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10.2 Exercices d’entraînement et d’approfondissement 285

cartésienne (x − 1 + (y − 1 + (z − 1 = 0, ou x yz = 3.
x0) x0 y0) y0 z0) z0 + +

x0 y0 z0

Le vecteur grad( f )(x0, y0, z0) est un vecteur normal au plan T0 ; il en résulte que la

projection orthogonal de O sur T0 est le point P = (X , Y , Z ) = lll
, , , avec
x0 y0 z0

111
l x02 + y02 + z02 = 3.

On en déduit que X Y Z = l3 et que X 2 + Y 2 + Z 2 = l2 111 = 3l, puis
(X 2 + Y 2 + Z 2)3 x02 + y02 + z02

que = 27.
XY Z

Réciproquement soient X , Y et Z trois réels non nuls tels que (X 2+Y 2+Z 2)3 = 27X Y Z .

X2 + Y2 + Z2 X2 + Y2 + Z2 X2 + Y2 + Z2
Posons x0 = 3X , y0 = et z0 = . On a alors
3Y 3Z
x0 y0z0 = 1. Le point M0 = (x0, y0, z0) appartient de S et le plan tangent à S en ce

point est le plan d’équation

3X 3Y 3Z
x X 2 + Y 2 + Z 2 + y X 2 + Y 2 + Z 2 + z X 2 + Y 2 + Z 2 = 3.

La projection orthogonale de O sur ce plan est précisément (X , Y , Z ).

Ainsi S est la surface d’équation (X 2 + Y 2 + Z 2)3 = 27.

XY Z

Exercice 10.5

Déterminer les droites tracées sur le paraboloïde hyperbolique H d’équation

z = x2 − y2 Montrer que H est une surface réglée.
a2 b2 .

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit Nous utilisons la méthode de l’exercice précédent : soit M0 = (x0, y0, z0) un point
de H et soit V = (a, b, g) un vecteur non nul. Pour que la droite passant par M0 et
dirigée par V soit contenue dans H il faut et il suffit que

∀l ∈ R, z0 + gl = (x0 + al)2 − (y0 + bl)2
a2 b2

c’est-à-dire que le polynôme

P(l) = a2 − b2 l2 + 2 x0a − 2 2 y0b − g l
a2 b2 a2 b2

soit le polynôme nul, ou encore que a2 − b2 = 0 et g = 2x0a − 2 y0b .
a2 b2 a2 b2

286 Chap. 10. Surfaces

La première relation s’écrit a = b avec ´ = ±1. Posons k = a Si ´ = +1, on
´, .
ab a
obtient a = ka, b = kb puis g = 2k x0 − y0 , tandis que si ´ = −1, on obtient
ab
a = ka, b = −kb et g = 2k x0 + y0 .
ab

On obtient donc les vecteurs de la forme

V = ka, kb, 2k x0 − y0 ou V = ka, −kb, 2k x0 + y0 (k ∈ R).
ab ab

Il existe donc exactement deux droites passant par M0 et contenues dans H : elles
sont respectivement dirigées par

V1 = a, b, 2x0 − 2y0 et V2 = a, −b, 2x0 + 2y0 .
ab ab

Il en résulte que H est la réunion d’une famille de droites : c’est donc une surface
réglée.

Exercice 10.6

Centrale PC 2007
Soit a > 0 et soit G l’intersection de la sphère S d’équation x2 + y2 + z2 = a2 et
du cylindre C d’équation x2 + y2 − ax = 0.

1) Déterminer un paramétrage de G.

2) Quel est la tangente à G en l’un de ses points ?

3) Soit P le point d’intersection de la tangente à G en un point M avec le plan
(x Oy). Déterminer le lieu de P lorsque M parcourt G.

1) L’intersection du cylindre C avec le plan x0y est la courbe d’équation

x−a 2 a2 .

+ y2 =
24

aa
C’est le cercle de centre A = ( , 0, 0) et de rayon .

22
Les points de C sont les points M = (x, y, z) tels que

x = a + cos(u)) = a cos2 u a u cos u ,
(1 , y = sin(u) = a sin
2 22 22

u ∈ [0, 2p].

Pour qu’un tel point M appartienne à G, il faut et il suffit que z2 = a2 − x2 − y2,

c’est-à-dire z2 = a2 1 − cos2 u = a2 sin2 u . On a donc z = ±a sin u .
2 22

10.2 Exercices d’entraînement et d’approfondissement 287

Comme − sin u = sin − u , la courbe G peut être décrite par le paramétrage :
22

⎧ x = a cos2 u
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪ 2
u u
y = a sin cos 2 u ∈ [−2p, 2p].
⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪ z = a sin 2
u

2

2) La tangente à G au point M de paramètre u est dirigée par le vecteur
(x (u), y (u), z (u)) = a − sin(u), cos(u), cos u .
22

C’est aussi l’intersection du plan tangent à la sphère S (le plan passant par M et per-
pendiculaire au rayon O M) et du plan tangent au cylindre C (le plan perpendiculaire
à la droite (Am) passant par la projection orthogonale de M sur le plan x Oy).

3) On déduit des calculs précédents un paramétrage de la tangente à G au point M de

paramètre u :

⎧ x = a cos2 u − l a sin(u)
⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ 2 2
u ua
y = a sin cos + l cos(u) l ∈ R.
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪ z = a sin 2 22
u
+ l a cos u
22 2

Pour u = ±p, le point P où la tangente coupe le plan (x0y) correspond à la valeur

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit l = −2 tan u et les coordonnées de P sont alors
2

⎧ u + a tan u sin u
⎪⎨⎪⎪⎪⎪ x = a cos2 2 2

⎪⎪⎩⎪⎪⎪ y = a sin u cos u − a tan u cos u
2 2 2

z=0

On obtient alors aisément

x = a + a sin2 u u − a sin u cos u ,
et y = a tan
2 2 22

u t2 t3 t2.
et, en posant t = tan , x = a + a t2, y = a
2 1 + 1 +

288 Chap. 10. Surfaces

Le lieu de P est donc la courbe du plan (x0y) définie par la paramétrisation

⎧ x t2
⎪⎪⎨ = a + a1 + t2

⎩⎪⎪ t3 t ∈ R.
y = a1 + t2

(Cette courbe est appelée une cissoïde droite.)

10.3 SURFACES USUELLES PC

Ce qu’il faut savoir

1) Cylindre

Une surface cylindrique S est définie par la donnée d’une courbe G et d’un
vecteur non nul −→K .
→−
La réunion des droites D dirigées par le vecteur K et qui rencontrent G est

appelée un cylindre. Les droites D sont appelées les génératrices du cylindre

et la courbe G une directrice.

L’intersection d’un cylindre avec un plan orthogonal aux génératrices est

appelée une section droite.

Paramétrage du cylindre S : Supposons que G soit définie par un paramé-
trage de classe C1 : u ∈ I → g(u). Un paramétrage de S est alors

(u, v) ∈ I × R → f (u, v) = g(u) + v−→K

Plan tangent : On a ici −→ = ∂f (u, v) = g (u) et −→ = →−
V1 ∂u V2 K.

Le plan tangent en un point régulier→−M0 = f (u0, v0) est le plan passant par M0
et dont la direction est Vect(g (u0), K ). En particulier, ce plan tangent contient

la génératrice qui passe par M0.

2) Cônes

Une surface conique S est définie par la donnée d’une courbe G et d’un point

S qui n’est pas situé sur G.

La réunion des droites passant par S et qui rencontrent G est appelée le cône
de sommet S et de directrice G. Ces droites sont appelées les génératrices du

cône, S est appelé le sommet du cône et G est une directrice.
Paramétrage du cône : Supposons G défini par un paramétrage de classe C1 :
u ∈ I → g(u) et soit S = (a, b, c).

Un point M appartient à S si et seulement si M est barycentre de S et d’un
point de G, c’est-à-dire si et seulement si il existe u ∈ I et v ∈ R tel que
M = (1 − v)S + vg(u). La surface S est donc défini par le paramétrage

(u, v) ∈ I × R → f (u, v) = (1 − v)S + vg(u).