คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

คมู่ อื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 349

เฉลยแบบฝกึ หัดท้ายบท

1. 1) (1) X = EˆCG

(2) X = FˆDA

(3) X = CˆBD

2) (1) แนวคดิ เนือ่ งจาก ΔABD เปน็ รปู สามเหลยี่ มมมุ ฉากหนา้ จ่ัว จะได้ AˆBD = 45°
√2
ดังน้นั sin AˆBD = sin 45° =   2  

(2) แนวคดิ เนอ่ื งจาก BE = EC = CB จะได้ ΔBEC เปน็ รูปสามเหล่ยี มด้านเท่า

ดงั นั้น EˆBG = 60° จะได้ BˆEG = 30°

ดงั นัน้ cos BˆEG = cos 30° = √3
  2  

(3) แนวคดิ เนอื่ งจาก ΔBEC เป็นรปู สามเหล่ยี มด้านเทา่

จะได้ GˆCE = 60° ดงั นน้ั tan GˆCE = tan 60° = √3

2. 1) ถกู ตอ้ ง เพราะวา่ ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในทง้ั สามมมุ ของรปู สามเหลย่ี มเทา่ กบั 180° และ มมุ C มขี นาด 90°

ดงั นน้ั ˆA +ˆB = 90°

นน่ั คอื ˆB = 90° – ˆA
2) ถกู ตอ้ ง เพราะวา่ จากรปู จะได้ sin A = –ac และ cos B = –ac
= –ba , = –ac = –bc
3) ถูกต้อง เพราะวา่ จากรูป จะได้ tan A sin A และ cos A

ด งั นัน้ csions AA = ––bcac = –ba

4) ถกู ต้อง เพราะวา่ sin A = –ca และ a, c > 0 จะได้ –ca > 0

เนือ่ งจากดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากเปน็ ดา้ นทีย่ าวทีส่ ุด

จะได้ a < c

ดงั นนั้ –ac < 1 นั่นคือ 0 < sin A < 1 จะได้ –bc >0
5) ถูกต้อง เพราะว่า cos A = –bc และ b, c > 0

เน่อื งจากดา้ นตรงข้ามมุมฉากเป็นด้านทย่ี าวที่สุด

จะได้ b < c
ดังนั้น –bc < 1 น่ันคือ 0 < cos A < 1

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

350 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมิติ คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

6) ถกู ตอ้ ง เพราะวา่ sin A = –ac และ cos A = –bc
( ) ( )จะได้
(sin A)2 + (cos A)2 = –ac 2 + –bc 2

= a2 + b2
c2

โดยทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได ้ c2 = a2 + b2

ดงั น้ัน a2 c+2 b2 = c2 = 1
c2

นั่นคอื (sin A)2 + (cos A)2 = 1

3. แนวคิด จากรปู พจิ ารณาให้ OA เปน็ ฐานของ ΔOAB A

และสร้างให้ BD เปน็ สว่ นสูง DB
พิจารณา ΔBDO

จ ะได้ sin 2 0° = BD O
0.752

จากตาราง sin 20° ≈ 0.342

ดังน้ัน BD ≈ 0.257 เมตร

จะได ้ พนื้ ท่ี ΔABO ≈ –12(1)(0.257)
≈ 0.129 ตารางเมตร

ดังนัน้ พนื้ ทีข่ องบรเิ วณทีต่ ้องระบายด้วยสชี มพูมปี ระมาณ 16(0.129) = 2.064 ตารางเมตร

นนั่ คอื อากงควรซือ้ สมี าอย่างนอ้ ยทส่ี ุด 3 กระป๋อง

4. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปญั หาได้ดงั น้ี D

โดย จดุ A แทน ตำ�แหนง่ ทย่ี ่หี วายนื อยู่

จดุ B แทน ต�ำ แหน่งบนพื้นดนิ ท่ตี รงกับลกู บอลในแนวดิ่ง

จดุ C แทน ต�ำ แหน่งของบอลลนู ทย่ี ีห่ วามองเหน็ ในตอนแรก

จุด D แทน ต�ำ แหนง่ ของบอลลนู ที่ยหี่ วามองเหน็ ในตอนหลงั

พิจารณา ΔABC C
B
จะได ้ tan 30° = B—1C0 60°
10√3
ดังน ัน้ BC =     3     เมตร 30°
A 10

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ 351

พจิ ารณา ΔABD

จะได ้ tan 60° = B—1D0
BD = 10√3 เมตร
ดังน้นั

เนอ่ื งจาก CD = BD – BC

จะได ้ CD = 10√3 – 10√3 ≈ 11.55 เมตร
   3   

เนื่องจาก บอลลูนใชเ้ วลา 1.15 วนิ าที ในการลอยขนึ้ ในแนวดง่ิ เปน็ ระยะ 11.55 เมตร

ดงั น้นั บอลลนู ลอยขน้ึ ดว้ ยอัตราเร็วประมาณ 11.55 ≈ 10.04 เมตรตอ่ วนิ าที
1.15

5. แนวคิด B

ca

A bC

จากรูป tan A = –ba , cos A = –bc และ sin A = –ac
จาก ttaann AA +– cc——oo11ss——AA = -5
จะได้ –b–aba +– ––bbcc = -5
a + cc
a – = -5

a + c = -5a + 5c

6a = 4c

–ac = –46 = –23
ดงั นัน้ sin A = 3–2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

352 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คูม่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

6. แนวคิด พจิ ารณา ΔABD เนือ่ งจาก BˆAD = 75°

จะได้ ˆB + ˆD = 180 – 75 = 105°

นน่ั คอื ˆB + ˆD = 105° 1
2
จากโจทย์ 2ˆB – ˆD = 75°

1 + 2 ; 3ˆB = 180°

ดังนน้ั ˆB = 60°

แทนˆB ดว้ ย 60° ในสมการ 1 จะได้

ˆD = 45°

เนือ่ งจาก AˆCD = 90° และ AˆDC = 45°

จะได้ CˆAD = 45°

และได้ ΔADC เปน็ รูปสามเหล่ียมมุมฉากหน้าจ่วั
เน่ืองจาก AC = 3√3 หนว่ ย จะได้ CD = 3√3 หนว่ ย

พจิ ารณา ΔABC

จะได้ t an 60 ° = 3√3
  BC  

√ 3 = 3√3
  BC  

ดังนนั้ BC = 3 หนว่ ย
นนั่ คอื BD = BC + CD = 3 + 3√3 หนว่ ย

7. แนวคิด 1 จากโจทย์ อาจวาด ΔXYZ ไดด้ ังรูป จากน้ันลาก ZV ต้งั ฉากกบั สว่ นของเสน้ ตรงทล่ี ากตอ่ XY ไปทาง
จุด Y ให้จดุ ต้ังฉากคอื จดุ V

Z

8

15° 135°
X YV

ถ้าให้ XY เป็นฐานของ ΔXYZ จะได้ VZ เปน็ ส่วนสูง

พิจารณา ΔXVZ จะได้ sin 15° = —V8Z

ดงั น้นั VZ ≈ 8 × 0.259 = 2.072 หนว่ ย

เนอื่ งจาก XˆYV เปน็ มุมตรง จะได้ ZˆYV = 180 – 135 = 45°

จาก ΔYVZ จะได้ VˆZY = 180 – (90 + 45) = 45°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 353

ดังนั้น ΔYVZ เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากหน้าจว่ั และ VY = ZV

นัน่ คือ VY ≈ 2.072 หนว่ ย

พจิ ารณา ∆XVZ

จะได ้ cos 15° = X—8V

XV ≈ 8(0.966 )

≈ 7.728 หนว่ ย

เน่อื งจาก XY = XV – VY

จะได ้ XY ≈ 7.728 – 2.072

≈ 5.656 หนว่ ย

ดังนั้น พ้นื ท ่ี ∆XYZ ≈ –12 (5.656)(2.072)

≈ 5.86 ตารางหน่วย

แนวคิด 2 จากโจทย์ อาจวาด ΔXYZ ได้ดังรปู

Y
135°

h

15° 30°
X 8–a
Fa Z

จากรูป ΔFYZ จะได้

h = a tan 30° 1

จากรปู ΔFXY จะได้

h = (8 – a) tan 15° 2

จากสมการ 1 และ 2 จะได้

a tan 30° = (8 – a) tan 15°

a tan 30° = 8 tan 15° – a tan 15°

a (tan 30° + tan 15°) = 8 tan 15°

ดังนน้ั a ≈ 2.537

และ h ≈ 1.464

จะได้ พน้ื ที ่ ΔXYZ ≈ –12(8)(1.464)

≈ 5.86 ตารางหน่วย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

354 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คู่มือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

C

8. แนวคิด จากโจทย์ อาจเขียนภาพประกอบการแก้ปัญหาไดด้ ังนี้

เมอ่ื A แทน ตำ�แหนง่ ท่ีเปยี กปนู ยนื อยู่ในตอนแรก

B แทน ต�ำ แหน่งทแี่ มวน้อยหลบั อยู่

C แทน ตำ�แหนง่ ของต้นมะมว่ ง

D แทน ต�ำ แหนง่ ที่เปยี กปูนยนื อยใู่ นตอนหลงั D 45° B E
เน่อื งจาก ต้องการหา DB เพอ่ื เปรียบเทยี บกบั ความยาวของดา้ มจับ
ของสวงิ จับแมลง (0.75 เมตร)

ซึง่ สามารถหาได้จาก DB = DE – BE 2.45

พิจารณ า ΔDE A จะไ ด ้ sin 45° = DE 45°
2.45 30°
A
ดงั นนั้ DE = 2.45 × √2 = 1.225√2 เมตร
  2  

เนื่องจาก EˆAD = 45° และ DˆEA = 90° จะได้ AˆDE = 45°

นัน่ คอื ΔDEA เป็นรปู สามเหล่ยี มมุมฉากหน้าจ่ัว

จะได้ AE = DE = 1.225√2 เมตร     BE    
1.225√2
พิจารณา ΔBEA จะได ้ tan 30° =

( )BE
ดังนั้น = (1.225√2) √3 ≈ 1 เมตร
  3  

นั่นคอื DB ≈ (1.225√2) – 1 ≈ 0.732 เมตร

เนื่องจาก ด้ามจับของสวงิ จับแมลงของเปยี กปนู ยาว 0.75 เมตร จะได้ DB < 0.75

ดังน้ัน ณ ตำ�แหน่งท่เี ปียกปูนยนื อยใู่ นตอนหลัง สวิงจับแมลงยาวพอทจี่ ะไปถงึ แมวนอ้ ยของเปยี กปูน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 355
ชอ� งสำหรบั ทำตวั ปากหมอ�
9. N

2 ซม. r
B

QP หม�อตม�
O

AM C

แนวคิด 1 สมมุติว่ารูปวงกลม A, B และ C มรี ศั มียาว r เซนตเิ มตร

เน่ืองจาก AB = BC = CA = 2r + 2 เซนติเมตร

ดงั นนั้ ΔABC เปน็ รูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่า

จะได้ CˆAB = 60° = MˆAB

เนื่องจาก AP เป็นเส้นที่ลากจากมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC มาแบ่งคร่ึงฐาน BC

จะได้ BˆAP = CˆAP = 30°

จากรูป สงั เกตว่า NO = NB + BO

นนั่ คอื 30 = (r + 2) + BO

28 = r + BO 1

จากรูป จะได้ BO = BM – MO 2

พิจารณา ΔABM

จะได้ sin 60° = B—AMB

( ) B M = √  23  (2r + 2) = √3(r + 1) เซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

356 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

พจิ ารณา ΔAOM

จะได ้ tan 30° = M—AMO

√   33   = MO
r+1
( ) M O = √  33  (r + 1) เซนติเมตร
จา กสมกา ร 2 จะ ได้ B O = √3(r + 1) –  √ 33  (r +1) เซนติเมตร

จา กสมกา ร 1 จะ ได้ 28 = r + √3(r + 1) – √  33  (r +1)

น ่นั คือ r = 128+–√√33–+√   3√ 3  3  3   ≈ 12.46 เซนติเมตร

ดังน้ัน รัศมขี องช่องสำ�หรับท�ำ ตัวปากหมอ้ ควรจะยาวประมาณ 12.46 เซนติเมตร

แนวคดิ 2 จากรปู จะได ้ NO = NB + BO

นัน่ คือ 30 = (r + 2) + BO

BO = 28 – r 1

พิจารณา ΔBOP

จะได้ cos 30° = B—BOP

cos 3 0° = r+1
BO

BO cos 30° = r + 1

จากสมการ 1 จะได้ (28 – r) cos 30° = r + 1

28 cos 30° – 1 = r(1+ cos 30°)

( ) ดงั นั้น r = 28 √3 – 1 ≈ 12.46
  2  
1 √3
+   2  

ดังนั้น รศั มีของชอ่ งสำ�หรบั ทำ�ตวั ปากหมอ้ ควรจะยาวประมาณ 12.46 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมติ ิ 357

ตวั อย่างแบบทดสอบทา้ ยบท

1. ก�ำ หนดให้ sin A = –45 จงหา tan A + cos A ค. 2—270 ง. 12—59 (1 คะแนน)
ก. –78 ข. 11—25 (1 คะแนน)

2. ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ไมถ่ ูกตอ้ ง ข. sin 30° + cos 60° = 1
ก. sin 30° = cos 60° ง. sin 60° + cos 30° = tan 60°
ค. sin 45° + cos 45° = tan 45°

3. จงหาพน้ื ที่ของ ΔABC (2 คะแนน)

B

5C

45° 10
A

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

358 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรโี กณมิติ คูม่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2
A
4. จากรปู ตอ่ ไปน้ี

จงหาคา่ ของ tan AˆBC 2√3 (3 คะแนน)
ED
B 3√3 C

5. พจิ ารณาทรงส่ีเหล่ยี มมุมฉากตอ่ ไปน้ี E (1 คะแนน)

H F
G

D 60° C

เส้นทแยงมมุ DG ยาว A 12 B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี หน่วย

ค่มู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิ 359

6. ชายคนหน่ึงยนื อยู่ระหวา่ งตกึ สองหลงั ท่ีมคี วามสงู เท่ากัน และอยหู่ า่ งกนั เปน็ ระยะทาง 80 เมตร เมือ่ ชายคนนีม้ องไปที่
ยอดตกึ หลังแรกจะมองเปน็ มุมเงย 30° แตเ่ ม่ือหันกลบั ไปมองยอดตกึ อีกหลังจะเปน็ มุมเงย 60° โดยไมค่ ิดความสงู ของ

ชายคนนี้

1) จงวาดภาพแทนสถานการณ์ (1 คะแนน)

2) จงหาว่าตึกแตล่ ะหลังสงู กีเ่ มตร (3 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

360 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

7. ห้างสรรพสินค้าแห่งหน่ึงต้องการทำ�ทางลาดเพื่ออำ�นวยความสะดวกสำ�หรับผู้พิการที่ใช้รถเข็น โดยทำ�ทางลาด
ทท่ี �ำ มมุ 14° กบั แนวพน้ื ดนิ เพอ่ื ขน้ึ พน้ื อาคารชน้ั 1 ทส่ี งู จากพน้ื ดนิ 0.54 เมตร เมอ่ื ทดลองใชง้ าน ปรากฏวา่ ทางลาดน้ี
ไมส่ ะดวกตอ่ การใชง้ าน ทางหา้ งจงึ ท�ำ การปรบั ปรงุ ใหม่ ใหท้ างลาดท�ำ มมุ 5° กบั แนวพนื้ ดนิ จงวาดภาพแทนสถานการณ์

และหาว่าจุดเริม่ ตน้ ของทางลาดใหมอ่ ย่หู ่างจากจุดเรม่ิ ตน้ ของทางลาดเดมิ ก่เี มตร (ตอบเป็นทศนิยม 2 ต�ำ แหน่ง)

กำ�หนดให้

มุม A sin A cos A tan A

5° 0.09 1.00 0.09
14° 0.24 0.97 0.25

(4 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 361

8. พายุ “โพดุล” ได้เคลื่อนตัวเข้าสู่จังหวัดนครพนม เม่ือวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ. 2562 ซ่ึงส่งผลให้เกิดฝนตกหนักและ

น�ำ้ ทว่ มฉับพลนั ในหลายพน้ื ท่ี ถา้ ตน้ ไมท้ ่บี ้านของจบิ๊ จ๊อยถกู พายโุ พดลุ พัดหักลงมา ทำ�ใหย้ อดของตน้ ไมจ้ รดพนื้ ทำ�มุม

30 องศา กับพ้ืนดินพอดี ถา้ ยอดของตน้ ไม้อยู่หา่ งจากโคนต้นไม้ 10 เมตร จงวาดภาพแทนสถานการณ์ และหาวา่

ความสงู ของตน้ ไม้กอ่ นโดนพายพุ ัดหักเป็นเทา่ ไร (4 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

362 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรโี กณมติ ิ คูม่ ือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

เฉลยตัวอยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1. ก�ำ หนดให้ sin A = 4–5 จงหา tan A + cos A (1 คะแนน)
ก. 7–8 ข. 11—25
ค. 2—270 ง. 12—59

แนวคดิ จาก sin A = 4–5 เราอาจสรา้ ง ΔABC ได้ดงั รูป

C

54

AB

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส จะได้

AB2 = 52 – 42 = 9

AB = 3

ดังน้ัน tan A = 4–3 และ cos A = –35
นั่นคือ tan A + cos A = 4–3 + –35 = 12—59

2. ขอ้ ใดต่อไปน้ีไมถ่ กู ต้อง (1 คะแนน)
ก. sin 30° = cos 60°
ค. sin 45° + cos 45° = tan 45° ข. sin 30° + cos 60° = 1
ง. sin 60° + cos 30° = tan 60°

แนวคิด ก. ถกู ต้อง เนอ่ื งจาก sin 30° = –12 และ cos 60° = 1–2

ข. ถูกตอ้ ง เน่อื งจาก sin 30° + cos 60° = 1–2 + –12 = 1

ค . ไม่ถูกต้อง เนอื่ งจาก sin 45° + cos 45° = √  22   + √2 = √2 แต่ tan 45° = 1
  2  

ง . ถกู ต้อง เนือ่ งจาก sin 60° + cos 30° = √  23   + √3 = √3 และ tan 60° = √3
  2  

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิ 363

สำ�หรับข้อ 1–2

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 1 นักเรยี นสามารถเขา้ ใจความหมายและหาค่าของอตั ราสว่ นตรีโกณมติ ิของมมุ แหลมขนาดต่าง ๆ

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

3. จงหาพืน้ ทข่ี อง ΔABC B (2 คะแนน)

5C

45° 10
A

แนวคดิ จากรูปท่ีก�ำ หนดให้ ลาก BD ต้ังฉากกับ AC ท่ีจุด D เพือ่ ใหไ้ ด้สว่ นสงู บนฐาน AC ของรูปสามเหล่ียม ดังรปู

B

5C

45° D 10
A

เนือ่ งจาก sin 45° = B—5D

จะได ้  √  22    = B—5D
5√2
ดงั น้นั BD =   2  5√2 25√2
  2      2   
นัน่ คือ พน้ื ทขี่ อง ΔA BC = 1–2 × 10 × = ตารางหน่วย

ความสอดคลอ้ งกับจดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถน�ำ ความรู้เก่ียวกับอตั ราสว่ นตรโี กณมิตไิ ปใช้ในการแกป้ ญั หา

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 2 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั น้ี

✤ หาความสูงของ ΔABC ถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 1 คะแนน
✤ หาพื้นท่ีของ ΔABC ถูกตอ้ ง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

364 บทที่ 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมิติ คู่มือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2
A
4. จากรปู ตอ่ ไปนี้

2√3
ED

B 3√3 C

จงหาคา่ ของ tan AˆBC (3 คะแนน)

แนวคดิ เนื่องจาก AD = DB ได้ 3 คะแนน
ได้ 2 คะแนน
ดงั นน้ั ΔADB เป็นรปู สามเหลยี่ มหน้าจวั่ ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
จะไดว้ า่ DˆAB = AˆBD
นัน่ คือ DˆAB = AˆBD = DˆBC
เน่อื งจาก DˆAB + AˆBD + DˆBC = 90°

จะได้วา่ DˆAB = AˆBD = DˆBC = 30°
ดงั นน้ั tan AˆBC = tan 60° = √3

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถนำ�ความรู้เกี่ยวกบั อตั ราส่วนตรีโกณมิตไิ ปใช้ในการแกป้ ัญหา

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเตม็ 3 คะแนน โดยมเี กณฑ์การให้คะแนน ดงั น้ี

✤ เขียนแสดงแนวคดิ ครบถ้วน และค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง

✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถว้ น แตค่ �ำ ตอบไมถ่ ูกต้อง

หรอื เขียนแสดงแนวคิดบางสว่ น แต่ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง

✤ เขยี นแสดงแนวคิดบางสว่ น แตค่ �ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง

หรอื ไมเ่ ขียนแสดงแนวคดิ แตค่ �ำ ตอบถูกตอ้ ง

✤ ไม่เขยี นแสดงแนวคิดและค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรอื ไม่เขยี น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราสว่ นตรีโกณมิติ 365

5. พจิ ารณาทรงส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากต่อไปน้ี E F (1 คะแนน)
G
H

D 60° C

A 12 B

เส้นทแยงมุม DG ยาว 24 หนว่ ย

แนวคิด เน่ืองจาก DˆCG = 90°
cos 60° = DD—GC
พจิ ารณา ∆GDC จะได ้
1–2 = D—1G2
จะได้
DG = 24 หนว่ ย
ดังน้ัน

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถนำ�ความรู้เกยี่ วกบั อตั ราส่วนตรีโกณมิตไิ ปใช้ในการแก้ปญั หา

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน
ได้ 0 คะแนน
ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

366 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ คูม่ อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

6. ชายคนหนงึ่ ยนื อยรู่ ะหว่างตึกสองหลงั ทมี่ ีความสูงเท่ากัน และอยู่ห่างกันเป็นระยะทาง 80 เมตร เมอ่ื ชายคนนม้ี องไปท่ี
ยอดตึกหลังแรกจะมองเป็นมุมเงย 30° แต่เม่ือหันกลับไปมองยอดตึกอีกหลังจะเป็นมุมเงย 60° โดยไม่คิดความสูง

ของชายคนน้ี

1) จงวาดภาพแทนสถานการณ์ (1 คะแนน)

อาจวาดภาพไดด้ ังนี้

E D

30° 60°
A CB

80 เมตร

2) จงหาว่าตึกแต่ละหลังสงู ก่ีเมตร (3 คะแนน)

แนวคดิ ใหต้ กึ แตล่ ะหลงั มคี วามสูง h เมตร

ให้ชายคนน้ยี ืนอย่หู า่ งจากตึกหลงั แรกเปน็ ระยะทาง m เมตร

จะไดว้ ่าชายคนนย้ี ืนอยูห่ า่ งจากตกึ หลังทส่ี องเป็นระยะทาง 80 – m เมตร

พจิ ารณา ΔCAE จะได้ tan 30° = –mh

ดังนัน้ h = m tan 30° = √—m3 1

พจิ าร ณา ΔC BD จะ ได้ tan 60° = h
80 – m

ดงั นนั้ h = (80 – m)tan 60°

h = (80 – m) × √3 2

จากสมการ 1 และ 2 จะได้ √—m3 = (80 – m) × √3

m = 3(80 – m)

4m = 240

m = 60

จากสมการ 1 จะได้ h= —√603 = 60√3 = 20√3
    3    

ดงั นั้น ตกึ แตล่ ะหลังสูง 20√3 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมิติ 367

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียน ได้ 1 คะแนน
ขอ้ 2 นกั เรยี นสามารถนำ�ความรูเ้ กยี่ วกับอัตราส่วนตรโี กณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหา ได้ 0 คะแนน
เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบง่ ให้คะแนน ดงั น้ี
ขอ้ 1 คะแนนเตม็ 1 คะแนน โดยมีเกณฑ์การให้คะแนน ดังนี้ ได้ 3 คะแนน
✤ วาดภาพไดส้ อดคลอ้ งกับปัญหา
✤ วาดภาพไมส่ อดคลอ้ งกับปญั หา หรือไมว่ าด ได้ 2 คะแนน
ข้อ 2 คะแนนเต็ม 3 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารให้คะแนน ดงั น้ี
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถ้วน และคำ�ตอบถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถว้ น แต่คำ�ตอบไม่ถูกตอ้ ง ได้ 0 คะแนน
หรือเขียนแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่ค�ำ ตอบถูกตอ้ ง
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แต่ค�ำ ตอบไม่ถูกตอ้ ง
หรือไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ แต่ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง
✤ ไม่เขยี นแสดงแนวคิดและค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่เขยี น

7. หา้ งสรรพสินคา้ แห่งหนง่ึ ตอ้ งการท�ำ ทางลาดเพอื่ อ�ำ นวยความสะดวกสำ�หรับผู้พกิ ารท่ใี ช้รถเข็น โดยท�ำ ทางลาดทท่ี ำ�มมุ
14° กบั แนวพนื้ ดนิ เพอ่ื ขนึ้ พน้ื อาคารชนั้ 1 ทส่ี งู จากพนื้ ดนิ 0.54 เมตร เมอ่ื ทดลองใชง้ าน ปรากฏวา่ ทางลาดนไี้ มส่ ะดวก
ต่อการใช้งาน ทางห้างจึงทำ�การปรับปรุงใหม่ ให้ทางลาดทำ�มุม 5° กับแนวพ้ืนดิน จงวาดภาพแทนสถานการณ์

และหาว่าจดุ เรมิ่ ต้นของทางลาดใหมอ่ ยู่ห่างจากจุดเรม่ิ ตน้ ของทางลาดเดมิ กีเ่ มตร (ตอบเปน็ ทศนยิ ม 2 ต�ำ แหน่ง)

กำ�หนดให้

มุม A sin A cos A tan A

5° 0.09 1.00 0.09
14° 0.24 0.97 0.25

(4 คะแนน)
แนวคดิ จากโจทย์ อาจวาดภาพแทนสถานการณไ์ ด้ดงั น้ี

A

5° 14° 0.54
B
DC

B
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
n

m

368 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ใหจ้ ุด C เปน็ จุดเร่มิ ต้นของทางลาดเดิม
และจดุ D เป็นจุดเรม่ิ ตน้ ของทางลาดใหม่

เนื่องจาก tan 14° = —0B.5C–4 เมตร
จะได ้ 0.25 ≈ —0B.5C–4
ดังนั้น
BC ≈ 2.16

เนอ่ื งจาก tan 5° = —0B.5D–4
จะได ้ 0.09 ≈ —0B.5D–4
ดังน้นั
BD ≈ 6 เมตร

นั่นคอื ทางหา้ งจะตอ้ งทำ�ทางลาดใหม่ท่มี จี ดุ เร่ิมตน้ อย่หู ่างจากจุดเริม่ ตน้ เดมิ ประมาณ 6 – 2.16

≈ 3.84 เมตร

ความสอดคลอ้ งกับจุดประสงค์ของบทเรยี น ได้ 1 คะแนน
ขอ้ 2 นักเรียนสามารถน�ำ ความรู้เกยี่ วกับอัตราสว่ นตรโี กณมติ ิไปใช้ในการแก้ปัญหา ได้ 0 คะแนน
เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดังน้ี
ส่วนท่ี 1 การวาดภาพ ได้ 3 คะแนน
✤ วาดภาพไดส้ อดคล้องกับปญั หา
✤ วาดภาพไมส่ อดคล้องกับปัญหา หรือไมว่ าด ได้ 2 คะแนน
ส่วนท่ี 2 การเขียนแสดงแนวคิดและหาคำ�ตอบ
✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถ้วน และค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถว้ น แต่คำ�ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง ได้ 0 คะแนน
หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่ค�ำ ตอบถกู ตอ้ ง
✤ เขียนแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่ค�ำ ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง
หรือไม่เขียนแสดงแนวคดิ แตค่ �ำ ตอบถกู ต้อง
✤ ไม่เขยี นแสดงแนวคิดและคำ�ตอบไมถ่ ูกต้อง หรือไม่เขียน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 5 | อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 369

A

8. พายุ “โพดุล” ได้เคลื่อนตัวเข้าสู่จังหวัดนครพนม เม่ือวันที่ 30 สิงหาคม พ.ศ. 2562 ซ่ึงส่งผลให้เกิดฝนตกหนักและ

น�ำ้ ทว่ มฉบั พลันในหลายพนื้ ท่ี ถา้ ต้นไมท้ บ่ี ้านของจ๊ิบจอ๊ ยถูกพายโุ พดลุ พัดหกั ลงม0า.5ท4�ำ ให้ยอดของตน้ ไม้จรดพืน้ ท�ำ มมุ

30 องศา กับพื้นดินพอดี ถ้ายอดข5อ° งต้นไม้อยู่ห่างจ1า4°กโคนต้นไม้ 10 เมตร จงวาดภาพแทนสถานการณ์ และหาว่า
ความสงู ของต้นไม้กอ่ นDโดนพายุพัดหกั เปน็ เทC่าไร
B (4 คะแนน)

แนวคดิ จากโจทย์ อาจวาดภาพแทนสถานการณไ์ ดด้ ังน้ี

B

n
m

30° 10 A
C

เมอ่ื จดุ A แทน โคนตน้ ไม้

จดุ B แทน ต้นไมบ้ รเิ วณท่ีหัก

จดุ C แทน จุดทีย่ อดของต้นไมห้ กั ลงมาจรดพนื้

จากรูป จะไดค้ วามสูงของต้นไม้กอ่ นโดนพายพุ ดั หัก เท่ากับ m + n เมตร

เนื่องจาก cos 30° = 1—n0

จะไ ด้  √  23   = 1—n0
n = —√203
ดังนน้ั

เนอ่ื งจาก sin 30° = —mn

— จ ะได ้ 1–2 = m

—√203 

ดังนัน้ m = —√103

น่ันคอื ความ สูงขอ งตน้ ไม ้กอ่ นโด นพายุพัดหกั เท่ากบั —√203 + —√103 = —√303 = 30√3 = 10√3 เมตร
    3   

หรือประมาณ 17.32 เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

370 บทท่ี 5 | อตั ราส่วนตรีโกณมิติ คมู่ ือครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น ได้ 1 คะแนน
ขอ้ 2 นกั เรียนสามารถนำ�ความรู้เกี่ยวกบั อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิไปใช้ในการแก้ปญั หา ได้ 0 คะแนน
เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน โดยแบ่งใหค้ ะแนน ดงั น้ี
สว่ นที่ 1 การวาดภาพ ได้ 3 คะแนน
✤ วาดภาพได้สอดคลอ้ งกับปัญหา
✤ วาดภาพไมส่ อดคลอ้ งกบั ปญั หา หรอื ไมว่ าด ได้ 2 คะแนน
สว่ นท่ี 2 การเขยี นแสดงแนวคดิ และหาค�ำ ตอบ
✤ เขียนแสดงแนวคิดครบถ้วน และค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน
✤ เขยี นแสดงแนวคิดครบถว้ น แตค่ ำ�ตอบไม่ถูกต้อง ได้ 0 คะแนน
หรือเขยี นแสดงแนวคดิ บางสว่ น แต่คำ�ตอบถกู ตอ้ ง
✤ เขยี นแสดงแนวคดิ บางส่วน แต่คำ�ตอบไม่ถกู ตอ้ ง
หรอื ไม่เขียนแสดงแนวคดิ แต่คำ�ตอบถกู ตอ้ ง
✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคดิ และคำ�ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่เขียน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 5 | อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ 371

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

372 บทท่ี 4 | ทศนิยมและเศษส่วน คมู่ ือครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

กจิ กรรมคณิตศาสตร์เชงิ สะเต็ม : มอ้ื น้ฟี รหี รอื จา่ ย

กิจกรรมคณิตศาสตร์เชิงสะเต็ม เป็นกิจกรรมหรือปัญหาคณิตศาสตร์ท่ีมีความเก่ียวข้องกับชีวิตจริง ซึ่งใช้กระบวนการ
ออกแบบเชิงวิศวกรรม หรือศาสตร์ที่เก่ียวข้อง คือ วิทยาศาสตร์ และเทคโนโลยี มาช่วยในการแก้ปัญหา สำ�หรับกิจกรรมน้ีมี
จดุ ประสงค์ใหน้ ักเรยี นใชค้ วามร้เู ร่อื งความนา่ จะเป็น มาออกแบบกติกาของเกมหยบิ ลูกบอล เพอ่ื สมนาคณุ ลกู คา้ ของรา้ นอาหาร
โดยมสี ่อื /อปุ กรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนินกจิ กรรมดังน้ี

สอื่ /อุปกรณ์

✤ ลูกบอล (หรอื ลกู ปงิ ปอง) สแี ตกต่างกัน 3 สี สีละ 2 ลูก รวมเป็น 6 ลูก
✤ กล่องทบึ (หรือถงั ทบึ ) 1 ใบ

ขนั้ ตอนการทำ�กิจกรรม

1. ครแู บง่ นักเรยี นออกเปน็ กลมุ่ กลุ่มละ 4–5 คน
2. ครใู หน้ กั เรยี นชว่ ยกนั คดิ ออกแบบกตกิ าส�ำ หรบั เหตกุ ารณ์ A และ B ซง่ึ จะท�ำ ใหไ้ ดค้ วามนา่ จะเปน็ ของแตล่ ะเหตกุ ารณ์

เป็นไปตามที่กำ�หนด พร้อมทง้ั แสดงแนวคิดในการคำ�นวณความนา่ จะเปน็
3. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะกลมุ่ ทดลองหยบิ ลกู บอลตามกตกิ าทนี่ กั เรยี นในกลมุ่ นน้ั ก�ำ หนด จ�ำ นวน 30 ครงั้ เพอื่ เปรยี บเทยี บ

ความนา่ จะเป็นทางทฤษฎแี ละความน่าจะเปน็ ในทางปฏบิ ัติ
4. ครูให้ตัวแทนนักเรียนแต่ละกลุ่มนำ�เสนอกติกาท่ีออกแบบสำ�หรับแต่ละเหตุการณ์ เพื่ออภิปรายแลกเปลี่ยนแนวคิด

กับเพอ่ื นกลุ่มอื่น ๆ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ทศนิยมและเศษส่วน 373

เฉลยกิจกรรมคณิตศาสตร์เชงิ สะเต็มศกึ ษา : มอ้ื นี้ฟรหี รอื จ่าย

แนวคดิ

เน่ืองจากมีลูกบอลเป็นสีทอง สีเงิน และสีชมพู อย่างละ 2 ลูก จะกำ�หนดให้ลูกบอลสีทอง สีเงิน และสีชมพู มีช่ือเป็น

ท1 ท2 ง1 ง2 ช1 ช2 ตามลำ�ดบั
ถ้าก�ำ หนดกติกาใหล้ ูกคา้ แต่ละโตะ๊ สุม่ หยบิ ลกู บอลจากกลอ่ งหรอื ถงั ทบึ พร้อมกันจำ�นวน 2 ลูก

ผลลพั ธ์ทั้งหมดทเี่ กดิ ขึน้ ได้จากการสุม่ หยบิ ลูกบอลขึ้นมาพรอ้ มกนั สองลกู มี 15 แบบ ดังนี้

ท1ท2 ท1ง1 ท1ง2 ท1ช1 ท1ช2

ท2ง1 ท2ง2 ท2ช1 ท2ช2

ง1ง2 ง1ช1 ง1ช2

ง2ช1 ง2ช2

ช1ช2

เพ่ือให้เหตุการณ์ A มีความน่าจะเป็นมากกว่า 0 และน้อยกว่า 0.1 เหตุการณ์ A จะต้องมีผลลัพธ์ท่ีเกิดขึ้นได้และ

มีไม่ถงึ 1.5 แบบ เช่น อาจก�ำ หนดให้เหตุการณ์ A เปน็ การหยบิ ได้ลูกบอลสที องทง้ั สองลูก ซงึ่ มีผลลัพธ์เพียงแบบเดียว คอื ท1ท2
จะไดค้ วามนา่ จะเปน็ ของเหตกุ ารณ์ A เป็น 1—15
เพื่อให้เหตุการณ์ B มีความน่าจะเป็นมากกว่าหรือเท่ากับ 0.4 และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 0.5 เหตุการณ์ B จะต้อง

มีจ�ำ นวนผลลพั ธต์ ้ังแต ่ 6 ถงึ 7.5 แบบ เช่น อาจกำ�หนดให้เหตกุ ารณ์ B เปน็ การหยิบลูกบอลไมไ่ ด้สที องเลย ซึง่ มีผลลัพธอ์ ยู่ 6

แบบ คอื ง1ง2 , ง1ช1 , ง1ช2 , ง2ช1 , ง2ช2 และ ช1ช2 ท�ำ ให้ได้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เปน็ 1—65 หรอื 0.4
น่ันคือ ควรกำ�หนดกติกาให้ลูกค้าสุ่มหยิบลกู บอลจากกล่องทบึ ข้นึ มาสองลูกพร้อมกัน และให้เหตกุ ารณ์ A ซ่งึ ทำ�ให้ไดร้ ับ

รางวลั ที่ 1 เปน็ เหตกุ ารณท์ ่ีหยบิ ได้ลูกบอลสที องทัง้ สองลกู และให้เหตกุ ารณ์ B ซงึ่ ทำ�ให้ได้รบั รางวัลที่ 2 เป็นเหตุการณ์ทีห่ ยิบ

ไม่ไดล้ ูกบอลสีทองเลย

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

374 บทที่ 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน ค่มู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

ความรู้เพิ่มเตมิ ส�ำ หรับครู

การใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขวทิ ยาศาสตรใ์ นการพจิ ารณาค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

เราสามารถใช้เครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ในการสังเกตค่า หรือสำ�รวจสมบัติต่าง ๆ ได้ โดยใช้เมนูหรือคำ�ส่ังของ
เครอื่ งคดิ เลข แลว้ สงั เกตสง่ิ ทเ่ี กดิ ขนึ้ เพอ่ื น�ำ ไปสกู่ ารสรา้ งขอ้ ความคาดการณ ์ สมบตั ิ หรอื ค�ำ ตอบของปญั หา ใหพ้ จิ ารณาตวั อยา่ ง
ดังต่อไปน้ี

ตวั อยา่ ง จงพิจารณาว่า ระบบสมการในแต่ละข้อต่อไปนี้ มีคำ�ตอบเดียว หรือ มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด หรือ
ไม่มคี ำ�ตอบ
1) 3x + 2y = 2
2x + 2y = -1
2) 2x + 4y = 2
3x + 6y = 12
3) x – 2y = -3
-3x + 6y = 9

เราสามารถใช้เคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์ในการพิจารณาลักษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใช้

การนึกภาพของกราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรควบคู่ไปกับการใช้เมนูและคำ�สั่งของเคร่ืองคิดเลขวิทยาศาสตร์ได้

โดยไมต่ อ้ งวาดกราฟ ดังน้ี

1. จดั รูปสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรให้อยู่ในรูป y = mx + b เมือ่ x และ y เป็นตวั แปร m และ b เป็นคา่ คงตัว
จากตวั อยา่ งขอ้ 1) จะจัดรูปได้เปน็ y = - –32x + 1 และ y = -x – –21
2. เลือกเมนู Table

สามารถใชเ้ ครื่องคดิ เลขได้ดังน้ี

MENU ▼ ▶ =

หรือ MENU ▲9▶▼◀

▲▶▼◀

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 4 | ทศนยิ มและเศษสว่ น 375

3. ใสส่ มการเชิงเสน้ สองตวั แปรทัง้ สองสมการลงไป

สามารถใช้เคร่ืองคิดเลขได้ดงั น้ี

– 3 ▼ 2 ▶χ+1 =

▲▶▼◀

–χ– 1▼2=

▲▶▼◀

4. เลือกขอบเขตของค่า x ท่ีจะแสดงในตาราง เช่น ในที่นี้ ให้สังเกตค่า x ต้ังแต่ -10 ถึง 10 โดยเพ่ิมขึ้น
คร้ังละ 1

สามารถใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขได้ดังนี้

–10=

▲▶▼◀

10=


1=

5. กด = บนเครื่องคิดเลขอีกครั้ง หน้าจอจะแสดง
▲ ▶▼ต◀ารางค่า f(x) และ g(x) หรือค่า y ของทั้งสองสมการ
ตามค่า x ท่ีกำ�หนดในขอ้ 4 จากนัน้ สังเกตคา่ x ที่ท�ำ ให้
ค่า y ของท้ังสองสมการเทา่ กัน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

376 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน ค่มู ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

6. จากตาราง สงั เกตเห็นวา่ ทคี่ ่า x = 3 จะท�ำ ให้
ทัง้ สองสมการมีคา่ y เทา่ กับ -3.5
แสดงว่า กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรทั้งสองสมการน้ัน
จะตดั กนั ที่จดุ (3, -3.5)
ดังนน้ั ระบบสมการนี้มคี �ำ ตอบ คอื (3, -3.5)

สำ�หรับตัวอยา่ งข้อ 2) ตารางทีไ่ ดจ้ ะไมม่ ีคา่ x ท่ีทำ�ให้ค่า y
ของทง้ั สองสมการเทา่ กนั แต่สังเกตได้วา่ เม่ือค่า x เพ่มิ ขึน้ 1 หนว่ ย
คา่ y ของทัง้ สองสมการจะลดลง 0.5 หนว่ ย เท่ากัน และทกุ ๆ คา่ x
จะมีค่า y ของทัง้ สองสมการตา่ งกัน 1.5 หนว่ ย เสมอ แสดงวา่
กราฟของสมการเชงิ เสน้ ท้ังสองสมการน้ันขนานกนั
ดังนั้น ระบบสมการนไี้ มม่ ีคำ�ตอบ

สำ�หรับตัวอยา่ งขอ้ 3) ตารางแสดงวา่ ทกุ ๆ คา่ x จะมีคา่ y
ของทงั้ สองสมการเทา่ กันเสมอ แสดงวา่ กราฟของสมการเชงิ เส้น
ทงั้ สองสมการนัน้ ทับกัน
ดังน้นั ระบบสมการนม้ี คี ำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด

หมายเหตุ : หากตารางทไ่ี ดไ้ ม่เป็นไปตามลกั ษณะของตัวอย่างท้งั สามขา้ งตน้ ใหพ้ จิ ารณาใหมอ่ ีกครง้ั โดยเปล่ียนขอบเขตของค่า x ทจ่ี ะแสดงในตาราง
และปรับค่าทเ่ี พิ่มข้ึนในแตล่ ะคร้งั ใหน้ อ้ ยลง เชน่ 0.25, 0.5 หรอื 0.6 ทง้ั น ้ี ตัวอยา่ งของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรท่ใี ชจ้ ะต้องมี
ค�ำ ตอบไมซ่ ับซ้อนเกนิ ไปส�ำ หรบั การใชเ้ ครือ่ งคิดเลขพิจารณา เชน่ คำ�ตอบท่ีเป็นทศนิยมหลายตำ�แหน่ง หรอื จำ�นวนทอี่ ยู่ในรูปกรณฑ์

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษสว่ น 377

การใชเ้ ครอ่ื งคดิ เลขวทิ ยาศาสตรใ์ นการตรวจสอบค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

ตวั อยา่ ง จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
3x + 2y = 2
2x + 2y = -1

เราสามารถใชเ้ มนแู ละคำ�สั่งในเคร่ืองคิดเลขวทิ ยาศาสตรใ์ นการตรวจสอบคำ�ตอบ ได้ดังน้ี

1. เลือกเมนู Equation/Function

สามารถใช้เครื่องคิดเลขไดด้ งั น้ี

MENU ▼ ▼ ▶ =

หรือ MENU ▲(▶–▼) ◀

▲▶▼◀

2. กด 1 บนเคร่อื งคดิ เลขเพ่อื เลอื กเมนูย่อย
Simul Equation

จากนน้ั กด 2 เพื่อระบวุ า่ เป็นระบบสมการเชิงเสน้
ทีม่ ตี วั แปร 2 ตวั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

378 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

3. จัดรปู สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรใหอ้ ยูใ่ นรูป ax + by = e เมอ่ื x และ y เปน็ ตัวแปร a, b และ e เป็นจำ�นวนจรงิ
ท่ี a และ b ไม่เป็นศูนยพ์ รอ้ มกนั จากน้นั ใสค่ า่ a, b และ e ของแตล่ ะสมการลงในเครอ่ื งคิดเลข

สามารถใชเ้ คร่อื งคดิ เลขไดด้ งั นี้

3=2=1=

2=2=–1 =

4. กด = บนเครอื่ งคดิ เลขอกี ครั้ง หนา้ จอจะแสดงค่า x
ทเ่ี ป็นค�ำ ตอบของระบบสมการ

จากนนั้ กด = บนเครอื่ งคิดเลขอกี คร้ัง หนา้ จอจะ
แสดงค่า y ทเ่ี ปน็ ค�ำ ตอบของระบบสมการ

ส�ำ หรับระบบสมการเชงิ เส้นทม่ี คี ำ�ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัด
หนา้ จอจะแสดง Infinite Solution

สำ�หรบั ระบบสมการเชงิ เสน้ ที่ไม่มคี �ำ ตอบ
หนา้ จอจะแสดง No Solution

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 4 | ทศนยิ มและเศษส่วน 379

การใช้เครื่องคิดเลขวทิ ยาศาสตร์ในการสุ่มจำ�นวน

ในการเรียนเก่ียวกับการทดลองสุ่มในเร่ืองความน่าจะเป็น นอกจากเราจะใช้การโยนเหรียญหรือการทอดลูกเต๋า
ในการเรยี นการสอนแล้ว เรายงั สามารถใชค้ ำ�สง่ั ในเครือ่ งคดิ เลขวทิ ยาศาสตร์ในการสุม่ จ�ำ นวนเต็มไดโ้ ดยใชค้ �ำ ส่ัง RanInt ดงั น้ี

1. เลือกค�ำ ส่งั RanInt เพอื่ ส่มุ จ�ำ นวนเตม็ ในขอบเขตทก่ี ำ�หนด

สามารถใชเ้ ครือ่ งคดิ เลขได้ดังนี้

ALPHA •

▲▶▼◀

2. ก�ำ หนดขอบเขตของจ�ำ นวนเต็มท่ีต้องการสุ่ม ในท่นี ้ีก�ำ หนดให้สุ่มจำ�นวนเตม็ ตั้งแต่ -5 ถงึ 5

สามารถใช้เครื่องคิดเลขได้ดังนี้

– 5 SHIFT ) 5 )

3. กด = บนเคร่อื งคดิ เลข หน้าจอด้านขวาลา่ งจะ
▲ ▶▼ป◀รากฏจำ�นวนทสี่ มุ่ ขน้ึ
และเมื่อกด = เร่ือย ๆ หนา้ จอกจ็ ะปรากฏจ�ำ นวน
ทีส่ ▲มุ่ ▶ขึน้▼ใ◀นแต่ละครัง้ และจ�ำ นวนนนั้ จะอยใู่ นขอบเขต
ทก่ี ำ�หนดข้นึ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

380 บทท่ี 4 | ทศนิยมและเศษสว่ น คู่มือครูรายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

บรรณานุกรม

ราชบณั ฑิตยสถาน. (2543). ศัพทค์ อมพวิ เตอร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พมิ พ์ครง้ั ที่ 5). กรุงเทพฯ: อรณุ การพมิ พ์.

ราชบัณฑิตยสถาน. (2546). ศพั ท์วิทยาศาสตร์ องั กฤษ–ไทย ไทย–อังกฤษ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พมิ พค์ รงั้ ท่ี 5). กรงุ เทพฯ:
อรุณการพิมพ.์

ราชบัณฑิตยสถาน. (2553). พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (พิมพ์คร้ังที่ 10). กรุงเทพฯ: นานมีบุ๊คส์
พบั ลิเคชัน่ ส์.

ราชบณั ฑิตยสถาน. (2554). พจนานุกรม ฉบับราชบณั ฑติ ยสถาน (พิมพ์ครง้ั ที่ 2). กรุงเทพฯ: นานมบี คุ๊ สพ์ ับลเิ คชน่ั ส์.

ราชบัณฑิตยสถาน. (2557). ศัพท์ต่างประเทศท่ใี ช้ค�ำ ไทยแทนได้ (พมิ พ์ครัง้ ท่ี 4). กรุงเทพฯ: นานมบี คุ๊ ส์พบั ลิเคชั่นส์.

ราชบัณฑติ ยสถาน. (2558). พจนานกุ รมค�ำ ใหม่ เล่ม 1–2 ฉบบั ราชบัณฑติ ยสถาน. กรุงเทพฯ: นานมีบุ๊คส์พับลิเคชั่นส์.

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2556). คมู่ อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
(พิมพค์ รงั้ ท่ี 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2558). คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน คณติ ศาสตร์ เล่ม 1 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
(พิมพค์ รง้ั ท่ี 3). กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2559). คมู่ อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3
(พิมพค์ ร้งั ที่ 2). กรุงเทพฯ: โรงพิมพ์ สกสค. ลาดพรา้ ว.

สำ�นักงานราชบัณฑิตยสภา. (2559). พจนานุกรมศัพท์คณิตศาสตร์ ฉบับราชบัณฑิตยสภา (พิมพ์ครั้งท่ี 11). กรุงเทพฯ:
สหมติ รพรน้ิ ติง้ แอนดพ์ บั ลสิ ช่ิง.

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 4 | ทศนิยมและเศษสว่ น 381

คณะผูจ้ ัดท�ำ

คณะที่ปรกึ ษา สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ศ. ดร.ชกู ิจ ลมิ ปิจ�ำ นงค ์ สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ดร.วนิดา ธนประโยชนศ์ กั ด์ ิ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ดร.ศรเทพ วรรณรตั น ์
โรงเรยี นทับปดุ วทิ ยา จงั หวดั พงั งา
คณะผจู้ ัดทำ�คมู่ ือครู โรงเรยี น ภ.ป.ร. ราชวทิ ยาลยั ในพระบรมราชูปถมั ภ์
นางนงนชุ ผลทว ี จงั หวดั นครปฐม
ดร.เชดิ ศกั ด ์ิ ภกั ดีวโิ รจน ์ โรงเรียนสตรสี ิรเิ กศ จังหวดั ศรีสะเกษ
โรงเรียนสาธิต “พิบลู บ�ำ เพ็ญ” มหาวิทยาลัยบรู พา
นางมยรุ ี สาลีวงศ ์ จังหวดั ชลบรุ ี
นายรฐั พล กัลพล ขา้ ราชการบ�ำ นาญ
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นายถนอมเกยี รติ งานสกุล สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาวดนติ า ชืน่ อารมณ์ สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาววรนารถ อยู่สุข สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาวจนั ทรน์ ภา อตุ ตะมะ สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ดร.รณชยั ปานะโปย สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาวสริ วิ รรณ จันทรก์ ลู
ดร.อลงกต ใหม่ดว้ ง จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลยั
จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลยั
คณะผพู้ จิ ารณาคมู่ ือครู มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร์
รศ. ดร.อัมพร มา้ คนอง มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ผศ. ดร.ไพโรจน ์ น่วมนมุ่ มหาวิทยาลัยสวนดุสติ
ผศ. ดร.ชนิศวรา เลิศอมรพงษ์ โรงเรียนทับปดุ วิทยา จังหวดั พงั งา
ผศ. ดร.วันด ี เกษมสขุ พิพัฒน ์ โรงเรยี นเบญ็ จะมะมหาราช จงั หวัดอบุ ลราชธานี
ผศ. ดร.อรรถศาสน์ นมิ ิตรพนั ธ์ โรงเรียน ภ.ป.ร. ราชวทิ ยาลัย ในพระบรมราชปู ถัมภ ์
นางนงนชุ ผลทวี จังหวัดนครปฐม
ดร.วัลลภา บญุ วิเศษ
ดร.เชิดศักดิ ์ ภกั ดีวิโรจน ์


สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

382 บทที่ 4 | ทศนิยมและเศษส่วน คมู่ อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

นางสาวอัจฉรา วนั ฤกษ์ โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย มุกดาหาร
จังหวัดมกุ ดาหาร
นางมยุรี สาลีวงศ์ โรงเรียนสตรีสริ ิเกศ จังหวดั ศรีสะเกษ
นายรฐั พล กลั พล โรงเรียนสาธิต “พบิ ลู บ�ำ เพ็ญ” มหาวทิ ยาลยั บูรพา
จงั หวดั ชลบุรี
นายถนอมเกยี รต ิ งานสกุล ขา้ ราชการบำ�นาญ
ผศ.ลดั ดาวัลย์ เพ็ญสุภา สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสวุ รรณา คลา้ ยกระแส สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นายสมนึก บญุ พาไสว สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ผศ.มาลนิ ท์ อทิ ธริ ส สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.อลงกรณ์ ต้งั สงวนธรรม สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาวดนติ า ชืน่ อารมณ ์ สถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
นางสาววรนารถ อยสู่ ขุ สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาวจันทรน์ ภา อุตตะมะ สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ดร.รณชัย ปานะโปย สถาบันสง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
นางสาวสิรวิ รรณ จันทรก์ ลู สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี
ดร.อลงกต ใหมด่ ้วง สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คณะบรรณาธิการ จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลัย
รศ. ดร.อมั พร ม้าคนอง มหาวทิ ยาลัยเกษตรศาสตร์
ผศ. ดร.วันดี เกษมสุขพิพัฒน ์ สถาบนั ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ผศ.มาลนิ ท ์ อิทธิรส
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
คณะท�ำ งานฝา่ ยเสริมวิชาการ สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี
ฝ่ายนวัตกรรมเพอ่ื การเรียนร ู้
นางวนิดา สงิ หน์ ้อย

ออกแบบรปู เลม่
บรษิ ทั เธิรด์ อาย 1999 จ�ำ กัด

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี