แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 0 Sira Chali Nanny Bella Presented by GeoGebra [ ] = ⋅ − ⇔ ∫[ ⋅ − ] = ∙ (−)+ (−)+ = Sira Nanny Taozaa Tanitt ชื่อ ……………………………….………………………………….……………..…………………….……………….. นามสกุล ……………………………………………………………………………...…………………………………………………….……………………………………….. ชั้น ม. 6/….............…… เลขที่ ………………..…..…….. เลขประจ าตัว ……….………………………..………………… โทร. ………….……………………………………………………………..……………………….. ครูผู้สอน ……………………………..…………………….…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…………………………………………………………….……………………………………….. ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2566 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนปากเกร็ด อ าเภอปากเกร็ด จังหวัดนนทบุรี เอกสารประกอบการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 (ค33201) ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 (หลักสูตรปรับปรุง 2560)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 1 เอกสารประกอบการเรียนการสอน รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 (รหัสวิชา ค33201) ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่6 ประจ าภาคเรียนที่1 ปีการศึกษา 2566 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โรงเรียนปากเกร็ด อ าเภอปากเกร็ด จังหวัดนนทบุรี บทที่ 2 แคลคูลัสเบื้องต้น () ∎ สาระการเรียนรู้: แคลคูลัสเบื้องต้น 2.1 ลิมิตของฟังก์ชัน 2.2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 2.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน 2.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร 2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ 2.6 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง 2.7 อนุพันธ์อันดับสูง 2.8 การประยุกต์ของอนุพันธ์ 2.8.1 การเคลื่อนที่แนวตรง 2.8.2 ค่าสูงสุดและค่าต่ าสุดของฟังก์ชัน 2.8.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุด 2.9 ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จ ากัดเขต 2.10 ปริพันธ์จ ากัดเขต 2.11 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง 2.12 อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยายและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย ∎ ผลการเรียนรู้ (หลัก) : จุดมุ่งหมาย 1. หาลิมิตของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ 2. ตรวจสอบความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ 3. หาความชันของเส้นโค้ง 4. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ก าหนดให้และน าไปใช้แก้ปัญหา 5. หาปริพันธ์ไม่จ ากัดเขตและจ ากัดเขตของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ และน าไปใช้แก้ปัญหา ∎ ความรู้พื้นฐานของนักเรียน (ที่ต้องเรียนมาแล้ว) 1. จ านวนจริง 2. ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 3. เรขาคณิตวิเคราะห์ ∎ เอกสารอ้างอิง : สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. (2563). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 6 เล่ม 1. ตามผลการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.2560) ตามหลักสูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 : พิมพ์ครั้งที่ 1 , กรุงเทพฯ , โรงพิมพฺ สกสค.ลาดพร้าว. Haward Anton, Irl Bivens and Stephen Davis. (2010). Calculus : Late Transcendentals. International Students Version. 9th edition. John Wiley & Son (Asia) Pte Ltd. ∎ แหล่งเรียนรู้เสริม : ส าหรับนักเรียน : Pakkred Learning Cyber on www.pk.ac.th Project 14 น าสู่ความปกติใหม่ทางการศึกษา (New Normal Education) on https://proj14.ipst.ac.th/ ∎ กราฟประกอบเอกสารการเรียนการสอน ใช้โปรแกรม GeoGebra Classic on https://www.geogebra.org/classic เก็บรักษาไว้ให้ดี พื้นฐานของ ป.ตรี นะครับ
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 2 สารบัญ เรื่อง หน้า สาระการเรียนรู้: แคลคูลัสเบื้องต้น 2.1 ลิมิตของฟังก์ชัน …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 4 2.1.1 ลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของฟังก์ชัน …………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 6 2.1.2 การหาลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ ………………………………………………………………………………….………………………………………….…….……………………… 7 แบบฝึกหัด 2.1 ก ลิมิตของล าดับ ……………………………………………………………………………………..…………………………………………………….…….……………………… 9 2.1.3 การหาลิมิตของฟังก์ชันโดยใช้ทฤษฎีบท (ทฤษฎีลิมิต) ………………………………………………………………………….…….……………………… 15 2.1.4 ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม …………………………………………………………………………..………………………………………………………………….…….……………….……… 17 2.1.5 ลิมิตของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ …………………………………………………………………..………………………………………………………………….…….………………..……… 20 2.1.6 ลิมิตของฟังก์ชันของฟังก์ชันของฟังก์ชัน …………………………………..………………………………………………………..………….…….………….…………… 21 2.1.7 ลิมิตของฟังก์ชันของฟังก์ชันตรีโกณมิติ …………………………………..…………………………………………………………..………….…….……….……………… 21 2.1.8 ลิมิตของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม ……….……………………………………………………….…….……..………………… 21 แบบฝึกหัด 2.1 - ลิมิตของฟังก์ชัน ………………………………………………………………………..…..………………………………………….…………….………..……………………… 23 2.2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน …………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………….….…….………………… 33 2.2.1 ความต่อเนื่องบนจุด …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………...…….……………………… 33 2.2.1 ความต่อเนื่องบนช่วง ……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………..…….…….……………………… 35 แบบฝึกหัด 2.2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน …………………………………………………………………………………………..……………………………….…….………………… 37 2.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………..……………….…….……………………… 42 แบบฝึกหัด 2.3 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยาม .………………………………………………………..………………….…….……………………… 46 2.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร ………………………………………………………………………………………………….…….……………………….…….……………………… 54 แบบฝึกหัด 2.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร …………………………………………………………..…………………………….…….……………………… 59 2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………….…….……………………… 68 แบบฝึกหัด 2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ……………………………………………………………………………..……………………………….…….……………………… 70 2.6 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………….……………………… 78 แบบฝึกหัด 2.6 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง …………………………………………………………………………………………………………….……………………………….……………………… 81 2.7 อนุพันธ์อันดับสูง ………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………..….…….……………………… 91 แบบฝึกหัด 2.7 อนุพันธ์อันดับสูง …………………………………………………………………………………………….………………………………………..….…….……………………… 93 2.8 การประยุกต์ของอนุพันธ์…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………….…….………………………… 98 2.8.1 การเคลื่อนที่แนวตรง (การประยุกต์ 1) ……………………………………………………..…………………………………….……………….…….………………………… 100 แบบฝึกหัด 2.8.1 การเคลื่อนที่แนวตรง (การประยุกต์ 1) ……………………………………………….……………….…….……………………… 103 2.8.2 ค่าสูงสุดและค่าต่ าสุดของฟังก์ชัน (การประยุกต์ 2) ……………………………………………………………………………….……….…………………… 103 2.8.2.1 ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด (การประยุกต์ 2) ………………………………………………………………………….……….……………………… 105 2.8.2.2 ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ (การประยุกต์ 2) ……………………………………………….……..……………………… 109 2.8.2.3 ค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ (การประยุกต์ 2) ……………………………………………….…….……………………… 113 แบบฝึกหัด 2.8.2 ค่าสูงสุดและค่าต่ าสุดของฟังก์ชัน (การประยุกต์ 2) ………………………………………………….…….……………..……… 115 2.8.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุด (การประยุกต์ 3) …………………………………………………………….…….……………..………… 120 แบบฝึกหัด 2.8.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ าสุด (การประยุกต์ 3) …………………………….……………….………… 123
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 3 สารบัญ เรื่อง หน้า สาระการเรียนรู้: แคลคูลัสเบื้องต้น 2.9 ปฏิยานุพันธ์และปริพันธ์ไม่จ ากัดเขต …………………………………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 138 2.9.1 แนวคิดและความหมายของปฏิยานุพันธ์ ………………………………………………………………………………………………………….…….……….…………… 138 แบบฝึกหัด 2.9.1 ปฏิยานุพันธ์: กระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ……………………….…….……………………… 140 2.9.2 การหาปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร ……………………………………………….………………………………………………….…….………….…………… 142 2.9.3 การประยุกต์ของปริพันธ์ (ปฏิยานุพันธ์) ……………………………………………….………………………………………………….…….…………………………… 146 แบบฝึกหัด 2.9.2 ปฎิยานุพันธ์และการประยุกต์ของปริพันธ์ (ปฏิยานุพันธ์) ………….…….…………………………… 150 2.9.4 การอินทิเกรตโดยการแทนค่า ……………………………………………….……………………………………………….……………………….…….…………………………… 163 แบบฝึกหัด 2.9.4 การอินทิเกรตโดยการแทนค่า ……………………………………………….……………………………………….…………………… 164 2.9.5 การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ……………………………………………….……………………………………………….……………………….…….……………………….… 166 แบบฝึกหัด 2.9.5 การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ……………………………………………….………………………………….………………..……… 168 * 2.9.6 กฎของโลปิตาล …………………………………………………….……………………………….……………………………………………….……………………….…….…………………………… 170 * แบบฝึกหัด 2.9.6 กฎของโลปิตาล ……………………………………………………………………………………….……………………….…….……………………………… 171 2.10 ปริพันธ์จ ากัดเขต ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………….…….…..…………………… 174 ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ............…………….……..………………………..…………………………………………………………………………………………………..………………… 178 แบบฝึกหัด 2.10 การหาปริพันธ์จ ากัดเขตโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ............…………….……..………………………… 181 2.11 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………….…….……………………… 187 2.11.1 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน ………………………………………………………….…………………………………………………….…….……………………… 187 แบบฝึกหัด 2.11.1 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน …………………………………………………………….….….……………………… 189 2.11.2 การน าอินทิกรัลไปใช้ในการหาพื้นที่ระหว่างเคอร์ฟ ………………………….…………………………………………………….…….……………………………………………………… 195 แบบฝึกหัด 2.11.2 การน าอินทิกรัลไปใช้ในการหาพื้นที่ระหว่างเคอร์ฟ ……………………………….…….……………………… 196 ตัวอย่างการเปรียบเทียบผลจากการหาอนุพันธ์และการหาปฏิยานุพันธ์ ………….……………………………..…….….….……………………… 198 2.12. อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยายและอนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย…………………………….……………………………………..….…….……………………… 199 2.12.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย …………………………………………………….………………………….……………………………………..….…….……………………… 199 แบบฝึกหัด 2.12.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ……………………………………………………………………………………………..…..….……………………… 201 2.12.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ……….………………………………………………………………………………..……………………………..…….….……………………… 206 2.12.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน …………………………………………………………………………………………………………….…….……………………… 208 2.12.4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีเอ็กซ์โพเนนเชียล ……………………………………………………………………………………………...….…….……………………… 210 2.12.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม ...................…………………………………………………………………………………………….….…..….…….……………………… 211 แบบฝึกหัดท้ายบท : แคลคูลัสเบื้องต้น ........................................................................................................................................................................................….…… 213-284 ภาคผนวก : สูตรการหาอนุพันธ์() และ อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ( ) .…… 285-290 ไม่เรียน ... ไม่รู้ ไม่ดู ... ไม่เห็น ไม่ท า ... ไม่เป็น คนเราไม่ได้เก่ง ไม่ได้ช านาญ ... จากการท าเพียงอย่างเดียว ครั้งเดียว
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 4 บทที่ 2 แคลคูลัสเบื้องต้น () 2.1 ลิมิตของฟังก์ชัน ในหัวข้อนี้ จะพิจารณาว่า ค่าของฟังก์ชัน ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจ านวนจริงจะเข้าใกล้ค่าใด ขณะที่ เข้าใกล้จ านวนจริงจ านวนหนึ่ง ก่อนอื่นจะเริ่มด้วยการพิจารณาค่าของฟังก์ชัน () = 2 − + 4 เมื่อ เข้าใกล้ 2 แต่ ≠ 2 ดังตารางต่อไปนี้ ตารางที่ 1 และ 2 แสดงค่าของ () เมื่อ เข้าใกล้ 2 แต่ ≠ 2 () () 1.0 4.000000 3.0 10.000000 1.5 4.750000 2.5 7.750000 1.8 5.440000 2.2 6.640000 1.9 5.710000 2.1 6.310000 1.95 5.852500 2.05 6.152500 1.99 5.970100 2.01 6.030100 1.995 5.985025 2.005 6.015025 1.999 5.997001 2.001 6.003001 ตารางที่ 1 ตารางที่ 2 จากตารางที่ 1 จะเห็นได้ชัดเจนว่า เมื่อ เพิ่มขึ้นจาก 1 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ () จะเพิ่มขึ้นจาก 4 และเข้าใกล้ 6 จากตารางที่ 2 เมื่อ ลดลงจาก 3 และเข้าใกล้ 2 ค่าของ () จะลดลงจาก 10 และเข้าใกล้ 6 ซึ่งถ้าพิจารณาจากกราฟของ ฟังก์ชัน จะเห็นสมบัตินี้เช่นกัน จากตารางที่ 1 ตารางที่ 2 และกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 1 จะเห็นว่า ขณะที่ เข้าใกล้ 2 ทั้งทางด้านซ้ายและขวา ของ 2 (เมื่อ < 2และเมื่อ > 2) ค่า () จะเข้าใกล้ 6 ในกรณีนี้จะกล่าวว่า “ลิมิตของฟังก์ชัน () = 2 − + 4 เมื่อ เข้าใกล้2 เท่ากับ 6” ซึ่งเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ →2 () = 6 หรือ →2 ( 2 − + 4) = 6 โดยทั่วไป ส าหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจ านวนจริง ถ้าค่าของ () เข้าใกล้ จ านวนจริง เมื่อ เข้าใกล้ ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ แล้วจะเรียก ว่า ลิมิตของ ที่ ซึ่งเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ → () = และกล่าวว่า → () มีค่าเท่ากับ แต่ถ้าไม่มีจ านวนจริง ซึ่ง () เข้าใกล้ เมื่อ เข้าใกล้ แล้วจะกล่าวว่า “ ไม่มีลิมิตที่ ” หรือกล่าวว่า “→ () ไม่มีค่า” นอกจากนี้อาจแทนสัญลักษณ์ → () = ด้วย “() → เมื่อ → ” ซึ่งอ่านว่า “() เข้าใกล้ เมื่อ เข้าใกล้” รูปที่1
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 5 พิจารณาฟังก์ชันและกราฟของฟังก์ชัน () = { 1 , ≠ 0 0 , = 0 ในขณะที่ เข้าใกล้0 ทั้งทางด้านซ้ายและขวา (เมื่อ < 0 และ > 0 ) จะเท่ากับ 1 ดังนั้น →0 () = 1 อาจกล่าวว่า () เข้าใกล้ 1 เมื่อ เข้าใกล้0 ในขณะที่ (0) = 0 โดยทั่วไป ส าหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ถ้า () เข้าใกล้ เมื่อ เข้าใกล้ แล้ว อาจไม่เท่ากับ () ก็ได้ ในการหาลิมิตของฟังก์ชัน = () เมื่อ เข้าใกล้ นั้น จะพิจารณาค่าของ () ว่าเข้าใกล้จ านวนจริงใด ในขณะที่ เข้าใกล้ แต่ ≠ นั่นหมายความว่า จะไม่พิจารณาค่าของ () ที่ = ดังนั้น ฟังก์ชัน อาจจะนิยามหรือไม่นิยามที่ ก็ได้ แต่ฟังก์ชัน จะต้องนิยามที่แต่ละจุดที่ใกล้ พิจารณากราฟของฟังก์ชัน 3 ฟังก์ชัน ดังรูปที่ 3 – 5 จากกราฟของฟังก์ชันในรูปที่ 3 จะได้ว่า = () แต่จากกราฟของฟังก์ชันในรูปที่ 4 จะได้ว่า ≠ () และจาก กราฟของฟังก์ชันในรูปที่ 5 จะได้ว่า () ไม่นิยามที่ = ซึ่งไม่ว่า จะเป็นฟังก์ชันที่มีกราฟดังรูปที่ 3 , 4 หรือ 5 ก็จะได้ว่า → () = ตัวอย่างที่ 1 ก าหนด () = −1 2−1 จงหา →1 () โดยการสร้างตารางแสดงค่าของฟังก์ชัน วิธีท า แสดงค่าของ () เมื่อ เข้าใกล้ 1 แต่ ≠ 1 ได้ตาราง () () 0.5 0.666667 1.5 0.400000 0.9 0.526316 1.1 0.476190 0.99 0.502513 1.01 0.497512 0.999 0.500250 1.001 0.499750 0.9999 0.500025 1.0001 0.499975 จากตารางจะเห็นว่า () เข้าใกล้ 0.5 เมื่อ เข้าใกล้ 1 ทั้งทางด้านซ้ายและขวาของ 1 ดังนั้น →1 −1 2−1 = →1 −1 (−1)(+1) = →1 −1 (−1)(+1) = →1 1 (+1) = 1 (1)+1 = 1 2 = 0.5 ∎ รูปที่2 รูปที่3 รูปที่4 รูปที่5
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 6 ตัวอย่างที่ 2 ก าหนดให้ () = { 1 , ≥ 0 −1 , < 0 จงพิจารณาว่า →0 () มีค่าหรือไม่ ถ้ามีค่า จงหาลิมิต วิธีท า เขียนกราฟของฟังก์ชัน ได้ ดังรูป จากกราฟรูปที่ 6 พิจารณาค่าของ () เมื่อ เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย( < 0) จะเห็นว่าค่าของ () เข้าใกล้ −1 แต่เมื่อ เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ( > 0) ค่าของ () เข้าใกล้ 1 ดังนั้น ไม่มีจ านวนจริงใดเพียงจ านวนเดียว ซึ่งเมื่อ เข้าใกล้ 0 แล้วท าให้ () จ านวนจริงนั้น ดังนั้น →0 () ไม่มีค่า ในขณะที่ (0) = 1 ∎ 2.1.1 ลิมิตซ้าย ( − ℎ ) และ ลิมิตขวา (ℎ − ℎ ) ของฟังก์ชัน จากตัวอย่างที่ 2 เมื่อ เข้าใกล้ 0 ทางด้านซ้าย ( < 0) ค่าของฟังก์ชัน () เข้าใกล้ −1 เรียก −1 ว่า “ลิมิต ซ้าย ( − ℎ ) ของฟังก์ชัน ” และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ →0− () = −1 โดยสัญลักษณ์ “ → 0 −” แสดงถึงการพิจารณาค่าของ ที่น้อยกว่า 0 เท่านั้น เมื่อ เข้าใกล้ 0 ทางด้านขวา ( > 0) ค่าของฟังก์ชัน () เข้าใกล้1 เรียก1 ว่า “ลิมิตขวา (ℎ − ℎ ) ของฟังก์ชัน ” และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ →0+ () = 1 โดยสัญลักษณ์ “ → 0 +” แสดงถึงการ พิจารณาค่าของ ที่มากกว่า 0 เท่านั้น โดยทั่วไป ส าหรับฟังก์ชัน ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจ านวนจริง ถ้า () เข้าใกล้จ านวนจริง 1 เมื่อ เข้าใกล้ ทางด้านซ้ายแล้ว จะเรียก 1 ว่า “ลิมิตซ้ายของ () เมื่อ เข้าใกล้ ทางด้านซ้าย” เขียนแทนด้วย →− () = 1 ดังรูปที่ 7 ถ้า () เข้าใกล้จ านวนจริง 2 เมื่อ เข้าใกล้ ทางด้านขวาแล้ว จะเรียก 2 ว่า “ลิมิตขวาของ () เมื่อ เข้าใกล้ ทางด้านขวา” เขียนแทนด้วย →+ () = 2 ดังรูปที่ 8 จากรูปที่ 7 และ 8 จะเห็นว่า →− () = 1 และ →+ () = 2 ถ้า 1 = 2 แล้ว lim→ () มีค่า และ lim→ () = 1 = 2 แต่ถ้า 1 ≠ 2 แล้ว → () ไม่มีค่า ∎ รูปที่7 รูปที่8 รูปที่6
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 7 จากตัวอย่างข้างต้น สามารถสรุปเกี่ยวกับลิมิตซ้ายและลิมิตขวาของฟังก์ชันได้ดังนิยาม ∎บทนิยาม 1 : ก าหนดฟังก์ชัน () และ , เป็นจ านวนจริง จะกล่าวว่า 1.1) ลิมิตของ () เมื่อ เข้าใกล้ ทางซ้ายหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง ที่ท าให้ค่าของ () เข้าใกล้ ขณะที่ เข้าใกล้ ทางซ้ายมือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ →− () = 1.2) ลิมิตของ () เมื่อ เข้าใกล้ ทางขวาหาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง ที่ท าให้ค่าของ () เข้าใกล้ ขณะที่ เข้าใกล้ ทางขวา เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ →+ () = 1.3) ลิมิตของ () เมื่อ เข้าใกล้ หาค่าได้ ก็ต่อเมื่อ มีจ านวนจริง ที่ท าให้ค่าของ () เข้าใกล้ ขณะที่ เข้าใกล้ ทางซ้ายมือและทางขวามือนั่นคือ →− () = = →+ () เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ → () = หมายเหตุ : 1) เมื่อ เข้าใกล้ ทางซ้าย แทนด้วย → − หมายถึง มีค่าน้อยกว่า และ มีค่าเข้าใกล้ 2) เมื่อ เข้าใกล้ ทางขวา แทนด้วย → + หมายถึง มีค่ามากกว่า และ มีค่าเข้าใกล้ 3) ลิมิตของฟังก์ชัน จะไม่สนใจว่าจะสามารถหาค่าของฟังก์ชัน () ได้หรือไม่ได้ แต่สนใจค่าของ () ขณะที่ เข้าใกล้ แต่ ≠ 4) → () = ก็ต่อเมื่อ →− () = = →+ () โดย เป็นจ านวนจริง ที่มี ∈ ซึ่ง < และ > เรียก ว่า จุดลิมิต ( ) ซึ่งเป็นสมาชิกอยู่ในเมนของ ∎บทนิยาม 2 : ให้ ⊂ ℝ จุดลิมิต ( ) ของเซต ก็ต่อเมื่อส าหรับทุก ε > 0 ช่วง ( − , + ) จะต้องมี สมาชิกในเซต ในช่วง ( − , + ) ที่ไม่ใช่จุด กล่าวคือ เป็นจุดลิมิตของเซต ก็ต่อเมื่อ ∀ > 0 , ( − , + ) ∩ ( − {}) ≠ ∅ ตัวอย่างที่ 3 3.1) ก าหนด = [1 , 7) จะได้จ านวนจริง ซึ่ง 1 ≤ < 7 ทุกจ านวนเป็นจุดลิมิตของ ∎ 3.2) ก าหนด = { 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , … } จะได้ 0 ทุกจ านวนเป็นจุดลิมิตของ ∎ 3.3) จ านวนจริงทุกจ านวน เป็นจุดลิมิตของเซตของจ านวนจริง เนื่องจากส าหรับทุก ∈ ℝ) จะได้ว่า ∀ > 0 , ( − , + ) ∩ ( − {}) ≠ ∅ ∎ 2.1.2 การหาลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ ตัวอย่างที่ 4 ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังนี้ จงหา 4.1) (2) 4.2) →2− () 4.3) →2+ () 4.4) →2 () 4.5) (5) 4.6) →5− () 4.7) →5+ () 4.8) →5 () รูปที่9
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 8 วิธีท า จากกราฟของฟังก์ชัน ดังรูปที่ 9 จะเห็นว่า 4.1) เนื่องจาก () ไม่นิยามที่ = 2 ดังนั้น (2) ไม่มีค่า 4.2) เมื่อ เข้าใกล้ 2 ทางด้านซ้าย ( < 2) จะได้ว่า ค่าของ () เข้าใกล้ 3 ดังนั้น →2− () = 3 4.3) เมื่อ เข้าใกล้ 2 ทางด้านขวา ( > 2) จะได้ว่า ค่าของ () เข้าใกล้ 1 ดังนั้น →2+ () = 1 4.4) เนื่องจาก →2− () ≠ →2+ () ดังนั้น →2 () ไม่มีค่า 4.5) (5) = 1 4.6) เมื่อ เข้าใกล้ 5 ทางด้านซ้าย ( < 5) จะได้ว่า ค่าของ () เข้าใกล้ 2 ดังนั้น →5− () = 2 4.7) เมื่อ เข้าใกล้ 5 ทางด้านขวา ( > 5) จะได้ว่า ค่าของ () เข้าใกล้ 2 ดังนั้น →5+ () = 2 4.8) เนื่องจาก →5− () = →5+ () = 2 ดังนั้น →5 () = 2 ∎ ตัวอย่างที่ 5 ก าหนดให้() = { 2 2 , ≥ 1 + 2 , < 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน พร้อมทั้งหา 5.1) (1) 5.2) →1− () 5.3) →1+ () 5.4) →1 () วิธีท า เขียนกราฟของฟังก์ชัน = () ได้ ดังรูปที่ 10 จากกราฟของ = () จะเห็นว่า 5.1) (1) = 2 5.2) เมื่อ เข้าใกล้ 1 ทางด้านซ้าย ( < 1) จะได้ว่า ค่าของ () เข้าใกล้ 3 ดังนั้น →1− () = 3 5.3) เมื่อ เข้าใกล้ 1 ทางด้านขวา ( > 1) จะได้ว่า ค่าของ () เข้าใกล้ 2 ดังนั้น →1+ () = 2 5.4) เนื่องจาก lim→1− () ≠ →1+ () ดังนั้น →1 () ไม่มีค่า ∎ ∎ ทฤษฎีบท : (1) →0 sin = 1 (2) →0 1−cos = 0 รูปที่10
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 9 กิจกรรมระหว่างเรียน 1 : แบบฝึกหัด 2.1 ก ลิมิตของล าดับ 1. จงเติมค่าของฟังก์ชันต่อไปนี้ในตารางให้สมบูรณ์พร้อมทั้งพิจารณาว่า ลิมิตของฟังก์ชันที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อมีค่าหรือไม่ ถ้ามีค่า จงหาลิมิต 1.1) () = √−2 −4 ; lim→4 () จากโจทย์ → 4 แทน = 4 ลงใน () = √−2 −4 จะได้ (4) = 3.9 3.99 3.999 4.1 4.01 4.001 () () 1.2) () = −2 2+−6 ; →2 () จากโจทย์ → 2 แทน = 2 ลงใน () = −2 2+−6 จะได้ (2) = 1.9 1.99 1.999 2.1 2.01 2.001 () ()
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 10 1.3) () = 3−3 3−1 ; →1 () จากโจทย์ → 1 แทน =1 ลงใน () = 3−3 3−1 จะได้ (1) = 0.9 0.99 0.999 1.1 1.01 1.001 () () 1.4) () = −1 ; →0 () จากโจทย์ → 0 แทน =10 ลงใน () = −1 จะได้ (0) = −0.1 −0.01 −0.001 0.1 0.01 0.001 () ()
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 11 1.5) () = ; →0 () จากโจทย์ → 0 แทน =0 ลงใน () = จะได้ () = −1 −0.5 −0.1 −0.05 −0.01 () 1 0.5 0.1 0.05 0.01 () 1.6) () = ; →0+ () จากโจทย์ → 0 แทน =0 ลงใน () = จะได้ () = 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 () 1.7) () = || 2+ ; →0 () จากโจทย์ → 0 แทน =0 ลงใน () = || 2+ จะได้ () = −0.1 −0.01 −0.001 0.1 0.01 0.001 () ()
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 12 2. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป จงหา 2.1) (1) = …………………………………..………………… 2.2) →1− () = …………………………………..………………… 2.3) →1+ () = …………………………………..………………… 2.4) →1 () = …………………………………..………………… จาก 2.1-2.4 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 1 2.5) (5) = …………………………………..………………… 2.6) →5− () = …………………………………..………………… 2.7) →5+ () = …………………………………..………………… 2.8) →5 () = …………………………………..………………… จาก 2.5-2.8 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 5 3. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป จงหา 3.1) (0) = …………………………………….………………… 3.2) →0− () = …………………………………….………………… 3.3) →0+ () = …………………………………….………………… 3.4) →0 () = …………………………………….………………… จาก 3.1-3.4 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 0 3.5) (3) = …………………………………….………………… 3.6) →3− () = …………………………………….………………… 3.7) →3+ () = …………………………………….………………… 3.8) →3 () = …………………………………….………………… จาก 3.5 – 3.8 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 3 4. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป จงหา 4.1) (0) = …………………………………….………………… 4.2) →0− () = …………………………………….………………… 4.3) →0+ () = …………………………………….………………… 4.4) →0 () = …………………………………….………………… จาก 4.1 – 4.4 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 0 4.5) (2) = …………………………………….………………… 4.6) →2− () = …………………………………….………………… 4.7) →2+ () = …………………………………….………………… 4.8) →2 () = …………………………………….………………… จาก 4.5 – 4.8 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 2
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 13 4.9) (4) = …………………………………….………………… 4.10) →4 − () = …………………………………….………………… 4.11) →4+ () = …………………………………….………………… 4.12) →4 () = …………………………………….………………… * จาก 4.9 – 4.12 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 4 5. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป จงหา 5.1) (1) = …………………………………….………………… 5.2) →1− () = …………………………………….………………… 5.3) →1+ () = …………………………………….………………… 5.4) →1 () = …………………………………….………………… จาก 5.1 – 5.4 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 1 6. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป จงหา 6.1) (2) = …………………………………….………………… 6.2) →2− () = …………………………………….………………… 6.3) →2+ () = …………………………………….………………… 6.4) →2 () = …………………………………….………………… จาก 6.1 – 6.4 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = 2 6.5) (−2) = …………………………………….………………… 6.6) →−2− () = …………………………………….………………… 6.7) →−2+ () = …………………………………….………………… 6.8) →−2 () = …………………………………….………………… จาก 6.5 – 6.8 เป็นฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ไม่ต่อเนื่อง ที่ = −2
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 14 7. จงหาลิมิตต่อไปนี้โดยพิจารณาจากกราฟของแต่ละฟังก์ชัน 7.1) →4− (1 + ) … -1 0 1 2 3 4 5 6 … () = 1 + วิธีท า 7.2) →2 () เมื่อ () = { 2 , > 2 + 1 , ≤ 2 () = + 1 ; ≤ 2 () = 2 ; > 2 … 0 1 2 3 4 5 6 7 … () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 15 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน 2.1.3 การหาลิมิตของฟังก์ชันโดยใช้ทฤษฎีบท จากที่กล่าวมาข้างต้น ได้หาลิมิตของฟังก์ชันโดยการค านวณค่าของฟังก์ชันหรือพิจารณาจากกราฟของฟังก์ชัน ต่อไปจะ กล่าวถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน โดยจะไม่แสดงการพิสูจน์ แต่จะใช้ทฤษฎีบทเหล่านี้ช่วยในการหาลิมิตของฟังก์ชัน ∎ ทฤษฎีบท 1 : ให้ เป็นจ านวนจริง จะได้ว่า 1.1 → = เมื่อ เป็นค่าคงตัวใด ๆ 1.2 → = 1.3 → = เมื่อ ∈ ℕ ตัวอย่างที่6 จงหา 6.1) →3 1 7 6.2) →−15 6.3) →5 3 วิธีท า 6.1) →3 1 7 = 1 7 ∎ 6.2) →−15 = −15 ∎ 6.3) →5 3 = (5) 3 = 125 ∎ ∎ ทฤษฎีบท 2 : เมื่อ , และ เป็นจ านวนจริงใด ๆ ถ้า และ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซต ของจ านวนจริง โดยที่ → () = และ แล้ว 2.1 → () = → () = เมื่อ เป็นค่าคงตัวใด ๆ 2.2 lim→ [() + ()] = → () + → () = + 2.3 → [() − ()] = → () − → () = − 2.4 → () ⋅ () = → () ⋅ lim→ () = ⋅ 2.5 → [ () () ] = → () → () = เมื่อ ≠ 0 2.6 lim→ [()] = [→ ()] = เมื่อ ∈ ℕ 2.7 → √() = √→ () = √ เมื่อ ∈ ℕ − {1} , √() ∈ ℝ ส าหรับ ที่เข้าใกล้ และ √ ∈ ℝ ตัวอย่างที่ 7 จงหา →5 (2 2 − 3 + 6) วิธีท า →5 (2 3 − 3 + 6) = 2 →5 2 − 3 →5 + →5 6 = 2(5 2 ) − 3(5) + 6 = 50 − 15 + 6 = 41 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 16 ตัวอย่างที่ 8 จงหา →−2 3+2 2−1 5−3 วิธีท า →−2 3 + 2 2 − 1 = →−2 3 + 2 →−2 2 − →−2 1 = (−2) 3 + 2(−2) 2 − 1 = −1 8.1 ∎ และ →−2 (5 − 3) = →−2 5 − 3 →−2 = 5 − 3(−2) = 11 8.2 ∎ ดังนั้น →−2 3+2 2−1 5−3 = − 1 11 8.3 ∎ ตัวอย่างที่ 9 จงหา →2 ( 2 − 1) 4 วิธีท า →2 ( 2 − 1) 4 = (→2 2 − 1) 4 = (→2 2 − →2 1) 4 = (2 2 − 1) 4 = 81 ∎ ตัวอย่างที่ 10 จงหา →4 √3 3 + 20 2 3 วิธีท า →4 √3 3 + 20 2 3 = √→4 (3 3 + 20 2) 3 = (3 →4 3 + 20 →4 2 ) 1 3 = (3(4 3 ) + 20(4 2 )) 1 3 = (4 3 (3 + 5)) 1 3 = (4 3 ⋅ 2 3 ) 1 3 = 8 ∎ ∎ บทนิยาม 3 : ให้ ⊂ ℝ ฟังก์ชัน ∶ → ℝ และ ∈ จะกล่าวว่า จ านวนจริง เป็นลิมิตของ เมื่อ เข้าใกล้ เขียนแทนด้วย → () = ก็ต่อเมื่อ ส าหรับทุก > 0 จะมี > 0 ซึ่งท าให้ |() − | < ส าหรับทุก ∈ ที่ | − | < กล่าวคือ → () = ก็ต่อเมื่อ ถ้า ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว |() − | < หมายเหตุ : อักษรกรีก = = ตัวอย่างที่ 11 จงหา และ เพื่อพิสูจน์ว่า →5 (3 + 1) = 16 ∎ วิเคราะห์เลือก และ จากบทนิยาม ให้ ⊂ ℝ ฟังก์ชัน ∶ → ℝ และ ∈ จะกล่าวว่า จ านวนจริง เป็นลิมิตของ เมื่อ เข้าใกล้ เขียนแทนด้วย → () = ก็ต่อเมื่อส าหรับทุก > 0 จะมี > 0 ซึ่งท าให้ |() − | < ส าหรับทุก ∈ ที่ | − | < กล่าวคือ → () = ก็ต่อเมื่อ ถ้า ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว |() − | < จะแสดงว่า →5 (3 + 1) = 16 นั่นคือ ส าหรับทุก > 0 จะมี > 0 ซึ่งท าให้ | − 5| < → |(3 + 1) − 16| < จาก |(3 + 1) − 16| < ซึ่งหมายถึง − < |(3 + 1) − 16| < − < |3 − 15| < − < |3( − 5)| < − 3 < |( − 5)| < 3 − 3 < | − 5| < 3 โดยนิยามค่าสัมบูรณ์จะได้ | − 5| < 3 ได้ = 3
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 17 ∎ พิสูจน์ ให้ > 0 ส าหรับทุก > 0 โดยที่ = 3 จะได้ว่า | − 5| < → | − 5| < 3 โดยนิยามค่าสัมบูรณ์ → − 3 < |( − 5)| < 3 → − 3 (3) < |(3)( − 5)| < 3 (3) → − 3 (3) < |(3)( − 5)| < 3 (3) → − < |3( − 5)| < → − < |3 − 15| < จัดรูป → − < |3 + 1 − 16| < → − < |(3 + 1) − 16| < โดยนิยามค าสัมบูรณ์ → |(3 + 1) − 16| < สรุปได้ว่า | − 5| < → |(3 + 1) − 16| < ซึ่งเป็นไปตามนิยาม → () = ก็ต่อเมื่อ ถ้า ∀ > 0 , ∃ > 0 , ∀ ∈ , | − | < แล้ว |() − | < ดังนั้น →5 (3 + 1) = 16 ∎ ∎ 2.1.4 ลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม ให้ เป็นฟังก์ชันพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบท 1 และทฤษฎีบท 2 ข้อ 1, 2 และ 3 จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ∎ ทฤษฎีบท 3 : ให้ เป็นฟังก์ชันพหุนาม ( ) และ เป็นจ านวนจริงใด ๆ จะได้ว่า → () = () ตัวอย่างที่ 12 ก าหนด () = 2 − 5 + 7 จงหา →2 () วิธีท า →2 () = →2 ( 2 − 5 + 7) = (2) = 2 2 − 5(2) + 7 = 1 ∎ จากทฤษฎีบท 3 จะเห็นว่า ในการหาลิมิตของฟังก์ชันพหุนาม เมื่อ ที่เข้าใกล้ นั้น สามารถหาลิมิตได้โดยการแทน ด้วย ในพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบท 2 ข้อ 5 และทฤษฎีบท 3 จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ∎ ทฤษฎีบท 4 : ให้ เป็นฟังก์ชันตรรกยะ ( ) โดยที่ () = () () เมื่อ และ เป็นฟังก์ชันพหุนาม จะได้ว่า → () = () () ส าหรับจ านวนจริง ใด ๆ ที่ () ≠ 0 ตัวอย่างที่ 13 ก าหนด () = 2 2−3+4 2−4 จงหา →1 () วิธีท า จากโจทย์ จะได้ →1 () = →1 () 2 2−3+4 2−4 = 2(1) 2−3(1)+4 (1) 2−4 = 3 −3 = −1 ∎ การหา → () () โดยใช้ทฤษฎีบท 2 ข้อ 5 จะหาได้ในกรณีที่ → () ≠ 0 ส าหรับกรณีที่ → () = 0 อาจหา → () () โดยการจัดรูปฟังก์ชันใหม่ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 14 จงหา →1 −1 2−1 วิธีท า ในที่นี้ () = 2 − 1 และ → () = 0 จะหา →1 −1 2−1 โดยการจัดรูปฟังก์ชันใหม่ ดังนี้ −1 2−1 = −1 (−1)(+1) = 1 +1 เมื่อ + 1 ≠ 0 ดังนั้น →1 −1 2−1 = →1 1 +1 = 1 (1)+1 = 1 2 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 18 ตัวอย่างที่ 15 จงหา →0 √ 2+9−3 2 วิธีท า ในที่นี้ () = 2 และ → () = 0 จัดรูปฟังก์ชันใหม่ ดังนี้ √ 2+9−3 2 = √ 2+9−3 2 ⋅ √ 2+9+3 √ 2+9+3 = ( 2+9)−9 2(√ 2+9+3) = 1 √ 2+9+3 เมื่อ ≠ 0 ดังนั้น →0 √ 2+9−3 2 = →0 1 √ 2+9+3 = 1 √(0) 2+9+3 = 1 √9+3 = 1 3+3 = 1 6 ∎ ทฤษฎีบท 1 – 4 ยังคงเป็นจริงเมื่อค านวณค่าของลิมิตด้านเดียว กล่าวคือ สามารถแทน “ → ” ในทฤษฎีบท 1 – 4 ด้วย “ → −” หรือ “ → +” การหาลิมิตของฟังก์ชันบางฟังก์ชันอาจท าได้โดยหาลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาของฟังก์ชัน และใช้เกณฑ์การ ตรวจสอบ ดังนี้ ในกรณีที่ →− () และ →+ () มีค่า จะได้ว่า → () = ก็ต่อเมื่อ →− () = = →+ () จากตัวอย่างที่ 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 และ 13 จะแสดงให้เห็นการใช้ทฤษฎีบทข้างต้นว่า ยังคงเป็นจริงส าหรับลิมิต ด้านเดียว หรือ →− () และ →+ () มีค่า และในการใช้ทฤษฎีบทข้างต้น ในตัวอย่างที่ 14 และ 15 ถ้า () = 0 , (0) = 8 , () = ±∞ หรือ () = ±∞ เมื่อหาลิมิตแล้วจะยู่ในรูป 0 หรือ 0 0 , ∞ ∞ , 0 ∙ ∞ , ∞ − ∞ , 0 ∞ , 0 ∞ − 0 ∞ หรือ 1 ∞ ซี่งเราอาจจะ ตอบได้เลยว่าไม่ค่าลิมิตหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้เราเรียกลิมิตแบบนี้ว่า “รูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ )” ซึ่งรูปที่เราเจอนี้ ในการหาลิมิตเราจะต้องจัดรูปก่อน ดังนั้นในการหาลิมิตของฟังก์ชันจากทฤษฎีบทข้างต้น เราสามารถสรุปขั้นตอนการหาลิมิตของฟังก์ชัน () ที่ = ได้ ดังนี้ ขั้นตอนที่ 1 แทนค่า = ใน () ขั้นตอนที่ 2 พิจารณาค่า () ที่ได้ 2.1 ถ้า () ไม่เป็นรูปแบบ (1) ถ้า () หาค่าได้ แล้ว → () = () (2) ถ้า () อยู่ในรูป 0 แล้ว → () หาค่าไม่ได้ 2.2 ถ้า () เป็นรูปแบบ ได้ () อยู่ในรูป 0 0 หรือ ∞ ∞ ต้องจัดรูปของ ฟังก์ชันใหม่ โดยใช้วิธี (1) แยกตัวประกอบ () (2) คูณด้วยพจน์ที่เป็นสังยุคหรือคอนจุเกต () (3) ใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ )
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 19 ดังนั้นจากตัวอย่างที่ 14 และตัวอย่างที่ 15 เราอาจแสดงวิธีการหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) ได้อีกแนวทางหนึ่งว่า (1) จากตัวอย่างที่ 14 จงหา →1 −1 2−1 วิธีท า ให้ () = −1 2−1 ต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ 1 แทน = 1 ใน () จะได้ (1) = (1)−1 (1) 2−1 = 1−1 1−1 = 0 0 เป็นรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาแยกตัวประกอบ () จะได้ () = −1 2−1 = −1 (−1)(+1) = 1 +1 เมื่อ + 1 ≠ 0 ดังนั้น →1 −1 2−1 = →1 −1 (−1)(+1) = →1 1 +1 เมื่อ + 1 ≠ 0 = 1 (1)+1 = 1 2 นั่นคือ →1 −1 2−1 = →1 1 +1 = 1 2 ∎ (2) จากตัวอย่างที่ 15 จงหา →0 √ 2+9−3 2 วิธีท า ให้ () = √ 2+9−3 2 ต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ 0 แทน = 0 ใน () จะได้ (0) = √(0) 2+9−3 (0) 2 = √0+9−3 0 = 3−3 0 = 0 0 เป็นรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาใช้การคูณด้วยสังยุค () จะได้ () = √ 2+9−3 2 = √ 2+9−3 2 ⋅ √ 2+9+3 √ 2+9+3 = ( 2+9)−9 2(√ 2+9+3) = 1 √ 2+9+3 เมื่อ ≠ 0 ดังนั้น →0 √ 2+9−3 2 = →0 1 √ 2+9+3 = 1 √(0) 2+9+3 = 1 √9 + 3 = 1 3 + 3 = 1 6 นั่นคือ →0 √ 2+9−3 2 = →0 1 √ 2+9+3 = 1 √(0) 2+9+3 = 1 √9 + 3 = 1 3 + 3 = 1 6 ∎ ในกรณีที่หาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาโดยใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ ) ที่นิยามโดย ∎ กฎของโลปิตาล (’ ) ถ้า () และ () ต่างก็มีค่าเป็นศูนย์ หรือไม่นิยามที่ = นั่นคือ () () อยู่ในรูปของ 0 0 หรือ ∞ ∞ แล้ว → () () = → () () = → ′() ′() เมื่อ = → ′() ′() หาค่าได้ ดังนั้น จากตัวอย่างที่ 14 จงหา →1 −1 2−1 เราทราบว่าเมื่อแทน = 1 จะได้ (1) = 0 0 เป็นรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาหาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ ) จะได้ ดังนั้น →1 −1 2−1 = →1 (−1) ( 2−1) = →1 1 2 เมื่อ ≠ 0 = 1 2(1) = 1 2 นั่นคือ →1 −1 2−1 = 1 2 ∎ ซึ่ง () = ′() และ () = ′() คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ ตามล าดับ
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 20 ตัวอย่างที่ 16 ก าหนดให้ () = { √ − 4 , > 4 8 − 2 , < 4 จงหา →4 () วิธีท า (1) เนื่องจาก () = 8 − 2 เมื่อ < 4 จะได้ว่า →4− () = →4− 8 − 2 = 8 − 2(4) = 0 (1)∎ (2) เนื่องจาก () = √ − 4 เมื่อ > 4 จะได้ว่า →4+ () = →4+ √ − 4 = √ →4+ ( − 4) = √4 − 4 = 0 (2)∎ จะเห็นว่า →4− () = →4+ () = 0 ดังนั้น →4 () = 0 ∎ ∎ 2.1.5 ลิมิตของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ จากสมบัติของค่าสัมบูรณ์ของจ านวนจริงใด ๆ ที่นิยามโดย 1. | | = { เมื่อ ≥ 0 − เมื่อ < 0 2. | − | = { ( − ) เมื่อ ( − ) ≥ 0 −( − ) เมื่อ ( − ) < 0 เราจะน าสมบัติของค่าสัมบูรณ์ไปหาค่าของฟังก์ชันในการค านวณค่าของลิมิตด้านเดียว กล่าวคือ สามารถแทน “ → ” ในทฤษฎีบทด้วย “ → −” เมื่อมีค่าน้อยกว่า 0 (ลิมิตด้านซ้าย) หรือ “ → +” เมื่อมีค่ามากกว่า 0 (ลิมิตด้านขวา) ดังตัวอย่าง ที่ 17 ตัวอย่างที่ 17 จงหา →−1 |+1| +1 วิธีท า เนื่องจาก | + 1| = −( + 1) เมื่อ < −1 จะได้ว่า →−1− |+1| +1 = →−1− −(+1) +1 = →−1− (−1) = −1 17.1∎ และเนื่องจาก | + 1| = + 1 เมื่อ > −1 จะได้ว่า →−1+ |+1| +1 = →−1+ +1 +1 = →−1+ 1 = 1 17.2∎ จะเห็นว่า →−1− |+1| +1 ≠ →−1+ |+1| +1 ดังนั้น →−1 |+1| +1 ไม่มีค่า ∎ (ให้นักเรียนเติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์) (ให้นักเรียนเติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 21 ∎ 2.1.6 ลิมิตของฟังก์ชันของฟังก์ชัน ก าหนดฟังก์ชันที่นิยามโดย ก าหนดฟังก์ชันของฟังก์ชัน (()) โดยที่ → () = และ → () = () จะได้ว่า → (()) = (→ (()) ตัวอย่างที่ 18 ก าหนด ฟังก์ชัน () = √ และ ฟังก์ชัน () = 2 + 9 จงหา ( →−4 (()) วิธีท า จาก → (()) = (→ (()) จะได้ว่า →−4 (()) = ( →−4 ( 2 + 9)) = ((−4) 2 + 9)) = (25) และจาก () = √ ดังนั้น (25) = √25 = 5 ∎ ∎ 2.1.7 ลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ก าหนดฟังก์ชันที่นิยามโดย ก าหนดจ านวนจริง ที่เป็นโดเมนของฟังก์ชันตริโกณมิติ จะได้ว่า (1) → = (2) → = (3) → = (4) → = (5) → = (6) → = และ ถ้า () = หรือ () = cos หรือ () = หรือ () = หรือ () = หรือ () = และ → () = โดยที่ () หาค่าได้แล้ว จะได้ว่า → (()) = (→ (()) = () ตัวอย่างที่ 19 จงหา → 2 + 4 วิธีท า ให้ ถ้า () = และ () = 2 + 4 เนื่องจาก → 2 + 4 = 2 + 4 = 3 4 และ 3 4 หาค่าได้ ดังนั้น จาก → (()) = (→ (()) จะได้ว่า → ( 2 + 4 ) = (→ ( 2 + 4 )) = ( 2 + 4 ) = ( 2 + 4 ) = ( 3 4 ) (อยู่ใน 2 ค่า + ) = (45°) = √ ∎ ตัวอย่างที่ 20 จงหา →1 2−1 −1 วิธีท า ให้ ถ้า () = และ () = 2−1 −1 จาก → (()) = (→ (()) จะได้ว่า →1 2−1 −1 = (→1 ( 2−1 −1 )) = (→1 ( (−1)(+1) −1 )) = (→1 ( + 1)) = ((1) + 1)) = 2 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 22 ∎ 2.1.8 ลิมิตของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันลอการิทึม และฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ ก าหนดฟังก์ชันที่นิยามโดย (1) ถ้า → () = และ หาค่าได้แล้ว จะได้ว่า → () = (→ (()) = (2) ถ้า → () = และ > 0 แล้ว จะได้ว่า → () = → () = (3) ถ้า → () = แล้ว → |()| = |→ ()| = || ตัวอย่างที่ 21 จงหา →2 ( 2 + 3) วิธีท า ให้ () = และ () = ( 2 + 3) เนื่องจาก →2 ( 2 + 3) = ((2) 2 + 3(2) = 10 หาค่าได้ ดังนั้น จาก → (()) = (→ (()) จะได้ว่า →2 ( ( 2 + 3)) = (→2 ( 2 + 3)) = ((2) 2 + 3(2)) = 10 = 1 ∎ ตัวอย่างที่ 22 จงหา →1 ( 4−5 2−3 ) วิธีท า จาก ถ้า → () = และ หาค่าได้แล้ว จะได้ว่า → () = (→ (()) = เนื่องจาก →1 ( 4−5 2−3 ) = 4(1)−5 2−3(1) = −1 −1 = 1 หาค่าได้ ดังนั้น จะได้ว่า →1 ( 4−5 2−3 ) = (→1 ( 4−5 2−3 )) = ( 4−5 2−3 ) = ( −1 −1 ) = 1 = 0 ∎ ตัวอย่างที่ 23 จงหา →1 102−3 วิธีท า ให้ = 10 และ () = 102+3 เนื่องจาก →1 (2 − 3) = (2 − 3(1)) = −1 หาค่าได้ ดังนั้น จาก → () = → () = จะได้ว่า →1 102−3 = 10 →1 (2−3) = 10−1 = 1 10 ∎ ตัวอย่างที่ 24 จงหา → 1 2 |8 2 − 4 − 2| วิธีท า ให้ () = |8 2 − 4 − 2| เนื่องจาก ถ้า → () = แล้ว → |()| = |→ ()| = || หาค่าได้ ดังนั้น ดังนั้น → 1 2 |8 2 − 4 − 2| = | → 1 2 (8 2 − 4 − 2)| = |(8 ( 1 2 ) 2 − 4( 1 2 ) − 2)| = |2 − 2 − 2| = |−2| = 2 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 23 กิจกรรมระหว่างเรียน 2 : แบบฝึกหัด 2.1 ข. ลิมิตของฟังก์ชัน 1. จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 1.1) →0 (3 2 + 7 − 12) วิธีท า 1.2) →−1 ( 5 − 2) วิธีท า 1.3) →5 5 ( − 2) วิธีท า 1.4) →−1 ( + 3)( 2 + 2) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 24 1.5) →3 +1 2−5 วิธีท า 1.6) →−5 2−25 +5 วิธีท า 1.7) →1 +1 2−−2 วิธีท า 1.8) →1 2−−2 2+4+3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 25 1.9) →1 1−√ 1− วิธีท า 1.10) →9 3−√ 9− วิธีท า 1.11) →1 2−√+3 −1 วิธีท า 1.12) →0 √( 2 − 1) 2 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 26 2. จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 2.1) →−4 | + 4| วิธีท า 2.2) →2 |−2| −2 วิธีท า 1.3) →−4− |+4| +4 วิธีท า 1.4) →0− ( 1 + 1 || ) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 27 1.5) → 3 2 2 2−3 |2−3| วิธีท า 3. ก าหนดให้ () = { 2 − 4 + 6 , ≥ 2 − 1 , < 2 จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 3.1) →2− () วิธีท า 3.2) →2+ () วิธีท า 3.3) →2 () วิธีท า 3.4) →0 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 28 3.5) →5 () วิธีท า 4. ก าหนดให้ () = { , < 0 2 , 0 ≤ ≤ 2 8 − , > 2 จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 4.1) →0+ () วิธีท า 4.2) →0− () วิธีท า 4.3) →0 () วิธีท า 4.4) →2− () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 29 4.5) →2+ () วิธีท า 4.6) →2 () วิธีท า 4.7) →1 () วิธีท า 4.8) →6 () วิธีท า 5. ก าหนดให้ () = { || , ≠ 0 1 , = 0 และ () = จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 5.1) →0 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 30 5.2) →0 () วิธีท า 5.3) →0 () ⋅ () วิธีท า 6. ก าหนดให้ () แทน จ านวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 6.1) →1+ () วิธีท า 6.2) →1− () วิธีท า 6.3) →1 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 31 7. จงหา →−1 cos (2 + 1) วิธีท า 8. จงหา → ( 2 ) วิธีท า 9. จงหา →0 2 1− วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 32 10. จงหา →−1 5 2− 5 วิธีท า 11. จงหา →2 √2 2 − 3 + 8 วิธีท า 12. จงหา →4 | 2−16 −4 | วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 33 2.2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ( ) 2.2.1 ความต่อเนื่องบนจุด พิจารณากราฟของฟังก์ชัน ดังรูป จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 11 และ 12 จะเห็นว่า () หาค่าได้ ( นิยามที่ ) แต่ → () ไม่มีค่า เนื่องจากไม่มีจ านวนจริงใด ซึ่งเมื่อ เข้าใกล้ แล้วท าให้ () เข้าใกล้จ านวนจริงนั้น จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 13 จะเห็นว่า () หาค่าได้ ( นิยามที่ ) และ → () มีค่า แต่ → () ≠ () จะเรียกฟังก์ชัน ในรูปที่ 11 – 13 ว่าเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องที่ = แต่ถ้า () = เมื่อ = → () จะได้กราฟดังนี้ จากกราฟของฟังก์ชัน ในรูปที่ 14 จะเห็นว่า () หาค่าได้ ( นิยามที่ ) และ → () = () ในลักษณะ เช่นนี้จะเรียกฟังก์ชัน ว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = ซึ่งมีนิยามดังนี้ f a a f รูปที่14 รูปที่13 รูปที่11 รูปที่12
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 34 ∎ บทนิยาม 4 : ให้ เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามบนช่วงเปิด ( , ) และ ∈ (, ) จะกล่าวได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ( ) ที่ = ก็ต่อเมื่อ → () = () ∎ จากบทนิยาม 4 ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ( ) ที่ = ต้องมีสมบัติครบทั้งสามข้อต่อไปนี้ (1) () หาค่าได้ (นั่นคือ อยู่ในโดเมนของ ) (2) lim→ () มีค่า (3) → () = () ตัวอย่างที่ 25 ก าหนดให้ () = { 2−4 −2 , ≠ 2 3 , = 2 จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 2 หรือไม่ วิธีท า จากฟังก์ชัน ที่ก าหนด จะได้ (2) = 3 และ →2 () = →2 2−4 −2 = →2 (+2)(−2) −2 = →2 ( + 2) = 4 เนื่องจาก →2 () ≠ (2) ดังนั้น ฟังก์ชัน ไม่ต่อเนื่องที่ = 2 ∎ ตัวอย่างที่ 26 ก าหนดให้ () = { 2−4 −2 , ≠ 2 4 , = 2 จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 2 หรือไม่ วิธีท า จากฟังก์ชัน ที่ก าหนด จะได้ (2) = 4 และ →2 () = →2 2−4 −2 = →2 (+2)(−2) −2 = →2 ( + 2) = 4 เนื่องจาก →2 () = (2) ดังนั้น ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 2 ∎ ตัวอย่างที่ 27 ก าหนดให้ () = | + 1| จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = −1 หรือไม่ วิธีท า จากฟังก์ชัน ที่ก าหนด จะได้ (−1) = |(−1) + 1| = 0 จาก () = | + 1| โดยนิยามของค่าสัมบูรณ์ จะได้ () = { + 1 , ≥ −1 −( + 1) , < −1 เนื่องจาก →−1− () = →−1− − ( + 1) = 0 และ →−1+ () = →−1+ ( + 1) = 0 จะได้ว่า →−1− | + 1| = 0 = →−1+ | + 1| ดังนั้น →−1 () = 0 เนื่องจาก →−1 () = (−1) ดังนั้น ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = −1 ∎ (ให้นักเรียนปรับปรุงกราฟด้วยตนเอง) (ให้นักเรียนปรับปรุงกราฟด้วยตนเอง) (ให้นักเรียนปรับปรุงกราฟด้วยตนเอง)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 35 ต่อไปนี้จะกล่าวถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน โดยจะขอละการพิสูจน์ ∎ ทฤษฎีบท 5 : ถ้า และ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = แล้ว 5.1 + เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 5.2 − เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 5.3 ⋅ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 5.4 เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = เมื่อ () ≠ 0 ดังที่ได้ทราบมาแล้วจากทฤษฎีบท 3 ว่า ถ้า เป็นฟังก์ชันพหุนามแล้ว → () = () ส าหรับจ านวนจริง ใด ๆ ดังนั้นจะได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ∎ ทฤษฎีบท 6 : ส าหรับจ านวนจริง ใด ๆ ฟังก์ชันพหุนาม เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = โดยใช้ทฤษฎีบท 5 และ 6 จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เมื่อ และ เป็น ฟังก์ชันพหุนาม ดังนี้ ∎ ทฤษฎีบท 7 : ถ้า เป็นฟังก์ชันตรรกยะ โดยที่ () = () () เมื่อ และ เป็นฟังก์ชันพหุนาม แล้ว เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = เมื่อ เป็นจ านวนจริง ใด ๆ ซึ่ง () ≠ 0 ตัวอย่างที่ 28 ก าหนดให้ () = 2−9 2−5+6 จงพิจารณาว่าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 0 หรือไม่ วิธีท า ให้ () = 2 − 9 และ () = 2 − 5 + 6 ดังนั้น () = () () เนื่องจาก และ เป็นฟังก์ชันพหุนาม และ (0) = 6 ซึ่งไม่เท่ากับ 0 ดังนั้น เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 0 ∎ 2.2.2 ความต่อเนื่องบนช่วง ต่อไปจะให้ความหมายของความต่อเนื่องของฟังก์ชันบนช่วงที่ก าหนด ดังนี้ 1. ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง ( , ) ก็ต่อเมื่อ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง (, ) 2. ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [, ] ก็ต่อเมื่อ 2.1) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง ( , ) และ 2.2) →+ () = () และ →− () = () 3. ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (, ] ก็ต่อเมื่อ 3.1) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง ( , ) และ 3.2) →− () = () 4. ฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [, ) ก็ต่อเมื่อ 4.1) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดในช่วง ( , ) และ 4.2) →+ () = () ตัวอย่างที่ 29 ก าหนดให้ () = √9 − 2 จงแสดงว่าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [−3 , 3 ] วิธีท า ให้ เป็นจุดใด ๆ ในช่วง (−3 , 3) เนื่องจาก −3 < < 3 จะได้ว่า 2 < 9 หรือ 9 − 2 > 0 ดังนั้น √9 − 2 > 0 จะได้ว่า นิยามที่ และ () = √9 − 2 และจะได้ → () = → √9 − 2 = √→ (9 − 2) = √9 − 2 ดังนั้น → () = () สรุปได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (−3 , 3) ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 36 ต่อไปจะแสดงว่า →−3+ () = (−3) และ →3− () = (3) เนื่องจาก →−3+ () = →−3+ √9 − 2 = √ →−3+ (9 − 2) = 0 และ (−3) = 0 ดังนั้น →−3+ () = (−3) และ →3− () = →3− √9 − 2 = √ →3− (9 − 2) (เติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์) = 0 และ (3) = 0 จะได้ →3− () = (3) สรุปได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [−3 , 3] ∎ ตัวอย่างที่ 30 ก าหนดให้ () = 1 √ 2−4 จงแสดงว่าฟังก์ชัน เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ 30.1) (−∞, −2) 30.2) (2 , 3 ] วิธีท า 30.1) ให้ เป็นจุดใด ๆ ในช่วง (−∞, −2) เนื่องจาก < −2 จะได้ว่า 2 > 4 หรือ 2 − 4 > 0 ดังนั้น √ 2 − 4 > 0 จะได้ว่า นิยามที่ และ () = 1 √ 2−4 และจะได้ → () = → 1 √ 2−4 = 1 √→ ( 2−4) = 1 √ 2−4 ดังนั้น → () = () สรุปได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (−∞, −2) 30.1 ∎ 30.2) ให้ เป็นจุดใด ๆ ในช่วง ( 2 , 3 ) เนื่องจาก 2 < < 3 จะได้ว่า 4 < 2 < 9 หรือ 2 − 4 > 0 ดังนั้น √ 2 − 4 > 0 จะได้ว่า นิยามที่ และ () = 1 √ 2−4 และจะได้ → () = → 1 √ 2−4 = 1 √→ ( 2−4) = 1 √ 2−4 ดังนั้น → () = () สรุปได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2 , 3) ในท านองเดียวกัน จะได้ว่า →3− 1 √ 2−4 = 1 √5 และ (3) = 1 √5 ดังนั้น →3− () = (3) = 1 √5 สรุปได้ว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง (2 , 3] 30.2 ∎ f
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 37 กิจกรรมระหว่างเรียน 3 : แบบฝึกหัด 2.2 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดที่ก าหนดหรือไม่ 1.1) () = 3 − 1 ที่ = 0 วิธีท า 1.2) () = { 2−16 −4 , ≠ 4 − 1 4 , = 4 ที่ = 4 วิธีท า (เติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 38 1.3) () = { 2−1 3−1 , ≠ 1 − 2 3 , = 1 ที่ = 1 วิธีท า (เติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์) 1.4) () = || ที่ = 0 วิธีท า 1.5) () = { |+1| +1 , ≠ −1 −1 , = −1 ที่ = −1 วิธีท า (เติมเต็มกราฟให้สมบูรณ์)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 39 2. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน , และ ℎ ดังรูป จงพิจารณาว่า , และ ℎ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงที่ก าหนดในแต่ละข้อ หรือไม่ พร้อมทั้งให้เหตุผลประกอบ 2.1) ฟังก์ชัน 2.1.1) [−1 , 1] 2.1.2) (−1 , 1) 2.1.3) [0 , 1] 2.1.4) (−1 , 0] 2.2) ฟังก์ชัน 2.2.1) [−1 , 1] 2.2.2) (−1 , 1) 2.2.3) [0 , 1] 2.2.4) (−1 , 0] 2.3) ฟังก์ชัน ℎ 2.3.1) [−1 , 1] 2.3.2) (−1 , 1) 2.3.3) [0 , 1] 2.3.4) (−1 , 0] 3. ก าหนดให้ () = 2 −4 จงพิจารณาว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ 3.1) (−∞ , 4) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 40 3.2) ( 4 , 6] วิธีท า 3.3) (4 , ∞) วิธีท า 4. ก าหนดให้ () = { 2 − 2 , < −2 − 4 , −2 ≤ ≤ 1 4 − , > 1 จงพิจารณาว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ (A) สร้างตาราง () … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … () = 2 − 2 , < −2 ()= − 4 , −2 ≤ ≤ 1 () = 4 − , > 1 (B) เขียนกราฟ 4.1) ( −∞ , 1 ] วิธีท า 4.2) (−2 , 1 ] วิธีท า 4.3) (−2 , 2 ] วิธีท า 4.4) [ 1 , ∞) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 41 5. จงหา ที่ท าให้ฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุด 5.1) () = { 2 , > 1 7 − 2 , ≤ 1 วิธีท า 5.2) () = { 2 + , > 2 2 , ≤ 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 42 2.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ( ) ในการขับรถจากสถานที่หนึ่งไปยังอีกสถานที่หนึ่ง โดยทั่วไปผู้ขับไม่ได้ขับด้วยอัตราเร็วคงที่ตลอดเวลา อาจขับเร็วบ้างช้า บ้าง ขึ้นอยู่กับสภาพถนนหรือปริมาณรถบนถนน ดังนั้นการบอกอัตราเร็วจึงนิยมบอกเป็นอัตราเร็วเฉลี่ยของการเดินทางทั้งหมด หรือบอกอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาที่สนใจ โดยอัตราเร็วเฉลี่ยคืออัตราส่วนระหว่างระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ต่อช่วงเวลาที่ใช้ใน การเคลื่อนที่ ตัวอย่างเช่น ถ้าระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้(มีหน่วยเป็นกิโลเมตร) เมื่อเวลาผ่านไป ชั่วโมง หาได้จาก () = 20 2 เมื่อ ∈ [ 0 , 2 ] จะสามารถหาอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาที่สนใจได้ดังนี้ จากสมการที่ก าหนด จะสามารถ 1) หาระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ เมื่อเวลาผ่านไป 0 , 0.5 , 1 และ 1.5 ชั่วโมง ได้ดังตาราง เวลาที่ผ่านไป (ชั่วโมง) 0 0.5 1 1.5 ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ใน (กิโลเมตร) 0 5 20 45 2) จะได้ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ในช่วงเวลาต่างๆ ดังตาราง ช่วงเวลา (ชั่วโมง) ระยะทางที่รถยนต์เคลื่อนที่ได้ใน (กิโลเมตร) = 0 ถึง = 0.5 5 − 0 = 5 = 0.5 ถึง = 1 20 − 5 = 15 = 1 ถึง = 1.5 45 − 20 = 25 3) จะสามารถหาอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาต่างๆ ได้ ดังตาราง ช่วงเวลา (ชั่วโมง) อัตราเร็วเฉลี่ย (กิโลเมตร/ชั่วโมง) = 0 ถึง = 0.5 5 − 0 0.5 − 0 = 5 0.5 = 10 = 0.5 ถึง = 1 20-5 1 − 0.5 = 15 0.5 = 30 = 1 ถึง = 1.5 45-20 1.5 − 1.0 = 25 0.5 = 50 4) อัตราเร็วเฉลี่ยที่หาได้ข้างต้นสามารถใช้ในการพิจารณาว่าในแต่ละช่วงเวลาที่สนใจ รถยนต์เคลื่อนที่ได้ช้าหรือเร็ว เพียงใด พิจารณาอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาสั้นๆ ที่ใกล้ = 1 ดังตาราต่อไปนี้ ช่วงเวลา (ชั่วโมง) อัตราเร็วเฉลี่ย (กิโลเมตร/ชั่วโมง) = 1 ถึง = 1.1 (1.1) − (1) 1.1 − 1 = 24.2-20 0.1 = 42 = 1 ถึง = 1.01 (1.01)−(1) 1.01−1 = 20.402-20 0.01 = 40.2 = 1 ถึง = 1.001 (1.001) − (1) 1.001 − 1 = 20.04002-20 0.001 = 40.02 5) ถ้าให้ ℎ เป็นจ านวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ จะได้ว่าอัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ คือ (1+ℎ)−(1) ℎ = 20(1+ℎ) 2−20(1 2) ℎ = 20(1+2ℎ+ℎ 2)−20 ℎ = 20ℎ 2+40ℎ+20−20 ℎ = 20ℎ 2+40ℎ ℎ = 20ℎ + 40 นั่นคือ อัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ เมื่อ ℎ ≠ 0 คือ 20ℎ + 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง จะเห็นว่ายิ่งช่วงเวลาสั้นลง อัตราเร็วเฉลี่ยจะยิ่งเข้าใกล้ 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 43 ดังนั้น เมื่อ ℎ น้อยลงจนเข้าใกล้ 0 จะได้ อัตราเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลา = 1 ถึง = 1 + ℎ คือ ℎ→0 (1+ℎ)−(1) ℎ = ℎ→0 (20ℎ + 40) = (20(0) + 40) = 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง ∎ เรียกค่านี้ว่า อัตราเร็วของรถยนต์ ณ ขณะเวลา = 1 ซึ่งในทางปฏิบัติ ผู้ขับรถยนต์สามารถทราบได้จากมาตรวัดอัตราเร็วบนหน้าปัดรถยนต์ ณ ขณะนั้น ตัวอย่างเช่นข้างต้น แสดงการหาอัตราเร็วเฉลี่ย ซึ่งคืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของระยะทางเทียบกับเวลาในช่วงเวลา ที่สนใจ และการหาอัตราเร็วขณะเวลาหนึ่ง ในกรณีทั่วไป สามารถนิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง ได้ดังนี้ ∎ บทนิยาม 5 : ให้ เป็นฟังก์ชัน และ อยู่ในโดเมนของ 5.1 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ( ) ของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก เป็น + ℎ คือ (+ℎ)−() ℎ 5.2 อัตราการเปลี่ยนแปลง ( ) ของ เทียบกับ ขณะที่ = คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ( ℎ) ของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก เป็น + ℎ คือ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ ตัวอย่างที่ 31 ในการสูบลมเข้าลูกบอลลูกหนึ่ง ถ้า เป็นปริมาตรของลมในลูกบอล (มีหน่วยเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร) และ เป็นความยาวของรัศมีของลูกบอล (มีหน่วยเป็นเซนติเมตร) โดยที่ = 4 3 3 แล้ว จงหา 31.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เมื่อความยาว ของรัศมีเปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร 31.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เมื่อความยาว ของรัศมีเปลี่ยนจาก เป็น + ℎ เซนติเมตร 31.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว 9 เซนติเมตร วิธีท า 31.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เมื่อความยาว ของรัศมีเปลี่ยนจาก 6 เป็น 9 เซนติเมตร คือ (9)−(6) 9−6 = 4 3 (9) 3− 4 3 (6) 3 3 = 4 9 (9 3 − 6 3 ) = 4 9 (513) = 228 = 716.3 ∎ 31.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล เมื่อความยาว ของรัศมีเปลี่ยนจาก เป็น + ℎ เซนติเมตร คือ (+ℎ)−() ℎ = 1 ℎ ( 4 3 ( + ℎ) 3 − 4 3 3 ) = 1 ℎ ⋅ 4 3 ( 3 + 3 2ℎ + 3ℎ 2 + ℎ 3 − 3 ) = 4 3 (3 2 + 3ℎ + ℎ 2 ) เมื่อ ℎ ≠ 0 ∎ 31.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว 9 เซนติเมตร คือ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 4 3 (3 2 + 3ℎ + ℎ 2 ) = 4 3 ℎ→0 (3 2 + 3ℎ + ℎ 2 ) = 4 3 (3 2 ) = 4 2 ∎ ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของลมในลูกบอลเทียบกับความยาวของรัศมีของลูกบอล ขณะรัศมียาว 9 เซนติเมตร คือ 4(9 2 ) = 324 ≈ 1,017.9 ลูกบาศก์เซนติเมตร ∎ จากตัวอย่างที่ 31 อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นจ านวนจริงบวกแสดงว่า เมื่อความยาวของรัศมีของลูกบอลเพิ่มขึ้น ปริมาตรของลมในลูกบอลจะเพิ่มขึ้น
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 44 ตัวอย่างที่ 32 ในการสูบน้ าออกจากสระ หลังจากสูบน้ าไป นาที มีน้ าเหลืออยู่ในสระ () ลูกบาศก์เมตร โดยที่ () = 6 − 2 เมื่อ ∈ [0 , 2.4] จงหา 32.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 นาที 32.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนจาก เป็น + ℎ นาที 32.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา ขณะเวลา 2 นาที วิธีท า 32.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนจาก 0 เป็น 2 นาที คือ (2)−(0) 2−0 = (6−2 2)−(6−0 2) 2 = −4 2 = −2 ∎ 32.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา เมื่อเวลาเปลี่ยนจาก เป็น + ℎ นาที คือ (+ℎ)−() ℎ = 6−(+ℎ) 2−(6− 2) ℎ = 6−( 2+2ℎ+ℎ 2)−(6− 2) ℎ = 6− 2−2ℎ−ℎ 2−6+ 2 ℎ = −2ℎ−ℎ 2 ℎ = −2 − ℎ เมื่อ ℎ ≠ 0 ∎ 32.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา ขณะเวลา = 2 นาทีคือ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 (−2 − ℎ) = (−2 − (0)) = −2 ∎ ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของน้ าในสระเทียบกับเวลา ขณะเวลา = 2 นาทีคือ (−2)(2) = −4 ลูกบาศก์เมตรต่อนาที ∎ จากตัวอย่างที่ 25 อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นจ านวนจริงลบแสดงว่า เมื่อเวลาเพิ่มขึ้น ปริมาตรของน้ าในสระจะลดลง หมายเหตุ : ส าหรับฟังก์ชัน ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ เป็นจ านวนจริงบวก แสดงว่า เมื่อ เพิ่มขึ้น ค่าของ () จะเพิ่มขึ้น แต่ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ เป็นจ านวนจริงลบ แสดงว่า เมื่อค่า เพิ่มขึ้น ค่าของ () จะลดลง จากบทนิยาม 2 ถ้าให้ เป็นฟังก์ชันใด ๆ และ อยู่ในโดเมนของ จะได้อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = คือ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ ถ้าลิมิตนี้หาค่าได้ จะเรียกค่าของลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ ดังบทนิยาม ต่อไปนี้ ∎ บทนิยาม 6 : ให้ เป็นฟังก์ชัน อนุพันธ์() ของฟังก์ชัน ที่ เขียนแทนด้วย ′() คือ ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ ถ้า ′ () มีค่า จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน มีอนุพันธ์ที่ หรือฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ได้ที่ ถ้า ′ () ไม่มีค่า จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน ไม่มีอนุพันธ์ที่ หรือฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ นอกจากสัญลักษณ์ ′ () แล้วยังมีสัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ เช่น เมื่อ ก าหนดให้ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดยสมการ = () อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ สามารถเขียนแทนได้สัญลักษณ์ (อ่านว่า ดีวายบายดีเอกซ์) โดยที่ = ′และสัญลักษณ์ () = ′ () ดังนั้น () = ′ () = = ′ = ℎ →0 (+ℎ)−() ℎ ∎ หมายเหตุ : ไม่ได้ หมายถึง เศษส่วนที่มีตัวเศษ คือ คูณ และ ตัวส่วน คือ คูณ และ ไม่ได้ หมายถึง หารด้วย
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 45 ตัวอย่างที่ 33 ก าหนดให้ () = 5 2 + 3 − 1 จงหา ′() วิธีท า ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 (5(+ℎ) 2+3(+ℎ)−1)−(5 2+3−1) ℎ = ℎ→0 10ℎ+5ℎ 2+3ℎ ℎ = ℎ→0 ℎ(10+5ℎ+3) ℎ = ℎ→0 (10 + 5ℎ + 3) = 10 + 5(0) + 3 = 10 + 3 ∎ จากตัวอย่างที่ 33 อาจเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ของอนุพันธ์แบบอื่นได้ เช่น = 10 + 3 หรือ () = 10 + 3 หรือ ′ = 10 + 3 ตัวอย่างที่ 34 ก าหนดให้ () = 7 − 2 จงหา วิธีท า = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 (7−2(+ℎ))−(7−2) ℎ = ℎ→0 −2ℎ ℎ = ℎ→0 (−2) = −2 ∎ เนื่องจาก ′ () = ℎ →0 (+ℎ)−() ℎ เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ ดังนั้น ส าหรับ ใด ๆ ที่อยู่ในโดเมนของ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ = คือ ′ () = ℎ →0 (+ℎ)−() ℎ อาจใช้สัญลักษณ์ () | = แทน ′ () หรือ | = แทน หรือ ′ | = ตัวอย่างที่ 35 ก าหนดให้ () = √ + 1 จงหา ′ (3) วิธีท า ′ (3) = ℎ→0 (3+ℎ)−(3) ℎ = ℎ→0 √4+ℎ−2 ℎ = ℎ→0 ( √4+ℎ−2 ℎ ⋅ √4+ℎ+2 √4+ℎ+2 ) = ℎ→0 (ℎ+4)−4 ℎ(√ℎ+4+2) = ℎ→0 ℎ ℎ (√ℎ+4+2) = ℎ→0 1 √ℎ+4+2 = 1 √(0)+4+2 = 1 √4+2 = 1 2+2 = 1 4 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 46 ตัวอย่างที่ 36 ก าหนดให้ () = || จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ = 0 วิธีท า ′ (0) = ℎ→0 (0+ℎ)−(0) ℎ = ℎ→0 |ℎ|−|0| ℎ = ℎ→0 |ℎ| ℎ (โดยนิยามค่าสัมบูรณ์) เนื่องจาก ℎ→0+ |ℎ| ℎ = ℎ→0+ ℎ ℎ = ℎ→0+ 1 = 1 ∎ และ ℎ→0− |ℎ| ℎ = ℎ→0− −ℎ ℎ = ℎ→0− − 1 = −1 ∎ จะได้ว่า →0+ |ℎ| ℎ ≠ →0− |ℎ| ℎ ดังนั้น →0 |ℎ| ℎ ไม่มีค่า นั่นคือ ′(0) ไม่มีค่า ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 4 : แบบฝึกหัด 2.3 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยาม 1. ให้ = 2 2 − 3 จงหา 1.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.2 วิธีท า ให้ = () = 2 2 − 3 และ จะได้ ( + ℎ) = 2( + ℎ) 2 − 3 1.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.1 วิธีท า 1.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.01 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 47 1.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = 2 วิธีท า 2. ให้ = 1 จงหา 2.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 4 เป็น 5 วิธีท า 2.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 4 เป็น 4.1 วิธีท า 2.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 4 เป็น 4.01 วิธีท า 2.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ เป็นจ านวนจริงใดๆ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 48 2.5) อัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = 4 วิธีท า 3. จงหา 3.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมีเมื่อความยาวของรัศมีเปลี่ยนจาก เป็น + ℎ เซนติเมตร วิธีท า 3.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมีขณะรัศมียาว เซนติเมตร วิธีท า 3.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่วงกลมเทียบกับความยาวของรัศมีขณะรัศมียาว 8 เซนติเมตร วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 49 4. จงหา 4.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวด้าน () เมื่อความยาวด้านของรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสเปลี่ยนจาก 10 เป็น 12 เซนติเมตร วิธีท า 4.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวด้าน เมื่อความยาวด้านเป็น เซนติเมตร วิธีท า 4.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเทียบกับความยาวด้าน ขณะด้านยาว 11 เซนติเมตร วิธีท า