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7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 199

Exercice 7.8

PSI Soit E un espace euclidien et u ∈ L(E)
1) Montrer que v = u∗ ◦ u est autoadjoint.

2) Comparer Ker u et Ker v.
3) Quel est le signe de (u∗ ◦ u(x)|x) pour tout x ∈ E ?
4) À quelle condition l’application w : (x, y) → ((u∗ ◦ u)(x) | y) est-elle un

produit scalaire sur E ?

1) On a v∗ = (u∗ ◦ u)∗ = u∗ ◦ u∗∗ = u∗ ◦ u = v. L’endomorphisme v est donc
autoadjoint.

2) Soit x ∈ E. Si u(x) = 0, alors on a immédiatement v(x) = u∗(u(x)) = u∗(0) = 0.
Ainsi Ker u ⊂ Ker v. Soit x ∈ Ker v, c’est-à-dire tel que (u∗ ◦ u)(x) = 0. On
considère le produit scalaire ((u∗ ◦ u)(x)|x) = 0 = (u(x)|u(x)) = u(x) 2. On a
donc u(x) = 0 et x ∈ Ker u. Finalement Ker u = Ker v.

3) D’après la question précédente, (u∗ ◦ u(x)|x) = u(x) 2 est positif ou nul pour
tout x ∈ E.

4) L’application est linéaire à droite par bilinéarité du produit scalaire. Elle est
linéaire à gauche par bilinéarité du produit scalaire et linéarité de v. Soit
(x, y) ∈ E2. On a w(x, y) = (u∗ ◦ u(x)|y) = (u(x)|u(y)) = (u(y)|u(x)) = w(y, x).
L’application w est donc bilinéaire et symétrique. Pour tout x ∈ E, on a
w(x, x) 0 d’après la question précédente. De plus, w(x, x) = 0 lorsque
u(x) = 0. L’application w est donc un produit scalaire si et seulement si u est
injective (et donc bijective).

Exercice 7.9

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit Mines-Ponts PC 2006

1

Soit E = C2([0, 1], R) muni du produit scalaire ( f |g) = f (t)g(t) dt.

0

Soit u ∈ E tel que u(0) = u(1) = 0. On définit l’application T sur E par

T ( f ) = u f + u f . Montrer que T est un endomorphisme symétrique de E.

Montrons que pour tout ( f , g) ∈ E, on a (T ( f )|g) = ( f |T (g)). En effet :

11

(T ( f )|g) = T ( f )(t)g(t) dt = (u (t) f (t) + u(t) f (t))g(t) dt

00

11
1
= (u f ) (t)g(t) dt = u(t) f (t )g(t ) 0 − u(t) f (t)g (t) dt

00

1

= − u(t) f (t)g (t) dt.

0

200 Chap. 7. Espaces euclidiens

Sous cette écriture, symétrique par rapport aux fonctions f et g, il est immédiat que

(T ( f )|g) = (T (g)| f ) = ( f |T (g)).

L’endomorphisme T est donc symétrique.

Exercice 7.10

D’après CCP PSI 2006
Soit Jn la matrice de Mn(R) dont tous les coefficients valent 1.
1) Montrer l’existence d’une matrice orthogonale Pn telle Jn = Pn Dn Pn−1 où

Dn est la matrice diagonale diag(0, . . . , 0, n).
2) Trouver P2 et P3. Déterminer Pn.

1) La matrice Jn est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable et il existe une
matrice orthogonale Pn telle que Pn−1 Jn Pn est diagonale. La matrice Jn est de rang
1 donc 0 est valeur propre et l’espace propre associé est l’hyperplan H d’équation
x1 + · · · + xn = 0. On peut trouver la dernière valeur propre de deux façons. En
utilisant tr(Jn) = n, somme des valeurs propres comptées avec leur multiplicité, la
dernière valeur propre est n. En utilisant le fait que les sous-espaces propres sont
orthogonaux, le second espace propre est donc D = Vect(e) où e = (1, . . . , 1).
Puisque Jne = n e la valeur propre manquante est n. En prenant pour Pn la matrice
de passage de la base canonique vers la base formée d’une base orthonormale de
H et d’une base orthonormale de D, la matrice Dn est celle de l’énoncé.

2) En utilisant l’exercice 6.16, page 180, on détermine Pn. Pour k ∈ [[1, n − 1]], la
colonne k est le vecteur
1 uk où uk = t(1, . . . , 1, −k, 0, . . . , 0).
k(k + 1)

k n−k−1

La dernière colonne est constituée du vecteur √1 t(1, . . . , 1).
n

Exercice 7.11

CCP PSI 2006
Soit A ∈ Sn(R) vérifiant A3 + A2 + A = 0. Montrer que A = 0.

La matrice A est symétrique réelle. Elle est donc diagonalisable et ses valeurs propres
sont réelles. Le polynôme P = X 3 + X 2 + X est un polynôme annulateur de A, donc
les valeurs propres de A sont des racines de ce polynôme. Or P = X (X 2 + X + 1)
n’admet que 0 comme racine réelle. La matrice A est diagonalisable et admet 0 pour
unique valeur propre. Elle est semblable à la matrice nulle, elle est donc nulle.

7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 201

Exercice 7.12

CCP PSI 2007

1

Soit E = Rn[X ] muni du produit scalaire (P | Q) = P(t)Q(t) dt.

−1

1) Montrer que l’endomorphisme w défini sur E par w(P) = (1− X 2)P −2X P
est symétrique.

2) L’endomorphisme w est-il diagonalisable ? Quelles sont ses valeurs propres ?

1) On se retrouve dans une situation semblable à celle de l’exercice 7.9. On a
w(P) = ((1 − X 2)P ) et une intégration par parties conduit à :

1 11
−1
(w(P)|Q) = (1 − t2)P (t ) Q (t ) +2 t P (t)Q (t) dt = 2 t P (t)Q (t) dt.

−1 −1

Il est alors immédiat que w est un endomorphisme symétrique.

2) L’endomorphisme w est un endomorphisme symétrique d’un espace vectoriel réel,
il est donc diagonalisable. On a w(1) = 0, w(X ) = −2X , et si k ∈ [[2, n]], alors

w(X k) = (1 − X 2)(k(k − 1)X k−2) − 2k X k = −(k2 + k)X k + k(k − 1)X k−2.

La matrice de w dans la base canonique est triangulaire supérieure. On trouve les
valeurs propres sur la diagonale, et donc Sp(w) = {−k(k + 1) | k ∈ [[0, n]]}.

Remarque
L’endomorphisme w est symétrique et sa matrice dans la base canonique n’est pas
symétrique parce que la base canonique n’est pas orthonormale pour le produit
scalaire utilisé.

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 7.1.4 Compléments : endomorphismes et matrices symétriques
positifs

Les définitions et résultats qui suivent ne sont pas explicitement au programme.
Cependant, beaucoup d’exercices de concours les utilisent. Il est donc recommandé
de les connaître.

Ce qu’il faut savoir

Soient u un endomorphisme symétrique de L(E) et A une matrice symétrique de
Mn (R).
• On dit que u est symétrique positif lorsque, pour tout x ∈ E, on a (u(x)|x) 0.

On dit que u est symétrique défini positif lorsque, pour tout x ∈ E \ {0}, on a
(u(x)|x) > 0.

202 Chap. 7. Espaces euclidiens

• On dit que A est symétrique positive lorsque, pour tout X ∈ Mn,1(R), on
a tX AX 0. On dit que A est symétrique définie positive lorsque, pour tout
X ∈ Mn,1(R) non nul, on a tX A X > 0. On note Sn+(R) l’ensemble des matrices
symétriques positives et Sn++(R) l’ensemble des matrices symétriques définies
positives.

Exercice 7.13

Soit u un endomorphisme symétrique de E.

1) Montrer que u est symétrique positif si et seulement si ses valeurs propres
sont positives.

2) Montrer que u est symétrique défini positif si et seulement si ses valeurs
propres sont strictement positives.

1) Soient u un endomorphisme symétrique positif, l ∈ Sp u et x un vecteur propre
associé. On a alors (u(x)|x) = (lx|x) = l x 2 et puisque (u(x)|x) 0 et
que x 2 > 0, on en déduit que l 0. Supposons maintenant que toutes les
valeurs propres sont positives. On les note l1, . . . , ln et on considère (e1, . . . , en)

n

une base orthonormale de vecteurs propres associés. Si x = xi ei , alors

i =1
nn

u(x) = li xi ei et (u(x)|x) = li xi2. Cette somme de termes positifs est

i=1 i=1

donc positive et u est symétrique positif.

2) De même, lorsque u est symétrique défini positif, si l ∈ Sp u, on obtient l > 0. Si
les valeurs propres sont strictement positives, le calcul précédent (avec les mêmes

n

notations) donne de nouveau, (u(x)|x) = li xi2. Cette quantité est positive et

i =1

ne peut être nulle que si chacun des xi est nul (car li > 0).

Exercice 7.14

1) Montrer l’équivalence entre
(i ) la matrice A est symétrique, réelle et positive ;
(ii ) il existe P ∈ Mn(R) telle que A = tP P.

2) Montrer l’équivalence entre
(i) la matrice A est symétrique, réelle et définie positive ;
(ii ) il existe P ∈ GLn(R) telle que A = tP P.

7.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 203

1) Soit A symétrique, réelle et positive. Il e⎛xiste Q orthogo⎞nale telle que A = tQ D Q
l1 (0)

où D est une matrice diagonale D = ⎝⎜ . . . ⎠⎟ avec li 0 pour tout

(0) l⎛n l1 ⎞
(0)
i ∈ [[1, n]] (voir exercice précédent). Soit C = ⎝⎜ ...
⎠⎟. On a

(0) ln

D = C2 = tCC et A = tQtCC Q = tP P avec P = C Q. Réciproquement,
si A s’écrit tP P pour une certaine matrice M ∈ Mn(R), alors A ∈ Mn(R) et
tA = tP P = A. La matrice A est donc symétrique réelle. De plus, si X est un vec-
teur colonne de Mn,1(R), on a tX A X = t(P X )P X = P X 2 (la norme désigne
la norme euclidienne usuelle sur Rn ou Mn,1(R)). Pour tout X ∈ Mn,1(R),
tX AX 0 et A est symétrique réelle positive.

2) On peut reprendre le même raisonnement en tenant compte du caractère défini.

La matrice C est alors inversible et P = C Q également. Dans la réciproque,
la quantité tX AX = P X 2 est positive et ne peut être nulle que si P X = 0,

c’est-à-dire seulement pour X = 0 (car P est inversible).

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit Exercice 7.15

CCP MP 2007
Soit A ∈ Mn(R), symétrique définie positive. Montrer qu’il existe n vecteurs
v1, . . . , vn de Rn tels que A = ((vi | v j ))1 i, j n.

Soit (v1, . . . , vn) une famille de vecteurs de Rn et C la matrice de Mn(R) dont les
colonnes sont les vecteurs v1, . . . , vn. La matrice tCC est la matrice dont le terme
en position (i , j) est le réel (vi |v j ). L’existence de la famille (v1, . . . , vn) telle que
A = ((vi | v j ))1 i, j n équivaut à l’existence d’une matrice C ∈ Mn(R) telle que
A = tCC. Cette matrice existe d’après l’exercice précédent.

Exercice 7.16

Racine carrée
Soit v un endomorphisme symétrique, défini positif d’un espace euclidien E.
1) Montrer qu’il existe un endomorphisme symétrique, défini positif w de E tel

que w2 = v.

Ã2) Montrer que cet endomorphisme w est unique.

1) Soient l1, . . . , ln les valeurs propres de v (toutes positives ou nulles) associées à
la base orthonormale de vecteurs propres B = (e1, . . . , en). Pour tout i ∈ [[1, n]],

204 Chap. 7. Espaces euclidiens

on a v(ei ) = li ei . Définissons l’endomorphisme w par w(ei ) = li ei pour tout
i ∈ [[1, n]]. La matrice de w dans la base orthonormale B est diagonale donc
symétrique. Ainsi w est un endomorphisme symétrique de E. De plus, les valeurs
propres de w sont positives ou nulles donc w est symétrique réel positif. Enfin
pour tout i ∈ [[1, n]], on a w2(ei ) = ( li )2ei = li ei = v(ei ). Les endomor-
phismes w2 et v coïncident sur une base de E, ils sont donc égaux. On a prouvé
l’existence d’un endomorphisme symétrique, défini positif w de E tel que w2 = v.
2) Soit w symétrique défini positif tel que w2 = u. Notons Sp u = {l1, . . . , lp}
et E1, . . . , E p les espaces propres de u associés respectivement à l1, . . . , lp.
Puisque w2 = u, les endomorphismes u et w commutent (w ◦ u = w3 = u ◦ w).
Les sous-espaces propres Ei sont donc stables par w. Soit i ∈ [[1, p]]. Considérons
l’endomorphisme induit wi = wEi . Cet endomorphisme est un endomorphisme
symétrique défini positif de Ei (on a (wi (x)|y) = (x|wi (y)) pour (x, y) ∈ Ei2
et (wi (x)|x) > 0 pour tout x ∈ Ei \ {0} car ces relations sont vraies sur E).
L’endomorphisme wi est donc diagonalisable sur Ei à valeurs propres strictement
positives. De plus wi2 = li IdEi . Si l est une valeur propre de wi et x un vecteur
propre associé, alors wi (x) = lx et wi2(x) = l2x = li x. Cela donne l2 = li
avec l > 0, et par conséquent l = li . La seule valeur propre de wi est li
donc wi = li IdEi . L’endomorphisme w est entièrement déterminé sur chaque
sous-espace Ei et les sous-espaces E1, . . . , E p sont supplémentaires. L’endomor-
phisme w est donc déterminé de façon unique.

7.2 EXERCICES D’ENTRAÎNEMENT

Exercice 7.17

CCP PSI 2006 PSI
Soient E un espace euclidien et u ∈ L(E) tel que u∗ ◦ u = u ◦ u∗.
1) Montrer que pour tout x ∈ E, u(x) = u∗(x) . En déduire que

Ker u = Ker u∗.
2) Montrer que u et u∗ ont les mêmes valeurs propres, avec les mêmes espaces

propres.

3) Soient l et m deux valeurs propres distinctes de u. Montrer que les espaces
propres associés sont orthogonaux.

1) Pour tout x ∈ E, on a u(x) 2 = (u(x)|u(x)) = (u∗ ◦ u(x)|x) = (u ◦ u∗(x)|x)
donc u(x) 2 = (u∗(x)|u∗(x)) = u∗(x) 2. Cela donne u(x) = 0 si et seulement
si u∗(x) = 0 et donc l’égalité des deux noyaux.

2) Si u et u∗ commutent, il en est de même pour u−l IdE et (u−l IdE )∗ = u∗−l IdE ,
pour l ∈ R. Ainsi Ker(u − l IdE ) = Ker(u∗ − l IdE ). Les espaces propres sont
donc égaux, et par conséquent les valeurs propres sont égales.

7.2 Exercices d’entraînement 205

3) Soient x et y des vecteurs propres de u associés respectivement aux valeurs
propres l et m. D’après la question précédente, ce sont des vecteurs propres asso-
ciés aux mêmes valeurs propres pour u∗. On a alors (u(x)|y) = (x|u∗(y)) c’est-à-
dire l(x|y) = m(x|y). Puisque l = m, on a (x|y) = 0. Les espaces propres sont
donc orthogonaux.

Exercice 7.18

CCP PC 2006

Soit f l’endomorphisme de R3 défini par

√ √√ √
−3x + y + z 6 x − 3y + z 6 x 6 + y 6 + 2z
f (x, y, z) = ,, .
44 4

1) Déterminer Ker( f − IdE ) et det( f ).

2) Prouver que f est un endomorphisme orthogonal et donner ses caractéris-
tiques géométriques. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

On note A la matrice de f ⎛dans la base √can⎞onique (orthonormale pour le produit
−3 1 √66⎠.
scalaire usuel). On a A = 1 ⎝√1 √−3
4
6 62

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1) Le vecteur u = (x, y, z) est dans Ker( f − IdE ) si et seulement si f (u) = u. On
obtient le système
⎧√
⎨ −3x + y + z√6 = 4x
⎩ √x − 3√y + z 6 = 4y
x 6 + y 6 + 2z = 4z

√
dont les solutions sont les vecteurs de la droite vectorielle dirigée par (1, 1, 6).
On vérifie également que det A = 1.

2) On peut vérifier que tA.A = I3, ou simplement vérifier que les colonnes de
A forment une famille orthonormale. C’est le cas puisque les p√roduits scalaires
en√tre 2 co√lonnes quelconques sont nuls et puisque (32 + 12 + ( 6)2)/16 = 1 et
(( 6)2 + ( 6)2 + 22)/16 = 1. La matrice A est à la fois orthogonale et symétrique

réelle. Elle est donc diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs
propres sont dans {−1, 1}. C’est donc√la matrice d’une symétrie orthogonale par
rapport à Ker( f − IdE ) = Vect((1, 1, 6)) (ou une rotation d’angle p autour de
cet axe).

206 Chap. 7. Espaces euclidiens

Exercice 7.19

extrait de Centrale PC 2005

Soient B = (i, j, k) une base orthonormale directe de E, u la rotation d’axe
p p
U =i + j et d’angle et v la rotation d’axe V = j + k et d’angle . Donner
44
les matrices de u et v dans B.

On cherche une base orthonormale dont le premier vecteur est colinéaire à i + j.

La base ( i√+ j , −√i + j est orthonormale et directe (on fera attention à prendre
, k)
22

une base directe afin de ne pas changer le signe de l’angle). La matrice A de u

dans cette no⎛uvelle base et la ⎞matrice de p⎜⎜⎝⎜⎜⎛as√√s11a22ge −P√,√11o22rtho00g⎞⎟⎠⎟⎟⎟on. aLlea, sont respective-
ment 10 0 = matrice A de u

A = ⎜⎜⎝⎜⎜0 √1 − √1 ⎟⎟⎟⎠⎟ et P
0 2 2
0 01
√1 √1 A=
2 2
PA Un ⎛ 1 + √1 1 − √1 1⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ 2 22 2 22
1 2 ⎟⎠⎟⎟⎟⎟⎟.
2 − √1
dans la base B vaut tP . calcul donne 22 1 √1 − 1
+ 2
−1 2 22

1 √1

2 22

Une autre méthode consiste à utiliser l’exercice 7.4, page 195 qui donne directement

l’image d’un vecteur. On utilise le vecteur e de coordonnées ( √1 , √1 , 0). L’image
22

du vecteur w est alors u(w) = √1 w + √1 e ∧ w + (1 − √1 )(e|w)e. On a
22 2

u(i ) = √1 i + 1 (i + j)∧i + 1 1 − √1 (i + j) = 1 + √1 i + 1 − √1 j − 1 k.
22 22 2 22 2 22 2

On obtient de même

u( j) = 1 − √1 i + 1 + √1 j + 1 k et u(k) = 1i − 1 j + √1 k.
2 22 2 22 2 22 2

On retrouve la matrice obtenue précédemment. 1⎞
Un calcul semblable donne B = ⎜⎛⎜⎜⎜⎝⎜⎜−√21112
2 − 1 2 ⎟⎟⎠⎟⎟⎟⎟
2
− √1
1 √1 1 22 comme matrice
+ 2
2 22 1 + √1

1 − √1 2 22
2 22

de v dans la base B.

7.2 Exercices d’entraînement 207

L’exercice suivant est à traiter après avoir étudié les espaces vectoriels normés

Exercice 7.20

CCP PC 2005 ⎛ ⎞
1/2 1/4
1/4 5/12⎠
Soit M la matrice donnée par M = ⎝1/4 1/3
5/12 1/3
1/4

1) Démontrer que la suite de matrices (Mn) converge et calculer sa limite N .

2) Caractériser géométriquement N .
⎛⎞
u0

3) Soit (Xn) la suite de vecteurs colonnes de R3 définie par X0 = ⎝ v0 ⎠ et
w0

Xn+1 = M Xn. Montrer que la suite (Xn) converge et expliciter sa limite en
fonction de u0, v0 et w0.

1) La matrice M est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonor-

male. En calculant le polynôme caractéristique de M, ou à l’aide d’un logiciel

de calcul formel, on obtient Sp M = {1, 1 , − 1 }, ainsi que les espaces propres
4 12
E1 = Vect((1, 1, 1)), E1/4 = Vect((−2, 1, 1)) et E−1/12 = Vect((0, −1, 1)). On

peut normaliser les vecteurs ⎜⎛⎜⎜⎝⎜⎜pré√√√c111é33den−t√√s√11a26fi6n d’avoi⎞r une matrice de changement
de bases orthogonale P =
0 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠ . On a alors tP M P = D
− √1
36
2
√1
2

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit où D est la matrice diagonale de diagonale 1, 1 , − 1 . Pour tout n ∈ N, on
⎛ 4 12⎞
100

a Mn = P(Dn)tP. Comme lim Dn = ⎝0 0 0⎠ = C et l’application
n→+∞
000

A → P AtP est continue sur M3(R) (application linéaire sur u⎛n espace de⎞dimen-
1 1 1
sion finie), la suite (Mn) converge et a pour limite P C tP = 1 ⎝1 1 1⎠.

3 111

2) La matrice N est symétrique et est semblable à la matrice C. C’est donc la matrice

de la projection orthogonale sur E1. ⎛⎞

3) Pour tout n ∈ N, on a Xn = Mn X0 et donc lim Xn = N X0 = u0 + v0 + w0 1
3 ⎝1⎠.
n→+∞
1

208 Chap. 7. Espaces euclidiens

Exercice 7.21

Mines-Ponts PSI 2006
Soient u un vecteur colonne unitaire de Rn et A = In − 2utu. Montrer que A est
orthogonale et déterminer la nature de l’endomorphisme canoniquement associé
à A.

La matrice A est symétrique car tA = In − 2t(utu) = A. On a donc tA A = A2. Par
ailleurs, on a :

A2 = (In − 2utu)2 = In − 4utu + 4utuutu.

Or tuu = 1, si bien que utuutu = u(tuu)tu = utu. Finalement tA A = In. La
matrice A est donc orthogonale, mais également symétrique. C’est donc la matrice
d’une symétrie orthogonale. Il reste à déterminer les vecteurs invariants par A. Soit
X ∈ Mn,1(R) tel que A X = X . Cela équivaut à l’équation (E) : 2utu X = 0. Si u
est le vecteur t(u1, . . . , un) et S le vecteur t(x1, . . . , xn), l’équation (E) est équivalente

n

à ui xi u = 0. Comme le vecteur u est non nul, l’espace invariant est l’hy-

i =1
n

perplan d’équation ui xi = 0. La matrice A est donc la matrice de la réflexion

i =1

orthogonale par rapport à l’hyperplan orthogonal au vecteur u.

Exercice 7.22

CCP PSI 2006
Soit A ∈ Mn(R).
1) Montrer que tA A = 0 si et seulement si A = 0.
2) Montrer que AtA A = A implique (tA A)2 = tA A. Montrer la réciproque, en

simplifiant tB B où B = AtA A − A.

1) Si A = 0, alors on a directement tA A = 0. Supposons que tA A = 0. Considérons
un vecteur X quelconque dans Mn,1(R). Afin de faire apparaître une norme, on
calcule tX tA AX = t( A X )( A X ) = A X 2 = 0. Ainsi, pour tout vecteur colonne
X , on a AX = 0 et la matrice A est donc nulle.

2) Pour le sens direct, on a (tA A)2 = tA AtA A = tA A. Pour la réciproque, on
calcule comme demandé tB B et on obtient :

tB B = (tA AtA − tA)( AtA A − A) = tA AtA AtA A − 2tA AtA A + tA A = 0,

en utilisant (tA A)2 = tA A. La matrice C = tB B est nulle. D’après la question pré-
cédente, cela implique que B est nulle. On a donc l’équivalence entre AtA A = A
et (tA A)2 = tA A.