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242 Chap. 8. Quadriques et coniques

Il y a deux situations à distinguer :
– la droite D et le plan P sont sécants

– la droite D est parallèle au plan P ou incluse dans le plan P.

Pour traiter cet exercice, le choix d’un repère bien adapté à chacune de ces situations

est essentiel.

• La droite D et le plan P sont sécants.
−→ −→ −→

On peut par exemple choisir un repère orthonormal de l’espace (O, ı , j , k ) tel
que P a pour équation cartésienne dans ce repère z = 0 et il existe a dans R∗ tel

que D a pour système d’équations cartésiennes y = az, x = 0. Le vecteur u de

coordonnées (0, a, 1) est un vecteur directeur de D et le point O appartient à cette

droite. Soit alors M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z).
−−→
On a d(M, P) = |z| et d(M, D) = u ∧ OM = (y − a√z)2 + (1 + a2)x2 .
1 + a2
u

On en déduit que les points équidistants de D et de P sont les points M dont les

coordonnées (x, y, z) vérifient la relation z2(1 + a2) = (y − az)2 + (1 + a2)x2 ou

encore (1 + a2)x2 + y2 − z2 − 2ayz = 0. ⎛ ⎞
1 00
+ a2 1 −a⎠. Cette qua-
On obtient donc une quadrique de matrice A = ⎝ 0

0 −a −1

drique est de rang 3. Comme sa partie linéaire est nulle son centre est O. On peut se

lancer dans le calcul du spectre de A, mais on peut aussi constater que la quadrique

contient son centre et montrer que ce n’est pas un singleton en faisant référence à

la définition géométrique de cette quadrique. (Il y a d’autres points de l’espace que
l’origine qui sont équidistants de P et D). Le lieu des points à déterminer est un

cône.

• La droite D est parallèle au plan P ou incluse dans le plan P.
→− →− −→

On peut alors, par exemple, choisir un repère orthonormal de l’espace (O, ı , j , k )
tel qu’il existe a dans R de sorte que P a pour équation cartésienne z = −a
et D admet pour système d’équations cartésiennes z = a, y = 0. Soit alors
M un point de l’espace de coordonnées (x, y, z). On a d(M, P) = |z + a| et

d(M, D) = y2 + (z − a)2. On en déduit cette fois que les points équidistants

de D et de P sont les points M dont les coordonnées (x, y, z) vérifient la relation
(z + a)2 = y2 + (z − a)2 ou encore y2 − 4az = 0.

On a alors les deux cas suivants :

– si a = 0, ce qui correspond à la situation où D est inclus dans P, alors l’ensemble
recherché est le plan d’équation y = 0 ;

– si a = 0 alors l’ensemble recherché est un cylindre parabolique.

Remarque
Le dernier résultat n’est pas très surprenant. L’intersection d’un plan H orthogonal
à D avec le lieu cherché, est l’ensemble des points équidistants d’une droite et
d’un plan, ce qui donne une parabole dans H . De plus, on constate que le lieu est
invariant par les translations de vecteur colinéaire à un vecteur directeur de D.

Étude affine 9
et métrique des courbes

Dans ce chapitre on complète l’étude des courbes paramétrées et polaires faite en
première année. Nous ne mentionnerons dans les rappels de cours que les notions ne
figurant pas dans notre livre « Tous les exercices d’algèbre et de géométrie MPSI-
PCSI-PTSI ».

Précisons pour commencer les notations qui seront utilisées dans ce chapitre.

On se place dans R2 muni d’un repère orthonormal direct (O, ı, j). Une application
f : t → f (t) de classe Ck (k 1) d’un intervalle I de R dans R2 définit un arc
paramétré orienté de classe Ck. Nous noterons C = f (I ) la courbe géométrique
image de I par f . L’orientation correspond au sens de parcours de la courbe quand t
décrit I . La variable t est appelé paramètre de l’arc de courbe.
Lorsque f (t) = (x(t), y(t)), nous noterons également M(t) le point de la courbe de
paramètre t.
Pour tout nombre réel u, la base orthonormée directe (u(u), v(u)) est telle que l’angle
(ı, u(u)) soit de mesure u.

9.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
9.1.1 Étude locale

Ce qu’il faut savoir

On étudie le comportement de la courbe lorsque t est au voisinage de a ∈ I . On

suppose que la fonction f est indéfiniment dérivable au voisinage de a. Pour tout
−→
k ∈ N∗, on note Vk = x (k)(a)ı + y(k)(a)j, et l’on suppose qu’il existe deux entiers

p, q tels que −→ →−0 ,
Vp
− le nombre p soit le plus petit entier au moins égal à 1, tel que =

− le nombre q soit le plus petit entier, au moins égal à p + 1 tel que les vecteurs
−→ −→
Vp et Vq ne soient pas colinéaires.
−→ −→
On a ainsi une base (Vp, Vq) du plan. Alors au voisinage de a, le comportement

−−−−−−→ (t − a)p −→ (t − a)q −→
du vecteur M(a)M(t) est le même que celui du vecteur p! Vp + q! Vq.