Matemática 1 - Cálculo Diferencial - Dennis Zill

3.4 Límites trigonométricos 113

puesto que ambos límites existen. Así,

lím sen (x 1) Qlím 1 3R Qlím sen tR 1 . 1 41.
xS1 tS0 t 4
xS1 x2 2x 3 x

EJEMPLO 8 Uso de una identidad pitagórica

Encuentre el límite lím 1 cos x.
xS0 x

Solución Para calcular este límite empezamos con un poco de ingenio algebraico al multi-

plicar el numerador y el denominador por el factor conjugado del numerador. Luego usamos
la identidad pitagórica fundamental sen2 x ϩ cos2 x ϭ 1 en la forma 1 Ϫ cos2 x ϭ sen2 x:

lím 1 cos x lím 1 cos x . 1 cos x
x x1 cos x
xS0 xS0

lím 1 cos2 x
x(1 cos x)
xS0

lím sen2 x x) .
x(1 cos
xS0

Para el siguiente paso de nuevo se acude al álgebra para volver a escribir la expresión frac-
cionaria como un producto, y luego se usan los resultados en (5):

lím 1 cos x lím sen2 x x)
x x(1 cos
xS0 xS0

lím Q sen x . sen x R
x cos
xS0 1 x

Q lím sen x R . Q lím sen x R.
xS0 x xS0 cos
1 x

Debido a que lím (sen x)͞(1 ϩ cos x) ϭ 0͞2 ϭ 0 se tiene y
xS0 1

lím 1 cos x 0. (13)
x
xS0

Puesto que el límite en (13) es igual a 0, puede escribirse y ϭ cos x Ϫ1
x
(cos x 1)
lím 1 cos x lím ( 1)lím cos x 1 0. 2␲
x xS0 x
xS0 xS0 x x

Ϫ2␲

Luego, al dividir entre Ϫ1 se obtiene otro importante límite trigonométrico:

lím cos x 1 0. (14)
x
xS0 Ϫ1

En la FIGURA 3.4.6 se muestra la gráfica de f(x) ϭ (cos x Ϫ1)>x. Los resultados en (10) y (14) FIGURA 3.4.6 Gráfica de
se usarán en la sección “Desarrolle su competencia 3.7” y también en la sección 3.4. f(x) ϭ (cos x Ϫ 1)͞x

3.4 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-9.

Fundamentos 7. lím 1 8. lím 5t cot 2t
t csc tS0
En los problemas 1-36, encuentre el límite dado, o concluya tS0 t sec 4t

que no existe. 9. lím 2 sen2 t 10. lím sen2 (t>2)
tS0 t cos2 t tS0
sen 3t sen ( 4t) sen t
2t
1. lím 2. lím t sen2 6t t3
tS0 t2 sen2
tS0 11. lím 12. lím

sen x 1 sen x tS0 tS0 3t
cos x 1 cos x
3. lím 4 4. lím sen(x 1) x 2p

xS0 xS0

cos 2x tan x 13. lím 2x 2 14. lím sen x
cos 3x 3x xS1
5. lím 6. lím x S 2p

xS0 xS0

114 UNIDAD 3 Límite de una función

15. lím cosx 16. lím 1 sen u En los problemas 39 y 40, use el teorema de compresión para
x cos u establecer el límite dado.
xS0 u S p>2

17. lím cos(3x p>2) 18. lím sen(5x 10) 39. lím x sen 1 0 40. lím x2 cos p 0
xS0 xS 2 x x
x 4x 8 xS0 xS0

19. lím sen 3t 20. lím sen 2t csc3t 41. Use las propiedades de los límites dadas en el teorema
sen 7t tS0 3.2.3 para demostrar que
tS0

21. lím sen t 22. lím 1 cos1t a) lím x 3 sen 1 0 b) lím x 2 sen2 1 0.
tS0 1t tS 0 1t x x
xS0 xS0

23. lím t2 5t sen t 24. lím cos4t 42. Si 0 f(x) 0 Յ B para toda x en un intervalo que contiene
tS0 t2 cos8t a 0, demuestre que lím x2f (x) ϭ 0.
tS0
xS0

25. lím (x 2 1sen x)2 26. lím (1 cos x)2 En los problemas 43 y 44, use el teorema de compresión para
xS0 xS0
x x establecer el límite dado.

27. lím cosx 1 28. lím sen x tan x 43. lím f (x) donde 2x Ϫ 1 Յ f (x) Յ x2 Ϫ 2x ϩ 3, x 2
cos2x 1 xS2
xS0 xS0 x
44. lím f (x) donde 0 f (x) Ϫ 1 0 Յ x2, x 0
sen 5x2 t2 xS0
x2 cos t
29. lím 30. lím 1

xS0 tS0 Piense en ello

31. lím sen(x 2) 32. lím x2 9 En los problemas 45-48, use una sustitución idónea para
encontrar el límite dado.
xS2 x2 2x 8 xS3 sen(x 3)

33. lím 2 sen 4x 1 cosx 34. lím 4x2 2 sen x 45. lím sen x cosx 46. lím xp
xS0 x xS0 x xSp>4 x p>4
xSp tan2x

35. lím 1 tanx 36. lím cos2x x 47. lím sen (p>x) 48. lím cos(p>x)
cosx sen x cos x sen xS1 xS2
x S p>4 x S p>4 x 1 x 2

37. Suponga que f(x) ϭ sen x. Use (10) y (14) de esta sec- 49. Analice: ¿La función

ción junto con (17) de la sección 2.4 para encontrar el

límite: p f Qp4 R. sen x, x 0
4 x
f Q hR f(x) •
h
lím 1, x 0
hS0

38. Suponga que f(x) ϭ cos x. Use (10) y (14) de esta sec- es continua en 0?

ción junto con (18) de la sección 2.4 para encontrar el 50. La existencia de lím sen x no implica la existencia de
x
límite: xS0

f Q p hR f Q p R lím sen 0 x 0 . Explique por qué el segundo límite no existe.
6 h 6 . x
lím xS0

hS0

En algunos textos se usa el 3.5 Límites que involucran el infinito
símbolo ϩq y las palabras
más infinito en lugar de q e Introducción En las secciones 2.2 y 2.3 se consideraron algunas funciones cuyas gráficas
infinito. poseían asíntotas. En esta sección se verá que las asíntotas vertical y horizontal de una grá-
fica están definidas en términos de límites que implican el concepto de infinito. Recuerde, los
símbolos de infinito, Ϫq (“menos infinito”) y q (“más infinito”) son herramientas de nota-
ción usadas para indicar, a su vez, que una cantidad decrece o crece sin límite en la dirección
negativa (en el plano cartesiano esto significa a la izquierda para x y hacia abajo para y) y en
la dirección positiva (a la derecha para x y hacia arriba para y).

Aunque la terminología y notación usadas cuando se trabaja con Ϯq son estándar, lamen-
tablemente son ligeramente desafortunadas y pueden ser confusas. Así, desde el principio se
advierte que se considerarán dos tipos de límites. Primero se analizarán

• límites infinitos.

La expresión límites infinitos siempre se refiere a un límite que no existe porque la función f
exhibe un comportamiento no acotado: f(x) S Ϫq o f(x) S q. Luego se considerarán

• límites en el infinito.

3.5 Límites que involucran el infinito 115

La expresión en el infinito significa que se está intentando determinar si una función f posee A lo largo de todo el análisis, no
un límite cuando se deja que el valor de la variable x disminuya o aumente sin límite: x S Ϫq olvide que Ϫq y q no repre-
o x S q. Estos límites pueden o no existir. sentan números reales y nunca
deben manipularse aritmética-
Límites infinitos El límite de una función f no existe cuando x tiende a un número a siem- mente como se hace con los
pre que los valores de la función crecen o decrecen sin límite. El hecho de que los valores de números.
la función f(x) crecen sin límite cuando x tiende a a se expresa simbólicamente por

f(x) S q cuando x S a o bien, lím f(x) q. (1)
xSa

Si los valores de la función decrecen sin límite cuando x tiende a a, se escribe

f(x) S q cuando x S a o bien, lím f(x) q. (2)
xSa

Recuerde que el uso del símbolo x S a significa que f muestra el mismo comportamiento

—en este caso, sin límite— a ambos lados del número a sobre el eje x. Por ejemplo, la nota-

ción en (1) indica que

f (x) S q cuando x S a y f(x) S q cuando x S a .

Vea la FIGURA 3.5.1.

y y
y ϭ ƒ(x)
xϭa
y ϭ ƒ(x)

xx

xϭa

a) lím ƒ(x) ϭ ϱ b) lím ƒ(x) ϭ Ϫϱ

x→a x→a

FIGURA 3.5.1 Dos tipos de límites infinitos

En forma semejante, la FIGURA 3.5.2 muestra el comportamiento sin límite de una función f
cuando x tiende a a por un lado. Observe en la figura 3.5.2c) que no es posible describir el
comportamiento de f cerca de a usando un solo símbolo de límite.

yy y

xϭa xϭa

xϭa y ϭ ƒ(x) y ϭ ƒ(x)

xx x

y ϭ ƒ(x)

a) lím ƒ(x) ϭ ϱ b) lím ƒ(x) ϭ Ϫϱ c) lím ƒ(x) ϭ ϱ y lím ƒ(x) ϭ Ϫϱ
x → aϪ x → aϩ x → aϪ x → aϩ

FIGURA 3.5.2 Tres tipos más de límites infinitos

En general, cualquier límite de los seis tipos

lím f(x) q, lím f(x) q, (3)
xSa
xSa
q, lím f(x) q,
lím f(x) xSa

xSa q, lim f(x) q,
xSa
lím f(x)

xSa

se denomina límite infinito. De nuevo, en cada caso de (3) simplemente se está describiendo
de manera simbólica el comportamiento de una función f cerca del número a. Ninguno de los
límites en (3) existe.

En la sección 2.3 se repasó cómo identificar una asíntota vertical para la gráfica de una
función racional f (x) ϭ p(x)>q(x). Ahora ya podemos definir una asíntota vertical de cual-
quier función en términos del concepto de límite.

116 UNIDAD 3 Límite de una función

Definición 3.5.1 Asíntota vertical

Se dice que una recta x ϭ a es una asíntota vertical para la gráfica de una función f si por
lo menos una de las seis afirmaciones en (3) es verdadera.

Vea la figura 2.2.1. En el repaso de las funciones en la unidad 2 se vio que las gráficas de funciones racio-
nales a menudo poseen asíntotas. Se vio que las gráficas de las funciones racionales y ϭ 1>x
y y ϭ 1>x2 eran semejantes a las gráficas en la figura 3.5.2c) y 3.5.1a), respectivamente. El

eje y, es decir, x = 0, es una asíntota vertical para cada una de estas funciones. Las gráficas de

y y ϭ x 1 a y y ϭ (x 1 a)2 (4)
Ϫ Ϫ
y ϭ 1
x Ϫ a
se obtienen al desplazar las gráficas y ϭ 1>x y y ϭ 1>x2 horizontalmente 0 a 0 unidades. Como se
x observa en la FIGURA 3.5.3, x ϭ a es una asíntota vertical para las funciones racionales en (4).
Se tiene

lím 1 q y lím 1 q (5)

xSa x a xSa x a

xϭa 1
a)2
a) y lím q. (6)
xSa (x

y 1 Los límites infinitos en (5) y (6) son justo casos especiales del siguiente resultado general:
Ϫ
y ϭ a)2

( x 1 q 1 q,
a)n
lím (x y lím (x a)n (7)

xSa xSa

para n un entero positivo impar y

x lím 1 q, (8)
a)n
xϭa xSa (x

b) para n un entero positivo par. Como consecuencia de (7) y (8), la gráfica de una función racio-
nal y ϭ 1>(x Ϫ a)n se asemeja a la gráfica en la figura 3.5.3a) para n impar o la de la figura
FIGURA 3.5.3 Gráfica de las
funciones en (4) 3.5.3b) para n par.
Para una función racional general f(x) ϭ p(x)>q(x), donde p y q no tienen factores comu-

nes, por este análisis debe resultar evidente que cuando q contiene un factor (x Ϫ a)n, n un
entero positivo, entonces la forma de la gráfica cerca de la recta vertical x ϭ a debe ser alguna

de las que se muestran en la figura 3.5.3 o su reflexión en el eje x.

y EJEMPLO 1 Asíntotas verticales de una función racional

Al inspeccionar la función racional

y ϭ xϩ2 f (x) ϭ xϩ2
x2(x ϩ 4) x2(x ϩ 4)

1 se observa que x = - 4 y x ϭ 0 son asíntotas verticales para la gráfica de f. Puesto que el deno-
x minador contiene los factores (x Ϫ (Ϫ4))1 y (x Ϫ 0)2, es de esperar que la gráfica de f cerca
1
de la recta x = - 4 se asemeje a la figura 3.5.3a) o a su reflexión en el eje x, y la gráfica de
x ϭϪ4 xϭ0 f cerca de x = 0 se asemeje a la figura 3.5.3b) o a su reflexión en el eje x.

FIGURA 3.5.4 Gráfica de la Para x próxima a 0 por cualquier lado, resulta fácil ver que f(x) 7 0. Pero para x cerca
de - 4, por ejemplo x = - 4.1 y x = - 3.9, se tiene f(x) 7 0 y f(x) 6 0, respectivamente. Al
función en el ejemplo 1 usar la información adicional de que sólo hay una intersección x simple (-2, 0), se obtiene la
gráfica de f en la FIGURA 3.5.4.

EJEMPLO 2 Límite por un lado

En la figura 2.6.6 se vio que el eje y, o la recta x ϭ 0, es una asíntota vertical para la función
logarítmica natural f(x) ϭ ln x puesto que

lím ln x q.

xS0

3.5 Límites que involucran el infinito 117

La gráfica de la función logarítmica y ϭ ln(x ϩ 3) es la gráfica de f(x) ϭ lnx desplazada 3 y x
unidades a la izquierda. Por tanto, x = -3 es una asíntota vertical para la gráfica de xϩ2
y ϭ ln(x ϩ 3) puesto que lím ln(x + 3) = - q. yϭ

x S Ϫ 3ϩ

EJEMPLO 3 Límite por un lado

Grafique la función f(x) ϭ x .
1x ϩ 2

Solución Al inspeccionar f se observa que su dominio es el intervalo (Ϫ2, q) y la intersec-
ción con el eje y es (0, 0). A partir de la tabla siguiente se concluye que f decrece

x S Ϫ2ϩ Ϫ1.9 Ϫ1.99 Ϫ1.999 Ϫ1.9999 x
f (x) Ϫ6.01 Ϫ19.90 Ϫ63.21 Ϫ199.90

sin límite cuando x tiende a Ϫ2 por la derecha:

lím f (x) ϭ Ϫq. x ϭϪ2
FIGURA 3.5.5 Gráfica de la fun-
x S Ϫ 2ϩ ción en el ejemplo 3

Por tanto, la recta x ϭ Ϫ2 es una asíntota vertical. La gráfica de f se proporciona en la FIGURA
3.5.5.

Límites en el infinito Si una función f tiende a un valor constante L cuando la variable
independiente x crece sin límite (x S q) o cuando x decrece (x S Ϫq) sin límite, entonces
se escribe

lím f (x) ϭ L o lím f (x) ϭ L (9)
x SϪq xSq

y se dice que f posee un límite en el infinito. A continuación se presentan todas las posibili-

dades para límites en el infinito lím f (x) y lím f (x):
x SϪq xSq

• Un límite existe pero el otro no.

• Tanto lím f (x) como lím f (x) existen y son iguales al mismo número.
x SϪq xSq
• Tanto lím f (x) como lím f (x) existen pero son números diferentes.
x SϪq xSq
• Ni lím f (x) ni lím f (x) existen.
x SϪq xSq

Si por lo menos uno de los límites existe, por ejemplo, lím f (x) = L, entonces la gráfica de f
xSq

puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y = L cuando x crece en la dirección positiva.

Definición 3.5.2 Asíntota horizontal

Se dice que la recta y ϭ L es una asíntota horizontal para la gráfica de una función f si
por lo menos una de las dos declaraciones en (9) es verdadera.

En la FIGURA 3.5.6 se han ilustrado algunas asíntotas horizontales típicas. Se observa, junto
con la figura 3.5.6d) que, en general, la gráfica de una función puede tener como máximo dos
asíntotas horizontales, aunque la gráfica de una función racional f(x) ϭ p(x)>q(x) puede tener
cuando mucho una. Si la gráfica de una función racional f posee una asíntota horizontal y = L,
entonces su comportamiento final es como se muestra en la figura 3.5.6c); es decir:

f(x) S L cuando x S q y f(x) S L cuando x S q.

y yy y

y ϭ L2

yϭL y ϭ L1
x
yϭL yϭL

x x x

a) ƒ(x) → L cuando x → ϱ b) ƒ(x) → L cuando x → Ϫϱ c) ƒ(x) → L cuando x → Ϫϱ, d) ƒ(x) → L1 cuando x → Ϫϱ,
ƒ(x) → L cuando x → ϱ ƒ(x) → L2 cuando x → ϱ

FIGURA 3.5.6 y ϭ L es una asíntota horizontal en a), b) y c); y ϭ L1 y y ϭ L2 son asíntotas horizontales en d)

118 UNIDAD 3 Límite de una función

Por ejemplo, si x se vuelve sin límite en la dirección positiva o en la negativa, las funcio-
nes en (4) tienden a 0 y se escribe

lím 1 0, lím 1 0 y lím 1 0, lím 1 0. (10)
xS q(x a)2 xSq (x a)2
x Sq x a xS q x a

En general, si r es un número racional positivo, y si (x Ϫ a)r está definido, entonces

Estos resultados también son lím (x 1 0 y lím (x 1 0. (11)
a)r a)r
verdaderos cuando x – a se sus- xS q xSq

tituye por a – x, en el supuesto EJEMPLO 4 Asíntotas horizontal y vertical
que (a – x)r esté definido.

El dominio de la función f(x) ϭ 4 x es el intervalo (Ϫq, 2). En virtud de (11) puede escri-
12 Ϫ

birse

y

lím 4 0.
xS q 12 x

yϭ 4 Observe que no es posible considerar el límite de f cuando x S q porque la función no está
2Ϫx
definida para x Ն 2. No obstante, y ϭ 0 es una asíntota horizontal. Luego, por el límite en

1 infinito
x
yϭ0 lím 4 q
1 xϭ2 xS2 12 x

FIGURA 3.5.7 Gráfica de la fun-

ción en el ejemplo 4 se concluye que x ϭ 2 es una asíntota vertical para la gráfica de f. Vea la FIGURA 3.5.7.

En general, si F(x) ϭ f(x)>g(x), entonces en la siguiente tabla se resumen los resultados

para límites de las formas lím F(x), lím F(x) y lím F(x). El símbolo L denota un número
xSa xSq x SϪq
real.

forma límite: L Ϯq , L 0 L0, L 0
x S a, q, Ϫq Ϯq L infinito
(12)
el límite es: 0
infinito

Se dice que límites de la forma lím F(x) = Ϯq o lím F(x) = Ϯq son límites infinitos en
xSq x SϪq

el infinito. Además, las propiedades de los límites dadas en el teorema 3.2.3 se cumplen al

sustituir el símbolo a por q o Ϫq en el supuesto de que los límites existen. Por ejemplo,

f(x) lím f(x)
xSq
( )( )lím f(x)g(x) lím f(x) lím g(x) y lím g(x) , (13)
xSq xSq xSq lím g(x)
xSq xSq

siempre que lím f (x) y lím g(x) existan. En el caso del límite de un cociente, también debe
xSq xSq

tenerse lím g(x) 0.
xSq

Comportamiento final En la sección 2.3 vimos que la forma en que una función f se com-
porta cuando 0x 0 es muy grande se denomina comportamiento final. Como ya se analizó, si
lím f (x) = L, entonces la gráfica de f puede hacerse arbitrariamente próxima a la recta y = L

xSq

para grandes valores positivos de x. La gráfica de una función polinomial,

f (x) ϭ anxn ϩ anϪ1xnϪ1 ϩ . . . ϩ a2x2 ϩ a1x ϩ a0,

se asemeja a la gráfica de y ϭ anxn para 0 x 0 muy grande. En otras palabras, para (14)
f (x) anxn an 1xn 1 . . . a1x a0

Los términos encerrados en el rectángulo en (14) son irrelevantes cuando la gráfica de una
función polinomial se observa globalmente; es decir, para 0x 0 muy grande. Así, se tiene

( )xSlímqan xn ...
lím anxn an 1x n 1 a1x a0 , (15)

xS q

cuando (15) es q o - q dependiendo de an y n. En otras palabras, el límite en (15) consti-
tuye un ejemplo de límite infinito en el infinito.

3.5 Límites que involucran el infinito 119

EJEMPLO 5 Límite en el infinito

Evalúe lím 6x4 x2 1.
xSq 2x4 x

Solución No es posible aplicar la ley del límite de un cociente en (13) a la función dada,

puesto que lím (Ϫ6x4 ϩ x2 ϩ 1) ϭ Ϫq y lím (2x4 Ϫ x) ϭ q. No obstante, al dividir el
xSq xSq
numerador entre x4
y el denominador podemos escribir

6x4 x2 1 6 Q 1 R Q 1 R
2x4 x lím x2 x4
lím
xSq 2 Q 1 R
xSq x3

lím c 6 Q 1 R Q x14R d El límite del numerador
x2 existe, así como el límite
xSq d del denominador, y el
límite del denominador
lím c 2 Q 1 R d no es cero
x3
xSq

600 3.
20

Esto significa que la recta y ϭ Ϫ3 es una asíntota horizontal para la gráfica de la función.

Solución alterna En virtud de (14) es posible descartar todas las potencias de x, menos la
más alta:

descartar términos de los recuadros

T

lím 6x4 x2 1 lím 6x4 lím 6 3.
2x4 x 2x4 2
xSq xSq xSq

EJEMPLO 6 Límite infinito en el infinito

Evalúe lím 1 x23 .
3x
xSq

Solución Por (14),

lím 1 x3 lím x3 1 lím x 2 q.
3x 2 3x 3
xSq xSq xSq

En otras palabras, el límite no existe.

EJEMPLO 7 Gráfica de una función racional y

Grafique la función f (x) ϭ 1 x2 x2 . y ϭ x2
Ϫ Ϫ x2
1

Solución Al inspeccionar la función f se observa que su gráfica es simétrica con respecto al x
eje y, la intersección con el eje y es (0, 0) y las asíntotas verticales son x = -1 y x = 1. Luego, y ϭ Ϫ1
a partir del límite

lím f(x) lím x2 lím x2 lím 1 1
xSq 1 x2 x2
xSq xSq xSq

se concluye que la recta y ϭ Ϫ1 es una asíntota horizontal. La gráfica de f se muestra en la x ϭϪ1 x ϭ1
FIGURA 3.5.8. FIGURA 3.5.8 Gráfica de la

función en el ejemplo 7

Otra ley de los límites que se cumple para límites en el infinito es que el límite de una
raíz n-ésima de una función es la raíz n-ésima del límite, siempre que el límite exista y la raíz
n-ésima esté definida. En símbolos, si lím g(x) ϭ L, entonces

xSq

lím 1n g(x) 1n lím g(x) 1n L , (16)
xSq xSq

en el supuesto de que L Ն 0 cuando n es par. El resultado también se cumple para x S Ϫq.

120 UNIDAD 3 Límite de una función

EJEMPLO 8 Límite de una raíz cuadrada

Evalúe xlSímqA 2x3 5x2 4x 6.
6x3 2x

Solución Debido a que el límite de la función racional en el radical existe y es positivo,
puede escribirse

xlSímqA 2x3 5x2 4x 6 lím 2x3 5x2 4x 6 lím 2x 3 1 1.
6x3 2x 6x3 2x 6x 3 A3 13
A xSq A xSq

EJEMPLO 9 Gráfica con dos asíntotas horizontales

Determine si la gráfica de f(x) ϭ 5x tiene asíntotas horizontales.
2x2 ϩ 4

Solución Puesto que la función no es racional, es necesario investigar el límite de f cuando
x S q y cuando x S Ϫq. Primero, recuerde del álgebra que 2x2 es no negativa, o más al

punto,

2x2 ϭ 0x0 ϭ e x, xՆ0
Ϫx, x 6 0.

Luego, volvemos a escribir f como

5x 5x 5x

f (x) ϭ 2x2 ϭ 0 x 0 ϭ 0 x 0 .
2x2 ϩ 4 2x2 ϩ 4 4
2x2 2x2 A1 ϩ x2

Los límites de f cuando x S q y x S Ϫq son, respectivamente,

y yϭ5 5x 5x lím 5
y ϭ 5x
x2ϩ 4 lím f(x) lím 0x0 lím x xSq 5 5,
1
xSq xSq 4 xSq 4 4R
x2 x2 x2
A1 A1 A lím Q 1

xSq

x 5x 5x lím ( 5)

y lím f(x) lím 0x0 lím x xS q 5 5.
1
y ϭ Ϫ5 xS q xS q 4 xS q 4 4
x2 x2 x2
A1 A1 A xSlímqQ1 R

FIGURA 3.5.9 Gráfica de la Por tanto, la gráfica de f tiene dos asíntotas horizontales y ϭ 5 y y ϭ Ϫ5. La gráfica de f, que
función en el ejemplo 9 es semejante a la figura 3.5.6d), se proporciona en la FIGURA 3.5.9.

En el siguiente ejemplo se ve que la forma del límite dado es q Ϫ q, pero el límite
existe y no es 0.

EJEMPLO 10 Uso de racionalización

Evalúe lím (x2 2x4 7x2 1).
xSq

Solución Debido a que f (x) ϭ x2 Ϫ 2x4 ϩ 7x2 ϩ 1 es una función par (compruebe que

f(Ϫx) ϭ f(x)) con dominio (Ϫq, q), si lím f (x) existe, debe ser el mismo que lím f (x).
Primero racionalizamos el numerador: xSq x S Ϫq

lím A x2 2x4 7x2 1B Ax2 2x4 7x2 1 B . ax2 2x4 7x2 1b
lím 1 x2 2x4 7x2 1
xSq
xSq

x4 (x4 7x2 1)
lím 2x4 7x2 1
xSq x2

lím 7x2 1 .
xSq x2 2x4 7x2 1

3.5 Límites que involucran el infinito 121

Luego, el numerador y el denominador se dividen entre 2x4 ϭ x2:

7x2 1

lím 7x2 1 lím 2x4 2x4
xSq x2 2x4 7x2 1 xSq x2 2x4 7x2 1

2x4

7 1
x2
lím
xSq
1 7 1
1 B x2 x4

lím a 7 1 b y
x2 1
xSq
x
lím 1 B lím a 1 7 1 b 1
x2 x4
xSq xSq y ϭ x 2 Ϫ x 4 ϩ 7x 2 ϩ 1

7 27. yϭϪ7
11 2

Con ayuda de un SAC, la gráfica de la función f se proporciona en la FIGURA 3.5.10. La recta FIGURA 3.5.10 Gráfica de la
y ϭ Ϫ72 es una asíntota horizontal. Observe la simetría de la gráfica con respecto al eje y. función en el ejemplo 10

y

Cuando se trabaja con funciones que contienen la función exponencial natural, los cuatro y ϭ eϪx y ϭ ex
siguientes límites ameritan una atención especial:

lím ex q, lím ex 0, lím e x 0, lím e x q. (17) (0, 1)
xSq xS q xSq xS q
yϭ0 x
Como se analizó en la sección 2.6 y se comprobó por los límites segundo y tercero en (17), yϭ0 asíntota
y ϭ 0 es una asíntota horizontal para la gráfica de y ϭ ex y y ϭ eϪx. Vea la FIGURA 3.5.11. asíntota horizontal
horizontal

EJEMPLO 11 Gráfica con dos asíntotas horizontales FIGURA 3.5.11 Gráficas de
funciones exponenciales

Determine si la gráfica de f (x) ϭ 1 6 tiene alguna asíntota horizontal.
ϩ eϪx

Solución Debido a que f no es una función racional, es necesario analizar lím f (x) y
podemosx Sq
lím f (x). Primero, en virtud del tercer resultado proporcionado en (17)
xS Ϫq escribir

lím 1 6 lím 6 6 6.
ex 10
xSq xSq

lím (1 e x ) yϭ6 y

xSq

Así, y ϭ 6 es una asíntota horizontal. Luego, debido a que lím eϪx ϭ q por la tabla en (12) 6
x SϪq ϩ eϪx
se concluye que y ϭ
1

x lím 1 6 0. 1
ex
Sq x

En consecuencia, y ϭ 0 es una asíntota horizontal. La gráfica de f se muestra en la FIGURA yϭ0 1
3.5.12.
FIGURA 3.5.12 Gráfica de la

función en el ejemplo 11

Funciones compuestas El teorema 3.3.3, el límite de una función compuesta, se cumple

cuando a se sustituye por Ϫq o q y el límite existe. Por ejemplo, si lím g(x) ϭ L y f es
xSq
continua en L, entonces

( )lím f(g(x)) f lím g(x) f(L). (18)
xSq xSq

El resultado del límite en (16) es justo un caso especial de (18) cuando f (x) ϭ 1n x. El resul-
tado en (18) también se cumple para x S Ϫq. El último ejemplo ilustra a (18) cuando implica
un límite en q.

122 UNIDAD 3 Límite de una función

y EJEMPLO 12 Otro repaso a una función trigonométrica

y ϭ sen 1 En el ejemplo 2 de la sección 3.4 vimos que lím sen(1>x) no existe. No obstante, el límite en
x xSq
el infinito, lím sen(1>x), existe. Por la ecuación (18), podemos escribir
x xSq
yϭ0
1 1
lím sen x sen a lím x b sen 0 0.
xSq
xSq

Como se observa en la FIGURA 3.5.13, y ϭ 0 es una asíntota horizontal para la gráfica de f(x) ϭ
FIGURA 3.5.13 Gráfica de la fun- sen(1͞x). Compare esta gráfica con la mostrada en la figura 3.4.2.

ción en el ejemplo 12

3.5 DESARROLLE SU COMPETENCIA Las respuestas de los problemas impares comienzan en la página RES-9.

Fundamentos 29. f (x) ϭ ex Ϫ eϪx 30. f (x) ϭ 1 ϩ 2eϪx
ex ϩ eϪx ex ϩ eϪx
En los problemas 1-24, exprese el límite dado como un
número, como Ϫq, o como q. 31. f(x) ϭ 0x Ϫ 50 32. f(x) ϭ 04x 0 ϩ 0x Ϫ 10
xϪ5 x
1 4
1. lím 2. lím 6)2
x 5 xS6 (x En los problemas 33-42, encuentre todas las asíntotas verti-
xS5 cales y horizontales para la gráfica de la función dada f.
Trace la gráfica.
3. lím (x 2 4. lím 10 4
4)3 x2
xS 4 xS2

5. lím 1 6. lím 1 33. f(x) ϭ x2 1 1 34. f (x) ϭ x2 x 1
xS1 (x 1)4 xS0 2x ϩ ϩ

7. lím 2 sen x 8. lím csc x 35. f(x) ϭ x x2 1 36. f (x) ϭ x2 Ϫ x
xS0 x xSp ϩ x2 Ϫ 1

9. lím x2 3x 10. lím x2 37. f(x) ϭ 1 38. f (x) ϭ 4x2 4
4x 5 xSq1 x x2(x Ϫ 2) x2 ϩ
xSq 2 2

11. lím Q5 2 R 12. lím a 6 1 b 39. f (x) ϭ A x x 1 40. f(x) ϭ 1 Ϫ 1x
xSq x4 13 x 15 x Ϫ 1x
xS q

13. lím 8 2x 14. lím 1 7 13 x 41. f(x) ϭ x Ϫ 2 42. f(x) ϭ x ϩ 3
xSq1 4 2x xS q 2 13 x 2x2 ϩ 1 2x2 Ϫ 1

15. lím a 3x x 1 b 16. lím a x 1b a 4x2 1b3 En los problemas 43-46, use la gráfica dada para encontrar:
2x 6 2x2 x
xSq x 2 xSq 3x a) lím f (x) b) lím f (x)
x S 2Ϫ x S 2ϩ
17. xlSímqA 3x 2 18. lím 3 2x 1
6x 8 7 16x c) lím f (x) d) lím f (x)
xS q B x SϪq xSq

(19. lím x 2x2 1) ( )20. lím 2x2 5x x 43. y
xSq xSq

21. lím cos Q 5 R 22. x lím sen a 3 px b y ϭ ƒ(x)
x 6x x
xSq Sq
FIGURA 3.5.14 Gráfica para el problema 43
23. lím sen 1a x b 24. lím ln a x 8b
1 44. y
xS q 24x2 xSq x

En los problemas 25-32, encuentre lím f (x) y lím f (x) para
x SϪq xSq
la función dada f.

25. f(x) ϭ 4x ϩ 1 26. f (x) ϭ 29x2 ϩ 6 y ϭ ƒ(x)
2x2 ϩ 1 5x Ϫ 1 x

27. f(x) ϭ 2x ϩ 1 28. f (x) ϭ Ϫ5x2 ϩ 6x ϩ 3 FIGURA 3.5.15 Gráfica para el problema 44
23x2 ϩ 1 2x4 ϩ x2 ϩ 1

3.6 Límites: un enfoque formal 123

45. y ϭ ƒ(x) y senta un n-gono regular inscrito en un círculo de
radio r. Use trigonometría para demostrar que el área
A(n) del n-gono está dada por

x n 2p
2 n
A(n) r2 sen a b.

FIGURA 3.5.16 Gráfica para el problema 45 b) Tiene sentido afirmar que el área A(n) tiende al área

46. y del círculo a medida que aumenta el número de lados
del n-gono. Use una calculadora para obtener A(100)
y ϭ ƒ(x) y A(1 000).
c) Sea x ϭ 2p>n en A(n) y observe que cuando n S q
x entonces x S 0. Use (10) de la sección 3.4 para
demostrar que lím A(n) ϭ pr 2.

nSq

y

FIGURA 3.5.17 Gráfica para el problema 46 r
␲րn
En los problemas 47-50, trace una gráfica de una función f
x

que satisface las condiciones dadas.

47. lím f(x) q, lím f(x) q, f(2) 0, lím f(x) 0
xS1 xS1 xSq

48. f(0) 1, lím f(x) 3, lím f(x) 2 FIGURA 3.5.18 n-gono inscrito para
xS q xSq el problema 56

49. lím f(x) q, lím f(x) q, lím f(x) 1 0, Piense en ello
xS2 xS q xSq
57. a) Suponga que f(x) ϭ x2>(x ϩ 1) y g(x) ϭ x Ϫ 1.
50. lím f(x) 2, lím f(x) q, f A23B 0, f (3) Demuestre que
xS1 xS1
lím [ f (x) g(x)] 0.
lím f(x) 0, lím f(x) 0
xS q xSq xS q

51. Use una sustitución idónea para evaluar b) ¿Qué indica el resultado del inciso a) respecto a las
gráficas de f y g, donde 0x 0 es grande?
lím x sen 3x .
c) De ser posible, asigne un nombre a la función g.
xSq
58. Muy a menudo los estudiantes e incluso los profesores
52. Según la teoría de la relatividad de Einstein, la ma- trazan incorrectamente gráficas desplazadas vertical-
mente. Por ejemplo, las gráficas de y ϭ x2 y y ϭ x2 ϩ 1
sa m de un cuerpo que se mueve con velocidad y es están dibujadas incorrectamente en la FIGURA 3.5.19a) pero
lo están correctamente en la figura 3.5.19b). Demuestre
m ϭ m0> 21 Ϫ y2>c2, donde m0 es la masa inicial y c que la figura 3.5.19b) es correcta al mostrar que la dis-
tancia horizontal entre los dos puntos P y Q en la figura
es la velocidad de la luz. ¿Qué ocurre a m cuando tiende a 0 cuando x S q.
y S cϪ?
yy
Problemas con calculadora/SAC

En los problemas 53 y 54, use una calculadora o SAC para

investigar el límite dado. Conjeture su valor.

53. lím x2 sen 2 54. lím a cos 1 x
x2 x
xSq xSq b

55. Use una calculadora o un SAC para obtener la gráfica PQ
de f (x) ϭ (1 ϩ x)1>x. Use la gráfica para conjeturar los
Recta
valores de f(x) cuando horizontal

a) x S Ϫ1ϩ, b) x S 0 y c) x S q. xx

56. a) Un n-gono regular es un polígono regular de n lados a) Incorrecto b) Correcto
inscrito en un círculo; el polígono está formado por
n puntos equidistantes sobre el círculo. Suponga que FIGURA 3.5.19 Gráficas para el problema 58
el polígono que se muestra en la FIGURA 3.5.18 repre-

3.6 Límites: un enfoque formal

Introducción En el análisis que se presenta a continuación se considerará un enfoque alterno
a la idea de límite, que se basa en conceptos analíticos más que en conceptos intuitivos. Una
demostración de la existencia de un límite jamás debe estar basada en la habilidad para ela-
borar gráficas o en tablas de valores numéricos. Aunque una buena comprensión intuitiva de