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156 Chap. 5. Réduction des endomorphismes

est de la forme U = (l1 Im1, . . . , lp Imk ). Les matrices U et V commutent, et il en
résulte que u et v commutent.
Enfin l’application de l’espace vectoriel C(u) dans l’espace vectoriel Mn(K), qui
à v ∈ C(u) associe sa matrice dans la base B, est un isomorphisme de C(u) sur
le sous-espace vectoriel F de Mn(K) formé des matrices de la forme (1). Il en
résulte que :

p

dim (C (u)) = dim(F ) = dim Mm1(K) × · · · × Mm p (K) = mk2.

k=1

Exercice 5.49

Mines-Ponts PC 2007
Déterminer toutes les matrices M ∈ Mn(R) telles que tr(M) = n et M5 = M2.

Le polynôme P = X 5 − X 2 est un polynôme annulateur de M, donc SpC( A)
est inclus dans l’ensemble des zéros de P. Or on peut factoriser P sous la forme
P(X ) = X 2(X 3 − 1) = X 2(X − 1)(X − j )(X − j2), donc SpC(M) ⊂ {0, 1, j , j2}.
Pour tout nombre complexe l soit m(l) l’ordre de multiplicité (éventuelle-
ment nul) de l comme racine du polynôme caractéristique de M. On a alors
tr(M) = 0 × m(0) + 1 × m(1) + j × m( j) + j2 × m( j2). Comme le polynôme
caractéristique de M est à coefficients réels, les racines j et j2 ont le même ordre de
multiplicité. On a donc tr(M) = 0 × m(0) + 1 × m(1) + ( j + j2) × m( j) = n. Alors,
puisque j + j2 = −1, on obtient la relation (1) m(1)−m( j) = n. D’autre part, le poly-
nôme caractéristique de M est de degré n donc on a aussi (2) m(0)+m(1)+2m( j) = 0,
et (2) − (1) donne m(0) + 3m( j) = 0. Comme m(0) et m( j) sont des entiers naturels,
on en déduit que m(0) = m( j) = 0. Ainsi 0, j et j 2 ne sont pas valeurs propres
de M, et donc les matrices M, M − j In et M − j2 In sont inversibles. Comme
M5 − M2 = (M − In)M2(M − j In)(M − j 2 In) = 0, on a alors M − In = 0, donc
M = In. Réciproquement la matrice M = In convient de manière évidente.

Exercice 5.50

ENSAM PSI 2006
Donner une condition nécessaire sur n ∈ N∗ pour qu’il existe une matrice
M ∈ Mn(R) telle que M2 + M + In = 0. Cette condition est-elle suffisante ?

Le polynôme X 2 + X + 1 est scindé et à racines simples dans C[X ] donc M est
diagonalisable dans Mn(C). Les valeurs propres sont j et j avec le même ordre de
multiplicité (le polynôme caractéristique est réel) donc n est pair.

Réciproquement, construisons une matrice solution lorsque n = 2, puis diagonale
par blocs dans le cas général.