8y 9) proporciona 1 15y2 dy dy
dx dx dx 8 dx.
Al resolver la ecuación para dy͞dx obtenemos (5). Como una consecuencia de esta observa-
ción, es posible usar diferenciación implícita para encontrar la derivada de una función inversa
con el mínimo esfuerzo. En el siguiente análisis se encontrarán las derivadas de las funciones
trigonométricas inversas.
Derivadas de funciones trigonométricas inversas Un repaso de las figuras 2.5.15 y
2.5.17a) revela que la tangente inversa y la cotangente inversa son diferenciables para toda x.
No obstante, las cuatro funciones trigonométricas restantes no son diferenciables en x ϭ Ϫ1
o x ϭ 1. Centraremos la atención en obtener las fórmulas de las derivadas del seno inverso,
la tangente inversa y la secante inversa, y la obtención de las otras se dejan como ejercicios.
Seno inverso: y ϭ senϪ1 x si y sólo si x ϭ sen y, donde Ϫ1 Յ x Յ 1 y Ϫp>2 Յ y Յ p>2. En
consecuencia, la diferenciación implícita
d x d sen y proporciona 1 cos y . dy
dx dx dx
y así dy 1 y. (6)
dx cos
Para la restricción dada sobre la variable y, cos y Ն 0 y así cos y ϭ 21 sen2 y ϭ 21 Ϫ x2.
Al sustituir esta cantidad en (6), hemos demostrado que
d sen 1x 1. (7)
dx 21 x2
4.8 Derivada de funciones inversas 185
Como habíamos pronosticado, observe que (7) no está definida en x ϭ Ϫ1 o x ϭ 1. La fun-
ción seno inverso o arcsen es diferenciable sobre el intervalo abierto (Ϫ1, 1).
Tangente inversa: y ϭ tanϪ1 x si y sólo si x ϭ tan y, donde Ϫq 6 x 6 q y
Ϫp>2 6 y 6 p>2. Por tanto,
d x d tan y proporciona l sec2 y . dy
dx dx dx
o bien, dy 1 y . (8)
dx sec2
Debido a la identidad sec2 y = 1 + tan2 y = 1 + x2, (8) se vuelve
d tan 1x 1. (9)
dx 1 x2
Secante inversa: Para 0 x 0 7 1 y 0 Յ y 6 p>2 o p>2 6 y Յ p,
y sec 1 x si y sólo si x sec y.
Al diferenciar implícitamente la última ecuación obtenemos
dy sec 1 y. (10)
dx y tan
Debido a las restricciones sobre y, tenemos tan y 2sec2 y 1 2x2 1, ͿxͿ 7 1.
Por tanto, (10) se vuelve
d sec 1x 1. (11)
dx x 2x2 1
Es posible deshacernos del signo Ϯ en (11) al observar en la figura 2.5.17b) que la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de y = sec-1 x es positiva para x 6 1 y positiva para x 7 1.
Así, (11) es equivalente a
1, x6 1
d x 2x2 x 7 1.
dx sec 1x µ 1 1 (12)
,
x 2x2 1
El resultado en (12) puede volver a escribirse en forma más breve usando el símbolo de valor
absoluto:
d sec 1x 1. (13)
dx 0 x 0 2x2 1
La derivada de la composición de una función trigonométrica inversa con una función dife-
renciable u ϭ g(x) se obtiene a partir de la regla de la cadena.
Teorema 4.8.5 Funciones trigonométricas inversas
Si u ϭ g(x) es una función diferenciable, entonces
d sen 1u 1 u2 ddux, d cos 1u 21 1 u2 ddux, (14)
dx 21 dx (15)
(16)
d tan 1u 1 1 u2 ddux, d cot 1u 1 1 ddux ,
dx dx u2
d sec 1u 1 1 ddux, d csc 1u 1 1 ddux.
dx 0 u 0 2u2 dx 0 u 0 2u2
En las fórmulas en (14) debe tenerse 0 u 0 6 1, mientras que en las fórmulas en (16) debe
tenerse 0 u 0 7 1.
186 UNIDAD 4 La derivada
EJEMPLO 4 Derivada del seno inverso
Diferencie y ϭ senϪ1 5x.
Solución Con u ϭ 5x, por la primera fórmula en (14) tenemos
dy ϭ 1 . d 5x ϭ 5 .
dx Ϫ dx Ϫ 25x2
21 (5x)2 21
EJEMPLO 5 Derivada de la tangente inversa
Diferencie y ϭ tanϪ1 12x ϩ 1.
Solución Con u ϭ 12x ϩ 1, por la primera fórmula en (15) tenemos
dy ϭ 1 1B2 . d (2x ϩ 1)1>2
dx A12x dx
1 ϩ ϩ
ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1) . 1 (2x ϩ 1)Ϫ1>2 . 2
(2x 2
ϭ 1.
(2x ϩ 2)12x ϩ 1
EJEMPLO 6 Derivada de la secante inversa
Diferencie y = sec-1 x2.
y Solución Para x2 7 1 7 0, por la primera fórmula en (16) tenemos
2 dy ϭ 1 . d x2
dx 0 x2 0 2(x2)2 Ϫ 1 dx
y ϭ secϪ1 x2
ϭ 2x ϭ 2 . (17)
x2 2x4 Ϫ 1 x 2x4 Ϫ 1
Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 x
123 Con ayuda de un dispositivo para graficar obtenemos la gráfica de y = sec-1 x2 que se mues-
tra en la FIGURA 4.8.3. Observe que (17) proporciona una pendiente positiva para x 7 1 y una
FIGURA 4.8.3 Gráfica de la fun- negativa para x 6 Ϫ1.
ción en el ejemplo 6
EJEMPLO 7 Recta tangente
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ x2 cos-1 x en x ϭ Ϫ21.
Solución Por la regla del producto y la segunda fórmula en (14):
f ¿(x) x2 a 1 b 2x cos 1 x.
21 x2
Puesto que cosϪ1(Ϫ21) ϭ 2p>3, al evaluar las dos funciones f y f ¿ en x ϭ Ϫ12 obtenemos:
fQ 1 R p ( )d el punto de tangencia es 21, p
2 6 6
f ¿Q 1 R 1 ( )2p 21, p es 1 2p
2 213 6 2 13 3
3 . d la pendiente de la tangente en
y Por la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, la ecuación sin simplificar de la
recta tangente es
p aϪ 1 2p 1
6 213 3 2
6 2 y Ϫ ϭ Ϫ bax ϩ b.
y ϭ x2 cosϪ1 x
Ϫ 1 ,
2 x
1 Puesto que el dominio de cos-1 x es el intervalo [- 1, 1], el dominio de f es [- 1, 1]. El
Ϫ1 rango correspondiente es [ 0, p ] . La FIGURA 4.8.4 se obtuvo con ayuda de un dispositivo para
graficar.
FIGURA 4.8.4 Recta tangente en el
ejemplo 7
4.9 Derivada de funciones exponenciales 187
4.8 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-12.
Fundamentos 24. y cot 1 x tan 1 x
21 x2
En los problemas 1-4, sin graficar determine si la función f
dada tiene una inversa. 25. y ax2 9 tan 1 x 3 26. y 2x cos 1(x 1)
1. f (x) ϭ 10x3 ϩ 8x ϩ 12 3
2. f (x) ϭ Ϫ7x 5 Ϫ 6x3 Ϫ 2x ϩ 17 b
3. f (x) ϭ x3 ϩ x2 Ϫ 2x
4. f (x) ϭ x4 Ϫ 2x2 27. F(t) arctan a t 1 b 28. g(t) arccos13t 1
t 1
29. f (x) arcsen (cos 4x) 30. f(x) arctan a sen x b
31. f (x) tan (sen 1 x2) 32. f(x) 2
En los problemas 5 y 6, use (3) para encontrar la derivada cos (x sen 1 x)
de f Ϫ1 en el punto indicado.
En los problemas 33 y 34, use diferenciación implícita para
5. f (x) ϭ 2x3 ϩ 8; A f A 1 B, 1 B encontrar dy͞dx.
2 2
6. f (x) ϭ Ϫx3 Ϫ 3x ϩ 7; ( f (Ϫ1), Ϫ1) 33. tanϪ1 y ϭ x2 ϩ y2 34. senϪ1 y Ϫ cosϪ1 x ϭ 1
En los problemas 7 y 8, encuentre f Ϫ1. Use (3) para encon- En los problemas 35 y 36, demuestre que f Ј(x) ϭ 0.
Interprete el resultado.
trar ( f Ϫ1) ¿ y luego compruebe este resultado por diferencia- 35. f (x) ϭ senϪ1 x ϩ cosϪ1 x
ción directa de f Ϫ1. 36. f (x) ϭ tanϪ1 x ϩ tanϪ1(1>x).
7. f (x) ϭ 2x ϩ 1 8. f (x) ϭ (5x ϩ 7)3
x
En los problemas 9-12, sin encontrar la inversa, encuentre, En los problemas 37 y 38, encuentre la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado
en el valor indicado de x, el punto correspondiente sobre la de x.
gráfica de f Ϫ1. Luego use (4) para encontrar una ecuación
37. y sen 1 x ; x 1
de la recta tangente en este punto. 2
9. y ϭ 1 x 3 ϩ x Ϫ 7; xϭ3 10. y ϭ 2x ϩ 11; xϭ0 38. y (cos 1 x)2; x 1> 12
3 4x Ϫ
11. y ϭ (x5 ϩ 1)3; x ϭ 1 En los problemas 39 y 40, encuentre una ecuación de la recta
tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado
12. y ϭ 8 Ϫ 6 13 x ϩ 2; x ϭ Ϫ3 de x.
En los problemas 13-32, encuentre la derivada de la función 39. f (x) x tan 1 x; x 1
dada.
1
13. y sen 1 (5x 1) 14. y cos 1 a x 3 1 b 40. f(x) sen 1 (x 1); x 2
15. y 4 cot 1x 16. y 2x 10 sec 1 5x 41. Encuentre los puntos sobre la gráfica de f(x) ϭ 5 Ϫ
2 2 sen x, 0 Յ x Յ 2p, donde la recta tangente es para-
lela a la recta y ϭ 13x ϩ 1.
17. y 2 1x tan 1 1x 18. y (tan 1 x)(cot 1 x) 42. Encuentre todas las rectas tangentes a la gráfica de f(x)
ϭ arctan x cuya pendiente es 14.
19. y sen 1 2x 20. y sen 1 x
cos 1 2x sen x
21. y 1 22. y sec 1 x Piense en ello
tan 1 x2 x
43. Si f y ( f Ϫ1) ¿ son diferenciables, use (3) para encontrar
23. y 2 sen 1 x x cos 1 x una fórmula para ( f Ϫ1)–(x).
4.9 Derivada de funciones exponenciales
Introducción En la sección 2.6 vimos que la función exponencial f(x) ϭ bx, b 7 0, b 1,
está definida para todos los números reales; es decir, el dominio de f es (Ϫq, q). Al revisar
la figura 2.6.2 observamos que f es continua en todas partes. Resulta que una función expo-
nencial también es diferenciable en todas partes. En esta sección desarrollaremos la derivada
de f (x) ϭ bx.
188 UNIDAD 4 La derivada
Derivada de una función exponencial Para encontrar la derivada de una función exponen-
cial f (x) ϭ bx usamos la definición de la derivada proporcionada en (2) de la definición 4.2.1.
Primero calculamos el cociente diferencial
f(x ϩ h) Ϫ f(x) (1)
h
en tres pasos. Para la función exponencial f(x) ϭ bx, tenemos
i) f (x h) bx h bxbh d leyes de los exponentes
ii) f(x h) f (x) bx h bx bxbh bx bx(bh 1) d leyes de los exponentes
y factorización
f(x h) f (x) bx(bh 1) bx . bh h 1.
iii) h h
En el cuarto paso, el paso de cálculo, hacemos h S 0 pero en forma semejante a las deriva-
das de sen x y cos x en la sección 4.5, no hay forma evidente de cancelar la h en el cociente
diferencial iii). No obstante, la derivada de f (x) ϭ bx es
f ¿(x) lím bx . bh 1. (2)
hS0 h
Debido a que bx no depende de la variable h, (2) puede escribirse como
f ¿(x) bx . lím bh 1. (3)
hS0 h
A continuación se presentan algunos resultados sorprendentes. Puede demostrarse que el límite
en (3),
lím bh 1, (4)
hS0 h
y y ϭ bx existe para toda base positiva b. No obstante, como sería de esperar, para cada base b obtene-
mos una respuesta diferente. Así, por conveniencia, la expresión en (4) se denotará por el sím-
bolo m(b). Entonces, la derivada de f (x) ϭ bx es
f ¿(x) ϭ bxm (b). (5)
La pendiente Se solicita al lector aproximar el valor de m(b) en los cuatro casos b ϭ 1.5, 2, 3 y 5 en los
en (0, 1) es m(b)
problemas 57-60 de la sección “Desarrolle su competencia 4.9”. Por ejemplo, puede demos-
(0, 1) trar que m(10) Ϸ 2.302585p y como una consecuencia, si f (x) ϭ 10x, entonces
x f ¿(x) ϭ (2.302585 p )10x. (6)
FIGURA 4.9.1 Encuentre una Es posible que comprenda mejor lo que evalúa m(b) al evaluar (5) en x ϭ 0. Puesto que
base b de modo que la pendiente b0 ϭ 1, tenemos f ¿(0) ϭ m(b). En otras palabras, m(b) es la pendiente de la recta tangente a
m(b) de la recta tangente en (0, 1) la gráfica de f (x) ϭ bx en x ϭ 0; es decir, en la intersección y (0, 1). Vea la FIGURA 4.9.1. Dado
sea 1
que es necesario calcular una m(b) diferente para cada base b, y que es probable que m(b)
sea un número “espantoso” como en (6), con el tiempo la siguiente pregunta surge de manera
natural:
• ¿Hay alguna base b para la cual m(b) ϭ 1? (7)
Derivada de la función exponencial natural Para contestar la pregunta planteada en (7), es
necesario volver a las definiciones de e proporcionadas en la sección 2.6. En específico, (4)
de la sección 2.6,
e lím (1 h)1>h (8)
hS0
constituye el mecanismo para responder la pregunta planteada en (7). Sabemos que, a nivel
intuitivo, la igualdad en (8) significa que cuando h se aproxima cada vez más a 0 entonces
(1 ϩ h)1>h puede hacerse arbitrariamente próximo al número e. Así, para valores de h cercanos
a 0, tenemos la aproximación (1 ϩ h)1>h Ϸ e y así se concluye que 1 ϩ h Ϸ eh. La última
expresión escrita en la forma
eh Ϫ 1 Ϸ 1 (9)
h
4.9 Derivada de funciones exponenciales 189
sugiere que
lím eh 1 1. (10)
hS0 h
Puesto que el miembro izquierdo de (10) es m(e), tenemos la respuesta a la pregunta planteada
en (7):
• La base b para la cual m(b) ϭ 1 es b ϭ e. (11)
Además, por (3) hemos descubierto un resultado maravillosamente simple. La derivada de
f (x) ϭ ex es ex. En resumen,
d ex ex. (12)
dx
El resultado en (12) es el mismo que f ¿(x) ϭ f(x). Además, si c 0 es una constante, enton-
ces la otra función diferente de cero f en cálculo cuya derivada es igual a sí misma es y ϭ cex
puesto que por la regla del múltiplo constante de la sección 4.3
dy ϭ d cex ϭ c d ex ϭ cex ϭ y.
dx dx dx
Otro repaso a la derivada de f (x) ؍bx En el análisis precedente vimos que m(e) ϭ 1, pero
se dejó sin contestar la pregunta de si m(b) tiene un valor exacto para todo b 7 0. Y lo tiene.
A partir de la identidad eln b ϭ b, b 7 0, podemos escribir cualquier función exponencial
f(x) = bx en términos de la base e:
f (x) ϭ bx ϭ (eln b)x ϭ ex(ln b).
Por la regla de la cadena, la derivada de bx es
f ¿(x) ϭ d ex(ln b) ϭ ex(ln b) . d x(ln b) ϭ ex(ln b)(ln b).
dx dx
Volviendo a bx ϭ ex(ln b), la línea precedente muestra que
d bx bx(ln b). (13)
dx
Al relacionar el resultado en (5) con el de (13) concluimos que m(b) ϭ ln b. Por ejem-
plo, la derivada de f (x) ϭ 10x es f ¿(x) ϭ 10x(ln 10). Debido a que ln 10 Ϸ 2.302585 observa-
mos que f ¿(x) ϭ10x(ln 10) es lo mismo que el resultado en (6).
A continuación se proporcionan las formas de los resultados de la regla de la cadena en
(12) y (13).
Teorema 4.9.1 Derivadas de funciones exponenciales
Si u ϭ g(x) es una función diferenciable, entonces
d eu eu ddux, (14)
dx (15)
y d bu bu(ln b) ddux.
dx
EJEMPLO 1 Regla de la cadena
Diferencie b) y ϭ e1>x3 c) y ϭ 85x.
a) y ϭ eϪx
Solución
a) Con u ϭ Ϫx, por (14) tenemos
dy ϭ eϪx . d (Ϫx) ϭ eϪx(Ϫ1) ϭ ϪeϪx.
dx dx
190 UNIDAD 4 La derivada
b) Al volver a escribir u ϭ 1>x3 como u ϭ xϪ3, por (14) tenemos
dy ϭ e1>x 3 . d xϪ3 ϭ e1>x3(Ϫ3xϪ4) ϭ Ϫ3 e1>x3.
dx dx x4
c) Con u ϭ 5x, por (15) tenemos
dy 85x . (ln 8) . d 5x 5 . 85x (ln 8).
dx dx
EJEMPLO 2 Reglas del producto y de la cadena
Encuentre los puntos sobre la gráfica de y ϭ 3 x2eϪx2 donde la recta tangente es horizontal.
Solución Se usa la regla del producto junto con (14):
dy ϭ 3x2 . d eϪx 2 ϩ eϪx 2 . d 3x2
dx dx dx
(Ϫ1, 3eϪ1) y (1, 3eϪ1) ϭ 3x2(Ϫ2xeϪx2) ϩ 6xeϪx2
1
ϭ eϪx2(Ϫ6x3 ϩ 6x).
Puesto que eϪx2 0 para todos los números reales x, dy ϭ 0 cuando Ϫ6x3 ϩ 6x ϭ 0. Al fac-
dx
y ϭ 3x2 eϪx2 torizar la última ecuación obtenemos x (x ϩ 1)(x Ϫ 1) ϭ 0 y así x = 0, x = -1 y x = 1. Así,
x los puntos correspondientes sobre la gráfica de la función dada son (0, 0), (-1, 3e-1) y
(1, 3eϪ1). La gráfica de y ϭ 3x2eϪx2 junto con las tres rectas tangentes se muestran en la FIGURA
Ϫ1 (0, 0) 1
4.9.2.
FIGURA 4.9.2 Gráfica de la
función en el ejemplo 2
En el ejemplo siguiente se recuerda el hecho de que una ecuación exponencial puede escri-
birse en una forma logarítmica equivalente. En particular, se usa (9) de la sección 2.6 en la
forma
y ex si y sólo si x ln y. (16)
y ϭ Ϫ4x Ϫ 2 y EJEMPLO 3 Recta tangente paralela a una recta
Encuentre el punto sobre la gráfica de f(x) ϭ 2eϪx donde la recta tangente es paralela a
5 y ϭ Ϫ4x Ϫ 2.
(Ϫln 2, 4)
Solución Sea (x0, f (x0)) ϭ (x0, 2eϪx0) el punto desconocido sobre la gráfica de f (x) ϭ 2eϪx
4 donde la recta tangente es paralela a y = - 4x - 2. Entonces, a partir de la derivada
f ¿(x) ϭ Ϫ2eϪx, la pendiente de la recta tangente en este punto es f ¿(x0) ϭ Ϫ2eϪx0. Puesto que
3 y = - 4x - 2 y la recta tangente es paralela en ese punto, las pendientes son iguales:
2 f ¿(x0) ϭ Ϫ4 o bien, Ϫ2eϪx0 ϭ Ϫ4 o bien, eϪx0 ϭ 2.
y ϭ 2eϪx
A partir de (16), la última ecuación proporciona -x0 = ln 2 o x0 = -ln 2. Por tanto, el punto
1 es (-ln 2, 2eln 2). Puesto que eln 2 = 2, el punto es (-ln 2, 4). En la FIGURA 4.9.3, la línea pro-
porcionada está a la izquierda y la recta tangente está a la derecha.
x
Ϫ2 Ϫ1 12
FIGURA 4.9.3 Gráfica de la
función y rectas en el
ejemplo 3
d
dx NOTAS DESDE EL AULA
Los números e y p son trascendentes, así como irracionales. Un número trascendente es
un número que no es raíz de una ecuación polinomial con coeficientes enteros. Por ejem-
plo, 12 es irracional pero no trascendente, puesto que es una raíz de la ecuación polino-
mial x2 Ϫ 2 ϭ 0. El hecho de que el número e sea trascendente fue demostrado por el mate-
mático francés Charles Hermite (1822-1901) en 1873, mientras que el matemático alemán
Ferdinand Lindemann (1852-1939) demostró nueve años después que p es trascendente.
Esta última demostración evidenció de manera concluyente que resolver la “cuadratura del
círculo” con regla y compás era imposible.
4.9 Derivada de funciones exponenciales 191
4.9 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-12.
Fundamentos 39. Si C y k son constantes reales, demuestre que la función
y ϭ Cekx satisface la ecuación diferencial yЈ ϭ ky.
En los problemas 1-26, encuentre la derivada de la función
40. Use el problema 39 para encontrar una función que
dada. satisfaga las condiciones dadas.
1. y ϭ eϪx 2. y ϭ e2xϩ3 a) y¿ 0.01y y y(0) 100
0.15P 0 y P(0) P0
3. y ϭ e1x 4. y ϭ esen 10x b) dP
dt
5. y ϭ 52x 6. y ϭ 10Ϫ3x2
7. y ϭ x3e4x 8. y ϭ eϪx sen px En los problemas 41-46, use diferenciación implícita para
eϪ2x xex encontrar dy͞dx.
x ϩ ex
9. f (x) ϭ 10. f (x) ϭ x 41. y ϭ exϩy 42. xy ϭ ey
11. y ϭ 21 ϩ eϪ5x 12. y ϭ (e2x Ϫ eϪ2x )10 43. y = cos exy 44. y ϭ e(xϩy)2
45. x ϩ y2 ϭ ex>y 46. ex ϩ ey ϭ y
13. y ϭ 2 14. y ϭ ex ϩ eϪx 47. a) Trace la gráfica de f (x) ϭ eϪ0x0.
ϩ eϪx>2 ex Ϫ eϪx
ex>2 b) Encuentre f Ј(x).
c) Trace la gráfica de f Ј.
15. y ϭ e7x 16. y ϭ e2xe3xe4x d) ¿La función es diferenciable en x ϭ 0?
eϪx
100 48. a) Demuestre que la función f (x) ϭ ecos x es periódica
17. y ϭ (e3)xϪ1 18. y ϭ a 1 con periodo 2p.
ex b
b) Encuentre todos los puntos sobre la gráfica de f
19. f (x) ϭ e x1>3 ϩ (ex )1>3 20. f (x) ϭ (2x ϩ 1)3eϪ(1Ϫx)4 donde la tangente es horizontal.
21. f (x) ϭ e-x tan ex 22. f (x) ϭ sec e2x c) Trace la gráfica de f.
23. f (x) ϭ ex2x2ϩ1 xϩ2 Aplicaciones
24. y ϭ e xϪ2
25. y ϭ eex2 26. y ϭ ex ϩ exϩeϪx 49. La función logística
27. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica P(t) ϭ bP0 ϩ aP0 bP0)˛eϪat ,
de y ϭ (ex ϩ 1)2 en x ϭ 0. (a Ϫ
28. Encuentre la pendiente de la recta normal a la gráfica de donde a y b son constantes positivas, a menudo sirve
y ϭ (x Ϫ 1)eϪx en x ϭ 0.
como modelo matemático para una población en creci-
29. Encuentre el punto sobre la gráfica de y ϭ ex donde la
recta tangente es paralela a 3x Ϫ y ϭ 7. miento pero limitada.
30. Encuentre el punto sobre la gráfica de y ϭ 5x ϩ e2x a) Demuestre que P(t) satisface la ecuación diferencial
donde la recta tangente es paralela a y ϭ 6x.
dP ϭ P(a Ϫ bP).
dt
b) La gráfica de P(t) se denomina curva logística,
En los problemas 31 y 32, encuentre el o los puntos sobre donde P(0) ϭ P0 es la población inicial. Considere el
caso donde a ϭ 2, b ϭ1 y P0 ϭ 1. Encuentre asínto-
la gráfica de la función dada donde la recta tangente es hori- tas horizontales para la gráfica de P(t) al determinar
zontal. Use un dispositivo para graficar y obtenga la gráfica los límites lím P(t) y lím P(t).
tSϪq tSq
de cada función. c) Grafique P(t).
31. f (x) ϭ eϪx sen x 32. f (x) ϭ (3 Ϫ x2)eϪx d) Encuentre el o los valores de t para los cuales
En los problemas 33-36, encuentre la derivada de orden P–(t) ϭ 0.
superior indicada.
50. El modelo matemático de Jenss (1937) constituye una
33. y ex2; d 3y 34. y 1 1 x; d 2y de las fórmulas empíricas más precisas para pronosticar
dx3 e dx2 la estatura h (en centímetros) en términos de la edad t (en
años) para niños en edad preescolar (de 3 meses a 6 años):
sen e2x; d 2y x2ex; d 4y h(t) ϭ 79.04 ϩ 6.39t Ϫ e3.26Ϫ0.99t.
dx2 dx4
35. y 36. y a) ¿Qué estatura pronostica este modelo para un niño de
En los problemas 37 y 38, C1 y C2 son constantes reales arbi- 2 años?
trarias. Demuestre que la función satisface la ecuación dife- b) ¿Cuán rápido crece en estatura un niño de 2 años?
rencial dada. c) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
37. y C1e 3x C2e2x; y– y¿ 6y 0 fica de h sobre el intervalo [14, 6].
38. y C1e x cos 2x C2e x sen 2x; y– 2y ¿ 5y 0 d) Use la gráfica del inciso c) para estimar la edad de un
niño en edad preescolar que mide 100 cm de estatura.
192 UNIDAD 4 La derivada
Piense en ello 58. h S 0 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
51. Demuestre que la intersección con el eje x de la recta 2h 1
tangente a la gráfica de y ϭ eϪx en x ϭ x0 está una uni- h
dad a la derecha de x0.
59. h S 0 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
52. ¿Cómo está relacionada la recta tangente a la gráfica
de y ϭ ex en x ϭ 0 con la recta tangente a la gráfica de 3h 1
y ϭ eϪx en x ϭ 0? h
53. Explique por qué sobre la gráfica de y ϭ ex no hay nin- 60. h S 0 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
gún punto donde la recta tangente sea paralela a
2x ϩ y ϭ 1. 5h 1
h
54. Encuentre todas las rectas tangentes a la gráfica de
f (x) ϭ ex que pasan por el origen.
En los problemas 55 y 56, el símbolo n representa un entero
positivo. Encuentre una fórmula para la derivada dada.
55. dn 2e x 56. dn xeϪx
dxn dxn
61. Use una calculadora o un SAC para obtener la gráfica
Problemas con calculadora/SAC de
f ( x) ϭ e eϪ1>x 2, x0
0, x ϭ 0.
En los problemas 57-60, use una calculadora para estimar el
valor m(b) lím bh 1 para b = 1.5, b = 2, b = 3 y b = 5
hS0 h Demuestre que f es diferenciable para toda x. Use la
definición de la derivada para calcular f Ј(0).
al llenar la tabla siguiente.
57. h S 0 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
(1.5)h 1
h
4.10 Derivada de funciones logarítmicas
Introducción Debido a que la inversa de la función exponencial y ϭ bx es la función loga-
rítmica y ϭ logbx, la derivada de la segunda función puede encontrarse de tres maneras: (3)
de la sección 4.8, diferenciación implícita o a partir de la definición fundamental (2) en la sec-
ción 4.2. Demostraremos los dos últimos métodos.
Derivada de la función logaritmo natural Por (9) de la sección 2.6 sabemos que y ϭ ln x
es lo mismo que x ϭ ey. Por diferenciación implícita, la regla de la cadena y (14) de la sec-
ción 4.9,
d x d e y proporciona 1 ey dy
dx dx dx.
En consecuencia, dy ϭ e1y.
dx
Al sustituir ey por x, obtenemos el siguiente resultado:
Así como en las funciones trigo- d ln x 1x . (1)
nométricas inversas, la derivada dx
de la inversa de la función expo-
nencial natural es una función Derivada de f (x) ؍logb x Precisamente de la misma manera en que se obtuvo (1), la deri-
algebraica. vada de y ϭ logb x puede obtenerse al diferenciar implícitamente x ϭ by.
d x d by proporciona 1 by(ln b) dy .
dx dx dx
En consecuencia, dy ϭ 1 b).
dx by(ln
Al sustituir by por x, obtenemos 4.10 Derivada de funciones logarítmicas 193
(2)
d logb x 1 b) .
dx x(ln
Puesto que ln e ϭ 1, (2) se vuelve (1) cuando b ϭ e.
EJEMPLO 1 Regla del producto
Diferencie f (x) = x2 ln x.
Solución Por la regla del producto y (1), tenemos
f ¿(x) x2 . d ln x (ln x) . d x2 x2 . 1 (ln x) . 2x
dx dx x
o bien, f ¿(x) x 2 x ln x.
EJEMPLO 2 Pendiente de una recta tangente
Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de y ϭ log10 x en x ϭ 2.
Solución Por (2), la derivada de y ϭ log10 x es
dy x(ln110).
dx
Con ayuda de una calculadora, la pendiente de la recta tangente en (2, log10 2) es
dy 1 0.2171.
dx ` x 2 2 ln 10
Los resultados en (1) y (2) se resumen en forma de regla de la cadena.
Teorema 4.10.1 Derivadas de funciones logarítmicas
Si u ϭ g(x) es una función diferenciable, entonces
d ln u 1 ddux , (3)
dx u (4)
y d logb u 1 b) ddux .
dx u(ln
EJEMPLO 3 Regla de la cadena
Diferencie
a) f (x) = ln(cos x) y b) y = ln(ln x).
Solución
a) Por (3), con u ϭ cos x tenemos
f ¿(x) 1 x . d cos x 1 x . ( sen x)
cos dx cos
o bien, f ¿(x) tan x.
b) Al usar de nuevo (3), ahora con u ϭ ln x, obtenemos
dy 1 . d ln x 1 .1 x 1 x.
dx ln x dx ln x x ln
194 UNIDAD 4 La derivada
EJEMPLO 4 Regla de la cadena
Diferencie f (x) = ln x3.
Solución Debido a que x3 debe ser positiva, se entiende que x 7 0. Así, por (3), con u = x3,
tenemos
f ¿(x) ϭ 1 . d x3 ϭ 1 . (3x2) ϭ 3x .
x3 dx x3
Solución alterna: Por iii) de las leyes de los logaritmos (teorema 2.6.1), ln N c = c ln N y
así es posible volver a escribir y ϭ ln x3 como y ϭ 3 ln x y después diferenciar:
f (x) 3 d ln x 3 . 1 3x .
dx x
Aunque el dominio del logaritmo natural y ϭ ln x es el conjunto (0, q), el dominio de
y ϭ ln 0 x 0 se extiende al conjunto (Ϫq, 0) ´ (0, q). Para los números en este último domi-
nio,
0x0 ϭ e x, x70
Ϫx, x 6 0.
En consecuencia
para x 7 0, d ln x 1
para x 6 0, dx x
(5)
d 1 1x .
dx ln( x) x . ( 1)
Las derivadas en (5) prueban que para x 0,
d ln 0 x 0 1x . (6)
dx
Así, el resultado en (6) se generaliza por la regla de la cadena. Para una función diferencia-
ble u ϭ g(x), u 0,
d ln 0 u 0 1 ddux . (7)
dx u
y y ϭ ln |x| EJEMPLO 5 Uso de (6)
1 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y ϭ ln 0 x 0 en x ϭ Ϫ2 y x ϭ 2.
(2, ln 2)
(Ϫ2, ln 2) x Solución Puesto que (6) proporciona dy>dx ϭ 1>x, tenemos
Ϫ2 Ϫ1 12 dy Ϫ21 dy 21.
Ϫ1 dx dx
` ϭ y ` ϭ (8)
x ϭ Ϫ2 xϭ2
FIGURA 4.10.1 Gráficas de Debido a que ln 0 -2 0 = ln 2, (8) proporciona, respectivamente, las pendientes de las rectas tan-
las rectas tangentes y función gentes en los puntos (-2, ln 2) y (2, ln 2). Observe en la FIGURA 4.10.1 que la gráfica de y ϭ ln 0 x 0
en el ejemplo 5 es simétrica con respecto al eje y; de igual manera, las rectas tangentes son simétricas.
EJEMPLO 6 Uso de (7)
Diferencie
a) y ϭ ln(2x Ϫ 3) y b) y ϭ ln 0 2x Ϫ 3 0 .
Solución
a) Para 2x Ϫ 3 7 0, o x 7 23, por (3) tenemos
dy ϭ 2x 1 3 . d (2x Ϫ 3) ϭ 2x 2 3. (9)
dx Ϫ dx Ϫ (10)
b) Para 2x Ϫ 3 0, o x 23, por (7) tenemos
dy ϭ 2x 1 3 . d (2x Ϫ 3) ϭ 2x 2 3.
dx Ϫ dx Ϫ
4.10 Derivada de funciones logarítmicas 195
Aunque (9) y (10) parecen iguales, definitivamente no se trata de la misma función. La diferen-
cia consiste simplemente en que el dominio de la derivada en (9) es el intervalo (23, q), mientras
el dominio de la derivada en (10) es el conjunto de números reales excepto x ϭ 23.
EJEMPLO 7 Una distinción
Las funciones f (x) ϭ ln x4 y g(x) ϭ 4 ln x no son las mismas. Puesto que x4 7 0 para toda
x 0, el dominio de f es el conjunto de números reales excepto x = 0. El dominio de g es el
intervalo (0, q). Así,
f ¿(x) ϭ 4x, x 0 mientras g¿(x) ϭ 4x, x 7 0.
EJEMPLO 8 Simplificar antes de diferenciar
x1>2(2x ϩ 7)4
Diferencie y ϭ ln (3x2 ϩ 1)2 .
Solución Al usar las leyes de los logaritmos proporcionadas en la sección 2.6 para x 7 0,
podemos volver a escribir el miembro derecho de la función dada como
y ln x1>2(2 x 7)4 ln(3 x2 1)2 d ln (M>N) ln M ln N
ln x1>2 ln(2 x 7)4 ln(3 x2 1)2 d ln (MN) ln M ln N
1 ln x 4 ln(2x 7) 2 ln(3x2 1) d ln Nc c ln N
2
de modo que dy ϭ 1 . 1 ϩ 4 . 2x 1 7 . 2 Ϫ 2 . 1 . 6x
dx 2 x ϩ 3x2 ϩ
1
o bien, dy ϭ 1 ϩ 2x 8 7 Ϫ 12x .
dx 2x ϩ 3x2 ϩ 1
Diferenciación logarítmica La diferenciación de una función complicada y ϭ f(x) que con-
tiene productos, cocientes y potencias puede simplificarse por medio de una técnica denomi-
nada diferenciación logarítmica. El procedimiento consta de tres pasos.
Directrices para diferenciación logarítmica
i) Tome el logaritmo natural de ambos miembros de y ϭ f(x). Use las propiedades
generales de los logaritmos para simplificar tanto como sea posible el miembro
derecho de ln y ϭ ln f(x).
ii) Diferencie implícitamente la versión simplificada de ln y ϭ ln f(x):
d ln y d ln f (x).
dx dx
iii) Puesto que la derivada del miembro izquierdo es 1 dy multiplique ambos miem-
y dx,
bros por y y sustituya y por f(x).
Ahora ya sabe cómo diferenciar cualquier función del tipo
y (constante)variable y y (variable)constante .
Por ejemplo,
d px p x(ln p) y d xp pxp 1.
dx dx
Hay funciones donde tanto la base como el exponente son variables: (11)
y (variable)variable.
196 UNIDAD 4 La derivada
Por ejemplo, f (x) ϭ (1 ϩ 1>x)x es una función del tipo descrito en (11). Recuerde que en la
sección 2.6 vimos que f (x) ϭ (1 ϩ 1>x)x desempeñaba un papel importante en la definición
del número e. A pesar de que no se desarrollará una fórmula general para la derivada de fun-
ciones del tipo dado en (11), es posible obtener sus derivadas por medio del proceso de dife-
renciación logarítmica. El siguiente ejemplo ilustra el método para encontrar dy͞dx.
EJEMPLO 9 Diferenciación logarítmica
Diferencie y ϭ x1x, x 7 0.
Solución Al tomar el logaritmo natural de ambos miembros de la ecuación dada y simplifi-
car obtenemos
ln y ln x1x 1x ln x. d propiedad iii) de las leyes de
los logaritmos. Sección 1.6
y Luego se diferencia implícitamente:
1 yϭx x
1 dy 1x . 1 1 x 1>2 . ln x d regla del producto
x y dx x 2
1
FIGURA 4.10.2 Gráfica de la dy y c 1 ln x d d ahora se sustituye y por x1x
función en el ejemplo 9 dx 1x 21x
1 x1x 1 ln x). d denominador común y
2 leyes de los exponentes
2 (2
La gráfica de y ϭ x1x en la FIGURA 4.10.2 se obtuvo con ayuda de un dispositivo para graficar.
Observe que la gráfica tiene una tangente horizontal en el punto donde dy>dx ϭ 0. Por tanto,
la coordenada x del punto de tangencia horizontal se determina a partir de 2 + ln x = 0 o
ln x = - 2. La última ecuación proporciona x ϭ eϪ2.
EJEMPLO 10 Diferenciación logarítmica
Encuentre la derivada de y ϭ 23 x4 ϩ 6x2 (8x ϩ 3)5 .
(2x2 ϩ 7)2>3
Solución Observe que la función dada no contiene logaritmos. Entonces podemos encontrar
dy͞dx usando una aplicación ordinaria de las reglas del cociente, del producto y de potencias.
Este procedimiento, que es tedioso, puede evitarse al tomar primero el logaritmo de ambos
miembros de la ecuación dada, simplificar como se hizo en el ejemplo con las leyes de los
logaritmos y luego diferenciar implícitamente. Se toma el logaritmo de ambos miembros de la
ecuación dada y se simplifica el miembro derecho:
ln y ln 23 x4 6x2 (8x 3)5
(2x2 7)2>3
ln 23 x4 6x2 ln (8x 3)5 ln (2x2 7)2 >3
1 ln (x4 6x2) 5 ln(8x 3) 2 ln (2x2 7).
3 3
Al diferenciar la última línea con respecto a x obtenemos
1 dy 1. 1 6x2 . (4x3 12x) 5 . 8x 1 3 . 8 2. 1 . 4x
y dx 3 x4 3 2x2 7
dy y c 4x3 12x 40 8x d d ambos lados se multiplican por y
dx 3(x4 6x2) 8x 3 3(2x2 7)
23 x4 6x2(8x 3)5 c 4x3 12x 40 8x d . d y se sustituye por la
(2x2 7)2>3 3(x4 6x2) 8x 3 3(2x2 expresión original
7)
Posdata: Otro repaso a la derivada de f (x) ؍logb x Como se afirmó en la introducción de
esta sección, podemos obtener la derivada de f (x) = logb x al usar la definición de la derivada.
Por (2) de la sección 4.2,
4.10 Derivada de funciones logarítmicas 197
f ¿(x) lím logb (x h) logb x
h
hS0
lím 1 logb x h d álgebra y las leyes de los logaritmos
h
hS0 x
lím 1 logb a1 h b d división de x ϩ h entre x
h x
hS0
lím 1 . x logb a1 h b d multiplicación por x>x ϭ 1
x h x
hS0
1 lím logb a1 h x>h d las leyes de los logaritmos
x x
hS0 b
1 logb c lím a 1 h x>h d . (12)
x x
hS0 b
El último paso, tomar el límite dentro de la función logarítmica, se justifica al invocar la con-
tinuidad de la función sobre (0, q) y suponer que el límite entre corchetes existe. Si en la
última ecuación se hace t ϭ h>x, entonces, puesto que x es fija, h S 0 implica t S 0. En con-
secuencia, por (4) de la sección 2.6 vemos que
lím a1 h x>h lím(1 t)1>t e.
x
hS0 b tS0
Por tanto, el resultado en (12) muestra que
d logb x 1 logb e. (13) Quienes poseen un ojo agudo y
dx x gran memoria han observado
que (13) no es lo mismo que (2).
Una vez que se hace la elección “natural” de b ϭ e, (13) se vuelve (1) puesto que loge e = Los resultados son equivalentes,
ln e = 1. puesto que por las fórmulas de
cambio de base para logaritmos
Posdata: Otro repaso a la regla de potencias Finalmente, ya es posible demostrar la regla tenemos que
de potencias (d>dx)xn ϭ nxnϪ1, (3) de la sección 4.3, para todos los números reales exponen- logbe = ln e͞ln b = 1͞ln b.
tes n. Nuestra demostración usa el siguiente hecho: para x 7 0, xn se define para todos los
números reales n. Luego, debido a la identidad x ϭ eln x podemos escribir
xn (eln x)n en ln x.
Así, d x n d en ln x en ln x d (n ln x) n en ln x.
dx dx dx x
Al sustituir en ln x = xn en el último resultado se completa la demostración para x 7 0,
d xn ϭ n x n ϭ nxnϪ1.
dx x
La última fórmula de derivada también es válida para x 6 0 cuando n ϭ p>q es un número
racional y q es un entero impar.
4.10 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-12.
Fundamentos 13. y ln 0 cos x 0 14. y 1 ln 0 sen 3x 0
3
En los problemas 1-24, encuentre la derivada de la función
dada. 15. y 1 16. y ln 1
ln x x
1. y 10 ln x 2. y ln 10 x
3. y ln x1>2 4. y (ln x)1>2 17. f (x) ln(x ln x) 18. f (x) ln(ln(ln x))
5. y ln (x4 3x2 1) 6. y ln (x2 1)20 19. g(x) 2ln 1x 20. w(u) u sen (ln 5u)
7. y x2 ln x3 8. y x ln 0 5x 1 0 21. H(t) ln t2 (3t2 6)
9. y ln x 10. y x (ln x)2 22. G(t) ln 15t 1(t3 4)6
11. y x 12. y
ln 4x (x 1)(x 2) (3x 2)5
ln x x 1 ln 2x 23. f(x) ln x 3 24. f (x) lnB x4 7
198 UNIDAD 4 La derivada
25. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica En los problemas 49-56, use diferenciación logarítmica para
de y ϭ ln x en x ϭ 1. encontrar dy͞dx.
26. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica 49. y xsen x 50. y (ln 0 x 0 )x
de y ϭ ln (x2 Ϫ 3) en x ϭ 2.
51. y x(x 1)x 52. y (x2 1)x
27. Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de x2
y ϭ ln (e3x ϩ x) en x ϭ 0.
53. y 1(2x 1)(3x 2) x10 2x2 5
28. Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de 4x 3 54. y 23 8x2 2
y ϭ ln (xeϪx3) en x ϭ 1.
55. y (x3 1)5(x4 3x3)4 56. y x1x 1 23 x2 2
29. Encuentre la pendiente de la tangente a la gráfica de f ¿
en el punto en que la pendiente de la tangente a la grá- (7x 5)9
fica de f (x) ϭ ln x2 es 4.
57. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica
30. Determine el punto sobre la gráfica de y = ln 2x donde de y ϭ x xϩ2 en x ϭ 1.
la recta tangente es perpendicular a x ϩ 4y = 1.
En los problemas 31 y 32, encuentre el o los puntos sobre 58. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica
la gráfica de la función dada donde la recta tangente es hori- de y ϭ x (ln x)x en x ϭ e.
zontal.
En los problemas 59 y 60, encuentre el punto sobre la grá-
31. f(x) ln x 32. f (x) x2 ln x fica de la función dada donde la recta tangente es horizon-
x tal. Use un dispositivo para graficar a fin de obtener la grá-
fica de cada función sobre el intervalo [0.01, 1] .
En los problemas 33-36, encuentre la derivada indicada y
simplifique tanto como pueda. 59. y ϭ x x 60. y ϭ x2x
33. d ln Ax 2x2 1B 34. d ln a 1 21 x2b Piense en ello
dx dx x
35. d ln(sec x tan x) 36. d ln(csc x cot x) 61. Encuentre las derivadas de
dx dx
a) y = tan xx b) y ϭ xxex x c) y ϭ xx x.
En los problemas 37-40, encuentre la derivada de orden 62. Encuentre d 2y>dx2 para y 1x x.
superior indicada. 63. La función f(x) ϭ ln 0 x 0 no es diferenciable sólo en
x = 0. La función g(x) = 0 ln x 0 no es diferenciable
d3y d 2y en x = 0 ni en otro valor de x 7 0. ¿Cuál es?
37. y ln x; dx3 38. y x ln x; dx2
39. y (ln 0 x 0 )2; d 2y d 4y 64. Encuentre una manera para calcular d logx e.
dx2 40. y ln(5x 3); dx
dx4
En los problemas 41 y 42, C1 y C2 son constantes reales arbi- Problemas con calculadora/SAC
trarias. Demuestre que la función satisface la ecuación dife-
rencial dada para x 7 0. 65. a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
41. y C1x 1>2 C2x 1>2 ln x; 4x2y– 8xy¿ y 0 fica de y ϭ (sen x)ln x sobre el intervalo (0, 5p).
42. y C1x 1 cos A 12 ln xB C2x 1 sen A 12 ln xB; b) Explique por qué en ciertos intervalos parece que no
hay gráfica. Identifique los intervalos.
x2y– 3xy¿ 3y 0
66. a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
En los problemas 43-48, use diferenciación implícita para fica de y = 0 cos x 0 cos x sobre el intervalo [ 0, 5p ] .
encontrar dy͞dx. b) Determine, por lo menos aproximadamente, los valo-
res de x en el intervalo [0, 5p ] para los cuales la
43. y2 ln xy 44. y ln(x y) tangente a la gráfica es horizontal.
45. x y2 ln x 46. y ln xy2 67. Use una calculadora o un SAC para obtener la gráfica
y de f(x) ϭ x3 Ϫ 12 ln x. Luego encuentre al valor exacto
del menor valor de f(x).
47. xy ln (x2 y2) 48. x2 y2 ln (x y)2
4.11 Derivada de funciones hiperbólicas
Introducción Si alguna vez ha visitado el Arco de San Luis, Missouri, que mide 630 pies
de altura, quizá se haya preguntado: ¿cuál es la forma del arco?, y recibido la respuesta críp-
tica: la forma de una catenaria invertida. La palabra catenaria proviene de la palabra latina
catena y significa literalmente “cadena colgante” (los romanos usaban una cadena para suje-
4.11 Derivada de funciones hiperbólicas 199
tar a los perros). Es posible demostrar que la forma que asumen un alambre flexible, una
cadena, un cable o una cuerda colgantes suspendidos en dos puntos es la gráfica de la función
f (x) ϭ k (e cx ϩ eϪcx ) (1)
2
para elecciones idóneas de las constantes c y k. La gráfica de cualquier función de la forma
dada en (1) se denomina catenaria.
Funciones hiperbólicas Combinaciones como (1) que implican las funciones exponencia-
les ex y eϪx ocurren tan a menudo en matemáticas que ameritan definiciones especiales.
Definición 4.11.1 Seno y coseno hiperbólico El Arco de San Luis, Missouri.
Para cualquier número real x, el seno hiperbólico de x es (2)
(3)
senh x ex e x
2
y el coseno hiperbólico de x es
cosh x ex e x
2
.
Puesto que el dominio de cada una de las funciones exponenciales ex y eϪx es el conjunto La forma del Arco de San Luis,
de números reales (Ϫq, q), el dominio de y ϭ senh x y y ϭ cosh x es (Ϫq, q). Por (2) y Missouri, está basada en el
(3) de la definición 4.11.1, también resulta evidente que modelo matemático
senh 0 ϭ 0 y cosh 0 ϭ 1. y = A - B cosh(Cx͞L).
En forma análoga a las funciones trigonométricas tan x, cot x, sec x y csc x que están
definidas en términos de sen x y cos x, las cuatro funciones hiperbólicas adicionales se defi- donde A ϭ 693.8597,
nen en términos de senh x y cosh x. B ϭ 68.7672, L ϭ 299.2239,
C ϭ 3.0022, y x y y se miden
Definición 4.11.2 Otras funciones hiperbólicas en pies. Cuando x ϭ 0, se
Para un número real x, la tangente hiperbólica de x es obtiene la altura aproximada
de 630 pies.
y y ϭ senh x
tanh x senh x ex e x (4)
cosh x ex e
x, 1 ex
2
la cotangente hiperbólica de x, x 0, es
(5)
cosh x ex e x x
senh x ex e
coth x x, 1 eϪx
Ϫ
2
la secante hiperbólica de x es
sech x 1 ex 2 x, (6) a) y ϭ senh x
cosh x e
y y ϭ cosh x
la cosecante hiperbólica de x, x 0, es
csch x 1 ex 2 x. (7)
senh x e
(0, 1)
1 eϪx 1 ex
2 2
Gráficas de funciones hiperbólicas Las gráficas del seno hiperbólico y del coseno hiperbó- x
lico se proporcionan en la FIGURA 4.11.1. Observe la semejanza de la gráfica en la figura 4.11.1b)
y la forma del Arco de San Luis, Missouri, en la foto al principio de esta sección. Las gráficas b) y ϭ cosh x
de la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas se muestran en la FIGURA 4.11.2. FIGURA 4.11.1 Gráficas del seno
Observe que x ϭ 0 es una asíntota vertical de las gráficas de y ϭ coth x y y ϭ csch x. y coseno hiperbólicos
200 UNIDAD 4 La derivada y y y
y y ϭ coth x y ϭ csch x
1 y ϭ tanh x 1 y ϭ sech x
x 1 x
x
Ϫ1 x
Ϫ1
a) y ϭ tanh x b) y ϭ coth x c) y ϭ sech x d) y ϭ csch x
FIGURA 4.11.2 Gráficas de la tangente, cotangente, secante y cosecante hiperbólicas
Identidades Aunque las funciones hiperbólicas no son periódicas, cuentan con muchas
identidades que son semejantes a las de las funciones trigonométricas. Observe que las gráfi-
cas en la figura 4.11.1a) y b) son simétricas con respecto al origen y al eje y, respectivamente.
En otras palabras, y ϭ senh x es una función impar y y ϭ cosh x es una función par:
senh (Ϫx) ϭ Ϫsenh x, (8)
cosh (Ϫx) ϭ cosh x. (9)
En trigonometría, una identidad fundamental es cos2 x + sen2 x ϭ 1. Para funciones hiperbó-
licas, el análogo de esta identidad es
cosh2 x Ϫsenh2 x ϭ 1. (10)
Para demostrar (10) recurrimos a (2) y (3) de la definición 4.11.1:
cosh2 x senh2 x aex e x2 aex e x2
2 2
b b
e2x 2 e 2x e2x 2 e 2x 1.
4 4
Las ecuaciones (8) a (10) y otras once identidades se resumen en el siguiente teorema.
Teorema 4.11.1 Identidades hiperbólicas
senh ( x) senh x senh (x y) senh x cosh y cosh x senh y (11)
cosh x senh y (12)
cosh( x) cosh x senh (x y) senh x cosh y senh x senh y (13)
senh x senh y (14)
tanh( x) tanh x cosh(x y) cosh x cosh y (15)
(16)
cosh2 x senh2 x 1 cosh(x y) cosh x cosh y
(17)
1 tanh2 x sech2 x senh 2x 2 senh x cosh x
coth2 x 1 csch2 x cosh2x cosh2 x senh2 x
senh2 x 1 ( 1 cosh 2x) cosh2 x 1 (1 cosh 2x)
2 2
Derivadas de funciones hiperbólicas Las derivadas de las funciones hiperbólicas se con-
cluyen por (14) de la sección 4.9 y las reglas de diferenciación; por ejemplo,
d senh x d ex e x 1 c d ex d e xd ex e x
dx dx 2 2 dx dx 2
.
Es decir, d senh x cosh x. (18)
dx
En forma semejante, a partir de la definición del coseno hiperbólico en (3) debe resultar evi-
dente que
d cosh x senh x. (19)
dx
4.11 Derivada de funciones hiperbólicas 201
Para diferenciar, por ejemplo, la tangente hiperbólica, se usan la regla del cociente y la defi-
nición que se proporcionó en (4):
d tanh x d senh x
dx dx cosh x
cosh x . d senh x senh x . d cosh x
dx dx
cosh2 x
cosh2 x senh2 x d por (10), esto es igual a 1
cosh2 x
1 x .
cosh2
En otras palabras,
d tanh x sech2 x. (20)
dx
Las derivadas de las seis funciones hiperbólicas en el caso más general se concluyen por
la regla de la cadena.
Teorema 4.11.2 Derivadas de las funciones hiperbólicas
Si u ϭ g(x) es una función diferenciable, entonces
d senh u cosh u ddux, d cosh u senh u ddux, (21)
dx dx csch2 u ddux, (22)
cschu cothu ddux. (23)
d tanh u sech2 u ddux, d coth u
dx dx
d sech u sech u tanhu ddux, d csch u
dx dx
Usted debe tomar nota cuidadosa de la ligera diferencia en los resultados en las ecuacio-
nes (21) a (23) y las fórmulas análogas para las funciones trigonométricas:
d cos x sen x mientras d cosh x senh x
dx dx
d sec x sec x tan x mientras d sech x sech x tanh x.
dx dx
EJEMPLO 1 Regla de la cadena
Diferencie
a) y senh 12x 1 b) y = coth x3.
Solución
a) Por el primer resultado en (21),
dy ϭ cosh 12x ϩ 1 . d (2x ϩ 1)1>2
dx dx
ϭ cosh 12x ϩ 1 a 1 (2x ϩ 1)Ϫ1>2 . 2b
2
ϭ cosh 12x ϩ 1.
12x ϩ 1
202 UNIDAD 4 La derivada
b) Por el segundo resultado en (22), csch2 x3 . d x3
dy dx
dx
csch2 x3 . 3x2.
EJEMPLO 2 Valor de una derivada
Evalúe la derivada de y ϭ 4 ϩ 3x en x ϭ 0.
cosh 2x
Solución Por la regla del cociente,
dy (4 cosh 2x) . 3 3x(senh 2x . 2) .
dx (4 cosh 2x)2
Debido a que senh 0 ϭ 0 y cosh 0 ϭ 1, tenemos
dy ` ϭ 15 ϭ 53.
dx 25
xϭ0
Funciones hiperbólicas inversas Al analizar la figura 4.11.1a) observamos que y ϭ senh x
es una función uno a uno. Es decir, para cualquier número real y en el rango (Ϫq, q) del
seno hiperbólico corresponde sólo un número real x en su dominio (Ϫq, q). Por tanto,
y = senh x tiene una función inversa que escribimos y = senhϪ1 x. Vea la FIGURA 4.11.3a). Así
como en el análisis anterior de las funciones trigonométricas inversas en la sección 2.5, esta
última notación es equivalente a x ϭ senh y. A partir de la figura 4.11.2a) también observa-
mos que y = tanh x con dominio (Ϫq, q) y rango (Ϫ1, 1) también es uno a uno y tiene una
inversa y = tanhϪ1 x con dominio (-1, 1) y rango (Ϫq, q). Vea la figura 4.11.3c). Pero por
las figuras 4.11.1b) y 4.11.2c) resulta evidente que y = cosh x y y = sech x no son funciones
uno a uno, de modo que no tienen funciones inversas a menos que sus dominios se restrinjan
en forma conveniente. Al analizar la figura 4.11.1b) observamos que cuando el dominio de y =
cosh x se restringe al intervalo [0, q), el rango correspondiente es [1, q). Entonces, el domi-
nio de la función inversa y = coshϪ1 x es [ 1, q) y su rango es [ 0, q). Vea la figura 4.11.3b).
Las gráficas de todas las funciones hiperbólicas inversas junto con sus dominios y rangos se
resumen en la figura 4.11.3.
y y y y ϭ tanhϪ1 x
y ϭ senhϪ1 x y ϭ coshϪ1 x
x x Ϫ1 x
1 1
a) y ϭ senhϪ1 x c) y ϭ coshϪ1 x c) y ϭ tanhϪ1 x
dominio: (Ϫϱ, ϱ) dominio: [1, ϱ) dominio: (−1, 1)
rango: (Ϫϱ, ϱ) rango: [0, ϱ) rango: (Ϫϱ, ϱ)
y y ϭ cothϪ1 x y y ϭ sechϪ1 x y y ϭ cschϪ1 x
x x x
Ϫ1 1 1
d) y ϭ cothϪ1 x e) y ϭ sechϪ1 x f ) y ϭ cschϪ1 x
dominio: (Ϫϱ, Ϫ1) ഫ (1, ϱ) dominio: (0, 1] dominio: (Ϫϱ, 0) ഫ (0, ϱ)
rango: (Ϫϱ, 0) ഫ (0, ϱ) rango: [0, ϱ) rango: (Ϫϱ, 0) ഫ (0, ϱ)
FIGURA 4.11.3 Gráficas de las inversas de las funciones hiperbólicas seno, coseno, tangente, cotangente, secante
y cosecante
4.11 Derivada de funciones hiperbólicas 203
Funciones hiperbólicas inversas como logaritmos Debido a que todas las funciones hiper-
bólicas están definidas en términos de combinaciones de ex, no debe sorprender el hecho de
encontrar que las funciones hiperbólicas inversas pueden expresarse en términos del logaritmo
natural. Por ejemplo, y ϭ senhϪ1x es equivalente a x ϭ senh y, de modo que
x ey e y o bien, 2x e2y 1 o bien, e2y 2xey 1 0.
2 ey
Debido a que la última ecuación es cuadrática en ey, la fórmula cuadrática proporciona
ey ϭ 2x Ϯ 24x2 ϩ 4 ϭ x Ϯ 2x2 ϩ 1. (24)
2
Luego, es necesario rechazar la solución correspondiente al signo menos en (24) porque ey 7 0
pero x Ϫ 2x2 ϩ 1 6 0. Así, tenemos
ey x 2x 2 1 o bien, y senh 1 x ln Ax 2x2 1B.
En forma semejante, para y ϭ tanhϪ1 x, 0 x 0 6 1,
x ϭ tanh y ϭ ey Ϫ eϪy
ey ϩ eϪy
proporciona ey(1 Ϫ x) ϭ (1 ϩ x)eϪy
e2y ϭ 1 ϩ x
1 Ϫ x
2y ϭ ln a 1 ϩ x b
1 Ϫ x
o bien, y ϭ tanhϪ1 x ϭ 1 ln a 1 ϩ x b.
2 1 Ϫ x
Se han demostrado dos resultados del siguiente teorema.
Teorema 4.11.3 Identidades logarítmicas
senh 1 x ln Ax 2x2 1B cosh 1 x ln Ax 2x2 1 B, x 1 (25)
tanh 1 x 1 ln a 1 x b, 0x0 6 1 coth 1 x 1 ln a x 1 b, 0x0 7 1 (26)
2 1 x 2 x 1
sech 1 x ln a 1 21 x2 b, 0 6 x 1 csch 1 x ln a 1 21 x2 b, x 0 (27)
x x 0x0
Las identidades anteriores constituyen un medio conveniente para obtener los valores
numéricos de una función hiperbólica inversa. Por ejemplo, con ayuda de una calculadora, a
partir del primer resultado en (25) en el teorema 4.11.3 vemos que cuando x ϭ 4,
senh 14 ln A4 117 B 2.0947.
Derivadas de funciones hiperbólicas inversas Para encontrar la derivada de una función
hiperbólica inversa es posible proceder de dos formas. Por ejemplo, si
y senh 1 x entonces x senh y.
Al usar diferenciación implícita es posible escribir
d x d senh y
dx dx
dy
1 cosh y dx.
Por tanto, dy 1 1 1.
dx cosh y 2senh2 y 1 2x2 1
204 UNIDAD 4 La derivada
El resultado anterior puede obtenerse de otra manera. Por el teorema 4.11.3 sabemos que
y ϭ ln Ax ϩ 2x2 ϩ 1B.
En consecuencia, por la derivada del logaritmo obtenemos
dy 1 a1 1 (x2 1) 1>2 . 2xb d por (3) de la sección 3.9
dx 2x2 1 2
x
1 2x2 1 x 1 .
x 2x2 1 2x2 1 2x2 1
Esencialmente, se ha demostrado la primera entrada en (28) en el siguiente teorema.
Teorema 4.11.4 Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas
Si u ϭ g(x) es una función diferenciable, entonces
d senh 1u 1 1 ddux, d cosh 1u 1 1 ddux, u 7 1, (28)
dx 2u2 dx 2u2
d tanh 1u 1 1 u2 ddux, 0 u 0 6 1, d coth 1u 1 1 u2 ddux, 0 u 0 7 1, (29)
dx dx
d sech 1u 1 u2 ddux, 0 6 u 6 1, d csch 1u 1 u2 ddux, u 0. (30)
dx u 21 dx 0 u 0 21
EJEMPLO 3 Derivada del coseno hiperbólico inverso
Diferencie y ϭ coshϪ1 (x2 ϩ 5).
Solución Con u ϭ x2 ϩ 5, por la segunda fórmula en (28) tenemos
dy ϭ 1 . d (x 2 ϩ 5) ϭ 2x .
dx ϩ 5)2 dx ϩ 10x2 24
2(x2 Ϫ 1 2x4 ϩ
EJEMPLO 4 Derivada de la tangente hiperbólica inversa
Diferencie y = tanh-1 4x.
Solución Con u ϭ 4x por la primera fórmula en (29) tenemos
dy ϭ 1 . d 4x ϭ Ϫ416x2.
dx Ϫ (4x)2 dx
1 1
EJEMPLO 5 Reglas del producto y de la cadena
Diferencie y = ex2 sech-1 x.
Solución Por la regla del producto y la primera fórmula en (30) tenemos
por la primera fórmula en (30) por (14) de la sección 4.8
T
T
2xex 2sech 1 x
dy ex2a 1b
dx x 21 x2
ex 2 2 xex 2 sech 1 x.
x 21 x2
4.11 Derivada de funciones hiperbólicas 205
d a) cables colgantes
dx NOTAS DESDE EL AULA
b) película de jabón
i) Como se mencionó en la introducción de esta sección, la gráfica de cualquier función de FIGURA 4.11.4 Catenaria en a);
la forma f (x) = k cosh cx, k y c constantes, se denomina catenaria. La forma que asume catenoide en b)
un alambre flexible o una cuerda pesada que cuelgan entre dos postes básicamente es la
misma que la de la función coseno hiperbólico. Además, si dos anillos circulares se man- y
tienen juntos en forma vertical y no están muy separados entre sí, entonces una película
jabonosa estirada entre los anillos asume una superficie con área mínima. La superficie P
es una porción de una catenoide, que es la superficie que obtenemos al hacer girar una
catenaria alrededor del eje x. Vea la FIGURA 4.11.4. O tx
(1, 0)
ii) La semejanza entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas va más allá de las
fórmulas de derivadas y las identidades básicas. Si t es un ángulo medido en radianes a) sector circular
cuyo lado terminal es OP, entonces las coordenadas de P sobre una circunferencia uni- y
taria x2 ϩ y2 ϭ 1 son (cos t, sen t). Luego, el área del sector sombreado que se muestra P
en la FIGURA 4.11.5a) es A ϭ 12t y así t ϭ 2A. De esta forma, las funciones circulares cos t y
sen t pueden considerarse funciones del área A.
Tal vez usted ya sepa que la gráfica de la ecuación x2 Ϫ y2 ϭ 1 se denomina hipér-
bola. Debido a que cosh t 1 y cosh2 t - senh2 t = 1, se concluye que las coordenadas de
un punto P sobre la rama derecha de la hipérbola son (cosh t, senh t). Además, puede
demostrarse que el área del sector hiperbólico en la figura 4.11.5b) está relacionado con el
número t por t = 2A. Por tanto, vemos el origen del nombre de la función hiperbólica.
x
O (1, 0)
4.11 DESARROLLE SU COMPETENCIA b) sector hiperbólico
FIGURA 4.11.5 Círculo en a);
hipérbola en b)
Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-13.
Fundamentos 23. F(t) esenh t 24. H(t) etecsch t2
1. Si senh x ϭ - 21, encuentre los valores de las funciones 25. g(t) sen t 26. w(t) tanh t
hiperbólicas restantes. 1 senh 2t (1 cosh t)2
2. Si cosh x ϭ 3, encuentre los valores de las funciones 27. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica
hiperbólicas restantes.
de y ϭsenh 3x en x ϭ 0.
En los problemas 3-26, encuentre la derivada de la función 28. Encuentre de la recta tangente a la gráfica de y = cosh x
dada. en x = 1.
3. y cosh 10x 4. y sech 8x En los problemas 29 y 30, encuentre el o los puntos sobre la
gráfica de la función dada donde la tangente es horizontal.
5. y tanh1x 6. y csch 1 29. f (x) (x2 2) cosh x 2 x senh x
7. y sech (3x 1)2 x
30. f(x) cos x cosh x sen x senh x
8. y senh ex2
9. y coth(cosh 3x) 10. y tanh (senh x3) En los problemas 31 y 32, encuentre d2y>dx2 para la función
dada.
11. y senh 2x cosh 3x 12. y sech x coth 4x
13. y x cosh x2 14. y senh x 31. y ϭ tanh x 32. y ϭ sech x
x
En los problemas 33 y 34, C1, C2, C3, C4 y k son constan-
15. y senh3 x 16. y cosh4 1x tes reales arbitrarias. Demuestre que la función satisface la
17. f (x) (x cosh x)2>3 18. f(x) 14 tanh 6x ecuación diferencial dada.
19. f(x) ln(cosh 4x) 20. f(x) (ln(sech x))2 33. y C1 cosh kx C2 senh kx; y– k2y 0
21. f(x) ex 22. f(x)
ln x 34. y C1 cos kx C2 sen kx C3 cosh kx C4 senh kx;
1 cosh x x2 senh x y(4) k4y 0
206 UNIDAD 4 La derivada
En los problemas 35-48, encuentre la derivada de la función y en (0, a), es jalado por una cuerda de longitud cons-
dada. tante a que se mantiene durante todo el movimiento.
Una ecuación de la tractriz está dada por
35. y senh 1 3x 36. y cosh 1x
38. y 2 2a2 y2
40. y a ϩ y Ϫ b
11 x ϭ a ln a Ϫ 2a2 Ϫ y2.
37. y tanh 1(1 x2) coth x
39. y coth 1(csc x)
senh 1(sen x) a) Vuelva a escribir esta ecuación usando una función
hiperbólica.
41. y x senh 1 x3 42. y x2 csch 1 x
b) Use diferenciación implícita para demostrar que la
43. y sech 1 x 44. y coth 1 e2x ecuación de la tractriz satisface la ecuación diferencial
45. y x 46. y e2x
ln 21 x2 dy y
ln (sech 1 x) x tanh 1 x ϭ Ϫ .
2a2 y2
47. y (cosh 1 6x)1>2 1 dx Ϫ
48. y (tanh 1 2x)3
Aplicaciones c) Interprete geométricamente la ecuación diferencial
del inciso b).
49. a) Suponga que k, m y g son constantes reales. Demues- y
tre que la función
mg kg (0, a)
y(t) ϭ A k tanh aA m tb
(x, y)
satisface la ecuación diferencial m dy ϭ mg Ϫ ky2. aC
dt
b) La función y representa la velocidad de una masa m x
M
FIGURA 4.11.6 Tractriz en el problema 50
que cae cuando la resistencia del aire se considera
proporcional al cuadrado de la velocidad instantá- Piense en ello
nea. Encuentre la velocidad terminal o limitante En los problemas 51 y 52, encuentre el valor numérico
exacto de la cantidad dada.
yter = lím y(t) de la masa.
tSq
c) Suponga que un paracaidista de 80 kg retrasa la aper- 51. cosh(ln 4) 52. senh(ln 0.5)
tura del paracaídas hasta que alcanza la velocidad ter-
minal. Determine la velocidad terminal si se sabe que En los problemas 53 y 54, exprese la cantidad dada como
una función racional de x.
k ϭ 0.25 kg/m.
50. Una mujer, M, se mueve en la dirección positiva del eje 53. senh(ln x) 54. tanh(3 ln x)
x, empezando en el origen, jalando un bote a lo largo de
la curva C, denominada tractriz, indicada en la FIGURA 55. Demuestre que para cualquier entero positivo n,
4.11.6. El bote, que inicialmente se encuentra sobre el eje
(cosh x ϩ senh x)n ϭ cosh nx ϩ senh nx
Competencia final de la unidad 4
Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-13.
A. Falso/verdadero _____________________________________________________
En los problemas 1-20, indique si la afirmación dada es falsa (F) o verdadera (V).
1. Si y ϭ f(x) es continua en un número a, entonces hay una recta tangente a la gráfica de
f en (a, f(a)). _____
2. Si f es diferenciable en cualquier número real x, entonces f es continua en todas partes.
_____
3. Si y ϭ f(x) tiene una recta tangente en (a, f(a)), entonces f necesariamente es diferencia-
ble en x ϭ a. _____
4. La razón de cambio instantánea de y ϭ f(x) con respecto a x en x0 es la pendiente de la
recta tangente a la gráfica en (x0, f (x0)). _____
5. En x ϭ Ϫ1, la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ x3 Ϫ 3x2 Ϫ 9x es paralela a la recta
y ϭ 2. _____
6. La derivada de un producto es el producto de las derivadas. _____
7. Una función polinomial tiene una recta tangente en todo punto de su gráfica. _____
Competencia final de la unidad 4 207
8. Para f(x) ϭ Ϫx2 ϩ 5x ϩ 1 una ecuación de la recta tangente es f ¿(x) ϭ Ϫ2x ϩ 5._____
9. La función f(x) ϭ x>(x2 ϩ 9) es diferenciable sobre el intervalo [ Ϫ3, 3 ] ._____
10. Si f ¿(x) ϭ g¿(x), entonces f(x) ϭ g(x). _____
11. Si m es la pendiente de una recta tangente a la gráfica de f(x) ϭ sen x, entonces
Ϫ1 Յ m Յ 1. _____
12. Para y ϭ tanϪ1x, dy>dx 7 0 para toda x. _____
13. d cos 1x sen 1 x _____
dx
14. La función f (x) ϭ x5 ϩ x3 ϩ x tiene una inversa. _____
15. Si f ¿(x) 6 0 sobre el intervalo [2, 8], entonces f(3) 7 f (5). _____
16. Si f es una función creciente diferenciable sobre un intervalo, entonces f Ј(x) también es
creciente sobre el intervalo. _____
17. La única función para la cual f ¿(x) ϭ f(x) es f(x) ϭ ex. _____
18. d ln 0x 0 ϭ 1 _____
dx 0x0
19. d cosh2 x d senh2 x _____
dx dx
20. Toda función hiperbólica inversa es un logaritmo. _____
B. Llene los espacios en blanco __________________________________________
En los problemas 1-20, llene los espacios en blanco.
1. Si y ϭ f (x) es una función polinomial de grado 3, entonces d4 f (x) ϭ __________.
dx4
2. La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y ln 0 x 0 en x 1 es __________.
2
3. La pendiente de la recta normal a la gráfica de f(x) ϭ tan x en x ϭ p>3 es __________.
4. f (x) ϭ nxϩnϩ11, n Ϫ1, entonces f ¿(x) ϭ __________.
5. Una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y ϭ (x ϩ 3)>(x Ϫ 2) en x ϭ 0 es
__________.
6. Para f (x) ϭ 1>(1 Ϫ 3x) la razón de cambio instantánea de f Ј con respecto a x en x ϭ 0
es __________.
7. Si f ¿(4) ϭ 6 y g¿(4) ϭ 3, entonces la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
y ϭ 2 f(x) Ϫ 5g(x) en x ϭ 4 es __________.
8. Si f(2) ϭ 1, f ¿(2) ϭ 5, g(2) 2 y g¿(2) ϭ Ϫ3, entonces d x2f (x) ` ϭ __________.
dx
= g(x) xϭ2
9. Si g(1) ϭ 2, g¿(1) ϭ 3, g–(1) ϭ Ϫ1, f ¿(2) = 4 y f –(2) ϭ 3, entonces d2 f (g(x)) ` ϭ
dx2
xϭ1
__________. d
dx
10. Si f ¿(x) ϭ x2, entonces f (x3) ϭ __________.
11. Si F es una función diferenciable, entonces d2 F (sen 4x) __________.
dx2
12. La función f(x) ϭ cot x no es diferenciable sobre el intervalo [0, p] porque __________.
13. La función ax ϩ b, xՅ3
x2, x73
f (x) ϭ e
es diferenciable en x ϭ 3 cuando a ϭ __________ y b ϭ __________.
14. Si f ¿(x) = sec2 2x, entonces f(x) ϭ __________.
15. La recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ 5 Ϫ x ϩ exϪ1 es horizontal en el punto
__________.
208 UNIDAD 4 La derivada
16. d 2x ϭ _________.
dx
17. d log10 x _________.
dx
18. Si f(x) ϭ ln 0 2x Ϫ 4 0 , el dominio de f Ј(x) es _________.
19. La gráfica de y ϭ cosh x se denomina ________.
20. coshϪ1 1 ϭ _______.
C. Ejercicios __________________________________________________________
En los problemas 1-28, encuentre la derivada de la función dada.
1. f (x) ϭ 4x0.3 2. y ϭ x3 ϩ 4x2 1 6x ϩ 11
5x0.2 Ϫ
3. F(t) ϭ At ϩ 2t2 ϩ 1 B10 4. h(u) ϭ u1.5(u2 ϩ 1)0.5
5. y ϭ 24 x4 ϩ 16 23 x3 ϩ 8 6. g(u) ϭ A 6u Ϫ 1
uϩ7
7. y cos 4x 8. y 10 cot 8x
4x 1 10. y tan2(cos 2x)
12. y cos x cos 1 x
9. f (x) x3 sen2 5x
11. y sen 13
x
13. y (cot 1x) 1 14. y arcsec(2x 1)
16. y x2 tan 1 2x2 1
15. y 2 cos 1 x 2x 21 x2 18. y (e e2)x
20. y (ex 1) e
17. y xe x e x e7x 22. y Aln cos2 xB2
19. y x7 7x 7p 24. y (tan 1 x)(tanh 1 x)
26. y senh 1 2x2 1
21. y lnAx14x 1B 28. y (tanh 5x) 1
23. y senh 1(sen 1 x)
25. y xex cosh 1 x
27. y senh ex3
En los problemas 29-34, encuentre la derivada indicada.
29. y (3x 1)5>2; d 3y 30. y sen(x3 d 2y
dx3 2x); dx2
31. s t2 1 ; d 4s 32. W y 11; d 3W
33. y t2 dt 4 y dy3
esen 2x; d 2y 34. f (x) x2 ln x; f ‡(x)
dx2
35. Use primero las leyes de los logaritmos para simplificar
y ϭ ln ` (x ϩ 5)4(2 Ϫ x)3 `,
(x ϩ 8)10 23 6x ϩ 4
y luego encuentre dy͞dx.
36. Encuentre dy͞dx para y 5x2xsen 2x.
37. Dado que y ϭ x3 ϩ x es una función uno a uno, encuentre la pendiente de la recta tan-
gente a la gráfica de la función inversa en x ϭ 1.
38. Dado que f (x) ϭ 8>(1 Ϫ x3) es una función uno a uno, encuentre f Ϫ1 y ( f Ϫ1) ¿.
Competencia final de la unidad 4 209
En los problemas 39 y 40, encuentre dy͞dx.
39. xy2 ϭ ex Ϫ ey 40. y ϭ ln(xy)
41. Encuentre una ecuación de una recta tangente a la gráfica de f(x) ϭ x3 que sea perpen-
dicular a la recta y ϭ Ϫ3x.
42. Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de f (x) ϭ 1 x2 Ϫ 5x ϩ 1 donde
2
a) f –(x) ϭ f(x) y b) f –(x) ϭ f ¿(x).
43. Encuentre ecuaciones para las rectas que pasan por (0, Ϫ9) que son tangentes a la grá-
fica de y ϭ x2.
44. a) Encuentre la intersección con el eje x de la recta tangente a la gráfica de y ϭ x2 en x ϭ 1.
b) Encuentre una ecuación de la recta con la misma intersección con el eje x que es per-
pendicular a la recta tangente en el inciso a).
c) Encuentre el o los puntos donde la recta del inciso a) corta la gráfica de y ϭ x2.
45. Encuentre el punto sobre la gráfica de f(x) ϭ 1x donde la recta tangente es paralela a la
recta secante que pasa por (1, f(1)) y (9, f(9)).
46. Si f(x) ϭ (1 ϩ x)>x, ¿cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f – en x ϭ 2?
47. Encuentre las coordenadas x de todos los puntos sobre la gráfica de f (x) = 2 cos x + cos 2x,
0 Յ x Յ 2p, donde la recta tangente es horizontal.
48. Encuentre el punto sobre la gráfica de y ϭ ln 2x tal que la recta tangente pase por el origen.
49. Suponga que un circuito en serie contiene un capacitor y un resistor variable. Si la resis-
tencia en el instante t está dada por R ϭ k1 ϩ k2t, donde k1 y k2 son constantes positivas
conocidas, entonces la carga q(t) sobre el capacitor está dada por
q(t) ϭ E0C ϩ (q0 Ϫ E0C ) a k1 k1 1>Ck2
ϩ
k2t b ,
donde C es una constante denominada capacitancia y E(t) ϭ E0 es la tensión aplicada.
Demuestre que q(t) satisface la condición inicial q(0) ϭ q0 y
(k1 ϩ k2t) dq ϩ 1 q ϭ E0.
dt C
50. Suponga que C1 y C2 son constantes reales arbitrarias. Demuestre que la función
y ϭ C1x ϩ C2 c x ln a x Ϫ 1 b Ϫ 1 d
2 x ϩ 1
satisface la ecuación diferencial
(1 Ϫ x2)y– Ϫ 2xy ¿ ϩ 2y ϭ 0.
En los problemas 51 y 52, C1, C2, C3 y C4 son constantes reales arbitrarias. Demuestre que la
función satisface la ecuación diferencial dada.
51. y C1e x C2ex C3xe x C4xex; y(4) 2y– y 0
52. y C1 cos x C2 sen x C3 x cos x C4 x sen x; y(4) 2y– y 0
53. a) Encuentre los puntos sobre la gráfica de y3 Ϫ y ϩ x2 Ϫ 4 ϭ 0 correspondientes a x ϭ 2.
b) Encuentre las pendientes de las rectas tangentes en los puntos que se encontraron en
el inciso a).
54. Trace la gráfica de f Ј a partir de la gráfica de f dada en la FIGURA 4.R.1.
y
y ϭƒ(x)
1
x
1
FIGURA 4.R.1 Gráfica para el problema 54
210 UNIDAD 4 La derivada
55. La gráfica de x2>3 ϩ y2>3 ϭ 1, que se muestra en la FIGURA 4.R.2, se denomina hipocicloide.*
Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica en los puntos correspondientes
a x ϭ 18.
y
x2/3 ϩ y2/3 ϭ 1
x
FIGURA 4.R.2 Hipocicloide en el problema 55
56. Encuentre d 2y>dx2 para la ecuación del problema 55.
57. Suponga
f (x) ϭ e x2, xՅ0
1x, x 7 0.
Encuentre f Ј(x) para x 0. Use la definición de derivada, (2) de la sección 4.2, para deter-
minar si f Ј(0 ) existe.
En los problemas 58-61, encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función
en el valor dado de x. Encuentre una ecuación de la recta tangente en el punto correspondiente.
58. f (x) ϭ Ϫ3x2 ϩ 16x ϩ 12, x ϭ 2 59. f (x) ϭ x3 Ϫ x2, x ϭ Ϫ1
60. f (x) ϭ Ϫ1 , x ϭ 1 61. f(x) ϭ x ϩ 41x, x ϭ 4
2x2 2
62. Encuentre una ecuación de la recta que es perpendicular a la recta tangente en el punto
(1, 2) sobre la gráfica de f(x) ϭ Ϫ4x2 ϩ 6x.
63. Suponga que f(x) ϭ 2x ϩ 5 y e ϭ 0.01. Encuentre un d 7 0 que garantice que
0 f(x) Ϫ 7 0 6 e cuando 0 6 0 x Ϫ 1 0 6 d. Al encontrar d, ¿qué límite se ha demostrado?
*Ir a la página http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html para ver varios tipos de hipocicloides y sus propiedades.
Unidad 5
Aplicaciones de la derivada
y
cóncava hacia
arriba
cóncava hacia abajo x
En esta unidad Las derivadas primera y segunda de una función f pueden usarse para deter-
minar la forma de su gráfica. Si imagina la gráfica de una función como una curva que sube y
baja, entonces los puntos alto y bajo de la gráfica o, con más precisión, los valores máximo y
mínimo de la función, podemos encontrarlos usando la derivada. Como ya vimos, la derivada
también proporciona una razón de cambio. En la sección 4.1 vimos brevemente que la razón
de cambio con respecto al tiempo t de una función que proporciona la posición de un objeto
en movimiento es la velocidad del objeto.
Encontrar los valores máximo y mínimo de una función junto con el problema de determinar
razones de cambio son dos de los temas centrales de estudio de esta unidad.
Competencia específica
Aplicar el concepto de la derivada para la solución de problemas de optimización
y variación de funciones, y el de diferencial en problemas que requieren aproxi-
maciones.
211
212 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada
5.1 Movimiento rectilíneo
Introducción En la sección 4.1 se definió que el movimiento de un objeto en una línea
recta, horizontal o vertical, es un movimiento rectilíneo. Una función s ϭ s(t) que propor-
ciona la coordenada del objeto sobre una recta horizontal o vertical se denomina función posi-
ción. La variable t representa el tiempo y el valor de la función s(t) representa una distancia
dirigida, que se mide en centímetros, metros, pies, millas, etc., a partir de un punto de refe-
rencia s ϭ 0 sobre la recta. Recuerde que sobre una escala horizontal, consideramos la direc-
ción s positiva a la derecha de s ϭ 0, y sobre una escala vertical, la dirección s positiva la
consideramos hacia arriba.
EJEMPLO 1 Posición de una partícula en movimiento
Una partícula se mueve sobre una recta horizontal según la función posición s(t) ϭ Ϫt2 ϩ 4t
ϩ 3, donde s se mide en centímetros y t en segundos. ¿Cuál es la posición de la partícula a
0, 2 y 6 segundos?
Solución Al sustituir en la función posición obtenemos
s(0) ϭ 3, s(2) ϭ 7, s(6) ϭ Ϫ9.
Como se muestra en la FIGURA 5.1.1, s(6) ϭ Ϫ9 6 0 significa que la posición de la partícula
está a la izquierda del punto de referencia s ϭ 0.
s(6) Ϫ5 s(0) s(2)
Ϫ10
s
0 5 10
FIGURA 5.1.1 Posición de una partícula en varios instantes en el ejemplo 1
Velocidad y aceleración Si la velocidad media de un cuerpo en movimiento sobre un
intervalo de tiempo de longitud ¢t es
cambio en posición s(t ¢t) s(t)
¢t ,
cambio en tiempo
entonces la razón de cambio instantánea, o velocidad del cuerpo, está dada por
y(t) lím s(t ¢t) s(t) .
¢tS0
¢t
Así, tenemos la siguiente definición.
Definición 5.1.1 Función velocidad
Si s(t) es una función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su función
velocidad y(t) en el instante t es
y(t) ddst .
La rapidez del objeto en el instante t es 0y(t) 0 .
La velocidad se mide en centímetros por segundo (cm/s), metros por segundo (m/s), pies
por segundo (pies/s), kilómetros por hora (km/h), millas por hora (mi/h), etcétera.
También es posible calcular la razón de cambio de la velocidad.
Definición 5.1.2 Función aceleración
Si y(t) es la función velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo, entonces su función
aceleración a(t) en el instante t es
a(t) dy d 2s.
dt dt 2
5.1 Movimiento rectilíneo 213
Las unidades típicas para medir la aceleración son metros por segundo por segundo (m/s2), s(t)
pies por segundo por segundo (pies/s2), millas por hora por hora (mi/h2), etcétera. A menudo, s
las unidades de la aceleración se leen literalmente “metros por segundo al cuadrado”.
a) y(t) Ͼ 0 movimiento
Significado de los signos algebraicos En la sección 4.1 vimos que siempre que la deri- hacia la derecha
vada de una función f es positiva sobre un intervalo I, entonces f es creciente sobre I.
Geométricamente, la gráfica de una función creciente sube cuando x crece. En forma semejante, s(t)
si la derivada de una función f es negativa sobre I, entonces f es decreciente, lo cual significa
que su gráfica baja cuando x crece. Sobre un intervalo de tiempo para el cual y(t) ϭ s¿(t) 7 0, s
es posible afirmar que s(t) es creciente. Por tanto, el objeto se mueve hacia la derecha sobre
una recta horizontal, o hacia arriba sobre una recta vertical. Por otra parte, y(t) ϭ s¿(t) 6 0 b) y(t) Ͻ 0 movimiento
implica que s(t) es decreciente y que el movimiento es hacia la izquierda sobre una recta hori- hacia la izquierda
zontal o hacia abajo sobre una recta vertical. Vea la FIGURA 5.1.2. Si a(t) ϭ y¿(t) 7 0 sobre un
intervalo de tiempo, entonces la velocidad y(t) del objeto es creciente, mientras a(t) ϭ y¿(t) 6 0 FIGURA 5.1.2 Significado del
indica que la velocidad y(t) del objeto es decreciente. Por ejemplo, una aceleración de -25 m/s2 signo de la función velocidad
significa que la velocidad decrece por 25 m/s cada segundo. No confunda los términos “velo-
cidad decreciente” y “velocidad creciente” con los conceptos “desaceleración” o “aceleración”.
Por ejemplo, considere una roca que se deja caer desde la parte superior de un edificio alto. La
aceleración de la gravedad es una constante negativa, -32 pies/s2. El signo negativo significa
que la velocidad de la roca disminuye a partir de cero. Una vez que la roca choca contra el
suelo, su rapidez 0y(t) 0 es bastante grande, pero y(t) 6 0. En específico, un objeto en movi-
miento rectilíneo sobre, por ejemplo, una recta horizontal desacelera cuando y(t) 7 0 (mo-
vimiento hacia la derecha) y a(t) 6 0 (velocidad decreciente), o cuando y(t) 6 0 (movimiento
hacia la izquierda) y a(t) 7 0 (velocidad creciente). En forma semejante, un objeto en movi-
miento rectilíneo sobre una recta horizontal acelera cuando y(t) 7 0 (movimiento hacia la dere-
cha) y a(t) 7 0 (velocidad creciente), o cuando y(t) 6 0 (movimiento hacia la izquierda) y
a(t) 6 0 (velocidad decreciente). En general,
Un objeto en movimiento rectilíneo
• desacelera cuando su velocidad y aceleración tienen signos algebraicos opuestos, y
• acelera cuando su velocidad y aceleración tienen el mismo signo algebraico.
De manera alterna, un objeto desacelera cuando su rapidez 0y(t) 0 es decreciente y acelera
cuando su rapidez es creciente.
EJEMPLO 2 Otro repaso al ejemplo 1
En el ejemplo 1 las funciones velocidad y aceleración de la partícula son, respectivamente,
y(t) ds 2t 4 y a(t) dy 2.
dt dt
En los instantes 0, 2 y 6 s, las velocidades son y(0) ϭ 4 cm/s, y(2) ϭ 0 cm/s y y(6) ϭ Ϫ8
cm/s, respectivamente. Puesto que la aceleración siempre es negativa, la velocidad siempre es
decreciente. Observe que y(t) ϭ 2(Ϫt ϩ 2) 7 0 para t 6 2 y y(t) ϭ 2(Ϫt ϩ 2) 6 0 para
t 7 2. Si se deja que el tiempo t sea negativo y también positivo, entonces la partícula se mueve
hacia la derecha para el intervalo de tiempo (Ϫq, 2) y se mueve hacia la izquierda para el
intervalo de tiempo (2, q). El movimiento puede representarse por la gráfica que se muestra
en la FIGURA 5.1.3a). Puesto que el movimiento en realidad se lleva a cabo sobre la recta hori-
zontal, usted debe imaginar el movimiento de un punto P que corresponde a la proyección de
un punto en la gráfica sobre la recta horizontal. Vea la figura 5.1.3b).
t ϭ 2, s ϭ 7
y yϭ 0
s s
Ϫ5 0 5 10 PP
a) s(t) ϭ Ϫt2 ϩ 4t ϩ 3 b) la partícula en el punto P
se mueve sobre el eje s
FIGURA 5.1.3 Representación del movimiento de la partícula en el ejemplo 2
214 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada
aϽ0 aϾ0 EJEMPLO 3 Partícula que desacelera/acelera
t Una partícula se mueve sobre una recta horizontal según la función posición s(t) ϭ 1 t3 Ϫ t.
3
Ϫ1 0 1 Determine los intervalos de tiempo sobre los cuales la partícula desacelera y los intervalos de
tiempo sobre los cuales acelera.
yϾ 0 yϽ 0 yϾ 0 Solución Los signos algebraicos de las funciones velocidad y aceleración
FIGURA 5.1.4 Signos de y(t) y y(t) t2 1 (t 1)(t 1) y a(t) 2t
a(t) en el ejemplo 3
se muestran sobre la escala de tiempo en la FIGURA 5.1.4. Puesto que y(t) y a(t) tienen signos
opuestos sobre (Ϫq, Ϫ1) y (0, 1), la partícula desacelera sobre estos intervalos de tiempo;
y(t) y a(t) tienen el mismo signo algebraico sobre (-1, 0) y (1, q), de modo que la partícula
acelera sobre estos intervalos de tiempo.
En el ejemplo 2 verifique que la partícula desacelera sobre el intervalo de tiempo (Ϫq, 2)
y acelera sobre el intervalo de tiempo (2, q).
EJEMPLO 4 Movimiento de una partícula
Un objeto se mueve sobre una recta horizontal según la función posición s(t) ϭ t4 - 18t2 + 25,
donde s se mide en centímetros y t en segundos. Use una gráfica para representar el movi-
miento durante el intervalo de tiempo [Ϫ4, 4].
Solución La función velocidad es
y(t) ϭ ds ϭ 4t3 Ϫ 36t ϭ 4t (t ϩ 3)(t Ϫ 3)
dt
y la función aceleración es
a(t) ϭ d 2s ϭ 12t 2 Ϫ 36 ϭ 12 A t ϩ 13B At Ϫ 13bB.
dt 2
Luego, a partir de las soluciones de y(t) ϭ 0 podemos determinar los intervalos de tiempo
para los cuales s(t) es creciente o decreciente. A partir de la información que se muestra en
las tablas siguientes, se construye la función mostrada en la FIGURA 5.1.5. Al inspeccionar las
tablas observamos que la partícula desacelera sobre los intervalos de tiempo (- 4, - 3), (- 13, 0),
(13, 3) (se muestran en color claro en la figura) y acelera sobre los intervalos de tiempo
AϪ3, Ϫ13B, A0, 13 B, (3, 4) (se muestran en oscuro en la figura).
Intervalo Signo Dirección de Tiempo Posición Velocidad Aceleración Intervalo Signo
de tiempo de y(t) movimiento de tiempo de a(t) Velocidad
Ϫ4 Ϫ7 Ϫ112 156
(Ϫ4, Ϫ3) Ϫ a la izquierda 0 72 AϪ4, Ϫ13B ϩ creciente
(Ϫ3, 0) ϩ a la derecha Ϫ3 Ϫ56 0 AϪ13, 13 B Ϫ decreciente
(0, 3) Ϫ a la izquierda 0 25 0 Ϫ36 A 13, 4B creciente
(3, 4) 72 ϩ
ϩ a la derecha 3 Ϫ56 112 156
4 Ϫ7
yϾ 0, a Ͼ 0 tϭ4
tϭ3 yϽ 0, a Ͼ 0 t ϭ 3 yϽ 0, a Ͻ 0
t ϭ Ϫ3
yϾ 0, a Ͼ 0 t ϭ Ϫ 3 yϾ 0, a Ͻ 0 tϭ0
yϽ 0, a Ͼ 0 t ϭ Ϫ4
s
Ϫ50 Ϫ40 Ϫ30 Ϫ20 Ϫ10 0 10 20 30
FIGURA 5.1.5 Movimiento de una partícula en el ejemplo 4
5.1 Movimiento rectilíneo 215
5.1 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-13.
Fundamentos 18. s(t) ϭ (t ϩ 3)(t Ϫ 1); [Ϫ3, 1]
19. s(t) ϭ 2t 3 Ϫ 6t 2; [ Ϫ2, 3 ]
En los problemas 1-8, s(t) es una función posición de una 20. s(t) ϭ (t Ϫ 1)2(t Ϫ 2); [ Ϫ2, 3 ]
partícula que se mueve sobre una recta horizontal. Encuentre
la posición, velocidad, rapidez y aceleración de la partícula En los problemas 21-28, s(t) es una función posición de una
en los instantes indicados. partícula que se mueve sobre una recta horizontal. Encuentre
las funciones de velocidad y de aceleración. Represente el
1. s(t) ϭ 4t2 Ϫ 6t ϩ 1; t ϭ 21, t ϭ 3 movimiento durante el intervalo de tiempo indicado con una
2. s(t) ϭ (2t Ϫ 6)2; t ϭ 1, t ϭ 4 gráfica.
3. s(t) ϭ Ϫt3 ϩ 3t2 ϩ t; t ϭ Ϫ2, t ϭ 2 21. s(t) ϭ 3t 4 Ϫ 8t 3; [ Ϫ1, 3 ]
4. s(t) ϭ t4 Ϫ t3 ϩ t; t ϭ Ϫ1, t ϭ 3 22. s(t) ϭ t 4 Ϫ 4t 3 Ϫ 8t 2 ϩ 60; [ Ϫ2, 5 ]
5. s(t) ϭ t Ϫ 1t ; t ϭ 41, t ϭ 1 23. s(t) ϭ t Ϫ 4 1t; [1, 9]
6. s(t) ϭ t 2; t ϭ Ϫ1, t ϭ 0 24. s(t) ϭ 1 ϩ cospt; [ ]Ϫ12, 5
ϩ 2
t 25. s(t) sen p t; [0, 4]
2
7. s(t) t sen pt; t 1, t 3
2 26. s(t) sen pt cos pt; [0, 2]
8. s(t) t cos pt; t 12, t 1 27. s(t) ϭ t 3eϪt; [ 0, q)
28. s(t) t 2 12 ln (t 1); [ 0, q)
En los problemas 9-12, s(t) es una función posición de una 29. En la FIGURA 5.1.6 se muestra la gráfica en el plano st de
partícula que se mueve sobre una recta horizontal. una función posición s(t) de una partícula que se mueve
rectilíneamente. Complete la tabla siguiente si y(t) y a(t)
9. s(t) ϭ t 2 Ϫ 4t Ϫ 5 son positivas, negativas o cero. Proporcione los interva-
los de tiempo sobre los cuales la partícula desacelera
a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) = 0? y los intervalos sobre los cuales acelera.
b) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) = 7?
10. s(t) ϭ t 2 ϩ 6t ϩ 10 s
a) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) = s ϭ s(t)
y(t)?
b) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando y(t) =
Ϫa(t)?
11. s(t) ϭ t 3 Ϫ 4t t
c de ƒ g
a) ¿Cuál es la aceleración de la partícula cuando y(t) = 2? ab
b) ¿Cuál es la posición de la partícula cuando a(t) = 18?
c) ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando s(t) = 0? FIGURA 5.1.6 Gráfica para el problema 29
12. s(t) ϭ t 3 Ϫ 3t 2 ϩ 8 Intervalo y(t) a(t)
a) ¿Cuál es la posición de la partícula cuando y(t) = 0? (a, b)
b) ¿Cuál es la posición de la partícula cuando a(t) = 0?
c) ¿Cuándo desacelera la partícula? ¿Cuándo acelera? (b, c)
En los problemas 13 y 14, s(t) es una función posición de (c, d)
una partícula que se mueve sobre una recta horizontal.
Determine los intervalos de tiempo sobre los cuales la par- (d, e)
tícula desacelera y los intervalos de tiempo sobre los cuales
la partícula acelera. (e, f )
13. s(t) ϭ t 3 Ϫ 27t 14. s(t) ϭ t 4 Ϫ t 3 ( f, g)
En los problemas 15-20, s(t) es una función posición de una 30. En la FIGURA 5.1.7 se muestra la gráfica de la función velo-
partícula que se mueve sobre una recta horizontal. Encuentre cidad y de una partícula que se mueve sobre una recta
las funciones de velocidad y de aceleración. Determine los horizontal. Elabore una gráfica de una función posición
intervalos de tiempo sobre los cuales la partícula desacelera s con esta función velocidad.
y los intervalos de tiempo sobre los cuales la partícula ace-
lera. Represente el movimiento durante el intervalo de y yϭ sЈ(t)
tiempo indicado con una gráfica.
15. s(t) ϭ t 2; [ Ϫ1, 3 ] ab t
16. s(t) ϭ t 3; [ Ϫ2, 2 ] c
17. s(t) ϭ t 2 Ϫ 4t Ϫ 2; [ Ϫ1, 5 ]
FIGURA 5.1.7 Gráfica para el problema 30
216 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada
Aplicaciones 34. Un participante en una carrera de automóviles de
31. La altura (en pies) de un proyectil disparado vertical- juguete desciende la colina mostrada en la FIGURA 5.1.10.
¿Cuáles son la velocidad y aceleración del automóvil en
mente hacia arriba desde un punto a 6 pies por arriba la parte inferior de la colina?
del nivel del suelo la proporciona s(t) ϭ Ϫ16t2 ϩ 48t ϩ 6,
0 Յ t Յ T, donde T es el instante en que el proyectil 300 pies
choca contra el suelo. Vea la FIGURA 5.1.8.
a) Determine el intervalo de tiempo para el cual y > 0 400 pies
y el intervalo de tiempo para el cual y < 0. FIGURA 5.1.10 Plano inclinado
b) Encuentre la altura máxima alcanzada por el proyectil. en el problema 34
s (t) 35. Un cubo, atado con una cuerda a un molinete circular,
6 pies se deja caer libremente en línea recta. Si se ignora la
FIGURA 5.1.8 Proyectil inercia rotacional del molinete, entonces la distancia que
en el problema 31
recorre el cubo es igual a la medida en radianes del
32. Una partícula se mueve sobre una recta horizontal según
la función posición s (t) ϭ Ϫt 2 ϩ 10t Ϫ 20, donde s se ángulo indicado en la FIGURA 5.1.11; es decir, u ϭ 1 gt 2,
mide en centímetros y t en segundos. Determine la dis- 2
tancia total recorrida por la partícula durante el intervalo donde g ϭ 32 pies/s2 es la aceleración debida a la gra-
de tiempo [1, 6].
vedad. Encuentre la razón a la que cambia la coorde-
En los problemas 33 y 34, use la siguiente información.
Cuando se ignora la fricción, la distancia s (en pies) que un nada y de un punto P sobre la circunferencia del moli-
cuerpo se mueve hacia abajo sobre un plano inclinado cuya
inclinación es u está dada por s(t) ϭ 16t2 sen u, [0, t1], donde nete en t ϭ 1p>4 s. Interprete el resultado.
s(0) = 0, s(t1) = L y t se mide en segundos. Vea la FIGURA
5.1.9. P(x, y)
1
Ls
FIGURA 5.1.9 Plano inclinado FIGURA 5.1.11 Cubo en
el problema 35
33. Un objeto se desliza por una colina de 256 pies de lon-
gitud con una inclinación de 30Њ. ¿Cuáles son la veloci- 36. En mecánica, la fuerza F que actúa sobre un cuerpo se
dad y aceleración del objeto en la parte superior de la define como la razón de cambio de su cantidad de movi-
colina? miento: F ϭ (d>dt)(my). Cuando m es constante, a partir
de esta fórmula obtenemos la conocida fórmula denomi-
nada segunda ley de Newton F ϭ ma, donde la acelera-
ción es a ϭ dy͞dt. Según la teoría de la relatividad de
Einstein, cuando una partícula con masa en reposo m0 se
mueve rectilíneamente a gran velocidad (como en un ace-
lerador lineal), su masa varía con la velocidad y según la
fórmula m ϭ m0> 21 Ϫ y2/c 2, donde c es la velocidad
constante de la luz. Demuestre que en la teoría de la rela-
tividad la fuerza F que actúa sobre la partícula es
F ϭ m0a ,
2(1 Ϫ y2/c 2)3
donde a es la aceleración.
5.2 Extremos de funciones
Introducción Ahora abordaremos el problema de encontrar los valores máximo y mínimo
de una función f sobre un intervalo I. Veremos que al encontrar estos extremos de f (en caso de
haber alguno) en muchos casos es posible trazar fácilmente su gráfica. Al encontrar los extre-
mos de una función también es posible resolver ciertos tipos de problemas de optimización. En
esta sección establecemos algunas definiciones importantes y mostramos cómo puede encontrar
los valores máximo y mínimo de una función f que es continua sobre un intervalo cerrado I.
5.2 Extremos de funciones 217
Extremos absolutos En la FIGURA 5.2.1 se ha ilustrado la gráfica de la función cuadrática y
f (x) ϭ x2 Ϫ 3x ϩ 4. A partir de esta gráfica debe resultar evidente que el valor de la función 10
f A 32 B ϭ 7 es la coordenada y del vértice, y como la parábola se abre hacia arriba, en el rango 8 y ϭ x2 Ϫ 3x ϩ 4
4 6
de f no hay número menor que 47. Decimos que el extremo f A 3 B ϭ 7 es el mínimo absoluto de f. 4
2 4
A continuación se definen los conceptos de máximo absoluto y mínimo absoluto de una función. 2 mínimo absoluto
Ϫ1 x
1234
Definición 5.2.1 Extremos absolutos FIGURA 5.2.1 Mínimo absoluto
i) Un número f(c1) es un máximo absoluto de una función f si f (x) Յ f (c1) para toda x en de una función
el dominio de f.
ii) Un número f(c1) es un mínimo absoluto de una función f si f(x) Ն f(c1) para toda x en
el dominio de f.
Los extremos absolutos también se denominan extremos globales. y
A partir de su experiencia al graficar funciones debe serle fácil, en algunos casos, ver
cuándo una función posee un máximo o un mínimo absoluto. En general, una función cuadrá- mínimo máximo
tica f (x) = ax2 + bx + c tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto. La función absoluto absoluto
f(x) ϭ 4 Ϫ x2 tiene el máximo absoluto f(0) = 4. Una función lineal f (x) ϭ ax ϩ b, a 0, no
tiene extremos absolutos. Las gráficas de las funciones conocidas y = 1> x, y = x3, y = tan x, 12 x
y = ex y y = ln x muestran que éstas no tienen extremos absolutos. Las funciones trigonomé- a) ƒ definida sobre [1, 2]
tricas y = sen x y y = cos x tienen un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
y
EJEMPLO 1 Extremos absolutos
máximo
Para f(x) ϭ sen x, f(p͞2) = 1 es su máximo absoluto y f(3p>2) ϭ Ϫ1 es su mínimo absoluto. absoluto
Por periodicidad, los valores máximo y mínimo también ocurren en x ϭ p>2 ϩ 2np y
x ϭ 3p>2 ϩ 2np, n ϭ Ϯ1, Ϯ2, . . . , respectivamente. x
Ϫ1 2
El intervalo sobre el que la función está definida es muy importante en la consideración
de extremos. mínimo
absoluto
EJEMPLO 2 Funciones definidas sobre un intervalo cerrado b) ƒ definida sobre [Ϫ1, 2]
a) f(x) ϭ x2, definida sólo sobre el intervalo cerrado [1, 2], tiene el máximo absoluto FIGURA 5.2.2 Gráficas de
f(2) = 4 y el mínimo absoluto f(1) = 1. Vea la FIGURA 5.2.2a). funciones en el ejemplo 2
b) Por otra parte, si f(x) = x2 está definida sobre el intervalo abierto (1, 2), entonces f
no tiene extremos absolutos. En este caso, f(1) y f(2) no están definidos.
c) f(x) = x2 definida sobre [ Ϫ1, 2 ] , tiene el máximo absoluto f(2) = 4, pero ahora el
mínimo absoluto es f(0) = 0. Vea la figura 5.2.2b).
d) f(x) = x2 definida sobre (-1, 2), tiene un mínimo absoluto f(0) = 0, pero no un
máximo absoluto.
Los incisos a) y c) del ejemplo 2 ilustran el siguiente resultado general.
Teorema 5.2.1 Teorema del valor extremo y
Una función f continua sobre un intervalo cerrado [a, b] siempre tiene un máximo absolu-
to y un mínimo absoluto sobre el intervalo. ƒ(c1) Յƒ(x) Յƒ(c2) ƒ(c2)
para a Յ x Յ b ƒ(c1)
En otras palabras, cuando f es continua sobre [a, b], hay números f(c1) y f(c2) tales que
f (c1) Յ f (x) Յ f (c2) para toda x en [a, b]. Los valores f(c2) y f(c1) son el máximo absoluto y a c1 c2 b x
el mínimo absoluto, respectivamente, sobre el intervalo cerrado [a, b]. Vea la FIGURA 5.2.3.
FIGURA 5.2.3 La función f tiene
un máximo absoluto y un mínimo
absoluto
Extremos de un punto frontera Cuando un extremo absoluto de una función ocurre en un
punto frontera de un intervalo I, como en los incisos a) y c) del ejemplo 2, decimos que se
trata de un extremo de un punto frontera. Cuando I no es un intervalo cerrado; es decir,
cuando I es un intervalo como (a, b], (Ϫq, b] o [a, q), entonces aunque f sea continua no
hay garantía de que exista un extremo absoluto. Vea la FIGURA 5.2.4.
218 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada
y y
y ϭ ƒ(x) yy
c1 c2 x no hay no es un mínimo no hay extremo absoluto
a) máximo absoluto de x
absoluto de extremo de punto frontera
punto frontera
punto frontera x
a x b
mínimo cb
absoluto
y a) ƒ definida sobre (a, b] b) ƒ definida sobre (Ϫϱ, b] c) ƒ definida sobre [0, ϱ)
máximo FIGURA 5.2.4 Una función f continua sobre un intervalo que no tiene ningún extremo absoluto
relativo
y ϭƒ(x)
ƒ(c1)
Extremos relativos En la FIGURA 5.2.5a) se ha ilustrado la gráfica de f (x) ϭ x3 Ϫ 5x ϩ 8.
mínimo Debido a que el comportamiento final de f es el de y ϭ x3, f (x) S q cuando x S q y
relativo
f (x) S Ϫq cuando x S Ϫq. Con base en esta observación es posible concluir que esta fun-
ƒ(c2 )
ción polinomial no tiene extremos absolutos. No obstante, suponga que centramos la atención
a1 c1 b1 a2 c2 b2 x
en valores de x próximos a, o en una vecindad de, los números c1 y c2. Como se muestra en
b) la figura 5.2.5b), f(c1) es el valor mayor o máximo de la función f cuando se compara con
FIGURA 5.2.5 Máximo relativo todos los demás valores de la función en el intervalo abierto (a1, b1); en forma semejante, f(c2)
en c1 y mínimo relativo en c2 es el valor mínimo de f en el intervalo (a2, b2). Estos extremos relativos, o locales, se defi-
nen como sigue.
Definición 5.2.2 Extremos relativos
i) Un número f(c1) es un máximo relativo de una función f si f (x) Յ f(c1) para toda x
en algún intervalo abierto que contiene a c1.
ii) Un número f(c1) es un mínimo relativo de una función f si f (x) Ն f (c1) para toda x
en algún intervalo abierto que contiene a c1.
Como consecuencia de la definición 5.2.2 podemos concluir que
• Todo extremo absoluto, con excepción de un extremo de un punto frontera,
también es un extremo relativo.
Un extremo absoluto de un punto frontera se excluye de ser un extremo relativo con base en
el tecnicismo de que alrededor de un punto frontera del intervalo no puede encontrarse un
intervalo abierto contenido en el dominio de la función.
Hemos llegado al planteamiento de una pregunta evidente:
• ¿Cómo se encuentran los extremos de una función?
Incluso cuando tenemos gráficas, para la mayor parte de las funciones la coordenada x en que
ocurre un extremo no es evidente. Con ayuda de la herramienta para acercar o alejar una página
de un dispositivo para graficar, es posible buscar y, por supuesto, aproximar tanto la ubicación
como el valor de un extremo. Vea la FIGURA 5.2.6. A pesar de lo anterior, resulta aconsejable
poder encontrar la ubicación exacta y el valor exacto de un extremo.
y y
y ϭ 3x4 ϩ 4x3 Ϫ 12x2 ϩ 10 1
10
Ϫ3 Ϫ2 Ϫ1 x y ϭ x ln x x
Ϫ10 1 1
Ϫ1
Ϫ20
a) Mínimo relativo próximo a x ϭ Ϫ2 b) Mínimo relativo próximo a x ϭ 0.4
Máximo relativo próximo a x ϭ 0
Mínimo relativo próximo a x ϭ 1
FIGURA 5.2.6 Ubicación aproximada de extremos relativos
5.2 Extremos de funciones 219
En la figura 5.2.6a) se plantea que un mínimo relativo ocurre cerca de x = -2. Con las y máximo
herramientas de una calculadora o un SAC es posible convencernos de que este mínimo rela-
tivo es realmente un mínimo absoluto o global, pero con las herramientas del cálculo es posi- relativo
ble demostrar en verdad que éste es el caso. ƒ(c2) y ϭ ƒ(x)
Números críticos El análisis de la FIGURA 5.2.7 junto con las figuras 5.2.5 y 5.2.6 sugiere mínimo mínimo
que si c es un número en el que la función f tiene un extremo relativo, entonces la tangente relativo relativo
es horizontal en el punto correspondiente a x ϭ c o no es diferenciable en x ϭ c. Es decir,
una de las dos: f Ј(c) ϭ 0 o f Ј(c) no existe. Este número c recibe un nombre especial. ƒ(c1) ƒ(c3)x
c2 c3
c1
FIGURA 5.2.7 f no es diferencia-
ble en c1; f Ј es 0 en c2 y c3
Definición 5.2.3 Número crítico
Un número crítico de una función f es un número c en su dominio para el cual f Ј(c) ϭ 0 o
f Ј(c) no existe.
En algunos textos un número crítico x = c se denomina punto crítico.
EJEMPLO 3 Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de f (x) ϭ x ln x.
Solución Por la regla del producto,
f ¿(x) x . 1 1 . ln x 1 ln x.
x
La única solución de f ¿(x) ϭ 0 o ln x ϭ Ϫ1 es x ϭ eϪ1. Hasta dos cifras decimales, el número
crítico de f es eϪ1 Ϸ 0.36.
EJEMPLO 4 Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de f (x) ϭ 3x4 ϩ 4x3 Ϫ 12x2 ϩ 10.
Solución Al diferenciar y factorizar se obtiene
f ¿(x) ϭ 12x3 ϩ 12x2 Ϫ 24x ϭ 12x (x ϩ 2)(x Ϫ 1).
Por tanto, observamos que f ¿(x) ϭ 0 para x ϭ 0, x ϭ Ϫ2 y x ϭ 1. Los números críticos de f
son 0,Ϫ2 y 1.
EJEMPLO 5 Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de f (x) ϭ (x ϩ 4)2>3.
Solución Por la regla de potencias para funciones,
f ¿(x) ϭ 2 (x ϩ 4)Ϫ1>3 ϭ 3(x 2 4)1>3.
3 ϩ
En este caso observamos que f Ј(x) no existe cuando x ϭ Ϫ4. Puesto que Ϫ4 está en el domi-
nio de f, concluimos que éste es su número crítico.
EJEMPLO 6 Determinación de números críticos
Encuentre los números críticos de f (x) ϭ x x2 1.
Ϫ
Solución Por la regla del cociente, después de simplificar encontramos,
x(x Ϫ 2)
f ¿(x) ϭ (x Ϫ 1)2 .
Ahora, f Ј(x) ϭ 0 cuando el numerador de f es 0. Al resolver la ecuación x(x Ϫ 2) ϭ 0 obte-
nemos x ϭ 0 y x ϭ 2. Además, cuando se inspecciona el denominador de f se encuentra que
f Ј(x) no existe cuando x ϭ 1. No obstante, al analizar f se observa que x ϭ 1 no está en su
dominio, y así los únicos números críticos son 0 y 2.
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Matemática 1 - Cálculo Diferencial - Dennis Zill
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