94 2. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตวเลขทั ี่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาวเป นเมตร ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………
95 2.6 พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม การหาพื้นที่รูปหลายเหลยมี่ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยม เปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่ของรูป แตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางครั้งอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลวนํามาหักลบกนั ดังตัวอยาง ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือfiDEJC, fi FGKJ, fi ABKH พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท.fiDEJC + พ.ท.fi FGKJ + พ.ท.fi ABKH = ( 2×6) + (1×4) + (3×10) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร 2.7 พื้นที่รูปวงกลม การหาพื้นทของรีู่ปวงกลมโดยวิธแบี งออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดังรูป จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนติเมตร
96 จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขนรึู้ปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคยงกี ับรูปสี่เหลี่ยมผืนผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ ( ) 2πr = πr 2 1 จากสูตร พนทื้ี่fi ผืนผา = ฐาน ×สูง = (πr)× r = 2 πr สูตร พื้นที่วงกลม = 2 πr เมื่อ 7 22 π = หรือ 3.14 โดยประมาณ r แทนความยาวรัศมี ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่วงกลม = 2 πr = 7 7 7 22 × × ตารางเซนติเมตร พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร
97 แบบฝกหดทั 5 ี่ 1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตวเลขทั ี่เขียนกํากับดานมีหนวยเป นเซนติเมตรและจุด O แทน จุดศูนยกลางของวงกลม 1
98 สรุปสูตรการหาพื้นที่
99
100 เร ื่องท ี่ 4 การแก โจทยปญหาเก ี่ยวกับพ ื้นทในสถานการณ ี่ ตางๆ ตัวอยาง ทดี่ินรูปสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 12 เมตรยาว 20 วา ตองการท ําถนนในที่ดนกวิ าง 1 วาโดยรอบถนนจะ มีพื้นที่กี่ตารางวา วิธีทํา ตัวอยาง หองๆ หนึ่ง 6.5 เมตรกวาง 4 เมตร ตองการปกระเบูื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ซึ่งมีความกวางดานละ 25 เซนติเมตรจะตองใชกระเบื้องกี่แผน วิธีทํา หองหน่งมึ ีความยาว 6.5 เซนติเมตร = 650 เซนติเมตร ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนติเมตร พื้นที่หอง = 400 × 650 = 260,000 เซนติเมตร พื้นที่กระเบื้อง = 25 × 25 = 625 ตารางเซนติเมตร ตองใชกระเบื้อง = 416 625 260,000 = แผน ดังนั้น ตองใชกระเบื้อง 416 แผน พื้นที่ทั้งหมด = 12 × 20 = 240 ตารางวา พื้นที่รูปใน = 10 × 18 = 180 ตารางวา พื้นที่ถนน = 240 – 180 ∴พื้นที่ถนน = 60 ตารางวา
101 แบบฝกหดทั 6 ี่ 1. แผนผังบานหลังหนึ่งมีลักษณะและขนาดดังรูป ถาบริเวณที่แรเงาตองการเทปูนซีเมนตโดยเสียคาใชจายตาราง เมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเป นเมตร 2. ตองการตัดเสื้อตัวหนึ่งมีลักษณะดังรูป จะตองใชผากตารางเมตรี่ (ไมคดตะเขิ ็บ) ความยาวทกี่ําหนดมี หนวยเปนเซนติเมตร
102 เร ื่องท ี่ 5 การคาดคะเนเวลาระยะทาง ขนาด น้ําหนัก ในชีวตประจ ิ ําวันบางครั้งเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลาระยะทางขนาด หรือ น้ําหนักของสิ่งตางๆแตไมสะดวกทจะวี่ดสั ิ่งตางๆ เหลานั้น เนื่องจากมขีอจํากดบางประการ ัตวอยั างเชน ตองการวดความยาวัและความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่เหมาะสม ทําใหตองมี กี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางครั้งอาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความเปนจริงบาง เราเรียกวธิการี ประมาณในลักษณะนี้วาการคาดคะเน การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชวงเวลาระยะทางขนาด และน้ําหนักของสิ่งตางๆ ผูคาดคะเนมกั ใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละครั้งอาจถูกตองพอดีหรืออาจมี ขอผิดพลาดเกิดขึ้นบางก็ไดเราเรียกขอผิดพลาดนี้วา ความคลาดเคลอนื่และความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจาก ผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วดได ัจร ิง เชน คะเนวาหนังสือเรียนกวาง 15 เซนติเมตรยาว 20 เซนติเมตรและหนา 1 เซนติเมตรแตเมื่อวัดจริง พบวาหนังสือเรียนกวาง 14.6 เซนติเมตรยาว 20.9 เซนติเมตรและหนา 1 เซนติเมตร ดังนนคะเนความกวั้าง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0 เซนติเมตร– 14.6 เซนติเมตร= 0.4 เซนติเมตรและ 20.9 เซนติเมตร– 20 เซนติเมตร= 0.9 เซนติเมตร สวนความหนาคาดคะเนไดถูกตองไม คลาดเคลื่อนเลย ) หมายเหตุบางคร้งอาจพบการใช ั สัญลักษณ± ตามความคลาดเคลื่อน เชน เครื่องบรรจนุ้ําไดขวด ละ 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ± 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลวน้ําดื่มที่บรรจขวดโดยุ เครื่องนี้จะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตรแตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตรมากกวาหรือนอยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรที่คลาดเคลื่อนนี้ไมเกิน 5 ลกบาศกูเซนติเมตร นั่นคือ น้ําดื่มที่บรรจุขวดจะมี ปริมาตรตั้งแต 995 ลูกบาศกเซนติเมตรถึง 1,005 ลูกบาศกเซนติเมตร
103 แบบฝกหดทั 7 ี่ 1. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้ 1) ฟาใกลสวางอากาศเย็นสบายไกตัวผูตีปกและส งเสียงขนัมีน้ําคางจับตามยอดหญา นาจะเปน เวลาประมาณ...................นาฬิกา 2) เมื่ออยูกลางแจงดวงอาทิตยอยูตรงศีรษะพอดีเงาของตัวเองอยูบนพื้นที่ยืนอยูพอดีนาจะเปนเวลา ประมาณ...................นาฬิกา 3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรูฟาสวางแลวแตย ังไมเห็นพระอาทตยิ ทองฟาขมกขมุวอากาศั หนาวเย็นจดันาจะเปนฤด ....................ูและควรจะเปนชวงเดือน..................... 2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือ ขนาดของสิ่งตอไปนี้ 1) ความยาวของคตเตอรั ก. 1.5 มิลลิเมตร ข. 15 เซนติเมตร ค. 15 เมตร 2) น้ําหนกของมะพรั าว 1 ผล ก. 1 กรัม ข. 1 กิโลกรัม ค. 1 ตนั 3) ปริมาณของนม 1 กลอง ก. 4 ×5×12 เซนติเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟุต 3 ค. 4 ×5×12 เมตร3 4) รถกระบะ 4.1 มีน้ําหนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตนั 4.2 ความกวาง ก. 160 เซนติเมตร ข. 16 ฟตุ ค. 16 เมตร 4.3 ความยาว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วา 4.4 ความสูง ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มิลลิเมตร ค. 16,000 มิลลิเมตร 5) เกาอี้นั่ง 5.1 กวางยาว สูง ก. 40 ×50×80 มิลลิเมตร3 ข. 40 ×50×80 เซนติเมตร3 ค. 4 ×5×8 เมตร3 5.2 น้ําหนัก ก. 10 กิโลกรัม ข. 100 กิโลกรัม ค. 1 ตัน
104 3. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสายยาว 952 กิโลเมตรรถประจําทางปรับอากาศวิ่งบนทางหลวง สายนี้ตลอดเสนทางดวยอัตราเรว็ 80-100 กิโลเมตรตอชั่วโมง (1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร (2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬกาิจะถึงแมสายในชวงใด (3) ถาตองการใหถึงแมสายประมาณเที่ยงวนทั ี่ 16 กนยายนัจะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทาไร 4. ลิฟตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทกผุ ูโดยสายไดเที่ยวละไมเกิน 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมี ผูโดยสารเขาล ิฟตเพียง 8 คน ลิฟตจะมีเสียงเตือน บางครั้งมีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไมมีเสียงเตือนยังใชงาน ไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย 5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จงหวั ัดนราธิวาส) 1,352กิโลเมตร ทางหลวงสาย มิตรภาพ (กรุงเทพฯ-จังหวัดหนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรงเทพฯุ -จังหวัดตราด) 400 กิโลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสูจังหวดั หนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดวยอัตราเร็วในชวง 90-100 กิโลเมตรตอชวโมง ั่จะใชเวลาประมาณกี่ ชั่วโมง (2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬิกาวันนี้จะถึงจังหวัด นราธิวาสเมื่อใด โดยใชอัตราความเรว็ 100 กิโลเมตรตอชั่วโมง (3) ถาตองการเดนทางจากกริุงเทพฯ ไปจังหวดตราดทางหลวงสายสัุขุมวิท และถึงจังหวัดตราด ประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรงเทพฯุเวลาใด เมื่อใชอัตราความเรว็ 80 กิโลเมตรตอชั่วโมง (4) ใหน ักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย
105 บทท ี่ 6 ปริ มาตรและพ ื้นท ี่ผ ิ ว สาระสําคัญ การหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของ ปริซึม พีระมดิทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปนจะตองรู กระบวนการคิด และการใชสูตรเพื่อสะดวกในการคํานวณอันจะเปนประโยชนตอการนําไปใชในชีวิตจริง ผลการเรียนรู ที่คาดหวัง 1. อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หาปริมาตรและ พื้นที่ผิวของปริซึมได 2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรียบเทียบหนวย ความจุ หรือหนวยปร ิมาตรในระบบเดยวกี ันหรือตางระบบ และเลือกใช หนวยการวัดเกี่ยวกับความจุหรือปริมาตรไดอยางเหมาะสม 5. ใชความรูเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นทผี่ิวแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได 6. ใชการคาดคะเนเกยวกี่ับปริมาตรและพื้นที่ผวในสถานการณ ิ ตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม ขอบขายเน ื้อหา เรื่องที่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผวของทรงกระบอกิ เรื่องที่ 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร เรื่องที่ 5 การแกโจทยปญหาเกี่ยวกับปริมาตรและพื้นที่ผวิ เรื่องที่ 6 การคาดคะเนปริมาตรและพื้นที่ผิว
106 เร ื่องท ี่ 1 ลักษณะสมบัติและการหาพ ื้นท ี่ผวและปร ิ ิมาตรของปริซ ึ ม พนท ื้ี่ผิวและปริมาตรของปรซิึ ม รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหนาตดั (ฐาน)ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและ อยูในระนาบที่ขนานกนมั ีหนาขางเปนรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน เรียกวาปริซึม สวนตางๆ ของปริซึมมีชื่อเรียกดังนี้ เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลกษณะของฐานของปร ั ิซึมดังตัวอยาง ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผา ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมู ปริซึมหาเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม สูตร การหาพื้นที่ผิวของปริซึม = พื้นที่ผิวขาง + พนทื้ี่ผิวหนาตัด ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง
107 ตัวอยาง 1 จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมตอไปนี้กําหนดความยาวที่หนวยเปนเซนติเมตร วิธีทํา ตัวอยาง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวที่กาหนดให ํ มีหนวยเป นเมตร) วิธีทํา แบบฝกหดทั ี่ 1 จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ ปริมาตรปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง = (4 x 5) x 8 = 160 ลูกบาศกเมตร พื้นที่ผิวดานขาง 4 ดาน = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตารางเซนติเมตร พื้นที่หนาตัด = 2 ( 3 x 4) = 24 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวของปริซึม = 70 + 24 = 94 ตารางเซนติเมตร
108 เร ื่องท ี่ 2 การหาปริมาตรและพ ื้นท ี่ผิวของทรงกระบอก ทรงกระบอกคือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากนทัุกประการและอยูในระนาบทขนานี่ กัน ซึ่งเมื่อตัดทรงสามมิตินดี้วยระนาบที่ขนานกับฐานแลวจะไดรอยตดเปั นวงกลมที่เทากันทกประการกุับ ฐานเสมอ พื้นที่ผิวของทรงกระบอก เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใด ๆ พบวาจะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผาที่มีความยาวเทากับเสนรอบ ฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอก สูตร พื้นท่ผีิวของทรงกระบอก = พื้นที่ผิวขาง + พนทื้ี่ฐานทั้งสอง = 2 2πrh + 2πr เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทน ความสูงของทรงกระบอก
109 ปริมาตรทรงกระบอก จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน x สูง ปริมาตรทรงกระบอก = r h2 π สูตร ปริมาตรทรงกระบอก = r h2 π ตัวอยางที่ 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนติเมตรและสูง 10 เซนติเมตร ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาท ั้งสองจะตองใช กระดาษกี่ตารางเซนติเมตร ข) กระปองใบนี้มความจีุกี่ลกบาศกูเซนติเมตร วิธีทํา ข) ปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง = r h2 π = 7 7 10 7 22 × × × = 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร ดังนั้น ก. ตองใชกระดาษ 748 ตารางเซนติเมตร ข. กระปองมความจีุ 1,540 ลกบาศกูเซนติเมตร ก) พื้นที่ฐานทั้งหมด = 2 2π r = 7 7 7 22 2 × × × = 308 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวขาง = ความยาวรอบฐาน x สูง = 2πr × h = 7 10 7 22 2 × × × = 440 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวกระปอง = 308 + 440 = 748 ตารางเซนติเมตร
110 แบบฝกหดทั ี่ 2 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................ 2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งทมี่ีรัศมีของฐาน 3.5 นิ้วและสูง 5 นิ้ว .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................ 3. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของถังเก็บน้ํารูปทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีที่ฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
111 เร ื่องท ี่ 3 การหาปริมาตรของพ ี ระมิด กรวยและทรงกลม 3.1 พื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมิด พีระมิด คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลม ซึ่งไมอยูในระนาบเดียวกับฐาน และหนาทุกหนาเปนรูปสามเหลี่ยม ที่มีจุดยอดรวมกนทั ี่ยอดแหลม ลักษณะของพีระมิดตรง 1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. สันของพระมี ิดตรงจะยาวเทากันทกเสุน 3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทาจะยาวเทากันทุกเสน 4. ปริมาตรของพีระมดิ เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมทมี่ีฐานเทากับพีระมิด และมีสวนสูง เทากับพีระมิด สูตร พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = × 2 1 ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง พื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมิด = พื้นที่ผิวขาง + พนทื้ี่ฐาน ปริมาตรของพีระมดิ = × 3 1 พื้นที่ฐาน x สูง
112 ตัวอยางที่ 3 พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผากวาง 10 เซนติเมตรยาว 18 เซนติเมตรและความสูงของพีระมิดเปน 12 เซนติเมตรจงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน 1. ความสูงเอียงดานกวาง 2. ความสูงเอียงดานยาว ตัวอยางที่ 4 พีระมิดแหงหนึ่งมีฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 6 เมตร สูงเอียง 5 เมตรและสูงตรง 4 เมตรจงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของพีระมดิ วิธีทํา พื้นที่ผิวขางของพีระมิด = × 2 1 ความยาวรอบฐาน x สูงเอียง = × 2 1 (6x4) x 5 = 60 ตารางเมตร พื้นที่ฐาน = 6 x 6 = 36 ตารางเมตร ดังนั้นพื้นที่ผวของพิ ีระมดิ = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของพีระมดิ = × 3 1 พื้นที่ฐาน x สูง = × 3 1 36 x 4 = 48 ลูกบาศกเมตร 2 2 2 a =12 + 9 =144 + 81 225 2 a = a =15เซนติเมตร 2 2 2 c = 5 +12 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนติเมตร
113 แบบฝกหดทั ี่ 3 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของพีระมดทิ ี่สูง 6 เซนติเมตรฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 16 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมดฐานริูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทายาวดานละ 4 เซนติเมตร สูงเอียง 7.5 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
114 3.2 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกรวย กรวยคือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลม มียอดแหลมที่ไมอยูบนระนาบเดียวกับฐาน และเสนที่ ตอระหวางจุดยอดกับจดใดุ ๆ บนเสนรอบวงของฐาน เรียกเสนตรงนี้วา “สูงเอียง” พื้นที่ผิวของกรวย การหาพื้นที่ผิวเอียงของกรวย ทําไดโดยตัดกรวยตามแนวสูงเอียงแลวคลี่แผออกจะเกิดเปนรูป สามเหลี่ยมฐานโคง สูตร พื้นที่ผิวของกรวย = 2 π rl + π r เมื่อ r เปนรัศมีของฐานกรวย l เปนความยาวของสูงเอียง ปริมาตรของกรวย ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอกจะเหมือนกับความสัมพันธของปริซึมกับ พีระมิด ที่มีสวนสูงและพื้นที่ฐานเทากัน นนคั่ือ สูงตรง สูงเอียง h
115 ปริมาตรของกรวยเปน 3 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มพีื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับกรวย สูตร ปริมาตรของกรวย = × 3 1 r h2 π เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย h แทน ความสูงของกรวย ตัวอยางที่ 6 จงหาพื้นที่ผวและปร ิ ิมาตรของกรวย ซึ่งสูง 24 เซนติเมตรและเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ผิวขาง + พนทื้ี่ฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของกรวย = × 3 1 r h2 π = 7 7 24 7 22 3 1 × × × × = 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร พื้นที่ผิวทั้งหมด 704 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของกรวย 1,232 ลกบาศกูเซนติเมตร รัศม = ี 7 2 14 = เซนติเมตร หาความสูงเอียง (l) จาก ABO 2 2 2 l = 24 + 7 = 576 + 49 = 625 l = 25 เซนติเมตร พื้นที่ผิวขาง = π rl = 7 25 7 22 × × = 550 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ฐาน = 2 π r = 7 7 7 22 × × = 154 ตารางเซนติเมตร
116 แบบฝกหดทั ี่ 4 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................ 2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 8 เซนติเมตร (ตอบในรูป π) .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................... 3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตรความยาว ทรงกระบอก 30 เซนติเมตรความสูงยอดกรวย 12 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
117 3.3 พื้นที่ผิวและปริมาตรของทรงกลม ทรงกลม คือ ทรงสามมิติที่มีผิวโคงเรียบ และจุดทกจุดอยุบนผู ิวโคงอยูหางจากจดคงทุจีุ่ดหนึ่งเปน ระยะเทากัน จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยกลางของทรงกลม ระยะที่เทากัน เรยกวี า รัศมีของทรงกลม พื้นที่ผิวของทรงกลม พื้นที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากบรั ัศมีของทรงกลม จาก พื้นทของรีู่ปวงกลม = 2 πr ดังนั้น พื้นที่ผวของทรงกลมิ = 4 2 πr สูตร พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4 2 πr ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของครึ่งวงกลมกับ ปริมาตรของกรวย ขอกําหนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หนวย 2) กรวยที่มีรัศมีเทากับครึ่งทรงกลม r หนวยและสวนสูงของกรวย (h) เปน 2 เทาของรัศมี ฐานของกรวยคือ 2r หนวย
118 สูตร ปริมาตรของทรงกลม = 3 3 4 πr เมื่อแทน r รัศมีของทรงกลม ตัวอยางที่ 7จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของลูกโลกพลาสตกิซึ่งมีรัศมียาว 7 เซนติเมตร วิธีทํา พื้นที่ผิวของทรงกลม = 616 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร พื้นที่ผิวทรงกลม = 4 2 πr = 7 7 7 22 4 × × × = 616 ตารางเซนติเมตร ปริมาตรทรงกลม = 3 3 4 πr = 7 7 7 7 22 3 4 × × × × = 3 4,312 = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร
119 แบบฝกหดทั ี่ 5 1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลูกบาศกเซนติเมตรจงหารัศมีและพื้นที่ผิว .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3. ทรงกลมมีพื้นที่ผิว 616 ตารางนิ้วจงหาปริมาตรของทรงกลม .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 4. โลหะกลมลูกหนึ่งรัศมีภายนอก 21 เซนติเมตรรัศมีภายใน 7 เซนติเมตรจงหาปริมาตรเนื้อโลหะ .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
120 เร ื่องท ี่ 4 การเปรี ยบเท ี ยบหนวยปริมาตร การตวง คือ การนําสิ่งที่ตองการหาปริมาตรใสในภาชนะที่ใชสําหรับตวง หนวยการตวงทนี่ิยม และใชกันมากคือ ลิตร เมื่อเทยบกี ับหนวยปริมาตร หนวยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงที่นิยมใชกนมากั คือ 1 ลิตร = 1,000 มิลลิลิตร 1,000ลิตร = 1 กิโลลิตร 1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 10 มิลลลิิตร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลิตร 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ถัง = 20 ลิตร(ทะนานหลวง) 1 เกวียน = 100 ถัง 1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร 1 เกวียน = 2,000 ลิตร 1 แกลลอน = 4.546 ลิตร 1 ลูกบาศกนวิ้ = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร 1 ลูกบาศกนวิ้ = 0.0164 ลิตร 1 ลูกบาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกนวิ้ 1 ลูกบาศกฟุต = 28.32 ลิตร 1 บารเรล = 158.98 ลิตร
121 ตัวอยางท 1ี่อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่งกวาง 30 เซนติเมตรยาว 50 เซนติเมตรและสูง 40 เซนติเมตร 1. อางใบนี้จนุ้ํากี่ลิตร 2. ถามีน้ําบรรจุเต็มอางและน้ํา 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม จงหาน้ําหนักของน้ําในอาง ใบนี้ วิธีทํา1. ปริมาตรของอางน้ํา = ความกวาง×ความยาว×ความสูง แทนคา ปริมาตรของอางน้ํา = 30 × 50 × 40 = 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เมื่อเทยบกี ับหนวยปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลิตร 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร 1,000 60,000 = = 60 ลิตร 2.น้ํา 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม น้ํา 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร หนัก 60,000 กรัม 1,000 60,000 = = 60 กิโลกรัม ตอบ 60 กิโลกรัม ตัวอยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตรสูง 5 เมตรคิดเปนปริมาตรของน้ํา กี่ลิตร วิธีทํา ปริมาตร = πr 2 h = 1.5 1.5 5 7 22 × × × = 35.36 ลูกบาศกเมตร = 35.36 X 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร เนื่องจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลิตร ดังนั้น 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1,000 35,360,000 = 35,360 ลิตร
122 แบบฝกหดทั ี่ 6 1. สระแหงหนึ่งเปนรปสูี่เหลี่ยมผืนผากนสระกวาง 5 วาลกึ 3 เมตรยาว 15 เมตรถาใชเครื่องสูบน้ําออกจาก สระไดนาทีละ 9,000 ลิตรจะตองใชเวลาสูบน้ําเทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตรยาว 1.2 เมตรจุน้ํา 540 ลิตร ตองการปกระเบูื้อง ภายในอางดวยแผนกระเบื้องรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชกระเบ ื้องอยางนอยที่สุด เทาไร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3. น้ํายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลิตรใชอมปวนปากครั้งละ 10 มิลลิลิตรวันละ 2 ครั้งจะ ใชไดกี่วัน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตรจุน้ําไดกี่ลิตร ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนติเมตรยาว 1.50 เซนติเมตร สูง 1.20 เมตร บรรจุน้ําเต็มถงั ถาตองการตวงนําจากถ้ังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตรจะไดน้ําทั้งหมดกี่แกลอน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….
123 เร ื่องท ี่ 5 การแก โจทยปญหาเก ี่ยวกับปริมาตรและพ ื้นท ี่ผิว ตัวอยางลังกระดาษบรรจุกลองซีดีวดความยาวภายในได ักว าง 12 เซนติเมตร บรรจุยาว 14 เซนติเมตรและสูง 15 เซนติเมตรและบรรจุกลองซีดีเต็มลังพอดี ลังกระดาษนี้มีปริมาตรเทาไรและถาหยิบกลองซีดีออกมา 1 กลอง ซึ่งมีปริมาตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตรกลองซีดีจะหนาเทาไร วิธีทํา ลังกระดาษมีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x สูง = (12 x 14) x 15 = 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดี 1 กลอง มีปริมาตร = พื้นที่ฐาน x หนา 270 = (12 x 15) x หนา หนา = 12 15 270 × กลองใสซีดีมีความหนา = 1.5 เซนติเมตร ลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตร ตัวอยาง น้ําขนครั ึ่งวงกลมรัศมี 3 นิ้ว ตกนั้ําใสถังทรงกระบอกที่มีรัศมี 10 นิ้วและสูง 27 นิ้วกครี่ั้งน้ําจึงจะ เต็มถัง วิธีทํา ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = 2 1 ของปริมาตรของทรงกลม = 3 3 4 2 1 × πr = 3 3 3 3 4 2 1 × ×π × × × = 18 πลูกบาศกน ิ้ว ปริมาตรถังทรงกระบอก = r h 2 π = π 10 27 2 × × = 2,700 π ลูกบาศกน ิ้ว จะตองตักน้ํา = π π 18 2,700 ครั้ง = 150 ครั้ง ตอบ 150 ครั้ง
124 แบบฝกหดทั ี่ 7 1. ถังเก็บน้ํามันของปมแหงหนึ่งเปนรูปทรงกลม มีเสนผานศูนยกลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่ง ทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 2. หินออนทรงลูกบาศกมขนาดดี านละ 2.1 เมตรถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมขนาดเสี นผาน ศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศกจงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปรมาตรเทิ าใด .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 3. นําแทงตะกวทรงสั่ี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นิ้วยาว 11 นิ้ว หนา 5 นิ้วไปหลอมเปนลูกปนทรงกลมขนาด รัศมี 1 นิ้วจะหลอมไดกี่ลูก .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
125 เร ื่องท ี่ 6 การคาดคะเนเก ี่ยวกับปริมาตรและพ ื้นท ี่ผิว การคาดคะเนพนทื้ี่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณและ ความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจเพื่อใหใกล เคียงกับพนทื้ี่จริงมาก ที่สุด หนวยพื้นที่ทนี่ิยมใชคือ ตารางเซนติเมตร(ซม. 2 ) ตารางเมตร(ม. 2 ) และตารางวา(วา2 ) การคาดคะเนพนทื้ี่ของรูปหลายเหลี่ยม ตัวอยาง จงคะเนหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมตอไปนี้
126 วิธีคิด ในบางครั้งการหาพนทื้ี่รูปหลายเหลี่ยมตางๆ ที่ไมไดระบุหนวยความยาวเราอาจจะใชวิธการสรี าง หนวยตาราง 1 หนวยคลุมพนทื้ี่ดังกลาว โดยกําหนด แทนพื้นที่ 1 หนวย หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางเซนติเมตร หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางเมตร หรือ แทนพื้นที่ 1 ตารางวา จากรูปภาพนับรูป ได 22 รูป ซึ่งแทนพื้นที่ 22 ตารางหนวย ดังนั้นพื้นทรีู่ปหลายเหลี่ยม = 22 ตารางหนวย
127 บทท ี่ 7 ค ู อันดับและกราฟ สาระสําคัญ คูอันดับ เปนการจับคูระหวางสมาชกสองติ ัวจากกลุม เพื่อนําไปจัดทํากราฟบนระนาบพกิัด หา ปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุด ผลการเรียนรู ที่คาดหวัง 1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิัดฉากทกี่ําหนดใหได 3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปร ิมาณสองชุดทกี่ําหนดใหได ขอบขายเน ื้อหา เรื่องที่ 1 คูอันดับ เรื่องที่ 2 กราฟของคูอันดับ เรื่องที่ 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช
128 เร ื่องท 1 ี่คูอันดับ คูอันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชกสองติ ัวจากกลุม 2 กลุมที่มีความสัมพันธ ภายใตเงื่อนไขที่กําหนด เขียนแทนดวยส ัญลักษณ (a , b) อานวาคูอันดับเอบี เรียก a วา สมาชิกตวหนั า หรือสมาชิกตวทั ี่หนึ่ง และเรียก b วา สมาชิกตวหลั ัง หรือสมาชิกตัวที่สองดังแผนภาพ เขียนเปนคูอันดับไดดังนี้ (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48) หมายเหตุ คอู ันดับ (1,a) ≠ (a,1) ถากําหนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคูอันดับ 2 คใดๆ ู จะไดวา ( a , b ) = ( x , y ) ก็ตอเมื่อ a = x และ b = y เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12) ดังนั้น x = 5 และ y = 12 2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0) วิธีทํา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0 ดังนั้น x = 3 และ y = 2
129 แบบฝกหดทั ี่ 1 1. จงเขียนคูอันดับจากแผนภาพที่กําหนดใหตอไปนี้ 1) ..................................................................................................................................................................... 2) ..................................................................................................................................................................... 3) ..................................................................................................................................................................... 2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขที่กําหนดใหในแตละขอตอไปน ี้ 1). (x,y) = (4,3) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….
130 2). (x,y) = (y,2) ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 3). (x,0) = (6,y) ……………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………. 4). (x+1,y) = (5,4) ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………….
131 เร ื่องท2 ี่กราฟของคูอันดับ กราฟของคูอันดับเปนแผนภาพที่แสดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึ่งกลับสมาชิกของ อีกกลุมหนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที่ตําแหนงของจุดที่แทนศูนย (0) ซึ่งเราเรียกวาจุดกําเนิด ดังภาพ เสนจํานวนในแนวนอน หรือแกน X และเสนจํานวนในแนวตั้ง หรือแกน Y อยูบนระนาบเดียวกัน และแบงระนาบออกเปน 4 สวนเรียกวาจตุภาค (Quadrant) การอานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิัดฉากที่กําหนดให
132 ตําแหนงของจุด A คือ (1, 2) ตําแหนงของจุด B คือ (-2, 3) ตําแหนงของจุด C คือ (-3, 2) ตําแหนงของจุด D คือ (2, -4) เรียกจุดที่แทนตําแหนงคูอันดับวากราฟของคูอันดับ และเรยกตี ําแหนงของคูอันดับวา พิกดั ตัวอยางกําหนด A = (-4, 6), B = (3, -5), C = (2, 2), D = (-1, -2) จุด A, B, C, D อยูในจดภาคใดุ วิธีทํา จุด A = (-4,6) อยูในจตภาคทุี่ 2 จุด B = (3,-5) อยูในจตภาคทุี่ 4 จุด C = (2,2) อยูในจตภาคทุี่ 1 จุด D = (-1,-2) อยในจตูภาคทุี่ 3
133 แบบฝกหดทั ี่ 2 1.จงหาพิกัดของจุด A, B, C, D ในแตละขอ 1.1 .......................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................................... 1.2 .......................................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................................
134 2. จงเขียนกราฟของคูอันดับในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0) 2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)
135 เร ื่องท 3 ี่การนําคูอันดับและกราฟไปใช เราสามารถนําคูอันดับและกราฟไปใชในช ีวตประจ ิ ําวันไดซึ่งจะกลาวในตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และราคาน้ํามัน (บาท)ของวันที่ 5 เดือนมีนาคม ป 2552 ซึ่งมีราคา ลิตรละ 19 บาท วิธีทํา ตัวอยางที่2 จากกราฟในตวอยั างที่ 1จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) น้ํามัน 9 ลิตรราคาเทาใด (2) เงิน 209 บาทซื้อน้ํามันไดกี่ลิตร วิธีทํา ราคาน้ํามัน (บาท) ปริมาณน้ํามัน (ลิตร)
136 (1) จากตําแหนงแสดงปริมาณน้ํามนั 9 ลิตรลากเสนตรงใหขนานกับแกนตั้งไป ตัดกราฟและจากจดทุี่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนนอนไปตัดแกนที่แสดงราคาน้ํามนเป ั นเงิน 171 บาท ดังนั้น น้ํามนั 9 ลิตรเปนราคา 171 บาท (2)จากตําแหนงแสดงราคาน้ํามัน 209 ลิตรลากเสนตรงใหขนานก ับแกนนอนไปตดกราฟและจากจ ัุดที่ตดั กราฟลากเสนตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลิตร ดังนั้น เงิน 209 ลิตรจะซื้อน้ํามันได 11 ลิตร แบบฝกหดทั ี่ 3 กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธ
137 จงใชกราฟท ี่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้ 1.อนุวัฒนออกเดนทางกิ อนอนุพนธั กี่ชวโมง ั่ 4.อนุวัฒนออกเดนทางนานเทิ าไรจึงจะหยดพุัก ................................................................. ................................................................. 2.อนุพันธใชเวลาเดินทางกี่ชั่วโมงจึงทันอนวุัฒน 5. ตําแหนงที่อนุวัฒนหยดพุักหางจากตําแหนงที่ อนุพันธออกเดินทางกกี่ิโลเมตร ................................................................. ................................................................. 3. อนุพันธเดินทางทันอนุวฒนั เมื่อทั้งสอง เดินทางไดกี่กิโลเมตร .................................................................
138 บทท ี่ 8 ความสัมพันธ ระหว างร ู ปเรขาคณิ ตสองม ิ ต ิ และสามม ิ ต ิ สาระสําคัญ รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติมีความสัมพันธก ันเปนอยางมากเหมาะที่จะนําไปใชในการ ประดิษฐเปนรูปลกบาศกูและใชประโยชนในชีวิตประจําวนั ผลการเรียนรู ที่คาดหวัง 1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติทกี่ําหนดใหได 2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสามมิติที่ กําหนดใหได 3. วาดหรือประดษฐิ รูปเรขาคณตทิ ี่ประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมิติที่ไดจากการ มองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนได ขอบขายเน ื้อหา เรื่องที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกดจากการคลิ ี่รูปเรขาคณตสามมิ ิติ เรื่องที่ 2 ภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดานบนของรูปเรขาคณิตสามมิติ เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขนจากลึู้กบาศก
139 เร ื่องท ี่ 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติท ี่เกิดจาการคล ี่รูปเรขาคณิตสามมิติ รูปเรขาคณิตมีสวนเกี่ยวของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตั้งแตอดีตจนถึงปจจุบัน สิ่งแวดลอม ตางๆที่อยูรอบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนี้เราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรือ อธิบายสิ่งตางๆรอบตัวเชน ในการสํารวจพื้นที่ สรางผังเมือง เปนตน ภาพของรูปเรขาคณิต รูปเรขาคณิต เปนรูปที่ประกอบดวยจุด ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยางนอยหนึ่งอยาง ตัวอยางภาพเรขาคณิตสองมิติ ตัวอยางรปเรขาคณูิตสามมิติ จะเห็นวารูปเรขาคณตสามมิ ิติหรือทรงสามมิติมีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติและสอง มิติ
140 รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิตใดๆ ิ เปนรปเรขาคณูตสองมิ ิติที่สามารถนํามา ประกอบกนแลั วไดทรงสามมิติ พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวางความยาวและความสูง 1 หนวยเทากัน ซึ่งเราเรียกทรง สี่เหลี่ยมมุมฉากนี้วา “ลูกบาศก”
141 แบบฝกหดทั ี่ 1 1. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมิติที่มรีูปคลี่ดังตอไปนี้ 1. ……..………………………...…. 2. ….………………………………. 3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….
142 2. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณตสามมิ ิติในแตละขอตอไปนี้
143 เร ื่องท 2 ี่ภาพสองมิติท ี่ได จากการมองด านหน า ด านข าง หร ื อด านบนของ รูปเรขาคณิตสามมิติ โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณตสองมิ ิติในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิตินิยมเขียน 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวยภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดานบน ดังตัวอยาง ตัวอยางจงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนทเปี่ นดานบน ดานหนาและดานขางของทรงสาม มิติที่กําหนดใหตอไปนี้