คู่มือครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 2

คมู่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 149

8. แนวคดิ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั

C จะได้ AB2 = 292 – 212

= 400

29 – x ดงั นนั้ AB = 20
21 – y
ให้ BP = x หน่วย และ AR = y หน่วย

Q จะได้ y = 20 – x 1

R O x และ 21 – y = 29 – x 2
y
xB เมื่อแกร้ ะบบสมการ จะได้ x = 14 และ y = 6

A 20 – x P เนอ่ื งจาก APOR เป็นรปู สเ่ี หลี่ยมจตั ุรัส

จะได้ รัศมีของวงกลม O เทา่ กับ y หนว่ ย

ดังนั้น รัศมขี องวงกลม O ยาว 6 หน่วย

9. 1) สร้างรปู ตามที่โจทย์ระบุได้ดังน้ี C

Y X

I

A B
B
2) สรา้ งรูปต่อจากขอ้ 1) ได้ดังน้ี

C

YF E X

I

AD

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

150 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3) แนวคดิ จากรปู ในข้อ 2)

เนื่องจาก IˆDA = IˆFA

DˆAI = FˆAI

และ IA = IA แบบ ม.ม.ด.
ดงั นัน้ ∆DAI ≅ ∆FAI แบบ ม.ม.ด.

นน่ั คอื ID = IF

ในท�ำ นองเดยี วกนั
จะได้ ∆DBI ≅ ∆EBI

ดังน้ัน ID = IE

นั่นคอื ID = IE = IF

4) แนวคิด เนอ่ื งจาก ID = IE = IF ทำ�ให้ IE และ IF เป็นรศั มีของวงกลมท่ีมรี ัศมียาว ID ดว้ ย

และเนอ่ื งจาก ID , IE และ IF ตัง้ ฉากกับ AB , BC และ AC ท่จี ดุ D , E และ F ตามลำ�ดับ

ดังนนั้ ดา้ นท้ังสามของ ∆ABC จะสัมผสั กับวงกลม I ทจี่ ดุ D จุด E และจดุ F ดังรูป

C E X
YF

I

AD B

10. แนวคิด

A

23

BC

7

E
D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 151

เน่อื งจาก BˆAC = DˆAE (มุมเดียวกนั )

และเส้นตรง สัมผัสกับวงกลมทั้งสองที่จดุ A (มุมที่เกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดสัมผัส
จะได้ จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
PˆAD = AˆCB = AAˆˆEDDE � ทีอ่ ย่ตู รงข้ามกับคอรด์ น้นั )
QˆAE = AˆBC = (มีมุมทม่ี ีขนาดเทา่ กนั เปน็ คู่ ๆ 3 คู)่



ดังนนั้ ∆ABC ~ ∆ADE

ท�ำ ให้ไดว้ า่ AA—DB = AA—CE
จะได ้ 7–2 = A—3E

ดงั นั้น AE = 10.5 หนว่ ย
นนั่ คือ CE = 10.5 – 3 = 7.5 หน่วย

11. 1) แนวคิด

D
E

C

A B

ลาก AE และ BE (มุมท่ีเกิดจากคอร์ดและเส้นสัมผัสวงกลมท่ีจุดสัมผัส
จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของวงกลม
จะได ้ BˆEC = EˆAC ที่อยตู่ รงขา้ มกับคอรด์ นั้น)
(มมุ เดียวกัน)
(ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม
รวมกันเป็น 180° และเม่ือมุมสองคู่มีขนาดเท่ากัน
มมุ คูท่ เ่ี หลือจงึ มขี นาดเท่ากัน)
เนอ่ื งจาก BˆCE = EˆCA (มมี ุมทีม่ ขี นาดเท่ากันเป็นคู่ ๆ 3 คู)่
และจาก EˆBC = AˆEC



ดงั นน้ั ∆BCE ~ ∆ECA

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

152 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2) แนวคดิ เน่อื งจาก ∆BCE ~ ∆ECA

จะได ้ —BCCE = C—EAC
—B7C = C—7A


ดังนั้น CA ∙ BC = 49 หรือ AC ∙ BC = 49

12. แนวคดิ

D x° C E

35° y° 2x° 25°

AO B

ให้ OˆAC = y°

จาก ∆ACE

จะได้ y + 25 = x

หรือ y – x = -25 1
2
ลาก OD จะได้ DˆOA = 2x°

และจาก ∆ADO

จะได้ 2x + 2(y + 35) = 180

หรือ x + y = 55

เมือ่ แกร้ ะบบสมการ จะได้ x = 40 และ y = 15

ดงั นนั้ x = 40

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 153

ตัวอย่างแบบทดสอบทา้ ยบท

1.

G E
F N

A OD

C

B
M

จากรปู ท่กี ำ�หนดให้ จงเขยี นความสัมพนั ธ์ระหวา่ งสว่ นตา่ ง ๆ ทีเ่ กี่ยวข้องกบั วงกลม หรอื ขนาดของมุมมา 5 ขอ้

(5 คะแนน)

2. C จากรูป O เปน็ จุดศนู ย์กลางของวงกลม มี AB เปน็ เสน้ ผ่าน

ศนู ยก์ ลางของวงกลม BˆCD = 25° และ CˆAB = 35°

จงหาขนาดของมมุ ต่อไปน้ี (5 คะแนน)

A O B 1) AˆCD =
2) BˆOD =

3) CˆBD =

D 4) AˆDC =
5) OˆDC =

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

154 บทท่ี 2 | วงกลม คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3. D

x°

C

O
A

PBQ

จากรปู O เปน็ จุดศนู ยก์ ลางของวงกลม และ �PQ เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลมทจี่ ดุ B

ให้นักเรียนพิจารณาว่าความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด แล้วทำ�เคร่ืองหมายถูก () หรือผิด ()

ลงใน  หน้าข้อความ พร้อมท้ังให้เหตุผลประกอบ โดยเขียนแสดงสมบัติทางเรขาคณิตหรือทฤษฎีบทเก่ียวกับ

วงกลมนน้ั (16 คะแนน)

 1) 2x = AˆOB

เพราะ



 2) x + OˆDC = 90°

เพราะ



 3) x = AˆCB

เพราะ



 4) x + OˆDC + AˆBC = 180°

เพราะ



 5) x = BˆO2C

เพราะ



 6) x + OˆBC + AˆOD = 180°

เพราะ



 7) x = PˆBA

เพราะ



สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 155

 8) x + AˆCB + AˆOB = 180°

เพราะ


4. C จากรปู AB ขนานกับ CD และ AD ตัดกับ BC ทจ่ี ดุ E
D
A ถา้ AˆEB = 110° แล้ว AˆBC มขี นาดเท่าไร (1 คะแนน)

ก. 25°
ข. 35°
E ค. 45°
ง. 55°

B

5. จากรูป O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลม และ OˆBA = AˆCB

จงหาขนาดของ AˆDB (1 คะแนน)

O C ก. 120°
D B
ข. 125°

ค. 130°
A
ง. 135°

6.

O
C

20° D
B
A

จากรปู A�B เป็นเส้นสัมผัสวงกลม O ทจ่ี ดุ B และ OˆAB = 20° จงหาขนาดของ BˆDC (1 คะแนน)

ก. 135° ข. 140°

ค. 145° ง. 150°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

156 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

7. A

12 ซม. 20 ซม.
O

C 16 ซม. B

จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มทม่ี ดี า้ น AC, BC และ AB ยาว 12 , 16 และ 20 เซนตเิ มตร ตามล�ำ ดบั มวี งกลม O

แนบในรูป ΔABC จงหาความยาวของรศั มขี องวงกลม (1 คะแนน)

ก. 3 เซนติเมตร ข. 4 เซนตเิ มตร

ค. 5 เซนติเมตร ง. 6 เซนติเมตร

8. AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O ถ้า AC ยาว 15 เซนติเมตร BC ยาว 20 เซนติเมตร และ AD ยาว
24 เซนตเิ มตร ดังรปู

A

15

C
O 24

20 (4 คะแนน)



BD

จงหา

1) ความยาวของรศั มขี องวงกลม O

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 157

2) ความยาวของ BD

9. จากรูป �PA และ �PB สัมผสั วงกลม O ทจี่ ุด A และ B ตามล�ำ ดบั และ AˆCB = 65°

A

C 65° O

P

B

จงเตมิ ขอ้ ความและเหตผุ ลลงในชอ่ งว่าง เพ่อื หาขนาดของ AˆPB ใหถ้ กู ตอ้ ง (5 คะแนน)

ขอ้ ข้อความ เหตผุ ล

1) AˆCB = องศา

2) AˆOB = องศา

3) OˆAP = OˆBP = องศา

4) AˆPB + + + = 360°

5) AˆPB = องศา

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

158 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

10. AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O และ ΔOBC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ดงั รปู จงแสดงการหาขนาดของ OˆAC

พร้อมทั้งใหเ้ หตุผลประกอบ (5 คะแนน)

C

AO B

11.

A จากรูป O เป็นจดุ ศูนย์กลางของวงกลม
C PA เปน็ เส้นสมั ผัสวงกลมทีจ่ ดุ A

AD แบง่ ครึ่ง BˆAC และ AˆDC = 70°
(2 คะแนน)
O จงหา
1) x =
70° y° P 2) y =
B x°
D

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 159

12. A
จากรปู ให้ A�X สมั ผสั ทง้ั วงกลม O และวงกลม P
30° 50° ทจ่ี ดุ B A�G และ A�H เป็นเส้นสัมผสั วงกลม O และ

C วงกลม P ทีจ่ ดุ C และ D ตามล�ำ ดบั สว่ นต่อของ CB
และสว่ นตอ่ ของ BD ตดั วงกลม P และวงกลม O ทจ่ี ดุ F
O B
G D และ E ตามล�ำ ดบั ถา้ BˆAC = 30° และ BˆAD = 50°

E P
H
X

F

จงพิจารณาวา่ ขนาดของมุมในแต่ละข้อต่อไปน้เี ปน็ จริงหรอื เท็จ แลว้ ทำ�เครอื่ งหมายถูก () ลงในชอ่ งว่างหน้าข้อ

ท่ีเป็นจริง และท�ำ เครื่องหมายผิด () ลงในช่องว่างหน้าขอ้ ทเ่ี ปน็ เท็จ (5 คะแนน)

1) BˆCE = 65°

2) DˆBF = 40°

3) BˆDF = 80°

4) CˆBD = 140°

5) FˆDH = 50°

13. A AB เป็นเสน้ ผา่ นศูนยก์ ลางของวงกลม O
B�C และ B�D มคี วามยาวเทา่ กัน
(2x)°
ถา้ AˆBD = (3x)° และ BˆAC = (2x)° แลว้
C O
D x= (2 คะแนน)
(3x)°

B

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

160 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

14. B D M จากรปู วงกลม O และวงกลม P สัมผสั กันภายในท่ีจุด A
A
OP N คอร์ด AB และคอร์ด AC ตัดวงกลม P ท่ีจุด D และ E
E
ตามลำ�ดับ MN สัมผสั วงกลม O และวงกลม P ทีจ่ ดุ A
C
จงแสดงว่า ΔABC ~ ΔADE พร้อมทั้งให้เหตุผล

ประกอบ (4 คะแนน)

15.

สถานการณป์ ญั หา
จากการสำ�รวจห้องทำ�งานของบริษัทแห่งหนึ่ง พบว่า โต๊ะทำ�งานของวิชาญอยู่ ณ พิกัด (1, -4)

โต๊ะท�ำ งานของยวดยิง่ อยู่ ณ พกิ ัด (-4, 1) และ โตะ๊ ท�ำ งานของเอกพจน์อยู่ ณ พกิ ดั (12, 1)
ถ้าเพ่ือนทั้งสามคนต้องการติดตั้งอุปกรณ์จัดเส้นทาง (router) เพ่ือกระจายสัญญาณ WIFI โดย

ใหม้ รี ะยะหา่ งจากโตะ๊ ท�ำ งานของทง้ั สามคน เทา่ ๆ กนั จะมวี ธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตงั้ อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง
เพ่ือกระจายสญั ญาณ WIFI ดังกลา่ วได้อยา่ งไร

ให้นักเรียนลงจุดที่เป็นตำ�แหน่งของโต๊ะทำ�งานโดยใช้กระดาษกราฟ หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต เช่น

The Geometer’s Sketchpad แลว้ แสดงวธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตง้ั อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง เพอ่ื กระจายสญั ญาณ WIFI

พร้อมท้ังเขียนแสดงค�ำ ตอบ (5 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 161

เฉลยตวั อยา่ งแบบทดสอบท้ายบท

1.

G E
F N

A OD

C

B
M

จากรปู ทก่ี �ำ หนดให้ จงเขยี นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนต่าง ๆ ทเ่ี ก่ียวขอ้ งกับวงกลม หรอื ขนาดของมมุ มา 5 ข้อ

(5 คะแนน)

ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น

1) OA = OD 2) BˆCE = BˆDE
4) DˆOC = 2(DˆBC)
3) มุมกลบั AOD = 2(AˆBD) 6) MˆCG = 90°
5) DˆEF = 90°

7) BˆCM = BˆEC 8) NˆCE = CˆBE
9) มุมกลบั AOC = 2(AˆBC) 10) BˆAC = BˆEC

11) CG = 2(CO) 12) OC ⊥ �MN

ความสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถบอกทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม คอรด์ ของวงกลม

และเส้นสมั ผสั วงกลม

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน

✤ ระบุความสมั พนั ธ์หรอื ขนาดของมุมถกู ต้อง ไดข้ อ้ ละ 1 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

162 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

2. C ศูนย์กจลาากงรขูปองOวงเปกลน็ มจุดศูนBˆยCก์ Dลาง=ขอ2งว5ง°กลแมลมะี AB เปน็ เส้นผา่ น

CˆAB = 35°

จงหาขนาดของมุมตอ่ ไปน้ี (5 คะแนน)

A O B 1) AˆCD = 65°
2) BˆOD = 50°
120°
3) CˆBD = 55°
30°
D 4) AˆDC =
5) OˆDC =

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถนำ�ทฤษฎีบทเก่ยี วกบั วงกลมไปใชใ้ นการให้เหตผุ ลและการแกป้ ัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

3. D

x°

C

O
A

PBQ

จากรูป O เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลม และ �PQ เปน็ เส้นสัมผัสวงกลมทีจ่ ุด B

ให้นักเรียนพิจารณาว่าความสัมพันธ์ในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด แล้วทำ�เคร่ืองหมายถูก () หรือผิด ()

ลงใน  หน้าข้อความ พร้อมท้ังให้เหตุผลประกอบ โดยเขียนแสดงสมบัติทางเรขาคณิตหรือทฤษฎีบทเกี่ยวกับ

วงกลมน้นั (16 คะแนน)

 1) 2x = AˆOB

เพราะ ในวงกลมวงเดยี วกนั มมุ ทจี่ ดุ ศนู ยก์ ลางจะมีขนาดเป็นสองเทา่ ของมุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมท่ี

รองรับดว้ ยสว่ นโค้งเดยี วกนั

 2) x + OˆDC = 90°

เพราะ มุมในครง่ึ วงกลมมขี นาด 90° หรอื หนง่ึ มุมฉาก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 2 | วงกลม 163

 3) x = AˆCB

เพราะ ในวงกลมวงเดียวกัน มมุ ในส่วนโค้งของวงกลมทีร่ องรบั ดว้ ยส่วนโค้งเดียวกันมขี นาดเท่ากัน

 4) x + OˆDC + AˆBC = 180°

เพราะ ผลบวกของขนาดของมุมตรงขา้ มของรูปส่เี หลยี่ มแนบในวงกลมเทา่ กบั สองมมุ ฉาก
 5) x = BˆO2C

ตัวอย่างการให้เหตผุ ล AˆDB ดังน้นั x = AˆOB

เพราะ AˆOB เปน็ มมุ ทีจ่ ุดศูนยก์ ลางท่ีรองรับด้วยสว่ นโค้งเดยี วกนั กบั 2

 6) x + OˆBC + AˆOD = 180°

เพราะ เมือ่ ใชค้ วามรทู้ วี่ า่ ในวงกลมวงเดยี วกนั มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกนั

มีขนาดเทา่ กัน และขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลย่ี มรวมกนั ได้ 180° แลว้ ท�ำ ให้

ความสมั พันธ์ขา้ งต้นเป็นจรงิ

 7) x = PˆBA

เพราะ มมุ ท่ีเกิดจากคอรด์ และเส้นสมั ผสั วงกลมทีจ่ ุดสัมผัส จะมขี นาดเท่ากับขนาดของมมุ ในสว่ นโค้งของ

วงกลมทอี่ ยูต่ รงข้ามกับคอรด์ นนั้

 8) x + AˆCB + AˆOB = 180°

ตัวอย่างการให้เหตุผล

เพราะ ในวงกลมเดยี วกนั มุมทร่ี องรบั ด้วยสว่ นโคง้ เดยี วกัน มขี นาดเท่ากัน และมุมทีฐ่ านของรปู สามเหลี่ยม

หน้าจวั่ มขี นาดเทา่ กนั

จะได้ AˆCB = AˆDB = OˆCB = OˆBC = x
เนอื่ งจาก OˆBC + OˆCB + BˆOC = 180° หรือ x + AˆCB + BˆOC = 180°
นัน่ คือ x + AˆCB + AˆOB = 180° เมอื่ AˆOB = BˆOC แต่ AˆOB ≠ BˆOC
ดงั น้นั x + AˆCB + AˆOB ≠ 180°

ความสอดคล้องกับจุดประสงคข์ องบทเรียน

ขอ้ 1 นกั เรยี นสามารถบอกทฤษฎบี ทเกยี่ วกบั มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางและมมุ ในสว่ นโคง้ ของวงกลม คอรด์ ของวงกลม

และเส้นสัมผสั วงกลม

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 16 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยแบ่งให้คะแนน ดงั น้ี

✤ ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนแสดงสมบตั ทิ างเรขาคณติ หรอื ทฤษฎบี ท

เก่ยี วกบั วงกลมท่ีรองรบั ความสมั พันธ์ถกู ตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

164 บทท่ี 2 | วงกลม คูม่ ือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

4. A E C จากรูป AB ขนานกับ CD และ AD ตดั กบั BC ที่จดุ E
B D
ถ้า AˆEB = 110° แลว้ AˆBC มขี นาดเทา่ ไร (1 คะแนน)

ก. 25°
ข. 35°
ค. 45°
ง. 55°

5. จากรูป O เป็นจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม และ OˆBA = AˆCB

C จงหาขนาดของ AˆDB (1 คะแนน)
B
A O ก. 120°
D
ข. 125°

ค. 130°

ง. 135°

6.

O
C

20° D
B
A

จากรปู A�B เป็นเส้นสัมผสั วงกลม O ทจ่ี ดุ B และ OˆAB = 20° จงหาขนาดของ BˆDC (1 คะแนน)

ก. 135° ข. 140°

ค. 145° ง. 150°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 165

7. A

12 ซม. 20 ซม.
O

C 16 ซม. B

จากรปู ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มทม่ี ดี า้ น AC, BC และ AB ยาว 12 , 16 และ 20 เซนตเิ มตร ตามล�ำ ดบั มวี งกลม O

แนบในรูป ΔABC จงหาความยาวของรศั มขี องวงกลม (1 คะแนน)

ก. 3 เซนติเมตร ข. 4 เซนตเิ มตร

ค. 5 เซนติเมตร ง. 6 เซนตเิ มตร

ส�ำ หรับข้อ 4–7

ความสอดคลอ้ งกบั จุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั วงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

8. AB เปน็ เสน้ ผ่านศนู ยก์ ลางของวงกลม O ถา้ AC ยาว 15 เซนตเิ มตร BC ยาว 20 เซนตเิ มตร และ AD ยาว
24 เซนตเิ มตร ดังรปู

A

15

C
O 24

20 (4 คะแนน)

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

BD

166 บทท่ี 2 | วงกลม คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

จงหา

1) ความยาวของรัศมขี องวงกลม O

แนวคดิ เนอื่ งจาก AˆCB เป็นมุมในครง่ึ วงกลม

จะได้ ∆ABC เปน็ รปู สามเหลีย่ มมุมฉาก ทม่ี ี AˆCB เปน็ มมุ ฉาก

จากทฤษฎีบทพที าโกรัส

ดงั นนั้ AB2 = AC2 + BC2

= 152 + 202

= 625

AB = 25

จะได ้ OA = 2—25 = 12.5

น่นั คือ รศั มีของวงกลม O ยาว 12.5 เซนตเิ มตร

2) ความยาวของ BD

แนวคิด เน่ืองจาก AˆDB เปน็ มมุ ในครงึ่ วงกลม

จะได้ ∆ABD เป็นรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก ที่มี AˆDB เปน็ มุมฉาก

จากทฤษฎีบทพที าโกรสั

ดงั นัน้ BD2 = AB2 – AD2

= 252 – 242

= 49

จะได้ BD = 7

นน่ั คอื BD ยาว 7 เซนตเิ มตร

ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรียน

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถนำ�ทฤษฎีบทเก่ยี วกบั วงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 4 คะแนน ข้อละ 2 คะแนน โดยมีเกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ดังนี้

✤ เขยี นแสดงแนวคดิ และหาค�ำ ตอบถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงแนวคิด แต่หาค�ำ ตอบไม่ถกู ตอ้ ง

หรอื ไม่เขียนแสดงแนวคดิ แตห่ าคำ�ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ ไมเ่ ขยี นแสดงแนวคิดและหาค�ำ ตอบไม่ถกู ต้อง หรือไม่เขยี น ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 2 | วงกลม 167

9. จากรูป �PA และ �PB สมั ผัสวงกลม O ทจี่ ดุ A และ B ตามล�ำ ดบั และ AˆCB = 65°

A

C 65° O

P

B

จงเติมขอ้ ความและเหตุผลลงในชอ่ งว่าง เพ่อื หาขนาดของ AˆPB ใหถ้ กู ตอ้ ง (5 คะแนน)

ขอ้ ข้อความ เหตผุ ล
1) AˆCB =
65 องศา ก�ำ หนดให้

2) AˆOB = 130 องศา มุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุม
ในส่วนโคง้ ของวงกลมท่รี องรบั ดว้ ยสว่ นโคง้ เดียวกัน
3) OˆAP = OˆBP = 90 องศา เส้นสมั ผสั จะตั้งฉากกับรัศมที ่ีจุดสมั ผสั

4) AˆPB + AˆOB + OˆAP + OˆBP = 360° ขนาดของมุมภายในทั้งส่ีมุมของรูปส่ีเหลี่ยมรวมกันเป็น
360°
5) AˆPB = 50 องศา สมบัติของการเท่ากนั

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรียนสามารถน�ำ ทฤษฎบี ทเกย่ี วกบั วงกลมไปใชใ้ นการให้เหตุผลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้

✤ เตมิ ข้อความถูกตอ้ ง ได้ 0.5 คะแนน

✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลถกู ต้อง ได้ 0.5 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

168 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

10. AB เปน็ เสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O และ ΔOBC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเทา่ ดงั รปู จงแสดงการหาขนาดของ OˆAC

พรอ้ มทัง้ ให้เหตุผลประกอบ (5 คะแนน)

C

AO B

แนวคดิ 1 เน่อื งจาก AˆCB = 90° (มมุ ในคร่ึงวงกลมมขี นาด 90°)

และ OˆBC = 60° (ΔOBC เปน็ รูปสามเหลยี่ มดา้ นเทา่ )

จะได้ OˆAC = 180 – (90 + 60) (ผลรวมของขนาดของมมุ ภายในของรูปสามเหลย่ี ม

เปน็ 180°)

ดังนน้ั OˆAC = 30°

แนวคิด 2 เน่อื งจาก AˆCB = 90° (มุมในครงึ่ วงกลมมีขนาด 90°)

และ OˆCB = 60° (ΔOBC เป็นรปู สามเหลี่ยมดา้ นเทา่ )

จะได้ OˆCA = AˆCB – OˆCB

ดงั นั้น OˆCA = 90 – 60 = 30° (สมบตั ิของการเท่ากัน)

เน่ืองจาก OA = OC (รัศมีของวงกลมเดยี วกนั )

ดังนนั้ ΔAOC เปน็ รปู สามเหลี่ยมหนา้ จวั่ (บทนยิ ามของรูปสามเหลยี่ มหน้าจัว่ )
(มมุ ท่ฐี านของรปู สามเหล่ยี มหน้าจ่ัวมขี นาดเทา่ กนั )
และเนื่องจาก OˆAC = OˆCA
(ΔOBC เปน็ รปู สามเหลย่ี มดา้ นเท่า)
ดงั นัน้ OˆAC = 30° (มุมทีจ่ ุดศนู ยก์ ลางจะมขี นาดเปน็ สองเท่าของขนาด

แนวคดิ 3 เน่ืองจาก BˆOC = 60°

และ BˆOC = 2(BˆAC)

ของมมุ ในส่วนโคง้ ของวงกลมทีร่ องรบั ด้วยส่วนโค้ง

เดยี วกนั )

จะได้ 60° = 2(BˆAC)

และ BˆAC = 6—20 = 30°
ดังนัน้ OˆAC = 30°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 2 | วงกลม 169

ความสอดคล้องกบั จุดประสงคข์ องบทเรียน

ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเกยี่ วกบั วงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแก้ปัญหาคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดังน้ี

สว่ นท่ี 1 การเขียนแสดงการหาขนาดของ OˆAC

✤ เขียนแสดงถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงถูกตอ้ งบางสว่ น ได้ 1 คะแนน

✤ เขยี นแสดงไม่ถกู ต้อง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

สว่ นท่ี 2 การเขียนแสดงเหตผุ ล

✤ เขียนแสดงเหตุผลถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงเหตุผลถกู ต้องบางสว่ น ได้ 1 คะแนน

✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลไมถ่ กู ต้อง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 3 การหาขนาดของ OˆAC

✤ หาขนาดของมมุ ถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

✤ หาขนาดของมุมไม่ถกู ต้อง หรอื ไมต่ อบ ได้ 0 คะแนน

11.

A จากรปู O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม

PA เปน็ เส้นสัมผสั วงกลมท่จี ุด A

AD แบง่ ครงึ่ BˆAC และ AˆDC = 70°

O จงหา (2 คะแนน)
1) x = 50

x° 70° y° P 2) y = 40

B DC

แนวคดิ 1) เนอื่ งจาก AˆCB = 90° (มุมในครึง่ วงกลมมีขนาด 90°)
(ก�ำ หนดให)้
และ AˆDC = 70° (ขนาดของมมุ ภายในทัง้ สามมมุ ของ
รปู สามเหลีย่ มรวมกนั เป็น 180°)
CˆAD + AˆCB + AˆDC = 180°
(ขนาดของมุมภายในท้งั สามมมุ ของ
รูปสามเหลีย่ มรวมกนั เปน็ 180°)

จะได้ CˆAD = 180 – 90 – 70 = 20°

เนือ่ งจาก BˆAC = 2(CˆAD)

ดังน้ัน BˆAC = 40°

เนอื่ งจาก x + AˆCB + BˆAC = 180



จะได้ x = 180 – 90 – 40 = 50

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

170 บทที่ 2 | วงกลม คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

2) เน่อื งจาก y + PˆAB + x = 180 (ขนาดของมมุ ภายในของรูปสามเหลีย่ ม
รวมกันเป็น 180°)

จะได้ y = 180 – 90 – 50 = 40
ดงั นน้ั x = 50 และ y = 40

ความสอดคล้องกบั จดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถนำ�ทฤษฎีบทเกย่ี วกับวงกลมไปใชใ้ นการใหเ้ หตผุ ลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน ขอ้ ละ 1 คะแนน

ตอบถูกต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ต้อง หรอื ไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

12. A จากรปู ให้ A�X สมั ผสั ทง้ั วงกลม O และวงกลม P

ทจ่ี ดุ B A�G และ A�H เปน็ เส้นสมั ผสั วงกลม O และ

30° 50°

วงกลม P ท่ีจดุ C และ D ตามล�ำ ดับ สว่ นต่อของ CB

C และสว่ นตอ่ ของ BD ตดั วงกลม P และวงกลม O ทจ่ี ดุ F

O B D และ E ตามล�ำ ดบั ถา้ BˆAC = 30° และ BˆAD = 50°
G
P
E H

X

F

จงพิจารณาวา่ ขนาดของมมุ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีเปน็ จริงหรอื เทจ็ แลว้ ท�ำ เครอ่ื งหมายถกู () ลงในช่องว่างหนา้ ข้อ

ท่เี ปน็ จริง และท�ำ เครอ่ื งหมายผิด () ลงในชอ่ งว่างหนา้ ข้อทีเ่ ปน็ เท็จ (5 คะแนน)

 1) BˆCE = 65°

 2) DˆBF = 40°

 3) BˆDF = 80°

 4) CˆBD = 140°

 5) FˆDH = 50°

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 171

ความสอดคล้องกบั จุดประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นกั เรยี นสามารถน�ำ ทฤษฎบี ทเกยี่ วกับวงกลมไปใชใ้ นการให้เหตผุ ลและการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเต็ม 5 คะแนน ข้อละ 1 คะแนน

ตอบถกู ต้อง ได้ 1 คะแนน

ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

13. A D AB เปน็ เส้นผา่ นศนู ยก์ ลางของวงกลม O
B�C และ B�D มคี วามยาวเทา่ กัน
(2x)°
ถา้ AˆBD = (3x)° และ BˆAC = (2x)° แล้ว
C O
x = 18 (2 คะแนน)
(3x)°

B

แนวคดิ เนือ่ งจาก m(B�C) = m(B�D) (กำ�หนดให้)
จะได ้
BˆAC = BˆAD = (2x)° (มุมในสว่ นโคง้ ของวงกลมท่ีรองรบั ดว้ ยส่วนโคง้

ท่ยี าวเท่ากนั จะมีขนาดเทา่ กนั )

เน่อื งจาก AˆBD = (3x)° (กำ�หนดให)้
(มมุ ในครึ่งวงกลมมขี นาด 90°)
และ AˆDB = 90°
(ขนาดของมมุ ภายในทงั้ สามมมุ ของรปู สามเหลยี่ ม
เนื่องจาก BˆAD + AˆBD + AˆDB = 180° รวมกนั เปน็ 180°)



2x + 3x + 90 = 180

ดังนัน้ x = 18

ความสอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

ขอ้ 2 นักเรียนสามารถน�ำ ทฤษฎีบทเก่ียวกับวงกลมไปใช้ในการให้เหตุผลและการแกป้ ัญหาคณิตศาสตร์

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนนเต็ม 2 คะแนน

ตอบถกู ต้อง ได้ 2 คะแนน

ตอบไม่ถูกตอ้ ง หรือไม่ตอบ ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

172 บทที่ 2 | วงกลม คูม่ อื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

14. B D M จากรูป วงกลม O และวงกลม P สมั ผสั กนั ภายในทีจ่ ดุ A
A
OP N คอร์ด AB และคอร์ด AC ตัดวงกลม P ท่ีจุด D และ E
E
ตามลำ�ดับ MN สัมผัสวงกลม O และวงกลม P ทจ่ี ุด A
C
จงแสดงว่า ΔABC ~ ΔADE พร้อมท้ังให้เหตุผล

ประกอบ (4 คะแนน)

แนวคิด เนือ่ งจาก AˆBC = CCˆˆAANN � (มมุ ทเี่ กดิ จากคอรด์ และเสน้ สมั ผสั วงกลมทจ่ี ดุ สมั ผสั
และ AˆDE = จะมีขนาดเท่ากับขนาดของมุมในส่วนโค้งของ
วงกลมทอี่ ยตู่ รงข้ามกับคอร์ดนัน้ )
(สมบตั ิของการเท่ากนั )

ดังนนั้ AˆBC = AˆDE (มมุ รว่ ม)
(มมี มุ ที่มขี นาดเท่ากันเปน็ คู่ ๆ 3 คู่)
ในท�ำ นองเดยี วกัน จะได้ AˆCB = AˆED

และ BˆAC = DˆAE

ดงั นน้ั ΔABC ~ ΔADE

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงค์ของบทเรยี น

ข้อ 2 นักเรียนสามารถนำ�ทฤษฎีบทเกย่ี วกับวงกลมไปใชใ้ นการให้เหตุผลและการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

เกณฑ์การใหค้ ะแนน คะแนนเตม็ 4 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั นี้

ส่วนท่ี 1 การเขยี นแสดงแนวคิด

✤ เขยี นแสดงแนวคิดถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคดิ ถกู ต้องบางส่วน ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนแสดงแนวคิดไมถ่ ูกต้อง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 2 การเขียนแสดงเหตผุ ลประกอบแนวคิด

✤ เขยี นแสดงเหตผุ ลถกู ตอ้ ง ได้ 2 คะแนน

✤ เขยี นแสดงเหตุผลถูกต้องบางสว่ น ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนแสดงเหตผุ ลไม่ถกู ต้อง หรอื ไมเ่ ขยี น ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 2 | วงกลม 173

15. สถานการณ์ปญั หา

จากการสำ�รวจห้องทำ�งานของบริษัทแห่งหนึ่ง พบว่า โต๊ะทำ�งานของวิชาญอยู่ ณ พิกัด (1, -4)

โต๊ะท�ำ งานของยวดยง่ิ อยู่ ณ พกิ ดั (-4, 1) และ โตะ๊ ทำ�งานของเอกพจนอ์ ยู่ ณ พิกัด (12, 1)

ถ้าเพื่อนทั้งสามคนต้องการติดตั้งอุปกรณ์จัดเส้นทาง (router) เพ่ือกระจายสัญญาณ WIFI โดย

ใหม้ รี ะยะหา่ งจากโตะ๊ ท�ำ งานของทงั้ สามคน เทา่ ๆ กนั จะมวี ธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตง้ั อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง

เพอ่ื กระจายสัญญาณ WIFI ดังกล่าวได้อยา่ งไร

ให้นักเรียนลงจุดท่ีเป็นตำ�แหน่งของโต๊ะทำ�งานโดยใช้กระดาษกราฟ หรือซอฟต์แวร์เรขาคณิตพลวัต เช่น

The Geometer’s Sketchpad แลว้ แสดงวธิ หี าพกิ ดั ของจดุ ทจ่ี ะตดิ ตงั้ อปุ กรณจ์ ดั เสน้ ทาง เพอ่ื กระจายสญั ญาณ WIFI

พร้อมทั้งเขยี นแสดงค�ำ ตอบ (5 คะแนน)

แนวคิด

18

A: (1.00, -4.00) 16
B: (-4.00, 1.00) 14
C: (12.00, 1.00) 12
O: (4.00, 4.00) 10

8

6

4O

2 C

B

-20 -15 -10 -5 D-2 5 10 15 20 25 30

-4 A E

-6

-8

-10

-12

ให ้ จดุ A แทนต�ำ แหน่งโตะ๊ ทำ�งานของวิชาญ
จดุ B แทนต�ำ แหนง่ โต๊ะท�ำ งานของยวดย่งิ
จุด C แทนต�ำ แหนง่ โตะ๊ ทำ�งานของเอกพจน์
1. ลงจดุ (1, 4), (-4, 1) และ (12, 1) บนระนาบพกิ ดั ฉากจะไดต้ ำ�แหน่งโต๊ะทำ�งานของเพือ่ นทั้งสามคน
2. สร้าง AB และ AC
3. แบ่งครึ่ง AB และ AC ทจ่ี ดุ D และ E ตามลำ�ดับ
4. สรา้ งเส้นต้ังฉากกบั AB ที่จุด D และสร้างเสน้ ตั้งฉากกับ AC ที่จุด E ให้เสน้ ต้งั ฉากท้งั สองตัดกนั ท่ีจดุ O
5. วดั พิกัดของจุด O

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

174 บทที่ 2 | วงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

เนื่องจาก จุด O เป็นจุดศูนยก์ ลางของวงกลมท่ีผ่านจุด A จุด B และจดุ C

จะได้ จดุ O เป็นต�ำ แหน่งของจุดที่จะติดตัง้ อปุ กรณจ์ ดั เส้นทาง ท่ีท�ำ ใหร้ ะยะหา่ งจากโตะ๊ ทำ�งานของท้งั สามคน

เทา่ ๆ กัน และพิกัดของจดุ O คอื (4,242) ดังรปู

20

18

A: (1.00, -4.00) 16
B: (-4.00, 1.00) 14
C: (12.00, 1.00) 12
O: (4.00, 4.00) 10

8

6

O

4

2 C

B

-25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30
D-2 E
-4 A

-6

-8

-10

-12

-14

ความสอดคล้องกับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน -16

ข้อ 2 นักเรยี นสามารถนำ�ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลมไปใช้ในการให้เหตผุ ลและการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

เกณฑ์การให้คะแนน คะแนนเตม็ 5 คะแนน โดยแบง่ ใหค้ ะแนน ดงั น้ี

สว่ นที่ 1 การลงจดุ ตำ�แหน่งต่าง ๆ รวมท้ังต�ำ แหนง่ ทจี่ ะติดต้งั อุปกรณจ์ ดั เสน้ ทาง

✤ ลงจุดถูกตอ้ งครบถว้ น ได้ 2 คะแนน

✤ ลงจุดถูกตอ้ งบางส่วน ได้ 1 คะแนน

✤ ลงจุดไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่ลงจุด ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 2 การเขียนแสดงวิธหี าพกิ ัดของจดุ

✤ เขยี นแสดงวธิ ีหาพกิ ัดของจุดถูกต้อง ได้ 2 คะแนน

✤ เขียนแสดงวธิ ีหาพกิ ดั ของจดุ ถกู ตอ้ งบางสว่ น ได้ 1 คะแนน

✤ เขียนแสดงวธิ ีหาพิกดั ของจุดไมถ่ ูกตอ้ ง หรือไม่เขียน ได้ 0 คะแนน

ส่วนท่ี 3 การสรุปค�ำ ตอบ

✤ สรุปค�ำ ตอบถูกตอ้ ง ได้ 1 คะแนน

✤ สรปุ ค�ำ ตอบไมถ่ กู ตอ้ ง หรือไมส่ รุป ได้ 0 คะแนน

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 175

บทท่ี 3 พรี ะมิด กรวย และทรงกลม

ในบทพรี ะมดิ กรวย และทรงกลมน้ี ประกอบด้วยหวั ข้อยอ่ ย
ดงั ต่อไปนี้

3.1 ปริมาตรและพน้ื ทผ่ี ิวของพรี ะมิด 5 ช่วั โมง
3.2 ปริมาตรและพื้นทผ่ี ิวของกรวย 5 ชว่ั โมง
3.3 ปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ ิวของทรงกลม 5 ช่วั โมง

สาระและมาตรฐานการเรยี นรู้

สาระที่ 2 การวดั และเรขาคณิต

มาตรฐาน ค 2.1 เขา้ ใจพนื้ ฐานเกี่ยวกบั การวัด วัดและคาดคะเนขนาดของส่งิ ทตี่ อ้ งการวดั และน�ำ ไปใช้

ตัวช้วี ัด

1. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามร้เู ร่อื งปรมิ าตรของพรี ะมิด กรวย และทรงกลมในการแก้ปัญหาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวิตจริง
2. ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้เร่ืองพน้ื ทีผ่ ิวของพีระมิด กรวย และทรงกลมในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตรแ์ ละปญั หาในชีวิตจรงิ

จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น

นักเรยี นสามารถ
1. หาปรมิ าตรและพืน้ ทผ่ี วิ ของพีระมดิ กรวย และทรงกลม
2. ประยุกตใ์ ช้ความรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรและพนื้ ทีผ่ วิ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลมในการแกป้ ัญหา

ความเช่อื มโยงระหวา่ งตัวช้ีวดั กับจุดประสงคข์ องบทเรยี น

เน่ืองจากตัวช้ีวัดกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ความรู้เร่ืองปริมาตรและพ้ืนท่ีผิวของพีระมิด กรวย และทรงกลม
ในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์และปัญหาในชีวิตจริง ดังน้นั เพ่อื ให้การเรียนร้ขู องนักเรียนในเร่อื งพีระมิด กรวย และทรงกลม
สอดคล้องกับตัวช้ีวัด ครูควรจัดประสบการณ์ให้นักเรียนเข้าใจเก่ียวกับรูปเรขาคณิตสามมิติ ได้แก่ พีระมิด กรวย และ
ทรงกลม รวมทงั้ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรและพน้ื ทผี่ วิ ของรปู เรขาคณติ ดงั กลา่ วในการแกป้ ญั หา ซง่ึ สะทอ้ นไดจ้ ากการทน่ี กั เรยี น
สามารถ

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

176 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

✤ อธบิ ายลกั ษณะและสว่ นตา่ ง ๆ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม
✤ หาปรมิ าตรและพน้ื ทผ่ี วิ ของพีระมดิ กรวย และทรงกลม
✤ ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรเู้ รอ่ื งปรมิ าตรและพน้ื ทผ่ี วิ ของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ในการแกป้ ญั หา

ความคิดรวบยอดของบทเรียน

พีระมิด กรวย และทรงกลมเป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ เน่ืองจากปริมาตรของพีระมิดสัมพันธ์กับปริมาตรของปริซึม และ
ปริมาตรของกรวยและปริมาตรของทรงกลมต่างก็สัมพันธ์กับปริมาตรของทรงกระบอก เราจึงใช้ปริมาตรของปริซึมและ
ทรงกระบอกในการอธบิ ายทมี่ าของการหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม ส�ำ หรบั พน้ื ทผี่ วิ ของพรี ะมดิ และกรวยสามารถ
อธิบายและหาได้จากพื้นท่ีของรูปคล่ีของพีระมิดและกรวยน้ัน แต่เน่ืองจากทรงกลมมีลักษณะเฉพาะท่ีไม่สามารถใช้พ้ืนท่ีของ
รปู เรขาคณติ สองมติ ใิ นการอธบิ ายทม่ี าของการหาพน้ื ทผ่ี วิ ไดโ้ ดยตรง ดงั นน้ั จงึ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรของทรงกลมและปรมิ าตร
ของพีระมิดมาอธบิ ายทมี่ าของการหาพื้นทผ่ี ิว

ทักษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร์

หวั ขอ้

ทักษะและกระบวนการ 3.1 3.2 3.3 กจิ กรรม
ทางคณิตศาสตร์ ปรมิ าตรและ ปรมิ าตรและ ปรมิ าตรและ ทา้ ยบท/
พ้นื ท่ีผวิ ของ พ้ืนทีผ่ วิ ของ พื้นทผี่ ิวของ แบบฝึกหดั
การแก้ปัญหา ทา้ ยบท
การสอ่ื สารและการสื่อความหมาย พีระมิด กรวย ทรงกลม
ทางคณิตศาสตร์ ✤
การเชอ่ื มโยง ✤✤✤
การให้เหตุผล ✤
การคิดสร้างสรรค์ ✤✤ ✤
✤✤✤

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 177

ความเชอ่ื มโยงของความรู้

ความรพู ืน้ ฐาน ✤ ปริมาตรของปรซิ ึม เพ่ือเป็นพน้ื ฐานในการหาปริมาตรของพรี ะมดิ
✤ ปริมาตรของทรงกระบอก เพื่อเป็นพื้นฐานในการหาปริมาตรของ

กรวยและทรงกลม
✤ ทฤษฎบี ทพที าโกรสั เพอ่ื เปน็ พนื้ ฐานในการหาปรมิ าตรและพนื้ ทผี่ วิ

ของพีระมดิ และกรวย รวมทง้ั การแกป้ ญั หา
✤ อัตราสว่ นและสัดสว่ น เพอ่ื เป็นพน้ื ฐานในการหาพื้นทผ่ี ิวของกรวย

ความรู ✤ ปริมาตรของพีระมิด เป็นหน่ึงในสามของปริมาตรของปริซึมท่ีมี
ในบทเรยี น พน้ื ท่ีฐานและความสงู เทา่ กับพรี ะมดิ

ปรมิ าตรของพรี ะมิด = 13– × พ้ืนท่ีฐาน × ความสูง
✤ พ้นื ท่ีผิวของพีระมดิ หาได้จากพ้ืนทผ่ี ิวขา้ งท้ังหมดรวมกบั พ้นื ท่ีฐาน
✤ ปริมาตรของกรวย เปน็ หน่งึ ในสามของปริมาตรของทรงกระบอกท่ี

มีพื้นท่ฐี านและความสูงเทา่ กบั กรวย
ปรมิ าตรของกรวย = 13–πr2h เมอ่ื r แทนรศั มขี องฐานของกรวย

และ h แทนความสูงของกรวย

✤ พื้นท่ีผิวของกรวย หาได้จากพ้ืนที่ผิวข้างรวมกับพ้ืนท่ีฐาน
พ้นื ทีผ่ วิ ของกรวย = πr + πr2 เมือ่ r แทนรัศมขี องฐานของ
กรวย และ แทนส่วนสงู เอยี งของกรวย

✤ ปริมาตรของทรงกลม หาได้จากความสัมพันธ์ท่ีว่า สามเท่าของ
ปริมาตรของครึ่งทรงกลมเท่ากบั ปรมิ าตรของทรงกระบอก ทม่ี รี ศั มี
ของฐานเท่ากบั รัศมีของครง่ึ ทรงกลม และความสงู เป็นสองเท่าของ

ร ศั มปีขรอมิ งาคตรร่ึงขทอรงงทกรลงมกลม = 3–4πr3 เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม
✤ พื้นท่ีผิวของทรงกลม สามารถอธิบายท่ีมาของสูตรได้โดยอาศัย

ความรจู้ ากปรมิ าตรของทรงกลมและปรมิ าตรของพีระมิด
พืน้ ที่ผวิ ของทรงกลม = 4πr2 เมื่อ r แทนรศั มขี องทรงกลม

ความรใู นอนาคต -

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

178 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ล�ำ ดบั การจดั กิจกรรมการเรยี นรขู้ องบทเรยี น

ทบทวนความรเู้ รือ่ งการหาปริมาตรและพน้ื ทีผ่ วิ ของปรซิ มึ และทรงกระบอก และทฤษฎีบทพที าโกรสั
แนะนำ�ลกั ษณะและส่วนตา่ ง ๆ ของพีระมิด

ท�ำ กิจกรรม และอภปิ รายเกี่ยวกบั ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งปริมาตรของพีระมิดกับปริมาตรของปรซิ ึม เพอ่ื ให้ได้
ขอ้ สรุปเกี่ยวกบั ปริมาตรของพรี ะมิด พรอ้ มทงั้ ฝกึ ใช้ความรู้เก่ยี วกับปริมาตรของพรี ะมดิ ในการแกป้ ญั หา
แนะน�ำ ความหมายพ้ืนที่ผิวของพรี ะมดิ และเชื่อมโยงการหาพื้นท่ีผวิ กับรปู คล่ขี องพีระมดิ
รวมทง้ั เช่อื มโยงการหาพ้นื ทีผ่ ิวขา้ งของพีระมดิ ฐานหลายเหล่ยี มดา้ นเท่ามมุ เทา่ กับรูปคล่ีของพีระมิด
พร้อมท้งั ฝกึ ใชค้ วามรเู้ ก่ยี วกบั พนื้ ท่ผี ิวของพีระมดิ ในการแกป้ ญั หา
แนะนำ�ลักษณะและส่วนตา่ ง ๆ ของกรวย
หาปรมิ าตรของกรวย โดยอาศัยความรู้เกยี่ วกบั ปริมาตรของพรี ะมิดและปริมาตรของทรงกระบอก

เพ่ือให้ได้ข้อสรุปเกย่ี วกับปริมาตรของกรวย พรอ้ มทง้ั ฝกึ ใชค้ วามร้เู กย่ี วกบั ปริมาตรของกรวยในการแกป้ ญั หา
แนะน�ำ ความหมายพนื้ ที่ผิวของกรวย และเชือ่ มโยงการหาพนื้ ทผ่ี ิวกับรปู คล่ีของกรวย และหาพน้ื ท่ผี วิ

ของกรวยโดยอาศยั ความรูเ้ รอื่ งอตั ราสว่ น พรอ้ มทั้งฝกึ ใชค้ วามร้เู กี่ยวกับพ้ืนทผ่ี วิ ของกรวยในการแก้ปญั หา
แนะนำ�ลกั ษณะและส่วนตา่ ง ๆ ของทรงกลม

ท�ำ กจิ กรรม และอภิปรายเกี่ยวกับความสัมพนั ธ์ระหวา่ งปริมาตรของทรงกลมกับปรมิ าตรของทรงกระบอก
เพอ่ื ใหไ้ ดข้ อ้ สรปุ เกย่ี วกบั ปรมิ าตรของทรงกลม พรอ้ มทง้ั ฝกึ ใชค้ วามรเู้ กย่ี วกบั ปรมิ าตรของทรงกลมในการแกป้ ญั หา

แนะน�ำ ความหมายพ้นื ทผ่ี ิวของทรงกลม และเชื่อมโยงการหาพ้นื ท่ผี วิ ของทรงกลมจากปริมาตรของ
ทรงกลมและปริมาตรของพรี ะมิด พร้อมท้งั ฝึกใชค้ วามร้เู กย่ี วกับพื้นท่ีผิวของทรงกลมในการแก้ปญั หา

สรุปบทเรียนเร่ืองพรี ะมดิ กรวย และทรงกลม
และฝึกแก้ปัญหาโดยท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบทและแบบฝึกหดั ทา้ ยบท

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 179

3.1 ปริมาตรและพนื้ ที่ผวิ ของพีระมดิ (5 ชัว่ โมง)

จุดประสงค์

นักเรียนสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะและส่วนต่าง ๆ ของพีระมิด
2. หาปริมาตรของพีระมิดและนำ�ความรไู้ ปใชใ้ นการแกป้ ัญหา
3. หาพน้ื ทผี่ ิวของพรี ะมิดและน�ำ ความรไู้ ปใชใ้ นการแก้ปัญหา

ความเข้าใจท่ีคลาดเคล่อื น

-

สือ่ ท่ีแนะนำ�ใหใ้ ช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้

1. อุปกรณข์ องกิจกรรม : ปรมิ าตรของพีระมิด
2. อปุ กรณ์ของกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปริมาตร

ข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

ในหัวขอ้ นี้ เป็นเร่ืองเกีย่ วกบั ปริมาตรและพน้ื ท่ผี ิวของพีระมดิ ซงึ่ ต้องการใหน้ ักเรียนรูจ้ ักสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของพรี ะมดิ
และความหมายของพีระมิดในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงให้นักเรียนทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจเพ่ือสร้างข้อสรุปเก่ียวกับสูตรการหา
ปริมาตรของพีระมิด และการหาพ้ืนท่ีผิวของพีระมิดจากพ้ืนท่ีของรูปคล่ีของพีระมิด ท้ังน้ี ในการทำ�กิจกรรมดังกล่าว จะช่วย
พัฒนาความสามารถในการนกึ ภาพ และความรสู้ ึกเชงิ ปรภิ ูมิ (spatial sense) ของนักเรยี น แนวทางการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้
อาจทำ�ไดด้ งั นี้
1. ครูสนทนากับนักเรียนเก่ียวกับส่ิงของในชีวิตประจำ�วันท่ีมีลักษณะคล้ายพีระมิด และให้นักเรียนร่วมกันอภิปราย

เพอ่ื ให้ได้ขอ้ สรปุ เก่ียวกบั ลกั ษณะและสว่ นต่าง ๆ ของพรี ะมิด รวมถึงความหมายของพรี ะมดิ ในทางคณติ ศาสตร์
2. ครใู ห้นักเรยี นทำ� “กิจกรรม : ปริมาตรของพีระมิด” ในหนังสือเรยี น หนา้ 120–122 เพื่อให้นกั เรยี นไดส้ ำ�รวจ

สงั เกต สรา้ งขอ้ ความคาดการณ์ และหาขอ้ สรปุ เกย่ี วกบั ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของพรี ะมดิ และปรมิ าตรของ
ปริซึมท่ีมีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน ซ่ึงจะได้ว่า ปริมาตรของพีระมิดเป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของ
ปรซิ มึ เพือ่ น�ำ ไปสู่สูตรการหาปรมิ าตรของพรี ะมิด
นอกจากนี้ ครูควรให้นักเรียนสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมที่มี
ความสูงเท่ากันและพ้ืนที่ฐานเท่ากัน แต่ฐานทั้งสองไม่เป็นรูปเรขาคณิตท่ีเท่ากันทุกประการ ซ่ึงความสัมพันธ์
ดังกลา่ วยงั คงเหมือนเดิม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

180 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ ือครูรายวิชาพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ครอู าจใช้วีดิทศั น์ในกรอบสือ่ เสริมเพ่ิมความรู้ ในหนังสือเรยี น หน้า 123 แทนการทำ�กิจกรรมในชั้นเรยี น
ซ่ึงจะทำ�ให้นักเรียนสร้างข้อความคาดการณ์ และหาข้อสรุปเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิด
และปริมาตรของปริซึมที่มีพ้ืนท่ีฐานเท่ากันและความสูงเท่ากัน เพ่ือนำ�ไปสู่สูตรการหาปริมาตรของพีระมิดได้
เชน่ เดียวกัน

3. ครอู าจใช ้ “กจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปรมิ าตร” ในคมู่ อื ครู หนา้ 182–185 ซง่ึ เปน็ กรณเี ฉพาะ
ในการหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของลูกบาศก์และปริมาตรของพีระมิดปรกติฐานส่ีเหล่ียม โดยครูสามารถ
ให้นกั เรียนใชก้ ารนกึ ภาพในการสร้างข้อความคาดการณ์และค้นหาขอ้ สรปุ เกีย่ วกับการหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ

4. ครอู าจใชช้ วนคดิ 3.1 ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 124 ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ใชก้ ารนกึ ภาพและความรสู้ กึ เชงิ ปรภิ มู ปิ ระกอบ
การคดิ และใหเ้ หตผุ ลในการหาค�ำ ตอบ ซงึ่ หากนกั เรยี นยงั หาค�ำ ตอบไมไ่ ด้ ครอู าจใชก้ ารค�ำ นวณเพอื่ ชว่ ยใหน้ กั เรยี น
เปรยี บเทยี บความสงู ของพรี ะมดิ ก กบั ข ไดก้ อ่ น แลว้ จงึ ใหส้ งั เกตผลทไ่ี ดจ้ ากการค�ำ นวณและการเปรยี บเทยี บนน้ั
ก่อนท่จี ะเชือ่ มโยงไปเปรียบเทียบความสูงของพีระมดิ คูอ่ น่ื ๆ โดยไม่ต้องมีการคำ�นวณ

5. ครูให้นักเรยี นสังเกตรปู คล่ีของพรี ะมิดฐานสีเ่ หลย่ี มมมุ ฉาก เพ่ือใชเ้ ปน็ ตวั อย่างในการเชื่อมโยงไปสู่การหาพน้ื ที่ผวิ
ของพีระมิด จากน้ัน ครูให้นักเรียนพิจารณาลักษณะและรูปคลี่ของพีระมิดปรกติ เพ่ือเช่ือมโยงไปสู่สูตรของ
พนื้ ทผี่ ิวขา้ งของพีระมดิ ฐานหลายเหลีย่ มด้านเท่ามมุ เทา่ ครูควรเน้นยำ้�กบั นกั เรยี นวา่ สำ�หรับการหาพ้นื ที่ผวิ ของ
พรี ะมิดตรงทีไ่ มใ่ ชพ่ ีระมดิ ปรกตติ ้องหาพนื้ ทีผ่ วิ ขา้ งจากพนื้ ทข่ี องรปู สามเหลี่ยมแต่ละดา้ น

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 181

กจิ กรรม : ปริมาตรของพีระมิด

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเี่ ปดิ โอกาสใหน้ กั เรยี นไดค้ น้ หาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของพรี ะมดิ และปรมิ าตรของปรซิ มึ
ทม่ี ีพื้นทีฐ่ านเท่ากนั และความสงู เทา่ กนั กับพรี ะมิดนน้ั ซ่งึ จะน�ำ ไปสู่สูตรการหาปริมาตรของพรี ะมิด นอกจากน้ี ยงั เป็นกจิ กรรมที่
ช่วยให้นักเรียนได้พัฒนาความสามารถในการนึกภาพและสร้างข้อความคาดการณ์ โดยมีส่ือ/อุปกรณ์ และขั้นตอนการดำ�เนิน
กจิ กรรม ดังน้ี

ส่ือ/อปุ กรณ์

1. กระดาษแข็ง
2. กรรไกร
3. เทปใส
4. ทราย

ขน้ั ตอนการดำ�เนนิ กิจกรรม

1. ครูแบง่ นักเรยี นออกเป็นกลุ่ม กลุม่ ละ 4–5 คน
2. ครใู ห้นกั เรียนแตล่ ะกลุ่มทำ�กิจกรรมตามข้นั ตอนการท�ำ กจิ กรรม ข้อ 1–4 ในหนงั สือเรียน หนา้ 120–122 จากนนั้

ให้สรุปผลเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของพีระมิดและปริมาตรของปริซึมท่ีมีพื้นที่ฐานเท่ากันและความสูง
เทา่ กัน
3. ครใู หน้ ักเรยี นหาความสมั พันธ์ระหว่างพื้นทฐ่ี านและความสงู ของพรี ะมดิ และปรซิ ึมทปี่ ระกอบขึน้ จากนั้นใหส้ รปุ สูตร
การหาปรมิ าตร
4. ครูให้นกั เรียนแต่ละกลุม่ ทำ�กิจกรรมตามขั้นตอนการทำ�กิจกรรม ขอ้ 5 ในหนังสือเรียน หนา้ 122 จากน้ันให้นักเรยี น
แตล่ ะกล่มุ สรุปผลที่ได้

หมายเหต ุ ในการทำ�กิจกรรม หากนักเรียนบรรจุทรายลงในพีระมิดแน่นเกินไปหรือไม่เต็มพีระมิดพอดี อาจทำ�ให้เกิดความคลาดเคลื่อนได้
ดังนน้ั ครูอาจให้นักเรียนทดลอง 2–3 ครง้ั เพอื่ ให้เห็นแนวโนม้ ท่ีจะน�ำ ไปสู่การสรา้ งขอ้ ความคาดการณไ์ ด้งา่ ยข้นึ

เฉลยคำ�ถามท้ายกจิ กรรม

1. 3 คร้ัง
2. คำ�ตอบมไี ดห้ ลากหลาย เช่น
✤ ปรมิ าตรของปริซึมเป็นสามเท่าของปริมาตรของพีระมิดท่ีมีพ้ืนท่ีฐานเท่ากนั และความสูงเทา่ กัน
✤ ปริมาตรของพรี ะมดิ เป็นหนึ่งในสามของปริมาตรของปรซิ มึ ที่มีพ้นื ทฐี่ านเท่ากัน และความสงู เท่ากนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

182 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

กิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบร่างหาปรมิ าตร

กจิ กรรมน้ี เปน็ กจิ กรรมทเ่ี ปดิ โอกาสให้นกั เรยี นไดค้ ้นหาความสัมพันธร์ ะหว่างปรมิ าตรของพรี ะมิดฐานส่ีเหลย่ี มจตั รุ ัสกับ
ปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีพ้ืนที่ฐานและความสูงเท่ากัน เพื่อนำ�ไปสู่การหาปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหลี่ยมจัตุรัสผ่านกิจกรรม
ทนี่ กั เรยี นไดล้ งมอื ปฏบิ ตั จิ รงิ กจิ กรรมนช้ี ว่ ยใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ การนกึ ภาพ เพอ่ื สรา้ งขอ้ ความคาดการณแ์ ละคน้ หาขอ้ สรปุ เกย่ี วกบั
การหาปริมาตรของพรี ะมิด โดยมีสอ่ื /อปุ กรณ์ และขัน้ ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดังน้ี

สอ่ื /อปุ กรณ์

1. ใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปริมาตร
2. กระดาษรูปคลี่
3. กรรไกร
4. กาวหรือเทปใส

ขัน้ ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม

1. ครแู บ่งนกั เรยี นเปน็ กลมุ่ กลุม่ ละ 4–5 คน
2. ครูใหน้ กั เรียนท�ำ กจิ กรรมตามขนั้ ตอนข้อ 1–2 และตอบคำ�ถามขอ้ 3 ในใบกจิ กรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบร่างหา

ปรมิ าตร จากน้นั ใหน้ ักเรียนทัง้ ชนั้ เรียนรว่ มกันอภปิ รายคำ�ตอบที่ไดจ้ ากค�ำ ถามในขอ้ 3 โดยครูอาจให้นักเรยี นแสดง
วิธีการประกอบลูกบาศก์จากรูปเรขาคณิตสามมิติท่ีประกอบขึ้นจากรูปคลี่ แล้วให้นักเรียนได้สำ�รวจความสัมพันธ์
ระหว่างลูกบาศก์และรูปเรขาคณิตสามมิติทปี่ ระกอบขึน้ จากรปู คลี่
ครชู ใ้ี หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ เงอื่ นไขทท่ี �ำ ใหค้ วามสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั กบั ปรมิ าตร
ของลกู บาศก์เป็นจรงิ คือ ลูกบาศกแ์ ละรูปเรขาคณติ สามมติ ทิ ป่ี ระกอบข้นึ จากรปู คลี่ (พีระมิดฐานส่เี หล่ยี มจตั ุรสั ) ตอ้ ง
มีพนื้ ทีฐ่ านและความสูงเทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม 183

ใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบร่างหาปรมิ าตร

คำ�ชี้แจง ใหน้ กั เรยี นทำ�กจิ กรรมตามขั้นตอนและตอบคำ�ถามตอ่ ไปนี้
1. ตัดกระดาษรูปคล่ี จำ�นวน 4 แผ่น แล้วประกอบให้เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติ โดยใช้กาวหรือเทปใสติด

บรเิ วณรอยต่อ
2. ประกอบรูปเรขาคณิตสามมิติที่ได้จากกระดาษรูปคลี่ให้เป็นลูกบาศก์ 1 ลูก โดยอาจใช้รูปเรขาคณิต

สามมิตินอ้ ยกวา่ 4 ชนิ้ ก็ได้
3. ตอบค�ำ ถามตอ่ ไปนี้
1) เมื่อประกอบกระดาษรูปคล่ีให้เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติแล้ว รูปเรขาคณิตสามมิติที่ได้แต่ละรูป

เปน็ รปู เรขาคณติ สามมิติชนดิ ใด

2) ในการประกอบเป็นลูกบาศก์ 1 ลูก ตอ้ งใชร้ ปู เรขาคณติ สามมิตทิ ่ีประกอบขึน้ จากรปู คลี่ก่รี ูป

3) ลูกบาศก์ทป่ี ระกอบข้นึ มีความสัมพนั ธอ์ ยา่ งไรกบั รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ีป่ ระกอบขน้ึ จากรปู คล่ี

4) ลูกบาศกม์ ีปรมิ าตรเปน็ ก่ีเทา่ ของรูปเรขาคณติ สามมิตทิ ป่ี ระกอบขึน้ จากรปู คลี่

5) ถา้ ลกู บาศก์มีพ้นื ท่ีฐานเทา่ กบั B ตารางหนว่ ย และสงู H หน่วย นกั เรียนสามารถเขียนสมการแสดง
ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าตรของลกู บาศกแ์ ละปรมิ าตรของรปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ปี่ ระกอบขนึ้ จาก
รปู คล่ีแต่ละรูปไดอ้ ยา่ งไร พรอ้ มทงั้ ระบุเง่ือนไขจ�ำ เป็นท่ีท�ำ ใหส้ มการเป็นจริง

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

184 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คู่มือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

กระดาษรปู คล่ี

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 185

เฉลยใบกิจกรรมเสนอแนะ 3.1 : ประกอบรา่ งหาปริมาตร

3. 1) พีระมดิ ฐานสเ่ี หลี่ยมจัตรุ ัส
2) 3 รปู
3) คำ�ตอบมีไดห้ ลากหลาย เชน่
✤ ฐานของลกู บาศก์เทา่ กบั ฐานของรปู เรขาคณิตสามมติ ทิ ี่ประกอบขนึ้ จากรูปคลี่
✤ พน้ื ทีฐ่ านของลกู บาศกเ์ ท่ากบั พ้ืนที่ฐานของรปู เรขาคณติ สามมิตทิ ป่ี ระกอบขนึ้ จากรูปคล ่ี
✤ ความสงู ของลกู บาศกเ์ ท่ากบั ความสงู ของรปู เรขาคณิตสามมติ ิทป่ี ระกอบขนึ้ จากรปู คลี่
✤ ลกู บาศก์ประกอบข้ึนจากรูปเรขาคณิตสามมิตทิ ปี่ ระกอบขนึ้ จากรปู คลี่ จ�ำ นวน 3 ชิน้
4) ลูกบาศก์มปี ริมาตรเป็น 3 เท่าของพรี ะมิดฐานส่เี หลย่ี มจตั ุรัสท่ีประกอบข้ึนจากรปู คลี่
5) เน่ืองจาก ปริมาตรของลกู บาศก์ = พน้ื ท่ฐี าน × ความสงู
นน่ั คอื ปริมาตรของลูกบาศก ์ = B × H
เนอื่ งจาก ลูกบาศกม์ ปี ริมาตรเปน็ 3 เทา่ ของพีระมดิ ฐานส่เี หลยี่ มจัตรุ ัสทป่ี ระกอบขึ้นจากรูปคลี่
จะได้วา่ B × H = 3 × ปริมาตรของพรี ะมิดฐานสี่เหล่ยี มจัตุรสั
หรือ ปริมาตรของพีระมิดฐานส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัส = 31– × B × H
เงอ่ื นไขจ�ำ เปน็ ทท่ี �ำ ใหส้ มการเปน็ จรงิ คอื ลกู บาศกแ์ ละพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั ตอ้ งมพี น้ื ทฐ่ี านและความสงู เทา่ กนั

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

186 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

ชวนคดิ 3.1 เฉลยชวนคดิ h₂
10
แนวคิด 1 h₁

ipst.me/11430

10

พรี ะมดิ ก พีระมิด ข พรี ะมิด ค

พจิ ารณาพรี ะมดิ ก และ ข

จะพบว่า เมอ่ื พีระมิด ข มสี นั ยาว 10 หน่วย จะท�ำ ให้ความสูงของพรี ะมดิ ข (h1) นน้ั ยาวนอ้ ยกวา่ 10 หนว่ ย
นัน่ คอื พรี ะมดิ ข จะมคี วามสูงน้อยกวา่ พรี ะมิด ก

พิจารณาพรี ะมดิ ก และ ค

จะพบว่า เมอ่ื พรี ะมิด ค มสี ่วนสงู ของรูปสามเหลย่ี มท่ีเป็นหนา้ ของพีระมิด ค ยาว 10 หน่วย จะท�ำ ให้ความสูง

ของพรี ะมดิ ค (h2) นนั้ ยาวนอ้ ยกวา่ 10 หนว่ ย
นั่นคือ พีระมิด ค จะมีความสงู นอ้ ยกว่าพรี ะมดิ ก

พจิ ารณาพรี ะมิด ข และ ค

จะพบว่า เมื่อพีระมดิ ข มีสนั ยาว 10 หนว่ ย จะทำ�ให้ส่วนสงู ของรปู สามเหล่ยี มท่ีเปน็ หนา้ ของพรี ะมิด ข น้ัน

ยาวนอ้ ยกวา่ 10 หนว่ ย ซง่ึ จะทำ�ใหพ้ รี ะมิด ข จะมีความสูงน้อยกวา่ พีระมดิ ค

ดังนัน้ ความสูงของพีระมดิ ข < ความสูงของพรี ะมดิ ค < ความสูงของพีระมดิ ก

เน่ืองจาก ฐานของพีระมิดท้ังสามมีฐานเป็นรูปสีเ่ หลยี่ มจัตุรสั ที่มพี ื้นที่เทา่ กนั
และ ปริมาตรของพรี ะมิด = 3–1 × พน้ื ทีฐ่ าน × ความสงู
จะได้ ปริมาตรของพีระมิด ข < ปรมิ าตรของพีระมิด ค < ปริมาตรของพรี ะมดิ ก

แนวคิด 2 พจิ ารณาปริมาตรของพีระมิดทง้ั สาม

เน่ืองจากพรี ะมิดท้งั สามมพี ืน้ ทฐ่ี านเท่ากัน

น่นั คอื ปริมาตรของพีระมิดแต่ละอนั จะมากหรือน้อยกว่ากนั ขึ้นอยู่กับความสูง

กลา่ วคอื พรี ะมดิ ท่มี ีความสงู มากกว่าจะมปี รมิ าตรมากกว่าด้วย

ดงั นั้น ในการเปรียบเทียบปริมาตรของพีระมิดท้ังสามจึงสามารถเปรียบเทียบโดยใช้ความสูง

แทนการค�ำ นวณหาปรมิ าตรได้

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม 187

พีระมดิ ก มพี ืน้ ทฐ่ี านเทา่ กับ 10 ตารางหน่วย และสงู 10 หน่วย
พีระมดิ ข มพี ื้นท่ฐี านเท่ากบั 10 ตารางหนว่ ย และสันยาว 10 หน่วย
ดงั น้นั จากรูป ตอ้ งหาความสูง (h) ของพรี ะมิด ข

หาคา่ d2 จากทฤษฎบี ทพที าโกรสั

10 h ( ) ( ) d2 = √—21 0 2 + √—210 2

= 5
หาค่า h จ1า0กทฤhษฎีบทพที าโกรัส
h = √100 – 5
= √95
ดงั น้นั พีระมดิ 1ข0 สงู √95 หนว่ ย
d
2
10 10
2
2

พรี ะมิด ข

พีระมดิ ค มพี น้ื ท่ฐี านเทา่ กับ 10 ตารางหนว่ ย และสว่ นสงู ของรูปสามเหล่ียมท่เี ป็นหน้ายาว 10 หน่วย
ดงั นั้น จากรูป ตอ้ งหาความสงู (h) ของพีระมิด ค

หาคา่ h จากทฤษฎีบทพีทาโกรสั

h ( ) h = 102 – √—210 2

10 h = √97.5
ดงั นน้ั พีระมดิ ค สูง √97.5 หนว่ ย

10 10
2 2

พรี ะมิด ค

เมอ่ื เรยี งล�ำ ดับของความสูงของพีระมิดท้งั สามจากน้อยไปมาก
จะไดว้ ่า ความสูงของพรี ะมิด ข < ความสงู ของพีระมิด ค < ความสูงของพรี ะมดิ ก
ดังน้นั เม่อื เรยี งล�ำ ดับของปริมาตรของพรี ะมดิ จากนอ้ ยไปมาก
จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิด ข < ปริมาตรของพีระมดิ ค < ปรมิ าตรของพรี ะมดิ ก

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

188 บทที่ 3 | พีระมิด กรวย และทรงกลม คมู่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

ชวนคดิ 3.2

แนวคิด ข้อคาดการณ์ของใบบัวน่าจะถูกต้อง พิจารณาความสอดคล้องของข้อมูลที่สถานการณ์กำ�หนดให้

ipst.me/11431 ดงั น้ี

จากข้อมูลทีส่ ถานการณ์กำ�หนดให้

จะไดว้ ่า พรี ะมดิ กระจกสงู 21.65 เมตร มคี วามยาวฐานโดยรอบ 140 เมตร และมปี รมิ าตรประมาณ

8,840 ลกู บาศกเ์ มตร

พิจารณาขอ้ คาดการณ์ของใบบัวทวี่ า่ ฐานของพรี ะมดิ น้เี ปน็ รปู สเี่ หลี่ยมจตั รุ สั

จะได้ ฐานของพีระมดิ น้มี ีความยาวดา้ นละ 140 ÷ 4 = 35 เมตร

ดังนั้น ฐานของพรี ะมิดนมี้ พี น้ื ทีเ่ ท่ากบั 35 × 35 = 1,225 ตารางเมตร

พิจารณาปริมาตรของพรี ะมดิ นี้

จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิด = 8–13,8×410,.242156. × 21.65
=

≈ 8,840 ลูกบาศก์เมตร

ซง่ึ สอดคล้องกับข้อมูลทส่ี ถานการณก์ �ำ หนด

ดังนนั้ ความคิดของใบบัวนา่ จะถูกต้อง

ชวนคดิ 3.3

ไมเ่ ทา่ กัน

ipst.me/11432

เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝกึ หดั 3.1 ก

1. หลังคาของสง่ิ ปลกู สร้างในขอ้ 3) และ 6) มลี ักษณะคลา้ ยพรี ะมิด เพราะมยี อดแหลมที่ไมอ่ ยู่บนระนาบเดียวกันกับฐาน
และหนา้ ทกุ หนา้ เป็นรูปสามเหล่ียมทม่ี จี ดุ ยอดรว่ มกนั ทย่ี อดแหลมน้ัน

2. 1) พีระมดิ ฐานสามเหลย่ี ม 2) พีระมดิ ฐานสเี่ หล่ียมจตั รุ ัส
3) พรี ะมิดฐานสเี่ หล่ยี มผนื ผา้ 4) พีระมิดฐานหา้ เหลี่ยม
5) พีระมดิ ฐานหกเหล่ยี ม 6) พรี ะมิดฐานแปดเหลี่ยม

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 189

แบบฝึกหดั 3.1 ข ความยาวของด้าน พื้นทฐ่ี าน ความสูง ปริมาตร
ของฐาน (ซม.) (ซม.2) (ซม.) (ซม.3)
1.
10 25√3 9 75√3
ข้อท่ี พีระมดิ 8.2 67.24 10.5 235.34
2.4 9.91 19.82
1) ฐานสามเหลี่ยม 8 6
2) ฐานสเ่ี หลีย่ ม 6 64 15 320
3) ฐานห้าเหลี่ยม 54√3 7.5 135√3
4) ฐานส่ีเหลีย่ ม
5) ฐานหกเหลยี่ ม

แนวคดิ 1) จากสตู ร ปรมิ าตรของพีระมิด = –31 × พ้ืนทีฐ่ าน × ความสงู
จะได ้ ปริมาตรของพีระมิด = –31 × 25√3 × 9
= 75√3 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร


2) เน่ืองจาก ฐานของพรี ะมดิ เปน็ รูปส่เี หล่ยี มด้านเทา่ มุมเทา่

จากสูตร พ้ืนทรี่ ปู สเี่ หล่ียมดา้ นเท่ามุมเทา่ = ความยาวของด้าน × ความยาวของด้าน

จะได ้ พืน้ ทฐี่ าน = 8.2 × 8.2

= 67.24 ตารางเซนติเมตร

จากสูตร ปริมาตรของพีระมดิ = –31 × พน้ื ทฐ่ี าน × ความสูง
จะได ้ ปรมิ าตรของพีระมิด = –31 × 67.24 × 10.5

= 235.34 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

3) จากสูตร ปรมิ าตรของพีระมิด = –31 × พนื้ ที่ฐาน × ความสงู
19.82 = –31 × 9.91 × ความสงู
จะได้

ด ังน้ัน ความสูง = 19.82 × 3
9.91

= 6 เซนตเิ มตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

190 บทท่ี 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มอื ครูรายวิชาพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2

4) เนื่องจาก ฐานของพรี ะมดิ เป็นรปู สี่เหล่ยี มด้านเท่ามุมเท่า

จากสูตร พน้ื ท่ฐี าน = ความยาวของดา้ น × ความยาวของด้าน
จะได ้ 64 = ความยาวของด้าน2

ดังน้ัน ความยาวของด้าน = 8 เซนตเิ มตร

จากสูตร ปริมาตรของพีระมิด = –31 × พนื้ ท่ีฐาน × ความสงู
320 = –31 × 64 × ความสงู
จะได ้

ด งั นั้น ความสงู = 320 × 3
64

= 15 เซนตเิ มตร

5) เน่ืองจากฐานของพีระมดิ เป็นรูปหกเหล่ยี มดา้ นเท่ามุมเท่าท่แี ต่ละด้านยาว 6 เซนติเมตร

จากรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก BCD

จะได ้ x2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27

x = √27 = 3√3 6
6
ดงั นน้ั พืน้ ท่ี ΔABC = 21– × 6 × 3√3 6
= 9√3 ตารางเซนติเมตร C

x6
จะได้ พนื้ ทฐี่ านของพีระมดิ = 6 × 9√3 D3 B

= 54√3 ตารางเซนติเมตร 6

จากสตู ร ปรมิ าตรของพรี ะมิด = –31 × พ้ืนท่ฐี าน × ความสูง
จะได ้ ปริมาตรของพีระมดิ = –31 × 54√3 × 7.5
A

= 135√3 ลูกบาศก์เซนติเมตร

2. แนวคิด เน่อื งจาก ฐานของพรี ะมิดเปน็ รปู หกเหล่ียมดา้ นเทา่ มุมเท่าที่แต่ละดา้ นยาว 3 เซนติเมตร

จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก BCD

( ) 2–3 2 49– = 2—47 3
จะได้ x2 = 32 – –
= 9

x = 247 = 3√23 33
C
1 –2 3√3
ด ังนน้ั พื้นที่ ΔABC = × 3 × 2

= 9√43 ตารางเซนติเมตร 3 x3 3

A D3B
2

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 191

จะได ้ พน้ื ที่ฐ านของพ รี ะมิด = 6 × 9√3
4

= 272√3 ตารางเซนตเิ มตร

จากสูตร ปริมาตรของพีระมดิ = 1–3 × พนื้ ท่ีฐาน × ความสูง
27√3
จ ะได้ ปริมาตรของพรี ะมิดน ้ ี = –13 × 2 × 10 = 45√3 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

3 . แ นวค ดิ จ ากสูตร พ้ืนท่ีของรปู สามเหลี่ยมด้านเท่า =  √  43    a2 เมือ่ a แทนความยาวของด้านของรปู สามเหล่ยี ม
จะได้ พน้ื ท ่ฐี านของ พีระมดิ = √   43    × 122 = 36√3 ตารางเซนติเมตร

จากสูตร ปริมาตรของพรี ะมิด = –31 × พน้ื ท่ฐี าน × ความสูง
จะได้ ปรมิ าตรของพรี ะมดิ = –31 × 36√3 × 20

= 240√3 ลกู บาศก์เซนตเิ มตร

ดงั นน้ั ในการหล่อปูนปลาสเตอร์ใหเ้ ป็นพีระมิดดังกล่าว จะต้องใช้ปนู ปลาสเตอรอ์ ยา่ งนอ้ ย 240√3

ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

4. แนวคดิ จากสูตร ปรมิ าตรของพีระมดิ = –31 × พื้นทฐ่ี าน × ความสงู
จะได ้ ปรมิ าตรของพีระมิดน้ี = –31 × (4 × 4) × 6

= 32 ลูกบาศกเ์ มตร

5. แนวคดิ 1 10

10

จากรปู พ้ืนทีฐ่ านของพรี ะมดิ = 22––11 × ผลคูณของความยาวของเสน้ ทแยงมุม
= × 10 × 10

= 50 ตารางเซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

192 บทท่ี 3 | พีระมดิ กรวย และทรงกลม ค่มู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2

จากสูตร ปริมาตรของพรี ะมิด = –31 × พน้ื ทฐ่ี าน × ความสูง

จะได ้ ปริมาตรของพรี ะมิด = –31 × 50 × 5

= 2350 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร

เนอ่ื งจาก แกว้ ผลกึ มลี ักษณะเปน็ พีระมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจตั รุ สั สองชน้ิ ประกบกัน

ด งั นนั้ แกว้ ผลกึ น้ีมปี รมิ าตร 2 × 250 ≈ 166.67 ลูกบาศก์เซนติเมตร
3

แนวคดิ 2 10

10
5

5

จากรปู ฐานของพรี ะมดิ มคี วามยาวของแตล่ ะดา้ นเท่ากบั √52 + 52 = √50 เซนตเิ มตร

จากสตู ร ปริมาตรของพรี ะมิด = 1–3 × พนื้ ทีฐ่ าน × ความสูง

จะได ้ ปรมิ าตรของพรี ะมิด 1 ช้ิน = 1–3 × (√50 × √50 ) × 5

= 2530 ลูกบาศกเ์ ซนตเิ มตร

เนื่องจาก แก้วผลกึ มลี ักษณะเป็นพีระมิดฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรสั สองช้นิ ประกบกัน

ด งั นั้น ปรมิ าตรของแก้วผลกึ นี ้ = 2 × 250 ≈ 166.67 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร
3

6. แนวคิด จากสูตร ปริมาตรของพีระมดิ = 1–3 × พืน้ ท่ีฐาน × ความสงู
จะได้ ปรมิ าตรของขนมเทียน 1 หอ่ = 1–3 × (4 × 4) × 3

= 16 ลูกบาศก์เซนติเมตร

แต่ขนมเทียนแต่ละหอ่ ใชแ้ ป้งประมาณ 32– ของเนอ้ื ขนม
ดงั น้นั ขนมเทียนแต่ละห่อใชแ้ ปง้ ประมาณ 3–2 × 16 = 3—32 ลกู บาศกเ์ ซนติเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม 193

เนอื่ งจากต้องการท�ำ ขนมเทียน 100 ห่อ
ดงั นนั้ ตอ้ งใช้แปง้ ประมาณ 100 × 3—32 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร หรือ 33—02 ลิตร
จากโจทย์ ก�ำ หนดแป้ง 1 ลติ ร หนกั 550 กรัม

ดงั น้นั จะตอ้ งใชแ้ ปง้ ในการทำ�ขนมเทยี นประมาณ 33—02 × 550 ≈ 586.67 กรัม

7. แนวคดิ รูปจำ�ลองของศิลาจารึกพ่อขุนรามคำ�แหงมีลักษณะเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสและปริซึมส่ีเหลี่ยม
จัตรุ สั ประกบกัน

ดงั นั้น ปรมิ าตรของรูปจำ�ลองน ้ี = ปรมิ าตรของพีระมิด + ปริมาตรของปริซมึ

จากสูตร ปริมาตรของพรี ะมิด = –13 × พืน้ ทฐ่ี าน × ความสูง

จะได ้ ปริมาตรของพรี ะมิด = 1–3 × (16 × 16) × 10

= 2,5360 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตร

จากสตู ร ปริมาตรของปรซิ มึ = พน้ื ทีฐ่ าน × ความสงู

จะได้ ปรมิ าตรของปริซมึ = (16 × 16) × 40

= 10,240 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

ดงั น ้ัน ปรมิ าตร ของปนู ปล าสเตอรท์ ี่ใช ้หล่อรูปจำ�ล องน ้ี = 2,5360 + 10,240

≈ 11,093.33 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร

8. แนวคิด เนอื่ งจากมหาพรี ะมดิ แหง่ กซี ามีฐานเปน็ รปู สเ่ี หลี่ยมจัตุรสั ครอบคลมุ พนื้ ท่ีประมาณ 33 ไร่

และพืน้ ที่ 1 ไร่ เท่ากับ 1,600 ตารางเมตร

ดงั นนั้ มหาพีระมดิ แหง่ กีซามพี นื้ ท่ฐี านประมาณ 33 × 1,600 = 52,800 ตารางเมตร

จากสตู ร ปรมิ าตรของพีระมิด = –13 × พื้นที่ฐาน × ความสงู

จะได้ ปรมิ าตรของมหาพรี ะมดิ แหง่ กีซา ≈ 1–3 × 52,800 × 146.5
≈ 2,578,400 ลกู บาศก์เมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

194 บทที่ 3 | พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2

แบบฝกึ หัด 3.1 ค

1. แนวคิด จจาะกไดส้ ตู พร ืน้ พทนื้ ่ผี ทวิ ี่ผข้าิวงขขา้ องขงพองรี พะมรี ะดิ ม ดิ =ฐา นส–21เี่ ห×ล(ีย่4ม×จตั 1รุ 2สั ) ×= 1 –221 ×= ค 2วา8ม8ย าตวารรอาบงเรซปู นขตอเิ งมฐตารน × ส่วนสูงเอียง


และ พ้ืนทฐี่ านของพีระมดิ = 12 × 12 = 144 ตารางเซนตเิ มตร

ดังนนั้ พนื้ ท่ผี ิวของพีระมดิ ฐานสี่เหล่ียมจัตรุ ัส = 288 + 144 = 432 ตารางเซนตเิ มตร

2. แนวคดิ จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานหา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = –21 × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
จะได ้ พนื้ ทผ่ี วิ ขา้ งของพีระมดิ = –21 × (5 × 10) × 6

= 150 ตารางเซนติเมตร

3. แนวคิด จากรูป ให้ ■ABCD เป็นฐานของพีระมดิ ฐานสเี่ หล่ยี มจตั รุ ัส ซง่ึ ยาวด้านละ 30 เมตร

จดุ O เป็นยอดของพรี ะมิด

OX เปน็ สว่ นสูงของพีระมดิ O

และ OY เป็นส่วนสงู เอยี งของพีระมิด

เนื่องจาก ΔOXY เป็นรปู สามเหลีย่ มมุมฉาก

ที่มี OX = 20 เมตร D C
X Y
และ XY = 3—20 = 15 เมตร

โดยทฤษฎบี ทพที าโกรสั

จะได้ OY2 = OX2 + XY2 AB

= 202 + 152

= 625

ดังน้นั OY = 25
เนื่องจาก พนื้ ทผ่ี ิวข้างของพีระมดิ ฐานสเี่ หลีย่ มจตั ุรัส = –12 × ความยาวรอบรูปของฐาน × สว่ นสงู เอียง
จะได้ พนื้ ทีผ่ วิ ขา้ งของอาคารนี้ = –21 × (4 × 30) × 25

= 1,500 ตารางเมตร

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 195

4. แนวคิด จากรปู ให้ ■ABCD เปน็ ฐานของพรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี มจัตุรัส ซงึ่ ยาวดา้ นละ 6 เซนตเิ มตร

จดุ O เป็นยอดของพีระมดิ O
OX เป็นส่วนสงู ของพีระมิด

และ OY เปน็ สว่ นสูงเอียงของพีระมิด

เนอื่ งจาก ΔOXY เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุ ฉาก D C
ทีม่ ี OX = 4 เซนตเิ มตร

และ XY = –26 = 3 เซนตเิ มตร X Y
B
โดยทฤษฎีบทพที าโกรสั A

จะได้ OY2 = OX2 + XY2

= 42 + 32

= 25

ดังนน้ั OY = 5 เซนตเิ มตร

เนือ่ งจาก พ้ืนทผ่ี วิ ข้างของพีระมิดฐานสเ่ี หลีย่ มจัตุรัส = –21 × ความยาวรอบรูปของฐาน × ส่วนสูงเอียง
จะได้ พ้ืนที่ผิวข้างของพรี ะมดิ = –21 × (4 × 6) × 5

= 60 ตารางเซนตเิ มตร

และ พื้นท่ีฐานของพรี ะมดิ = 6 × 6 = 36 ตารางเซนตเิ มตร

ดงั นนั้ บริเวณท่ีตอ้ งการทาสีมีพ้ืนท ี่ 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร

5. แนวคดิ จากรปู ให ้ ■ABCD เปน็ ฐานของพรี ะมดิ ฐานสี่เหลีย่ มผืนผ้า

จดุ O เป็นยอดของพีระมิด O

OX เป็นสว่ นสูงของพรี ะมิด X
E
OE เป็นสว่ นสูงของ ΔOAB D C
และ OF เปน็ ส่วนสูงของ ΔOBC F
B
จากโจทย์ OX = 12 เซนติเมตร

AB = 32 เซนติเมตร

และ BC = 10 เซนติเมตร A
จะได้
และ XF = 13——2202 == 51 6 เเซซนนตตเิิเมมตตรร
XE =

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

196 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คูม่ อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

เนอ่ื งจาก ΔOXE เป็นรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก เน่อื งจาก ΔOXF เป็นรปู สามเหลยี่ มมมุ ฉาก

โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรัส โดยทฤษฎบี ทพีทาโกรสั
จะได้ OE2 = OX2 + XE2 จะได ้ OF2 = OX2 + XF2
= 122 + 52 = 122 + 162

= 169 = 400

ดงั น้นั OE = 13 ดงั นน้ั OF = 20

เนอื่ งจาก พ้นื ท่ผี วิ ขา้ งของพีระมิดฐานสเี่ หลย่ี ม ABCD เท่ากับผลบวกของพืน้ ทขี่ อง ΔOAB , ΔOBC ,

ΔOCD และ ΔODA

( ) ( ) จะได้ พ้นื ท่ผี ิวข้างของพรี ะมดิ = 2 21– × 32 × 13 + 2 21– × 10 × 20
= 416 + 200

= 616 ตารางเซนตเิ มตร

และ พืน้ ทีฐ่ านของพรี ะมิด = 32 × 10 = 320 ตารางเซนตเิ มตร

ดังนัน้ พน้ื ที่ผิวของพรี ะมดิ น้ี = 616 + 320 = 936 ตารางเซนติเมตร

6. แนวคดิ จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานหา้ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = 21– × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
120 = –21 × (5 × 8) × สว่ นสูงเอียง
จะได ้

ส่วนสูงเอียง = 6

ดงั น้ัน สว่ นสูงเอยี งของพีระมดิ ยาว 6 เซนตเิ มตร

7. แนวคิด จากสตู ร พน้ื ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ ฐานสบิ เหลย่ี มดา้ นเทา่ มมุ เทา่ = 21– × ความยาวรอบรปู ของฐาน × สว่ นสงู เอยี ง
224 = –21 × 56 × ส่วนสงู เอยี ง
จะได ้

ส่วนสูงเอยี ง = 8

ดงั นั้น สว่ นสูงเอยี งของพีระมิดยาว 8 เมตร

8. แนวคิด O

XY
42 น้ิว

30 นิ้ว

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 197

1) จากรูป ใหจ้ ุด O เป็นยอดของพรี ะมดิ

OX เป็นสว่ นสงู ของพรี ะมดิ

และ OY เป็นส่วนสูงเอียงของพีระมิด

เนอ่ื งจาก รูปจ�ำ ลองของศลิ าจารึกน้ีมปี ริมาตร 40,200 ลูกบาศก์น้ิว

และ ปริมาตรสว่ นท่เี ปน็ ปริซึม = 30 × 30 × 42 = 37,800 ลกู บาศก์นิ้ว

ดงั นน้ั ปรมิ าตรส่วนทเี่ ปน็ พรี ะมดิ = 40,200 – 37,800 = 2,400 ลูกบาศก์นวิ้

จากสตู ร ปริมาตรของพีระมิด = 1–3 × พ้นื ที่ฐาน × ความสงู

จะได้ 2,400 = –13 × (30 × 30) × OX

ดังน้นั OX = 8
เนือ่ งจาก ΔOXY เป็นรูปสามเหล่ียมมุมฉากท่ีม ี OX = 8 น้วิ และ XY = 3—20 = 15 นิ้ว
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ OY2 = OX2 + XY2

= 82 + 152

= 289

ดังนนั้ OY = 17

นัน่ คอื สว่ นสูงเอียงของสว่ นท่เี ปน็ พรี ะมดิ ยาว 17 นว้ิ

2) จจาะกไดส้ ตู พร ้ืน พทื้นี่ผทวิ ่ผีข้าิวงขขา้ องขงพองรี พะมรี ะิดม ดิ =ฐา นส–12เี่ ห×ล(่ีย4ม×จัต3รุ 0ัส) × =1 1–72 ×= ค 1วา,0ม2ย0าว รตอาบรารงูปนข้ิวองฐาน × ส่วนสงู เอยี ง


พ้ืนทีผ่ วิ ข้างของปรซิ มึ = 4 × (30 × 42) = 5,040 ตารางน้วิ

และ พืน้ ท่ฐี านของปริซมึ = 30 × 30 = 900 ตารางนว้ิ

ดงั นัน้ พน้ื ที่ผวิ ของรปู จำ�ลองน ี้ = พนื้ ทผ่ี วิ ขา้ งของพรี ะมดิ + พนื้ ทผี่ วิ ขา้ งของปรซิ มึ + พนื้ ทฐี่ านของปรซิ มึ

= 1,020 + 5,040 + 900

= 6,960 ตารางน้ิว

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

198 บทท่ี 3 | พรี ะมิด กรวย และทรงกลม คูม่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2

3.2 ปรมิ าตรและพื้นท่ผี ิวของกรวย (5 ชวั่ โมง)

จดุ ประสงค์

นักเรยี นสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะและส่วนต่าง ๆ ของกรวย
2. หาปรมิ าตรของกรวยและนำ�ความรไู้ ปใชใ้ นการแก้ปัญหา
3. หาพนื้ ท่ผี วิ ของกรวยและนำ�ความร้ไู ปใช้ในการแกป้ ญั หา

ความเขา้ ใจทคี่ ลาดเคลอ่ื น

-

สอ่ื ท่แี นะน�ำ ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้

อปุ กรณ์ของกิจกรรม : สำ�รวจกรวย

ข้อเสนอแนะในการจดั กิจกรรมการเรยี นรู้

ในหวั ข้อน้ี เปน็ เรอ่ื งเกย่ี วกบั ปริมาตรและพื้นท่ีผิวของกรวย ซ่ึงตอ้ งการให้นักเรียนรจู้ ักสว่ นประกอบตา่ ง ๆ ของกรวยและ
ความหมายของกรวยในทางคณิตศาสตร์ รวมถึงให้นักเรียนทำ�กิจกรรมเชิงสำ�รวจเพื่อให้เห็นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนประกอบ
ต่าง ๆ ของกรวยท่มี ขี นาดแตกต่างกนั และหาพื้นที่ผิวของกรวยจากการหาพนื้ ท่ขี องรปู คล่ีของกรวย รวมทง้ั การหาพ้ืนท่ผี ิวขา้ ง
โดยใช้ความรู้เรื่องอัตราส่วน แนวทางการจัดกิจกรรมการเรียนรอู้ าจทำ�ได้ดังนี้
1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับสิ่งของในชีวิตประจำ�วันที่มีลักษณะคล้ายกรวย และร่วมกันอภิปรายเพื่อให้ได้

ขอ้ สรุปเก่ียวกับลักษณะและส่วนต่าง ๆ ของกรวย รวมถึงความหมายของกรวยในทางคณิตศาสตร์
2. ครูให้นักเรียนทำ� “กิจกรรม : สำ�รวจกรวย” ในหนังสือเรียน หน้า 135–136 โดยให้นักเรียนฝึกใช้ความรู้สึก

เชงิ ปรภิ มู แิ ละการนกึ ภาพในการสงั เกตความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งขนาดของมมุ ทจ่ี ดุ ศนู ยก์ ลางทเี่ กดิ จากการแบง่ วงกลม
ทม่ี ีรัศมเี ท่ากนั กับความยาวของส่วนสูงเอียง ความสงู และพน้ื ทีฐ่ านของกรวยแต่ละอันที่สรา้ งขน้ึ เช่น
✤ กรวยสองอนั ท่ีมสี งู เอยี งเทา่ กัน ไมจ่ ำ�เป็นต้องมีสว่ นสงู เทา่ กัน
✤ กรวยสองอันที่มีสูงเอียงเท่ากัน กรวยท่ีสร้างจากกระดาษท่ีมีขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางมากกว่า จะมี

พน้ื ทฐี่ านมากกวา่
✤ กรวยสองอันที่มีสูงเอียงเท่ากัน กรวยที่สร้างจากกระดาษท่ีมีขนาดของมุมที่จุดศูนย์กลางมากกว่า จะมี

ความสงู น้อยกวา่

สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี