คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น 299

2) ความน่าจะเป็นท่ปี ริมจะไดร้ ับประทานขนมปังสอดไสใ้ บเตยหรอื ไส้ครีม

เนือ่ งจาก ผลลัพธท์ ง้ั หมดท่เี กิดขึ้นจากการทดลองสุม่ มี 10 แบบ

และเหตกุ ารณท์ ปี่ รมิ จะได้รบั ประทานขนมปงั สอดไส้ใบเตยหรือไสค้ รีมมผี ลลพั ธ์

คอื บ, ค1, ค2, ค3
จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตกุ ารณ์ เป็น 4
ดังนน้ั ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เท่ากบั 1—40 หรอื –25

3) ความนา่ จะเปน็ ทีป่ ริมจะไมไ่ ด้รับประทานขนมปงั สอดไส้ขา้ วโพด

เนอื่ งจาก ผลลพั ธท์ ้ังหมดทีเ่ กิดขน้ึ จากการทดลองสุม่ มี 10 แบบ

และเหตุการณท์ ีป่ ริมจะไมไ่ ด้รับประทานขนมปังสอดไส้ข้าวโพดน้ัน มีผลลพั ธเ์ ช่นเดยี วกบั

เหตกุ ารณท์ ป่ี รมิ จะไดร้ บั ประทานขนมปงั สอดไสใ้ บเตยหรอื ไสค้ รมี

จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 4
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เทา่ กบั 1—40 หรอื –25

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถหาความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ทก่ี ำ�หนดให้

ขอ้ 3 นกั เรยี นสามารถน�ำ ความรูเ้ กี่ยวกบั ความนา่ จะเป็นไปใช้ในการแก้ปญั หา

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 6 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ เขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าค�ำ ตอบไม่ถูกต้อง

หรอื ไม่เขยี นแสดงแนวคดิ แต่หาคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

6. สมุ่ หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพส่ ำ�รับหนงึ่ จงหา (4 คะแนน)

1) ความน่าจะเป็นที่สมุ่ หยิบได้ไพ่ทีม่ หี น้าไพเ่ ปน็ ขา้ วหลามตดั

เนอื่ งจาก ผลลัพธท์ ั้งหมดที่เกิดขนึ้ จากการทดลองสมุ่ มี 52 แบบ

และเหตุการณท์ ีส่ ุ่มหยิบได้ไพ่ที่มหี น้าไพ่เปน็ ข้าวหลามตดั มีผลลัพธ์ คอื 2 3

4 5 6 7 8 9 10 J Q K A

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 13
ดังน้นั ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เทา่ กับ 51—23 หรอื 1–4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

300 บทที่ 4 | ความน่าจะเปน็ คูม่ ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

2) ความนา่ จะเปน็ ทส่ี ุ่มหยิบได้ไพ่ท่ีมีหน้าไพเ่ ป็น 5 ในชดุ โพดำ�

เน่อื งจาก ผลลัพธท์ ง้ั หมดทเี่ กดิ ข้นึ จากการทดลองสมุ่ มี 52 แบบ

และเหตกุ ารณท์ ่สี ่มุ หยบิ ได้ไพ่ทมี่ ีหน้าไพ่เป็น 5 ในชุดโพดำ� มีผลลพั ธ์ คอื 5

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธ์ของเหตกุ ารณ์ เป็น 1
ดังนน้ั ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 5—12

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถหาความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณท์ ่ีก�ำ หนดให้

ข้อ 3 นักเรียนสามารถน�ำ ความรเู้ ก่ียวกับความน่าจะเป็นไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ เขียนแสดงแนวคิด และหาคำ�ตอบถูกตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิด แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรอื ไมเ่ ขียนแสดงแนวคิด แตห่ าค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ และหาคำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

7. กิจกรรมสอยดาวของโรงเรียนแห่งหนึ่งมีการจัดทำ�สลากจำ�นวน 1,200 ใบ โดยให้นักเรียนเลือกได้คนละ 1 ใบ

เพื่อแลกรางวัล 1 ชิ้น รางวลั มีท้ังหมด 5 แบบ แบ่งเป็น

รางวัลที่ 1 จำ�นวน 50 ใบ

รางวัลที่ 2 จำ�นวน 150 ใบ

รางวัลที่ 3 จ�ำ นวน 200 ใบ

รางวลั ที่ 4 จ�ำ นวน 300 ใบ

รางวลั ท่ี 5 จ�ำ นวน 500 ใบ

ถ้านกั เรียนมาเลน่ กจิ กรรมสอยดาวเป็นคนแรก จงหา (8 คะแนน)

1) ความน่าจะเป็นทจี่ ะได้รางวลั ที่ 1

เนอ่ื งจาก ผลลพั ธ์ทง้ั หมดท่ีเกดิ ขน้ึ จากการทดลองสุ่ม มี 1,200 แบบ

จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธข์ องเหตุการณท์ จ่ี ะไดร้ างวัลท่ี 1 เปน็ 50

ดงั น้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั 50 หรอื 214
1,200

2) ความนา่ จะเปน็ ทจ่ี ะไดร้ างวลั ท่ี 2 หรือ 4

เนือ่ งจาก ผลลัพธ์ทั้งหมดท่เี กดิ ขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 1,200 แบบ

จะได้ จำ�นวนผลลพั ธข์ องเหตกุ ารณ์ทีจ่ ะไดร้ างวลั ที่ 2 หรอื 4 เป็น 450

ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กบั   1  4,25000 หรอื –38

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ความน่าจะเปน็ 301

3) ความน่าจะเปน็ ทีจ่ ะได้รางวัลท่ี 3 และ 5

เนื่องจาก ผลลพั ธท์ ้ังหมดทเ่ี กดิ ขนึ้ จากการทดลองสุม่ มี 1,200 แบบ

และจากการท่สี มุ่ จับสลาก 1 ใบ จะไดร้ บั รางวลั เพียงรางวลั เดยี วเทา่ นัน้

จึงไมม่ เี หตุการณ์ทีจ่ ะได้ท้ังรางวัลท่ี 3 และ 5

จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตกุ ารณ์ เปน็ 0

ดงั นน้ั ความนา่ จะเปน็ ของเหตุการณ์ เทา่ กบั 0 หรือ 0
1,200

4) ความน่าจะเปน็ ทจี่ ะไมไ่ ดร้ างวัลท่ี 1

เนอ่ื งจาก ผลลพั ธ์ทง้ั หมดที่เกดิ ขึน้ จากการทดลองสมุ่ มี 1,200 แบบ

และจากการที่สุม่ จบั สลาก 1 ใบ จะได้รบั รางวลั เพยี งรางวัลใดรางวลั หนง่ึ เท่าน้นั

ซึง่ ถ้าไมไ่ ด้รบั รางวลั ที่ 1 กจ็ ะต้องได้รบั รางวัลอน่ื ๆ อย่างแนน่ อน

จะได้ จ�ำ นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ เป็น 1,200 – 50 = 1,150

ดังน้ัน ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ เทา่ กบั 1,150 หรอื 23
1,200 24

8. ปรตี บิ รรจุเพลงของศลิ ปนิ 2 วง วงละ 5 เพลง ทีไ่ มซ่ ำ้�กันลงในแฟลชไดร์ฟตวั หนึ่ง ในงานเล้ียงวันปใี หม่ ปรตี ิตอ้ งการเปิด

เพลงจากแฟลชไดรฟ์ ตวั นผี้ า่ นซอฟตแ์ วรเ์ ลน่ เพลงซอฟตแ์ วรห์ นง่ึ ทสี่ ามารถระบไุ ดว้ า่ จะเลน่ เพลงแบบสมุ่ (ระบบจะสมุ่ เพลง

1 เพลง จากเพลงทงั้ หมด ทกุ ครงั้ ทจี่ ะเลน่ เพลงตอ่ ไป) หรอื เลน่ เพลงแบบวนซ�ำ้ (ระบบจะเลน่ เพลงตามล�ำ ดบั ตงั้ แตเ่ พลงแรก

จนถงึ เพลงสดุ ท้าย แล้ววนกลบั มาเล่นเพลงแรกอกี คร้ังหนึ่ง) จงหา (8 คะแนน)

แนวคิด กำ�หนดให้

A1, A2, A3, A4 และ A5 แทน เพลงของศลิ ปินวงที่ 1 ล�ำ ดับท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5 ตามลำ�ดบั
B1, B2, B3, B4 และ B5 แทน เพลงของศิลปินวงที่ 2 ลำ�ดบั ที่ 1, 2, 3, 4 และ 5 ตามล�ำ ดับ

1) ความนา่ จะเป็นทพ่ี ลเขา้ มาในงานขณะท่ีเพลงของศิลปินวงท่ี 1 กำ�ลงั เล่นอยู่ เม่ือปรตี ิเปดิ เลน่ เพลงแบบวนซ�ำ้

เน่อื งจาก ผลลัพธ์ทง้ั หมดที่เกิดขึ้นจากการทดลองสุ่ม มี 10 แบบ

และจากการทพ่ี ลเข้ามาในงานเลยี้ งเมือ่ ใดกไ็ ด้

ดงั นั้น จะมีเพลงของศลิ ปินวงใดวงหน่งึ เท่าน้ันทก่ี �ำ ลังเล่นอยู่ในขณะนัน้

ซ่งึ ในแฟลชไดรฟ์ มเี พลงของศลิ ปนิ วงท่ี 1 อยู่ 5 เพลง

จะได้ จำ�นวนผลลพั ธ์ของเหตุการณ์ เปน็ 5

ดงั นั้น ความนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ เท่ากับ 1—50 หรือ –12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

302 บทที่ 4 | ความนา่ จะเป็น คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2) ความนา่ จะเป็นที่นิกรเข้ามาในงาน แล้วไดฟ้ ังเพลงของศิลปินทงั้ สองวง เปน็ 2 เพลงแรก เม่อื ปรีติเปดิ เลน่ เพลง

แบบวนซ้�ำ

เนอื่ งจาก ผลลพั ธ์ท้งั หมดทเี่ กิดขึน้ จากการทดลองสุ่ม มี 10 แบบ คอื (A1, A2) , (A2, A3) ,
(A3, A4) , (A4, A5) , (A5, B1) , (B1, B2) , (B2, B3) , (B3, B4) , (B4, B5) , (B5, A1)
จะได้ จ�ำ นวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ เปน็ 2
ดงั น้ัน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ เท่ากบั 1—20 หรอื –15

แนวคดิ ในการแจกแจงผลลพั ธ์ ส�ำ หรบั ข้อ 3)–4)

เพลงที่ 2 A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5

เพลงท่ี 1

A1 (A1, A1) (A1, A2) (A1, A3) (A1, A4) (A1, A5) (A1, B1) (A1, B2) (A1, B3) (A1, B4) (A1, B5)
A2 (A2, A1) (A2, A2) (A2, A3) (A2, A4) (A2, A5) (A2, B1) (A2, B2) (A2, B3) (A2, B4) (A2, B5)
A3 (A3, A1) (A3, A2) (A3, A3) (A3, A4) (A3, A5) (A3, B1) (A3, B2) (A3, B3) (A3, B4) (A3, B5)
A4 (A4, A1) (A4, A2) (A4, A3) (A4, A4) (A4, A5) (A4, B1) (A4, B2) (A4, B3) (A4, B4) (A4, B5)
A5 (A5, A1) (A5, A2) (A5, A3) (A5, A4) (A5, A5) (A5, B1) (A5, B2) (A5, B3) (A5, B4) (A5, B5)
B1 (B1, A1) (B1, A2) (B1, A3) (B1, A4) (B1, A5) (B1, B1) (B1, B2) (B1, B3) (B1, B4) (B1, B5)
B2 (B2, A1) (B2, A2) (B2, A3) (B2, A4) (B2, A5) (B2, B1) (B2, B2) (B2, B3) (B2, B4) (B2, B5)
B3 (B3, A1) (B3, A2) (B3, A3) (B3, A4) (B3, A5) (B3, B1) (B3, B2) (B3, B3) (B3, B4) (B3, B5)
B4 (B4, A1) (B4, A2) (B4, A3) (B4, A4) (B4, A5) (B4, B1) (B4, B2) (B4, B3) (B4, B4) (B4, B5)
B5 (B5, A1) (B5, A2) (B5, A3) (B5, A4) (B5, A5) (B5, B1) (B5, B2) (B5, B3) (B5, B4) (B5, B5)

3) ความนา่ จะเป็นท่ี 2 เพลงแรก จะเป็นเพลงจากศลิ ปินต่างวงกัน เมอ่ื ปรีตเิ ปิดเลน่ เพลงแบบสุ่ม

เนือ่ งจาก ผลลพั ธท์ ้งั หมดท่ีเกิดขนึ้ จากการทดลองสุ่ม มี 100 แบบ

จะได้ จำ�นวนผลลพั ธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 50

ดังนนั้ ความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ เทา่ กับ 1—5000 หรอื –12

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ความนา่ จะเปน็ 303

4) ความนา่ จะเปน็ ท่ี 2 เพลงแรก จะเป็นเพลงจากศลิ ปินวงที่ 2 เพลงที่ 4 อย่อู ย่างนอ้ ย 1 เพลง เมอื่ ปรีตเิ ปิดเล่น

เพลงแบบส่มุ

เนือ่ งจาก ผลลัพธท์ ง้ั หมดท่เี กดิ ขน้ึ จากการทดลองสมุ่ มี 100 แบบ

จะได้ จำ�นวนผลลัพธข์ องเหตุการณ์ เปน็ 19

ดังนน้ั ความนา่ จะเป็นของเหตุการณ์ เทา่ กบั 1—1090

สำ�หรับข้อ 7–8

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรยี นสามารถหาความนา่ จะเป็นของเหตกุ ารณ์ทก่ี �ำ หนดให้

ขอ้ 3 นักเรียนสามารถนำ�ความรเู้ กยี่ วกบั ความนา่ จะเปน็ ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 8 คะแนน ข้อย่อยละ 2 คะแนน โดยมเี กณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังน้ี

✤ เขยี นแสดงแนวคิด และหาค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรือไม่เขียนแสดงแนวคิด แตห่ าค�ำ ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคิด และหาค�ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

304 บทท่ี 4 | ความนา่ จะเปน็ คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ 305

บทท่ี 5 อตั ราส่วนตรโี กณมิติ

ในบทอัตราส่วนตรโี กณมติ นิ ี้ ประกอบดว้ ยหัวขอ้ ยอ่ ย ดงั ตอ่ ไปนี้

5.1 ความหมายของอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 3 ชั่วโมง
5.2 อัตราส่วนตรีโกณมติ ิของมุมแหลม 3 ช่ัวโมง
5.3 การนำ�อัตราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใช้
ในการแกป้ ญั หา 4 ชว่ั โมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระที่ 2 การวัดและเรขาคณิต
มาตรฐาน ค 2.2 เข้าใจและวิเคราะห์รูปเรขาคณิต สมบัติของรูปเรขาคณิต ความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิต
และทฤษฎบี ททางเรขาคณติ และนำ�ไปใช้

ตัวชี้วดั

เขา้ ใจและใชค้ วามรู้เกี่ยวกับอตั ราสว่ นตรโี กณมิตใิ นการแก้ปัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ิตจรงิ

จดุ ประสงคข์ องบทเรียน

นักเรยี นสามารถ
1. เขา้ ใจความหมายและหาค่าของอตั ราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมุมแหลมขนาดต่าง ๆ
2. น�ำ ความรูเ้ ก่ยี วกับอัตราส่วนตรโี กณมิติไปใช้ในการแกป้ ัญหา

ความเชอื่ มโยงระหว่างตวั ชี้วัดกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั กลา่ วถงึ ความเขา้ ใจและการใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ใิ นการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตรแ์ ละปญั หา

ในชีวิตจรงิ ดงั นั้น เพือ่ ใหก้ ารเรียนร้ขู องนกั เรยี นในเรอื่ งอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิสอดคลอ้ งกบั ตวั ชวี้ ัด ครูควรจัดประสบการณใ์ ห้

นกั เรยี นสามารถ

1. เข้าใจเก่ียวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติ ซ่ึงสะท้อนได้จากการท่ีนักเรียนสามารถบอกความหมายและหาค่าของไซน์

โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมมุ แหลมจากรูปสามเหลย่ี มมุมฉาก หาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา

60 องศา และ 45 องศา รวมถึงหาค่าของอตั ราสว่ นตรีโกณมิตขิ องมุมแหลมขนาดตา่ ง ๆ จากตารางแสดงคา่ ของ

อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

306 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2. ใช้ความรูเ้ ก่ยี วกบั อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตรแ์ ละปัญหาในชวี ิตจรงิ ซ่ึงสะท้อนได้จากการที่
นักเรียนสามารถแปลงปญั หาในชีวติ จริงใหเ้ ปน็ แบบจำ�ลองทางเรขาคณติ แลว้ ใช้ความรเู้ รือ่ งอัตราส่วนตรโี กณมิติ
มาช่วยในการแกป้ ญั หาดังกล่าว

ความคิดรวบยอดของบทเรยี น

อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นอัตราส่วนของความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากท่ีสัมพันธ์กับขนาดของมุม ซ่ึงเม่ือ
ทราบขนาดของมุมและความยาวของด้านใดด้านหน่ึงของรปู สามเหลีย่ มมุมฉากแล้ว จะสามารถน�ำ ไปใช้ในการหาความยาวของ
ด้านอ่นื ๆ ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากนั้นได้ เราสามารถแกป้ ญั หาหรือสถานการณต์ า่ ง ๆ ในชวี ติ จริง โดยเฉพาะปญั หาทเี่ กยี่ วขอ้ ง
กับระยะทางหรือความสูง โดยแปลงปัญหาให้เป็นแบบจำ�ลองทางเรขาคณิต แล้วใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติมาช่วยใน
การแกป้ ัญหา

ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

หวั ข้อ

ทกั ษะและ 5.1 5.2 5.3 กิจกรรม
กระบวนการทาง ความหมายของ อตั ราสว่ น การนำ�อัตราสว่ น ท้ายบท/
ตรีโกณมติ ิ แบบฝกึ หัด
คณิตศาสตร์ อัตราสว่ น ของมุมแหลม ตรโี กณมติ ิ ทา้ ยบท
ตรโี กณมติ ิ ไปใช้ใน
การแก้ปญั หา ✤
การสอื่ สารและ การแกป้ ัญหา
การสอ่ื ความหมายทาง
คณิตศาสตร์ ✤✤
การเช่ือมโยง
การให้เหตุผล ✤✤
การคิดสรา้ งสรรค์
✤✤✤
✤✤

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 307

ความเช่ือมโยงของความรู้

ความรพู น้ื ฐาน ✤ รปู สามเหลย่ี มทค่ี ลา้ ยกนั เพอ่ื ใชใ้ นการพสิ จู นว์ า่ ส�ำ หรบั รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากใด ๆ
อตั ราสว่ นตรโี กณมิติเดียวกนั ของมุมทมี่ ขี นาดเท่ากัน จะมีค่าเทา่ กนั

✤ อตั ราสว่ นทเ่ี ทา่ กนั เพอื่ เปน็ พน้ื ฐานในการเปรยี บเทยี บคา่ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ อง
รูปสามเหลี่ยมมุมฉากทีค่ ล้ายกนั

✤ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพ่ือใช้ในการหาค่าอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30°, 45°
และ 60°

✤ จำ�นวนอตรรกยะ เช่น การหาค่าประมาณของ √2 , √3 เพ่ือเป็นพ้ืนฐาน
ในการค�ำ นวณหาค�ำ ตอบจากคา่ อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ

✤ ความหมายของไซน์ (sine) โคไซน์ (cosine) และแทนเจนต์ (tangent) ของ
มมุ แหลมของรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก

ในรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABC ทม่ี มี มุ C เปน็ มมุ ฉาก และมมี มุ A เปน็ มมุ แหลม

sin A =   ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A  
ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

ความรู co s A =    ความยาวของด้านประชดิ มมุ A   
ในบทเรียน ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

tan A =   คคววาามมยยาาววขขอองงดด้าา้ นนตปรรงะขชา้ ดิ มมมุมมุ A 
A

✤ อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม คือ ค่าของ sin A, cos A และ tan A
เมือ่ 0° < A < 90°

◆ สำ�หรับกรณีที่ A มีค่าเท่ากับ 30°, 45° หรือ 60° ค่าของอัตราส่วน
ตรโี กณมติ สิ ามารถหาไดจ้ ากการพจิ ารณารปู สามเหลย่ี มโดยใชท้ ฤษฎบี ท
พีทาโกรัส และสมบัติบางประการของรูปสามเหล่ียมด้านเท่าและ
รปู สามเหล่ียมหนา้ จัว่

◆ สำ�หรับกรณีท่ี A เป็นมุมแหลมอื่น ๆ ค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
อาจหาได้จากตารางแสดงค่าอตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ

✤ การน�ำ อตั ราส่วนตรโี กณมิตไิ ปใชใ้ นการแกป้ ญั หา จะตอ้ งแปลงปัญหาในชวี ติ จรงิ
ใหเ้ ปน็ แบบจ�ำ ลองทางเรขาคณติ จากนน้ั จงึ เลอื กใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ทิ เ่ี หมาะสม
ในการแกป้ ัญหา

ความรใู นอนาคต อัตราส่วนตรีโกณมิติเป็นพ้ืนฐานสำ�คัญในการเรียนรู้เร่ืองฟังก์ชันตรีโกณมิติ
เวกเตอรใ์ นปรภิ มู สิ ามมติ ิ การเขยี นจ�ำ นวนเชงิ ซอ้ นในรปู เชงิ ขว้ั การค�ำ นวณหาขนาด
ของแรงยอ่ ยในวิชาฟิสิกส์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

308 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คู่มอื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ล�ำ ดบั การจัดกจิ กรรมการเรียนร้ขู องบทเรียน

ทบทวนความรูเ้ รื่องรปู สามเหลยี่ มท่ีคลา้ ยกัน ทฤษฎีบทพที าโกรัส และจำ�นวนอตรรกยะ

แนะน�ำ ความหมายของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์
และทำ�กจิ กรรมเพ่อื สรปุ เกย่ี วกบั สมบตั ิของอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ขิ องมมุ ท่ีมขี นาดเทา่ กนั

พร้อมกับฝกึ หาคา่ ของอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิของมุมแหลมจากรปู สามเหลี่ยมมุมฉาก

อภปิ รายและให้เหตผุ ลเพอ่ื หาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมมุ ทม่ี ขี นาด 30°, 60° และ 45°
จากรูปสามเหล่ียมดา้ นเท่า และรปู สามเหลยี่ มมุมฉากหนา้ จ่ัว

แนะนำ�วธิ กี ารหาค่าของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ขิ องมมุ แหลมขนาดอนื่ ๆ จากตาราง
และอภปิ รายเกย่ี วกบั ค่าของอัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ เมอื่ ขนาดของมมุ เพมิ่ ขึน้ หรอื ลดลง

สนทนาเก่ียวกับการใช้อัตราสว่ นตรโี กณมิตใิ นการแก้ปัญหาและสถานการณ์ตา่ ง ๆ ในชีวติ จริง
จากนัน้ ทำ�กิจกรรมเพอื่ ให้เข้าใจถงึ วธิ กี ารนำ�อัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแกป้ ัญหาในชีวิตจริง

และฝกึ ใช้ความรเู้ ก่ยี วกับอัตราส่วนตรโี กณมติ ิในการแก้ปญั หาจากสถานการณต์ า่ ง ๆ

สรุปบทเรียนเร่อื ง อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ
และฝกึ แก้ปญั หาโดยทำ�กิจกรรมทา้ ยบทและแบบฝกึ หดั ท้ายบท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมิติ 309

5.1 ความหมายของอัตราสว่ นตรโี กณมิติ (3 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. บอกความหมายของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ของมุมแหลมจากรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก
2. หาค่าของอัตราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ แหลมจากรปู สามเหลย่ี มมุมฉาก

ความเข้าใจที่คลาดเคล่อื น

-


ส่ือที่แนะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

1. อปุ กรณข์ องกจิ กรรม : สบื เสาะสมบตั พิ เิ ศษ
2. ซอฟตแ์ วร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP)

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเร่ืองเก่ียวกับอัตราส่วนระหว่างความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่ึงประกอบด้วยไซน์ (sine)
โคไซน์ (cosine) และแทนเจนต์ (tangent) ครคู วรให้นกั เรียนทำ�กิจกรรมเพ่อื สำ�รวจ สังเกต สร้างขอ้ ความคาดการณ์ ซ่ึงน�ำ ไป
สู่ขอ้ สรปุ เกยี่ วกับสมบตั ขิ องอตั ราสว่ นตรีโกณมิติ แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรียนรอู้ าจท�ำ ได้ดงั น้ี
1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับคำ�ว่า “ตรีโกณมิติ” และยกตัวอย่างสถานการณ์ท่ีใช้ความรู้ทางตรีโกณมิติเป็น

เคร่อื งมอื ในการแก้ปญั หา เพือ่ ให้นักเรยี นเห็นประโยชนข์ องตรโี กณมติ ิ
2. ครแู นะน�ำ ใหน้ กั เรยี นรจู้ กั อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ทิ ง้ั หกแบบ ซงึ่ ในบทเรยี นนี้ นกั เรยี นจะไดเ้ รยี นรเู้ พยี งสามแบบ ไดแ้ ก่

ไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ทง้ั น้ี ในการหาคา่ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ แิ บบตา่ ง ๆ ครคู วรเนน้ ใหน้ กั เรยี นระบใุ หช้ ดั เจน
ว่ากำ�ลังกล่าวถึงอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมใด จากนั้น ให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : สืบเสาะสมบัติพิเศษ”
ในหนังสอื เรียน หน้า 209–210 โดยใหน้ กั เรยี นได้ลงมือปฏบิ ตั เิ พื่อส�ำ รวจและสร้างขอ้ ความคาดการณ์เก่ยี วกบั
อตั ราสว่ นของความยาวของดา้ นของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากทง้ั สามแบบ ซง่ึ จะน�ำ ไปสขู่ อ้ สรปุ วา่ ส�ำ หรบั รปู สามเหลยี่ ม
มุมฉากใด ๆ อตั ราส่วนตรโี กณมิติเดียวกันของมุมทม่ี ีขนาดเทา่ กันจะมีค่าเทา่ กัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

310 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ทั้งนี้ จากการทำ�กิจกรรม หากพบว่าค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุมท่ีมีขนาดเท่ากัน มีค่า
ไมเ่ ทา่ กนั ครคู วรใชก้ ารอภปิ รายเพอ่ื ชใ้ี หเ้ หน็ วา่ ความคลาดเคลอ่ื นทเ่ี กดิ ขน้ึ อาจมาจากการสรา้ งและการวดั ความยาว
ของดา้ นของรูปสามเหล่ยี ม

ในการทำ� “กิจกรรม : สืบเสาะสมบัติพิเศษ” ข้างต้นน้ี ครูอาจให้นักเรียนสร้างและสำ�รวจรูปสามเหล่ียม
มมุ ฉากในลกั ษณะอน่ื ๆ เพมิ่ เตมิ โดยใชซ้ อฟตแ์ วร์ The Geometerʼs Sketchpad (GSP) เพอื่ ส�ำ รวจรปู สามเหลยี่ ม
มมุ ฉากท่หี ลากหลาย และยืนยันข้อความคาดการณท์ สี่ ร้างใหม้ คี วามนา่ เช่ือถอื มากขน้ึ

3. ครูทบทวนเร่ืองรูปสามเหลี่ยมท่ีคล้ายกัน เพื่อใช้ในการอภิปรายร่วมกับนักเรียนเก่ียวกับการพิสูจน์ว่า “สำ�หรับ
รปู สามเหล่ียมมุมฉากใด ๆ อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิเดียวกันของมุมทม่ี ีขนาดเท่ากนั จะมคี ่าเทา่ กนั ”

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมิติ 311

กจิ กรรม : สืบเสาะสมบัตพิ เิ ศษ

กจิ กรรมนี้ มงุ่ ใหน้ กั เรยี นไดล้ งมอื ปฏบิ ตั เิ พอื่ ส�ำ รวจและสรา้ งขอ้ ความคาดการณเ์ กย่ี วกบั ความสมั พนั ธข์ องคา่ ของอตั ราสว่ น
ตรีโกณมิติจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน เพ่ือนำ�ไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับสมบัติของอัตราส่วนตรีโกณมิติ โดยมีส่ือ/อุปกรณ์
และข้นั ตอนการดำ�เนินกิจกรรม ดงั นี้

สือ่ /อปุ กรณ์

1. ไมบ้ รรทัด
2. โพรแทรกเตอร์
3. เครื่องคิดเลข

ขนั้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครูแบ่งนักเรียนออกเป็น 3 กลุ่ม แล้วให้นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันทำ� “กิจกรรม : สืบเสาะสมบัติพิเศษ” ใน
หนงั สอื เรยี น หนา้ 209–210

2. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ สงั เกต เปรยี บเทยี บ และอภปิ รายเกยี่ วกบั คา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ใิ นรปู ทศนยิ มทไี่ ดจ้ าก
ตาราง

3. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรปุ ข้อสังเกตทไี่ ด้จากกจิ กรรม

เฉลยกจิ กรรม : สืบเสาะสมบตั ิพิเศษ

3. คา่ ของอัตราสว่ นตรโี กณมิติทีไ่ ด้จากนกั เรียนแตล่ ะคนในกลุม่ อาจแตกตา่ งกนั แต่ควรมคี ่าใกล้เคียงกัน
4. ข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม A ท่ีได้คือ “อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกันของมุม A มีค่า

เทา่ กัน”
5. ขอ้ ความคาดการณด์ งั กล่าวยงั คงเหมอื นเดิม คอื “อัตราส่วนตรีโกณมิติเดียวกนั ของมุม A มคี ่าเท่ากัน”

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

312 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยชวนคิด

ชวนคดิ 5.1

มุมหรอื อัตราส่วนตรโี กณมิติ ในแตล่ ะขอ้ มีความสัมพันธ์กันดังน้ี

ipst .me/ 114 44 1. ผลบวกของขนาดของมมุ A และ มมุ B เท่ากับ 90 องศา

หรอื มุม A เป็นมมุ ประกอบมุมฉากของมมุ B

หรอื มมุ B เป็นมมุ ประกอบมุมฉากของมุม A

2. sin A = cos B

3. cos A = sin B

4. ta n A =    1   
tan B

5. ta n A = sin A
cos A

ชวนคิด 5.2

J

ipst.me/11409

A B C D E F GHI

กำ�หนดให้ ˆA = 10° , ˆB = 20° , ˆC = 30° , ˆD = 40° , ˆE = 50° , ˆF = 60° , ˆG = 70° และ ˆH = 80°

1. จากรปู จะไดว้ ่า tan 10° = A—IJI , tan 20° = —BIJI , tan 30° = —CIJI , ... , tan 80° = —HIJI

เนือ่ งจาก AI > BI > CI > … > HI

จะไดว้ ่า A—IJI < —BIJI < —CIJI < … < —HIJI
ดังนั้น tan 10° < tan 20° < tan 30° < ... < tan 80°

นั่นคือ สามารถเรยี งลาํ ดับค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติจากนอ้ ยไปมากตามลำ�ดับได้ดงั น้ี

tan 1° , tan 2° , tan 3° , … , tan 88° , tan 89°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 313

2. จากรปู จะไดว้ า่ sin 10° = A—IJJ , sin 20° = —BIJJ , sin 30° = —CIJJ , ... , sin 80° = H—IJJ
เนอื่ งจาก AJ > BJ > CJ > … > HJ

จะไดว้ ่า A—IJJ < —BIJJ < —CIJJ < … < H—IJJ
ดังนั้น sin 10° < sin 20° < sin 30° < ... < sin 80°

น่ันคือ สามารถเรยี งลาํ ดบั คา่ ของอัตราส่วนตรโี กณมติ ิจากน้อยไปมากตามล�ำ ดับไดด้ งั น้ี

sin 1°, sin 2°, sin 3°, … , sin 88°, sin 89°

3. เน่อื งจาก ถา้ A + B = 90° แล้ว sin A = cos B
จะไดว้ า่ sin 10° = cos 80° , sin 20° = cos 70° , sin 30° = cos 60° , … , sin 80° = cos 10°

เนือ่ งจาก sin 10° < sin 20° < sin 30° < ... < sin 80°

จะได้วา่ cos 80° < cos 70° < cos 60° < ... < cos 10°

น่ันคอื สามารถเรยี งลาํ ดับค่าของอัตราสว่ นตรีโกณมติ จิ ากน้อยไปมากตามล�ำ ดับไดด้ ังนี้

cos 89° , cos 88° , cos 87° , … , cos 2° , cos 1°

เฉลยแบบฝกึ หัด

แบบฝึกหดั 5.1

1. Y sin X = 34—..65 = 4–5 หรือ 0.8
2.7 cos X = 24—..75 = 3–5 หรือ 0.6
X tan X = 32—..67 = 4–3
4.5 3.6 sin Z = 24—..75 = –35
Z cos Z = 34—..65 = –45
tan Z = 23—..76 = 3–4

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

314 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2. P sin SˆPQ = 7—1.22 = –35
cos SˆRQ = 5—9.4 = 3–5
tan SˆQR = 57—..42 = 3–4
9.6 sin RˆPQ = 1—95 = –35
cos PˆQS = 7—1.22 = –35
12 S tan PˆRQ = 1—92 = 4–3
7.2 5.4




Q 9 R

3. 1) DˆCA 2) AˆBD 3) CˆAD
4) CˆAD 5) DˆAB 6) DˆAB

4. R แนวคิด จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได ้ PR2 = 8.12 + 10.82

= 182.25

8.1 PR = 13.5 หน่วย

ดงั นนั้ sin P – tan R = 1—83..15 – 1—80..18 = - 11—15

Q
10.8
P

5. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปัญหาไดด้ ังน้ี
C จากภาพ จะได้ tan A = —A10B


เนือ่ งจาก tan A = 2

ดังนั้น 2 = —A10B

10 จะได ้ AB = 5 หน่วย

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได้ AC2 = 52 + 102 = 125

AC = 5√5

A B ดังน้ัน sin A =    10    =    2    = 2√5
5√5 √5 5

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 315

6. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแกป้ ัญหาไดด้ งั น้ี —R5P

จากภาพ จะได ้ cos P = √2
2
R

เนื่องจาก cos P =

ดงั น้นั √22 = —R5P

จะได้ RP = √—102 = 10√2 = 5√2 หนว่ ย
2
จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้ QR2 = (5√2)2 – 52 = 25


P 5 Q QR = 5

ดงั นน้ั tan R = –55 = 1

7. แนวคิด 1 เนือ่ งจาก ΔJKL เป็นรปู สามเหลีย่ มหน้าจ่ัวทีม่ มี ุม JLK เปน็ มมุ ฉาก L

จะได้ KL = LJ = 16 หน่วย และ JˆKL = KˆJL = 45° 45°

พิจารณารูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก JKL 16 M 16

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได ้ JK2 = 162 + 162 = 512 L 45°

JK = 16√2 หนว่ ย 45° 45° K

จากสมบตั ขิ องรปู สามเหลี่ยมหน้าจวั่ JKL จะได้ J M 16

MK = J—2K = 16√2 = 8√2 หน่วย 45°
2
K
เน่อื งจากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก MKL มี MˆKL = 45° จะได้ว่า KˆLM = 45°

ดังนน้ั รูปสามเหลีย่ มมุมฉาก MKL เปน็ รปู สามเหลี่ยมหนา้ จั่ว

นัน่ คือ LM = MK = 8√2 หนว่ ย

ดงั น้ัน sin MˆKL = 8√2 = √2
16 2

แนวคิด 2 เนอื่ งจาก ΔJKL เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จั่วที่มมี ุม JLK เปน็ มมุ ฉาก

จะได้ LK = LJ = 16 หน่วย และ JˆKL = KˆJL = 45°

พจิ ารณารปู สามเหลีย่ มมุมฉาก LMK 16

จะได้ MˆKL = MˆLK = 45° และ LM = MK 45°

จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส จะได้ LK2 = LM2 + MK2 J

162 = LM2 + LM2

256 = 2LM2

LM2 = 128
LM = 8√2 หนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

316 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คูม่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ด งั นน้ั sin MˆK L = 8√2 = √2
16 2

แนวคิด 3 เนื่องจาก ΔJKL เปน็ รูปสามเหลย่ี มหนา้ จัว่ ท่มี ี JˆLK เปน็ มมุ ฉาก L
M
จะได้ KL = LJ = 16 หน่วย 16 16
พจิ ารณารปู สามเหล่ียมมุมฉาก JKL K

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ JK2 = 162 + 162 = 512

JK = 16√2 หนว่ ย J

หากให้ LJ เปน็ ฐานของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก JKL จะได้ KL เปน็ ส่วนสูง

ดงั นนั้ พ้นื ที่ของ ΔJKL = –12(16)(16) ตารางหน่วย

แต่ถ้าให้ JK เป็นฐานของรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก JKL จะได้ LM เปน็ ส่วนสงู

ดงั นั้น พนื้ ทขี่ อง ΔJKL = –12(16√2)(LM) ตารางหนว่ ย

1–2(16)(16) = 1–2(16√2)(LM)

LM =  16  หนว่ ย
√2

sin MˆKL =  16  = —√162 × 1—16 = —√12 = √—22
ดังนน้ั
√2
16

8. แนวคิด เนอื่ งจาก ΔACD มีพืน้ ท่ี 60 ตารางหนว่ ย
60 = –12 × AC × 12
จะได้ D

ดงั น้ัน AC = 10

นัน่ คือ tan CˆDA = CA—DC = 11—02 = 5–6 12

เนอ่ื งจากจุด B เปน็ จุดก่งึ กลางของ AC

จะได ้ BC = 5

พิจารณา ΔBCD

จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั จะได ้ DB2 = 52 + 122 = 169

DB = 13 หน่วย ABC

ดงั นนั้ cos DˆBC = —DBCB = 1—53

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ 317

5.2 อัตราสว่ นตรโี กณมิตขิ องมมุ แหลม (3 ชัว่ โมง)

จดุ ประสงค์

นกั เรยี นสามารถ
1. บอกคา่ ของอตั ราส่วนตรโี กณมิตขิ องมมุ 30° , 45° และ 60°
2. หาคา่ ของอตั ราส่วนตรโี กณมิติของมุมแหลมขนาดต่าง ๆ จากตาราง
3. น�ำ ความรู้เกยี่ วกบั อัตราส่วนตรีโกณมติ ิไปใช้ในการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

ความเข้าใจทีค่ ลาดเคลอื่ น

-

สอ่ื ทแ่ี นะนำ�ใหใ้ ชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้

1. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก
2. ใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรียนรู้

ในหัวข้อนี้ เป็นเรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม ซ่ึงนักเรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม
ทม่ี ขี นาด 30° , 45° และ 60° และอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ แหลมขนาดตา่ ง ๆ จากตาราง ตลอดจนการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์
โดยใชอ้ ัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจทำ�ได้ดังน ี้
1. ครูทบทวนเก่ียวกับสมบัติของรูปสามเหล่ียมด้านเท่า รูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว และทฤษฎีบทพีทาโกรัส จากน้ัน

ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเกี่ยวกับการหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมท่ีมีขนาด 30 องศา และ
60 องศา จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และการหาค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่มีขนาด 45 องศา
จากรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากหน้าจัว่ ในหนังสอื เรยี น หน้า 218–219 โดยมีแนวทางในการให้เหตุผลแตล่ ะข้อ ดงั น้ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

318 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

มมุ ทีม่ ีขนาด 30° และ 60° จากรปู กำ�หนดให้ ΔABC เป็นรูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ ทีม่ ี AB = 2 หนว่ ย
และ D เป็นจดุ ก่งึ กลางของ AC
B

2

A DC

ขอ้ ที่ ขอ้ ความ เหตผุ ล

1 AD = 1 หน่วย จุด D เป็นจดุ กง่ึ กลางของ AC และ AC = AB = 2 หน่วย
2 BD = √3 หน่วย
ทฤษฎีบทพที าโกรัส
3 AˆBD = 30°
สมบตั ขิ องรปู สามเหล่ียมหนา้ จ่วั ทว่ี า่ “เส้นท่ลี ากจากมมุ ยอดของ
รปู สามเหลี่ยมหนา้ จวั่ มาต้งั ฉากกับฐาน จะแบง่ คร่ึงมมุ ยอดของ
รูปสามเหลย่ี มหน้าจ่วั ”

4 sin 30° = 1–2 sin 30° = ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ 30°
ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

5 c os 3 0° = √3 cos 30° =  ความยาวของด้านประชิดมมุ 30°
2 ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก

6 tan 3 0° = 1    tan 3 0° = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม 30°
√3 ความยาวของดา้ นประชดิ มุม 30°

7 ˆA = 60° มุมภายในแต่ละมมุ ของรูปสามเหล่ยี มด้านเทา่ มขี นาดเทา่ กบั 60°

8 s in 6 0° = √3 sin 60° = ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ 60°
2  ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก

9 cos 60° = 1–2 cos 60° = ความยาวของดา้ นประชดิ มุม 60°
ความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก

10 tan 60° = √3 t an 60 ° =  คคววาามมยยาาววขขอองงดดา้ ้านนตปรรงะขช้าิดมมมุมุม 60°
60°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 319

มมุ ท่ีมีขนาด 45°

C

จากรปู ก�ำ หนดให้ ΔABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากหนา้ จวั่ ทมี่ ี AB = 1 หนว่ ย

A 1B

ขอ้ ที่ ข้อความ เหตผุ ล

1 BC = 1 หน่วย ด้านประกอบมมุ ยอดของรปู สามเหลีย่ มหน้าจ่ัวยาวเทา่ กนั
และ AB = 1 หนว่ ย

2 AC = √2 หน่วย ทฤษฎีบทพที าโกรัส

3 ˆA = 45° มมุ ทฐี่ านของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มขี นาดเทา่ กนั และ ˆA +ˆC = 90°

4 sin 4 5° = 1 sin 4 5° = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม 45°
√2 ความยาวของด้านตรงข้ามมมุ ฉาก

5 c os 4 5° = 1 c os 4 5° = ความยาวของดา้ นประชิดมุม 45°
√2 ความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉาก

6 tan 45° = 1 tan 45° = ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม 45°
ความยาวของด้านประชดิ มมุ 45°

2. ครอู าจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก” ในคมู่ ือครู หน้า 320–322 เพ่อื ฝึกการบอกค่าของอัตราส่วน
ตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30° , 45° และ 60°

3. ครแู นะน�ำ การหาคา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ องมมุ แหลมขนาดอน่ื ๆ โดยใชต้ ารางแสดงคา่ ของอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ
จากตารางในหนงั สือเรยี น หน้า 226–227 ครูอาจใหน้ กั เรียนสังเกตค่าของไซนแ์ ละโคไซนข์ องมุมที่มีขนาดอยู่
ระหว่าง 0° และ 90° จากตาราง ซึง่ จะเห็นว่า ค่าของไซน์และโคไซน์มีคา่ อยู่ระหว่าง 0 และ 1 และเมือ่ ขนาด
ของมุมเพ่ิมมากขึ้น ค่าของไซน์และแทนเจนต์จะมีค่าเพิ่มมากข้ึนด้วย แต่ในทางกลับกัน เม่ือขนาดของมุม
เพมิ่ มากขนึ้ คา่ ของโคไซนจ์ ะมีคา่ ลดลง

4. ครูอาจใช้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ ” ในคู่มือครู หนา้ 323–325 เพอื่ ฝกึ ทกั ษะการประมาณคา่
ขนาดของมุมแหลมขนาดอื่น ๆ ของรูปสามเหล่ียมมุมฉากโดยใช้ตารางแสดงค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติ
ของมุมแหลม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

320 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่เน้นให้นักเรียนได้ฝึกความคล่องในการบอกค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 30° , 45°
และ 60° โดยมสี อ่ื /อุปกรณ์ และข้ันตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม ดงั น ้ี

สือ่ /อุปกรณ์

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก

ข้ันตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม

1. ครใู ห้นักเรยี นแตล่ ะคนท�ำ ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก
2. ครูใหน้ ักเรยี นช่วยกันเฉลยค�ำ ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 321

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก

สายฟ้าต้องการหาเส้นทางเพ่ือไปท่ีสวนสนุก โดยสายฟ้าจะต้องเลือกเส้นทางที่เป็น
คำ�ตอบของกระเบ้ืองปริศนาท่ีตนเองยืนอยู่ เพ่ือนำ�ไปสู่กระเบื้องปริศนาถัดไป ให้นักเรียน
ชว่ ยสายฟ้าหาทางออกไปยงั สวนสนกุ


เร่มิ ตน้

sin 30° 1–2 cos 45° √2 tan 30° √—13 (cos 45°)2
√3
—√23 —√12 —√12 √—23 3–4 1–2

cos 60 ° 1–2 (t an 30°)2 √3 4 sin 45 ° 2√2 tan 60°
tan 30°

√—23 1–3 √—13 3 4√2 –13 3

2 sin 3 0° 2 (tan 60°) 2 √3 sin 3300°° —√13 sin 30°
cos sin 60°
1 3 1–2 1–2 √—33
√—23 √3

3 tan 45° 3√2 cos 30° √—23 sin 3405°° 1–2
tan

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

322 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ก : หาทางออก


เริม่ ต้น

sin 30° –12 cos 45° √2 tan 30° √—13 (cos 45°)2
√3
√—23 —√12 —√12 √—23 3–4 –12
tan 60°
cos 60 ° –12 (t an 30°)2 √3 4 sin 45 ° 2√2 tan 30°

√—23 –13 √—13 3 4√2 –13 3
sin 30°
2 sin 3 0° 2 (tan 60°) 2 √3 sin 3300°° —√13 sin 60°
cos
√—33 √3
1 3 1–2 –12 √—23
1–2
3 tan 45° 3√2 cos 30° √—23 sin 3405°°
tan

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ 323

กจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเ่ี นน้ ใหน้ กั เรยี นฝกึ ทกั ษะการประมาณคา่ ขนาดของมมุ แหลมจากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากทก่ี �ำ หนดให้
โดยใช้ค่าของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ จากตารางแสดงค่าของอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมแหลม โดยมีสื่อ/อุปกรณ์ และ
ขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดงั น ี้

สือ่ /อุปกรณ์

1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ
2. ตารางแสดงคา่ ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ในหนังสอื เรียน หน้า 226–227

ข้ันตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครูใหน้ ักเรียนแตล่ ะคนทำ�ใบกิจกรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ
2. ครูสุ่มนักเรยี นออกมาเฉลยค�ำ ตอบ พรอ้ มทั้งอธบิ ายวิธคี ดิ และการได้มาซง่ึ ค�ำ ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

324 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ คมู่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมุม

จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากที่กำ�หนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าประมาณของขนาดของมุม A (ตอบเป็นจำ�นวน
เต็มหน่วย)

1. แนวคดิ

18
9

A ตอบ
2. แนวคิด
A
20 5

14 ตอบ
แนวคดิ
3.

A

15

ตอบ
4. แนวคิด

5 12 A
20
ตอบ
5. แนวคดิ

A 6

ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 325

เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 5.2 ข : ขนาดของมมุ

จากรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีกำ�หนดให้ต่อไปนี้ จงหาค่าประมาณของขนาดของมุม A (ตอบเป็นจำ�นวน
เตม็ หน่วย)

1. แนวคดิ เนอ่ื งจาก sin A = 1—98 = 0.5

9 18 จากตาราง sin 30° = 0.5

ดังนั้น ˆA = 30°

A ตอบ 30°

2. A แนวคิด เนื่องจาก cos A = 2—50 = 0.25
cos 76° ≈ 0.242
20 จากตาราง

5 ดงั นน้ั ˆA ≈ 76°

ตอบ 76°

3. A 14 แนวคดิ เนื่องจาก cos A = 11—45 = 0.933

จากตาราง cos 21° ≈ 0.934

15 ดังนนั้ ˆA ≈ 21°

ตอบ 21°

4. A แนวคดิ เนอ่ื งจาก tan A = 1—52 = 0.417

จากตาราง tan 23° ≈ 0.425

5 12 ดังน้ัน ˆA ≈ 23°

ตอบ 23°

5. 20 แนวคดิ เนอื่ งจาก sin A = 2—60 = 0.3

A จากตาราง sin 17° ≈ 0.292

6 ดงั นัน้ ˆA ≈ 17°

ตอบ 17°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

326 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ คู่มือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยชวนคิด

ชวนคิด 5.3

นักเรียนสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหล่ียม ABC โดยพิจารณาว่า AC หรือ CB เป็นฐานของ

ipst.me/11446 รูปสามเหลยี่ มได้ ดงั นี้

✤ การหาพ้นื ทขี่ อง ΔABC โดยพจิ ารณาวา่ AC เปน็ ฐานของรูปสามเหลย่ี ม

แนวคดิ ถา้ ให้ AC เปน็ ฐานของ ΔABC สว่ นสงู ของรปู สามเหลย่ี มสามารถสรา้ งไดจ้ ากการลาก BE

ต้ังฉากกับ AC ให้จุดต้ังฉากคือ จุด E จากนนั้ จึงใช้อตั ราสว่ นตรีโกณมิตเิ พ่อื หา BE

C
E

39° 15 B
A

พิจารณา ΔAEB จะได้ sin 39° = B1—5E

BE = 15 sin 39°

≈ 15 × 0.629

≈ 9.435

ดังน้นั พ้นื ท่ขี องรปู สามเหล่ียม ABC = 1–2 × AC × BE

≈ 1–2 × 16.6 × 9.435
≈ 78.311

นน่ั คือ พน้ื ที่ของรปู สามเหลีย่ ม ABC ประมาณ 78.311 ตารางหน่วย

✤ การหาพน้ื ทข่ี อง ΔABC โดยพจิ ารณาวา่ BC เปน็ ฐานของรปู สามเหลย่ี ม

แนวคิด ถ้าให้ BC เป็นฐานของ ΔABC ต้องทราบความยาวของฐานและความสูง ซง่ึ สว่ นสงู ของ

รปู สามเหลี่ยมสามารถสร้างได้จากการลาก AF ตงั้ ฉากกบั BC ให้จดุ ตั้งฉากคือ จุด F

จากนั้นจงึ หาขนาดของ AˆBC หรอื AˆCB แลว้ จงึ ใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ขิ อง AˆBC หรอื
AˆCB เพอ่ื หา AF

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 327

C C
E

16.6

39° 15 B 39° 15 F
A A B

รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2

สำ�หรบั ความยาวของฐาน หรือ BC จำ�เปน็ ต้องอาศยั รปู จากกรณที ่ีใช้ AC เป็นฐาน เพอ่ื หา AE, EC

และ BC ตามลำ�ดับ ดังนี้ จะได ้ cos 39° = A—15E
จากรูปที่ 1 พจิ ารณา ΔAEB AE =
15 cos 39°

≈ 15 × 0.777

≈ 11.655

เนื่องจาก EC = AC – AE

≈ 16.6 – 11.655

≈ 4.945

พจิ ารณา ΔBEC โดยทฤษฎีบทพีทาโกรสั

จะได ้ BC2 = BE2 + EC2

≈ 9.4352 + 4.9452

≈ 113.472

ดังนนั้ BC ≈ 10.652

เนื่อง จาก co s BˆC E = —EBCC =   4.945   ≈ 0.464
10.652

และ cos 62° ≈ 0.470

ดงั นน้ั BˆCE ≈ 62° และ AˆBC ≈ 79°

จากรปู ที่ 2 เนือ่ งจาก AˆBF = AˆBC = 79° —A15F

พจิ ารณา ΔAFB จะได้ sin 79° = 15 sin
AF =
79°

≈ 15 × 0.982

≈ 14.73

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

328 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ ค่มู ือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ดงั น้นั พนื้ ทข่ี องรปู สามเหลีย่ ม ABC = –12 × BC × AF

≈ –12 × 10.652 × 14.73

≈ 78.452

น่ันคือ พ้นื ท่ีของรปู สามเหลีย่ ม ABC ประมาณ 78.452 ตารางหนว่ ย

ชวนคิด 5.4

แนวคิด พจิ ารณาการหาพน้ื ทข่ี องรปู หา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ สบิ เหลยี่ มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ และยสี่ บิ เหลย่ี ม

ipst.me/11447 ดา้ นเทา่ มมุ เทา่ ดงั รปู ท่ี 1–3 ต่อไปน้ี เพ่อื หาสูตรทใ่ี ชใ้ นการหาพ้นื ทข่ี องรปู n เหลย่ี มดา้ นเทา่

มุมเท่า

รปู 1 เป็นรูปห้าเหล่ยี มด้านเทา่ มุมเท่าทีแ่ นบในวงกลมที่มีรัศมี 1 หน่วย

C

A 72° D
B

พิจารณา ΔABC ในรปู ห้าเหล่ียมดา้ นเทา่ มุมเทา่

จะ ได้ B ˆAC = 360 = 72°
5

ดังน้ัน BˆAD = 36°

จะได้ BD = sin 36° และ AD = cos 36°

และ BC = 2BD = 2 sin 36°

ดงั น้นั พ้นื ทข่ี องรูปสามเหลยี่ ม ABC = 1–2 × BC × AD
= –12 × 2 sin 36° × cos 36°
= (sin 36°)(cos 36°)

จะได้ พ้ืนท่ขี องรูปห้าเหลย่ี มดา้ นเท่ามมุ เท่าทแ่ี นบในวงกลมทม่ี รี ัศมี 1 หนว่ ย

= 5(sin 36°)(cos 36°)
≈ 5 × 0.588 × 0.809

≈ 2.37846 ตารางหนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ 329

รปู 2 เป็นรูปสิบเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่าทแี่ นบในวงกลมท่มี รี ศั มี 1 หนว่ ย

36° C
D
A B

พิจารณา ΔABC ในรปู สบิ เหลี่ยมด้านเทา่ มุมเทา่

จะ ได ้ B ˆAC = 360 = 36°
10

ดังน้ัน BˆAD = 18°

จะได ้ BD = sin 18° และ AD = cos 18°

และ BC = 2BD = 2 sin 18°

ดงั นั้น พนื้ ทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม ABC = –12 × BC × AD
= 1–2 × 2 sin 18° × cos 18°
= (sin 18°)(cos 18°)

จะได้ พืน้ ท่ีของรูปสิบเหลี่ยมดา้ นเท่ามุมเท่าทแี่ นบในวงกลมท่มี ีรัศมี 1 หนว่ ย

= 10(sin 18°)(cos 18°)

≈ 2.93859 ตารางหนว่ ย

รูป 3 เป็นรปู ยสี่ บิ เหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเท่าท่แี นบในวงกลมที่มรี ัศมี 1 หน่วย

A 18° C
D
B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

330 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมิติ คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

พิจารณา ΔABC ในรูปยี่สิบเหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเทา่

จะ ได้ B ˆAC = 360 = 18°
20

ดงั น้นั BˆAD = 9°

จะได ้ BD = sin 9° และ AD = cos 9°

และ BC = 2BD = 2 sin 9°

ดงั น้ัน พ้นื ทข่ี องรปู สามเหล่ยี ม ABC = –12 × BC × AD
= 1–2 × 2 sin 9° × cos 9° = (sin 9°)(cos 9°)

จะได้ พนื้ ทีข่ องรูปยสี่ บิ เหลี่ยมด้านเทา่ มมุ เทา่ ทแี่ นบในวงกลมท่มี รี ัศมี 1 หน่วย

= 20(sin 9°)(cos 9°)

≈ 3.08256 ตารางหนว่ ย

จากการพจิ ารณาแบบรูปที่ใชใ้ นการหาพื้นท่ีใน รปู 1 ถึงรูป 3 ข้างตน้ จะได้วา่ สตู รในการหาพื้นทีข่ อง

( ) ( ) รูป n เ หลย่ี มด ้านเทา่ มมุ เทา่ ทแ่ี นบในวงกลมที่มีรศั มี 1 หน่วย เท่ากบัn×sin180°×cos180 °
n n

ดังนน้ั พื้นทีข่ องรปู หนงึ่ หม่ืนเหลี่ยมด้านเทา่ มมุ เทา่ ทีแ่ นบในวงกลมที่มรี ศั มี 1 หนว่ ย

= 10,000 × sin 0.018° × cos 0.018°

≈ 3.141592447

เม่อื เปรียบเทียบพ้นื ท่ขี องรูปหน่งึ หม่นื เหล่ยี มด้านเท่ามุมเท่าท่แี นบในวงกลมท่มี ีรัศมี 1 หน่วย กับค่า
ของ π ซง่ึ คา่ ประมาณของ π ถงึ ทศนยิ มตาํ แหนง่ ท่ี 8 คอื 3.14159265 จะพบวา่ พน้ื ทข่ี องรปู หนง่ึ หมน่ื เหลย่ี ม
ดา้ นเท่ามุมเทา่ ทแ่ี นบในวงกลมท่ีมีรศั มี 1 หน่วย มีค่าเขา้ ใกล้คา่ ของ π โดยถกู ต้องถงึ ทศนิยมตำ�แหนง่ ที่ 6

เฉลยแบบฝกึ หดั

แบบฝึกหดั 5.2 ก

1. 1) sin 30° – cos 60° = –12 – 1–2 = 0
 √  23    + √3
2) s in 60° + cos 3 0° =    2    = √3

( ) 3) tan 45° – (sin 60°)2= 1– √3 2 = 1– 3–4 = 1–4
   2  

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ 331

( ) ( ) ( ) 4) √3 cos 3 0° + √2 co s 45° + √2  sin 45° = √3 √3 + √2 √2 + √2 √2
   2       2       2   

= –32 + 2–2 + –22
= –72

( ) 5) (cos13 0°)2 – (tan 30°) 2 =   √  13    2 –    1    2
( )    2   √3

= ––314 – 1–3


= 4–3 – 1–3

= 1

60°)2 + cos 60° + sin√245° = (√3)2 + 1–2 + √2
6) (tan √3 √3 2
√2

= 3 +      1      + –12
2√3
( ) =
3+ 2    √ 1 3      × √3 + 1–2
√3

= 3 + √3 + –12
   6   

= 21 + √3
     6     

2. 1) แนวคดิ จากรปู จะได ้ sin 45° = 5–x
 √  12    = 5–x
x = 5√2 หนว่ ย

ดังนัน้ tan 45° = 5–y x 5
1 = –5y 45°
จากรปู จะได ้
y = 5 หน่วย y


ดงั นั้น

หมายเหตุ นักเรียนอาจหาค่า y โดยใช้สมบัติของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จวั่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

332 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คู่มือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

2) แ นวคิด จากรปู จะได้ cos 6 0° =     x    
13√2

–12 =     x     13 2
13√2
y 60°
ดงั น้นั x = 13√2 หน่วย x
    2     หนว่ ย

จากรปู จะได ้ sin 6 0° =     y    
13√2

√3 =     y    
   2   13√2

ดังนนั้ y = 13√6
    2    

3. แนวคดิ เนือ่ งจาก ΔACO เป็นรูปสามเหล่ียมหนา้ จัว่ C

และ DˆAO = 30° จะได้ DˆCO = 30° D2
O
พิจารณา ΔDCO จะได ้ cos 30° = ­OC—DC A 30°
√   23   = CD B
2

ดังน้ัน CD = √3 หนว่ ย

4. แนวคดิ พจิ ารณารูปสามเหล่ียมมุมฉาก CBD

จะได้ tan 30° = C—24D C
 √  33     = C—24D

ดงั นน้ั CD = 8√3 หนว่ ย 30°

เนอ่ื งจาก ΔACD มีพืน้ ที่ 32√39 ตารางหน่วย A D 24 B

ดงั นั้น 32√39 = 1–2 × AD × 8√3
AD = 8√13 หน่วย

พิจารณารูปสามเหล่ียมมุมฉาก ACD
โดยทฤษฎีบทพที าโกรสั จะได ้ AC2 = AD2 + CD2

= (8√13)2 + (8√3)2

= 1,024

ดงั นนั้ AC = 32 หนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ 333

5. แนวคิด พจิ ารณา ΔABD จะได้ sin 60° = AB—DD E 42
√   32     = B—4D D

4

ดังนนั้ BD = 2√3 หนว่ ย

60° B C

A

พจิ ารณา ΔBEC เนอ่ื งจาก ∆BEC เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉากหนา้ จ่ัว ดังนั้น BˆCE = 45°

จะได้ sin 45° = —BCEE
 √  22    =    BE   
4√2

ดงั นัน้ BE = 4 หนว่ ย

นั่นคอื DE = BE – BD = 4 – 2√3 หน่วย

6. แนวคิด ลาก AD ตั้งฉากกับ OB ท่จี ดุ D จะได้ AˆDO = 90°

พจิ ารณารปู สามเหลี่ยมมุมฉาก ADO

จะได ้ sin 30° = AA—OD 30° A
1–2 = A—10D DB
O

AD = 5 หน่วย

ดงั นัน้ พนื้ ทข่ี องรูปสามเหล่ยี ม ABO = 1–2 × BO × AD
= –12 × 10 × 5

= 25 ตารางหนว่ ย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

334 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

7. แนวคดิ

AB CD

0.6 ม. 1.6 ม. 0.8 ม.

J 0.2 ม. E
GF
0.4 ม.

IH

ตอ่ BC และ HG ออกไปทงั้ สองข้าง
จากจุด J และจดุ E ลากเสน้ ไปต้ังฉากกบั �BC ทจ่ี ุด A และจดุ D ตามล�ำ ดบั
และให้ �JA , �ED ตัดกบั �HG ทจ่ี ุด I และจุด F ตามล�ำ ดบั ดงั รปู

จะได้ ˆI = ˆF = 90° ดว้ ย

เน่ืองจากกำ�หนดมุมภายในแต่ละมุมของรูปหกเหลย่ี มมีขนาดเทา่ กบั 120°

ดงั น้ัน มมุ ทร่ี ะบายด้วยสีเขยี วมีขนาดเทา่ กับ 60° และมุมท่รี ะบายด้วยสชี มพูมขี นาดเท่ากับ 30°

พจิ ารณารูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก ABJ

เนื่องจาก sin 30° = A—BBJ
จะได้ –12 = —0A.B6

ดังนน้ั AB = 0.3

เนอ่ื งจาก sin 60° = A—BJJ
จะได ้
√   23     = —0A.6J

ดังน้ัน AJ = 0.3√3

เนอ่ื งจาก พ้นื ทรี่ ปู สามเหล่ยี ม ABJ = –12 × AB × AJ
จะได ้ พน้ื ทีร่ ปู สามเหลีย่ ม ABJ = 1–2 × 0.3 × 0.3√3
0.09√3
=     2    

= 9√3 ตารางเมตร
200

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 335

เน่ืองจากโจทยก์ ำ�หนดความยาวของดา้ นตรงข้ามมุมฉากของ ∆CDE , ∆EFG , ∆HIJ
ในท�ำ นองเดยี วกนั กบั การหาพ้นื ที่ ∆ABJ

จะได้ CD = 0.4 , DE = 0.4√3

และ พื้นท ่ี ∆CD E = 1–2 × 0.4 × 0.4√3 = 2√3 ตารางเมตร
   25   

EF = 0.1√3 , FG = 0.1

และ พน้ื ท ี่ ∆EF G = 1–2 × 0.1 × 0.1√3 = √3 ตารางเมตร
200

HI = 0.2 , IJ = 0.2√3

และ พ้ืนท ่ี ∆HI J = 1–2 × 0.2 × 0.2√3 = √3 ตารางเมตร
 50 

เนอื่ งจาก พน้ื ทรี่ ูปหกเหลย่ี ม BCEGHJ

= พนื้ ที่ ■ADFI – พืน้ ที่ ΔABJ – พ้นื ท่ี ΔCDE – พนื้ ท่ี ΔEFG – พ้นื ท่ี ΔHIJ

ตอ่ ไปจึงหา พืน้ ที่ ■ADFI

AI = AJ + JI = 0.3√3 + 0.2√3 = 0.5√3

IF = IH + HG + GF = 0.2 + 1.6 + 0.1 = 1.9

และ พ้นื ท ี่ ■AD FI = (0.5√3)(1.9) = 19√3 ตารางเมตร
     20    
( ) ดังน ั้น พ ้ืนทรี่ ูปหกเหล่ยี ม BCEGHJ = 1     92√0 3    – 9 2√030   +  2 2√53   +  2      √030   + √503 
4√3
=      5    

≈ 1.39 ตารางเมตร

ดงั นน้ั บ่อเลี้ยงปลาสว่ นท่ีจะใสน่ ้ำ�ใหล้ ึก 1 เมตร มคี วามจปุ ระมาณ 1.39 × 1 = 1.39 ลกู บาศก์เมตร

นัน่ คือ พราวคี วรจะสัง่ ซ้อื น�ำ้ ทะเลมาประมาณ 1.39 ลกู บาศกเ์ มตร

แบบฝกึ หดั 5.2 ข

1. 1) แนวคิด จากรูป จะได ้ sin 70° = Q—5R
QR = 5 sin 70°
Q
70°
จากตาราง sin 70° ≈ 0.940 P

ดงั นนั้ QR ≈ 4.7 หน่วย

จากรปู จะได ้ cos 70° = P—5Q 5 R

PQ = 5 cos 70°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

336 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

จากตาราง cos 70° ≈ 0.342

ดังนั้น PQ ≈ 1.71 หนว่ ย
หน่วย
2) แ นวคิด จากร ปู จะได ้ sin 5 2° = 19.7 หนว่ ย P
PR 19.7
Q
P R =     19.7    
sin 52°

จากตาราง sin 52° ≈ 0.788

ดังนั้น PR ≈ 25

จาก รปู จะไ ด้ tan 52° = 19.7 R 52°
QR

Q R =     19.7    
tan 52°

จากตาราง tan 52° ≈ 1.280

ดังนั้น QR ≈ 15.39

2. แนวคิด จากรูป สร้างส่วนสงู PM บนฐาน GN ของรูปสเ่ี หล่ียมขนมเปยี กปูน PONG

พิจารณา รปู สามเหลย่ี ม PMG P O
N
จะได้ sin 67° = P—6M

PM = 6 sin 67° 6
sin 67° ≈ 0.921
จากตาราง

ดงั นน้ั PM ≈ 5.526 หนว่ ย 67° M
G
นน่ั คือ รปู ส่ีเหลยี่ มขนมเปยี กปูน PONG มพี ืน้ ที่

ประมาณ 6 × 5.526 = 33.156 ตารางหนว่ ย

3. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพได้ดังน้ี
จากรูปจะได ้ sin 27° = A—10B
B
10
A B =        10        C
sin 27°

จากตาราง sin 27° ≈ 0.454

ดังนนั้ AB ≈ 22.026 หนว่ ย

จากรูปจะได้ tan 27° = C—1A0 27°
A
C A =        10       
tan 27°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 337

จากตาราง tan 27° ≈ 0.510

ดังนัน้ CA ≈ 19.608 หนว่ ย

นน่ั คอื ∆ABC มคี วามยาวรอบรูปประมาณ 10 + 22.026 + 19.608 = 51.634 หน่วย

4. แนวคิด ให้รปู สี่เหลีย่ มคางหมู PRST มีสว่ นสงู ยาว h หนว่ ย ดังรปู

พจิ ารณา ΔQTS 15.1
20
จะได ้ cos TˆS Q = = 0.755 30
Q
จากตาราง cos 41° ≈ 0.755 P R
h 15.1
ดังน้นั TˆSQ ≈ 41°

พจิ ารณา ΔUSQ

จะได ้ sin 4 1° = h TU S
15.1

h = 15.1 sin 41° 20

จากตาราง sin 41° ≈ 0.656

ดังนนั้ h ≈ 9.906 หน่วย
น่นั คอื รปู ส่เี หลี่ยมคางหมู PRST มพี ื้นทป่ี ระมาณ 1–2 × (30 + 20) × 9.906 = 247.65 ตารางหน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

338 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ คมู่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

5.3 การน�ำ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใชใ้ นการแกป้ ญั หา (4 ชว่ั โมง)

จุดประสงค์

นกั เรยี นสามารถนำ�ความรู้เกีย่ วกับอัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปญั หาในชีวติ จริง

ความเขา้ ใจท่ีคลาดเคลอ่ื น

-

สื่อทแี่ นะนำ�ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรียนรู้

อุปกรณ์ของกจิ กรรม : สงู เท่าใดกันนะ

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

ในหวั ขอ้ น้ี เป็นเรอ่ื งการนำ�ความรู้เกีย่ วกบั อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ไิ ปใช้ในการแกป้ ญั หาต่าง ๆ ทน่ี ักเรียนอาจพบได้ในชวี ิต
ประจำ�วันหรือในส่ิงแวดล้อมรอบตัว ทำ�ให้นักเรียนเห็นการใช้งานของอัตราส่วนตรีโกณมิติในชีวิตจริง ซ่ึงเป็นการเรียนรู้อย่างมี
ความหมาย ครคู วรฝกึ ใหน้ กั เรยี นสรา้ งแบบจ�ำ ลองทางเรขาคณติ แทนปญั หาหรอื สถานการณท์ จ่ี ะน�ำ ไปสกู่ ารใชอ้ ตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ
ในการแกป้ ญั หา ซงึ่ ในกระบวนการดงั กลา่ ว นกั เรยี นจะไดพ้ ฒั นาความสามารถในการนกึ ภาพ และการใชต้ วั แทนทางคณติ ศาสตร์
แทนปญั หา แนวทางการจัดกจิ กรรมการเรียนรอู้ าจท�ำ ได้ดังนี้
1. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั สนทนาเกย่ี วกบั สถานการณใ์ นชวี ติ จรงิ ทเี่ กยี่ วขอ้ งกบั การใชค้ วามรเู้ รอ่ื งอตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ

ในการแก้ปัญหา เช่น การหาความสูงของตึก การหาความกวา้ งของคลอง และตัวอย่างอื่น ๆ ท่นี ักเรยี นสามารถ
นึกภาพตามได้ เพ่อื กระต้นุ ความสนใจให้นักเรยี นคิดหาวธิ กี ารแกป้ ญั หาโดยใชค้ วามรเู้ รอื่ งอตั ราส่วนตรีโกณมิติ
จากนั้น ให้นกั เรียนฝึกการนึกภาพเกย่ี วกับสถานการณ์ทีก่ ำ�หนดให้ และวาดภาพจำ�ลอง เพ่ือวิเคราะห์และ
ทำ�ความเข้าใจปัญหา ซ่ึงจะช่วยให้นักเรียนเห็นแนวทางการแก้ปัญหาได้ง่ายข้ึน ท้ังน้ี เมื่อวาดภาพจำ�ลองแทน
สถานการณ์แล้ว ครคู วรฝึกใหน้ ักเรียนพิจารณาว่า จะต้องใชอ้ ตั ราสว่ นตรีโกณมิติใดในการแก้ปัญหา
2. ครูอธิบายเก่ียวกับมุมก้มและมุมเงย โดยเน้นย้ำ�ให้นักเรียนเข้าใจเกี่ยวกับมุมท่ีเกิดจากการมองเมื่อเทียบกับ
แนวเส้นระดับสายตา ซง่ึ จะชว่ ยให้นักเรียนวาดภาพจ�ำ ลองแทนสถานการณ์ต่าง ๆ ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง
3. ครูให้นกั เรยี นทำ� “กจิ กรรม : สูงเทา่ ใดกันนะ” ในหนังสอื เรยี น หนา้ 234–235 เพ่อื ให้นกั เรยี นเขา้ ใจวิธีการน�ำ
อัตราส่วนตรีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหาต่าง ๆ ท่ีมักพบในชีวิตจริง เช่น การหาความสูงของหลังคาของ
อาคารเรียน หรอื ยอดเสาธง หากพบวา่ ความสงู ของต�ำ แหน่งที่ตอ้ งการจะวัดท่แี ตล่ ะกลุ่มหาได้แตกต่างกนั ครคู วร
เปิดโอกาสให้นักเรียนแตล่ ะกลุม่ รว่ มกันแกป้ ัญหาเพื่อสรปุ ความสงู ของต�ำ แหนง่ ท่ตี ้องการจะวดั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ 339

กิจกรรม : สงู เทา่ ใดกนั นะ

กจิ กรรมนี้ เปน็ กจิ กรรมทม่ี งุ่ ใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจวธิ กี ารน�ำ อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ไิ ปใชใ้ นการหาความสงู ของต�ำ แหนง่ ทตี่ อ้ งการ
จากสถานการณจ์ รงิ โดยมสี ่อื /อปุ กรณ์ และข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม ดงั น้ี

สอื่ /อปุ กรณ์

1. กระดาษลูกฟูกท่ีตัดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3 รูป โดยแต่ละรูปมีด้านด้านหน่ึงยาวอย่างน้อย 30 เซนติเมตร
และมีขนาดของมมุ ทีแ่ ตกตา่ งกัน ดังรูป

45° 60° 30°

2. ไมเ้ มตร หรือตลับเมตร

ข้นั ตอนการดำ�เนนิ กจิ กรรม

1. ครแู บง่ นกั เรยี นออกเปน็ 3 กลมุ่ ใหน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ท�ำ “กจิ กรรม : สงู เทา่ ใดกนั นะ” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 234–235
2. ครใู ห้นกั เรยี นแต่ละกลุ่มน�ำ เสนอผลงานของกลมุ่ พร้อมทั้งอธบิ ายวิธีคิดและการไดม้ าซง่ึ คำ�ตอบ
3. ครูใหน้ กั เรยี นเปรยี บเทียบค�ำ ตอบที่ได้จากทงั้ สามกลมุ่ วา่ มีความสมั พนั ธก์ ันอยา่ งไร หากพบวา่ ความสงู ของตำ�แหนง่

ท่ีต้องการจะวัดที่แต่ละกลุ่มหาได้แตกต่างกัน ครูควรเปิดโอกาสให้นักเรียนแต่ละกลุ่มร่วมกันแก้ปัญหาเพ่ือสรุป
ความสูงของต�ำ แหนง่ ท่ตี อ้ งการจะวดั
4. ครแู ละนักเรยี นรว่ มกันอภิปรายและสรุปที่มาของสตู รท่ีใชใ้ นการหาความสงู ของตำ�แหนง่ ทีต่ ้องการวดั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

340 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยกิจกรรม : สงู เทา่ ใดกนั นะ

ตวั อย่างค�ำ ตอบขอ้ 8
✤ กรณีท่ีความสูงที่หาได้ของแต่ละกลุ่มใกล้เคียงกัน อาจนำ�ความสูงที่แต่ละกลุ่มได้มาหาค่าเฉลี่ย เพื่อสรุปเป็น

ความสงู ของต�ำ แหนง่ ท่ตี ้องการวัด
✤ กรณที ่คี วามสงู ท่ีหาได้ของแตล่ ะกลมุ่ แตกต่างกันมาก ต้องตรวจสอบความถูกต้องของการค�ำ นวณ วิธีการวัด

เพือ่ หาขอ้ ผิดพลาด แล้วแก้ไขข้อผดิ พลาดนัน้

ตัวอยา่ งค�ำ ตอบข้อ 9 แทนตำ�แหนง่ ท่ีต้องการจะวดั ความสูง
ก�ำ หนด จดุ M NQ แทนแนวเสน้ ระดับสายตา
ON แทนความสงู จากพื้นถงึ ตาของนักเรียนท่เี ปน็ คนถือกระดาษลกู ฟกู


M

H N
Q h

Px O

จากรปู พจิ ารณา ΔMNQ จะได้ tan MˆNQ = M—NQQ
เน่ืองจาก ˆA = MˆNQ , MQ = H – h และ NQ = x

จะได ้ tan A = M—NQQ
H–h
tan A = x

ดงั น้ัน H = x tan A + h

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมิติ 341

เฉลยชวนคดิ

ชวนคิด 5.5

แนวคิด จากการทำ� “กิจกรรม : สูงเท่าใดกันนะ” หากสถานท่ีไม่เอื้ออำ�นวย เช่นมีพื้นที่จำ�กัด จึงทำ�ให้
ไมส่ ามารถเดนิ ถอยออกไปไดม้ ากนกั เราควรแกป้ ญั หานโี้ ดยใชก้ ระดาษลกู ฟกู รปู สามเหลย่ี มทม่ี มี มุ
ipst.me/11448 ซึ่งมีขนาดมากกวา่ ทม่ี อี ย่ใู นการวัด โดยเพม่ิ ขนาดของมมุ ทก่ี ระดาษลกู ฟูกจนนกั เรยี นสามารถมอง
ตามแนวสนั ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉากของกระดาษลกู ฟกู ทยี่ งั คงจดั วางในแนวระดบั สายตา และนกั เรยี น
สามารถมองเหน็ ต�ำ แหนง่ ทต่ี อ้ งการจะวดั ความสงู ผา่ นแนวสนั ดงั กลา่ ว จากนน้ั ท�ำ กจิ กรรมเชน่ เดยี ว
กับการท�ำ “กจิ กรรม : สงู เท่าใดกนั นะ” ก็จะสามารถหาความสูงของส่ิงทต่ี อ้ งการวัดได้

ชวนคดิ 5.6 B
C
แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพได้ดงั น้ี
ipst .me/ 114 49
เมอ่ื จดุ A แทนจุดท่ฐี านของหอเอนเมอื งปซิ ่า

B แทนจดุ ยอดของหอเอนเมอื งปซิ า่ จุดทอี่ อโรรา่ ปล่อยตุก๊ ตาหมี

C แทนจุดทตี่ ุ๊กตาหมีตกลงถึงพ้นื

เนอื่ งจากออโรร่าปลอ่ ยตกุ๊ ตาหมีในแนวด่ิง

ดงั นัน้ BC ตง้ั ฉากกบั AC 55 ม.
A 4.8 ม.
น่นั คอื ∆ABC เป็นรูปสามเหลีย่ มมมุ ฉาก

จากรปู cos BˆAC = BA—CC = 4—5.58 ≈ 0.087

จากตาราง cos 85° ≈ 0.087
ดงั นั้น
BˆAC ≈ 85°

นน่ั คือ หอเอนเมืองปิซ่าเอียงออกจากแนวต้งั ฉาก

ประมาณ 90 – 85 = 5 องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

342 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยแบบฝกึ หัด

แบบฝกึ หดั 5.3 C

1. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขยี นภาพประกอบการแก้ปัญหาไดด้ งั นี้

20° B
A 40 ม.

เมื่อจดุ A แทนปลายเงาของต้นไม้

B แทนโคนของต้นไม้

C แทนยอดของต้นไม้

นน่ั คือ AB แทนความยาวของเงา และ BC แทนความสูงของต้นไม้

จากภาพ จะได ้ tan 20° = —B4C0

จากตาราง tan 20° ≈ 0.364
ดังนั้น BC ≈ 40 × 0.364 = 14.56 เมตร

น่ันคือ ตน้ ไมม้ คี วามสงู ประมาณ 14.56 เมตร

2. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขยี นภาพประกอบการแกป้ ัญหาไดด้ ังน้ี

ให้ AC แทนบันได C
B
BC แทนกำ�แพง

จากรูป จะได ้ sin 52° = 6—B.C5 6.5
จากตาราง
sin 52° ≈ 0.788 52°
A
ดงั นั้น BC ≈ 5.122

นน่ั คือ กำ�แพงนี้สูงประมาณ 5.122 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 343

3. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขยี นภาพประกอบการแกป้ ญั หาได้ดงั น้ี C

30° 75 ม. 60° B
A D

ให้ A แทนจดุ ทเี่ ด่นจันทรย์ ืนอยหู่ ่างจากเสาไฟในตอนแรก

D แทนจุดทเี่ ด่นจันทร์ยืนอยู่หลังจากเดนิ เขา้ หาเสาไฟฟา้ แลว้ 2 นาที

และ BC แทนเสาไฟฟา้

พิจารณา ΔABC จะได ้ tan 30° = B—7C5
 √  33     = B—7C5
BC =
25√3 เมตร
ดังนั้น

พิจารณา ΔDBC จะได ้ tan 60° = B—BCD
25√3
√ 3 =     BD    

ดงั นัน้ BD = 25 เมตร

จะได ้ AD = AB – BD

= 75 – 25 = 50 เมตร

ดงั นนั้ ในเวลา 2 นาที เดน่ จนั ทร์เดนิ ได้ 50 เมตร

นนั่ คอื เดน่ จันทรเ์ ดนิ ได้นาทลี ะ 25 เมตร

4. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปัญหาได้ดงั นี้

C

30° 60°

30° 60° E
A D 5.25 ม.

B
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

344 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

ให ้ A และ D แทนจุดที่เรือทัง้ สองล�ำ จอดอยู่ในทะเล

EC แทนระดับความสูงจากชั้นล่างของตึกท่ีชายคนน้ียืนอยู่ที่ระเบียงชั้นท่ี 15 ของตึก

และตึกนีต้ ้ังอยบู่ นฝั่งเหนอื ระดับน�้ำ ทะเล 5.25 เมตร

จะได้ AD แทนระยะหา่ งระหว่างเรือทั้งสองล�ำ

เน่ืองจาก แต่ละชน้ั ของตึกนี้สูง 4.75 เมตร

จะได้ BC = 5.25 + 14(4.75) + 1.75 = 73.5 เมตร

พจิ า รณา Δ ABC จ ะได้ tan 3 0° = 73.5
AB

­—√ 13 = 73.5
AB

ดังนนั้ AB = 73.5√3 เมตร
เมตร
พจิ า รณา Δ DBC จ ะได ้ tan 6 0° = 73.5
BD

√ 3 = 73.5
BD

ด ังน้ัน B D = 73.5
√3

= 73.5√3
    3    

เนอ่ื งจาก AD = AB – BD

จะ ได ้ A D = 73.5√3 – 73.5√3
    3    

≈ 84.87 เมตร

ดังนั้น เรอื ทั้งสองล�ำ ห่างกันประมาณ 84.87 เมตร

5. แนวคดิ จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแกป้ ญั หาไดด้ งั น้ี แนวเสน� ระดบั สายตาของน้ำหวาน C
ใหจ้ ุด A แทนยอดปราสาทในฉากหลงั
42° D
B
B แทนที่นงั่ ของแสนดี

C แทนท่นี ัง่ ของน�้ำ หวาน

AD ต้งั ฉากกับ BC ทจ่ี ดุ D

พิจารณา ΔADB 42°
18°
จากภาพ จะได ้ BˆAD = 18° และ AD = 10 เมตร A

เนื่องจาก tan 18° = D—10B แนวเส�นระดบั สายตาของแสนดี 18°

จากตาราง tan 18° ≈ 0.325 10 ม.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมิติ 345

ดงั นนั้ DB ≈ 3.25 เมตร

พิจารณา ΔACD

จากภาพ จะได ้ CˆAD = 42°

เนอ่ื งจาก tan 42° = C—10D
จากตาราง
tan 42° ≈ 0.900

ดงั นน้ั CD ≈ 9.00 เมตร

นน่ั คอื ระยะหา่ งในแนวดิง่ โดยประมาณของที่นัง่ ของแสนดแี ละน�้ำ หวานเป็น 3.25 + 9 = 12.25 เมตร

6. แนวคิด ให้ A แทนจุดท่ีไอซย์ นื อยู่ D
h
B แทนจุดที่ออฟยนื อยู่ C

CD แทนหอนาฬกิ าบกิ เบน

ให ้ ออฟยนื ห่างจากหอนาฬิกาบิกเบน x เมตร

และหอนาฬกิ าบิกเบนมคี วามสูง h เมตร

พิจารณา ΔACD 49° 65°
A 38.72 ม. B
จ ะได้ tan 4 9° = x h x ม.
+ 38.72 1

จากตาราง tan 49° ≈ 1.150

ดงั นั้น h ≈ 1.15(x + 38.72 )

พิจารณา ΔBCD
tan 65° = h–x
จะได้

จากตาราง tan 65° ≈ 2.145

ดังนั้น h ≈ 2.145x 2

จากสมการ 1 และ 2 จะได้ 1.15(x + 38.72) = 2.145x

ดงั นนั้ x ≈ 44.75 เมตร

แทน x ดว้ ย 44.75 ในสมการ 2 จะได้

h ≈ 95.99 เมตร

ดงั นั้น หอนาฬิกาบิกเบนมีความสงู ประมาณ 95.99 เมตร

7. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขยี นภาพไดด้ งั นี้
ให ้ A แทนจดุ ทป่ี ลายหมอกยืนอยู่
B แทนจุดทแ่ี พรวายืนอยู่
และ C แทนภาพมะนาวบนผนงั ท่ีท้ังสองคนมอง
สมมตุ ิว่า CD = h เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

346 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2
C

h

(90 – x)° 6 x° D
A B2

พิจารณา ΔBCD จะได ้ tan B = 21h– 80° – 90° – (90 1
พิจารณา ΔACD เนื่องจาก = – x)° 2
AˆCD

= x°

จะได ้ AˆCD = CˆBD

ดงั นน้ั tan C = tan B

จะได้ tan B = 8–h
h–2 = 8–h
จากสมการ 1 และ 2 จะได้ h2 = 16


h = 4 เมตร

ดงั น้ัน ภาพมะนาวผลนีอ้ ยูส่ ูงจากพ้ืน 4 เมตร

8. 1) แนวคิด จากโจทย์ อาจเขยี นภาพได้ดังนี้ C

เมอ่ื จุด A แทนตำ�แหน่งของนายหมู่

จดุ B แทนตำ�แหนง่ ของรองนายหมู่

และ จุด C แทนตำ�แหน่งของตอไม้

จากรูป จะได้ tan 60° = A—4C
√3 = A—4C
60°

AC = 4√3 A4 B

ดงั นัน้ คลองสง่ นำ้�นก้ี วา้ งไม่เกนิ 4√3 เมตร

2) ถ้านักเรียนเป็นนายหมู่อาจจะให้รองนายหมู่เดินไปทางขวา จนแนวระหว่างตอไม้กับรองนายหมู่ทำ�มุมกับแนว
ระหวา่ งนายหมกู่ บั รองนายหมเู่ ปน็ มมุ 45°

จากสมบัติของรูปสามเหล่ียมหน้าจ่ัว จะได้ ระยะระหว่างตอไม้กับนายหมู่เท่ากับระยะระหว่างนายหมู่
กบั รองนายหมู่

หรอื เนอ่ื งจาก tan 45° = 1 จะได้ ระยะระหวา่ งตอไมก้ บั นายหมเู่ ทา่ กบั ระยะระหวา่ งนายหมกู่ บั รองนายหมู่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมติ ิ 347

กิจกรรมทา้ ยบท : ซันนผ่ี คู้ ำ�นวณรัศมีโลก

กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมท่ีมีจุดประสงค์เพื่อให้นักเรียนเห็นประโยชน์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ ในการคำ�นวณหารัศมี
ของโลก ซ่ึงดูเหมือนว่าจะเป็นปัญหาท่ีแก้ได้ยากหากไม่พ่ึงพาเทคโนโลยี ในการทำ�กิจกรรมน้ี นักเรียนจะได้เห็นการเช่ือมโยง
ความรใู้ นศาสตรต์ า่ ง ๆ เชน่ ดาราศาสตร์ ฟสิ กิ ส์ มาชว่ ยในการแกป้ ญั หา โดยมสี อ่ื /อปุ กรณ์ และขนั้ ตอนการด�ำ เนนิ กจิ กรรม ดงั นี้

ส่อื /อุปกรณ์

นาฬกิ าจับเวลา

ขั้นตอนการด�ำ เนินกิจกรรม

1. ครใู ห้นักเรียนแต่ละคนทำ� “กจิ กรรมทา้ ยบท : ซนั นีผ่ ู้คำ�นวณรศั มีโลก” ในหนังสือเรียน หนา้ 243–244 โดยครคู วร
เน้นย้ำ�ให้นักเรียนเปลี่ยนหน่วยของข้อมูลที่ซันน่ีมีอยู่ ให้เป็นหน่วยเดียวกันกับหน่วยที่ใช้ในการคำ�นวณตามสัดส่วน
ทกี่ �ำ หนด

2. ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยกันเฉลยคำ�ตอบ พร้อมทัง้ อธบิ ายวิธคี ิดและการไดม้ าซง่ึ ค�ำ ตอบ
3. ครแู ละนักเรยี นช่วยกนั สรุปข้อสังเกตทไ่ี ด้จากกิจกรรม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

348 บทท่ี 5 | อัตราส่วนตรโี กณมิติ คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

เฉลยกจิ กรรมท้ายบท : ซนั นีผ่ ู้คำ�นวณรศั มีโลก

B C
R h

R

A

ดวงอาทิตย�

ก�ำ หนดให ้ R แทน รัศมขี องโลก
h แทน ความสูงจากพน้ื ราบถงึ ตาของซันนี่
B เป็นจดุ ที่ส่วนของเส้นตรง BC สัมผสั กับผิวโลก

เนอ่ื งจาก ขนาดของมมุ ทโ่ี ลกหมนุ สามารถประมาณได้ตามสดั สว่ นต่อไปนี้

เวลาทีเ่ ปล2่ีย4นแชปมล. งไป (ช ม.) = ขนาดของมมุ ท่ีโลกหมุน
360°

จะได้ว า่ ข นาดขอ งมมุ ท ี่โลกหม นุ = 360 × เวลาทเ่ี ปลี่ยนแปลงไป
24

= 15 × เวลาทเ่ี ปล่ียนแปลงไป

ถา้ ตาของซนั นอ่ี ยหู่ า่ งจากพน้ื ราบเป็นระยะ 165 เซนตเิ มตร หรือ 0.00165 กิโลเมตร

และ ระยะเวลาท่เี ปลย่ี นแปลงไปเทา่ กบั 10 วนิ าที หรอื —3160 ชว่ั โมง
จะไดว้ า่ ขนาดของมุมทีโ่ ลกหมนุ = 15 × —3160 = 2—14 องศา
cos CˆAB = AA—CB
เนอ่ื งจาก

( ) จะได ว้ ่า co s 2—14 ° = R
R+h

0 .9999 997 4 ≈ R
R + 0.00165

R ≈ 6,346.15 กิโลเมตร

ดังนน้ั รัศมเี ฉลย่ี ของโลกที่ซันนปี่ ระมาณได้ คือ 6,346.15 กโิ ลเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี