แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 50 5. จงหา 5.1) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเทียบกับความยาวด้าน เมื่อความยาวด้านของรูป เปลี่ยนจาก 10 เป็น 9 เซนติเมตร วิธีท า 5.2) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเทียบกับความยาวด้าน ขณะด้านยาว เซนติเมตร วิธีท า 5.3) อัตราการเปลี่ยนแปลงของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าเทียบกับความยาวด้าน ขณะด้านยาว 10 เซนติเมตร วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 51 6. ใส่สารหนึ่งลงในน้ ายา หลังจากเวลาผ่านไป นาที สามารถหาปริมาณของสาร (มีหน่วยเป็นกรัม) ได้จาก = 8 +1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = 3 วิธีท า 7. ขณะเริ่มต้น กระบอกสูบบรรจุอากาศ 400 ลูกบาศก์เซนติเมตร และอากาศภายในมีความดัน 15 นิวตันต่อตารางเซนติเมตร ขณะที่กดลูกสูบลง เมื่ออุณหภูมิมีค่าคงตัว ปริมาตรจะลดลง และความดันจะเพิ่มขึ้น ตามสมการ = 6,000 เมื่อ แทน ความดัน และ แทนปริมาตร จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ = 100 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 52 8. จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรง 8.1.1) เทียบกับความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมียาว หน่วย เมื่อส่วนสูงคงตัว วิธีท า 8.1.2) เทียบกับความยาวของรัศมีของฐาน ขณะรัศมียาว 5 หน่วย เมื่อส่วนสูงคงตัว วิธีท า 8.2.1) เทียบกับส่วนสูง ขณะส่วนสูงยาว ℎ หน่วย เมื่อความยาวของรัศมีของฐานคงตัว วิธีท า 8.2.2) เทียบกับส่วนสูง ขณะส่วนสูงยาว ℎ หน่วย เมื่อความยาวของรัศมีของฐานคงตัว วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 53 9. ประจุไฟฟ้าสองประจุอยู่ห่างกัน เมตร และขนาดของแรงระหว่างประจุไฟฟ้า นิวตัน เป็นไปตามสมการ = 2 เมื่อ เป็นค่าคงตัวที่มากกว่าศูนย์ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ เทียบกับ ขณะที่ เป็นจ านวนจริงที่มากกว่า 0 วิธีท า 10. ในการหย่อนปะการังเทียมจากเฮลิคอปเตอร์ลงทะเลแห่งหนึ่ง ถ้า () แทนความสูงของปะการังเทียมจากระดับน้ าทะเล (มีหน่วยเป็นเมตร) ณ เวลา (มีหน่วยเป็นวินาที) จงอธิบายความหมายของสมการ (5) = 0 และ ′ (5) = −27 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 54 11. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 11.1) () = 3 2 และ ′(2) วิธีท า 11.2) () = 3 และ ′(−1) วิธีท า 11.3) () = 1 และ ′(1) วิธีท า 11.4) () = 1 3 และ ′(−1) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 55 12. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ณ จุดที่ก าหนดให้ 12.1) () = 2 − ที่จุดซึ่ง = 0 วิธีท า 12.2) () = 2 3 + 1 ที่จุดซึ่ง = 2 วิธีท า 12.3) () = 1 2 ที่จุดซึ่ง = −1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 56 2.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้บทนิยาม 3 ในรูปของลิมิตนั้นค่อนข้างยุ่งยาก ในหัวข้อนี้จะแสดงวิธีหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันง่ายๆ บางฟังก์ชันโดยใช้บทนิยามและทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชันที่ได้กล่าวไว้ในหัวข้อ 2.1 แล้วสรุปเป็นสูตรดังนี้ ∎ สูตรที่ 1 : ถ้า () = เมื่อ เป็นค่าคงตัว แล้ว ′ () = 0 พิสูจน์ ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 − ℎ = ℎ→0 0 = 0 ∎ ตัวอยางที่ 37 จงหาอนพันธ์ของฟังก์ชัน เมื่อก าหนด 37.1) = −5 37.2) () = 1 5 วิธีท า 37.1) เนื่องจาก = −5 จะได้ = (−5) = 0 37.1) ∎ 37.2) เนื่องจาก () = 1 5 จะได้ () = ( 1 5 ) = 0 37.2) ∎ ∎ สูตรที่ 2 : ถ้า () = แล้ว ′ () = 1 พิสูจน์ ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 +ℎ − ℎ = ℎ→0 ℎ ℎ = ℎ→0 1 = 1 ∎ ตัวอยางที่ 38 ก าหนด = จงหา วิธีท า เนื่องจาก = จะได้ = () = ∎ ข้อสังเกต : รูปของอนุพันธ์ของ = อาจเขียน = () = = 1 ∎ สูตรที่ 3 : ถ้า () = เมื่อ เป็นจ านวนจริง แล้ว ′ () = −1 พิสูจน์ จะแสดงเฉพาะกรณีที่ = โดยที่ เป็นจ านวนจริงบวกเท่านั้น จะได้ว่า ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 (+ℎ) − ℎ = ℎ→0 ( 0 ) ℎ 0 + ( 1 ) −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ 2 + ( 3 ) −3ℎ 3 + … + ( ) −ℎ − ℎ = ℎ→0 ( 0 ) + ( 1 ) −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ 2 + ( 3 ) −3ℎ 3 + … + ( ) ℎ − ℎ = ℎ→0 −1ℎ + ( 2 ) −2ℎ 2 + ( 3 ) −3ℎ 3 + … + ℎ ℎ = ℎ→0 −1 + ( 2 ) −2ℎ + … + ℎ −1 = ℎ→0 −1 = −1 ∎ หมายเหตุ : ในกรณีที่ a เป็นจ านวนจริงใด ๆ ต้องใช้แคลคูลัสระดับสูงในการพิสูจน์สูตรที่ 3
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 57 ตัวอยางที่ 39 ก าหนดให้ () = 5 จงหา 39.1) ′ () 39.2) ′ (−2) วิธีท า 39.1) เนื่องจาก () = 5 จะได้ ′ () = 5 5−1 = 5 4 39.1) ∎ 39.2) จาก ′ () = 5 4 ดังนั้น ′ (−2) = 5(−2) 4 = 80 39.2) ∎ ตัวอยางที่ 40 ก าหนดให้ = 1 3 จงหา 40.1) 40.2) | = −1 วิธีท า 40.1) เนื่องจาก = 1 3 = −3 จะได้ = ( −3 ) = −3 −3−1 = −3 −4 = = − 3 4 40.1) ∎ 40.2) จาก = − 3 4 จะได้ | = −1 = − 3 (−1) 4 = −3 40.2) ∎ ตัวอยางที่ 41 ก าหนดให้ = √ จงหา 41.1) 41.2) | = 9 วิธีท า 41.1) เนื่องจาก = √ = 1 2 จะได้ = ( 1 2) = 1 2 1 2 −1 = 1 2 − 1 2 = 1 2√ 41.1) ∎ 41.2) จาก = 1 2√ จะได้ | = 9 = 1 2√9 = 1 6 41.2) ∎ ∎ สูตรที่ 4 : ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( + ) ′ () = ′() + ′() พิสูจน์ ให้ () = () + () ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 [(+ℎ) + (+ℎ)] − [()+ ()] ℎ = ℎ→0 [(+ℎ)−[()] ℎ + ℎ→0 [(+ℎ)] −[ ()] ℎ = ′() + ′() ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 58 ตัวอย่างที่ 42 ก าหนดให้ = 4 + 2 จงหา 42.1) 42.2) | = 1 2 วิธีท า 42.1) เนื่องจาก = 4 + 2 จะได้ = ( 4 ) + ( 2 ) ′ = 4 4−1 + 2 2−1 = 4 3 + 2 1 = 4 3 + 2 42.1) ∎ 42.2) จาก = 4 3 + 2 จะได้ | = 1 2 = 4( 1 2 ) 3 + 2( 1 2 ) = 1 2 + 1 = 3 2 42.2) ∎ ∎ สูตรที่ 5 : ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( − ) ′ () = ′() − ′() พิสูจน์ ท านองเดียวกับการพิสูจน์สูตรที่ 4 โดย ให้ () = () − () ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 [(+ℎ)− (+ℎ)] − [()− ()] ℎ = ℎ→0 [(+ℎ)−[()] ℎ − ℎ→0 [(+ℎ)] −[ ()] ℎ = ′ () − ′() ∎ ข้อสังเกต จากสูตรที่ 4 และสูตรที่ 5 จะได้ว่า ถ้า = () + () − ℎ() เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ นั่นคือ สามารถหา ′ () , ′ () , ℎ′() ได้ ซึ่ง = ′() + ′() − ℎ′() นั่นคือ จะขยายจ านวนฟังก์ชันที่บวกและลบกันเป็นกี่ฟังก์ชันก็ได้ ∎ จากสูตรที่ 4 และ 5 ถ้า , และ ℎ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ โดยที่ = () , = () และ = ℎ() หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( ± ± ) = () ± () ± () ตัวอย่างที่ 43 ก าหนดให้ = 6 + 3 − 2 + 4 จงหา 43.1) 43.2) | = −1 วิธีท า 43.1) เนื่องจาก = 6 + 3 − 2 + 4 จะได้ = 6 + 3 − 2 + 4 ′ = 6 6−1 + 3 3−1 − 2 2−1 + 0 = 6 5 + 3 2 − 2 43.1) ∎ 43.2) จาก = 6 5 + 3 2 − 2 จะได้ | = −1 = 6(−1) 5 + 3(−1) 2 − 2(−1) = −1 43.2) ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 59 ∎ สูตรที่ 6 : ถ้า เป็นค่าคงตัว และฟังก์ชัน หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว () ′ () = ( ′ ()) พิสูจน์ ให้ () = () จะได้ ( + ℎ) = ( + ℎ) ′ () = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ = ℎ→0 (+ℎ)− () ℎ = ℎ→0 (+ℎ)− () ℎ = ℎ→0 (+ℎ)− () ℎ = ( ′ ()) ∎ ตัวอย่างที่ 44 ก าหนดให้ = 5 2 − 3 จงหา 44.1) 44.2) ′|=2 วิธีท า 44.1) เนื่องจาก = 5 2 − 3 จะได้ = (5 2 − 3) ′ = (5 2 ) − (3) = 5 ( 2 ) − 3 () = 5(2) − 3(1) = 10 − 3 44.1) ∎ 44.2) จาก ′ = 10 − 3 จะได้ ′|=2 = 10(2) − 3 = 17 44.2) ∎ ตัวอย่างที่ 45 ก าหนดให้ () = 8 3 − 2 2 + 5 − 7 จงหา 45.1) ′() 45.2) ′(1) วิธีท า 45.1) เนื่องจาก () = 8 3 − 2 2 + 5 − 7 จะได้ () = (8 3 − 2 2 + 5 − 7) ′() = (8 3 ) − (2 2 ) + (5) − (7) = 8 ( 3 ) − 2 ( 2 ) + 5 () − (7) = 8(3 3−1 ) − 2(2 2−1 ) + 5(1) − (0) = 8(3 2 ) − 2(2 1 ) + 5 = 24 2 − 4 + 5 45.1) ∎ 45.2) จาก ′() = 24 2 − 4 + 5 จะได้ ′(1) = 24(1) 2 − 4(1) + 5 = 24 − 4 + 5 = 25 45.2) ∎ ตัวอย่างที่ 46 ก าหนดให้ () = 2 3 − 4 2 จงหา 46.1) ค่าของ ที่ท าให้ ′ () = 0 46.2) ′ (1) วิธีท า 46.1) เนื่องจาก () = 2 3 − 4 2 จะได้ () = (2 3 − 4 2 ) ′() = 6 2 − 8 ก าหนดให้ ′ () = 0 จะได้ 6 2 − 8 = 0 หรือ 2(3 − 4) = 0 นั่นคือ = 0 หรือ = 4 3 ดังนั้นค่าของ ที่ท าให้ ′ () = 0 คือ = 0 หรือ = 4 3 46.1) ∎ 46.2) จาก ′ () = 6 2 − 8 จะได้ ′ (1) = 6(1) 2 − 8(1) = −2 46.2) ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 60 ∎ สูตรที่ 7 : ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( ∙ ) ′ () = () ∙ ′ () + () ∙ ′() พิสูจน์ เนื่องจาก ( ∙ )() = () ∙ () จะได้ ( ∙ ) ′ () = ℎ→0 [(+ℎ)∙ (+ℎ)] − [()∙ ()] ℎ = ℎ→0 (+ℎ)∙ (+ℎ) −(+ℎ)()+(+ℎ)()− ()∙ () ℎ = ℎ→0 (( + ℎ) (+ℎ)− () ℎ + () (+ℎ)− () ℎ ) = ℎ→0 (( + ℎ) ℎ→0 (+ℎ)− () ℎ + ℎ→0 () ℎ→0 (+ℎ)− () ℎ = () ∙ ′ () + () ∙ ′() ดังนั้น ( ∙ ) ′ () = () ∙ ′ () + () ∙ ′() ∎ ∎ จากสูตรที่ 7 ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( ⋅ )′() = () ⋅ ′() + () ⋅ ′() หรือ ถ้า ให้ = () และ = () หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( ⋅ ) = ⋅ () + ⋅ () ตัวอย่างที่ 47 ก าหนดให้ = ( 2 − 2 + 3)(2 + 5) จงหา 47.1) 47.2) | = −2 วิธีท า 47.1) เนื่องจาก = ( 2 − 2 + 3)(2 + 5) จะได้ = [( 2 − 2 + 3)(2 + 5)] ′ = ( 2 − 2 + 3) (2 + 5) + (2 + 5) [( 2 − 2 + 3) = ( 2 − 2 + 3)(2 + 0) + (2 + 5)(2 − 2) = (2 2 − 4 + 6) + (4 2 + 6 − 10) = 2 2 − 4 + 6 + 4 2 + 6 − 10 = 6 2 + 2 − 4 47.1) ∎ 47.2) เนื่องจาก = 6 2 + 2 − 4 จะได้ | = −2 = 6(−2) 2 + 2(−2) − 4 = 16 47.2) ∎ ∎ สูตรที่ 8 : ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ และ () ≠ 0 ( ) ′ () = () ∙ ′ () − () ∙ ′() [()] 2 พิสูจน์ เนื่องจาก ( ) () = () () ( ) ′ () = ℎ→0 (+ℎ) (+ℎ) − () () ℎ = ℎ→0 (+ℎ) ∙ () − () ∙ (+ℎ) ℎ ∙ () ∙ (+ℎ) = ℎ→0 (+ℎ) ∙ ()− () ∙ () − () ∙ (+ℎ) + () ∙ () ℎ ∙ () ∙ (+ℎ) = ℎ→0 [ (()∙ (+ℎ) − () ℎ ) − (()∙ (+ℎ) − () ℎ )∙ () ∙ (+ℎ) ] = (() ∙ ℎ→0 (+ℎ) − () ℎ ) − (() ∙ ℎ→0 (+ℎ) − () ℎ )∙ () ∙ ℎ→0 (+ℎ) = (() ∙ ℎ→0 (+ℎ) − () ℎ ) − (() ∙ ℎ→0 (+ℎ) − () ℎ )∙ () ∙ () = () ∙ ′ () − () ∙ ′() [()] 2 ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 61 ∎ จากสูตรที่ 8 ถ้า และ หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( ) ′′ () = ()⋅′()−()⋅′() [()] 2 หรือ ถ้า ให้ = () และ = () หาอนุพันธ์ได้ที่ แล้ว ( ) = ⋅ ()−⋅ () [] 2 ตัวอย่างที่ 48 ก าหนดให้ () = (2−1) (2+1) จงหา 48.1) ′ () 48.2) ′ (−1) วิธีท า 48.1) เนื่องจาก () = (2−1) (2+1) จะได้ ′() = (2−1) (2+1) = (2+1) ∙ (2−1) − (2−1)∙ (2+1) (2+1) 2 = (2+1) ∙ (2−0) − (2−1) ∙ (2+0) (2+1) 2 = (2+1) ∙ (2) − (2−1) ∙ (2) (2+1) 2 = (4+2) − (4−2) (2+1) 2 = 4+2−4+2 (2+1) 2 = 4 (2+1) 2 48.1)∎ 48.2) จาก ′() = 4 (2+1) 2 จะได้ ′(−1) = 4 (2(−1)+1) 2 = 4 48.2)∎ กิจกรรมระหว่างเรียน 5 : แบบฝึกหัด 2.4 การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยใช้สูตร 1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1.1) = −3 วิธีท า 1.2) = 3 + 3 วิธีท า 1.3) = 3 − 3 + 7 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 62 1.4) = −5 2 + + 2√ − 1 √ วิธีท า 1.5) = 4 5 − 3 2 − 8 วิธีท า 1.6) = (4 2 + − 1)( + 2) วิธีท า 1.7) = ( + 1)( + 2) วิธีท า 1.8) = (4 − 2 )( 2 + 3) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 63 1.9) = ( 2 + 1) วิธีท า 1.10) = 3+2 วิธีท า 1.11) = 3 3 2+1 วิธีท า 1.12) = 1+3 1−3 วิธีท า 1.13) = (12 − 1 2 ) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 64 1.14) = 5−3 2+5−2 2 วิธีท า 1.15) = 5 6++3 √ วิธีท า 1.16) = ( 1 + 1 2 )(3 3 + 27) วิธีท า 1.17) = 4+1 2−5 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 65 1.18) = ( 3+2 ) ( −5 + 1) วิธีท า 1.19) = 3 √ + 2 วิธีท า 1.20) = (2 7 − 2 ) ( −1 +1 ) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 66 2. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ ณ จุดที่ก าหนดให้ 2.1) = (2 3 − 1 √ ) ที่จุดซึ่ง = 1 วิธีท า 2.2) () = ( 1 5 5 − 1 3 3 + 1 2 2 − 4 + 5) ที่จุดซึ่ง = 1 วิธีท า 2.3) () = (2 2 − 3 + 1)(x − 2 ) ที่จุดซึ่ง = −1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 67 2.4) () = ( 2−1 +1 ) ที่จุดซึ่ง = 2 วิธีท า 3. ก าหนดให้ (4) = 3 และ ′ (4) = −5 จงหา ′(4) เมื่อ 3.1) () = √ () วิธีท า 3.2) () = () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 68 4. ก าหนดให้ (2) = 1 , ′ (2) = −1 , (2) = 2 และ ′ (2) = 0 จงหา ′(2) เมื่อ 4.1) () = 2 () + 4 () วิธีท า 4.2) () = () +3 () () วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 69 5. จงหาพหุนามดีกรีสอง () = 2 + + ที่ (1) = 1 , ′ (1) = −1 และ ′ (0) = −3 วิธีท า 6. ในงานมหกรรมลดราคาไทยช่วยไทย ร้านขายสินค้าหัตถกรรมจากย่านลิเภาร้านหนึ่งได้บันทึกปริมาณสินค้าคงเหลือ (มีหน่วย เป็น 100 ชิ้น) ซึ่งสามารถประมาณได้ด้วยฟังก์ชัน () = 3+145 + 8 เมื่อ แทน จ านวนวันตั้งแต่เริ่มต้นงานมหกรรมลดราคา 6.1) จงหาจ านวนสินค้า ณ เวลาเริ่มต้นมหกรรมลดราคา วิธีท า 6.2) จงหาจ านวนสินค้าคงเหลือและอัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนสินค้าในวันที่ 10 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 70 6.3) จงหาจ านวนสินค้าคงเหลือและอัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนสินค้าในวันที่ 15 วิธีท า 6.4) จงหาจ านวนสินค้าคงเหลือและอัตราการเปลี่ยนแปลงของจ านวนสินค้าในวันที่ 25 วิธีท า 6.5) จงอธิบายการขายสินค้าของร้านนี้ วิธีท า 7. ในปีนี้บริษัทขายสินค้าชนิดหนึ่งในราคาชิ้นละ 250 บาท โดยขายได้ 200,000 ชิ้น ถ้าในปีต่อๆ ไป บริษัทตั้งราคาขายสูงขึ้นปีละ 10 บาท จะขายสินค้าได้น้อยลงปีละ 6,000 ชิ้น จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของรายรับรวมที่ได้จากการขายสินค้าชนิดนี้ในปีที่ 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 71 2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ( ) ในหัวข้อนี้ จะกล่าวถึงการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ซึ่งเรียกกฎในการหาอนุพันธ์นี้ว่า กฎลูกโซ่ (ℎ ) ∎ สูตรที่ 9 : ถ้า หาอนุพันธ์ได้ที่ และ หาอนุพันธ์ได้ที่ () แล้ว () ′ () = ′[()] ∙ ′ () จากสูตรที่ 9 สามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่ง ดังนี้ ถ้า = () แล้วให้ = () จะได้ว่า = [()] = [] ดังนั้น = () ′ () = ′[()] ∙ ′ () = ′[] ∙ ′ () = [] ∙ เมื่อ = () และ = [] = ∙ นั่นคือ ถ้า เป็นฟังก์ชันของ และ เป็นฟังก์ชันของ และสามารถหาอนุพันธ์ได้นั่นคือ หา และ ได้ แล้ว = ∙ ตัวอย่างที่ 49 ก าหนดให้ () = (2 − 1) 5 จงหา 49.1) ′() 49.2) () ′ (2) วิธีท า 49.1) ให้ = 2 − 1 จะได้ = () = (2 − 1) 5 = 5 โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = 5 และ = 2 − 1 จะได้ = ( 5 ) ∙ (2 − 1) = 5( 5−1 ) ∙ (2 − 0) = 5( 4 ) ∙ (2) = 10( 4 ) แทน = 2 − 1 จะได้ = 10(2 − 1) 4 แทน = 2 − 1 จะได้ = 10(2 − 1) 4 นั่นคือ ′() = 10(2 − 1) 4 49.1) ∎ 49.2) จาก ′() = 10(2 − 1) 4 จะได้ ′(2) = 10(2(2) − 1) 4 = 10(3) 4 = 810 49.2) ∎ ตัวอย่างที่ 50 ก าหนดให้ = √1 − 3 2 จงหา 50.1) 50.2) ได้ | = −1 วิธีท า 50.1) ให้ = 1 − 3 2 จะได้ = √1 − 3 2 = (1 − 3 2 ) 1 2 = 1 2 โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = 1 2 และ = 1 − 3 2 จะได้ = ( 1 2) ∙ (1 − 3 2 ) = 1 2 ( 1 2 −1 ) ∙ (0 − 6) = 1 2 ( − 1 2) ∙ (−6) = 1 2 1 2 ∙ (−6) = −6 2 1 2 = −3 1 2 แทน = 1 − 3 2 จะได้ = −3 √1−3 2 นั่นคือ = −3 √1−3 2 50.1) ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 72 50.2) จาก = −3 √1−3 2 ได้ | = −1 = −3(−1) √1−3(−1) 2 = 3 √−2 ที่ = −1 ไม่มีจ านวนจริงเป็นค าตอบ 50.2) ∎ ตัวอย่างที่ 51 ก าหนดให้ = 1 √2 2−1 3 จงหา 51.1) 51.2) ได้ | = 1 วิธีท า 51.1) ให้ = 2 2 − 1 จะได้ = 1 √2 2−1 3 = 1 (2 2−1) 1 3 = (2 2 − 1) − 1 3 = − 1 3 โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = − 1 3 และ = 2 2 − 1 จะได้ = ( 1 2) ∙ (2 2 − 1) = − 1 3 ( − 1 3 −1 ) ∙ (4 − 0) = − 1 3 ( − 4 3) ∙ (4) = −4 3 ∙ 4 3 แทน = 1 − 3 2 จะได้ = −4 3 ∙ (1−3 2) 4 3 = −4 3 ∙ √(2 2−1) 3 4 นั่นคือ = −4 3 ∙ √(2 2−1) 4 3 51.1) ∎ 51.2) จาก = −4 3 ∙ √(2 2−1) 4 3 ได้ | = 1 = −4(1) 3 ∙ √(2(1) 2−1) 3 4 = −4 3 ∙ √(1) 3 4 = − 4 3 51.2) ∎ ตัวอย่างที่ 52 ก าหนดให้ () = (()) และ () = () จงหา ′(3) เมื่อ (1) = 3 , (3) = 1 , ′ (1) = 4 และ ′ (3) = 5 วิธีท า เนื่องจากโจทย์ต้องการทราบ ′(3) เราจึงต้องหา ′() จากก าหนดให้ () = (()) โดยกฎลูกโซ่ จะได้ ′ () = ′ (()) ∙ ′() ………………… (1) และจากก าหนดให้ () = () โดยสูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน จะได้ ′ () = ∙ () + () ∙ () = ∙ ′() + () ∙ (1) ดังนั้น ′ () = ∙ ′() + () ………………… (2) จาก (1) ′ () = ′ (()) ∙ ′() จะได้ ′ (3) = ′ ((3)) ∙ ′(3) แทนค่า (3) = 1 , ′ (3) = 5 จะได้ = ′ (1) ∙ (5) นั่นคือ ได้ ′ (3) = ′ (1) ∙ (5) ………………… (3) หาค่า ′ (1) จาก (2) ′ () = ∙ ′() + () จะได้ ′ (1) = (1) ∙ ′(1) + (1) แทนค่า (1) = 3 , ′ (1) = 4 จะได้ = (1) ∙ (4) + (3) = 7 นั่นคือ ′ (1) = 7 แทนใน (3) จาก (3) ′ (3) = ′ (1) ∙ (5) = (7) ∙ (5) = 35 . ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 73 กิจกรรมระหว่างเรียน 6 : แบบฝึกหัด 2.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ ( ) 1. จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1.1) = (2 − 3) 5 จงหา 1.1.1) 1.2.2) | = 1 วิธีท า 1.2) = (1 − 3) 3 จงหา 1.2.1) 1.2.2) | = 2 วิธีท า 1.3) = (3 − 4 2 ) 4 จงหา 1.3.1) 1.3.2) | = 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 74 1.4) = (2 − 3 + 4 2 ) 3 จงหา 1.4.1) 1.4.2) | = 2 วิธีท า 1.5) = ( 3 − 2) 3 จงหา 1.5.1) 1.5.2) | = 1 วิธีท า 1.6) = √1 + 2 จงหา 1.6.1) 1.6.2) | = 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 75 1.7) = √3 2 + 2 จงหา 1.7.1) 1.7.2) | = 1 วิธีท า 1.8) = √ 2 − 3 3 จงหา 1.8.1) 1.8.2) | = 2 วิธีท า 1.9) = (2 2 − 1) −3 จงหา 1.9.1) 1.9.2) | = 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 76 1.10) = 1 ( 2−3+2) 2 จงหา 1.10.1) 1.10.2) | = 2 วิธีท า 1.11) = 1 √ 2+2 จงหา 1.11.1) 1.11.2) | = 1 วิธีท า 1.12) = 1 √ 2−2+3 3 จงหา 1.12.1) 1.12.2) | = 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 77 1.13) = ( − 3) 3 (2 + 1) จงหา 1.13.1) 1.13.2) | = 1 วิธีท า 1.14) = ( 2+1 1−2 ) 3 จงหา 1.14.1) 1.14.2) | = 2 วิธีท า 1.15) = (2+3) 3 (4 2−1) 8 จงหา 1.15.1) 1.15.2) | = 1 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 78 2. ก าหนดให้ () = 2+1 และ () = √3 − 1 จงหา ′() เมื่อ () = (()) วิธีท า 3. ก าหนดให้ () = (()) จงหา ′(2) เมื่อ (2) = 4 , ′(2) = 5 , ′ (2) = 6 และ ′ (4) = 9 วิธีท า 4. ก าหนดให้ () = (()) และ () = () จงหา ′(2) เมื่อ (2) = 3 , (3) = 2 , ′ (2) = 9 และ ′ (3) = 8 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 79 5. ก าหนดให้ () = 300 2 1+ 2 และ () = 2√ − 20 จงหา 5.1) และ วิธีท า 5.1.1) = 5.1.2) = 5.1.3) | = 2 = 5.1.4) | = 2 = 6. ถ้าจ านวนแบคทีเรียที่พบในชั่วโมงที่ (มีหน่วยเป็นเซลล์) หาได้จาก () = ( + 10) 5 จงหา พร้อมทั้งอธิบายความหมาย วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 80 7. วนิดาฝากเงิน 1 ล้านบาท เพื่อเป็นทุนการศึกษาของหลานสาว ถ้าธนาคารก าหนดอัตราดอกเบี้ย % ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ย แบบทบต้นทุกเดือน เมื่อฝากเงินครบ 18 ปี จ านวนเงินในบัญชีของวนิดาหาได้จาก () = 106 (1 + 1,200 ) 216 จงหาอัตรา การเปลี่ยนแปลงของจ านวนเงินในบัญชีของวนิดา เทียบกับอัตราดอกเบี้ย ขณะอัตราอกเบี้ยเป็น 1.5 % , 2.5 % และ 3 % ต่อปี วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 81 2.6 เส้นสัมผัสเส้นโค้ง จากที่ทราบมาแล้วว่า เส้นสัมผัสของวงกลมย่อมตั้งฉากกับรัศมีซึ่งลากมายังจุดสัมผัส ดังรูปที่ 15 ส าหรับเส้นโค้งใด ๆ จะสามารถหาเส้นสัมผัสได้ดังนี้ ก าหนดเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน = () ให้ = ( , ()) และ ( + ℎ , ( + ℎ)) เป็นจุดบนเส้นโค้ง โดยที่ ℎ ≠ 0 ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด และ คือ (+ℎ)−() (+ℎ)−() = (+ℎ)−() ℎ ซึ่งคือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ เทียบกับ เมื่อค่าของ เปลี่ยนจาก เป็น + ℎ 1) กรณี ℎ > 0 เมื่อ ℎ เข้าใกล้0 พิจารณาจุด 1 , 2 , 3 , … บนเส้นโค้ง = () ที่เข้าใกล้จุด ทางขวา มากขึ้นเรื่อย ๆ ดังรูป ที่ 16 2) กรณี ℎ < 0 เมื่อ ℎ เข้าใกล้0 พิจารณาจุด ′ , ′′ , ′′′ , … บนเส้นโค้ง = () ที่เข้าใกล้จุด ทางซ้าย มากขึ้นเรื่อย ๆ ดังรูปที่ 17 จะได้ว่า เส้นตรง 1 , 2 , 3 , … และเส้นตรง ′ , ′′ , ′′′ , … จะเข้าใกล้เส้นตรงหนึ่งเส้นซึ่ง ผ่านจุด เรียกเส้นตรงเส้นนี้ว่า เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ดังรูปที่ 18 ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด จะเท่ากับ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ ซึ่งคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ = หรือ ′ () รูปที่15 รูปที่16 รูปที่17 รูปที่18
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 82 สัญลักษณ์ที่ใช้เจาะจงต าแหน่งอนุพันธ์ () ของฟังก์ชัน = () ที่ = จะใช้สัญลักษณ์ คือ | = หรือ ′|= หรือ คือ ()| = หรือ ′() หรือ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ และนอกจากนั้นอนุพันธ์นี้เรายังเรียกว่าเป็นค่า ความชัน () ของกราฟ = () ณ จุดนั้นๆ ด้วย ∎ บทนิยาม 7 : ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ = () มีเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (, ) ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด และมีความชัน () เท่ากับ ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ (ถ้าลิมิตหาค่าได้) ∎ จากนิยาม 7 ก าหนดเส้นโค้งกราฟ = () จะได้ว่า 1) ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (, ) หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสโค้ง [เส้นตรง] ณ จุด 2) ความชัน ( m ) ของเส้นโค้ง ณ จุด ( , ) 1 1 P x y คือ |=1 = ℎ→0 (+ℎ)−() ℎ 3) สมการเส้นสัมผัสโค้ง [สมการเส้นตรง] ที่สัมผัสเส้นโค้ง = () ณ จุด (1, 1) คือ ความชัน () = −1 −1 จะได้สมการเส้นตรง − 1 = ( − 1) ซึ่งเราจัดสมการเส้นสัมผัสโค้ง (สมการเส้นตรง) นี้ในรูป = + หรือ + + = 0 ได้ ตัวอย่างที่ 53. ก าหนดเส้นโค้งสมการ = 2 2 − 2 − 4 จงหา 53.1) สมการความชัน ( m ) และความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด = 1 53.2) สมการของเส้นสัมผัสโค้ง [สมการเส้นตรง] ที่จุด (1 , −4) วิธีท า 53.1) จาก เส้นโค้งสมการ = 2 2 − 2 − 4 A) หาอนุพันธ์ จะได้สมการความชัน = (2 2 − 2 − 4) ′ = 4 − 2 53.1A ∎ B) หาความชันของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด = 1 ′|=1 = 4(1) − 2 = 2 53.1B ∎ 53.2) สมการของเส้นสัมผัสโค้ง [สมการเส้นตรง] ที่จุด (1 , −4) = (1, 1) จากสมการเส้นสัมผัสโค้ง [สมการเส้นตรง] ที่สัมผัสเส้นโค้ง = () ณ จุด (1, 1) คือ สมการเส้นตรง − 1 = ( − 1) แทนค่า − (−4) = (2)( − 1) + 4 = 2 − 2 = 2 − 6 นั่นคือสมการของเส้นสัมผัสโค้ง [สมการเส้นตรง] ที่จุด (1 , −4) คือ = 2 − 6 หรือ − 2 + 6 = 0 53.2∎ ∎ บทนิยาม 8 : ก าหนดเส้นโค้งซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชัน = () และ = ( , ()) เป็นจุดบนเส้นโค้ง เส้นสัมผัส เส้นโค้งที่จุด = ( , ()) คือ เส้นตรงที่ผ่านจุด และความชันเท่ากับ ′() จะเรียกความชันของ เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด ว่า ความชันของเส้นโค้งที่จุด ตัวอย่างที่ 54 จงหาความชันของเส้นโค้ง = 1 ที่จุด (3 , 1 3 ) วิธีท า จาก = () = 1 โดยกฎลูกโซ่ จะได้สมการความชัน ′() = ( 1 ) = ( −1 ) = (−1) −2 = − 1 2 ดังนั้น ความชันของเส้นโค้ง ที่จุด (3 , 1 3 ) คือ ′(3) = − 1 (3) 2 = − 1 9 54. ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 83 ตัวอย่างที่ 55 ก าหนดสมการวงกลม 2 + 2 = 25 จงหา 55.1) ความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด ( −3 , 4 ) 55.2) สมการของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด ( −3 , 4 ) วิธีท า 55.1) จากสมการวงกลม 2 + 2 = 25 จะได้ = ±√25 − 2 เนื่องจากจุดที่ต้องการหาความชันคือจุด ( −3 , 4 ) ดังนั้น ต้องใช้สมการ = √25 − 2 ให้ = 25 − 2 ดังนั้น = 1 2 โดยกฎลูกโซ่ จะได้ = ∙ แทน = 1 2 และ = 25 − 2 จะได้ = ( 1 2) ∙ (25 − 2 ) = 1 2 ( 1 2 −1 ) ∙ (0 − 2) = 1 2 ( − 1 2) ∙ (−2) = 1 2 1 2 ∙ (−2) = −2 2 1 2 = − 1 2 แทน = 25 − 2 จะได้ = − √25− 2 นั่นคือสมการความชัน = − √25− 2 ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด (−3 , 4 ) คือ | = −3 = −(−3) √25−(−3) 2 = 3 √16 = 3 4 55.1) ∎ 55.2) สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1 , 1) และมีความชัน คือ − 1 = ( − 1 ) เนื่องจากเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด (−3 , 4 ) เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด (−3 , 4 ) และมีความชัน 3 4 ดังนั้น สมการของเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด (−3 , 4 ) คือ − 4 = 3 4 ( − (−3)) หรือ = 3 4 + 25 4 55.2) ∎ หมายเหตุ : นักเรียนอาจหาสมการของเส้นสัมผัสวงกลม โดยใช้ความรู้เรื่องเขาคณิตวิเคราะห์เบื้องต้นที่ได้ศึกษามาแล้ว ซึ่งจะ ได้ค าตอบเป็นสมการเดียวกัน ตัวอย่างที่ 56 จงหาจุดบนเส้นโค้ง = 3 − 12 ทั้งหมดที่ท าให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน วิธีท า เส้นสัมผัสเส้นโค้ง = 3 − 12 ที่จุด ( , ) ใด ๆ มีความชันเท่ากับ = ( 3 − 12) = 3 2 − 12 ต้องการให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งขนานกับแกน นั่นคือ เส้นสัมผัสเส้นโค้งต้องมีความชันเป็นศูนย์ จะได้ 3 2 − 12 = 0 2 − 4 = 0 ( − 2)( + 2) = 0 ดังนั้น = 2 หรือ = −2 เมื่อ = 2 จะได้ = (2) 3 − 12(2) = −16 และเมื่อ = −2 จะได้ = (−2) 3 − 12(−2) = 16 ดังนั้น จุดบนเส้นโค้งที่เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้นขนานกับแกน คือ (−2 ,16 ) และ (2 , −16 ) 56. ∎
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 84 ตัวอย่างที่ 57 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = √ ที่จุด = 4 วิธีท า เส้นสัมผัสเส้นโค้ง = √ ที่จุด ( , ) ใด ๆ มีความชันเท่ากับ = (√) = ( 1 2) = 1 2 1 2 −1 = 1 2 − 1 2 = 1 2√ เมื่อ = 4 จะได้ = √4 = 2 และ ความชันของเส้นสัมผัสของเส้นสัมผัสโค้งที่จุด = 4 คือ | = 4 = 1 2√4 = 1 4 57.1 ∎ และสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด (1 , 1) และมีความชัน คือ − 1 = ( − 1 ) ดังนั้น เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่ = 4 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด ( 4 , 2) และมีความชันเป็น 1 4 คือ − 2 = 1 4 ( − 4) หรือ 4 − 8 = − 4 หรือ − 4 + 4 = 0 57.2) ∎ หมายเหตุ : การเขียนสมการเส้นสัมผัสเส้นโค้ง (สมการเส้นตรง) สามารถเขียนได้ใน 2 รูปแบบคือ รูป = + หรือ รูป + + = 0 กิจกรรมระหว่างเรียน 7 : แบบฝึกหัด 2.6 เส้นสัมผัสโค้ง 1. จงหาความชันของเส้นโค้งต่อไปนี้ ณ จุดก าหนดให้ และหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น 1.1) = 2 − 3 ที่จุด (3 , 0) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 85 1.2) = 5 2 − 6 ที่จุด (2 , 14) วิธีท า 1.3) = − 2 ที่จุดซึ่ง = 1 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 86 1.4) = 2+2 ที่จุดซึ่ง = 1 วิธีท า 1.5) = √3 2 − 4 3 ที่จุด (−2 , 2) วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 87 1.6) = 5 ( 2−−1) 2 ที่จุด (3 , 1 5 ) วิธีท า 2. ถ้ากราฟของ = ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = 3 2 + 8 ที่จุด (1 ,11) แล้ว จงหา วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 88 3. จงเขียนตัวอย่างของเส้นตรง 1 , 2 , 3 และกราฟของฟังก์ชัน และ บนช่วง [−2 , 2] บนระบบพิกัดฉากที่ สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้ 3.1) 1 สัมผัสเส้นโค้ง = () ที่จุด ( −1 , 2) และ 1 ตัดกับเส้นโค้ง = () หนึ่งจุดที่จุด ( 1 , 1) วิธีท า 3.2) 2 เป็นเส้นตรงที่มีความชันเท่ากับ 0 โดยที่ 2 สัมผัสเส้นโค้ง = () ที่จุดสองจุดและตัดกับเส้นโค้ง = () ที่จุดหนึ่งจุด วิธีท า 3.3) 3 สัมผัสเส้นโค้ง = ℎ() ที่จุดหนึ่งจุดในช่วง [−2 , −1) และสัมผัสที่ทุกจุดในช่วง (−1 , 1) แต่ตัด กับเส้นโค้ง = ℎ() ที่จุดสองจุดในช่วง ( 1 , 2] วิธีท า f , g h
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 89 4. ก าหนดสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = () ที่จุด ( 2 , 5) คือ 3 − = 1 จงหา ′(2) วิธีท า 5. ก าหนดให้ (3) = −1 และ ′ (3) = 5 จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = () ที่ = 3 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 90 6. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งมีความชันเป็น 3 และสัมผัสเส้นโค้ง = − + 2 ที่จุด ( , ) แล้ว จงหา และ วิธีท า 7. ถ้าเส้นตรง = + ขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = 3 2 − 5 ที่จุด ( 1 , −2) แล้ว จงหา และ วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 91 8. จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด ( 2 , 3) และขนานกับเส้นสัมผัสเส้นโค้ง = 3 ที่จุด ( 1 , 1) วิธีท า 9. จงหาจุดบนเส้นโค้ง = 3 − 3 ทั้งหมดที่ท าให้เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดเหล่านี้ขนานกับแกน วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 92 10. จงหาสมการเส้นตรงที่มีความชันเป็น 1 2 และสัมผัสเส้นโค้ง = 4 วิธีท า 11. จงหา และ ที่ท าให้เส้นตรง 4 + = สัมผัสเส้นโค้ง = 2 ที่ = 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 93 2.7 อนุพันธ์อันดับสูง ( ) จากหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันในหัวข้อที่ผ่านมา จะพบว่า ถ้าให้ = () เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้วจะได้ = ′() เป็นฟังก์ชันเช่นกัน ซึ่งจะสามารถน าฟังก์ชัน ′ ไปหาอนุพันธ์ต่อได้อีก ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่างที่ 58 ก าหนดให้ () = 5 3 − 6 2 + 2 − 3 58.1) จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ 58.2) จงหาอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ 58.3) จงหา ′′(2) วิธีท า 58.1) จาก () = 5 3 − 6 2 + 2 − 3 หาอนุพันธ์อันดับ 1 ของ จะได้ () = (5 3 − 6 2 + 2 − 3) หรือ ′() = 15 2 − 12 + 2 ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ คือ ′() = 15 2 − 12 + 2 58.1 ∎ 58.2) จาก ′() = 15 2 − 12 + 2 หาอนุพันธ์อันดับ 2 ของ จะได้ ′() = (15 2 − 12 + 2) หรือ ′′() = 30 − 12 ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ คือ ′′() = 30 − 12 57.2 ∎ 57.3) จาก ′′() = 30 − 12 จะได้ ′′(2) = 30(2) − 12 = 48 57.3 ∎ จากตัวอย่างที่ 58 จะเห็นว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน สามารถน าไปหาอนุพันธ์ต่อได้อีก ซึ่งจะเรียกผลลัพธ์นี้ว่า อนุพันธ์ อันดับที่ 2 ดังบทนิยามต่อไปนี้ ∎ บทนิยาม 9 : ให้ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ เป็นฟังก์ชันที่สามารถ หาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ′ ที่ ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ( ) ของฟังก์ชัน ที่ และเขียนแทนด้วย ′′() นอกจากสัญลักษณ์ ′′() แล้วยังมีสัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้แทน อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของฟังก์ชัน ที่ เช่น 2 2 , 2 2 () หรือ ′′ ตัวอย่างที่ 59 ก าหนดให้ () = 2 + 2 − 2 จงหา 59.1) ′ () 59.2) ′′() 59.3) ′′(1) วิธีท า 59.1) จาก () = 2 + 2 − 2 หาอนุพันธ์อันดับ 1 ของ จะได้ () = ( 2 + 2 − 2 ) = (2 2 + 2 − 2 −1 ) หรือ ′ () = 2 + 2 −2 ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ คือ ′ () = 2 + 2 −2 59.1 ∎ 59.2) จาก ′ () = 2 + 2 −2 หาอนุพันธ์อันดับ 2 ของ จะได้ ′() = (2 + 2 −2 ) หรือ ′′() = 2 − 4 −3 = 2 − 4 3 ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน ที่ ใด ๆ คือ ′′() = 2 − 4 3 59.2 ∎ 59.3) จาก ′′() = 2 − 4 3 จะได้ ′′(2) = 2 − 4 (1) = −2 59.3 ∎ x
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 94 ในท านองเดียวกัน สามารถกล่าวถึงอนุพันธ์อันดับอื่น ได้ดังนี้ อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 1 ของ อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ อนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ อนุพันธ์อันดับที่ ของ เป็นอนุพันธ์ของอนุพันธ์อันดับที่ − 1 ของ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ดังนี้ อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ ที่ เขียนแทนด้วย ′′() หรือ 2 2 หรือ ′′ อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ ที่ เขียนแทนด้วย ′′′() หรือ 3 3 หรือ ′′′ อนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ ที่ เขียนแทนด้วย (4) () หรือ 4 4 หรือ (4) อนุพันธ์อันดับที่ ของ ที่ เขียนแทนด้วย () () หรือ หรือ () ตัวอย่างที่ 60 จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ () = 5 4 + 2 3 − + 2 จงหา 60.1) ′′′ ( 1 2 ) และ 60.2) (4) (5) วิธีท า 60.1) จาก () = 5 4 + 2 3 − + 2 จะได้ ′() = 20 3 + 6 2 − 1 ′′() = 60 2 + 12 ′′′() = 120 + 12 ดังนั้น ′′′ ( 1 2 ) = 120( 1 2 ) + 12 = 72 60.1 ∎ 60.2) และจาก ′′′() = 120 + 12 จะได้ (4) () = 120 ดังนั้น (4) (5) = 120 60.2 ∎ ตัวอย่างที่ 61 จงหา ′′(−1) เมื่อ () = 1 2+1 วิธีท า จาก () = 1 2+10 = (2 + 1) −1 จะได้ ′ () (2 + 1) −1 โดยกฎลูกโซ่จะได้ = −1 (2 + 1) −2 (2 + 1) = −1 (2 + 1) −2 (2) = −2 (2 + 1) −2 และ ′′() = −2(−2) (2 + 1) −3 (2 + 1) = 4 (2 + 1) −3 (2) = 8 (2 + 1) −3 = 8 (2+1) 3 ดังนั้น ′′(−1) = 8 (2(−1)+1) 3 = − 8 61. ∎ เนื่องจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของ = () เทียบกับ ขณะ ใด ๆ คือ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่ ดังนั้น อนุพันธ์อันดับที่ ของ ที่ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงของ = ′() เทียบกับ ขณะ ใด ๆ n x x x n x 2
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 95 กิจกรรมระหว่างเรียน 8 : แบบฝึกหัด 2.7 อนุพันธ์อันดับสูง 1. จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 และ ′′(−1) ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1.1) () = 5 2 − 4 + 2 วิธีท า 1.2) () = 5 + 2 + 4 3 − 3 5 วิธีท า 1.3) () = 3 4 + 2 + √ − 5 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 96 1.4) () = √ 3 − 2 + 4 2 วิธีท า 1.5) () = (5 2 − 3)(7 3 + ) วิธีท า 1.6) () = +1 วิธีท า 1.7) () = 3−2 5 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 97 2. จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 3 และ ′′′(1) ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 2.1) () = −5 + 5 วิธีท า 2.2) () = 5 2 − 4 + 7 วิธีท า 2.3) () = 3 −2 + 4 −1 + วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 98 2.4) () = +1 วิธีท า 3. จงหา ′′′(2) เมื่อ () = 3 2 − 2 วิธีท า
แคลคูลัสเบื้องต้น : Calculus MA33201 M.6 PAKKRED SECONDARY SCHOOL : 99 4. ก าหนดให้ = 6 4 จงหา 4 4 วิธีท า 5. ก าหนดให้ () = 1 1− จงหา () () เมื่อ เป็นจ านวนเต็มบวกใด ๆ วิธีท า