Matemática 1 - Cálculo Diferencial - Dennis Zill

274 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada

1t 1 2 1 1 a) Si el arco ABC mide 5 pulg de longitud, exprese el
t2 9 t2 x ln (x
49. lím c d 50. lím c 1) d área A de la región oscura como una función del
9
tS3 xS0 ángulo indicado u. [Sugerencia: El área de un sector

51. lím u csc 4u 52. lím (sen2 x)tanx circular es 1 r 2u y la longitud del arco de un círculo
uS0 x S p>2 2

53. lím (2 ex)e x 54. lím (1 ex)x2 es ru, donde u se mide en radianes.]
xSq xS0
b) Evalúe lím A(u)
t uS 0

55. lím Q1 3 R 56. lím (1 2h)4>h c) Evalúe lím dA>du
tSq t hS0 uS 0

57. lím x(1 cosx) 58. lím(cos 2u)1>u2
xS0 uS0

59. lím x2 1 (2>x) 60. lím(x2 1)x2 r ␪
sen2 xS1 A
xSq

C

61. lím c 1 5 d 62. lím c 1 1 d
3x 4 xS0 x2 x
xS1 x 1 x2 B
FIGURA 5.9.1 Círculo en el problema 81
63. lím x 5e x 64. lím (x ex)2>x
xSq xSq 82. En ausencia de fuerzas de amortiguamiento, un modelo
matemático para el desplazamiento x(t) de una masa en
65. lím x Q p arctan xR 66. lím Qt p R tan 2t un resorte (vea el problema 60 en la sección “Desarrolle
2 t S p>4 4 su competencia 3.5”) cuando el sistema es activado sinu-
xSq soidalmente por una fuerza externa de amplitud F0 y fre-
cuencia g>2p es
67. lím x tan Q 5 R 68. lím x ln(sen x)
x xS0
xSq

69. x lím c 1 x2 d 70. lím(1 5 sen x)cot x F0
ex xS0
Sq x (t) 2 g2) ( g sen t sen gt), g ,

71. lím Q 3x x 72. lím (sec3 u tan3 u) (
3x u S p>2
xSq 1R donde ␻>2p es la frecuencia de las vibraciones libres
(no excitadas) del sistema.
73. lím (senh x)tanx 74. lím x(ln x)2
xS0 xS0

En los problemas 75 y 76, identifique el límite dado. a) Cuando g ϭ ␻, se dice que el sistema masa-resorte
está en resonancia pura, y el desplazamiento de la
75. lím 1 ln Q ex 1R 76. lím 1 ln Q ex 1R masa se define por
x x
xS0 x xSq x F0

x (t) lím ( 2 g2) ( g sen t sen gt).

Problemas con calculadora/SAC gS

En los problemas 77 y 78, use una calculadora o un SAC Determine x(t) al encontrar este límite.
b) Use un dispositivo para graficar y analice la gráfica de
para obtener la gráfica de la función dada para el valor de n
x(t) encontrada en el inciso a) en el caso en que
sobre el intervalo indicado. En cada caso, conjeture el valor F0 ϭ 2, g ϭ ␻ ϭ 1. Describa el comportamiento del
sistema masa-resorte en resonancia pura cuando t S q.
de lím f (x).
xSq

77. f(x) e x ; n 3 sobre [0, 15]; n 4 sobre [0, 20]; 83. Cuando un gas ideal se expande a partir de la presión
x n p1 y volumen y1 hasta la presión p2 y volumen y2 tal
que pyg ϭ k (constante) durante toda la expansión, si
n 5 sobre [0, 25] g 1, entonces el trabajo realizado está dado por

78. f(x) xn ; n 3 sobre [0, 15]; n 4 sobre [0, 15]; p2y2 Ϫ p1y1
ex 1 Ϫ g
ϭ
n 5 sobre [0, 20] W .
En los problemas 79 y 80, use n! ϭ 1 . 2 . 3 . . . (n Ϫ 1) . n,
a) Demuestre que

dn W ϭ p1y1 c (y2>y1)1Ϫg Ϫ 1 d .
dxn 1Ϫg
xn ϭ n!,

donde n es un entero positivo, y la regla de L’Hôpital para b) Encuentre el trabajo realizado en el caso en que
encontrar el límite. py ϭ k (constante) durante toda la expansión al hacer
g S 1 en la expresión en el inciso a).
79. lím xn 80. lím ex
ex xn 84. La retina es más sensible a fotones que penetran al ojo
xSq xSq cerca del centro de la pupila y menos sensible a la luz
que entra cerca del borde de la pupila. (Este fenómeno
Aplicaciones se denomina efecto Stiles-Crawford del primer tipo.) El
81. Considere el círculo que se muestra en la FIGURA 5.9.1. porcentaje s de fotones que llegan a los fotopigmentos

Competencia final de la unidad 5 275

está relacionado con el radio de la pupila p (medido en Piense en ello
radianes) por el modelo matemático
85. Suponga que una función f tiene segunda derivada. Evalúe
1 Ϫ 10Ϫ0.05p2
s ϭ 0.115p2 ϫ 100. f(x h) 2f (x) f(x h)

Vea la FIGURA 5.9.2. lím h2 .

hS0

a) ¿Qué porcentaje de fotones llega a los fotopigmentos 86. a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
cuando p ϭ 2 mm?
fica de
b) Según la fórmula, ¿cuál es el porcentaje limitante
cuando el radio de la pupila tiende a cero? ¿Puede f (x) x sen x .
explicar por qué parece ser más de 100%? x2 1

b) A partir de la gráfica en el inciso a), conjeture el

valor de lím f (x).
xSq

c) Explique por qué la regla de L’Hôpital no es válida

Retina p para lím f (x).
xSq

Pupila

Lente
FIGURA 5.9.2 Ojo en el problema 84

Competencia final de la unidad 5

Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-18.

A. Falso/verdadero _____________________________________________________

En los problemas 1-20, indique si la afirmación dada es falsa (F) o verdadera (V).

1. Si f es creciente sobre un intervalo, entonces f ¿(x) 7 0 sobre el intervalo. _____

2. Una función f tiene un extremo en c cuando f ¿(c) ϭ 0. _____

3. Una partícula en movimiento rectilíneo desacelera cuando su velocidad y(t) disminuye. _____

4. Si la posición de una partícula en movimiento rectilíneo sobre una recta horizontal es
s(t) ϭ t2 Ϫ 2t, entonces la partícula acelera para t 7 1. _____

5. Si f –(x) 6 0 para toda x en el intervalo (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo
sobre el intervalo. _____

6. Si f –(c) ϭ 0, entonces (c, f(c)) es un punto de inflexión. _____

7. Si f (c) es un máximo relativo, entonces f ¿(c) ϭ 0 y f ¿(x) 7 0 para x 6 c y f ¿(x) 6 0 para
x 7 c. _____

8. Si f (c) es un mínimo relativo, entonces f –(c) 7 0. _____

9. Una función f que es continua sobre un intervalo cerrado [a, b] tiene tanto un máximo abso-
luto como un mínimo absoluto sobre el intervalo. _____

10. Todo extremo absoluto también es un extremo relativo. _____

11. Si c 7 0 es una constante y f (x) ϭ 1 x3 Ϫ cx2, entonces (c, f (c)) es un punto de inflexión. _____
3

12. x ϭ 1 es un número crítico de la función f(x) ϭ 2x2 Ϫ 2x. _____

13. Si f ¿(x) 7 0 y g¿(x) 7 0 sobre un intervalo I, entonces f ϩ g es creciente sobre I. _____

14. Si f ¿(x) 7 0 sobre un intervalo I, entonces f –(x) 7 0 sobre I. _____

15. Un límite de la forma q Ϫ q siempre tiene valor 0. _____

16. Un límite de la forma 1q siempre es 1. _____

17. Un límite de la forma q>q es indeterminado. _____

18. Un límite de la forma 0>q es indeterminado. _____

f(x) f ¿(x) son ambos de la forma q>q, entonces el primer límite no existe.
19. Si lím y lím
g(x) g¿(x)
xSq xSq

_____

276 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada

20. Para una forma indeterminada, la regla de L’Hôpital establece que el límite de un cociente
es lo mismo que la derivada del cociente. _____

B. Llene los espacios en blanco ___________________________________________

En los problemas 1-10, llene los espacios en blanco.

1. Para una partícula que se mueve rectilíneamente, la aceleración es la primera derivada de
__________.

2. La gráfica de un polinomio cúbico puede tener a lo sumo __________ punto(s) de inflexión.

3. Un ejemplo de una función y ϭ f (x) que es cóncava hacia arriba sobre (Ϫq, 0), cóncava
hacia abajo sobre (0, q) y creciente sobre (Ϫq, q) es ________.

4. Dos números no negativos cuya suma es 8 tales que la suma de sus cuadrados es máximo
son ________.

5. Si f es continua sobre [a, b], diferenciable sobre (a, b) y f(a) ϭ f(b) ϭ 0, entonces en (a, b)

existe algún c tal que f ¿(c) ϭ ________.

.

6. lím xn = para todo entero n.

xSq ex

7. La suma de un número positivo y su recíproco siempre es mayor que o igual a __________.

8. Si f (1) ϭ 13 y f ¿(x) ϭ 5x2, entonces una linealización de f en a ϭ 1 es __________ y
f(1.1) Ϸ __________.

9. Si y ϭ x2 Ϫ x, entonces ¢y ϭ __________.

.

10. Si y ϭ x3eϪx, entonces dy = __________.

C. Ejercicios __________________________________________________________

En los problemas 1-4, encuentre los extremos absolutos de la función dada sobre el intervalo

indicado.

1. f (x) ϭ x3 Ϫ 75x ϩ 150; [ Ϫ3, 4 ] 2. f (x) ϭ 4x2 Ϫ 1x; [41, 1]

3. f (x) ϭ x x2 4; [Ϫ1, 3] 4. f (x) ϭ (x2 Ϫ 3x ϩ 5)1>2; [ 1, 3 ]
ϩ

5. Trace la gráfica de una función continua que tenga las propiedades:

f(0) 1, f(2) 3

f ¿(0) 0, f ¿(2) no existe

f ¿(x) 7 0, x 6 0

f ¿(x) 7 0, 0 6 x 6 2

f ¿(x) 6 0, x 7 2.

6. Use las derivadas primera y segunda como ayuda para comparar las gráficas de
y x sen x y y x sen 2x.

7. La posición de una partícula que se mueve sobre una línea recta está dada por
s (t) ϭ Ϫt3 ϩ 6t2.
a) Grafique el movimiento sobre el intervalo de tiempo [ Ϫ1, 5].
b) ¿En qué instante la función velocidad es máxima?
c) ¿Corresponde este instante a la rapidez máxima?

8. La altura por arriba del nivel del suelo alcanzada por un proyectil disparado verticalmente
es s(t) ϭ Ϫ4.9t2 ϩ 14.7t ϩ 49, donde s se mide en metros y t en segundos.
a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil?
b) ¿A qué velocidad choca el proyectil contra el suelo?

9. Suponga que f es una función polinomial con ceros de multiplicidad 2 en x ϭ a y x ϭ b; es
decir,
f (x) ϭ (x Ϫ a)2(x Ϫ b)2g(x)

donde g es una función polinomial.

Competencia final de la unidad 5 277

a) Demuestre que f ¿ tiene por lo menos tres ceros en el intervalo cerrado [a, b].
b) Si g(x) es constante, encuentre los ceros de f ¿ en [a, b].
10. Demuestre que la función f(x) ϭ x1>3 no satisface las hipótesis del teorema del valor medio
sobre el intervalo [Ϫ1, 8], aunque es posible encontrar un número c en (-1, 8) tal que
f ¿(c) ϭ [ f(b) Ϫ f(a)] >(b Ϫ a). Explique.

En los problemas 11-14, encuentre los extremos relativos de la función dada f. Grafique.

11. f (x) ϭ 2x3 ϩ 3x2 Ϫ 36x 12. f (x) ϭ x5 Ϫ 5 x3 ϩ 2
3

13. f (x) ϭ 4x Ϫ 6x2>3 ϩ 2 14. f (x) ϭ x2 Ϫ 2x ϩ 2
x Ϫ1

En los problemas 15-18, encuentre los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función

dada f. No grafique.

15. f (x) ϭ x4 ϩ 8x3 ϩ 18x2 16. f (x) ϭ x6 Ϫ 3x4 ϩ 5

17. f (x) ϭ 10 Ϫ (x Ϫ 3)1>3 18. f (x) ϭ x(x Ϫ 1)5>2

En los problemas 19-24, relacione cada figura con una o más de las siguientes afirmaciones.
Sobre el intervalo correspondiente a la porción de la gráfica de y ϭ f (x) mostrada:

a) f tiene una primera derivada positiva.
b) f tiene una segunda derivada negativa.
c) La gráfica de f tiene un punto de inflexión.
d) f es diferenciable.
e) f tiene un extremo relativo.
f ) Las pendientes de las rectas tangentes crecen cuando x crece.

19. y 20. y

y ϭƒ(x) y ϭƒ(x)

x

x

FIGURA 5.R.1 Gráfica FIGURA 5.R.2 Gráfica x
para el problema 19 para el problema 20
x
21. y 22. y

y ϭƒ(x) y ϭƒ(x)

FIGURA 5.R.3 Gráfica para FIGURA 5.R.4 Gráfica
el problema 21 para el problema 22

23. y 24. y

y ϭƒ(x) y ϭƒ(x)

x x

FIGURA 5.R.5 Gráfica FIGURA 5.R.6 Gráfica
para el problema 23 para el problema 24

25. Sean a, b y c números reales. Encuentre la coordenada x del punto de inflexión para la grá-
fica de

f(x) ϭ (x Ϫ a)(x Ϫ b)(x Ϫ c).

278 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada

26. Un triángulo se expande con el tiempo. El área del triángulo crece a razón de 15 pulg2/min,

mientras la longitud de su base decrece a razón de 1 pulg/min. ¿A qué razón cambia la altu-
2

ra del triángulo cuando la altura mide 8 pulg y la base mide 6 pulg?

27. Un cuadrado está inscrito en un círculo de radio r, como se muestra en la FIGURA 5.R.7. ¿A qué
razón cambia el área del cuadrado en el instante en que el radio del círculo mide 2 pulg y
crece a razón de 4 pulg/min?

FIGURA 5.R.7 Círculo
en el problema 27

28. De un tanque hemisférico de 10 m de radio gotea agua a razón de 1 m3/min, y ésta sale por
10
1 m3/min.
un orificio en la parte inferior del tanque a razón de 5 Es posible demostrar que el

volumen del agua en el tanque en t es V ϭ 10ph2 Ϫ (p>3)h3. Vea la FIGURA 5.R.8.

a) La profundidad del agua, ¿aumenta o disminuye?
b) ¿A qué razón cambia la profundidad del agua cuando la profundidad es de 5 m?

10 m

h

FIGURA 5.R.8 Tanque en el problema 28

29. Dos bobinas que conducen la misma corriente producen en el punto Q sobre el eje x un
campo magnético de intensidad

1 r02 c r02 1 2 Ϫ3>2 c r02 1 2 Ϫ3>2
2 2 2
B ϭ m0 I e ϩ ax ϩ r0 b d ϩ ϩ ax Ϫ r0b d f ,

donde m0, r0 e I son constantes. Vea la FIGURA 5.R.9. Demuestre que el valor máximo de B ocu-
rre en x = 0.

r0 r0
Q
x

0

r0 r0
22
FIGURA 5.R.9 Bobinas en el problema 29

30. Una batería con fem constante E y resistencia interna constante r está conectada en serie con
un resistor cuya resistencia es R. Entonces, la corriente en el circuito es I ϭ E>(r ϩ R).
Encuentre el valor de R para el que la potencia P ϭ RI 2 disipada en la carga externa es
máxima. Esto se denomina comparación de impedancia.

31. Cuando en el lado de un cilindro lleno de agua se perfora un orificio, la corriente resultan-
te choca contra el piso a una distancia x de la base, donde x ϭ 2 1y (h Ϫ y). Vea la FIGURA
5.R.10.

a) ¿En qué punto debe hacerse el orificio de modo que la corriente alcance una distancia
máxima de la base?

b) ¿Cuál es la distancia máxima?

Competencia final de la unidad 5 279

y
h

Suelo x

FIGURA 5.R.10 Tanque perforado en el problema 31

32. El área de un sector circular de radio r y longitud de arco s es A ϭ 21rs. Vea la FIGURA 5.R.11.
Encuentre el área máxima de un sector limitado por un perímetro de 60 cm.

r s
A

FIGURA 5.R.11 Sector circular en el problema 32

33. Un chiquero, junto a un granero, se delimita usando cerca en dos lados, como se muestra en
la FIGURA 5.R.12. La cantidad de cerca que se usará mide 585 pies. Encuentre los valores de x
y y indicados en la figura de modo que se delimite la mayor área.

x

cerca

y 135°
granero

FIGURA 5.R.12 Chiquero en el problema 33

34. Un granjero desea usar 100 m de cerca para construir una valla diagonal que conecte dos
muros que se encuentran en ángulo recto. ¿Cómo debe proceder el granjero de modo que el
área limitada por los muros y la valla sea máxima?

35. Según el principio de Fermat, un rayo de luz que se origina en un punto A y se refleja en
una superficie plana hacia el punto B recorre una trayectoria que requiere el menor tiempo.
Vea la FIGURA 5.R.13. Suponga que la rapidez de la luz c, así como h1, h2 y d, son constantes.
Demuestre que el tiempo es mínimo cuando tan u1 = tan u2. Puesto que 0 6 u1 6 p>2 y
0 6 u2 6 p>2, se concluye que u1 ϭ u2. En otras palabras, el ángulo de incidencia es igual
al ángulo de reflexión. [Nota: La figura 5.R.13 es inexacta a propósito.]

normal a la superficie
B

A ␪1 ␪2 h2

h1

x superficie
d

FIGURA 5.R.13 Rayos de luz reflejados en el problema 35

280 UNIDAD 5 Aplicaciones de la derivada

36. Determine las dimensiones de un cono circular recto que tiene volumen mínimo V que cir-
cunscribe una esfera de radio r. Vea la FIGURA 5.R.14. [Sugerencia: Use triángulos semejantes.]

A

rE
B

r

C
D

FIGURA 5.R.14 Esfera y cono
en el problema 36

37. Un contenedor en forma de cilindro circular recto tiene un volumen de 100 pulg3. La parte
superior del contenedor cuesta tres veces por unidad de área que la parte inferior y los lados.
Demuestre que la dimensión con que se obtiene el menor costo de construcción es una altu-
ra igual a cuatro veces el radio.

38. Se va a elaborar una caja con cubierta hecha de una pieza rectangular de cartón de 30 pulg
de longitud y 15 pulg de ancho al cortar un cuadrado en un extremo del cartón y cortando
un rectángulo de cada esquina del otro extremo, como se muestra en la FIGURA 5.R.15.
Encuentre las dimensiones de la caja con que se obtiene el volumen máximo. ¿Cuál es el
volumen máximo?

doblez doblez

corte corte

a) b)
FIGURA 5.R.15 Caja en el problema 38

En los problemas 39-48, use la regla de L’Hôpital para encontrar el límite.

13 tan (p>x2) 40. lím 10 u 5 sen 2u
39. lím 10 u 2 sen 5u
uS0
xS13 x 13

41. lím x a cos 1 e2>xb 42. lím c 1 1 1) d
x y ln (y
xSq yS0

43. lím (sen t)2 44. lím tan (5x)

tS0 sen t2 xS0 e3x>2 e x>2

45. lím (3x) 1>lnx 46. lím (2x e3x)4>x
xS0 xS0

47. lím ln a x e2x b 48. lím x (ln x)2
xSq 1 e4x xS0

Apéndice

Sucesiones y series

an n

Lϩ⑀
L

LϪ⑀

123 … N

En este apéndice La experiencia cotidiana brinda un sentimiento intuitivo de la noción

de una sucesión. Las palabras sucesión de eventos o sucesión de números sugiere un arreglo

en el que los eventos E o los números n se establecen en algún orden: E1, E2, E3, p o n1, n2,
n3, . . .

Cualquier estudiante de matemáticas también está familiarizado con el hecho de que

cualquier número real puede escribirse como un decimal. Por ejemplo, el número racional

1 ϭ 0.333 p , donde los misteriosos tres puntos (una elipsis) significan que los tres dígitos se
3

repiten eternamente. Esto quiere decir que el decimal 0.333… es una suma infinita o la serie

infinita 3 3 3 3
10 100 1 000 10 000
p.

En este apéndice se observará que los conceptos de sucesión y serie infinita están relacio-
nados.

A.1 Sucesiones 281
A.2 Sucesiones monótonas
A.3 Series
A.4 Prueba de la integral
A.5 Pruebas de comparación
A.6 Pruebas de las proporciones y de la raíz
A.7 Series alternantes
A.8 Series de potencias
A.9 Representación de funciones mediante series de potencias
A.10 Serie de Taylor
A.11 Serie del binomio

282 APÉNDICE Sucesiones y series

A.1 Sucesiones

Introducción Si el dominio de una función f es el conjunto de enteros positivos, entonces los
elementos f (n) en el rango pueden arreglarse en un orden correspondiente a los valores crecien-
tes de n:

f(1), f(2), f(3), p , f(n), p

En la discusión que sigue sólo se considerarán funciones cuyo dominio es el conjunto de ente-
ros positivos y cuyos elementos del rango son números reales.

EJEMPLO 1 Función con los enteros positivos como dominio

Si n es un entero positivo, entonces los primeros elementos en el rango de la función

f(n) ϭ (1 ϩ 1>n)n son

f(1) 2, 9 f(3) 6247, p
f(2) 4,

Una función cuyo dominio es el conjunto completo de enteros positivos recibe un nombre
especial.

Algunos textos utilizan las pala- Definición A.1.1 Sucesión
bras sucesión infinita. Cuando Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos.
el dominio de la función es un
subconjunto finito del conjunto Notación y términos En lugar de la notación de función usual f (n), una sucesión suele deno-
de los enteros positivos, obtene- tarse mediante {an} o {an}nqϭ1. El entero n algunas veces recibe el nombre de índice de an. Los tér-
mos una sucesión finita. Todas minos de la sucesión se forman dejando que el índice n tome los valores 1, 2, 3, . . . ; el número a1
las sucesiones en este apéndice es el primer término, a2 es el segundo término, y así en lo sucesivo. El número an se denomina el
serán infinitas. término n-ésimo o el término general de la sucesión. De tal modo, {an} es equivalente a

a1, a2, a3, p , an, p d números en el rango
d números en el dominio
ccc c

123 n

Por ejemplo, la sucesión definida en el ejemplo 1 sería escrita {(1 ϩ 1>n)n}.
En algunas circunstancias es conveniente tomar el primer término de una sucesión como a0

y la sucesión es entonces

a0, a1, a2, a3, p , an, p

EJEMPLO 2 Términos de una sucesión

Escriba los primeros cuatro términos de las sucesiones

a) e 1 f b) {n2 ϩ n} c) {(Ϫ1)n}.
2n

Solución Al sustituir n ϭ 1, 2, 3, 4 en el término general respectivo de cada sucesión, obtenemos

a) 21, 14, 81, 116, p b) 2, 6, 12, 20, p c) Ϫ1, 1, Ϫ1, 1, p

Sucesión convergente Para la sucesión del inciso a) del ejemplo 2, se ve que como el índi-

ce n se vuelve progresivamente más grande, los valores an ϭ 1 no se incrementan sin límite. En
2n

realidad, observamos que cuando n S q, los términos

12, 14, 18, 116, 312, 614, p

se aproximan al valor límite 0. Se afirma que la sucesión {21n} converge a 0. En contraste, los tér-

minos de las sucesiones en los incisos b) y c) no se aproximan a un valor límite cuando n S q.

En general se tiene la siguiente definición.

A.1 Sucesiones 283

Definición A.1.2 Sucesión convergente

Se dice que una sucesión {an} converge a un número real L si para todo e 7 0 existe un Compare esta definición con la
entero positivo N tal que redacción en la definición 3.6.5.

0 an L 0 6 e siempre que n 7 N. (1)
El número L se llama el límite de la sucesión.

Si una sucesión {an} converge, entonces su límite L es único.

Sucesión convergente Si {an} es una sucesión convergente, (1) significa que los términos
an pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L para n suficientemente grande. Se indica que una
sucesión converge a un número L escribiendo

lím an = L.

nSq

Cuando {an} no converge, esto es, cuando lím an no existe, la sucesión diverge.

nSq
La FIGURA A.1.1 ilustra varias maneras en las cuales una sucesión {an} puede converger a un

número L. Las partes a), b), c) y d) de la figura A.1.1 muestran que para cuatro sucesiones con-

vergentes diferentes {an}, al menos un número finito de términos de an están en el intervalo
(L Ϫ e, L ϩ e). Los términos de la sucesión {an} que están en (L Ϫ e, L ϩ e) para n 7 N se

representan por medio de puntos en la figura.

an para n Ͼ N toda an an
está en (L Ϫ e, L ϩ e)
Lϩe Lϩe
L L

LϪe LϪe

n n
123 … N
1 2 3…N b)
a)
an
an

Lϩe Lϩe
L L

LϪe LϪe

n n
1 2 3…N
123 … N

c) d)

FIGURA A.1.1 Cuatro maneras en las que una sucesión puede converger a L

EJEMPLO 3 Sucesión convergente

Use la definición A.1.2 para demostrar que la sucesión {1> 1n} converge a 0.

Solución Intuitivamente, es posible ver a partir de los términos

1, 1, 1, 12, 1, p
12 13 15

que cuando el índice n aumenta sin límite los términos tienden al valor límite 0. Para probar la
convergencia, suponemos primero que e 7 0 está dado. Puesto que los términos de la sucesión
son positivos, la desigualdad 0 an Ϫ 0 0 6 e es la misma que

1 6 e.
1n

284 APÉNDICE Sucesiones y series

Esto es equivalente a 1n 7 1>e o n 7 1>e2. En consecuencia, sólo se necesita elegir N como el
primer entero positivo mayor o igual que 1>e2. Por ejemplo, si se elige e ϭ 0.01, entonces

01> 1n Ϫ 0 0 ϭ 1> 1n 6 0.01 siempre que n 7 10 000. Esto es, se elige N = 10 000.

En la práctica, para determinar si una sucesión {an} converge o diverge, debemos trabajar

directamente con lím an y proceder igual que al examinar el lím f (x). Si an aumenta o disminu-

nSq nSq

ye sin límite cuando n S q, entonces {an} es necesariamente divergente y escribimos, respec-

tivamente,

nlSímqan q o nlSímqan q. (2)

En el primer caso en (2) afirmamos que {an} diverge a infinito y en el segundo que {an} diver-
ge a infinito negativo. Una sucesión tal vez diverja de manera distinta a la que se indica en (2).

El siguiente ejemplo ilustra dos sucesiones; cada una diverge de un modo diferente.

EJEMPLO 4 Sucesiones divergentes

a) La sucesión {n2 ϩ n} diverge a infinito, ya que lím (n2 ϩ n) = q.
nSq

b) La sucesión {(Ϫ1)n} es divergente puesto que lím (Ϫ1)n no existe. El término general
nSq
de la sucesión no se aproxima a una constante cuando n S q; como puede verse en el
inciso c) del ejemplo 2, el término (-1)n se alterna entre 1 y -1 cuando n S q.

EJEMPLO 5 Determinación de la convergencia
3n(Ϫ1)n

Determine si la sucesión e n ϩ 1 f converge o diverge.

Solución Al dividir el numerador y el denominador del término general entre n se obtiene

lím 3n( 1)n 3( 1)n .
lím 1>n
nSq n 1 nSq 1

Aunque 3>(1 + 1>n) S 3 cuando n S q, el límite anterior sigue sin existir. Debido al factor
(-1)n, se observa que cuando n S q,

an S 3, n par, y an S 3, n impar.

La sucesión diverge.

Una sucesión, como aquella del inciso b) del ejemplo 4 y la del ejemplo 5, para la cual

nlSímqa2n L y nlSímqa2n 1 L,

L 0, se dice que diverge por oscilación.

Sucesión de constantes Una sucesión de constantes

c, c, c, p

y y ϭ ƒ(x) se escribe {c}. El sentido común indica que esta sucesión converge y que su límite es c. Vea la
ƒ(1) ϭ a1 figura A.1.1d). Por ejemplo, la sucesión {p} converge a p.
…
ƒ(2) ϭ a2 Al determinar el límite de una sucesión resulta muchas veces útil sustituir la variable discre-
ƒ(3) ϭ a3 ta n por una variable continua x. Si una función es f tal que f(x) S L cuando x S q y el valor
de f en los enteros positivos, f(1), f(2), f(3), p , concuerda con los términos a1, a2, a3, p de
L {an}, esto es,

1 2 3 4 5… x f(1) ϭ a1, f(2) ϭ a2, f(3) ϭ a3, p ,

FIGURA A.1.2 Si f(x) S L cuando entonces necesariamente la sucesión {an} converge al número L. La validez de este resultado se
ilustra en la FIGURA A.1.2.
x S q, entonces f(n) ϭ an S L

cuando n S q

A.1 Sucesiones 285

Teorema A.1.1 Límite de una sucesión

Suponga que {an} es una sucesión y f es una función tal que f(n) ϭ an para n Ն 1. Si

lím f(x) L entonces nlSímqan L. (3)

xSq

EJEMPLO 6 Empleo de la regla de L’Hôpital
Muestre que la sucesión {(n ϩ 1)1>n} converge.

Solución Si definimos f (x) ϭ (x ϩ 1)1>x, entonces reconocemos que lím f (x) tiene la forma Vea la sección 5.5 para un
nSq
repaso de cómo manejar la
indeterminada q0 cuando x S q. Por tanto, y utilizando la regla de L’Hôpital, forma q0.

1

lím ln f(x) lím ln(x 1) h lím x 1 lím 1 0.
1
xSq xSq x xSq xSq x 1

Esto demuestra que lím ln f (x) = ln[ lím f (x)] = 0 y que lím f (x) = e0 = 1. Por tanto, por (3)
nSq nSq nSq

tenemos lím (n + 1)1͞n = e0 = 1. La sucesión converge a 1.
nSq

EJEMPLO 7 Sucesión convergente

Demuestre que la sucesión e n(4n ϩ 1)(5n ϩ 3) f converge.

6n3 ϩ 2

Solución Si f(x) ϭ x(4x ϩ 1)(5x ϩ 3) ϭ 20x3 ϩ 17x2 ϩ 3x, entonces lím f (x) tiene la forma
6x3 ϩ 2 6x3 ϩ 2
nSq

indeterminada q>q. Por la regla de L’Hôpital,

lím x(4x 1)(5x 3) lím 20x3 17x2 3x
6x3 2
xSq 6x3 2 xSq

h lím 60x2 34x 3
18x2
xSq

h lím 120x 34
36x
xSq

h lím 120 10.
36 3
xSq

De (3) del teorema A.1.1, la sucesión dada converge a 10 .

3

EJEMPLO 8 Determinación de convergencia

Determine si la sucesión e A 9n n 1f converge.
ϩ

Solución Se continúa con la aplicación de la regla de L’Hôpital, se divide el numerador y el

denominador entre x y resulta que x>(9x + 1) S 1 cuando x S q. De tal modo, podemos escribir
9

nlSímqA 9n n 1 lím n 1 1.
A9 3
A nSq 9n 1

La sucesión converge a 1 .
3

Propiedades Las siguientes propiedades de sucesiones son análogas a las que se indicaron
en los teoremas 3.2.1, 3.2.2 y 3.2.3.

286 APÉNDICE Sucesiones y series

Teorema A.1.2 Límite de una sucesión

Sean {an} y {bn} sucesiones convergentes. Si lím an ϭ L1 y lím bn ϭ L2, entonces

nSq nSq

i) lím c c, c un número real

nSq

ii) nlSímqkan knlSímqan k L1, k un número real

iii) nlSímq(an bn) nlSímqan nlSímqbn L1 L2
iv) nlSímqanbn nlSímqan . nlSímqbn L1 . L2

v) lím an nlSímqan LL21, L2 0.
bn nlSímqbn
nSq

EJEMPLO 9 Determinación de convergencia

Determine si la sucesión e 2 Ϫ 3eϪn f converge.
6 ϩ 4eϪn

Solución Observe que 2 Ϫ 3eϪn S 2 y 6 ϩ 4eϪn S 6 0 cuando n S q. De acuerdo con el
teorema A.1.2v), tenemos

lím 2 3e n lím (2 3e n) 2 1.
6 4e n 4e n) 6 3
nSq nSq

lím (6
nSq

La sucesión converge a 1.

3

Revise la sección 2.6, específi- El primero de los siguientes dos teoremas debe ser verosímil de acuerdo con su conocimien-
camente la figura 2.6.2. to del comportamiento de la función exponencial. Recuerde que, para 0 6 b 6 1, bx S 0 cuan-
do x S q, en tanto que para b 7 1, bx S q cuando x S q.

Teorema A.1.3 Sucesiones de la forma {r n}

Suponga que r es una constante distinta de cero. La sucesión {r n} converge a 0 si 0 r 0 6 1 y
diverge si 0r 0 7 1.

Teorema A.1.4 Sucesiones de la forma {1/nr}

La sucesión e 1 f converge a 0 para r cualquier número racional positivo.
nr

EJEMPLO 10 Aplicaciones de los teoremas A.1.3 y A.1.4

a) La sucesión {eϪn} converge a 0 por el teorema A.1.3, ya que eϪn ϭ Q 1 n y
r ϭ 1>e 6 1. e
R

b) La sucesión e Q 3 n f diverge por el teorema A.1.3, ya que r ϭ 3 7 1.
2 2
R

c) La sucesión e 4 f converge a 0 por el teorema A.1.2ii) y el teorema A.1.4, ya que
n5>2

r ϭ 5 es un número racional positivo.
2

EJEMPLO 11 Determinación de convergencia

Del teorema A.1.2iii) y el teorema A.1.4 observamos que la sucesión e 10 ϩ 4 f converge a 10.
n3>2

A.1 Sucesiones 287

Sucesión definida recursivamente Como el siguiente ejemplo indica, una sucesión puede
definirse especificando el primer término a1 junto con una regla para obtener los términos sub-
secuentes a partir de los términos precedentes. En este caso se dice que la sucesión está defini-
da recursivamente. La regla de definición se denomina fórmula de recursión. Vea los proble-
mas 59 y 60 en los ejercicios A.1.

EJEMPLO 12 Una sucesión definida recursivamente

Suponga que una sucesión se define recursivamente mediante anϩ1 ϭ 3an ϩ 4, donde a1 ϭ 2.
Sustituyendo entonces n = 1, 2, 3, . . . se obtiene

el número está dado como 2
T

a2 3a1 4 3(2) 4 10

a3 3a2 4 3(10) 4 34

a4 3a3 4 3(34) 4 106

y así sucesivamente.

Teorema de compresión El siguiente teorema es el equivalente de la sucesión del teorema 3.4.1.

Teorema A.1.5 Teorema de compresión

Suponga que {an}, {bn} y {cn} son sucesiones tales que
an Յ cn Յ bn

para todos los valores de n mayores que algún índice N (esto es, n 7 N ). Si {an} y {bn} con-
vergen a un límite común L, entonces {cn} también converge a L.

Factorial Antes de presentar un ejemplo que ilustre el teorema A.1.5, necesitamos revisar un
símbolo que aparece con frecuencia en esta unidad. Si n es un entero positivo, el símbolo n!, que
se lee “n factorial”, es el producto de los primeros n enteros positivos:

n! 1 . 2 . 3 . . . (n 1) . n. (4)

Por ejemplo, 5! ϭ 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ϭ 120. Una propiedad importante del factorial está dada por

n! ϭ (n Ϫ 1)!n.

Para ver esto, considere el caso cuando n ϭ 6:

5!

⎞⎞⎪⎪⎬ ⎪⎪⎠
6! 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 (1 . 2 . 3 . 4 . 5) 6
5!6.

Enunciada de una manera un poco diferente, la propiedad n! ϭ (n Ϫ 1)!n es equivalente a

(n 1)! n!(n 1). (5)

Un último punto: por propósitos de conveniencia y para asegurar que la fórmula n! ϭ (n Ϫ 1)!n
es válida cuando n ϭ 1, se define 0! ϭ 1.

EJEMPLO 13 Determinación de convergencia

Determine si la sucesión e 2n f converge.
n!

Solución La convergencia o divergencia de la sucesión dada no es evidente ya que 2n S q y
n! S q cuando n S q. Aun cuando la forma límite de lím (2n>n!) es q> q no es posible que

nSq

utilicemos la regla de L’Hôpital puesto que no hemos estudiado ninguna función f (x) = x! Sin

embargo, podemos recurrir al teorema A.1.5 manipulando algebraicamente el término general de

la sucesión. En vista de (4), el término general puede escribirse

n factores de 2 n fracciones
⎞ ⎬ ⎪
⎪ ⎪ ⎠
⎪
⎬
⎪
⎪
⎠
2n 2.2.2.2...2
n! 1.2.3.4...n 2.2.2.2...2
1234 n

288 APÉNDICE Sucesiones y series

De la línea anterior se obtiene la desigualdad

n fracciones n 2 fracciones
⎞
2n ⎪ n 2
n! ⎪
⎬ b
⎪
⎪
⎠
⎞⎠⎪⎪⎬

0 2.2.2.2...2 2 . 1 . 2 . 2 . . . 2 2a 2 (6)
1234 n 3 3 3 3

Las n Ϫ 2 fracciones de 2 en el lado derecho de (6) resultan del hecho de que después del segun-
3
2
do factor en el producto de n fracciones, 3 es el denominador más pequeño que hace 3 más

grande que 24, más grande que 52, y así sucesivamente hacia abajo hasta el último factor n2. Por las

leyes de los exponentes (6) es lo mismo que

0 2n 9 a 2 n o an cn bn,
n! 2 3
b

donde se han identificado las sucesiones {an} ϭ {0}, {bn} {29 A 2 B n} y {cn} ϭ {2n>n!}. La
3

sucesión {an} es una de ceros y por ello converge a 0. La sucesión {bn} ϭ {29 A32Bn} también con-

2n verge a 0 al invocar el teorema A.1.2ii) y el teorema A.1.3 con r ϭ 2 6 1. De tal manera que por
n! 3

El resultado lím 0 el teorema A.1.5, {cn} ϭ {2n>n!} también debe converger a 0.

nSq

muestra que n! crece mucho

más rápido que 2n cuando La sucesión en el ejemplo anterior también puede definirse recursivamente. Para n = 1,
a1 ϭ 21>1! ϭ 2. Entonces por (5) y las leyes de los exponentes,
n S q. Por ejemplo, para

n ϭ 10, 210 ϭ 1 024, en tanto

que 10! ϭ 3 628 800. esto es an

T

an 1 2n 1 2 . 2n n 2 1 . n2!n.
(n 1)! (n 1) . n!

Así, {2n>n!} es lo mismo que

an ϩ 1 ϭ n 2 1an, a1 ϭ 2. (7)
ϩ

Es posible usar la fórmula de recursión (7) como un medio alterno de encontrar el límite L de la

sucesión {2n>n!}. Puesto que se mostró que la sucesión es convergente tenemos lím an = L. Este

nSq

último enunciado es equivalente también a lím an+1 = L. Haciendo que n S q en (7) y usando
las propiedades de límites podemos escribirnSq

nlSímqan 1 lím a 2 1 anb a lím 2 1 b . A nlSímqanB. (8)
nSq
nSq n n

En la última línea se ve que L ϭ 0 · L, lo cual implica que el límite de la sucesión es L ϭ 0.
El último teorema para esta sección es una consecuencia inmediata del teorema A.1.5.

Teorema A.1.6 Sucesión de valores absolutos
Si la sucesión { 0 an 0 } converge a 0, entonces {an} converge a 0.

DEMOSTRACIÓN Por la definición de valor absoluto, 0 an 0 ϭ an si an Ն 0 y 0 an 0 ϭ Ϫan si
an 6 0. Se sigue que

Ϫ 0 an 0 Յ an Յ 0 an 0 . (9)

Por suposición, { 0 an 0 } converge a 0y tpaonrtoe,ll{oannl}Símcqo0 annv0 e=rg0e. De la desigualdad (9) y el teorema
A.1.5 se concluye que Por a 0.
lím an = 0.

nSq

EJEMPLO 14 Empleo del teorema A.1.6

La sucesión e (Ϫ1)n f converge a 0 puesto que ya se ha demostrado en el ejemplo 3 que la suce-

1n

sión de valores absolutos {0(Ϫ1)n> 1n 0 } ϭ {1> 1n} converge a 0.

A.1 Sucesiones 289

PROBLEMAS A.1 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-18.

Fundamentos 43. e ln a 4n ϩ 1 b f 44. e ln n f
3n Ϫ 1 ln 3n
En los problemas 1-10, liste los primeros cuatro términos de
la sucesión cuyo término general es an. 45. {1n ϩ 1 Ϫ 1n} 46. {1n A 1n ϩ 1 Ϫ 1n B}

1. an ϭ 2n 1 1 2. an ϭ 3 2 En los problemas 47-52, encuentre una fórmula para el térmi-
ϩ 4n Ϫ
no general an de la sucesión. Determine si la sucesión dada con-
(Ϫ1)n (Ϫ1)nn2 verge. Si la sucesión converge, entonces encuentre su límite.
3. an ϭ n 4. an ϭ n ϩ 1
47. 12, 34, 65, 87, p
5. an ϭ 10n 6. an ϭ 10Ϫn

7. an ϭ 2n! 8. an ϭ (2n)! 48. 1 ϩ 21, 1 ϩ 31, 1 ϩ 41, 1 ϩ 51, p
2 3 4
n1 n
9. an ϭ a 49. 3, Ϫ5, 7, Ϫ9, p
k 10. an ϭ a 2Ϫk
kϭ1
kϭ1 50. Ϫ2, 2, Ϫ2, 2, p

En los problemas 11-14, emplee la definición A.1.2 para 51. 2, 32, 92, 227, p
demostrar que cada sucesión converge al número dado L.

11. e 1 f ; Lϭ0 12. e 1 f ; Lϭ0 52. 1 4, 1 8, .116, .132, p
n n2 1. 2.
3 4
en
13. e n f ; Lϭ1 14. e ϩ 1 f ; Lϭ1
ϩ en
n 1 En los problemas 53-56, para la sucesión dada definida recur-
sivamente, escriba los siguientes cuatro términos después del
En los problemas 15-46, determine si la sucesión dada con- (de los) término(s) inicial(es) indicado(s).
verge. Si la sucesión converge, entonces encuentre su límite.
1
15. e 10 f e 1 f 53. anϩ1 ϭ 2 an, a1 ϭ Ϫ1
1n ϩ 1 n3>2
16.

17. e 5n 1 6 f 18. e 2n 4 7 f 54. anϩ1 ϭ 2an Ϫ 1, a1 ϭ 2
ϩ ϩ 55. anϩ1 ϭ aanϪn1, a1 ϭ 1, a2 ϭ 3
56. anϩ1 ϭ 2an Ϫ 3anϪ1, a1 ϭ 2, a2 ϭ 4
19. e 3n Ϫ 2 f 20. e 1 n 2n f
6n ϩ 1 Ϫ
En los problemas 57 y 58, se sabe que la sucesión definida
1 n
21. {20(Ϫ1)nϩ1} 22. e Q Ϫ 3 f recursivamente converge para un valor inicial dado a1 7 0.
R
Suponga qeuneconlnSímtqraarne=l lLím, iytepLrodceedlaa como en (8) de esta sec-
ción para sucesión.
23. e n2 Ϫ 1 f 24. e 7n f
2n n2 ϩ
1 57. anϩ1 ϭ 1 an ϩ 6 58. anϩ1 ϭ 1 a an ϩ 5 b
4 2 an
25. {neϪn} 26. {n3eϪn}
En los problemas 59 y 60, encuentre una fórmula de recursión

27. e 1n ϩ 1 f 28. e n f que defina la sucesión dada.
n 1n ϩ 1
5n
29. {cos np} 30. {sen np} 59. e n! f

31. e ln n f 32. e en f 60. 13, 23 ϩ 13, 33 ϩ 23 ϩ 13, p
n ln(n ϩ
1) En los problema 61-64, utilice el teorema de compresión para

33. e 5 Ϫ 2Ϫn f 34. e 3n 2n f establecer la convergencia de la sucesión dada.
7 ϩ 4Ϫn ϩ
1 sen2 n 1
4n n2
en ϩ 1 3n 61. e f 62. e A16 ϩ f
en 2n
35. e f 36. e4 ϩ f

63. e ln n f
n(n
37. e n sen a 6 b f 38. e a1 Ϫ 5 n f 2)
n n
b

en Ϫ eϪn p 64. e n! f c Sugerencia: an 1 a 2 . 3 . 4 . . . n b. d
en ϩ eϪn 4 nn n n n n n
39. e f 40. e Ϫ arctan(n) f

41. {n2>(nϩ1)} 42. {10(nϩ1)>n} 65. Demuestre que para cualquier número real x, la sucesión
{(1 ϩ x>n)n} converge a ex.

290 APÉNDICE Sucesiones y series

66. Se sabe que la sucesión a) Con a1 = 1, encuentre una fórmula de recursión que
defina a la sucesión.
e1 1 1 p 1 ln n f
2 3 n b) ¿Cuáles son el quinto y el sexto términos de la suce-
sión?
converge a un número g llamado constante de Euler.
Calcule los primeros 10 términos de la sucesión. c) Se sabe que la sucesión {an} converge. Encuentre el
límite de la sucesión.
Aplicaciones
74. Conjeture respecto al límite de la sucesión convergente
67. Una pelota se deja caer desde una altura inicial de 15 pies
13, 23 13, 332313, p
sobre una plancha de concreto. Cada vez que rebota, 75. Si converge la sucesión {an}, ¿diverge la sucesión {an2}?

alcanza una altura de 2 de su altura precedente. ¿A qué Apoye su respuesta con argumentos matemáticos sólidos.
3
76. En la FIGURA A.1.4 el primer cuadrado que se muestra es de
altura llegará en su tercer rebote? ¿En su n-ésimo rebote? 1 unidad por lado. Un segundo cuadrado se construye
dentro del primer cuadrado conectando los puntos
Vea la FIGURA A.1.3. medios del primero. Un tercer cuadrado se construye
conectando los puntos medios de los lados del segundo
15 pies cuadrado, y así en lo sucesivo.
a) Encuentre una fórmula para el área An del n-ésimo
FIGURA A.1.3 Rebote de cuadrado inscrito.
la pelota del problema 67 b) Considere la sucesión {Sn}, donde Sn = A1 + A2
+ . . . ϩAn. Calcule los valores numéricos de los pri-
meros 10 términos de esta sucesión.
c) Conjeture acerca de la convergencia de {Sn}.

68. Una pelota, que cae desde una gran altura, recorre 16 pies FIGURA A.1.4 Cuadrados
durante el primer segundo, 48 pies durante el segundo, 80 incrustados del problema 76
pies durante el tercero, y así en lo sucesivo. ¿Cuál es la
distancia recorrida por la pelota durante el sexto segundo? Proyectos

69. Un paciente toma 15 mg de un fármaco cada día. Su- 77. Un clásico matemático Considere un triángulo equilá-
ponga que 80% del fármaco acumulado es excretado
cada día por las funciones corporales. Escriba los prime- tero con lados de longitud 1 como se muestra en la FIGU-
ros seis términos de la sucesión {An}, donde An es la can-
tidad de fármaco presente en el cuerpo del paciente inme- RA A.1.5a). Como se muestra en la figura A.1.5b), sobre
diatamente después de la dosis n-ésima.
cada uno de los tres lados del triángulo se construye otro
70. Se deposita un dólar en una cuenta de ahorros que paga
una tasa de interés anual r. Si no se extrae dinero, ¿cuál
es la cantidad de dinero acumulado en la cuenta después
del primero, segundo y tercer años?

71. Cada persona tiene dos padres. Determine cuántos tatata-
tarabuelos tiene cada persona.

72. La sucesión definida recursivamente

pn 1 3pn 4p0n20, p0 450 triángulo equilátero con lados de longitud 13. Como se
señala en las figuras A.1.5c) y A.1.5d), se continúa esta

se denomina ecuación logística discreta. Una sucesión construcción: se construyen triángulos equiláteros sobre

de este tipo se utiliza a menudo para modelar una pobla- los lados de cada nuevo triángulo previo de modo tal que

ción pn en un ambiente; aquí p0 es la población inicial la longitud de los lados del nuevo triángulo es 1 la longi-
en el ambiente. Determine la capacidad de transporte 3

tud de los lados del triángulo anterior. Considere que el

K = lím pn del ambiente. Calcule los siguientes nueve perímetro de la primera figura es P1, el perímetro de la
segunda figura P2, y así en lo sucesivo.
nSq
términos de la sucesión y demuestre que estos términos
a) Encuentre los valores de P1, P2, P3 y P4.
oscilan alrededor de K. b) Encuentre la fórmula para el perímetro Pn de la

Piense en ello n-ésima figura.

73. Considere la sucesión {an} cuyos primeros cuatro térmi- c) ¿Cuál es el lím Pn? El perímetro de la región similar
nos son
nSq
a un copo de nieve que se obtuvo dejando n S q se

llama curva del copo de nieve de Koch y fue inven-

1, 1 21, 1 1 1, 1 1 ,p tada en 1904 por el matemático sueco Helge von
1
2 2 2 Koch (1870-1924). La curva de Koch aparece en la

2 1 teoría de fractales.
2

A.2 Sucesiones monótonas 291

1 Distinga el patrón de la solución de este problema y com-
3 plete la siguiente tabla.

1

Inicios Después de cada mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

a) b) Parejas 1 1 2 3 5 8 13 21
adultas
1 1
9 27 Parejas 1 1 2 3 5 8 13
de bebés 0

Total de 1 2 3 5 8 13 21 34

parejas

c) d) 79. Escriba cinco términos, después de los dos iniciales, de la
FIGURA A.1.5 Regiones de copos de sucesión definida recursivamente por medio de Fn+1 = Fn
nieve del problema 77 + Fn-1, F1 ϭ 1, F2 ϭ 1. Reexamine el problema 78.

78. Un poco de historia: ¿Cuántos conejos? Además de 80. Razón áurea Si la fórmula de recursión del problema
su famosa torre inclinada, la ciudad de Pisa, Italia, se 79 se divide entre Fn, entonces
conoce también como el lugar natal de
Leonardo Pisano, alias Leonardo Fnϩ1 ϭ 1 ϩ FFnϩn 1.
Fibonacci (1170-1250). Fibonacci fue Fn
el primero en Europa en introducir el
sistema de lugares decimales hindú- Si se define an ϭ Fnϩ1>Fn, entonces la sucesión {an} se
árabe y el uso de los numerales arábi- define recursivamente por medio de
gos. Su libro Liber Abacci, publicado
en 1202, es básicamente un texto acerca de cómo hacer an ϭ 1 ϩ 1 , a1 ϭ 1, n Ն 2.
aritmética en este sistema decimal. Sin embargo, en anϪ1
el capítulo 12 de Liber Abacci, Fibonacci plantea y
resuelve el siguiente problema sobre la reproducción de Se sabe que la sucesión {an} converge en la razón áurea
conejos:
f = lím an.
¿Cuántos pares de conejos se reproducirán en un año empe-
zando con un solo par, si cada mes cada par tiene un nSq
nuevo par que se vuelve fértil a partir del segundo mes en
adelante? a) Encuentre f.

b) Escriba un pequeño informe acerca del significado del

número f que incluya la relación entre este número y

la forma del caparazón de cámaras múltiples del nau-

tilo. Vea la foto en el inicio de este apéndice.

A.2 Sucesiones monótonas

Introducción En la sección anterior se demostró que una sucesión {an} convergía al deter-

minar lím an. Sin embargo, no siempre es fácil o incluso posible determinar si una sucesión {an}

nSq

converge buscando el valor exacto de lím an. Por ejemplo, ¿la sucesión

nSq

e1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p ϩ 1 Ϫ lnn f
2 3 n

converge? Resulta que es posible demostrar que esta sucesión converge, pero no utilizando las
ideas básicas de la última sección. En esta sección se considera un tipo especial de sucesión cuya
convergencia puede establecerse sin determinar el valor de {an}.

Empezamos con una definición.

292 APÉNDICE Sucesiones y series

Definición A.2.1 Sucesión monótona

Una sucesión {an} se dice que será
i) creciente si an+1 7 an para toda n Ն 1,
ii) no decreciente si an+1 Ն an para toda n Ն 1,

iii) decreciente si an+1 6 an para toda n Ն 1,
iv) no creciente si an+1 Յ an para toda n Ն 1,
Si una sucesión {an} es de alguno de los tipos anteriores, se dice entonces que es monótona.

En otras palabras, sucesiones del tipo

a1 6 a2 6 a3 6 p 6 an 6 anϩ1 6 p
a1 7 a2 7 a3 7 p 7 an 7 anϩ1 7 p ,

son crecientes y decrecientes, respectivamente. Mientras,

a1 Յ a2 Յ a3 Յ p Յ an Յ anϩ1 Յ p
a1 Ն a2 Ն a3 Ն p Ն an Ն anϩ1 Ն p ,

son sucesiones no decrecientes y no crecientes, respectivamente. Las nociones de no decrecien-
te y no creciente permiten que algunos términos adyacentes en una sucesión resulten iguales.

EJEMPLO 1 Monótona/no monótona
a) Las tres sucesiones

4, 6, 8, 10, p 1, 12, 41, 18, p y 5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 3, 3, p

son monótonas. Éstas son, respectivamente, creciente, decreciente y no creciente.
b) La sucesión Ϫ1, 21, Ϫ13, 14, Ϫ51, p es no monótona.

No siempre resulta evidente si una sucesión es creciente, decreciente, y así en lo sucesivo.
Las siguientes guías ilustran algunas de las maneras en que puede demostrarse la monotonía.

Guías para demostrar la monotonía

i) Formar una función f (x) tal que f (n) ϭ an. Si f ¿(x) 7 0, entonces {an} es cre-
ciente. Si f ¿(x) 6 0, entonces {an} es decreciente.

ii) Formar el cociente anϩ1>an donde an 7 0 para toda n. Si anϩ1>an 7 1 para toda
n, entonces {an} es creciente. Si anϩ1>an 6 1 para toda n, entonces {an} es
decreciente.

iii) Formar la diferencia anϩ1 Ϫ an. Si anϩ1 Ϫ an 7 0 para toda n, entonces {an} es
creciente. Si anϩ1 Ϫ an 6 0 para toda n, entonces {an} es decreciente.

EJEMPLO 2 Una sucesión monótona

Demuestre que e n f es una sucesión monótona.
en

Solución Si se define f (x) ϭ x͞ex, entonces f (n) ϭ an. En este caso,

f ¿(x) ϭ 1Ϫx 6 0
ex

para x 7 1 implica que f es decreciente sobre [1, q). De ese modo se concluye que

f (n ϩ 1) ϭ anϩ1 6 f (n) ϭ an.
Por la definición A.2.1, la sucesión dada es decreciente.

A.2 Sucesiones monótonas 293

Solución alterna Del cociente

anϩ1 ϭ n ϩ 1 en ϭ nϩ1 ϭ 1 ϩ 1 Յ 1 ϩ 1 ϭ 2 6 1
an enϩ1 ᝽ n ne e ne e e e

vemos que an+1 6 an para toda n Ն 1. Esto demuestra que la sucesión es decreciente.

EJEMPLO 3 Una sucesión monótona

La sucesión e 2n ϩ 1 f o 23, 53, 74, 95,. . . parece ser creciente. De
nϩ1

anϩ1 Ϫ an ϭ 2n ϩ 3 Ϫ 2n ϩ 1 ϭ 1 7 0
nϩ2 nϩ1 (n ϩ 2)(n ϩ 1)

se concluye que an+1 7 an para toda n Ն 1. Eso demuestra que la sucesión es creciente.

Definición A.2.2 Sucesión acotada

i) Una sucesión {an} se dice que está acotada por arriba si hay un número positivo M
tal que an Յ M para toda n.

ii) Una sucesión {an} se dice que está acotada por abajo si hay un número positivo m
tal que an Ն m para toda n.

iii) Una sucesión {an} se dice que está acotada si está acotada por arriba y acotada por abajo.

Desde luego, si una sucesión {an} no está acotada, entonces se afirma que es no acotada.
Una sucesión no acotada es divergente. La sucesión de Fibonacci (vea los problemas 78 y 79 en
los ejercicios A.1)

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, p

es no decreciente y es un ejemplo de una sucesión no acotada.
La sucesión 1, 12, 14, 18, p en el ejemplo 1 es acotada puesto que 0 Յ an Յ 1 para toda n.

Cualquier número más pequeño que una cota inferior m de una sucesión también es una cota
inferior y cualquier número mayor que una cota superior M es una cota superior; en otras pala-
bras, los números m y M en la definición A.2.2 no son únicos. Para la sucesión 1, 21, 14, 18, p es
igualmente cierto que Ϫ2 Յ an Յ 2 para toda n Ն 1.

EJEMPLO 4 Una sucesión acotada

La sucesión e 2n ϩ 1 f está acotada por arriba por 2, ya que la desigualdad
nϩ1

2n ϩ 1 Յ 2n ϩ 2 ϭ 2(n ϩ 1) ϭ 2
nϩ1 nϩ1 nϩ1

muestra que an Յ 2 para n Ն 1. Además,

an ϭ 2n ϩ 1 Ն 0
nϩ1

para n Ն 1 muestra que la sucesión está acotada por abajo por 0. De tal modo, 0 Յ an Յ 2 para En realidad, del ejemplo 3
toda n implica que la sucesión está acotada. advertimos que los términos de
la sucesión están acotados por
El siguiente resultado será útil en las secciones subsecuentes de este apéndice. abajo por el primer término de
la sucesión.

Teorema A.2.1 Condición suficiente para la convergencia
Una sucesión monótona acotada {an} converge.

294 APÉNDICE Sucesiones y series

La existencia de una cota supe- DEMOSTRACIÓN Demostraremos el teorema en el caso de una sucesión no decreciente. Por
rior mínima, esto es, una cota suposición, {an} está acotada y por ello m Յ an Յ M para toda n. A su vez, esto significa que el
superior que es más pequeña conjunto infinito de términos S ϭ {a1, a2, a3, p , an, p } está acotado por arriba y por tanto tiene
que todas las demás cotas supe- una cota superior mínima o más pequeña L. La sucesión en realidad converge a L. Para e 7 0
riores de la sucesión, es uno de sabemos que L Ϫ e 6 L, y consecuentemente L Ϫ e no es una cota superior de S (no hay cotas
los axiomas básicos en matemá-
ticas. Recibe el nombre de pro- superiores más pequeñas que la cota superior mínima). En consecuencia, existe un entero posi-
piedad de completitud del sis- tivo N tal que aN 7 L Ϫ e. Pero, puesto que {an} es no decreciente,
tema de números reales (ver
unidad 1). L Ϫ e Յ aN Յ aNϩ1 Յ aNϩ2 Յ aNϩ3 Յ p Յ L ϩ e.

Se concluye que para n 7 N, L Ϫ e Յ an Յ L ϩ e o Ϳan Ϫ LͿ 6 e. De la definición A.1.2 deter-

minamos que lím an = L.

nSq

EJEMPLO 5 Acotada y monótona

Se demostró que la sucesión e 2n ϩ 1 f es monótona (ejemplo 3) y acotada (ejemplo 4). Por
nϩ1

consiguiente, por el teorema A.2.1 la sucesión es convergente.

EJEMPLO 6 Determinación de convergencia
1 . 3 . 5. . .(2n Ϫ 1)

Demuestre que la sucesión e 2 . 4 . 6. . .(2n) f converge.

Solución Primero, el cociente

anϩ1 ϭ 1 .3.5.. . (2n Ϫ 1)(2n ϩ 1) . 2.4.6 . . . (2n) ϭ 2n ϩ 1 1
an 2.4.6 . . . (2n)(2n ϩ 2) .3.5.. . (2n Ϫ 1) 2n ϩ 2
1 6

muestra que anϩ1 6 an para toda n. La sucesión es monótona puesto que es decreciente. Luego,

de la desigualdad

¿Por qué el producto 0 1 .3.5.. . (2n Ϫ 1) ϭ 1 . 3 . 5 . 7 . . . 2n Ϫ 1 1
2.4.6 . . . (2n) 2 4 6 8 2n
6 6

1.3.5.7 . . . 2n 1 es se observa que la sucesión está acotada. Se concluye del teorema A.2.1 que la sucesión es con-
2468 2n vergente.

menor que 1?

El teorema A.2.1 es útil para probar que la sucesión {an} converge, esto es, lím an = L, pero

nSq
el teorema no brinda el número específico L. Sin embargo, el siguiente ejemplo muestra cómo

determinar L cuando la sucesión se define recursivamente.

EJEMPLO 7 Determinación de convergencia

Demuestre que la sucesión {an} definida por la fórmula de recursión anϩ1 ϭ 1 an ϩ 6, a1 ϭ 1,
4

converge.

Esto puede probarse utilizando Solución Primero, la sucesión {an} está acotada. Puede demostrarse que an 6 8, para toda n.
un método llamado inducción Este hecho se sugiere al calcular an para n ϭ 1, 2, 3, p
matemática.

a2 ϭ 1 a1 ϩ6ϭ 1 (1) ϩ6ϭ 25 ϭ 6.25 6 8
4 4 4

a3 ϭ 1 a2 ϩ 6 ϭ 1 a 25 b ϩ 6 ϭ 121 ϭ 7.5625 6 8
4 4 4 16

a4 ϭ 1 a3 ϩ 6 ϭ 1 a 121 b ϩ 6 ϭ 505 ϭ 7.890625 6 8
4 4 16 64

o

Como an 7 0 para toda n, se tiene que 0 6 an 6 8 para toda n. De tal modo, {an} está acotada.

Luego, demostraremos que la sucesión {an} es monótona. Debido a que an 6 8 necesaria-
3 3 .
mente 4 an 6 4 8 ϭ 6. Por tanto, de la fórmula de recursión,

anϩ1 ϭ 1 an ϩ 6 7 1 an ϩ 3 an ϭ an.
4 4 4

Esto demuestra que anϩ1 7 an para toda n, y por ello la sucesión es creciente.

A.2 Sucesiones monótonas 295

Como {an} es acotada y monótona, se sigue del teorema A.2.1 que la sucesión converge.

Puesto que debemos tener lím an ϭ L y lím anϩ1 ϭ L, el límite de la sucesión se determina a

nSq nSq
partir de la fórmula de recursión:

nlSímqan 1 lím a 1 an 6b
nlSímqan 1 4
nSq
L
1 nlSímqan 6
4

1 L 6.
4

Al resolver la última ecuación para L encontramos que 43L ϭ 6 o L ϭ 8.

a NOTAS DESDE EL AULA

i) Toda sucesión convergente {an} está necesariamente acotada. Vea el problema 31 en los
ejercicios A.2. No obstante, no se concluye que toda sucesión acotada es convergente. Se

le pedirá que dé un ejemplo que ilustre este último enunciado en el problema 30 de los

ejercicios A.2.

ii) Algunas sucesiones {an} no exhiben comportamiento monótono hasta algún punto en la
sucesión, esto es, hasta que el índice satisface n Ն N, donde N es algún entero positivo.
Por ejemplo, los términos de la sucesión 55n>n!6 para n ϭ 1, 2, 3, 4, 5, 6, p son:

5, 225, 1625, 62245, 62245, 3 125 , p (1)
144

Para observar mejor lo que está ocurriendo en (1), se aproximarán los términos utilizan-
do números redondeados hasta dos decimales:

5, 12.5, 20.83, 26.04, 26.04, 21.70, p (2)

En (2) vemos que los primeros cuatro términos de {5n>n!} aumentan de manera eviden-

te, pero empezando con el cuarto término los términos parecen empezar a no crecer. Esto

se prueba a partir de la versión definida recursivamente de la sucesión. Procediendo

como se hizo al obtener la fórmula de recurrencia en (7) en la sección A.1, {5n>n!} es la

misma que anϩ1 ϭ n 5 1 an, a1 ϭ 5. Puesto que n 5 1 Յ 1 para n Ն 4 observamos que
ϩ ϩ

anϩ1 Յ an, esto es, {5n>n!} es no creciente sólo para n Ն 4. De la misma manera, es fácil
demostrar que {100n>n!} se vuelve a la larga no creciente sólo cuando n Ն 99. Tomando

el límite de la fórmula de recursión como n S q, como en el ejemplo 7, es posible

demostrar que tanto {5n>n!} como {100n>n!} convergen a 0.

PROBLEMAS A.2 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.

Fundamentos 9. en ϩ 1 f 10. 5n2 ϩ (Ϫ1)nn6
n
En los problemas 1-12, determine si la sucesión dada es
monótona. Si es así, indique si es creciente, decreciente o no 11. {(sen 1)(sen 2) . . . (sen n)} 12. e ln a nϩ2 b f
decreciente o no creciente. nϩ1

1. e n f 2. e 10 ϩ n f
ϩ n
3n 1 En los problemas 13-24, utilice el teorema A.2.1 para demos-
trar que la sucesión dada converge.
3. {(Ϫ1)n 1n} 4. {(n Ϫ 1)(n Ϫ 2)}

5. e en f 6. e en f 13. e 4n Ϫ 1 f 14. e 6 Ϫ 4n2 f
n n5 5n ϩ 2 1 ϩ n2

7. e 2n f 22n(n!)2 15. e 1 3n 3n f 16. 5n5Ϫn6
n! 8. e (2n)! f ϩ

296 APÉNDICE Sucesiones y series

17. {e1>n} 18. e n! f a) Emplee la fórmula de recursión para demostrar que
nn
los únicos valores límite posibles para la sucesión

19. e 1 . 3 . 5 n! Ϫ 1) f 2 . 4 . 6 p (2n) {pn] son 0 y b Ϫ a.
p (2n 20. e 1 . 3 . 5 p (2n ϩ 1) f b) Demuestre que pnϩ1 6 (b>a) pn.
c) Utilice el resultado del inciso b) para demostrar que
ln (n ϩ 3)
21. {tanϪ1n} 22. e n ϩ 3 f si a 7 b, entonces la población muere; esto es,

lím pn = 0.

23. (0.8), (0.8)2, (0.8)3, p nSq

d) Suponga ahora a 6 b. Demuestre que si 0 6 p0 6 b - a,

24. 13, 213, 2213, p entonces la sucesión {pn} es creciente y está acotada

En los problemas 25 y 26, use el teorema A.2.1 para demos- por arriba por b - a. Demuestre que si 0 6 b - a 6 p0,
trar que la sucesión definida recursivamente converge. En-
cuentre el límite de la sucesión. entonces la sucesión {pn} es decreciente y acotada por

abajo por b - a. Concluya que lím pn = b - a para

nSq

cualquier p0 7 0. [Sugerencia: Examine 0 b - a - pn+1 0 ,

25. anϩ1 ϭ 1 an ϩ 5, a1 ϭ 1 26. anϩ1 ϭ 12 ϩ an, a1 ϭ 0 la cual es la distancia entre pn+1 y 0 b - a 0 .]
2

27. Exprese Piense en ello

17, 2717, 272717, . . . 30. Proporcione un ejemplo de una sucesión acotada que no
es convergente.
como una sucesión {an} definida recursivamente. Utilice
el hecho de que la sucesión está acotada, 0 6 an 6 7 31. Demuestre que toda sucesión convergente {an} está aco-
para toda n, para demostrar que {an} es creciente. En- tada. [Sugerencia: Puesto que {an} es convergente, se
cuentre el límite de la sucesión. sigue de la definición A.1.2 que existe una N tal que
0 an Ϫ L 0 6 1 siempre que n 7 N. ]
28. Recurra al teorema A.2.1 para demostrar que la sucesión
definida recursivamente 32. Demuestre que { ͐1neϪt2dt} converge. [Sugerencia: Para

anϩ1 ϭ a1 Ϫ 1 b an, a1 ϭ 2, a2 ϭ 1, n Ն 2 x 7 1, eϪx2 Յ eϪx. ]
n2
33. Un clásico matemático Demuestre que la sucesión
es acotada y monótona y en consecuencia converge.
Explique por qué la fórmula de recursión no es de ayuda e1 1 1 p 1 ln n f
para determinar el límite de la sucesión. 2 3 n

Aplicaciones es acotada y monótona, y, en consecuencia, convergente.
El límite de la sucesión se denota por medio de g y se
29. Ciertos estudios en administración pesquera argumentan llama constante de Euler en honor al notable matemáti-
que el tamaño de una población de peces no perturbada co suizo Leonhard Euler (1707-1783). Del problema 66
cambia de un año al siguiente de acuerdo con la fórmula del ejercicio A.1, g 0.5772 . . . [Sugerencia: Primero
demuestre la desigualdad
pnϩ1 ϭ a bpn , n Ն 0,
ϩ pn

donde pn 7 0 es la población después de n años, y a y b 1 1 p 1 1 6 ln n 6 1 1 1 p 1
son parámetros positivos que dependen de las especies y 2 3 n1 n 2 3 n1
de su ambiente. Suponga que el tamaño de una población
p0 se introduce en el año 0. considerando el área bajo la gráfica de y ϭ 1͞x sobre el
intervalo [1, n].]

A.3 Series

Introducción El concepto de una serie se relaciona estrechamente con el concepto de suce-

sión. Si {an} es la sucesión a1, a2, a3, p , an, p , entonces la suma de los términos

a1 a2 a3 p an p (1)

se llama serie infinita, o simplemente una serie. Las ak, k ϭ 1, 2, 3, . . . , se denominan los tér-
minos de la serie y an se llama el término general. Escribimos (1) de manera compacta utili-
zando la notación de sumatoria como

q o por conveniencia a ak.

a ak

kϭ1

A.3 Series 297

La pregunta que deseamos responder en ésta y en varias de las secciones siguientes es:
• ¿Cuándo una serie infinita de constantes “suma” un número?

EJEMPLO 1 Una serie infinita

En los comentarios de inicio de este apéndice se advirtió que la representación decimal de un

número racional 1 es, de hecho, una serie infinita
3

0.333 p ϭ 3 ϩ 3 ϩ 3 ϩ p q 3.
10 102 103 10k
ϭa

kϭ1

De manera intuitiva, esperamos que 1 sea la suma de la serie g q 1 3 . Sin embargo, de
3 kϭ 10k

manera intuitiva, esperamos que una serie infinita tal como

100 1 000 10 000 100 000 p

donde los términos se vuelven más y más grandes, no tenga suma. En otras palabras, no se espe-
ra que la serie última “sume” o converja a un número cualquiera. El concepto de convergencia
de una serie infinita se define en términos de la convergencia de un tipo especial de sucesión.

Sucesión de sumas parciales Asociada con toda serie finita a ak, existe una sucesión de
sumas parciales {Sn} cuyos términos están definidos por

S1 ϭ a1
S2 ϭ a1 ϩ a2
S3 ϭ a1 ϩ a2 ϩ a3

o

Sn ϭ a1 ϩ a2 ϩ a3 ϩ p ϩ an

o

El término general Sn ϭ a1 ϩ a2 ϩ p ϩ an ϭ g n 1ak de esta sucesión se denomina la suma
kϭ

parcial n-ésima de la serie.

EJEMPLO 2 Una serie infinita

La sucesión de sumas parciales {Sn} para la serie g q 3 es
kϭ 110k

S1 3 0.3
10

S2 3 3 0.33
10 102

S3 3 3 3 0.333
10 102 103

o

3n

3 3 3 p 3 ⎞⎠⎪⎬⎪
10 102 103 10n
Sn 0.333 p 3

o

En el ejemplo 2, cuando n es muy grande, Sn dará una buena aproximación a 13, de modo que
parece razonable escribir

1 nlSímqSn lím n 3 q 3.
3 10k 10k
nSq a a

k1 k1

Esto lleva a la siguiente definición.

298 APÉNDICE Sucesiones y series

Definición A.3.1 Serie convergente

La serie infinita g q 1ak se dice que es convergente si su sucesión de sumas parciales
kϭ
n
{Sn} ϭ {g kϭ 1ak} converge; esto es,

n

nlSímqSn lím a ak S.

nSq k1

El número S se dice que es la suma de la serie. Si lím Sn no existe, entonces se dice que la

serie es divergente. nSq

EJEMPLO 3 Empleo de la sucesión de sumas parciales

q 1
4)(k
Demuestre que la serie a (k ϩ ϩ 5) es convergente.

kϭ1

Solución Por fracciones parciales el término general an de la serie puede escribirse como

an ϭ n 1 4 Ϫ n 1 5.
ϩ ϩ

De tal modo, la suma parcial n-ésima de la serie es

Sn c 1 1 d c 1 1 d c 1 1 d p cn 1 3 n 1 4d cn 1 4 n 1 5d
5 6 6 7 7 8

0

⎞
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎠

111111p 1 1 1 1

566778 n3n4n4n5

1 n 1 5.
5

De la última línea observamos que lím 1͞(n ϩ 5) ϭ 0, y por ello
nSq

nlSímqSn lím c 1 n 1 5d 1 0 15.
5 5
nSq

En consecuencia, la serie converge y se escribe

q (k ϩ 1 ϩ 5) ϭ 51.
4)(k
a

kϭ1

Serie telescópica Debido a la manera en la cual el término general de la sucesión de sumas
parciales “colapsa” hasta dos términos, la serie en el ejemplo 3 se dice que es una serie telescó-
pica. Vea los problemas 11-14 en los ejercicios A.3.

Serie geométrica Otro tipo de serie que puede probarse como convergente o divergente a
partir directamente de su sucesión de sumas parciales tiene la forma

q (2)

a ar ar2 p ar n 1 p a ar k 1,

k1

donde a 0 y r son números reales fijos. Una serie de la forma (2) se llama serie geométrica.
Advierta en (2) que cada término después del primero se obtiene al multiplicar el término pre-
cedente por r. El número r se denomina la razón común y, como se ve en el siguiente teorema,
su magnitud determina si una serie geométrica converge o diverge.

A.3 Series 299

Teorema A.3.1 Suma de una serie geométrica

i) Si 0 r 0 6 1, entonces una serie geométrica converge y su suma es

q 1 a r, a 0.

a ark 1

k1

ii) Si 0 r 0 Ն 1, entonces una serie geométrica diverge.

DEMOSTRACIÓN La prueba del teorema A.3.1 se dará en dos partes. En cada parte se supone
que a 0.

Empezaremos con el caso en el que 0 r 0 ϭ 1. Para r = 1, la serie es

q

aaϭaϩaϩaϩ p

kϭ1

na
⎞
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎠
y por ello la suma parcial n-ésima Sn ϭ a ϩ a ϩ p ϩ a es simplemente Sn = na. En este caso,
.
lím Sn = a lím n = q. De tal modo, la serie diverge. Para r = -1, la serie es

nSq nSq

q

a a(Ϫ1)kϪ1 ϭ a ϩ (Ϫa) ϩ a ϩ (Ϫa) ϩ p

kϭ1

y por ello la sucesión de sumas parciales es

S1, S2, S3, S4, S5, S6, p o a, 0, a, 0, a, 0, p ,

la cual es divergente,
Considere ahora el caso 0 r 0 1, el cual significa que 0 r 0 6 1 o 0 r 0 7 1. Considere el término

general de la sucesión de sumas parciales de (2):

Sn ϭ a ϩ ar ϩ ar2 ϩ p ϩ arnϪ1. (3)

Multiplicando ambos lados de (3) por r, se obtiene

rSn ϭ ar ϩ ar2 ϩ ar3 ϩ p ϩ arn. (4)

Después se resta (4) de (3) y se resuelve para Sn: r 1. (5)

Sn Ϫ rSn ϭ a Ϫ arn
(1 Ϫ r)Sn ϭ a(1 Ϫ rn)

a(1 Ϫ rn)
Sn ϭ 1 Ϫ r ,

Ahora, de acuerdo con el teorema A.1.3 sabemos que lím r n = 0 para 0 r 0 6 1. En consecuencia,
nSq

lím Sn lím a(1 rn) 1 a r, 0r 0 6 1.

nSq nSq 1 r

Si 0 r 0 7 1, entonces lím r n no existe y por ello el límite de (5) tampoco existe.
nSq

EJEMPLO 4 Serie geométrica

a) En la serie geométrica

q aϪ 1 kϪ1 ϭ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p
3 3 9 27
a b

kϭ1

se identifica a ϭ 1 y la razón común r ϭ Ϫ13. Puesto que 0r0 ϭ 0 Ϫ31 0 ϭ 1 6 1, la serie
3

converge. Del teorema A.3.1, la suma de la serie es entonces

q aϪ 1 kϪ1 ϭ 1 ϭ 3.
3 aϪ31 b 4
a b

kϭ1 1 Ϫ

300 APÉNDICE Sucesiones y series

b) La razón común en la serie geométrica

q 5 a 3 kϪ1 ϭ 5 ϩ 15 ϩ 45 ϩ 135 ϩ p
2 2 4 8
a b

kϭ1

es r ϭ 23. La serie diverge debido a r ϭ 3 7 1.
2

Todo número racional p͞q, donde p y q 0 son enteros, se puede expresar como un deci-

mal interrumpido o como un decimal repetido. De tal modo, la serie g q 1 3 en el ejemplo 1
kϭ 10k

converge puesto que es una serie geométrica con r ϭ 1 6 1. Con a ϭ 3 encontramos
10 10

33

q 3 ϭ 10 ϭ 10 ϭ 3 ϭ 1.
10k 9 9 3
a 1 Ϫ 1 10
10
kϭ1

En general:

• Todo decimal repetido es una serie geométrica convergente.

EJEMPLO 5 Número racional
Exprese el decimal repetido 0.121212 . . . como un cociente de enteros.

Solución Se escribe primero el número dado como una serie geométrica

0.121212 p 12 12 12 p

100 10 000 1 000 000

12 12 12 p
102 104 106

y se hacen las identificaciones a ϭ 12 y r ϭ 1 ϭ 1100. Por el teorema A.3.1, la serie converge
100 10 2
1
pues r ϭ 100 6 1 y su suma es

12 12

0.121212 p ϭ 100 ϭ 100 ϭ 12 ϭ 4.
99 99 33
1 Ϫ 1 100
100

EJEMPLO 6 Observación de una pelota que rebota

Si una pelota se deja caer desde una altura de s pies sobre el suelo, entonces el tiempo t que tarda

en llegar al suelo se relaciona con s por medio de s = 1 gt 2. En otras palabras, la pelota
2

tarda t ϭ 12s>g s para llegar al suelo. Suponga que la pelota rebota siempre hasta cierta frac-

ción fija b (0 6 b 6 1) de su altura previa. Encuentre una fórmula para el tiempo T que la pelo-

s ta tarda en llegar al reposo. Vea la FIGURA A.3.1.
␤s
␤( ␤s) Solución El tiempo para caer desde una altura de s pies hasta el suelo es: 12s>g; el tiempo
para ascender bs pies y después caer bs pies hasta el suelo es: 212bs>g; el tiempo para ascen-
FIGURA A.3.1 Pelota que rebota
del ejemplo 6 der b(bs) pies y después caer b(bs) pies hasta el suelo es 2 22b2s>g; y así sucesivamente. De
esta manera, el tiempo total T está dado por la serie infinita

T ϭ 12s>g ϩ 2 12bs>g ϩ 2 22b2s>g ϩ p ϩ 2 12bns>g ϩ p

q

ϭ 12s>g c 1 ϩ 2 a A 1b B k d .

kϭ1

Como 0 6 b 6 1, la serie g q A 1b B k es una serie geométrica convergente con a = 1b y
kϭ
1

r = 1b. En consecuencia, de acuerdo con el teorema A.3.1,

1b 1 1b
T 12s>g c 1 2 1b d o T 12s>g c 1b d .
Foto estroboscópica de una pelota 1 1
de basquetbol rebotando

A.3 Series 301

Serie armónica Una de las series más famosas es también un ejemplo de una serie divergen- Recuerde esta serie. Será
te. La serie armónica es la suma de los recíprocos de los enteros positivos: importante en las secciones
subsecuentes de este apéndice.
1 1 1 p 1 p q 1 . (6)
2 3 n k
a

k1

El término general de la sucesión de las sumas parciales para (6) está dado por

Sn 1 1 1 p 1.
2 3 n

De tal modo, S2n 1 1 1 p 1 1 1 p 1
2 3 n n1 n2 2n

Sn 1 1 p 1
n1 n2 2n

Sn 1 1 p 1 Sn n . 1 Sn 21.
2n 2n 2n 2n
⎞
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎠

términos de n 1
2n

La desigualdad S2n Ն Sn ϩ 1 implica que la sucesión de sumas parciales para la serie armónica
2

no está acotada. Para ver lo anterior, observe que

S2 Ն S1 ϩ 1 ϭ 1 ϩ 1 ϭ 3
2 2 2

S4 Ն S2 ϩ 1 Ն 3 ϩ 1 ϭ 2
2 2 2

S8 Ն S4 ϩ 1 Ն 2 ϩ 1 ϭ 5
2 2 2

S16 Ն S8 ϩ 1 Ն 5 ϩ 1 ϭ 3
2 2 2

y así sucesivamente. En consecuencia, se concluye que la serie armónica es divergente.

Una consecuencia de convergencia Si an y Sn son los términos generales de una serie y la
sucesión correspondiente de sumas parciales, respectivamente, entonces de la resta

Sn Ϫ SnϪ1 ϭ (a1 ϩ a2 ϩ p ϩ anϪ1 ϩ an) Ϫ (a1 ϩ a2 ϩ p ϩ anϪ1) ϭ an

vemos que an ϭ Sn Ϫ SnϪ1. En este caso, si la serie a ak converge a un número S, se tiene que

lím Sn = S y lím Sn-1 = S. Esto implica que

nSq nSq

nlSímqan lím (Sn Sn 1) S S 0.

nSq

Hemos establecido el siguiente teorema.

Teorema A.3.2 Condición necesaria para convergencia

Si la serie g q 1 ak converge, entonces lím an = 0.
kϭ
nSq

Prueba para una serie divergente El teorema A.3.2 establece simplemente que si una serie
infinita converge, es necesario que el término n-ésimo, o general, tienda a cero. De modo equi-
valente, se concluye:

• Si el n-ésimo término an de una serie infinita no tiende a cero cuando n S q, entonces
la serie no converge.

Formalizamos este resultado como una prueba para la divergencia.

302 APÉNDICE Sucesiones y series

Teorema A.3.3 Prueba del término n-ésimo para divergencia

Si lím an Z 0, entonces la serie g q 1 ak diverge.
kϭ
nSq

El teorema A.3.3 corrobora de inmediato la parte ii) de la prueba del teorema A.3.1, a saber,
q
una serie geométrica g kϭ 1ar kϪ1, a 0, diverge cuando r ϭ Ϯ1. Por ejemplo, cuando r ϭ 1,

lím ar n-1 = lím a Z 0.
nSq nSq

EJEMPLO 7 Serie divergente

a) Considere la serie q 4k Ϫ 13. De
5k ϩ
a

kϭ1

lím an lím 4n 1 4 1 4 0
5n 3 lím n 5
nSq nSq nSq 5 3
n

se concluye del teorema A.3.3 que la serie diverge.

b) Considere la serie

q

a (Ϫ1)kϪ1 ϭ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p .

kϭ1

Puesto que lím an = lím (-1)n-1 no existe, es posible afirmar que lím an Z 0.

nSq nSq nSq

¿La serie diverge por el teorema A.3.3?

En este momento se le recomienda leer (y recordar) iii) de las Notas desde el aula. Se enun-
cian los siguientes tres teoremas sin demostración.

Teorema A.3.4 Múltiplo constante de una serie

Si c es cualquier constante distinta de cero, entonces las series g q 1ak y g q convergen
kϭ
kϭ1cak

ambas o divergen ambas.

Teorema A.3.5 Suma de dos series convergentes

Si g q 1ak y g q 1bk convergen a S1 y S2, respectivamente, entonces
kϭ kϭ

i) g q 1 (ak ϩ bk) converge a S1 ϩ S2, y
kϭ

ii) g q 1 (ak Ϫ bk) converge a S1 Ϫ S2.
kϭ

El teorema A.3.5 indica que cuando g q 1ak y g q 1bk convergen, entonces
kϭ kϭ

q qq

a (ak Ϯ bk) ϭ a ak Ϯ a bk.

kϭ1 kϭ1 kϭ1

Teorema A.3.6 Suma de una serie convergente y una divergente

Si g q converge y g q 1bk diverge, entonces g kqϭ1(ak ϩ bk) diverge.
kϭ
k ϭ 1ak

A.3 Series 303

EJEMPLO 8 Suma de dos series convergentes

Con la ayuda del teorema A.3.1, se observa que las series geométricas g q 1A 1 B k 1 y g q 1A 1 B k 1
k 2 k 3

convergen a 2 y 32, respectivamente. En consecuencia, del teorema A.3.5, la serie
g kqϭ1΄A12B kϪ1 Ϫ A13BkϪ1΅ converge y

q c a 1 kϪ1 Ϫ a 1 kϪ1 d ϭ q a 1 kϪ1 Ϫ q a 1 kϪ1 ϭ 2 Ϫ 3 ϭ 21.
2 3 2 3 2
a b b a b a b

kϭ1 kϭ1 kϭ1

EJEMPLO 9 Suma de dos series

q 1 q1
4)(k
Del ejemplo 3 se sabe que a (k ϩ ϩ 5) converge. Puesto que a k es la serie armónica

kϭ1 kϭ1

divergente, se sigue del teorema A.3.6 que la serie

q c (k ϩ 1 ϩ 5) ϩ 1 d
4)(k k
a

kϭ1

diverge.

g NOTAS DESDE EL AULA

i) El término n-ésimo de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica a menudo se
n
denota mediante Hn ϭ g kϭ 1(1>k). Los términos de la sucesión H1 ϭ 1, H2 ϭ 23,

H3 ϭ 161, p se denominan números armónicos. Vea el problema 71 en los ejercicios A.3.

ii) Cuando se escribe en términos de notación de sumatoria, una serie geométrica quizá no

se reconozca de inmediato, o si lo es, los valores de a y r tal vez no sean manifiestos.
4 A21B nϩ2
Por ejemplo, para ver si g q 3 es una serie geométrica es buena idea escribir dos
nϭ

o tres términos:

a ar ar2

q 1 n 2 1∂ 5 1 6 1 7 p.
2 2 ∂ 4 2
a 4 a b 4 a ∂b4ab4ab
∂
n3 ∂

Del lado derecho de la última igualdad, es posible hacer las identificaciones a = 4A21B5 y

r = 1 6 1. En consecuencia, la suma de la serie es 4 A21B5 ϭ 41. Si se desea, aunque no hay
2
1 Ϫ 1
2

una necesidad real para hacer esto, puede expresarse g q 3 4A12B nϩ2 en la forma más fa-
nϭ

miliar g q 1ar kϪ1 haciendo k ϭ n Ϫ 2. El resultado es
kϭ

a rk 1

q 1 n 2 q 1 k 4 q 1 5 1 k 1
2 2 2 2
a 4 a b a 4 a b a 4 a ba b .

n3 k1 k1

iii) Observe con cuidado cómo se enuncian los teoremas A.3.2 y A.3.3. En específico, el teo-

rema A.3.3 no dice si lím an = 0, entonces g ak converge. En otras palabras, lím an = 0

nSq nSq

no es suficiente para garantizar que g ak converge. lDaesehreiechaor,msóinnilcSímaqgankqϭ=1(01,>kla), serie
puede ser convergente o divergente. Por ejemplo, en an =

1͞n y lím (1͞n) = 0, pero la serie diverge.
nSq

304 APÉNDICE Sucesiones y series

iv) Cuando se determina la convergencia, es posible, y algunas veces conveniente, borrar o

ignorar varios de los primeros términos de la serie. En otras palabras, las series infinitas
q
g kϭ 1 ak y g q ak, N 7 1 difieren a lo sumo por un número finito de términos y son ambas
k=N

convergentes o ambas divergentes. Desde luego, eliminar los primeros N - 1 términos de

una serie convergente suele no afectar la suma de la serie.

PROBLEMAS A.3 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.

Fundamentos En los problemas 31 y 32, encuentre la suma de las series

En los problemas 1-10, escriba los primeros cuatro términos dadas.
de cada serie.
31. q c a 1 kϪ1 ϩ a 1 kϪ1 d 32. q 2k Ϫ 1
3 4 a
a b b 4k
kϭ1
q 2k ϩ 1 q 2k kϭ1

1. a k 2. a k En los problemas 33-42, muestre que la serie dada es diver-

kϭ1 kϭ1 gente.

3. q (Ϫ1)kϪ1 q (Ϫ1)kϩ1 qq
4. a
a k(k ϩ 1) kϭ1 k3k 33. a 10 34. a (5k ϩ 1)
kϭ1 kϭ1
kϭ1

5. q nϩ1 6. q (2n)! qk q k2 ϩ 1

a n! a n2 ϩ 1 35. a 2k ϩ 1 36. a k2 ϩ 2k ϩ 3

nϭ0 nϭ1 kϭ1 kϭ1

7. q 2 . 4 . 6 p (2m) q 1 . 3 . 5 p (2m Ϫ 1) q q k
8. a 38. lna3k ϩ 1b
a 1 . 3 . 5 p (2m Ϫ 1) mϭ1 m! 37. a (Ϫ1)k a
kϭ1
mϭ1 kϭ1

q cos jp q ip q 10 q1
9. 10. a i sen 39. 40.
a 2j 1 2 a k a 6k
i5
j3 kϭ1 kϭ1

En los problemas 11-14, proceda como en el ejemplo 3 para 41. q c 1 ϩ 1 d 42. q k sen 1
encontrar la suma de la serie telescópica dada. 2kϪ1 k k
a a

kϭ1 k1

q1 q1 En los problemas 43-46, determine los valores de x para los

11. a k(k ϩ 1) 12. a (k ϩ 1)(k ϩ 2) cuales la serie dada converge.

kϭ1 kϭ1 q x kϪ1 q 1 kϪ1
2 x
13. q1 14. q1 43. a a b 44. a a b

a 4k2 Ϫ 1 a k2 ϩ 7k ϩ 12 kϭ1 kϭ1

kϭ1 kϭ1 q q

En los problemas 15-24, determine si la serie geométrica dada 45. a (x ϩ 1)k 46. a 2kx2k
converge o diverge. Si es convergente, encuentre la suma de kϭ1 kϭ0
la serie.
Aplicaciones

q 1 kϪ1 q 3 kϪ1 47. Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15 pies
5 4
15. a 3a b 16. a 10a b sobre una plancha de concreto. Cada vez que la pelota

kϭ1 kϭ1 rebota, alcanza una altura de 2 de su altura precedente.
3
q (Ϫ1)kϪ1 q kϪ1
17. 18. pk a 1 Recurra a la serie geométrica para determinar la distancia
a a 3 b
2kϪ1 que la pelota recorre antes de quedar en reposo.
kϭ1 kϭ1

q q 48. En el problema 47 determine el tiempo que tarda la pelo-

19. a 5r4Ϫr 20. a (Ϫ3)s7Ϫs ta en llegar al reposo.
rϭ1 sϭ1
49. Para erradicar plagas agrícolas (como la mosca de la
q q (1.1)n
22. fruta), se liberan moscas macho esterilizadas dentro de
21. a 1 000(0.9)n a 1 000
n1 la población general en intervalos de tiempo regulares.
n1

23. q1 24. q a 15 k Considere que N0 es el número de moscas liberadas cada
a 1 día y que s es la proporción de las que sobreviven en un
A13 Ϫ 12 B k a ϩ 15 b
kϭ0
kϭ0

En los problemas 25-30, escriba cada número decimal que se día determinado. De los N0 machos esterilizados origina-
repite como un cociente de enteros. les, N0sn sobrevivirán en n semanas sucesivas. En conse-

cuencia, el número total de tales machos que sobreviven

25. 0.222 p 26. 0.555 p n semanas después de que se ha iniciado el programa es

27. 0.616161 p 28. 0.393939 p N0 ϩ N0s ϩ N0s2 ϩ p ϩ N0sn. ¿A qué se aproxima esta
suma cuando n S q? Suponga s = 0.9 y que se necesi-

29. 1.314314 p 30. 0.5262626 p tan 10 000 machos esterilizados para controlar la pobla-

A.3 Series 305

ción en cierta área. Determine el número de moscas 60. Muestre que si lím f (n ϩ 1) ϭ L, donde L es un núme-
macho que debe ser liberado cada día. nSq
50. En algunas circunstancias la cantidad de un fármaco que se q
acumularía en el cuerpo de un paciente después de un largo ro, entonces a [ f (k ϩ 1) Ϫ f(k)] ϭ L Ϫ f (1).
periodo es A0 ϩ A0eϪk ϩ A0eϪ2k ϩ p , donde k 7 0 es kϭ1
una constante y A0 es la dosis diaria del fármaco. Encuentre
la suma de la serie. 61. Determine si q a n 1 b converge o diverge.
51. Un paciente toma 15 mg de un fármaco diariamente. Si a k
80% del fármaco acumulado se excreta cada día median- nϭ1 a
te las funciones corporales, ¿qué cantidad del fármaco se kϭ1
acumulará después de un largo periodo, esto es, cuando
n S q? (Suponga que la medición de la acumulación se 62. Muestre que la serie q1 es divergente demostrando
hace inmediatamente después de cada dosis. Vea el pro- a
blema 69 en los ejercicios A.1.) kϭ1 1k
52. Se aplica una fuerza a una partícula, que se mueve en una
línea recta, de tal manera que después de cada segundo la que Sn Ն 1n.
partícula sólo se mueve la mitad de la distancia que re-
corrió en el segundo anterior. Si la partícula se mueve 20 63. Vimos que la serie armónica q1 diverge puesto que el
cm en el primer segundo, ¿cuánto se desplazará? a
kϭ1 k

término general Sn de la sucesión de sumas parciales

puede hacerse tan grande como se quiera tomando a n lo

suficientemente grande (Sn S q cuando n S q). No
obstante, la serie armónica diverge muy lentamente.

a) Use la gráfica de f(x) ϭ 1>x para x Ն 1 a fin de esta-

blecer la desigualdad

ln(n 1) 6 1 1 1 1 p 1 6 1 ln n.
2 3 4 n

Piense en ello b) Emplee una calculadora y la desigualdad del inciso a)

53. Suponga que la sucesión {an} converge a un número para estimar el valor de n para el cual Sn Ն 10. Estime
q el valor de n para el cual Sn Ն 100.
L 0. Explique por qué la serie g kϭ 1ak diverge.
64. En el problema 77 en los ejercicios A.1 se consideraron
54. Determine si la serie
los perímetros de las regiones acotadas por las curvas de
1 1 1
1.1 ϩ 1.11 ϩ 1.111 ϩ p Koch que se muestran en la figura A.1.5. En el inciso c)

converge o diverge. del problema usted debe haber demostrado que el perí-
55. Determine si la suma de dos series divergentes es necesa-
metro de la región límite es infinito. En este problema se
riamente divergente.
consideran las áreas de las figuras sucesivas. Considere

56. Considere la serie q1 . Puesto que k2 ϭ k . k, la n-ésima que el área de la primera figura es A1, el área de la segun-
kaϭ1k2 da figura A2, y así en lo sucesivo.

a) Utilizando el hecho de que el área de un triángulo

suma parcial de la serie es equilátero con lados de longitud s es 1 13s2, encuen-
4

Sn ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p ϩ 1 n. tre los valores de A1, A2, A3 y A4.
1.1 2.2 3.3 .
n b) Demuestre que el área de la figura n-ésima es

Explique por qué las siguientes desigualdades son ciertas An ϭ 1 23 c 8 Ϫ 3a 4 nϪ1 d .
y por qué pueden usarse para demostrar que una serie 20 9
dada converge: b

1 1 1 c) ¿Cuál es lím An?
1.2 2.3 Ϫ 1) . n
0 Sn 1 ϩ ϩ ϩ p ϩ nSq

6 6 (n

o Proyectos

65. Un poco de historia: Muerte por pan En 1972, un

0 6 Sn 6 1 ϩ a 1 Ϫ 1 b ϩ a 1 Ϫ 1 b ϩ p ϩ an 1 Ϫ 1 b. brote de envenenamiento por metilmercurio en Irak pro-
1 2 2 3 Ϫ n
1 dujo 459 muertes entre 6 530 casos

57. Encuentre la suma de la serie de envenenados admitidos en hos-

1 ϩ 9 1 ϩ 27 1 ϩ 81 pitales. El brote epidémico fue pro-
25 125 625
ϩ ϩ ϩ p . vocado por el consumo de pan

casero preparado a partir de trigo

58. Encuentre la suma de la serie Pan casero que había sido tratado con un fun-

Ύq kϩ1 gicida de metilmercurio. Los primeros síntomas de pares-

a a xeϪx dxb. tesia (pérdida de sensaciones en la boca, manos y pies)

kϭ1 k empezaron a ocurrir cuando el nivel acumulado de mer-

curio alcanzó 25 mg. Los síntomas de ataxia (pérdida de

59. Encuentre todos los valores de x en (Ϫp>2, p>2) para los coordinación al andar) iniciaron con 55 mg, la disartria

cuales n (arrastrar las palabras) con 90 mg y la sordera con 170

lím a 1 a tan k xb 0. mg. La muerte se volvió una posibilidad cuando el nivel
tan x
nSq 1 k0 de mercurio acumulado superó 200 mg. Se estimó que

306 APÉNDICE Sucesiones y series

una barra de pan típica elaborada a partir de trigo conta- L4 yL3 L2

minado contenía 1.4 mg de mercurio, y también que el

cuerpo elimina sólo alrededor de 0.9% del mercurio acu- P3 P2
P4 L1
mulado diariamente. B L5
2 P1 L6 P5 P1
a) Suponga que una persona recibió una dosis d de mer- P6
1 A x L0
curio al día, y que el cuerpo eliminó una fracción p

del mercurio acumulado diariamente. Encuentre una

fórmula para Ln, el nivel acumulado después de comer P3 L7 L11
en el n-ésimo día, y una fórmula para el nivel límite,

lím Ln. P5

nSq A P2 P4 P6 C
a) Trayectoria en zigzag
b) Empleando d ϭ 1.4 y p ϭ 0.009, encuentre el valor L8 L10
L9
límite del mercurio y determine qué día empezaron a
b) Trayectoria poligonal
ocurrir los diversos síntomas.

c) ¿Cuál sería la dosis diaria para que la muerte fuera FIGURA A.3.3 Trayectorias en zigzag y poligonal de los problemas 68 y 69

posible en el día 100? (Utilice p ϭ 0.009.) 69. Longitud de una trayectoria poligonal En la figura

66. Un poco de historia: La paradoja de Zenón El filóso- A.3.3b), hay doce rayos que emanan del origen y el ángu-

fo griego Zenón de Elea (c. 490 a.C.) fue discípulo del lo entre cada par de rayos consecutivos es 30°. El seg-

filósofo presocrático Parménides, que afirmaba que el mento de recta AP1 es perpendicular al rayo L1, el seg-
mento de recta P1P2 es perpendicular al rayo L2, y así en
cambio o el movimiento era una ilusión. De las parado- lo sucesivo. Encuentre la longitud de la trayectoria poli-

jas de Zenón que apoyaban esta filosofía, la más famosa

es su argumento acerca de que Aquiles, conocido por su gonal AP1P2P3 . . .
70. Una integral impropia En un curso de cálculo integral
habilidad de correr rápido, no podría superar a una tortu-

ga en movimiento. La forma usual de la historia es como se plantea la pregunta de si f(x) S 0 cuando x S q es un

se narra a continuación:

Aquiles empieza desde el punto S, y exactamente en el mismo requisito necesario para la convergencia de una integral
instante una tortuga empieza desde un punto A adelante de S.
Después de cierta cantidad de tiempo, Aquiles alcanza el impropia ͐qf(x) dx. A continuación se presenta la res-
punto de inicio A de la tortuga, pero durante este tiempo la a
tortuga ha avanzado a un nuevo punto B. Durante el tiempo puesta. Observe que la función f cuya grafica está dada
que tarda Aquiles en alcanzar B, la tortuga se ha movido hacia
delante otra vez hasta un nuevo punto C. Al continuar de esta en la FIGURA A.3.4 no se aproxima a 0 cuando x S q.
manera, eternamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga. Demuestre que ͐0qf(x) dx converge.

y
1

Vea la FIGURA A.3.2. Utilice una serie infinita para resolver y ϭ ƒ(x)
esta aparente paradoja. Suponga que cada uno se mueve
con una velocidad constante. Ayudaría inventar valores ……
razonables para ubicar en el inicio la cabeza de la tortu-
ga y para las dos velocidades. 1 1 37 29 23 3 25 x
2 24 4 n
88

FIGURA A.3.4 Gráfica del problema 70

S A BC 71. Un problema de apilamiento Tómese su tiempo para
FIGURA A.3.2 Aquiles y la tortuga en el problema 66 hacer su tarea y efectúe un experimento. Necesitará un
suministro de n objetos rectangulares idénticos, por
67. Números primos Escriba un breve informe en el cual ejemplo, libros, aunque también pueden ser tableros, car-
defina un número primo. Incluya en el informe una tas, fichas de dominó, etcétera. Suponga que la longitud
demostración acerca de si la serie de los recíprocos de de cada libro es L. A continuación encontrará un enuncia-
primos, do burdo del problema:

q 1 ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p ¿Qué tanto puede sobresalir una pila de n libros colocada
pn 2 3 5 7 11 sobre el borde de una mesa sin que se caiga?
a
Intuitivamente la pila no caerá siempre que su centro de
nϭ1 masa permanezca por arriba de la cubierta de la mesa.
Empleando la regla de apilamiento que se ilustra en la
converge o diverge. FIGURA A.3.5, observe que lo que sobresale del libro mos-
68. Longitud de una trayectoria en zigzag En la FIGURA trado en la figura A.3.5a) alcanza su máximo d1 ϭ L>2
cuando su centro de masa está ubicado directamente en el
A.3.3a), el triángulo ABC es un triángulo recto isósceles. El borde de la mesa.
a) Calcule las distancias que sobresalen los libros d2, d3
segmento de línea AP1 es perpendicular a BC, el segmen-
to de línea P1P2 es perpendicular a AC, y así en lo suce- y d4 del borde de la mesa para la pila de libros de la
sivo. Encuentre la longitud de la trayectoria en zigzag figura A.3.5b), A.3.5c) y A.3.5d), respectivamente.

AP1P2P3 . . .

A.4 Prueba de la integral 307

d1 d2 L>2(n Ϫ 2), y así en lo sucesivo. Encuentre una
fórmula para dn, lo que sobresalen n libros desde el
L borde de la mesa. Demuestre que el centro de masa de
L L2 la pila de n libros está en el borde de la mesa.
24 d) Utilice la fórmula dn para encontrar la distancia que
sobresale un libro en el inciso c) y encuentre el valor
a) n ϭ 1 b) n ϭ 2 más pequeño de n de manera que lo que sobresalen n
libros apilados en la manera descrita en el inciso c) es
d3 d4 mayor que el doble de la longitud de un libro.
e) En teoría, utilizando la regla de apilamiento del inci-
L L L L L so c), ¿hay alguna limitación acerca del número de
L4 2 L6 2 libros en una pila?
6 4
72. Un clásico matemático: Los trenes y la mosca En un
8 tiempo específico dos trenes T1 y T2, separados por 20
millas sobre el mismo riel, inician un curso de choque a
c) n ϭ 3 d) n ϭ 4 una velocidad de 10 mph. Suponga que en el preciso ins-
tante en que parten los trenes, una mosca sale del frente
FIGURA A.3.5 Método de apilamiento de libros del problema 71 del tren T1, vuela a una velocidad de 20 mph en línea
recta hacia el frente del motor del tren T2, después vuela
Luego demuestre que el centro de masa de cada pila de regreso hacia T1 a 20 mph, después regresa a T2, y así
está en el borde de la mesa. [Sugerencia: Para n libros en lo sucesivo. Recurra a una serie geométrica para
ponga el eje x a lo largo de la cubierta horizontal de la encontrar la distancia total recorrida por la mosca cuando
mesa con el origen O en el borde izquierdo del primer los trenes chocan (y la mosca es aplastada). Después use
libro, o del fondo, en la pila.] el sentido común para determinar la distancia total que
b) ¿Qué indica el valor de d4 en el inciso a) acerca del vuela la mosca. Vea la FIGURA A.3.6.
cuarto libro, o superior, en la pila?
c) Siguiendo el patrón de apilamiento que se indica en la FIGURA A.3.6 Trenes y mosca en el problema 72
figura A.3.5, para n libros la parte que sobresale del
primer libro desde el borde de la mesa sería L͞2n, lo
que sobresale del segundo libro desde el borde del pri-
mer libro sería L>2(n Ϫ 1), lo que sobresale del tercer
libro desde el borde del segundo correspondería a

A.4 Prueba de la integral

Introducción A menos que g q 1ak sea una serie telescópica o una serie geométrica, es una
kϭ

tarea difícil, si no inútil, demostrar la convergencia o divergencia directamente de la sucesión de

sumas parciales. Sin embargo, suele ser posible determinar si una serie converge o diverge por

medio de una prueba que utiliza sólo los términos de la serie. En ésta y en las dos secciones que

siguen se examinarán cinco de tales pruebas que son aplicables a series infinitas de términos

positivos.

Prueba de la integral La primera prueba que se considerará relaciona los conceptos de con-
vergencia y divergencia de una integral impropia con la convergencia y divergencia de una serie
infinita.

Teorema A.4.1 Prueba de la integral

Suponga que g q es una serie de términos positivos y f es una función continua que es no

k ϭ 1ak

negativa y decreciente sobre [ 1, q) tal que f (k) = ak para k 1.

i) Si ͐1q f(x) dx converge, entonces g q 1ak converge.
kϭ

ii) Si ͐1q f(x) dx diverge, entonces g q 1ak diverge.
kϭ

308 APÉNDICE Sucesiones y series

y y ϭ ƒ(x) DEMOSTRACIÓN Si la grafica de f está dada como en la FIGURA A.4.1, entonces considerando
las áreas de los rectángulos que se muestran en la figura, observamos que
área ϭ a2 . 1
área ϭ a3 . 1 Ύn
área ϭ an . 1
0 Յ a2 ϩ a3 ϩ a4 ϩ p ϩ an Յ f(x) dx Յ a1 ϩ a2 ϩ a3 ϩ p ϩ anϪ1
a2 a3 an x
1 2 3 ... n 1

a) Ύn

o Sn Ϫ a1 Յ f(x) dx Յ SnϪ1.

1

De la desigualdad Sn Ϫ a1 Յ ͐ n f(x) dx, es claro que lím Sn existe siempre que exista
1 SnϪ1 Ն ͐1n concluimos que
nSq
lím μ1nf (x) dx. Por otro lado, de la desigualdad f (x) dx, lím Sn-1 no
que ͐1q f(x) dx
nSq diverja. nSq
existe siempre
y y ϭ ƒ(x)
área ϭ a1 . 1

área ϭ a2 . 1 EJEMPLO 1 Empleo de la prueba de la integral

área ϭ an Ϫ 1 . 1 Demuestre la convergencia de q 1 1 k2.
ϩ
a

kϭ1

a1 a2 anϪ1 Solución La función f(x) ϭ 1>(1 ϩ x2) es continua, no negativa y decreciente para x Ն 1 tal

1 2 3 . . .nϪ1 n x que f (k) = ak para k 1. De
q 1 dx
b) 1 1 x2

FIGURA A.4.1 Rectángulos en la b 1 dx
prueba del teorema A.4.1
lím
bSq 1 1 x2

b

lím tan 1x d
bSq
1

lím Atan 1b tan 11B d tan 11 p>4

bSq

lím atan 1b p b d vea la figura 2.5.15
4
bSq

ppp
244

es claro que la integral impropia es convergente. Del teorema A.4.1i) se concluye que la serie
dada también converge.

En la prueba de la integral, si la serie de términos positivos es de la forma g q N ak, usamos
kϭ

entonces

q

f(x) dx donde f(k) ak.

N

EJEMPLO 2 Empleo de la prueba de la integral

Pruebe la convergencia de q ln k.
k
a

k3

f ¿(x) 6 0 sobre el intervalo Solución La función f(x) ϭ (lnx)>x satisface la hipótesis de la prueba de la integral sobre el
[3, q). intervalo [3, q). En este caso,

q ln x b ln x
x x
dx lím dx

3 bSq 3

lím 1 (ln x)2 d b
2 3
bSq

[lím 1 (ln b)2 (ln 3)2] q
2
bSq

muestra que la integral impropia diverge. Se concluye del teorema A.4.1ii) que la serie dada tam-
bién diverge.

Serie p La prueba de la integral es particularmente útil en cualquier serie de la forma

q1 1 1 1 p, (1)
a 2p 3p
kp
k1

A.4 Prueba de la integral 309

donde p es cualquier número real fijo. La serie infinita (1) se conoce como la serie p o hiperar-
mónica. El siguiente teorema indica los valores de p para los cuales converge (diverge) la serie p.

Teorema A.4.2 Convergencia de la serie p

La serie p q 1 converge si p 7 1 y diverge si p Յ 1.
kp
a

kϭ1

DEMOSTRACIÓN Se distinguen cuatro casos: p 7 1, p = 1, 0 6 p 6 1 y p Յ 0. En el primero y
tercer casos usamos la prueba de la integral con f(x) ϭ 1>xp ϭ xϪp.

i) Si p 7 1, entonces p Ϫ 1 7 0 y por ello

q lím xp 1b 1 lím c 1 1d 1 1 p [0 1] 1.
p p1
x p dx bSq 1d1 1 p bSq b p 1

1

La serie p es convergente por el teorema A.4.1i).
ii) Si p ϭ 1, entonces se reconoce a la serie p como la serie armónica divergente.
iii) Si 0 6 p 6 1, entonces Ϫp ϩ 1 7 0 y por ello

q lím xp 1b 1 lím [b p 1 1] q.
p
x pdx bSq 1d1 1 p bSq

1

La serie p es divergente por el teorema A.4.1ii).
iv) Por último, si p Յ 0, entonces Ϫp Ն 0 y así lím (1͞n p) = lím n -p Z 0. La serie p es diver-

gente por la prueba del término n-ésimo, teonreSmqa A.3.3. nSq

EJEMPLO 3 Serie p

a) Del teorema A.4.2, la serie p q 1 ϭ q1 diverge, ya que p ϭ 1 6 1.
1k a 2
a k1>2
kϭ1
kϭ1

b) Del teorema A.4.2, la serie p q 1 converge, ya que p ϭ2 7 1.
k2
a

kϭ1

g NOTAS DESDE EL AULA

i) Cuando se aplica la prueba de la integral, es necesario tener la seguridad de que el valor

de la integral impropia convergente ͐1qf(x) dx no se relaciona con la suma real de la serie
infinita correspondiente. De tal modo, la serie en el ejemplo 1 no converge a p>4. Vea el

problema 36 en los ejercicios A.4. q
kϭ
ii) Los resultados de la prueba de la integral para g n ak se cumplen incluso si la función

no negativa continua f no empieza a decrecer hasta que x Ն N Ն n. Para la serie

g q (ln k)͞k la función f (x) = (ln x)>x disminuye sobre el intervalo [3, q). De cualquier
k=1

manera, en la prueba de la integral es posible utilizar ͐1q(ln x dx)>x.

PROBLEMAS A.4 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.

Fundamentos 3. 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p
212 313
En los problemas 1-30, determine si la serie dada converge o
diverge. Recurra a la prueba de la integral en los casos en que 4. 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p
sea apropiado. 100 10012 10013

1. q1 2. q1
a a
k1.1 k 0.99
kϭ1 kϭ1

310 APÉNDICE Sucesiones y series

5. q1 6. qk Piense en ello
a a
2k 7 3k 1 37. Determine los valores de p para los cuales la serie
k1 k1
q
7. q 1 8. qk
5k2 a a kp ln k
a k2 5
k 11 k3 k2

q 10. q e1>k es convergente.
a
9. a ke k2 k2 38. Suponga que f es una función continua que es positiva y
k1 decreciente para x Ն 1 tal que f(k) ϭ ak para k Ն 1.
k1 Demuestre que

qk q

11. a ek 12. a k2e k

k1 k2

13. q1 14. qk Ύ Ύnϩ1 n n
a a
k ln k ln k f(x) dx Յ a ak Յ a1 ϩ f(x) dx.
k2 k2

15. q 10 16. q1 1 kϭ1 1

a k(ln k)2 a k1ln k 39. Demuestre que

k2 k2

q arctan k q k
k4
17. a 18. a p q 1 1 p4 .
4 ϩ 2
k1 1 k2 k1 1 Յ a 1 k2 Յ ϩ

q1 q 1 kϭ1

19. a 11 k 20. a 40. Se demostró que la serie armónica g q 1(1>k) es diver-
k 1 21 k2 kϭ
k1

qn q 1 gente debido a que la sucesión de sumas parciales diver-
1)3>2
21. a (n2 1)3 22. a (4n ge. Recuerde que Sn ϭ g n ϭ 1(1> k) S q cuando n S q.
k
n1 n2

23. q k sen a 1 b q 1 kb a) Use el resultado del problema 38 para estimar la suma
k 3
a 24. a lna1 de los primeros 10 mil millones de términos de la

k1 k1 serie armónica.

25. q1 26. q 2k 1 b) ¿Cuántos términos de la serie armónica son necesa-
a a 1)
k(k 1) k(k rios para garantizar que Sn Ն 100?
k1 k1

q 1 q1
1)(k
27. a (k 2) 28. a k(k2 1) 41. Deje que S denote la suma de la serie de términos positi-

k1 k1 vos g q 1ak y Sn el término general en su sucesión de
kϭ
q 2 q1
ek
29. a ek 30. a 2e3k sumas parciales. Defina el residuo, o el error, que se

k1 k0 efectúa cuando Sn se aproxima a S, como

En los problemas 31-34, sin hacer ningún trabajo determine si Rn ϭ S Ϫ Sn ϭ anϩ1 ϩ anϩ2 ϩ anϩ3 ϩ p .
la serie dada converge o diverge. Enuncie sus razones.
Suponga que f es una función continua que es positiva y
31. q a 2 ϩ 3 b q
k k2 decreciente para x Ն 1 tal que f (k) ϭ ak para k Ն 1 y que
a 32. a a5kϪ1.6 Ϫ 10kϪ1.1b ͐1qf(x) dx converge. Demuestre que

kϭ1 kϭ1

33. q a 1 ϩ 1 b 34. q 1 ϩ 4 1k qq
k2 2k a
a k2 Ύ Ύf(x) dx Յ Rn Յ f(x) dx.
kϭ1
kϭ1 nϩ1 n

En los problemas 35 y 36, determine los valores de p para los 42. La suma S de la serie p convergente g q 1(1>k 2) se sabe
cuales la serie dada converge. kϭ
que es igual a p2>6. Recurra al problema 41 para deter-
q1 q1
35. a 36. a minar n de manera que Sn dará una aproximación a S que

k2 k(ln k)p k3 k ln k[ln (ln k) ] p es exacta hasta tres lugares decimales.

A.5 Pruebas de comparación

Introducción A menudo es posible determinar la convergencia o divergencia de una serie de
términos positivos g ak comparando sus términos con los términos de una serie de prueba g bk
que se sabe que es convergente o divergente. En esta sección se considerarán dos pruebas de
comparación para la convergencia y la divergencia.

Prueba de comparación directa La demostración de la siguiente prueba utilizará dos propie-
dades importantes de las sucesiones. Recuerde de la sección A.2 que si una sucesión está acota-
da y es monótona debe converger. También que si los términos de una sucesión se vuelven no
acotados entonces ésta diverge. Aplicamos estos resultados a la sucesión de sumas parciales de
una serie.

A.5 Pruebas de comparación 311

Teorema A.5.1 Prueba de comparación directa

Suponga que g q 1ak y g q 1bk son series de términos positivos.
kϭ kϭ

i) Si g q 1bk converge y ak Յ bk para todo entero positivo k, entonces g q 1ak converge.
kϭ kϭ

ii) Si g q 1bk diverge y ak Ն bk para todo entero positivo k, entonces g q 1ak diverge.
kϭ kϭ

DEMOSTRACIÓN Sea ak 7 0 y bk 7 0 para k ϭ 1, 2, . . . y considere que

Sn ϭ a1 ϩ a2 ϩ p ϩ an y Tn ϭ b1 ϩ b2 ϩ p ϩ bn

son los términos generales de las sucesiones de sumas parciales para g ak y g bk, respectivamente.

i) Si g bk es una serie convergente para la cual ak Յ bk, entonces Sn Յ Tn. Puesto que lím Tn

nSq
existe, {Sn} es una sucesión creciente acotada y, en consecuencia, convergente por el teore-

ma A.2.1. Por tanto, g ak es convergente.

ii) Si g bk diverge y ak 7 bk, entonces Sn 7 Tn. Puesto que Tn aumenta sin cota, así lo hace Sn.

Por consiguiente, g ak es divergente.

En general, si g ck y g dk son dos series para las cuales ck Յ dk para toda k, se afirma que la
serie g ck está dominada por la serie g dk. De tal modo que para series de términos positivos, los
incisos i) y ii) del teorema A.5.1 pueden reenunciarse de la siguiente manera:

• Una serie g ak es convergente si está dominada por una serie convergente g bk.
• Una serie g ak diverge si domina a una serie divergente g bk.

Los siguientes dos ejemplos ilustran el método. Desde luego, no señalan que para recurrir a las Sería buena idea en este punto
series de prueba g bk es necesario estar familiarizado con algunas series que convergen y con revisar la noción de serie p en la
algunas que divergen. sección A.4.

EJEMPLO 1 Empleo de la prueba de comparación directa

Pruebe la convergencia de q k3 k .
ϩ 4
a

kϭ1

Solución Se observa que al reducirse el denominador en los términos generales se obtiene una
fracción mayor:

k3 k 4 Յ k ϭ k12.
ϩ k3

Debido a que la serie dada es dominada por una serie p convergente g q 1(1> k 2), se concluye del
kϭ

teorema A.5.1i) que la serie dada también es convergente.

EJEMPLO 2 Uso de la prueba de comparación directa

Pruebe la convergencia de q ln (k ϩ 2) .
k
a

kϭ1

Solución Puesto que ln (k + 2) 7 1 para k Ն1, se tiene

ln(k ϩ 2) 7 1.
kk

En este caso se ha demostrado que la serie dada domina a la serie armónica divergente
q
g kϭ 1(1> k). En consecuencia, por el teorema A.5.1ii) la serie dada diverge.

312 APÉNDICE Sucesiones y series

Prueba de comparación del límite Otro tipo de prueba de comparación implica tomar el
límite del cociente entre el término general de la serie g ak y el término general de la serie de
prueba g bk que se sabe que es convergente o divergente.

Teorema A.5.2 Prueba de comparación del límite

Suponga que g q 1ak y g q 1bk son series de términos positivos. Si
kϭ kϭ

lím an L,
bn
nSq

donde L es finita y L 7 0, entonces las dos series son ya sea ambas convergentes o ambas
divergentes.

DEMOSTRACIÓN Puesto que lím an͞bn = L 7 0, es posible elegir n tan grande, como n Ն N

nSq
para algún entero positivo N, que

1 L Յ an Յ 3 L.
2 bn 2

Puesto que an 7 0, la desigualdad implica que an Յ 3 Lbn para n Ն N. Si g q 1bk converge, se
2 kϭ
q q
concluye de la prueba de comparación directa que g kϭ 1ak y, en consecuencia, g kϭ 1ak es con-

vergente. Además, puesto que 21Lbn Յ an para n N, se observa que si g q 1bk diverge, entonces
kϭ
q q
g kϭ 1ak y g kϭ 1ak divergen.

La prueba de comparación del límite es aplicable a menudo a series g ak para las cuales no
es conveniente la prueba de comparación directa.

EJEMPLO 3 Uso de la prueba de comparación del límite

El propio lector debe convencerse de que es difícil aplicar la prueba de comparación directa a la

serie g q 1 1 . Sin embargo, se sabe que g q 1(1>k 3) es una serie p convergente
kϭ 3Ϫ5k2 kϭ
k ϩ1

(p ϭ 3 7 1). En consecuencia, con

an n3 1 1 y bn 1
5n2 n3

tenemos lím an lím n3 n3 1 1.
bn 5n2
nSq nSq

Del teorema A.5.2 se concluye que la serie dada converge.

Si el término general an de la serie g ak es un cociente ya sea de potencias racionales de n o
de raíces de polinomios en n, es posible distinguir el término general bn de la serie de prueba
g bk examinando el “comportamiento de grado” de an para valores grandes de n. En otras pala-
bras, para encontrar un candidato correspondiente a bn sólo se necesita examinar el cociente de
las potencias más altas de n en el numerador y en el denominador de an.

EJEMPLO 4 Uso de la prueba de comparación del límite

Pruebe la convergencia de q k ϩ .
23 8k5 7
a

kϭ1

Solución Para valores grandes de n, el término general de la serie an ϭ n> 23 8n5 ϩ 7 “se com-
porta de manera similar” a un múltiplo constante de

n ϭ n ϭ n12>3.
23 n5 n5>3

A.5 Pruebas de comparación 313

De tal modo, se ensaya la serie p divergente q 1 como una serie de prueba:
k 2>3
a
kϭ1

n

lím an lím 23 8n5 7
bn 1
nSq nSq

n2>3

n 5 1>3 1 1>3 1.
8 2
lím a 8n 5 b a b
7
nSq

Así, de acuerdo con el teorema A.5.2, la serie dada diverge.

g NOTAS DESDE EL AULA

i) La hipótesis en la prueba de comparación directa también puede debilitarse, al conside-
rar un teorema más fuerte. Para una serie con términos positivos, sólo se requiere que
ak Յ bk o ak Ն bk para k suficientemente grande y no para todos los enteros positivos.

ii) En la aplicación de la prueba de comparación directa, a menudo es fácil alcanzar un
punto en que la serie dada está dominada por una serie divergente. Por ejemplo,

5k 1 Յ 1
ϩ 1k 1k

es realmente cierto y q 1 diverge. Este tipo de razonamiento no prueba nada acerca
a 1k
kϭ1

de la serie q 5k 1 1k . Desde luego, la última serie converge. ¿Por qué? De manera
a ϩ
kϭ1

similar, no puede llegarse a una conclusión al mostrar que una serie dada domina a una

serie convergente.

La siguiente tabla resume la prueba de comparación directa. Sea g ak una serie
de términos positivos y g bk una serie que se sabe que converge o diverge (una serie de

pruebas).

Comparación Serie de prueba Conclusión sobre
de términos g bk g ak

ak Յ bk converge converge
ak Յ bk diverge ninguna
ak Ն bk diverge diverge
ak Ն bk converge ninguna

PROBLEMAS A.5 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.

Fundamentos 5. q1 6. q ln k
a a
En los problemas 1-14 utilice la prueba de comparación direc- ln k k5
ta para determinar si la serie dada converge. k2 k3

7. q 1 3k 8. q1 8k
a a 10k
q1 q 1 2k 3
ϩ5 k1 k1
1. a 2. a
(k ϩ 1)(k ϩ 2) k2 q 2k 1
kϭ1 kϭ1 q 2 sen k

q1 q 2k2 ϩ 1 9. a 23 k4 10. a k ln k

3. a 1k Ϫ 4. a k3 Ϫ k k1 1 k2

kϭ2 1 kϭ2

314 APÉNDICE Sucesiones y series

q j ϩ eϪj q ieϪi 42. Suponga que p y q son funciones polinomiales sin facto-

11. a 5 j( j ϩ 9) 12. a i ϩ 1 res comunes de grado n y m, respectivamente, y que

jϭ1 iϭ1 p(x)>q(x) 7 0 para x 7 0. Discuta: ¿Bajo qué condicio-

13. q 1k ϩ 1 Ϫ 1k nes convergerá la serie g q 1 p(k)>q(k)?
a kϭ
k
kϭ1 43. Analice si el siguiente enunciado es verdadero o falso:

14. 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p Si ak 6 bk para todo k y gbk converge, entonces gak
1.3 2.9 . 27 . 81 converge.
3 4

En los problemas 15-28, utilice la prueba de comparación del 44. Demuestre que si la serie g ak de términos positivos con-
límite para determinar si la serie dada converge. verge, entonces g ln(1 + ak) converge.

q1 q 1
1k
15. a 2k 7 16. a 10 En los problemas 45 y 46, determine si la serie dada conver-
ge.
k1 k1

q1 q 1 q1 q1
1)(n
17. a 2n 2 18. a 1(n 2) 45. a 46. a ϩ ϩ ϩ p ϩ

n2 n 1 n1 kϭ1 k 1ϩ1>k kϭ1 1 2 3 k

19. q n2 n 2 q n 47. La representación decimal de un número real positivo es
a n2 1)3>2
3n5 20. a una serie infinita:
n1 n 2 (4n

21. q 1k 1 22. q 5k2 k 0.a1a2a3a4 p ϭ a1 ϩ a2 ϩ a3 ϩ a4 ϩ p ,
a 40 a 10 102 103 104
23 64k9 2k 3 2k2 8
k1 k2

23. qk ln k 24. q 10 donde ai representa uno de los 10 enteros no negativos 0,
a 2k 1 a 1, 2, . . . , 9. Demuestre que la serie de la forma
k3 ek 2
k2 k1

25. q sen a 1 b q cos a 1 bb a1 ϩ a2 ϩ a3 ϩ a4 ϩ p ϭ q ak
k k 10 102 103 104 10k
a 26. a a1 a

k1 k1 kϭ1

27. q a 1 1 k siempre es convergente.
2 2k
a b

k1

28. 1 2 3 4 p Proyecto
2.3 3.4 4.5 5.6
48. ¿Cuán grande es infinito? La prueba de la integral

puede usarse para verificar que q1 converge, en
1 a
En los problemas 29-40, utilice cualquier prueba apropiada q k1.0001
para determinar si la serie dada converge. kϭ1

tanto que a k ln k diverge. Sin embargo, con la ayuda de

qk q1 k2

29. a 100 2k2 ϩ 30. a k ϩ 1k un SAC se observa a partir de las gráficas de y ϭ 1>x1.0001

kϭ1 1 kϭ1 y = 1>(x ln x) en la FIGURA A.5.1 que

31. q ϩ k b 32. q 1 b 1 6 1
5 3k k ln k k1.0001
a lna5 a lna1 ϩ

kϭ1 kϭ1

33. qk 34. qk
a a
(k2 ϩ 1)2 2k Ϫ 1 23 k2 Ϫ 2 para 2 Յ k Յ 15 000. De hecho, la desigualdad anterior
kϭ1 kϭ2
es cierta para 2 Յ k Յ 99 999 999 * 1099. ¿Entonces
q 1 q 3k q1
sen2 k
35. a 9 36. a 32k Ϫ 1 por qué a k ln k no converge por la prueba de compara-

k1 kϭ1 k2

q2 q 2 ción directa?
ϩ k2Ϫk
37. a 2 ϩ k2k 38. a 2

kϭ1 kϭ1

q ϩ 1 b q (0.9)k y
39. k 40. a
a lna1 k
kϭ1
kϭ2

Piense en ello y ϭ x 1 x yϭ 1
ln x1.0001
41. Vuelva a leer ii) de las Notas desde el aula en la página
anterior y discuta las razones por las que el siguiente x
enunciado es cierto:
5 000
Si ak 7 0 para todo k y gak converge, entonces ga2k FIGURA A.5.1 Gráfica para el problema 48
converge.

A.6 Pruebas de las proporciones y de la raíz 315

A.6 Pruebas de las proporciones y de la raíz

Introducción En esta sección, como en la anterior, las pruebas que se consideran son aplica-
bles a series infinitas de términos positivos.

Prueba de las proporciones La primera de estas pruebas emplea el límite del cociente entre
el primer término (n ϩ 1) y el término n-ésimo de la serie. Esta prueba es especialmente útil
cuando ak implica factoriales, potencias k-ésimas de una constante y, algunas veces, potencias
k-ésimas de k.

Teorema A.6.1 Prueba de las proporciones

Suponga que g q 1ak es una serie de términos positivos tal que
kϭ

lím an 1 L.
an
nSq

i) Si L 6 1, la serie es convergente.
ii) Si L 7 1, o si L = q, la serie es divergente.
iii) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

DEMOSTRACIÓN

i) Sea r un número positivo tal que 0 Յ L Յ r Յ 1. Para n suficientemente grande, n Ն N para
algún entero positivo N, anϩ1>an 6 r; esto es, anϩ1 6 ran, n Ն N. La última desigualdad
implica

aNϩ1 6 raN

aNϩ2 6 raNϩ1 6 aNr 2

aNϩ3 6 raNϩ2 6 aNr 3,

y así sucesivamente. De tal modo la serie g q N ϩ 1 ak converge por comparación con la serie
kϭ
q q q
geométrica convergente g kϭ 1aN r k. Puesto que g kϭ 1ak difiere de g kϭ N ϩ 1 ak a lo sumo un

número finito de términos, se concluye que la primera serie también converge.

ii) Sea r un número finito tal que 1 6 r 6 L. Entonces para n suficientemente grande, n Ն N

para algún entero positivo N, anϩ1>an 7 r o anϩ1 7 ran. Para r 7 1 esta última desigual-
q
dad implica an ϩ1 7 an, y por ello lím an Z 0. Del teorema A.3.3 concluimos que g kϭ 1ak
diverge.
xSq

En el caso en el que L ϭ 1, debemos aplicar otra prueba a la serie para determinar su con-
vergencia o divergencia.

EJEMPLO 1 Empleo de la prueba de las proporciones

Pruebe la convergencia de q 5k .
k!
a

kϭ1

Solución Se identifica que an ϭ 5n>n! y por ello anϩ1 ϭ 5nϩ1>(n ϩ 1)!. Luego se forma el
cociente de anϩ1 y an, se simplifica y se toma el límite cuando n S q:

lím an 1 lím 5n 1 . n!
an 1)! 5n
nSq nSq (n

lím 5 (n n!
1)!
nSq

lím 5 n! 1) Repase las propiedades del fac-
n!(n torial en la sección A.1. Vea (4)
nSq y (5) en esa sección.

lím 5 0.

nSq n 1

Puesto que L ϭ 0 6 1, se concluye del teorema A.6.1i) que la serie es convergente.

316 APÉNDICE Sucesiones y series

EJEMPLO 2 Empleo de la prueba de las proporciones

Examinar la convergencia de q kk!k .

a

kϭ1

Solución En este caso se tiene que an ϭ nn>n! y anϩ1 ϭ (n ϩ 1)nϩ1>(n ϩ 1)!. Entonces

lím an 1 lím (n 1)n 1 . n!
an 1)! nn
nSq nSq (n

lím (n 1)n 1 1

nSq .
n 1 nn

lím an 1 n

nSq n b

lím a1 1 n e. d Este límite es (3) de la sección 2.6.
n
nSq b

Puesto que L ϭ e 7 1, se concluye del teorema A.6.1ii) que la serie es divergente.

Prueba de la raíz Si los términos de una serie g ak consisten sólo en potencias k-ésimas,
entonces puede aplicarse la siguiente prueba, la cual implica tomar la raíz n-ésima del término
n-ésimo.

Teorema A.6.2 Prueba de la raíz

Suponga que g q 1ak es una serie de términos positivos tal que
kϭ

lím 1n an lím (an)1 n L.

nSq nSq

i) Si L 6 1, la serie es convergente.
ii) Si L 7 1, o si L ϭ q, la serie es divergente.
iii) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

La demostración de la prueba de la raíz es muy similar a la prueba de las proporciones y no
se presentará.

EJEMPLO 3 Empleo de la prueba de la raíz

Examinar la convergencia de q a 5 k
k
a b.

kϭ1

Solución Se identifica primero an ϭ (5>n)n, y después se calcula el límite cuando n S q de
la raíz n-ésima de an:

5 n 1>n 5
n n
lím c a b d lím 0.

nSq nSq

Puesto que L ϭ 0 6 1, se concluye del teorema A.6.2i) que la serie converge.

g NOTAS DESDE EL AULA

i) La prueba de las proporciones siempre producirá un caso no conclusivo cuando se aplique
q
a una serie p. Inténtelo con la serie g kϭ 11> k2 y vea lo que ocurre.

ii) Las pruebas examinadas en ésta y en las dos secciones anteriores indican cuando una serie

tiene una suma, pero ninguna de estas pruebas da alguna pista respecto a lo que es la suma

real. Sin embargo, al saber que una serie converge, es posible sumar cinco, cien o mil tér-

minos en una computadora para obtener una aproximación de la suma.

A.6 Pruebas de las proporciones y de la raíz 317

PROBLEMAS A.6 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.

Fundamentos En los problemas 33 y 34, recurra a la prueba de las propor-
ciones para determinar los valores no negativos de p para los
En los problemas 1-16, recurra a la prueba de las proporcio-
nes para determinar si la serie dada converge. cuales la serie dada converge.

q q 2 k
p
q1 q 2k 33. a kpk 34. a k 2 a b

1. a k! 2. a k! kϭ1 kϭ1

kϭ1 kϭ1

q k! q 2 k En los problemas 35 y 36, determine todos los valores reales
3
3. a 1 000k 4. a k a b de p para los cuales la serie dada converge.

k1 kϭ1 q kp q ln k

q j10 q1 35. a k! 36. a kp

5. a j 6. a j5(0.99) j k1 k2

jϭ1 (1.1) jϭ1 37. En los problemas 78 y 79 de los ejercicios A.1 se vio que
la sucesión de Fibonacci {Fn},
7. q 4nϪ1 8. q n32nϩ3
a a
n3nϪ2 7nϪ1 1, 1, 2, 3, 5, 8, p ,
nϭ1 nϭ1

9. q k! 10. q (2k)! está definida por la fórmula de recursión Fn+1 = Fn + Fn-1,
donde F1 ϭ 1, F2 ϭ 1.
a (2k)! a k!(2k)k
a) Verifique que el término general de la sucesión es
kϭ1 kϭ1

q 99k(k3 ϩ 1) q k!
11. a 12.
k2102k a ek2 ϩ 15 n Ϫ 15 n
kϭ1 Fn ϭ 1 a 1 2 Ϫ 1 a 1 2
kϭ1 15 b 15 b

13. q 5k 14. q k!3k
a a
k k kk mostrando que este resultado satisface la fórmula de
kϭ1 kϭ1 recursión.
b) Utilice el término general en el inciso a) para calcular
q 1 . 3 . 5 p (2k Ϫ 1) q k! F1, F2, F3, F4 y F5.
15. a 16.
k! a 2 . 4 . 6 p (2k) 38. Sea Fn el término general de la sucesión de Fibonacci
kϭ1 dada en el problema 37. Demuestre que
kϭ1

En los problemas 17-24, utilice la prueba de la raíz para deter- Fn 1 1 215.
minar si la serie dada converge. Fn

17. q1 18. q ak ke k lím

a b nSq

a kk k1 1 39. Explique cómo el resultado del problema 38 demuestra
que la serie
k1

19. q a k k 20. q1
ln a
a k b (ln k)k 1 1 1 1 1 1 q1
k2 1 1 2 3 5 8
k2 ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ ϩ p ϭ a

q k k2 q 2 k 2 nϭ1 Fn
k
21. a a k 1b 22. a a1 b converge.

k1 k1

23. q 62k 1 24. q kk 40. Un poco de historia En 1985, William Gosper utilizó
a a la siguiente identidad para calcular los primeros 17
kk e k 1 millones de dígitos de p:
k1 k1

En los problemas 25-32, use cualquier prueba apropiada para 1 2 12 q (1 103 (4n)!
determinar si la serie dada converge. p 9 801 26, 390n) (n!)4(4 . 99)4n .
a

n0

25. q k2 ϩ k 26. q a 3k k Esta identidad fue descubierta en 1920 por el matemá-
a 2k ϩ tico indio Srinivasa Ramanujan (1887-1920). Rama-
k3 ϩ 2k ϩ 1 a 1b nujan fue notable por su excepcional conocimiento en
kϭ1 el manejo de manipulaciones y cálculos algebraicos ex-
kϭ1 tremadamente complejos.
a) Verifique que la serie infinita converge.
27. q e1>n 28. q n2 ϩ n b) ¿Cuántos lugares decimales correctos de p produce el
a a
n2 en primer término de la serie?
nϭ1 nϭ1 c) ¿Cuántos lugares decimales correctos de p producen

29. q 5kk! 30. q3 los dos primeros términos de la serie?
a a
(k ϩ 1)! 2k ϩ k
kϭ1 kϭ1

31. q 2k 32. 1 ϩ 2 ϩ 3 ϩ 4 ϩ p
a 3 4 5 6
3k ϩ 4k
kϭ0

318 APÉNDICE Sucesiones y series

A.7 Series alternantes

Introducción En las últimas tres secciones se consideraron pruebas para la convergencia que
resultaron aplicables sólo para series con términos positivos. En la presente discusión se consi-
deran series en las cuales los términos se alternan entre números positivos y negativos, esto es,
las series tienen la forma

Una serie geométrica tal como a1 a2 a3 a4 p ( 1)n 1an p q (1)
(2)
a ( 1)k 1ak

q 1 B k 1 1 1 1 p k1
3 3 9 27 o
aA 1 q

k1 a1 a2 a3 a4 p ( 1)nan p a ( 1)kak,
k1
es una serie alternante. Vea el
ejemplo 4 en la sección A.3.

donde ak 7 0 para k ϭ 1, 2, 3, . . . Las series (1) y (2) se dice que son series alternantes. Ya se
encontró un tipo especial de serie alternante en la sección A.3, pero en esta sección se examina-
rán las propiedades de series alternantes generales y las pruebas de su convergencia. Debido a
que la serie (2) es sólo un múltiplo de (1), se confinará la discusión a la última serie.

EJEMPLO 1 Serie alternante

Las series

1 1 1 1 p q ( 1)k 1
2 3 4
a k

k1

y ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 p q 1)k ln k
4 8 16 32 2k
a(

k2

son ejemplos de series alternantes.

Prueba de la serie alternante La primera serie en el ejemplo 1, 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p , se
2 3 4

denomina serie armónica alternante. Aunque la serie armónica

q 1 ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ p
k 2 3 4
a

kϭ1

es divergente, la introducción de términos positivos y negativos en la sucesión de sumas parcia-

les para la serie armónica alternante es suficiente para producir una serie convergente. Se demos-

q (Ϫ1)kϩ1 converge por medio de la siguiente prueba.
trará que a
k
kϭ1

Teorema A.7.1 Prueba de la serie alternante

La condición 0 6 ak+1 Յ ak Si lím an = 0 y 0 6 akϩ1 Յ ak para todo entero positivo k, entonces la serie alternante

significa que nSq
a1 Ն a2 Ն a3 Ն . . . Ն ak Ն
ak+1 Ն . . . g q 1(Ϫ1)kϩ1ak converge.
kϭ

DEMOSTRACIÓN Considere las sumas parciales que contienen 2n términos:

S2n ϭ a1 Ϫ a2 ϩ a3 Ϫ a4 ϩ p ϩ a2nϪ1 Ϫ a2n (3)
ϭ (a1 Ϫ a2) ϩ (a3 Ϫ a4) ϩ p ϩ (a2nϪ1 Ϫ a2n).

Puesto que la suposición 0 6 akϩ1 Յ ak implica ak Ϫ akϩ1 Ն 0 para k ϭ 1, 2, 3, p tenemos

S2 Յ S4 Յ S6 Յ p Յ S2n Յ p .

De tal modo, la sucesión {S2n}, cuyo término general S2n contiene un número par de términos
de la serie, es una sucesión monótona. Al reescribir (3) como

S2n ϭ a1 Ϫ (a2 Ϫ a3) Ϫ p Ϫ a2n

A.7 Series alternantes 319

demuestre que S2n 6 a1 para todo entero positivo n. En consecuencia, {S2n} está acotada. Por el
teorema A.2.1 se concluye que {S2n} converge a un límite S. Ahora,

S2nϩ1 ϭ S2n ϩ a2nϩ1

implica que lím S2nϩ1 = lím S2n + lím a2nϩ1 = S + 0 = S. Esto muestra que la sucesión de sumas

nSq nSq nSq
parciales {S2nϩ1}, cuyo término general S2nϩ1 contiene un número impar de términos, también

converge a S. Como {S2n} y {S2nϩ1} convergen a S, se concluye que {Sn} converge a S.

EJEMPLO 2 Serie armónica alternante

q (Ϫ1)kϩ1 converge.
Demuestre que la serie armónica alternante a
k
kϭ1

Solución Con la identificación an ϭ 1͞n tenemos de inmediato

nlSímqan lím 1 0.
n
nSq

Además, puesto que

k 1 1 Յ 1
ϩ k

para k Ն 1 se tiene 0 6 akϩ1 Յ ak. Se concluye del teorema A.7.1 que la serie armónica alter-
nante converge.

EJEMPLO 3 Serie alternante divergente

La serie alternante q (Ϫ1)kϩ1 2k ϩ 1 diverge, ya que
3k Ϫ 1
a

kϭ1

lím an lím 2n 1 32.
3n 1
nSq nSq

Este último resultado indica que

lím ( 1)n 1 2n 1
3n 1
nSq

no existe. Recuerde del teorema A.3.2 que es necesario que el último límite sea 0 para la conver-
gencia de la serie.

Aunque demostrar que akϩ1 Յ ak quizá sea una tarea directa, éste muchas veces no es el caso.

EJEMPLO 4 Uso de la prueba de la serie alternante

Pruebe la convergencia de q (Ϫ1)kϩ1k 1k .
ϩ1
a

kϭ1

Solución Para demostrar que los términos de la serie satisfacen las condiciones akϩ1 Յ ak, se
considerará la función f (x) ϭ 1x>(x ϩ 1) para la cual f (k) = ak. De la derivada, se observa que

f ¿(x) ϭ Ϫ xϪ1 1)2 6 0 para x 7 1,
21x(x ϩ

y, en consecuencia, la función f decrece para x 7 1. De tal modo, akϩ1 Յ ak es cierta para k Ն 1.
Además, la regla de L’Hôpital muestra que

lím f(x) 0 y por ello lím f(n) lím an 0.

xSq nSq nSq

Por consiguiente, la serie dada converge por el método de la serie alternante.

320 APÉNDICE Sucesiones y series

a4 Aproximación de la suma de una serie alternante Suponga que la serie alternante
a3 q
a2 g kϭ 1(Ϫ1)kϩ1ak converge al número S. Las sumas parciales
a1
S1 ϭ a1, S2 ϭ a1 Ϫ a2, S3 ϭ a1 Ϫ a2 ϩ a3, S4 ϭ a1 Ϫ a2 ϩ a3 Ϫ a4, p

0 S2 S4 S S3 S1 pueden representarse sobre una línea numérica como se muestra en la FIGURA A.7.1. La sucesión
{Sn} converge de la manera ilustrada en la figura A.1.1c); esto es, los términos Sn se acercan a S
FIGURA A.7.1 Sumas parciales cuando n S q aunque oscilan a ambos lados de S. Como se indica en la figura A.7.1, las sumas
parciales con número par son menores que S y las sumas parciales con número impar son mayo-
sobre la recta numérica res que S. De manera aproximada, las sumas parciales numeradas par se incrementan hacia el
número S y, a su vez, las sumas parciales numeradas impar disminuyen hacia S. Debido a ello,
la suma S de la serie debe ubicarse entre sumas parciales consecutivas Sn y Snϩ1:

Sn Յ S Յ Snϩ1, para n par, (4)

y Snϩ1 Յ S Յ Sn, para n impar. (5)

En este caso (4) produce 0 Յ S Ϫ Sn Յ Snϩ1 Ϫ Sn para n par, y (5) implica que
0 Յ Sn Ϫ S Յ Sn Ϫ Snϩ1 para n impar. De este modo, en cualquier caso 0 Sn Ϫ S 0 Յ 0 Snϩ1 Ϫ Sn 0 .

Pero Snϩ1 Ϫ Sn ϭ anϩ1 para n par y Snϩ1 Ϫ Sn ϭ Ϫanϩ1 para n impar. Así, 0 Sn Ϫ S 0 Յ anϩ1
para toda n. Se enuncia este resultado como el siguiente teorema.

Teorema A.7.2 Cota de error para una serie alternante

Suponga que la serie alternante g q 1(Ϫ1)kϩ1ak, ak 7 0, converge hacia un número S. Si Sn
kϭ

es la suma parcial n-ésima de la serie y akϩ1 Յ an para todo k, entonces

0 Sn S 0 an 1

para toda n.

El teorema A.7.2 es útil para aproximar la suma de una serie alternante convergente. Señala
que el error 0 Sn Ϫ S 0 entre la n-ésima suma parcial y la serie es menor que el valor absoluto del
primer término (n + 1) de la serie.

EJEMPLO 5 Aproximación de la suma de una serie

q (Ϫ1)kϩ1 hasta cuatro lugares decimales.
Aproxime la suma de la serie convergente a
(2k)!
kϭ1

Solución Primero, observamos que an ϭ 1>(2n)!. El teorema A.7.2 indica que debe tenerse

anϩ1 ϭ 1 6 0.00005
(2n ϩ 2)!

para aproximar la suma de la serie hasta cuatro lugares decimales. Ahora a partir de

n ϭ 1, a2 ϭ 1 Ϸ 0.041667
n ϭ 2, 4!
n ϭ 3,
a3 ϭ 1 Ϸ 0.001389
6!

a4 ϭ 1 Ϸ 0.000025 6 0.00005
8!

se ve que 0 S3 Ϫ S 0 Յ a4 6 0.00005. Por tanto,

S3 ϭ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϸ 0.4597
2! 4! 6!

tiene la exactitud deseada.

A.7 Series alternantes 321

Convergencia absoluta y condicional Una serie que contiene signos mezclados tal como

2 ϩ a 2 2 Ϫ a 2 3 Ϫ a 2 4 ϩ a 2 5 ϩ a 2 6 ϩ p (6)
3 3 3 3 3 3
b b b b b ϪϪϩ

no es estrictamente de la forma dada en (1) y por ello no se clasifica como una serie alternante.
El teorema A.7.1 no es aplicable a este tipo de serie. No obstante, veremos que la serie (6) es
convergente debido a que la serie de valores absolutos

2 ϩ a 2 2 ϩ a 2 3 ϩ a 2 4 ϩ a 2 5 ϩ a 2 6 ϩ p (7) Dé un vistazo adelante y lea las
3 3 3 3 3 3 dos oraciones que siguen inme-
b b b b b diatamente al ejemplo 7.

es convergente (una serie geométrica con r ϭ 2 6 1). La serie (6) es un ejemplo de una serie
3

que es absolutamente convergente. q
kϭ
En la siguiente definición se está dejando que el símbolo g 1 ak represente cualquier serie

(los términos ak podrían alternar como en (1) o contener signos mezclados); los signos pueden

seguir cualquier regla (como en (6)) o no.

Definición A.7.1 Convergencia absoluta

Una serie g q 1 ak se dice que es absolutamente convergente si la serie de valores absolutos
kϭ
q
g kϭ 1 0 ak 0 converge.

EJEMPLO 6 Convergencia absoluta

La serie alternante q (Ϫ1)kϩ1 es absolutamente convergente, puesto que se mostró que la serie

a 1 ϩ k2

kϭ1

de valores absolutos

q (Ϫ1)kϩ1 ϭ q1
` 1 ϩ k2 ` a
a 1 ϩ k2
kϭ1
kϭ1

era convergente por la prueba de la integral en el ejemplo 1 de la sección A.4.

Definición A.7.2 Convergencia condicionada

Se dice que una serie g q 1ak es convergente de manera condicional si g q converge pero
kϭ
q k ϭ 1ak
kϭ
la serie de valores absolutos g 1 0 ak 0 diverge.

EJEMPLO 7 Convergencia condicional

q (Ϫ1)kϩ1 es convergente. Pero al tomar
En el ejemplo 2 vimos que la serie armónica alternante a
k
kϭ1

el valor absoluto de cada término se obtiene la serie armónica divergente q 1 . Por ello,
k
a

kϭ1

q (Ϫ1)kϩ1 es convergente de manera condicional.

a k

kϭ1

El siguiente resultado muestra que toda serie absolutamente convergente es también conver-
gente. Por esta razón es que la serie en (6) converge.

Teorema A.7.3 La convergencia absoluta implica convergencia

Si g q 1 0 ak 0 converge, entonces g q 1ak converge.
kϭ kϭ

322 APÉNDICE Sucesiones y series

DEMOSTRACIÓN Si se define ck ϭ ak ϩ 0 ak 0 , entonces ck Յ 2 0 ak 0 . Puesto que a 0 ak 0 converge,
se sigue de la prueba de comparación que ack converge. Además, a (ck Ϫ 0 ak 0 ) converge, ya que
tanto a ck como a 0 ak 0 convergen. Pero

qq

a ak ϭ a (ck Ϫ 0 ak 0 ).

kϭ1 kϭ1

Por tanto, g ak converge.

Advierta que g 0 ak 0 es una serie de términos positivos, y por ello las pruebas de la sección
anterior pueden utilizarse para determinar si una serie converge absolutamente.

EJEMPLO 8 La convergencia absoluta implica convergencia

La serie

q sen k sen 1 sen 2 sen 3 sen 4 p
a
k2 1 4 9 16
k1

contiene términos positivos y negativos puesto que

sen 1 7 0, sen 2 7 0, sen 3 7 0, sen 4 6 0, sen 5 6 0, sen 6 6 0,ˇˇˇ ˇˇˇˇ

y así sucesivamente. De la trigonometría se sabe que 0 sen k 0 Յ 1 para todo k. Por tanto,

` sen k ` 1
k2 k2

para todo k. Por la prueba de comparación directa, teorema A.5.1, la serie q sen k converge
a
k2
k1
q sen k
puesto que es dominada por la serie p convergente q 1 . Por consiguiente, a es abso-
k2 k2
a k1

kϭ1

lutamente convergente, y en virtud de ello por el teorema A.7.3 converge.

Pruebas de las proporciones y de la raíz Las siguientes formas modificadas de la prueba de
las proporciones y de la prueba de la raíz se aplican directamente a una serie alternante.

Teorema A.7.4 Prueba de las proporciones

Suponga que g q 1ak es una serie de términos distintos de cero tal que:
kϭ

lím ` an 1 ` L.
an
nSq

i) Si L 6 1, la serie es absolutamente convergente.
ii) Si L 7 1, o si L ϭ q, la serie es divergente.
iii) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

EJEMPLO 9 Empleo de la prueba de las proporciones

Examine la convergencia de q (Ϫ1)kϩ1 22kϪ1 .
k3k
a

kϭ1

Solución Con an ϭ (Ϫ1)nϩ1 22nϪ1>(n3n), observamos que

lím ` an 1 ` lím ` ( 1)n 2 22n 1 . n3n 1`
an (n 1)3n 1 1)n 122n
nSq nSq (

lím 4n 1) 4.
3(n 3
nSq

Puesto que L ϭ 4 7 1, veremos por el teorema A.7.4ii) que la serie alternante diverge.
3

A.7 Series alternantes 323

Teorema A.7.5 Prueba de la raíz

Suponga que g q 1ak es una serie tal que:
kϭ

lím 2n 0 an 0 lím 0 an 0 1>n L.

nSq nSq

i) Si L 6 1, la serie es absolutamente convergente.
ii) Si L 7 1, o si L ϭ q, la serie es divergente.
iii) Si L = 1, la prueba no es conclusiva.

Rearreglo de términos Cuando trabajamos con una serie finita de términos tales como

a1 Ϫ a2 ϩ a3 Ϫ a4 ϩ a5 Ϫ a6, (8)

cualquier rearreglo del orden de los términos, tal como

Ϫa2 ϩ a1 Ϫ a4 ϩ a3 Ϫ a6 ϩ a5

o (a1 Ϫ a2) ϩ (a3 Ϫ a4) ϩ (a5 Ϫ a6)

tiene la misma suma que la original (8). Este tipo de manipulación despreocupada de términos
no lleva a una serie infinita:

• Si los términos de una serie convergente de manera condicional se escriben en un orden
diferente, la nueva serie puede diverger o converger hacia un número por completo dife-
rente.

De hecho, es posible demostrar que mediante un rearreglo adecuado de sus términos, una serie
convergente de manera condicional puede hacerse converger a un número real r predeterminado.

En contraste, un rearreglo de los términos de una serie absolutamente convergente no efec-
ta su suma:

• Si una serie gak es absolutamente convergente, entonces los términos de la serie pueden
rearreglarse en cualquier manera y la serie resultante convergerá al mismo número que la

serie original.

Por ejemplo, la serie geométrica 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ p es absolutamente convergente y su suma
3 9 27

es 43. El rearreglo Ϫ31 ϩ 1 Ϫ 1 ϩ 1 Ϫ p de la serie geométrica no es una serie geométrica, aun-
1 27 9

que la serie rearreglada converge y su suma es 43. Vea los problemas 53-56 en los ejercicios A.7.

g NOTAS DESDE EL AULA

i) La conclusión del teorema A.7.1 sigue siendo válida cuando la hipótesis “akϩ1 Յ ak para

todo k positivo” se sustituye con el enunciado “akϩ1 Յ ak para k suficientemente grande”.
q (-1)k+1(ln k)>k1͞3,
Para la serie alternante g k=1 se muestra de inmediato por medio del

procedimiento utilizado en el ejemplo 4 que ak ϩ1 Յ ak para k Ն 21. Además, lím an = 0.

En consecuencia, la serie converge por la prueba de la serie alternante. nSq

ii) Si la serie de valores absolutos a 0 ak 0 resulta divergente, entonces no es posible estable-

cer ninguna conclusión relativa a la convergencia o divergencia de la serie a ak.

PROBLEMAS A.7 Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-19.

Fundamentos 3. q (Ϫ1)kϪ1k k 4. q k
ϩ ϩ
En los problemas 1-14 utilice la prueba de la serie alternante a 1 a (Ϫ1)k k2 1

kϭ1 kϭ1

para determinar si la serie dada converge. q k2 ϩ 2 q 3k Ϫ 1
k3 kϩ5
q (Ϫ1)kϩ1 q (Ϫ1)kϪ1 5. a (Ϫ1)kϩ1 6. a (Ϫ1)kϩ1
1. 2. a
a kϩ2 1k kϭ1 kϭ1
kϭ1
kϭ1