แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 150 ตัวอย่างที่ 90 เมื่อปล่อยวัตถุตกจากที่สูงแบบเสรี วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งโน้มถ่วงของโลก () ถ้าก าหนด = −9.8 เมตร ต่อวินาที2 และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา ต าแหน่งของวัตถุอยู่ที่ 10 เมตร และวัตถุมีความเร็วเป็นศูนย์ จงหา 90.1) ความเร็ว () ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ และความเร็วของวัตถุขณะ = 1 วินาที วิธีท า 90.2) ต าแหน่ง () ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ และต าแหน่งของวัตถุขณะ = 1 วินาที วิธีท า ตัวอย่างที่ 91 โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นจากพื้นดินในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 19.6 เมตรต่อวินาที ถ้าก าหนดความเร่งโน้มถ่วงของโลก เท่ากับ −9.8 เมตรต่อวินาที2 และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา ต าแหน่งของวัตถุอยู่ที่ศูนย์ จงหา 91.1) ความเร็ว () ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ และความเร็วของวัตถุขณะ = 1 วินาที วิธีท า 91.2) ต าแหน่ง () ของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ และต าแหน่งของวัตถุขณะ = 2 วินาที วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 151 91.3) เวลา () ที่วัตถุตกถึงพื้นดิน วิธีท า 91.4) เวลาที่วัตถุขึ้นไปถึงต าแหน่งสูงสุด และต าแหน่งสูงสุดของวัตถุ วิธีท า ตัวอย่างที่ 92 สมมติว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของการใช้โทรศัพท์มือถือทั่วโลก (มีหน่วยเป็นล้านเครื่องต่อปี) ในปีที่ นับจาก ค.ศ. 2,000 สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน ′ () = 56 + 166 ถ้าใน ค.ศ. 2011 มีการใช้โทรศัพท์มือถือทั่วโลก 5,960 เครื่อง จงหาฟังก์ชันแสดงจ านวนการใช้โทรศัพท์มือถือทั่วโลก) ในปีที่ นับจาก ค.ศ. 2000 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 152 กิจกรรมระหว่างเรียน 13 : แบบฝึกหัด 2.9.2 ปฎิยานุพันธ์และการประยุกต์ของปริพันธ์ (ปฏิยานุพันธ์) 1. จงแสดงว่า () = √ 2 − 1 เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน () = √ 2−1 วิธีท า 2. จงหา 2.1) ∫( 4 + 3 2 + 5) วิธีท า 2.2) ∫(2 3 − 3 2 + 6 + 2 −2 ) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 153 2.3) ∫ ( 10 − 1 3 ) วิธีท า 2.4) ∫ ( 1 2 − 2 4 ) วิธีท า 2.5) ∫ √ วิธีท า 2.6) ∫ ( 3 2 − 2 3) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 154 2.7) ∫ ( 1 2 − 1 2√ ) วิธีท า 2.8) ∫ 2 ( − 3) วิธีท า 2.9) ∫ √( + 1) วิธีท า 2.10) ∫ ( −2 3 ) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 155 2.11) ∫( 2 + 5 + 1) วิธีท า 2.12) ∫(6√ + 15) วิธีท า 2.13) ∫( 3 + 5 2 + 6) วิธีท า 2.14) ∫ ( 6 √ + 8√) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 156 2.15) ∫( 4 − 12 3 + 6 2 − 10) วิธีท า 3. ถ้า ′ () = และ (2) = 2 จงหา () วิธีท า 4. ก าหนดให้ ′′() = −2 ส าหรับ ∈ ℝ และ มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์เป็น 2 เมื่อ = 1 จงหา () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 157 5. จงหาสมการของเส้นโค้ง เมื่อก าหนดความชันของเส้นโค้งที่ ( , ) ใด ๆ และจุดที่เส้นโค้งผ่าน ดังนี้ 5.1) ความชันของเส้นโค้งที่ ( , ) ใด ๆ คือ 2 − 3 + 2 และผ่านจุด (2 , 1) วิธีท า 5.2) ความชันของเส้นโค้งที่ ( , ) ใด ๆ คือ 2 3 + 4 และผ่านจุด (0 , 5) วิธีท า 5.3) ความชันของเส้นโค้งที่ ( , ) ใด ๆ คือ 6 + 3 2 − 2 4 และผ่านจุด (1 , 0) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 158 6. จงหาความเร็วของวัตถุ () และต าแหน่งของวัตถุ () ขณะเวลา ใด ๆ เมื่อก าหนดความเร่งของวัตถุ () ความเร็ว และต าแหน่งของวัตถุขณะเวลา = 0 ดังนี้ 6.1) () = 6 − 2 , 0 ≤ ≤ 3 , (0) = 5 , (0) = 0 วิธีท า 6.2) () = 120 − 12 2 , 0 ≤ ≤ 10 , (0) = 0 , (0) = 4 วิธีท า 6.3) () = 2 + 5 + 4 , 0 ≤ ≤ 15 , (0) = −2 , (0) = −3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 159 7. โยนวัตถุชิ้นหนึ่งขึ้นจากพื้นดินในแนวดิ่งด้วยความเร็วต้น 98 เมตรต่อวินาที ถ้าก าหนดความเร่งโน้มถ่วงของโลกเท่ากับ −9.8 เมตรต่อวินาที2 และขณะที่เริ่มต้นจับเวลา ต าแหน่งของวัตถุอยู่ที่ศูนย์ จงหา 7.1) ต าแหน่งของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ วิธีท า 7.2) เวลาที่วัตถุขึ้นไปถึงต าแหน่งสูงสุด และต าแหน่งสูงสุดของวัตถุ วิธีท า 7.3) เวลาที่วัตถุขึ้นอยู่ในต าแหน่งที่สูงจากพื้นดิน 249.9 เมตร วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 160 8. รถไฟขบวนหนึ่งแล่นออกจากสถานี โดยขณะเริ่มต้น ต าแหน่งรถไฟอยู่ที่ศูนย์และรถไฟมีความเร็วเป็นศูนย์ ถ้า ณ เวลา ใด ๆ รถไฟแล่นด้วยความเร่ง 1 4 (20 − ) เมตรต่อวินาที2 จนวินาทีที่ 20 หลังจากนั้นรถไฟแล่นต่อไปด้วยความเร็วเท่าเดิมโดยตลอด จงหาว่าหลังจากวินาทีที่ 20 รถไฟแล่นด้วยความเร็วเท่าใด และเมื่อเวลาผ่านไป 30 วินาที รถไฟจะอยู่ห่างจากสถานีต้นทางเป็น ระยะทางเท่าใด วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 161 9. จากการทดลองเพาะเลี้ยงปรสิตในจานเพาะเชื้อ พบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนปรสิต (มีหน่วยเป็นตัวต่อสัปดาห์) ณ เวลา สัปดาห์ คือ () = 1,200 2 − 15 4 จงหาจ านวนปรสิต ณ เวลา ใดๆ เมื่อก าหนดให้จ านวนปรสิตเริ่มต้นคือ 600 ตัว วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 162 10. ต้นไม้ต้นหนึ่งมีอัตราการเติบโตเป็น () = 1 4 1 4 โดยที่ () แทนความสูง (มีหน่วยเป็นเมตร) ณ เวลา ปีถ้าต้นไม้สูง 1 เมตร ณ เวลาเริ่มต้น จงหาว่าต้นไม้ต้นนี้จะสูงเท่าใด ณ เวลา ปี วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 163 11. บริษัทแห่งหนึ่งพบว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าใช้จ่ายส าหรับงานชนิดหนึ่ง (มีหน่วยเป็นร้อยบาทต่อวัน) คือ () = 120 + 60 เมื่อ แทนจ านวนวันนับตั้งแต่เริ่มงาน จงหา 11.1) ค่าใช้จ่ายรวม หากงานดังกล่าวใช้เวลา 10 วัน วิธีท า 11.2) ค่าใช้จ่ายรวมนับตั้งแต่วันที่ 10 ถึง 25 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 164 12. อัตราการเปลี่ยนแปลงของการใช้พลังงานในบ้านอยู่อาศัย (มีหน่วยเป็นล้านล้านบีทียูต่อปี) ในปีที่ นับจาก ค.ศ. 2000 สามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน () = 2.17 2 − 9.74 + 19.956 โดยที่ 15 ≤ ≤ 40 จงหาการใช้พลังงานในบ้านอยู่ อาศัยทั้งหมดตั้งแต่ ค.ศ. 2015 ถึง 2040 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 165 ∎ 2.9.4 การอินทิเกรตโดยการแทนค่า ( ) เป็นเทคนิคการอินทิเกรตส าหรับการหาอินทิกรัลในรูปแบบ ∫ (()) ′ () = ∫ () ซึ่งมีสูตร โดย ∎ ∫ (()) ′ () = ∫ () เมื่อ = () และ = ′() ตัวอย่าง 93. จงหา ∫(2 + 3) 4 วิธีท า ให้ = 2 + 3 = (2 + 3) = 2 = 2 = 2 = 1 2 จากโจทย์ ∫(2 + 3) 4 = ∫() 4 [แทน ] = ∫() 4 1 2 = 1 2 ∫() 4 [ ใช้สูตร ∫ = +1 +1 + เมื่อ เป็นค่าคงตัว ] = 1 2 () 4+1 4+1 + = 1 2 () 5 5 + = () 5 10 + [แทน ] = (2+3) 5 10 + หรือ = 1 10 (2 + 3) 5 + ∎ ตัวอย่าง 94. จงหา ∫ 4(4 − 1) 3 วิธีท า จากโจทย์ ∫ 4(4 − 1) 3 = ∫(4 − 1) 3 4 …………… (1) ให้ = 4 − 1 = (4 − 1) = 4 = 4 = 4 = 1 4 จาก (1) ∫ 4(4 − 1) 3 = ∫(4 − 1) 3 4 …………… (1) = ∫() 3 [แทน = 4] = ∫() 3 [ ใช้สูตร ∫ = +1 +1 + เมื่อ เป็นค่าคงตัว ] = () 3+1 3+1 + = () 4 4 + [แทน ] = (4−1) 4 4 + หรือ = 1 4 (4 − 1) 4 + ∎ ตัวอย่าง 95. ∫ ( + 3) วิธีท า จาก ∫ ( + 3) = ∫ [แทน = ] = ∫ [แทน = ] = − cos + [แทน ] = − cos ( + 3) + ∎ ให้ = + 3 , = ( + 3) = 1 , = 1 ∙ =
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 166 กิจกรรมระหว่างเรียน 14 : แบบฝึกหัด 2.9.4 การอินทิเกรตโดยการแทนค่า ( ) 1. ∫( 2 + 2) 99 2 วิธีท า 2. ∫ 2(3 − 4) −2 วิธีท า 3. ∫ √3 + 2 วิธีท า 4. ∫ 3 √ 2+1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 167 5. ∫ cos 5 วิธีท า 6. ∫ 2 2 วิธีท า 7. ∫ 2 2 วิธีท า 8. ∫ 3 ; = วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 168 ∎ 2.9.5 การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ( ) การอินทิเกรตทีละสวน คือการอินทิเกรตฟังก์ชันที่ประกอบด้วย ฟงกชันสองรูป คูณกัน เช่น ∫ 2 sin 2 , ∫ sin 2 cos 3 , ∫ 2 , ∫ เป็นต้น ฟังก์ชันลักษณะนี้สามารถอินทิเกรตได้โดยวิธีอินทิเกรตทีละส่วน โดยเมื่อ และ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จาก () = + = − อินทิเกรตทั้งสองข้าง ∫ = ∫ − ∫ ∫ = − ∫ ดังนั้น การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ( ) เป็นเทคนิคการอินทิเกรตส าหรับการหาอินทิกรัล ซึ่งมีสูตร โดย ∎ ∫ = − ∫ ∎ หลักในการอินทิเกรตโดยใชสูตร มีหลักการ ดังนี้ 1. แบงฟงกชันออกเปน 2 สวนคือสวนของ และสวนของ 2. สวนของ ควรจะเปนสวนที่หาอนุพันธไดงาย 3. สวนของ ควรจะเปนสวนที่อินทิเกรตไดงาย ∎ หลักและขั้นตอนในการอินทิเกรตโดยใชสูตร 1. เมื่อเลือก สวนของ และสวนของ ไดแลวใหหา และอินทิเกรต พื่อหา 2. น าคาที่ไดจากขอ 1. ไปแทนคาในสูตร ∫ = − ∫ 3. ถาสวนของ ∫ ไมสามารถหาค าตอบไดใหท าการอินทิเกรตทีละสวนตอ ไปเรื่อยๆ จนกวาจะมีค าตอบ หรือมีพจนของ ∫ เทากับพจนดานซายมือ 4. ยายพจน ∫ ไปดานขวามือแลวแทนคาหาค าตอบ 5. คาคงที่ของการอินทิเกรต ใหเขียนตอทายผลของการอินทิเกรตทุกครั้ง ตัวอย่าง 96. จงหา ∫ cos , วิธีท า จากสูตร ∫ = − ∫ ให้ = หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างจะได้ = นั่นคือ = 1 ซึ่ง = 1 ∙ ดังนั้น = และให้ = cos อินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง จะได้ ∫ = ∫ cos = sin + ดังนั้น = sin แทนค่า = , = , = cos , ∫ = ∫ cos และ = sin ลงในสูตร ∫ = − ∫ จะได้ ∫ cos = − ∫ = sin − ∫ = sin − (− cos ) + = sin + cos + ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 169 ตัวอย่าง 97. จงหา ∫ ln วิธีท า จากสูตร ∫ = − ∫ ให้ = จะได้ = ( ) นั่นคือ = 1 ดังนั้น = 1 และให้ = อินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง จะได้ ∫ = ∫ = + ดังนั้น = แทนค่า = ln , = 1 , = , = ลงในสูตร ∫ = − ∫ จะได้ ∫ = ( ) − ∫ 1 = ( ) − + ∎ ตัวอย่าง 98. จงหา ∫ 2 sin 2 วิธีท า จากสูตร ∫ = − ∫ ให้ = 2 จะได้ = 2 = 2 และให้ = 3 อินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง จะได้ ∫ = ∫ 3 = −1 3 ∫ 3 3 = −1 3 cos 3 + แทนค่า = 2 , = 2 , และให้ = 3 และ = −1 3 3 + ลงในสูตร จากสูตร ∫ = − ∫ จะได้ ∫ 2 3 = ( 2 )( −1 3 3) − ∫( −1 3 3)(2 ) = − 2 3 3 + 2 3 ∫ 3 นั่นคือ ∫ 2 3 = − 2 3 3 + 2 3 ∫ 3 ......... (1) จะเห็นว่าเทอมของ 2 3 ∫ 3 ยังหาค าตอบไม่ได้ ดังนั้นจึงต้องน าเทอมนี้ไปอินทิเรตต่อโดยหา ∫ 3 จาก ∫ 3 ให้ = , = และ = 3 อินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง จะได้ ∫ = ∫ 3 = 1 3 ∫ 3 3 = 1 3 3 แทนค่า จาก = , = และ = 3 และ = 1 3 3 แทนลงในสูตร ∫ 3 = 3 sin 3 − ∫ ( 1 3 sin 3) = 3 sin 3 − −1 3 ∫(sin 3) = 3 sin 3 − −1 3 (− −1 3 3) + = 3 sin 3 + 1 9 cos 3 + นั่นคือ ∫ 3 = 3 sin 3 + 1 9 cos 3 + ........(2) แทนใน (1) จะได้ ∫ 2 3 = − 2 3 3 + 2 3 [ 1 9 cos 3 + ] = − 2 3 3 + 2 3 [ 3 sin 3 + 1 9 cos 3 + ] = − 2 3 3 + 2 9 3 + 2 27 3 + ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 170 กิจกรรมระหว่างเรียน 15 : แบบฝึกหัด 2.9.5 การอินทิเกรตโดยการแยกส่วน ( ) 1. ∫ 2 วิธีท า 2. ∫ 2 วิธีท า 3. ∫ 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 171 4. ∫ cos วิธีท า 5. ∫ 2 วิธีท า 6. ∫√ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 172 ∎ * 2.9.6 กฎของโลปิตาล (’ ) ในกรณีที่หาลิมิตของฟังก์ชันใดๆ ที่เป็นฟังก์ชันเศษส่วนหรือฟังก์ชันตรรกยะ เมื่อ มีค่าเข้าใกล้ แล้วได้ค่าของฟังก์ชัน เป็นศูนย์ ซึ่งถ้า ถ้า () และ () ต่างก็มีค่าเป็นศูนย์ หรือไม่นิยามที่ = นั่นคือ () () อยู่ในรูปของ 0 0 หรือ ∞ ∞ แล้ว จะเป็นนกรณีที่หาลิมิตของฟังก์ชันในรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาโดยใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ ) ที่นิยามโดย ∎ กฎของโลปิตาล (’ ) ถ้า () และ () ต่างก็มีค่าเป็นศูนย์ หรือไม่นิยามที่ = นั่นคือ () () อยู่ในรูปของ 0 0 หรือ ∞ ∞ แล้ว → () () = → () () = → ′() ′() เมื่อ = → ′() ′() หาค่าได้ ข้อสังเกต : 1)ถ้า ′() ′() ยังอยู่ในรูป อีก ให้ใช้กฎของโลปิตาลซ้ าไปเรื่อยๆ จนไม่อยู่ในรูป 0 0 หรือ ∞ ∞ กล่าวคือ → () () = → ′() ′() = → ′′() ′′() = → ′′′() ′′′() = … = → () () ()() หาค่าได้ 2) ถ้าฟังก์ชันแทนค่าแล้วลิมิตอยู่ในรูป 0 ∙ ∞ , ∞ ± ∞ , 0 0 , ∞0 , 1 ∞ ต้องท าให้อยู่ในรูป 0 0 หรือ ∞ ∞ แล้วจึงใช้กฎของโล ปิตาล ดังนั้นจากตัวอย่างที่ 14 ถ้าหา →1 −1 2−1 ให้ () = −1 2−1 เราทราบว่าเมื่อแทน = 1 จะได้ (1) = (1)−1 (1) 2−1 = 1−1 1−1 = 0 0 เป็นรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) เราจะหาลิมิตของฟังก์ชันโดยการ (1) แยกตัวประกอบ (แยก ) (2) คูณเข้าด้วยสังยุค () หรือ (3) พิจารณา หาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ ) ซึ่งหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน จะได้ ดังนั้น →1 −1 2−1 = →1 (−1) ( 2−1) = →1 1 2 เมื่อ ≠ 0 = 1 2(1) = 1 2 นั่นคือ →1 −1 2−1 = 1 2 ∎ ซึ่ง () = ′() และ () = ′() คืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน และ ตามล าดับ ตัวอย่างที่ 99 จงหา →1 10−1 −1 วิธีท า ให้ () = 10−1 −1 เราทราบว่า → 1 แทน = 1 จะได้ (1) = (1)−1 (1) 2−1 = 1−1 1−1 = 0 0 เป็นรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาหาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ ) โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน จะได้ ดังนั้น →1 10−1 −1 = →1 ( 10−1) (−1) = →1 10 9−0 1−0 = →1 10 9 = 10(1) 9 = 10 นั่นคือ →1 10−1 −1 = 10 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 173 ตัวอย่างที่ 100 จงหา →0 sin วิธีท า ให้ () = 10−1 −1 เราทราบว่า → 0 เมื่อแทน = 0 จะได้ (0) = 0 0 = 0 0 เป็นรูปแบบที่ไม่ก าหนด ( ∶ ) พิจารณาหาลิมิตโดยใช้กฎของโลปิตาล (’ℎ ) โดยหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วน จะได้ ดังนั้น →0 sin = →0 ( ) () = →0 cos 1 = →0 cos = cos 0 = 1 นั่นคือ →0 sin = 1 ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 16 : แบบฝึกหัด * 2.9.6 กฎของโลปิตาล (’ ) จงตรวจสอบและใช้กฎของโลปิตาล (’ ) หาค่าของลิมิติต่อไปนี้ 1. →2 2−4 −2 วิธีท า 2. →0 sin 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 174 3. →1 2−2 3+−2 วิธีท า 4. →1 2−1 3−1 วิธีท า 5. →−2 5++34 3+8 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 175 6. →2 5−32 4−2+12 วิธีท า 7. →0 วิธีท า 8. →∞ ln วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 176 2.10 ปริพันธ์จ ากัดเขต ( ) บทนิยามของอนุพันธ์ที่นักเรียนได้ศึกษาในหัวข้อ 2.3 มีแนวคิดมาจากการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง ส่วนบท นิยามของปริพันธ์จ ากัดเขตที่จะกล่าวถึงในหัวข้อนี้ มีแนวคิดมาจากการหาพื้นที่ ดังนั้น เพื่อให้ง่ายต่อการท าความเข้าใจเรื่อง ปริพันธ์จ ากัดเขต จะเริ่มต้นหัวข้อนี้ด้วยตัวอย่างเกี่ยวกับการหาพื้นที่ ดังนี้ พิจารณาพื้นที่ของบริเวณซึ่งปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 แกน และเส้นตรง = 1 จะได้ว่า บริเวณที่ต้องการหา พื้นที่คือบริเวณที่แรเงาดังรูปที่ 35 เนื่องจากไม่มีสูตรโดยตรงที่ใช้ในการหาพื้นที่ของบริเวณที่แรเงา จึงจะประมาณพื้นที่ดังกล่าวด้วยพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุม ฉากเล็กๆหลายๆ รูปที่ให้พื้นที่ใกล้เคียงกับพื้นที่ที่ก าหนด เริ่มจากแบ่งช่วงปิด [0 , 1]ออกเป็นช่วงย่อย โดยที่แต่ละช่วงย่อยมีความ กว้างเท่ากัน จากนั้นสร้างรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากบนแต่ละช่วงย่อย โดยมีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐานของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และค่า ของฟังก์ชัน ที่จุดใดจุดหนึ่งบนช่วงย่อยนั้นเป็นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก เพื่อความสะดวก ในที่นี้จะเลือกค่าของฟังก์ชันที่ จุดปลายทางขวาของแต่ละช่วงย่อยดังรูป 36 จากรูปที่ 36 ได้แบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น 4 ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน และเลือกค่าของฟังก์ชัน ที่จุดปลายทาง ขวาของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน จะได้ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม มุมฉากทั้งสี่รูป คือ 1 4 ( 1 4 ) + 1 4 ( 2 4 ) + 1 4 ( 3 4 ) + 1 4 (1) ซึ่งเป็นค่าประมาณของพื้นที่ของบริเวณที่ต้องการ เพื่อให้ได้ ค่าประมาณใกล้เคียงกับพื้นที่ของบริเวณที่ต้องการยิ่งขึ้น จะแบ่งช่วงปิด [0 , 1] ให้มีช่วงย่อยมากขึ้น รูปที่35 รูปที่37 รูปที่33
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 177 จากรูปที่ 37 ได้แบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น 8 ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน และเลือกค่าของฟังก์ชัน ที่จุดปลายทาง ขวาของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน จะได้ผลบวกของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม มุมฉากทั้งสี่รูป คือ 1 8 ( 1 8 ) + 1 8 ( 2 8 ) +. . . + 1 8 (1) ซึ่งเป็นค่าประมาณใกล้เคียงกับพื้นที่ของบริเวณที่ต้องการมากขึ้น โดยทั่วไป ถ้าแบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน และเลือกค่าของฟังก์ชันที่จุดปลายทางขวา ของแต่ละช่วงย่อยเป็นความสูงของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีช่วงย่อยบนแกน เป็นฐาน ดังรูปที่ 38 แล้วเมื่อให้ แทน ผลบวกของ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากทั้ง รูป จะได้ = 1 ( 1 ) + 1 ( 2 ) + 1 ( 3 ) +. . . + 1 ( ) = 1 ( 1 ) 2 + 1 ( 2 ) 2 + 1 ( 3 ) 2 +. . . + 1 ( ) 2 = ∑ 1 =1 ( ) 2 = = n k k n 1 2 3 1 = 1 3 ( (+1)(2+1) 6 ) นั่นคือ = (+1)(2+1) 62 จากรูปที่ 35 - 38 จะเห็นว่า ถ้าแบ่งช่วงปิด [0 , 1] ออกเป็น ช่วงย่อย โดยที่ เป็นจ านวนเต็มบวกแล้ว เมื่อ มาก ขึ้นจะได้ค่าประมาณที่ใกล้เคียงกับพื้นที่ของบริเวณที่ต้องการมากขึ้น และเมื่อ มากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุดแล้ว จะได้ว่าล าดับ จะลู่เข้าสู่จ านวนซึ่งเป็นพื้นที่ของบริเวณที่ต้องการ เมื่อหาลิมิตของล าดับ จะได้ →∞ = →∞ (+1)(2+1) 62 = 1 3 ดังนั้น พื้นที่ของบริเวณที่ต้องการเท่ากับ 1 3 ตารางหน่วย ∎ จากกระบวนการที่ใช้ในการหาพื้นที่ดังตัวอย่างข้างต้น สามารถสรุปเป็นขั้นตอนได้ดังนี้ ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [ , ] ขั้นที่ 1 แบ่งช่วงปิด [ , ] ออกเป็น ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน จะได้ว่า แต่ละช่วงย่อยกว้าง = − และให้จุดปลายของแต่ละช่วงย่อยอยู่ที่ = 0 < 1 < 2 <. . . < = ขั้นที่ 2 เลือกค่า ∗ ในแต่ละช่วงปิด [−1 , ] เมื่อ ∈ {1 , 2 , 3 , . . ., } และหา = ∑ ( ∗ ) =1 ขั้นที่ 3 หาลิมิต →∞ ถ้า →∞ มีค่า จะเรียก →∞ วา่ ปริพันธ์จ ากัดเขต ( ) ของฟังก์ชัน บนช่วงปิด [ , ] และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∫ () เรียก ว่า ลิมิตล่าง ( ) ของปริพันธ์ เรียก ว่า ลิมิตบน ( ) ของปริพันธ์ เขียนสรุปในรูปสัญลักษณ์ได้ดังนี้ ∫ () = →∞ ∑ ( ∗ ) =1 ดังนั้น ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิด [ , ] และ() ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [ , ] แล้ว ∫ () จะเป็น พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง รูปที่38
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 178 หมายเหตุ : 1. จากขั้นที่2 ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว ไม่ว่าจะเลือกค่า ∗ เป็นค่าใดในช่วงปิด [−1 , ] เมื่อ ∈ {1 , 2 , 3 , . .. , } ค่าของปริพันธ์จ ากัดเขตที่ได้จะเท่ากันเสมอ 2. ขั้นตอนการหาพื้นที่ที่กล่าวมาข้างต้น สามารถน าไปประยุกต์ใช้ในสถานการณ์อื่นๆ ได้อีก เช่น ในฟิสิกส์ ใช้หางาน ที่เกิดจากแรงกระท าที่มีขนาดไม่สม่ าเสมอ และในคณิตศาสตร์ขั้นสูง ใช้หาปริมาตรของรูปเรขาคณิตในปริภูมิ ตัวอย่างที่ 106 จงหาพื้นที่ของบริเวณในจตุภาคที่ 1 ซึ่งปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 เส้นตรง = 0 และเส้นตรง = 0 หาจุดตัดแกน โดยให้ 4 − 2 = 0 จะได้ = 2 หรือ = −2 แต่เนื่องจากต้องการหาพื้นที่ของบริเวณในจตุภาคที่ 1 ดังนั้น ช่วงบนแกน ของบริเวณที่ต้องการ คือ ช่วงปิด [0 , 2] และสามารถหาพื้นที่ของบริเวณที่ต้องการได้ตามขั้นตอน ต่อไปนี้ ขั้นที่ 1 แบ่งช่วงปิด [0 , 2] ออกเป็น ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน จะได้ว่าแต่ละช่วงย่อยกว้าง = 2−0 = 2 และจุดปลายของแต่ละช่วงย่อย คือ 0 , 2 , 4 , . . . , 2(−1) , 2 = 2 ขั้นที่ 2 เลือกจุดหนึ่งจุดใดแต่ละช่วงย่อย สมมติว่าเลือกจุดปลายทางขวาของแต่ละช่วงย่อย จะได้ = 2 ( 2 ) + 2 ( 4 ) +. . . + 2 ( 2 ) = 2 ((4 − ( 2 ) 2 ) + (4 − ( 4 ) 2 ) +. . . + (4 − ( 2 ) 2 )) = 2 (4 − ( 2 ) 2 − ( 4 ) 2 −. . . − ( 2 ) 2 ) = 2 (4 − ( 2 ) 2 (1 2 + 2 2+. . . + 2 )) = 2 (4 − 4 2 ( (+1)(2+1) 6 )) = 8 − 4(+1)(2+1) 32 = 8 − 4 3 (1 + 1 ) (2 + 1 ) ดังนั้น →∞ = →∞ (8 − 4 3 (1 + 1 ) (2 + 1 )) = 8 − 8 3 = 16 3 แสดงว่าบริเวณซึ่งปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 เส้นตรง = 0 และเส้นตรง = 0 ในจตุภาคที่ 1 มีพื้นที่ 16 3 ตารางหน่วย หมายเหตุ : จากตัวอย่างที่ 106 จะได้ว่า ∫ (4 − 2 ) 2 0 = 16 3 จะเห็นว่าการหาปริพันธ์จ ากัดเขตโดยใช้ขั้นตอนที่กล่าวมาข้างต้นมีความยุ่งยาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฟังก์ชัน มีความ ซับซ้อนมากขึ้น การหา จะท าได้ยากขึ้น ต่อไปจะแสดงการใช้ความรู้เรื่องปฏิยานุพันธ์ในการหาปริพันธ์จ ากัดเขตโดยไม่ต้องหาลิมิตของล าดับ ซึ่งจะช่วยให้การ ค านวณหาพื้นที่ของบริเวณที่ก าหนดสามารถท าได้สะดวกรวดเร็วมากขึ้น
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 179 ให้ = () เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] และ () ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [ , ] บริเวณ ที่แรเงาดังรูปที่ 39 เป็นบริเวณซึ่งปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () แกน เส้นตรง และเส้นตรง = และ เส้นตรง = เรียก พื้นที่ของบริเวณ ว่า พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง ให้ () แทน พื้นที่ ( ของบริเวณที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง เมื่อ ≤ ≤ สังเกตว่า 1. () = 0 (เนื่องจากพื้นที่จาก ถึง เท่ากับศูนย์) 2. () = ∫ () เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง ต่อไปพิจารณาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง + ℎ เมื่อ ℎ > 0 ซึ่งเท่ากับ ( + ℎ) − () ถ้า ℎ > 0 มีค่าน้อยๆ แล้ว ( + ℎ) − () มีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ที่ฐานกว้าง ℎ หน่วย และ สูง () หน่วย ดังรูปที่ 41 นั่นคือ ( + ℎ) − () ≈ ℎ ⋅ () จะได้ () ≈ (+ℎ)−() ℎ ซึ่งค่าประมาณนี้จะใกล้เคียงมากยิ่งขึ้น เมื่อ ℎ มีค่าน้อยๆ ดังนั้น เมื่อ ℎ มีค่าน้อยลงจนเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ นั่นคือ () = ′() ดังนั้น เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน รูปที่39 รูปที่41 รูปที่40
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 180 จะได้ว่าปฏิยานุพันธ์ใด ๆ ของฟังก์ชัน จะต้องอยู่ในรูป () = () + เมื่อ เป็นค่าคงตัว ………. (1) แทน ด้วย และแทน () ด้วย 0 ใน (1) จะได้() = แทน ด้วย ใน (1) จะได้ () = () + ดังนั้น () = () − = () − () เนื่องจาก () = ∫ () ดังนั้น ∫ () = () − () ∎ ซึ่งสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทได้ดังนี้ ∎ ทฤษฎีบท 13 : ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ( ) เมื่อ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] ถ้า เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน แล้ว ∫ () = () − () ∎ การหาปริพันธ์จ ากัดเขต ∫ () โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ท าได้ดังนี้ 1) หาปฏิยานุพันธ์ ของฟังก์ชัน นั่นคือ ปริพันธ์จ ากัดเขต ∫ () 2) หา () − () ซึ่งจะเป็นค่าของปริพันธ์จ ากัดเขต ∫ () จะเขียนแทน () − () ด้วยสัญลักษณ์ ()| จะได้ว่า ถ้า ′ () = () แล้ว ∫ () = ()| = () − () ตัวอย่างที่ 101 จงหา ∫ 2 1 0 วิธีท า ค าตอบที่ได้จากตัวอย่างที่ 107 คือพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กับแกน จาก 0 ถึง 1 เนื่องจาก 2 ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [0 , 1] ในการหาปริพันธ์จ ากัดเขตของฟังก์ชัน โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส จะต้องแทน ใน ()ด้วย และ เพื่อหา () − () ซึ่งจะท าให้ค่าคงตัว ลบกันหมดไป ดังนั้น จากตัวอย่างที่ 77 จะสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ ∫ 2 1 0 = 3 3 | 0 1 = (1) 3 3 − (0) 3 3 = 1 3 − 0 = 1 3 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 181 ตัวอย่างที่ 102 จงหา ∫ (4 − 2 ) 1 0 วิธีท า ค าตอบที่ได้จากตัวอย่างที่ 108 คือพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 4 − 2 กับแกน จาก 0 ถึง 2 เนื่องจาก 4 − 2 ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [0 , 2] ตัวอย่างที่ 103 จงหา ∫ 1 3 −1 −2 วิธีท า จากตัวอย่างที่ 103 เนื่องจาก 1 3 < 0 ส าหรับทุก ∈ [−2, −1] ดังนั้น ค่าของ ∫ 1 3 −1 −2 จึงไม่ใช่พื้นที่ที่ปิดล้อม ด้วยเส้นโค้ง = 1 3 กับแกน จาก −2 ถึง −1
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 182 ตัวอย่างที่ 104 จงหา ∫ 3 2 −1 วิธีท า จากตัวอย่างที่ 104 เนื่องจาก 3 < 0 ส าหรับทุก ∈ [−1, 0] ดังนั้น ค่าของ ∫ 3 2 −1 จึงไม่ใช่พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย เส้นโค้ง = 3 กับแกน จาก −1 ถึง 2
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 183 กิจกรรมระหว่างเรียน 17 : แบบฝึกหัด 2.10 การหาปริพันธ์จ ากัดเขตโดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส 1. จงหาปริพันธ์จ ากัดเขตต่อไปนี้ โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส 1.1) ∫ ( 3 + 3) 4 3 วิธีท า 1.2) ∫ ( 2 − 2 − 3) 4 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 184 1.3) ∫ (4 3 + 2) 1 −1 วิธีท า 1.4) ∫ 1 2 −1 −3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 185 1.5) ∫ ( 2 + 3 3 ) 4 2 วิธีท า 1.6) ∫ (− 4 + 2 − 1) 1 −1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 186 1.7) ∫ ( 2 + 1) 1 0 วิธีท า 1.8) ∫ 2 ( 2 + 1) 2 1 0 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 187 1.9) ∫ (2 − 3 3 ) 4 1 วิธีท า 1.10) ∫ ( 2 + 1) 2 2 0 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 188 2. ณ เวลา ใด ๆ รถยนต์คันหนึ่งวิ่งด้วยความเร่ง () เมตรต่อวินาที2 โดยที่ ∫ () = 10 5 0 ถ้ารถยนต์คันนี้วิ่ง ด้วยความเร็วต้น 20 เมตรต่อวินาที จงหาความเร็วของรถยนต์คันนี้ขณะเวลา 5 วินาที วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 189 2.11 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง ในหัวข้อที่แล้วได้กล่าวถึงปริพันธ์จ ากัดเขต โดยพิจารณาจากตัวอย่างการค านวณหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () จาก ถึง เมื่อ () ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [ , ] และพบว่าพื้นที่ดังกล่าว ∎ 2.11.1 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน สามารถเขียนได้ในรูปปริพันธ์จ ากัดเขต ∫ () ซึ่งสามารถค านวณค่าได้ง่าย โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส ในหัวข้อนี้จะศึกษาวิธีการหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน โดยแยกพิจารณาบนช่วงที่ () ≥ 0 และบนช่วง ที่ () ≤ 0 ดังกล่าวทฤษฎีบทต่อไปนี้ ∎ ทฤษฎีบท 14 : ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [ , ] และ เป็นพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง 14.1 ถ้า () ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [, ] แล้ว = ∫ () 14.2 ถ้า () ≤ 0 ส าหรับทุก ∈ [, ] แล้ว = − ∫ () รูปที่ 42 แสดงพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง เมื่อ () ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ [, ] จะได้ พื้นที่ที่แรเงาเท่ากับ ∫ () รูปที่ 43 แสดงพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก ถึง เมื่อ () ≤ 0 ส าหรับทุก ∈ [, ] จะได้ พื้นที่ที่แรเงาเท่ากับ − ∫ () ตัวอย่างที่ 105 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 3 2 กับแกน จาก 0 ถึง 1 วิธีท า รูปที่42 รูปที่43
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 190 ตัวอย่างที่ 106 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง () = 2 − 9 กับแกน จาก −2 ถึง 1 วิธีท า ตัวอย่างที่ 107 ก าหนดพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () ดังรูป ถ้า ′ () = () และ (0) = 10 แล้ว จงหา (2) และ (5) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 191 กิจกรรมระหว่างเรียน 18 : แบบฝึกหัด 2.11.1 พื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกับแกน 1. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย 1.1) เส้นโค้ง = 2 กับแกน จาก −3 ถึง 0 วิธีท า 1.2) เส้นโค้ง = + 1 กับแกน จาก −1 ถึง 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 192 1.3) เส้นโค้ง = 6 + − 2 กับแกน จาก −1 ถึง 1 วิธีท า 1.4) เส้นโค้ง = 9 − 2 กับแกน จาก −3 ถึง 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 193 5) เส้นโค้ง = 2 − 25 กับแกน จาก −1 ถึง 3 วิธีท า 2. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป ถ้า ′ () = () และ (0) = 0 แล้ว จงหา () เมื่อ ∈ {1 , 2 , 3 , 4 , 5} วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 194 3. ก าหนดพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = ′() ดังรูป ถ้า (0) = 3 แล้วจงหา (2) , (5) และ (6) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 195 4. ก าหนดกราฟของฟังก์ชันแสดงอัตราเร็วของรถยนต์คันหนึ่ง (มีหน่วยเป็นกิโลเมตรต่อชั่วโมง) ดังรูป จงหาระยะทางที่รถยนต์คันนี้ แล่นได้ในเวลา 20 วินาที วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 196 5. จงหาพื้นที่ระหว่างแกน และกราฟของเส้นโค้งสมการ = 3 − 2 − 2 บนช่วง −1 ≤ ≤ 2 พร้อมแสดงวิธีการค านวณการได้มาของลักษณะกราฟ จุดตัดของกราฟกับแกน และจุดสูงสุด จุดต่ าสุดของกราฟ วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 5 12 ตารางหน่วย 2. 8 3 ตารางหน่วย 3. 37 12 ตารางหน่วย 4. 23 3 ตารางหน่วย) 6. จงหาพื้นที่ A บริเวณใต้แกน กับกราฟสมการ = () = − 2 + 4 − 8 บนช่วง = −1 ถึง = 4 แนวค าตอบ 1. 31 1 3 ตารางหน่วย 2. 32 1 3 ตารางหน่วย 3. 11 3 ตารางหน่วย 4. 8 3 ตารางหน่วย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 197 ∎ 2.11.2 การน าอินทิกรัลไปใช้ ( ) ในการหาพื้นที่ระหว่างเคอร์ฟ ( ) ตัวอย่างที่ 108 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กับเส้นตรง = 3 − 2 วิธีท า 108.1) หาจุดตัดของสมการทั้งสองและเขียนกราฟ ให้ = () = 2 กับเส้นตรง = () = 3 − 2 จะได้ () = () นั่นคือ 2 = 3 − 2 จะได้ 2 − 3 + 2 = 0 ( − 1)( − 2) = 0 = 1 หรือ = 2 ที่ = 1 จะได้ (1) = (1) 2 = 1 และ (1) = 3(1) − 2 = 1 ที่ = 2 จะได้ (2) = (2) 2 = 4 และ (2) = 3(2) − 2 = 4 จะได้จุดตัดของกราฟทั้งสองอยู่ที่จุด (1 , 1 ) และ (2 , 4 ) นั่นคือจะต้องจงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กับเส้นตรง = 3 − 2 บนช่วง = 1 ถึง = 2 108.2) เขียนกราฟแสดงอาณาบริเวณพื้นที่ที่ต้องการหา (ดังรูป) 108.3) ค านวณหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = 2 กับเส้นตรง = 3 − 2 บนช่วง = 1 ถึง = 2 จะได้พื้นที่ = ∫ [() − ()] 2 1 = ∫ [(3 − 2) − ( 2 ) ] 2 1 = ∫ [3 − 2 − 2 ] 2 1 = [ 3 1+1 1+1 − 2 − 2+1 2+1 ]| 1 2 = [ 3 2 2 − 2 − 3 3 ]| 1 2 = [ 3 2 2 − 2 − 3 3 ]| 1 2 = [ 3(2) 2 2 − 2(2) − (2) 3 3 ]] - [ 3(1) 2 2 − 2(1) − (1) 3 3 ]] = [ 12 2 − 4 − 8 3 ] - [ 3 2 − 2 − 1 3 ] = [ 12 2 − 3 2 + 1 3 − 8 3 −4 + 2] = [ 9 2 − 7 3 -2] = [ 27 6 − 14 6 − 12 6 ] = 1 6 ตารางหน่วย ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 198 กิจกรรมระหว่างเรียน 19 : แบบฝึกหัด 2.11.2 การหาพื้นที่ระหว่างเคอร์ฟ ( ) 1. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง สมการ = () = 2 2 − 4 + 6 และ = () = − 2 + 2 + 1 บนช่วง = 1 ถึง = 2 วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 3 2 ตารางหน่วย 2. 3 ตารางหน่วย 3. 6 ตารางหน่วย 4. 8 3 ตารางหน่วย) 2. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = 2 + 4 และ = () = 2 + 2 + 3 บนช่วง = −1 ถึง = 1 พรอมค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 199 3. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = − 2 + 5 − 4 และ = () = − 4 บนช่วง = 0 ถึง = 4 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 64 3 ตารางหน่วย 2. 24 ตารางหน่วย 3. 36 ตารางหน่วย 4. 48 3 ตารางหน่วย) 4. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = + 6 และ = () = 2 บนช่วง = −2 ถึง = 3 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 15 7 ตารางหน่วย 2. 32 3 ตารางหน่วย 3. 125 6 ตารางหน่วย 4. 10 3 ตารางหน่วย)