หนงสั ื อเร ี ยนสาระความรู้ พ Ê ื นฐาน รายวชา ิ คณตศาสตร ิ ์ (พคŚřŘŘř) ระดบม ั ั ธยมศ ึ กษาตอนต ้ น (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ŚŝŞŘ) หลกสัูตรการศ ึ กษานอกระบบระดบการศั ึ กษาข Ê นพัÊ ื นฐาน พทธศุกราชัŚŝŝř สานํกงานสั ่งเสริมการศ ึ กษานอกระบบและการศ ึ กษาตามอธยาศัยั สานํ กงานปล ัดกระทรวงศั ึ กษาธิการ กระทรวงศ ึ กษาธิการ ห ้ ามจําหน ่ าย หนงสั ือเรียนเล่มนÊีจดพั ิมพด์วยเง้ ินงบประมาณแผนด่ ินเพืÉอการศึกษาตลอดชีวตสิาหรํ ับประชาชน ลิขสิทธÍิเป็นของ สานํกงานักศน. สานํ กงานปล ัดกระทรวงศั ึกษาธิการ เอกสารทางวชาการลิาดํบทั ีÉş/Śŝŝŝ
หนงสั ื อเร ี ยนสาระความรู้ พ Ê ื นฐาน รายวชา ิ คณ ิ ตศาสตร ์ (พคŚřŘŘř) ระดบม ั ั ธยมศ ึ กษาตอนต ้ น ฉบับปรับปรุง พ.ศ.ŚŝŞŘ ลิขสิทธÍิเป็ นของ สานํกงานักศน. สานํ กงานปล ัดกระทรวงศั ึกษาธิการ เอกสารทางวชาการลิาดํบทั ีÉ 7/2555
3 คํานํา กระทรวงศึกษาธิการไดประกาศใชหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เมื่อวันที่ 18 กันยายน พ.ศ. 2551 แทนหลักเกณฑและวิธีการจัดการศึกษานอกโรงเรียนตามหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 ซึ่งเปนหลักสูตรที่พัฒนาขึ้นตามหลักปรัชญาและความเชื่อพื้นฐานในการจัดการศึกษานอกโรงเรียนที่มี กลุมเปาหมายเปนผูใหญมีการเรียนรูและสั่งสมความรูและประสบการณอยางต อเนื่อง ในปงบประมาณ 2554 กระทรวงศึกษาธิการไดกําหนดแผนยุทธศาสตรในการขับเคลื่อนนโยบายทางการศึกษา เพื่อเพิ่มศักยภาพและขีดความสามารถในการแขงขันใหประชาชนไดมีอาชีพที่สามารถสรางรายไดที่มั่งคั่งและมั่นคง เปน บุคลากรที่มีวินัย เปยมไปดวยคุณธรรมและจริยธรรม และมีจิตสํานึกรับผิดชอบตอตนเองและผูอื่น สํานักงาน กศน. จึงได พิจารณาทบทวนหลักการ จุดหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง และเนื้อหาสาระ ทั้ง 5 กลุมสาระการเรียนรูของ หลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษา ขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ใหมีความสอดคลองตอบสนองนโยบาย กระทรวงศึกษาธิการ ซึ่งสงผลใหตองปรับปรุงหนังสือเรียน โดยการเพิ่มและสอดแทรกเนื้อหาสาระเกี่ยวกับอาชีพ คุณธรรม จริยธรรมและการเตรียมพรอม เพื่อเขาสูประชาคมอาเซียน ในรายวิชาที่มีความเกี่ยวของสัมพันธกัน แตยังคง หลักการและวิธีการเดิมในการพัฒนาหนังสือที่ใหผูเรียนศึกษาคนควาความรูดวยตนเอง ปฏิบัติกิจกรรม ทําแบบฝกหัด เพื่อทดสอบความรูความเขาใจ มีการอภิปรายแลกเปลี่ยนเรียนรูกับกลุม หรือศึกษาเพิ่มเติมจากภูมิปญญาทองถิ่น แหลงการ เรียนรูและสื่ออื่น การปรับปรุงหนังสือเรียนในครั้งนี้ไดรับความรวมมืออยางดียิ่งจากผูทรงคุณวุฒิในแตละสาขาวิชา และ ผูเกี่ยวของในการจัดการเรียนการสอนที่ศึกษาคนควา รวบรวมขอมูลองคความรูจากสื่อตาง ๆ มาเรียบเรียงเนื้อหาให ครบถวนสอดคลองกับมาตรฐาน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ตัวชี้วัดและกรอบเนื้อหาสาระของรายวิชา สํานักงาน กศน. ขอขอบคุณผูมีสวนเกี่ยวของทุกทานไวณ โอกาสนี้และหวังวาหนังสือเรียน ชุดนี้จะเปนประโยชนแกผูเรียน ครูผูสอน และผูเกี่ยวของในทุกระดับ หากมีขอเสนอแนะประการใด สํานักงาน กศน. ขอนอมรับดวยความขอบคุณยิ่ง
4 สารบัญ เรื่อง หนา คํานํา สารบัญ คําแนะนําการใชหนังสือ โครงสรางวิชาคณิตศาสตรระดับมัธยมศกษาตอนตึ น บทที่ 1 จํานวนและการดําเนนการิ 1 บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม 18 บทที่ 3 เลขยกกําลัง 46 บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ 58 บทที่ 5 การวดั 75 บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว 105 บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ 127 บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณตสองมิ ิติและสามมิต 138 ิ บทที่ 9 สถิต 152 ิ บทที่ 10 ความนาจะเปน 184 บทที่ 11 การใชทกษะกระบวนการทางคณัตศาสตริ ในงานอาชีพ 194
5 คําแนะนําการใช แบบเรียน หนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตรพค 21001ระดับมัธยมศึกษาตอนตนเปนหนังสือ เรียนที่จัดทําขึ้น สําหรับผูเรียนที่เปนนักศึกษานอกระบบในการศึกษาหนังสือเรียนสาระความรูพื้นฐาน รายวิชาคณิตศาสตรผูเรียนควรปฏิบัติดังนี้ 1. ศึกษาโครงสรางรายวิชาใหเขาใจในหวขั อสาระสําคัญ ผลการเรียนรทู ี่คาดหวังและ ขอบขายเนื้อหา 2. ศึกษารายละเอียดเนื้อหาของแตละบทอยางละเอียด และทํากิจกรรมตามทกี่ําหนด แลว ตรวจสอบกับแนวตอบกจกรรมทิ ี่กําหนด ถาผูเรียนตอบผดควรกลิ ับไปศึกษาและทํา ความเขาใจในเนื้อหานนใหม ั้ให เขาใจกอนทจะศี่กษาเรึ ื่องตอไป 3. ปฏิบัติกิจกรรมทายเรื่องของแตละเรื่อง เพื่อเปนการสรุปความรูความเขาใจของเนื้อหา ในเรื่องนั้นๆอีกครั้ง และการปฏิบตักิิจกรรมของแตละเนื้อหาในแตละเรื่อง ผูเรียน สามารถนําไปตรวจสอบกับครูและเพื่อนๆที่รวมเรียนในรายวชาและระดิ ับเดียวกนได ั 4. แบบเรียนเลมนี้มี 10 บท บทที่ 1 จํานวนและการดําเนนการิ บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม บทที่ 3 เลขยกกําลัง บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ บทที่ 5 การวดั บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ บทที่ 8 ความสัมพันธของรูปเรขาคณตสองมิ ิติและสามมิติ บทที่ 9 สถิติ บทที่ 10 ความนาจะเปน บทที่ 11 การใชทกษะกระบวนการทางคณัตศาสตริ ในงานอาชีพ
6 โครงสร างรายวิชาคณิตศาสตร ระดับมัธยมศ ึ กษาตอนต น สาระสําคัญ ใหผูเรียนมีความรูความเขาใจเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการเศษสวน และทศนิยมเลขยกกําลัง อัตราสวนสัดสวนและรอยละ การวัดปริมาตรและพื้นที่ผิว คูอันดับและกราฟ ความสัมพันธระหวาง รูปทรงเรขาคณิตสองมิติและสามมิติสถิติความนาจะเปนและการใชทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตรใน งานอาชีพ ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตัวอยางเกี่ยวกับจํานวนและการดําเนินการเศษสวนและทศนิยมเลขยกกาลํงอัตราสัวน สัดสวน รอยละการวัด การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวคูอันดับและกราฟ ความสัมพันธระหวาง รูปเรขาคณิตสองมิติสามมิติสถิติความนาจะเปนและการใชทักษะกระบวนการทาง คณิตศาสตรในงานอาชีพ 2. สามารถคิดคํานวณและแกปญหาโจทยทใชี่ ในชีวิตประจําวนั ขอบขายเนื้อหา บทที่ 1 จํานวนและการดําเนนการิ บทที่ 2 เศษสวนและทศนิยม บทที่ 3 เลขยกกําลัง บทที่ 4 อัตราสวนและรอยละ บทที่ 5 การวดั บทที่ 6 ปริมาตรและพื้นที่ผิว บทที่ 7 คูอันดับและกราฟ บทที่ 8 ความสัมพันธระหว างรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ บทที่ 9 สถิติ บทที่ 10 ความนาจะเปน บทที่ 11 การใชทกษะกระบวนการทางคณัตศาสตริ ในงานอาชีพ สื่อการเรียนรู 1. ใบงาน 2. หนังสือเรียน
1 บทท ี่ 1 จํานวนและการดําเน ิ นการ สาระสําคัญ เรื่องของจํานวนและการดําเนนการิ เปนหลักการเบื้องตนทเปี่ นพื้นฐานในการนําไปใชในชวีิตจริง เกี่ยวกับการเปรยบเที ียบ การบวกการลบ การคณูและการหาร ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. ระบุหรือยกตวอยั างจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนยได 2. เปรียบเทียบจํานวนเต็มได 3. บวก ลบ คณู หาร จํานวนเต็ม และอธิบายผลที่เกิดขนได้ึ 4. บอกสมบัติของจํานวนเต็มและนําความรูเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนเต็มไปใชได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม เรื่องที่ 3 การบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนเต็ม เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช
2 เรื่องที่ 1 จํานวนเต็มบวกจํานวนเต็มลบ และศูนย จํานวนเต็มประกอบไปดวยจํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มศนยูดังโครงสราง ตอไปนี้ จํานวนเต็มบวก คือจํานวนนับ เปนจํานวนชนดแรกทิมนี่ษยุรูจัก มีคามากกวาศนยูจํานวนนับจํานวนแรกคือ 1 จํานวนที่อยูถัดไปจะเพิ่มขนทึ้ีละ 1 เสมอจะเห็นวาไมสามารถหาจํานวนนับที่มากที่สุด และสามารถเขียน จํานวนนับ เรียงตามลําดับไดดังนี้ 1, 2, 3,... ไปเรื่อยๆ จํานวนนับเหลานี้อาจเรียกไดวา “จํานวนเต็มบวก”ถานํา จํานวน 0 และจํานวนเต็มบวกมาเขียนแสดงดวยเสนจํานวนไดดังนี้ จํานวนเต็มศนยูมีจํานวนเดยวีคือศนยู (0) สําหรับ 0 ไมเปนจํานวนนับ เพราะจะไมกลาววามีผูเรียนจานวนํ 0 คน แตศูนยก็ไมไดหมายความวา ไมมีเสมอไป เชน เมื่อกลาวถึงอุณหภูมิเพราะทําใหเราทราบและเกิดความรสูึกขณะอุณหภูมิ 0 องศา เซลเซียสได จํานวนเต็มลบ หมายถึงจํานวนที่ตรงขามกับจํานวนเต็มบวก มีคานอยกวาศูนย (0) มีคาลดลงเรื่อยๆ ไมมีที่ สิ้นสุด เชน -1, -2, -3, .... พิจารณาจากเสนจํานวน จะเห็นวาจํานวนที่อยูทางซายของ 0 เปนระยะทาง 1 หนวยเขียนแทนดวย -1 อานวาลบหนึ่ง จากจํานวนที่อยูทางซายของ 0 สองชอง เขียนแทนดวย -2 อานวาลบสองถาอยูทางซายของ 0 สาม ชอง เขียนแทนดวย -3 อานวาลบสาม จํานวนเต็ม จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มลบ
3 เรื่องที่ 2 การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม จํานวนเต็ม 2 จํานวน เมื่อนํามาเปรียบเทียบกันจะไดวาจํานวนหนึ่งที่มากกวาจํานวนหนึ่ง หรือ จํานวนหนึ่งที่นอยกวาอีกจํานวนหนึ่ง หรือจํานวนทั้ง 2 จํานวนเทากัน เพียงอยางใดอยางหนึ่งเทานั้น ถา a, b, c เปน จํานวนธรรมชาติใดๆ แลว a – b = c แลว a มากกวา b a – b = - c แลว b มากกวา a หรือ a นอยกวา b a – b = 0 แลว a เทากับ b เครื่องหมายที่ใช > แทนมากกวา < แทนนอยกวา = แทนเทากับ หรือเทากัน การเปรียบเทียบจํานวนเต็มสามารถเปรียบเทียบจากเสนจํานวนไดดังนี้ จากเสนจํานวนจะเห็นวา 4 > 3 > 2 > 1 > 0 > -1 > -2 > -3 ซึ่งจะเห็นไดวาจํานวนที่อยูบนเสน จํานวนดานขวามีคามากกว าจํานวนที่อยูดานซายเสมอ
4 แบบฝกหดทั ี่ 1 1. จงเลือกจํานวนเต็มบวกจํานวนเต็มลบ และจํานวนเต็มจากจํานวนตอไปนี้ -1, 2 4 , 0, - 3, 1000 500 , 250 500 − จํานวนเต็มบวก ประกอบดวย............................................................................................... จํานวนเต็มลบ ประกอบดวย ............................................................................................... จํานวนเต็ม ประกอบดวย.............................................................................................. 2. จงเติมเครื่องหมาย <หรือ> เพื่อใหประโยคตอไปนี้เปนจริง 1) -4 ..................................... 3 2) -4 .................................... -3 3) -2 ..................................... -5 4) 4..................................... -2 5) 4..................................... -8 3. จงเรียงลําดับจํานวนเต็มจากนอยไปหามาก 1) -2, -8, -4, -15, -20, -7 ………………………………………………………………………………………………….. 2) 4, -8, 0, -2, 16, -17 …………………………………………………………………………………………………..
5 2.1 จํานวนตรงขามของจํานวนเต็ม ถา a เปนจํานวนใดๆ จํานวนตรงขามของ a มีเพียงจํานวนเดียวเขียนแทนดวย -a พิจารณาจากเสนจํานวน จํานวนเต็มบวกและจํานวนเต็มลบจะอยูคนละขางของศูนย (0) และอยูหางจาก 0 เปนระยะเทากนั เชน -3 กับ 3 เปนจํานวนตรงขามกนั ซึ่งสรุปไดวา สําหรับจํานวนเต็ม a ใดๆ จํานวนตรงขามของ a คือ –a และจํานวนตรงขามของ -a คือ a เนื่องจากจํานวนตรงขามของ(-a) เขียนแทนดวย – (-a) ดังนั้น – (-a) = a เชน จํานวนตรงขามของ (-3) เขียนแทนดวย –(-3) คือ 3 2.2 คาสัมบูรณของจํานวนเต็ม สัญลักษณของค าสัมบูรณไดแก ขอสังเกต เมื่อ a แทนจํานวนใดๆ พิจารณาจากเสนจํานวนจะเห็นวา คาสัมบูรณของ 2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ 2 = 2 คาสัมบูรณของ -2 เทากับ 2 เขียนในรูปสัญลักษณ − 2 = 2 ซึ่งสรุปไดวาคาสัมบูรณของจ ํานวนใดๆ เทากบระยะทางทัจี่ํานวนนั้นอยูหางจาก 0 บนเสนจํานวน
6 แบบฝกหดทั ี่ 2 1. จงเติมคําวา “มากกวา” หรือ “นอยกวา” หรือ “เทากับ” 1) คาสัมบูรณของ (-3).................................................คาสัมบูรณของ 3 2) จํานวนตรงขามของ (-4) .........................................จํานวนตรงขามของ 4 3) จํานวนตรงขามของ 5 ..............................................จํานวนตรงขามของ -5 4) คาสัมบูรณของ A....................................คาสัมบูรณของ(-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ 5) จํานวนตรงขามของ A ...........................จํานวนตรงขามของ (-A) เมื่อA เปนจํานวนใดๆ 2. จงเติมเครื่องหมาย <,>หรือ = ลงในชองวาง 1) – (- 5) ............................................5 2) จํานวนตรงขามของ 8 .........................................8 3) จํานวนตรงขามของ (-8).......................................(-8) 4) − 25.......... .......... .......... ........... − 25 5) − 20.................... .................... .(− 20) 6) − 25.......... .......... .......... .......... .. − 5 7) จํานวนตรงขามของ (-2) .........................................จํานวนตรงขามของ(-7) 8) จํานวนตรงขามของ 32.............................................จํานวนตรงขามของ 77
7 เรื่องที่ 3 การบวกการลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม 3.1 การบวกจํานวนเต็ม 1). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวก หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก เชน 2 + 3 = 5 พิจารณาจากเสนจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 2 ชองและนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชองจะสิ้นสุดที่ 5 จะได 5 เปนผลบวกของ 2 กับ 3 2). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเตมลบ็ เชน (-2) + (-3) = (-5) พิจารณาจากเสนจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 2 ชองและนับเพิ่มไปทางซายอีก 3 ชองจะสิ้นสุดที่ -5 จะได -5 เปนผลบวกของ -2 กับ -3 3). การบวกจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ 3.1 กรณีทจี่ํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน 12 + (-8) = 4 พิจารณาจากเสนจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 12 ชอง เมื่อบวกดวย -8 ใหนับลดไปทางซายอีก 8 ชอง จะสิ้นสุดที่ 4 จะได 4 เปนผลบวกของ 12 กับ -8
8 3.2 กรณีที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน 3 +(-10) = -7 พิจารณาจากเสนจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางขวา 3 ชอง เมื่อบวกดวย – 10 ใหนับลดไปทางซายอีก 10 ชอง จะสิ้นสุดที่ -7 จะได -7 เปนผลบวกของ 3 กับ -10 4). การบวกจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก 4.1 กรณีทจี่ํานวนเต็มบวกมีคาสัมบูรณมากกวา หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มบวก เชน (-3) + 5 = 2 พิจารณาจากเสนจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 3 ชอง เมื่อบวกดวย 5 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 5 ชอง จะสิ้นสุดที่ 2 จะได 2 เปนผลบวกของ -3 กับ 3 4.2 กรณจีํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวา หาผลบวกดวยการนําคาสัมบูรณมาลบกันแลวผลลัพธเปนจํานวนเต็มลบ เชน (-5) + 3 = -2 พจารณาจากเสิ นจํานวน เริ่มตนที่ 0 นับไปทางซาย 5 ชอง เมื่อบวกดวย 3 ใหนับเพิ่มไปทางขวาอีก 3 ชอง จะสิ้นสุดที่ -2 จะได -2 เปนผลบวกของ -5 กับ 3
9 แบบฝกหดทั ี่ 3 1. จงแสดงการหาผลบวกของสองจํานวนที่กําหนดใหโดยใชเสนจํานวน 1. 3+2 2. (-3)+(-2) 3. 2+1 4. (-2)+(-1) 5. 5+ (-1) 6. (-1) +5 7. (-5) +3 8. 3 + (-5)
10 2. จากผลการบวกโดยใชเสนจํานวน จงเติมคําตอบตอไปนใหี้สมบ ูรณ ประโยคแสดงผลบวกของ a+b คาสัมบูรณของ a คาสัมบูรณของ b คาสัมบูรณของ(a+b) ผลบวกของ a กับ b เทากันหรือไมกับ a + b 1. 3+2 = 5 3 2 5 เทากัน 2. (-3)+(-2) = -5 3. 2+1 = 3 4. (-2)+(-1) = -3 5. 5+ (-1) = 4 6. (-1) +5 = 4 7. (-5) +3 = -2 8. 3 + (-5) = -2 สรุป หลักการบวกจํานวนเต็ม 1. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกดวยจ ํานวนเต็มบวกใหน ําคาสัมบูรณมาบวกกัน แลวตอบเปน จํานวนเต็มบวก 2. การบวกจํานวนเต็มลบกับจํานวนเต็มลบ ใหน ําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนเต็มลบ 3. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มบวกมคีาสัมบูรณมากกวาใหนํา คาสัมบูรณมาลบกัน แลวตอบเปนจํานวนเต็มบวก 4. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบ ที่จํานวนเต็มลบมีคาสัมบูรณมากกวาใหนําคา สัมบูรณมาลบกัน แลวคําตอบเปนจํานวนเต็มลบ 5. การบวกระหวางจํานวนเต็มบวกกับจํานวนเต็มลบทมี่ีคาสัมบูรณเทากัน ผลบวกเปน 0 3.2 การลบจํานวนเต็ม ทบทวนจํานวนตรงขามของจํานวนเต็มดังตอไปนี้ จํานวนตรงขามของ 3 คือ -3 จํานวนตรงขามของ – 3 คือ 3 และ 3+(-3) = 0 จํานวนตรงขามของ -3 เขียนแทนดวย –(-3) ดังนี้ –(-3) = 3
11 พิจารณาการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทกี่ําหนดใหดังนี้ 1. 3 – 2 2. 3 – 5 โดยพิจารณาทั้งสองแบบ 1. แสดงการหาผลลบของสองจํานวนทกี่ําหนดใหโดยใชเสนจํานวน 1). 3 – 2 = 1 2). 3 – 5 = -2 2. แสดงการหาผลลบโดยกําหนดให – b แทนจํานวนตรงขามของ b แลวพิจารณาคาของ a + (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของa –b a b (-b) ประโยคแสดงผลลัพธของa + (-b) 1). 3 – 2 = 1 3 2 (-2) 3 + (-2) = 1 2). 3 – 5 = -2 3 5 (-5) 3 + (-5) = -2 จากการลบจํานวนเต็มสองจํานวนทั้ง 2 แบบจะเห็นไดวา กําหนด (-b) เปนจํานวนตรงขามของ b ผลลัพธของ a-b และผลลัพธของ a+(-b) มีคาเทากัน ดังนนั้การลบจํานวนเต็ม เราอาศัยการบวกตามขอตกลงดงตั อไปนี้ ตัวตั้ง – ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ นั่นคือ เมื่อ a และ b แทนจํานวนใดๆ a –b = a + จํานวนตรงขามของ b หรือ a – b = a + (-b)
12 แบบฝกหดทั ี่ 4 1. จงทําใหเปนผลสําเร็จ 1. (-12) – 7 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. 7 – (-12) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. (-8) – (-5) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. (-5) – (-8) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 5. [8 – (-2)]– 6 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 6. 8 –[(-2) – 6] ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. จงหาคาของ a – b และ b – a เมื่อกําหนด a และ b ดังตอไปน ี้ 1. a = 5, b = (-3) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. a = (-14), b = (-6) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. a = (-4), b = (-4) ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….
13 3.3 การคูณจํานวนเต็ม 1) การคูณจํานวนเต็มบวกดวนจํานวนเต็มบวก เชน 3 ×5 = 5 + 5 + 5 = 15 7 × 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28 การคณจูํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มบวกนั้น ไดคําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มีคาสัมบูรณเทากับ ผลคูณของคาสัมบูรณของสองจ ํานวนนั้น 2) การคูณจํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ เชน 3× (-8) = (-8) + (-8) + (-8) = -24 2× (-7) = (-7) + (-7) = -14 การคณจูํานวนเต็มบวกดวยจํานวนเต็มลบ ไดคําตอบเปนจานวนเตํ ็มลบที่มคีาสัมบูรณเทากับผลคูณ ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนนั้ 3) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มบวก เชน (-7)×4 = 4 × (-7) (สมบัติการสลับที่การคูณ) = (-7) + (-7)+(-7) + (-7) = -28 การคณจูํานวนเต็มลบดวยจ ํานวนเต็มบวกไดคําตอบเปนจานวนเตํ ็มลบที่มคีาสัมบูรณเทากับผลคูณ ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนนั้ 4) การคูณจํานวนเต็มลบดวยจํานวนเต็มลบ เชน (-3) × (-5) = 15 ( -11) × (-20) = 220 การคณจูํานวนเต็มลบดวยจ ํานวนเต็มลบ ไดค ําตอบเปนจํานวนเต็มบวกที่มคีาสัมบูรณเทากับผลคณู ของคาสัมบูรณของสองจํานวนนนั้
14 แบบฝกหดทั ี่ 5 จงหาผลลัพธ 1). [(-3) × (-5)] × (-2) ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 6). (-5) × [6 + (-6)] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 2). (-3) × [(-5) × (-2)] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 7). [(-7) × (-5)] + [(-7) × 2] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 3). [4 × (-3)] × (-1) ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 8). (-7) × [(-5) + 2] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 4). 4 × [(-3) × (-1)] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 9). [5 × (-7)] + [5 × 3] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 5). [(-5) × (-6)] + [(-5) × (-6)] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 10). 5 × [(-7) + 3] ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ………………………………………………
15 3.4 การหารจํานวนเต็ม การหารจํานวนเต็ม เมื่อ a, b และ c แทนจํานวนเต็มใดๆที่ b ไมเทากับ 0 จะหาผลหารไดโดยอาศัย การคณูดังนี้ ตัวตั้ง ÷ ตัวหาร = ผลลัพธมีความหมายเดียวกับ ผลลัพธ×ตัวหาร = ตัวตั้ง ถา a ÷b = c แลว a = b×c การหาผลหาร 5 − 25 จะตองหาจํานวนทคีู่ณกับ 5 แลวได -25 ดังนั้น 5 5 25 = − − การหาผลหาร 5 25 −จะตองหาจํานวนทคีู่ณกับ -5 แลวได 25 ดงนั ั้น 5 5 25 = − − จากการหาผลหารขางตนจะไดวา ถาทั้งตัวตั้งหรือตัวหาร ตัวใดตวหนั ึ่งเปนจํานวนเต็มลบโดยที่อีกตัวหนึ่งเปนจ ํานวนเต็มบวกคําตอบ เปนจํานวนเต็มลบ ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น การหาผลหาร 5 25 − −จะตองหาจํานวนทคีู่ณกับ -5 แลวได -25 ดังนั้น 5 5 25 = − − การหาผลหาร 5 25 จะตองหาจํานวนทคีู่ณกับ 5 แลวได 25 ดังนั้น 5 5 25 = จากการหาผลหารขางตนจะไดวา ถาทั้งตัวตั้งและตัวหารเปนจํานวนเต็มบวกทั้งคูหรือจํานวนเต็มลบทั้งคู คําตอบเปนจํานวนเต็มบวก ที่มีคาสัมบูรณเทากับผลหารของคาสัมบูรณของสองจํานวนนั้น
16 แบบฝกหดทั ี่ 6 1. จงเติมคําตอบใหสมบูรณเพื่อแสดงหลักของความสัมพนธั ระหวางการหารและการคูณ ตอไปนี้ ประโยคที่แสดงความสัมพันธa = b×c ประโยคที่แสดงความสัมพันธa ÷b = cหรือ a ÷c = b 10 = 5 x 2 10 ÷ 5 = 2 หรือ 10 ÷ 2 = 5 35 = 7 x 5 33 = 3 x 11 (-14) = 7 x (-2) (-14) ÷7 = (-2) หรือ (-14) ÷ (-2) = 7 (-21) = 7 x (-3) (-15) = 3 x (-5) 10 = (-5) x (-2) จงหาผลหาร 1. 17 ÷ 17 ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………. …………………………………………………. 4. (-72) ÷ 9 ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… 2. 23 ÷ (-23) ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………. …………………………………………………. 5. [(-51)÷ (-17)] ÷ [15 ÷(-5)] ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… 3. 15 ÷ (-3) ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………. …………………………………………………. 6. [(-72) ÷ 9]÷[ 16 ÷ (-2)] ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………
17 เรื่องที่ 4 สมบัติของจํานวนเต็มและการนําไปใช 4.1 สมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคณจูํานวนเต็ม 1). สมบัติการสลับที่ ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ a + b = b + a (สมบัติการสลับที่การบวก) a × b = b × a (สมบัติการสลับที่การคูณ) 2) สมบัติการเปลี่ยนหมู ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ (a + b) + c = a + (b + c) (สมบัติการเปลี่ยนหมการบวกู ) (a × b) × c = a × (b × c) (สมบัติการเปลี่ยนหมูการคูณ) 3) สมบัติการแจกแจง ถา a และ b แทนจํานวนเต็มใดๆ a + (b × c) = ab + ac และ (b + c) × a = ba + ca 4.2 สมบัติของหนึ่งและศูนย 1) สมบัติของหนึ่ง 1) ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 1 = 1 × a = a 2) ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a a = 1 2) สมบัติของศูนย 1) ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a + 0 = 0 + a = a 2) ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว a × 0 = 0 × a = 0 3) ถา a แทนจํานวนใดๆ ที่ไมใช 0 แลว 0 0 = a (เราไมใช 0 เปนตวหารั ถา a แทนจํานวนใดๆ แลว 0 a ไมมีความหมายทางคณตศาสตริ ) 4) ถา a และ b แทนจํานวนใด ๆ และ a ×b = 0 แลวจะได a = 0 หรือ b = 0
18 บทท ี่ 2 เศษส วนและทศน ิ ยม สาระสําคัญ การอาน เขียนเศษสวน และทศนิยมโดยใชสมบัต ิการบวก การลบ การคณู การหาร การเปรียบเทียบ และการแกโจทยปญหาตามสภาพการณจร ิงได ผลการเรียนรูที่คาดหวัง 1. บอกความหมายของเศษสวนและทศนยมได ิ 2. เขียนเศษสวนในรูปทศนิยมและเขียนทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวนได 3. เปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยมได 4. สามารถบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยมได และอธิบายผลที่เกิดขึ้นได 5. นําความรูเกี่ยวกับเศษสวนและทศน ิยมไปใชแก โจทย ปญหา ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวนและทศนิยม เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนยมิ และการเขียนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนิยม เรื่องที่ 4 การบวก ลบ คูณ หาร เศษสวนและทศนิยม
19 เรื่องที่ 1 ความหมายของเศษสวน และทศนิยม 1.1 เศษสวน หมายถึง สวนตางๆ ของจํานวนเต็มที่ถกแบูงออกเปนสวนละเทาๆ กัน การนําเสนอ เศษสวนสามารถนําเสนอไดทั้งแบบรูปภาพ หรือแบบเสนจํานวน เชน รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน สวนที่แรเงาเปน 1 สวนใน 4 สวน เขียนแทนดวย 4 1 อานวา “เศษหนึ่งสวนส” ี่ หรือ 1 หนวยบนเสนจํานวนแบงออกเปน 5 สวนเท าๆ กัน จุด A อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 3 สวน ใน 5 สวนดังนั้น A แทนดวย 5 3 จุด B อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 7 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น B แทนดวย 5 7 หรือ 5 2 1 จุด C อยูหางจาก 0 ไปทางขวามือเปนระยะ 13 สวน ใน 5 สวน ดังนนั้ C แทนดวย 5 13 หรือ 5 3 2 จุด D อยูหางจาก 0 ไปทางซายมือเปนระยะ 8 สวน ใน 5 สวน ดังนั้น D แทนดวย 5 − 8 หรือ 5 3 −1 บทนิยาม เศษสวนเปนจ ํานวนที่เขียนอยูในรูป เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็มโดยที่ b ไมเทากับศูนย เรียก a วา "ตัวเศษ"เรียก b วา "ตัวสวน”
20 5 1 อานวา เศษหนึ่งสวนหา 2 1 อานวา เศษหนึ่งสวนสอง 2 3 −อานวาลบเศษสามสวนสอง 3 4 −อานวาลบเศษสี่สวนสาม ตัวอยางที่ 1 จงเติมเศษสวนลงใน ใหถูกตอง 1.2. ทศนิยม ทศนิยม คือจํานวนที่อยในรููปทศนิยมประกอบดวยสองสวนคือ สวนที่เปนจํานวนเต็ม และสวนที่ เปนทศนิยม และมีจุด (.) คนระหวั่างจํานวนเต็มกับสวนที่เปนทศนิยม ทศนิยมแบงไดเปน 2 ชนิด คือ 1. ทศนิยมแบบไมซ้ํา เชน 1.5 , 2.35, 3.14, ... 2 ทศนิยมซ้ําแบงเปน 2.1 ทศนิยมซ้ําศูนยเชน 1.5000 … เขียนแทนดวย 1.5 0.0030000 … เขียนแทนดวย 0.003 ถาตัวซ้ําเปน 0 ไมนิยมเขียน 2.2 ทศนิยมที่ตัวซ้ําไมเปนศูนยเชน 0.3333… เขียนแทนดวย 0.&3 อานวา ศูนยจุดสามสามซ้ํา 1.414141... เขียนแทนดวย 1.4 &1 &อานวา หนึ่งจุดสี่หนึ่งสี่หนึ่งซ้ํา 0.213213213... เขียนแทนดวย 0.2 &1&3 อานวา ศูนยจุดสองหนึ่งสาม สองหนึ่งสามซ้ํา 2.10371037... เขียนแทนดวย 2.1 &037 &อานวาสองจุดหนึ่งศนยูสามเจ็ด หนึ่งศนยูสามเจ ็ดซ้ํา
21 แบบฝกหัดที่ 1 1. จงเติมเศษสวนลงใน ใหถกตูอง 2. จงเขียนเสนจํานวนแลวหาจุดที่แทนจํานวนตอไปนี้ 1) 8 4 , 2 1 1 , 8 20 2) 2 1 1 , 6 3 4 , 6 29 3. จงเขียนจํานวนตอไปนใหี้อยูในรูปของทศนิยม 1. 10 6 = ………………………… 2. = ................................. 100 12 3. = ................................ 1000 357 4. + + = .............. 1000 3 100 2 10 1 1) 2)
22 เรื่องที่ 2 การเขียนเศษสวนดวยทศนยมิและการเขยนทศนียมซิ้ําเปนเศษสวน 2.1 การเขียนเศษสวนดวยทศนิยม เศษสวนและทศนิยมอาจเปลี่ยนรูปกันไดหมายความวา เศษสวนสามารถเขียนในรูปของ ทศนิยมไดและทศนิยมสามารถเขียนในรูปของเศษสวนไดเชนเดียวกัน เชน 1. ทําสวนใหเปน 10 , 100 , 1,000,… เชน 0.2 = 10 2 0.25 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × + × 100 1 5 10 1 2 = 100 5 10 2 + = 100 25 เพื่อใหเกิดความรวดเร็วในการเปลี่ยนทศนิยมเปนเศษสวน อาจทําไดโดยการเลื่อน จุดทศนิยมและตวหารเป ั นจํานวน 10, 100 หรือ 1,000 ขนอยึู้กับจํานวนทศนิยม เชนถาทศนิยม 1 ตําแหนง ตัวที่เปนสวนก็จะเปน 10 ถา 2 ตําแหนง ตัวที่เปนสวนกจะเป ็ น 100 หรือสรุปไดวาจํานวน 0 ที่ถัดเลข 1 จะ เทากับจํานวนตําแหนงของทศนิยม หมายเหตุ เศษสวนท ี่เปนลบเมื่อเขียนใหอยูในรูปทศนิยมจะไดทศนิยมที่เปนลบ เชน 10 − 7 = − 0.7, 1,000 − 39 = − 0.039 2.2 การเขียนทศนยมซิ้ําเปนเศษส วน ทศนิยมซ้ําคือจํานวนเต็มของทศนยมทิ ี่ซ้ําๆ กัน เชน 0.777... เขียนแทนดวย 0.7 &เมื่อจะ เขียนใหเปนเศษสวน สามารถทําไดดังนี้ ตัวอยางที่ 1 จงเปลี่ยน 0.7 &ใหเปนเศษสวน วิธีทํา 0.7 & = 0.77777... = X ให X = 0.77777… -------------- (1) (1) × 10 ------> 10X = 7.7777… -------------- (2) (2) –(1) ------> 10X – X = 7.7777… - 0.777… 9X = 7 X = 9 7
23 ∴0.7 & = 9 7 ตัวอยางที่ 2จงเปลี่ยน1.21 &&3 เปนเศษสวน จาก 1.21 &&3 = 1.2131313… ให x = 1.2131313… -------------- (1) (1) × 10 10x = 12.131313… ---------------(2) (1) × 1,000 1,000x = 1213.131313… ---------------(3) (3) – (2) 1,000x – 10x = 1213 – 12 990x = 1213 – 12 x = 990 1213 − 12 x = 990 1201 ดังนั้น 1.21 &&3= 990 1201 จากตวอยั างสรุปไดวาการเปลี่ยนทศนยมซิ้ําเปนเศษสวนโดยวิธีลัด ทําไดด ังนี้ 1. 0.341 &7 & = 9900 3417 − 37 = 9900 3383 เศษ เขียนจํานวนทั้งหมดลบดวยจ ํานวนที่ไมซ้ํา สวน แทนดวย9เทากับจํานวนที่ซ้ําและแทนดวย 0 เทากับจํานวนไมซ้ํา 2. 1.31 &&5 = 990 1315 − 13 = 990 1302 = 495 651 3. 3.104 &3 & = 9900 31043 − 310 = 9900 30733
24 แบบฝกหัดที่ 2 1. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนใหี้เปนทศนิยม โดยการทําสวนใหเปน 10 , 100 ,1,000,... 1) 4 9 ………………………………………………... ………………………………………………... 2) 4 3 1 ………………………………………………... ………………………………………………... 3) 40 39 ………………………………………………... ………………………………………………... 4) 25 7 ………………………………………………... ………………………………………………... 5) 8 1 ………………………………………………... ………………………………………………... 6) 125 8 ………………………………………………... ………………………………………………... 2. จงเปลี่ยนเศษสวนตอไปนี้เปนทศนิยม โดยการหารเศษสวน 1) 11 9 ………………………………………………... ………………………………………………... 2) 7 1 3 ………………………………………………... ………………………………………………... 3) 16 7 ………………………………………………... ………………………………………………... 4) 4 5 ………………………………………………... ………………………………………………... 5) 6 5 ………………………………………………... ………………………………………………... 6) 5 3 8 ………………………………………………... ………………………………………………...
25 เรื่องที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวนและทศนยมิ 3.1 การเปรียบเทยบเศษสี วน เศษสวนที่เทากัน การหาเศษสวนที่เทากัน ใชจํานวนที่ไมเทากับศูนยมาคูณหรือหารทั้งตัวเศษและตัวสวน เชน 4 3 = 4 2 3 2 × × = 4 3 = 8 6 = 12 9 เปนเศษสวนที่เทากัน 4 3 = = 12 9 18 12 = 18 2 12 2 ÷ ÷ = 9 6 3 2 9 6 18 12 = = เปนเศษสวนที่เทากนั 18 12 = = 3 2 เศษสวนที่ไมเท ากนั การเปรียบเทียบเศษสวนที่ไมเทากนตั องทําสวนใหเทากัน โดยนํา ค.ร.น. ของตัวสวน ของเศษสวนที่ตองการเปรียบเทียบกัน คณทูั้งตวเศษและตัวสั วน เมื่อตัวสวนเทากันแลวใหนําตวเศษมาั เปรียบเทียบกัน เชน 5 4 มากกวาหรือนอยกวา 10 7 ค.ร.น. ของ 5 และ 10 คือ 10 5 4 = 5 2 4 2 × × = 10 8 จะเห็นวา 8 > 7 ดังนั้น 10 7 10 8 > หรือ 10 7 5 4 > ยังมีวิธีเปรียบเทียบโดยใชผลคูณไขว ถาผลคูณขางใดมีคามากกวาเศษสวนขางนนั้ จะมีคามากกวา เชน 5 4 10 7 เปรียบเทียบ 4×10 กับ 5×7 จะเห็นวา 40 > 35 ดังนั้น 10 7 5 4 > 8 6 4 3 3 3 × × 18 6 12 6 ÷ ÷
26 ตัวอยางที่ 1จงเปรียบเทียบ 12 7 และ 18 11 วิธีที่ 1 หาค.ร.น. ของ 12 และ 18 ได 36 ทําสวนของเศษสวนทั้งสองใหเปน 36 12 3 7 3 × × = 36 21 18 2 11 2 × × = 36 22 จะได 36 22 > 36 21 ดังนั้น 18 11 > 12 7 วิธีที่ 2 12 7 18 11 ผลจากการคูณไขวจะได 7 × 18 และ 12 × 11 จะเห็นวา 126 < 132 ดังนั้น 12 7 < 18 11 2.1 เปรียบเทียบทศนิยม การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนบวก ใหพิจารณาเลขโดดจากซายไปขวา ถาเลขโดด ตัวใดมีคามากกวาทศนิยมจํานวนนั้นจะมีคามากกวา เชน 38.586 กับ 38.498 ทศนิยมในตําแหนงที่ 1 ของทั้ง 2 จํานวนมีเลขโดดคือ 5 และ 4 ตามลําดับจะเหนได ็ วา 5 มากกวา 4 ดังนนั้ 38.586 มากกวา 38.498 การเปรียบเทียบทศนิยมที่เปนลบ เชน -0.7 กับ -0.8 คาสัมบูรณของ -0.7 เทาก ับ 0.7 คาสัมบูรณของ -0.8 เทากับ 0.8 จํานวนที่มคีาสัมบูรณน อยกวาจะเปนจํานวนที่มีคามากกวา ดังนั้น - 0.7 มากกวา - 0.8
27 แบบฝกหัดที่ 3 1. ใหเติมตัวเศษหรือตัวสวนของเศษสวนลงใน เพื่อใหไดเศษสวนที่เทากัน 2. ใหเติมเครื่องหมาย > , <หรือ = ลงใน ใหถกตูอง
28 3. ใหนักศกษาเตึ ิมเครื่องหมาย >, <หรือ = ระหวางจํานวนสองจํานวน 1) -0.500 ..............0.501 2) 103.012 ...................... – 0.501 3) 5.28 .................... 5.82 4) – 5.28 .......................... -5.28 5) 8.354 ................. 8.534 6) -8.544 ........................... -8.534 7) -13.06 ................. 13.06 8) 103.012 ....................... -103.012 9) -5.125 .................. -5.1250 10) -7.10 ......................... -7.01 4. ใหนักศกษาเรึ ียงลําดับจํานวนตอไปนี้จากคานอยไปคามาก 1) -1.724, -1.738, 0.832, -2.000 2) -30.710, -31.170, -31.107, 30.017 3) 83.000, -38.000, -83.001, -138.500 4) -34.50, -37.40, -41.54, -39.62, -42.50
29 เรื่องที่ 4 การบวกลบ คูณ หารเศษสวนและทศนิยม 4.1 การบวกเศษสวน วิธีการหาผลบวกของเศษสวน สามารถทําไดดังนี้ 1) หาค.ร.น.ของตวสั วน 2) ทําเศษสวนแตละจํานวนใหมีตัวสวนเท ากบคั .ร.น.ที่หาไดจากข อ 1 3) บวกตวเศษเขั าดวยกันโดยที่ตวสั วนยังคงเทาเดิม ตัวอยางที่ 1จงหาผลบวก 4 3 3 1 + วิธีทําค.ร.น. ของ 3 กับ 4 คือ 12 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ × × + × × + = 4 3 3 3 3 4 1 4 4 3 3 1 = 12 9 12 4 + = 12 4 + 9 = 12 13 = 12 1 1 ตอบ 12 1 1 4.2การลบเศษสวน การลบเศษสวน ใชหลักการเดียวกนกั ับการลบจํานวนเต็มคือ ตัวอยางที่ 1จงหาผลลบ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − 12 7 6 5 วิธีทํา ค.ร.น. ของ 6 และ 12 คือ 12 12 7 6 5 12 7 6 5 − − ⎟ = + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × × + × × 12 1 7 1 6 2 5 2 = 12 10 + 7 = 12 7 12 10 + = 12 17 = 12 5 1 ตอบ 12 5 1 ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
30 แบบฝกหัดที่ 4 1. ใหหาผลลัพธตอไปน ี้ 2. ใหเติมจํานวนลงใน แลวทําใหประโยคเป นจร ิง
31 3. ใหหาจํานวนมาเติมลงใน แลวทําใหประโยคเปนจร ิง
32 4. ใหหาผลลัพธ ตอไปน ี้ 1) ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + + 74 52 73 2) 94 95 107 + ⎟ +⎠⎞ ⎜⎝⎛ 3) 52 87 53 + ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ 4) ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − 337 31 2 112 4
33 4.5 การคูณเศษสวน ผลคูณของเศษสวนสองจํานวน คือเศษสวนซึ่งมีตวเศษเทั ากับผลคูณของตัวเศษสองจํานวนและตวั สวนเทากับผลคูณของตัวสวนสองจํานวนนั้น เมื่อ b a และ d c เปนเศษสวน ซึ่ง b , d 0 ผลคูณของ b a และ d c หาไดจากกฎ b a × d c = b d a c × × ตัวอยางที่1จงหาผลคูณของจํานวน 5 3 7 2 × วิธีทํา 5 3 7 2 × = 7 5 2 3 × × = 35 6 ตอบ 35 6 ตัวอยางที่ 2 จงหาผลคูณของ 101 25 5 2 2 1 × × วิธีทํา 101 5 1 1 1 1 × × = 1 1 101 1 1 5 × × × × = 101 5 ตอบ 101 5
34 แบบฝกหัดที่ 5 จงหาผลคูณตอไปน ี้ 1) 511 31 2 × 2) 95 511 × 3) 911 112 5 × 4) 107 32 16 × 5) 52 1 32 2 165 × × 6) 61 43 32 6 × × 7) 18 35 25 24 49 15 × × 8) 22 10 25 11 27 10 25 24 × × ×
35 4.6 การหารเศษสวน การหารจํานวนที่เปนเศษสวนไมมีสมบัตการสลิ ับทและสมบี่ัติการจดหมัู เมื่อ b a และ d c แทนเศษสวนใดๆ และ พิจารณาผลหารที่เกิดจากการหาร b a ดวย d c ดังนี้ d c b a ÷ = d c b a = c d d c c d b a × × = 1 c d b a × = c d b a × ดังนั้น d c b a ÷ = c d b a × ตัวอยางที่ 1จงหาผลหารของ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ÷ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − 21 20 24 5 วิธีทํา ( ) ( ) 8 4 1 7 20 5 21 3 24 3 5 5 × − × − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ÷ ÷ ⎟× − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ÷ ÷ − = 32 7 ตอบ 32 7
36 แบบฝกหัดที่ 6 1. จงหาผลลัพธตอไปนี้ 2. จงทําใหเปนผลสําเร็จ
37 4.7 การนําความรูเรื่องเศษสวนไปใชในการแกโจทยปญหา โจทยปญหาเศษสวน การทําโจทยปญหาเศษสวน ควรกําหนดจํานวนทั้งหมดเปน 1 หนวย แลวดําเนินการตามโจทย เชน นักเรียนหองหนึ่ง เปนชาย 5 3 ของจํานวนนักเรียนในหอง ดังนั้น หองนี้เปนนกเรั ียนหญิง - = ของจํานวนนกเรั ียนในหอง ตัวอยางที่ 1 ถังใบหนงจึ่นุ้ํา 140 ลิตร มีน้ําอยู 4 3 ถัง หลังจากใชน้ําไปจํานวนหนึ่งจะ เหลือน้ําอยู 2 1 ถัง จงหาวาใชน้ําไปเทาไหร วิธีทํา มีน้ําในถัง 4 3 ×140= 105ลิตร หลังจากใชน้ําเหลือน้ําในถัง × 2 1 140= 70 ลิตร ดังนั้นใชน้ําไปจํานวน 105−70= 35ลิตร 1 5 3 5 2
38 แบบฝกหัดที่ 7 1. ใหหาคําตอบของโจทยปญหาตอไปนี้ 1) ตองมีเงิน 320 บาท ซื้อรองเทา 5 2 ของเงินทั้งหมด ซื้อเสื้อ 16 5 ของเงินที่เหลือ จงหาวา ตองเหลือเงินเทาไร 2) หองประชุมหองหนึ่งมีความยาวเปน 4 3 3 ของความกวางและความกวางเปน 5 2 4 ของความสูง ถาหองสูง 2 1 3 เมตรและมีนักเรียน 462 คน จงหาวาโดยเฉลี่ยนักเรียนคนหนึ่งมีอากาศหายใจกี่ลกบาศกู เมตร 3) จางคนปลูกหญาบนสนามรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 5 4 6 เมตร ยาว 2 1 10 เมตร ในราคาตาราง เมตรละ 45 บาท จะตองจายเงินทั้งหมดเทาไร 4) โทรทัศนเครื่องหนึ่งประกาศลดราคาลง 4 1 ของราคาที่ปดไว เดิม แตผูซื้อเปนเพื่อนกับผขายู ลดใหอีก 5 1 ของราคาที่ประกาศลดแลวในครั้งแรก ซึ่งปรากฏวาผูซื้อจายไป 4,200 บาท จงหาวาโทรทัศน เครื่องนี้ปดราคาเดิมไวเทาไร 5) ในการเดนทางคริ ั้งหนึ่งเสียคาที่พัก 5 2 ของคาใชจายทั้งหมด คาเดินทาง 4 1 ของคาใชจาย ทั้งหมดคาใชจายอื่น ๆ คิดเปนเง ิน 1,470 บาท จงหาวาคาใช จายทั้งหมดเปนเงนเทิ าไร
39 4.8 การบวกและการลบทศนิยม การหาผลบวกของทศนิยมใดๆ จะใชหลักเกณฑดังนี้ 1. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาบวกกันแลวตอบเปนจํานวนบวก 2. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาบวกก ันแลวตอบเปนจํานวนลบ 3. การหาผลบวกระหวางทศนิยมที่เปนบวกก ับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาลบกันแลว ตอบเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบตามจํานวนที่มคีาสัมบูรณมากกวา การหาผลลบของทศนิยมใด ๆ ใชขอตกลงเดียวกนกั ับทใชี่ในการหาผลลบของจ ํานวนเต็ม คือ สรุป การบวกและการลบทศนิยม จะตองตั้งใหจุดทศนิยมตรงกันกอน แลวจึงบวก ลบ จํานวนในแตละหลัก ถาจํานวนตําแหนงทศนิยมไมเทาก ัน นิยมเติมศูนยขางท ายเพื่อใหจํานวน ตําแหนงทศนิยมเทากนั ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จํานวนตรงขามของตัวลบ
40 แบบฝกหัดที่ 8 1. จงเติมผลลัพธตอไปนี้
41 4.9 การคูณทศนิยม การคณทศนูิยม มีหลักเกณฑด ังนี้ 1. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกันแลวตอบเปนจํานวนบวก 2. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคูณกนแลั วตอบเปนจํานวนบวก 3. การหาผลคูณระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนยมทิ ี่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาคณกูันแลว ตอบเปนจํานวนลบ หมายเหตุผลคูณทศนิยม จะมจีํานวนหลักทศนยมเทิ ากับผลบวกของจํานวนหลกั ทศนิยมของตัวตั้งและจํานวนหลักทศนิยมของตัวคณู ตัวอยางที่ 1 จงหาผลคูณของ 1. 1.25 ×2.431 1.25 ×2.431 = 2.431 × 1.25 2.431 125 12155 4862 2431 0 3038750 ∴1.25 ×2.431 = 3.03875 2. -5.12 × 0.125 512 125 2560 1024 5120 640000 ∴-5.12 × 0.125= - 0.64000 = -0.64 × ×
42 4.10 การหารทศนิยม การหารทศนิยม มีหลกเกณฑัด ังนี้ 1. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวก ใหน ําคาสัมบูรณมาหารก ันแลวตอบเปนจํานวนบวก 2. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลวตอบเปนจานวนบวกํ 3. การหาผลหารระหวางทศนิยมที่เปนบวกกับทศนิยมที่เปนลบ ใหนําคาสัมบูรณมาหารกันแลว ตอบเปนจํานวนลบ ขอส ําคัญตองทําใหตัวหารเปนจํานวนเต็ม ตวอยั างที่ 1 จงหาคาของ 1. 15.015 ÷(-0.15) วิธีทํา 15.015 ÷(-0.15) = 0.15 15.015 − = 0.15 100 15.015 100 − × × = 15 1501.5 − 100.1 15 15 1501.5 00 0 01 0 15 15 ∴15.015 ÷(-0.15) = -100.1 2. (-37.65) ÷ (-1.5) วิธีทํา (-37.65) ÷ (-1.5) = 1.5 37.65 − − = 1.5 10 37.65 10 × × = 15 376.5 125.1 30 15 376.5 76 75 15 15 ∴(-37.65) ÷ (-1.5) = 25.1
43 แบบฝกหัดที่ 9 1. จงหาคาของ 2. จงหาคาของ 1) {(-12.4) ×33.6} +{(-12.4 × 66.4) ………………………………………………………………………………………………... 2) {(-3.145) × 2.76} + {(-27.39) ÷18.26} ………………………………………………………………………………………………... 3) (-14.307 – 2.809) + (6.78 ÷1.5) ………………………………………………………………………………………………... 4) {(0.036 ÷0.15) + (-4.07 ×1.1)} ของ (-5.8) ………………………………………………………………………………………………... 5) (-1.58 ÷0.15) – [ 2×(-3.6)] ………………………………………………………………………………………………...