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5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 113

Éléments propres d’une matrice

Soient n ∈ N∗ et M ∈ Mn(K).

• On dit que l ∈ K est valeur propre de M lorsqu’il existe X ∈ Mn,1(R) non nul
tel que M X = lX . Ce vecteur X est appelé vecteur propre de M associé à la
valeur propre l.

• Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, B une base de E, u un
endomorphisme de E et M = Mat(u, B). Les valeurs propres de u et de M
sont identiques, et x est vecteur propre de u pour la valeur propre l si et seule-
ment si X = Mat(x, B) est vecteur propre de M pour la valeur propre l. On
peut donc appliquer à la matrice M les définitions et les propriétés concernant
l’endomorphisme u.

• Si M ∈ Mn(R), alors on peut la considérer comme une matrice de Mn(C). Un
complexe l est une valeur propre complexe de M si et seulement si il existe
X ∈ Mn,1(C) tel que M X = lX . On distingue donc le spectre réel, SpR(M) et
le spectre complexe, SpC(M) qui le contient.

• Si M ∈ Mn(R) et si l est une valeur propre complexe de M, alors l est égale-
ment une valeur propre de M, et El(M) = El(M) = {X | X ∈ El(M)}.

Exercice 5.1

Déterminer les éléments propres de l’endomorphisme

c: C∞(R, R) −→ C∞(R, R) .
f −→ f

Soit l ∈ R. On cherche les fonctions non nulles f ∈ C∞(R, R) telles que f = lf.
√√
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
Si l > 0, El(c) = Vect t → ch lt , t → sh lt .
√√

Si l < 0, El(c) = Vect t → cos −lt , t → sin −lt .

Si l = 0, il s’agit de Vect (t → t, t → 1) = t → at + b, (a, b) ∈ R2 .
Ainsi, Sp(c) = R.

Exercice 5.2

Soit F l’endomorphisme qui a pour matrice dans la base canonique de C4,

A= 02 −I2 .
I2 02

En appliquant la définition, montrer que i et −i sont des valeurs propres de F
et déterminer les vecteurs propres associés. En déduire tous les sous-espaces
propres de A.

114 Chap. 5. Réduction des endomorphismes

Cherchons V = t(x, y, z, t) tel que AV = i V . Cela s’écrit
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎧
0 0 −1 0 x x ⎨⎪⎪−−zt = ix
⎜⎝⎜10 0 0 −01⎠⎟⎟ ⎝⎜⎜ yz ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝yz ⎠⎟⎟ =
0 0 = i ⇐⇒ ⎪⎩⎪ x = iy ⇐⇒ x = iz .
0 1 0 0 t t y = iz y = it

it ⎛⎞

iz
Ainsi V ∈ Ker( A − i I4) si et seulement si il existe (z, t) ∈ C2 tel que V = ⎜⎜⎝izt ⎟⎟⎠.

⎛⎞ ⎛⎞ t

i0
Finalement Ker( A −i I4) = Vect(⎜⎝⎜10⎟⎠⎟ , ⎜⎝⎜0i ⎠⎟⎟). En résolvant le système AV = −i V ,

01 ⎛ ⎞⎛ ⎞

Vect(⎜⎝⎜−i 0
⎠⎟⎟ , ⎜⎜⎝−0i⎟⎟⎠).
on vérifie de la même façon que Ker( A + i I4) = 0 Comme la
1

01

somme des dimensions des sous-espaces propres est égale à la dimension de l’espace
vectoriel C4, il n’y pas d’autre sous-espace propre.

Remarques

• On aurait pu remarquer que A ∈ M4(R) et utiliser que AV = i V ⇔ AV = −i V .

• On aurait pu également effectuer un résolution à l’aide d’une écriture par blocs

V= X où X et Y sont dans M2,1(C).
Y

Exercice 5.3

CCP PSI 2007, Centrale PSI 2007
Soit F l’endomorphisme de R[X ] défini par F(P) = (2X + 1)P − (X 2 − 1)P .
Déterminer les éléments propres de F.
Indication de la rédaction : on remarquera que, pour tout l ∈ R et tout x = ±1,

2x + 1 − l 1 + l 3 − l
on a x2 − 1 = 2(x + 1) + 2(x − 1) .

Une condition nécessaire et suffisante pour que l ∈ R soit valeur propre de f est
qu’il existe un polynôme P distinct du polynôme nul tel que (R) : F(P) = lP.
La relation (R) s’écrit (X 2 − 1)P − (2X + 1 − l)P = 0. Le polynôme P est de la
forme P = an X n + · · · + a0, où n est le degré de P, et où an est un réel non nul. Le
coefficient de X n+1 dans le polynôme Q = (X 2 − 1)P − (2X + 1 − l)P est alors
égal à (n − 2)an, et puisque Q est le polynôme nul, on a nécessairement n = 2 : le
polynôme P est de degré 2.

5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 115

Pour qu’un polynôme P vérifie la relation (R), il faut et il suffit que la fonction
polynomiale associée vérifie sur R l’équation différentielle linéaire

(E) (x2 − 1)y − (2x + 1 − l)y = 0 .

Lorsque y est une fonction polynomiale, l’équation (E) est vérifiée sur R dés

qu’elle est vérifiée sur ] 1, +∞ [ . Résolvons donc cette équation sur ] 1, +∞ [ .

Elle s’écrit y = 2x + 1 − l f la fonction définie sur ] 1, +∞ [
x2 − 1 y . Notons
2x + 1 − l
par f (x) = x2 − 1 . Elle se décompose en éléments simples sous la
1+l 3−l
forme f (x) = 2(x + 1) + 2(x − 1) et, sur ] 1, +∞ [ , admet comme primitive

F :x → 1+l 3−l ln(x − 1). Les solutions de l’équation différentielle
ln(x + 1) +
22
1+l 3−l
sont donc y = CeF , où C est une constante, ce qui donne y = C(x + 1) 2 (x − 1) 2 .

Il reste à chercher pour quelles valeurs de l cette solution est une fonction polyno-

miale de degré 2. Il y a trois possibilités :

1+l 3−l
• = 2 et = 0, c’est-à-dire l = 3. Ainsi l = 3 est une valeur propre de
22
F associé au sous-espace propre E3 = Vect((X + 1)2).

1+l 3−l
• = 1 et = 1, c’est-à-dire l = 1. Ainsi l = 1 est une valeur propre de
22
F associé au sous-espace propre E1 = Vect(X − 1)(X + 1).

• 1 + l = 0 et 3 − l = 2, c’est-à-dire l = −1. Ainsi l = −1 est une valeur propre
2 2
de F associé au sous-espace propre E−1 = Vect((X − 1)2).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit Exercice 5.4

CCP PC 2006
Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) tel que f 2 = 0 et
f 3 = 0.
1) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que (x, f (x), f 2(x)) soit une base de E.
2) Montrer que la seule droite de E stable par f est R f 2(x).
3) Montrer que le seul plan de E stable par f est R f (x) + R f 2(x).

1) Puisque f 2 = 0, il existe un x ∈ E tel que f 2(x) = 0. On vérifie aisément que la
famille (x, f (x), f 2(x)) est libre (voir exercice 1.18, page 17), donc il s’agit d’une
base de E.

2) L’endomorphisme f est nilpotent donc son spectre est réduit à {0}. Soit D une
droite stable par f et soit x un vecteur non nul de E tel que D = Rx. Il existe

116 Chap. 5. Réduction des endomorphismes

l ∈ R tel que f (x) = lx et x est donc un vecteur propre associé à la valeur propre
l. On a nécessairement l = 0 et donc x ∈ Ker f . Ainsi, D ⊂ Ker f .

Déterminons le noyau de f . On sait que dim Ker f = 3 −⎛rg f . Dans⎞la
000

base B = (x, f (x), f 2(x)), la matrice représentant f s’écrit ⎝ 1 0 0 ⎠.
010

Cette matrice est de rang 2 donc f est également de rang 2 et Ker f est une
droite. On a donc D = Ker f . En regardant la matrice, on se rend compte que
Ker f = R f 2(x).
Réciproquement, Ker f = R f 2(x) est bien une droite stable et c’est la seule.

3) Soit P un plan stable par f . L’endomorphisme f|P induit par f sur P est encore
un endomorphisme nilpotent. Comme dim P =2, on sait que l’indice de nilpo-
tence de f|P est inférieur ou égal à 2. On a donc f|2P = 0 et donc P ⊂ Ker f 2.
Déterminons maintenant ⎛le noyau de⎞f 2. On sait que dim Ker f 2 = 3 − rg f 2
000
et on a Mat( f 2, B) = ⎝ 0 0 0 ⎠. On en déduit que rg f 2 = 1 et que
100

Ker f 2 est un plan. On a donc P = Ker f 2 et on voit sur la matrice que
Ker f 2 = R f (x) ⊕ R f 2(x).
Réciproquement, Ker f 2 = R f (x) ⊕ R f 2(x) est bien un plan stable par f et c’est
le seul.

5.1.2 Polynôme caractéristique

Ce qu’il faut savoir

Soit M ∈ Mn(K) et u un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension
finie n.

• La fonction xM : K −→ K est polynomiale. Son polynôme
l −→ det (M − lIn)

associé, que l’on notera également xM , est appelé le polynôme caractéristique

de M. Il est de degré n et s’écrit

xM = (−1)n X n + (−1)n−1(tr M)X n−1 + · · · + det M.

• Les racines dans K du polynôme caractéristique xM sont exactement les valeurs
propres de M.

Remarque

une matrice à coefficients complexes admet au moins une valeur propre dans C
et une matrice à coefficients réels d’ordre impair admet au moins une valeur
propre dans R.

• Lorsque le polynôme xM est scindé dans K[X ], avec l1, . . . , ln pour racines,

nn

on a det M = lk et tr M = lk.

k=1 k=1

5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 117

• On appelle ordre de multiplicité d’une valeur propre l de M, et on note m(l),
l’ordre de multiplicité de la racine l du polynôme xM .

Remarque pratique

Si l est une valeur propre complexe d’une matrice réelle, alors l est aussi valeur
propre de même ordre de multiplicité que l.

• Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique. La réciproque

est fausse.

• La fonction xu : K −→ K est polynomiale. Son polynôme
l −→ det (u − lIdE )

associé, que l’on notera également xu, est appelé le polynôme caractéristique

de u.

• Si B est une base de E et M = Mat(u, B) alors xM = xu. Ceci permet d’ap-
pliquer les définitions et propriétés précédentes à l’endomorphisme u.

• Propriétés

◦ Si F est un sous-espace stable de u, alors xuF divise xu.
◦ Pour l ∈ Sp(u), on a 1 dim El(u) m(l).

Exercice 5.5

Quel est le spectre (réel) de la matrice réelle R = cos u − sin u ?
sin u cos u

Donner son polynôme caractéristique puis ses valeurs propres complexes.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit La matrice R est la matrice d’une rotation d’angle u dans le plan vectoriel R2 muni
de sa structure canonique d’espace euclidien.

En général, le spectre réel de R est l’ensemble vide car si la matrice possède une
valeur propre réelle, alors il existe une droite stable par la rotation d’angle u, ce qui
n’est le cas que si u = p (2p) (et alors SpR(R) = {−1}) ou si u = 0 (2p) (et alors
SpR(R) = {1}).
Calculons le polynôme caractéristique de R.

xR(X) = cos u − X − sin u = (cos u − X )2 + sin2 u
sin u cos u − X

= (cos u − X + i sin u) (cos u − X − i sin u) = X − eiu X − e−iu .

Les valeurs propres complexes de R sont eiu et e−iu (elles sont bien sûr conjuguées
car xR est un polynôme à coefficients réels).

Pour u ∈/ pZ, on retrouve que la matrice R n’a pas de valeur propre réelle. En
revanche, elle a deux valeurs propres complexes simples et conjuguées.