แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 200 5. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้งสมการ = () = 2 และ = () = 3 ให้ค านวณแสดงการหาจุดตัดของกราฟทั้งสองด้วย วิธีท า ตัวอย่างตารางเปรียบเทียบผลจากการหาอนุพันธ์และการหาปฏิยานุพันธ์ อนุพันธ์() อินทิกรัลไม่จ ากัดเขต ( ) 1. (4) = 4 1. ∫ 4 = 4 + 2. ( 3 ) = 3 2 2. ∫ 3 2 = 3 + 3. (5 2 ) = 10 3. ∫ 10 = 5 2 + 4. (√) = 1 2√ 4. ∫ 1 2√ = √ + 5. (−√ 3 ) = − 1 3 − 2 3 5. ∫ − 1 3 − 2 3 = −√ 3 + 6. ( ) = 6. ∫ = + 7. ( ) = − 7. ∫(− ) = + 8. ( ) = 2 8. ∫ 2 = +
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 201 ∎ 2.12. อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย และอนุพันธ์ของฟังก์ชันอดิศัย ∎ ∎ 2.12.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ( ) หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง 1. ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป = () เรียกว่า ฟังก์ชันชัดเจน ( ) คือ ฟังก์ชันที่รู้อย่างชัดเจนว่า อยู่ใน รูปของ เช่น = 12 2 + 4 , = 5 3 + 3 2 − 1 2. ฟังก์ชันโดยปริยาย หรือ ฟังก์ชันแฝง ( ) คือ ฟังก์ชันที่เราไม่รู้อย่างชัดเจนว่า ตัวแปรใดเป็นตัว แปรอิสระ โดยที่ฟังก์ชันเหล่านี้จะอยู่ในรูป (, ) = 0 หรือ (, ) = เช่น 2 + 2 = 4 , 4 + 5 6 = 3 , 8 − 4 6 + 3 2 + 2 + 8 = 0 เป็นต้น 3. การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง ( ) ท าได้ดังนี้ 3.1) ให้มองว่า เป็นฟังก์ชันของ โดยพิจารณาในรูปของฟังก์ชันประกอบ หรือ ( ) โดยให้คิดว่า = แล้วให้หาอนุพันธ์ของสมการ (, ) = เทียบกับค่า โดยหาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการ 3.2) ใช้สูตรของกฎลูกโซ่ (ℎ ℎ ) โดยให้มองว่า = แล้วให้หาอนุพันธ์ของสมการ (, ) = โดยใช้สูตร ( ) = ∙ −1 เข้าช่วยเมื่อหา ( ) ซึ่งจะได้ ( ) = ∙ −1 3.3) การหาอนุพันธ์ตัวอื่นๆ (ที่อยู่ในรูปฟังก์ชันต่างๆ) หาโดยใช้สูตรอนุพันธ์พื้นฐานที่ได้เรียนมาแล้ว 4. จัดสมการในรูป เพื่อแก้สมการหาค่า หรือ หาค่า | =,= หรือ หาอนุพันธ์อันดับสูงในรูป ตาม ต้องการ ตัวอย่างที่ 109. ก าหนดให้ 2 + 2 = 9 จงหา 109.1) 109.2) หาค่า | =0 , =3 109.3 หาสมการเส้นสัมผัสโค้งสมการ 2 + 2 = 9 ที่จุด (0 , 3) วิธีท า 109.1) หา จาก 2 + 2 = 9 หาอนุพันธ์ทั้ง 2 ข้าง จะได้ ( 2 + 2 ) = (9) ( 2 ) + ( 2 ) = (9) (2) + 2 = 0 2 = −2 = −2 2 = − ดังนั้น = − 109.1 ∎ 109.2) หาค่า | =0 , =3 จาก = − จะได้ | =0 , =3 = −(0) (3) = 0 109.2 ∎ 109.3 หาสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้งสมการ 2 + 2 = 9 ที่จุด (0 , 3) จาก = − คือสมการความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด ( , ) ใด ๆ และจาก | =0 , =3 = −(0) (3) = 0 คือความชัน (= ) ของเส้นสัมผัสเส้นโค้งสมการ 2 + 2 = 9 ที่จุด (1 , 1) = (0 , 3) จากสมการเส้นตรง − 1 = ( − 1 ) แทนค่าจะได้ − 3 = (0) ( − 0 ) − 3 = 0
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 202 ซึ่งจะได้ = 3 คือสมการเส้นสัมผัสโค้ง (สมการเส้นตรง) สมการ 2 + 2 = 9 ที่จุด (0 , 3) 109.3 ∎ ตัวอย่างที่ 110 ก าหนดให้ 3 + 4 6 = 12 จงหา 110.1) 110.2) | =1 ,=2 วิธีท า 110.1) หา จากสมการ 3 + 4 6 = 12 หาอนุพันธ์ทั้ง 2 ข้าง จะได้ จะได้ [ 3 + 4 6 ] = [12] [ 3 ] + [4 6 ] = 0 3 2 + 4 ∙ 6 5 = 0 24 5 = −3 2 = −3 2 245 = −1 2 85 = − 1 8 2 5 110.1 ∎ 63.2) หา | =1 , =2 จาก = − 1 8 2 5 จะได้ | =1,=2 = − 1 8 (1) 2 (2) 5 = − 1 256 110.2 ∎ ตัวอย่างที่ 111. ก าหนดให้ 8 + 3 2 = 0 จงหา 111.1) 111.2) | =2,=1 และ 111.3) 2 2 วิธีท า 111.1) หา จากสมการ 8 + 3 2 = 0 หาอนุพันธ์ทั้ง 2 ข้าง จะได้ จะได้ [ 8 + 3 2 ] = [0] [ 8 ] + 3 [ 2 ] = 0 8 7 + 3[() ( 2) + ( 2 ) ()] = 0 8 7 + 3[() (2) + ( 2 )(1)] = 0 8 7 + 6 + 3 2 = 0 6 = −8 7 − 3 2 = −8 7−3 2 6 111.1) ∎ 111.2) หา | =2,=1 จาก = −8 7−3 2 6 จะได้ | =2 ,=1 = −8(2) 7−3(1) 6(2)(1) = −8(128)−3(1) 12 = −1024−3 12 = −1027 12 111.2) ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 203 ตัวอย่างที่ 112 ก าหนดวงรีสมการ 16 2 + 9 2 − 144 = 0 จงหา 112.1) 112.2) | =2,=3 หรือความชัน ณ จุด (2 ,3) 112.3) สมการเส้นสัมผัสวงรี ณ จุด (2 , 3) วิธีท า 112.1) จากวงรีสมการ 16 2 + 9 2 − 144 = 0 หาอนุพันธ์ จะได้ (16 2 + 9 2 − 144) = (0) (16 2 ) + (9 2 ) − (144) = (0) 32 + 18 − 0 = 0 18 = −32 = − 32 18 112.1) ∎ 112.2) หา | =2,=3 หรือความชัน () ณ จุด (2 ,3) = 32 18 จะได้) หา | =2,=3 = − 32(2) 18(3) = − 32 27 56.1) ∎ นั่นคือ ความชัน () ของเส้นสัมผัสวงรี ณ จุด (2 ,3) = − 32 27 112.2) ∎ 112.3) หาสมการเส้นสัมผัสวงรี(สมการเส้นตรง) ณ จุด (2 , 3) ให้จุกด (1 , 1) = (2 , 3) จากสมการเส้นตรง − 1 = ( − 1 ) แทนค่าจะได้ − 3 = (− 32 27) ( − 2 ) = − 32 27 () + 64 27 = − 32 27 () − (− 32 27 ) 2 = − 32 27 () + 64 27 = − 32 27 () + 64 27 + 3 = − 32 27 () + 145 27 ซึ่งจะได้ = − 32 27 () + 145 27 คือ สมการเส้นสัมผัสวงรี (สมการเส้นตรง) ที่จุด (2 , 3) 112.3 ∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 20 : 2.12.1 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ( ) จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยปริยาย ( ) หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชันแฝง เมื่อก าหนด 1. ก าหนดให้ 3 + 2 + 2 = 10 จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 204 2. ก าหนดให้ 2 3 = 2 2 + 5 จงหา วิธีท า 3. ก าหนดให้ 1 = 3 + 2 2 2 จงหา วิธีท า 4. ก าหนดให้ 2 + 2 2 3 = 7 จงหา 4.1) 4.2) | =1,=−1 และ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 205 5. ก าหนดให้ 4 2 + 2 = 3 2 จงหา 5.1) 5.2) | =1,=1 และ (1.3) 2 2 วิธีท า 6. ก าหนดสมการเส้นโค้ง 4 + 3 − 4 3 = 5 − 1 จงหา 6.1) 6.2) | =4,=4 หรือความชัน ณ จุด (4 , 4) และ 6.3) สมการเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุด (4 , 4) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 206 7. ก าหนดวงรีสมการ 2 + 2 2 + 3 + 4 = 0 จงหา 7.1) 7.2) | =0,=0 หรือความชัน ณ จุด (0 , 0) 7.3) สมการเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุด (0 , 0) 7.4) | =0,=−2 หรือความชัน ณ จุด (0 , −2) และ 7.5) สมการเส้นสัมผัสโค้ง ณ จุด (0 , −2) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 207 ข้อ 8. ก าหนดไฮเพอร์โบลา 9 2 − 25 2 − 18 + 150 − 441 = 0 จงหา 8.1) 8.2) | =−5,=5 หรือความชัน ณ จุด (−5 ,5) 8.3) สมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด (−5 , 5) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 208 ∎ 12.2 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ( ) 1) = 7) = 2) = − 8) = − 3) = 2 9) = 2 4) = −2 10) = −2 5) = 11) = ∙ 6) = − cot 12) = − ∙ cot ∎ ทฤษฎีบท 1. ให้ () = แล้ว () = = ∎ บทแทรก 1. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = ข้อ 1. ก าหนด ให้ = ( 2 + 5) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 2. ให้ () = แล้ว () = = − ∎ บทแทรก 2. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = − ข้อ 2. ก าหนด ให้ = cos ( 4 − 2) จงหา วิธีท า ข้อ 3. ก าหนด ให้ = จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 209 ข้อ 4. ก าหนด ให้ = จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 3. ให้ () = แล้ว () = = 2 ∎ บทแทรก 3. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = 2 ข้อ 5. ก าหนด ให้ = (3 + 2) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 4. ให้ () = แล้ว () = = −2 ∎ บทแทรก 4. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = −2 ข้อ 6. ก าหนด ให้ = (3 − 5) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 5. ให้ () = แล้ว () = = ∎ บทแทรก 5. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = ∙ ข้อ 7. ก าหนด ให้ = (3 − 1) จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 210 ∎ ทฤษฎีบท 6. ให้ () = แล้ว () = = − ∎ บทแทรก 6. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = − ∙ ข้อ 8. ก าหนด ให้ = (3 + 1) จงหา วิธีท า ∎ 12.3 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ∎ ทฤษฎีบท 7. ให้ () = เมื่อ ∈ [ −1 , 1 ]และ () ∈ [− 2 , 2 ] แล้ว () = = 1 √1− 2 ∎ บทแทรก 7. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = 1 √1 − 2 ข้อ 9. ก าหนด ให้ = ( + 1) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 8. ให้ () = เมื่อ ∈ [ −1 , 1 ]และ () ∈ [0 , ] แล้ว () = = − 1 √1− 2 ∎ บทแทรก 8. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = − 1 √1 − 2 ข้อ 10. ก าหนด ให้ = (3 − 1) จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 211 ∎ ทฤษฎีบท 9. ให้ () = เมื่อ ∈ [ −∞ , ∞ ]และ () ∈ [− 2 , 2 ] แล้ว () = = 1 1 + 2 ∎ บทแทรก 9. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = 1 1 + 2 ∙ ข้อ 11. ก าหนด ให้ = (2 − 1) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 10. ให้ () = เมื่อ ∈ [ −∞ , ∞ ]และ () ∈ [0 , ] แล้ว () = = − 1 1 + 2 ∎ บทแทรก 10. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = − 1 1 + 2 ∙ ข้อ 12. ก าหนด ให้ = (3 + 2) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 11. ให้ () = เมื่อ ∈ [ −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ]และ () ∈ [0 , 2 ] ∪ [ 2 , ] แล้ว () = = 1 || √ 2−1 ∎ บทแทรก 11. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว แล้ว = 1 || √ 2−1 ∙ ข้อ 13. ก าหนด ให้ = (2 2 − 1) จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 212 ∎ ทฤษฎีบท 12. ให้ () = เมื่อ ∈ [ −∞ , −1 ] ∪ [ 1 , ∞ ]และ () ∈ [− 2 , 0 ] ∪ [0 , 2 ] แล้ว () = = − 1 || √ 2−1 ∎ บทแทรก 12. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = − 1 | | √ 2−1 ∙ ข้อ 14. ก าหนด ให้ = (2 3 − 3) จงหา วิธีท า ∎ 2.12.4 อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ( ) ∎ ทฤษฎีบท 13. ให้ () = เมื่อ ≠ 0 แล้ว () = [ ] = ∎ บทแทรก 13. ให้ () = และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว () = [ ] = ∙ ข้อ 15. ก าหนด ให้ = 4 3 2 จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 14. ให้ () = แล้ว () = [ ] = ∎ บทแทรก 14. ให้ () = และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว () = [ ] = ∙ ข้อ 16. ก าหนด ให้ = 3 3 จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 213 ข้อ 17. ก าหนด ให้ ให้ = 2 5 + 3 6 จงหา วิธีท า ∎ 2.12.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม ( ) ∎ ทฤษฎีบท 15. ให้ () = เมื่อ > 0 แล้ว () = = 1 ∎ บทแทรก 15. ให้ () = และ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ แล้ว = 1 ∙ ข้อ 18. ก าหนด ให้ ให้ = (3 − 1) จงหา วิธีท า ∎ ทฤษฎีบท 16. ให้ () = เมื่อ > 0 และ เป็นจ านวนจริงซึ่ง > 0 และ ≠ 0 แล้ว () = = 1 ∎ บทแทรก 16. ให้ () = เมื่อ เป็นฟังก์ชันของ ที่หาอนุพันธ์ได้ และ เป็นจ านวนจริงซึ่ง > 0 และ ≠ 0 แล้ว = 1 ∙ ข้อ 19. ก าหนด ให้ = 4 (2 + 3) จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 214 ข้อ 20.* ก าหนดให้ = 4 3 จงหา วิธีท า ข้อ 21.* ก าหนดให้ = 5 3 2−1 จงหา วิธีท า ข้อ 22.* ก าหนดให้ = cos จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 215 ∎ แบบฝึกหัดท้ายบท แคลคูลัสเบื้องต้น ∎ 1. จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 1.1) →0 (7 6 − 11 4 + 9) วิธีท า 1.2) →1 7+ 5+1 วิธีท า 1.3) →2 3− 2−−2 −2 วิธีท า 1.4) →1 −1 √|−1| วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 216 1.5) →1− ( 3−1 −1 ) วิธีท า 1.6) →2 2−6+5 2+4−5 วิธีท า 1.7) →1 −1 |−1| วิธีท า 1.8) →2 | 2−4+4| −2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 217 2. ก าหนดให้ () = { ||+1 1− เมื่อ < 1 + 1 เมื่อ 0 ≤ ≤ 1 2 − 5 + 9 เมื่อ > 2 จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 2.1) →0+ () วิธีท า 2.2) →0− () วิธีท า 2.3) →0 () วิธีท า 2.4) →2 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 218 2.5) →3 () วิธีท า 2.6) → 3 2 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 219 3. ก าหนดให้ () = { 2+−6 −2 เมื่อ ≠ 2 |− − 3| เมื่อ = 2 และ () = || จงหาลิมิตต่อไปนี้ ถ้าลิมิตมีค่า 3.1) →2 () วิธีท า 3.2) →2 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 220 3.3) →2 ( () () ) วิธีท า 3.4) →−2 (5 () + 4()) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 221 4. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ = 1 หรือไม่ 4.1) () = { 2−1 2− เมื่อ ≠ 1 |− − 3| เมื่อ = 1 วิธีท า 4.2) () = { 2 + + 1 เมื่อ ≤ 1 2 + 2 เมื่อ > 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 222 4.3) () = { 3−1 −1 เมื่อ ≠ 1 2 เมื่อ = 1 วิธีท า 4.4) () = { −1 − 9 10 เมื่อ 0 < < 1 10 เมื่อ ≥ 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 223 5. ก าหนดให้ () = 1 2−7+10 จงพิจารณาว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ 5.1) (−∞ , 2) วิธีท า 5.2) [3 , 4) วิธีท า 5.3) (4 , 5) วิธีท า 5.4) (5 , ∞) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 224 6. ก าหนดให้ () = { | − 2| เมื่อ < −2 + 6 เมื่อ − 2 ≤ ≤ 1 2 − + 6 เมื่อ > 1 จงพิจารณาว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงต่อไปนี้หรือไม่ (A) สร้างตาราง () … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … () = | − 2| ; < −2 ()= + 6 ; −2 ≤ ≤ 1 () = 2 − + 6 ; > 1 (B) เขียนกราฟ 6.1) (−∞ , −3) วิธีท า 6.2) (−2 , 1] วิธีท า 6.3) [−4 , 3] วิธีท า 6.4) (1 , ∞) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 225 7. จงหา และ ที่ท าให้ฟังก์ชันที่ก าหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุด 7.1) () = { 2 − − 1 เมื่อ ≤ −2 − เมื่อ > −2 วิธีท า 7.2) () = { + เมื่อ ≤ −2 | + 1| เมื่อ 2 < ≤ 4 2 − + เมื่อ > 4 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 226 8. ให้ และ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจ านวนจริง และ () = () ส าหรับทุกจ านวนจริง ที่ไม่เท่ากับ 1 ถ้า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุด จงพิจารณาว่า เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่ทุกจุดด้วยหรือไม่ วิธีท า 9. ก าหนดให้ () = { − 1 เมื่อ < 1 (2 + ) − เมื่อ ≥ 1 เมื่อ และ เป็นจ านวนจริงที่ท าให้ เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกจุด และ ′ (2) = 2 จงหา →2 () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 227 10. ก าหนดกราฟของฟังก์ชัน ดังรูป 10.1) จงหา 10.1.1) →−3− () = ………………………………………….. 10.1.2) →−3+ () = ………………………………………….. 10.1.3) →−3 () = ………………………………………….. 10.1.4) (−3) = …………………………………………... 10.1.5) →−1− () = ………………………………………….. 10.1.6) →−1+ () = ………………………………………….. 10.1.7) →−1 () = ………………………………………….. 10.1.8) (−1) = ………………………………………….. 10.1.9) →1− () = ………………………………………….. 10.1.10) →1+ () = ………………………………………….. 10.1.11) →1 () = ………………………………………….. 10.1.12) (1) = ………………………………………….. 10.1.13) →2− () = ………………………………………….. 10.1.14) →2+ () = ………………………………………….. 10.1.15) →2 () = ………………………………………….. 10.1.16) (2) = ………………………………………….. 10.1.17) →3− () = ………………………………………….. 10.1.18) →3+ () = ………………………………………….. 10.1.19) →3 () = ………………………………………….. 10.1.20) (3) = …………………………………………... 10.1.21) →4− () = ………………………………………….. 10.1.22) →4+ () = ………………………………………….. 10.1.23) →4 () = ………………………………………….. 10.1.24) (4) = ………………………………………….. 10.2) จากกราฟของฟังชัน ข้างต้นจงพิจารณาว่า 10.2.1) →4 ( 2 + ()) มีค่าหรือไม่เพราะเหตุใด วิธีท า 10.2.2) ถ้าต้องการให้ฟังก์ชัน ต่อเนื่องที่ = −1 ควรนิยาม (−1) ให้มีค่าเป็นเท่าใด วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 228 11. ถ้า เป็นฟังก์ชันซึ่ง → () มีค่าแต่ () หาค่าไม่ได้ หรือ () หาค่าได้ แต่ → () ≠ ()แล้วจะกล่าวว่า เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้( ) ที่ = 11.1) จงเขียนตัวอย่างกราฟของฟังก์ชัน ที่ไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้( ) ที่ = เมื่อ () หาค่าไม่ได้ วิธีท า 11.2) จงเขียนตัวอย่างกราฟของฟังก์ชัน ที่ไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้( ) ที่ = เมื่อ → () ≠ () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 229 11.3) ก าหนดฟังก์ชัน 1 () = 2−4 +2 และ 2 () = { − เมื่อ < 0 1 เมื่อ = 0 เมื่อ > 0 จงพิจารณาว่า (A) สร้างตาราง … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 … 1 () = 2−4 +2 2 () = − เมื่อ < 0 2 () = 1 เมื่อ = 0 2 () = เมื่อ > 0 (B) เขียนกราฟ 11.3.1) ฟังก์ชัน 1 และ 2 ไม่ต่อเนื่องแบบขจัดได้ที่ใดบ้าง วิธีท า 11.3.2) จะต้องท าอย่างไรเพื่อให้ฟังก์ชัน 1 และ 2 ต่อเนื่องที่ทุกจุด วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 230 12. จงเขียนตัวอย่างของกราฟ และ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 12.1) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [−1 , 1) และ นิยามบนช่วง [−1 , 1] แต่ ไม่ต่อเนื่องบนช่วง [−1 , 1] วิธีท า 12.2) ถ้าให้ (0) = 1 แล้วฟังก์ชัน จะไม่ต่อเนื่องบนช่วง [−1 ,0] แต่ถ้าให้ (0) = −1 แล้ว ฟังก์ชัน จะต่อเนื่องบนช่วง [−1 , 0) วิธีท า 13. ให้ = 1 2 จงหา 13.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 231 13.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.1 วิธีท า 13.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก 2 เป็น 2.01 วิธีท า 13.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ ขณะที่ เป็นค่าใดๆ วิธีท า 13.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ เทียบกับ ขณะที่ = 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 232 14. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 14.1) = 3 3 + 2 − 2√ วิธีท า 14.2) = ( 2 + 3 − 4) 3 วิธีท า 14.3) = (4 2 − 5 + 7) −5 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 233 14.4) = 2 (5 + 1) 3 วิธีท า 14.5) = (2+1) 2(1−) 3 4 วิธีท า 14.6) = ( 6+1 2−3 ) 5 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 234 14.7) = √ (+1) 3 วิธีท า 14.8) = −1 √+√2−1 วิธีท า 14.9) = 1 √ 4−6 3+3 4 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 235 14.10) = 1 ( 5+ √ 3−) 5 3 วิธีท า 15. จงหาความชันของเส้นโค้งต่อไปนี้ ณ จุดที่ก าหนดให้และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น 15.1) = 3 − 3 2 + 4 ที่จุดซึ่ง = −1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 236 15.2) = 2−2 3−5 ที่จุด (4 , 2) วิธีท า 16. ก าหนดให้ () = { | − 2| เมื่อ ≤ 0 2 − 2 − 2 เมื่อ > 0 จงตรวจสอบว่า มีเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (0 , 2) หรือไม่ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 237 17. ถ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = 2 2 + 11 + 15 ที่จุด (−3 , 0) ตั้งฉากกับกราฟของฟังก์ชัน = + ที่จุด (−3 , 0) จงหา − วิธีท า 18. ก าหนดให้ () = 2+3 +1 จงหา ′(0) และ ′(1) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 238 * 19. จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม 2 + 2 = 4 ที่จุด (1 , −√3) วิธีท า 20. ถ้าเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = 3 + 2 + ที่จุด (−1 , 3) ตั้งฉากกับเส้นตรง 3 = จงหาพิกัดของจุดตัดของเส้นโค้งนี้กับเส้นตรง = 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 239 * 21. ก าหนดให้ (3 + 5) = 2 − + 1 จงหา ′(2) , ′′(2) และ ′′′(2) วิธีท า 22. จงหาพหุนามดีกรีสาม () = 3 + 2 + + ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข (−1) = 2 ′ (0) = 5 , ′′(1) = 2 และ ′′(2) = 9 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 240 23. ก าหนดให้ () = (()) และ () = 3 , ′(3) = 5 , (3) และ ′(3) = 2 จงหา ′ ((3)) วิธีท า 24. ก าหนดให้ () = (()) และ () = (()) 2 − 4 ถ้า , (1) = 1 และ ′(1) = 5 จงหา ′ (1) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 241 25. ก าหนดให้ () = ( ∙ () + (()) 2 ) 3 2 และ (6) = 2 และ ′(6) = 1 2 จงหา ′(6) วิธีท า 26. ปริมาณสินค้าที่ผู้บริโภคต้องการซื้อ (มีหน่วยเป็นพันชิ้น) ณ ระดับราคาต่างๆ สอดคล้องกับฟังก์ชัน () = √ 2 3+1 6 เมื่อ แทนราคาสินค้าต่อชิ้น (มีหน่วยเป็นบาทต่อชิ้น) จงหา (1) , ′ (1) ,(10) และ ′(10) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 242 27. เจ้าของที่ดินต้องการสร้างคอนโดมิเนียมที่แต่ละชั้นมีห้องพักจ านวน 10 ห้อง บริษัทรับเหมาก่อสร้างคิดค่าก่อสร้างเริ่มต้นที่ 10 ล้านบาท รวมกับค่าก่อสร้างต่อชั้นซึ่งขึ้นกับจ านวนชั้นของอาคาร โดยเริ่มต้นที่ 7.9 ล้านบาทต่อชั้น และแต่ละชั้นที่เพิ่มขึ้นจะ ท าให้ค่าก่อสร้างต่อชั้นเพิ่มขึ้น 40,000 บาท ตัวอย่าง เช่น ถ้าต้องการสร้างคอนโดมิเนียมสามชั้น จะมีค่าก่อสร้างเริ่มต้น 10 ล้าน บาท และค่าก่อสร้างต่อชั้นเป็น 7.9 + 0.04 + 0.04 = 7.98 ล้านบาท จึงมีค่าก่อสร้างรวมเป็นเงิน 10 + 3(7.98) = 33.94 ล้านบาท 27.1) จงเขียนฟังก์ชัน () แสดงค่าก่อสร้างทั้งหมด (มีหน่วยเป็นล้านบาท) เมื่อเจ้าของที่ดินต้องการสร้าง คอนโดมิเนียม ชั้น วิธีท า 27.2) จงหาต้นทุนที่เพิ่มขึ้น เมื่อเจ้าของที่ดินต้องการเพิ่มจ านวนชั้นของคอนโดมีเนียมจาก 10 ชั้น เป็น 11 ชั้น วิธีท า 27.3) จงหา ′ (10) วิธีท า 27.4) เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากข้อ 27.2) และ 27.3) ว่าใกล้เคียงกันหรือไม่ และการค านวณในข้อใดซับซ้อนน้อยกว่า วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 243 28. รายได้จากการขายสินค้าชนิดหนึ่ง จ านวน ชิ้น หาได้จาก () = 400√1,000 − 2 เมื่อ 0 ≤ ≤ 1,000 ก าหนดให้ รายได้จากการขายสินค้า หน่วยสุดท้ายคือ ( + 1) − () 28.1) จงหารายได้จากการขายสินค้า เมื่อ ∈ { 200 , 400 , 600 , 800 } วิธีท า 28.2) จงหา ′ (200) , ′ (400) , ′ (600) และ ′ (800) วิธีท า 28.3) เปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้จากข้อ 28.1) และ 28.2) ว่าใกล้เคียงกันหรือไม่ และการค านวณในข้อใด ซับซ้อนน้อย กว่า วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 244 29. ฟังก์ชันที่แสดงจ านวนสินค้า ที่พนักงานคนหนึ่งสามารถตรวจนับสินค้าในคลังได้ เมื่อท างานเป็นระยะเวลา ชั่วโมง คือ () = 620 − 140 √12+ 2 29.1) จงหา ′() เมื่อ ∈ { 5 , 10 , 20 , 40 } วิธีท า 29.2) จงพิจารณาว่า ค าตอบที่ค านวณได้ในข้อ 29.1) มีค่าเพิ่มขั้นหรือลดลงเมื่อ เพิ่มขึ้น พร้อมทั้งอธิบายความหมาย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 245 30. จงหาอนุพันธ์อันดับ 2 และ 3 พร้อมหา ′′(−1) และ ′′′(2) ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 30.1) () = 5 − 3 2 + 6 4 − 5 วิธีท า 30.2) () = √ 3 − 2 6 + −2 6 วิธีท า 30.3) () = ( 1 − 3) (2 3 − 3 2 ) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 246 30.4) () = 5 − 3 2 + 6 4 − 5 วิธีท า 31. ก าหนดให้ () = 4 1−2 จงหา () () เมื่อ เป็นจ านวนเต็มบวกใด ๆ วิธีท า 32. ก าหนดให้ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ทุกอันดับได้ทุกจุด และ () = () จงหา 32.1) ′ () , ′′() , ′′′() และ (4) () ในรูปของ และอนุพันธ์ของ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 247 32.2) รูปทั่วไปของ () () เมื่อ เป็นจ านวนเต็มบวกที่มากกว่าหรือเท่ากับ 2 วิธีท า 33. ก าหนดให้ () = 2+−1 −1 จงระบุช่วงที่ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่ เป็นฟังก์ชันลด วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 248 34. ก าหนดให้ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ และ () = ( 2 − 3) ถ้า = 1 เป็นค่าวิกฤตเพียงค่าเดียวของ จงหาค่าวิกฤตของ วิธีท า 35. ถ้า () = 3 + 2 − + 2 มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์เป็น −1 ที่ = 1 จงหา + วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 249 36. จงหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 36.1) () = 4 − 18 2 วิธีท า 36.2) () = 27 − 2 4 วิธีท า