แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 250 37. จงหาค่าสูงสุดสัมบูรณ์และค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 37.1) () = 5 − 2 − 2 บนช่วง [−2 , 3] วิธีท า 37.2) () = 3 − 6 2 − 15 + 7 บนช่วง [0 , 6] วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 251 37.3) () = 3 4 + 6 3 − 24 2 + 18 − 7 บนช่วง [−3 , 2] วิธีท า * 37.4) () = 6 5 + 15 4 − 130 3 − 210 2 + 720 + 976 บนช่วง [−2 , 4] วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 252 38. ก าหนดให้ระยะทางระหว่างจุด และเส้นโค้ง คือ ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุด และจุดใด ๆ บนเส้นโค้ง จงหา 38.1) ระยะทางระหว่างจุด (3 , 0) และเส้นโค้ง = 2 วิธีท า 38.2) ระยะทางระหว่างจุด (0 , 3) และเส้นโค้ง = 2 เมื่อ −3 ≤ ≤ 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 253 39. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีความยาวเส้นรอบรูป 6 เซนติเมตร จะต้องมีความายาวฐานเท่าใดจึงจะมีพื้นที่มากที่สุด วิธีท า 40. โรงงานแห่งหนึ่งต้องการผลิตบรรจุภัณฑ์ทรงกระบอกซึ่งมีความจุ 20π ลูกบาศก์เซนติเมตร โดยค่าวัสดุที่ใช้ท าฝาและฐานของ ทรงกระบอกเท่ากับ 100 บาทต่อตารางเซนติเมตร และค่าวัสดุที่ใช้ท าด้านข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 80 บาทต่อตาราง เซนติเมตร ถ้าโรงงานต้องการให้ต้นทุนการผลิตบรรจุภัณฑ์ต่ าที่สุด จะต้องออกแบบบรรจุภัณฑ์ ให้มีความยาวรัศมีของฐานและ ความสูงเป็นเท่าใดและจะใช้ต้นทุนเท่าใดในการผลิตบรรจุภัณฑ์ 1 ชิ้น วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 254 ⊠ 41. ต้องการท ากรวยกระดาษส าหรับดื่มน้ าที่มีพื้นที่ผิวข้าง 30π ตารางหน่วย จงหาส่วนสูงเอียงและรัศมีของฐานที่ท าให้กรวย มีปริมาตรมากที่สุด วิธีท า ⊠ 42. กระป๋องทรงกระบอกใบหนึ่ง มีพื้นที่ผิวรวมฝา 80π ตารางหน่วย จงหาความสูงและรัศมีของฐานที่ท าให้กระป๋องมีปริมาตร มากที่สุด วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 255 ⊠ 43. ในงานประเพณีบุญบั้งไฟ กลุ่มคนรักคณิตได้ส่งบั้งไฟเข้าร่วมการแข่งขันจุดบั้งไฟ ถ้าความสูงของบั้งไฟ (มีหน่วยเป็นเมตร) พิมพ์สมการที่นี่เมื่อเวลาผ่านไป วินาที หาได้จาก ℎ() = { 10 2 − 3 2 เมื่อ 0 ≤ ≤ 10 625 − 5( − 15) 2 เมื่อ 10 ≤ ≤ 15 + 5√5 จงหา 43.1 ℎ′() เมื่อ ∈ ( 0 , 15 + 5√5) วิธีท า 43.2 เวลาที่บั้งไฟขึ้นไปสูงที่สุด และความสูงของบั้งไฟ ณ เวลานั้น วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 256 44. โรงงานแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ โดยฟังก์ชันการผลิต คือ = 10 1 4 3 4 โดยที่ แทน จ านวนเสื้อที่ผลิตได้ใน 1 ชั่วโมง (มีหน่วยเป็นตัว) แทน จ านวนแรงงานที่ใช้ใน 1 ชั่วโมง และ แทน จ านวนปัจจัยทุนที่ใช้ใน 1 ชั่วโมง จงหา จ านวนเสื้อที่มากที่สุดที่โรงงานแห่งนี้จะผลิตได้ใน 1 ชั่วโมง ภายใต้งบประมาณ 100,000 บาท ถ้าแรงงานหนึ่ง หน่วยมีค่าใช้จ่าย 100 บาท วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 257 45. จงหาปฏิยานุพันธ์ 45.1) ∫(5 4 − 4 3 + 6 2 + 7) วิธีท า 45.2) ∫ (3 4 3 − 4 3 4 − 2 + 1 2 ) วิธีท า 45.3) ∫(5 2 + √ + 1) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 258 45.4) ∫(2)( 2 + 1) 2 วิธีท า 45.5) ∫ ( − 1 √ ) วิธีท า 45.6) ∫√( 3 + 2 + + 1) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 259 45.7) ∫ 2+ 3 5 วิธีท า 45.8) ∫( 2 + 1)( 4 + 2 + 1) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 260 46. ก าหนดให้ เป็นฟังก์ชันซี่ง ′′() = 6 − 2 และ มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์เป็น −1 ที่ = 1 จงหา () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 261 47. จงหาสมการของเส้นโค้ง เมื่อก าหนดความชันของเส้นโค้งที่จุด ( , ) ใด ๆ และจุดที่เส้นโค้งผ่าน ดังนี้ 47.1) ความชันของเส้นโค้งที่จุด ( , ) ใด ๆ คือ 4 3 + 9 2 − 5 และผ่านจุด (0 , 5) วิธีท า 47.2) ความชันของเส้นโค้งที่จุด ( , ) ใด ๆ คือ 5 − 3√ + 2 และผ่านจุด (4 , −2) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 262 48. จงหาความเร่งของวัตถุ () และต าแหน่งของวัตถุ () ขณะเวลา ใด ๆ ก าหนดความเร็วของวัตถุ () และ ต าแหน่งของวัตถุ ขณะเวลา = 3 ดังนี้ 48.1) () = 5 2 − 2 , 0 ≤ ≤ 16 ; (3) = 6 วิธีท า 48.2) () = 5 − 6 2 − 2 3 , 0 ≤ ≤ 8 ; (3) = −4 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 263 49. ก าหนดให้ () เป็นปฏิยานุพันธ์ของ () จงหา ∫ ( 2+3+2 ()+6 () +3 ) ในรูปของ และ () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 264 50. ในเหตุการณ์ไฟไหม้ป่าครั้งหนึ่ง อัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนต้นไม้ที่ถูกเผา เมื่อเวลาผ่านไป ชั่วโมง คือ = 6 ถ้า ณ เวลาเริ่มต้น มีต้นไม้ที่ถูกเผา 100 ต้น จงหาว่าจะมีต้นไม้ที่ถูกเผากี่ต้น เมื่อเวลาผ่านไป 10 ชั่วโมง วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 265 51. พนักงานที่มีประสบการณ์ จะใช้เวลาในการผลิตสินค้าลดลง สมมุติว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนชั่วโมงที่พนักงาน คนหนึ่งใช้ในการผลิตสินค้า ชิ้น คือ ′ () = 25 − 2 เมื่อ 0 ≤ ≤ 12 จงหาจ านวนชั่วโมงที่พนักงานคนนี้ใช้ ในการผลิตสินค้า 6 ชิ้นแรก และ 12 ชิ้นแรก พร้อมทั้งอธิบายความหมาย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 266 52. ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ในแนวตรงจากจุดหยุดนิ่งต าแหน่งศูนย์เมตร ด้วยความเร่งคงที่ เมตรต่อวินาที2 จงหาฟังก์ชันแสดงต าแหน่งของวัตถุขณะเวลา ใด ๆ วิธีท า 53. เมื่อปาวัตถุในแนวดิ่งลงมาจากดาดฟ้าตึกแห่งหนึ่ง ถ้าความสูงของวัตถุจากพื้นดิน (มีหน่วยเป็นเมตร) ขณะเวลา วินาที หาได้จาก () = −4.9 2 − + 20 จงหา 53.1) ความสูงของดาดฟ้าตึก วิธีท า 53.2) ความเร็วต้นของวัตถุ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 267 53.3) ขณะที่วัตถุมีความเร็ว −10.8 เมตรต่อวินาที วัตถุอยู่สูงจากพื้นดินกี่เมตร วิธีท า ⊠ 54. รถยนต์ 2 คัน วิ่งตามกันบนถนนสายตรงที่อนุญาตให้รถเดินทางเดียว ด้วยความเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมงเท่ากัน และอยู่ ห่างกัน 1 36 กิโลเมตร เนื่องจากถนนโล่งมาก ณ เวลาหนึ่ง รถทั้งสองจึงเร่งเครื่องพร้อมกัน โดยคันหน้าวิ่งด้วยความเร่ง 40 กิโลเมตร ต่อชั่วโมง2 ในขณะที่รถโดยคันหลังวิ่งด้วยความเร่ง 90 กิโลเมตรต่อชั่วโมง2 ถ้าคนขับรถยนต์ทั้งสองคันไม่ลดความเร่ง จะเกิด เหตุการณ์ใดขึ้น เมื่อเวลาผ่านไป 2 นาที วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 268 55. จงหาปริพันธ์จ ากัดเขตต่อไปนี้ 55.1) ∫ ( 3 − 3 2 + 3) 1 −2 วิธีท า 55.2) ∫ (4 − 5 4 ) 3 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 269 55.3) ∫ ( 3 2 − − 3 2) 4 1 วิธีท า 55.4) ∫ ( + 1)( + 3) 1 −1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 270 ⊠ 55.5) ∫ ( −1 +√ ) 9 4 วิธีท า 55.6) ∫ | − 2| 1 −2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 271 55.7) ∫ ( 1 2 + 1 3) 64 1 วิธีท า 55.8) ∫ ( −1 − 2 3 ) 27 8 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 272 56. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วย 56.1) เส้นโค้ง = −3 + 7 กับแกน ใด ๆ จาก −5 ถึง 2 วิธีท า 56.2) เส้นโค้ง = 3 2 − 2 − 1 กับแกน ใด ๆ จาก 1 ถึง 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 273 56.3) เส้นโค้ง = 12 − − 2 กับแกน ใด ๆ จาก −6 ถึง −4 วิธีท า 57. จากรูป เส้นตรง ตัดกับเส้นโค้ง () = −4 2 + 16 ที่จุด และ ซึ่งเป็นจุดบนแกน และแกน ตามล าดับ จงหาพื้นที่บริเวณที่แรเงา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 274 58. พรนภาจ้างรถบรรทุกเพื่อขนย้ายสัมภาระในการย้ายบ้าน โดยคนขับคิดค่าขนบ้ายตามระยะทางกิโลเมตรละ 15 บาท แต่ถ้า ราคาที่ต้องจ่ายเกิน 450 บาท จะคิดค่าขนย้ายย้ายในราคาเหมาจ่าย 450 บาท ถ้าระหว่างการเดินทาง พรนภาบันทึกอัตราเร็วของ รถบรรทุกได้ดังกราฟ พรนภาต้องจ่ายค่าขนย้ายเท่าใด วิธีท า 59. ก าหนดให้ ′′() = 0 ส าหรับทุก ∈ ℝ ถ้า (−1) = 0 และ (1) = 4 จงหา ∫ () 2 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 275 60. ก าหนดให้ () = 2 + + 1 เป็นปฏิยานุพันธ์ของ () และความชันของเส้นโค้ง = () ที่จุดซึ่ง = 1 คือ 5 จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง = () กับแกน จาก −1 ถึง 1 วิธีท า ⊠ 61. ก าหนดให้กราฟของฟังก์ชัน มีแกน เป็นแกนสมมาตร และ () ≥ 0 ส าหรับทุก ∈ ℝ ถ้า 1 4 ∫ () 2 −1 = ∫ () 1 0 = 3 จงหา ∫ () 2 −2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 276 62. น้ าประปารั่วออกจากถังด้วยอัตรา ′() = − 40 (มีหน่วยเป็นแกลลต่อนาที) โดยที่ () แทน ปริมาณของน้ าในถัง ณ เวลา วินาที 62.1) จงหาปริมาตรของน้ าที่ไหลออกจากถังตั้งแต่เวลา 0 ถึง 15 นาที วิธีท า 62.2) ถ้ามีปริมาตรของน้ าในถัง ณ เวลาเริ่มต้น 320 แกลลอน จงหาว่าจะต้องใช้เวลานานเท่าใด น้ าจึงจะไหลออกจากถังทั้งหมด วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 277 63. จากข้อมูลของส านักงานส ามะโนประชากรของสหรัฐอเมริกา (. . ) สามารถเขียนฟังก์ชันแสดง อัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนประชากรโลกตั้งแต่ ค.ศ.1950 (มีหน่วยเป็นล้านคนต่อปี) ได้เป็น () = −0.012 2 + 48 − 47,925 เมื่อ แทน ค.ศ. ถ้าใน ค.ศ.2017 มีจ านวนประชากรโลกประมาณ 7,500 ล้านคน จงหา 63.1) ฟังก์ชันแสดงจ านวนประชากรโลกใน ค.ศ. วิธีท า 63.2) จ านวนประชากรโลกใน ค.ศ.2050 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 278 64. นักชีววิทยากลุ่มหนึ่ง ได้ศึกษาการเพิ่มขึ้นของน้ าหนักหนูทดลอง เมื่อได้รับโปรตีนผสมสูตรพิเศษ ซึ่งประกอบไปด้วยยีสต์และ แป้งข้าวโพด ผลการศึกษาพบว่า อัตราการเพิ่มขึ้นโดยประมาณของน้ าหนักหนูทดลองกลุ่มนี้ เทียบกับร้อยละของยีสต์ในโปรตีน ผสมสูตรพิเศษ คือ = − 25 + 2 เมื่อ แทน น้ าหนักที่เพิ่มขึ้นของหนูทดลอง (มีหน่วยเป็นกรัม) และ แทน ร้อยละของ ยีสต์ในโปรตีนผสมสูตรพิเศษ ถ้ามียีสต์อยู่ร้อยละ 10 ในโปรตีนผสมสูตรพิเศษ แล้วหนูทดลองจะมีน้ าหนักเพิ่มขี้น 38 กรัม จงหาว่า หนูทดลองจะมีน้ าหนักเพิ่มขึ้นกี่กรัมถ้ามียีสต์อยู่ร้อยละ 75 ในโปรตีนผสมสูตรพิเศษ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 279 65. จงหาพื้นที่ระหว่างแกน และกราฟของสมการ = 3 − 2 − 2 บนช่วง −1 ≤ ≤ 2 พร้อมค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟกับแกน ด้วย วิธีท า แนวค าตอบ 1. 5 12 ตารางหน่วย 2. 8 3 ตารางหน่วย 3. 37 12 ตารางหน่วย 4. 23 3 ตารางหน่วย
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 280 66. จงหาพื้นที่ บริเวณใต้แกน กับกราฟสมการ = () = − 2 + 4 − 8 บนช่วง = −1 ถึง = 4 วิธีท า แนวค าตอบ 1. 31 1 3 ตารางหน่วย 2. 32 1 3 ตารางหน่วย 3. 11 3 ตารางหน่วย 4. 8 3 ตารางหน่วย 5. .......................... ตารางหน่วย)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 281 67. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = 2 − 2 และ = () = บนช่วง = 0 ถึง = 1 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 282 68. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = 2 + 4 และ = () = 2 + 2 + 3 บนช่วง = −1 ถึง = 1 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 283 69. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = − 2 + 5 − 4 และ = () = − − 4 บนช่วง = 0 ถึง = 6 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 64 3 ตารางหน่วย 2. 24 ตารางหน่วย 3. 36 ตารางหน่วย 4. 48 3 ตารางหน่วย 5. .......................... ตารางหน่วย)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 284 70. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = 2 − 4 และ = () = 4 − 2 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 79 3 ตารางหน่วย 2. 64 3 ตารางหน่วย 3. 54 3 ตารางหน่วย 4. 48 3 ตารางหน่วย 5. ..........................ตารางหน่วย)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 285 71. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = 2 + 3 + 5 และ = () = − 2 + 5 + 9 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 79 3 ตารางหน่วย 2. 64 3 ตารางหน่วย 3. 54 3 ตารางหน่วย 4. 48 3 ตารางหน่วย 5. .......................... ตารางหน่วย))
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 286 72. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = − 2 + 5 − 4 และ = () = 2 − − 4 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า (แนวค าตอบ 1. 64 3 ตารางหน่วย 2. 24 ตารางหน่วย 3. 36 ตารางหน่วย 4. 48 3 ตารางหน่วย 5. .......................... ตารางหน่วย)
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 287 สูตรการหาอนุพันธ์()และ อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ( )
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 288
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 289
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 290
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 291 ตัวอย่างตารางเปรียบเทียบผลจากการหาอนุพันธ์และการหาปฏิยานุพันธ์ อนุพันธ์() อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ( ) 1. (4) = 4 1. ∫ 4 = 4 + 2. ( 3 ) = 3 2 2. ∫ 3 2 = 3 + 3. (5 2 ) = 10 3. ∫ 10 = 5 2 + 4. (√) = 1 2√ 4. ∫ 1 2√ = √ + 5. (−√ 3 ) = − 1 3 − 2 3 5. ∫ − 1 3 − 2 3 = −√ 3 + 6. ( ) = 6. ∫ = + 7. ( ) = − 7. ∫(− ) = + 8. ( ) = 2 8. ∫ 2 = + ตัวอย่างตารางเปรียบเทียบผลจากการหาอนุพันธ์และการหาปฏิยานุพันธ์ สูตรอนุพันธ์( ) สูตรอินทิกรัล ( ) 1. () = 0 2. () =1 2. ∫ = + 3. ( ) = −1 3. ∫ −1 = (−1)+1 (−1)+1 + = 4. ( +1 +1 ) = ; ≠ −1 , ∈ ℝ 4. ∫ = +1 +1 + ; ≠ −1 , ∈ ℝ 5. [()] = [()] 6. [() + ()] = [()] + [()] 7. [() − ()] = [()] − [()] 8. [() ∙ ()] = () ∙ [()] + () [()] 9. = [()] = () ℎ = () = ∙ 10. [ () () ] = () [()]+() [()] [()] 2 11. = 11. ∫ = + 12. = 12. ∫ = + 13. = − 13. ∫( ) = − + 14. = − 14. ∫( ) = − + 15. = 2 15. ∫(2 ) = + 16. = 2 16. ∫ 2 = + 17. = − ∙ 17. ∫ = − + 18. = − ∙ 18. ∫ = − + 19. = 19. ∫ = + 20. = −2 20. ∫ 2 = − + 21. = −2 21. ∫ 2 = − +
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 292 1.) สูตรพื้นฐานของอินทิกรัลไม่จ ากัดเขต 1. ∫ = + 2. ∫ = ∫ = + เมื่อ เป็นค่าคงตัว 3. ∫ = +1 +1 + เมื่อ ≠ −1 4. ∫ = || + 5. ∫ = + 6. ∫ = + เมื่อ a 0 2.) ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 7. ∫ = − + 8. ∫ = + 9. ∫ 2 = + 10. ∫ 2 = − + 11. ∫ = + 12. ∫ = − + 13. ∫ = − | | + 14. ∫ = | | + 3.) ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก 15. ∫ ℎ = ℎ + 16. ∫ ℎ = ℎ + 17. ∫ ℎ 2 = ℎ + 18. ∫ ℎ 2 = − ℎ + 19. ∫ ℎ ℎ = − ℎ + 20. ∫ ℎ ℎ = − ℎ + 4.) ฟังก์ชันพีชคณิตในรูปเศษส่วน 21. ∫ √2−2 = −1 + 22. ∫ 2+2 = 1 −1 + 23. ∫ √2−2 = 1 −1 + 24. ∫ √2+2 = ( + √ 2 + 2) + 25. ∫ √2−2 = | + √ 2 − 2 | + 26. ∫ 2−2 = 1 2 | + − | + 27. ∫ √2−2 = − 1 | +√2−2 | + 28. ∫ √2+2 = − 1 | +√2+2 | +
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 293 [ ] = ⋅ −1 ⇔ ∫[ ⋅ −1 ] = ∙ (−1)+1 (−1)+1 = Sira Nanny Taozaa Tanitt แคลคูลัสเบื้องต้น (Calculus)