Matematika Diskrit Full

MATEMATIKA DISKRIT

Dosen Pengampu : Saluky

Apakah Matematika Diskrit itu?

• Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

• Objek disebut diskrit jika:
- terdiri dari elemen yang berbeda (distinct) dan terpisah
secara individual, atau
- elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected).
Contoh: himpunan bilangan bulat (integer)

• Lawan kata diskrit: kontinyu atau menerus (continuous).
Contoh: himpunan bilangan riil (real)

7

Diskrit versus kontinu

Kurva mulus: himpunan menerus
Titik-titik tebal di kurva: himpunan diskrit

• Matematika Diskrit: cabang matematika yang
mengkaji objek-objek yang nilainya berbeda (distinct)
dan terpisah (separate) satu sama lain.

• Lawannya: Matematika Menerus (continuous
mathematics), yaitu cabang matematika dengan
objek yang sangat mulus (smoothy), termasuk di
dalamnya calculus.

• Komputer digital bekerja secara diskrit. Informasi yang
disimpan dan dimanipulasi oleh komputer adalah dalam
bentuk diskrit.

• Kamera digital menangkap gambar (analog) lalu
direpresentasikan dalam bentuk diskrit berupa kumpulan
pixel atau grid. Setiap pixel adalah elemen diskrit dari
sebuah gambar

10

Topik bahasan di dalam Matematika Diskrit:

• Logika (logic) dan penalaran

• Teori Himpunan (set)

• Relasi dan Fungsi (relation and function)

• Induksi Matematik (mathematical induction)

• Algoritma (algorithms)

• Teori Bilangan Bulat (integers)
• Barisan dan Deret (sequences and series)
• Teori Grup dan Ring (group and ring)
• Aljabar Boolean (Boolean algebra)
• Kombinatorial (combinatorics)
• Teori Peluang Diskrit (discrete probability)
• Fungsi Pembangkit dan Analisis Rekurens
• Teori Graf (graph – included tree)
• Kompleksitas Algoritma (algorithm complexity)

11

Teori Himpunan

Logika

Relasi dan Fungsi

Sumber: www.mathwarehouse.com

Induksi Matematik

Sumber gambar: math.stackexchange.com

Kombinatorial

Sumber: www.coolmath.com Sumber: ronsden.com

Teori Graf

Sumber: simonkneebone.com

Pohon

Sumber: ubuntuforums.org

Kompleksitas Algoritma

Sumber: agafonovslava.com Sumber: blog.philenotfound.com

Contoh-contoh persoalan di dalam Matematika Diskrit:

• Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat
dibuat dari 8 karakter?

• Bagaimana nomor ISBN sebuah buku divalidasi?

• Berapa banyak string biner yang panjangnya 8 bit yang
mempunyai bit 1 sejumlah ganjil?

• Bagaimana menentukan lintasan terpendek dari satu kota
a ke kota b?

• Buktikan bahwa perangko senilai n (n 8) rupiah

dapat menggunakan hanya perangko 3 rupiah dan 5 rupiah

• saja

Diberikan dua buah algoritma untuk menyelesaian sebuah

persoalan, algoritma mana yang terbaik? 23

• Bagaimana rangkaian logika untuk membuat peraga digital
yang disusun oleh 7 buah batang (bar)?

• Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks
perumahan tepat hanya sekali dan kembali lagi ke tempat
semula?

• “Makanan murah tidak enak”, “makanan enak tidak
murah”. Apakah kedua pernyataan tersebut menyatakan
hal yang sama?

24

Mengapa Mempelajari Matematika
Diskrit?

Ada beberapa alasan:
1. Mengajarkan mahasiswa untuk berpikir secara

matematis
 mengerti argumen matematika

 mampu membuat argumen matematika.

Contoh: Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah
genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut.
Akibatnya, untuk sembarang graf G, banyaknya simpul
berderajat ganjil selau genap.

25

2. Mempelajari fakta-fakta matematika dan cara
menerapkannya.

Contoh: (Chinese Remainder Problem) Pada abad pertama,
seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse
mengajukan pertanyaan sebagai berikut:

Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5
menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11
menyisakan 7.

Lima pokok kuliah di dalam
Matematika Diskrit

1. Penalaran matematika (Mathematical reasoning)
Mampu membaca dan membentuk argumen matematika
(Materi: logika)

2. Analisis kombinatorial (Combinatorial analysis)
Mampu menghitung atau mengenumerasi objek-objek
(materi: kombinatorial  permutasi, kombinasi, dll)

3. Sruktur diskrit
Mampu bekerja dengan struktur diskrit. Yang termasuk
struktur diskrit: Himpunan, Relasi, Permutasi dan
kombinasi, Graf, Pohon, Finite-state machine

4. Berpikir algoritmik
Mampu memecahkan persoalan dengan menspesifikasikan
algoritmanya
(Materi: pada sebagian besar kuliah ini dan kuliah Algoritma
dan Struktur Data)

5. Aplikasi dan pemodelan
Mampu mengaplikasikan matematika diskrit pada hampir
setiap area bdiang studi, dan mampu memodelkan persoalan
dalam rangka problem-solving skill.
(Materi: pada sebagian besar kuliah ini)

Kemana lanjutan kuliah ini?

• Matematika Diskrit memberikan dasar untuk mata
kuliah mata kuliah:

• Pemodelan Matematika
• Pemrograman Komputer
• Pengembangan Media

Moral of this story…

• Mahasiswa harus memiliki
pemahaman yang kuat dalam Matematika Diskrit,
agar tidak mendapat kesulitan dalam memahami
kuliah-kuliah lainnya .

32

Referensi Kuliah

Utama:
1. Kenneth H. Rosen, Discrete

Mathematics and Application to
Computer Science 7th Edition, Mc
Graw-Hill.

2. Rinaldi Munir, Diktat kuliah Matematika Diskrit (Edisi
Keempat), Teknik Informatika ITB, 2003. (juga
diterbitkan dalam bentuk buku oleh Penerbit
Informatika)

33

Pendukung:

1. Susanna S. Epp, Discrete Mathematics with
Application, 4th Edition, Brooks/Cle, 2010

2. Peter Grossman, Discrete Mathematics for
Computing, 2nd edition, Palgrave MacMillan, 2002

3. C.L. Liu, Element of Discrete Mathematics, McGraw-
Hill, Inc, 1985.

4. Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics,
Prentice-Hall, 1997.

Kontrak Belajar

1. Kehadiran 10%
2. Tugas 20%
3. UTS 30%
4. UAS 40%

Tugas : Secara kelompok(max 3
orang) membuat membuat Paper
dalam bahasa inggris untuk publikasi
di jurnal berdasarkan teori
matematika diskrit

Matematika Diskrit

Definisi, Penyajian, Jenis dan Operasi

Saluky

Definisi Himpunan

• Himpunan(set) adalah kumpulan objek-objek
yang berbeda(Liu,86)

• Biasanya dinotasikan dengan huruf besar
seperti A, B, C, I, …

• Objek dalam himpunan disebut
elemen/anggota himpunan yang disimbolkan
dengan huruf kecil

2

Penyajian Himpunan

1. Enumerasi
2. Simbol-simbol baku
3. Notasi Pembentuk Himpunan
4. Diagram Venn

3

Enumerasi

Contoh

- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8,

10}.
- C = {kucing, a, Dewi, 10, Buku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.

4

Simbol-simbol baku

P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ...}
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ...}
Z = himpunan bilangan bulat ={...,-2, -1, 0, 1, 2,...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks

5

Notasi Pembentuk Himpunan

Notasi: { x  syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Contoh
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5

A = { x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau
A = { x | x  P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah diskrit}

6

Diagram Venn

Contoh
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan
B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:

U AB
7

12 8
54

36

7

Kardinalitas

Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

Notasi: n(A) atau A 

Contoh
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil

dari 20 },
atau B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka B = 8

(ii) T = {kucing, a, Dewi, 10, buku}, maka T = 5

(iii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3

8

Himpunan Bagian(subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen
A merupakan elemen dari B.

Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Notasi: A  B U

Diagram Venn: B
A

9

Himpunan Bagian(subset)

Contoh
(i) { 1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3}  {1, 2, 3}
(iii) N  Z  R  C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y < 4, x  0, y  0 } dan

B = { (x, y) | 2x + y < 4, x  0 dan y  0 },
maka B  A.

10

Himpunan Bagian (Subset)

TEOREMA 1. Untuk sembarang himpunan A
berlaku hal-hal sebagai berikut:

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri
(yaitu, A  A).

(b) Himpunan kosong merupakan himpunan
bagian dari A (  A).

(c) Jika A  B dan B  C, maka A  C

11

Himpunan Bagian (Subset)

  A dan A  A, maka dan A disebut
himpunan bagian tak sebenarnya (improper
subset) dari himpunan A.

Contoh: A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan 
adalah improper subset dari A.

12

Himpunan Bagian (Subset)

A  B berbeda dengan A  B
BA. B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A 
Asuabdseatla)hdahriimBp.unan bagian sebenarnya (proper
Contoh:
(i) {1} dan {2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
a(idi)aAlah Bhi:mdpiguunnaankabnaguianntu(ksumbesenty)adtaakrai Bn ybaanhgwa A
memungkinkan A = B.

13

Himpunan Kosong

Himkopsuonnagn(nduelnl sgeatn).kardinal = 0 disebut himpunan
Notasi :  atau {}
Contoh
(i) E = { x | x < x }, maka n(E) = 0
(ii)mPak=a{no(rPa)n=g0Indonesia yang pernah ke bulan },
(iii) A ={x | x adalah akar persamaan kuadrat x2 + 1

= 0 }, n(A)=0

14

Himpunan Kosong

• himpunan {{ }} dapat juga ditulis sebagai {}
• himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga ditulis sebagai

{, {}}
• {} bukan himpunan kosong karena ia

memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.

15

Himpunan yang sama

A = B jika dan hanya jika setiap elemen A
merupakan elemen B dan sebaliknya setiap
elemen B merupakan elemen A.
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B dan
B adalah himpunan bagian dari A.
Jika tidak demikian, maka A  B.
Notasi : A = B  A  B dan B  A

16

Himpunan Ekivalen

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan
himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari
kedua himpunan tersebut sama.
Notasi : A ~ B  A = B

Contoh
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B ={ a, b, c, d },
maka A ~ B sebab A = B = 4

17

Himpunan Saling Lepas

• Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas

(disjoint) jika keduanya tidak memiliki elemen

yang sama. U B
• Notasi : A // B A
• Diagram Venn:

• Contoh 11.

• Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30,

... }, maka A // B.

18

Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A
adalah suatu himpunan yang elemennya
merupakan semua himpunan bagian dari A,
termasuk himpunan kosong dan himpunan A
sendiri.

Notasi : P(A)
Jika A = m, maka P(A) = 2m.

19

Himpunan Kuasa

Contoh
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2
}}
Contoh
Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah
P() = {}, dan himpunan kuasa dari himpunan
{} adalah P({}) = {, {}}.

20

Himpunan Kuasa

• Berapa powerset dari A={1,2,3} ?

Jawab
{ }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3} dan {1,2,3}
Jumlahnya adalah 8

21

Operasi Terhadap Himpunan

1. Irisan (intersection)
2. Gabungan (union)
3. Komplemen (complement)
4. Selisih (difference)
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
6. Perkalian Kartesian (cartesian product)

22

Irisan (intersection)

Notasi : A  B = { x  x  A dan x  B }

23

Irisan (intersection)

Contoh
(i)Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18},

maka A  B = {4, 10}
(ii) Jika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka

A  B = .
Artinya: A // B

24

Gabungan (union)

Notasi : A  B = { x  x  A atau x  B }

Contoh { 2,

(i) Jika A = { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 }, maka A  B =

5, 7, 8, 22 }

(ii) A   = A

25