คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 49

เนื่องจาก เดอื นแรกมรี ายได้ 15,000 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 156,000 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 15,000 = 156,000a + b 1

เนอ่ื งจาก เ ดือนที่สองมรี ายได้ 17,200 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 200,000 บาท

จะได้สมการเป็น 17,200 = 200,000a + b 2

2 – 1 ; 2,200 = 44,000a

a = 0.05

แทน a ด้วย 0.05 ในสมการ 1 จะได้

15,000 = 156,000(0.05) + b

b = 7,200

แทน a ด้วย 0.05 และแทน b ด้วย 7,200 ในสมการ y = ax + b

จะได ้ y = 0.05x + 7,200

ดงั นน้ั สมการแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรายไดแ้ ตล่ ะเดอื นกบั ยอดขายตลอดเดอื นของพนกั งานขาย

คนนี้คือ y = 0.05x + 7,200

ถา้ คาดว่ายอดขายตลอดเดือนน้ีเป็น 250,500 บาท

แทน x ดว้ ย 250,500 ในสมการ y = 0.05x + 7,200

จะได ้ y = 0.05(250,500) + 7,200

= 19,725

ดงั นน้ั ถา้ คาดวา่ ยอดขายตลอดเดอื นนเ้ี ปน็ 250,500 บาท ในเดอื นนเ้ี ขาจะมรี ายได้ 19,725 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

50 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 1.3

คำ�ช้แี จง เฉลยแบบฝกึ หดั ชดุ น้ี ไมไ่ ดแ้ สดงการแกร้ ะบบสมการโดยละเอยี ดและไมไ่ ดแ้ สดงการตรวจสอบค�ำ ตอบ แตค่ รคู วรย�ำ้
ให้นักเรยี นตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบจากเงอื่ นไขในโจทยท์ กุ ครั้ง

1. แนวคิด ให ้ x แทนจำ�นวนจ�ำ นวนหนง่ึ

y แทนจำ�นวนอีกจำ�นวนหนึ่ง

ครง่ึ หนงึ่ ของจำ�นวนหนึ่งเปน็ สามเท่าของจำ�นวนอกี จ�ำ นวนหน่ึง

จะไดส้ มการเป็น –21(x) = 3y 1

สเ่ี ท่าของผลตา่ งของสองจ�ำ นวนนนั้ เป็น 50

จะได้สมการเป็น 2 กรณี คือ ก. 4(x – y) = 50

หรือ ข. 4(y – x) = 50

กรณี ก. ให ้ 4(x – y) = 50 2
3
จากสมการ 1 x = 6y

แทน x ด้วย 6y ในสมการ 2 จะได้

4(6y – y) = 50

4(5y) = 50

y = –25
x = 6 –25
แทน y ดว้ ย

( )
–25 ในสมการ 3 จะได้

x = 15

กรณี ข. ให ้ 4(y – x) = 50 2
3
จากสมการ 1 x = 6y

แทน x ดว้ ย 6y ในสมการ 2 จะได้

4(y – 6y) = 50

4(-5y) = 50

y = - 5–2

แทน y ด้วย - –52 ในสมการ 2 จะได้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 51

( )x = 6 - 5–2

x = -15

นั่นคือ จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนนน้ั เป็น 15 และ 5–2 หรือ -15 และ - –52

2. แนวคิด ให ้ x แทนเลขโดดในหลกั สิบ

y แทนเลขโดดในหลกั หนว่ ย

เลขโดดในหลักสิบมากกว่าเลขโดดในหลกั หน่วยอยู่ 4

จะได้สมการเปน็ x – y = 4 1

จ�ำ นวนทมี่ สี องหลักทก่ี ล่าวถึงคอื 10x + y

เมอื่ สลบั ทีเ่ ลขโดดท้งั สองจะได้จำ�นวนใหมเ่ ปน็ 10y + x

ผลบวกของจ�ำ นวนนี้กบั จำ�นวนทีไ่ ด้จากการสลับที่เลขโดดเปน็ 154

จะได้สมการเป็น (10x + y) + (10y + x) = 154

11x + 11y = 154

x + y = 14 2

1 + 2 ; 2x = 18

x = 9

แทน x ด้วย 9 ในสมการ 2 จะได้

9 + y = 14

y = 5

ดงั นน้ั จ�ำ นวนนน้ั คอื 95

3. แนวคิด ให้ x แทนขนาดของมุมภายในมุมหนึ่งของรปู สามเหลย่ี ม

y แทนขนาดของมมุ ภายในอีกมุมหนึ่งของรูปสามเหลย่ี มที่เล็กกว่า

ผลบวกของขนาดของมุมภายในสองมมุ ของรูปสามเหลีย่ มเปน็ 137 องศา

จะได้สมการเป็น x + y = 137 1

และผลต่างของขนาดของมุมสองมมุ นีเ้ ป็น 73 องศา

จะไดส้ มการเปน็ x – y = 73 2

1 + 2 ; 2x = 210

x = 105

แทน x ด้วย 105 ในสมการ 1 จะได้

105 + y = 137

y = 32

ดังน้ัน มมุ ภายในที่เหลอื อีกหน่งึ มมุ มขี นาด 180 – (105 + 32) = 43 องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

52 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. แนวคิด ให้ x แทนจำ�นวนเหรยี ญชนิดสิบบาท คดิ เป็นเงนิ 10x บาท

y แทนจ�ำ นวนเหรียญชนดิ หน่งึ บาท คิดเปน็ เงิน y บาท

ตกิ๊ สะสมเหรยี ญชนิดสิบบาทและหนึ่งบาท รวมกันได้ 200 เหรียญ

จะได้สมการเปน็ x + y = 200 1

เหรยี ญชนิดสิบบาท และหนึ่งบาท คิดเปน็ เงนิ รวมกัน 920 บาท

จะได้สมการเปน็ 10x + y = 920 2

2–1; 9x = 720

x = 80

แทน x ด้วย 80 ในสมการ 1 จะได้

80 + y = 200

y = 120

ดังน้ัน ต๊ิกมีเหรยี ญชนิดสิบบาท 80 เหรียญ และมีเหรียญชนดิ หนึง่ บาท 120 เหรยี ญ

5. แนวคดิ ให้ x แทนความยาวดา้ นของรปู ส่เี หล่ยี มจัตรุ ัส

y แทนความยาวด้านของรปู สามเหลี่ยมด้านเทา่

ดา้ นของรปู ส่ีเหลีย่ มจตั ุรสั ยาวกว่าดา้ นของรปู สามเหลยี่ มด้านเท่าอยู่ 4 เซนติเมตร

จะไดส้ มการเปน็ x – y = 4 1

ความยาวรอบรปู ของรูปส่ีเหลยี่ มจตั รุ สั มากกวา่ ความยาวรอบรปู ของรปู สามเหล่ียมด้านเทา่

อยู่ 24 เซนติเมตร

จะได้สมการเปน็ 4x – 3y = 24 2

จากสมการ 1 x = 4 + y 3

แทน x ด้วย 4 + y ในสมการ 2 จะได้

4(4 + y) – 3y = 24

16 + 4y – 3y = 24

y = 8

แทน y ด้วย 8 ในสมการ 3 จะได้

x = 4 + 8

x = 12

ดงั น้นั ความยาวรอบรปู ของรปู สี่เหล่ยี มจตั ุรัสเปน็ 4(12) = 48 เซนติเมตร

และความยาวรอบรปู ของรปู สามเหลีย่ มดา้ นเทา่ เป็น 3y = 3(8) = 24 เซนตเิ มตร

นน่ั คอื ดา้ นของรปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั ยาว 12 เซนตเิ มตร และดา้ นของรปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ยาว 8 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 53

6. แนวคิด ให ้ x แทนจำ�นวนนกกระจาบทั้งหมด

y แทนจ�ำ นวนดอกบัวท้ังหมด

ถ้านกจบั ดอกบัวดอกละ 1 ตวั จะตอ้ งมีนกท่จี บั ดอกบัวอยู่ y ตวั

แตโ่ จทยก์ �ำ หนดว่า เหลือนก 1 ตัว ท่ีไม่มดี อกบัวให้จบั

จะไดส้ มการเปน็ x – y = 1 1

ถา้ นกจบั ดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะมดี อกบวั ท่ีนกจับอยู่ 2–x ดอก 2
แต่โจทย์ก�ำ หนดวา่ เหลอื ดอกบัว 1 ดอก ท่ีไม่มีนกจับ 3

จะไดส้ มการเป็น y – 2–x = 1
2 × 2 ; 2y – x = 2

1 + 3 ; y = 3

แทน y ดว้ ย 3 ในสมการ 1 จะได้

x – 3 = 1

x = 4

ดงั นั้น ในสระนี้มีดอกบวั 3 ดอก และนกกระจาบ 4 ตัว

7. แนวคิด ให้ x แทนเงินท่หี นูนิดออมไวไ้ ด้

y แทนเงนิ ทห่ี นนู าออมไว้ได้

–จ32ะขไดอส้งเมงกินาทรีห่ เปนน็ ูน าออมไดม้ ากก–32วyา่ ค–รง่ึ –21หxน ึ่งข=อ งเง1ิน0ท ่ีหนนู ิดออมไดอ้ ยู่ 10 บาท 1


หนูนดิ น�ำ เงินรางวัล 1,000 บาท มารวมกับเงนิ ทีอ่ อมไว้ ท�ำ ใหเ้ ธอมีเงนิ เป็นสามเท่าของเงนิ ของหนูนา

จะได้สมการเป็น x + 1,000 = 3y 2

1 × 6 ; 4y – 3x = 60 3

จากสมการ 2 ; x – 3y = -1,000 4

4 × 3 ; 3x – 9y = -3,000 5

3 + 5 ; -5y = -2,940

y = 588

แทน y ดว้ ย 588 ในสมการ 2 จะได้

x + 1,000 = 3(588)

x = 764

นั่นคือ หนนู ดิ ออมเงินได้ 764 บาท และหนนู าออมเงินได้ 588 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

54 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

8. แนวคิด ให้ x แทนเงนิ ทวี่ ิมลน�ำ ไปฝากธนาคาร

y แทนเงินทว่ี มิ ลนำ�ไปลงทุนเพ่ือรับเงนิ ปันผล

วิมลมีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท

จะไดส้ มการเปน็ x + y = 120,000 1

ส่วนท่ีฝากธนาคารได้รบั ดอกเบยี้ 2% และสว่ นทลี่ งทนุ ได้รับเงนิ ปันผล 4%

สนิ้ ปมี ีรายไดร้ วมกัน 4,000 บาท

จะไดส้ มการเป็น —1020x + 1—040y = 4,000 2
หรอื
x + 2y = 200,000

2 – 1 ; y = 80,000

แทน y ดว้ ย 80,000 ในสมการ 1 จะได้

x + 80,000 = 120,000

x = 40,000

ดังนัน้ วมิ ลนำ�เงินไปฝากธนาคาร 40,000 บาท และนำ�เงนิ ไปลงทนุ เพือ่ รบั เงนิ ปันผล 80,000 บาท

9. แนวคิด ใหก้ อ้ งขบั รถยนตจ์ ากเมอื งดาหลาไปถงึ จดุ ทป่ี อตามกอ้ งทันใช้เวลา x ชวั่ โมง
และปอขับรถยนต์จากเมืองดาหลาไปถึงจุดทป่ี อตามก้องทนั ใชเ้ วลา y ชวั่ โมง
เขียนแผนภาพประกอบแสดงรายละเอียดของโจทย์ปญั หาไดด้ งั นี้

กอ้ ง เวลา x ชว่ั โมง จดุ ท่ีปอตามก้องทนั
อัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อช่วั โมง
เมอื งดาหลา
ปอ เวลา y ช่วั โมง
อตั ราเร็ว 60 + 20 = 80 กโิ ลเมตรตอ่ ช่ัวโมง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 55

ใชค้ วามสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา และสร้างตารางวเิ คราะหโ์ จทยด์ ังน้ี

สถานการณ์ เวลา อตั ราเร็ว ระยะทาง
(ชัว่ โมง) (กิโลเมตรต่อช่ัวโมง) (กิโลเมตร)

ก้องขบั รถ x 60 60x
ปอขับรถ y 80 80y

เน่ืองจาก กอ้ งใชเ้ วลาในการเดินทางมากกว่าปอ 1 ชั่วโมง

จะได้สมการเปน็ x – y = 1 1

และเน่อื งจาก ระยะทางท่ีทงั้ สองคนขบั รถยนต์ได้เทา่ กนั 2
3
จะไดส้ มการเป็น 60x = 80y 4

จากสมการ 2 ; 60x – 80y = 0

1 × 60 ; 60x – 60y = 60

4 – 3 ; 20y = 60

y = 3

แทน y ดว้ ย 3 ในสมการ 1 จะได้

x – 3 = 1

x = 4

นนั่ คอื กอ้ งขบั รถ 4 ชว่ั โมง และปอขับรถ 3 ชว่ั โมง

เนือ่ งจาก ปอเรม่ิ ขบั รถเม่ือเวลา 09:30 น.

ดังนน้ั ปอจะขับรถทันก้องเม่ือเวลา 12:30 น.

10. แนวคิด ใหส้ มนึกขบั รถจากปากทางสวนสัตว์ ไปเขตพนื้ ทยี่ รี าฟด้วยอัตราเร็ว x กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง
และสมนกึ ขบั รถจากเขตพ้ืนทย่ี ีราฟไปเขตพ้นื ที่ช้างด้วยอัตราเรว็ y กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง
เขยี นแผนภาพประกอบแสดงรายละเอียดของโจทยป์ ญั หาไดด้ ังนี้

อัตราเรว็ x กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง อตั ราเร็ว y กโิ ลเมตรตอ่ ชวั่ โมง
เวลา 45 นาที = –34 ชัว่ โมง เวลา 12 นาที = –51 ชว่ั โมง

5 กโิ ลเมตร

ปากทางสวนสตั ว์ เขตพน้ื ทีย่ รี าฟ เขตพ้นื ทชี่ า้ ง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

56 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ใชค้ วามสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อัตราเรว็ × เวลา และสรา้ งตารางวเิ คราะหโ์ จทย์ได้ดังน้ี

สถานการณ์ เวลา อตั ราเร็ว ระยะทาง
(ช่วั โมง) (กิโลเมตรตอ่ ช่ัวโมง) (กิโลเมตร)
สมนกึ ขบั รถจากปากทางสวนสัตว์ไปเขตพ้ืนที่ยรี าฟ
สมนกึ ขบั รถจากเขตพ้ืนท่ยี ีราฟไปเขตพ้ืนทีช่ ้าง 3–4 x –43x
51– y –51y

เนือ่ งจาก สมนกึ ขับรถจากเขตพน้ื ท่ียีราฟไปเขตพนื้ ท่ชี า้ งโดยใชอ้ ตั ราเร็วลดลง 10 กโิ ลเมตรต่อชั่วโมง

จะได้สมการเปน็ x – y = 10 1

และเนือ่ งจาก เขตพ้นื ทช่ี ้างอยไู่ กลกวา่ เขตพน้ื ทยี่ ีราฟ 5 กิโลเมตร
–51y = 5
จะได้สมการเป็น 2

จากสมการ 2 ; y = 25

แทน y ด้วย 25 ในสมการ 1 จะได้

x – 25 = 10

x = 35

ดงั น้ัน 1) สมนึกขับรถจากปากทางสวนสตั ว์ไปเขตพน้ื ที่ยรี าฟด้วยอตั ราเรว็ 35 กโิ ลเมตรต่อช่วั โมง

2) เนื่องจาก สมนกึ ขบั รถจากปากทางสวนสตั ว์ไปเขตพน้ื ที่ยรี าฟโดยใช้เวลา 45 นาที

จะได้ ระยะทางระหวา่ งปากทางสวนสัตว์กบั เขตพนื้ ทย่ี ีราฟเป็น

46—50(35) = 26.25 กโิ ลเมตร

11. แนวคดิ ให้กอ้ ยขบั รถยนต์ดว้ ยอัตราเร็ว x กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง
และตนู ขบั รถยนตด์ ว้ ยอตั ราเร็ว y กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง
เขยี นแผนภาพประกอบแสดงรายละเอียดของโจทยป์ ญั หาได้ดังน้ี

ก้อย อตั ราเรว็ x กิโลเมตรต่อชวั่ โมง อตั ราเรว็ y กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง ตนู
เมอื งนครบรุ ี เวลา 40 + 5 นาที = –43 ช่ัวโมง เวลา 40 นาที = 3–2 ช่ัวโมง เมืองพรรณสมี า

จุดนัดพบ
(รา้ นอาหารอร่อยเหาะ)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 57

ใชค้ วามสมั พันธ์ ระยะทาง = อัตราเร็ว × เวลา และสร้างตารางวเิ คราะหโ์ จทย์ได้ดังนี้

สถานการณ์ เวลา (ชัว่ โมง) อตั ราเรว็ (กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง) ระยะทาง (กโิ ลเมตร)

กอ้ ยขบั รถยนต์ –43 x –43x
ตนู ขับรถยนต์ –32 y –32y

เนอื่ งจาก ตูนขับรถยนตด์ ว้ ยอัตราเร็วมากกว่ากอ้ ย 10 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง

จะได้สมการเปน็ y – x = 10 1

เนอ่ื งจาก รา้ นอาหาร “อร่อยเหาะ” อยกู่ ึ่งกลางของระยะทางระหวา่ งเมืองนครบรุ ี 2
3
และเมืองพรรณสีมา แสดงว่าระยะทางที่แตล่ ะคนขับรถเท่ากนั

จะได้สมการเป็น 4–3x = –32y
จากสมการ 1 ; y = x + 10

แทน y ด้วย x + 10 ในสมการ 2 จะได้

43–x = –23 (x + 10) 4
9x = 8x + 80
4 × 12 ;

x = 80

แทน x ดว้ ย 80 ในสมการ 3 จะได้

y = 80 + 10

y = 90

ดังนนั้ 1) อัตราเร็วของรถยนตข์ องก้อยและตนู คอื 80 และ 90 กโิ ลเมตรต่อช่วั โมง ตามล�ำ ดบั

2) ระยะทางระหวา่ งเมืองนครบรุ แี ละเมอื งพรรณสมี าเทา่ กับ 60 + 60 = 120 กิโลเมตร

12. แนวคิด ให้ ใชเ้ ครื่องดมื่ ท่มี ชี านม 80% จ�ำ นวน x ลิตร ผสมกับเคร่ืองดมื่ ทม่ี ชี านม 50% จ�ำ นวน y ลติ ร
ต้องการเครือ่ งดื่มผสมเปน็ สูตรพเิ ศษประจ�ำ สัปดาห์ 5 ลติ ร

จะได้สมการเปน็ x + y = 5 1

เครือ่ งดมื่ ทมี่ ีชานม 80% จ�ำ นวน x ลติ ร จะมีชานมอยู่ 1—8000x = 0.8x ลติ ร
เคร่ืองด่มื ทมี่ ีชานม 50% จ�ำ นวน y ลิตร จะมีชานมอยู่ 1—5000y = 0.5y ลติ ร

จะได้ เครือ่ งดืม่ ผสมทมี่ ีชานมท้ังหมด 0.8x + 0.5y ลิตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

58 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ตอ้ งการเคร่ืองดื่มผสมจำ�นวน 5 ลิตร ทมี่ ชี านม 60% จะมชี านม —16000 × 5 = 3 ลติ ร

จะได้สมการเปน็ 0.8x + 0.5y = 3 2
2 × 10 ; 8x + 5y = 30 3
1 ×5 ; 5x + 5y = 25 4

3 – 4 ; 3x = 5

x = –53
จะได้
แทน x ดว้ ย –53 ในสมการ 1

–53 + y = 5

y = 1—30

ดังนน้ั กรกัณฑ์ต้องใช้เครื่องดื่มที่มีชานม 80% ผสมกับเคร่ืองด่ืมที่มีชานม 50% จำ�นวน 3–5 ลิตร และ
1—30 ลติ ร ตามลำ�ดับ

13. แนวคดิ 1 ให้ขา้ วป้นั ซ้ืออาหารนกสำ�เร็จรูป x กิโลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท คดิ เปน็ เงนิ 50x บาท

และซ้ือเมลด็ ทานตะวัน y กิโลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 65 บาท คิดเปน็ เงนิ 65y บาท
ดงั น้ัน อาหารนกสูตรใหม่ x + y กิโลกรมั คิดเปน็ ต้นทนุ 50x + 65y บาท
ขายอาหารนกสูตรใหม่ x + y กิโลกรัม ในราคากโิ ลกรมั ละ 70 บาท ได้เงนิ 70(x + y) บาท

จะไดก้ �ำ ไร 70(x + y) – (50x + 65y) บาท

แต่ได้ก�ำ ไร 10% คดิ เป็นเงนิ 1—1000 (50x + 65y) บาท
จะได้สมการเป็น 70(x + y) – (50x + 65y) = 1—1000 (50x + 65y)

70x + 70y – 50x – 65y = 5x + 6.5y

15x = 1.5y
y–x = 1—10

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 59

แนวคิด 2 ใหข้ า้ วป้นั ซ้อื อาหารนกสำ�เร็จรูป x กโิ ลกรัม ราคากโิ ลกรัมละ 50 บาท คิดเปน็ เงิน 50x บาท

และซื้อเมลด็ ทานตะวัน y กโิ ลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 65 บาท คดิ เป็นเงนิ 65y บาท

ดังน้ัน อาหารนกสตู รใหม่ x + y กโิ ลกรัม คิดเป็นต้นทุน 50x + 65y บาท

ขายอาหารนกสูตรใหม่กโิ ลกรัมละ 70 บาท จำ�นวน x + y กิโลกรัม ได้เงนิ 70(x + y) บาท

ดังนั้น อัตราสว่ นของราคาขายต่อต้นทุนเปน็ 70(x + y) : 50x + 65y

ตอ้ งการก�ำ ไร 10% หมายความวา่ ขายไดเ้ งนิ 110 บาท จากตน้ ทุน 100 บาท

ดังนน้ั อัตราส่วนของราคาขายต่อต้นทุนเป็น 110 : 100

เขียนสดั สว่ นไดด้ งั น้ี 5  700x(x++65yy)   = 110
100

100[70(x + y)] = 110(50x + 65y)

7,000x + 7,000y = 5,500x + 7,150y

1,500x = 150y
y–x = 1—10

ดังน้นั อัตราสว่ นของอาหารนกสำ�เร็จรูปตอ่ เมล็ดทานตะวันเปน็ 1 : 10 โดยน้�ำ หนกั

14. แนวคดิ ให้ x แทนจ�ำ นวนถุงของขนมชนิดท่ีหน่ึงทซ่ี ือ้ มา
y แทนจำ�นวนถุงของขนมชนิดที่สองท่ีซือ้ มา
ฐากรู จัดขนมทั้งสองชนดิ นี้แบ่งใส่ถุงในอัตราส่วนโดยนำ�้ หนกั 1 : 4
เนอ่ื งจาก ขนมท่ีซือ้ มาและขนมทข่ี ายไปหนักเทา่ กนั ทกุ ถุง
แสดงวา่ ซอื้ มา x + y ถงุ ต้องมขี นมวางขาย x + y ถุง
แตล่ ะถงุ จะมีขนมสองชนิดในอัตราสว่ นโดยนำ้�หนกั 1 : 4
แสดงวา่ x : y = 1 : 4 หรือ y : x = 1 : 4

กรณที ่ี 1 x : y = 1 : 4 –xy = 41– 1
จะได้สมการเป็น 4x = y


ขนมชนดิ ทห่ี นงึ่ ราคาถงุ ละ 30 บาท ขนมชนดิ ทีส่ องราคาถุงละ 20 บาท

ฐากรู จัดขนมสองชนดิ แบ่งใส่ถงุ ขายราคาถงุ ละ 40 บาท เมอ่ื ขายหมดได้ก�ำ ไร 360 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 40(x + y) – (30x + 20y) = 360 2

หรือ 40x + 40y – 30x – 20y = 360

10x + 20y = 360 3

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

60 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คูม่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แทน y ดว้ ย 4x ในสมการ 3 จะได้

10x + 20(4x) = 360

90x = 360

x = 4

แทน x ด้วย 4 ในสมการ 1 จะได้

4(4) = y

y = 16

กรณีท่ี 2 y : x = 1 : 4

จะไดส้ มการเปน็ –xy = –14 1
x = 4y

ขนมชนดิ ทีห่ นึง่ ราคาถงุ ละ 30 บาท ขนมชนดิ ที่สองราคาถงุ ละ 20 บาท

ฐากูรจัดขนมสองชนดิ แบ่งใสถ่ ุงขายราคาถุงละ 40 บาท เม่อื ขายหมดได้ก�ำ ไร 360 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 40(x + y) – (30x + 20y) = 360 2

หรือ 40x + 40y – 30x – 20y = 360

10x + 20y = 360 3

แทน x ดว้ ย 4y ในสมการ 3 จะได้

10(4y) + 20y = 360

60y = 360

y = 6

แทน y ดว้ ย 6 ในสมการ 1 จะได้

x = 4(6)

x = 24

ดงั นั้น ฐากูรซอ้ื ขนมชนิดท่ีหนง่ึ และชนิดทส่ี องมาอยา่ งละ 4 และ 16 ถุง ตามล�ำ ดับ หรือ 24 และ 6 ถงุ

ตามลำ�ดับ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 61

กจิ กรรมทา้ ยบท : ระบบสมการสร้างรปู ตามจินตนาการ

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีเน้นให้นักเรียนฝึกแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยการหาคำ�ตอบของระบบสมการ
แล้วสร้างจุดให้สอดคล้องกับพิกัดท่ีเป็นคำ�ตอบของระบบสมการที่กำ�หนด ครูอาจให้นักเรียนทำ�กิจกรรมนี้นอกเวลาเรียน
โดยมีสอ่ื /อุปกรณ์ และขนั้ ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดังน้ี

ส่ือ/อปุ กรณ์

1. กระดาษกราฟ 1 แผ่น
2. ชุดโจทยร์ ะบบสมการ (ชุดละ 6 ระบบสมการ)

ข้ันตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. ครแู จกกระดาษกราฟ แลว้ ใหน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบทตามขน้ั ตอนในหนงั สอื เรยี น หนา้ 43 ทง้ั นค้ี รอู าจใหน้ กั เรยี น
ดาวน์โหลดชุดของโจทยร์ ะบบสมการเพม่ิ เตมิ จาก QR Code ในหนังสอื เรยี น หน้า 43

2. ครูให้นักเรียนเปรียบเทียบพิกัดท่ีเป็นคำ�ตอบของระบบสมการท่ีได้กับเพ่ือนท่ีทำ�โจทย์ชุดเดียวกัน เพ่ือตรวจสอบ
ความถูกตอ้ ง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

62 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยกจิ กรรมทา้ ยบท : ระบบสมการสรา้ งรูปตามจนิ ตนาการ

โจทย์ระบบสมการ คำ�ตอบของระบบสมการ เรอื ใบแฟนซี

ระบบสมการท่ี 1 2x + y = 7 ( 2, 3 ) Y
( 5, 9 )
-2x + y = -1 ( 8, 3 ) 14
( 7, 1 )
ระบบสมการที่ 2 2x + y = 19 ( 3, 1 ) 12
( 5, 3 )
-2x + y = -1 10 (5, 9)
8
ระบบสมการท่ี 3 -2x + y = -13

2x + y = 19

ระบบสมการท่ี 4 2x + y = 15 6

y = 1 4 (2, 3) (5, 3) (8, 3)

ระบบสมการที่ 5 2x + y = 7 2

y = 1 (3, 1) (7, 1) X

-4 -2 O 2 4 6 8 10
-2
ระบบสมการที่ 6 x = 5
y = 3 -4


ชดุ ของโจทย์ระบบสมการสร้างรูปตามจินตนาการเพ่มิ เติมจาก QR Code

โจทยร์ ะบบสมการ ชดุ ท่ี 1 ค�ำ ตอบของระบบสมการ บา้ นหน้าจว่ั

ระบบสมการที่ 1 y = 2 ( -4, 2 ) Y
x = -4 ( 4, 2 )
( -4, 8 )
( 4, 8 )
ระบบสมการที่ 2 -3x – 4y = -20 ( 0, 12 ) 18
( 0, 16 ) 16 (0, 16)
y = 2

ระบบสมการที่ 3 -x + y = 12 14
12 (0, 12)
-2x + y = 16

ระบบสมการที่ 4 2x + y = 16 10

x + y = 12 (-4, 8) 8 (0, 8) (4, 8)
6
ระบบสมการท่ี 5 x + y = 12 (4, 2)
4 46
-x + y = 12

ระบบสมการท่ี 6 2x + yy == 3–146x + 16 (-4, 2) 2 (0, 2)

-6 -4 -2 O 2 8 10 X
-2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 63

โจทยร์ ะบบสมการ ชดุ ที่ 2 ค�ำ ตอบของระบบสมการ ปกี ผีเส้ือหลากสี

ระบบสมการที่ 1 3x + 4y = -44 ( -8, -5 ) (-8, 11) Y
( -12, 5 )
3x – 4y = -4 ( -4, -8 ) 10
( -2, 4 ) 8
ระบบสมการที่ 2 -2x – 8y = -16 ( 0, -8 ) 6
( -8, 11 )
x = -12 (-2,44)
2
ระบบสมการที่ 3 3x + 4y = -44 (-12, 5)

-2x + 3y = -16

ระบบสมการที่ 4 x = -2

-2x + y = 8 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 X
-2
ระบบสมการที่ 5 -y + x = 8
(-8, -5) -4
-4x = 16 + 2y -6

ระบบสมการท่ี 6 2x + 2y = 6 (-4, -8) -8 (0, -8)
-10
x + 4y = 36

โจทยร์ ะบบสมการ ชุดท่ี 3 ค�ำ ตอบของระบบสมการ สปรงิ ...สปริง

ระบบสมการท่ี 1 y = x + 14 ( -4, 10 ) Y
–43x + y = 7 ( -4, 6 )
( 4, 6 )
( 4, 10 )
ระบบสมการท่ี 2 y – 6x – 30 = 0 ( -4, 2 ) (-4, 10) 12 (4, 10)
( 4, 2 ) (-4, 6) 10 (4, 6)
2y + 3x = 0 (-4, 2) (4, 2)
8
ระบบสมการที่ 3 -3x + 2y = 0 6
4
y = 6 2

ระบบสมการท่ี 4 2x + y = 18
- 2–3x + y = 4

ระบบสมการที่ 5 2y = x + 8 -8 -6 -4 -2 O 2 468 X
4y = -2x -2


ระบบสมการที่ 6 x + 2y = 8
2y – x = 0


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

64 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

โจทยร์ ะบบสมการ ชดุ ที่ 4 ค�ำ ตอบของระบบ ป.ปลา
สมการ

y + –23x = - 4 Y
y – –23x = 4
ระบบสมการที่ 1 ( -6, 0 ) 10

( 0, 4 ) 8
( 0, -4 )
ระบบสมการท่ี 2 4x + 5y = 20 ( 5, 0 ) 6 (10, 6)
( 10, 6 ) 4 (0, 4)
2x + 3y = 12 ( 10, -6 )

ระบบสมการท่ี 3 y – 0.8x = -4 2 X
(-6, 0)
2x + 3y = -12 -10 -8 -6 -4 -2 O

ระบบสมการท่ี 4 1.2x + y – 6 = 0 -2 2 4(5, 06) 8 10

-4x + 5y + 20 = 0 -4 (0, -4)
-6
ระบบสมการที่ 5 5y = 6x – 30 (10, -6)
y = 2x – 14
-8

ระบบสมการที่ 6 y + 1.2x = 6 -10

y + 0.2x = -4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 65

เฉลยแบบฝึกหดั ท้ายบท

1. มีคำ�ตอบเดยี ว มีค�ำ ตอบมากมาย ไมม่ ีค�ำ ตอบ
ไม่จำ�กัด
ระบบสมการ 

1) 3x – y = 3 (1, 0)
2x + y = 2
2) 2y + 4x = 8 
2x = 10 – y (6, -14)
3) 3x + y = 4
-5x – 3y = 12 
4) 5y – 3x – 6 = 0
-6x = 12 – 10y

1) แนวคิด 3x – y = 3 1
2
2x + y = 2
1
1 + 2 ; 5x = 5 2
3
x = 1 ซง่ึ เป็นสมการท่ีไม่เปน็ จริง

แทน x ด้วย 1 ในสมการ 1 จะได้

3(1) – y = 3

y = 0

ดงั นนั้ ระบบสมการนี้มีคำ�ตอบ คอื (1, 0)

2) แนวคิด 2y + 4x = 8

2x = 10 – y

2 ×2 ; 4x = 20 – 2y

1 – 3 ; 2y = -12 + 2y

0 = -12

ดงั นั้น ระบบสมการนี้ไมม่ คี ำ�ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

66 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

3) แนวคิด 3x + y = 4 1

-5x – 3y = 12 2

1 ×3 ; 9x + 3y = 12 3

2 + 3 ; 4x = 24

x = 6

แทน x ดว้ ย 6 ในสมการ 1 จะได้

3(6) + y = 4

18 + y = 4

y = -14

ดังน้นั ระบบสมการน้ีมีค�ำ ตอบ คือ (6, -14)

4) แนวคดิ 5y – 3x – 6 = 0 1

-6x = 12 – 10y 2

1 ×2; 10y – 6x – 12 = 0 3

จากสมการ 2 ; 10y – 6x – 12 = 0 4

จะเหน็ วา่ สมการ 3 ที่ไดจ้ ากสมการ 1 เปน็ สมการเดียวกนั กับสมการ 4 ทีไ่ ด้จากสมการ 2

แสดงว่า สมการ 1 และ สมการ 2 มีคำ�ตอบเหมือนกัน และมคี ำ�ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั

2. แนวคดิ ถา้ (3, -1) เปน็ คำ�ตอบของระบบสมการ

จาก ax + by = 5 1
2
-bx + ay = -15
3
แทน x และ y ด้วย 3 และ -1 ตามลำ�ดบั ในสมการ 1 จะได้
4
3a – b = 5 5

แทน x และ y ด้วย 3 และ -1 ตามล�ำ ดบั ในสมการ 2 จะได้

-3b – a = -15

4 × 3 ; -9b – 3a = -45

3 + 5 ; -10b = -40

b = 4

แทน b ดว้ ย 4 ในสมการ 3 จะได้

3a – 4 = 5

3a = 9

a = 3

นน่ั คอื a = 3 และ b = 4

ดังน้ัน a + b = 3 + 4 = 7

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 67

คำ�ชี้แจง เฉลยแบบฝกึ หดั ชดุ น้ี ไมไ่ ดแ้ สดงการแกร้ ะบบสมการโดยละเอยี ดและไมไ่ ดแ้ สดงการตรวจสอบค�ำ ตอบ แตค่ รคู วรย�ำ้
ใหน้ กั เรียนตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตสุ มผลของค�ำ ตอบจากเงอ่ื นไขในโจทยท์ ุกครงั้

3. แนวคิด ให้ x แทนจำ�นวนที่มคี ่ามาก

y แทนจ�ำ นวนทม่ี ีค่านอ้ ย

ผลตา่ งของจ�ำ นวนสองจำ�นวนเปน็ 70

จะได้สมการเปน็ x – y = 70 1
2
สองเท่าของจำ�นวนที่มีคา่ มากเปน็ สเ่ี ท่าของจ�ำ นวนท่ีมีคา่ นอ้ ย

จะได้สมการเป็น 2x = 4y

จากสมการ 2 x = 2y

แทน x ดว้ ย 2y ในสมการ 1 จะได้

2y – y = 70

y = 70

แทน y ดว้ ย 70 ในสมการ 1 จะได ้

x – 70 = 70

x = 140

ดังน้นั จ�ำ นวนที่มคี ่ามาก คือ 140 และจ�ำ นวนทม่ี คี า่ นอ้ ย คือ 70

4. แนวคิด ให้นมสดราคาขวดละ x บาท

และไข่ไกร่ าคากลอ่ งละ y บาท

ออมซ้อื นมสด 1 ขวด และไขไ่ ก่ 3 กล่อง จา่ ยเงนิ 65 บาท

จะได้สมการเปน็ x + 3y = 65 1

ออ้ ยซอ้ื นมสด 3 ขวด และไข่ไก่ 2 กลอ่ ง จ่ายเงนิ 90 บาท 2
3
จะได้สมการเปน็ 3x + 2y = 90 4

1 × 3 ; 3x + 9y = 195

3 – 2 ; 7y = 105

y = 15

แทน y ด้วย 15 ในสมการ 1 จะได้

x + 3(15) = 65

x = 20

ดังนน้ั นมราคาขวดละ 20 บาท และไข่ไก่ราคากล่องละ 15 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

68 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

5. แนวคดิ 1 ให้ x แทนจำ�นวนเด็กท่ีมางานเลยี้ ง

y แทนจ�ำ นวนลูกชิน้ ที่ซ้อื มา (ไม้)

ถา้ แจกลกู ชิ้นใหเ้ ดก็ คนละ 4 ไม้ จะเหลอื ลูกช้นิ 3 ไม้

จะไดส้ มการเปน็ y – 4x = 3 1
2
ถ้าแจกให้คนละ 5 ไม้ จะแจกได้ 5–y คน และจะมเี ดก็ ทไี่ มไ่ ด้ลูกชิ้น 2 คน 3
x – 5–y = 2
จะไดส้ มการเป็น 5x – y = 10 1
จากสมการ 2 ; 2
3
1 + 3 ; -4x = -5x + 13

x = 13

แทน x ด้วย 13 ในสมการ 1 จะได้

y – 4(13) = 3

y = 55

ดังนนั้ เดก็ มางานเลยี้ ง 13 คน และคุณแม่ซ้ือลูกช้ินมาท้ังหมด 55 ไม้

แนวคิด 2 ให้ x แทนจ�ำ นวนเดก็ ทมี่ างานเลย้ี ง

y แทนจำ�นวนลกู ช้นิ ท่ีซ้ือมา (ไม้)

ถ้าแจกลกู ชิน้ ให้เด็กคนละ 4 ไม้ จะเหลอื ลกู ชิน้ 3 ไม้

จะได้สมการเป็น y – 4x = 3

ถา้ แจกลกู ชิ้นใหเ้ ด็กคนละ 5 ไม้ จะมีเด็กท่ไี มไ่ ดล้ กู ช้นิ 2 คน

จะได้สมการเปน็ y = 5(x – 2)

จากสมการ 2 y – 5x = -10

1 – 3 ; x = 13

แทน x ด้วย 13 ในสมการ 1 จะได้

y – 4(13) = 3

y = 55

ดงั นั้น มเี ด็กมางานเล้ียง 13 คน และคณุ แมซ่ ือ้ ลูกช้นิ มาท้งั หมด 55 ไม้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 69

6. แนวคดิ ให้ x แทนจ�ำ นวนปากกาทีม่ อี ยเู่ ดมิ

y แทนจ�ำ นวนดนิ สอท่ีมอี ยู่เดมิ

รา้ นขายปากกาด้ามละ 40 บาท และดนิ สอแทง่ ละ 25 บาท ถา้ ขายไดห้ มด จะไดเ้ งิน 1,200 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 40x + 25y = 1,200 1

เม่ือเวลาผา่ นไป รา้ นค้าขายปากกาได้หมด แต่ขายดินสอไดเ้ พยี งครง่ึ หน่ึง และได้เงนิ รวม 900 บาท

จะได้สมการเป็น ( )40x + 25 –2y = 900 2
1 – 2 ; 2—25y = 300

y = 24

แทน y ด้วย 24 ในสมการ 1 จะได้

40x + 25(24) = 1,200

40x = 600

x = 15

ดงั นนั้ เดมิ ร้านคา้ มีปากกา 15 ด้าม และดนิ สอ 24 แทง่

7. แนวคดิ ให้พอ่ คา้ ซอื้ กาแฟชนดิ A ราคากโิ ลกรัมละ 170 บาท จำ�นวน x กิโลกรมั คดิ เปน็ เงิน 170x บาท

ซ้ือกาแฟชนดิ B ราคากิโลกรัมละ 150 บาท จำ�นวน y กิโลกรัม คดิ เป็นเงิน 150y บาท

จะได้วา่ พ่อคา้ ลงทนุ ทงั้ หมด 170x + 150y บาท

พ่อค้านำ�กาแฟมาผสมขาย ได้กาแฟผสม 30 กิโลกรัม

จะได้สมการเปน็ x + y = 30 1

พอ่ ค้าขายกาแฟผสมกโิ ลกรัมละ 200 บาท ไดเ้ งิน 200(x + y) บาท จะได้กำ�ไร

200(x + y) – (170x + 150y) = 30x + 50y

ถ้าพอ่ คา้ ขายกาแฟผสมได้ก�ำ ไร 20%

จะไดส้ มการเปน็ 1—2000(170x + 150y) = 30x + 50y 2

34x + 30y = 30x + 50y
จากสมการ 2 ;

4x = 20y

x = 5y 3

แทน x ด้วย 5y ในสมการ 1 จะได้

5y + y = 30

y = 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

70 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

แทน y ดว้ ย 5 ในสมการ 3 จะได้

x = 5(5)

x = 25

ดงั นนั้ พอ่ ค้าใช้กาแฟชนดิ A และชนิด B จ�ำ นวน 25 กิโลกรัม และ 5 กโิ ลกรมั ตามลำ�ดับ

8. แนวคิด ให้ x แทนค่าแรงของชา่ งปูกระเบอ้ื ง

y แทนคา่ แรงของผูช้ ว่ ยปูกระเบอ้ื ง

นกิ รจ้างผรู้ ับเหมาปูกระเบอ้ื งในราคา 24,000 บาท โดยคดิ เป็นค่ากระเบอื้ ง 9,000 บาท ทเี่ หลอื เป็นค่าแรง

ของชา่ งปกู ระเบือ้ งและคา่ แรงของผ้ชู ว่ ย

จะได้สมการเป็น x + y + 9,000 = 24,000

หรอื x + y = 15,000 1

ถ้าค่าแรงของผู้ช่วยคิดเป็นครึ่งหนึ่งของค่าแรงของช่าง
y = –2x
จะไดส้ มการเป็น

หรอื x = 2y 2

แทน x ด้วย 2y ในสมการ 1 จะได้

2y + y = 15,000

y = 5,000

แทน y ด้วย 5,000 ในสมการ 1 จะได้

x + 5,000 = 15,000

x = 10,000

ดงั น้ัน ช่างปูกระเบ้อื งได้คา่ แรง 10,000 บาท และผูช้ ว่ ยปกู ระเบอ้ื งไดค้ า่ แรง 5,000 บาท

9. แนวคิด ให ้ x แทนจ�ำ นวนล�ำ ไยพนั ธ์ุกะโหลกทข่ี ายไป

y แทนจ�ำ นวนลำ�ไยพันธุ์สชี มพูท่ีขายไป

ถา้ แมค่ ้าขายลำ�ไยทั้งสองพนั ธุไ์ ป 70 กิโลกรมั

จะได้สมการเป็น x + y = 70 1

ถา้ ขายล�ำ ไยพนั ธก์ุ ะโหลกกโิ ลกรมั ละ 25 บาท และล�ำ ไยพนั ธส์ุ ชี มพกู โิ ลกรมั ละ 30 บาท ไดเ้ งนิ 1,780 บาท

จะไดส้ มการเป็น 25x + 30y = 1,780 2

1 × 25 ; 25x + 25y = 1,750 3

2 – 3 ; 5y = 30

y = 6

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 71

แทน y ด้วย 6 ในสมการ 1 จะได้

x + 6 = 70

x = 64

ดงั นน้ั แมค่ า้ ขายล�ำ ไยพันธ์กุ ะโหลก 64 กโิ ลกรัม และลำ�ไยพันธุ์สีชมพู 6 กิโลกรัม

10. แนวคิด ให้ใช้สารละลายต้งั ตน้ ชนดิ ที่ 1 ที่มแี อลกอฮอล์ 30% จำ�นวน x ลิตร

จะมแี อลกอฮอล์ 1—3000x = 0.3x ลติ ร

ใชส้ ารละลายตง้ั ตน้ ชนิดที่ 2 ทมี่ ีแอลกอฮอล์ 80% จำ�นวน y ลิตร

จะมแี อลกอฮอล์ 1—8000y = 0.8y ลติ ร

ถา้ ตอ้ งการสารละลายตั้งต้นทม่ี ีแอลกอฮอล์ 50% จำ�นวน 100 ลิตร

จะมีแอลกอฮอล์ —15000 = 50 ลิตร

แอลกอฮอล์ 30% ในสารละลายต้ังต้นชนิดท่ี 1 รวมกับแอลกอฮอล์ 80% ในสารละลายตง้ั ต้นชนดิ ที่ 2

จะเทา่ กับแอลกอฮอลใ์ นสารละลายเคมภี ัณฑท์ บี่ รษิ ัทตอ้ งการ

จะได้สมการเปน็ 0.3x + 0.8y = 50 1

เมื่อนำ�สารละลายต้ังต้นชนิดที่ 1 ทีม่ แี อลกอฮอล์ 30% รวมกับสารละลายตัง้ ต้นชนิดท่ี 2 ท่มี แี อลกอฮอล์

80% มาผสมกนั จะไดแ้ อลกอฮอลใ์ นสารละลายเคมภี ณั ฑ์ทบ่ี ริษัทตอ้ งการ 100 ลติ ร

จะได้สมการเปน็ x + y = 100 2

1 × 10 ; 3x + 8y = 500 3

2 × 3 ; 3x + 3y = 300 4

3 – 4 ; 5y = 200

y = 40

แทน y ด้วย 40 ในสมการ 2 จะได้

x + 40 = 100

x = 60

ดังนนั้ สารละลายท่มี ีแอลกอฮอล์ 50% ที่บริษัทเคมภี ณั ฑ์ต้องการ ตอ้ งใชส้ ารละลายตงั้ ต้นชนดิ ท่ี 1 ทมี่ ี

แอลกอฮอล์ 30% รวมกับสารละลายตั้งต้นชนดิ ท่ี 2 ทีม่ ีแอลกอฮอล์ 80% มาผสมกัน 60 ลติ ร

และ 40 ลติ ร ตามล�ำ ดับ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

72 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

11. แนวคดิ ใหค้ นงานชายหนงึ่ คนทำ�งานได้วันละ x หน่วย

คนงานหญิงหนงึ่ คนทำ�งานได้วนั ละ y หน่วย

ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 3 คน และคนงานหญงิ 4 คน ท�ำ งานได้ 3x + 4y หนว่ ย

ในเวลา 14 วนั คนงานชาย 3 คน และคนงานหญิง 4 คน ทำ�งานได้ 14(3x + 4y) หน่วย

จะไดว้ ่าจำ�นวนงานทงั้ หมดเท่ากับ 14(3x + 4y) = 42x + 56y หนว่ ย 1

ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 10 คน และคนงานหญงิ 15 คน ท�ำ งานได้ 10x + 15y หน่วย

ในเวลา 4 วนั คนงานชาย 10 คน และคนงานหญิง 15 คน ทำ�งานได้ 4(10x + 15y) หนว่ ย

จะไดว้ ่าจ�ำ นวนงานท้ังหมดเทา่ กบั 4(10x + 15y) = 40x + 60y หน่วย 2

เนอื่ งจากจำ�นวนงานท้ังหมดเท่ากัน

ดงั นนั้ จากสมการ 1 และสมการ 2 จะได้ 42x + 56y = 40x + 60y

x = 2y

แทน x ด้วย 2y ในสมการ 1 จะได้จ�ำ นวนงานทั้งหมดเท่ากบั 42(2y) + 56y = 140y

เนื่องจาก ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 7 คน และคนงานหญงิ 6 คน ทำ�งานได้ 7x + 6y หนว่ ย

แทน x ด้วย 2y จะได้ 7x + 6y = 7(2y) + 6y = 20y หนว่ ย

นั่นคอื ในเวลา 1 วัน คนงานชาย 7 คน และคนงานหญงิ 6 คน ท�ำ งานได้ 20y หน่วย

เนื่องจาก จ�ำ นวนงานทงั้ หมดเปน็ 140y หน่วย จะได้ จ�ำ นวนวนั ทใี่ ช้ทำ�งานจงึ เท่ากบั 140y = 7 วัน
20y

ดงั นั้น คนงานชาย 7 คน และคนงานหญิง 6 คน ช่วยกนั ตดั หญา้ จะตดั เสร็จภายใน 7 วัน

12. แนวคิด ให ้ x แทนอตั ราเรว็ ของการพายเรือในน้ำ�น่งิ (กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง)

y แทนอัตราเรว็ ของกระแสน�ำ้ (กิโลเมตรต่อช่ัวโมง)

เนอ่ื งจาก

อตั ราเร็วของการพายเรือตามน�้ำ = อตั ราเร็วของการพายเรือในน�้ำ น่งิ + อัตราเรว็ ของกระแสน�ำ้ = x + y

อัตราเรว็ ของการพายเรอื ทวนน้�ำ = อัตราเร็วของการพายเรอื ในน้ำ�นิ่ง – อตั ราเร็วของกระแสน้�ำ = x – y

และจากความสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อตั ราเร็ว × เวลา

วษิ ณพุ ายเรอื ตามนำ�้ ในระยะทาง 1 กิโลเมตร ใชเ้ วลา 30 นาที

จาก ระยะทาง = อัตราเรว็ × เวลา

จะได้ 1 = (x + y) × 63—00 1
x + y = 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 73

วษิ ณุพายเรือทวนน้ำ�ในระยะทาง 1 กิโลเมตร ใชเ้ วลา 50 นาที

จาก ระยะทาง = อตั ราเร็ว × เวลา

จะได ้ 1 = (x – y) × 56—00
x – y = 65—00

5x – 5y = 6 2

1 × 5 ; 5x + 5y = 10 3

2 + 3 ; 10x = 16 4

x = 58–
แทน x ด้วย –58 ในสมการ 1
จะได้ = 2
58– + y = 25–
y

ดังนั้น วิษณุพายเรือในน้ำ�น่ิงด้วยอัตราเร็ว –85 หรือ 1–35 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และกระแสน้ำ�มีอัตราเร็ว
–25 กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

74 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ตวั อยา่ งแบบทดสอบ

1. กำ�หนดกราฟของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ดังน้ี (5 คะแนน)

Y

10 4
1 83

6

4

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2 5
-4

2 -6
-8

-10

จากกราฟ จงตอบค�ำ ถามแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้
1) กราฟของสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรใดท่ีมี (-3, 2.5) เปน็ ค�ำ ตอบของสมการ
ตอบ
2) กราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรใดบ้างที่มี (4, 6) เปน็ คำ�ตอบของสมการ
ตอบ
3) ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรที่ประกอบดว้ ยกราฟ 2 และ 3 มีค�ำ ตอบหรือไม่ ถ้ามใี หร้ ะบคุ ำ�ตอบนน้ั
ตอบ
4) ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรทีป่ ระกอบดว้ ยกราฟ 2 และ 5 มีค�ำ ตอบหรือไม่ ถา้ มีให้ระบคุ ำ�ตอบนั้น
ตอบ
5) ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรใดไมม่ ีคำ�ตอบ
ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 75

2. จงพิจารณาว่าระบบสมการที่กำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปน้ี มีคำ�ตอบเดียว หรือมีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด หรือไม่มี

คำ�ตอบ (4 คะแนน)

1) 10x + 5y = 20

3x + 6y = 15

2) -9x + 6y = 15

6x – 4y = -10

3) 6x – 9y = 12

4x – 6y = -8

4) -4x + 6y = 26

9x – 6y = -36

3. ก�ำ หนดระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

5x + 1 = y – 12

3(2y – 3x) = 45 (3 คะแนน)
จงหาค่าของ (2x + y)2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

76 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

4. หทยั สะสมเหรยี ญสบิ บาทและเหรยี ญหา้ บาทไวจ้ �ำ นวนหนงึ่ เมอ่ื น�ำ มานบั ดพู บวา่ มเี หรยี ญสบิ บาทมากกวา่ เหรยี ญหา้ บาท

อยู่ 49 เหรียญ คดิ เปน็ เงินรวม 1,600 บาท อยากทราบวา่ หทัยมีเหรียญสบิ บาทและเหรยี ญหา้ บาทอยา่ งละกี่เหรยี ญ

(5 คะแนน)

5. ในชว่ งเปดิ ภาคเรยี นของปีการศึกษาใหม่ นกั เรยี นทกุ คนจะซ้ือสมุดซึง่ มีตราสญั ลักษณข์ องโรงเรยี นทีจ่ �ำ หน่ายในสหกรณ์

ร้านค้าของโรงเรียน โดยมีสมุดให้เลือกซื้อสองแบบ คือ สมุดปกอ่อน 40 หน้า และสมุดปกแข็ง 80 หน้า บัวเป็น

นักเรียนใหม่จึงซ้ือสมุดปกอ่อน 8 เล่ม และสมุดปกแข็ง 4 เล่ม รวมเป็นเงิน 184 บาท ส่วนมะลิเป็นนักเรียนเก่ายังมี

สมดุ เหลอื ใชจ้ ากปกี ารศกึ ษาทแ่ี ลว้ อยจู่ �ำ นวนหนง่ึ จงึ ซอ้ื สมดุ ปกออ่ น 5 เลม่ และสมดุ ปกแขง็ 3 เลม่ รวมเปน็ เงนิ 126 บาท

ถ้านกั เรียนอีกสองคน คอื ดาวเรืองและเบญจมาศ ตอ้ งการซอ้ื สมุด โดยดาวเรอื งต้องการซ้อื สมดุ ปกออ่ น 3 เล่ม

และสมดุ ปกแข็ง 2 เล่ม สว่ นเบญจมาศต้องการซื้อสมดุ ปกออ่ น 2 เลม่ และสมดุ ปกแข็ง 3 เล่ม แลว้ ใครจ่ายเงินมากกวา่

กันและมากกวา่ กันอยกู่ บี่ าท (6 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 77

6. เม่ือ 4 ปที ่ีแล้ว พอ่ มีอายุเปน็ สามเทา่ ของอายขุ องกบ และอีก 3 ปีขา้ งหน้า พ่อและกบจะมีอายรุ วมกันได้ 66 ปี จงหาวา่

อกี กป่ี ีขา้ งหน้าพอ่ จงึ มอี ายุเป็นสองเท่าของกบ (6 คะแนน)

7. ถ้าจำ�นวนที่มีสองหลักจำ�นวนหน่ึงมีเลขโดดในหลักหน่วยมากกว่าเลขโดดในหลักสิบอยู่ 3 และผลต่างของสามเท่าของ

จำ�นวนนกี้ ับจำ�นวนทไ่ี ด้จากการสลบั ท่ีของเลขโดดเป็น 111 แลว้ 1 ใน 5 ของผลบวกของจำ�นวนน้ันกบั จำ�นวนทไ่ี ดจ้ าก

การสลบั ทีข่ องเลขโดดมคี ่าเท่าใด (6 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

78 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

8. แกว้ และไหมขบั รถพาครอบครวั ไปเทย่ี วตา่ งจงั หวดั ดว้ ยกนั โดยใชร้ ถยนตค์ นละคนั และออกเดนิ ทางจากบา้ นแกว้ พรอ้ มกนั

โดยไม่แวะพักระหวา่ งทาง ไหมใช้เวลาในการขับรถทง้ั หมด 2 ชวั่ โมง แต่แกว้ ขบั รถช้ากว่าไหม 10 กโิ ลเมตรต่อชวั่ โมง

ทำ�ให้แกว้ ใช้เวลาในการขบั รถมากกว่าไหม 15 นาที จงหาว่า

1) แก้วและไหมขับรถด้วยอตั ราเร็วเทา่ ไร (4 คะแนน)

2) ระยะทางในการเดินทางทง้ั หมดเปน็ กีก่ ิโลเมตร (1 คะแนน)

9. แมค่ า้ ซื้อข้าวสารชนดิ ท่ี 1 ราคากโิ ลกรมั ละ 40 บาท และข้าวสารชนดิ ท่ี 2 ราคากิโลกรัมละ 50 บาท รวมเป็นเงนิ

2,500 บาท จากนั้น แมค่ ้าน�ำ ข้าวสารทง้ั สองชนดิ มาผสมกันแล้วขายในราคากิโลกรัมละ 50 บาท ซึง่ ทำ�ให้ได้ก�ำ ไร 20%

จงหา

1) แม่ค้าซอื้ ขา้ วสารแตล่ ะชนิดมาอย่างละกก่ี ิโลกรมั (4 คะแนน)

2) อัตราส่วนของจำ�นวนข้าวสารชนิดท่ี 1 ต่อจำ�นวนข้าวสารชนิดท่ี 2 ที่แม่ค้าใช้ในการผสมข้าวสารท้ังสองชนิด

เพ่อื น�ำ ไปขาย (1 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 79

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบ

1. กำ�หนดกราฟของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ดังนี้ (5 คะแนน)

Y

10 4
1 83

6

4

2

-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X
-2 5
-4

2 -6
-8

-10

จากกราฟ จงตอบคำ�ถามแต่ละข้อตอ่ ไปน ้ี
1) กราฟของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรใดทม่ี ี (-3, 2.5) เปน็ ค�ำ ตอบของสมการ
ตอบ กราฟ 4
2) กราฟของสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรใดบา้ งท่มี ี (4, 6) เป็นคำ�ตอบของสมการ
ตอบ กราฟ 1 , 3 , 4 และ 5
3) ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรทปี่ ระกอบดว้ ยกราฟ 2 และ 3 มคี ำ�ตอบหรอื ไม่ ถา้ มีให้ระบคุ �ำ ตอบนนั้
ตอบ มี คือ (7, 1)
4) ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรท่ปี ระกอบด้วยกราฟ 2 และ 5 มีคำ�ตอบหรือไม่ ถ้ามีใหร้ ะบคุ �ำ ตอบนน้ั
ตอบ มี คอื (4, -0.5)
5) ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรใดไม่มคี �ำ ตอบ
ตอบ กราฟ 2 และ 4

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถใช้กราฟเพื่อวิเคราะห์เกี่ยวกบั ค�ำ ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

80 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2. จงพิจารณาว่าระบบสมการท่ีกำ�หนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ มีคำ�ตอบเดียว หรือมีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด หรือไม่มี

ค�ำ ตอบ (4 คะแนน)

1) 10x + 5y = 20

3x + 6y = 15 มีค�ำ ตอบเดยี ว

2) -9x + 6y = 15

6x – 4y = -10 มคี ำ�ตอบมากมายไมจ่ ำ�กดั

3) 6x – 9y = 12

4x – 6y = -8 ไมม่ คี ำ�ตอบ

4) -4x + 6y = 26

9x – 6y = -36 มคี �ำ ตอบเดียว

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ

3. กำ�หนดระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

5x + 1 = y – 12

3(2y – 3x) = 45 (3 คะแนน)
จงหาคา่ ของ (2x + y)2
1
2
3
แนวคิด 1 5x + 1 = y – 12 4

3(2y – 3x) = 45

จากสมการ 1 ; y = 5x + 13

จากสมการ 2 ; 2y – 3x = 15



แทน y ด้วย 5x + 13 ในสมการ 4 จะได้

2(5x + 13) – 3x = 15

10x + 26 – 3x = 15

7x = -11

x = - 1—71

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 81

แทน x ด้วย - 1—71 ในสมการ 3 จะได้

( )y = 5 - 1—71 + 13

[ ( ) ] y = 3—76

ดังน้ัน (2x + y)2 = 2 - 1—71 + 3—76 2 = 22 = 4

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 3 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดังน้ี

ส่วนท่ี 1 การหาค่า x และคา่ y

✤ แสดงการหาค่า x และคา่ y ถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงการหาคา่ x หรือคา่ y ถูกตอ้ งเพยี งค่าใดคา่ หนึ่ง ได้ 0 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ x และค่า y ไม่ถกู ตอ้ ง หรือไมแ่ สดง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
สว่ นท่ี 2 การสรปุ ค�ำ ตอบ

✤ สรุปค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง

✤ สรปุ ค�ำ ตอบไม่ถูกต้อง หรอื ไม่สรปุ

แนวคดิ 2 5x + 1 = y – 12 1
3(2y – 3x) = 45 2
3
5x – y = -13 4
จากสมการ 1 ; 2y – 3x = 15
2x + y = 2
จากสมการ 2 ;

3 + 4 ;
ดงั นัน้ (2x + y)2 = 22 = 4

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้

ส่วนที่ 1 การเขยี นแสดงวิธีการหาคำ�ตอบ

✤ แสดงวธิ ีการหาค�ำ ตอบไดถ้ ูกต้อง ได้ 2 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ แสดงวิธีการหาค�ำ ตอบได้ถูกต้องบางสว่ น ได้ 0 คะแนน

✤ แสดงวธิ กี ารหาคำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมแ่ สดง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
สว่ นท่ี 2 การสรุปค�ำ ตอบ

✤ สรปุ ค�ำ ตอบถูกตอ้ ง

✤ สรุปค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่สรุป

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

82 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

4. หทยั สะสมเหรยี ญสบิ บาทและเหรยี ญหา้ บาทไวจ้ �ำ นวนหนง่ึ เมอื่ น�ำ มานบั ดพู บวา่ มเี หรยี ญสบิ บาทมากกวา่ เหรยี ญหา้ บาท

อยู่ 49 เหรยี ญ คิดเป็นเงนิ รวม 1,600 บาท อยากทราบวา่ หทัยมเี หรียญสิบบาทและเหรยี ญหา้ บาทอย่างละก่เี หรยี ญ

(5 คะแนน)

แนวคิด ให้หทัยมเี หรียญสิบบาท x เหรียญ และมเี หรียญหา้ บาท y เหรยี ญ

เน่อื งจากมีเหรียญสิบบาทมากกว่าเหรยี ญห้าบาทอยู่ 49 เหรยี ญ

จะไดส้ มการเปน็ x – y = 49 1

หทยั มเี หรยี ญสิบบาท x เหรยี ญ คดิ เปน็ เงนิ 10x บาท

และมเี หรียญหา้ บาท y เหรยี ญ คดิ เป็นเงิน 5y บาท

ดังนั้น หทยั มเี งินทั้งหมด 10x + 5y บาท

เนอื่ งจากหทยั มีเงินรวมกนั 1,600 บาท

จะได้สมการเปน็ 10x + 5y = 1,600

หรอื 2x + y = 320 2

1 + 2 ; 3x = 369

x = 123

แทน x ดว้ ย 123 ในสมการ 1 จะได้

123 – y = 49

y = 74

ดังน้นั หทัยมเี หรียญสิบบาท 123 เหรยี ญ และมีเหรียญห้าบาท 74 เหรยี ญ

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ขอ้ 3 นกั เรยี นสามารถนำ�ความรูเ้ กยี่ วกับระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรไปใช้ในการแกป้ ัญหา

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดังนี้

ส่วนท่ี 1 การเขียนสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร

✤ เขียนสมการเชิงเส้นสองตวั แปรถกู ตอ้ งทงั้ สองสมการ ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนสมการเชิงเส้นสองตัวแปรถกู ต้องเพยี งสมการเดียว ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรไม่ถกู ต้อง หรือไมเ่ ขียน ได้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 2 การหาคา่ x และค่า y

✤ แสดงการหาค่าตัวแปรท้งั สองถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ ตวั แปรถูกต้องเพยี งคา่ ใดค่าหนึ่ง ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงวิธกี ารหาค�ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไม่แสดง ได้ 0 คะแนน

สว่ นท่ี 3 การสรปุ คำ�ตอบ

✤ สรปุ ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ สรปุ คำ�ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไมส่ รปุ ได้ 0 คะแนน



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 83

5. ในช่วงเปิดภาคเรียนของปีการศกึ ษาใหม่ นักเรียนทุกคนจะซ้ือสมดุ ซ่ึงมตี ราสัญลกั ษณข์ องโรงเรียนท่จี �ำ หนา่ ยในสหกรณ์

ร้านค้าของโรงเรียน โดยมีสมุดให้เลือกซ้ือสองแบบ คือ สมุดปกอ่อน 40 หน้า และสมุดปกแข็ง 80 หน้า บัวเป็น

นักเรียนใหม่จึงซื้อสมุดปกอ่อน 8 เล่ม และสมุดปกแข็ง 4 เล่ม รวมเป็นเงิน 184 บาท ส่วนมะลิเป็นนักเรียนเก่ายังมี

สมดุ เหลอื ใชจ้ ากปกี ารศกึ ษาทแ่ี ลว้ อยจู่ �ำ นวนหนง่ึ จงึ ซอ้ื สมดุ ปกออ่ น 5 เลม่ และสมดุ ปกแขง็ 3 เลม่ รวมเปน็ เงนิ 126 บาท

ถา้ นกั เรียนอกี สองคน คอื ดาวเรอื งและเบญจมาศ ต้องการซอ้ื สมุด โดยดาวเรอื งตอ้ งการซอ้ื สมุดปกอ่อน 3 เลม่

และสมุดปกแขง็ 2 เล่ม สว่ นเบญจมาศต้องการซอื้ สมดุ ปกอ่อน 2 เล่ม และสมุดปกแข็ง 3 เล่ม แล้วใครจา่ ยเงนิ มากกวา่

กันและมากกว่ากนั อยูก่ บ่ี าท (6 คะแนน)

แนวคิด ให้สมุดปกอ่อนราคาเล่มละ x บาท

และสมดุ ปกแขง็ ราคาเล่มละ y บาท

บวั ซ้ือสมดุ ปกอ่อน 8 เลม่ และสมุดปกแข็ง 4 เลม่ รวมเป็นเงิน 184 บาท

จะไดส้ มการเป็น 8x + 4y = 184 1

มะลซิ ้อื สมุดปกอ่อน 5 เลม่ และสมุดปกแขง็ 3 เลม่ รวมเปน็ เงิน 126 บาท

จะได้สมการเปน็ 5x + 3y = 126 2

1 × 3 ; 24x + 12y = 552 3

2 × 4 ; 20x + 12y = 504 4

3 – 4 ; 4x = 48

x = 12

แทน x ด้วย 12 ในสมการ 2 จะได้

5(12) + 3y = 126

3y = 66

y = 22

ดงั นั้น สมุดปกอ่อนราคาเล่มละ 12 บาท และสมดุ ปกแขง็ ราคาเล่มละ 22 บาท

ถา้ ดาวเรืองต้องการซ้อื สมดุ ปกอ่อน 3 เลม่ และสมดุ ปกแข็ง 2 เลม่

จะตอ้ งจา่ ยเงนิ 3(12) + 2(22) = 36 + 44 = 80 บาท

ถ้าเบญจมาศต้องการซ้อื สมดุ ปกอ่อน 2 เลม่ และสมุดปกแข็ง 3 เลม่

จะตอ้ งจ่ายเงิน 2(12) + 3(22) = 24 + 66 = 90 บาท

ดงั นนั้ เบญจมาศจ่ายเงนิ มากกวา่ ดาวเรือง และมากกวา่ กนั อยู่ 90 – 80 = 10 บาท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

84 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

6. เม่ือ 4 ปีที่แลว้ พ่อมีอายุเปน็ สามเท่าของอายุของกบ และอกี 3 ปีข้างหนา้ พอ่ และกบจะมอี ายุรวมกันได้ 66 ปี จงหาว่า

อกี กปี่ ขี า้ งหนา้ พ่อจึงมอี ายุเป็นสองเท่าของกบ (6 คะแนน)

แนวคดิ ใชต้ ารางประกอบการวิเคราะหโ์ จทย์ ดงั น้ี

อายุ (ปี)

ปจั จุบนั เมอื่ 4 ปีท่แี ล้ว อกี 3 ปีข้างหน้า

พ่อ x x–4 x+3
กบ y y–4 y+3

เมอื่ 4 ปีท่ีแลว้ พอ่ มีอายุเปน็ สามเท่าของอายขุ องกบ

จะได้สมการเปน็ x – 4 = 3(y – 4) 1

อีก 3 ปีขา้ งหนา้ พอ่ และกบจะมีอายุรวมกนั ได้ 66 ปี 2

จะได้สมการเปน็ (x + 3) + (y + 3) = 66 3
4
จากสมการ 1 ; x – 4 = 3y – 12

x – 3y = -8

จากสมการ 2 ; x + y = 60

4 – 3 ; 4y = 68

y = 17

แทน y ด้วย 17 ในสมการ 4 จะได้

x + 17 = 60

x = 43

ดังนน้ั ในปัจจบุ นั พ่อมีอายุ 43 ปี และกบมอี ายุ 17 ปี

ให้พ่อมอี ายุเปน็ สองเท่าของกบในอกี n ปีข้างหนา้

อีก n ปขี ้างหน้าพ่อมีอายุ 43 + n ปี และกบมีอายุ 17 + n ปี

เนือ่ งจาก อีก n ปขี ้างหน้า พอ่ จงึ มอี ายเุ ป็นสองเทา่ ของกบ

จะไดส้ มการเปน็ 43 + n = 2(17 + n)

43 + n = 34 + 2n

n = 9

ดงั นน้ั อีก 9 ปีขา้ งหนา้ พอ่ จึงจะมอี ายเุ ปน็ สองเทา่ ของกบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 85

7. ถ้าจำ�นวนที่มีสองหลักจำ�นวนหน่ึงมีเลขโดดในหลักหน่วยมากกว่าเลขโดดในหลักสิบอยู่ 3 และผลต่างของสามเท่าของ

จำ�นวนนี้กับจ�ำ นวนที่ไดจ้ ากการสลบั ท่ีของเลขโดดเป็น 111 แลว้ 1 ใน 5 ของผลบวกของจำ�นวนนนั้ กบั จำ�นวนทไี่ ด้จาก

การสลับทข่ี องเลขโดดมคี ่าเทา่ ใด (6 คะแนน)

แนวคดิ ให ้ x แทนเลขโดดในหลกั สบิ

y แทนเลขโดดในหลักหน่วย

เลขโดดในหลักหนว่ ยมากกวา่ เลขโดดในหลักสบิ อยู่ 3

จะไดส้ มการเปน็ y – x = 3 1

ผลต่างของสามเทา่ ของจำ�นวนนีก้ บั จ�ำ นวนทไี่ ด้จากการสลบั ท่ีของเลขโดดเป็น 111

จะไดส้ มการเปน็ 3(10x + y) – (10y + x) = 111 2

จากสมการ 2 ; 30x + 3y – 10y – x = 111

29x – 7y = 111 3

1 × 7 ; 7y – 7x = 21 4

3 + 4 ; 22x = 132

x = 6

แทน x ด้วย 6 ในสมการ 1 จะได้

y – 6 = 3

y = 9

จะได ้ จ�ำ นวนท่ีมีสองหลักจำ�นวนน้ัน คือ 69

และ จ�ำ นวนท่ีไดจ้ ากการสลับทข่ี องเลขโดด คือ 96

ดงั นนั้ 1 ใน 5 ของผลบวกของจำ�นวนน้นั กบั จ�ำ นวนทไ่ี ด้จากการสลบั ท่ีของเลขโดดมคี ่าเทา่ กบั

( )1–5 (96+69) = 33

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

86 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ส�ำ หรบั ขอ้ 5–7

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 3 นักเรยี นสามารถน�ำ ความรู้เก่ียวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรไปใช้ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดังนี้

สว่ นที่ 1 การเขียนสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

✤ เขียนสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรถกู ต้องทั้งสองสมการ ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนสมการเชิงเส้นสองตวั แปรถกู ต้องเพยี งสมการเดียว ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรไม่ถกู ตอ้ ง หรอื ไมเ่ ขียน ได้ 0 คะแนน

ส่วนที่ 2 การหาคา่ ตวั แปร

✤ แสดงการหาคา่ ตวั แปรทง้ั สองถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ ตัวแปรถกู ต้องเพยี งคา่ ใดคา่ หนึง่ ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงการหาคา่ ตวั แปรไม่ถกู ต้อง หรือไมแ่ สดง ได้ 0 คะแนน

สว่ นที่ 3 การหาค�ำ ตอบ

✤ แสดงการหาคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงการหาค�ำ ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไมแ่ สดง ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 4 การสรปุ ค�ำ ตอบ

✤ สรุปคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ สรุปค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมส่ รปุ ได้ 0 คะแนน

8. แกว้ และไหมขบั รถพาครอบครวั ไปเทย่ี วตา่ งจงั หวดั ดว้ ยกนั โดยใชร้ ถยนตค์ นละคนั และออกเดนิ ทางจากบา้ นแกว้ พรอ้ มกนั

โดยไมแ่ วะพกั ระหวา่ งทาง ไหมใชเ้ วลาในการขบั รถทัง้ หมด 2 ช่ัวโมง แตแ่ ก้วขบั รถช้ากวา่ ไหม 10 กโิ ลเมตรตอ่ ชัว่ โมง

ทำ�ให้แกว้ ใช้เวลาในการขับรถมากกว่าไหม 15 นาที จงหาวา่

1) แก้วและไหมขบั รถด้วยอัตราเร็วเท่าไร (4 คะแนน)

แนวคิด ใชค้ วามสัมพนั ธ์ ระยะทาง = อตั ราเร็ว × เวลา และสรา้ งตารางวเิ คราะหโ์ จทย์ได้ดงั น้ี

สถานการณ์ อัตราเร็ว (กโิ ลเมตร/ช่วั โมง) ระยะทาง (กิโลเมตร) เวลา (ชว่ั โมง)

แก้วขับรถยนต์ x 49–x 2 + 16—50 = 9–4

ไหมขับรถยนต์ y 2y 2

แกว้ ขับรถด้วยอัตราเรว็ x กิโลเมตรตอ่ ชั่วโมง และไหมขับรถด้วยอัตราเรว็ y กโิ ลเมตรตอ่ ช่วั โมง

แกว้ ขับรถช้ากว่าไหม 10 กโิ ลเมตรต่อช่ัวโมง

จะได้สมการเป็น y – x = 10

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 87

หรอื y = 10 + x 1

จากตาราง ไหมขบั รถไดร้ ะยะทางทั้งหมด 2y กโิ ลเมตร

และ แกว้ ขบั รถได้ระยะทางทงั้ หมด –94x กิโลเมตร

เนอ่ื งจาก ระยะทางท่ที ง้ั สองคนขบั รถได้เท่ากัน

จะไดส้ มการเป็น 2y = –94x 2
หรือ 8y = 9x

แทน y ด้วย 10 + x ในสมการ 2 จะได้

8(10 + x) = 9x

80 + 8x = 9x

x = 80

แทน x ด้วย 80 ในสมการ 1 จะได้

y = 10 + 80

y = 90

ดงั นัน้ แก้วขบั รถดว้ ยอตั ราเรว็ 80 กโิ ลเมตรตอ่ ชั่วโมง และไหมขับรถดว้ ยอตั ราเรว็ 90 กิโลเมตรตอ่ ชว่ั โมง

2) ระยะทางในการเดินทางทงั้ หมดเป็นกกี่ ิโลเมตร (1 คะแนน)

ในการเดนิ ทางครง้ั น้มี ีระยะทางทัง้ หมดเทา่ กบั 2(90) = 180 กโิ ลเมตร

9. แมค่ ้าซอื้ ข้าวสารชนดิ ท่ี 1 ราคากิโลกรัมละ 40 บาท และขา้ วสารชนิดท่ี 2 ราคากโิ ลกรัมละ 50 บาท รวมเป็นเงนิ

2,500 บาท จากนน้ั แมค่ า้ น�ำ ขา้ วสารทง้ั สองชนดิ มาผสมกนั แลว้ ขายในราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท ซง่ึ ท�ำ ใหไ้ ดก้ �ำ ไร 20%

จงหา

1) แม่ค้าซอ้ื ข้าวสารแต่ละชนิดมาอยา่ งละกีก่ ิโลกรัม (4 คะแนน)

แนวคดิ ใหแ้ มค่ ้าซือ้ ขา้ วสารชนิดที่ 1 มา x กโิ ลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 40 บาท คดิ เป็นเงิน 40x บาท

และ ซอ้ื ขา้ วสารชนิดท่ี 2 มา y กโิ ลกรัม ราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท คดิ เป็นเงิน 50y บาท

ดงั นัน้ แมค่ า้ ซ้อื ขา้ วสารมาท้งั หมด 40x + 50y บาท

จากโจทย์ แมค่ า้ ซ้อื ข้าวสารคิดเปน็ เงนิ 2,500 บาท

จะไดส้ มการเป็น 40x + 50y = 2,500 1

เม่ือน�ำ มาผสมกันจะได้ข้าวสารท้งั หมด x + y กิโลกรัม และขายในราคากโิ ลกรมั ละ 50 บาท

จะไดเ้ งินทง้ั หมด 50(x + y) บาท

แตแ่ ม่คา้ ขายได้ก�ำ ไร 20% ชงึ่ คิดเป็นเงนิ 1—2000(2,500) = 500 บาท

จะไดส้ มการเปน็ 50(x + y) – 2,500 = 500

หรอื 50(x + y) = 3,000

หรือ 50x + 50y = 3,000 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

88 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

2 – 1 ; 10x = 500

x = 50

แทน x ดว้ ย 50 ในสมการ 1 จะได้

40(50) + 50y = 2,500

50y = 500

y = 10

ดงั นน้ั แม่ค้าซอ้ื ข้าวสารชนิดที่ 1 มา 50 กโิ ลกรัม และซื้อข้าวสารชนดิ ที่ 2 มา 10 กิโลกรมั

2) อัตราส่วนของจำ�นวนข้าวสารชนิดที่ 1 ต่อจำ�นวนข้าวสารชนิดที่ 2 ท่ีแม่ค้าใช้ในการผสมข้าวสารท้ังสองชนิด

เพ่อื นำ�ไปขาย (1 คะแนน)

อัตราส่วนของจำ�นวนขา้ วสารชนิดท่ี 1 ต่อจำ�นวนขา้ วสารชนิดที่ 2 ท่ีแม่คา้ ใชใ้ นการผสมข้าวสาร

ทัง้ สองชนิดเพอ่ื น�ำ ขาย เท่ากบั 50 : 10 = 5 : 1

ส�ำ หรับ ข้อ 8–9

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 3 นกั เรยี นสามารถน�ำ ความร้เู กย่ี วกับระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน

ขอ้ 1) คะแนนเต็ม 4 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดังน้ี

สว่ นที่ 1 การเขียนสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

✤ เขยี นสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรถูกต้องท้งั สองสมการ ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรถกู ตอ้ งเพียงสมการเดยี ว ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนสมการเชิงเส้นสองตัวแปรไม่ถกู ตอ้ ง หรือไมเ่ ขยี น ได้ 0 คะแนน

สว่ นท่ี 2 การหาค่าตัวแปร

✤ แสดงการหาค่าตวั แปรท้งั สองถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ แสดงการหาค่าตัวแปรถูกต้องเพียงคา่ ใดคา่ หนึง่ ได้ 1 คะแนน

✤ แสดงการหาค่าตัวแปรไม่ถกู ตอ้ ง หรือไม่แสดง ได้ 0 คะแนน

ขอ้ 2) คะแนนเตม็ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไม่ถกู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 89

บทที่ 2 วงกลม

ในบทวงกลมน้ี ประกอบด้วยหวั ข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปน้ี

2.1 มมุ ที่จุดศูนย์กลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม 6 ชั่วโมง

2.2 คอร์ดของวงกลม 5 ช่วั โมง

2.3 เสน้ สมั ผสั วงกลม 4 ชว่ั โมง

สาระและมาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 2 การวดั และเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เขา้ ใจและวิเคราะหร์ ปู เรขาคณติ สมบตั ขิ องรูปเรขาคณิต ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งรูปเรขาคณติ และ
ทฤษฎีบททางเรขาคณติ และน�ำ ไปใช้

ตวั ชีว้ ัด

เข้าใจและใชท้ ฤษฎีบทเกย่ี วกบั วงกลมในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

จดุ ประสงค์ของบทเรียน

นกั เรยี นสามารถ
1. บอกทฤษฎบี ทเกีย่ วกับมมุ ทีจ่ ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในส่วนโค้งของวงกลม คอรด์ ของวงกลม และเส้นสมั ผสั วงกลม
2. นำ�ทฤษฎบี ทเก่ียวกับวงกลมไปใชใ้ นการให้เหตผุ ลและการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

ความเชอื่ มโยงระหวา่ งตวั ชีว้ ดั กบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั น้ี กลา่ วถงึ การเขา้ ใจและใชท้ ฤษฎบี ทเกย่ี วกบั วงกลมในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ดงั นน้ั เพอ่ื ใหก้ ารเรยี นรู้
ของนักเรียนในเร่ืองวงกลมสอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้นักเรียนสามารถเข้าใจทฤษฎีบทเก่ียวกับวงกลม
รวมทงั้ น�ำ ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์ ซ่ึงสะทอ้ นได้จากการทนี่ กั เรียนสามารถ
✤ อธิบายทฤษฎีบทเก่ียวกบั มุมที่จุดศูนยก์ ลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม และน�ำ ทฤษฎีบทไปใช้ในการใหเ้ หตุผล

และแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

90 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

✤ อธบิ ายทฤษฎีบทเกีย่ วกับคอร์ดของวงกลม และน�ำ ทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตผุ ลและแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์
✤ อธบิ ายทฤษฎีบทเกย่ี วกับเส้นสัมผสั วงกลม และน�ำ ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

ความคิดรวบยอดของบทเรยี น

วงกลมเปน็ รปู เรขาคณติ สองมติ ิ สว่ นตา่ ง ๆ ทเ่ี กยี่ วขอ้ งกบั วงกลมมมี ากมาย เชน่ คอรด์ เสน้ สมั ผสั วงกลม มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลาง
ของวงกลม มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม ซงึ่ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งสว่ นตา่ ง ๆ เหลา่ นนั้ ของวงกลม ประกอบกบั ความรทู้ างเรขาคณติ
ท�ำ ใหเ้ กดิ สมบตั แิ ละทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั วงกลมทมี่ ปี ระโยชนใ์ นการจ�ำ ลองสถานการณ์ รวมถงึ การอธบิ ายและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์
และปัญหาในชีวิตจรงิ อยา่ งสมเหตุสมผล

ทกั ษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

หัวขอ้

ทักษะและกระบวนการ 2.1 2.2 2.3 กจิ กรรมทา้ ยบท/
ทางคณิตศาสตร์ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลาง คอรด์ ของ เส้นสัมผัส แบบฝึกหัด
และมมุ ในส่วน วงกลม ทา้ ยบท
โคง้ ของวงกลม วงกลม

การแก้ปัญหา ✤ ✤✤ ✤
การสอื่ สารและการสื่อความหมาย
ทางคณิตศาสตร์ ✤ ✤✤
การเชอื่ มโยง ✤ ✤✤ ✤
การใหเ้ หตผุ ล
การคดิ สร้างสรรค์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 91

ความเช่ือมโยงของความรู้

ความรูพ้นื ฐาน ✤ ส่วนต่าง ๆ ของวงกลม ไดแ้ ก่ เสน้ รอบวง เส้นผา่ นศนู ยก์ ลาง รศั มี และจุดศนู ย์กลาง
รวมถงึ ความเท่ากันทุกประการของวงกลม เพ่อื เป็นพนื้ ฐานในการเรียนรเู้ น้อื หาใหม่

✤ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลยี่ มเทา่ กบั 180° และผลรวมของขนาด
ของมุมภายในของรูปส่ีเหลี่ยมเท่ากับ 360° เพื่อเป็นพื้นฐานในการทำ�ความเข้าใจ
ทฤษฎีบทใหม่ ๆ และนำ�ไปใช้ในการอา้ งเหตุผล

✤ ความรเู้ กย่ี วกบั รปู สามเหลย่ี มทเ่ี กย่ี วขอ้ ง ไดแ้ ก่ ความเทา่ กนั ทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม
สมบตั ขิ องรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั และความคลา้ ยกนั ของรปู สามเหลย่ี มสองรปู เพอ่ื น�ำ ไป
ใช้ในการอ้างเหตผุ ล

ความรู ทฤษฎีบทเกย่ี วกับมมุ ท่ีจดุ ศูนย์กลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ในบทเรยี น ✤ ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการหรือในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมี

ขนาดเทา่ กัน ก็ต่อเม่อื ส่วนโคง้ ที่รองรบั มมุ ทจ่ี ุดศูนย์กลางนน้ั ยาวเท่ากัน
✤ ในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของ

มมุ ในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรบั ดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกัน
✤ ในวงกลมที่เท่ากนั ทุกประการหรอื ในวงกลมวงเดียวกนั มุมในส่วนโค้งของวงกลม

จะมีขนาดเทา่ กัน กต็ อ่ เม่อื ส่วนโคง้ ทร่ี องรับมมุ ท้งั สองน้นั ยาวเทา่ กนั
✤ มมุ ในครง่ึ วงกลมมีขนาด 90° หรอื หนึ่งมมุ ฉาก
✤ ถ้ารูปส่ีเหลี่ยมใด ๆ เป็นรูปส่ีเหล่ียมแนบในวงกลม แล้วผลบวกของขนาดของ

มุมตรงข้ามจะเท่ากับสองมมุ ฉาก

ทฤษฎบี ทเก่ียวกับคอร์ดของวงกลม
✤ ในวงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการหรอื ในวงกลมวงเดยี วกนั คอรด์ ทง้ั สองยาวจะเทา่ กนั

กต็ อ่ เมอ่ื คอรด์ ทง้ั สองตดั วงกลม แลว้ ท�ำ ใหส้ ว่ นโคง้ นอ้ ยยาวเทา่ กนั และสว่ นโคง้ ใหญ่

ยาวเทา่ กนั
✤ ส่วนของเส้นตรงซ่ึงผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และตัดกับคอร์ดที่ไม่ใช่

เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลาง จะแบง่ ครงึ่ คอรด์ กต็ อ่ เมอ่ื สว่ นของเสน้ ตรงนนั้ ตง้ั ฉากกบั คอรด์
✤ เสน้ ตรงทตี่ งั้ ฉากและแบง่ ครงึ่ คอรด์ ของวงกลม จะผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมนน้ั
✤ ในวงกลมวงเดยี วกนั คอรด์ สองเสน้ จะยาวเทา่ กนั กต็ อ่ เมอ่ื คอรด์ ทงั้ สองนนั้ อยหู่ า่ ง

จากจดุ ศนู ยก์ ลางเปน็ ระยะเท่ากนั

ทฤษฎบี ทเกยี่ วกับเส้นสัมผัสวงกลม
✤ เส้นสมั ผัสวงกลมจะตั้งฉากกับรศั มขี องวงกลมที่จดุ สัมผสั
✤ เสน้ ตรงทต่ี ง้ั ฉากกบั รศั มขี องวงกลมทจ่ี ดุ จดุ หนง่ึ บนวงกลม จะเปน็ เสน้ สมั ผสั วงกลม

ทจ่ี ดุ นน้ั
✤ ส่วนของเส้นตรง 2 เส้น ท่ีลากจากจุดจุดหนึ่งภายนอกวงกลมมาสัมผัสวงกลม

วงเดียวกัน จะยาวเทา่ กนั
✤ มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุดสัมผัส จะมีขนาดเท่ากับขนาดของ

มมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมทอ่ี ย่ตู รงขา้ มกบั คอร์ดน้ัน

ความรูในอนาคต การใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ทฤษฎบี ทของวงกลมในการเรยี นเนอ้ื หาอน่ื ๆ เชน่ เรขาคณติ วเิ คราะห์
นอกจากน้ี ยงั ใช้เปน็ พืน้ ฐานในการเรียนวิชาฟิสิกส์ เรื่อง การเคลือ่ นทแ่ี บบวงกลม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

92 บทท่ี 2 | วงกลม ค่มู ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ล�ำ ดบั การจดั กิจกรรมการเรยี นรู้ของบทเรียน

ทบทวนส่วนตา่ ง ๆ ของวงกลม ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรปู สามเหลี่ยมและรปู สเ่ี หลี่ยม
ความเทา่ กนั ทุกประการของรปู สามเหล่ยี ม สมบตั ขิ องรปู สามเหล่ียมหน้าจว่ั รวมถึงรปู สามเหลย่ี มท่คี ล้ายกนั

แนะน�ำ และให้ความหมายของส่วนต่าง ๆ ทเี่ กย่ี วข้องกบั วงกลม ไดแ้ ก่ ครึ่งวงกลม ส่วนโค้งของวงกลม
มมุ ท่จี ุดศูนย์กลาง มมุ ในสว่ นโค้งของวงกลม และมมุ ในคร่ึงวงกลม

แนะน�ำ ทฤษฎบี ทเก่ยี วกับมุมทจี่ ุดศูนย์กลางและมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม ซึ่งได้แก่ ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับ
ขนาดของมุมท่ีจุดศนู ย์กลางและความยาวของส่วนโค้งที่รองรับมมุ ขนาดของมมุ ที่จุดศนู ยก์ ลางและ
ขนาดของมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม ขนาดของมมุ ในส่วนโค้งของวงกลมและความยาวของสว่ นโค้งทีร่ องรับมมุ

ขนาดของมุมในครึ่งวงกลม และรูปสีเ่ หล่ียมแนบในวงกลม โดยใช้การส�ำ รวจจากการทำ�กจิ กรรม
ทีเ่ น้นให้ลงมอื ปฏบิ ัติ รวมทั้งการส�ำ รวจโดยใช้เทคโนโลยี และฝกึ การน�ำ ทฤษฎบี ทไปใชใ้ นการให้เหตผุ ล

และแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

แนะน�ำ และให้ความหมายเกย่ี วกบั คอร์ดของวงกลม

แนะนำ�ทฤษฎบี ทเกย่ี วกับคอรด์ ของวงกลม ซึง่ ไดแ้ ก่ ทฤษฎีบทเกีย่ วกบั ความยาวของคอร์ดและ
ความยาวของส่วนโคง้ ของวงกลม คอร์ดกับจุดศูนย์กลางของวงกลม และคอร์ดท่ยี าวเท่ากัน

โดยการพสิ จู น์และใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณิต รวมถงึ การส�ำ รวจโดยใชเ้ ทคโนโลยี
และฝึกการน�ำ ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

แนะน�ำ ความหมายของสว่ นต่าง ๆ ที่เกยี่ วขอ้ งกับเสน้ สัมผสั วงกลม ซง่ึ ไดแ้ ก่
เสน้ ตดั เสน้ สมั ผสั วงกลม และจดุ สัมผัส

แนะนำ�ทฤษฎีบทเกีย่ วกับเสน้ สมั ผัสวงกลม ไดแ้ ก่ ทฤษฎีบทเกย่ี วกบั เสน้ สัมผัสวงกลมและรัศมี
เส้นสมั ผสั วงกลมและคอรด์ ของวงกลม โดยใชก้ ารสำ�รวจจากการทำ�กจิ กรรม
การส�ำ รวจโดยใช้เทคโนโลยี รวมถงึ การใหเ้ หตผุ ลทางเรขาคณติ
และฝึกการนำ�ทฤษฎีบทไปใชใ้ นการให้เหตผุ ลและแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

สรปุ บทเรียนเร่อื งวงกลม และทำ�กิจกรรมท้ายบท รวมถงึ การท�ำ แบบฝึกหัดทา้ ยบท
เพอ่ื ฝกึ การน�ำ ความรไู้ ปใช้ในการใหเ้ หตุผลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 93

2.1 มุมทจี่ ดุ ศูนยก์ ลางและมุมในส่วนโค้งของวงกลม (6 ช่วั โมง)

จดุ ประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. อธบิ ายทฤษฎีบทเกี่ยวกบั มมุ ทจ่ี ุดศูนย์กลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
2. น�ำ ทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

ความเขา้ ใจท่ีคลาดเคล่ือน

1. นักเรียนอาจเข้าใจคลาดเคลื่อนว่า รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ ท่ีมีจุดยอดบางจุดไม่อยู่บนวงกลม เป็นรูปสี่เหล่ียมแนบใน
วงกลม เชน่

2. เมอื่ นกั เรียนไดเ้ รียนทฤษฎีบทเกย่ี วกบั รูปส่ีเหลี่ยมแนบในวงกลมแล้ว อาจทำ�ให้เข้าใจคลาดเคล่อื นเก่ยี วกับการหา
ขนาดของมุมภายในของรปู ส่เี หลี่ยม โดยเขา้ ใจว่าสามารถใช้ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั รปู สีเ่ หลยี่ มแนบในวงกลมมาชว่ ย
ในการหาได้ โดยไม่ไดค้ ำ�นงึ วา่ รปู ส่เี หลย่ี มนน้ั แนบในวงกลมหรอื ไม่ เชน่

B

A จาก ABCD อาจเขา้ ใจวา่ ˆA + ˆC = 180° และ ˆB +ˆD = 180°

C โดยไมไ่ ด้คำ�นงึ วา่ ABCD เปน็ รูปสเี่ หล่ยี มแนบในวงกลมหรอื ไม่

D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

94 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

สอ่ื ทีแ่ นะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

1. อุปกรณ์ของกิจกรรม : สำ�รวจมมุ ทจี่ ุดศนู ยก์ ลาง
2. อปุ กรณข์ องกจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ท่จี ดุ ศูนย์กลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม
3. อปุ กรณ์ของกิจกรรม : ส�ำ รวจรูปสเ่ี หลย่ี มแนบในวงกลม
4. ซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวขอ้ น้ี เป็นเร่ืองทฤษฎีบทของวงกลมที่เกยี่ วกับมุมทจี่ ุดศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโค้งของวงกลม ซึ่งนกั เรยี นจะไดท้ �ำ
กจิ กรรมเพอ่ื สร้างความร้ใู หมผ่ า่ นการลงมือปฏบิ ตั ิ รวมถึงการสำ�รวจโดยใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)
ท้ังนี้ การเรยี นเรื่องน้มี ุ่งให้นักเรียนเขา้ ใจทฤษฎบี ท และสามารถน�ำ ไปใชใ้ นการให้เหตุผลและแก้ปญั หาคณติ ศาสตร์ได้ แนวทาง
การจัดกิจกรรมการเรยี นรอู้ าจท�ำ ไดด้ ังนี้
1. ครใู ชก้ ารสนทนาเกย่ี วกบั สงิ่ ตา่ ง ๆ ในชวี ติ จรงิ ทมี่ ลี กั ษณะคลา้ ยวงกลม เพอ่ื เชอ่ื มโยงไปยงั วงกลมในทางคณติ ศาสตร์

และทบทวนสว่ นต่าง ๆ ของวงกลมท่นี ักเรียนรจู้ ักมาแล้ว
2. ครแู นะนำ�ให้นกั เรียนรูจ้ ักสว่ นต่าง ๆ ทเี่ ก่ียวขอ้ งกับวงกลมท่เี ปน็ พน้ื ฐานในการเรยี นหัวข้อน้ี ซง่ึ ได้แก่ ครึ่งวงกลม

สว่ นโคง้ ใหญ่ ส่วนโคง้ น้อย มุมทจ่ี ุดศนู ยก์ ลาง มุมในส่วนโค้งของวงกลม และมุมในคร่งึ วงกลม ทัง้ นี้ ครูอาจใช้
ชวนคดิ 2.1 ในหนงั สือเรียน หน้า 53 เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรียนเก่ยี วกับสว่ นต่าง ๆ ทเี่ กย่ี วขอ้ งกับ
วงกลม
3. ครูควรให้นักเรียนได้สำ�รวจ และสร้างข้อความคาดการณ์ โดยใช้ “กิจกรรม : สำ�รวจมุมที่จุดศูนย์กลาง” ใน
หนงั สือเรยี น หนา้ 54 และบทสนทนาระหวา่ งข้าวสวยและข้าวกลอ้ ง รวมทัง้ ชวนคดิ 2.2 และขอ้ ค�ำ ถามของ
ข้าวหอม ในหนังสือเรียน หน้า 55 เพ่ือนำ�ไปสู่การสรุปความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับ
ความยาวของสว่ นโคง้ ทีร่ องรับมุมนัน้ ดงั นี้
1) ในวงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ ถา้ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางมขี นาดเทา่ กนั แลว้ สว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั

จะยาวเท่ากนั
2) ในวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการ ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งน้ัน

จะมขี นาดเท่ากนั
3) ในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งท่ีรองรับมุมท่ีจุดศูนย์กลางน้ัน

จะยาวเทา่ กัน
4) ในวงกลมเดยี วกนั ถา้ สว่ นโคง้ ยาวเทา่ กนั แลว้ มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางทร่ี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ นน้ั จะมขี นาดเทา่ กนั
ท้ังน้ี การศกึ ษาทฤษฎบี ทเกย่ี วกับวงกลมภายหลงั จากน้ี จะศกึ ษาจากวงกลมเพียงวงเดียวเท่านั้น เน่อื งจาก

วงกลมสองวงทเี่ ทา่ กันทกุ ประการจะมีสมบัตติ า่ ง ๆ เหมอื นกัน เช่น เสน้ รอบวงยาวเทา่ กนั พ้นื ที่เท่ากนั ดงั นั้น
ในการศึกษาสมบัติเกี่ยวกับวงกลมจากวงกลมที่เท่ากันทุกประการสองวง จึงศึกษาจากวงกลมเพียงวงเดียวก็เป็น
การเพียงพอ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 95

4. ครูควรใหน้ กั เรยี นได้ส�ำ รวจ คาดการณ์ และสรปุ ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งขนาดของมมุ ท่จี ุดศนู ยก์ ลางกบั ขนาดของ
มุมในส่วนโค้งของวงกลมท่ีรองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน โดยใช้ “กิจกรรม : สำ�รวจมุมที่จุดศูนย์กลางและ
มมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 57 และอาจใชม้ มุ เทคโนโลยี ในหนงั สอื เรยี น หน้า 58 โดยดาวน์โหลด
สื่อสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพ่ือยืนยันข้อความคาดการณ์ที่ได้
ก่อนท่จี ะสรุปเป็นทฤษฎีบท

การสอนทฤษฎีบทเก่ียวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลมและส่วนโค้งที่รองรับมุม และทฤษฎีบทเก่ียวกับ
มมุ ในคร่งึ วงกลม จะใชท้ ฤษฎีบทท่เี รยี นมาแล้วในการพสิ ูจน์และให้เหตุผล

สำ�หรับทฤษฎีบทเกี่ยวกับรูปส่ีเหล่ียมแนบในวงกลม ครูควรให้นักเรียนได้สำ�รวจ คาดการณ์ และสรุป
ความสมั พนั ธข์ องขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี มแนบในวงกลม โดยใช้ “กจิ กรรม : ส�ำ รวจรปู สเ่ี หลย่ี มแนบใน
วงกลม” ในหนังสือเรียน หน้า 66 และอาจใช้มุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 67 โดยดาวน์โหลด
ส่ือสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพื่อยืนยันข้อความคาดการณ์ท่ีได้
กอ่ นทจี่ ะสรปุ เป็นทฤษฎีบท

5. เนอื่ งจากจดุ ประสงคข์ องบทเรยี นเนน้ ทกี่ ารน�ำ ทฤษฎบี ทไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ญั หา ดงั นนั้ แบบฝกึ หดั
ท่ีให้นักเรียนหาขนาดของมุมต่าง ๆ น้ัน มีเจตนาให้นักเรียนได้ฝึกการนำ�ทฤษฎีบทไปใช้ในการให้เหตุผล
จากการหาขนาดของมมุ ดังเช่นตวั อยา่ งที่ 1 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 61

ส�ำ หรบั แบบฝกึ หัด 2.1 ก ข้อ 5 เป็นโจทยเ์ กยี่ วกับรปู สี่เหลี่ยมแนบในวงกลม เจตนาใหน้ กั เรียนใชค้ วามรู้
เกยี่ วกบั ทฤษฎบี ททเ่ี รยี นมาแกป้ ญั หา โดยครอู าจใชแ้ บบฝกึ หดั ขอ้ นมี้ าอภปิ รายอกี ครง้ั หลงั จากทนี่ กั เรยี นไดเ้ รยี น
ทฤษฎีบทของวงกลมเก่ียวกับรูปสี่เหล่ียมแนบในวงกลมแล้ว เพื่อช้ีให้นักเรียนเห็นว่า ในการแก้ปัญหาหนึ่ง ๆ
อาจทำ�ไดห้ ลายวิธี

6. สำ�หรับทฤษฎีบทของวงกลมในเรื่องรูปสี่เหล่ียมแนบในวงกลม หนังสือเรียนจะไม่แสดงการพิสูจน์บทกลับของ
ทฤษฎบี ททก่ี ลา่ ววา่ “ถา้ ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี มใด ๆ เทา่ กบั สองมมุ ฉาก แลว้ รปู สเ่ี หลย่ี มนน้ั
จะเป็นรูปส่ีเหลี่ยมแนบในวงกลม” ไว้ให้ แต่สำ�หรับนักเรียนที่มีความสนใจ ครูอาจให้นักเรียนศึกษาด้วยตนเอง
โดยดาวนโ์ หลดบทพสิ จู นจ์ าก QR Code ทา้ ยบทสนทนาของขา้ วปนั้ และขา้ วหอม ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 68 ทง้ั น้ี
แนวคิดในการพิสูจน์จะเป็นการพิสูจน์ทางอ้อม ซึ่งแตกต่างจากการพิสูจน์ที่นักเรียนได้เคยเรียนรู้มา กล่าวคือ
ในการพิสูจน์บทกลับนี้จะพิสูจน์โดยสมมุติให้ผลท่ีต้องการพิสูจน์เป็นเท็จ แล้วให้เหตุผลจนเกิดข้อขัดแย้งกับส่ิงท่ี
กำ�หนดใหห้ รอื สงิ่ ทที่ ราบวา่ เปน็ จริง จงึ สรปุ ไดว้ า่ ผลทต่ี อ้ งการพสิ จู นเ์ ปน็ จรงิ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

96 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

กจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ทีจ่ ดุ ศนู ย์กลาง

กิจกรรมนี้ เป็นกจิ กรรมทใี่ หน้ กั เรียนได้ส�ำ รวจ คาดการณ์ และสรปุ ความสมั พันธร์ ะหวา่ งขนาดของมุมทีจ่ ุดศนู ย์กลางกบั
ความยาวของสว่ นโคง้ ทรี่ องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั โดยลงมอื ปฏบิ ตั จิ รงิ แลว้ น�ำ ขอ้ สรปุ ทไ่ี ดม้ าอภปิ รายรว่ มกนั โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์
และข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดังนี้

สอ่ื /อปุ กรณ์

1. กระดาษรูปวงกลมที่เท่ากนั ทุกประการ และกำ�หนดตำ�แหนง่ ของจุดศูนย์กลางมาให้ 1 แผ่น/คน
2. โพรแทรกเตอร์ หรือวงเวียน
3. กรรไกร

ขน้ั ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม

1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 5 คน และแจกกระดาษรูปวงกลมท่ีเท่ากันทุกประการให้นักเรียนทุกคน
จากนั้นให้นักเรียนแต่ละกลุ่มกำ�หนดขนาดของมุมที่น้อยกว่า 180° มาหนึ่งมุม เช่น 30°, 75°, 100°, 150°
หรืออาจใช้การพับกระดาษเพื่อก�ำ หนดขนาดของมุม

2. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะคนใชโ้ พรแทรกเตอร์ หรอื วงเวยี น สรา้ งมมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางลงบนกระดาษรปู วงกลม ใหม้ ขี นาดเทา่ กบั
ขนาดของมมุ ทก่ี ลมุ่ ก�ำ หนดขน้ึ โดยครอู าจแนะน�ำ ใหน้ กั เรยี นสรา้ งรศั มขี องวงกลมทจ่ี ะใชเ้ ปน็ แขนของมมุ แขนหนง่ึ กอ่ น
แลว้ จงึ ใช้โพรแทรกเตอรว์ ดั มุมเพอื่ สรา้ งมุมตามขนาดทกี่ �ำ หนด หรอื ในกรณีท่นี กั เรยี นใช้การพับกระดาษเพ่อื ก�ำ หนด
ขนาดของมมุ การสรา้ งมมุ ให้มขี นาดเทา่ กบั มุมดังกลา่ ว จะตอ้ งใช้วงเวยี นในการสร้าง

3. ครูใหน้ ักเรยี นแต่ละคนตัดมมุ ท่ีจุดศนู ยก์ ลางของกระดาษรูปวงกลม โดยใช้กรรไกรตดั ตามสว่ นของเสน้ ตรงท่เี ป็นรัศมี
ของวงกลม

4. ครูใหน้ กั เรียนในกลมุ่ แต่ละคนน�ำ กระดาษช้นิ ทตี่ ัดมาพจิ ารณารว่ มกนั โดยอาจน�ำ มาวางในลักษณะเดยี วกัน หรือวาง
ซ้อนทบั กัน เพื่อเปรียบเทยี บขนาดของมุม และความยาวของส่วนโคง้ ท่รี องรบั มมุ ทจี่ ดุ ศูนย์กลางนนั้

5. ครูให้นักเรียนในกลุ่มร่วมกันอภิปรายเก่ียวกับขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลาง และความยาวของส่วนโค้งท่ีรองรับมุม
ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั แลว้ ตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม จากนน้ั ครนู �ำ อภปิ รายเกย่ี วกบั ขอ้ ความคาดการณข์ องนกั เรยี นทง้ั ชน้ั
เพ่ือนำ�ไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับความยาวของส่วนโค้งท่ีรองรับมุม
เม่อื กำ�หนดวงกลมท่เี ท่ากนั ทุกประการมาให้

เฉลยค�ำ ถามท้ายกจิ กรรม : สำ�รวจมมุ ที่จดุ ศนู ย์กลาง

1. ส่วนโคง้ ของกระดาษทกุ ชิน้ ท่ตี ดั มาได้ของนักเรียนในกลมุ่ เดยี วกันยาวเทา่ กัน เพราะทบั กันไดส้ นิทพอดี
2. ถา้ วงกลมทเ่ี ทา่ กนั ทกุ ประการ มขี นาดของมมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางเทา่ กนั แลว้ สว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางนน้ั จะยาวเทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 97

กิจกรรม : สำ�รวจมมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม

กิจกรรมนี้ เป็นกิจกรรมที่ให้นักเรียนได้สำ�รวจ คาดการณ์ และสรุปความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลาง
กบั ขนาดของมุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมทร่ี องรับดว้ ยสว่ นโคง้ เดยี วกนั โดยลงมือปฏิบตั ิจรงิ แล้วน�ำ ขอ้ สรุปทีไ่ ด้ไปอภิปรายร่วมกัน
โดยมีส่อื /อปุ กรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี

ส่ือ/อปุ กรณ์

1. กระดาษรูปวงกลมขนาดแตกตา่ งกัน ท่ีกำ�หนดตำ�แหนง่ ของจดุ ศูนยก์ ลางมาให้ 5 แผน่ /กล่มุ
2. กรรไกร

ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครแู บง่ นกั เรยี นออกเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละ 5 คน และแจกกระดาษรปู วงกลมทม่ี ขี นาดแตกตา่ งกนั ใหน้ กั เรยี น คนละ 1 แผน่
2. ครูให้นักเรียนแต่ละคนสร้างมุมที่จุดศูนย์กลางให้มีขนาดเท่าใดก็ได้ลงบนกระดาษรูปวงกลม และสร้างมุมในส่วนโค้ง

ของวงกลมทรี่ องรบั ดว้ ยส่วนโคง้ เดยี วกันกบั ส่วนโคง้ ทร่ี องรบั มุมที่จุดศนู ย์กลางน้นั อยา่ งน้อยคนละ 3 มุม
3. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะคนตดั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางของกระดาษรปู วงกลมของตนเองออกมา โดยใชก้ รรไกรตดั ตามสว่ นของ

เส้นตรงที่เปน็ รัศมขี องวงกลม
4. ครูใหน้ กั เรียนน�ำ กระดาษช้ินท่ีตัดมาซง่ึ เป็นเซกเตอรข์ องวงกลม มาพบั คร่งึ มมุ ของเซกเตอร์นั้น แล้วนำ�ไปวางทาบกบั

มุมในส่วนโค้งของวงกลมท่ีสร้างข้ึนในข้อ 2 ทุกมุม เพื่อเปรียบเทียบขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับขนาดของ
มุมในส่วนโค้งของวงกลมท้งั สามมุม
5. ครูให้นักเรียนในกลุ่มร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับขนาดของมุมท่ีจุดศูนย์กลางกับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ทั้งสามมุมน้ัน แล้วตอบคำ�ถามท้ายกิจกรรม จากน้ันครูน�ำ อภิปรายเกี่ยวกับข้อความคาดการณ์ของนักเรียนท้ังชั้น
เพอ่ื นำ�ไปสู่ขอ้ สรุปเกีย่ วกับความสมั พันธร์ ะหวา่ งขนาดของมมุ ทจี่ ดุ ศนู ย์กลางกับขนาดของมุมในสว่ นโค้งของวงกลม

เฉลยค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม : ส�ำ รวจมมุ ทจ่ี ุดศนู ยก์ ลาง
และมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลม

1. ทับกนั สนทิ
2. เหมือนกัน กล่าวคอื มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ย์กลางที่พบั คร่ึงจะทับกับมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลมสนิทพอดี
3. ในวงกลมวงเดียวกัน มุมท่ีจุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วย

ส่วนโค้งเดยี วกัน
หรือ ในวงกลมวงเดยี วกนั มุมในส่วนโค้งของวงกลมจะมขี นาดเป็นครงึ่ หนง่ึ ของขนาดของมมุ ท่ีจุดศนู ยก์ ลางทีร่ องรบั

ดว้ ยส่วนโคง้ เดียวกนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

98 บทที่ 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

กิจกรรม : ส�ำ รวจรปู สเ่ี หลีย่ มแนบในวงกลม

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทใ่ี หน้ กั เรยี นไดส้ �ำ รวจ คาดการณ์ และสรปุ เกย่ี วกบั ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรปู สเ่ี หลย่ี ม
แนบในวงกลม โดยลงมอื ปฏบิ ตั จิ ริง แลว้ นำ�ขอ้ สรปุ ทไี่ ด้ไปอภิปรายรว่ มกนั โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และข้นั ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม
ดังนี้

ส่ือ/อุปกรณ์

1. กระดาษรปู วงกลมขนาดแตกต่างกนั ทกี่ ำ�หนดตำ�แหน่งของจุดศูนย์กลางมาให้ 5 แผน่ /กลุ่ม
2. กรรไกร

ขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครูแบง่ นกั เรียนออกเป็นกล่มุ กลุม่ ละ 5 คน และแจกกระดาษรูปวงกลมทม่ี ขี นาดแตกตา่ งกนั ใหน้ กั เรยี น คนละ 1 แผ่น
2. ครใู หน้ กั เรียนแตล่ ะคนสรา้ งรปู ส่ีเหลย่ี มใด ๆ ลงบนกระดาษรูปวงกลมโดยให้จดุ ยอดทั้งสอี่ ยูบ่ นวงกลม
3. ครูให้นักเรียนแต่ละคนตัดมุมของรูปส่ีเหลี่ยมออกมา 1 มุม แล้วนำ�มุมชิ้นที่ตัดมานั้น ไปต่อกับมุมท่ีอยู่ตรงข้ามกับ

มุมที่ตัดออกมา แล้วพจิ ารณาผลรวมของขนาดของมุมที่น�ำ มาตอ่ กนั
4. ครูให้นักเรียนในกลุ่มร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

แลว้ ตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรม จากนน้ั ครนู �ำ อภปิ รายเกยี่ วกบั ขอ้ ความคาดการณข์ องนกั เรยี นทงั้ ชน้ั เพอ่ื น�ำ ไปสขู่ อ้ สรปุ
เกี่ยวกบั ผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามของรปู ส่ีเหลยี่ มแนบในวงกลม

เฉลยคำ�ถามทา้ ยกิจกรรม : ส�ำ รวจรปู ส่เี หลยี่ มแนบในวงกลม

1. ผลรวมของขนาดของมุมท่ีได้น่าจะเท่ากับ 180° หรือสองมุมฉาก เพราะแขนของมุมท้ังสองท่ีไม่ใช่แขนท่ีร่วมกัน
อย่ใู นแนวเสน้ ตรงเดียวกัน

2. เหมือนกัน
3. ผลบวกของขนาดของมมุ ตรงขา้ มของรูปสเ่ี หลี่ยมแนบในวงกลม เท่ากบั 180° หรือสองมมุ ฉาก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี