Matematika Diskrit Full

Graf Teratur

18

Graf Bipartit

19

Representasi Graf

1. Matriks Ketetanggaan
2. Matriks Bersisian
3. Senarai Ketetanggaan

20

Matriks Ketetanggaan

21

Matriks Bersisian

22

Senarai Ketetanggaan

23

Graf Isomorfik

• Dua graf G1 dan G2 dikatakan isomorfik jika
terdapat korespondensi satu satu antara
simpul-simpul keduanya sedemikian sehingga
jika sisi e bersisian dengan simpul u dan v di
G1 maka sisi e’ berisisian dengan simpul u’ dan
v’ di G2

24

Graf Planar

• Graf planar adalah graf yang digambarkan
pada bidang datar dengan sisi yang tidak
saling memotong.

25

Graf Bidang

• Representasi Graf planar yang digambarkan
tidak saling berpotongan disebut graf bidang

Graf Bidang 26

Rumus Euler

• Jumlah wilayah f pada Graf planar sederhana
dalat dihitung dengan rumus euler
n – e + f = 2 atau f = e – n + 2

n adalah jumlah simpul 4 1
e adalah garis
2
3

n = 4 e = 6 maka f = 6 – 4 + 2 = 4 wilayah

27

Lintasan dan Sirkuit Euler

• Lintasan Euler adalah lintasan yang melalui
Sisi tepat satu kali, bila lintasan tersebut
kembali ke titik asal maka disebut sirkuit euler.

28

Lintasan dan Sirkuit Hamilton

• Lintasan hamilton adalah lintasan yang
melalui titik tepat satu kali, bila lintasan
tersebut kembali ke titik asal maka disebut
sirkuit hamilton

29

Lintasan Terpendek

30

Referensi

• Rinaldi Munir, Matematika Diskrit, Informatika
2010

• C.L. Liu, Element of Discrete Mathematics,
McGraw-Hill, Inc, 1985.

• Richard Johsonbaugh, Discrete Mathematics,
Prentice-Hall, 1997.

31

Matematika Diskrit

Implementasi Graf

By SmartcampusID

Bahasan

Algoritma Algoritma
Welch Powell Djikstra

Tetangga Arus
Terdekat Maksimum

Penentuan Penjadwalan dengan algoritma
Welch-Powell

1. Urutkan graf berdasarkan derajat secara menurun

2. Gunakan satu warna pada simpul derajat tertinggi
pertama dan simpul lain yang tidak bertetangga dengan
simpul ini

3. Mulai lagi pada derajat tertinggi berikutnya didalam
daftar yang belum diwarnai dan ulangi perwarnaan
simpul dengan warna berikutnya

4. Ulangi penambahan warna sampai semua simpul
diwarnai

Contoh:

 Gunakan algoritma welch-powell untuk mewarnai graf
dibawah ini :

Jawab 1 2
6
Simpul 1
Derajat 4 5 3 6
4 3
5
234 2
243

Urutkan berdasarkan derajat secara descending

Simpul 1 3 4 6 2 5
Derajat 4 4 3 3 2 2
Warna Biru Merah Kuning Merah Kuning Biru

Warna yang digunakan 3 sehingga bilangan kromatiknya 3

Latihan

 Tentukan matriks ketetanggaan dari Graf

 Gunakan algoritma welch-powell untuk mewarnai Graf

dibawah ini : 1 2

8

3

75

4
6

Quiz : Untuk no urut kehadiran 1 - 10 silahkan jawab dikolom komentar
berapa jumlah bilangan kromaki nya?
Dengan format Nama Kelas jawaban contoh Andi kelas B jawab = 9

Jawab

 Matriks Ketetanggaan

12345678N
1010010013
2101100003
3010110003
4011011004
5101101116
6000110002
7000010012
8100010103

Lanjutan

 Algoritma Welch-Powell untuk mewarnai Graf

Simpul 1 2 3 4 5 6 7 8
Derajat 3 3 3 4 6 2 2 3

Urutkan berdasarkan derajat tertinggi

Simpul 5 4 1 2 3 8 6 7
Derajat 6 4 3 3 3 3 2 2
Warna Biru Merah Merah Biru Kuning Hijau Hijau Kuning

Studi Kasus

 Panitia Himpunan matematika jurusan membentuk 5
kelompok kerja untuk mensukseskan acara olimpiade
matematika. Setiap minggu sekali selalu mengadakan rapat
koordinasi. Berikut ini 5 kelompok kerja berserta
angggotanya

 Kelompok 1 :Anis, Budi Cica
 Kelompok 2 : Dewi, Edi, Cica
 Kelompok 3 : Edi, Fany, Gala
 Kelompok 4 : Cica, Handi, Dewi
 Kelompok 5 : Handi,Anis, Budi, Edi, Fany

 Gambarkan Graf yang merepresentasikan persoalan ini?
 Berapa waktu yang dibutuhkan sehingga tidak ada anggota

kelompok yang dijadwalkan di satu waktu?

Jawab K1

K5

K2

K4
K3

Menghitung waktu yang dibutuhkan

Simpul K1 K2 K3 K4 K5

Derajat 3 4 2 3 4

Urutkan berdasarkan derajat tertinggi

Simpul K2 K5 K1 K4 K3
Derajat 4 4 3 3 2
Warna Ungu Biru Muda Hijau Merah Hijau

Jumlah waktu yang dibutuhkan ?

Quiz : Untuk no urut kehadiran 11 - 20 silahkan jawab dikolom komentar
berapa jumlah bilangan kromaki nya?
Dengan format Nama Kelas jawaban contoh Andi kelas B jawab = 9

Algoritma Djikstra

 Menggunakan prinsip greedy algoritma djikstra setiap
langkah selalu memilih sisi dengan bobot minimum.

Perhitungan jarak terpendek dari simpul awal a = 1

Kesimpulan

 Lintasan terpendek yang didapatkan adalah

 Dari 1 ke 3 adalah 1, 3 dengan panjang 10
 Dari 1 ke 4 adalah 1, 3, 4 dengan panjang 25
 Dari 1 ke 2 adalah 1, 3, 4, 2 dengan panjang 45
 Dari 1 ke 5 adalah 1, 5 dengan panjang 45
 Dari 1 ke 6 tidak ada lintasan

Penentuan jarak terpendek dengan tetangga
terdekat

Tentukan jarak terpendek dari 1 ke 5?

Jawab

Jadi jarak terpendek dari 1 ke 5 adalah 8 dengan lintasan 1, 4, 5
Quiz : Untuk no urut kehadiran 11 – 25 Tentukan jarak terdekat dan lintasannya dari 3 ke 6 ?
Jawaban ditulis dikolom komentar dengan format Nama Kelas jawaban
contoh Andi kelas B jawab : lintasan 3, 4, ….. dengan jumlah ___

Penentuan Arus maksimum dalam satu
waktu

7

12 6 8
S3 10 9

4 D
11
5

Bobot setiap arus

Tentukan arus maksimum yang sampai pada daerah tujuan ?

Jawab

Quiz

 Untuk no urut kehadiran dari 26 – 35 : Kebijakan apa yang
harus diubah agar arus masuk sama dengan arus yang
keluar ?

 Jawaban tulis pada kolom komentar dengan format nama,
kelas dan jawaban contoh Andi kelas B jawabannya :
merubah bobot no x menjadi y

Teori Pohon

Definisi

• Pohon adalah graf terhubung yang tidak mengandung
sirkuit.

• Beberapa terapan pohon dalam kehidupan sehari-hari :

– Silsilah keluarga
– Struktur organisasi
– Penguraian Kalimat
– Struktur jaringan
– Dan lainnya

• Pohon terdiri dari himpunan titik dan garis G=(V,E)
• Pohon dapat terdiri dari 1 titik tanpa garis
• Kumpulan pohon yang saling lepas disebut Hutan

Contoh Graf

G1 dan G2 adalah pohon
G3 bukan pohon karena terdapat sirkuit
G4 bukan pohon karena tidak terhubung

Sifat-sifat Pohon

Misalkan G=(V,E) adalah graf tak berarah
sederhana dan jumlah simpulnya n, maka
pernyataan dibawah ini ekivalen :

1. G adalah pohon
2. Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan

lintasan tunggal.
3. G terhubung dan memiliki m = n- 1 jumlah sisi.
4. G tidak mengandung sirkuit
5. G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu

sisi akan membentuk satu sirkuit.
6. G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan

Pewarnaan Pohon

• Pohon hanya memiliki 2 bilangan kromatik.

Pohon Merentang

• Jika G adalah graf berbobot, maka semua bobot
pohon merentang T dari G didefinisikan sebagai
jumlah bobot semua sisi di T.

• Pohon merentang yang berbeda mempunyai
bobot yang berbeda pula.

• Pohon merentang minimum adalah pohon
tentang yang memiliki bobot minimum.

• Contoh implementasi adalah pada pembangunan
jalan, jalur kereta dan sejenisnya

Graf  Pohon Rentang

Untuk mendapatkan pohon rentang minimum dapat menggunakan 2 buah algoritma yaitu
algoritma prim dan algoritma kruskal

Algoritma Prim

1. Ambil sisi dari graf G yang berbobot
minimum, masukan ke dalam T.

2. Pilih sisi e yang mempunyai bobot minimum
dan bersisian dengan simpul di T, tetapi e
tidak membentuk sirkuit di T. masukkan e ke
dalam T.

3. Ulangi 2 sebanyak n – 2 kali

Contoh : Tentukan pohon rentang minimum dari graf berikut

Jawab Algoritma Prim

Langkah Sisi Bobot Sub Pohon B
1 (A, B) 10 A

2 (B,F) 25 B
A

3 (F, D) 20 F

B
A

D
F

Langkah Sisi Bobot Sub Pohon
4 (F , C ) 15
B
A C

D
F

5 (C, E) 35 B
E
A C
D F

Algoritma Kruskal

Bobot Harus di urutkan dari kecil ke besar

1. T masih kosong

2. Pilih sisi e dengan bobot minimum yang tidak
membentuk sirkuit di T. Masukkan e ke dalam
T

3. Ulangi langkah 2 sebanyak n-1 kali

Contoh : Tentukan pohon rentang minimum dari graf berikut

Jawab Algoritma Kruskal

Sisi (A,B) (C, F) (D, F) (B, F) (A, D) (C, E) (B, E) (B, C) (E, F)
Bobot 10 15 20 25 30 35 40 50 55

Latihan : Tentukan pohon rentang minimum graf berikut ini dengan algoritma prim
dan algoritma kruskal dan tentukan algoritma terbaik pada kasus tersebut

Matematika Diskrit

Algoritma dan Kompleksitasnya