คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

ค่มู อื ครู

รายวิชาพน้ื ฐาน
คณิตศาสตร์

ช้ัน

มัธยมศกึ ษาปีท่ี ๓ เลม่ ๒

ตามมาตรฐานการเรียนร้แู ละตัวชว้ี ดั
กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลักสตู รแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑

จดั ท�ำ โดย
สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ฉบับปรับปรุง ครั้งท่ี 1
กนั ยายน 2564

คำ�นำ�

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) มีพันธกิจในการศึกษาค้นคว้า วิจัยและพัฒนาหลักสูตร
วิธีการเรียนรู้ วิธีสอนและการประเมินผลการจัดการเรียนรู้ รวมทั้งจัดทำ�หนังสือเรียน คู่มือครู แบบฝึกทักษะ กิจกรรม และ
สอ่ื การเรยี นรู้เพ่อื ใช้ประกอบการจัดการศึกษาข้ันพนื้ ฐานดา้ นวิทยาศาสตร์ คณติ ศาสตร์และเทคโนโลยี
ค่มู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี ๓ เลม่ ๒ นี้ จัดท�ำ ขน้ึ ตามพนั ธกิจและพฒั นาใหส้ อดคลอ้ งกับ
ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมุ่งหวังให้ผู้สอนนำ�ไปใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ควบคู่กับการใช้หนังสือเรียน
รายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ ๓ เลม่ ๒ เพอ่ื ใหผ้ เู้ รยี นสามารถคดิ วเิ คราะหแ์ ละแกป้ ญั หาอยา่ งเปน็ คณติ ศาสตร์
เกิดทักษะที่จำ�เป็นสำ�หรับการดำ�รงชีวิตในศตวรรษที่ ๒๑ และประยุกต์ใช้ความรู้และทักษะต่าง ๆ เพ่ือพัฒนาคุณภาพชีวิตของ
ตนเอง
สสวท. หวงั เปน็ อยา่ งยงิ่ วา่ คมู่ อื ครเู ลม่ นจ้ี ะเปน็ ประโยชนต์ อ่ การจดั การเรยี นรู้ และเปน็ สว่ นส�ำ คญั ในการพฒั นาคณุ ภาพ
และมาตรฐานการศกึ ษา กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ ขอขอบคุณผูท้ รงคณุ วุฒิ บคุ ลากรทางการศกึ ษาและหนว่ ยงานตา่ ง ๆ
ทีม่ สี ว่ นเกี่ยวขอ้ งในการจัดท�ำ ไว้ ณ โอกาสน้ี

(ศาสตราจารยช์ กู จิ ลมิ ปจิ �ำ นงค)์
ผอู้ ำ�นวยการสถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี

กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

คำ�ชแี้ จง

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจ้ ดั ท�ำ ตวั ชว้ี ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระ
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐานพุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมี
จุดเน้นเพื่อต้องการพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ความสามารถท่ีทัดเทียมกับนานาชาติ ได้เรียนรู้คณิตศาสตร์ท่ีเชื่อมโยงความรู้กับ
กระบวนการคดิ มคี วามคดิ รเิ รม่ิ สรา้ งสรรค์ คดิ อยา่ งมเี หตผุ ล เปน็ ระบบ สามารถวเิ คราะหป์ ญั หาหรอื สถานการณไ์ ดอ้ ยา่ งรอบคอบ
และถ่ีถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำ�ไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมี
ประสิทธิภาพ จึงได้จัดทำ�คู่มือครูสำ�หรับผู้สอน ใช้ประกอบกับหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี ๓
เล่ม ๒ ในการจดั การเรยี นรู้ในชนั้ เรียน เพอื่ ใหผ้ ้เู รยี นบรรลมุ าตรฐานการเรยี นร้ทู ่ีกำ�หนดไวใ้ นหลักสูตร
คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี ๓ เลม่ ๒ นี้ ประกอบดว้ ยค�ำ แนะน�ำ การใชค้ มู่ อื ครู ก�ำ หนดเวลา
สอนโดยประมาณในแต่ละบท ในทุก ๆ บทจะกล่าวถึงสาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวช้ีวัดที่เกี่ยวข้อง จุดประสงค์ของ
บทเรียน การวิเคราะห์ความเชื่อมโยงระหว่างตัวช้ีวัดกับจุดประสงค์ของบทเรียน ความคิดรวบยอดของบทเรียน ทักษะและ
กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ ความเชอ่ื มโยงของความรู้ ล�ำ ดบั การจดั กจิ กรรมการเรยี นรขู้ องบทเรยี น กจิ กรรมเสนอแนะ เฉลย
ชวนคดิ และแบบฝกึ หัดต่าง ๆ ตัวอย่างแบบทดสอบทา้ ยบท นอกจากนี้ ยังมีในส่วนของความร้เู พ่มิ เติมส�ำ หรบั ครเู พื่อให้ผู้สอนมี
ความรูค้ วามเข้าใจและสามารถใชเ้ ทคโนโลยตี ่าง ๆ ในการจัดการเรยี นการสอนไดอ้ ยา่ งมีประสิทธิภาพ ทัง้ นี้ ผู้สอนสามารถนำ�
คู่มือครูเล่มน้ีไปใช้เป็นแนวทางในการวางแผนการจดั กจิ กรรมการเรยี นรใู้ หบ้ รรลจุ ดุ ประสงคท์ ต่ี ง้ั ไว้ โดยสามารถน�ำ ไปจดั กจิ กรรม
การเรยี นรไู้ ดต้ ามความเหมาะสมและความพร้อมของโรงเรยี น
ในการจัดทำ�คู่มือครูเล่มน้ี สสวท. ได้รับความร่วมมือเป็นอย่างดียิ่งจากผู้ทรงคุณวุฒิ นักวิชาการอิสระ คณาจารย์
รวมทั้ง ครผู ูส้ อน นักวชิ าการ จากสถาบัน และสถานศกึ ษาทงั้ ภาครฐั และเอกชน จึงขอขอบคณุ มา ณ ทนี่ ้ี และหวงั เปน็ อยา่ งยิง่ วา่
คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์แก่ผู้สอน และผู้ท่ีเกี่ยวข้องทุกฝ่าย ท่ีจะช่วยให้การจัดการศึกษา
ดา้ นคณติ ศาสตรเ์ ปน็ ไปอยา่ งมปี ระสทิ ธภิ าพ หากมขี อ้ เสนอแนะใดทจ่ี ะท�ำ ใหค้ มู่ อื ครเู ลม่ นม้ี คี วามสมบรู ณย์ ง่ิ ขนึ้ โปรดแจง้ สสวท.
ทราบด้วย จะขอบคุณย่ิง

สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
กระทรวงศึกษาธกิ าร

ค�ำ แนะน�ำ การใช้คูม่ ือครู

คู่มอื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 3 เล่ม 2 จดั ทำ�ข้นึ เพือ่ เปน็ คูม่ ือส�ำ หรบั การใชห้ นังสอื เรยี น
รายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 เลม่ 2 ในการจัดกิจกรรมการเรียนรูใ้ นชนั้ เรยี นใหเ้ กิดประสิทธิภาพสงู สุด
มุ่งส่งเสริมให้ผู้เรียนมีพัฒนาการด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และด้านคุณธรรม
จริยธรรม และค่านิยม ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัดท่ีกำ�หนดไว้ในหลักสูตรอย่างครบถ้วน ครูจึงควรศึกษาคู่มือครู
ใหเ้ ขา้ ใจอยา่ งถอ่ งแท้ และทดลองปฏบิ ตั กิ ิจกรรมเพอื่ ใหเ้ กดิ ความพรอ้ มกอ่ นสอนจรงิ และเขา้ ใจล�ำ ดบั การด�ำ เนนิ กจิ กรรมตามท่ี
เสนอแนะไว้ ท้ังน้ี ครูอาจปรับเปลี่ยนกิจกรรมหรือวิธีการจัดการเรียนการสอนได้ตามความเหมาะสมโดยคำ�นึงถึงศักยภาพของ
นักเรยี นเป็นส�ำ คญั
จำ�นวนช่ัวโมงเรียนที่แนะนำ�ให้ใช้ในการจัดการเรียนการสอนสำ�หรับหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ในแต่ละ
เล่ม คือ 60–100 ช่ัวโมง/ภาคเรียน เพื่อเปิดโอกาสให้ครูสามารถปรับรายละเอียดของเน้ือหาและเวลาเรียนให้เหมาะสมกับ
ทัง้ ศักยภาพของนกั เรยี นและบรบิ ทของช้ันเรียน ทั้งนี้ ครูอาจใชห้ นังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 3
เล่ม 2 เปน็ สอื่ ประกอบการจัดการเรียนการสอนกับทงั้ รายวชิ าพน้ื ฐานและเพ่มิ เตมิ โดยอาจจดั เนอื้ หาบางส่วนของหนงั สือเรยี น
ทมี่ ขี อบเขตของเนื้อหา และความซับซ้อนมากกว่าที่ตัวชว้ี ัดกำ�หนด ให้นักเรียนได้เรยี นเปน็ รายวชิ าเพ่มิ เติม
ค่มู อื ครเู ลม่ นป้ี ระกอบด้วยหัวข้อต่อไปน้ี

1 เป็นส่วนท่ีประกอบด้วยชื่อบทเรียน พร้อมท้ังหัวข้อย่อยของบทเรียนและจำ�นวนชั่วโมงท่ีแนะนำ�
ให้ใช้ในการจัดการเรียนการสอนโดยประมาณ เพื่อให้ครูสามารถนำ�ไปประกอบการวางแผน
ชื่อบทเรียน การจัดกิจกรรมการเรียนรู้รายภาค และเพ่ือให้เวลาเรียนสอดคล้องกับโครงสร้างเวลาเรียนของ
รายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551
คู่มือครูน้ี จึงกำ�หนดจำ�นวนช่ัวโมงเรียนท่ีแนะนำ�ให้ใช้ในการจัดการเรียนการสอนของทุกหัวข้อไว้
รวม 60 ชว่ั โมง/ภาคเรียน

2 เป็นสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ตามที่ปรากฏอยู่ในตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
สาระและมาตรฐาน ขั้นพนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551 เพอ่ื ใหค้ รไู ด้ตรวจสอบความสอดคลอ้ งและครอบคลุมกับหลักสตู ร
การเรยี นรู้ สถานศึกษา

3 เปน็ ตวั ชว้ี ดั ตามทป่ี รากฏอยใู่ นตวั ชว้ี ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
(ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551
ตัวชว้ี ัด เพื่อให้ครูได้คำ�นึงถึงว่าจะต้องจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียนได้เรียนรู้ตามตัวช้ีวัด และวัด
และประเมินผลตามตวั ชีว้ ดั
4
เป็นจุดประสงค์ตามที่ปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 3
จดุ ประสงค์ เลม่ 2 ของแตล่ ะบทเรยี น เพอ่ื ใหค้ รไู ดต้ ระหนกั ถงึ ความรทู้ น่ี กั เรยี นพงึ มหี ลงั สน้ิ สดุ การเรยี นการสอน
ของบทเรียน รวมทง้ั น�ำ ไปใช้ในการวัดและประเมนิ ผลของครู

5 เป็นการอธิบายหรอื ขยายความตวั ชวี้ ดั โดยเช่ือมโยงกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน เพอ่ื ให้ครไู ดเ้ หน็
วา่ การจัดการเรียนรตู้ ามแต่ละจดุ ประสงคจ์ ะท�ำ ให้นักเรยี นบรรลุการเรียนรู้ตามตัวช้ีวดั อย่างไร
ความเชอื่ มโยง
ระหว่างตัวช้วี ดั กับ
จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

6 เปน็ ความคดิ รวบยอดของบทเรยี นโดยภาพรวม เพอื่ ใหค้ รไู ดท้ ราบเกยี่ วกบั ความรทู้ เ่ี ปน็ แนวคดิ หลกั
ของเนือ้ หาท่ีนกั เรียนจ�ำ เปน็ ตอ้ งร้หู ลังจากเรยี นจบบทเรยี นนน้ั ๆ
ความคิดรวบยอด
ของบทเรยี น

7 เป็นทักษะและกระบวนการเบ้ืองต้นที่นักเรียนควรจะได้รับจากการเรียนในแต่ละหัวข้อ
โดยรายละเอียดในการจัดการเรียนการสอนท่ีช่วยส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ทักษะและ จะแทรกอยู่ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ท้ังนี้ การพัฒนาทักษะและกระบวนการ
กระบวนการ ทางคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียนจะเกิดขึ้นได้มากหรือน้อยนั้น ขึ้นอยู่กับกระบวนการจัดการเรียน
ทางคณติ ศาสตร์ การสอนของครเู ปน็ สำ�คญั

8 เปน็ สว่ นทตี่ อ้ งการสะทอ้ นใหค้ รเู หน็ ภาพความตอ่ เนอ่ื งและเชอ่ื มโยงของความรทู้ งั้ สามลกั ษณะ ไดแ้ ก่
1) ความรู้พื้นฐาน เป็นหัวข้อความรู้ที่นักเรียนจะต้องมีก่อนการเรียนในแต่ละบท ซ่ึงครู
การเชอ่ื มโยง
ของความรู้ อาจเริ่มต้นจากการใช้แบบทดสอบก่อนเรียนออนไลน์ เพื่อตรวจสอบและประเมิน
ความรเู้ ดิมของผ้เู รียน แล้วทบทวนหรอื จดั กิจกรรมให้กับนักเรยี นในกรณที ่นี ักเรียนขาด
ความรู้ในส่วนนี้ ท้ังนี้เพ่ือกระตุ้นให้เกิดความเช่ือมโยงของประสบการณ์เดิม
จนเกิดเป็นองค์ความรู้ท่เี ปน็ พ้นื ฐาน เพื่อพัฒนาเปน็ ความรู้ทส่ี �ำ คัญในบทเรยี นตอ่ ไป
2) ความรู้ในบทเรียน เป็นความคิดรวบยอดต่าง ๆ ของบทเรียนในภาพรวม เพ่ือให้ครู
ได้ทราบเกี่ยวกับความรู้ที่เป็นแนวคิดหลักของเน้ือหาท่ีนักเรียนจำ�เป็นต้องรู้หลังจาก
เรยี นจบบทเรยี นนัน้ ๆ
3) ความรใู้ นอนาคต เปน็ หวั ข้อความรู้ที่นกั เรียนจะไดศ้ ึกษาตอ่ ไปในอนาคต ซึ่งชนี้ ำ�ให้ครู
ได้เห็นว่าความรู้ที่เกิดข้ึนจากแต่ละบทเรียนนั้นมีความสำ�คัญสำ�หรับการพัฒนาความรู้
ในหวั ข้ออน่ื ใดบ้าง ในระดับชัน้ เดยี วกันหรือระดบั ช้นั ทีส่ ูงขึ้น

9 เปน็ ล�ำ ดบั ของแนวทางการจดั กจิ กรรมทค่ี วรเกดิ ขนึ้ ในแตล่ ะบทเรยี น ทง้ั นลี้ �ำ ดบั ของแนวทางการจดั
กจิ กรรมจะสอดคล้องกับลำ�ดับของหัวข้อและกจิ กรรมต่าง ๆ ทป่ี รากฏในหนงั สอื เรียน
ล�ำ ดบั การจดั
กิจกรรมการเรียนรู้

ของบทเรียน

10 เป็นหวั ขอ้ ภายใต้หัวข้อย่อยของบทเรยี นประกอบดว้ ยหวั ขอ้ ดังน้ี
1) ชื่อหัวข้อย่อย เป็นหัวข้อย่อยพร้อมท้ังจำ�นวนชั่วโมงที่แนะนำ�ให้ใช้ในการกิจกรรม
ข้อเสนอแนะ
ในการจัดกิจกรรม การเรียนรู้โดยประมาณ เพื่อให้ครูสามารถนำ�ไปประกอบการวางแผนการจัดการเรียน
การสอนรายคาบ ทง้ั น้ี ครูอาจยืดหยุ่นได้ตามทเี่ หน็ สมควร
การเรียนรู้ 2) จุดประสงค์ เป็นจุดประสงค์รายหัวข้อย่อยของบทเรียน โดยระบุไว้เพ่ือให้ครูคำ�นึงถึง
การจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ ใหน้ ักเรยี นได้มีความรู้และความสามารถตรงตามจุดประสงค์
ทวี่ างไว้ จุดประสงค์ในสว่ นน้ีเป็นจดุ ประสงค์เชิงพฤตกิ รรมที่สามารถสะทอ้ นกลบั ไปยัง
จุดประสงค์ของบทเรียนและตัวชี้วดั ทัง้ นี้ ครอู าจปรบั เปลี่ยนจดุ ประสงค์นไ้ี ดต้ ามทีเ่ หน็
สมควร แตจ่ ะตอ้ งเปน็ จดุ ประสงคท์ ส่ี ะทอ้ นความสามารถของนกั เรยี นวา่ ผา่ นจดุ ประสงค์
ของบทเรยี นและตวั ชี้วดั ได้

นอกจากน้ี ครูควรประเมินผลให้ตรงตามจุดประสงค์โดยใช้วิธีการที่หลากหลาย
เช่น การตอบค�ำ ถามในชัน้ เรียน การทำ�แบบฝกึ หัด การท�ำ ใบกิจกรรม ชิน้ งาน หรือ
การทดสอบยอ่ ย โดยถา้ จุดประสงค์ใดทคี่ รเู หน็ วา่ นักเรยี นส่วนใหญ่ยังไม่ผ่าน ในชั่วโมง
ตอ่ ไปครูควรนำ�บทเรยี นนัน้ มาสอนซ่อมเสรมิ ใหม่

3) ความเข้าใจที่คลาดเคล่ือน เป็นตัวอย่างเน้ือหาท่ีนักเรียนมักเข้าใจคลาดเคล่ือน หรือ
เข้าใจผิด เพือ่ ใหค้ รไู ด้ทราบและปอ้ งกนั ไม่ใหน้ ักเรยี นเกดิ ความเข้าใจทค่ี ลาดเคล่อื น

4) ส่ือท่ีแนะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เป็นส่ือที่แนะนำ�ให้
ครูใช้สำ�หรับการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เพื่อให้ครูได้จัดเตรียมส่ือหรืออุปกรณ์ต่าง ๆ
ล่วงหน้า ท้ังน้ี ส่ือดังกล่าว เป็นส่ือที่แนะนำ�ให้ใช้ตามข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรม
การเรยี นรู้

5) ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ เปน็ จดุ เนน้ หรอื แนวทางในการจดั กจิ กรรม
การเรียนรู้ที่สำ�คัญอย่างเป็นลำ�ดับข้ันตอนในแต่ละหัวข้อย่อย ซึ่งครูควรศึกษาและ
ทำ�ความเข้าใจควบคู่ไปกับหนังสือเรียน เพื่อจะได้เตรียมการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้
สอดคล้องกับจุดประสงคแ์ ละเหมาะสมกบั ศักยภาพของนักเรียน

6) กิจกรรม เป็นกิจกรรมที่ปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 2 โดยขยายขั้นตอนการทำ�กิจกรรมที่อยู่ในหนังสือเรียน
รวมท้ังมีตัวอย่างหรือใบกิจกรรม เพื่อให้ครูสามารถนำ�ไปใช้ประกอบการจัดกิจกรรม
ในช้นั เรียนได้อยา่ งมปี ระสิทธภิ าพ

7) กิจกรรมเสนอแนะ เป็นกิจกรรมที่แนะนำ�ให้ครูนำ�ไปใช้กับนักเรียนในการจัดกิจกรรม
การเรยี นรู้ ซง่ึ มอี ยหู่ ลายลักษณะ ท้ังกิจกรรมเพ่ือน�ำ เข้าสู่เน้อื หา กจิ กรรมเสริมเนอื้ หา
ในบทเรยี น เพอ่ื ใหเ้ ขา้ ใจเนอ้ื หาในบทเรยี นนน้ั ๆ ไดม้ ากขน้ึ โดยแตล่ ะกจิ กรรมจะสอดแทรก
ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ให้นักเรียนได้พัฒนาทักษะและกระบวนการ
อยา่ งตอ่ เนอื่ ง ทง้ั นี้ ครอู าจพจิ ารณาปรบั เปลย่ี นการจดั กจิ กรรมใหเ้ หมาะสมกบั เวลาและ
ศักยภาพของนกั เรียน

8) เฉลยชวนคิด เป็นการอธิบายแนวคิดและคำ�ตอบของกรอบชวนคิดที่ปรากฏอยู่
ในหนงั สอื เรียนรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร์ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 3 เล่ม 2 เพ่อื ใหค้ รูใช้
เปน็ แนวทางในการอภปิ รายรว่ มกนั กับนักเรยี นถงึ แนวคดิ ในการแก้ปัญหานั้น ๆ

9) เฉลยมุมเทคโนโลยี เป็นการอธิบายแนวคิดและคำ�ตอบของกรอบมุมเทคโนโลยี
ท่ีปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 2
เพอ่ื ใหค้ รใู ชเ้ ปน็ แนวทางในการอภปิ รายรว่ มกนั กบั นกั เรยี นถงึ แนวคดิ ในการแกป้ ญั หานน้ั ๆ

11 10) เฉลยแบบฝกึ หดั เปน็ ค�ำ ตอบของแบบฝกึ หดั ในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 2 เพื่อให้ครูได้ใช้เป็นแนวทางในการตรวจแบบฝึกหัดของ
เฉลยกิจกรรม นกั เรยี น ซง่ึ ในบางขอ้ จะมแี นวคดิ ไว้ เพอ่ื เปน็ แนวทางหนง่ึ ในการหาค�ำ ตอบ และในบางขอ้
ทา้ ยบท อาจมีหลายคำ�ตอบ แต่ให้ไว้เพียงตัวอย่างคำ�ตอบท่ีถูกต้องและเป็นไปได้ ทั้งนี้ เพราะ
แบบฝึกหัดดังกล่าว ได้สอดแทรกปัญหาท่ีเปิดโอกาสให้นักเรียนได้คิดอย่างหลากหลาย
และฝึกการให้เหตุผล ซ่ึงคำ�อธิบายของนักเรียนอาจแตกต่างจากท่ีเฉลยไว้ ดังนั้น
ในการตรวจแบบฝึกหัดครูควรพิจารณาอย่างรอบคอบ และยอมรับคำ�ตอบท่ีเห็นว่า
มีความถูกตอ้ งและเปน็ ไปไดท้ ีแ่ ตกตา่ งไปจากทเ่ี ฉลยไว้นี้

สำ�หรับแบบฝึกหัดในหนังสือเรียน ครูควรเลือกให้นักเรียนได้ฝึกฝนตามความรู้
ความสามารถ ซง่ึ ในหลายแบบฝกึ หดั ครอู าจใชเ้ พอ่ื การตรวจสอบความเขา้ ใจในชน้ั เรยี น
โดยอาจใช้การถาม–ตอบร่วมกันในช้ันเรียน สำ�หรับแบบฝึกหัดท่ีเป็นข้อท้าทายนั้น
จะมีความยากและซับซ้อนมากข้ึน ซึ่งนักเรียนท่ัวไปอาจยังไม่สามารถทำ�ได้ ดังนั้น
ครคู วรพจิ ารณาความเหมาะสมของการใชง้ านกบั ระดบั ความรคู้ วามสามารถของนกั เรยี น
ในชนั้ เรยี น และไมค่ วรน�ำ แบบฝกึ หดั ทมี่ คี วามยากในระดบั นไี้ ปสรา้ งแบบทดสอบเพอ่ื วดั
และประเมนิ ผลกบั นกั เรยี นโดยทว่ั ไป

เปน็ ค�ำ ตอบ หรอื แนวคดิ ในการท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบท เพอ่ื เปน็ แนวทางใหค้ รใู ชอ้ ภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี น
และในบางกิจกรรมที่มีลักษณะเป็นปัญหาปลายเปิดจะมีตัวอย่างแนวคิดหรือคำ�ตอบที่ถูกต้องและ
เปน็ ไปได้ให้ไว้

12 เปน็ ค�ำ ตอบของแบบฝกึ หดั ทา้ ยบทในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
เลม่ 2 เพอ่ื ใหค้ รไู ดใ้ ชเ้ ปน็ แนวทางในการตรวจแบบฝกึ หดั ของนกั เรยี น ซงึ่ มแี นวคดิ เชน่ เดยี วกบั ใน
เฉลยแบบฝึกหัด ส่วนของเฉลยแบบฝึกหัดท่ีอย่ใู นแตล่ ะหวั ข้อย่อย
ท้ายบท ส�ำ หรบั แบบฝกึ หดั ทา้ ยบทในหนงั สอื เรยี นน้ี มไี วเ้ พอ่ื ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ท�ำ โจทยแ์ บบบรู ณาการ
ความรู้ โดยไมจ่ �ำ แนกความรทู้ ใี่ ชใ้ นการแกป้ ญั หาตามหวั ขอ้ ยอ่ ย ซง่ึ ครคู วรเลอื กใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ฝน
ตามระดบั ความรคู้ วามสามารถ

13 เป็นตัวอย่างของแบบทดสอบประจำ�บทที่เน้นการประยุกต์ใช้ความรู้ที่เรียนมาท้ังบท และให้เห็น
รูปแบบของแบบทดสอบท่ีมีความหลากหลาย รวมทั้งมีตัวอย่างเกณฑ์การให้คะแนนที่ครูสามารถ
ตวั อย่าง น�ำ ไปปรบั ใช้ใหเ้ ข้ากบั บริบทของชน้ั เรียน อยา่ งไรกต็ ามครสู ามารถใช้ตวั อย่างแบบทดสอบทา้ ยบท
แบบทดสอบท้ายบท เปน็ แนวทางในการสรา้ งแบบทดสอบส�ำ หรบั วดั และประเมนิ ผลนกั เรยี นในแตล่ ะบทเรยี น ซง่ึ ตวั อยา่ ง
แบบทดสอบท้ายบทนี้ จะครอบคลุมและสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียนและตัวช้ีวัดของ
หลักสตู ร ทงั้ นี้ ความซับซ้อนของแบบทดสอบท่จี ะใช้ควรเหมาะสมกบั ศักยภาพของนกั เรียน

14 เป็นกิจกรรมท่ีเน้นการประยุกต์ใช้ความรู้คณิตศาสตร์ บูรณาการเข้ากับความรู้ในศาสตร์อ่ืน ๆ
เพ่ือแก้ปัญหาสถานการณ์ที่กำ�หนดให้ภายใต้เงื่อนไขและข้อจำ�กัดต่าง ๆ โดยในการแก้ปัญหานั้น
กจิ กรรมคณติ ศาสตร์ จะต้องอาศยั กระบวนการออกแบบเชิงวิศวกรรม (Engineering Design Process) เปน็ เครื่องมือ
เชงิ สะเต็ม

15 เป็นความรู้ท่ีครูควรทราบเพ่ิมเติมไปจากบทเรียน เช่น ตัวอย่างการใช้เทคโนโลยีเป็นเคร่ืองมือ
ในการจดั การเรยี นรู้เรอื่ งหน่ึง ๆ ท่เี กี่ยวขอ้ งกบั บทเรยี น
ความรู้เพ่มิ เตมิ
สำ�หรับครู

กำ�หนดเวลาสอน

เนอ่ื งจากสถานศกึ ษาสามารถปรบั เกลยี่ จ�ำ นวนชวั่ โมงเรยี นของรายวชิ าพน้ื ฐานไดเ้ อง ดงั นนั้ สถานศกึ ษาแตล่ ะแหง่ อาจ
กำ�หนดจำ�นวนช่ัวโมงเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ไม่เท่ากัน สำ�หรับหนังสือชุดน้ี จะแนะนำ�จำ�นวนช่ัวโมงเรียนที่อิงตาม
โครงสรา้ งหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพืน้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551 คือ 60 ช่วั โมง/ภาคเรียน เปน็ หลกั ท้งั นี้ สถานศกึ ษา
สามารถปรบั จำ�นวนชวั่ โมงนี้ ใหส้ อดคลอ้ งกับบรบิ ทของตนเองไดต้ ามความเหมาะสม

หนว่ ยการเรียนรู้ จ�ำ นวนชัว่ โมงท่ีแนะน�ำ

ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 12
วงกลม 15
พีระมิด กรวย และทรงกลม 15
ความน่าจะเป็น 8
อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ 10

สารบญั บทท่ี 1–3 หนา้

บทท่ี เน้อื หา 13
17
1 บทที่ 1 ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 32
1.1 แนะนำ�ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 44
1.2 การแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
1.3 การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 89
93
ระบบสมการเชงิ เสน้ บทที่ 2 วงกลม 112
สองตวั แปร 2.1 มมุ ท่จี ุดศูนย์กลางและมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม 126
2.2 คอร์ดของวงกลม
2 2.3 เสน้ สมั ผสั วงกลม

วงกลม บทที่ 3 พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 175
3.1 ปรมิ าตรและพื้นที่ผวิ ของพีระมิด 179
3 3.2 ปรมิ าตรและพน้ื ทผ่ี ิวของกรวย 198
3.3 ปริมาตรและพนื้ ท่ผี ิวของทรงกลม 212

พีระมดิ กรวย และทรงกลม

สารบัญ บทท่ี 4–5 หน้า

บทที่ เนอื้ หา 267
271
4 บทที่ 4 ความนา่ จะเป็น 275
4.1 โอกาสของเหตกุ ารณ ์
4.2 ความน่าจะเป็น 305
309
ความน่าจะเปน็ บทท่ี 5 อตั ราสว่ นตรีโกณมิต ิ 317
5.1 ความหมายของอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 338
5 5.2 อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ขิ องมุมแหลม
5.3 การน�ำ อตั ราส่วนตรโี กณมิตไิ ปใช้ในการแก้ปัญหา 372
374
อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ กจิ กรรมคณติ ศาสตรเ์ ชิงสะเต็ม 380
ความรู้เพม่ิ เตมิ สำ�หรบั คร ู 381
บรรณานุกรม
คณะผจู้ ดั ทำ�

คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 13

บทท่ี 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ในบทระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้ ประกอบด้วยหัวข้อย่อย
ดงั ตอ่ ไปนี้

1.1 แนะน�ำ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 2 ช่วั โมง
1.2 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 5 ชั่วโมง
1.3 การแก้โจทย์ปัญหาโดยใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้
สองตัวแปร 5 ชว่ั โมง

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 1 จ�ำ นวนและพชี คณิต

มาตรฐาน ค 1.3 ใชน้ พิ จน์ สมการ และอสมการ อธิบายความสัมพันธ์หรอื ช่วยแกป้ ัญหาทกี่ �ำ หนดให้

ตัวชีว้ ัด

ประยุกต์ใชร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

จุดประสงค์ของบทเรียน

นกั เรยี นสามารถ
1. ใชก้ ราฟเพ่ือวเิ คราะหเ์ ก่ียวกบั คำ�ตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร
2. แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร
3. น�ำ ความรเู้ กีย่ วกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรไปใช้ในการแก้ปัญหา

ความเช่ือมโยงระหว่างตวั ชว้ี ดั กับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน

เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั น้ี กลา่ วถงึ การประยุกต์ใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ดังนั้น เพ่ือให้
การเรียนรขู้ องนักเรยี นในเรอ่ื งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรสอดคล้องกับตัวชี้วดั ครคู วรจัดประสบการณใ์ ห้นกั เรยี นสามารถ
น�ำ ความรเู้ กี่ยวกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรไปใช้ในการแกป้ ญั หาซงึ่ สะทอ้ นได้จากการท่ีนักเรยี นสามารถ
✤ รู้จักและเข้าใจเก่ียวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยสามารถอธิบายลักษณะของระบบสมการเชิงเส้น

สองตัวแปร ลักษณะของคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากการสังเกตกราฟ รวมทั้งใช้กราฟ
ในการวิเคราะหค์ �ำ ตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

14 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

✤ แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใชส้ มบัติของการเท่ากัน
✤ สรา้ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรแทนสถานการณห์ รอื โจทยป์ ญั หา และหาค�ำ ตอบพรอ้ มทง้ั ตรวจสอบค�ำ ตอบ

และความสมเหตสุ มผลของคำ�ตอบ

ความคิดรวบยอดของบทเรยี น

ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ ชุดของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอย่างน้อย 2 สมการ ที่แต่ละสมการเขียนแสดง
ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าณสองปรมิ าณ ค�ำ ตอบของระบบสมการเปน็ ค�ำ ตอบของแตล่ ะสมการในระบบสมการ เราใชร้ ะบบสมการ
แทนสถานการณ์หรือปัญหาเพื่อนำ�ไปสู่การหาคำ�ตอบ ซ่ึงคำ�ตอบท่ีสอดคล้องกับทุกเง่ือนไขและมีความสมเหตุสมผลจะเป็น
คำ�ตอบของปญั หาหรือสถานการณ์

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

หัวข้อ

ทกั ษะและ 1.1 1.2 1.3 กจิ กรรมทา้ ยบท/
กระบวนการ แนะนำ�ระบบ การแกร้ ะบบ การแก้ แบบฝกึ หัด
ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงเส้น สมการเชงิ เสน้ โจทยป์ ญั หา ท้ายบท
สองตัวแปร สองตวั แปร โดยใชร้ ะบบ
การแก้ปญั หา สมการเชงิ เสน้
การส่อื สารและ สองตวั แปร
การส่ือความหมาย
ทางคณิตศาสตร์ ✤✤
การเช่อื มโยง
การใหเ้ หตุผล ✤✤
การคิดสรา้ งสรรค์
✤

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 15

ความเชือ่ มโยงของความรู้

ความรพู ื้นฐาน ✤ การแก้สมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด
สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของการเท่ากันเก่ียวกับการคูณ
เพอ่ื เปน็ พ้นื ฐานในการแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

✤ สมการเชงิ เส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรปู y = mx + b เมอ่ื x และ y เปน็ ตวั แปร
ทแี่ ทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี m และ b เป็นค่าคงตวั จะมีกราฟเป็นเสน้ ตรงทีม่ ี
ความชนั เท่ากบั m โดยมีลกั ษณะของกราฟ 3 ลักษณะ เม่อื m > 0 , m < 0 และ
m = 0 เพื่อเป็นพ้ืนฐานในการนึกภาพเกี่ยวกับลักษณะของกราฟท่ีจะใช้
หาค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

ความรู ✤ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรที่มี x และ y เปน็ ตวั แปร โดยที่ a, b, c, d,
ในบทเรยี น e และ f เปน็ จำ�นวนจรงิ ท่ี a, b ไม่เปน็ ศูนย์พรอ้ มกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศนู ย์
พรอ้ มกัน เป็นระบบทป่ี ระกอบดว้ ยสมการ

ax + by = e
cx + dy = f
✤ คำ�ตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คือ คอู่ นั ดบั (x, y) ที่สอดคล้องกับ

สมการทั้งสองของระบบสมการ ซึ่งค่า x และค่า y ทำ�ให้ได้สมการที่เป็นจริง
ทัง้ สองสมการ
✤ ลักษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้น มี 3 แบบ คอื มคี ำ�ตอบเดยี ว มคี ำ�ตอบ
มากมายไม่จ�ำ กดั และไม่มคี �ำ ตอบ
✤ การแกร้ ะบบสมการเปน็ การหาค�ำ ตอบของระบบสมการ ซง่ึ สามารถหาไดจ้ ากกราฟ
หรือใช้สมบัตขิ องการเทา่ กนั ได้แก่ สมบัตสิ มมาตร สมบตั ิถ่ายทอด สมบัติของ
การเทา่ กันเก่ียวกบั การบวก และสมบัตขิ องการเท่ากันเก่ียวกบั การคูณ
✤ การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกยี่ วกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร จะสรา้ งสมการเชงิ เสน้
สองตัวแปรแทนสถานการณ์หรือปัญหา แล้วแก้ระบบสมการเพื่อหาคำ�ตอบ
พร้อมท้ังตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตุสมผล

ความรใู นอนาคต การใชค้ วามรเู้ กยี่ วกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรในการสรา้ งระบบสมการ
ที่มากกว่าสองตัวแปรแทนปัญหาที่มีเง่ือนไขและความซับซ้อนมากข้ึน นอกจากนี้
ยงั ใชเ้ ปน็ ความรพู้ น้ื ฐานในการศกึ ษาคณติ ศาสตรเ์ รอื่ งอน่ื ๆ เชน่ เมทรกิ ซ์ ก�ำ หนดการ
เชงิ เส้น และความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งขอ้ มูล

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

16 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ล�ำ ดับการจดั กจิ กรรมการเรียนรขู้ องบทเรียน

ทบทวนความร้เู รือ่ ง สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร รปู ทั่วไปของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร และค�ำ ตอบของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ท�ำ กจิ กรรมเพอ่ื ส�ำ รวจค�ำ ตอบของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรจ�ำ นวนสองสมการทม่ี ตี วั แปรชดุ เดยี วกนั จากกราฟ
อภปิ รายลกั ษณะค�ำ ตอบ 3 แบบ ของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คือ
มีค�ำ ตอบเดยี ว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด และ ไม่มคี ำ�ตอบ

แนะน�ำ และอภิปรายเกี่ยวกับลักษณะของสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรสองสมการท่ีหาค�ำ ตอบร่วมกนั
เรียกวา่ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

ทบทวนการหาค�ำ ตอบของสมการโดยใชส้ มบัติของการเท่ากนั แนะน�ำ และอภิปรายเกย่ี วกบั การหาค�ำ ตอบ
ของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร โดยใชส้ มบัติการเท่ากัน ซึ่งอาจท�ำ ได้โดยวิธกี ารก�ำ จัดตวั แปร
และวธิ กี ารแทนคา่

แก้ปญั หาเกย่ี วกับระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร โดยสร้างระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร
แทนสถานการณ์หรือโจทยป์ ัญหา และแก้ระบบสมการเพือ่ หาค�ำ ตอบ
พร้อมทง้ั ตรวจสอบค�ำ ตอบและความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ

สรปุ บทเรยี น เร่ือง ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
และฝึกแกป้ ัญหาโดยทำ�กจิ กรรมท้ายบทและแบบฝึกหัดท้ายบท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 17

1.1 แนะนำ�ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (2 ช่วั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรียนสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร
2. อธิบายลักษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรจากการสังเกตกราฟหรือระบบสมการ
3. ใชก้ ราฟในการวิเคราะหห์ าคำ�ตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

ความเขา้ ใจท่คี ลาดเคล่ือน Y

นักเรียนมักเข้าใจคลาดเคลื่อนว่า คำ�ตอบของระบบสมการ 10
ทีไ่ ดจ้ ากกราฟจะตอ้ งเป็นจดุ ที่กราฟตัดกนั เท่าน้ัน ดงั น้นั ในกรณีที่ 8
กราฟเปน็ เสน้ ตรงทท่ี บั กนั หรอื เปน็ เสน้ ตรงเดยี วกนั ซง่ึ จะไมเ่ หน็ จดุ ตดั 6
ชัดเจน ทำ�ให้เข้าใจว่าระบบสมการไม่มีคำ�ตอบ ซึ่งในความเป็นจริง
ระบบสมการนม้ี คี �ำ ตอบมากมายไม่จ�ำ กัด 4 2x – 4y = 2

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2

-4
-6

x – 2y = 1 -8

-10

สื่อที่แนะนำ�ให้ใช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรยี นรู้

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : ค�ำ ตอบของเธอกับฉนั

ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้

ในหวั ขอ้ นจ้ี ะมงุ่ ใหน้ กั เรยี นไดร้ จู้ กั และเขา้ ใจเกยี่ วกบั ลกั ษณะของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร พรอ้ มทงั้ อธบิ ายลกั ษณะ
คำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟ ซ่ึงมี 3 แบบ ได้แก่ มีคำ�ตอบเดียว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด และ
ไม่มีคำ�ตอบ รวมท้ังหาคำ�ตอบของสมการจากกราฟได้ นอกจากนี้ ยังมุ่งฝึกการนึกภาพเกี่ยวกับกราฟของสมการเชิงเส้น
สองตวั แปรก่อนวเิ คราะหห์ าค�ำ ตอบ แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นร้อู าจท�ำ ไดด้ ังน้ี
1. ครสู นทนากบั นักเรยี นเพื่อทบทวนรูปทัว่ ไปของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร Ax + By + C = 0 เมื่อ x และ y

เปน็ ตัวแปร A, B และ C เป็นค่าคงตัว โดยท่ี A และ B ไม่เปน็ ศนู ย์พร้อมกัน โดยครอู าจใหน้ ักเรยี นชว่ ยกนั
ยกตวั อยา่ งสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร เชน่ 3x – 2y = 6 เพอ่ื น�ำ ไปสกู่ ารเขยี นกราฟของสมการ การหาคอู่ นั ดบั ตา่ ง ๆ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

18 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ค่มู ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ที่สอดคล้องกับสมการ และคำ�ตอบของสมการจากกราฟ โดยเน้นยำ้�ว่าคำ�ตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
มีจ�ำ นวนมากมายไมจ่ �ำ กัด
2. ครูใช้ “กจิ กรรม : ดูกราฟทราบค�ำ ตอบ” ในหนังสอื เรยี น หน้า 14–16 เพือ่ ให้นกั เรยี นพจิ ารณาสมการเชิงเส้น
สองตัวแปร 2 สมการ และกราฟของสมการท้งั สองบนแกนค่เู ดยี วกนั ครใู หน้ กั เรยี นระบุพกิ ดั ของจดุ ทเ่ี ปน็ คำ�ตอบ
ของสมการแต่ละสมการ และพิกัดของจุดร่วมท่ีเป็นคำ�ตอบของท้ังสองสมการ เพื่อให้นักเรียนสังเกตลักษณะ
คำ�ตอบจากกราฟวา่ มี 3 แบบ คอื มีคำ�ตอบเดียว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด และไมม่ คี ำ�ตอบ
ครูอาจใช้มุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 17 โดยดาวน์โหลดส่ือสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The
Geometer’s Sketchpad (GSP) เพื่อพจิ ารณากราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 สมการอ่นื ๆ เพม่ิ เตมิ
3. ครยู กตวั อย่างปัญหาเกี่ยวกบั จ�ำ นวนในหนังสอื เรียน หนา้ 17 เพ่อื ใหน้ กั เรียนพิจารณาวา่ เราสามารถเขียนสมการ
แสดงความความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณแทนแต่ละเง่ือนไขโดยใช้ตัวแปรชุดเดียวกันได้ แต่คำ�ตอบของ
แตล่ ะสมการจะมมี ากมาย ซงึ่ อาจไมส่ อดคลอ้ งกบั เงอื่ นไขทง้ั หมดของปญั หา จงึ ตอ้ งน�ำ ชดุ สมการทง้ั สองมาพจิ ารณา
หาคำ�ตอบร่วมกัน เราเรียกชุดของสมการทั้งสองท่ีพิจารณาคำ�ตอบร่วมกันว่า “ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”
ซึ่งในบทน้ี จะเนน้ เฉพาะสมการเชงิ เส้นทีม่ ีตัวแปรเพียงสองตัวและมีสมการเพียงสองสมการเท่านั้น
4. ครูอาจยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในหนังสือเรียน หน้า 18–20 โดยให้นักเรียนนึกภาพ
(visualize) ของกราฟจากแต่ละสมการที่กำ�หนดก่อนท่ีจะลงมือเขียนกราฟ เพื่อหาคำ�ตอบของระบบสมการ
จากกราฟ และเนน้ วา่ จ�ำ นวนค�ำ ตอบของระบบสมการจะเปน็ แบบใดแบบหนงึ่ ใน 3 แบบเทา่ นนั้ คอื มคี �ำ ตอบเดยี ว
มีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั หรอื ไม่มีค�ำ ตอบ
นอกจากนี้ ครูอาจให้นักเรียนสังเกตเพิ่มเติมเก่ียวกับความสัมพันธ์ของสัมประสิทธ์ิและค่าคงตัวของสมการ
ท้ังสองกับคำ�ตอบของระบบสมการท่ีได้ จากบทสนทนาของข้าวสวยและข้าวหอม ในหนังสือเรียน หน้า 20–21
เพอ่ื ใหไ้ ด้ข้อสงั เกตท่ีวา่
✤ ถา้ สมั ประสทิ ธข์ิ องตวั แปรตวั เดยี วกนั และคา่ คงตวั ในแตล่ ะสมการมคี วามสมั พนั ธท์ ที่ �ำ ใหส้ มการทง้ั สอง

สมมลู กนั กราฟของสมการทง้ั สองจะทบั กนั สนทิ ระบบสมการนจ้ี ะมคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั ซง่ึ ในกรณนี ้ี
นกั เรยี นมกั คดิ วา่ ระบบสมการนไี้ มม่ คี �ำ ตอบ เพราะไมเ่ หน็ พกิ ดั ของจดุ ตดั ทเี่ ปน็ ค�ำ ตอบของระบบสมการ
ดังนั้น ครูควรเน้นให้นักเรียนสังเกตพิกัดของจุดท่ีทับกัน โดยสังเกตว่าคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ
ดงั กล่าว มีมากมายไมจ่ ำ�กัด
✤ ถา้ สมั ประสทิ ธขิ์ องตวั แปรตวั เดยี วกนั เทา่ กนั หรอื สามารถท�ำ ใหเ้ ทา่ กนั ได้ แตค่ า่ คงตวั ของสมการทงั้ สอง
ไม่เท่ากัน กราฟของสมการทงั้ สองจะขนานกนั ท�ำ ใหร้ ะบบสมการนไี้ มม่ คี �ำ ตอบ
5. ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกับฉัน” ในคู่มือครู หน้า 21–25 เพื่อสรุปความเข้าใจ
ในการหาค�ำ ตอบของระบบสมการ โดยการก�ำ หนดเงอ่ื นไขทเ่ี กย่ี วขอ้ งกนั สองเงอ่ื นไข เพอ่ื ใหไ้ ดค้ �ำ ตอบของจ�ำ นวนสอง
จ�ำ นวนตามเงือ่ นไขท่กี ำ�หนดให้
6. ครูอาจใช้คำ�ถามชวนคิด 1.1 ในหนังสือเรียน หน้า 24 เพ่ือนำ�ไปสู่การอภิปรายท่ีว่า การเขียนหรืออ่านจุดตัด
ท่ีเป็นพิกัดของคำ�ตอบอาจมีความคลาดเคล่ือน ทำ�ให้เราต้องหาแนวทางอ่ืนในการหาคำ�ตอบท่ีถูกต้องของ
ระบบสมการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 19

กจิ กรรม : ดูกราฟทราบคำ�ตอบ

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนพิจารณากราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และสังเกตเก่ียวกับ
คำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟ แล้วสร้างข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับจำ�นวนคำ�ตอบว่าเป็นไปได้ก่ีแบบ
โดยมขี ั้นตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดงั นี้

ส่ือ/อุปกรณ์

-

ขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครใู หน้ ักเรยี นท�ำ “กิจกรรม : ดกู ราฟทราบค�ำ ตอบ” ขอ้ 1–3 ในหนังสือเรยี น หนา้ 14–16 แล้วระบพุ กิ ดั ของจุด
ทีเ่ ปน็ คำ�ตอบของสมการท่กี ำ�หนดให้

2. ครูนำ�นักเรียนอภิปรายเก่ียวกับพิกัดของจุดที่เป็นคำ�ตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ได้จากการทำ�กิจกรรม
ในแตล่ ะขอ้ วา่ ไดค้ �ำ ตอบเหมอื นกนั หรอื ไม่ อยา่ งไร จากนน้ั ใหน้ กั เรยี นตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมในหนงั สอื เรยี น หนา้ 16
โดยสังเกตลักษณะคำ�ตอบที่ได้จากการทำ�กิจกรรมแต่ละข้อ และอภิปรายร่วมกันเพื่อนำ�ไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับ
ความสมั พันธร์ ะหว่างกราฟของชุดสมการกบั คำ�ตอบของชุดสมการ

3. ครูนำ�อภิปรายเพ่ิมเติมเก่ียวกับคำ�ตอบของระบบสมการที่มีจำ�นวนมากมายซึ่งสามารถเขียนคำ�ตอบในรูปพิกัดของ

( )คอู่ ันดับ (x, y) ให้เหมือนกันได้ เชน่ เขียนพิกดั ในรูป (5 – 2y, y) หรอื x, 5–—–2 x

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

20 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยกจิ กรรม : ดูกราฟทราบคำ�ตอบ

1. 1) ตัวอย่างคำ�ตอบ (-2, 10) , (-1, 9) , (0, 8) , (1, 7) , (2, 6) , (3, 5) , (4, 4) , (5, 3) , (6, 2) ,
(7, 1) , (8, 0) , (9, -1) , (10, -2)

2) ตวั อยา่ งคำ�ตอบ (-2, -11) , (-1, -9) , (0, -7) , (1, -5) , (2, -3) , (3, -1) , (4, 1) , (5, 3) , (6, 5) , (7, 7) ,
(8, 9)

3) (5, 3)

( )2. 1) ตวั อยา่ งคำ�ตอบ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 2–21 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1)
( ) 2) ตวั อย่างคำ�ตอบ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 21–2 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1)

3) ค�ำ ตอบมไี ด้หลากหลาย เช่น

( ) ✤ มีคำ�ตอบมากมาย เชน่ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 2–12 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1)
( ) ✤ คำ�ตอบของทงั้ สองสมการเหมือนกัน เชน่ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 21–2 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1)

3. 1) ตัวอย่างคำ�ตอบ (-4, -1) , (-2, 2) , (0, 5) , (2, 8)
2) ตัวอยา่ งค�ำ ตอบ (-6, -7) , (-4, -4) , (-2, -1) , (0, 2) , (2, 5) , (4, 8)
3) ไมม่ ี

เฉลยค�ำ ถามท้ายกิจกรรม : ดกู ราฟทราบคำ�ตอบ

ตวั อยา่ งคำ�ตอบ
จากกจิ กรรมในแตล่ ะข้อ เมอื่ สังเกตกราฟเก่ียวกับค�ำ ตอบของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรทั้งสองสมการ พบวา่
✤ ขอ้ 1 กราฟของสมการท้ังสองตัดกันจุดเดียว แสดงว่าคำ�ตอบของสมการท้ังสองมีเพียงคำ�ตอบเดียว คือ

พกิ ดั ของจดุ ตัดนน้ั
✤ ขอ้ 2 กราฟของสมการทงั้ สองทับกนั สนทิ และคำ�ตอบทกุ ค�ำ ตอบของสมการ x + 2y = 5 เปน็ คำ�ตอบ

ของสมการ 3x + 6y = 15 ด้วย แสดงวา่ คำ�ตอบของสมการท้งั สองมมี ากมายไม่จำ�กดั
✤ ข้อ 3 กราฟของสมการทัง้ สองขนานกัน ไม่มจี ุดตดั และไมท่ ับกนั แสดงวา่ ไม่มีพิกัดของจุดที่เปน็ ค�ำ ตอบ

รว่ มของสมการทั้งสอง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 21

กจิ กรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกบั ฉัน

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่เน้นย้ำ�ความเข้าใจเกี่ยวกับการหาคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟ
โดยฝกึ การสรา้ งระบบสมการ เขียนกราฟ สงั เกตจุดตัดของกราฟ และหาคำ�ตอบของระบบสมการจากกราฟ โดยมีส่ือ/อปุ กรณ์
และข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดงั น้ี

สอ่ื /อุปกรณ์

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกบั ฉนั

ขัน้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ�ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกับฉัน ข้อ 1 แล้วสุ่มนักเรียนเฉลยคำ�ตอบ
ในขอ้ 1 ข้อยอ่ ย 1) และ 2) เก่ยี วกับตวั อย่างของจำ�นวนสองจ�ำ นวนท่รี วมกันได้ 10 และจำ�นวนสองจ�ำ นวนทมี่ คี า่
ต่างกันอยู่ 2 จากน้ันร่วมกันอภิปรายว่าคำ�ตอบที่ได้ของนักเรียนแต่ละคนนั้นเหมือนกันหรือแตกต่างกัน และ
เปน็ คำ�ตอบท่ีถกู ตอ้ งหรอื ไม่ เพราะเหตุใด สำ�หรับขอ้ ย่อย 3) นกั เรียนทกุ คนควรไดค้ �ำ ตอบเหมอื นกนั

2. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมขอ้ 2 โดยเขยี นสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรแทนประโยค “จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนทร่ี วมกนั ได้ 10”
และ “จำ�นวนสองจ�ำ นวนท่ีมคี า่ ต่างกนั อยู่ 2” เมอ่ื กำ�หนดให้ x แทนจ�ำ นวนแรก และ y แทนจำ�นวนที่สอง แล้ว
สุ่มนกั เรยี นมาน�ำ เสนอค�ำ ตอบ และใหน้ กั เรยี นคนอน่ื ๆ รว่ มกันพจิ ารณาความถกู ตอ้ ง

3. ครูใหน้ กั เรยี นทำ�กิจกรรมข้อ 3–5 แล้วอภิปรายค�ำ ตอบที่ไดร้ ่วมกัน ส�ำ หรับข้อ 5 นกั เรยี นควรตอบไดว้ ่าเราสามารถ
เขียนกราฟของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรเพ่อื หาคำ�ตอบของจำ�นวนสองจำ�นวนท่มี ีเงอื่ นไขตามท่ีก�ำ หนดให้ได้ เพราะ
คำ�ตอบที่ได้เหมือนกัน และมีความสะดวกมากกว่าที่จะยกตัวอย่างจำ�นวนตามเง่ือนไขที่กำ�หนดให้ แล้วพิจารณาว่า
มีค�ำ ตอบเหมือนกนั หรือไม่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

22 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : ค�ำ ตอบของเธอกบั ฉัน

1. ใหน้ กั เรยี นเติมคำ�ตอบในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี
1) จงยกตวั อยา่ งจ�ำ นวนสองจำ�นวนท่รี วมกันได้ 10 มา 6 คู่

2) จงยกตัวอย่างจำ�นวนสองจ�ำ นวนทมี่ ีค่าต่างกนั อยู่ 2 มา 6 คู่

3) จงหาจ�ำ นวนสองจำ�นวนทีส่ อดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขในข้อ 1) และ 2)


2. ถ้าให้ x แทนจำ�นวนแรก และ y แทนจ�ำ นวนที่สอง ให้นกั เรยี นเติมค�ำ ตอบในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้
1) จงเขยี นสมการแทนประโยค “จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนที่รวมกนั ได้ 10”

2) จงเขียนสมการแทนประโยค “จ�ำ นวนสองจำ�นวนท่มี คี า่ ตา่ งกนั อยู่ 2”


3. ให้นักเรียนใช้ความรู้เรื่องการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการเขียนกราฟของสมการท่ีได้
ในข้อ 2 โดยใช้แกนคเู่ ดยี วกัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 23

4. จากกราฟในขอ้ 3 จงเติมคำ�ตอบในแตล่ ะข้อต่อไปนี้
1) จงระบุพิกัดของจดุ ตดั ของกราฟท่ีไดใ้ นข้อ 3


2) พกิ ัดของจดุ ตดั ทไี่ ด้กบั คำ�ตอบในขอ้ 1 ขอ้ ยอ่ ย 3) สัมพนั ธก์ นั อยา่ งไร



5. นักเรียนคิดว่าเราสามารถใช้การเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการหาคำ�ตอบของจำ�นวน
สองจ�ำ นวนที่มเี ง่ือนไขตามที่ก�ำ หนดให้ในข้อ 1 ขอ้ ยอ่ ย 1) และ 2) ไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตใุ ด


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

24 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกับฉนั

1. ให้นกั เรยี นเตมิ ค�ำ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้
1) จงยกตัวอยา่ งจ�ำ นวนสองจำ�นวนทรี่ วมกันได้ 10 มา 6 คู่
ตัวอย่างคำ�ตอบ
9 กบั 1 8 กับ 2 7 กับ 3 6 กบั 4 5 กับ 5 -4 กบั 14
2) จงยกตวั อย่างจำ�นวนสองจ�ำ นวนทีม่ คี า่ ตา่ งกนั อยู่ 2 มา 6 คู่
ตัวอย่างคำ�ตอบ
3 กบั 1 4 กับ 2 5 กับ 3 6 กับ 4 7 กับ 5 8 กับ 6
3) จงหาจ�ำ นวนสองจำ�นวนที่สอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขในข้อ 1) และ 2)
6 กบั 4 (สำ�หรับขอ้ น้ี นักเรียนอาจตอบ 4 กับ 6 กไ็ ด้ ขนึ้ อย่กู บั คำ�ตอบของนักเรยี นในข้อ 1)
และ 2) )

2. ถ้าให้ x แทนจำ�นวนแรก และ y แทนจำ�นวนทสี่ อง ให้นักเรียนเตมิ คำ�ตอบในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้
1) จงเขียนสมการแทนประโยค “จำ�นวนสองจำ�นวนทร่ี วมกันได้ 10”
x + y = 10
2) จงเขียนสมการแทนประโยค “จำ�นวนสองจำ�นวนทมี่ คี า่ ตา่ งกันอยู่ 2”
x – y = 2 หรือ y – x = 2

3. ให้นักเรียนใช้ความรู้เร่ืองการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการเขียนกราฟของสมการที่ได้
ในขอ้ 2 โดยใช้แกนคเู่ ดียวกัน

กรณี x + y = 10 และ x – y = 2 กรณี x + y = 10 และ y – x = 2

Y Y

10 x + y = 10 10 x + y = 10
8
6 8
4 6
2 4

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2 -2

-4 -4

x–y = 2 -6 y–x = 2 -6
-8 -8

-10 -10

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 25

4. จากกราฟในข้อ 3 จงเติมค�ำ ตอบในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี หรอื
1) จงระบุพิกัดของจดุ ตดั ของกราฟทไี่ ด้ในขอ้ 3
กรณี x + y = 10 และ x – y = 2 จะไดพ้ กิ ดั ของจุดตดั คือ (6, 4)
กรณี x + y = 10 และ y – x = 2 จะได้พิกัดของจุดตดั คอื (4, 6)
2) พกิ ดั ของจดุ ตดั ท่ีไดก้ ับค�ำ ตอบในข้อ 1 ข้อย่อย 3) สมั พนั ธ์กนั อย่างไร
มคี �ำ ตอบเหมอื นกนั คอื 6 กบั 4

5. นักเรียนคิดว่าเราสามารถใช้การเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการหาคำ�ตอบของจำ�นวน
สองจำ�นวนทมี่ เี งอื่ นไขตามท่ีก�ำ หนดให้ในขอ้ 1 ขอ้ ย่อย 1) และ 2) ไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตุใด
ได้ เพราะไดค้ �ำ ตอบเหมอื นกนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

26 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยชวนคิด

ชวนคิด 1.1

เขยี นกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรทป่ี ระกอบดว้ ยสมการ 2x + 3y = 1 และ 3x – 2y = 18

ipst.me/11417 ไดด้ ังน้ี

Y

10 3x – 2y = 18

8

2x + 3y = 1 6

4

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2
-4
-6
-8
-10

จากกราฟ จะเห็นว่าพิกัดที่หนึ่งและพิกัดท่ีสองของจุดตัดของกราฟไม่เป็นจำ�นวนเต็ม ทำ�ให้อ่านได้เพียง
ค่าประมาณเท่านน้ั ค�ำ ตอบทอ่ี า่ นได้จากกราฟจงึ อาจไม่ใช่คำ�ตอบท่ีถกู ต้องของระบบสมการทกี่ �ำ หนดให้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 27

เฉลยแบบฝกึ หัด

แบบฝกึ หัด 1.1

1. 1) แนวคดิ ก�ำ หนดให ้ x + 2y = 4 1
2
2x + 3y = 7

เขยี นกราฟของสมการทง้ั สองได้ดังน้ี

Y

2x + 3y = 7 10
x + 2y = 4 8
6
4
2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2
-4
-6
-8
-10

จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนมี้ ีคำ�ตอบเพียงคำ�ตอบเดียว คือ (2, 1)

2) แนวคดิ ก�ำ หนดให้ y + x = -2 1
2
2y + 2x = -4

เขียนกราฟของสมการทง้ั สองไดด้ ังน้ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

28 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

Y

10 2 4 6 8 10 X

2y + 2x = -4 8 y + x = -2

6
4
2

-10 -8 -6 -4 -2 O
-2
-4
-6
-8
-10

จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรน้มี ีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัด

3) แนวคิด กำ�หนดให้ x – 3y = 6 1
2
2x – 6y = 8

เขียนกราฟของสมการทั้งสองไดด้ ังน้ี

Y

10 2x – 6y = 8 X
8
6 2 4 6 8 10
4
2 x – 3y = 6

-10 -8 -6 -4 -2 O
-2
-4
-6
-8
-10

จากกราฟ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรนไี้ ม่มคี ำ�ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 29

4) แนวคิด กำ�หนดให้ 2x – y = -3 1
2
-4x + 2y = 6

เขยี นกราฟของสมการทั้งสองไดด้ ังน้ี

Y

10 -4x + 2y = 6
8
6 2 4 6 8 10
4
2

-10 -8 -6 -4 -2 O X
-2
2x – y = -3 -4

-6

-8

-10

จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนมี้ ีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กดั

5) แนวคิด ก�ำ หนดให้ -x + 2y = 6 1
2
2y – 4 = x

เขียนกราฟของสมการทั้งสองไดด้ งั นี้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

30 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

Y

10

8 -x + 2y = 6

6

4

2 2y – 4 = x

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2
-4
-6
-8
-10

จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรนีไ้ มม่ คี �ำ ตอบ

6) แนวคิด ก�ำ หนดให้ 2x – 3y – 14 = 0 1
2
3x + 2y = 8

เขยี นกราฟของสมการทัง้ สองไดด้ งั น้ี

Y

3x + 2y = 8 10
8
6
4
2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2

-4

2x – 3y – 14 = 0 -6
-8

-10

จากกราฟ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรน้ีมคี �ำ ตอบเพยี งค�ำ ตอบเดียว คอื (4, -2)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 31

2. 1) มคี ำ�ตอบเพยี งค�ำ ตอบเดียว คือ (2, 1)
2) มคี �ำ ตอบเพียงคำ�ตอบเดียว คือ (3, -3)
3) มคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั
4) ไมม่ ีค�ำ ตอบ
5) มีคำ�ตอบเพยี งค�ำ ตอบเดียว คอื (-2, 3)
6) มคี ำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั

3. 1) เติมหมายเลขของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรลงใน ได้ดังนี้

Y

10 3
8
6
4
2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
5 4 -2

-4 21

-6

-8

-10

จาก ขอ้ 1) สามารถตอบค�ำ ถามข้อ 2)–6) ได้ดงั น้ี
2) มคี ำ�ตอบเดียว คือ (0, 6)
3) ไม่มีคำ�ตอบ
4) มีค�ำ ตอบเดยี ว คือ (2, -2)
5) มีค�ำ ตอบเดยี ว คือ (4, -2)
6) มคี ำ�ตอบเดยี ว คือ (2, 2)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

32 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

1.2 การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร (5 ช่วั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรียนสามารถแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใชส้ มบตั ิของการเท่ากนั

ความเข้าใจท่คี ลาดเคลือ่ น

-

สื่อท่ีแนะนำ�ใหใ้ ช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

-

ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

ในหวั ขอ้ นเี้ ปน็ เรอื่ งการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร โดยเนน้ ใหน้ กั เรยี นสามารถแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร
โดยใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของ
การเทา่ กนั เกยี่ วกบั การคณู มาชว่ ยในการหาค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรชดุ ใหม่
จะสมมูลกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่กำ�หนดให้ ดังนั้น จึงไม่เน้นการตรวจสอบคำ�ตอบ แต่ควรเน้นความรอบคอบใน
การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรของนกั เรยี น แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้อาจท�ำ ได้ดังนี้

( ) 1. ครูยกตัวอย่างกราฟของระบบสมการ เช่น x + 6y = 10 และ 2x + 3y = 12 ซ่ึงมีคำ�ตอบเป็น 1—34 , –89
เพอื่ ชใี้ หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ การเขยี นและอา่ นพกิ ดั ของคอู่ นั ดบั ทเ่ี ปน็ ค�ำ ตอบจากกราฟ อาจมโี อกาสคลาดเคลอื่ นจาก
คา่ ทแ่ี ทจ้ รงิ ได้ จากนน้ั ครแู นะน�ำ การแกส้ มการโดยใชส้ มบตั กิ ารเทา่ กนั มาชว่ ยในการหาค�ำ ตอบของระบบสมการ
เชงิ เส้นสองตัวแปร
2. ครูอาจใช้ตัวอย่างที่ 1–6 ในหนังสือเรียน หน้า 24–27 เพ่ืออภิปรายร่วมกันถึงวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น

สองตัวแปร ซ่ึงอาจใช้วิธีการกำ�จัดตัวแปรหรือวิธีการแทนค่า ซึ่งหลังจากแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแล้ว
ครคู วรใหน้ กั เรยี นสงั เกตลกั ษณะค�ำ ตอบของระบบสมการทอี่ าจมคี �ำ ตอบเดยี ว มคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั หรอื ไมม่ ี
ค�ำ ตอบ นอกจากน้ี ครูควรเน้นย�ำ้ เพม่ิ เตมิ ในประเดน็ ต่อไปนี้
✤ เม่ือแก้ระบบสมการแล้วได้สมการท่ีไม่เป็นจริง แสดงว่าไม่มีคำ�ตอบที่สอดคล้องกับสมการท้ังสอง ดังน้ัน

ระบบสมการไมม่ คี ำ�ตอบ ดงั ในตวั อย่างที่ 4
✤ ถ้าจดั รปู สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร แล้วพบว่าสมการทั้งสองเป็นสมการเดียวกัน หรือถ้าแกส้ มการแล้วได้

สมการทเี่ ป็นจรงิ แสดงว่าระบบสมการน้ีมีค�ำ ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั ดังในตัวอย่างท่ี 5 และสำ�หรบั ตวั อย่าง
ท่ี 5 น้ี ถา้ เราใช้วธิ ีก�ำ จดั ตัวแปร จะได้ 0 = 0 ซงึ่ เปน็ สมการที่เปน็ จริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 33

✤ ในกรณีที่ระบบสมการมีคำ�ตอบมากมาย ครูควรยำ้�ให้นักเรียนระบุคำ�ตอบในรูปท่ัวไป ซึ่งในชั้นนี้นักเรียน
สามารถเขยี นคำ�ตอบใหอ้ ยูใ่ นรูปค่อู ันดบั ของตัวแปรใดตวั แปรหน่งึ ดังในตัวอย่างท่ี 5

3. ครูอาจให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายถึงการเลือกใช้วิธีแก้ระบบสมการด้วยวิธีการกำ�จัดตัวแปรและวิธีการแทนค่า
โดยช้ใี ห้เหน็ ว่า การจะเลือกใชว้ ิธกี ารใด มักพิจารณาจากลกั ษณะของแตล่ ะสมการในระบบสมการน้นั ทัง้ น้ีครูอาจ
ยกตวั อยา่ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรเพมิ่ เตมิ เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาและเลอื กวธิ แี กร้ ะบบสมการ โดยยงั ไม่
ลงมอื แก้ระบบสมการ

4. ครูอาจตั้งประเด็นเพิ่มเติมให้นักเรียนใช้ความรู้เก่ียวกับสมการเชิงเส้นท่ีเรียนมาแล้ว มาช่วยในการนึกภาพเพื่อ
หาค�ำ ตอบของระบบสมการ ทแ่ี ตล่ ะสมการมลี กั ษณะเฉพาะ เชน่ x = 4 , y = 6 ซง่ึ จะมคี �ำ ตอบของระบบสมการ
คือ (4, 6) ท�ำ ใหน้ กั เรียนขยายความคิดเก่ยี วกบั การใช้กราฟช่วยในการหาคำ�ตอบของระบบสมการ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

34 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัด 1.2

1. 1) แนวคดิ 3x – 4y = 0 1
2
3x + 4y = -24
1
1 + 2 ; 6x = -24 2
3
x = -4 4
5
แทน x ด้วย -4 ในสมการ 1 จะได้
1
3(-4) – 4y = 0 2
3
-4y = 12

y = -3

ดังนัน้ ระบบสมการนมี้ ีคำ�ตอบ คอื (-4, -3)

2) แนวคดิ 3x – y = 7

4x – 3y – 11 = 0

จากสมการ 2 4x – 3y = 11

1 × 3 ; 9x – 3y = 21

4 – 3 ; 5x = 10

x = 2

แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 1 จะได้

3(2) – y = 7

-y = 1

y = -1

ดังนั้น ระบบสมการนี้มคี �ำ ตอบ คือ (2, -1)

3) แนวคดิ 1 x + 7y = 8

3x + 2y = 5

จากสมการ 1 x = 8 – 7y

แทน x ดว้ ย 8 – 7y ในสมการ 2 จะได้

3(8 – 7y) + 2y = 5

24 – 21y + 2y = 5

-19y = -19

y = 1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 35

แทน y ดว้ ย 1 ในสมการ 1 จะได้

x + 7(1) = 8

x = 1

ดงั น้นั ระบบสมการนี้มคี ำ�ตอบ คือ (1, 1)

แนวคดิ 2 x + 7y = 8 1
2
3x + 2y = 5 3

1 × 3 ; 3x + 21y = 24

3 – 2 ; 19y = 19

y = 1

แทน y ดว้ ย 1 ในสมการ 1 จะได้

x + 7(1) = 8

x = 1

ดังน้นั ระบบสมการนม้ี ีค�ำ ตอบ คอื (1, 1)

4) แนวคดิ x + 2y – 1 = 0 1
2
2x + 4y – 5 = 0 3
ซงึ่ เป็นสมการท่ีไมเ่ ป็นจริง
1 × 2 ; 2x + 4y – 2 = 0

2 – 3 ; -3 = 0

ดังน้ัน ระบบสมการนไี้ ม่มคี ำ�ตอบ

5) แนวคิด 1 4x = 3y + 12 1
x = –43y + 3 2

2 × 4 ; 4x = 3y + 12 3

จะเหน็ วา่ สมการ 3 ที่ได้จากสมการ 2 เปน็ สมการเดียวกันกบั สมการ 1

แสดงว่าสมการ 1 และสมการ 2 มีคำ�ตอบเหมอื นกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด

( )ดงั น้นั ระบบสมการนมี้ คี ำ�ตอบมากมายไม่จ�ำ กัดอยใู่ นรูป –43y + 3 , y เมื่อ y แทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ

แนวคิด 2 4x = 3y + 12 1
2
x = 4–3y + 3
จะได้
แทน x ดว้ ย 4–3y + 3 ในสมการ 1
4 4–3y + 3 = 3y + 12
( )
3y + 12 = 3y + 12

12 = 12 ซึง่ เปน็ สมการท่ีเป็นจริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

36 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

แสดงวา่ สมการ 1 และสมการ 2 มีค�ำ ตอบเหมือนกัน และมีคำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั

( )ดงั นั้น ระบบสมการนมี้ คี ำ�ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัดอยใู่ นรูป 4–3y + 3 , y เม่อื y แทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ

6) แนวคิด x + y = –21 1

x – 3y = 1–6 2

1 – 2 ; 4y = –31

y = 1—12

แทน y ดว้ ย 1—12 ในสมการ 1 จะได้

x + 1—12 = –21

x = 1—52

( )ดังนน้ั ระบบสมการน้ีมีค�ำ ตอบ คือ 1—52 , 1—12

7) แนวคดิ 5x + 3y = 10 1
2
4x – 2y = 8 3
4
1 × 2 ; 10x + 6y = 20

2 × 3 ; 12x – 6y = 24

3 + 4 ; 22x = 44

x = 2

แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 1 จะได้

5(2) + 3y = 10

3y = 0

y = 0

ดงั นั้น ระบบสมการนี้มีค�ำ ตอบ คอื (2, 0)

8) แนวคดิ -2x – 5y = 5 1
2
2y = 4 – 2x 3

จากสมการ 2 ; 2x + 2y = 4

1 + 3 ; -3y = 9

y = -3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 37

แทน y ด้วย -3 ในสมการ 1 จะได้

-2x – 5(-3) = 5

-2x = -10

x = 5

ดงั นั้น ระบบสมการน้ีมคี ำ�ตอบ คอื (5, -3)

9) แนวคดิ 2x – 3y = 5 1
2
-6x + 9y = -12 3
ซ่ึงเปน็ สมการทไี่ มเ่ ปน็ จริง
1 × (-3) ; -6x + 9y = -15

2 – 3 ; 0 = 3

ดังน้ัน ระบบสมการน้ไี ม่มีค�ำ ตอบ

10) แนวคดิ 1 x – 2–1y = 2 1
y – 2x = -4 2

1 × 2 ; 2x – y = 4 3

2 + 3 ; 0 = 0 ซ่งึ เปน็ สมการทเี่ ป็นจรงิ

แสดงว่า สมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมือนกัน และมคี ำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด

หาคอู่ ันดับที่เป็นคำ�ตอบของระบบสมการนีไ้ ด้จากสมการใดสมการหน่ึง ดงั นี้

จากสมการ 2 จะได้ y = 2x – 4

ดงั น้นั ระบบสมการน้มี คี �ำ ตอบมากมายไม่จำ�กดั อย่ใู นรูป (x , 2x – 4) เมื่อ x แทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ

แนวคดิ 2 x – 2–1y = 2 1
y – 2x = -4 2

1 × (-2) ; -2x + y = -4 3

จะเห็นวา่ สมการ 3 ทีไ่ ด้จากสมการ 2 เป็นสมการเดยี วกนั กับสมการ 1

แสดงวา่ สมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมอื นกัน และมีคำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด

หาคูอ่ ันดบั ทเ่ี ปน็ คำ�ตอบของระบบสมการนี้ได้จากสมการใดสมการหนึง่ ดงั น้ี

จากสมการ 2 จะได้ y = 2x – 4

ดงั น้นั ระบบสมการนมี้ ีคำ�ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั อยใู่ นรปู (x , 2x – 4) เมื่อ x แทนจำ�นวนจรงิ ใด ๆ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

38 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2. 1) แนวคดิ 5x – 4y = 1 1
2
x – y = -7 3

2 × 5 ; 5x – 5y = -35 1
2
1 – 3 ; y = 36
ซึง่ เปน็ สมการท่ีไม่เป็นจริง
แทน y ด้วย 36 ในสมการ 2 จะได้

x – 36 = -7

x = 29

ดังน้ัน ระบบสมการนี้มีคำ�ตอบ คือ (29, 36)

2) แนวคดิ x = –32y – 5

12y – 8x = -12

แทน x ด้ว1ย2–32yy––85–32ใyน–สม5ก าร=2 จะได้
-12
( )
12y – 12y + 40 = -12

40 = -12

ดังน้นั ระบบสมการนไ้ี มม่ คี ำ�ตอบ

3) แนวคิด -2x = 2(y – 2) 1

2x + 2y = 4 2

จากสมการ 1 ; -2x – 2y = -4 3

2 + 3 ; 0 = 0 ซ่ึงเป็นสมการทีเ่ ปน็ จริง

แสดงวา่ สมการ 1 และสมการ 2 มีค�ำ ตอบเหมือนกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด

หาคอู่ ันดับทเี่ ป็นค�ำ ตอบของระบบสมการน้ีไดจ้ ากสมการใดสมการหน่งึ ดังน้ี

จากสมการ 2 จะได ้ y = 2 – x

ดงั นนั้ ระบบสมการนี้มคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัดอยู่ในรูป (x , 2 – x) เมื่อ x แทนจ�ำ นวนจรงิ ใด ๆ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 39

4) แนวคดิ 11x + 8y = 31 1
2
13x – 6y = 83 3
4
1 × 3 ; 33x + 24y = 93

2 × 4 ; 52x – 24y = 332

3 + 4 ; 85x = 425

x = 5

แทน x ดว้ ย 5 ในสมการ 1 จะได้

11(5) + 8y = 31

8y = -24

y = -3

ดงั นนั้ ระบบสมการนมี้ คี �ำ ตอบ คอื (5, -3)

5) แนวคิด 4x – 3y = 12 1

–31x – 4–1y = 1 2
4x – 3y = 12 3
2 × 12 ;

จะเหน็ ว่า สมการ 3 ท่ีไดจ้ ากสมการ 2 เป็นสมการเดยี วกันกบั สมการ 1

แสดงว่า สมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมือนกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด

หาคอู่ นั ดับทีเ่ ป็นคำ�ตอบของระบบสมการน้ีได้จากสมการใดสมการหนงึ่ ดังน้ี

จากสมการ 1 ; 4x – 3y = 12

y = 4x – 12
3
( )ดงั นัน้
ระบบสมการนีม้ ีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กดั อยใู่ นรปู x, 4x – 12 เมื่อ x แทนจำ�นวนจรงิ ใด ๆ
3

6) แนวคดิ 2x + 3y = 1.6 1
3x – 4y = 4.1 2
8x + 12y = 6.4 3
9x – 12y = 12.3 4
1 × 4 ;
17x = 18.7
2 × 3 ; x = 1.1

3 + 4 ;



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

40 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แทน x ด้วย 1.1 ในสมการ 1 จะได้

2(1.1) + 3y = 1.6

3y = -0.6

y = -0.2

ดังน้ัน ระบบสมการนม้ี ีค�ำ ตอบ คอื (1.1, -0.2)

7) แนวคดิ 0.2x + 0.3y = 0.7 1
2
0.5x – 0.2y = 0.8 3
4
1 × 10 ; 2x + 3y = 7 5
6
2 × 10 ; 5x – 2y = 8

3 × 2 ; 4x + 6y = 14

4 × 3 ; 15x – 6y = 24

5 + 6 ; 19x = 38

x = 2

แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 3 จะได้

2(2) + 3y = 7

3y = 3

y = 1

ดังนัน้ ระบบสมการนี้มคี ำ�ตอบ คอื (2, 1)

8) แนวคดิ 3x + 3 = 23 – 4y 1

4–x + –3y = 4 2

จากสมการ 1 ; 3x + 4y = 20 3
4
2 × 12 ; 3x + 4y = 48 ซ่ึงเปน็ สมการทไี่ ม่เป็นจริง

3 – 4 ; 0 = -28

ดังนัน้ ระบบสมการนไ้ี มม่ คี �ำ ตอบ

9) แนวคิด 4x + 9y – 7 = 0 1
12x – 27y + 21 = 0 2
12x + 27y – 21 = 0 3

1 × 3 ; 24x = 0
x = 0
2 + 3 ;



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 41

แทน x ด้วย 0 ในสมการ 1 จะได้

4(0) + 9y – 7 = 0

9y = 7
y = –97


( )ดงั น้นั ระบบสมการนมี้ คี �ำ ตอบ คอื 0 , –79

10) แนวคิด 26x + 3y + 4 = 0 1
2
–15(x – 2) = –41(1 – y)
4(x – 2) = 5(1 – y) 3
2 × 20 ; 4
5
4x – 8 = 5 – 5y
1
4x + 5y – 13 = 0 2
; 130x + 15y + 20 = 0 3
1 ×5 ; 12x + 15y – 39 = 0 4
5
3 ×3

4 – 5 ; 118x + 59 = 0

x = - –12

แทน x ด้วย - 2–1 ในสมการ 1 จะได้

( )26 - 21– + 3y + 4 = 0

-13 + 3y + 4 = 0

3y = 9

y = 3

( )ดังนั้น ระบบสมการน้มี ีคำ�ตอบ คอื - 21– , 3

11) แนวคดิ 2x – 3y = -9

3(x – 1) = 5(y – 4) + 2

จากสมการ 2 ; 3x – 3 = 5y – 20 + 2

3x – 5y = -15
6x – 9y = -27
1 × 3 ; 6x – 10y = -30

3 × 2 ;

4 – 5 ; y = 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

42 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คู่มอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

แทน y ดว้ ย 3 ในสมการ 1 จะได้

2x – 3(3) = -9

2x = 0

x = 0

ดงั น้นั ระบบสมการน้ีมคี ำ�ตอบ คอื (0, 3)

12) แนวคดิ 1 5(y – 2) – 6x = 7 1
2
2(x + 5) – (y – 1) = 4 3

จากสมการ 2 ; 2x + 10 – y + 1 = 4 1
2
2x – y = -7 3
4
y = 2x + 7 5

แทน y ดว้ ย 2x + 7 ในสมการ 1 จะได้

5[(2x + 7) – 2] – 6x = 7

5(2x + 5) – 6x = 7

10x + 25 – 6x = 7

4x = -18

x = - –29
จะได้ = 2 - –29 + 7
แทน x ด้วย - –29 ในสมการ 3
y
( )
y = -2

( )ดังน้ัน ระบบสมการน้มี ีค�ำ ตอบ คอื - –29 , -2

แนวคิด 2 5(y – 2) – 6x = 7

2(x + 5) – (y – 1) = 4

จากสมการ 1 ; 5y – 10 – 6x = 7

-6x + 5y = 17

จากสมการ 2 ; 2x + 10 – y + 1 = 4

2x – y = -7

4 × 3 ; 6x – 3y = -21

3 + 5 ; 2y = -4

y = -2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 43

แทน y ด้วย -2 ในสมการ 1 จะได้

5[(-2) – 2] – 6x = 7

-20 – 6x = 7

-6x = 27
–29
x = -
( ) - –29 , -2
ดงั นน้ั ระบบสมการน้ีมคี ำ�ตอบ คือ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

44 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ค่มู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

1.3 การแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใชร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร (5 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรยี นสามารถ
1. เขียนระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรแทนโจทยป์ ญั หา
2. แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พร้อมท้ังตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตุสมผลของ

ค�ำ ตอบทไี่ ด้

ความเข้าใจท่คี ลาดเคลอื่ น

-

ส่อื ท่ีแนะนำ�ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

-

ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเร่ืองเกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยเน้นให้นักเรียนฝึกวิเคราะห์
ความสัมพันธ์ของข้อมูลในโจทย์ปัญหา แล้วเขียนแทนความสัมพันธ์นั้นด้วยสมการ เพื่อนำ�มาสร้างเป็นระบบสมการเชิงเส้น
สองตัวแปร ซ่ึงจะนำ�ไปสู่การแก้ระบบสมการเพื่อหาคำ�ตอบและตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ แนวทางการจัด
กจิ กรรมการเรยี นรอู้ าจทำ�ได้ดงั นี้
1. ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเก่ียวกับข้ันตอนการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

โดยเชื่อมโยงกับกระบวนการแก้ปัญหาท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแล้ว คือ การวิเคราะห์เพื่อทำ�ความเข้าใจปัญหา
วางแผนและสรา้ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรแทนปญั หา แกร้ ะบบสมการหาค�ำ ตอบ และตรวจสอบค�ำ ตอบกบั
เง่ือนไข รวมถึงความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ นอกจากน้ี นักเรียนอาจเลือกใช้ยุทธวิธีในการแก้ปัญหา เช่น
การวาดรูป การสร้างตาราง การสร้างผังความคิด มาช่วยในการทำ�ความเข้าใจปัญหาและเขียนระบบสมการ
แทนความสมั พันธ์ได้
2. ครคู วรชีใ้ หน้ ักเรียนเห็นว่า การแกโ้ จทยป์ ัญหาบางปัญหาอาจใชค้ วามรู้เรื่องสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี วหรอื ระบบ
สมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็ได้ โดยใช้ “ชวนคิด 1.2” ในหนังสือเรียน หน้า 31 ซึ่งการจะเลือกใช้ความรู้
เร่ืองใดในการแก้ปัญหาข้ึนอยู่กับหลายปัจจัย เช่น ความซับซ้อนของเง่ือนไขในปัญหา ความยากง่ายของการแก้
สมการหรือระบบสมการท่สี รา้ งข้นึ รวมถึงความถนดั และประสบการณใ์ นการแก้ปัญหาของนักเรียน
3. ครูอาจใช้ “ชวนคิด 1.3” ในหนังสือเรียน หน้า 36 เป็นตัวอย่างให้นักเรียนฝึกคิดแก้ปัญหาโดยใช้ยุทธวิธี
ที่หลากหลาย และใช้ “ชวนคดิ 1.4” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 38 ใหน้ ักเรียนฝกึ สร้างระบบสมการทแ่ี ตกตา่ งกนั
ในการแก้ปญั หา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 45

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 1.2

ตัวอย่างคำ�ตอบ
ipst .me /114 18 ✤ เห็นดว้ ยกับแนวคิดของขา้ วปนั้ เพราะใชเ้ พียงสมการเดยี วในการหาค�ำ ตอบ ซง่ึ งา่ ยกว่า
✤ เห็นด้วยกับแนวคดิ ของขา้ วหอม เพราะกำ�หนดสมการทใี่ ช้ในการหาค�ำ ตอบได้ง่ายกวา่
✤ เหน็ ดว้ ยกบั แนวคดิ ของทง้ั ขา้ วปน้ั และขา้ วหอม เพราะสามารถหาค�ำ ตอบไดเ้ หมอื นกนั และความยากงา่ ย

ในการหาค�ำ ตอบของทัง้ สองคนไมต่ ่างกนั เน่ืองจากโจทยไ์ มไ่ ดซ้ ับซ้อน

แนวคดิ ของข้าวปนั้

ข้าวป้ันใช้ความรู้เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวในการแก้โจทย์ปัญหา “ครอบครัวหนึ่งมีลูกสาวสองคน

พ่ีสาวและน้องสาวอายุรวมกันเท่ากับ 20 ปี ถ้าพ่ีสาวอายุมากกว่าน้องสาว 6 ปี แต่ละคนจะมีอายุเท่าไร”

ไดด้ งั น้ี

ให้ m แทนอายุของนอ้ งสาว

เนอ่ื งจาก พี่สาวอายุมากกว่านอ้ งสาว 6 ปี

ดังนัน้ พ่ีสาวอายุ m + 6 ปี

เนือ่ งจาก พีส่ าวและนอ้ งสาวอายรุ วมกนั เท่ากบั 20 ปี

จะไดส้ มการเปน็ (m + 6) + m = 20

2m + 6 = 20

2m = 14

m = 7

ดังนนั้ น้องสาวอายุ 7 ปี และพสี่ าวอายุ 7 + 6 = 13 ปี

แนวคิดของข้าวหอม

ข้าวหอมใช้ความรู้เร่ืองระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการแก้โจทย์ปัญหา “ครอบครัวหนึ่งมีลูกสาว

สองคน พีส่ าวและน้องสาวอายรุ วมกนั เท่ากบั 20 ปี ถ้าพสี่ าวอายมุ ากกวา่ นอ้ งสาว 6 ปี แต่ละคนจะมีอายุ

เท่าไร” ไดด้ งั น้ี

ให้ x และ y แทนอายุของพส่ี าวและนอ้ งสาวตามล�ำ ดบั

เนื่องจาก พ่ีสาวอายุมากกวา่ นอ้ งสาว 6 ปี

จะไดส้ มการเป็น x – y = 6 1

เนื่องจาก พีส่ าวและนอ้ งสาวอายุรวมกนั เท่ากับ 20 ปี

จะได้สมการเปน็ x + y = 20 2

1 + 2 ; 2x = 26

x = 13

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

46 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แทน x ดว้ ย 13 ในสมการ 2 จะได้

13 + y = 20

y = 7

ดังนั้น น้องสาวอายุ 7 ปี และพส่ี าวอายุ 13 ปี

ชวนคิด 1.3

แนวคดิ 1 ใชต้ ารางแจกแจงกรณีในการหาค�ำ ตอบ โดยใหจ้ �ำ นวนยรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกันได้

ipst .me/ 114 19 35 ตวั เสมอ แลว้ พิจารณาจ�ำ นวนขาของสัตวท์ ัง้ สองว่ารวมกันได้ 90 ขา หรือไม่ ดงั น้ี

✤ ถา้ จ�ำ นวนขารวมกนั มากกวา่ 90 ขา ใหล้ ดจ�ำ นวนยรี าฟและเพม่ิ จ�ำ นวนนกกระจอกเทศ

✤ ถา้ จ�ำ นวนขารวมกนั นอ้ ยกวา่ 90 ขา ใหเ้ พม่ิ จ�ำ นวนยรี าฟและลดจ�ำ นวนนกกระจอกเทศ

กรณีท่ี จำ�นวนตัว รวม จำ�นวนขา รวม หมายเหตุ
ยรี าฟ นกกระจอกเทศ (ตวั ) ยีราฟ นกกระจอกเทศ (ขา)
มากกว่า 90 ขา
1 15 20 35 60 40 100 มากกวา่ 90 ขา
นอ้ ยกว่า 90 ขา
2 12 23 35 48 46 94
90 ขาพอดี
39 26 35 36 52 88

4 10 25 35 40 50 90

ดงั น้ัน มียรี าฟ 10 ตวั และนกกระจอกเทศ 25 ตัว

แนวคิด 2 ใชค้ วามรเู้ รอื่ งสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว

ให้ k แทนจำ�นวนยรี าฟ จะไดจ้ ำ�นวนขาของยรี าฟทัง้ หมด 4k ขา

เน่อื งจาก มยี รี าฟและนกกระจอกเทศรวมกนั 35 ตวั

ดังน้ัน มีนกกระจอกเทศ 35 – k ตัว และมีจำ�นวนขาของนกกระจอกเทศทั้งหมด

2(35 – k) ขา

เนอ่ื งจาก นบั จำ�นวนขาของยรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกนั ได้ 90 ขา

จะได้สมการเปน็ 4k + 2(35 – k) = 90

4k + 70 – 2k = 90

2k = 20

k = 10

ดงั น้ัน มียีราฟ 10 ตัว และมนี กกระจอกเทศ 35 – 10 = 25 ตวั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 47

แนวคดิ 3 ใช้ความรเู้ ร่อื งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

ให้ x แทนจำ�นวนยรี าฟ จะไดจ้ ำ�นวนขาของยีราฟท้งั หมด 4x ขา

และ y แทนจำ�นวนนกกระจอกเทศ จะไดจ้ �ำ นวนขาของนกกระจอกเทศท้งั หมด 2y ขา

เน่อื งจาก มียรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกัน 35 ตัว

จะไดส้ มการเป็น x + y = 35 1

เนอ่ื งจาก นับจำ�นวนขาของยรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกันได้ 90 ขา

จะได้สมการเปน็ 4x + 2y = 90 2

1 × 2 ; 2x + 2y = 70 3

2 – 3 ; 2x = 20

x = 10

แทน x ด้วย 10 ในสมการ 1 จะได้

10 + y = 35

y = 25

ดังน้ัน มยี ีราฟ 10 ตวั และมีนกกระจอกเทศ 25 ตัว

แนวคิด 4 ใช้รปู ภาพ โดยให้ แทนยีราฟ 1 ตวั มขี า 4 ขา และ แทนนกกระจอกเทศ 1 ตวั

มขี า 2 ขา ดังนี้

1. วาด จ�ำ นวน 35 รปู จะไดน้ กกระจอกเทศ 35 ตวั และไดจ้ �ำ นวนขาทง้ั หมด 70 ขา

2. เพ่มิ จำ�นวนขาสแี ดงรูปละ 2 ขา จะไดเ้ ปน็ ยีราฟ โดยเพ่มิ จำ�นวนขาจนครบ 90 ขา

จากรูป จะมียรี าฟ 10 ตัว และมีนกกระจอกเทศ 25 ตัว

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

48 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ชวนคดิ 1.4

แนวคิด 1 เนือ่ งจาก พนกั งานขายมรี ายไดแ้ ตล่ ะเดอื นเปน็ ผลรวมของเงนิ เดอื นกบั เปอรเ์ ซน็ ตจ์ ากยอดขาย

ipst.m e/114 20 ตลอดเดือนของตนเอง

ให้พนักงานขายคนน้ีมเี งินเดือนเดอื นละ x บาท

และ ไดเ้ ปอร์เซ็นต์จากยอดขายแตล่ ะเดอื นอีก y% ของยอดขายแตล่ ะเดือน

( )ดงั นน้ั พนกั งานขายคนนม้ี รี ายไดแ้ ตล่ ะเดอื นเทา่ กบั x + 1—0y0 ของยอดขายแตล่ ะเดอื น บาท

เนอื่ งจาก เดือนแรกมีรายได้ 15,000 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 156,000 บาท

จะไดส้ มการเปน็ x + 1—0y0(156,000) = 15,000 1

เน่ืองจาก เดือนทีส่ องมรี ายได้ 17,200 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 200,000 บาท

จะได้สมการเปน็ x + 1—0y0(200,000) = 17,200 2
2 – 1 ;
440y = 2,200

y = 5

แทน y ดว้ ย 5 ในสมการ 1 จะได้

x + 1—050(156,000) = 15,000

x = 7,200

ดังนนั้ พนักงานขายคนน้ีมีเงินเดือนเดือนละ 7,200 บาท และได้เปอร์เซ็นต์จากยอดขาย

ตลอดเดอื นของตนเองอกี เดอื นละ 5%

จะได้ สมการแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรายไดแ้ ตล่ ะเดอื นกบั ยอดขายตลอดเดอื นของพนกั งานขาย

( )คนนคี้ ือ รายได้แตล่ ะเดือน = 7,200 + 1—050 ของยอดขายตลอดเดอื น

ถ้าคาดวา่ ยอดขายตลอดเดอื นน้เี ป็น 250,500 บาท

ในเดือนนีเ้ ขาจะมรี ายได้ 7,200 + 1—050(250,500) = 19,725 บาท

แนวคดิ 2 ให ้ x แทนยอดขายตลอดเดือน

y แทนรายไดแ้ ต่ละเดอื น

a แทนเปอรเ์ ซ็นต์จากยอดขายตลอดเดือน

b แทนเงนิ เดือนท่ีไดร้ ับ

จากส่ิงท่ีกำ�หนดให้ข้างต้น เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรายได้แต่ละเดือนกับ

ยอดขายตลอดเดอื นของพนักงานขายคนนี้ ไดเ้ ป็น y = ax + b

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี