Matemática 1 - Cálculo Diferencial - Dennis Zill

124 UNIDAD 3 Límite de una función

lím f (x) es suficiente para continuar con el estudio del cálculo en este texto, en general una
cxSoma prensión intuitiva es algo muy vago como para usarlo en la demostración de teoremas. Para
presentar una demostración rigurosa de la existencia de un límite, o para demostrar los impor-
tantes teoremas de la sección 3.2, es necesario empezar con una definición precisa de límite.

Límite de una función Se intentará demostrar que lím (2x ϩ 6) ϭ 10 al trabajar la siguiente
idea: “Si f (x) ϭ 2x ϩ 6 puede hacerse arbitrariamentexSpr2óximo a 10 al tomar x suficientemente

próximo a 2, por ambos lados pero diferente de 2, entonces lím f (x) ϭ 10.” Es necesario pre-
cisar los conceptos arbitrariamente próximo y suficientemenxSte2 próximo. Para establecer una

norma de proximidad arbitraria, se pedirá que la distancia entre los números f(x) y 10 sea

menor que 0.1; es decir,

0 f(x) 10 0 6 0.1 o 9.9 6 f(x) 6 10.1. (1)

Así, ¿cuán próximo a 2 debe estar x para satisfacer (1)? Para averiguarlo, es posible usar álge-
bra normal para volver a escribir la desigualdad

9.9 6 2x ϩ 6 6 10.1

cuando 1.95 6 x 6 2.05. Al sumar Ϫ2 a ambos miembros de esta desigualdad simultánea se
obtiene

Ϫ0.05 6 x Ϫ 2 6 0.05.

y y ϭ 2x ϩ 6 Al usar valores absolutos y recordar que x 2, la última desigualdad puede escribirse como
0 6 0x Ϫ 2 0 6 0.05. Así, para una cercanía arbitrariamente próxima a 10 de 0.1, suficiente-
10 ϩ⑀ mente próximo a 2 significa a menos de 0.05. En otras palabras, si x es un número diferente
ƒ(x) de 2 tal que su distancia a 2 satisface 0 x Ϫ 2 0 6 0.05, entonces se garantiza que la distancia de
f(x) a 10 satisface 0 f(x) Ϫ 10 0 6 0.1. Al expresarlo de otra manera, cuando x es un número
10 diferente de 2, pero que está en el intervalo abierto (1.95, 2.05) sobre el eje x, entonces f(x)
está en el intervalo (9.9, 10.1) sobre el eje y.
10 Ϫ⑀
Se intentará generalizar usando el mismo ejemplo. Suponga que e (la letra griega épsilon)
denota un número positivo arbitrario que constituye la medida de la proximidad arbitraria al
número 10. Si se pide que

0 f(x) 10 0 6 e o 10 e 6 f(x) 6 10 e, (2)

entonces por 10 Ϫ e 6 2x ϩ 6 6 10 ϩ e y por álgebra, se encuentra que

2 e 6 x 6 2 e o e 6 x 2 6 2e. (3)
2 2 2

De nuevo, al usar valores absolutos y al recordar que x 2, la última desigualdad en (3) puede

escribirse como

0 6 0 x Ϫ 2 0 6 2e. (4)

Si e>2 se denota por el nuevo símbolo d (la letra griega delta), (2) y (4) pueden escribirse como

0 f(x) Ϫ 10 0 6 e siempre que 0 6 0 x Ϫ 2 0 6 d.

xx Así, para un nuevo valor para e, por ejemplo e ϭ 0.001, d ϭ e>2 ϭ 0.0005 establece la pro-
2Ϫ␦ 2 2ϩ␦ ximidad correspondiente a 2. Para cualquier número x diferente de 2 en (1.9995, 2.0005),*
FIGURA 3.6.1 f(x) está en puede tenerse la certeza de que f(x) está en (9.999, 10.001). Vea la FIGURA 3.6.1.
(10 Ϫ e, 10 ϩ e) siempre que x
esté en (2 Ϫ d, 2 ϩ d), x 2 Una definición El análisis anterior conduce a la definición e-d de límite.

Definición 3.6.1 Definición de límite

Suponga que una función f está definida en todas partes sobre un intervalo abierto, excepto
quizás en un número a en el intervalo. Entonces

lím f(x) ϭ L

xSa

significa que para todo e 7 0, existe un número d 7 0 tal que

0 f(x) Ϫ L 0 6 e siempre que 0 6 0x Ϫ a 0 6 d.

* Por esta razón se usa 0 6 0 x Ϫ 2 0 6 d en lugar de 0 x Ϫ 2 0 6 d. Al considerar lím f (x), no olvide que f en 2 carece
xS2
de importancia.

3.6 Límites: un enfoque formal 125

Sea lím f(x) = L y suponga que d 7 0 es el número que “funciona” en el sentido de la
xSa

definición 3.6.1 para un e 7 0 dado. Como se muestra en la FIGURA 3.6.2a), toda x en

(a Ϫ d, a ϩ d), con la posible excepción de a mismo, tendrá entonces una imagen f(x)

en (L Ϫ e, L ϩ e). Además, en la figura 3.6.2b), una elección d1 6 d para la misma e tam-
bién “funciona” en el sentido de que toda x diferente a a en (a Ϫ d1, a ϩ d1) proporciona f(x)
en (L Ϫ e, L ϩ e). No obstante, la figura 3.6.2c) muestra que al escoger un e1, 0 6 e1 6 e,
más pequeño, demanda encontrar un nuevo valor de d. Observe en la figura 3.6.2c) que x está

en (a Ϫ d, a ϩ d) pero no en (a Ϫ d1, a ϩ d1), de modo que f(x) no necesariamente está en
(L Ϫ e1, L ϩ e1).

y y y
Lϩ␧
Lϩ␧ Lϩ␧
L L ϩ ␧1
L LϪ␧ ƒ(x)L Ϫ ␧L1
ƒ(x) LϪ␧

LϪ␧

aϪ␦ a xaϩ␦ x x aϪ␦ a xaϩ␦ x
a) Un ␦ que funciona para un ␧ dado aϪ␦ a aϩ␦ a Ϫ ␦1 a ϩ ␦1

a Ϫ ␦1 a ϩ ␦1 c) Un ␧1 más pequeño requiere un ␦1Ͻ ␦.
Para x en (a Ϫ ␦, a ϩ ␦), f (x) no
b) Un ␦1 más pequeño también funciona
para el mismo ␧ necesariamente está en (L Ϫ ␧1, L ϩ ␧1)

FIGURA 3.6.2 f(x) está en (L Ϫ e, L ϩ e) siempre que x esté en (a Ϫ d, a ϩ d), x a

EJEMPLO 1 Uso de la definición 3.6.1
Demuestre que lím (5x ϩ 2) ϭ 17.

xS3

Solución Para cualquier e 7 0, arbitrario sin importar cuán pequeño sea, se quiere encon-
trar un d de modo que

0(5x ϩ 2) Ϫ 17 0 6 e siempre que 0 6 0 x Ϫ 3 0 6 d.
Para hacer lo anterior, considere

0 (5x ϩ 2) Ϫ 17 0 ϭ 05x Ϫ 15 0 ϭ 5 0x Ϫ 3 0 .

Así, para hacer 0 (5x ϩ 2) Ϫ 17 0 ϭ 5 0x Ϫ 3 0 6 e, sólo es necesario hacer 0 6 0 x Ϫ 3 0 6 e>5;
es decir, se escoge d ϭ e>5.

Verificación Si 0 6 0x Ϫ 3 0 6 e>5, entonces 5 0x Ϫ 3 0 6 e implica

05x 15 0 6 e o bien, 0(5x 2) 17 0 6 e o bien, 0 f (x) 17 0 6 e.

EJEMPLO 2 Uso de la definición 3.6.1

Demuestre que xlSím4146 x2 8. Este límite se analizó en (1) y
x (2) de la sección 3.1.

Solución Para x Ϫ4,

` 16 Ϫ x2 Ϫ8` ϭ 04 Ϫ x Ϫ 80 ϭ 0Ϫx Ϫ 4 0 ϭ 0x ϩ 40 ϭ 0 x Ϫ (Ϫ4) 0
4 ϩ x

Así, ` 16 Ϫ x2 Ϫ 8 ` ϭ 0x Ϫ (Ϫ4) 0 6 e
4 ϩ x

siempre que se tiene 0 6 0 x Ϫ (Ϫ4) 0 6 e; es decir, se escoge d ϭ e.

EJEMPLO 3 Un límite que no existe
Considere la función

f (x) ϭ e 0, xՅ1
2, x 7 1.

126 UNIDAD 3 Límite de una función

y En la FIGURA 3.6.3 se reconoce que f tiene una discontinuidad de tipo salto en 1, de modo que

x lím f (x) no existe. No obstante, para demostrar este último hecho, se procederá indirectamente.
1 xS1
FIGURA 3.6.3 El límite de f no
existe cuando x tiende a 1 en el Suponga que el límite existe; a saber, lím f (x) ϭ L. Luego, por la definición 3.6.1 sabemos
ejemplo 3 xS1
1
que para la elección e ϭ 2 debe existir un d 7 0 tal que

0 f(x) Ϫ L 0 6 1 siempre que 0 6 0 x Ϫ 1 0 6 d.
2

Luego, a la derecha de 1 se escoge x ϭ 1 ϩ d>2. Puesto que

06 `1 ϩ d Ϫ 1 ` ϭ ` d ` 6d
2 2

debe tenerse

` f a1 ϩ d b Ϫ L ` ϭ 02 Ϫ L0 6 21. (5)
2

A la izquierda de 1, se escoge x ϭ 1 Ϫ d>2. Pero

06 `1 Ϫ d Ϫ 1 ` ϭ ` Ϫ2d ` 6d
2

implica ` f a1 Ϫ d b Ϫ L ` ϭ 00 Ϫ L0 ϭ 0L0 6 21. (6)
2

Al resolver las desigualdades en valor absoluto (5) y (6) se obtiene, respectivamente,

3 6 L 6 5 y 1 6 L 6 12.
2 2 2

Puesto que ningún número L puede satisfacer estas dos desigualdades, concluimos que
lím f (x) no debe existir.

xS1

En el siguiente ejemplo se considera el límite de una función cuadrática. Veremos que en
este caso encontrar la d requiere un poco más de ingenio que en los ejemplos 1 y 2.

Este límite se analizó en el EJEMPLO 4 Uso de la definición 3.6.1
ejemplo 1 de la sección 3.1. Demuestre que lím (Ϫx2 ϩ 2x ϩ 2) ϭ Ϫ6.

xS4

Solución Para un e 7 0 arbitrario es necesario encontrar un d 7 0 tal que
0 x2 2x 2 ( 6) 0 6 e siempre que 0 6 0 x 4 0 6 d.

Luego,

0 Ϫx2 ϩ 2x ϩ 2 Ϫ (Ϫ6) 0 ϭ 0 (Ϫ1)(x2 Ϫ 2x Ϫ 8) 0 (7)
ϭ 0 (x ϩ 2)(x Ϫ 4) 0
ϭ 0x ϩ 200x Ϫ 40.

En otras palabras, se quiere hacer 0x ϩ 2 0 0 x Ϫ 4 0 6 e. Pero puesto que hemos acordado exa-
minar valores de x cerca de 4, sólo se consideran aquellos valores para los cuales 0 x Ϫ 4 0 6 1.
Esta última desigualdad da 3 6 x 6 5 o, de manera equivalente, 5 6 x ϩ 2 6 7. En conse-
cuencia, podemos escribir 0x ϩ 2 0 6 7. Entonces, por (7),

0 6 0 x Ϫ 4 0 6 1 implica 0 Ϫx2 ϩ 2x ϩ 2 Ϫ (Ϫ6) 0 6 7 0 x Ϫ 4 0 .

Si ahora d se escoge como el mínimo de los dos números 1 y e>7, escrito d = mín{1, e>7}

se tiene

0 6 0x Ϫ 40 6 d implica 0 Ϫx2 ϩ 2x ϩ 2 Ϫ (Ϫ6) 0 6 70x Ϫ 40 6 7 . e ϭ e.
7

El razonamiento en el ejemplo 4 es sutil. En consecuencia, merece la pena dedicar unos
minutos para volver a leer el análisis que está inmediatamente después de la definición 3.6.1,

3.6 Límites: un enfoque formal 127

volver a examinar la figura 3.3.2b) y luego volver a pensar en por qué d = mín{1, e>7} es el
d que “funciona” en el ejemplo. Recuerde que el valor de e puede escogerse arbitrariamente;
considere d para, por ejemplo, e = 8, e = 6 y e ϭ 0.01.

Límites laterales A continuación se presentan las definiciones de los límites laterales,

lím f (x) y lím f (x).
x S aϪ x S aϩ

Definición 3.6.2 Límite por la izquierda
Suponga que una función f está definida sobre un intervalo abierto (c, a). Entonces

lím f(x) ϭ L

x S aϪ

significa que para todo e 7 0 existe una d 7 0 tal que
0 f(x) Ϫ L 0 6 e siempre que a Ϫ d 6 x 6 a.

Definición 3.6.3 Límite por la derecha
Suponga que una función f está definida sobre un intervalo abierto (a, c). Entonces

lím f(x) ϭ L

x S aϩ

significa que para todo e 7 0 existe una d 7 0 tal que
0 f(x) Ϫ L 0 6 e siempre que a 6 x 6 a ϩ d.

EJEMPLO 5 Uso de la definición 3.6.3

Demuestre que lím 1x 0.

x S 0ϩ

Solución Primero, podemos escribir

0 1x Ϫ 0 0 ϭ 0 1x 0 ϭ 1x.

Luego, 0 1x Ϫ 0 0 6 e siempre que 0 6 x 6 0 ϩ e2. En otras palabras, se escoge d ϭ e2.

Verificación Si 0 6 x 6 e2, entonces 0 6 1x 6 e implica

0 1x 0 6 e o bien, 0 1x Ϫ 0 0 6 e.

Límites que implican el infinito Los dos conceptos de límite infinito
f(x) S q (o bien, q) cuando x S a

y límite en el infinito
f(x) S L cuando x S q (o bien, q)

se formalizan en las dos secciones siguientes.
Recuerde que un límite infinito es un límite que no existe cuando x S a.

Definición 3.6.4 Límites infinitos

i) lím f(x) ϭ q significa que para todo M 7 0 existe un d 7 0 tal que f(x) 7 M siempre
xSa
que 0 6 0x Ϫ a 0 6 d.

ii) lím f(x) ϭ Ϫq significa que para todo M 6 0 existe un d 7 0 tal que f(x) 6 M siem-
xSa
pre que 0 6 0 x Ϫ a 0 6 d.

128 UNIDAD 3 Límite de una función

Los incisos i) y ii) de la definición 3.6.4 se ilustran en la FIGURA 3.6.4a) y en la figura 3.6.4b),
respectivamente. Recuerde, si f (x) S q (o - q) cuando x S a, entonces x ϭ a es una asín-
tota vertical para la gráfica de f. En el caso en que f(x) S q cuando x S a, entonces f(x)
puede hacerse más grande que cualquier número positivo arbitrario (es decir, f(x) 7 M) al
tomar x suficientemente próximo a a (es decir, 0 6 0 x Ϫ a 0 6 d).

y
y aϪ␦ a x aϩ␦

x

ƒ(x)

yϭM yϭM

ƒ(x) x
aϪ␦ x a aϩ␦

a) Para un M dado, siempre que b) Para un M dado, siempre que

a Ϫ ␦ Ͻ x Ͻ a ϩ ␦, x a, a Ϫ ␦ Ͻ x Ͻ a ϩ ␦, x a,
se tiene que ƒ(x) Ͼ M se tiene que ƒ(x) Ͻ M

FIGURA 3.6.4 Límites infinitos cuando x S a

Los cuatro límites infinitos por un lado

f(x) S q cuando x S a , f(x) S q cuando x S a
f(x) S q cuando x S a , f(x) S q cuando x S a

se definen de forma análoga a la proporcionada en las definiciones 3.6.2 y 3.6.3.

Definición 3.6.5 Límites en el infinito

i) lím f (x) ϭ L si para todo e 7 0, existe un N 7 0 tal que 0 f(x) Ϫ L 0 6 e
xSq
siempre que x 7 N.

ii ) lím f (x) ϭ L si para todo e 7 0, existe un N 6 0 tal que 0 f(x) Ϫ L 0 6 e
x SϪq
siempre que x 6 N.

Los incisos i) y ii) de la definición 3.6.5 se ilustran en la FIGURA 3.6.5a) y en la figura 3.6.5b),
respectivamente. Recuerde, si f(x) S L cuando x S q (o - q), entonces y ϭ L es una asín-
tota horizontal para la gráfica de f. En el caso en que f(x) S L cuando x S q, entonces la
gráfica de f puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y ϭ L (es decir, 0 f(x) Ϫ L 0 6 e)
al tomar x suficientemente lejos sobre el eje x positivo (es decir, x 7 N).

y y
Lϩ␧
Lϩ␧
L
LϪ␧ L

ƒ(x) ƒ(x) LϪ␧
xN x
Nxx
a) Para un ␧ dado, x Ͼ N implica b) Para un ␧ dado, x Ͻ N implica
L Ϫ ␧ Ͻ f (x) Ͻ L ϩ ␧
L Ϫ ␧ Ͻ f (x) Ͻ L ϩ ␧
FIGURA 3.6.5 Límites en el infinito

3.6 Límites: un enfoque formal 129

EJEMPLO 6 Uso de la definición 3.6.5i )

Demuestre que lím 3x 3.

xSq x 1

Solución Por la definición 3.6.5i), para cualquier e 7 0 es necesario encontrar un número
N 7 0 tal que

` x 3x 1 Ϫ 3 ` 6e siempre que x 7 N.
ϩ

Luego, al considerar x 7 0, tenemos

` x 3x 1 Ϫ 3 ` ϭ ` Ϫ3 ` ϭ x 3 1 6 3 6 e
ϩ xϩ1 ϩ x

siempre que x 7 3>e. Entonces, se escoge N ϭ 3>e. Por ejemplo, si e ϭ 0.01, entonces
N ϭ 3>(0.01) ϭ 300 garantiza que 0 f(x) Ϫ 3 0 6 0.01 siempre que x 7 300.

Posdata: Un poco de historia Después de esta sección tal vez esté de acuerdo con el filó-
sofo, predicador, historiador y científico inglés William Whewell (1794-1866), quien escribió
en 1858 que “Un límite es una concepción. . . peculiar”. Durante muchos años después de la
invención del cálculo en el siglo XVII, los matemáticos discutían y debatían acerca de la natu-
raleza de un límite. Había la percepción de que la intuición, las gráficas y ejemplos numéri-
cos de razones de cantidades que desaparecen proporcionan cuando mucho un cimiento ines-
table para tal concepto fundamental. Como se verá al principio de la siguiente unidad, el
concepto de límite juega un papel central en cálculo. El estudio del cálculo pasó por varios
periodos de creciente rigor matemático empezando con el matemático francés Augustin-Louis
Cauchy y luego con el matemático alemán Karl Wilhelm Weierstrass.

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nació durante una época de convulsión

en la historia de Francia. Cauchy estaba destinado a iniciar una revolución por

sí mismo en matemáticas. Por muchas contribuciones, pero especialmente

debido a sus esfuerzos por clarificar cuestiones matemáticas oscuras, su

demanda incesante por contar con definiciones satisfactorias y demostraciones

Cauchy rigurosas de teoremas, Cauchy a menudo es denominado “padre del análisis
moderno”. Escritor prolífico cuyo trabajo sólo ha sido superado por unos cuan-

tos, Cauchy produjo casi 800 artículos sobre astronomía, física y matemáticas. Sin embargo,

la misma mentalidad que siempre estaba abierta y preguntaba sobre ciencia y matemáticas tam-

bién era estrecha y no cuestionaba muchas otras áreas. Franca y arrogante, la postura apasio-

nada de Cauchy respecto a asuntos políticos y religiosos a menudo lo alejaron de sus colegas.

Karl Wilhelm Weierstrass (1815-1897) ¡Uno de los analistas matemáticos

más destacados del siglo XIX sin haber tenido ningún grado académico!

Después de especializarse en leyes en la Universidad de Bonn, aunque con-

centrado en esgrima y en beber cerveza durante cuatro años, Weierstrass se

“graduó” en la vida real sin ningún título. Al necesitar trabajo, Weierstrass

Weierstrass aprobó un examen estatal y recibió un certificado para enseñar en 1841.
Durante 15 años como profesor de enseñanza secundaria, su genio matemático

dormido floreció. Aunque la cantidad de sus investigaciones publicadas era modesta, especial-

mente en comparación con la de Cauchy, la calidad de estos trabajos impresionó tanto a

la comunidad matemática alemana que se le otorgó un doctorado, honoris causa, de la

Universidad de Königsberg, y finalmente fue contratado como profesor en la Universidad de

Berlín. Una vez ahí, Weierstrass obtuvo reconocimiento internacional como matemático y como

maestro de matemáticas. Una de sus estudiantes fue Sonja Kowalewski, la más grande mate-

mática del siglo XIX. Fue Karl Weierstrass quien dotó de sólidos fundamentos al concepto de

límite con la definición e-d.

130 UNIDAD 3 Límite de una función

3.6 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-9.

Fundamentos 25. Para a 7 0, use la identidad
0 1x Ϫ 1a 0 ϭ 0 1x Ϫ 1a 0 . 1x ϩ 1a ϭ 0x Ϫ a 0
En los problemas 1-24, use las definiciones 3.6.1, 3.6.2 o 1x ϩ 1a 1x ϩ 1a
3.6.3 para demostrar el resultado sobre límites dado.

1. lím10 10 2. lím p p y el hecho de que 1x Ն 0 para demostrar que
xS5 xS 2
lím 1x 1a.
3. lím x 3 4. lím 2x 8
xS3 xS4 xSa

5. lím (x 6) 5 6. lím (x 4) 4 26. Demuestre que lím (1͞ x) ϭ 12. [Sugerencia: Considere
xS 1 xS0
xS2
sólo los números x tales que 1 6 x 6 3.]

7. lím (3x 7) 7 8. lím (9 6x) 3 En los problemas 27-30, demuestre que lím f(x) no existe.
xS0 xS1 xSa

9. lím 2x 3 1 10. lím 8(2x 5) 48 27. f(x) ϭ e 2, x 6 11; aϭ1
4 x S 1>2 0, x Ն
xS2 4

11. xlSím5xx2 25 10 12. lím x2 7x 12 1 28. f(x) ϭ e 1, x Յ 33; aϭ3
5 2x 6 2 Ϫ1, x 7
xS3

13. lím 8x 5 12x 4 12 29. f (x) ϭ e x, x, x Յ 00; aϭ0
x4 2Ϫ x 7
xS0

14. lím 2x3 5x 2 2x 5 7 30. f(x) ϭ 1x; a ϭ 0
xS1 x2 1

15. lím x2 0 16. lím 8x3 0 En los problemas 31-34, use la definición 3.6.5 para demos-
xS0 xS0 trar el resultado de límites dado.

17. lím 15x 0 18. lím 12x 1 0 31. lím 5x 1 5 32. lím 2x 8 2
xS0 x S (1>2) 2x 1 2 3x 3
xSq xSq
10 1
19. lím f(x) 1, f(x) e 2x 1, x 6 0 33. lím 10x 34. lím x2
xS0 2x 1, x 7 0 x3 x2
xS q xS q 3

20. lím f(x) 3, f(x) e 0, x1 Piense en ello
xS1 3, x71

21. lím x2 9 22. lím (2x2 4) 12 35. Demuestre que lím f (x) ϭ 0,
xS3 xS2 2x) 35 xS0

23. lím (x2 2x 4) 3 24. lím (x2 donde f(x) e0x,, x racional
xS1 xS5 x irracional.

Competencia final de la unidad 3

Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-10.

A. Falso/verdadero _____________________________________________________

En los problemas 1-22, indique si la afirmación dada es falsa (F) o verdadera (V).

1. lím x3 8 12 _____ 2. lím 2x 5 0 _____
x 2 xS5
xS2

3. lím 0x0 1 _____ 4. lím e2x x2 q _____
x xSq
xS0

5. lím tan 1 Q 1 R no existe. _____ 6. lím z3 8z 2
x 9z no existe. _____
xS0 zS1 z2
10

7. Si lím f(x) ϭ 3 y lím g(x) ϭ 0, entonces lím f(x)͞g(x) no existe. _____
xSa xSa xSa

8. Si lím f(x) existe y lím g(x) no existe, entonces lím f(x)g(x) no existe. _____
xSa xSa xSa

9. Si lím f(x) ϭ q y lím g(x) ϭ q, entonces lím f(x)͞g(x) ϭ 1. _____
xSa xSa xSa

10. Si lím f(x) ϭ q y lím g(x) ϭ q, entonces lím [ f(x) Ϫ g(x)] ϭ 0. _____
xSa xSa xSa

11. Si f es una función polinomial, entonces lím f(x) ϭ q. _____
xSq

Competencia final de la unidad 3 131

12. Toda función polinomial es continua sobre (Ϫq, q). _____

13. Para f(x) ϭ x5 ϩ 3x Ϫ 1 existe un número c en [ Ϫ1, 1] tal que f(c) ϭ 0. _____

14. Si f y g son continuas en el número 2, entonces f>g es continua en 2. _____

15. La función entero mayor f(x) ϭ :x; no es continua sobre el intervalo [0, 1]. _____

16. Si lím f (x) y lím f (x) existen, entonces lím f(x) existe. _____
x S aϪ x S aϩ xSa

17. Si una función f es discontinua en el número 3, entonces f(3) no está definido. _____

18. Si una función f es discontinua en el número a, entonces lím (x Ϫ a) f(x) ϭ 0. _____
xSa

19. Si f es continua y f(a)f(b) 6 0, existe una raíz de f(x) ϭ 0 en el intervalo [a, b]. _____

x2 Ϫ 6x ϩ 5, x 5
x Ϫ5 es discontinua en 5. _____
20. La función f (x) ϭ •

4, x ϭ 5

21. La función f (x) ϭ 1x tiene una asíntota vertical en x ϭ Ϫ1. _____
xϩ1

22. Si y ϭ x Ϫ 2 es una recta tangente a la gráfica de la función y ϭ f(x) en (3, f(3)), enton-

ces f(3) ϭ 1. _____

B. Llene los espacios en blanco __________________________________________

En los problemas 1-22, llene los espacios en blanco.

1. lím(3x 2 4x) _____ 2. lím(5x 2)0 _____
xS2 xS3

2t 1 2x 2 1
3 10t 2x 1
3. lím _____ 4. lím _____

tSq xS q

5. lím 1 cos2(t 1) _____ 6. lím sen 3x _____
tS1 5x
t1 xS0

7. lím e1>x _____ 8. lím e1>x _____
xS0 xS0

9. lím e1>x _____ 10. lím 1 2ex _____
xSq 4 ex
xS q

11. lím 1 q 12. lím (5x 2) 22
x S __ q
x S __ x 3
14. lím 1
13. lím x3 q xS__ 1x
x S __

15. Si f(x) ϭ 2(x Ϫ 4)> 0 x Ϫ 4 0 , x 4, y f(4) ϭ 9, entonces lím f (x) ϭ _____.
x S 4Ϫ

16. Suponga que x2 Ϫ x4>3 Յ f (x) Յ x2 para toda x. Entonces lím f (x)͞x2 ϭ _____.
xS0

17. Si f es continua en un número a y lím f (x) ϭ 10, entonces f (a) ϭ _____.
xSa
.

18. Si f es continua en x ϭ 5, f(5) ϭ 2, y lím g(x) ϭ 10, entonces lím [g(x) Ϫ f(x)] ϭ _____.
xS5 xS5

2x Ϫ 1 1
, x 2
19. f(x) ϭ • 4x2 Ϫ 1 x es _________ (continua/discontinua) en el número 12.
1
0.5, ϭ 2

20. La ecuación eϪx 2 ϭ x 2 Ϫ 1 tiene precisamente _____ raíces en el intervalo (Ϫq, q).

21. La función f(x) ϭ 10 ϩ x2 Ϫ 4 tiene una discontinuidad removible en x ϭ 2. Para quitar
x xϪ2

la discontinuidad, es necesario definir que f(2) sea _____.

22. Si lím g(x) ϭ Ϫ9 y f (x) ϭ x2, entonces lím f (g(x)) ϭ _____.
xSϪ5 xSϪ5

C. Ejercicios ___________________________________________________________
En los problemas 1-4, trace una gráfica de la función f que satisface las condiciones dadas.

132 UNIDAD 3 Límite de una función

1. f(0) 1, f(4) 0, f(6) 0, lím f(x) 2, lím f(x) q, lím f(x) 0, lím f(x) 2
xS3 xS3 xS q xSq

2. lím f(x) 0, f (0) 1, lím f(x) q, lím f(x) q, f (5) 0, lím f(x) 1
xS q xS4 xS4 xSq

3. lím f(x) 2, f ( 1) 3, f(0) 0, f( x) f (x)
xS q

4. lím f(x) 0, f(0) 3, f(1) 0, f( x) f(x)
xSq

En los problemas 5-10, establezca cuáles de las condiciones a)-j) son aplicables a la gráfica
de y ϭ f(x).

a) f(a) no está definida b) f (a) ϭ L c) f es continua en x ϭ a d) f es continua sobre [0, a] e) lím f (x) ϭ L
x S aϩ

f ) lím f(x) ϭ L g) lím 0 f(x)0 ϭ q h) lím f (x) ϭ L i) lím f (x) ϭ Ϫq j) lím f (x) ϭ 0
xSa xSa xSq xSq xSq

5. y y ϭ ƒ(x) 6. y 7. y

L L L
y ϭ ƒ(x)
y ϭ ƒ(x)

x x x
a a a
FIGURA 3.R.2 Gráfica FIGURA 3.R.3 Gráfica
FIGURA 3.R.1 Gráfica para el problema 6 para el problema 7
para el problema 5
9. y 10. y
8. y y ϭ ƒ(x)
L L
L

y ϭ ƒ(x)

y ϭ ƒ(x)

x
a

x x
a a

FIGURA 3.R.4 Gráfica FIGURA 3.R.5 Gráfica FIGURA 3.R.6 Gráfica
para el problema 8 para el problema 9 para el problema 10

En los problemas 11 y 12, trace la gráfica de la función dada. Determine los valores numéri-

cos en caso de haber alguno, en que f es continua.

x ϩ 1, x 6 2

11. f(x) ϭ 0x 0 ϩ x 12. f(x) ϭ • 3, 26x64

Ϫx ϩ 7, x 7 4

En los problemas 13-16, determine intervalos sobre los que la función dada es continua.

13. f (x) ϭ xϩ6 14. f (x) ϭ 24 Ϫ x2
x3 Ϫ x x2 Ϫ 4x ϩ 3

15. f(x) ϭ x 16. f(x) ϭ cscx
2x2 Ϫ 5 2x

17. Encuentre un número k de modo que

f (x) ϭ e kx ϩ 1, xՅ3
2 Ϫ kx, x73

sea continua en el número 3.
18. Encuentre números a y b tales que

x ϩ 4, x Յ 1
f(x) ϭ • ax ϩ b, 1 6 x Յ 3

3x Ϫ 8, x 7 3

sea continua en todas partes.

Unidad 4

La derivada

y y ϭ cosh x

(0, 1) 1 ex
1 eϪx 2
2
x

En esta unidad La palabra calculus es una forma diminutiva de la palabra calx, que significa
“piedra”. En civilizaciones antiguas, piedras pequeñas o guijarros se usaban a menudo como
medio de reconocimiento. En consecuencia, la palabra calculus se refiere a cualquier método
sistemático de computación. No obstante, durante los últimos siglos la connotación de la
palabra cálculo ha evolucionado para significar esa rama de las matemáticas relacionada con
el cálculo y la aplicación de entidades conocidas como derivadas e integrales. Así, el tema
conocido como cálculo se ha dividido en dos áreas amplias pero relacionadas: el cálculo
diferencial y el cálculo integral.

En esta unidad se inicia el estudio del cálculo diferencial.

Competencia específica

Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia
y analiza la variación de una variable con respecto a otra.

133

134 UNIDAD 4 La derivada

4.1 El problema de la recta tangente

Introducción En un curso de cálculo se estudian muchas cosas diferentes, pero como se
mencionó en la introducción de la sección 3.1, el tema “cálculo” por lo regular se divide en
dos amplias áreas —relacionadas entre sí— denominadas cálculo diferencial y cálculo inte-
gral. El análisis de cada uno de estos temas suele comenzar con un problema de motivación
que implica la gráfica de una función. El estudio del cálculo diferencial se motiva con el
siguiente problema.

• Encontrar la recta tangente a la gráfica de una función f,

mientras el estudio del cálculo integral se motiva con el siguiente problema:

• Encontrar el área bajo la gráfica de una función f.

Recta L El primer problema se abordará en esta sección y el segundo se analizará en el libro Matemá-
tangente ticas 2 de esta serie.

en P

Recta tangente a una gráfica La palabra tangente surge del verbo latino tangere, que sig-

nifica “tocar”. Quizá recuerde del estudio de geometría plana que una tangente a un círculo

es una recta L que corta, o toca, al círculo exactamente en un punto P. Vea la FIGURA 4.1.1. No

FIGURA 4.1.1 La recta tangente L resulta tan fácil definir una recta tangente a la gráfica de una función f. La idea de tocar tras-

toca un círculo en el punto P lada del concepto de recta tangente a la gráfica de una función, pero la idea de cortar la grá-

fica en un punto no lo hace.

Suponga que y = f (x) es una función continua. Si, como se muestra en la FIGURA 4.1.2, f posee

una recta tangente L a su gráfica en un punto P, entonces ¿cuál es la ecuación de esta recta? Para

contestar esta pregunta requerimos las coordenadas de P y la pendiente mtan de L. Las coordena-
y L das de P no presentan ninguna dificultad, puesto que un punto sobre la gráfica de una función f se

Recta obtiene al especificar un valor de x en el dominio de f. Así, las coordenadas del punto de tangen-
tangente en cia en x = a son (a, f (a)). En consecuencia, el problema de encontrar una recta tangente se vuelve
P(a, ƒ(a)) en el problema de encontrar la pendiente mtan de la recta. Como medio para aproximar mtan, es
fácil encontrar las pendientes msec de rectas secantes (del verbo latino secare, que significa “cor-
ax tar”) que pasan por el punto P y cualquier otro punto Q sobre la gráfica. Vea la FIGURA 4.1.3.
FIGURA 4.1.2 Recta tangente L a
Pendiente de rectas secantes Si las coordenadas de P son (a, f(a)) y las coordenadas de

una gráfica en el punto P Q son (a ϩ h, f (a ϩ h)), entonces como se muestra en la FIGURA 4.1.4, la pendiente de la recta

secante que pasa por P y Q es

yL cambio en y f (a h) f (a)

Recta Rectas msec cambio en x (a h) a

tangente secantes
Q

P(a, ƒ(a)) f (a h) f (a)
msec h .
o bien, (1)

x La expresión en el miembro derecho de la igualdad en (1) se denomina cociente diferencial.
Cuando se hace que h asuma valores que cada vez son más próximos a cero, es decir, cuando
FIGURA 4.1.3 Pendientes de rec- h S 0, entonces los puntos Q(a ϩ h, f(a ϩ h)) se mueven en la curva cada vez más cerca del
tas secantes aproximan la punto P(a, f (a)). Intuitivamente, es de esperar que las rectas secantes tiendan a la recta tan-
pendiente mtan de L gente L, y que msec S mtan cuando h S 0. Es decir,

mtan lím msec

hS0

yL Recta en el supuesto de que el límite existe. Esta conclusión se resume en una forma equivalente del
Q(a ϩ h, ƒ(a ϩ h)) secante límite usando el cociente diferencial (1).

Recta Definición 4.1.1 Recta tangente con pendiente
tangente

P(a, ƒ(a))

h Sea y ϭ f(x) continua en el número a. Si el límite

ƒ(a ϩ h) Ϫƒ(a) mtan lím f (a h) f (a) (2)

a aϩh x hS0 h

FIGURA 4.1.4 Rectas secantes existe, entonces la recta tangente a la gráfica de f en (a, f(a)) es la recta que pasa por el
giran en la recta tangente L punto (a, f(a)) con pendiente mtan.
cuando h S 0

4.1 El problema de la recta tangente 135

Justo como muchos de los problemas analizados antes en esta unidad, observe que el límite
en (2) tiene la forma indeterminada 0͞0 cuando h S 0.

Si el límite en (2) existe, el número mtan también se denomina pendiente de la curva
y ϭ f(x) en (a, f(a)).

El cálculo de (2) es esencialmente un proceso de cuatro pasos, tres de los cuales implican
sólo precálculo matemático: álgebra y trigonometría. Si los tres primeros pasos se llevan a cabo
con precisión, el cuarto, o paso de cálculo, puede ser la parte más sencilla del problema.

Directrices para calcular (2)

i) Evaluar f(a) y f(a ϩ h).
ii) Evaluar la diferencia f (a ϩ h) Ϫ f(a). Simplificar.
iii) Simplificar el cociente diferencial

f(a ϩ h) Ϫ f(a)
h.

iv) Calcular el límite del cociente diferencial

f(a h) f(a)
lím h.

hS0

En muchas instancias, el cálculo de la diferencia f(a ϩ h) Ϫ f(a) en el paso ii) es el más Nota
importante. Resulta imperativo que usted simplifique este paso cuanto sea posible. Un consejo
de cómo hacerlo: en muchos problemas que implican el cálculo de (2) es posible factorizar h de
la diferencia f(a ϩ h) Ϫ f(a).

EJEMPLO 1 El proceso de cuatro pasos
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y ϭ x2 ϩ 2 en x ϭ 1.

Solución El procedimiento de cuatro pasos presentado antes se usa con el número 1 en lugar
del símbolo a.

i) El paso inicial es el cálculo de f(1) y f(1 ϩ h). Se tiene f (1) ϭ 12 ϩ 2 ϭ 3, y
f (1 h) (1 h)2 2
(1 2h h2) 2
3 2h h2.

ii) Luego, por el resultado en el paso precedente, la diferencia es:
f (1 h) f (1) 3 2h h2 3
2h h2
h(2 h). d observe el factor de h

f (1 ϩ h) Ϫ f (1)
iii) Ahora, el cálculo del cociente diferencial h es directo.

De nuevo, se usan los resultados del paso precedente:
f (1 h) f(1) h(2 h)
h h 2 h. d las h se cancelan

iv) Ahora el último paso es fácil. Se observa que el límite en (2) es

por el paso precedente
d
d
f (1 h) f(1)
mtan lím lím (2 h) 2.
h
hS0 hS0

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y ϭ x2 ϩ 2 en (1, 3) es 2.

EJEMPLO 2 Ecuación de la recta tangente
Encuentre una ecuación de la recta tangente cuya pendiente se halló en el ejemplo 1.

136 UNIDAD 4 La derivada

yϭx2ϩ2 y y ϭ 2x ϩ 1 Solución Se conocen el punto de tangencia (1, 3) y la pendiente mtan ϭ 2, de modo que por
la ecuación punto-pendiente de una recta se encuentra
m tan ϭ 2
(1, 3) y Ϫ 3 ϭ 2(x Ϫ 1) o bien, y ϭ 2x ϩ 1.

Observe que la última ecuación es consistente con las intersecciones x y y de la recta mos-
trada en la FIGURA 4.1.5.

x EJEMPLO 3 Ecuación de la recta tangente
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ 2>x en x ϭ 2.
FIGURA 4.1.5 Recta tangente en
el ejemplo 2 Solución Se empieza por usar (2) para encontrar mtan con a identificada como 2. En el
segundo de los cuatro pasos es necesario combinar dos fracciones simbólicas por medio de un

común denominador.

i) Se tiene f(2) ϭ 2>2 ϭ 1 y f(2 ϩ h) ϭ 2>(2 ϩ h).

ii) f (2 h) f (2) 2 1
2h

2 1 . 2 h d un común denominador es 2 ϩ h
2 h 12 h

22h
2h

2 hh. d aquí está el factor de h

iii) El último resultado debe dividirse entre h o, más precisamente, entre 1h. Se invierte
y multiplica por 1h:
h

f (2 h) f (2) 2h h .1 2 1h. d las h se cancelan
h h 2 hh
y 2
x
yϭ 1

iv) Por (2), mtan es

mtan f (2 h) f (2) lím 1 12.
lím h h
Punto de tangencia hS0 2
(2, 1) hS0

x Como f(2) ϭ 1, el punto de tangencia es (2, 1) y la pendiente de la recta tangente en (2, 1)
es mtan ϭ Ϫ12. Con base en la ecuación punto-pendiente de una recta, la recta tangente es

La pendiente es mtan ϭ Ϫ 1 y Ϫ 1 ϭ 1 (x Ϫ 2) o y ϭ Ϫ21 x ϩ 2.
2 2

FIGURA 4.1.6 Recta tangente en

el ejemplo 3 Las gráficas de y ϭ 2͞x y la recta tangente en (2, 1) se muestran en la FIGURA 4.1.6.

EJEMPLO 4 Pendiente de una recta tangente
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ 1x Ϫ 1 en x ϭ 5.
Solución Al sustituir a por 5 en (2) se tiene:

i) f(5) ϭ 15 Ϫ 1 ϭ 14 ϭ 2, y

f (5 h) 15 h 1 14 h.
ii) La diferencia es

f(5 ϩ h) Ϫ f(5) ϭ 14 ϩ h Ϫ 2.
Debido a que se espera encontrar un factor de h en esta diferencia, procedemos a
racionalizar el numerador:

4.1 El problema de la recta tangente 137

f (5 h) f (5) 14 h 2 . 14 h 2
1 14 h 2

(4 h) 4

24 h 2
h
d éste es el factor de h
24 h
.
2

f (5 ϩ h) Ϫ f (5)
iii) Así, el cociente diferencial h es:

f(5 h) f(5) h 2
h 14 h

h

h
h(14 h 2)

1 .
14 h 2

iv) El límite en (2) es

mtan lím f (5 h) f (5) lím 1 1 41.
hS0 24 h 2 24 2
hS0 h

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ 1x Ϫ 1 en (5, 2) es 41.

El resultado obtenido en el siguiente ejemplo no es sorprendente.

EJEMPLO 5 Recta tangente a una recta

Para cualquier función lineal y ϭ mx ϩ b, la recta tangente a su gráfica coincide con la recta y
y ϭ x1/3
misma. Así, no de manera inesperada, la pendiente de la recta tangente para cualquier número x

x ϭ a es FIGURA 4.1.7 Tangente vertical
en el ejemplo 6
mtan f (a h) f(a) m(a h) b (ma b) lím mh lím m m.
lím h lím h h L2
hS0 hS0 y L1
hS0 hS0
P y ϭƒ(x)
Tangentes verticales El límite en (2) puede no existir para una función f en x ϭ a y aun así QЈ Q
ser una tangente en el punto (a, f(a)). La recta tangente a una gráfica puede ser vertical, en cuyo
caso su pendiente está indefinida. El concepto de tangente vertical se abordará en la sección 4.2. ax
FIGURA 4.1.8 La tangente no
EJEMPLO 6 Recta tangente vertical existe en (a, f (a))

Aunque por esta ocasión no se abundará en los detalles, puede demostrarse que la gráfica de
f (x) ϭ x1>3 posee una tangente vertical en el origen. En la FIGURA 4.1.7 se observa que el eje y,
es decir, la recta x ϭ 0, es tangente a la gráfica en el punto (0, 0).

Una tangente que puede no existir La gráfica de una función f que es continua en un
número a no tiene por qué poseer una recta tangente en el punto (a, f(a)). Una recta tangente
no existirá cuando la gráfica de f tenga un pico pronunciado en (a, f (a)). En la FIGURA 4.1.8 se
indica qué puede ser erróneo cuando la gráfica de la función tiene un “pico”. En este caso f
es continua en a, pero las rectas secantes que pasan por P y Q tienden a L2 cuando Q S P,
y las rectas secantes que pasan por P y QЈ tienden a una recta diferente L1 cuando Q¿ S P.
En otras palabras, el límite en (2) no existe porque los límites laterales del cociente diferen-
cial son diferentes (cuando h S 0ϩ y cuando h S 0Ϫ).

EJEMPLO 7 Gráfica con un pico
Demuestre que la gráfica de f(x) ϭ 0 x 0 no tiene tangente en (0, 0).

138 UNIDAD 4 La derivada Solución La gráfica de la función valor absoluto en la FIGURA 4.1.9 tiene un pico en el origen.

y Para demostrar que la gráfica de f no posee una recta tangente en el origen es necesario exa-
y ϭ|x|
minar
x
FIGURA 4.1.9 Función en el lím f(0 h) f(0) lím 00 h0 000 lím 0 h 0 .
ejemplo 7 h h
hS0 h hS0 hS0

Por la definición de valor absoluto

0h0 ϭ e h, h70
Ϫh, h60

observamos que

lím 0h0 lím h 1 mientras lím 0h0 lím h 1.
h h
hS0 h hS0 hS0 h hS0

Puesto que los límites por la derecha y por la izquierda no son iguales, se concluye que el
límite (2) no existe. Aunque la función f(x) ϭ 0 x 0 es continua en x ϭ 0, la gráfica de f no
posee ninguna tangente en (0, 0).

Razón de cambio media En contextos diferentes el cociente diferencial en (1) y (2), o pen-

diente de la recta secante, se escribe en términos de símbolos alternos. El símbolo h en (1) y

(2) a menudo se escribe como ¢x y la diferencia f (a ϩ ¢x) Ϫ f(a) se denota por ¢y, es decir,

el cociente diferencial es

cambio en y f (a ¢x) f(a) f(a ¢x) f(a) ¢y
¢x ¢x. (3)
cambio en x (a ¢x) a

Además, si x1 ϭ a ϩ ¢x, x0 ϭ a, entonces ¢x ϭ x1 Ϫ x0 y (3) es lo mismo que

f (x1) Ϫ f (x0) ϭ ¢y (4)
x1 Ϫ x0 ¢x.

La pendiente ¢y> ¢x de la recta secante que pasa por los puntos (x0, f (x0)) y (x1, f (x1)) se deno-
mina razón de cambio media de la función f sobre el intervalo [ x0, x1 ] . Así, el límite lím ¢y> ¢x
se denomina razón de cambio media instantánea de la función con respecto a ¢xxSen0 x0.

Casi todo mundo tiene una noción intuitiva de la velocidad como la razón a la cual se
cubre una distancia en cierto lapso. Cuando, por ejemplo, un autobús recorre 60 mi en 1 h, la
velocidad media del autobús debe haber sido 60 mi/h. Por supuesto, resulta difícil mantener
la razón de 60 mi/h durante todo el recorrido porque el autobús disminuye su velocidad al
pasar por poblaciones y la aumenta al rebasar a otros vehículos. En otras palabras, la veloci-
dad cambia con el tiempo. Si el programa de la compañía de transportes demanda que el auto-
bús recorra las 60 millas de una población a otra en 1 h, el conductor sabe instintivamente que
debe compensar velocidades inferiores a 60 mi/h al conducir a velocidades superiores en otros
puntos del recorrido. Saber que la velocidad media es 60 mi/h no permite, sin embargo, con-
testar la pregunta: ¿cuál es la velocidad del autobús en un instante particular?

Velocidad media En general, la velocidad media o rapidez media de un objeto en movi-
miento está definida por

cambio en distancia (5)
ypro cambio en tiempo .

Considere un corredor que termina una carrera de 10 km en un tiempo de 1 h 15 min
(1.25 h). La velocidad media del corredor, o rapidez media de la carrera, fue

ypro 10 0 8 km/h.
1.25 0

Pero suponga ahora que deseamos determinar la velocidad exacta y en el instante en que el
corredor ya lleva media hora corriendo. Si se mide que la distancia recorrida en el intervalo
de 0 h a 0.5 h es igual a 5 km, entonces

ypro 5 10 km/h.
0.5

De nuevo, este número no es una medida, o necesariamente incluso un indicador aceptable,
de la velocidad instantánea y a que el corredor se ha movido 0.5 h en la carrera. Si determi-

4.1 El problema de la recta tangente 139

namos que a 0.6 h el corredor está a 5.7 km de la línea de salida, entonces la velocidad media

de 0 h a 0.6 h es ypro ϭ 5.7/0.6 ϭ 9.5 km/h. No obstante, durante el lapso de 0.5 h a 0.6 h, Salida Meta

ypro 5.7 5 7 km/h. 5 km 0.7 km
0.6 0.5 en 0.5 h en 0.1 h

El último número es una medida más realista de la razón y. Vea la FIGURA 4.1.10. Al “estirar” el 10 km
lapso entre 0.5 h y el tiempo que corresponde a la posición medida cerca de 5 km, se espera en 1.25 h
obtener incluso una mejor aproximación a la velocidad del corredor en el instante 0.5 h.
FIGURA 4.1.10 Corredor en una

carrera de 10 km

Movimiento rectilíneo Para generalizar el análisis precedente, suponga que un objeto, o P
partícula, en el punto P se mueve a lo largo de una recta de coordenadas vertical u horizon- O
tal como se muestra en la FIGURA 4.1.11. Además, considere que la partícula se mueve de modo
que su posición, o coordenada, sobre la recta está dada por una función s ϭ s(t), donde t repre- OP
senta el tiempo. Los valores de s son distancias dirigidas medidas a partir de O en unidades
como centímetros, metros, pies o millas. Cuando P está a la derecha o arriba de O, se consi- FIGURA 4.1.11 Rectas
dera s > 0, mientras s < 0 cuando P está a la izquierda o abajo de O. El movimiento en línea coordenadas
recta se denomina movimiento rectilíneo.
S
Si un objeto, como un automóvil de juguete, se mueve sobre una recta de coordenadas
horizontal, se trata de un punto P en el instante t0 y un punto PЈ en el instante t1, y entonces
las coordenadas de los puntos, que se muestran en la FIGURA 4.1.12, son s(t0) y s(t1). Por (4), la
velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [t0, t1] es

cambio en posición s(t1) s(t0) OP PЈ
cambio en tiempo t1 t0 t0
(6)
ypro . 0 t1

EJEMPLO 8 Velocidad media FIGURA 4.1.12 Posición de un
automóvil de juguete sobre una
La altura s por arriba del suelo a que se suelta una pelota desde la parte superior del Arco de recta coordenada en dos instantes
San Luis Missouri está dada por s(t) ϭ Ϫ16t2 ϩ 630, donde s se mide en pies y t en segun-
dos. Vea la FIGURA 4.1.13. Encuentre la velocidad media de la pelota que cae entre el instante en s
que se suelta la pelota y el instante en que golpea el suelo. 630 pies

Solución El instante en que se suelta la pelota está determinado por la ecuación s(t) ϭ 630 o Pelota
Ϫ16t2 ϩ 630 ϭ 630. Así se obtiene t ϭ 0 s. Cuando la pelota golpea el suelo, entonces s(t)
s(t) ϭ 0 o Ϫ16t2 ϩ 630 ϭ 0. Con la última ecuación se obtiene t ϭ 1315>8 Ϸ 6.27 s. Así, por

(6) la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, 1315>8] es

( )ypro
s 1351>8 s(0) 0 630 Suelo 0
1351>8 0 1351>8 0
100.40 pies/s. FIGURA 4.1.13 Pelota que cae en
el ejemplo 8

Si se hace t1 ϭ t0 ϩ ¢t, o ¢t ϭ t1 Ϫ t0, y ¢s ϭ s(t0 ϩ ¢t) Ϫ s(t0), entonces (6) es equiva-
lente a

ypro ¢¢st . (7)

Esto sugiere que el límite de (7) cuando ¢t S 0 proporciona la razón de cambio instantá-

nea de s(t) en t ϭ t0, o velocidad instantánea.

Definición 4.1.2 Velocidad instantánea

Sea s ϭ s(t) una función que proporciona la posición de un objeto que se mueve en línea
recta. Entonces la velocidad instantánea en el instante t ϭ t0 es

y(t0) lím s(t0 ¢t) s(t0) lím ¢¢st , (8)
¢t
¢tS0 ¢tS0

siempre que el límite exista.

Nota: Excepto por notación e interpretación, no hay ninguna diferencia matemática entre (2)
y (8). También, a menudo se omite la palabra instantánea, de modo que entonces se habla de
la razón de cambio de una función o la velocidad de una partícula en movimiento.

140 UNIDAD 4 La derivada

EJEMPLO 9 Otro repaso al ejemplo 8
Encuentre la velocidad instantánea de la pelota que cae en el ejemplo 8 en t ϭ 3 s.

Solución Se usa el mismo procedimiento de cuatro pasos que en los ejemplos anteriores con
s ϭ s(t) dada en el ejemplo 8.

i) s(3) ϭ Ϫ16(9) ϩ 630 ϭ 486. Para cualquier ¢t 0,
s(3 ϩ ¢t) ϭ Ϫ16(3 ϩ ¢t)2 ϩ 630 ϭ Ϫ16(¢t)2 Ϫ 96¢t ϩ 486.

ii) s(3 ϩ ¢t) Ϫ s(3) ϭ [ Ϫ16(¢t)2 Ϫ 96¢t ϩ 486 ] Ϫ 486
ϭ Ϫ16(¢t)2 Ϫ 96¢t ϭ ¢t(Ϫ16¢t Ϫ 96)

iii) ¢s ϭ ¢t(Ϫ16¢t Ϫ 96) ϭ Ϫ16¢t Ϫ 96
¢t ¢t

iv) Por (8),

y(3) lím ¢s lím ( 16¢t 96) 96 pies/s. (9)
¢t
¢tS0 ¢tS0

En el ejemplo 9, el número s(3) ϭ 486 pies es la altura de la pelota por arriba del nivel
del suelo a 3 s de haber sido soltada. El signo menos en (9) es importante porque la pelota se
está moviendo en dirección opuesta a la dirección positiva (hacia arriba), es decir, se mueve
hacia abajo.

4.1 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-10.

Fundamentos dado de x. Encuentre una ecuación de la recta tangente en el
punto correspondiente. Antes de empezar, revise los límites
En los problemas 1-6, trace la gráfica de la función y la recta en (10) y (14) de la sección 3.4, así como las fórmulas de
tangente en el punto dado. Encuentre la pendiente de la suma (17) y (18) en la sección 2.4.
recta secante que pasa por los puntos que corresponden a los
valores indicados de x. 19. f (x) ϭ sen x, x ϭ p>6 20. f (x) ϭ cos x, x ϭ p>4

1. f (x) ϭ Ϫx2 ϩ 9, (2, 5); x ϭ 2, x ϭ 2.5 En los problemas 21 y 22, determine si la recta que pasa por

2. f (x) ϭ x2 ϩ 4x, (0, 0); x ϭ Ϫ14, x ϭ 0 los puntos sobre la parábola es tangente a la gráfica de f(x)
ϭ x2 en el punto dado.

3. f (x) x3, ( 2, 8); x 2, x 1 21. y 22. y

4. f(x) 1>x, (1, 1); x 0.9, x 1 (3, 9)

5. f(x) sen x, (p>2, 1); x p>2, x 2p>3 (4, 6)

6. f(x) cos x, A p>3, 1 B; x p>2, x p>3
2

En los problemas 7-18, use (2) para encontrar la pendiente (1, 1) (Ϫ1, 1)
de la recta tangente a la gráfica de la función en el valor
dado de x. Encuentre una ecuación de la recta tangente en el x
punto correspondiente.
x

7. f (x) ϭ x2 Ϫ 6, x ϭ 3 FIGURA 4.1.14 Gráfica (1, Ϫ3)
para el problema 21
FIGURA 4.1.15 Gráfica
8. f (x) ϭ Ϫ3x2 ϩ 10, x ϭ Ϫ1 para el problema 22

9. f (x) ϭ x2 Ϫ 3x, x ϭ 1 23. En la FIGURA 4.1.16, la recta mostrada es tangente a la grá-
fica de y ϭ f(x) en el punto indicado. Encuentre una
10. f (x) ϭ Ϫx2 ϩ 5x Ϫ 3, x ϭ Ϫ2 ecuación de la recta tangente. ¿Cuál es la intersección y
de la recta tangente?
11. f (x) ϭ Ϫ2x3 ϩ x, x ϭ 2 12. f (x) ϭ 8x3 Ϫ 4, x ϭ 1
2 y

13. f(x) ϭ 21x, x ϭ Ϫ1 14. f (x) ϭ x 4 1, x ϭ 2 4
Ϫ y ϭ ƒ(x)

15. f(x) ϭ (x 1 1)2, x ϭ 0 16. f(x) ϭ 4 Ϫ 8x, x ϭ Ϫ1
Ϫ 18. f(x) ϭ 1 , x ϭ 1
x
1x
17. f(x) ϭ 1x, x ϭ 4 26

FIGURA 4.1.16 Gráfica para el problema 23

En los problemas 19 y 20, use (2) para encontrar la pendiente 24. En la FIGURA 4.1.17, la recta mostrada es tangente a la grá-
fica de y ϭ f(x) en el punto indicado. Encuentre f(Ϫ5).
de la recta tangente a la gráfica de la función en el valor

4.1 El problema de la recta tangente 141

y velocidades de impacto correspondientes para la
y ϭ ƒ(x) Tierra, Marte y la Luna.
37. La altura de un proyectil disparado desde el nivel del
4 suelo está dada por s ϭ Ϫ16t 2 ϩ 256t, donde s se mide
en pies y t en segundos.
x a) Determine la altura del proyectil en t ϭ 2, t ϭ 6,
Ϫ5 7 t ϭ 9 y t ϭ 10.
b) ¿Cuál es la velocidad media del proyectil entre t ϭ 2
FIGURA 4.1.17 Gráfica para el problema 24 y t ϭ 5?
c) Demuestre que la velocidad media entre t = 7 y t = 9
En los problemas 25-28, use (2) para encontrar una fórmula es cero. Interprete físicamente.
d) ¿En qué instante el proyectil choca contra el suelo?
para mtan en un punto general (x, f (x)) sobre la gráfica de f. e) Use (8) para encontrar una fórmula para la velocidad
Use la fórmula mtan para determinar los puntos en que la instantánea y en el instante general t.
recta tangente a la gráfica es horizontal. f ) Use el resultado del inciso d) y la fórmula encontrada
en el inciso e) para aproximar la velocidad de impac-
25. f (x) ϭ Ϫx2 ϩ 6x ϩ 1 26. f (x) ϭ 2x2 ϩ 24x Ϫ 22 to final.
g) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?
27. f (x) ϭ x3 Ϫ 3x 28. f (x) ϭ Ϫx3 ϩ x2 38. Suponga que la gráfica mostrada en la FIGURA 4.1.18 es la
de la función de posición s = s(t) de una partícula que
Aplicaciones se mueve en una línea recta, donde s se mide en metros
y t en segundos.
29. Un automóvil recorre 290 mi entre Los Ángeles y Las
s
Vegas en 5 h. ¿Cuál es la velocidad media?
5
30. Dos señalizaciones sobre una carretera recta están a una s ϭ s(t)

distancia de 1 mi entre sí. Una patrulla observa que un t
2 5

automóvil cubre la distancia entre las marcas en 40 s. FIGURA 4.1.18 Gráfica para el problema 38

Suponiendo que la velocidad límite es 60 mi/h, ¿el auto- a) Calcule la posición de la partícula en t = 4 y t = 6.
b) Calcule la velocidad media de la partícula entre t = 4
móvil será detenido por exceso de velocidad?
y t = 6.
31. Un avión se desplaza a 920 mi/h para recorrer los 3 500 c) Calcule la velocidad inicial de la partícula; es decir,

km que hay entre Hawaii y San Francisco. ¿En cuántas su velocidad en t = 0.
d) Calcule el instante en que la velocidad de la partícula
horas realiza este vuelo?
es cero.
32. Una carrera de maratón se lleva a cabo en una pista recta e) Determine un intervalo en que la velocidad de la par-

de 26 mi. La carrera empieza a mediodía. A la 1:30 p.m., tícula es decreciente.
f ) Determine un intervalo en que la velocidad de la par-
un corredor cruza la marca de 10 mi y a las 3:10 p.m. el
tícula es creciente.
corredor pasa por la marca de 20 mi. ¿Cuál es la veloci-
Piense en ello
dad media del corredor entre la 1:30 p.m. y las 3:10 p.m.?
39. Sea y ϭ f(x) una función par cuya gráfica tiene una recta
En los problemas 33 y 34, la posición de una partícula que tangente m con pendiente (a, f(a)). Demuestre que la
pendiente de la recta tangente en (-a, f (a)) es -m. [Suge-
se mueve sobre una recta horizontal de coordenadas está rencia: Explique por qué f (Ϫa ϩ h) ϭ f(a Ϫ h).]

dada por la función. Use (8) para encontrar la velocidad ins- 40. Sea y = f(x) una función impar cuya gráfica tiene una
recta tangente m con pendiente (a, f(a)). Demuestre que
tantánea de la partícula en el instante indicado. la pendiente de la recta tangente en (Ϫa, Ϫf(a)) es m.

33. s(t) ϭ Ϫ4t 2 ϩ 10t ϩ 6, t ϭ 3 34. s(t) ϭ t 2 ϩ 1 1, t ϭ 0 41. Proceda como en el ejemplo 7 y demuestre que no hay
ϩ recta tangente a la gráfica de f(x) ϭ x2 ϩ 0 x 0 en (0, 0).
5t

35. La altura por arriba del suelo a que se suelta una pelota a
una altura inicial de 122.5 m está dada por s(t) ϭ Ϫ4.9t 2
ϩ 122.5, donde s se mide en metros y t en segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad instantánea en t ϭ 12?
b) ¿En qué instante la pelota golpea el suelo?

c) ¿Cuál es la velocidad de impacto?

36. Al ignorar la resistencia del aire, si un objeto se deja

caer desde una altura inicial h, entonces su altura por

arriba del nivel del suelo en el instante t 7 0 está dada
por s(t) ϭ Ϫ12 gt 2 ϩ h, donde g es la aceleración de la
gravedad.

a) ¿En qué instante el objeto choca contra el suelo?
b) Si h ϭ 100 pies, compare los instantes de impacto

para la Tierra (g ϭ 32 pies/s2), Marte (g ϭ 12
pies/s2) y la Luna (g ϭ 5.5 pies/s2).
c) Use (8) para encontrar una fórmula para la veloci-
dad instantánea y en el instante general t.
d) Use los instantes encontrados en el inciso b) y la
fórmula encontrada en el inciso c) para calcular las

142 UNIDAD 4 La derivada

4.2 La derivada

Introducción En la sección anterior vimos que la recta tangente a una gráfica de una fun-
ción y ϭ f(x) es la recta que pasa por el punto (a, f(a)) con pendiente dada por

Recuerde que mtan también se mtan lím f(a h) f(a)
denomina pendiente de la curva
hS0 h
en (a, f (a)).
siempre que el límite exista. Para muchas funciones suele ser posible obtener una fórmula
general que proporcione el valor de la pendiente de la recta tangente. Esto se lleva a cabo al
calcular

lím f(x h) f(x) (1)

hS0 h

para cualquier x (para la que existe el límite). Luego sustituimos un valor de x después que
se ha encontrado el límite.

Una definición El límite del cociente de la diferencia en (1) define una función: una fun-
ción que se deriva de la función original y ϭ f(x). Esta nueva función se denomina función
derivada, o simplemente la derivada, de f y se denota por f Ј.

Definición 4.2.1 Derivada

La derivada de una función y ϭ f(x) en x está dada por

f ¿(x) lím f(x h) f (x) (2)
hS0
h

siempre que el límite exista.

A continuación reconsideraremos los ejemplos 1 y 2 de la sección anterior.

EJEMPLO 1 Una derivada
Encuentre la derivada de f (x) ϭ x2 ϩ 2.

Solución Así como en el cálculo de mtan en la sección 4.1, el proceso de encontrar la deri-
vada f Ј(x) consta de cuatro pasos:

i) f (x h) (x h)2 2 x2 2xh h2 2
ii) f (x h) f (x) [ x2 2xh h2 2 ] x2 2 h(2x h)

f(x h) f (x) h(2x h)
iii) h h 2x h d las h se cancelan

iv) lím f(x h) f(x) lím [2x h ] 2x.
hS0
h hS0

Por el paso iv) vemos que la derivada de f (x) ϭ x2 ϩ 2 es f ¿(x) ϭ 2x.

Observe que el resultado mtan ϭ 2 en el ejemplo 1 de la sección 4.1 se obtiene al evaluar
la derivada f ¿(x) ϭ 2x en x ϭ 1, es decir, f ¿(1) ϭ 2.

EJEMPLO 2 Valor de la derivada
Para f (x) ϭ x2 ϩ 2, encuentre f ¿(Ϫ2), f ¿(0), f ¿A21B y f ¿(1). Interprete.

Solución Por el ejemplo 1 sabemos que la derivada es f Ј(x) ϭ 2x. Por tanto,

en x 2, e f( 2) 6 d el punto de tangencia es (Ϫ2, 6)
en x f ¿( 2) 4 d la pendiente de la recta tangente en (Ϫ2, 6) es m ϭ Ϫ4

0, e f(0) 2 d el punto de tangencia es (0, 2)
f ¿(0) 0 d la pendiente de la recta tangente en (0, 2) es m ϭ 0

4.2 La derivada 143

en x 21, e f A 1 B 9 d el punto de tangencia es (21, )9
2 4
4
1
f ¿A12B d la pendiente de la recta tangente en (21, )9 es m 1

4

en x 1, e f(1) 3 d el punto de tangencia es (1, 3)
f ¿(1) 2. d la pendiente de la recta tangente en (1, 3) es m 2

Recuerde que la pendiente de una recta horizontal es 0. Así, el hecho de que f ¿(0) ϭ 0 signi-
fica que la recta tangente es horizontal en (0, 2).

Por cierto, si regresa al proceso de cuatro pasos en el ejemplo 1, encontrará que la deri-
vada de g(x) ϭ x2 también es g¿(x) ϭ 2x ϭ f ¿(x). Esto tiene sentido intuitivo: puesto que la
gráfica de f (x) ϭ x2 ϩ 2 es una traslación vertical rígida o desplazamiento de la gráfica de
g(x) ϭ x2 para un valor dado de x, los puntos de tangencia cambian, pero no así la pendiente

de la recta tangente en los puntos. Por ejemplo, en x ϭ 3, g¿(3) ϭ 6 ϭ f ¿(3) pero los puntos de

tangencia son (3, g(3)) ϭ (3, 9) y (3, f (3)) ϭ (3, 11).

EJEMPLO 3 Una derivada
Encuentre la derivada de f (x) ϭ x3.

Solución Para calcular f(x ϩ h), usamos el teorema del binomio.

i) f (x h) (x h)3 x3 3x2h 3xh2 h3 Recuerde de sus estudios
ii) f (x h) f (x) [ x3 3x2h 3xh2 h3 ] x3 h (3x2 3xh h2)
de álgebra que
f (x h) f(x) h [ 3x2 3xh h2 ] 3x2 3xh h2
iii) h h (a b)3 a3 3a2b
3ab2 b3.

Luego, a se sustituye por x y b

por h.

f (x h) f(x) lím [ 3x2 3xh h2] 3x2.
iv) lím h
hS0
hS0

La derivada de f (x) ϭ x3 es f ¿(x) ϭ 3x2.

EJEMPLO 4 Recta tangente

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ x3 en x ϭ 21.

Solución Por el ejemplo 3 tenemos dos funciones f (x) ϭ x3 y f ¿(x) ϭ 3x2. Como vimos en el

ejemplo 2, cuando estas funciones se evalúan en el mismo número x ϭ 1 se obtiene diferente
2

información: y y ϭ x3
1
f Q1R Q 1 3 1 d el punto de tangencia es A21, 1 B
8
R
228
΂12, 18΃
f ¿Q1R 3Q 1 2 3 d la pendiente de la recta tangente en A12, 1 B es 3
2 . 8 4
R x
2 4
Ϫ1 y ϭ 3 x Ϫ 41 1
4
Así, por la ecuación punto-pendiente de una recta,* una ecuación de la recta tangente está dada

por 1 3 1 3 41.
8 4 2 4
y Qx R o bien, y x Ϫ1
FIGURA 4.2.1 Recta tangente en
La gráfica de la función y la recta tangente se muestran en la FIGURA 4.2.1. el ejemplo 4

EJEMPLO 5 Una derivada

Encuentre la derivada de f(x) ϭ 1րx.

Solución En este caso usted debe poder demostrar que la diferencia es

f (x ϩ h) Ϫ f (x) ϭ 1 Ϫ 1 ϭ Ϫh . d las fracciones se suman usando
ϩ x ϩ h)x un común denominador
x h (x

En consecuencia,

f(x h) f(x) lím h
lím h h)x
hS0 h(x
hS0

lím (x 1 x 1 .
h)x
hS0 2

La derivada de f(x) ϭ 1րx es f ¿(x) ϭ Ϫ1͞x2.

*N. del RT. También se le conoce como forma punto-pendiente.

144 UNIDAD 4 La derivada

Notación A continuación se presenta una lista de la notación común usada en la literatura
matemática para denotar la derivada de una función:

dy
f ¿(x), dx, y ¿, Dy, Dx y.

Para una función como f (x) ϭ x2, escribimos f ¿(x) ϭ 2x; si la misma función se escribe y = x2,

entonces utilizamos dyրdx ϭ 2x, y¿ = 2x o Dx y ϭ 2x. En este texto usaremos las tres prime-

ras formas. Por supuesto, en varias aplicaciones se usan otros símbolos. Por tanto, si z ϭ t2,

entonces

dz 2t o bien, z¿ 2t.
dt

La notación dy͞dx tiene su origen en la forma derivada de (3) de la sección 4.1. Al sustituir h por
¢x y denotar la diferencia f(x ϩ h) Ϫ f(x) por ¢y en (2), a menudo la derivada se define como

dy f (x ¢x) f (x) ¢y (3)
lím lím ¢x.
dx ¢x
¢xS0 ¢xS0

EJEMPLO 6 Una derivada donde se usa (3)
Use (3) para encontrar la derivada de y ϭ 1x.

Solución En el procedimiento de cuatro pasos, la manipulación algebraica importante tiene
lugar en el tercer paso:

i) f (x ¢x) 1x ¢x

ii) ¢y f(x ¢x) f (x) 1x ¢x 1x

¢y f (x ¢x) f (x) 1x ¢x 1x
iii) ¢x ¢x ¢x

1x ¢x 1x . 1x ¢x 1x racionalización del
¢x 1x ¢x 1x d numerador

x ¢x x

¢x(1x ¢x 1x)

¢x

¢x(1x ¢x 1x)

iv) lím ¢y lím 1 1.
¢xS0 1x 1x ¢x 1x 21x
¢xS0 ¢x
11
¢x 1x 1x 1x

La derivada de y ϭ 1x es dy dx 1>A21xB.

Valor de una derivada El valor de la derivada en un número a se denota por los símbolos

f ¿(a), dy ` , y¿(a), Dxy ` .
xϭa
dx xϭa

EJEMPLO 7 Una derivada
Por el ejemplo 6, el valor de la derivada de y ϭ 1x en, por ejemplo, x ϭ 9 se escribe

dy ` ϭ 1 ` ϭ 61.
dx 21x
xϭ9 xϭ9

En forma alterna, para evitar la torpe barra vertical, simplemente escribimos y ¿(9) ϭ 16.

Operadores diferenciación El proceso de encontrar o calcular una derivada se denomina
diferenciación. Así, la diferenciación es una operación que se lleva a cabo sobre una función

4.2 La derivada 145

y ϭ f(x). La operación de diferenciación de una función con respecto a la variable x se repre-
senta con los símbolos d͞dx y Dx. Estos símbolos se denominan operadores diferenciación.
Por ejemplo, los resultados en los ejemplos 1, 3 y 6 pueden expresarse, a su vez, como

d (x2 ϩ 2) ϭ 2x, d x3 ϭ 3x2, d 1x ϭ 1.
dx dx dx 21x

El símbolo

dy entonces significa d y.
dx dx

Diferenciabilidad Si el límite en (2) existe para un número x dado en el dominio de f, se
dice que la función es diferenciable en x. Si una función f es diferenciable en todo número x
en los intervalos abiertos (a, b), (- q, b) y (a, q), entonces f es diferenciable sobre el inter-
valo abierto. Si f es diferenciable sobre (Ϫq, q), entonces se dice que f es diferenciable en
todas partes. Se dice que una función f es diferenciable sobre un intervalo cerrado [a, b]
cuando f es diferenciable sobre el intervalo abierto (a, b), y

f ¿ (a) lím f(a h) f(a)
hS0
h (4)

f ¿(b) lím f(b h) f(b)
hS0
h

ambos existen. Los límites en (4) se denominan derivadas por la derecha y por la izquierda,
respectivamente. Una función es diferenciable sobre [a, q) cuando es diferenciable sobre
(a, q) y tiene derivada por la derecha en a. Una definición semejante en términos de una deri-
vada por la izquierda se cumple para diferenciabilidad sobre (Ϫq, b]. Además, puede demos-
trarse que:

• Una función es diferenciable en un número c en un intervalo (a, b) si y sólo si (5)
f ¿ (c) f ¿ (c).

Tangentes horizontales Si y ϭ f(x) es continua en un número a y f ¿(a) ϭ 0, entonces la recta
tangente en (a, f(a)) es horizontal. En los ejemplos 1 y 2 vimos que el valor de la derivada f ¿(x)
= 2x de la función f (x) ϭ x2 ϩ 2 en x = 0 es f ¿(0) ϭ 0. Por tanto, la recta tangente a la gráfica
es horizontal en (0, f (0)) o (0, 0). Se deja como ejercicio (vea el problema 7 en la sección
“Desarrolle su competencia 4.2”) comprobar por la definición 4.2.1 que la derivada de la función
continua f(x) ϭ Ϫx2 ϩ 4x ϩ 1 es f ¿(x) ϭ Ϫ2x ϩ 4. Observe en este último caso que f ¿(x) = 0
cuando Ϫ2x ϩ 4 ϭ 0 o x = 2. Hay una tangente horizontal en el punto (2, f (2)) ϭ (2, 5).

Dónde f no es diferenciable Una función no tiene derivada en x ϭ a si

i) la función es discontinua en x ϭ a, o
ii) la gráfica de f tiene un pico en (a, f(a)).

Además, puesto que la derivada proporciona la pendiente, f no es diferenciable

iii) en un punto (a, f(a)) en el cual la recta tangente es vertical.

El dominio de la derivada f Ј, definido por (2), es el conjunto de números x para los cuales el
límite existe. Por tanto, el dominio de f Ј necesariamente es un subconjunto del dominio de f.

EJEMPLO 8 Diferenciabilidad

a) La función f(x) ϭ x2 ϩ 2 es diferenciable para todos los números reales x; es decir,
el dominio de f ¿(x) ϭ 2x es (Ϫq, q).

b) Debido a que f(x) ϭ 1>x es discontinua en x ϭ 0, f no es diferenciable en x ϭ 0 y
en consecuencia no es diferenciable sobre cualquier intervalo que contenga 0.

146 UNIDAD 4 La derivada

y EJEMPLO 9 Otro repaso al ejemplo 7 de la sección 4.1
ƒ(x) ϭ x
En el ejemplo 7 de la sección 4.1 vimos que la gráfica de f(x) ϭ 0x 0 no tiene tangente en el
x origen (0, 0). Así, f(x) ϭ 0x 0 no es diferenciable en x = 0. Pero f(x) ϭ 0x 0 es diferenciable
a) Función valor absoluto de ƒ sobre los intervalos abiertos (0, q) y (Ϫq, 0). En el ejemplo 5 de la sección 4.1 demostra-
mos que la derivada de una función lineal f(x) ϭ mx ϩ b es f ¿(x) ϭ m. Por tanto, para x Ͼ 0
y ƒЈ(x) ϭ 1, x > 0 tenemos f(x) ϭ 0 x 0 ϭ x y así f ¿(x) ϭ 1. También, para x 6 0, f(x) ϭ 0x 0 ϭ Ϫx y así f ¿(x) =
-1. Puesto que la derivada de f es una función definida por partes,
x
f ¿(x) ϭ e 1, x70
ƒЈ(x) ϭ Ϫ1, x < 0 Ϫ1, x 6 0,
b) Gráfica de la derivada ƒЈ
FIGURA 4.2.2 Gráficas de f y f Ј que podemos graficar como cualquier función. En la FIGURA 4.2.2b) observamos que f Ј es dis-
en el ejemplo 9 continua en x ϭ 0.

Con símbolos diferentes, lo que demostramos en el ejemplo 9 es que fϪЈ (0) ϭ Ϫ1 y fϩЈ (0)
ϭ 1. Puesto que fϪЈ (0) fϩЈ (0) por (5) se concluye que f no es diferenciable en 0.

Tangentes verticales Sea y ϭ f(x) continua en un número a. Si lím 0 f ¿(x)0 ϭ q, entonces
xSa

se dice que la gráfica de f tiene una tangente vertical en (a, f(a)). Las gráficas de muchas
funciones con exponentes radicales tienen tangentes verticales.

En el ejemplo 6 de la sección 4.1 se mencionó que la gráfica de y ϭ x 1>3 tiene una línea
tangente vertical en (0, 0). Verificamos esta afirmación en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 10 Tangente vertical
Se deja como ejercicio demostrar que la derivada de f (x) ϭ x1>3 está dada por

y f ¿(x) ϭ 1 .
y ϭ x1/3 3x2>3
x
(Vea el problema 55 de esta sección.) Aunque f es continua en 0, resulta evidente que f Ј no está
FIGURA 4.2.3 Rectas tangentes a definida en ese número. En otras palabras, f no es diferenciable en x ϭ 0. Además, debido a
la gráfica de la función en el que
ejemplo 10
lím f ¿(x) q y lím f ¿(x) q
xS0
xS0

tenemos 0 f ¿(x) 0 S q cuando x S 0. Esto es suficiente para afirmar que en (0, f(0)) o (0, 0)
hay una recta tangente y que es vertical. En la FIGURA 4.2.3 se muestra que las rectas tangentes a
la gráfica a cualquier lado del origen se vuelven cada vez más pronunciadas cuando x S 0.

y yϭ x La gráfica de una función f también puede tener una tangente vertical en un punto (a, f(a))
si f es diferenciable sólo por un lado de a, es continua por la izquierda (derecha) en a, y se
El eje y es cumple 0 f ¿(x) 0 S q cuando x S aϪ o 0 f ¿(x) 0 S q cuando x S aϩ.
tangente a
la gráfica EJEMPLO 11 Tangente vertical por un lado
en (0, 0)
La función f(x) ϭ 1x no es diferenciable sobre el intervalo [0, q) porque por la derivada
x f ¿(x) ϭ 1>A2 1x B observamos que fϩ¿ (0) no existe. La función f (x) ϭ 1x es continua sobre
[0, q) pero diferenciable sobre (0, q). Además, debido a que f es continua en 0 y lím f ¿(x)
FIGURA 4.2.4 Tangente vertical = q, en el origen (0, 0) hay una tangente vertical. En la FIGURA 4.2.4 vemos que laxSta0nϩgente
en el ejemplo 11 vertical es el eje y.

Importante Las funciones f (x) ϭ 0 x 0 y f (x) ϭ x 1>3 son continuas en todas partes. En particular, ambas
son continuas en 0 pero ninguna es diferenciable en ese número. En otras palabras, la conti-
nuidad en un número a no es suficiente para garantizar que una función sea diferenciable en
a. No obstante, si f es diferenciable en a, entonces f debe ser continua en ese número. Este
hecho se resume en el siguiente teorema.

Teorema 4.2.1 Diferenciabilidad implica continuidad
Si f es diferenciable en un número a, entonces f es continua en a.

4.2 La derivada 147

DEMOSTRACIÓN Para demostrar la continuidad de f en un número a, es suficiente demos-

trar que lím f(x) ϭ f(a) o bien, de manera equivalente, que lím [ f(x) - f(a)] = 0. La hipóte-
sis es quexSa xSa

f ¿(a) lím f(a h) f(a)
hS0
h

existe. Si se hace x ϭ a ϩ h, entonces cuando h S 0 tenemos x S a. Por tanto, el límite ante-
rior equivale a

f ¿(a) f(x) f (a)
lím a.
x
xSa

Luego, puede escribirse

lím [ f(x) f(a)] lím f(x) f (a) . (x a) d multiplicación por x a 1
a x a
xSa xSa x

lím f(x) f (a) . lím (x a) d ambos límites existen
a
xSa x xSa

f ¿(a) . 0 0.

Posdata: Un poco de historia Se sabe que Isaac Newton (1642-1727), matemático y físico

inglés, fue el primero en establecer muchos de los principios básicos del cálculo en manuscri-

tos no publicados sobre el método de fluxiones, fechado en 1665. La palabra

fluxión se originó por el concepto de cantidades que “fluyen”; es decir, y.capnatria-
dades que cambian a cierta razón. Newton usó la notación de punto

representar y.unnaunfcluaxfiuóen,poopcuolamr oensterecloonsomceataehmoártai:colas, derivada de una función.
El símbolo de modo que en la actua-

lidad lo usan esencialmente los físicos. Debido a razones tipográficas, la así

Newton denominada “notación flyspeck” ha sido sustituida por la notación prima.

Newton alcanzó fama imperecedera con la publicación de su ley de la gravitación universal en

su tratado monumental Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en 1687. Newton tam-

bién fue el primero en demostrar, usando el cálculo y su ley de gravitación, las tres leyes empí-

ricas de Johannes Kepler del movimiento planetario, y el primero en demostrar que la luz blanca

está compuesta de todos los colores. Newton fue electo al Parlamento, nombrado guardián de

la Real Casa de Moneda y nombrado caballero en 1705. Sir Isaac Newton dijo acerca de estos

logros: “Si he visto más lejos que otros, es porque me apoyé en los hombros de gigantes.”

El matemático, abogado y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-

1716) publicó una versión corta de su cálculo en un artículo en un periódico

alemán en 1684. La notación dy͞dx para la derivada de una función se debe

a Leibniz. De hecho, fue Leibniz quien introdujo la palabra función en la lite-

ratura matemática. Pero, puesto que es bien sabido que los manuscritos de

Newton sobre el método de fluxiones datan de 1665, Leibniz fue acusado

Leibniz de apropiarse de las ideas de Newton a partir de esta obra no publicada.

Alimentado por orgullos nacionalistas, durante muchos años hubo una controversia sobre quién

de los dos “inventó” el cálculo. Hoy los historiadores coinciden en que ambos llegaron a

muchas de las premisas más importantes del cálculo de manera independiente. Leibniz y

Newton se consideran “coinventores” del tema.

d
dx NOTAS DESDE EL AULA

i) En el análisis precedente vimos que la derivada de una función es en sí misma una fun-

ción que proporciona la pendiente de una recta tangente. La derivada no es, sin embar-
go, una ecuación de una recta tangente. También, afirmar que y Ϫ y0 ϭ f ¿(x) . (x Ϫ x0)
es una ecuación de la tangente en (x0, y0) es incorrecto. Recuerde que f ¿(x) debe evaluar-
se en x0 antes de usarla en la forma punto-pendiente. Si f es diferenciable en x0, enton-
ces una ecuación de la recta tangente en (x0, y0) es y Ϫ y0 ϭ f ¿(x0) . (x Ϫ x0).

148 UNIDAD 4 La derivada

ii) Aunque en esta sección se han recalcado las pendientes, no olvide el análisis sobre razo-
nes de cambio promedio y razones de cambio instantáneas en la sección 4.1. La deriva-
da f Ј(x) también es la razón de cambio instantánea de la función y ϭ f(x) con respec-
to a la variable x. En las secciones que siguen se dirá más sobre estas razones.

iii) Los matemáticos de los siglos XVII al XIX creían que una función continua solía tener una
derivada. (En esta sección hemos observado excepciones.) En 1872, el matemático ale-
mán Karl Weierstrass destruyó de manera contundente este principio al publicar un ejem-
plo de función que es continua en todas partes pero no es diferenciable en ninguna.

4.2 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-10.

Fundamentos varios puntos sobre la gráfica de la función dada donde la
recta tangente es paralela a la recta dada.

En los problemas 1-20, use (2) de la definición 4.2.1 para 29. f(x) ϭ 1 x2 Ϫ 1; 3x Ϫ y ϭ 1
encontrar la derivada de la función dada. 2

1. f(x) ϭ 10 2. f(x) ϭ x Ϫ 1 30. f (x) ϭ x2 Ϫ x; Ϫ2x ϩ y ϭ 0

3. f(x) ϭ Ϫ3x ϩ 5 4. f(x) ϭ px 31. f (x) ϭ Ϫx3 ϩ 4; 12x ϩ y ϭ 4

5. f (x) ϭ 3x2 6. f (x) ϭ Ϫx2 ϩ 1 32. f(x) ϭ 61x ϩ 2; Ϫx ϩ y ϭ 2

7. f (x) ϭ Ϫx2 ϩ 4x ϩ 1 8. f (x) ϭ 1 x2 ϩ 6x Ϫ 7
2
En los problemas 33 y 34, demuestre que la función dada no
9. y ϭ (x ϩ 1)2 10. f (x) ϭ (2x Ϫ 5)2 es diferenciable en el valor indicado de x.

11. f (x) ϭ x3 ϩ x 12. f (x) ϭ 2x3 ϩ x2 Ϫx ϩ 2, x Յ 22;
2x Ϫ 4, x 7
13. y ϭ Ϫx3 ϩ 15x2 Ϫ x 14. y ϭ 3x4 33. f(x) ϭ e xϭ2

15. y ϭ x 2 1 16. y ϭ x x 1 34. f(x) ϭ e 3x, x 6 00; xϭ0
ϩ Ϫ Ϫ4x, x Ն

17. y ϭ 2x ϩ 3 18. f (x) ϭ 1 ϩ 1
xϩ4 x x2
En la demostración del teorema 4.2.1 vimos que un plantea-
19. f(x) 1 20. f(x) ϭ 12x ϩ 1 miento alterno de la derivada de una función f en a está dado
1x por

En los problemas 21-24, use (2) de la definición 4.2.1 para f ¿(a) f(x) f (a) (6)
encontrar la derivada de la función dada. Encuentre una lím a,
ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el x
valor indicado de x. xSa

21. f (x) ϭ 4x 2 ϩ 7x; x ϭ Ϫ1 siempre que el límite exista. En los problemas 35-40, use (6)
para calcular f Ј(a).

1 35. f (x) ϭ 10x2 Ϫ 3 36. f (x) ϭ x2 Ϫ 3x Ϫ 1
3
22. f(x) ϭ x 3 ϩ 2x Ϫ 4; xϭ0 37. f (x) ϭ x3 Ϫ 4x2 38. f (x) ϭ x4

23. y ϭ x Ϫ 1x; x ϭ 1 24. y ϭ 2x ϩ 1 ϩ 6x; x ϭ 2 39. f (x) ϭ 3 4 x 40. f(x) ϭ 1x
Ϫ

En los problemas 25-28, use (2) de la definición 4.2.1 para 41. Encuentre una ecuación de la recta tangente mostrada en
encontrar la derivada de la función dada. Encuentre uno o la FIGURA 4.2.5. ¿Cuáles son los valores f(Ϫ3) y f Ј(Ϫ3)?
varios puntos sobre la gráfica de la función dada donde la
recta tangente es horizontal. y

25. f (x) ϭ x2 ϩ 8x ϩ 10 26. f (x) ϭ x(x Ϫ 5) y ϭƒ(x)
27. f (x) ϭ x3 Ϫ 3x 28. f (x) ϭ x3 Ϫ x2 ϩ 1
1

x

En los problemas 29-32, use (2) de la definición 4.2.1 para Ϫ3
encontrar la derivada de la función dada. Encuentre uno o FIGURA 4.2.5 Gráfica
del problema 41

4.2 La derivada 149

42. Encuentre una ecuación de la recta tangente mostrada en c) y d) y
la FIGURA 4.2.6. ¿Cuál es el valor de f Ј(3)? ¿Cuál es la
intersección de la recta tangente con el eje y? y ϭƒЈ(x) y ϭƒЈ(x)

y x x

1 y ϭƒ(x) 9 , 0
2
e) f) y
x 49. y
y ϭƒЈ(x) y ϭƒЈ(x)
1 x
FIGURA 4.2.6 Gráfica
del problema 42 x

En los problemas 43-48, trace la gráfica de f Ј a partir de la
gráfica de f.

43. y 44. y y ϭƒ(x) y 50. y

y ϭƒ(x) (2, 3) x y ϭƒ(x) y ϭƒ(x)

xx

x FIGURA 4.2.8 Gráfica FIGURA 4.2.13 Gráfica FIGURA 4.2.14 Gráfica
del problema 44 del problema 49 del problema 50
FIGURA 4.2.7 Gráfica
del problema 43 46. y y ϭƒ(x) 51. y y ϭƒ(x) 52. y y ϭƒ(x)

45. y 60Њ

y ϭƒ(x)

45Њ 45Њ 45Њ xx
x x
Ϫ1 1
FIGURA 4.2.9 Gráfica ab FIGURA 4.2.16 Gráfica
del problema 45 del problema 52
FIGURA 4.2.10 Gráfica
del problema 46 FIGURA 4.2.15 Gráfica 54. y
del problema 51
47. y
53. y
a y ϭƒ(x)
y ϭƒ(x)

x

x y ϭƒ(x)
a

x

FIGURA 4.2.11 Gráfica FIGURA 4.2.17 Gráfica FIGURA 4.2.18 Gráfica
del problema 47 del problema 53 del problema 54

48. y (1, 2)

y ϭƒ(x) Piense en ello

x 55. Use la definición alterna de la derivada (6) para encon-
trar la derivada de f (x) ϭ x 1>3.
(3, Ϫ2) [Sugerencia: Observe que x Ϫ a ϭ (x 1>3) 3 Ϫ (a 1>3) 3.]

FIGURA 4.2.12 Gráfica 56. En los ejemplos 10 y 11 vimos, respectivamente, que las
del problema 48 funciones f (x) ϭ x 1>3 y f (x) ϭ 1x tenían tangentes ver-
ticales en el origen (0, 0). Conjeture dónde las gráficas
En los problemas 49-54, relacione la gráfica de f con una de y ϭ (x Ϫ 4) 1>3 y y ϭ 1x ϩ 2 pueden tener tangen-
tes verticales.
gráfica de f Ј de a)-f ).
57. Suponga que f es diferenciable en todas partes y que
a) y b) y y ϭƒЈ(x) tiene tres propiedades:
i) f (x1 ϩ x2) ϭ f (x1) f (x2), ii) f (0) ϭ 1,
y ϭƒЈ(x) iii) f ¿(0) ϭ 1.

x x Use (2) de la definición 4.2.1 para demostrar que f Ј(x)
ϭ f(x) para toda x.

150 UNIDAD 4 La derivada

58. a) Suponga que f es una función par diferenciable sobre 60. Trace gráficas de varias funciones f que tengan la pro-
(Ϫq, q). Use razonamiento geométrico para expli- piedad f ¿(x) 7 0 para toda x en [a, b]. ¿Qué tienen en
car por qué f ¿(Ϫx) ϭ Ϫf ¿(x); es decir, que f ¿ es una común éstas?
función impar.
Problemas con calculadora/SAC
b) Suponga que f es una función impar diferenciable
sobre (Ϫq, q). Use razonamiento geométrico para 61. Considere la función f (x) ϭ xn ϩ 0 x 0 , donde n es un
explicar por qué f ¿(Ϫx) ϭ f ¿(x); es decir, que f ¿ es entero positivo. Use una calculadora o un SAC para
una función par. obtener la gráfica de f para n ϭ 1, 2, 3, 4 y 5. Luego
use (2) para demostrar que f no es diferenciable en x ϭ 0
59. Suponga que f es una función diferenciable sobre [a, b] para n ϭ 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Puede demostrar esto para cual-
tal que f(a) = 0 y f(b) = 0. Experimente con gráficas quier entero positivo n? ¿Cuáles son fϪЈ (0) y fϩЈ (0) para
para decidir si la siguiente afirmación es falsa o verda- n 7 1?
dera: hay un número c en (a, b) tal que f Ј(c) = 0.

4.3 Derivada de potencias y sumas

Introducción La definición de derivada

f ¿(x) lím f(x h) f(x) (1)
hS0
h

tiene la desventaja evidente de ser más bien molesta y cansada de aplicar. Para encontrar la
derivada de la función polinomial f (x) ϭ 6x100 ϩ 4x35 usando la definición anterior sólo es
necesario hacer malabares con 137 términos en los desarrollos del binomio de (x ϩ h)100 y
(x ϩ h)35. Hay formas más eficaces para calcular derivadas de una función que usar la defini-

ción cada vez. En esta sección, y en las secciones que siguen, veremos que hay algunos ata-

jos o reglas generales a partir de las cuales es posible obtener las derivadas de funciones como
f (x) ϭ 6x100 ϩ 4x35 literalmente, con un truco de pluma.

En la última sección vimos que las derivadas de las funciones potencia

f (x) ϭ x2, f (x) ϭ x3, f (x) ϭ 1 ϭ x Ϫ1, f (x) ϭ 1x ϭ x 1>2
x

eran, a su vez,

Vea los ejemplos 3, 5 y 6 en la f ¿(x) ϭ 2x, f ¿(x) ϭ 3x2, f ¿(x) ϭ Ϫx12 ϭ ϪxϪ2, f ¿(x) ϭ 1 ϭ 1 x Ϫ1>2.
sección 4.2. 21x 2

Si los miembros derechos de estas cuatro derivadas se escriben

2 . x 2 1, 3 . x 3 1, ( 1) . x 1 1, 1 . 1 1,
2
x2

observamos que cada coeficiente corresponde al exponente original de x en f y que el nuevo

exponente de x en f Ј puede obtenerse a partir del exponente anterior al restarle 1. En otras
palabras, el patrón para la derivada de la función potencia general f (x) ϭ xn es

el exponente se escribe como múltiplo (2)

(T) x(c) 1.

el exponente disminuye por uno

Derivada de la función potencia En efecto, el patrón ilustrado en (2) se cumple para cual-
quier exponente que sea un número real n, y este hecho se planteará como un teorema formal,
pero en este momento del curso no se cuenta con las herramientas matemáticas necesarias para
demostrar su validez completa. Sin embargo, es posible demostrar un caso especial de esta
regla de potencias; las partes restantes de la demostración se proporcionarán en las secciones
idóneas más adelante.

Teorema 4.3.1 Regla de potencias 4.3 Derivada de potencias y sumas 151
(3)
Para cualquier número real n,

d x n nx n 1.
dx

DEMOSTRACIÓN La demostración sólo se presenta para el caso donde n es un entero posi-
tivo. A fin de calcular (1) para f(x) ϭ xn usamos el método de cuatro pasos:

Teorema general del binomio

⎞
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎠

i) f (x h) (x h) n xn nx n 1h n(n 1) x n 2h 2 ... nxhn 1 hn Vea las Páginas de recursos
2! xn para un repaso del teorema del
binomio.
xn nxn 1h n(n 1) xn 2h2 ... nxhn 1 hn
ii) f(x h) f(x) 2!

nxn 1h n(n 1) xn 2h2 ... nxhn 1 hn
2!

h c nxn 1 n(n 1) xn 1h ... nxhn 2 hn 1 d
2!

h c nxn 1 n(n 1) xn 1h ... nxhn 2 hn 1 d
2!
f(x h) f(x)
iii) h
h

nxn 1 n(n 1) xn 1h ... nxhn 2 hn 1
2!

iv) f ¿(x) lím f(x h) f(x)
hS0
h

lím c nxn 1 n(n 1) xn 1h ... nxh n 2 hn 1 d nxn 1.
2!
hS0 ⎞
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎠

estos términos S 0 cuando h S 0

EJEMPLO 1 Regla de potencias

Diferencie

a) y ϭ x 7 b) y ϭ x c) y ϭ x Ϫ2>3 d) y ϭ x12.

Solución Por la regla de potencias (3),

a) con n ϭ 7: dy ϭ 7x 7Ϫ1 ϭ 7x 6, y
dx yϭx

b) con n ϭ 1: dy ϭ 1x 1Ϫ1 ϭ x0 ϭ 1, mϭ1
dx x

c) con n ϭ Ϫ23 : dy ϭ QϪ 2 R x (Ϫ2>3) Ϫ1 ϭ Ϫ32 xϪ5>3 ϭ Ϫ3x25>3,
dx 3

d) con n ϭ 12: dy ϭ 12x12Ϫ1.
dx

FIGURA 4.3.1 La pendiente de la
Observe en el inciso b) del ejemplo 1 que el resultado es consistente con el hecho de que recta m ϭ 1 es consistente con

la pendiente de la recta y ϭ x es m ϭ 1. Vea la FIGURA 4.3.1. dy͞dx ϭ 1

Teorema 4.3.2 Regla de la función constante (4)
Si f(x) ϭ c es una función constante, entonces f Ј(x) ϭ 0.

152 UNIDAD 4 La derivada

y (x ϩ h, c) DEMOSTRACIÓN Si f(x) ϭ c, donde c es cualquier número real, entonces se concluye que
ƒ(x) ϭ c (x, c) la diferencia es f(x ϩ h) Ϫ f(x) ϭ c Ϫ c ϭ 0. Así, por (1),

f ¿(x) lím c c lím 0 0.

hS0 h hS0

x El teorema 4.3.2 tiene una interpretación geométrica evidente. Como se muestra en la
x xϩh FIGURA 4.3.2, la pendiente de la recta horizontal y ϭ c es, por supuesto, cero. Además, el teo-
FIGURA 4.3.2 La pendiente de rema 4.3.2 coincide con (3) en el caso donde x 0 y n ϭ 0.
una recta horizontal es 0

Teorema 4.3.3 Regla de la multiplicación por constante

Si c es cualquier constante y f es diferenciable en x, entonces cf es diferenciable en x, y

d c f (x) cf ¿(x). (5)
dx

DEMOSTRACIÓN Sea G(x) ϭ cf(x). Entonces

G¿(x) lím G(x h) G(x) lím cf(x h) cf(x)
hS0
h hS0 h

lím c c f (x h) f(x) d

hS0 h

c lím f(x h) f(x) cf ¿(x).
hS0
h

EJEMPLO 2 Un múltiplo constante
Diferencie y ϭ 5x4.

Solución Por (3) y (5),

dy ϭ 5 d x 4 ϭ 5(4x3) ϭ 20x3.
dx dx

Teorema 4.3.4 Reglas de suma y diferencia

Si f y g son diferenciables en x, entonces f ϩ g y f Ϫ g son diferenciables en x, y

d [ f (x) g(x) ] f ¿(x) g¿(x), (6)
dx (7)

d [ f (x) g(x) ] f ¿(x) g¿(x).
dx

DEMOSTRACIÓN DE (6) Sea G(x) ϭ f(x) ϩ g(x). Entonces

G¿(x) lím G(x h) G(x) lím [ f (x h) g(x h)] [ f (x) g(x)]
hS0
h hS0 h

puesto que los límites f(x h) f(x) g(x h) g(x)
lím
d reordenando términos
hS0
h

existen, el límite de S f(x h) f(x) g(x h) g(x)
una suma es la suma lím lím
h h
de los límites hS0 hS0

f ¿(x) g¿(x).

4.3 Derivada de potencias y sumas 153

El teorema 4.3.4 se cumple para cualquier suma finita de diferenciables. Por ejemplo, si
f, g y h son diferenciables en x, entonces

d [ f (x) g(x) h(x)] f ¿(x) g¿(x) h¿(x).
dx

Ya que f Ϫ g puede escribirse como una suma, f ϩ (Ϫg), no es necesario demostrar (7) puesto
que el resultado se concluye de (6) y (5). Por tanto, el teorema 4.3.4 puede plantearse colo-
quialmente como:

• La derivada de una suma es la suma de las derivadas.

Derivada de un polinomio Dado que sabemos cómo diferenciar potencias de x y múltiplos

constantes de esas potencias, resulta fácil diferenciar sumas de estos múltiplos constantes. La

derivada de una función polinomial es particularmente fácil de obtener. Por ejemplo, ahora
vemos fácilmente que la derivada de la función polinomial f (x) ϭ 6x100 ϩ 4x35, mencionada
en la introducción de esta sección, es f ¿(x) ϭ 600x99 ϩ 140x34.

EJEMPLO 3 Polinomio con seis términos

Diferencie y ϭ 4x5 Ϫ 1 x 4 ϩ 9x3 ϩ 10x2 Ϫ 13x ϩ 6.
2

Solución Al usar (3), (5) y (6) obtenemos

dy ϭ 4 d x5 Ϫ 1 d x 4 ϩ 9 d x3 ϩ 10 d x2 Ϫ 13 d x ϩ d 6.
dx dx 2 dx dx dx dx dx

Puesto que d 6 ϭ 0 por (4), obtenemos
dx

dy ϭ 4(5x4) Ϫ 1 (4x 3) ϩ 9(3x2) ϩ 10(2x) Ϫ 13(1) ϩ 0
dx 2

ϭ 20x4 Ϫ 2x3 ϩ 27x2 ϩ 20x Ϫ 13.

EJEMPLO 4 Recta tangente
Encuentre una ecuación de una recta tangente a la gráfica f (x) ϭ 3x4 ϩ 2x 3 Ϫ 7x en el punto
correspondiente a x ϭ Ϫ1.

Solución Por la regla de la suma,

f ¿(x) ϭ 3(4x3) ϩ 2(3x2) Ϫ 7(1) ϭ 12x3 ϩ 6x2 Ϫ 7.

Cuando las f y f ¿ se evalúan en el mismo número x ϭ Ϫ1, obtenemos

f(Ϫ1) ϭ 8 d el punto de tangencia es (Ϫ1, 8)
f ¿(Ϫ1) ϭ Ϫ13. d la pendiente de la tangente en (Ϫ1, 8) es Ϫ13

Con la ecuación punto-pendiente obtenemos una ecuación de la recta tangente

y 8 13(x ( 1)) o bien, y 13x 5.

Volver a escribir una función En algunas circunstancias, para aplicar una regla de diferen- Vale la pena recordar este
ciación de manera eficiente puede ser necesario volver a escribir una expresión en una forma análisis.
alterna. Esta forma alterna a menudo es resultado de algo de manipulación algebraica o una
aplicación de las leyes de los exponentes. Por ejemplo, es posible usar (3) para diferenciar las
siguientes expresiones, que primero reescribimos usando las leyes de los exponentes

4 , 10 , 2x3 S las raíces cuadradas se vuelven S 4, x110>2, (x 3)1> 2,
x2 1x a escribir como potencias x2

luego se vuelve a escribir S 4x 2, 10x 1>2, x3>2,

usando exponentes negativos

la derivada de cada término S 8x 3, 5x 3>2, 3 x1>2 .
usando (3) 2

154 UNIDAD 4 La derivada

Una función como f (x) ϭ (5x ϩ 2)>x2 puede escribirse de nuevo como dos fracciones

f (x) ϭ 5x ϩ 2 ϭ 5x ϩ 2 ϭ 5 ϩ 2 ϭ 5x Ϫ1 ϩ 2x Ϫ2.
x2 x2 x2 x x2

Por la última forma de f, ahora resulta evidente que la derivada f Ј es

f ¿(x) ϭ 5(Ϫx Ϫ2) ϩ 2(Ϫ2x Ϫ3) ϭ Ϫx52 Ϫ x43.

EJEMPLO 5 Volver a escribir los términos de una función

Diferencie y ϭ 4 1x ϩ 8 Ϫ 6 ϩ 10.
x 13 x

Solución Antes de diferenciar, los tres primeros términos se vuelven a escribir como poten-
cias de x:

y ϭ 4x1>2 ϩ 8x Ϫ1 Ϫ 6x Ϫ1>3 ϩ 10.

Así, dy ϭ 4 d x 1>2 ϩ 8 d xϪ1 Ϫ 6 d xϪ1>3 ϩ d 10.
dx dx dx dx dx

Por la regla de potencias (3) y (4) obtenemos

dy ϭ 4 . 1 xϪ1>2 ϩ 8 . (Ϫ1)xϪ2 Ϫ 6 . QϪ 1 R xϪ4>3 ϩ 0
dx 2 3
y
(2, 6) ϭ 2 Ϫ 8 ϩ 2 .
1x x2 x4>3
6
EJEMPLO 6 Tangentes horizontales
5
Encuentre los puntos sobre la gráfica de f(x) ϭ Ϫx3 ϩ 3x2 ϩ 2 donde la recta tangente es hori-
4 zontal.

3 Solución En un punto (x, f(x)) sobre la gráfica de f donde la tangente es horizontal, debe-
mos tener f ¿(x) ϭ 0. La derivada de f es f ¿(x) ϭ Ϫ3x2 ϩ 6x y las soluciones de f ¿(x) = -3x2
(0, 2) x + 6x = 0 o Ϫ3x(x Ϫ 2) ϭ 0 son x = 0 y x = 2. Así, los puntos correspondientes son
1 y ϭ Ϫx3 ϩ 3x2 ϩ 2 (0, f (0)) ϭ (0, 2) y (2, f (2)) ϭ (2, 6). Vea la FIGURA 4.3.3.

Ϫ1 1 2 3
FIGURA 4.3.3 Gráfica de la
función en el ejemplo 6

Recta normal Una recta normal en un punto P sobre una gráfica es una recta perpen-
dicular a la recta tangente en P.

y tangente EJEMPLO 7 Ecuación de una recta normal
normal Encuentre una ecuación de la recta normal a la gráfica de y ϭ x2 en x ϭ 1.

yϭx2 (1, 1) Solución Puesto que dy>dx ϭ 2x, sabemos que mtan ϭ 2 en (1, 1). Por tanto, la pendiente
x
de la recta normal que se muestra en la FIGURA 4.3.4 es el negativo recíproco de la pendiente de
la recta tangente; es decir, m ϭ Ϫ12. Por la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta,
entonces una ecuación de la recta normal es

FIGURA 4.3.4 Recta normal en el y1 21(x 1) o bien, y 1 x 23.
ejemplo 7 2

y y ϭ x 2/3 EJEMPLO 8 Tangente vertical
Para la función potencia f (x) ϭ x 2>3 la derivada es

f ¿(x) ϭ 2 xϪ1>3 ϭ 2 .
3 3x1>3

x Observe que lím f (x) ϭ q mientras lím f (x) ϭ Ϫq. Puesto que f es continua en x ϭ 0 y
x S 0ϩ x S 0Ϫ
FIGURA 4.3.5 Gráfica de la Ϳ f ¿(x)Ϳ S q cuando x S 0, concluimos que el eje y es una tangente vertical en (0, 0). Este
función en el ejemplo 8
hecho resulta evidente a partir de la gráfica en la FIGURA 4.3.5.

4.3 Derivada de potencias y sumas 155

Cúspide Se dice que la gráfica de f (x) ϭ x2>3 en el ejemplo 8 tiene una cúspide en el ori-
gen. En general, la gráfica de una función y ϭ f(x) tiene una cúspide en un punto (a, f(a)) si
f es continua en a, f Ј(x) tiene signos opuestos a cualquier lado de a, y Ϳ f ¿(x)Ϳ S q cuando
x S a.

Derivadas de orden superior Hemos visto que la derivada f Ј(x) es una función derivada de
y ϭ f (x). Al diferenciar la primera derivada obtenemos otra función denominada segunda deri-
vada, que se denota por f –(x). En términos del símbolo de operación d͞dx, la segunda de-
rivada con respecto a x la definimos como la función que se obtiene al diferenciar dos veces
consecutivas a y ϭ f(x):

d Q dy R.
dx dx

La segunda derivada suele denotarse por los símbolos

f –(x), y–, d 2y d2 f(x), D2, Dx2.
dx 2 , dx2

EJEMPLO 9 Segunda derivada

Encuentre la segunda derivada de y ϭ 1 .
x3

Solución Primero se simplifica la ecuación al escribirla como y ϭ xϪ3. Luego, por la regla
de potencias (3), tenemos

dy ϭ Ϫ3xϪ4.
dx

La segunda derivada se obtiene al diferenciar la primera derivada

d 2y ϭ d (Ϫ3xϪ4) ϭ Ϫ3(Ϫ4xϪ5) ϭ 12xϪ5 ϭ 1x25 .
dx2 dx

Si se supone que todas las derivadas existen, es posible diferenciar una función y ϭ f(x)

tantas veces como se quiera. La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada; la

cuarta derivada es la derivada de la tercera derivada, y así sucesivamente. Las derivadas ter-
cera y cuarta se denotan por d3y͞dx3 y d4y͞dx4, y se definen como

d 3y d Q d 2y R y d 4y d Q d 3y R.
dx3 dx dx2 dx4 dx dx3

En general, si n es un entero positivo, entonces la n-ésima derivada se define como

d ny d a dn n 1y b.
dx n dx dx
1

Otras notaciones para las primeras derivadas n son

f ¿(x), f –(x), f ‡(x), f (4)(x), p , f (n)(x),

y ¿, y–, y‡, y (4), p , y (n),

d f(x), d2 f(x), d3 f (x), d4 f(x), p, dn f(x),
dx dx 2 dx 3 dx 4 dx n

D, D 2, D 3, D 4, p , D n,

D x, D 2x, D 3x, D 4x, p , D nx.

Observe que la notación “prima” se usa para denotar sólo las tres primeras derivadas; después
de eso se usa el supraíndice y (4), y (5), y así sucesivamente. El valor de la n-ésima derivada de

una función y = f(x) en un número a se denota por

f (n)(a), y (n)(a) y d ny ` .
dx n
x a

156 UNIDAD 4 La derivada

EJEMPLO 10 Quinta derivada
Encuentre las cinco primeras derivadas de f (x) ϭ 2x4 Ϫ 6x3 ϩ 7x2 ϩ 5x.

Solución Tenemos

f ¿(x) ϭ 8x3 Ϫ 18x2 ϩ 14x ϩ 5
f –(x) ϭ 24x2 Ϫ 36x ϩ 14
f ‡(x) ϭ 48x Ϫ 36
f (4)(x) ϭ 48
f (5)(x) ϭ 0.

Después de reflexionar un momento, usted debe convencerse que al derivar la (n ϩ 1)
veces una función polinomial de grado n el resultado es cero.

d
dx NOTAS DESDE EL AULA

i) En los diversos contextos de ciencias, ingeniería y negocios, las funciones a menudo
se expresan en otras variables distintas a x y y. De manera correspondiente, la nota-
ción de la derivada debe adaptarse a los nuevos símbolos. Por ejemplo,

Función Derivada

y(t) ϭ 32t y¿(t) ϭ dy ϭ 32
A(r) ϭ pr 2 dt
r(u) ϭ 4u 2 Ϫ 3u
D( p) ϭ 800 Ϫ 129p ϩ p2 A¿(r) ϭ dA ϭ 2pr
dr

r¿(u) ϭ dr ϭ 8u Ϫ 3
du

D¿(p) ϭ dD ϭ Ϫ129 ϩ 2p.
dp

ii) Quizá se pregunte qué interpretación puede darse a las derivadas de orden superior. Si
piensa en términos de gráficas, entonces f – proporciona la pendiente de las rectas tan-
gentes a la gráfica de la función f Ј; f ‡ proporciona la pendiente de las rectas tangen-
tes a la gráfica de la función f –, y así sucesivamente. Además, si f es diferenciable,
entonces la primera derivada f Ј proporciona la razón de cambio instantánea de f. En
forma semejante, si f Ј es diferenciable, entonces f – proporciona la razón de cambio
instantánea de f Ј.

4.3 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-10.

Fundamentos En los problemas 9-16, encuentre f Ј(x). Simplifique.
En los problemas 1-8, encuentre dy͞dx.
9. f (x) ϭ 1 x5 Ϫ 3x4 ϩ 9x2 ϩ 1
5
1. y ϭ Ϫ18 2. y ϭ p6
3. y ϭ x9 4. y ϭ 4x12 10. f (x) ϭ Ϫ32 x6 ϩ 4 x5 Ϫ 13 x2 ϩ 8 x ϩ 2
5. y ϭ 7x2 Ϫ 4x 6. y ϭ 6x3 ϩ 3x2 Ϫ 10
7. y ϭ 41x Ϫ 6 8. y ϭ x Ϫ x2 11. f (x) ϭ x3(4 x2 Ϫ 5 x Ϫ 6)

23 x2 1x 12. f (x) ϭ 2x5 ϩ 3x4 Ϫ x3 ϩ 2
x2

4.3 Derivada de potencias y sumas 157

13. f (x) ϭ x2(x2 ϩ 5)2 14. f (x) ϭ (x3 ϩ x2)3 50. Encuentre el punto sobre la gráfica de f(x) ϭ x2 Ϫ x
15. f (x) ϭ A4 1x ϩ 1B2 16. f(x) ϭ (9 ϩ x)(9 Ϫ x) donde la recta tangente es 3x Ϫ 9y Ϫ 4 ϭ 0.

En los problemas 17-20, encuentre la derivada de la función 51. Encuentre el punto sobre la gráfica de f(x) ϭ x2 Ϫ x
dada. donde la pendiente de la recta normal es 2.

17. h(u) ϭ (4u)3 18. p(t) ϭ (2t)Ϫ4 Ϫ (2tϪ1)2 52. Encuentre el punto sobre la gráfica de f (x) ϭ 41x2 Ϫ 2x
donde la recta tangente es paralela a la recta 3x - 2y +
19. g(r) ϭ 1 ϩ 1 ϩ 1 ϩ 1 20. Q(t) ϭ t5 ϩ 4t2 Ϫ 3 1 = 0.
r r2 r3 r4 6
53. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica
En los problemas 21-24, encuentre una ecuación de la recta tan- de y ϭ x3 ϩ 3x2 Ϫ 4x ϩ 1 en el punto donde el valor de
gente a la gráfica de la función dada en el valor indicado de x. la segunda derivada es cero.
21. y ϭ 2x3 Ϫ 1; x ϭ Ϫ1 22. y ϭ Ϫx ϩ 8x; x ϭ 2
23. f (x) ϭ 4 ϩ 2 1x; x ϭ 4 24. f (x) ϭ Ϫx3 ϩ 6x2; x ϭ 1 54. Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica
de y ϭ x4 en el punto donde el valor de la tercera deri-
1x vada es 12.

En los problemas 25-28, encuentre el punto o los puntos Aplicaciones
sobre la gráfica de la función dada donde la recta tangente es
horizontal. 55. El volumen V de una esfera de radio r es V ϭ 34pr 3.
Encuentre el área superficial S de la esfera si S es la razón
25. y ϭ x2 Ϫ 8x ϩ 5 26. y ϭ 1 x3 Ϫ 1 x 2
3 2 de cambio instantánea del volumen con respecto al radio.

27. f (x) ϭ x3 Ϫ 3x2 Ϫ 9x ϩ 2 28. f (x) ϭ x4 Ϫ 4x3 56. Según el físico francés Jean Louis Poiseuille (1799-
1869), la velocidad y del flujo sanguíneo en una arteria

En los problemas 29-32, encuentre una ecuación de la recta nor- cuya sección transversal circular es constante de radio R
mal a la gráfica de la función dada en el valor indicado de x.
es y(r) ϭ (Pր4nl )(R 2 Ϫ r 2), donde P, n y l son constan-
29. y ϭ Ϫx2 ϩ 1; x ϭ 2 30. y ϭ x3; x ϭ 1
tes. ¿Cuál es la velocidad del flujo sanguíneo en el valor
1
3 de r para el cual yЈ(r) ϭ 0?

31. f(x) ϭ x 3 Ϫ 2x2; xϭ4 32. f (x) ϭ x4 Ϫ x; x ϭ Ϫ1 57. La energía potencial de un sistema masa-resorte cuando

el resorte se estira una distancia de x unidades es

En los problemas 33-38, encuentre la segunda derivada de la U(x) ϭ 1 kx 2, donde k es la constante del resorte. La
2
función dada. fuerza ejercida sobre la masa es F ϭ ϪdUրdx. Encuentre

33. y ϭ Ϫx2 ϩ 3 x Ϫ 7 34. y ϭ 15 x2 Ϫ 24 1x la fuerza si la constante del resorte es 30 N/m y la can-

35. y ϭ (Ϫ4 x ϩ 9)2 36. y ϭ 2 x5 ϩ 4 x3 Ϫ 6 x2 tidad de estiramiento es 1 m.
2

37. f (x) ϭ 10 xϪ2 38. f (x) ϭ x ϩ Q 2 3 58. La altura s por arriba del nivel del suelo de un proyectil
x2
R en el instante t está dada por

En los problemas 39 y 40, encuentre la derivada de orden s(t) ϭ 1 gt 2 ϩ y0 t ϩ s0,
2
superior indicada.
39. f (x) ϭ 4 x6 ϩ x5 Ϫ x3; f (4)(x) donde g, y0 y s0 son constantes. Encuentre la razón de

40. y ϭ x4 Ϫ 1x0; d 5y>dx 5 cambio instantánea de s con respecto a t en t ϭ 4.
En los problemas 41 y 42, determine intervalos para los cua-
Piense en ello

les f Ј(x) 7 0 e intervalos para los cuales f Ј(x) 6 0. En los problemas 59 y 60, el símbolo n representa un entero

41. f (x) ϭ x2 ϩ 8 x Ϫ 4 42. f (x) ϭ x3 Ϫ 3x2 Ϫ 9 x positivo. Encuentre una fórmula para la derivada dada.

En los problemas 43 y 44, encuentre el punto o los puntos 59. dn xn 60. dn 1
sobre la gráfica de f donde f –(x) ϭ 0. dx n dx n x

43. f (x) ϭ x3 ϩ 12 x2 ϩ 20 x 44. f (x) ϭ x4 Ϫ 2 x3 61. A partir de las gráficas de f y g en la FIGURA 4.3.6, deter-

mine qué función es la derivada de la otra. Explique ver-

En los problemas 45 y 46, determine intervalos para los cua- balmente su decisión.

les f –(x) 7 0 e intervalos para los cuales f –(x) 6 0. y y ϭ g (x)
y ϭƒ(x)
45. f (x) ϭ (x Ϫ 1)3 46. f (x) ϭ x3 ϩ x2

Una ecuación que contiene una o más derivadas de una fun- 1 x
ción desconocida y(x) se denomina ecuación diferencial. En 1
los problemas 47 y 48, demuestre que la función satisface la
ecuación diferencial dada. FIGURA 4.3.6 Gráficas para el problema 61

47. y ϭ xϪ1 ϩ x4; x2y– Ϫ 2 xy ¿ Ϫ 4y ϭ 0
48. y ϭ x ϩ x3 ϩ 4; x2y– Ϫ 3 x y ¿ ϩ 3 y ϭ 12
49. Encuentre el punto sobre la gráfica de f (x) = 2x2 - 3x + 6

donde la pendiente de la recta tangente es 5.

158 UNIDAD 4 La derivada

62. A partir de la gráfica de la función y ϭ f(x) dada en la 75. Encuentre las condiciones sobre los coeficientes a, b y
FIGURA 4.3.7, trace la gráfica de f Ј. c de modo que la gráfica de la función polinomial

y f (x) ϭ a x3 ϩ b x2 ϩ c x ϩ d

y ϭƒ(x) tenga exactamente una tangente horizontal. Exactamente
dos tangentes horizontales. Ninguna tangente horizontal.
1 x 76. Sea f una función diferenciable. Si f ¿(x) 7 0 para toda
1 x en el intervalo (a, b), trace gráficas posibles de f sobre
el intervalo. Describa verbalmente el comportamiento de
FIGURA 4.3.7 Gráfica para el problema 62 la gráfica de f sobre el intervalo. Repita si f ¿(x) 6 0 para
toda x en el intervalo (a, b).
63. Encuentre una función cuadrática f (x) ϭ ax2 ϩ b x ϩ c 77. Suponga que f es una función diferenciable tal que
f ¿(x) Ϫ f (x) ϭ 0. Encuentre f (100)(x).
tal que f(Ϫ1) ϭ Ϫ11, f ¿(-1) = 7 y f –(Ϫ1) ϭ Ϫ4. 78. Las gráficas de y = x2 y y = -x2 ϩ 2x - 3 dada por la
FIGURA 4.3.8 muestran que hay dos rectas L1 y L2 que son
64. Se dice que las gráficas de y = f(x) y y = g(x) son orto- simultáneamente tangentes a ambas gráficas. Encuentre
los puntos de tangencia de ambas gráficas. Encuentre una
gonales si las rectas tangentes a cada gráfica son perpen- ecuación para cada recta tangente.

diculares en cada punto de intersección. Demuestre que y
y ϭ x2
las gráficas de y ϭ 1 x2 y y ϭ Ϫ41 x2 ϩ 3 son ortogonales.
8 L1
x
65. Encuentre los valores de b y c de modo que la gráfica
L2
de f (x) ϭ x2 ϩ bx tenga la recta tangente y ϭ 2x ϩ c

en x ϭ Ϫ3.

66. Encuentre una ecuación de la(s) recta(s) que pasa(n) por

(32, 1) y es (son) tangente(s) a la gráfica de f (x) = x2 +

2x + 2.

67. Encuentre los puntos de la gráfica de f (x) ϭ x2 Ϫ 5 tal

que la línea tangente a los puntos interseque al eje en x

(Ϫ3, 0).

68. Encuentre el o los puntos sobre la gráfica de f (x) ϭ x2

tal que la recta tangente interseque al eje y en (0, -2). y ϭ Ϫx2 ϩ2x Ϫ3
FIGURA 4.3.8 Gráficas para el problema 78
69. Explique por qué la gráfica de f (x) ϭ 1 x5 ϩ 1 x3 no tiene
5 3

recta tangente con pendiente -1.

70. Encuentre coeficientes A y B de modo que la función Problemas con calculadora/SAC
y ϭ A x2 ϩ B x satisfaga la ecuación diferencial 2y– +

3y¿ = x - 1. 79. a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-
fica de f (x) ϭ x4 Ϫ 4x3 Ϫ 2x2 ϩ 12x Ϫ 2.
71. Encuentre valores de a y b tales que la pendiente de la
tangente a la gráfica de f (x) ϭ ax2 ϩ b x en (1, 4) sea Ϫ5. b) Evalúe f –(x) en x ϭ Ϫ2, x ϭ Ϫ1, x ϭ 0, x ϭ 1,
x ϭ 2, x = 3 y x = 4.
72. Encuentre las pendientes de todas las rectas normales a
la gráfica de f (x) ϭ x2 que pasan por el punto (2, 4). c) A partir de los datos del inciso b), ¿observa alguna
relación entre la forma de la gráfica de f y los sig-
[Sugerencia: Elabore una figura y observe que en (2, 4) nos algebraicos de f –?

sólo hay una recta normal.]

73. Encuentre un punto sobre la gráfica de f(x) ϭ x2 ϩ x y 80. Use una calculadora o un sistema algebraico compu-
un punto sobre la gráfica de g(x) ϭ 2x2 ϩ 4 x ϩ 1
tacional para obtener la gráfica de las funciones dadas.

donde las rectas tangentes son paralelas. Por inspección de las gráficas, indique dónde cada fun-
74. Encuentre un punto sobre la gráfica de f (x) ϭ 3x5 ϩ 5x3
ción puede no ser diferenciable. Encuentre f ¿(x) para

ϩ 2x donde la recta tangente tiene la menor pendiente todos los puntos donde f es diferenciable.

posible. a) f (x) ϭ 0 x2 Ϫ 2 x 0 b) f(x) ϭ 0 x3 Ϫ 1 0

4.4 Derivada de productos y cocientes

Introducción Hasta el momento sabemos que la derivada de una función constante y una
potencia de x son, a su vez:

d c 0 y d xn nx n 1. (1)
dx dx

4.4 Derivada de productos y cocientes 159

También sabemos que para funciones diferenciables f y g:

d cf (x) cf ¿(x) y d [ f (x) g(x)] f ¿(x) g¿(x). (2)
dx dx

Aunque los resultados en (1) y (2) nos permiten diferenciar rápidamente funciones algebrai-
cas (como polinomios), ni (1) ni (2) constituyen una ayuda inmediata para encontrar la deri-

vada de funciones como y ϭ x4 2x 2 ϩ 4 o y ϭ x>(2x ϩ 1). Se requieren reglas adicionales
para diferenciar productos fg y cocientes f > g.

Regla del producto Las reglas de diferenciación y las derivadas de funciones surgen en
última instancia de la definición de la derivada. La regla de la suma en (2), que se obtuvo en la
sección precedente, se concluye de la definición y del hecho de que el límite de una suma es
la suma de los límites siempre que los límites existan. También sabemos que cuando los lími-
tes existen, el límite de un producto es el producto de los límites. Al razonar por analogía, pare-
cería plausible que la derivada de un producto de dos funciones es el producto de las deriva-
das. Lamentablemente, la regla del producto que se presenta a continuación no es tan simple.

Teorema 4.4.1 Regla del producto

Si f y g son funciones diferenciables en x, entonces fg es diferenciable en x, y

d [ f (x)g(x) ] f (x)g¿(x) g(x)f ¿(x). (3)
dx

DEMOSTRACIÓN Sea G(x) ϭ f(x)g(x). Entonces por la definición de la derivada junto con
algo de manipulación algebraica:

G ¿(x) lím G(x h) G(x) lím f(x h)g(x h) f(x)g(x)
hS0
h hS0 h

cero

⎞ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎬ ⎠⎪ ⎠
⎪ ⎪
⎪

f(x h)g(x h) f(x h)g(x) f(x h)g(x) f(x)g(x)
lím h) f(x)
g(x h) h h.
hS0 h) h
h) . lím g(x g(x) f(x h) f(x)
lím c f(x g(x) h d
hS0
hS0 h) g(x) lím g(x) . lím f(x
h
lím f(x hS0 hS0

hS0

Debido a que f es diferenciable en x, es continua ahí y entonces lím f(x ϩ h) ϭ f(x). Además,
hS0
lím g(x) ϭ g(x). Por tanto, la última ecuación se vuelve
hS0

G¿(x) ϭ f(x)g¿(x) ϩ g(x) f ¿(x).

La regla del producto se memoriza mejor en palabras:

• La primera función por la derivada de la segunda más la segunda función por la deri-
vada de la primera.

EJEMPLO 1 Regla del producto
Diferencie y ϭ (x3 Ϫ 2x2 ϩ 3)(7x2 Ϫ 4x).

Solución De la regla del producto (3),

primera derivada de segunda derivada de
la segunda la primera

dy ⎞ ⎞⎬⎪⎪ ⎞ ⎞ ⎪⎬ ⎪
dx ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎠ ⎬ ⎪ ⎠
⎬ d d
⎪ dx dx
⎪
⎠

(x3 2x2 3) . (7x2 4x) (7x2 4x) . (x 3 2x2 3)

(x3 2x2 3)(14x 4) (7x2 4x)(3x2 4x)

35x4 72x3 24x2 42x 12.

160 UNIDAD 4 La derivada

Solución alterna Los dos términos en la función dada pueden multiplicarse para obtener un
polinomio de quinto grado. Luego, la derivada puede obtenerse usando la regla de la suma.

EJEMPLO 2 Recta tangente

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y ϭ (1 ϩ 1x)(x Ϫ 2) en x ϭ 4.

Solución Antes de tomar la derivada, 1x volvemos a escribirla como x 1>2. Luego, por la
regla del producto (3),

dy ϭ (1 ϩ x 1>2) d (x Ϫ 2) ϩ (x Ϫ 2) d (1 ϩ x 1>2)
dx dx dx

ϭ (1 ϩ x 1>2) . 1 ϩ (x Ϫ 2) . 1 x Ϫ1> 2
2

ϭ 3x ϩ 21x Ϫ 2.
21x

Al evaluar la función dada y su derivada en x ϭ 4 obtenemos:

y(4) A1 14 B(4 2) 6 d el punto de tangencia es (4, 6)
dy
dx ` x 4 12 214 2 72. d la pendiente de la tangente en (4, 6) es 7
214 2

Por la forma punto-pendiente, la recta tangente es

y 6 7 (x 4) o bien, y 7 x 8.
2 2

Aunque (3) se ha planteado sólo para el producto de dos funciones, puede aplicarse a fun-
ciones con un mayor número de factores. La idea consiste en agrupar dos (o más) funciones
y tratar este agrupamiento como una función. El siguiente ejemplo ilustra la técnica.

EJEMPLO 3 Producto de tres funciones
Diferencie y ϭ (4x ϩ 1)(2x2 Ϫ x)(x3 Ϫ 8x).

Solución Los dos primeros factores se identifican como la “primera función”:

primera derivada de segunda derivada de
la segunda la primera
⎪
dy ⎞ ⎞⎪ ⎞⎬ ⎠⎪ ⎪⎞ ⎪⎪ ⎪
dx ⎪ ⎬
⎪⎪ ⎪
⎬ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎠
⎪
⎠ d
⎞ dx
⎪
⎬
⎪
⎠
d
(4x 1)(2x2 x) dx (x3 8x) (x3 8x) (4x 1)(2x2 x).

Observe que para encontrar la derivada de la primera función es necesario aplicar la regla del
producto por segunda ocasión:

De nuevo la regla del producto

dy ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎠
dx ⎪ ⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪

(4x 1)(2x2 x) . (3x2 8) (x3 8x) . [ (4x 1)(4x 1) (2x2 x) . 4]

(4x 1)(2x2 x)(3x2 8) (x3 8x)(16x2 1) 4(x3 8x)(2x2 x).

Regla del cociente A continuación se presenta la derivada del cociente de dos funciones
f y g.

Teorema 4.4.2 Regla del cociente

Si f y g son funciones diferenciables en x y g(x) 0, entonces f͞g es diferenciable en x, y

d c f(x) d g(x)f ¿(x) f(x)g¿(x) . (4)
dx g(x)
[ g(x) ]2

4.4 Derivada de productos y cocientes 161

DEMOSTRACIÓN Sea G(x) ϭ f(x)>g(x). Entonces

f (x h) f(x)
h) g(x)
G¿(x) lím G(x h) G(x) lím g(x h

hS0 h hS0

lím g(x)f(x h) f(x)g(x h)

hS0 hg(x h)g(x)

cero

⎠⎞ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎞⎠
⎬
⎪
⎪

g(x)f(x h) g(x)f(x) g(x)f (x) f(x)g(x h)
lím
hg(x h)g(x)
hS0

f(x h) f(x) g(x h) g(x)
g(x) h f(x) h
lím
g(x h)g(x)
hS0

límg(x) . lím f(x h) f (x) lím f(x) . lím g(x h) g(x)
h h .
hS0 hS0 hS0 hS0

límg(x h) . límg(x)
hS0 hS0

Puesto que se supone que todos los límites existen, la última línea es lo mismo que

G¿(x) ϭ g(x)f ¿(x) Ϫ f(x)g¿(x) .

[ g(x) ] 2

En palabras, la regla del cociente empieza con el denominador:

• El denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del
denominador, todo dividido entre el denominador al cuadrado.

EJEMPLO 4 Regla del cociente

Diferencie y ϭ 3x2 Ϫ 1 .
2x3 ϩ 5x2 ϩ 7

Solución Por la regla del cociente (4),

denominador derivada del numerador derivada del
numerador denominador

⎞ ⎞ ⎪⎬ ⎪ ⎞⎠⎪⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎠
⎪
⎬ d d
⎪ dx dx
⎪
⎠

dy (2x3 5x2 7) . (3x2 1) (3x2 1) . (2x3 5x2 7)

dx (2x3 5x2 7)2
⎞
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎠

cuadrado del denominador

(2x 3 5x 2 7) . 6x (3x 2 1) . (6x 2 10x) d se multiplica por el numerador
(2x 3 5x 2 7) 2
6x 4 6x 2
(2x 3 5x 2 52x .
7) 2

EJEMPLO 5 Reglas del producto y el cociente

Encuentre los puntos sobre la gráfica de y ϭ (x2 ϩ 1)(2x2 ϩ 1) donde la recta tangente es

3x2 ϩ 1

horizontal.

Solución Se empieza con la regla del cociente y luego se usa la regla del producto al dife-
renciar el numerador:

162 UNIDAD 4 La derivada

Regla del
producto aquí

⎞
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎠

dy (3x2 1) . d [ (x2 1)(2x2 1)] (x2 1)(2x2 1) . d (3x2 1)
dx dx

dx (3x2 1)2

(3x2 1) [ (x2 1)4x (2x2 1)2x ] (x2 1)(2x2 1)6x d se multiplica

(3x2 1)2 por el numerador

12x5 18)x23.
(3x2

En un punto donde la recta tangente es horizontal, debe tenerse dy͞dx ϭ 0. La derivada que
acaba de encontrarse sólo puede ser 0 cuando el numerador satisface

Por supuesto, los valores de x 12x5 8x3 0 o bien, x3(12x2 8) 0. (5)
que hacen cero al numerador no
deben hacer simultáneamente En (5), debido a que 12x2 ϩ 8 0 para todos los números reales x, debe tenerse x = 0. Al
cero al denominador. sustituir este número en la función obtenemos y(0) = 1. La recta tangente es horizontal en la
intersección con el eje y, el punto (0, 1).

Posdata: Otro repaso a la regla de potencias Recuerde que en la sección 4.3 establecimos
que la regla de potencias, (d>dx)xn ϭ nxnϪ1, es válida para todos los números reales exponen-

tes n. Ahora ya nos es posible demostrar la regla cuando el exponente es un entero negativo
Ϫm. Puesto que, por definición xϪm ϭ 1>xm, donde m es un entero positivo, la derivada de xϪm

puede obtenerse por medio de la regla del cociente y las leyes de los exponentes:

se restan los exponentes

xm . ddx1 1 . d x m T
dx
ddxx m d Q 1 R mxm 1 mx m 1.
dx xm (xm)2 x2m

d
dx NOTAS DESDE EL AULA

i) Las reglas del producto y del cociente suelen conducir a expresiones que demandan
simplificación. Si su respuesta a un problema no se parece a la que se proporciona en
la sección de respuestas del texto, quizá no ha realizado suficientes simplificaciones.
No quede contento con sólo llevar a cabo las partes mecánicas de las diversas reglas
de diferenciación; siempre resulta una buena idea poner en práctica sus habilidades
algebraicas.

ii) Algunas veces, la regla del cociente se usa cuando no es necesario. Aunque es posible
usar esta regla para diferenciar funciones como

y x5 y y 10,
6 x3

es más simple (y rápido) volver a escribir las funciones como y ϭ 1 x 5 y y ϭ 10xϪ3, y
6

luego usar las reglas del múltiplo constante y de potencias:

dy 1 d x5 5 x4 y dy 10 d x 3 30x 4.
dx 6 dx 6 dx dx

4.4 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-11.

Fundamentos 3. y ϭ a41x ϩ 1 b a2x Ϫ 6 b
x 13 x
En los problemas 1-10, encuentre dy͞dx.
1. y ϭ (x2 Ϫ 7)(x3 ϩ 4x ϩ 2) 4. y ϭ ax2 Ϫ 1 b ax3 ϩ 1 b
2. y ϭ (7x ϩ 1)(x4 Ϫ x3 Ϫ 9x) x2 x3

4.4 Derivada de productos y cocientes 163

5. y ϭ 10 6. y ϭ 5 En los problemas 35-40, f y g son funciones diferenciables.
x2 ϩ Ϫ
1 4x 3 Encuentre FЈ(1) si f(1) ϭ 2, f ¿(1) = -3 y g(1) = 6, g¿(1)

7. y ϭ 3x ϩ 1 8. y ϭ 2 Ϫ 3x = 2.
2x Ϫ 5 7Ϫx
35. F(x) ϭ 2f(x)g(x) 36. F(x) ϭ x2f (x)g(x)

9. y ϭ (6x Ϫ 1)2 10. y ϭ (x4 ϩ 5x)2 2g(x) 1 ϩ 2f(x)
37. F(x) ϭ 3f(x) 38. F(x) ϭ x Ϫ g(x)
En los problemas 11-20, encuentre f Ј(x).
x f (x)
11. f (x) ϭ a 1 Ϫ 4 b (x 3 Ϫ 5x Ϫ 1) 39. F(x) ϭ a 4 ϩ f (x)b g(x) 40. F(x) ϭ g(x)
x x3 x

12. f (x) ϭ (x2 Ϫ 1) ax2 Ϫ 10x ϩ 2 b 41. Suponga que F(x) ϭ 1x f(x), donde f es una función
x2 diferenciable. Encuentre F–(4) si f(4) ϭ Ϫ16, f ¿(4) = 2
y f –(4) ϭ 3.
13. f (x) ϭ x2 14. f (x) ϭ x2 Ϫ 10x ϩ 2
ϩx x(x2 Ϫ 1) 42. Suponga que F(x) ϭ xf(x) ϩ xg(x), donde f y g son fun-
2x2 ϩ 1 ciones diferenciables. Encuentre F–(0) si f ¿(0) ϭ Ϫ1 y
gЈ(0) ϭ 6.
15. f(x) ϭ (x ϩ 1)(2x ϩ 1)(3x ϩ 1)
43. Suponga que F(x) ϭ f(x)>x, donde f es una función dife-
16. f (x) ϭ (x2 ϩ 1)(x3 Ϫ x)(3x4 ϩ 2x Ϫ 1) renciable. Encuentre F–(x).

(2x ϩ 1)(x Ϫ 5) 18. f (x) ϭ (x2 ϩ x5 ϩ 4) 44. Suponga que F(x) ϭ x3f (x), donde f es una función dife-
17. f (x) ϭ 3x ϩ 2 1)(x3 renciable. Encuentre F‡(x).

19. f (x) ϭ (x2 Ϫ 2x Ϫ 1) a x ϩ 1 b En los problemas 45-48, determine intervalos para los cua-
x ϩ 3 les f ¿(x) 7 0 e intervalos para los cuales f ¿(x) 6 0.

20. f (x) ϭ (x ϩ 1) a x ϩ 1 Ϫ x 1 2b 45. f (x) ϭ 5 46. f (x) ϭ x2 ϩ 3
ϩ Ϫ xϩ1
x2 2x
En los problemas 21-24, encuentre una ecuación de la recta
47. f(x) ϭ (Ϫ2x ϩ 6)(4x ϩ 7)
tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado
48. f (x) ϭ (x Ϫ 2)(4x2 ϩ 8x ϩ 4)
de x.

21. y ϭ x x 1; x ϭ 1 22. y ϭ 5x ; xϭ2 Aplicaciones
Ϫ 2 x2 ϩ 1

23. y ϭ (2 1x ϩ x)(Ϫ2x2 ϩ 5x Ϫ 1); x ϭ 1 49. La ley de gravitación universal establece que la fuerza

24. y ϭ (2x2 Ϫ 4)(x3 ϩ 5x ϩ 3); x ϭ 0 F entre dos cuerpos de masas m1 y m2 separados por

En los problemas 25-28, encuentre el o los puntos sobre la una distancia r es F ϭ km1m2>r 2, donde k es constante.

gráfica de la función dada donde la recta tangente es hori- ¿Cuál es la razón de cambio instantánea de F con res-

zontal. pecto a r cuando r ϭ 1 km?
2

25. y ϭ (x2 Ϫ 4)(x2 Ϫ 6) 26. y ϭ x(x Ϫ 1)2 50. La energía potencial U entre dos átomos en una molécula
diatómica está dada por U(x) ϭ q1>x 12 Ϫ q2>x 6, donde q1
27. y ϭ x2 1 28. y ϭ x2 1 6x y q2 son constantes positivas y x es la distancia entre los
x4 ϩ Ϫ átomos. La fuerza entre los átomos se define como

En los problemas 29 y 30, encuentre el punto o los puntos ( )F(x) ϭ ϪU¿(x). Demuestre que F 16 2q1>q2 ϭ 0.

sobre la gráfica de la función dada donde la recta tangente 51. La ecuación de estado de Van der Waals para un gas

tiene la pendiente indicada. ideal es

29. y ϭ x ϩ 13; m ϭ Ϫ81 aP ϩ a b (V Ϫ b) ϭ RT,
x ϩ V2

30. y ϭ (x ϩ 1)(2x ϩ 5); m ϭ Ϫ3 donde P es la presión, V es el volumen por mol, R es la

En los problemas 31 y 32, encuentre el punto o los puntos constante universal de los gases, T es la temperatura y
sobre la gráfica de la función dada donde la recta tangente
tiene la propiedad indicada. a y b son constantes que dependen del gas. Encuentre

dP͞dV en el caso donde T es constante.

31. y x 45; perpendicular a y x 52. Para una lente convexa, la distancia focal f está relacio-
32. y x 1 nada con la distancia al objeto p y la distancia a la ima-
gen q por la ecuación de la lente
x x 1; paralela a y 1 x
4 1 1 q1.
f ϭ p ϩ
33. Encuentre el valor de k tal que la recta tangente a la grá-
fica de f(x) ϭ (k ϩ x)>x2 tiene pendiente 5 en x = 2. Encuentre la razón de cambio instantánea de q con res-
pecto a p en el caso donde f es constante. Explique el
34. Demuestre que la tangente a la gráfica de f (x) = (x2 + significado del signo negativo en su respuesta. ¿Qué
14)͞(x2 + 9) en x = 1 es perpendicular a la tangente de ocurre a q cuando p crece?
la gráfica de g(x) ϭ (1 ϩ x2)(1 ϩ 2x) en x = 1.

164 UNIDAD 4 La derivada

Piense en ello c) Conjeture una regla para encontrar la derivada de
y ϭ [ f (x) ]n, donde n es un entero positivo.
53. a) Grafique la función racional f (x) ϭ x2 2 .
ϩ 1 d) Use su conjetura en el inciso c) para encontrar la deri-
vada de y ϭ (x2 ϩ 2x Ϫ 6)500.
b) Encuentre todos los puntos sobre la gráfica de f tales
que las rectas normales pasen por el origen. 55. Suponga que y1(x) satisface la ecuación diferencial
y¿ ϩ P(x)y ϭ 0, donde P es una función conocida.
54. Suponga que y ϭ f(x) es una función diferenciable. Demuestre que y ϭ u(x)y1(x) satisface la ecuación dife-
a) Encuentre dy>dx para y ϭ [ f (x)]2. rencial
b) Encuentre dy>dx para y ϭ [ f(x)]3.
y ¿ ϩ P(x)y ϭ f(x)

siempre que u(x) satisface du>dx ϭ f(x)>y1(x).

4.5 Derivada de funciones trigonométricas

Introducción En esta sección desarrollaremos las derivadas de las seis funciones trigono-
métricas. Una vez que se han encontrado las derivadas de sen x y cos x es posible determinar
las derivadas de tan x, cot x, sec x y csc x usando la regla del cociente encontrada en la sec-
ción precedente. De inmediato veremos que la derivada de sen x usa los dos siguientes resul-
tados de límites

lím sen x 1 y lím cos x 1 0 (1)
x x
xS0 xS0

que se encontraron en la sección 3.4.

Derivadas del seno y coseno Para encontrar la derivada de f(x) ϭ sen x se usa la defini-
ción básica de la derivada

dy f(x h) f(x) (2)
lím
dx h
hS0

y el proceso de cuatro pasos introducido en las secciones 4.1 y 4.2. En el primer paso usamos
la fórmula de la suma para la función seno,

sen(x1 x2) sen x1 cos x2 cos x1 sen x2, (3)

pero donde x y h desempeñan las partes de los símbolos x1 y x2.

i) f (x h) sen(x h) sen x cos h cos x sen h d por (3)

ii) f(x h) f (x) sen x cos h cos x sen h sen x d se factoriza sen x
de los términos

sen x(cos h 1) cos x sen h primero y tercero

Como observamos en la línea siguiente, no es posible cancelar las h en el cociente diferencial,
aunque es posible volver a escribir la expresión para usar los resultados sobre límites en (1).

f(x h) f(x) sen x(cos h 1) cos x sen h
iii) h
h

sen x . cos h 1 cos x . sen h
h h

iv) En esta línea, el símbolo h desempeña la parte del símbolo x en (1):

f ¿(x) f (x h) f (x) sen x . lím cos h 1 cos x . lím sen h.
lím h h h
hS0 hS0
hS0

A partir de los resultados sobre límites en (1), la última línea es lo mismo que

f ¿(x) f (x h) f (x) sen x . 0 cos x . 1 cos x.
lím h

hS0

Por tanto, d sen x cos x. (4)
dx

De manera semejante es posible demostrar que 4.5 Derivada de funciones trigonométricas 165
(5)
d cos x sen x.
dx

Vea el problema 50 en los ejercicios al final de esta sección.

EJEMPLO 1 Ecuación de una recta tangente
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) ϭ sen x en x ϭ 4p>3.

Solución A partir de (4) la derivada de f (x) ϭ sen x es f ¿(x) ϭ cos x. Cuando éstas se eva-
lúan en el mismo número x ϭ 4p>3 obtenemos:

f Q 4p R sen 4p 13 d el punto de tangencia es A43p, 13 B
3 3 2 2

f ¿Q 4p R cos 4p 21. d la pendiente de la tangente en A43p, 13 B es 1
3 3 2 2
y
y ϭ sen x

A partir de la forma punto-pendiente de una recta, una ecuación de la recta tangente es x

4p 2p punto de la pendiente es
3 3
y 13 1 Qx R o bien, y 1 x 123. ( )tangencia 4␲ , Ϫ 3 ( )ƒЈ4␲ ϭϪ 1
2 2 2 3 2 3 2

FIGURA 4.5.1 Recta tangente en

La tangente se muestra en la FIGURA 4.5.1. el ejemplo 1

Otras funciones trigonométricas Los resultados en (4) y (5) pueden usarse junto con las
reglas de diferenciación para encontrar las derivadas de la tangente, cotangente, secante y cose-
cante.

Para diferenciar tan x ϭ sen x͞cos x se usa la regla del cociente:

d sen x cos x d sen x sen x d cos x
dx cos x dx dx

(cos x)2

esto es igual a 1

⎞
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎠

cos x (cos x) sen x ( sen x) cos2 x sen2 x.
(cos x)2 cos2 x

Al usar la identidad pitagórica fundamental sen2 x ϩ cos2 x ϭ 1 y el hecho de que 1>cos2 x ϭ
(1>cos x)2 ϭ sec2 x, la última ecuación se simplifica a

d tan x sec2 x. (6)
dx

La fórmula de la derivada para la cotangente

d cot x csc2 x (7)
dx

se obtiene en forma análoga y se deja como ejercicio. Vea el problema 51 en la sección
“Desarrolle su competencia 4.5”.

Así, sec x ϭ 1͞cos x. En consecuencia, es posible usar otra vez la regla del cociente para
encontrar la derivada de la función secante:

d1 cos x d 1 1 . d cos x
dx cos x dx dx

(cos x)2

0 ( sen x) sen x . (8)
(cos x)2 cos2 x

Al escribir sen x 1 . sen x sec x tan x
cos2 x cos x cos x

166 UNIDAD 4 La derivada

podemos expresar (8) como

d sec x sec x tan x. (9)
dx (10)

El resultado final también se concluye de inmediato a partir de la regla del cociente:

d csc x csc x cot x.
dx

Vea el problema 52 en la sección “Desarrolle su competencia 4.5”.

EJEMPLO 2 Regla del producto
Diferencie y ϭ x2 sen x.

Solución La regla del producto junto con (4) da

dy x2 d sen x sen x d x2
dx dx dx

x2 cos x 2 x sen x.

EJEMPLO 3 Regla del producto
Diferencie y ϭ cos2 x.

Solución Una forma de diferenciar esta función es reconocerla como un producto: y ϭ
(cos x)(cos x). Luego, por la regla del producto y (5),

dy cos x d cos x cos x d cos x
dx dx dx

cos x( sen x) (cos x)( sen x)

2 sen x cos x.

En la siguiente sección veremos que hay un procedimiento alterno para diferenciar una poten-
cia de una función.

EJEMPLO 4 Regla del cociente

Diferencie y 2 sen x x.
sec

Solución Por la regla del cociente, (4) y (9),

dy (2 sec x) d sen x sen x d (2 sec x)
dx dx

dx (2 sec x)2

(2 sec x) cos x sen x (sec x tan x) d sec x cos x 1y
(2 sec x)2 sen x(sec x tan x)
sen2 x>cos2 x

1 2 cos x tan2 x.
(2 sec x)2

EJEMPLO 5 Segunda derivada

Encuentre la segunda derivada de f (x) ϭ sec x.

Solución Por (9), la primera derivada es

f ¿(x) ϭ sec x tan x.

Para obtener la segunda derivada, ahora es necesario usar la regla del producto junto con (6)

y (9):

f –(x) sec x d tan x tan x d sec x
dx dx

sec x (sec2 x) tan x (sec x tan x)

sec3 x sec x tan2 x.

4.5 Derivada de funciones trigonométricas 167

Para referencia futura, a continuación se resumen las fórmulas de derivadas presentadas
en esta sección.

Teorema 4.5.1 Derivadas de funciones trigonométricas

Las derivadas de las seis funciones trigonométricas son

d sen x cos x, d cos x sen x, (11)
dx dx csc2 x, (12)
csc x cot x. (13)
d tan x sec2 x, d cot x
dx dx

d sec x sec x tan x, d csc x
dx dx

d
dx NOTAS DESDE EL AULA

Cuando trabaje los problemas en la sección “Desarrolle su competencia 4.5”, puede que no
obtenga la misma respuesta que la proporcionada en la sección de respuestas al final del
libro. Esto se debe a que hay muchas identidades trigonométricas cuyas respuestas pueden
expresarse en una forma más breve. Por ejemplo, la respuesta en el ejemplo 3:

dy dy
dx 2 sen x cos x es la misma que dx sen 2 x
por la fórmula del ángulo doble para la función seno. Intente resolver las diferencias entre
su respuesta y la respuesta proporcionada.

4.5 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-11.

Fundamentos En los problemas 27-30, considere la gráfica de la función
dada sobre el intervalo [0, 2p]. Encuentre las coordenadas
En los problemas 1-12, encuentre dy͞dx. x del o de los puntos sobre la gráfica de la función donde la
recta tangente es horizontal.
1. y x2 cos x 2. y 4 x3 x 5 sen x

3. y 1 7 sen x tan x 4. y 3 cos x 5 cot x 27. f (x) x 2 cos x 28. f(x) sen x
5. y 6. y A4 1x 3 13 x B cos x 2 cos x
7. y x sen x 8. y cos x cot x
9. y (x3 2) tan x 10. y 29. f (x) 1 30. f (x) sen x cos x
11. y (x2 sen x) sec x 12. y csc x tan x x cos x
cos2 x sen2 x x3 cos x x3 sen x
En los problemas 31-34, encuentre una ecuación de la recta
En los problemas 13-22, encuentre f Ј(x). Simplifique. normal a la gráfica de la función dada en el valor indicado
de x.

13. f (x) (csc x) 1 14. f(x) 2 31. f (x) sen x; x 4p 3 32. f (x) tan2 x; x p 4
16. f(x) cos x cot x
cot x 18. f(x) x2 6x 33. f(x) x cos x; x p
x1 1 cos x
15. f(x) 34. f (x) 1 x x; x p2
17. f(x) x2 2 sen x sen
1 2 tan x x
En los problemas 35 y 36, use una identidad trigonométrica
sen x 1 csc x idónea para encontrar la derivada de la función dada.
1 cos x 1 sec x
19. f(x) 20. f(x) cos2 x
2
35. f (x) ϭ sen 2x 36. f (x) ϭ

21. f (x) x4 sen x tan x 22. f(x) 1 sen x En los problemas 37-42, encuentre la segunda derivada de la
x cos x

En los problemas 23-26, encuentre una ecuación de la recta función dada.
tangente a la gráfica de la función dada en el valor indicado
de x. 37. f(x) x sen x 38. f (x) 3x x2 cos x

23. f(x) cos x; x p>3 24. f(x) tan x; x p 39. f(x) sen x 40. f (x) 1
x 1 cos x

25. f(x) sec x; x p>6 26. f(x) csc x; x p>2 41. y csc x 42. y tan x

168 UNIDAD 4 La derivada

En los problemas 43 y 44, C1 y C2 son constantes reales arbi- Piense en ello
trarias. Demuestre que la función satisface la ecuación dife-
47. a) Encuentre todos los enteros positivos n tales que
rencial dada.
dn dn
12x cos x; y– y dx n sen x sen x; dx n cos x cos x;
x2y– xy¿ Ax2 sen x; cos x.
43. y C1 cos x C2 sen x sen x dn dn
44. y C2 s1enxx; dx n dx n
cos x 1 cos x sen x
1x 4
C1 B y 0

b) Use los resultados en el inciso a) como ayuda para

Aplicaciones encontrar

45. Cuando el ángulo de elevación del Sol es u, un poste d 21 sen x, d 30 sen x, d 40 cos x y d 67 cos x.
telefónico de 40 pies de altura proyecta una sombra de dx 21 dx 30 dx 40 dx 67
longitud s como se muestra en la FIGURA 4.5.2. Encuentre
la razón de cambio de s con respecto a u cuando 48. Encuentre dos puntos distintos P1 y P2 sobre la gráfica
de y ϭ cos x de modo que la recta tangente en P1 sea
u ϭ pր3 radianes. Explique el significado del signo perpendicular a la recta tangente en P2.

menos en la respuesta. 49. Encuentre dos puntos distintos P1 y P2 sobre la gráfica
de y ϭ sen x de modo que la recta tangente en P1 sea
paralela a la recta tangente en P2.

50. Use (1), (2) y la fórmula de la suma para el coseno para

demostrar que

d cos x sen x.
dx

40 pies 51. Use (4) y (5) y la regla del cociente para demostrar que

␪ d cot x csc2 x.
dx
S
52. Use (4) y la regla del cociente para demostrar que
FIGURA 4.5.2 Sombra en el problema 45
d csc x csc x cot x.
46. Los dos extremos de una tabla de 10 pies de longitud se dx
sujetan a rieles perpendiculares como se muestra en la
FIGURA 4.5.3, de modo que el punto P puede desplazarse Problemas con calculadora/SAC
con libertad sobre la vertical y el punto R puede moverse
libremente en dirección horizontal. En los problemas 53 y 54, use una calculadora o un SAC para
obtener la gráfica de la función dada. Por inspección de la
a) Exprese el área A del triángulo PQR como una fun- gráfica, indique dónde la función puede no ser diferenciable.
ción del ángulo u indicado. 53. f (x) 0.5(sen x 0 sen x 0 ) 54. f (x) 0 x sen x 0

b) Encuentre la razón de cambio de A con respecto a u. 55. Como se muestra en la FIGURA 4.5.4, un joven jala un trineo
c) Al inicio la tabla está en posición plana sobre el riel donde va sentada su hermana. Si el peso total del trineo y
la chica es de 70 lb, y si el coeficiente de fricción de suelo
horizontal. Suponga que luego el punto R se mueve cubierto por nieve es 0.2, entonces la magnitud F de la
en dirección del punto Q, obligando así al punto P a fuerza (medida en libras) necesaria para mover el trineo es
moverse hacia arriba sobre el riel vertical. Al princi-
pio el área del triángulo es 0 (u ϭ 0), pero luego 70(0.2)
aumenta durante un instante a medida que u crece F 0.2 sen u cos u,
y después disminuye cuando R tiende a Q. Cuando donde u es el ángulo que la cuerda forma con la hori-
la tabla está vertical, el área del triángulo es zontal.

0 (u = p>2) de nuevo. Grafique la derivada dAրdu. a) Use una calculadora o un SAC para obtener la grá-

Interprete la gráfica para encontrar valores de u para fica de F sobre el intervalo [Ϫ1, 1].
los cuales A es creciente y los valores de u para los
cuales A es decreciente. Luego compruebe su inter- b) Encuentre la derivada dFրdu.
pretación de la gráfica de la derivada al graficar A(u).
d) Use las gráficas en el inciso c) para encontrar el valor c) Encuentre el ángulo (en radianes) para el que
de u para el cual el área del triángulo es máxima.
dFրdu ϭ 0.
riel
d) Encuentre el valor de F correspondiente al ángulo
P
encontrado en el inciso c).
10 pies
e) Use la gráfica en el inciso a) como ayuda para inter-

pretar los resultados encontrados en los incisos c) y d).

␪ F
Q R riel ␪
FIGURA 4.5.3 Tabla en el problema 46
FIGURA 4.5.4 Trineo en el problema 55

4.6 La regla de la cadena 169

4.6 La regla de la cadena

Introducción Como se analizó en la sección 4.3, la regla de potencias

d x n nx n 1
dx

es válida para todos los números reales exponentes n. En esta sección veremos que una regla
semejante se cumple para la derivada de una potencia de una función y ϭ [g(x)]n. Antes de
plantear el resultado formal, se considerará un ejemplo cuando n es un entero positivo.

Suponga que queremos diferenciar

y ϭ (x5 ϩ 1)2. (1)

Al escribir (1) como y ϭ (x5 ϩ 1) . (x5 ϩ 1), podemos encontrar la derivada al usar la regla
del producto:

d (x 5 ϩ 1)2 ϭ (x5 ϩ 1) . d (x5 ϩ 1) ϩ (x5 ϩ 1) . d (x 5 ϩ 1)
dx dx dx

ϭ (x5 ϩ 1) . 5x 4 ϩ (x5 ϩ 1) . 5x4

ϭ 2(x5 ϩ 1) . 5x4. (2)

En forma semejante, para diferenciar la función y ϭ (x5 ϩ 1)3, es posible escribirla como
y ϭ (x5 ϩ 1)2 . (x5 ϩ 1) y usar la regla del producto y el resultado que se proporciona en (2):

d (x5 1)3 d (x5 1)2 . (x5 1) sabemos esto por (2)
dx dx

d ⎞
dx ⎪
⎬
⎪
⎠
d
(x5 1)2 . (x5 1) (x5 1) . dx (x5 1)2

(x5 1)2 . 5x 4 (x5 1) . 2(x5 1) . 5x4

3(x5 1)2 . 5x 4. (3)

Asimismo, al escribir y ϭ (x5 ϩ 1) 4 como y ϭ (x5 ϩ 1)3 . (x5 ϩ 1) es posible demostrar con
facilidad mediante la regla del producto y (3) que

d (x5 ϩ 1)4 ϭ 4(x5 ϩ 1)3 . 5x4. (4)
dx

Regla de potencias para funciones La inspección de (2), (3) y (4) revela un patrón para
diferenciar una potencia de una función g. Por ejemplo, en (4) vemos

el exponente se escribe como múltiplo

T T derivada de la función entre paréntesis

4(x5 1)3 . 5x4

c
disminuir el exponente por 1

Para recalcar lo anterior, si la función diferenciable se denota por [ ], resulta evidente que

d [ ]n ϭ n[ ] nϪ1 d [ ].
dx dx

El análisis anterior sugiere el resultado que se plantea en el siguiente teorema.

Teorema 4.6.1 Regla de potencias para funciones

Si n es cualquier número real y u ϭ g(x) es diferenciable en x, entonces

d [ g(x) ] n n [ g(x) ]n 1 . g¿(x), (5)
dx (6)

o, en forma equivalente, d un nun 1 . ddux.
dx

170 UNIDAD 4 La derivada

El teorema 4.6.1 constituye en sí un caso especial de un teorema más general, denomi-
nado regla de la cadena, que se presentará después de considerar algunos ejemplos de esta
nueva regla de potencias.

EJEMPLO 1 Regla de potencias para funciones
Diferencie y ϭ (4x3 ϩ 3x ϩ 1)7.

Solución Con la identificación de que u ϭ g(x) ϭ 4x3 ϩ 3x ϩ 1, por (6) vemos que

n un 1 du>dx

dy { ⎞
dx ⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎠
⎞
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎠
d
7(4x3 3x 1)6 . dx (4x3 3x 1) 7(4x3 3x 1)6(12x2 3).

EJEMPLO 2 Regla de potencias para funciones

Para diferenciar y ϭ 1>(x2 ϩ 1), podríamos, por supuesto, usar la regla del cociente. No obs-
tante, al volver a escribir la función como y ϭ (x2 ϩ 1) Ϫ1, también es posible usar la regla de
potencias para funciones con n ϭ Ϫ1:

dy ϭ (Ϫ1)(x2 ϩ 1)Ϫ2 . d (x2 ϩ 1) ϭ (Ϫ1)(x2 ϩ 1)Ϫ2 2x ϭ Ϫ2x .
dx dx (x2 ϩ 1)2

EJEMPLO 3 Regla de potencias para funciones

Diferencie y ϭ (7x5 Ϫ 1 ϩ 2)10.
x4

Solución Escribimos la función dada como y ϭ (7x5 Ϫ x 4 ϩ 2)Ϫ10. Se identifica u = 7x5 -
x4 + 2, n ϭ Ϫ10 y se usa la regla de potencias (6):

dy ϭ Ϫ10(7x5 Ϫ x4 ϩ 2)Ϫ11 . d (7x5 Ϫ x4 ϩ 2) ϭ Ϫ10(35x4 Ϫ 4x3)
dx dx (7x5 Ϫ x4 ϩ 2)11 .

EJEMPLO 4 Regla de potencias para funciones
Diferencie y = tan3 x.

Solución Para recalcar, primero volvemos a escribir la función como y ϭ (tan x)3 y luego se
usa (6) con u ϭ tan x y n ϭ 3:

dy 3(tan x)2 . d tan x.
dx dx

Recuerde por (6) de la sección 4.4 que (d͞dx) tan x = sec2 x. Por tanto,

dy 3 tan2 x sec2 x.
dx

EJEMPLO 5 Regla del cociente y luego regla de potencias
(x2 Ϫ 1)3

Diferencie y ϭ (5x ϩ 1)8.

Solución Empezamos con la regla del cociente seguida por dos aplicaciones de la regla de
potencias para:

Regla de potencias para funciones

TT

dy (5x 1)8 . d (x2 1)3 (x2 1)3 . d (5x 1)8
dx dx

dx (5x 1)16

(5x 1)8 . 3(x2 1)2 . 2x (x2 1)3 . 8(5x 1)7 . 5

(5x 1)16

4.6 La regla de la cadena 171

6x(5x ϩ 1)8(x2 Ϫ 1)2 Ϫ 40(5x ϩ 1)7(x2 Ϫ 1)3
ϭ (5x ϩ 1)16

ϭ (x2 Ϫ 1)2(Ϫ10x2 ϩ 6x ϩ 40) .

(5x ϩ 1)9

EJEMPLO 6 Regla de potencias y luego regla del cociente

Diferencie y ϭ 2x Ϫ 13.
A 8x ϩ

Solución Al volver a escribir la función como

y ϭ Q 2x Ϫ 3 1>2 podemos identificarla u ϭ 2x Ϫ 3
8x ϩ 1 8x ϩ 1
R

y n ϭ 21. Por tanto, para calcular du͞dx en (6) es necesario usar la regla del cociente:

dy ϭ 1 Q 2x Ϫ 3 Ϫ1>2 . d Q 2x Ϫ 3 R
dx 2 8x ϩ 1 dx 8x ϩ 1
R

1 Q 2x Ϫ 3 Ϫ1>2 . (8x ϩ 1) . 2 Ϫ (2x Ϫ 3) . 8
2 8x ϩ 1 (8x ϩ 1)2
ϭ R

ϭ 1 Q 2x Ϫ 3 Ϫ1>2 . 26 1)2.
2 8x ϩ 1 (8x ϩ
R

Por último, se simplifica usando las leyes de los exponentes:

dy ϭ (2x Ϫ 13 ϩ 1)3>2.
dx 3)1>2 (8x

Regla de la cadena Una potencia de una función puede escribirse como una función com-
puesta. Si identificamos f (x) ϭ xn y u ϭ g(x), entonces f(u) ϭ f (g(x)) ϭ [ g(x) ]n. La regla de
la cadena constituye un mecanismo para diferenciar cualquier composición f ‫ ؠ‬g de dos fun-

ciones diferenciables f y g.

Teorema 4.6.2 Regla de la cadena

Si la función f es diferenciable en u ϭ g(x) y la función g es diferenciable en x, entonces
la composición y ϭ ( f ‫ ؠ‬g)(x) ϭ f (g(x)) es diferenciable en x y

d f (g(x)) f ¿(g(x)) . g¿(x) (7)
dx (8)

o, en forma equivalente, dy dy . ddux .
dx du

DEMOSTRACIÓN PARA ⌬u Z 0 En esta demostración parcial resulta conveniente usar la
forma de la definición de la derivada proporcionada en (3) de la sección 4.2. Para ¢x 0,

¢u ϭ g(x ϩ ¢x) Ϫ g(x) (9)

o bien, g(x ϩ ¢x) ϭ g(x) ϩ ¢u ϭ u ϩ ¢u. Además,

¢y ϭ f (u ϩ ¢u) Ϫ f (u) ϭ f (g(x ϩ ¢x)) Ϫ f (g(x)).

Cuando x y x ϩ ¢x están en algún intervalo abierto para el que ¢u 0, es posible escribir

¢y ϭ ¢y . ¢¢ux .
¢x ¢u

172 UNIDAD 4 La derivada

Puesto que se supone que g es diferenciable, es continua. En consecuencia, cuando ¢x S 0,
g(x ϩ ¢x) S g(x), y así por (9) vemos que ¢u S 0. Por tanto,

lím ¢y Q lím ¢y R . Q lím ¢u R
¢xS0 ¢u ¢xS0 ¢x
¢xS0 ¢ x

Q lím ¢y R . Q lím ¢u R. d observe que ¢u S 0 en el primer término
¢uS0 ¢u ¢xS0 ¢x ˛

Por la definición de derivada, (3) de la sección 4.2, se concluye que

dy ϭ dy . ddux .
dx du

Se supone que ¢u 0 sobre algunos intervalos no se cumple para toda función diferen-
ciable g. Aunque el resultado proporcionado en (7) sigue siendo válido cuando ¢u ϭ 0, la
demostración precedente no.

Para comprender la derivada de una composición y ϭ f(g(x)) podría ser de utilidad con-
siderar a f como la función externa y a u ϭ g(x) como la función interna. Así, la derivada de
y ϭ f(g(x)) ϭ f(u) es el producto de la derivada de la función externa (evaluada en la función
interna) y la derivada de la función interna (evaluada en x):

derivada de la función externa

d f (u) T (10)
dx
f ¿(u) . u¿.

c

derivada de la función interna

El resultado en (10) lo escribimos de varias formas. Puesto que y ϭ f(u), tenemos
f ¿(u) ϭ dy>du, y, por supuesto, u¿ ϭ du>dx. El producto de las derivadas en (10) es el mismo
que en (8). Por otra parte, si los símbolos u y u¿ en (10) los sustituimos por g(x) y g¿(x), obte-
nemos (7).

Demostración de la regla de potencias para funciones Como ya se observó, una potencia

de una función puede escribirse como una composición ( f ‫ ؠ‬g)(x) donde la función externa es

y ϭ f(x) ϭ xn y la función interna es u ϭ g(x). La derivada de la función interna y ϭ f (u) ϭ u n

es dy ϭ nu nϪ1 y la derivada de la función externa es ddux . Así, el producto de estas derivadas es
dx

dy ϭ dy . du ϭ nu nϪ 1 du ϭ n [ g(x) ]nϪ1g¿(x).
dx du dx dx

Ésta es la regla de potencias para funciones proporcionada en (5) y (6).

Funciones trigonométricas Las derivadas de las funciones trigonométricas compuestas con
una función diferenciable g se obtienen como una consecuencia directa de la regla de la cadena.
Por ejemplo, si y ϭ sen u, donde u ϭ g(x), entonces la derivada de y con respecto a la varia-
ble u es

dy
du cos u.

Por tanto, (8) da

dy dy . du cos u du
dx du dx dx

o bien, de manera equivalente,

d sen [ ] cos [ ] d [ ].
dx dx

En forma semejante, si y ϭ tan u donde u ϭ g(x), entonces dy͞du = sec2 u y así

dy dy . du sec2 u ddux.
dx du dx

A continuación se resumen los resultados de la regla de la cadena para las seis funciones tri-
gonométricas.

Teorema 4.6.3 Derivadas de funciones trigonométricas 4.6 La regla de la cadena 173

Si u ϭ g(x) es una función diferenciable, entonces (11)
(12)
d sen u cos u ddux, d cos u sen u ddux, (13)
dx sec2 u ddxu, dx csc2 u ddxu,
sec u tan u ddux, csc u cot u ddux.
d tan u d cot u
dx dx

d sec u d csc u
dx dx

EJEMPLO 7 Regla de la cadena
Diferencie y ϭ cos 4x.

Solución La función es cos u con u ϭ 4x. Por la segunda fórmula en (11) del teorema 4.6.3,
la derivada es

dy du

du dx

⎞ dy ⎬ ⎞⎠ ⎬⎞⎬
⎪ dx ⎠
⎪ d
⎬ sen 4x . dx 4x 4 sen 4x.
⎪
EJEMPLO 8 Regla de la cadena⎪
Diferencie y ϭ tan(6x2 ϩ 1).⎠⎞

Solución La función es tan u con u ϭ 6x2 ϩ 1. Por la segunda fórmula en (12) del teorema
4.6.3, la derivada es

sec2 u du
dx

dy ⎪ ⎪
dx ⎠
d
sec2(6x2 1) . dx (6x2 1) 12x sec2(6x 2 1).

EJEMPLO 9 Reglas del producto, de potencias y de la cadena
Diferencie y ϭ (9x3 ϩ 1)2 sen 5x.

Solución Primero se usa la regla del producto:

dy (9x3 1)2 . d sen 5x sen 5x . d (9x3 1)2
dx dx dx

seguida de la regla de potencias (6) y la primera fórmula (11) del teorema 4.6.3,

por (11) por (6)

dy TT
dx
(9x3 1)2 . cos 5x . d 5x sen 5x . 2(9x3 1) . d (9x3 1)
dx dx
(9x3 1)2 . 5 cos 5x sen 5x . 2(9x3 1) . 27x2

(9x3 1)(45x3 cos 5x 5 cos 5x 54x2 sen 5x).

En las secciones 4.3 y 4.4 vimos que aun cuando las reglas de la suma y el producto se
plantearon en términos de dos funciones f y g, son válidas para cualquier número finito de
funciones diferenciables. De este modo, también se planteó la regla de la cadena para la com-
posición de dos funciones f y g, aunque es posible aplicarla a la composición de tres (o más)
funciones diferenciables. En el caso de las tres, f, g y h, (7) se vuelve

d f (g(h(x))) ϭ f ¿(g(h(x))) . d g(h(x))
dx dx

ϭ f ¿(g(h(x))) . g¿(h(x)) . h¿(x).