144 วิ ธี ทํ า
145 แบบฝกหดทั ี่ 2 จงเขียนภาพดานบน ดานหนา และดานขางของรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให
146
147 เร ื่องท 3 ี่การวาดหร ือประดิษฐ รูปเรขาคณิตท ี่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลกบาศกูตอไปน ี้ จะเห็นวา เมื่อเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติแสดงภาพที่ไดจากการมองดานหนา ดานขางและดานบน ดังภาพ จะเห็นวาการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติเพื่อแสดงรูปเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก เราสามารถเขียนจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตารางร ูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสในดานที่มองทั้งสามดานดังภาพ ตอไปนี้
148 ตัวอยาง จงเขียนภาพที่ไดจากการมองทางด านหนา ดานขางและดานบนของรูปสามมิติทกี่ําหนดให พรอม ทั้งเขียนตัวเลขแสดงจํานวนลูกบาศกกํากับไวในตาราง เขียนแสดงภาพทั้งหมดไดดังนี้
149 แบบฝกหดทั ี่ 3 จงจับคภาพดู านหนา ดานขางและดานบน ในแตละขอตอไปนี้กับรูปเรขาคณิตสามมิติที่กําหนดให ทางขวามือ โดยเลือกตวอั ักษรทกี่ํากับไวในรูปเรขาคณิตสามมิติ เขียนเติมลงในชองวางบนขวาของแตละ ขอ
150
151 2. จงเขียนภาพดานหนา ดานขางและดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติตอไปนี้พรอมทั้งเขียนจํานวน ลูกบาศกก ํากับไวในตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส
152 บทท ี่ 9 สถ ิ ต ิ สาระสําคัญ 1. ขอมูลเบื้องตนของสถิติจะชวยใหทราบขอเท็จจริงที่ชัดเจนถูกตอง ซึ่งจะเปนประโยชนสําหรับ การวางแผนการดําเนินงาน และตดสั ินใจปรับปรุงการดําเนินงานตามผลที่ไดน ําเสนอขอมูลไว 2. การนําเสนอขอมูล มีความมุงหมายเพื่อแสดงใหเห็นรายละเอียดของขอมูลไดงาย ชัดเจน และ รวดเร็ว สามารถนําขอมูลไปใชประโยชนไดทนทั ีฉะนั้นการเลือกใชวิธีการนําเสนอขอมูลตองใหเหมาะสม กับลักษณะของขอมูลและการใชประโยชนเปนสาคํ ัญ ผลการเรียนรู ที่คาดหวัง 1. สามารถจัดเก็บรวบรวมขอมูลที่เหมาะสมได 2. สามารถนําเสนอขอมูลในรูปแบบที่เหมาะสมได 3. หาคากลางของขอมูลที่ไมแจกแจงความถี่ 4. เลือกและใชคากลางของขอมูลที่กําหนดใหไดอยางเหมาะสม 5. อาน แปลความหมาย และวิเคราะหข อมูลจากการนําเสนอขอมูลที่กําหนดใหได 6. อภิปรายและใหขอคดเหิ ็นเกี่ยวกับขอมูลขาวสารทางสถิตทิี่สมเหตุสมผลได ขอบขายเน ื้อหา เรื่องที่ 1 การรวบรวมขอมูล เรื่องที่ 2 การนําเสนอขอมูล เรื่องที่ 3 การหาคากลางของขอมูล เรื่องที่ 4 การเลือกใชค ากลางของขอมูล เรื่องที่ 5 การใชสถิตขิอมูลและสารสนเทศ
153 เรองท ื่ี่ 1 การรวบรวมข อมูล 1.1 สถิติ คําวา สถิติ (Statistics) มาจากภาษาเยอรมนวั า Statistik มีรากศัพทมาจาก Stat สถิติหมายถึงขอมูลหรือสารสนเทศ หรือตัวเลขแสดงจํานวนหรือปริมาณของสิ่งตาง ๆ ที่ได รวบรวมไว สถิติหมายถึงวิธีการที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมูล การนาเสนอขํ อมูลการวเคราะหิข อมูลและ การตความหมายขี อมูล สถิติในความหมายนี้เปนทั้งวิทยาศาสตรและศิลปศาสตรเรียกวา "สถิติศาสตร” สรุป สถิติหมายถึง ศาสตรที่วาดวยการเก็บรวบรวมขอมลู การนําเสนอขอมลูและการวิเคราะห ขอมูล 1.2 การรวบรวมขอมลู (Data Collection) การรวบรวมขอมูล หมายถึงการนําเอาขอมูลตางๆที่ผูอื่นไดเก็บไวแลว หรือรายงานไวในเอกสาร ตางๆ มาทําการศึกษาวิเคราะหตอ 1.3 ประเภทของขอมูล ขอมูล หมายถึง ขอเท็จจริงเกี่ยวกับตวแปรท ั ี่สํารวจโดยใชวิธีการวดแบบใดแบบหน ั ึ่ง โดยทั่วไป จําแนกตามลกษณะของขั อมูลไดเปน 2 ประเภท คือ 1) ขอมลเชูิงปริมาณ (Quantitative Data) คือ ขอมูลที่เปนตัวเลขหรือนํามาใหรหัสเปนตัวเลข ซึ่ง สามารถนําไปใชวิเคราะหทางสถิติไดเชน อายุ น้ําหนกั สวนสูง 2) ขอมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative Data) คือ ขอมูลที่ไมใชตัวเลข ไมไดมการให ี รหัสตัวเลขที่จะ นําไปวิเคราะหทางสถิติแตเปนขอความหรอขื อสนเทศเชน เพศ ระดับการศึกษาอาชีพ 1.4 แหลงที่มาของขอมูล แหลงขอมูลที่สําคัญ ไดแกบุคคล เชน ผูใหสัมภาษณผูกรอกแบบสอบถาม บุคคลที่ถูกสังเกต เอกสารทุกประเภท และขอมูลสถิติจากหนวยงาน รวมไปถึง ภาพถาย แผนที่แผนภูมิหรือแมแตวัตถุ สิ่งของก็ถือเปนแหลงขอมูลไดทั้งสิ้น โดยทั่วไปสามารถจดประเภทข ั อมูลตามแหลงที่มาได 2 ประเภท คือ
154 1) ขอมูลปฐมภูมิ (Primary Data) คือ ขอมูลที่ผูวิจยเกั ็บขึ้นมาใหมเพื่อ ตอบสนอง วัตถุประสงคการวิจยในเร ั ื่องนั้นๆ โดยเฉพาะการเลือกใชขอมูลแบบปฐมภูมิผูวิจัยจะสามารถเลือกเก็บ ขอมูลไดตรงตามความตองการและสอดคลองกับวัตถุประสงคตลอดจนเทคนคการวิ ิเคราะหแตมีขอเสีย ตรงที่สิ้นเปลืองเวลาคาใชจายและอาจมีคณภาพไมุด ีพอ หากเกิดความผิดพลาดในการเก็บขอมูลภาคสนาม 2) ขอมลทู ุตยภิมูิ (Secondary Data) คือ ขอมูลตางๆ ที่มีผูเก็บหรือรวบรวมไวกอนแลว เพียงแตนักวิจัยนําขอมูลเหลานั้นมาศึกษาใหมเชน ขอมูลสํามะโนประชากร สถิติจากหนวยงานและ เอกสารทุกประเภท ชวยให ผวูิจัยประหยดคั าใชจาย ไมตองเสียเวลากับการเก็บขอมูลใหมและสามารถศึกษา ยอนหลังไดทําใหทราบถึงการเปลี่ยนแปลงและแนวโนมการเปลี่ยนแปลงของปรากฏการณที่ศกษาึแตจะมี ขอจํากดในเร ั ื่องความครบถวนสมบูรณเนื่องจากบางครั้งขอมูลที่มีอยูแลวไมตรงตามวัตถุประสงคของเรองื่ ที่ผูวิจัยศึกษา และปญหาเรื่องความนาเชื่อถือของขอมูล กอนจะนําไปใชจึงตองมีการปรับปรุงแกไขขอมูล และเก็บขอมูลเพิ่มเติมจากแหลงอื่นในบางสวนที่ไมสมบูรณ 1.4 วิธีการเก็บรวบรวมขอมูลอาจแบงเป นวิธการใหญ ีๆ ได 3 วิธีคือ 1) การสังเกตการณ (Observation) ทั้งการสงเกตการณั แบบมีสวนรวม และการ สังเกตการณแบบไมมีสวนรวมหรืออาจจะแบงเปนการสังเกตการณแบบมีโครงสราง และการสังเกตการณ แบบไมมีโครงสราง 2) การสัมภาษณ (Interview) นิยมมากในทางสังคมศาสตรโดยเฉพาะการสัมภาษณโดยใช แบบสอบถาม การสัมภาษณแบบเจาะลกึหรืออาจจะจําแนกเปนการสัมภาษณเปนรายบุคคล และการ สัมภาษณเปนกลุม เชน เทคนคการสนทนากลิุม ซึ่งนิยมใชกันมาก 3) การรวบรวมขอมูลจากเอกสาร เชน หนังสือรายงานวิจยัวิทยานิพนธบทความ สิ่งพิมพ ตางๆ เปนตน 1.5 ขั้นตอนการเก็บรวบรวมขอมลู 1. การสัมภาษณบุคคลที่เกี่ยวของ 2. การบันทกขึ อมูลจากบันทกหรึ ือเอกสารของหนวยงานตางๆ 3. การอานและศึกษาคนคว า 4. การคนหาข อมูลจากอินเทอรเนต็ 5. การเขารวมในเหต ุการณตางๆ 6. การฟงวิทยุและดโทรทูัศน
155 แบบฝกหดทั ี่ 1 1. ใหผูเรียนพิจารณาขอความตอไปนแลี้วเขียนเครื่องหมาย 9ลงในชองที่ตรงกับความคดเหิ ็นของผูเรียน ขอที่ขอความ ขอมูลสถิติ เปน ไมเปน 1 แดงสูง 163 เซนติเมตร 2 นางสาวิภาวีมีสวนสัดเปน 35-24-36 3 น้ําหนักของนักเรียนทุกคนที่เรียนชุดการเรียนทางไกล 4 อุณหภูมิที่จังหวัดปทุมธานวีันนี้วัดได 25 องศาเซลเซียส 5 สมศรีไดคะแนน 15 คะแนน 6 ในการโยนเหรียญ 10 ครั้ง เกิดหัว 6 ครั้ง เกดกิ อย 4 ครั้งได อัตราสวนที่จะเกิดหัว 10 6 7 อาจารยศุภราเงินเดือน 23,000 บาท 8 ความสูงเฉลี่ยของประชาชนที่เปนชาย 162 เซนติเมตร 9 คน 6 คน เปนชาย 4 คน เปนหญิง 2 คน ที่อยูในบานวิชยั 10 จํานวนคดีอาชญากรรมในป 2551 ซึ่งรวบรวมมาจากบันทกคดึ ี อาชญากรรมแตละวนในแต ั ละสถานีตํารวจ 2.ใหผูเรียนพิจารณาขอมูลในแตละขอตอไปนี้แลวเขียนเครื่องหมาย9ลงในชองที่ตรงกับความคดเหิ ็น ขอที่ขอความ ขอมูลสถิติ ขอมูล คุณภาพ ขอมูล ปริมาณ 1 สถิติคนไขแยกตามเชื้อโรคของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง 2 จํานวนครั้งของการโทรศัพททางไกลจากแตละเครื่องใน สํานักงาน 10 เครื่องในวันหนึ่ง 3 ผูจัดการถกสูัมภาษณถึงจํานวนเปอรเซ็นตของเวลาทํางานที่ใชใน การประชุม 4 เครื่องสําอางโดยเฉพาะสีของสีทาปาก ซึ่งแตละบริษทใน ั 10 บริษัท ไดระบุวามียอดขายมากที่สุด
156 3. ใหผูเรียนพจารณาขิ อความตอไปนี้แลวเติมคําตอบลงในชองวางตามความคดเหิ ็นของผูเรียนวาเปนขอมูล ปฐมภูมิหรือทุติยภูมิ 1) รายงานประจําปของหนวยงานต างๆ ……………………………………………………………………………………………………… 2) สํานักงานสถิติแหงชาติตองการเก็บสถิติผลผลิตขาวทวประเทศ ั่โดยการไปสัมภาษณชาวนา ……………………………………………………………………………………………………… 3) ศิรินภาไปขอขอมูลเกี่ยวกับจํานวนคนเกดิตาย และยาย ซึ่งสํานักงานเทศบาลแหงหนึ่งได รวบรวมไว ……………………………………………………………………………………………………… 4) บรรณารกษั หองสมุดโรงเรยนแหี งหนึ่งไดสังเกตและบนทั ึกการใชหองสมุดของนักเรียน แตละวัน ……………………………………………………………………………………………………… 5) ครคนหนูึ่งตองการทราบวาหองสมุดของโรงเรียนมนีักเรียนใชมากหรือนอยเพียงใดในแตละวนั จึงไปขอลอกขอมูลจากบรรณารักษ ………………………………………………………………………………………………………
157 เร ื่องท ี่ 2 การนําเสนอข อมูล การนําเสนอขอมูลเปนการนําขอมูลที่เก็บรวบรวมมาจากแหลงตาง ๆ ซึ่งยังไมเปนระบบ มาจัดเปน หมวดหมูใหมีความสัมพันธเกี่ยวของกนตามวัตถัุประสงคเพื่อสะดวกแกการอ าน ทําความเขาใจการ วิเคราะหและแปลความหมายเพื่อประยกตุใช ในชีวิตประจําวันตอไป การนําเสนอขอมลแบูงออกเปน 2 ประเภท ไดแก 1. การนําเสนอขอมูลอยางไมมีแบบแผน (informal presentation) หมายถึงการนําเสนอขอมูลที่ไมมี กฎเกณฑหรือแบบแผนที่แนนอนตายตัวเปนการอธิบายลักษณะของขอมูลตามเนื้อหาขอมูล ที่นิยมใชมีสอง วิธีคือการนําเสนอขอมูลในรูปบทความหรือขอความเรียงและการนําเสนอขอมูลในรูปบทความกึ่งตาราง - การนําเสนอขอมูลในรูปขอความ นิยมใชกับขอมูลที่มีจานวนไม ํ มากนกัเชน ในปงบประมาณ 2552 กศน.บานแพว ไดอนุมัตใหิ นกเรั ียนระดับชั้นมัธยมศกษาตอนตึ นจบการศกษาจึ ํานวน 480 คน คดเปิ น รอยละ 92 อนุมัติใหนกเรั ียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายจบการศึกษาจํานวน 372 คน คิดเปนรอยละ 95 - การนําเสนอขอมูลในรูปขอความกึ่งตาราง (Semi – tabular arrangement) คือการนําเสนอขอมูล โดยแยกตัวเลขออกจากขอความเพื่อตองการใหเห็นตวเลขทั ี่ชัดเจนและเปรียบเทียบความแตกตางไดสะดวก ยิ่งขึ้นตวอยั าง เชน บริษัทคอมพิวเตอรแหงหนึ่งมจีํานวนยอดขายประจําเดือนมกราคม 2553 ของลูกคา จําแนกตามภาคตาง ๆ ดังนี้ ภาค จํานวนยอดขาย ( พันเคร่องื ) เหนือ 210 กลาง 398 ตะวันออก 135 ตะวันออกเฉียงเหนือ 102 ใต 170 2. การนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน เปนการนําเสนอขอมูลที่มีกฎเกณฑโดยแตละแบบจะตอง ประกอบดวยชื่อเรื่อง สวนของการนําเสนอและแหลงที่มาของขอมูลการนําเสนอขอมูลอยางมีแบบแผน ประกอบดวยการนําเสนอขอมูลในรูปตารางแผนภูมริูปภาพ แผนภูมิวงกลม (แผนภูมกงิ ) แผนภูมิแทง กราฟเสน และตารางแจกแจงความถี่ 2.1 การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง การนําเสนอในรูปตาราง (Tabular presentation)ขอมูลตางๆที่เก็บรวบรวมมาไดเมื่อทําการ ประมวลผลแลวจะอยูในรูปตาราง เปนการนําเสนอขอมูลที่งาย และนิยมใชกันอยางแพรหลาย เพราะมี ความสะดวกและงายแกการนําไปวิเคราะหและแปลความหมายทางสถิติ
158 เปรียบเทียบการปรับราคาน้ํามนปั 2521-2523 (ราคา : บาท /ลิตร) ชนิดน้ํามัน 2521 2522 2523 10 ม.ีค. 31 ม.ค. 22 ม.ีค. 13 ก.ค. 20 ก.ค. 9 ก.พ. 20 ม.ีค. เบนซินพเศษิ 4.98 5.60 - 7.84 - 9.80 - เบนซินธรรมดา 4.98 5.12 - 7.45. - 9.26 - น้ํามันกาด 2.68 3.06 - 5.12 4.20 6.71 5.70 ดีเซลหมุนเร็ว 2.64 3.03 - 4.88 - 7.39 6.50 ดีเซลหมุนชา 2.50 2.93 - 4.71 - 7.12 6.27 น้ํามันเตา450 1.52 - - - - - - น้ํามันเตา600 1.66 1.86 1.90 3.04 - 3.78 - น้ํามันเตา1,200 1.62 1.79 1.83 2.93 - 3.64 - น้ํามันเตา1,500 1.61 1.77 1.81 2.90- - 3.61 - ที่มา:ภาวะการคาของประเทศไทยป 2522 สภาหอการคาแหงประเทศไทย 2.2 การนําเสนอขอมูลดวยแผนภูมิรูปภาพ แผนภูมิรูปภาพ คือแผนภูมิที่ใชรูปภาพแทนจํานวนของขอมูลที่นําเสนอเชน แผนภูมิรูปภาพคน รูปภาพคน 1 คนแสดงประชากรทนี่ําเสนอ 1 ลานคน เปนตน การเขียนแผนภูมิรูปภาพอาจกําหนดใหรูปภาพ 1 รูปแทนจานวนสํ ิ่งของ 1 หนวย หรือหลายหนวยก็ได รูปภาพแตละรูปตองมีขนาดเทากนเสมอั แผนภูมแสดงงานอดิ ิเรกของนกเรั ียนชั้น ป. 6 ของโรงเรียนแหงหนึ่ง (สํารวจเมื่อวนทั ี่ 19 มกราคม 2548) ปลูกตนไม อานหนังสือ วาดรูป เลี้ยงสัตว เลนกีฬา หมายเหต 1 ุภาพ แทนจํานวนนกเรั ียน 15 คน
159 2.3การนําเสนอดวยแผนภูมิแทง (Bar chart) ประกอบดวยรูปแทงสี่เหลี่ยมผืนผาซึ่งแตละแทงมี ความหนาเทาๆ กัน โดยจะวางตามแนวตั้งหรือแนวนอนของแกนพิกดฉากกั ็ได แผนภูมิแทงแบบทางเดียว เปนการน ําขอมูลเพียงขอมูลเดยวมานี ําเสนอในรูปแบบของแทง สี่เหลี่ยม ตัวอยาง แผนภูมิแทงแสดงการสงออกไกไปตางประเทศ แผนภูมิแทงแสดงการเปรียบเทียบเปนการน ําขอมูลตั้งแต 2 ชุดขึ้นไปที่เปนเรื่องเดียวกนันํามาเขยนี บนแกนคูเดียวกัน แลวระบายสีแทงสี่เหลี่ยมใหตางกันเพื่องายตอการดูแลวอธิบายวาสใดแทนอะไร ี ตัวอยาง แผนภูมิแสดงการเปรียบเทียบยอดการขายแตละเดือนของบริษัทหนึ่ง ปริมาณ (ตัน) ประเทศ จํานวน (ลานบาท)
160 2.4การนําเสนอดวยกราฟเสน (Line graph) เปนแบบที่รูจักกนดั ีและใชกันมากที่สุดแบบ หนึ่ง เหมาะสําหรับขอมูลที่อยูในรูปของอนกรมเวลาเชุน ราคาขาวเปลือกในเดือนตางๆ ปริมาณสินคา สงออกรายปเปนตน จากตาราง นําเสนอขอมูลดวนกราฟเสน ดังนี้ 2.5การนําเสนอดวยรูปแผนภูมิวงกลม (Pie chart) เปนการแบงวงกลมออกเปนสวนตางๆตาม จํานวนชนิดของขอมูลที่จะนําเสนอ ตัวอยาง แผนภูมิวงกลมแสดงการใชที่ดนทิ ี่ถือครอบ เพื่อการเกษตร พ.ศ. 2518
161 2.6 การนําเสนอขอมูลในรูปตารางแจกแจงความถี่ ขอมูลที่เก็บรวบรวมมาไดนนถั้ามีจํานวนมากหรือซ้ํากนอยัมากูเมื่อมาเรียงกันหรือจดให ั อยูเปน หมวดหมูแลวจะชวยใหเราบอกรายละเอียดตางๆ หรือสรุปผลเกี่ยวกับขอมูลไดสะดวกและรวดเรวข็ ึ้น เชน ในการชั่งน้ําหนกของนักเรั ียน 40 คน หนวยเปนกิโลกรัมปรากฏผลดังนี้ 57 44 46 41 48 50 51 42 43 45 45 43 42 40 50 41 47 60 50 52 46 42 42 53 46 55 45 41 50 42 44 41 40 45 59 44 49 50 39 42 ในทางสถิติเรียกวา ขอมูลดิบ หรือคะแนนดบิหรือคาจากสงเกตัเมื่อนํามาจัดเรียงใหมใหเปนระบบ โดยอาจเรียงจากมากไปหานอยหรือจากนอยไปหามากแลวบ ันทึกรอยขีด แสดงจานวนครํ ั้งของขอมูลที่ เกิดขนซึ้ ้ํากันในตารางจํานวนรอยขีดที่นับไดเรียกวา ความถของแตี่ละขอมูล ตารางที่นําเสนอขอมูลในรูปแบบนี้เรียกวา ตารางแจกแจงความถและวี่ิธีการจําแนกขอมูลโดยการ บันทึกรอยขีดเพื่อหาคาความถ ี่เรียกวา การแจกแจงความถี่ การสรางตารางแจกแจงความถี่ ในกรณีทขี่ อมูลที่เก็บรวบรวมมามีจํานวนมากๆ และไมคอยซ้ํากัน ถาจะเรียงลําดับจะเปนการ เสียเวลาและสิ้นเปลืองมาก จึงกําหนดขอมูลเปนชวงๆ และหาความถของชี่วงขอมูลนั้นๆ วิธีการสรางตารางแจกแจงความถี่โดยจัดเปนอันตรภาคชนให ั้ทกๆช ุั้นมีความกวางเทากนัมีวิธีการ ดังนี้ 1. หาพิสัยของขอมูล พิสัย =ขอมูลที่มีคาสูงสุด – ขอมูลที่มีคาต่ําสุด
162 2. กําหนดจํานวนชั้นหรือกําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นขึ้นมา - ถากําหนดจํานวนชั้นก็ใหหาความกวางของอันตรภาคชนั้ ความกวางของอันตรภาคชั้น = พิสัย จํานวนอนตรภาคชั ั้น (เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ) -ถากําหนดความกวางของอันตรภาคชั้นก็หาจํานวนชั้นไดจาก จํานวนอนตรภาคชั ั้น = พิสัย ความกวางของอันตรภาคชั้น (เศษเทาไรปดขึ้นเสมอ) 3. เขียนอันตรภาคชนโดยเร ั้ียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอยถาเรียงคาจากนอยไปมากตองให ขอมูลที่มีคาต่ําสุดในอันตรภาคชั้นแรกและขอมูลที่มีคาสูงสุดอยูในอันตรภาคชนสัุ้ดทาย 4. นําขอมูลดิบมาใสในตารางโดยใชรอยขดี 5. รวมความถตามรอยขี่ีด ตัวอยางจากขอมูล 72 74 49 50 62 43 44 54 46 54 45 53 63 67 65 57 65 50 66 69 80 77 60 55 52 56 61 61 82 74 48 66 71 81 51 59 48 68 70 63 จงหา 1. พิสัย 2. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ใหมีทั้งหมด 6 ชั้น 3. จงสรางตารางแจกแจงความถี่ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นทกชุั้นเปน 8 ทุกชั้น
163 วิธีทํา 1. ขอมูลที่มีคาสูงสุดเปน 82 ขอมูลที่มีคาต่ําสุดเปน 43 ดังนั้นพิสัย = 82 – 43= 39 ตอบพิสัยเปน 39 2. โจทยกําหนดใหสรางตารางแจกแจงความถี่ทั้งหมด 6 ชนั้ จํานวนอนตรภาคชั ั้น = พิสัย ความกวางของอันตรภาคชั้น จํานวนชนั้ = 6 39 = 6.5 ≈ 7 ดังนั้นความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 เขียนอันตรภาคชนโดยเร ั้ียงคาจากนอยไปมากหรือจากมากไปนอยถาเอาขอมูลที่มีคาต่ําสุดเปนตัวเริ่มตน และใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเปน 7 จัดไดดังนี้ อันตรภาคชั้น รอยขีด ความถี่ 43-49 //// // 7 50-56 //// //// 9 57-63 //// /// 8 64-70 //// /// 8 71-77 //// 5 78-84 /// 3 รวม 40 จากตารางแจกแจงความถขี่ างตน มคีาตางๆ ที่ผูเรียนควรทราบอีกคือ 1. ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชนนั้ั้น + คาที่มากที่สุดของอนตรภาคชั ั้นที่ต่ํากวาหนึ่งชั้น 2 หรือ ขอบลาง = คาที่นอยที่สุดของอันตรภาคชนทั้ี่เราตองการ - 0.5 เชน ขอบลางของอัตรภาคชนั้ 50-56 ไดแก 49.5
164 2. ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชั้นนนั้ + คาทนี่ อยที่สุดของอนตรภาคชั ั้นที่สูงกวาหนึ่งชั้น 2 หรือ ขอบบน = คาที่มากที่สุดของอันตรภาคชนทั้ี่เราตองการ + 0.5 เชน ขอบบนของอันตรภาคชนั้ 50 - 56= 56.5 2 56 57 = −หรือขอบบน = 56 + 0.5 = 56.5 3. จุดกึ่งกลางชั้น = ขอบลาง + ขอบบน (ของอันตรภาคชั้น) 2 เชน อันตรภาคชนั้ 50 – 56 มีขอบบน และขอบลาง ไดแก 49.5 และ 56.5 ตามลําดับ ดังนั้น จดกุึ่งกลางชั้น = 53 2 49.5 56.5 = +
165 แบบฝกหดทั ี่ 2 1. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรายไดของห างสรรพสินคาแหงหนึ่งโดยเฉลี่ยตอวนัจําแนกตามแผนกตางๆ จากแผนภมูิจงตอบคําถามตอไปนี้ 1) รายไดจากแผนกเสื้อผาบุรุษ และแผนกเสื้อผาสตรีรวมกนมากกวั าหรือนอยกวารายไดจากแผนกเครื่อง เขียน แบบเรียนอยกู ี่เปอรเซ็นต ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2) รายไดจากแผนกใดนอยที่สุด และคดเปิ นรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกที่รายไดมากที่สุด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3) รายไดจากแผนกเสื้อผาสตรีคิดเปนรอยละเทาไรของรายไดจากแผนกเครื่องเขียน แบบเรียน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) แผนกใดที่มีรายไดมากเปนอ ันดับสองและรายไดนนคั้ดเปิ นรอยละเทาไรของรายไดทั้งหมด ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
166 2. จากการสอบถามงบประมาณที่แตละกลุมสาระการเรียนรูไดมาจากการจัดสรรงบประมาณของทาง โรงเรียน เปนดังนี้ กลุมสาระการเรียนรู งบประมาณ (บาท) จํานวนเปอรเซ็นตขนาดของมุมที่จุดศนยูกลาง ของรูปวงกลม (องศา) คณิตศาสตร 35,000 100 10.29 340000 35000 × = 360 37.06 340000 35000 × =o วิทยาศาสตร 100,000 ภาษาตางประเทศ 48,000 ภาษาไทย 34,500 ศิลปะ 18,500 การงานอาชีพและเทคโนโลย 40,500 ี สุขศึกษาและพลศึกษา 29,500 สังคมศึกษา ศาสนา และ วัฒนธรรม 34,000 รวม 340,000 3. จงเขียนแผนภูมิรูปวงกลมโดยใชจํานวนเปอรเซ็นตและขนาดของมุมที่จุดศูนยกลางของรูปวงกลมที่ คํานวณไดจากตารางขางตน
167 4. ใหผูเรียนพิจารณากราฟเสนตอไปนี้ จากกราฟเสน จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) ใน พ.ศ. ใดบางที่ปริมาณไมสักที่ผลิตไดมีมากกวาไมประดู ............................................................................................................................................................. 2) ในพ.ศ. ใดที่ปริมาณของไมสกและไม ั ประดูที่ผลิตไดต างกันมากที่สุด และตางกนประมาณก ั ี่ลูกบาศก เมตร ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................
168 3) ในชวงพ.ศ. 2531 – 2533 ปริมาณไมสักและไมประดูทผลี่ิตไดมีลักษณะการเปลี่ยนแปลงเปนอยางไร และชนิดใดมการเปล ี ี่ยนแปลงมากกวา ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4) ใน พ.ศ. 2532 ปริมาณไมสักที่ผลิตไดคิดเปนก ี่เปอรเซ็นตของปริมาณไมประดูที่ผลิตไดในป เดียวกนั (ตอบเปนคาประมาณของจํานวนเต็มหนวย) ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5) ปริมาณไมประดูในปที่ผลิตไดมากที่สุดและในปที่ผลิตไดนอยที่สุดแตกตางกนประมาณก ั ี่ลูกบาศกเมตร ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ...............................................................................................................................................
169 4. ตารางแสดงรายจับ – รายจายของนาย กในรอบ 6 เดือนแรกของปพ.ศ. 2546 เปนดังนี้ จากตารางจงนําเสนอขอมูลดวยกราฟเสน
170 เร ื่องท ี่ 3 การหาคากลางของข อมูล การหาคากลางของขอมูลที่เปนตัวแทนของขอมูลทั้งหมดเพื่อความสะดวกในการสรุปเรื่องราว เกี่ยวกับขอมูลนั้นๆจะชวยท ําใหเกิดการวิเคราะหขอมูลถูกตองดีขึ้นการหาคากลางของขอมูลมีวิธีหาหลายวิธี แตละวิธีมีขอดีและขอเสียและมีความเหมาะสมในการนําไปใชไมเหมือนกันขึ้นอยกู ับลักษณะขอมูลและ วัตถุประสงคของผใชู ขอมูลนั้นๆ คากลางของขอมูลที่สําคัญมี 3 ชนิด คือ 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean)คือคาที่ไดจากผลรวมของข อมูลทั้งหมด หารดวยจ ํานวนขอมูล ทั้งหมด ใชสัญลักษณคือ x N x x x x x n ... 1 + 2 + 3 + = X แทน ขอมูล N แทน จํานวนขอมูล ตัวอยางจากการสอบถามอายุของนักเรยนกลีุมหนึ่งเปนดังน14 , 16 , 20 , 25 , 30 ี้ วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณตของขิ อมูลชุดนี้คือ 5 14 + 16 + 20 + 25 + 30 = 5 105 = 21 ตัวอยางจากขอมูล 4, 8, 4, 5, 8, 5, 6, 8 วิธีทําคาเฉลี่ยเลขคณตของขิ อมูลชุดนี้คือ 8 4 + 8 + 4 + 5 + 8 + 5 + 6 + 8 = 8 48 = 6
171 2. มัธยฐาน (Median) คือคาที่มีตําแหนงอยกู ึ่งกลางของขอมูลทั้งหมด เมื่อไดเรียงขอมูลตามลําดับไมวาจากนอยไปมาก หรือจากมากไปนอยใชสัญลักษณMed หลักการคดิ 1) เรียงขอมูลที่มีอยูทั้งหมดจากนอยไปมาก หรือมากไปนอยก ็ได 2) ตําแหนงมัธยฐานคือ ตําแหนงกึ่งกลางขอมูล ดังนั้นตําแหนงของมัธยฐาน = 2 N + 1 เมื่อ N คือจํานวนขอมูลทั้งหมด ตัวอยางจงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 3, 10, 4, 15, 1,24, 28, 8, 30, 40, 23 วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย จะได 1, 3, 4, 8, 10, 15, 23, 24, 28, 30, 40 2. หาตําแหนงของขอมูลจาก 2 N + 1 จะได 6 2 11 1 = + ดังนั้น มัธยฐานอยูตําแหนงที่ 6 มคีาเปน 15 ถาขอมูลชุดนั้นเปนจํานวนคูจะใชคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลคูที่อยูตรงกลางเปนมัธยฐาน ตัวอยาง จงหามัธยฐานจากขอมูลตอไปนี้ 25, 3, 2, 10, 14, 6, 19, 22, 30, 8, 45, 36, 50, 17 วิธีทํา 1. เรียงขอมูลจากนอยไปหามาก หรือมากไปหานอย จะได 2, 3, 6, 8, 10, 14, 17, 19, 22, 25, 30, 36, 45, 50 2. หาตําแหนงของขอมูลจาก 2 N + 1 จะได 7.5 2 14 1 = + มัธยฐานอยูระหวางตําแหนงที่ 7 และ 8 ดังนั้น มัธยฐาน คือ 18 2 17 19 = +
172 3. ฐานนิยม (Mode) ฐานนิยมของขอมูลชุดหนึ่งคือ ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในขอมูลชุดนั้นหรืออาจกลาววาขอมูลใด การซ้ํากันมากที่สุด(ความถี่สูงสุด)ขอมูลนั้นเปนฐานนิยมของขอมูลชุดนั้นและฐานอาจจะไมมีหรือมี มากกวา 1 คาก็ได ตัวอยาง จากขอมูล 2, 3, 4, 3, 4, 5, 6, 8, 6, 4, 6, 7 จงหาฐานนิยม วิธีทํา จากขอมูลจะเห็นวา มี 2 อยูหนึ่งตัว มี 3 อยสองตูัว มี 4 อยูสามตัว มี 5 อยูหนึ่งตัว มี 6 อยูสามตัว มี 7 อยูหนึ่งตัว มี 8 อยูหนึ่งตัว ขอมูลที่มีความถี่สูงสุดในที่นี้มี 2 ตัวคือ 4 และ 6 ซึ่งตางก็มความถี ี่เปน 3 ดังนั้น ฐานนิยมของขอมูลชุดนี้คือ 4 และ 6
173 แบบฝกหดทั ี่ 3 1. จากขอมูล 2, 6,1, 5, 13, 6, 16 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณติ ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉลี่ยเลขคณติ = ………………………………………………….\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนิยม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลี่ยเลขคณติ = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = …………………………………………………. 2. จากขอมูล 24, 16,18, 36, 7, 28, 6, 36, 12 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉลี่ยเลขคณติ = ………………………………………………….\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนิยม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลี่ยเลขคณติ = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = …………………………………………………. 3. จากขอมูล 10.1, 13.8, 15.6, 4.5, 18.6, 8.4 จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยม และมัธยฐาน คาเฉลี่ยเลขคณติ = ………………………………………………….\ มัธยฐาน = …………………………………………………. ฐานนิยม = …………………………………………………. เรียงขอมูลจากมากไปหานอยหรือนอยไปหามาก คาเฉลี่ยเลขคณติ = …………………………………………………. มัธยฐาน คือ = …………………………………………………. ฐานนิยม คือ = ………………………………………………….
174 เร ื่องท ี่ 4 การเล ือกใช คากลางของข อมูล ในการที่จะเลือกใชคากลางคาใดนนั้ขึ้นอยกู ับจดประสงคุของผูใชซึ่งคากลางทั้งสามมีสมบัติที่ แตกตางกันดังนี้ คาเฉลี่ยเลขคณิต ขอเสยี 1. ถาขอมูลมีบางคาต่ําเกินไปหรือสูงเกินไป จะมีผลตอคาเฉลี่ยเลขคณิต จึงไมเหมาะสมท ี่จะใชเชน รายไดของพนกงานั 5 คน เปนดังนี้ 7,000 บาท 9,000 บาท 13,500 บาท 18,000 บาท 80,000 บาท 2. ถาขอมูลแจกแจงความถ่ชนี ิดปลายเปด เชน นอยกวาหรอเทื ากับ มากกวาหรือเทากับ จะ คํานวณหาคาเฉลี่ยเลขคณิตไมได 3. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น ขอดี 1. มีประโยชนในการใช ข อมูลจากตัวอยางอางอิงไปสูประชากร 2. สามารถคํานวณไดงายโดยใชค าที่ไดมาทกจุํานวน 3. มีการนําไปใชในสถิติชั้นสูงมากกวาคาเฉลี่ยแบบอื่น ๆ 4. สามารถเปรียบเทียบกับขอมูลชุดอ่นได ื งาย ฐานนิยม ขอเสยี 1. บางครั้งหาฐานนิยมไมได 2. การคํานวณฐานนิยมไมได ใชค าของขอมูลทุกตัวจึงไมเปนตัวแทนทดี่ีนกั 3. คาฐานนิยมไมค อยนิยมใชในสถิติชั้นสูง ขอดี 1. เขาใจงายและคํานวณงาย 2. สามารถคํานวณจากกราฟได 3. เปนคากลางทใชี่ ไดกับขอมูลเชิงคณภาพุ 4. เมื่อมีขอมูลบางตัวเล็กหรือใหญผิดปกติจะไมกระทบฐานน ิยม 5. ใชไดดีเมื่อจดประสงคุมุงที่จะศึกษาสิ่งที่เกิดขึ้นบอย หรอลื ักษณะทคนชอบมากหรี่ือมคะแนนี สวนใหญรวมกนอยัู ณ คาใดคาหนึ่ง 6. กรณีทขี่ อมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดสามารถหาฐานนิยมได
175 มัธยฐาน ขอเสยี 1. ใชไดกับขอมูลเชิงปริมาณเทานั้น 2. สําหรับขอมูลที่แจกแจงความถี่หรือขอมูลที่จัดกลุมมัธยฐานที่คํานวณไดจะไม ใชค าขอมูลจริง ขอดี 1. คํานวณไดงายสําหรับขอมูลไมจดกลัุม 2. ขอมูลบางคามีคาสูงหรือต่ําเกินไป ไมกระทบกระเทือนตอมัธยฐาน จึงเหมาะที่จะใชมัธยฐานมาก ที่สุด 3. กรณีทขี่ อมูลแจกแจงความถี่ชนิดปลายเปดก็สามารถหามัธยฐานได แบบฝกหดทั ี่ 4 1. จากตารางใหนกเรั ียนหาความถี่สะสม โดยเติมลงในชองความถี่สะสม
176 2. จากตารางในขอ 1 ฐานนิยม คือ ........................................................................................ มัธยฐาน คือ ....................................................................................... หาคาเฉลี่ยเลขคณติ ใหนกเรั ียนเติมคาตางๆ ลงในชองวางใหสมบูรณ คาเฉลยเลขคณี่ติ = …………………………………………….. = …………………………………………….. ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณติคือ .......................................................
177 3. ตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ของน้ําหนกั (หนวยเปนก ิโลกรัม) ของนักเรยนี 60 คน
178 2) ฐานนิยมของน้ําหนักอยในชู วงใด ............................................................................................................................................................. 3) โดยสวนใหญนกเรั ียนหนักอยในชู วงใด ............................................................................................................................................................. 4) ถาเรียงน้ําหนักนอยที่สุดไปยังน้ําหนกมากทั ี่สุด จงหาตําแหนงของมัธยฐาน ............................................................................................................................................................. 5) นักเรียนคดวิ ามัธยฐานของน้ําหนักอยในชู วงใด ............................................................................................................................................................. 6) หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ใหนักเรียนเตมคิ าตางๆ ลงในชองวางให สมบูรณ
179 คาเฉลยเลขคณี่ติ = …………………………………………….. = …………………………………………….. ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณติคือ .......................................................
180 เร ื่องท ี่ 5 การใช สถิติข อมูลสารสนเทศ 5.1 สถิติในชีวิตประจําวัน ในชีวตประจ ิ ําวันของคนเรานนั้สถิติมีสวนเกี่ยวของอยูเสมอเชน ในเรื่องเกี่ยวกับตัวนกเรั ียน อาจจะมการหาความสีูงโดยเฉลี่ย หรือหาน้ําหนักโดยเฉลี่ย หรือหา คะแนนเฉลี่ย หรือหาสวนสัดโดยเฉลี่ยของนักเรียนทั้งหองเรียน เปนตน ในเรื่องเกี่ยวกับคร-ูอาจารยก็มีสถติิเกี่ยวกับจํานวนคร-ูอาจารยระดับผลการเรยนของนีกเรั ียน จํานวนนักเรยนที ี่ตดิ 0, ร. มส. จํานวนนกเรั ียนที่สอบเขามหาวิทยาลัยไดในแตละรุน แตละปและสถิติการ ทํางานในสถานที่ตางๆ ของนักเรียนที่จบการศึกษาในแตละรุน เปนตน ในเรื่องของขาวสาร สารสนเทศจะเห็นวาในหนังสือพิมพหรือในโทรทัศนจะมีตวเลขั แสดงให เห็นขอเท็จจริงตางๆ เชน สถิติเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงราคาหุน อาจจะนําเสนอในรูปแบบตางๆ เชน นําเสนอในรูปตาราง นําเสนอในรูปแผนภูมิแทงนําเสนอในรูปแผนภูมวงกลมิหรือนําเสนอในรูปกราฟเสน เปนตน ในเรื่องของแรงงาน กม็ีสถิติเกี่ยวกับจํานวนคนในกําลังแรงงานเปอรเซ็นตของคนวางงาน รายได และสวัสดิการที่คนงานไดรับ เปนต น ในเรื่องเกี่ยวกับการกสิกรรม จะเห็นวาเกษตรกรตองมการพี ัฒนาอยูเรื่อยๆ เชน การศกษาึผลผลิต ขาวพันธใหมุ เทียบกับพันธุเดิม หรือการทดลองปลูกออยในที่ดินลักษณะตางๆ การปลกมูันสําปะหลังแบบ ใดจึงจะเหมาะกับสภาพดินของตนเอง หรือการปลูกหมอนเลี้ยงไหมพันธุไหนดีกวากัน จึงจะไดใบหม อนที่ มีคุณภาพทั้งยังเปนการประหยัดเวลาและแรงงาน ซึ่งสถิตมิีสวนในการวางแผนการทดลองและการวิเคราะห ขอมูล ในเรื่องของการประกันชีวติบรษิัทประกนกัต็องมีสถิติของพนักงานหรือตวแทนัหรือผูจัดการแต ละฝาย หรือตําแหนงที่สูงกวา หรือสถิติยอดขายในแตละเดอนืหรือการปรับอตราการชั ําระเบี้ยประกนทั ี่มี การปรับปรุงเปลี่ยนแปลงอาจจะแยกตามเพศ ตามอายุตามวงเงิน การกําหนดอัตราเบี้ยประกัน จะตองอาศัย ขอมูลที่ผานมา สถิติมีสวนในการคํานวณเบี้ยประกันตามวธิีของการประกันภยัพรอมทั้งมีการเสนอใน รูปแบบตางๆ โดยเฉพาะแบบตาราง เปนตน ในเรื่องเกี่ยวกับธุรกิจการคา บริษัทหางรานหรือสรรพสินคาตางๆ ก็มีสถิติเกี่ยวกับยอดขายสินคาใน แผนกตางๆ สถิติแสดงปริมาณสินคาทขายประเภทต ี่างๆสถิติยอดขายของพนกงานแตั ละคนนอกจากนี้สถิติ ยังไปเกี่ยวของกับการรับประกันอายใชุงานของสินคา สถิติชวยในการกําหนดวิธีเก็บรวบรวมขอมูลและการ วิเคราะหขอมูล นอกจากนสถี้ิติก็ยังมีสวนเกี่ยวของกับการควบคุมคุณภาพสินคาที่ผลิตดวย
181 ในวงการแพทยก ็มีสถิติเกี่ยวกับจํานวนแพทยพยาบาลจํานวนผูปวยจําแนกโรคตางๆ สถิติการ ผลิตและจํานวนยาประเภทตางๆ จํานวนคนตายจําแนกตามสาเหตุของการตายจํานวนผูบริจาคเลือดในแต ละปเปนตนนอกจากนี้สถิติยังไมเกี่ยวของในการออกแบบ และการวางแผนการทดลองการเก็บรวบรวม ขอมูลการวิเคราะหขอมูลเพื่อหาขอสรุป เกี่ยวกับการทดสอบประสิทธิผลของยารักษาโรคชนิดตางๆ อีก ดวย ในเรื่องของการบริหารงานขององคกรตางๆ อาทิองคกรของรัฐเชน ระดับอําเภอก็มีสถิติเกี่ยวกับ ประชากรในแตละหมูบาน ในแตละตําบล สถิติเกี่ยวกับอาชีพตางๆ ผลผลิตแตละปการศึกษาของคนในแต ละชุมชนเปนอยางไรจะจดสรรงบประมาณไปให ั แตละแหงมากนอยเพียงใด สถิติมีสวนเกี่ยวของมาก นอกจากที่กลาวมาแลวขางตน สถิติยังไปเกี่ยวของกับชีวตประจ ิ ําวันอกหลายอยี าง เชน การสํารวจ ความคดเหิ ็นหรือโพลการรวมแสดงความคดเหิ นโดยการส ็ ง sms ซึ่งคิดออกมาในรูปรอยละเห็นดวยไม เห็น ดวย นําเสนอผานหนาจอโทรทัศนเปนประจํา สถิติเกี่ยวกบนั้ําทวม ไรนาเสียหายไปกี่ไรจะมีมาตรการ อยางไรที่จะแกไขในปตอไปซึ่งตองมการเกี ็บรวบรวมขอมูลจากปที่ผานๆ มา หรือสถิติคนใชบร ิการรถ โดยสารในชวงเทศกาลตางๆ สถิติการเกิดอุบัติเหตุบนทองถนน ซึ่งขอมูลเหลานี้ลวนแตเกี่ยวของกับสถิติ ทั้งสิ้น แบบฝกหดทั ี่ 1 ใหนักศกษาอภึ ิปรายหาขอมูลสารสนเทศที่เคยมีประสบการณมา 4 – 5 ชนิด
182 5.2 การใชขอมูลสารสนเทศ การเลือกใชข อมูลในการตดสั ินใจเปนส ิ่งที่มีประโยชนมากเพราะในการดํารงชวีิตของคนเรามัก เกี่ยวของกับเหตุการณตางๆ มากมายจึงจําเปนต องอาศัยการตัดสินใจอยางมีระบบระเบียบ มีหลักมีเกณฑ และมีเหตุผลโดยนําปจจัยตางๆมาพิจารณากอนที่จะตัดสนใจ ิเพื่อใหไดทางเล ือกที่ดีที่สุด ซึ่งตองอาศัยทั้ง ความรูประสบการณขอมูลขาวสารตางๆ เปนสวนประกอบ เพื่อไมใหเกิดความผิดพลาดหรือโอกาสที่จะ ผิดพลาดมีนอยที่สุด เชน การเลอกสื ิ่งตางๆ การตัดสินใจ การเลือกซื้อสินคาอยางหนึ่ง 1. คุณภาพดี 2. ราคาไมแพงเกินไป 3. มีคนนิยมมาก 4. จําเปนตองใช 5. ชอบเปนชีวิตจิตใจ การเลือกธนาคารเพื่อการออม 1. ธนาคารของรัฐบาล 2. ธนาคารใกลบาน 3. ธนาคารใกลที่ทํางาน 4. ใหผลประโยชนมาก 5. การไปมาสะดวก 6. ธนาคารที่มีความมั่นคงไม สั่นคลอน หรือไมมีขาวออกมา ในทางไมสูดีอยูเสมอๆ การลงทุนในกจการอยิ างใดอยางหนึ่ง 1. เงินลงทุน 2. ผลผลิตที่ได 3. คุมคาแรงงานหรือไม 4. เปนที่นิยมหรือเปลา การเลือกชมรายการโทรทัศนชองตางๆ 1. รายการโปรด 2. เนื้อหาสาระดี 3. ใหความบนเทั ิง 4. การนําเสนอทันสมัย 5. มีประโยชนสามารถนําไป ประยุกตใช ได 6. เพื่อการลงทุน เชน หุน
183 การเดินทาง รายงานขาวบอกวามรถตี ิดที่ถนนใดบาง 1. อาจหลีกเลี่ยงเสนทางดังกลาว 2. รอจนกวาจะเดนรถสะดวกกิ อน เทศกาลตางๆ รถจะแนน เมื่อเดินทาง 1. อาจไมกลับในชวงเทศกาล ไปตางจังหวัด 2. อาจเลือกกลับหลังเทศกาล 1 – 2 วัน เปนตน นอกจากนี้การตัดสินใจยังมีความสําคัญในการประกอบธุรกิจตางๆ ทั้งธุรกิจขนาดเล็กและธุรกิจ ขนาดใหญนักธุรกิจอาจพบปญหาในดานตางๆ มากมายที่จะตองตัดสินใจอยูเสมอเชน ปญหาดานการตลาด ปญหาดานการขยายการลงทุน ปญหาแรงงาน ปญหาในดานการกําหนดราคา ปญหาพนักงาน คาครองชีพ ปญหาดานการเงิน ซึ่งนักธุรกิจจะใชประสบการณหรือคําสั่งสอนอบรมจากพอแมบรรพบุรุษมาแกปญหา อยางเดียวไมไดอาจจะเกิดความผิดพลาดไดดังนั้น นักธุรกิจควรใชขอมูลและวิธีการทางสถิติมาชวยใน การตัดสินใจ สําหรับในระดับนี้การเลือกใชขอมูลในการตัดสินใจอาจจะเกี่ยวกับคากลางที่กลาวมาแลวดวยเชน ถา ตองการกะประมาณรายไดของประชากรทั้งประเทศควรใชคากลางคือคาเฉล ี่ยเลขคณิต หรือประมาณจํานวน พลเมืองที่ชอบดูทีวีสีชอง 7ควรเลือกใชคากลางฐานนิยม หรือถาขอมูลมีคาต่ําและคาสูงแตกตางกันมากควร ตัดสินใจเลือกใชคากลางมัธยฐาน เปนต น ในเรื่องนี้ผูเรียนจะไดเรียนละเอียดในชั้นสูงตอไป
184 บทท ี่ 10 ความน าจะเป น สาระสําคัญ 1. การนับจานวนผลลํ ัพธที่เกิดจากการทดลองใด ๆ 2. ความนาจะเปน แสดงใหทราบวา เหตุการณใดเหต การณุหน ึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมากนอยเพียงใด อันจะมีประโยชนตอการตัดสินใจในการดําเนนงานนินั้ๆ ผลการเรียนรู ที่คาดหวัง 1. หาความนาจะเปนของเหตการณุจากการทดลองสุมที่ผลแตละตัวมีโอกาสที่จะเกิดขนเทึ้า ๆ กัน 2. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล 3. ใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนประกอบการตัดสินใจ ขอบขายเน ื้อหา เรื่องที่ 1 การทดลองสุมและเหตุการณ เรื่องที่ 2 ความนาจะเปนของเหตการณุ เรื่องที่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณต างๆ ไปใช
185 เร ื่องท ี่ 1 การทดลองสุม และเหตุการณ 1.1 การทดลองสุม คือการกระทําทเราทราบผลที่ั้งหมดทอาจจะเกี่ิดขึ้นไดแตเราไมทราบวาผลลัพธใดจะเกิดขนเชึ้น 1. โยนเหรียญ 1 อัน 1 ครั้งผลที่เกิดขนได ึ้มีสองอยางคือ “ออกหัว” หรือ “ออกกอย” จะไดวาผล ทั้งหมดที่อาจจะเกดขิ ึ้นคือ หัวและกอย 2. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้งผลที่เกดขินึ้คือการขึ้นแตมของหนาใดหนาหนึ่งของลูกเตา ซึ่งมีทั้งหมด 6 หนาไดแก 1, 2 , 3, 4, 5, 6 ตัวอยางจงเขียนผลที่อาจเกิดขนได ึ้ทั้งหมดในการโยนเหรียญสิบบาท 1 อัน และเหรียญหาบาท 1 อัน พรอม กัน วิธีทํา ในการโยนเหรียญ 1 อัน ผลที่อาจเกิดขึ้นคือ หัวและกอย ถาให H แทนหัว ให T แทนกอย ในการหาผลที่อาจจะเกดขิ ึ้นไดทั้งหมด จากการโยนเหรียญสิบบาท และโยนเหรียญหาบาทอยางละ 1 อัน อาจใชแผนภาพชวยได ดังนี้ H ผลที่อาจจะเกิดจาก ผลที่อาจจะเกิดจาก ผลที่อาจเกิดจากการ การโยนเหรียญบาท การโยนเหรียญ โยนทั้งสองเหรียญ หาสิบสตางค
186 จากแผนภาพจะเห็นวาถาเหรียญสิบบาทออกหัวเหรียญหาบาทจะออกห ัวหรือออกกอยก็ไดจึง ไดผลที่อาจเกิดจากการโยนทั้งสองเหรียญเปน H,H กับ H,T ในทํานองเดียวกนัถาเหรียญสิบบาทออกกอยเหรียญหาบาทอาจจะออกหัวหรือออกกอยก็ไดจึง ไดผลที่อาจเกิดจากการโยนเหรียญทั้งสองเปน T,H กับ T,T ฉะนั้น ถาเราใชคูอันดบเขั ียนผลทั้งหมดที่อาจเกิดขนได ึ้โดยใหสมาชิกตวทั ี่หนึ่งของคูอันดับแทน ผลที่อาจเกิดขึ้นจากเหรยญสี ิบบาท สมาชิกตัวที่สองของคอู ันดับแทนผลที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญหาบาท จะ ได ผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้น คือ (H,H), (H,T), (T,H), (T,T) เราอาจเขียนแสดงผลในรปตารางไดูดังนี้
187 แบบฝกหดทั ี่ 1 1. ใหผูเรียนพิจารณาการทดลองสุมตอไปนี้วาผลจากการทดลองสุมอาจเปนอยางไรบาง 1). โยนเหรียญสิบบาท 1 อัน ……………………………………………………………………………………………... 2). โยนเหรียญสิบบาทสองอันพรอมกัน ……………………………………………………………………………………………... 3). หยิบลูกปงปอง 2 ลูกพรอมๆกัน จากกลองที่มีลูกปงปองสีเหลือง 3 ลูก สีแดง 1 ลูก ……………………………………………………………………………………………... 2.จงเขียนผลที่อาจจะเกิดขนได ึ้ทั้งหมดจากการหมุนแปนวงกลมท ี่มีหมายเลข 1 และ2 แลวมาโยนเหรียญ บาท 1 อัน ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………. 3. จงเขียนผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นไดจากการหย ิบสลาก 1 ใบ จากสลากที่เขียนหมายเลขตั้งแต 10 ถึง 20 ไว ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………. 1.2 เหตุการณ ในการทดลองสุมโยนเหรียญบาท 1 เหรียญและเหรียญหาสิบสตางค 1 เหรียญ นักเรียนทราบแลว วาผลทั้งหมดที่อาจจะเกดขิ ึ้นไดคือ (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) ถาเราสนใจผลที่จะเกิดกอยอยาง นอย 1 เหรียญ จะไดวา ผลที่จะเกิดกอยอยางนอย 1 เหรียญ คือ (H, T), (T, H) และ (T, T) เราเรียกผลที่ เราสนใจจากการทดลองสุมวา เหตุการณ พิจารณาการหลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากถุงซึ่งมีลูกบอลสีเขียว 4 ลูกคือข1, ข2, ข3 และข4 ดังนั้น
188 จากการทดลองสุมครั้งนจะเหี้ ็นไดวาจะหยิบลูกบอลครั้งใดกจะได ็ ลูกบอลสีเขียวเสมอ ซึ่งผลทั้งหมด ที่อาจจะเกิดขึ้นไดคือ ข1, ข2, ข3 และข4 และถาสนใจเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีเขียว” จะไดวาเหตุการณคือข1, ข2, ข3 และข4 จะเห็นวา ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นได และเหตุการณที่จะหยิบไดลกบอลสูีเขียวเปนผลชุดเดียวกันเรา เรียกเหตุการณ "หยิบไดลกบอลสูีเขียว" จากการทดลองสุมครั้งนี้วา "เหตุการณที่แนนอน" และจากการทดลองสุมครั้งนี้จะเห็นวาเราไมอาจที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดงไดเลย เราเรียกเหตุการณ "หยิบไดลูกบอลสีแดง" จากการทดลองสุมครั้งนวี้า "เหตุการณที่เปนไปไมได” ตัวอยางเหตการณุ ตัวอยางที่ 1 หลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกลองที่มีลูกบอลสีแดง 1 ลกู สีขาว 1 ลูกและสีน้ําเงิน 1 ลูก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณต อไปนี้ (1) หยิบไดลูกบอลสีแดง (2) หยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง วิธีทํา ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขนได ึ้จากการทดลองสุมคือ แดง ขาว และน้ําเงิน ดังนั้นจํานวนทั้งหมดที่อาจจะเกิดขนได ึ้เปน 3 (1) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลสีแดง คือแดง จํานวนผลที่เกดในเหต ิุการณนี้เปน 1 ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลสีแดงเปน 3 1 (2) เหตุการณที่จะหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดง คือ หยิบได ขาวและ น้ําเงิน จํานวนผลที่เกดขิ นในเหต ึุ้การณเปน 2 ฉะนั้นความนาจะเปนของเหตุการณหยิบไดลูกบอลที่ไมใชสีแดงเปน 3 2
189 แบบฝกหดทั ี่ 2 1. ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง จงเขียน 1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น …………………………………………………………………………………………… 2) เหตุการณที่ไดแตมไมเกิน 5 …………………………………………………………………………………………… 3) เหตุการณที่ไดแตมเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว …………………………………………………………………………………………… 2. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกนั 1 ครั้งจงเขียน 1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) ผลรวมของแตมเปน 8 …………………………………………………………………………………………… 3) ผลรวมของแตมมากกวา 9 …………………………………………………………………………………………… 4) ผลรวมของแตมนอยกวา 4 …………………………………………………………………………………………… 5) ผลรวมของแตมหารดวย 2 ลงตัว …………………………………………………………………………………………… 6) ผลรวมของแตมนอยกวา 2 …………………………………………………………………………………………… 3. จากการสอบถามถึงปกรายงานที่ผเรูยนชอบี 2 สี ในจานวนํ 5 สี คือ สีขาว สีฟา สีชมพู สีเขียวและ สีเหลือง จงเขียน 1) ผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… 2) เหตุการณที่นิตยาจะชอบสีฟาหรือสีชมพู …………………………………………………………………………………………
190 เร ื่องท ี่ 2ความนาจะเปนของเหตุการณ พิจารณาการทดลองสุมและเหตุการณที่สนใจ ทอดลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้งผลทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้น คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ซึ่งมีทั้งหมด 6 จํานวน 1). ถาเหตุการณที่สนใจคือแตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจานวนคํูซึ่งไดแก 2, 4, 6 จะเห็นไดวามี 3 จํานวน นั่นคือจํานวนผลที่จะเกดในเหต ิุการณเปน 3 เรากลาววาความนาจะเปนของเหตการณุที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคูคือ 6 3 หรือ 2 1 2). ถาเหตุการณที่สนใจคือแตมที่หงายบนหนาลูกเตา เปนจํานวนที่นอยกวา 3 ซึ่งไดแก 1, 2 จะเห็นวามีทั้งหมด 2 จํานวน นั่นคือจํานวนผลทจะเกี่ดในเหต ิการณุเปน 2 เรากลาววาความนาจะเปนของเหตการณุที่แตมหงายบนหนาลูกเตาเปนจํานวนคูคือ 6 2 หรือ 3 1 จากทั้ง 2 เหตการณุทกลี่าวมาเราสามารถเขียนใหอยูในรูปของตารางไดดังนี้ จากตวอยั างที่กลาวมาแลวขางตน อาจจะสรุปเปนสูตรการหาความนาจะเปนของเหตการณุไดดังนี้ จํานวนผลของเหตุการณที่สนใจ จํานวนเหตการณุทั้งหมดของการทดลองสุม ความนาจะเปน =
191 ขอควรจํา 1. เหตุการณที่แนนอนคือเหตการณุที่มความนี าจะเปน = 1 เสมอ 2. เหตุการณที่เปนไปไมได คือเหตการณุที่มความนี าจะเปน = 0 3. ความนาจะเปนใด ๆ จะมีคาไมต่ํากวา 0 และไมเกิน 1 เสมอ 4. ในการทดลองหนึ่งสามารถทําใหเกดผลทิ ี่ตองการอยางม ีโอกาสเทากันและมีโอกาสเกดได ิ N สิ่งและเหตุการณ A มีจํานวนสมาชกเป ิน n ดังนั้นความนาจะเปนของ A คือ P(A) = N n
192 แบบฝกหดทั ี่ 3 1. มีสลาก 10 ใบ เขียนเลข 1-10 แลวมวนใสกลอง ความนาจะเปนที่จะหยิบไดสลากที่เปน จํานวนคี่เทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 2. ใสลูกเตา 1 ลูกลงในถวยแกว เขยาแลวเทออก จงหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ขนแตึ้ม 6 ……………………………………………………………………………………………………… 3. ถุงใบหนึ่งมีลูกกวาดสีแดง 5 เม็ด สีเหลือง 2 เม็ด แมวหยิบขึ้นรับประทาน 1 เม็ดโดยไมไดดู จงหาความนาจะเปนที่แมวจะหยิบไดลกกวาดสูีแดง ……………………………………………………………………………………………………… 4. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพ K โพแดง จากไพ 1 สํารับเปนเทาไร ……………………………………………………………………………………………………… 5. ความนาจะเปนที่จะหยิบไดไพสีดําจากไพ 1 สํารับ เปนเท าไร ……………………………………………………………………………………………………… 6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกนั ความนาจะเปนท ี่จะทอดไดแต มรวมกนเป ั น 7 คือขอใด ……………………………………………………………………………………………………… 7. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกนั ความนาจะเปนท ี่จะทอดไดแตมรวมกันไมเกิน 1 คือขอใด ……………………………………………………………………………………………………… 8. ถาตองการถูกรางวัลเลขทาย 2 ตวแนั ๆ จะตองซื้อสลากกินแบงรัฐบาลกใบี่ ……………………………………………………………………………………………………… 9. จากการทดลองโยนเหรียญหนึ่งอัน 3 ครั้ง ความนาจะเปนที่ออกหัว 1 ครั้ง เปนเท าไร ……………………………………………………………………………………………………… 10. ถาทอดลูกเตาที่สมดุล 1 ลูกจงหาความนาจะเปนที่แตมบนลูกเตาจะเปนแตมคู ………………………………………………………………………………………………………
193 เร ื่องท ี่ 3 การนําความนาจะเปนของเหตุการณ ตางๆไปใช ในชีวตประจ ิ ําวันคนเราไดน ําประโยชนจากความนาจะเปนมาใช อยูตลอดเวลา เพียงแตไมได เรียกวาความนาจะเปนเทานนั้ เชน ในเรื่องการซื้อหวย หรอสลากกื ินแบงรัฐบาลจะเห็นวาโอกาสที่จะถูก เลขทาย 2 ตัวมีคาเปน 1 ใน100 และโอกาสที่จะถูกรางวัลอื่นๆ ยิ่งนอยลงตามลําดับ นอกจากนี้ยังมการคี ํานวณคาความนาจะเปนเพื่อประมาณคาอัตราการเกิดอุบัติเหตุในแตละลักษณะ ของการกําหนดเบี้ยประกันภัยรถยนตหรือการคาดหมายผลการเลือกตั้งการพยากรณตางๆ ทางธุรกจิการ ทดสอบคุณภาพผลิตภณฑั ใหม จากโรงงาน ฯลฯ ซึ่งความนาจะเปนมีบทบาทสําคัญมากผูเรียนจะไดเห็น ประโยชนชัดเจนขนเมึ้ื่อเรียนตอในระดับสูงขึ้นไป แบบฝกหดทั ี่ 4 จากโจทยตอไปนใหี้นักเรยนตอบวี าใครไดเปรียบ 1. ใหนักเรยนที ําลูกบาศกหนึ่งลูกแลวเขียนเลข 1 ที่หนาหนึ่งของลกบาศกู เขียนเลข 2 ที่หนาอกสองหนี า สวนอีกสามหนาที่เหลือเขียน 3 ใชกตกาติ อไปนี้ตดสั ินการแพ ชนะ เสมอ ในการโยนลกบาศกูที่ทําขึ้นนี้ คนละครั้ง 1) ผูเลนคนที่หนึ่งชนะถาเขาโยนลกบาศกูแลวหนาที่เขียนเลข 3 หงายขึ้น และคูแขงขันไดเลข 3 ดวย ผูเลนคนที่สองชนะถาไดเลขทตี่ ่ํากวา 3 และผูแขงขนได ั เลขที่ต่ํากวา 3 กรณีอื่น ๆ ถือวาเสมอกัน 2) ผูเลนคนที่หนึ่งถาเขาโยนลูกบาศกแล วหนาที่เขียนเลข 1 หงายขึ้น และคูแขงขันไดเลขที่ต่ํากวา 3 ผูเลนคนที่สองชนะ ถาเขาโยนลูกบาศกหงายหนาทเขี่ียนเลข 3 และคูแขงขนได ั เลขสูงกวา 1 กรณีอื่นถือ วาเสมอกัน