Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.1 - scan

50 CURENŢI ALTERNATIV!

· - - - - - - - - - - - - ---~----·- -·

Curentul circuitului r, L serie e defazat în urma tensiunii (v. fig. 33.7, b) cu un unghi (:rescătror

1't

cu frecventa, care tinde către-·- , cînd (~--+00. Valoarea efectivă a curentul.ui scad!" monoton
'2

cu freevenţa, tinzînd asimptotie către: Jr = UjwL -~O (fig. 33.7. c)

"~ 1 'f
a.
.r!:!.

wt

L sL w

lL

c.

Fig. 33.7. (33.5!)

33.2.5. Circuit cu r, C serie (fig. 33.8, a). Ecuaţia circuitului. este :

u = u, -1-- uc

+U Vf sin ( wt + ~) = ri ~ ~ id1.

Căutînd soluţia de regim permanent snb forma (33.31) şi substituind-<, in eeuaţ.ie, reznld iden-

titatea (în timp) :

'V2 + Vi + -=p)U sin ( wt l ,... 1

r1 sin ( wt- y) 1 V2 sin 1 t,)l - ,1, - -
Cw \
,

Identitatea trebuie să 111' satisfăcută ~i în aeele momente ! particulare, iu eare :

TI
= .,(\)t ~~- y

Înlocuind aceste valori particulare În relaţia (33.52), rezultă eg.al.ităJile

u sin (IB---Y) l ( 3:i.54J
(3:).55)
~o---I.
' Ce~ ·

U cos ([3-y) = rl.

Ridicînd la pătrat şi adunind aceste relaţii, se obţine :

uz t

Yr +I - - - - - - - - ~ ,~.
2 ljC2 w2 U

de unde:

(33.57;

e impedanţa circuitnlui 1·, C serie.

REGIMuL PERMANENT SlNUSOlDAL fd
(33.SP )
Împărţind relaţiile (33.54} şi (33.55), se obţine:

tg ? == 1 <o,
--- ------

wCr

<CU
(i,

u())~~rl
~ u,

o---------------------~

a.

1 _}_
1 {.r / - - - -

1(''

!It-+r c;

' L.

.Fig. 33. 8.
Aceste relaţii permit cakulaxea rlef«zajului :

()

·Cu relaţiile (3il.56) ~i (33 ..58), ementul 3H' expre;oia : an' 1" --- ..__ )

V2- ' ~ ·' , -~ rC' ~.J }

sin 1(:Jt

',·

Curentul. circuitului r~ C serie e deff!zat tru'Jii.nt.en

YeDţc mici ca 1 c = UC cu .. tînzînd m<motun c-ătrr; FR '-~ U /l' (f1g.

3.3.2.6. Circuit r, L C ;;cYie (frg. _Ecuaţia ei:r(:u.itrdu)
(31.30') ePi.f ·

di

+

Fig. 33.9. -j- .l \ Hit.

('

52 CURENŢI ALTEh'NATlV!

Căutînd .s:olut:ia de regin1 ,perrnanent s1.:~h forJna (:-~;.3.:=n) .;i ~uhst.ituind~o în e("uaţie, :rezultă ~{}(.~,a~
titat·ea (ln t:in) p) ;

U VT sin ( wt + p) -""' d V2- sin (oi - y) t. 1

5U.l (•J.l-

-r 1
Cw

.[_'- "l' n (;'o - -- y·_) ~= (.L1 ,,_, -- --!-.;-) J
Cr,,

F
/, ( 33.63)

de nnde

1.-, (33.63) ~i (33.6-i), "~ ob1.ine:

1 L. =

1
1

.e irnpedanţ.a <:.ircu.itl:tl~Ji r. L~ G serie.

i LN ---- __!__

-·--- = 1 c())

tg G~ y) i tg· '? =-_:~ ,~----------­

:

i__ -----·-

cu

r

Aeeste relaţii permit ca!eul.area defazajului: .)

C:u t·elaţiile (3 3. 6 S) ;i

i =------__}_:_~------·

r<EGlMllL PEl(MAi~ENT SINUSOlDAL

E-~· 'rP1~Jservă eă aecst circujt cuprinde.! in cazuri pa:rt.icu]a.re~ toate cire"tlitelc .-:".tudiate anterior,:

n"z,ioturn 1 ideal (cu L ~ O. C--" oo). IHJlJina ideală (cur~ O, C -~- oc), condem.atorul ideal (eu

.r __, 1rl. L -+ 0), drcuitul r. L (eu C ~ şi circuitul r, C (cu L -> 0}.

Exemplele precedente arată că metoda substituţiei pe1·mite detm·minarea
§î:i:dit dificultăţi a curentului de n·gim permanent. Dacă circuitele sint mai com-
fJllexe, ramificate etc., cakulele devin îm;ă complicate şi nu permit o privire de
ansamhlu asupra proprietăţil.t:~:r calitative ale circuitului. De aceea, în tehnică
se fl[l]osesc alte metode (v. par. 3:1.) mai sistematice şi maii intuitive.

33.3. Caracterizarea circuitelor liinian'
în regim pennanent simuwidaJ

c:aracterizarca unui c]n~uit de cmrent alternativ sinusoidai - l a o frecventă
da~ă- se poate face eu ajutorul at um:nai doi parametri. Există diferite modl{ri

~le alegere a acestei percehi. de parametri.

3.3.3.1. Impedanţa şi defazaj;d, F'ie un dipoli ellectric liniar şi pasiv

f(fig. 3'.3.10, a), sub tensiunea la ho:rn;; ,.,]nusoidală de frecvenţă = w dfttă :
2rr

V2 +u = U Fin ( w t ~). (33.70)

Cmentul de regim permanent sensul de referintă corespunzător :regulii de
b reeeptoare) va ii de asemene:1! sinusoidal şi de adeeaşi frecvenţă :

(33.71)

+?i poate ~fi determinat cu metoda snbstit<Iţiei exen:liplifieată lin paragraful pre-

cedent. In general, y i~ şi rapmrtul

o:/= const. (33.72)

i(l)

e fnnetiune de timp in curent ahernntiu, raportul dintre tensiunea la
.borrne i~stantan.ee şi curenhd insl,a;nta:n.eu. nu mai e o constantă ca.racte-
ristidi circuitului, ca fn curenL contin,cw.
11 . b.
Deoarece ci:rcuitul! e liniar şi pasiY.
cînd ,-aloarea efectivă a tensiunii creste Fig. 33.10.
de {, ori şi valoarea efectivă a c1.uenu.;. lui
-creşte de ), ori, iar fa~;de iniţia1e ră.m1n
neschimbate; de asemenea, dl(!eă la faza u
-iniţiaHi a tensiunii se adaugă lm te:rmen
aditiv, totul se petrece ca şi cliJm. s-m- fi

,.:chimhat ongmea timpulu:i, §lt Ia faza
iniţială a curentului se adaug;Ji aceeaşi
.:antiita:te. Rezultă că raportul: tJ(1lorilor
";~ecl!.~'e ~~. drj'erenţa j'a.zef.or u•n.ţ.HEl'e al..e ten-

CURENŢJ ALTEl,NATIVI

------------ ---------- ------------------------------------·----

siunU aplicate si curentului sint mărimi independente de tensiuni si de curent

proprii pentru ~ caracteriza circuitul studiat la frecvenţa de lucru.' De aceea:

pentru caracterizarea circuitului se definesc :
lmped11:nţa circuitului:

l _, lI z r·IU/oo:::o "-=- - { {u;·r-, L. , .(,,'.... ) ~,. O, (33. 73)

·-----------~ w f2rr: şi de para-

Jc:are e totdeauna pozitivă şi depinde numai ds :frecvenţa =

m~:~tdi circuitului, şi se măsoară în oh::ni ca şi Ye~i9tenţa;
Oejfzr-afuJ ci:rc;titulai ~

~""(p (3 -·y 1 g ( {J); r, L, C,,..) ~ O, {33.74)

c1ue depinde n.urnai de fo:eeventa f = w /2rr: si de parametrii circuitului si se

măsoară î.n tw.r.Hcani. Dadi se cm;osc Z şi rp, ~ureniul i e univoc determinat,

~:leoarem'l ][ = U /Z ş.i y = ~ -- rp :

(33.75)

exemplele de la paragraful 33.2. au fost determinate impedanţele şi defaza-
jele circuitelor simple studiate (v. 33.36, 33~.'33, 33.40, 33.47 şi 33.48, 33.57 şi:
33 "!.:)'b')" 3• ";_;~'"O··6· Şl. ~9>'3a,.fu-"7~ ) ..

Circuitele pasive neconţinînd generatoare absorb o putere medie pozitivă
(cel m.ult n:;lă~. Aşa cum, s~ va arăt.a în paragraful 33.4, din această proprie-
tate, n~zulta ea pentr.u cu·eu1tele pas1ve :

1 ;;os tp > O. 1· (33.76)

~!

Defazajul aeestor eîreuite e 1leci cuprins în intervalul:

(33.77)

Şl e tmivoc earacterizat de tangenta_lui (tgrp).

33.3.2. Rezistenta si reactanta. In locul parametrilor Z si tp se mai folosesc
pentru caracterizare~ a~eluiaşi ci~·cuit parametrii R şi X, defi~iţi cum urmează ~

Rezistenţn circuitului 1 :

-----------

. R = u cos cp = Z cos rp 1 > O, (33.78}

1I l

l Această mărime nu trebuie confundată cu r~zi>t~nţa defi.uită prin le:;~:1 cJrd~~ţiei
electrice (rezistenţa de curent contin!!u), cu care c:.incide nrrm1i în caz:1ri p::trticl_llare şi spra
deosebire de eare este în genera! o fnnr:ţiuue de frecvenţă. De aceea, rezistenţa de c11rent cJntinm.J,
a fost notată nrai sus cu. r.

REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL - - - - - - · - - - - - - - -5-5

·--

unde UR = U cos q; se mai numeşte componenta activă a tensiunii aplicate
(v. mai departe relaţia 33.116).

Reactanţa cirwitului :

= · =X Z"1 , U sin (jJ • m t" ): () (33.79)
1I r 1 <- '
Slll

1'

unde U x: = U sin (p se mai nmn.eşte componenta reactivă a tensiunii aplicate
(v, mai departe relaţia 33.116).

Dacă se dau rezistenţa şi reactanţa, defazajul şi impedanţa rezultă din

relaţiile :

ztg :p
X ., cos :p R s1n (!? = z-X- , -' -_l/rX2 -t,- R~2, (33.80)
R
z'

eare se reţîn uşor eu ajutorul "triunghiului impedanţelor" (fig. 33.11, a), iar
valoarea instantanee a curentului se scrie :

--=----== + -i =: [} -V~e2-- sin ( wt . ~ arc t.g :X._ )1.t (33.81)
YR2 -h X2
R)

H.ezistenţa ŞI reactanţa se măsoară in ohmi (n).

33.3.3, .~dmitanţa şi defazajul. În locul impedanţei se poate folosi pentru
caracterizarea circuitului valoarea ei reciprocă, numită :

Admitanţa circuitldui :

1 y = !_ = _!_ 1 > o, (33.32)
l_ _ _z _ u _ j

care împreună cu defazajul q; constituie un sistem complet de parametrii carac-
teristici. Există, evident, relaţiile :

I = YU; Y = ~ _ 1 ; R = cos rp iY; X = sin rp fY, (33.33)
VR2+ X2

iar valoarea instantanee a a.
curentului se scrie ,:
Fig. 33.11.
+ -V2i = U Y sin ( wt ~ q;).
(33.84)
Admitanta se măsoară în
siemens (1 S = 1 Q-1).

33.3.4. Conductanta si
susceptanţa. În locul par~­
metrilor Z şi ;:p, sau R şi X,

CURENTI ALTERNATIV!

sau Y si ([), se mai foloseFc pentru caracterizarea aceluiaşi c.iTcuit parametrii G
ŞI B. defi'niti cum urmează :

Conductanţa circuitului 1

--u-- or'G ~= J cos m 1 '> ', (33.85)
= co.S ? 1
T

umle Ic = I cos 9 se numeşte componenta activă a. curentului.

Susceptanta circuitului 2 :

f B = L~in cp = Y sin m 11 O.:( (33.86)
j lJ •1

unde I 8 == I sin ? se numeşte componenta reactivă a curentului.
Dacă se dau conductanta ~i suseeptanţa, defazajul şi admitanţa rezultă

din relatiile : '

-By,· y = V B~' -G ' '
+ "''
ta ([) = -BG '' COS ([,) = -Gy-- ,: S.lll c':J = . (33.87}
b.

care se retin uşor cu ajutorul ,,triunghiului admitanţelor" (fig. 33.1 1, b).
Totodată;

Z= -V~~G!2--t---=B=2-:' G = RJZJj 2 :~ B= X!Z2 : R= Gf't72 : X= B IY2 (33.88)
' 8 .,
•'

iar Yaloarea instantanee a curentului se scrie : (33.89)

+ + -V V2i = U G2 Jj2 sin ( cut ~ arc tg% )·

Conductanţa Şl susceptanţa se măsoară în siemens (Q-1).

33.3.5. Aplicaţii: În exemplele (33.2.1.. .. 33.2.6) s-au calculat impedanţa şi defazajul cir-

mitelor celor mai simple. Calculînd acum şi ceilalţi parametri, se obţin datele din tabela ali'i-

turată, completată cn îneă două circuite tip paralel, a căror rezolvare se propune ca exerciţiu.

O b s e r v a ţ i i : r1) Din examinarea acestei tabele rezultă că rezistenţa circuitelor de

c·urent alternativ R (33.78) a fost astfel definită, încît să coincidă cu rezistenţa r a rezistornlui

la circuitele serie cele mai simple, iar condnctanţa circuitelor de c.a., G (33.85) a fost astfel

clefinită, încît să concidă cu conductanţa (1 /r) a rezistornlui la circuitele paralel cele mai simple.
În paragraful 33.4 vom arăta (relaţia 33.105) că aceste definiţii asigură pentru puterea activă

(medie) aceleaşi expresii ca în eurent continuu: 1' = R J2 ~= G U 2• De subliniat că, în generaL

l l]
Y == -Z- ' dar G -R-- 'si B :ci:
. X

&) În aplicaţii prezintă deosebită impmtanţă urm>ttoarde expresii :
Reactanţa nnei hobine (n;actanţa inductivă):

i Xr l ' ()· (33.90)

=- 1
' Leu 1

1 Această mărime nu e în gene.ral egală cu valoarea reciprocă a rezistenţei (33.78) şi nu
trebuie confunJată nici eu condnctanţa definită in curent continuu cn care coincide numai în
•·azuri particulare şi spre deosebire ele care e, în general, o funcţiune de frecvenţă. De aceea
e numită uneori conductanţă echivalentă.

2 Uneori se defineşte suseeptanţa astfel încît să aibă semnul opus celei definite aici, pentru
a fi egală cu partea imaginară a admitanţei complexe (v. par. 34); B' ~= -- Y sin QJ•

CITll:UITUL r 'l'
],,,,
R ezistorul ideal o

~ 1t

r 2
Bobina ideal ii

~

i.
Cnud~nsatorul ideal

~~--
c

or-- C1.~ 1-r 2 ·+ '''2J:~ t~<r ~, LCJ.,

,-

Circuitul r, C serie V -~---2' l ---.!
;;;;~2 1"<D =-= --:----
c~~ r i· " CNr
f'
,_,,, -·
1! '.Circ!litul r, L, C serie-,.-~-+(~L-<•-J--·-·--~c;1:~;)"
c
~J~

Cin:uitul r, L paralel rLCJJ ,.

~ J';::i+v,;~ tgtJ :-.=:: 1~~~;

,. l.grp =c·
Vt --t::r2 C2(,)3
rC<•l

yH 1'abel<L 33.7.
1
XG
,.
o1 o
r
r

i ____._,___ -
JA•l
1

L'<o o o 1 L<o

-----~.-------,--~-- (1 · - -..- - - - - - "---·--~- _____"" _____

c,,, ] (1

,-~-- ~---

( ;,,)

-+-r J_,,_,j

J,,,,
r~2 -=F ,.)~~) r3 ·!- ,,, 21,'' r~ <u 2L:J

Cw ,. 1 r c<·l
--------------
Yf=f.~-,2 C2m2 ·-- (_:,,~ -- ]~~~:;;-(;2,,,2
r'' +(;;;;,;
11
Lt)) r 1
-,.,,- ·1 . ·u;;;~ ·f-do) ---- .C-c-..-J
r;,,, ' c,,,.--1-. ( 1u-C·, ·~~_-J' -
)3+ ( L<,)~-- (;<1t)

r·2LuJ L<.·l

+r2 Lhv 2

_!__ + cz,"2 •----C(o)

r2 r

58 CURENŢI ALTERNATIV!

Reactanţa unui condenstdor (reactanţa capacitivă) :

~1 Xc = - 1 <O. (33.91)

1 Cw

Rezistenţa şi reactanţa circuitului serie r, L, C:

(33.92)

c) Parametrii Z, Y, R, X, G, B ai circuitelor depind, în general, de frecvenţa f = w f2rr:

a tensiunii de alimentare - şi anume cu atît mai complicat, cu cît structura circuitului e mai.

complicată.

d) Comparînd definiţiile parametrilor circuitelor cu valorile lor din cazul celor mai simple
circuite serie oau paralel, mai rezultă că un circuit liniar şi pasiv admite la o frecvenţă dată două.

scheme echivalente :
- O schemă echivalentă serie, în care nn rezistor de rezistenţă R e conectat în serie cu un

element reactiv de circuit de reactantă X.
-O schemă echivalentă paralel, î~ care un rezistor de rezistenţă 1/G e conectat în pa:rale!

cu un element reactiv de circuit de :reactanţă 1/B.

33.3.6. Clasifics:rea circuitelor de curent alternativ sinusoidal. În analogie
cu proprietăţile celor mai simple crrcuite, se foloseşte următoarea terminologie,
valabilă la o frecvenţă dată :

a) Circuit rezistiv \ dacă

9 = O, X = O, B = O; Z = R, Y = G. (33.93}

Cel mai simplu circuit pur rezistiv (la orice frecvenţă) e rezistorul ideal.
b) Circuit reactiv, dacii.

9 *o, X=/=0, B=/=0. (33.94}

c) Circuit pur reactiv sau nedisipativ, dacă

cp = ± ~ , R = O, G = O; Z = 1 X 1 , Y = j B i . (33-95)
2

d) Circuit inductiv, dacă

cp > O, X > O, B > O. (33.96}

Circuitul inductiv e un circuit xeactiv. Defazajul pozitiv se mai numeşte defazaj
inductiv : curentul e în urma tensiunii.

e) Circuit pur inductiv, dacă

(f> = -re-, R =O, G = O, X =- Z, B = Y. (33.97)
2

Cel mai simplu circuit pur inductiv (la orice frecvenţă) e bobina ideală.
f) Circuit capacitiv, dacă

<p < O, X < O, B < O. (33.98)

1 Numit uneori, impropriu, circuit ohmic.

-----------------------

REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL

Circuitul capacitiv e un circuit reactiv; defazaju1 negativ se mai numeşte defazaj
capacitiv : tensiunea e în urma curentului.

g) Circuit pur capacitiv, dacă

rp = - -1t , R= O, G = O, X = -- Z, B = - Y. {33.99\.

2 -1

Cel mai simplu circuit pur capacitiv (la orice frecvenţă) e condensatoml ideaL
h) Circuit disipativ, dacă laturile lui au rezisten-ţe nenule, în care au lor~

pierderi de energie prin efect Joule-Lenz.

O b ser 'V a, tie: În limbajul tehnic, curent s~ nu1ueste adesea irrtpndt~tntJ nu nurnai
mărimea Z, ci şi dipolulliniar şi pasiv caracterizat de această ;,nărime, folosindu-se' drept simbol
grafic 1111 dreptunghi alb, ca şi pentru l'ezistDare (v~ .fig~ 33GlO,b). De asernenea se rn_ai nu1neşte
reactan~ri nu rnnnai :rnărime:a X, ci şi elementul de circuit pur reactjv~ caracterizat d,~ acea~tR

rnărime~

33.4.1. Pute~e acuwao Puterea instaattU/.e:! Ra bm·ndc rwui dipol electric-
(v. teorema transferului de putere, relaţia 31.21')

este (algebrie) putere primită, :respectiv cedată, după 'fmm sensurile tensiunu

la borne u şi curentului i se a.sociază după. :regula de la receptoare, respectiv de

la generatoare. În cele ce urmează vom considera regula de la receptoare
(fig. 33.12, a), desi definitiile care urmează sînt valabile si in ceîăialt eaz cu inter-
pretarea :respectivă. În'regim sinusoidal, înlocuind 1~e u din rdaţia (33.70}
şi pe i din relaţia (33.71), se obţine, cu <p = ~- y, expresia:

+ + +p = 2 UI sin ( wt ~) sin ( Gt y) == UI eos ·q:> - Vl cod (2 <ut y -1- ~)1

(33.101}

Puterea instantanee e deci o mărime periodică, avind o componentă constantă
şi o componentă de frecvenţă dublă. În aplicaţii interesează numai energia~ ahsor-

hită într-un interval de timp ", foarte mare faţă de perioada T = 2 ref w

+ +W~ = \Ţ p dt = TUI cos cp- UI _!_ [sin (2 WT y ~)---sin (y ~)],
~o 4n

respectiv puterea medie absorbită în acest interval :

-- =J:v~ v-I COS cp - -T • -u---r- [. (' ?~ WT - 1r- y 1~- - lP-') -- SU. l + p)J- (33.102}
Slll
•,: -r 411

Al doilea termen al acestei puteri tinde către zero, cînd 1:' --;.00.

1 Conform identităţii trigonometrice :

+2 sin a sin b = cos (a- b)- cos (a IJ)

· - - - - ______ ______··---- ....~
-~--~---· . . . . · - · ·" ~-------""

60 CURENTI ALTERNATIV!

Se nume~te putere activă şi se notează eu P Yaloarea medie a puterii instan-
tanee p, luată pe un număr întreg de perioade :

(33.103)

În acest caz, pentru un dipol electric

(w') ..--:• .l(n1' . u1 t = (33.103')
)o
P=zn= nT UJ,

, 't' J't =ni

Cu 27t-r = 27t n. T, paranteza dreaptă din (33.102) se anulează şi ti~zuită pentru
puterea activă expresia :

(33.104)

EgaHtatea (33.102) arat{, că puterea medie pe un interval adJi.trar de ti.n;. -: :ue vulo.d a p:ro-
1'

piate de puterea activă, cu ahateri de ordinul. -:;- , fiiud practic. eg;al>i. cu puterea activă, daeă

·T> > T. Această condiţie e totdeauna realizată în praeti.ci'i., unde intervalele T cele mai mici

in care se apreciază puterea medie sînt de ordinul secuudelor şi C!Ipriud Eute de perioade (la
frecvenţa industrială de 50 Hz). De aceea şi aparatele de măsură a puterii, wattmetrele, al căror
echipaj mobil nu poate urmări variaţiile puterii instantanee eu car~' e proporţional cnp],ul lor
activ, indică puterea medie, adică puterea aetivă.

Din relaţia (33.104,) rezultă că în regim sinusoidal pnterea actim'i a umti

dipol electric e egală cu produsul dintre valorile efective ale tensiunii şi curentului

multiplicat cu cosinusul unghiului de defazaj corespunzător. Pentru un circuit

receptor pasiv, puterea medie e neapărat pozitivă, eel m.nh: nulă (daeă nu. con-

ţine rezistenţe) :

up = 1 cos cp O. (33.Hl4')

Puterea activă se măsoară, ea şi puterea. instantanee, l.n watt (W --unitatea

S.I.), kilowatt (1 kW = IWW), megawatt (l JVf~{i =.ce 10~ W), gigawatt (1 GW =

=Ioa W).

. " O~ ser v.a f.i e: !'-elat~.a (3,3:10:3)_ e re1aţi~ ge:t~ratăl dl~ d;fi~tf."~li~~ a )Jli: jf'E a.~· . valaLHă
91 m reg1m p~rwd1c nc;:;musmdal şn pent.:ra. o rerea oar~~'l.re; retaţm \33.Hl~') e rcl aţ;a
a puterii active in regin1~ F,f,nu5oid.al pelJltru o reţea cu do:]f.t hr;rne (in nt~J>nofaz a~;}. c"lcul

Puterea activă primită de IML dipol pasiv c totdeauna pozitivă Şl se poate
exprima cu ajutorul rezΧtenţei şi conductanţei . par. 33.3) :

..- - - ----~-- 2 o. (33.105)

l1 P = R J2 = GU2

-·---·----------

Această expresie e nulă pentru circuitele nedisipative sau pu:r ncactive (v. 33.95)
(care deci nu absorb în medie putere din exterior) ~i e pozitivă pentru cirenite

disip ative.

REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL

,Expresia (33.101) a puterJJ motant:mt·e arată că aceasta oscilează cu frecvenţa mJghiu-
lară 2 0)., în juml valorii ei medii, care e pule1ea adivă (v. fig. 33.12, b). Chi~'r dacă circuitd e un

receptm: pasiv. cu P > O, există mcmentD in decursul u'lei perioade, cînd puterea instantanee

primitA <> illega~.iYă, adi.:ă e ·;n fap~ cedată spre exterior. In acele momente, energia acnmuhtă

a.

in dmpul mal'"''l:ie ~l Lo!JineJor ,;au .in cîmpul electric al condenoatoart>lor c parţial restituitii
sur,sel de alimentare. In figura 3:Ll2, ·C se indică sensurile instantanee reale nle ten:oiunii curentnlui
~i puterii JÎV1 diferite momente ale unei perioade.

33.4.2. Puterea apar.entă. Factorul de puter'!.l. Se numeşte putere aparentâ

:1 unui ?iP?.l ~lectric mă~imea defin~ă de produsul pozitiv al valorilor efective

ale tt~nSI1JI.DIH Şl curcntnh~L notat cu ,:-l (sau Pa1,):
-
i !_l--~---=o UI >
O. (33.106)
U "'"; mco·

Puterea aparentă se măsoară în: volt:-amper (VA- unitate S.L), kilovolt-amper
(1 kVA == 103 VA), megavolt-amper (l MVA = :wr; VA), gigavolt-amper
(l GVA = 109 VA).

Puterea aparentă a unui dipol pasiv se poate exprin:m cu ajutorul impe-
danţei şi admitanţei sub forma :

---zi;s-- -~--y-z:J~--~- z !.~·"' --- y -~~~"'=. (33.107)
____1----=-~-----=-_:__ 1 - -' 2 --
2

Puterea aparentă e o pu.itf."r't~ (:alcalată "ca În curent continuu'\ fără a Jua În consideraţie
'u..iluenţa defazajului. Făr{t a avf'a semnificaţia energetică nemijlocită ca putere activă, puterea
3parentă c importantă, deoarece .reprezintă valoarea. maximt1 11 puterii active, la valori efective
_,n-ariH-hHe ut~ lr~n.-.;inni~ r~j C'lJn~nlÎilui ~i la df~fazaj vnt·iRbi!. D1Jp~l ~·Tnn rna~inile şi aparatele elec--

---------------~---~--------------------- ----------~-----------

62 CURENTI ALTERNATIV!

r.rice sînt caracterizate prin valori maxime admisibile ale curentului (ca pierderile prin efect
Joule în conductoare 8ă nu determine o Încălzire excesivă) şi tensiunii (ca izolaţia să uu se stră­
pung-ă), puterea aparentă caracterizează. limitele lor de funcţ.ionare şi se indică de obicei pe
plăcuţa de fabrieaţie respeetivă.

Se numeşte factor de putere -raportul pozitiv şi subunitar dintre puterea
artivă ŞI cea aparentă :

(33.108)

În regim sinusoidal IJentru un dipol deet:ric, cu (33.104) Şl (33.106), rezultă
pentru faetorul de putere expresia:

kp = cos cp. (33.109)

Pentru ea a ammută im:talaţie de putere aparentă dată să funcţianeze cu maximum de
putere activă, a.didi eu maxin:mm de eficacitate, factorul de putere corespunzător trebuie să
fie cît mai mare (mai apropiat de aDitate), adică defazajul trebuie să fie cît mai mic. De aici
·rezultă una din problemele tehnico-economice cele mai importante ale gospodăriei energetice :
problema ameliorării factorului de putere (v. şi par. 33.4.5. aplicaţia 2).

33.4.3., Puterea reactivă: Se numeşte putere reactivă a unui dipol electric
mărimea definită de produsul valuri]o:r efective ale tensiunii şi curentului multi-
plicat cu sinusul unghiului de defazaj şi se notează cu simbolul Q (sau Pr) :

>: O
l? 2 --- < .·~--------"-·--.----~
U maxlmax •
UI sm 9 = ----- sm cp
(33.110)

Puterea reactivă. se mă.soa:ră în var 1 (unitate S.I.), kilova:r (1 kva:r = 103 var),
megava:r (1 Mvar = 106 va:r), gigavar (1 Gva:r = 109 var).

Între puterea aparentă, puterea activă şi puterea reactivă există relaţiile :

+P~ Q2; = S2: Q = P tg cp; P = Scos cp; Q = S sin cp (33.lll)

(care se reţin uşor eu ajutorul "triunghiului puterilor"- fig. 33.13). Puterea
rcactivă primită de uu dipol pasiv- pozitivă la circuitele inductive, negativă
la eircuitde eapaeitive -- se poate exp:dma cu ajutorul J:eactanţ.ei şi suscep-
tanţei (v. pa.r. 33.3) suh f.umde :

(33.ll2)

Fig. 33.1::!. şi e nulă pentru circuitele nozistive.

Privitor !a sensul de transmisiune real al puterii reactive
facem următoarele precizări : La circuiteho receptoare (la care n
şi i sînt asociaţi după regula de la rcceptoare)

>-dacă Q = UI sin (jl O - puterea reactivă e absor1ită

de bl reteaua exterioară

-dacă Q = Ul sin 'f' <O-- puterea reactivă '' cedată

reţelei exterioa:re
l.a circuitele generatoare (la care u şiL i sînt w;ociaţi după regula

de ]a generatoare):

1 Denumirea "var"' provine de la iniţialele cuvintelor din expresia voh-amper-reactiv
şi a fost adoptată internaţional de C.E.I. (Comisia Electrotehnică lnte:maţ.ională) la propunerea

delegatului ţă:rii noastre, regretatuJI acad. prot C. B11deanu.

REGIMUL PERMANENT SINUSOIDAL 63

--dacă Q = UI sin cp > O- puterea reactivă e cedată reţelei exterioare
- dacă Q = UI sin rp < O - puterea reactivă e absorbită de la reţeaua exterioară.

•Cum în cazul unor circuite capacitive (X < 0), şi în particular al unor condensatoare, Q < U

(cu regula de la receptoare), rezultă că aceste circuite (şi îu particular condcnsatoarele) sînt
producătoare de putere reactivă; în mod corespunzător, circuitele inductive (X > O)- şi în

particular bobinele-- sînt consumatoare de putere reactivă.

Observ a fie: a) Puterea reactivă a fost introdusă pe baza relaţiei de definiţie (33.110),

•eonstruită prin analogie cu expresia (33.104) a puterii active- paralelism care se păstrează

în toate celelalte relaţii (v. 33.105 şi 33.112). Spre deosebire de puterea activă, puterea reactivă

nu are Însă interpretarea energetică simplă a acesteia- adică nu corespunde unui aport mediu

de energie pe la borne. Cu toate acestea, puterea reactivă prezintă o deosebită importanţă

practică, din mai multe motive, dintre care cele mai importante le amintim Jle scurt aici :

b) factorul de putere se poate scrie :

v--zy.k=p-s=]fs-z-~sQ-2---
l-s2' (33.11 3)

de ull(le rezultă că problema ameliorării factorului de putere e echivalentă cu problema redu-
•cerii puterii reactive (v. şi par. 33.4.5., aplicaţia 2).

c) Aşa cum vom arăta că rezultă din teorema conservării puterilor (v. par. 36.3), suma
algebrică a puterilor reactive primită este nulă pentru toate laturile unei reţele izolate. Dacă
·există o latură care consumă efectiv putere reactivă, trebuie să existe neapărat în reţea cel
puţ in o altă latură producătoare de putere reactivă. Cu puterile reactive se pot face bilanţuri
.b azate pe o proprietate de conservare, ca şi cum ar corespunde unei anumite forme de ener-
gie specifice (distincte de energia obişnuită care condiţionează bilanţul puterilor active).

d) Puterea reactivă primită de o reţea pasivă e proporţională cu diferenţ,a dintre va-
loarea medie a energiei cîmpului magnetic al bobinelor reţelei şi valoarea medie a energiei cîm-
:'ului electric al condensatoarelor reţ,elei (v. rei. 33.123). Aceste energii sînt variabile în timp
·cu frecvenţa unghiulară 2 w şi cu faze diferite. Dacă valorile lor medii nu sînt egale, înseamnă
că variaţiile acestor energii nu se compensează reciproc în cadrul reţelei :

Puterea Teactivă reprezintă o măsură a necompensării schimburilor interioare de energie

intre cîmpul magnetic şi cîmpul electric.

33.4.4. Bilanţul energetic instantaneu al circuitului serie. Considerăm

drcuitul r, L, C serie (fig. 33.9) şi ecuaţia (33.61), din care, multiplicînd-o cu i,

obţinem ecuaţia puterilor. Cu relaţiile (31.27) şi (31.31) rezultă atunci relaţia

p = ui = u,.i + uLi +uei= ri2 + L L. -ti-i +Cucd-uc-
dt dt

sau

p = UL= (33.114)

Alegînd pentru simplificare tensiunea ca origine ele fază, vom avea :

nu = uV2 sin wt Şl i = 2 sin ( wt- q;). (33.115)

1. ensiunea se poate descompune aditiv, într-un termen în fază cu curentul
(componenta activă a tensiunii instantanee) şi unul în cuadratură (componenta
re activă a tensiunii instantanee) 1 :

+u = U cos q; V2 sin ( wt- cp) U sin cp V2 sin/ wt- cp + :) (33.116)

\~

+ +Aeeastă descom1mnere e unică, deoarece se face în baza identităţilor trigonometrice :

'm a = sin (a - b b) = cos b sin (a- b) sin b cos (a- b) =cos b sin (a-- b) +

- oin b sin 1a - b + ~-)-
\.

64 C\l!{ENTI ALTERNATIV!

Folosind act~astă descoxnpuncrc, puterea instantanee se .~cnc :

-+-P =
ui = 2 UI cos ·~) sin3 ( (,lf - 'D) 2 UI sin '.0 Kin ( ult- ro·) cos { (ot -· r:;'j
., 11 • ·, 1 •

sau

==.o,.lD ,}_ 11., +UI cos 'P (l - co~ 2 ( (>){- ~)] LI sin rp sin 2 ((•Jt-<p). (33.11 7)

d-;;- XJ2

Se o'lJServ~l elin comparaţia relaţiilor (33.ll4) şi (33.117) că primul termen :

>p 1' o= U ..t. = fl..", == r 1'•' L". S.lll2 ((J)t - r.o ) = U1 cos 't' [1 --- cos 2 (wt -- 'P)] O {33.118)f
.L _;._ '•

este o putere instantanee pozitivă, rezultată din multiplica.rea curentului eu
componenta tensiunii în fază eu el. Puterea p R se numeşte putere instcmtanee
de pulsaţie, arc valomea medie egală cu valoarea medic a puterii p, adică cu
puterea activă P şi este ch.i.ar puterea inst;;mtanec dezvoltată în rezistenţa dr-

cuitu lu.i. Al. dnilea termen :

Px= (uL Hc)' .t o:--= -d-- 1'. Q

dt ~

-'-- w·("l) = p -- p g = UI sin 'P sin2(<•1t- '.P) (33.119)

este lHil.terea instantanee rezultată din multip:ticarea curentului cu componenta
tensiunii în cuadratură cu el şi se muneşte putere instantanee oscilantă. Valoarea
medie a puterii p este nulă, iar .-aloarea ei maximă e chiar puterea reactivă
(în modul.). Puterea instantanee oseilantă e egală m.I viteza de variaţie a ener-
giei instantanee totale (elect:rîce şi magnetice) a circuitului. Puterea reactivâ
(în modul) e dec.i egală cu. amplitudinea 1)itezei de variaţie a. energiei acumulate
în cîmpul electromagnetz:c al circuitului. O altă interpretare a puterii reactive

rezultă din (33,112) şi (3::L92') :

ViO, = XI-='> =· _ -J,- X_c). I. ~., = 1L(,) ---.-l ) 1, -.• = 2. v,lLi1~' - --I-".. - ) (3, 3.120\.
> \. Cu), \. 2 2C6l~ '
....

Valoarea medie a energiei magnetice este :

U' ·- .. ( 1e, = l [T Li' ,1 [l ,. r ·~ .' = -L-I "- , (33.121)
J 1.
--' --- dt-- --- \ rlt 1 --,(33'.1')')\
T 0 ;) 2 2 , T .1o .J 2

conform rdaţ.iei (33.5).
Valoarea medie a energiei electrice este :

_](1. \·rW/(") =7:l::u_~ dt = f:,_ u~- dt] = ~[J~ = -1~ 12
\
w T JO 2 2 , T .r '-' 2 :2 C(·>"

conform relatiei (33.5) şi (33.39').
Rezultă: '

În com•ecin"ţă, puterea reactivă e;;te uulă dacă if··("') · - ij'/(c) ccoc O. Această situaţie
corespunde defazajului rp = O.

- - - - - - --~-~~~ ~---~

:\lETODE DE REPREZENTARE SL\\BOLICA A .~IARL\llLOR SI~>CSOIDALE 65

33.4.5. Aplicaţii. l. Un motor de c.a monofazat, funcţ.ionînd sub tensiunea U = :;:;o Y,
ah,oarhe o putere activă P = 2 kW, sub cos '.( = 0,8 induetiv. Se calr,ulează parametrii dipo·
!ului receptor constituit de motor, puterea reactivă 9i puterea aparentă.

Cu aceste date se pot calcula succesiv :

Curentul absorbit : =p 2. 103
= 11,3.3 A.
I = --~-
Ucosrp 220-0,3

Impcdanţa motorului : Zr =U- = 220 19,1 D.

--=

I 11,.35

Rezistenţa motorului: R = Z cos 9 = 19,4 · 0,8 = 1.3,5 D.

.n.Reactanţa motorului: X= Z sin 9 = 19,4 · 0,6 = 11,65

Puterea reactivă ahsorbită: Q o= UI sin? = 220 · 11,35 · 0,6 = L3 kvar.

Puterea aparentă: S = UI = 220 · 11,35 = 2,49 kYc'>.

2. O linie hifilară debitează la receptor puterea P = 20 k\V, sub tensiunea U = 220 Y

s•i cos <'0 = 0,8 inductiv. Conductorul liniei are o rezisteută specifică _2::_/ = 3 · Io--4 Q /m s.i linia

,

are lungimea l = 100 m. Să se calculeze pierderile de putere activă 3P pe linie.

Exprimăm pierderile în funcţiune de datele problemei. Cu relaţiile (33.105) şi (33 .111)

rezultă: +tlP =

rP = 52 r -]'2--Q~" ( 33.12-t)

r- =

[I2 [I2

~~Aici
Q= P tcr t:J = 20 000 . 0,8 = 15 000 var

OT

r =~ 3. 1o-·4 • 2. 100 = 6. Io-2 n

~i rezultă :

.3.P = 6. 10~2 • 20 2 _!_ 152 10° = 774 W.

'
2202

Observ aţi e: Din relaţia (33.124) rezultă că dacă se cerc transmisiunea unei puteri
active P, date cu o linie de rezistenţă r dată, pierderile sînt invers proporţionale cu pătratu.l ten-
siunii şi cresc cu pătratul puterii reactive. Din acest exemplu rezultă necesitatea tensiunilor
înalte pentru puteri şi distanţe mari (la 380 V, pierderile ar fi fost de trei ori mai mici ), cum

şi importanţa ameliorării factorului de putere (la 'fl = O, fJ =" O pierderile ar fi fost de 495 W).

34.:1 METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA
A MĂRIMILOR SINUSOIDALE
1,\'
ŞI UTILIZAREA LOR

La circuitele electrice cu o structură mai complexă, determinarea regimului
permanent cu metoda substituţiei folosită în paragraful 33.2 devine o operaţie
laborioasă, greu de sistematizat, depărtată de metodele familiare elect:ricienilor
de la studiul circuitelor de curent continuu (utilizarea sistemelor de ecua-ţii
algebrice liniare) şi prea puţin intuitivă.

;)~1668

65 CURENŢI ALTERNATIV!
---------------------------------

De aceea s-au elaborat numeroase alte metode (v. şi metoda separării pute-
rilor- par. 36.4), dintre care cele mai utilizate sînt însă metodele de reprezen-
tare simbolică 1, care consistă în principiu în următoarele :

-Utilizînd o anumită regulă de reprezentare (transformare, corespon-
denţă), se asociază biunivoc fiecărei mărimi sinusoidale un simbol, numit imaginea
sau reprezentarea mărimii (de ex. un vector în reprezentările geometrice şi un
număr complex în cele analitice).

- Se identifică relaţiile dintre simboluri care corespund relaţiilor dintre
mărimile sinusoidale, adică ecuaţiilor integra-diferenţiale ale circuitelor.

- În loc să se rezolve direct aceste ecuaţii integra-diferenţiale, se rezolvă
relaţiile corespunzătoare dintre simboluri în raport cu simbolurile mărimilor
necunoscute.

-Utilizînd regula de reprezentare în sens invers, se determină care sînt
mărimile sinusoidale necunoscute, ştiind că trebuie să corespundă simbolurilor
determinate anterior.

Schematic, aceste metode se pot prezenta astfel :

mărimi sinusoidale relatii între mărhni sinu~ mărimi sinusoidale
soid~le (ecuaţii integro- necunoscute
date -----+ -----+
diferenţiale)

1 t simbolurile (imagi-
nile) necunoscute
simbolurile (imagi- 1
nile) cunoscute
+

relaţii Între simboluri
(imaginile ecuaţiilor dife-

renţiale)

Pentru ca această cale de rezolvare -- aparent ocolită -- să fie avantajoasă, trebuie să

fie îndeplinite anumite condiţii :
I. Reprezentarea să fie biunivocă, adică fiecărei mărimi sinusoidale să-i corespundă un

singur simbol şi fiecărui simbol să-i corespundă o singură mărime sinusoidală.
II. Transformarea directă (de la mărimea sinusoidală la simbolul ei) şi transformarea

inversă (de la simbol la mărimea sinusoidală) să se facă fiiră dificultăţi de calcul.
III. Fiecăreia dintre operaţiile elementare cu mărimi sinusoidale care intervin În ecua-

ţiile circuitelor (adunarea, amplificarea, derivarea şi integrarea) să-i corespundă biunivoc o
<Jperaţie omologă efectuată cu simboluri. În particular, deoarece pentru simbolurile utilizate
{vectori, numere complexe) operaţiile de adunare şi de amplificare (înmulţire cu un scalar)
sînt definite în prealabil (independent de problema utilizării lor în metodele de reprezentare
simbolică), trebuie ca adunarea mărimilor sinusoidale sâ corespnndâ adunârii simbolurilor res-
pective, iar amplificarea unei mârimi sinasoidale cn un scal<u sâ ccrespundâ înmulţirii simbolului

ot acelaşi scalar : reprezentarea trebuie să fie liniară.
IV. Calculul cu simboluri să fie mai simplu, mai uşor de sistematizat, sau mai intuitiv

·decît calculul cu mărimi sinusoidale, acesta fiind însuşi rostul acestor metode.

1 Metode de reprezentare simbolică se utilizează cu succes şi În studiul regimului
:tranzitoriu (v. cap. 52).

METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A c\1ARlc\llLOR Sl~USOIDALE 67

.34.1. Reprezentări geometrice

O funcţiune sinusoidală de timp, de frecvenţă dată, e complet caracte-

rizată de două valori scalare : amplitudinea (sau valoarea efectivă) şi faza ini-

ţială. Un vector liber 1 în plan e complet caracterizat de două valori scalare :

modulul şi unghiul făcut de orientarea lui cu o axă de referinţă, numit argumen-
tul său. În ambele cazuri, obiectul considerat (funcţiune sinusoidală de timp

sau vector liber în plan) e complet caracterizat de un număr pozitiv şi ele valoarea

unui unghi. Se poate deci asocia fără restricţie fiecărei mărimi sinusoidale din-

tr-o specie dată (curent, tensiune etc.) un vector liber în plan şi reciproc, această

.asociere fiind biunivocă :

V2 +i = 1 sin (01t a);=:::::> Sf (i). (34.1)

Relaţiilor analitice dintre mărimile sinusoidale le vor corespunde relaţii geo-
metrice între vectorii corespunzători, relatii care vor fi mai intuitive si mai

uşor de explicitat. Aceasta este ideea fund~mentală a reprezentării geo~etricc

.a mărimilor sinusoidalc, reprezentare introdusă în fizică de Frcsncl.
Vectorii reprezentati-vi 8F (i) sînt numiţi fazori (uneori vectori de timp),

pentru a se preciza distincţia faţă de mărimile fizice vectoriale definite în spaţiul

fizic tridimensional (cum este, de exemplu, densitatea de curent J), cu care nu

trebuie confundaţi.

Planul fa zorilor e un plan abstract- mai exact, cîte un plan abstract pentru fiecare spe-
cie de mărimi fizice cu variaţie sinusoidală- în care se reprezintă biunivoc mărimi care, din
punctul de vedere al spaţiului fizic, sînt mărimi scalare : intensitatea curentului electric, ten-
siunea electrică etc. Ceea ce se reprezintă prin fazori nu sînt însă valorile scalare (instantanee)
.ale ar.estor mărimi(care sînt caracterizabile printr·un singur număr, ca orice scalari), ci func-
ţiunile sinusoidale de timp respective (caracterizabile prin cîte doi scalari: amplitudinea şi faza).
Ceea ce are deci "o natură vectorială" (în sensul că admite o reprezentare biunivocă pe mul-
ţimea vectorilor liberi din plan) nu este specia de mărimi fizice i (intensitatea curentului elec-

+tric), ci mulţimea funcţiunilor sinusoidale de timp de forma If'i sin (u)t y).
Deşi limbajul tehnic comun e destul de ambiguu- numindu-se, de exemplu, curent
dectric atît mărimea sinusoidală cît şi fazornl corespunzător- nu trebuie să se confunde
această n1lirime cu imaginea ei: vectorul SF (i) nu este curentul electric, ci nu1nai îl repre-
zintă, în cazul particular cînd are o varia ţie sinusoidală.

34.l.L Reprezentarea cinematică (cu vectori rotitori). În reprezentarea
cinematică, fazorul asociat mărimii sinusoidale e un vector liber, de modul con-
stant, egal cu amplitudinea mărimii sinusoidale şi de orientare variabilă, care face
in fiecare moment t, cu o axă de referinţă fixă OX0 , un unghi (argumentul) egal cu
faza mărimii (fig. 34.1) :

L = IV'2 sin (wt + ',') ~ o:Alr OA = I]f2 + (34.2)

-9::: AOX0 = (ut a

1 Se numeşte vector liber un vector al cărui punct de aplicaţie e arbitrar, astfel ci't re-
0mczintă mulţimea tuturor vectorilor omoparaleli şi de aceeaşi mărime cu el (echipolenţi cu
.:-':7. avînd diferite puncte de aplicaţie. De obicei se utilizează acelaşi punct de aplicaţie pentru
~·=·ţi vectorii liberi care intervin într-o problemă dată, afară doar dacă claritatea construcţiilor
~,-afice nu cere contrariul.

68 CURENŢI ALTERNATIV!

----------------

Pentru Yectorulliber în plan cu modulul A şi cu argumentul x se foloseşte uneori
notaţia A /'l.. Cu această notaţie, regula reprczentării cinematice se scrie :

VSf (i) I 2 / CDt ~- '( 1· (34.3)

Proprietăţi : a) Yectorul reprezentativ (fazorul) se roteşte În semul trigonometric direc [

cu viteza unghiul<~ră constantă w. El face mereu un unghi constant (egal cu faza iniţailă, y =

= <):.AOX) cu o axă OX, rotitoare cu accea;;i viteză şi numită axa de origine de fază (pent1·u

că are orientarea vectorilor reprezentativi ai mhimilor ~inu>oidalc luate ca origine de faz{t).

Ax:a origine de fază face unghiul <):XOX0 = ~)t cu axa de r~ferinţă fixă OX0• Dacă se repre·
zintă mai m•.1lte mlrimi sinmoidale de acee,lji frec\·cnţă (v. fig. 31.2), toţi vectorii rcprezen-

tativi sînt în repam relativ. Figura geom~trică form>tă de aceşti vectori împreună cu axa ori-

gine de fază se roteşte în anmmblu cu viteza w în sens direct.

b) Valoarea imtantanee a m1rimii sinusoidale corespunzătoare unui anumit fazor dat,
...
în momentul t, se poate determina grafic, proicctîn d fazorul pe o axă fixă OY0 , rotită cu 2

în sens direct faţă de axa de referinţă OX0 (fig. 3!.1) ~i numită axa twnsversală. mă­

+c) Defazajul ? 12 = y1 --y2 al mărimii sinusoidale i 1 = 11 V2.sin (c·Jt y1) faţă de
Y2 +rirnea sinusoidală i2 = 12 sin (Nt y2), cu

(3U)

se reprezintă direct prin unghiul <)::. A 20A 1, format de Ycctorii reprezentat1v1 respech\"l
(v. fig. 34.2). Toate unghiurile sînt orientate, sensul de referinţă pozitiv al fazelor şi defa·
zajelor fiind sensul trigonometric direct. Fazcrul unei mărimi cu faza iniţială mai mare- adică

defazată înainte faţă de o a doua- e rotit în sensul direct faţă de fazorul celei de a doua

- -mărimi. Săgeata defazajului <p12 e deci îndreptată de la OA 2 la 0A 1 ; dacă sensul ei coincide

cu sensul direct, 9 1•1 > O, ('(1 > y2), iar dacă nu coincide, ? 12 <O, (y1 < YJ)· Posibilitatea

reprezentării intuitive directe a defazajelor constitaie nrllll dintre muile avantaje ale repre-

zentării geometrice .
d) În acelaşi plan se pot reprezenta fazori asociaţi uno1· mărimi din specii diferite. În

acest caz, pentru fiecare specie se foloseşte o altă scară şi nu se pot aduna decît mărimi

din aceeaşi ~pecie. De aceea e reco:nmdabil să se diferenţieze diferitele specii prin tipul d.e
linie folosit (groasă. subţire, Î11treruptă). În figura .H.3 se reprezintă alături de curentul (34.2 ),

Y2 +tensiunea u = U sin (c,)t ~) prin fazorul :

un8' (u) =~ /wt + ~~ (3 1.5)

Corespondenţa operaţiilor. O dată formulată regula de reprezentare şi pro-
prietăţile ei, trebuie să stabilim cari sînt operaţiile cu fa zori corespunzătoare
operaţiilor elementare cu mărimi sinusoidale (v. par. 33.1.3.). De proprietăţile
acestei transpuneri a operaţiilor depinde întreaga utilitate a metodei. Se demon-
strează fără dificultăţi următoarele :

~1/t/:!Vfhl.f_+T
.A
wl
ha de refer;nţă

~·~~~-~·~~o~~------~~--~LG~Jt"+l'~z ~---------------~--~x-
.xo
Fig. 3t.2.

Fig. H.3.

70 CURENŢI ALTERNATIV!

+ -- +a) Adunarea mărimilor sinusoidale corespunde biunivoc cu adunarea vec-

torială a fazorilor respectivi (v. fig. 34.4) :
i 1 i 2 ;;::::::::: OA 1 O~A 2, (34.6)

adică

(T(;2) :T/1) +a,r~(z.,) Sf (i2).

1

~-------+~------T-----~--~A (34.6'}

o Această proprietate rezultă imediat,
folosind interpretarea mărimilor sinu-
"Fig. 34.4. soidale ca proiecţii pe axa trans-·
vcrsală OY a fazcrilor si utilizînd
teorema proiecţiilor : "proi~cţia sume;
mai multor vectori e egală cu suma
proiecţiilor". Relaţiile (33.24), (33.25)
care dau parametrii sumei a două

mărimi sinusoidale coincid cu relaţiile
corespunzătoare de la adunarea

vectorilor cu regula paralelogramului.

b) Amplificarea (înmulţirea) unei mărimi sinusoidale cu un scalar real cores-
-- ·- +punde biunivoc cu amplificarea (înmulţirea) cu acelaşi scalar a vectorului repre-

zentativ (fig. 34.5) :
"Ai<==:: "AOA = "AI}i2/mt y, (34.7)

adică

& ("Ai) = "A Sf (i). (34.7')

Această proprietate rezuJtă imediat din regula de reprezentare (3.J..2) , care asociază ampli-

tudinea mărimii sinusoidale la modulul vectorului (cu observaţia că dacă ), < O, trebuie modi-

ficată faza iniţială cu rr, ceea ce corespunde inversării sensului vectorului, aşa cum era necesar).

Observ aţi e: Reprezentarea cinematică este o reprezentare liniară, deoarece asigură
coresponqenţa operaţiilor de adunare şi înmulţire cu un scalar.

c) Derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul se traduce prin în-

mulţirea modulului fazorului cn tu şi rotirea în sens direct (înainte) cu rr j2 (fig.34.6) ~

+ ,di .. -> wi 'r2- j wt y -r-- -n • (34.3)
1
- 2

1•.It

{F/J) 7T

\ •' 2 /F(/}

A

Fig. 34.~. Fig. 3L6.

METODE DE FEPREZENTARE SIMBOLICA A MARIMILOR SINUSOIDALE 71

adică

%.~: =8f ( ) u)I f2 / wt + y + (34.8')

În adevăr, membrul drept e fazorul care corespunde mărimii sinusoidale di din relatia (33.27).
-
dt .

Am găsit astfel corespondentul (biunivoc) al operaţiei de derivare de la mărimi sinusoidale.

d) Integrarea în timp a unei
mărimi sinusoidale se traduce prin
împărţirea modulului fazorului cu u>
şi rotirea în sens invers (în urmă)

cu rr:/2 (fig. 34.7):

+J(
i dt ;::=::? ~- JV' 21/ wt y - ~,

0) 2

(34.9)

adică

+t)8"F"1') ~. d ) =-1 I ]1r 2- / y - -n: .
•1 CJ)t
0) 1 2

c (34.9')

Flg. 34.7. În adevăr, membrul drept e fa-
zarul care corespunde mărimii sinu-

soidale (33.28). Am g8.sit astfel cores-

pondentul (biunivoc) al operaţiei de integrare de la mărimi sinusoidale.

Deoarece operaţiilor elementare cu mărimi sinusoidale, care intervin în
ecuaţiile diferenţiale liniare ale circuitelor, le corespund operaţii elementare

efectuate cu vectori ( adună1·i, amplificări, rotiri cu ~), rezultă că acestor ecuaţii

diferenţiale le vor corespunde construcţii geometrice (grafice), consistînd din însu-
marca unor vectori cu diferite orientări. Aceste construcţii geometrice se numesc
eliagrame le vectoriale sau fazoriale ale circuitelor şi reprezintă imaginile ecuaţiilor
··ircuitclor în această reprezentare.

J;/etoda rep~ezentării cinematice pentru rezolvarea circuitelor liniare de
curent alternativ consistă deci în următoarele :

1. Se consideră ecuatia integro-difercntială a circuitului si se construieste
diagrama vectorială core~punzătoarc, pon{ind de la fazorii ~eprezcntativi' ai
"nărimilor sinusoidale asupra cărora se efectuează operaţiile reprezentate de
·iit'eriţi termeni ai ecuaţiei (indiferent de faptul dacă aceste mărimi sînt "necu-

::_.);;cute" sau S'int " datclc" problemc1').

2. Se construieste fazorul care corespunde termenului liber al ecuatiei si

-=:r"' -în conformit~te cu regula adunării vectorilor- închide poligomll fo; ..

=2,t prin însumarea fazorilor corespunzători diferiţilor termeni ai ecuaţici.
3. Se ·verifică corectitudinea reprezentării tuturor operaţiilor şi a mărimilor

.. ::.te·', trasîndu-sc (dacă e nevoie) axa de origine de fază şi axa de referinţă,

72 CUFE"'TI ALTERNATIV!

4. Se determină cu metode geometrice (cel mai ades prin proiecţii pe două

axe ortogonale) relaţiile dintre modulele şi argumentele fazorilor mărimilor

necunoscute si acelea ale fazorilor mărimilor date.
5. Se e~plicitează din aceste relaţii parametrii mărimilor necunoscute

(în general, valori efecti;re şi defazaje) şi se scrie cu aceşti parametri expresia

instantanee pe baza regulii de reprezentare.

Se constată că în această metodă, rezolvarea ecuaţiilor integra-diferenţiale

ale circuitelor în regim permanent sinusoidal revine la determinarea cu metode

s::eometrice - eventual grafice - a unor segmente si unghiuri necunoscute
dintr·o construcţie grafică.
'

O b s e r v a. ţi e : Dacă s-ar folosi pentru manm1 sinusoidalec forma normală în cosinus
(33.13), vectorul reprezentativ ar fi tot (3·i.3) şi toate proprietăţile metodei- inclusiv modul
de transpunere al operaţiilor elementare- ar rămîne neschimbate, eu o singnră excepţie:
determinarea grafică a valorii jnstantanee s-ar face proiectînd fazorul pe axa de referinţă OX0
(segmentul OA" în fig. 3-±.l). In acest caz, y ar fi faza iniţială de la forma în cosinus, no-
tată în relaţia (33.13), cu :x. Toate mărimile sinusoidale care intervin in aceeaşi problemă tre-

buie scrise într-un singur mod, în sinus sau în cosinus; în caz contrar, interpretarea diagramei
(care nu depinde de această seriere) se face greşit.

34.1.2. Aplicaţie. Circuitul serie r, L, C. Exemplificăm metoda reprezentării cinema-
tice prin rezolvarea circuitului serie r, L, C studiat cu metoda suhstituţiei în paragraful 33.2.6.
Ecuaţia circuitului e (33.61):

U 1'·2- sin ( ult -i- (3) = ri + L ddit --';- C1 )( . (34.10)
t dt,

funcţiunea necunoscută fiind curentul :

+I lrf2- sin ( u)t y) = u ]/;; . --'r 0- 9). (34.11)
z- r "' sm ( M

Deoarece adunării ţi amplificării mărimilor sinusoidale le corespund adunarea şi amplificarea

vectorilor, diagrama core5punzătoare ecuaţiei (34.10)- adică imaginea acestei ecuaţii- ex-

primă următoarele : fazorul tensiunii este o sumă de trei termeni, dintre care primul e fazo-

rul curentului amplificat cu r, al doilea e fazorul derivatei curentului amplificat cu L, iar al

l

ctreilea e fazorul integralei curenLului amplificat cu - •
'finînd. seama de regulile (3,1.8) şi (H.9) ale derivării şi integrării, inmmarea aceasta se

---+

poate efectua grafic (fig. 34.8), pas cu pas, pornind de la un vector arbitrar OA, ales pentru

fazorul necunoscut al eurentului (reprezentăm curentul cu linie întrerupt{t şi căderile de ten-

--+

siune cu linii pline) : adun:'un .-ectorial fazorul OB al curentului amplificat cu r, (ri)- cu fa-

J -zarul B--C+ al curentului rotit înainte cu _-:.:._ si amplificat cu L ul ( L _d:' si cu fazorul C__D......
2 ' dt '

al curentului rotit în urmă cu::_ şi amplificat cu ~ ( _.!__ ( i dt). Couform ecnaţiei (34.10),

2 Ce::) C j

-suma OD a acestor trei fazori trebuie să fie fazorul tensiunii u. Am obţinut diagrama circui-

+tului serie r, L, C. Putem acum trasa axa de referinţă OX0, formind unghiul wt ~ in urmă

faţă de fazorul tensiunii. Lnghiul format de fazorul tensiunii cu fazorul curentului este chiar

defazajul tp = ~- y = ( w! -;- (:l)- ( 01t - f- y) dintre tensiune .~;i curent. Din triunghiul drep-

tunghic OBD se deduce imediat:

(u 12)2 = (rrf2)2 + (Lu)r Y2- c1w Ilf2r

U2 = J2 [r2 '

L

METODE DE FEPI(EZENTARE SLv1BOLICA A MA!(L\1JLOR SINUSO!DALE 73

o

- --o-"-='.9-.m_e de fiaz ~

4>t - - X0

.adi cii

u (31,.12)

l=

şi

r:zLeul V2- _"1.__ I 1 (34.13)
Ce,) Leu---

Cw

r

(deoarece pe desen a rezultat ? în sens direct, semnul obţinut pentru defazaj din calculul geo-
metric e cel corect. Dadt din construcţia grafică, săgeata lui ţJ, dirijată de la curent la ten-
·'iune, ar fi rezultat în sens invers, ar fi trebuit să schimbăm semnul). Rezultatele obţinute
·sînt cele cunoscute , relaţia (33.66) ~i (33.67tde la aplic>area metodei substituliei.

Observ aţi i: a) Cu metoda reprezentării~cinematice se.obţine o privire de ansamblu
intuitivă asupra proprietăţilor eircuitului şi, în special, asupra relaţiilor de fază. Putem ur-

mări, de exemplu, fără dificultăţi modul cum se modifică diagrama- cînd frecv·enţa creşte,
-cînd rezistenţa r scade etc. Avantajul principal al reprezentărilor geometrice consistă in
această posibilitate de a putea aprecia repede, intuitiv, proprietăţi calitative ale circuitului.

b) După construirea diagramei şi găsirea valorilor necunoscute se poate scrie direct va-
loarea instantanee a oricăreia dintre mărimile sinusoidale care apar în circuitul considerat.
De exemplu, în cazul circuitului din figura 3:1.8, căderea de tensiune din l.JOhină este :

Y2 %) + + %ltL = UL
sin ( 0)t -'- "{ -i- f2= L 0) I sin ( wt ? - ? J. (34.14)

c) Metoda reprezentării cinematice se poate utiliza şi în cazul cînd în circuitul liniar stu-
diat se întîlnesc mărimi sinusoidale de frecvenţe diferite, datorită faptu~ui că tensiunea apli-
cată e o suprapunere de mai multe tensiuni sinusoidale (v. şi cap. 48). In acest caz, metoda
'Oe aplică pentru fiecare grup de componente de aceeaşi frecvenţă în parte, cu observaţia că
unghiurile formate de fazori cu frecvenţe diferite nu mai sînt constante.

74 CURENTI ALTERNATIV_!_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

d) Produsul a două mărimi sinusoidale (v. rei. 33.29), nefiind~o mărime sinusoidală, nu "E
poate reprezenta prin fazori după această metodă. Pentru acelaşi motiv, metoda nu e aplicabilă
circuitelor neliniare sau parametrice, în wre operafiile efectuate asupra unor mărimi sinusoidaiE

conduc la mărimi nesinusoidale.
e) Reprezentarea prin vectori rotitori după regulile (311.2), (34.3) se utilizează şi pentru

mărimi nesinusoidale de forma :

y(t) = Y(t) sin \D(t) ~ Y(t) /\D(t) , (34.15)

numite nt,ărimi sinusoidale nwdulate (mărimi armonice 1nodulate) sau mâri1ni cuasisinusoidah

(cuasiarmonice), în cazul cînd "amplitudinea" Y(t) şi "pulsaţia instantanee" n (t) = d<D(t) ,

dt
definită ca derivată a "fazei" <D(t), sînt funcţiuni lent Yariabile în timp. În acest caz, pozi-
ţia relativă a vectorilor rotitori esle şi ea lent yariabilă în timp. Reprezentarea rămîne liniarD,.
adică in1aginea sumei e suma Î1nagiuilor (.34.6), iar imaginea produsului unei 1nărimi cu un
scalar e produsul prin acel scalar al imaginii mărimii- dar derivarea şi integrarerL nu se mrâ
traduc prin operafiile (34.8) şi (34.9). De aceea, metoda rcprezentării cinematice penlru reool-
vrtrea circuitelor nu e aplicabilă decît în regim permanent sinusoidal.

f) Practic, în aplicaţii, construcţia grafică corespunzătoare acestei metode se poate sim-
plifica, eliminînd tot cea ce nu e util calculului geometric propriu-zis : rotaţia ansamblului

f2:diagramei cu viteza w în sens direet şi factorul parazit AlLfel spus, putem presupune că dia-

grama e considerată din punctul de vedere al unui observator mobil, care se roteşte o data
cu ea si care lucrează cu valorile efective în locul amplitudinilorl, reducînd dia«rama la scara

l/ V2: 'Se ajunge astfel la metodcc reprezentării polare, aplicabilă numai în prol)leme în care

intervin mărimi de aceeaşi frecYenţa şi prezentată în continuare.

34.1.3. Reprezentarea polară (cu vectori fic;ii). În reprezentarea polară.
fazorul asociat mărimii sinusoidale e un vector liber fix, de modul egal cu valoarea
efectivă a mărimii sinusoidale şi de argument egal cu faza iniţială a mărimii.
(fig. 34.9) :

g

j i=J12 sm ( (•Jt+·:).__'!.I /";',

! (34.16;

adică:

[·1 0f(i) = 1 ~c (34.16')

Fig. 34.. 9. În această reprezentarP.
fazorii sînt deci imobili, an

lungimi egale cu valorii!:
efective ale mărimilor şi fac
cu axa fixă a originii de fază.

unghiuri egale eu fazde
iniţiale. Imaginea conservă
acum din mărimea sinu-
soidală numm elementele

l Această ultimă simplificare nu e necesară, dacă valorile efective nu apar explicit iH.
rxpresia mărimilor sinusoidale, adică dacă simbolurile majuseule reprezintă chiar amplitu··

dinile.

N\ETODE DE REPREZENTARE SliVIBOLICA A i\\ARIMILOI\ SINUSOIDALE 75-

care o individualizează în raport cu celelalte de aceeaşi frecvenţă : valoarea
efectivă şi faza iniţială. Defazajul a două mărimi se reprezintă, ca şi mai inainte,
prin unghiul format de fazorii respectivi. De astă dată, pentru a obţine valoarea

V2instantanee a mărimii, trebuie să se multiplice cu proiecţia fazorului pe axa,

~~

JF(j;; =r.ul/'l+ Ir/2 \

]f

\
Fig. 34.10.

transversală OY0 , care se roteşte în acest caz cu viteza de rotaţie w în sens invers
celui trigonometric (împreună cu axa de referinţă OX0 ). Deoarece această con-
strucţie nu c de obicei utilă, sistemul de axe OX0Y0 nu se mai reprezintă în
diagrame (v. fig. 34.10).

Avînd în vedere că reprezentarea polară este (pînă la factorul de asemă·

nare jf2) tot reprezentare cinematică, raportată însă la un reper în rotaţie cu vi-

ter.a unghiulară w, în raport cu care vectorii sînt imobili- toate proprietăţile·

reprezentării, privitoare la mărimi E>inusoidale de aceeaşi frecvenţă, rămîn

valabile:

a) Suma a douâ mdrimi sinusoidale se reprezintâ prin suma fazorilor cores·
punzători (rel. 34.6);

b) Amplificarea cu un scalar real a mârimii sinusoidale se reprezintâ prin
amplificarea cu acelaşi scalar a fazorului (rel. 31}.7);

c) Fazorul care reprezintă derivata unei mărimi sinusoidale se obţine din
fazorul reprezentativ al mlirimii, prin amplificare cu w ŞL rotire înainte (în sens

trigonometric direct) cu!!._ (fig. 34.10) :

2

1 +di ~ uJI y 2TC (34.17)

dt

76 CURENTI ALTERNATIV!

-L w! d) Fazorul care reprezintă integrala
unei mărimi sinusoidale se obţine din fazorul
reprezentativ al mărimii prin împărţire cu 0
şi rotire înapoi (în sens trigon:nnetric invers)

cu ~2 (fig. 34.10) :
c

o 1 y- 7t (34.18)

Fig. 34.11. ~ i clt ~ -; _;_ _ _ 2

TVIetoda reprezentării polare se aplică la fel ca şi metoda reprezentării cine-
ma tice, cu singura deosebire că se lucrează cu valori efective, iar trasarea axei
de referinţă (acum mobilă) nu e necesară. Mai mult, deoarece alegerea originii
timpului- şi cleei poziţia axei OX origine ele fază- e arbitrară, nici această
axă nu se mai desenează. Diagrama astfel obţinută cuprinde toate defazajele
şi reflectă în modul cel mai simplu structura circuitului, permiţînd calculul pe
cale geometrică al parametrilor funcţiunilor sinusoidale necunoscute : valori
efective şi defazaje. ,Pe diagramă, fazorii se notează cu simbolul valorii
efective respective.

Exemplu: În figura 34.11 e construită diagrama polară a circuitului serie r, L, C, studiat
în paragraful 34.1.2., din care rezultă imediat relaţiile cunoscute (34.12) şi (34.13), suficiente
pentru a scrie valoarea instantanee (33.69) a curentului.

În legătură cu alegerea orientării axei origine de fază observăm următoarele : de obicei,
această orientare se ia orizontală de la stînga spre dreapta. Cum acea~tă alegere e arbitrară,
:adesea e mai bine să nu se fixeze de la început direcţia acestei axe. In adevăr, de cele mai
nmlte ori e dată tensiunea aplicată, şi anume cu faza iniţială nulă (deoarece ştim că în orice
problemă, faza iniţială a uneia dintre mărimi e arbitrară şi se poate alege nulă) şi se cere
curentul. Construcţia diagramei se începe adesea (v. par. 34.1.2) de la fazorul curentului (a
cărui fază iniţială nu e cunoscută), şi orientarea tensiunii rezultă prin construcţie. Dezideratul
.de. a întocmi astfel diagrama, Încît tensiunea să rezulte orizontală, ar îngreuia în mod nejus-
tificat această operaţie.

34.1.4. Elementele de circuit studiate cu reprezentarea polară. Considerăm
succesiv elementele ideale de circuit studiate. în regim permanent cu metoda
substituţiei (par. 33.2). Presupunem de astă dată tensiunea origine de fază :

uV2u = sin (J)t (~=O)

şi determinăm curentul cu ajutorul metodei reprezcntării polare, deoarece
~ = O, y = ~ - r.p = - r.p şi curentul va fi de forma :

(34.20)

Chiar dacă în aceste cazuri elementare aplicarea metodei rcprczentării geome-
trice nu aduce o simplificare, cunoaşterea proprietăţilor elementelor de circuit
e necesară pentru aplicarea sistematică a metodei la cazuri mai complicate.

a) Rezistorul ideal, de rezistenţă r, are ecuaţia (31.22) :

u = u, = r i.

~~~~----~---

f\\ETOIA: DE HEPREZENTARE SIMBOLICA A MARlMlLOR SlNUSOIDALE 77

Fazorul curentului amplificat cu scalarul r e egal cu tensiunea. Cei doi fazor:i

sînt deci paraleli (fig. 34.12, a) şi au :modulele 1 şi U = r 1 şi argumentele egale.

Dcfazajul egal cu unghiul celor doi fazori e nul. Rezultă deci :

1=~u, o = O ' ~ = ~u,. )1'2- sin wt. (34.21)

r '

Parametrii circuitului sînt :

Z= r, R = Z cos ? = r, X= Z sin cp =O (34.22)
B = Y sin tp =O
Y = 1/Z= sfr, G = Y cos ? = 1/r,

iar puterile sînt : (34.23)

p = R 12 = T 12 = ~U" ' Q = X J2 = o, s = u 1 = U2
rr

h) Bobina ideală, de inductivitate L, are ecuaţia (31.26) :

u = UL = L -di .

dt

Fazorul tensiunii se obţine cu relaţia (34.17) din fazorul curentului rotit cu ~­

înainte (în sens direct), prin ampli- <~' o:== U=r..l..
ficare cu w şi apoi cu L (fig. 34.12, b) :
1
U = L w 1, iar curentul e defazat în
a.
urma tensiunii cu " . Rezultă deci :
U=Lwl
2

1=~u, cp=+_:_:_,
L(o 2

Y2i = !!_ sin ( wt ~ ~) . (34.24)
L~, 2

Parametrii circuitului sînt : "(}'

Z = L w, R = Z cos cp = O, "~c

X = Z sin cp = L w,

Y = 1/Z = 1/Lw, G = Y cos cp=O, ------- 1

B = Y sin ? = 1/L w, (34.25) b.

iar puterile sînt : ],

P = R 12 =O, U-~-1-

Q=X12 =L<v12 = U2 fLw, Cw

S = U1 = U2 /Lw. (34.26) c.
Fig. 34.12.
c) Condensatorul ideal, de capa-

citate C, arc ecuaţia (31.30')

u= uc = 1 ~ i dt.

c

73 CURENŢI ALTERNATIVI

Fazorul tensiunii se obţine cu (.34.18) din fazorul curentului rotit cu T. /2 în urmă
(în sens invers), prin împărţire cu w, şi apoi cu C: U = I j w C, iar curentul e

.defazat înaintea tensiunii cu ~(fig . .34.12, c).· Rezultă deci:

2

I = U C w, (.34.27)

Parametrii circuitului sînt :

Z = 1jC w,

Y = 1/Z= C0),

R = Z cos 9 =O,
c G = Y cos ':?=O,

X=Z sin cp = -1/C w,

B= Y sin rp = - C w, (34.28)

(

iar puterile sînt :

a. P = RI2 =O,

b. Q = XI2 = - -J2 = - C w U2,

Cw

Fig. 34-.13. S = UI = C0)U2• (34.29)

34.1.5. Aplicaţie: Circuitul r, L, C cu toate elementele în paralel. Considerăm circuitul
.din figura 34.13, a (cu cele trei elemente ideale de circuit În paralel), căruia i se aplică
tensiunea (34.19). Deoarece În regim cvasistaţionar e valabilă teorema continuităţii (31.10) şi
consecinţa ei directă, teorema I-a a lui Kirchhoff (v-. ~i cap. 36) î~i păstrează valabilitatea.

Se poate deci scrie :

(34.30)

unde curenţii sînt cei determiuaţi mai Înainte pentru elementele de circuit cărora, în acest
.caz, li se aplică aceeaşi tensiune u.. Conform relaţiei (34.30), diagrama circuitului se constru- .
ie~te obţinînd fazorul reprezentativ al curentului total 1 (fig. 34.13, b), prin.adunarea a trei

t..aZOI"·l: r"azoru1 I ,. = -U 1a curcntu~1nr• di' n ·rezrstor~ r' n faza~ cu f azoru1 tensr.unH.. ; fazornl J-L =

T

Luc.l= - a l cm·entului din bobină (v. rei. 34.25), defazat în urma fazo.rului tenoiunii cu r: ;2 =

= fazorul I c = U C w al curentului din condensator (Y. rei. 34.:28), dcfc1zat Înaintea fazorului
tensiunii cn rr /2. Deoarece, aşa cu1n am luat la întîmplare mărimi!e acestor fazori, curentul
total I a rezultat defazat Înaintea tensiun.ii (cazul y < 0), unghiul de defazaj q> trebuie

introdus cu semnul minus în relaţiile geometrice obţinute scriind proiecţiile pe două axe (pa-
ralelă cu U şi transvcrsală faţă de U) a aduuării vectoriale efectuate :

lI cos (-rp) = I cos '? = J r
L:l)I sin (~-?) == -I sin y = Ic- h = U ( Cw ~- (34.31)

Din aceste relaţii 1·ezultă : to-o =,. (2_ -~ cw).' (34. 32)
"'' Lw
Vl=U -r12+l-'-L1cC·l ulJ12;

Iv\E'JODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A ,v\ARIMILOI' SINUSOIDALE 79

~~-lică: V L r (L~"L f2

1
sin [ 6)t- arc tg r w-
r2' = I sin :c 0)l --?) (0 (0)] .+ ( c c1
w --

(34.33)

Parametrii circuitului 'înt :

1 _2_- Cw

= -::-;~.=-=+=(==}1 =-=-=c=w=)==2 , R = - r - - Lw ,
(34.34)
1 -- X- ~2 +(L1

,2 +(L1
w--cwr' - w-cwfZ
V r· Lw

=V_!_-, (1" _2_- Cw)2' G = _1_'
~ Lw r

]ar puterile sînt :

v2,-(_!__:-- C0)) UP = GU2 = L' Qc= BiJ2 = -f- (_!__- Cw)2 •
r Leu 2, S = UI = L' 2 r" Lw

(34.35)

'3e verifică uşor cum din acest circuit, particularizînd valorile parametrilor, se pot obţine re-
iaţiile caracteristice ale elementelor de circuit, respectiv ale unor circuite cu două elemente
in derivaţie, din tabela 33.1 (par. 33.3.5).

:3-!.2. Reprezentări analitice (în complex)

În reprezentarea geometrică se foloseşte proprietatea funcţiunilor sinu-
soidale de timp de a putea fi puse în corespondenţă biunivocă cu vectorii liberi
din plan. Dar, aşa cum se ştie din algebra numerelor complexe, fiecărui număr
complex îi corespunde hiunivoc un punct din planul complex (afixul numă­
rului) -şi deci îi corespunde şi vectorul de poziţie al acelui punct. Rezultă
că identificînd planul abstract al reprezentărilor geometrice cu planul complex,
:'tabilim o corespondenţă biunivocă între mulţimea funcţiunilor sinusoidale
?i mulţimea numerelor complexe. Se obţin astfel reprezentările analitice- sau
in complex -ale mărimilor sinusoidale :

i=IV2sin (wt-ty) .;.::==:: iS(i), (34.36)

în care fiecărei funcţiuni sinusoidale de timp i îi corespunde o mărime complexă
2 (i) \ susceptibilă de a face obiecta! unui calcul mai simplu şi mai sistematic
decît cel efectuat cu mărimi sinusoidale. După cum planul complex a fost iden-
tificat cn planul rcprezentării cinematice (cu vectori rotitori) sau cu planul
reprezentă:rii polare (cu vectori ficşi), se obţine o reprezentare în complex
nesimplificată (c·u mărimi complexe funcţiuni de timp, pentru a avea afixul
rotitor în jurul originii) sau o rep:rezentarc în complex simplificată -ultima
fiind utilizabilă numai cînd toate mărimile sinusoidalc au aceeaşi frecvenţă.

1 Se citeşte: "reprezentarea în complex a curentului i".

80 CUI<ENT! ALTERNATIV!

----·----~--~-- ·------~-------------~---------

J\'umere complexe. Reamintim pe scurt cîteva noţiuni a,upra mărimilor complexe, i ntro-
ducîud totodată unele notaţii folosite în electrotehnică.

Numerele complexe (sau mărirnile complexe) sînt exprc~ii de forma:

+f = a jb, cu j = r~-=-r l' (31.37)

'\ În care a este un număr real, numit partcc•
reală a numărului complex, iar b este tot un
-b \ număr real, numit partea imaginară a numă­
rului complex. Se scrie :
Fig. 34.14.
a= Re{~}, b = Im {.<::}. (3cL38)

În conformitate cu recomandările C.E.I .. în
,;tudiul regimului permanent, vom nota prin
subliniere mărimile din electrotehnică, care
sint numere complexe. Adesea nu se. folo-
seşte nici o notaţie specială - ca în mate-
matici- sau se folosesc literele barate dea-
supra (adică, simbolul folosit ades pentru
mărimile electromagnetice vectoriale).

Numerele complexe se pot scrie şi sub
forma exponenţială, respectiv trigonometrică
(folosind formula lui Euler) :

+_2 = rei" = r cos rt. jr sin rt. 2, (34. 39)

in care r e un număr real şi pozitiv (sau nul, pentru numărul complex zero), numit modular
numărului complex _(;

:s r +lr = b2 ~ o,
= a2 (34.'10)

1ar rt. = arg { f3_} .~ O e un număr real, nun1it argumentul nmnărului complex _2, dat de

relaţiile :

tg a=-; =-,b . b• cos':/..=-' (34. 41}
Slll Cf.

ar r

astfel că

a= r cos cr., b = r sin rt.. (34.41')

Numerele complexe se pot reprezenta grafic, biunivoc, prin punctele unui plan abstract,
numit planul complex sau planul lui Gauss, într-un sistem de coordonate carteziene. Punctul G
asociat numărului complex ~ se numeşte afixul lui !e_ şi are abscisa egală cu partea reală a,.

iar ordonata egala cu partea imaginară b (fig. 3•1.14). Rezultă:

DA= a, OB = b, OC = r, <;:_COA = rt.. (34.42)

În acest plan, axa ahsciselor se numeşte axn reală şi sensul ei pozitiv se indică, de obicei,

+prin simbolul -'- l al unităţii reale; axa ordonatelor se numeşte axa imaginară, iar sensul

ei pozitiv se indică, de obicei, prin simbolul j al unităţ.ii imaginare. Prin această corespou-

V=I1 în electrotehnică, unitatea imaginară se notează cu simbolul j, pentru a evita

cmJfuzii cu simholul i al curentului.

2 Această egalitate (formula lui Euler) trebuie utilizată numai cu ung·hiul rt. exprimat

în radiani

~~~~~~~~~~~~---------~~---------------~~~~-~~~-

METODE DE REPFEZI:NTARE SDIBOLICA A MARI/1\ILOF SINUSOIDALE 81

denţă se asociazii totodată biunivoc fiecărui număr complex f un vector liber în planul com·

-+
plex: vectoru~ de poziţie OC al afixului C al acestui număr. Acesta e vectorul reprezentativ al
nunrărului ~· ln exprimarea curentă, numărul complex, afixul său ~i vectorul său reprezentativ
se numesc şi se simbolizeaz{t la fel : numărul complex r;_.

Se numeşte operator de rotaţie cu unghiul 8 un număr complex de modul unitate şi de
argument 0:

cos G -;- .J sin 8. (34. 43)

Exemple de opc1·atori de rotaţie sînt:

J·"- .It .2rr
-n
e2 - J <) e J (34.44)
0
j3=-j=e -

I\nmărul complex ::era m-e atît partea reală cît şi partea imaginară nule, respectiv modulul
nul şi argumentul nedeterminat. Se notează cu simbolul obi~nt1it pentru cifra zero (fără
subliniere) şi corespunde originii O a planului complex.

Kumărul complex _~:* = a - jb = rc-ja. (v. fig. 34.14) se numeşte conjugatul numă­

+rului complex r;_ = a jb = reia.

Operaţii elementare cu numere complexe. Anularea: un număr complex (respectiv o expresie
formată după regulile de calcul cu astfel de numere) se anulează anulîndu-i modulul, respectiv
şi partea reală şi partea imaginară :

a= O
-r, = O -+ r = i·c = O -+ { b=O (34.45)
1
'-

Egalarea: Două numere complexe sînt egale dacă au părţile reale egale şi părţile imaginare
egale, respectiv modulele egale şi argumentele egale (sau diferite cu un multiplu întreg, n,

de 2r;-) :

(34.46)

Orice egalitate Între numere complexe (respectiv Între expresii formate după regulile de calcul
cu astfel de numere) furnizează două egalităţi între numere (expresii) reale.

Adunarea (scăderea): Numerele complexe se adună (se scad) dacă Ii se adună (scad) părţile

reale separat şi părţile imaginare separat :

(34.4 7)

În reprezentarea grafică se face adunarea (scăderea) vector.ială a vectorilor reprezentativi.

O b s e r v a t i e: Suma dintre nn număr complex şi conjugatul lui e egală cu dublul
părţii lui reale; iar diferenţa dintre un număr complex şi conjugatul lui e egală cu dublul
părţii lui imaginare :

+f"_ .<:.* = 2Re{r;_} = 2a, c - c* = 2Im{_c_} = 2b. (34.48)

Înmulţirea (împărţirea): 1'\urnerele complexe se Înmulţesc (se Împart) dacă li se înmulţesc
!Împart) modulele şi li se adună (scad) argumentele :

(34,. 50)

~-!668

---------------·--····---·- ·-·· - - - - - - - - - - - - - -

CURENŢI ALTEENATIVI

?~Iodulul produsului (citu]ui) este, deci, egal cu p?oJusuJ.....(cîtul) n1oduleJ.or.) ]a:t_· argurnentuJ

pEanlusului (cîtulu:i) este egal eu su.mrJ (dife:reeţa) argu-:.nente~o:r. In :r.cp:r.ezenta1·ea grafică: vectorul

J'eprezentativ al produsului Ee o1Yţine (fig. 34.15, a) din vectorul unriia dintre factori (c1)? a:n:.pH~

~t}t::1ru1n~l eu n1odulul cr-hdhdt §! -rotindu-l cu :;rrg·n~~ntul uce~tuia (în sen~s direet d:~C~ 0"2 > O
Ş1 IlJ. sens Inve:rs daca
c-2 < O); vcctoruJ

reprczeniutiv al citelai se ob1ine (1ig. 34.15,l:)

~1i~1. vecto:ruJ ;er:rez~~tntiv al nllnlă:r?toru::
lUJ. (~1}~ a:n;.ph{ic:n1du-1 cu valoarea r'ecipl'oca

l. :

" 1_,., ,'a E1oduiului !1Um..itorDlui ( -·- ) şi rotindu-1

~~pol eu ~n:-gu-rnentu~ acestu~a ~ i,?- sens ..:)pus
(1n sens nrve:rs dae~~ c;3 > O Ş! In sens CUl'ect

dacă c'2 ..._.:::: O)~
Cnzr~-ri J)(U"ticu.!frre: !nn:n:dţirea. nntn

nun1ih: co:r.nplex cu un fnctor r'-eal.inseamnă

amplificarea vectorul.u.i -rep1·ezentativ cu act:l

factor .reni; înuJ.ulţh·ea unui nu:rr.1.ăr complex

cu un operator de .rotaţie (3-1·."!·3) ÎJ1~ca1nnă

rot.U.·ea vectorului reprezentativ ca aJ:grnnen-

etul d acelui operator :

a (34. 5])

·"j -

lnnmlţirea cu j = e 2 înseamnă 7otirea

cu 7t j2 în sens dirsct, iar împărţirea cu j,

adică Î~>mztl ţirea crt - j e ·"-~-2 înseamnă

rotirea cu rr /2 în sens invers. Aceste două

reg'U!i vor fi foarte mult utilizate în studiul

circnit~lor cu metcda reprezentării În com-

plex. Inmulţirea unui număr complex eu

con.ju?atc:l său .e un" număr real: patratul

moduiuh.n acehu nu1nar

(3·'1Sl)

b. 34..2.1. Reunozenta.rea in corn~

plex ( nesi.'T,plifi.~~t). În repxezen-

Fig. 3·~.1!). tax·ea în complex nesimplificat, ima-

ginea î:n complex a mărimii sinu-

;c.,l!idale i e o fu:ncţiu.no-; e~.flTlj)]exă de timp, avînd modulul constant şi egal cu am-

pJ.itl~nt.linea 1nă:rirnii ~inrasoid.c.le şi 3-I"gnine:rrtnl egal el11 faza m.ărir.nii si:rrnsoidale :

i=l (3'153)

}~ceastă i1nagine se 1~1ai ·n.1JinJ.eştc reprezer:J;ar!a în eom,plex nesirnplij'itat('i a lui i
;;;au 1Ja!oarea insta.ntanee com.plexă a lui i. In acord cu ultima denumire, mai
;:;u.gestivă, vom nota aceas~ă imagine cu simbolul grafie subliniat al valorii

it-rc1lFJtantanee a rnărim.ii sin:t2Silid.tule :

~'") = 1"'1{2- e-i(wt+·l'l=!•:

t::\J

1--- ---·

fn literatură se mai fo]oseşte notaţia Î sau I).

METODE DE D;El'HEZENTARE SIMBOLICA A MARIMILOR S!NUSOIDALE 83

În mod analog, imaginea in complex a tensiunii u este :

+u = U ',12(- sin ( cut f;) ;:=::: u = U ]1~"2- eJ'("'t~.- 0)

Proprietăţi : a) Drn fon:::nrla ki Euler (34.39) aplicată reprezentării în

<e,•I>J~tnplex :

V2 +- 1V2 cos (cut+ y) + jl sin ( wt y), (34.56)

sezultă că partea. imaginan] a 1·eprezentării în complex nesimplificată este egală
·i:i!!i valoarea instantanee a miirimii :

(34.57)

1,,;:ceocs'~a e_ :egul a, e1eo:;r~.1»Ho : d1 e suo np11~a, a trecernoo mo verse (l e ' >o mag1o ne la maV nomca

Ht

s.~;~Jrr~ S{ndala.,

Se po"te da. o :malit:ică şi trecerii directe de la mărimea instan-

c.l T ==--= 27t, avem :

'V2J! cos ( {!)/ y) ]! 1) 'VI 2 sin 1w fE + T ) +
\\ 4

f:n !!ceastă obsern:.ţie rdaţ:ia (3·1·.56) se scrie : (34.58)
(34.59)

A•Ceasta este expresi.a mu:tlitică a regu.lii de reprezentare directe.
c) Dacă s-ar folosi pentl·u mărimi sinusoidale forma normală în cosinus

{33.13), reprezentarea iilrt complex ar fi tot (34.5Ll), şi toate proprietăţile metodei
u Jr-ă.mîne neschimbate, L;u excepţia regulilor de reprezentare, care ar fi :

--- trecerea direct~] ~

.. { -- 4T}î (34.60)

Jl-tt

--~ trecerea inve:rs{~ :

I = R ec o s -~ {i~. (34.61)
,r v)t 1 v~ \1 _ _}

J!:l!~~n'ff.:ru toate rra'frinr.,ilc sinus:oidale car~: intervin în aceeaşi _problernă trebuie să se

Y.tJilizeze o singu.r{i trecerea ilz~rectă şi inversă, adică o singu-:ă fOrmă

:rrurrntaJă : fie în ,~inns, ,12 tn., CD.::-btus~
~~')~- f,_i_;_,,~m-_"~pa_.-r'..~.-~-1cii
. . 1":1 co~~ip-:u ex 'l)~t'··"'?f~~...~" ~ cu. I~egu1~a rei:re-
se constată unedmt ca, Iden·~thcind planul fazonlor
;zenl:.arn c1nematwe

"~·u planul complex, corespunzător mărimii i (t) este vectm:ul :reprezen-

tativ al imaginii complexe i. Axa de referinţă e acum axa reală, iar axa trans-

Y<ersală e axă irnag:h1~ră. De aceea, în aplic~ţii se foloseşte calculul in complex

R\l circuitelor în paralel euL repn~zenta1·e geometrică (care ilustrează ma:i sugestiv

rebţiile de fază), iar :în diagKgme, factorii sînt notaţi cu simbolurile reprezen-

·J ă:d1or în complex.

CURENŢI ALTERNATIV!

V2e) Defazajul912=y1 -y2 dintre mărimea sinusoidală i 1=l1 sin ( wt-+·:1 )

V2- -+şi mărimea sinusoidală i2 = I 2 sin ( wt y 2) e egal cu diferenţa argumen-

telor imaginilor lor în complex, adică cu argumentul cîtului lor:

r-?12 = y 1 - '(z = arg {~}. (3±.62)

Corespondenţa operaţiilor se stabileşte fără dificultăţi :
l. Adunarea mărimilor sinusoidale corespunde biunivoc adunării imagi-
nilor lor în complex :

(34.63)

adică

(34.63')

Această proprietate e evidentă în virtutea corespondenţei pe care am stabilit-o cu reprezentareR
cinematică. Analitic ea rezultă din relaţia (34.5Î), ştiind că partea imaginară a unei sume e.
suma părţilor imaginare ale termenilor sumei.

2. Amplificarea unei mărimi sinusoidale cu un scalar real corespunde biu-
nivoc cu înmulţirea imaginii cu acelaşi scalar real :

(34.64)

adică

8(t.i) = ).8(i). (34.64')

Şi această proprietate e evidentă şi asigură împreună cu relaţia (3·4.63) liniaritatea reprezentării
în complex.

3. Derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul se traduce prin
înmulţirea imaginii ei în complex cu numărul imaginar j w

di . . (34.65)
(34.65')
-~ JWl,

dt -

adieă e (~) = j we(i).

În adevăr: r.)di

(dt wt -+- y + ~ ~ i (<o~-'-·r+ '2:.)
wi f2 sin wi V2 e .

iSe observă totodată că, deoarece este în această reprezentare funcţiune de timp, se obţine
-=di = -d ( I]:r2- el'( "''-1-Yl) = jwiV2- el'("''+Y) =jwi,

dt dt
adică reprezentarea derivatei este derivata reprezentării :

(34.60)

METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A MARIMILOR SINUSOIDALE 85

4. Integrarea în timp a unei mărimi sinusoidale se traduce prin împărţirea
imaginii ei în complex cu numărul imaginar j w

(34.67)

adică:

e (~ idt) = j~u e(i). (34.67')

Demonstraţia se poate face direct, ca pentru proprietatea precedentă, sau indirect, ohscrvînd că
·din relaţia (34.65) rezultă:

.3e demonstrează analog cu (3-4.66) relaţia: (34. 68)

f~ ~ ~ ~idt i dt = \S idt) •

adică reprezentarea integralei e integrala reprezentării.
O b s e r v a ţi e : Dacă am calcula produsul a două mărimi sinusoidale (rel. 33.29) :

+ + "(i 1i 2 = IJ2 cos (·t1 - y 2) - 1112 cos (2cvt y1 2),

;precum şi produsul imaginilor În complex respective :

.a cărui parte imagina1·ă e :

.am constata că produsele de mărimi sinusoidale nu se reprezint<! prin produsele imazinilor com-
plexe. Ca şi metoda rcprezcntării geometrice. metoda reprezentării în complex poate fi utilizată
numai pentru ecuaţ.ii diferenţiale liniarc cu coeficienţi constanţi, În care nu apa1· produse de
fu11cţiuni de timp.

În studiul în complex al circuitelor prezintă însă interes semisuma produ-
sului dintre imaginea complexă a unei mărimi şi conjugata complexă a celei~
laltc :

(34.69)

-care arc următoarele proprietăţi remarcabile :

- nu mai depinde de timp ;
-depinde numai de valorile efective şi ele diferenţa fazelor iniţiale, adică

nu depinde de alegerea originii timpului;

- arc partea reală egală cu valoarea medie a produsului valorilor instan-

tanee (v. relaţia 33.29') :

i lR Je --.-J,--_-i ~~l T

l 2f Tl ,,- .. l
J ZlLzcl.

u

Regulile de mai sus, pn \ 1toare la traducerea operaţiilor elen1entare efec-
tuate cu mărimile sinusoidalc, arată că aceste operaţii se traduc- fără exeep-
·ţie - prin operaţii algebrice efectuate cu imaginile în complex ale mărimilor.

86 CURENŢI ALTERNATIV!

Metodele de reprezentare în complex prezintă avantajul principal de

transforma ecuaţiile integro-diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi alle

circuitelor, satisfăcute de curentii si tensiunile sim:moîdale, în eeuatii algebrice
liniare (de gradul întîi) satisfăc'ut~ de imaginile .\\le ace~tor ~m:enţi:

şi tensiuni 1•

. : ~egula reprez_cntării __an.alitiee poa~_e il tled~!'ii ~ex?lt:siv din eon~iţ{a c~. ecuaţiile. dif~,3~~en.·b

ţtale hnuue ale Cl~CUite!vru sa fi? .tra;Jus~ 111 ecua.ţ:n n~geb1~H>~ ,;:-"r:uîX"<l aceasta ._, tH:~eegt.nc

ca -reprezenta]~ea c.~ntata sa fie l:nuara :

iar derivarea să se. tl~aducă prin Îl.:mulţirea cu un :n~.Jn1ă.I'

f2 +Din i = I y) rezultă d 2i
sin ( M d!2

se obţine cu (a):

de unde e(d2 iJdt2) =pe(eli fdt) ~-_,

p = ± jw.

Ţinind seama că

+i = I y-2 sin ( wt y) = y-2 +I cos y sin ;,:,! l:.. l V::F ein y -~~ (sin M)
w f!t

cu (a), (b) şi (c) rezultă:

e(i) = I cos y e (f2 sin wt) + l l p8 (V-2 sin e (V2·-o- j s.tu r) s~u
sin y-
w

sau.

Aceast<l e cea mai generală reprezentare analitică a funcţiunilor sinusoida!e de timp, care asiguJti\.
transformarea ecua-ţiilor diferenţiale liniare cu coeficienţi eonstanţi, ale eircnitelor, in ecuaţiii

algebrice de gradul întîi. Semnul de la exponent se alege -l-, pent~n ca expoaentnl să fie «Jhi:u

faza iniţială a mărimii. Mărimea :

A = e (V2 sin w&)

este imaginea. celei mai ,,shnple" miÎl"Îini sinusoidale (de '~n1J.oar\:! efeetlvă eg;ală cu unu şl (ti~~
fază iniţială nulă). Alegerea acestui simbol e arbitrară. În repre:centaxeE in complex simplifi1:at
se alege A = l ş.i rezultă :

e~i) ~-= Je)î' ~-= .)·~

În reprez(;ntarea in complex neo;implifieat se alege

şi rezultă:

V2tS(i) = J ei(:oH- y)

METODE DE REPREZENTARE SIMBOLICA A JliLiS,[-tiMILCR Slt;t;SOlDALE

Circuitele electrice liniare de curent alternativ sinusuidal vor Ji caracteri-

zate n.dn sisteme de ecuatii ah::ebricc de gradul întîi, ca si circuitele de cure1H

eonti~uu. Aceasta va pen~ite ~labma:rea teoriei circuitd(;:r de curent aitc.rnat1s-

în strînsă analogie cu aceea a chcuitelor de curent continuu.

Metoda reprezentării În complex (nesimplificat), 'rezolvarea cire:ui ·

telor de curent alternativ, consistă în unnătoarele :

1. Se scriu ecuaţiile integ:ro-diferenţiab ale c:ircuitekn: (e.::1.1aţiile în valori

instantanee). o ·~ . o o ,
2~ Se determina nnaginlle lll comple2';: ale m.~_::nrr"J.Hl~ s-hlllE>Hidale, caT(j

:reaza·~ ca terrneni• Pn.Jue:.ri• a1• acest":ol' e~,;uaţ:•n• ( Şi• care {.i, t: '(1)i).tCel~•, n> a t e - u-lf~ ex.

tensiunile) cu regula trecerii directe (34.5:Lo34.55).

it Se stal)ilesc imaginile in co1npiex ale eetla-ţiilo:r dife:rt3nţiale, adică eeua ..

tiile a.l~rebrice liniare ca:rt; le coresnund (ecliatiiie în ell :regulile (34~63.
3 •,. Or:4' ' '.._1 4 o6'"J'~ ,"~AV:l~~"b7) o jn__)'ator:.rt"a .1. , '
4e , tern1er"1 c11 ter~
0 .I.lnl.arrt. aţ",I.l., co:respo110.C' L"':}:a

:tncni !:ulccu_iild de:rivăi~ile în r(.1po:rt cu timpttl p:rin_ etl j f•-' 7i integl~ib~H.<:'

in timo prin împ[i:rtiri cu i cu,
4" ~Se :rezolvă ~lceste ~Cllatii Îil rapo~rt ea Linagi:txiie c-~ialorile instan't&Iilf'<"

comple:x;e) mă:rim~l~r n;c~m~sc~te (d_e, obicei, curenţii). •

5" ~e dete:rin1na marnn1le Sll1US01ci.ale 11eClinoscut~ Cll TCL!u!a trece:r.n 1:1""f~ r :·~~'
(34.57), adică separînd părţile imaginare ale imaginilor co~~plc~'e ale lor.

34.2.2. ApH!Caţ.ie hi ~li:~rcuitul gerie r~ L, C. Exe1nplifi.că:,:n "!!.TH~tcH:la-]n foJ.·:r.na expus.ă 111ai ~u.i
--prin :rezclv~r~:"::!.. (circuitu~ui s.erie ~are a u1ai fost studi~lt in i~~aragr~Jul 33.2,6 şi 34.L2~ Bept·,:·~
~~ent&?Tea ccuaţ.un .34~~10) a Circultu.hn se poate prezenta sc!J.e:nat.ac B.stfel ~

(.14.

sau

+!.': = (r j olL -+· 1 /j wC)i,

de unde imaginea complexă a curentului este :

+r j(<JlL ---l/wC) ------- "·-·------· ----

sau

liecasta este i1naginea con1.plexă nesbnplific.atll iin~~tauta:ru::e eon1.plexă) a cu:reTtlo-

lui ca1·e trebuie deterncinat .si a cărui v~loarc instae.Lanec se t:.btî.nt~~ purtea i~nagirun·f~ .:t

expresiei precedente : "

,,;,., ,1f,· 1.i(t)
u1/2 cut T ['1 -- a.rc ltg !_~~~)--=-~ic(~ -).

~=;=::;::==~=· \. )/' /

3 -H wL -- l 1wC)'

Arn obţinut chiar expresia (33.69), d.eter~llnal:ă p:ri:r1 calcl1.lul direct~

83 ------------~--------

CURENŢI ALTERNATIV!

Observ a ţii : a) Avantajele acestei metode sînt şi mai evidente la circuite compli-
cate, la care se obţin sisteme de ecuaţii diferenţiale şi deci, cu ajutorul reprezentării în complex,
sisteme de ecuaţii algebrice. Explicitarea formală a necnnoscutelor e la fel de simplă ca şi în
cazul circuitelor de curent continuu (regula lui Kramer pentru sisteme de ecuaţii liniare), deşi

calculele sînt mai lungi, din cauză că se operează cu numere complexe. O dată scrise ecuaţiile în
complex, rezolvarea e o chestiune de calcul algebric, care se desfăşoară "mecanic", fără să
fie necesare raţionamente suplimentare.

b) Metoda e avantajoasă nu numai pentru rezolvarea propriu-zisă a circuitelor (determi-
narea curenţilor cînd se dan tensiunile etc.) ci şi pentru studii teoretice, de_?arece sistemele de
ecuaţii în complex permit studiul sistematic al circuitelor sub această formă. Intreaga teorie mo-

dernă a circuitelor de curent alternativ este elaborată astăzi cu reprezentarea în complex (v. şi

cap. 36, 37, 38, 39 etc.).
c) Dacă se scriu explicit (sub formă exponenţială) toate imaginile complexe din ecuatii-

cînd toate mărimile sinusoidale au aceeaşi frecvenţă - , se constată că toţi termenii acestor

ecuaţii (care sint liniare şi omogene în raport cu aceste imagini) au un acelaşi factor comun

V-2 eÎ"''. Acest factor poate fi simplificat de la început, fără ca restul calculului să fie afectat.

Ecuaţia (34.71), de exemplu, se poate scrie:

+- r:z+u V2 V2ej(o,tH) = ri
ej(cot+ 1·) j wLI f2 ei (C»t+~) 1 I ei(''''+~·)
-
cj 6)

sau- după simplificare :

+ -.-+Ueii> = rfei'Y J. u)LJeiY1 Iei~· (34.73)
-
jwC '

de unde rezultă direct necunoscutele I şi y necesare scrierii valorii instantanee (3,1.72), dacă

frecventa c cunoscută.
D~ aceea, în aplicaţii, metoda reprezentării în complex se simplifică, adoptînd ca simbol
i/ Val mărimii sinusoidale i raportul
2 ~i"'' . Noul simbol nu mai e o funcţiune de timp, ci

un număr complex constant. Se obţine astfel o altă formă a reprezcntării analitice, pe care o

prezentăm în continuare şi care e utilizabilă numai atunci cînd toate mărimile sinusoidale au

aceeaşi frecvenţă.

34.2.3. Reprezentarea în complex simplificat. În reprezentarea în complex
simplificat, imaginea în complex a mărimii sinusoidalc i e un număr complex

constant, avînd modulul egal cu valoarea efectivă a mărimii şi argumentul egal
cu faza iniţială a mărimii :

(34.74)

Această imagine se mai numeşte reprezentarea în complex simplificată a lui i
sau valoarea efectivă complexr1 1 a lui i ŞI se notează cu simbolul majuscnl, subli-
niat, al lui i :

iS(i) = Jei~ = !_ (34.75)

(În literatură se mm foloseşte simbolul J sau I, sau chiar J - în acest

ultim caz rămînînd ca valoarea efectivă să se noteze J1 1 ). În mod analog,
imaginea în complex a tensiunii u este :

+u = U ]12 sin ( CJJt ~) <:::::::::: Uei il = U. (34.76)

1 Dacă se operează cu amplitudinile mărimilor sinusoidale şi nu cn valorile lor efective,

+adică dacă se scrie i = I sin ( ult y)- unde I c acum amplitudinea--, im8ginea în complex

.e L = JcîY şi se numeşte amplitudine complexii.

METODE DE REPFEZE:\TARE SL\\BOL!CA A i\\ARI/1\ILOR S!NUSOIDALE 89

În exprimarea curentă !'e "pune concis curentul complex (în loc de imaginea În complex
a c-urentului) şi tensiunea coinplexă (în loc de in1aginea în complex a tensiunii).

O b s e r v a ţ i e : În reprezentarea în complex simplificat, mărimile sinusoidale origine
de fază (y = O) au imagini reale.

În această reprezentare, regula trecerii directe se poate exprima analitic
sub forma:

(34.17)

1ar regula trecerii inYerse sub forma :

(34.78)

Deoarece reprezentarea simplificată se obţine prin suprimarea . unui factor
comun parazit din toate relaţiile în complex, care sînt liniare şi omogene în
raport cu imaginile complexe, toate proprietăţile Teprezentării în complex
nesimplificate, corespunzătoare unor astfel de relaţii, rămîn valabile. Defaza-
jele rămîn egale cu argumentele rapoartelor imaginilor complexe respective:

f 1.= = ~·.' -"/o (34.79)
m0 arg
\Izf.1 ·- rl-

Şl, în particular, defazajul dintTe tensiune ~i curent c :

~- '( = 9 = arg { ~U-l~. (34.80)

Transpunerile operaţiilor se fac după regulile stabilite :
l. Suma a două mârimi sinusoidale se reprezintă prin suma imaginilor în

·complex corespunzătoa,re :

(34.81)

2. Ampl~ficarea cu un scalar real a mărimii sinusoidale se reprezintă prin
amplificarea cu acela~'i scalar a imaginii în complex a mărimn :

i.i~/J. (34.82)

3. Derivarea une~ nwnmi sinusoidale fn raport cu timpul se traduce prin
:înmulţirea imaginii ci în complex cu numărul imaginar jw:

;rh<: -__-__J. W• J (34.83)

_.

De astă dată, relaţia (34.66) nu mai e valabilă, adică imaginea derivatei nu e
deriYata imaginii (care nu mai e funcţiune de timp).

't. Integrarea în timp a unei mi'irimi sinusaidale se traduce prin împărţirea
imaginii ei în complex w numărul imaginar jw :

~ idt I. (34.84)

·::-~UEE~Tl ,\LTERNATIVI

De astă dată., :rela.ţ.ia (34.68) nu ma-i e vaiahilă, adică imaginea integralei nu m~u

este integrala imaginii ua mai e funcţiune iJ.e timp).

O b s e r v a i i e: Înmn!ţhii sau intpă.rţirii a donă JTi~.drrd. net le corespund 'i:umul--
nmnai !a operaţ.ii Eniare.
tErea ~an Kmpăl'ţir.ea .!Î11nar;~nilor !or complexe. 1\.ep.rezentureu e

J:\1etm1a reprezeată.rii în complex
(simplificat) cuprinde aceleaşi etape

ea şi Jt1.11~toda l"eprezeutării nesimp]i..

fi.ea:t-s'1 eu diferenta eă t-receTea directă

{Jct.e~n~ÎI~ar~a. i~a~inii ~n c?mplex a

Tlnei mn:rnm Em.usGldalej .se face acum

c~ regu~.a ; ia:r t:rece'rea irrve:rs{~

( Uetef.'ITI1IlftJ·ea :!tllal~illlll sinusoidale

Jli'ig. 34d6. em:er;punziitnare unei anumite imagini

in complex) se faeto ca regula (34.?8}.

C>lkuiu.I tl ilnsoţit de obicei de diagrama vecto:rială întocmită în planul cumplex

'în care axa reală e axă orîgine de fază-- şi .ades nid nu se figurează), :in care

fazorii sînt notaţi cu siimbolurile (311.'75) ale irnaginilm· în complex.

Construcţi(' însăşi a diagrwrud vectoriale se armi'ireş;~e pe baza ·indicaţii/ar

cnprinse in Zn crrmplex, că Cll j î'nseanută rotirecl in

Gv:respo.v.de n 1n

~et3:te in. a~ett caz ~

l
'T -----·-- .~-"

joC

'Î~I" d:o.agr3111~1 v·ectorială din ±~gura 34all se notează ca in fi.gr.t.ra ~34.16~ dacă ~e alege tensiunea
.r;a origine de faztL l'Vici in cazul acesta rm prezintă ntilitate .~ă impunem axei. reale o anumiti\.
direcţie (de ex. cea orizontală de la stinga la dreapta).

Reprezentarea iln eomplex se utilizeazi.~ m<'a -- aşu eum am spus --

la studiul' sistematic ai drcaitelor dectl·ice, 1mpreuuă cu metode specifice

de scriere directă a ecuatiilor în comnlcx si de rezolvare a acestor ecuatii.
.J .t s ,

Pentru aceasta c necesa'!'ă ;:.tabilirc.a rnijloacelur de caracterizare a circuitelor

eu mă:rh1Ci.ii rCO-.tnplext·.

Fie un circuit electr-ic i!ipol'at· n~ccpto:r, Jiniar :;;i pasiv, ale cărui laturi inte-

rioare :nu sînt cup!ate magnetic cu cxtm·iorul, la eare "lC aplică tensiunea la borne
sinu.soidaJ~i~ iu.at2. dupii reg11la de la receptoare;

(34.86}

;'v\ETODE DE REPJ<EZCNTMW Si.\lBOLICA A MARIMlLOR Sl!';USOIDALE 9!

Di:polul ahf'mn:be eun:ntul de :regim permanent :

i = I sm (rol;+ (34.87)

" O,b 3 •: r v :r.r (.. I~1 -~~a'?.ul ~t.1~dint~i ~n c?:t~ple:: al circuit..elor ... s~ -:bi~~ui~şte ca în
3e.nenH~le urce&tora sa se treaea \lrrect 3JmbohJT.de 1magnnlor :an cornplex ale 1nnr.nn.do1' t~l~ ng. 34.17),

?.n loeni ::3Îinholurilor valoriîo:e instantanee~

Cal~aeteriz~J.rea aceC':tui

c1..1rre:nt a~~ernativ· se fa.ce~ ~cu,"\ ajutorul

parametnlor defin1ţ< J.n p:uH-

gi"a!nl 33~3 (in1pct1anţa., ~- defaz"~.jul:­

T.ezisteu.ta, reactanta, ao..nt!itanţa., eon.-

ducturJţ~," i3u,sc.ep~a'nţa), ia1: c~r3'cte:ri­

~lal~ea reg1n11lllli SEUl en.erget1e se fac-~ cu.

aiutorul puterilor reale. definite î:u para- a
:;:;·aful 33A, (puterea . activă, puterea

reacti.vă, c, I:?-t~nc.a aparentă)., Metoda Fig. 34.17.
repreze:ntarn n1 complex se uovcdeştc

însă deo:ocbit de eficace şi îln prezenta1·ea unitară şi concisă a proprietăţilor

cireuitdo:r electrice. Vom arăta în cele ce urmează că se pot defini parametri

<:omple:;şi (impedanţa complexă, admitanţa complexă) şi o putere complexă,

suscet>tibili de a asigura o caracterizare completă a circuitelor si din care se
dedw~ nara~etrii
imediat reali si !Juterile :reale. '
it
}J .IL

31,.3.1. Impedanţa Cilmplexă. Rapmtul dintre tensiunea complexă apli--

cată ia bornele unui dipoi liniar şi pashr ~i curentul complex corespunzător nu

depinde decit de parametrii elementelor de circuit şi de frecvenţă. Acest raport

otefineşte o mărime caracteristică dipolului, numită impedanţă complexă

Z= u I ~( w; r, L, C, ...)
,_

ln adev{1r, înlocuind în această relaţie expresiile imaginilor complexe (care pot
fi ne,o:implificate sau simplificate) se obţine:

z = Il U V'-2 ejlw•+B) Il --- !!_ eH~- y)
r 1(-,2
I- I

= !V , cos (f-:~l - y) J. -USm. (A1"'-y).
J

re Cfl C d~q"azaJ'Ul, care, aşa CUlU ŞtÎrn

-JJar -oI- """"' ,7__,. C W. !p- ei:U" l-n,ta r' n~a:1.ă;,' .Iar ~- '{ =

din relaţiile (33.73) şi (33.74), earacterizează circuitul la o frecvenţă dată. Impe-
danţa eomplexă nu depinde deei de mărimile !!_ şi 1_, prin care a fost definită,

92 CURENTI .\LTERN.\TIVI

------- -------------·---------------------

ci numai de dipolul pe care îl caracterizează. Ţ'inînd seama de aceste relaţii şi
de relaţiile (33.78) şi (33.79), rezultă :

Z =Zei~= R jX (34.89)

Impedanţa complexă are modulul egal cu impedanţa circuitului, argumentul
egal cu defaza_iul circuitului, partea reală egală cu rezistenţa circuitului şi partea
imaginară egală cu reactanţa circuitului :

Z = '~[, <p = arg {~}, R =Re{~}, X= Im {~}. (34.90)

V alo are a impedanţei complexe ~ permite o caracterizare completă a circuitului
dipolar considerat, la frecvenţa dată, deoarece permite deducerea tuturor para-
metrilor reali ai circuitului. Calculul curentului se face imediat cu relaţia :

1 I ŢT i Uei il u cHfl- cr l, (34.91)
zcicr z
; =7, i

1'

-~-~----

(34·.91')

Ca orice numere complexe, impedanţeJe complexe se pot reprezenta Într-un

1)lan r:omplex "al impcdanţelor" (planul Z), în care afixul corespunzător se

găseşte totdeauna în semiplanul drept (inclusiv axa imaginară), deoarece :

He {~} = Z cos 9 = R :> O.

În figura 34.18, a sînt reprezentate impedanţelc unui circuit indnctiv (~), pur

inductiv (~1), capacitiv (Z:2), pur capacitiv (~ 3) şi re zistiv (~ 1).

+j X 0

0

+1 +1

6.

Fig. 34.18.

---------------------- -·--···---·----- 93
J\\ETODE DE l(EPREZE"'TARE SI.\\BOLICA _\ !1\ARIJ\\lLOR S!NliSO!DALE

-------

O b s e r L' a ţ i e : Impeclanţa complexă nu este o reprezentare în complex a raportului
valorilor instantanee ale tensiunii şi curentului (raport care - de altfel - nu e o mărime si-
nusoidală), sau a oricărei alte mă1·imi instantanee. De aceea, uneori se foloseste si o nota tie <liferită
de cele folosite pentru imaginile complexe. Ea este un parametru complex,· ca1:acteristi~ circuitu-
lui, care acţionează În ecuaţiile În complex ale circuitului ca un operator de Înmulţire.

34.3.2. Admitanţa complexă. Haportul dintre curentul complex şi tensiunea
complexă aplicată la bornele unui dipolliniar şi pasiv defineşte o mărime egală
cu valoarea reciprocă a impedanţei complexe şi numită admitanţă compiexă :

Y=.:__'-:_= T = -zl = \f ( u); r, L, C, ...).

.!_!:

Şi admitanţa complexă depinde numai de structura dipolului şi de frccYenţă,

fiind o caracteristică a acestui dipol. Înlocuind expresiile imaginilor complexe

ale curentului ŞI tensiunii, se oţine :
rzI eilo,t+·:)
r2lT =-c------

ei((·j'+ 0)

!_ cos (5 - '-') - J. _!__ sin (S - 't) .

C' ' L' 1

Cu relaţiile (33.74'), (33.82), (33.83) şi (33.86) rezultă:

~----·-_--_-··----.--1 1 (3•1.93)

; Y=Ye-J'r=G-JB j

Admitanţa complexâ are modulul egal cu admitanţa circuitului, argumentul egal
cu defazajul cu semn schimbat, partea reală egală cu conductanţa circuitului şi
partea imaginară egală cu susceptanţa circuitului cu semn schimbat :

Y = Il], 9 = - m·g {l], G = He {:!':}, B = - Im {Y}. (34.94)

Valoarea admitanţei complexe Y permite o caracterizare completă a cir-
cuitului dipolar considerat la frecvenţa dată, deoarece permite deducerea tuturor
parametrilor reali ai circuitului. Calculul curentului se face imediat cu relaţia :

I = YU = UYe-i•r = UYeiW-·:1

şi cu i(t) dat de relaţia (34.91').
Ca orice numere complexe, admitanţele complexe se pot reprezenta într-un

plan complex "al admitanţelor" (planul Y), în care afixul corespunzător se·
găseşte totdeauna în semiplanul drept (inclusiv axa imaginară), deoarece

He {X} = Y cos cp = G :;;? o.

În figura 34.18, b sînt reprezentate impcdanţcle unui circuit inductiv (}J, pur

inductiv (X'1), capacitiv (Y2), pur capacitiv (X'3) şi rezistiv 0:".~)·

1 Dacă susceptanţa s-ar defini prin relaţia B' = - Y sin CfJ, atunci am avea

1:': = G + jB'.

CURENTI ALTERNATIV!

O b s e r v a ~ i e : Admitanţa complexă nu este o reprezentare in complex a dtului valori-

lor instantanee ale curentului şi tensiunii sau a or:icSrei alte nuirimi instantanee:" }~a este un pa1·a ~
Inet1·u complex, c:ll"acteristic circuitului, care acţionează in e{~UJ:q.ii ca operator de irimliiţire.

34.3.3. Putex·eH complexă. După ce am 8tudiat reprezcntaYea în complex
a operaţiilor elementare (par. 34.2.1), am a:rătat cii produsul a două mă.dmi:
instantanee nu e o mărime sinusoidală şi nu se poate 1·eprezenta în cm:nplex.
De aceea, nici puterea instantanee p la bn-rnde unui! dipol (geneTator sau n>,cep-
tor) (v. par. 33.4.1).

p = ui = UI cos rp-- liJ cos (2 (,){

nu se poate reprezenta in. complex după l'egu]ile :n~prezentărit stalJilite p(?ntriT

mărimi sinusoid.ale.
Se poate defini însă o mărime complexă, care să strîngă în aceeaşi expresico

puterea activă, puterea rcactivă şi puterea aparentă., utilizate pentru earac:-
terizarea reginruhri permanent al circuitelm· (v. par. 33.4), folosind proprietatea

exprimată de relaţiile (34.69), (34.70).

Se numeşte putere complexă (uneori putere aparentă complexă.) >nărimea ,)
definită de produsul dintre tensiunea complexă şi valoarea conjugatilc a eureiJ-
tului. complex in reprezentare simplificată (sau cu eenli-Emma acestui prodn'o',
în reprezentarea nesimplificată) :

S == UI* -- ~2u--i--*. (34.91)

Înlocuind expresiile explicite ale imaginilor complexe, se verifică ultima egali-
tate şi se separă partea reală, partea imaginară, modulul şi argum.entul. aceste~

mărimi:

l -_u-~-. = I [} Jv!2--
---
-z-. 2

TII*= UieiU-yl = Ul co:;: (~ -- j Ul sin

T, l•Ul'llOL] sean1a d.e re1m~n..1] e \'33..-h04) , (,"'''3,lrt6i ·)_ ŞI'("",-'",'·-1'-1.·t•i'J' , :rezu'' lt·~a:

+ -+Ş = Se.iq ,= Uieifi! = Ul cos 9 j UJ sin cp == P jQ.

Puterea complexit are nwduhd egal cn puterea aparentă, argumeru.u.t ep;(<.i

cu defazajul circuitului, partm~ reală egnli'i c:t, pu.terea activei. valo.a.reu;, medie

a puterii instmuanee) ;;i partec. imagincml, egală. w. reacliul :

=llf; ;; (3JL.99)
(,.34.100)
P = j) == UI eos ? = Re {§} ; Q

O dată cu P şi Q, puterea complexă e primită. (ca sens de :refe.dnţ.ă,), dacă ten-

siunea I-J şi curentul 1 sînt asociate ca sensuri după regula ele la receptoare --

şi e produsă (ca sens de referinţă), dacă tensiunea Eşi cmentul 1 sînt asoe:iate

ca sensuri după regula de la generatoare.

95

(:a orice Illllnăx C(;J'J:lplex ŞI puterea a într-un

plan complex "al pntcrilo::::'' (planul 8).

L~:;;, d(noli ccti-J.;t~ pozi1f~ ~-~H_-:Lu},:_j put~-T_i~ c.tHG.p]e->:.P: )j u._~:~-~::.trr:; fn plr.teriior

tranmni;~:!~;J~~~~i~)~i ~: :~~::i~~j::•d:c~:;,~i!~;~~j'cn";,,;~n~·i,%·~ (l, in ~iCL'.SUi

.[ui~ De exeJn_plu') !:_2 poate fi puterea t::tJnlpÎJ~xH in
hoE"nt:le UJJ"G.l dipol activ re(·eptor C[-n:~:: { .~ şi 1
'3e asociază după regula d-~ la receptoare-f 71-'-J ~
produce putere activă ş.c p.dmeşte putere reae- c~; j \

tivă. ~: d~r po?Le Ji şi putete::-a (~GJ:Jlplexă .ia.. ho:rn;:_.le 1
unul ni}JD1 act1v gene:ra-~or (la care [! Ş·l 1 se a~G-
ciază după :regula de la generatoare-) ~ind }~-Iinlt'"~1)~- )
putere activă şj pîorlnce putere :reacîJv;i.

La deipoeloinţpinauâ.tvăi, uuponzil~a:i;flint,a~-f-irx~nn tu~ieinfic-Upliearni~i, "',, : 0 ') il
J:omplexe ,'Vl","'~.,. l ~
~j: anume sen1.iplanut d:rept (dad1l ~e folo~e;~e conw
·ve:1ţja .de 7so~ţere de --~,a :L;~ e1n11 se _ ______~~--·Y,-+0 -~\[ ·
,t>h;,mneşte;. l1~ ade':ar,,
pa•ivi rer;ep· / / ,\"(, · 1
<·w:ri P:): O şi Q O. In 31.19, .': ,e I'uterea // 1 \ '
'.\
emnplexă
u(Qpterriem--aiOt)i~codmepleuxnă•dipp<.r"i:m' ih1u8lue1r,1i,":, (Q > 0), cf""~// ' 11-o, -\ \ -'--' ~!1
iar ;'1 p
t,_'apacitiv un dipol ..::·t

1 \ .,\~=ifi

~Puterea complexă Frunită deJ:. nn \
dipol pastt' se ;:rw~ exprinlil: ţ'olosimf )m-

ped:~!a eom.prexa ~n ad.mitanţa com-

ple.."".

1' (G + jB) U2• (34.101)

b s e r v a ţ i i ; tt) Pnte:re:a eumplexă S nu cstf; imaginea in complex:
a putm:{i 'instantanee p, care ~·- aşa cmn am menţi~m<rt"la ·ine.eputli1 parag:raltil\i]-
nu se poate repr.ezeuta în com.p]<ox,

b) Se poate opera~ ]1111 lo0ul n:l!ă;:]n;ii S eu J:nă:drn~:-:a ~ ~il lig~ 3-~~~19} ~

8* CJ

:'umită. pu~:cre eomp~ex,J, Lc e C.ll ac~3n~tă C;fHTitfl~exă

~u ~pecu=d 1n ec!z:~I e]nn,, ten.·:ntc.nli complexe se ec.;lculeazii mai usor
~ • ;~
dec1t a C~.li'C.nttHlU COll1H1t""X cînd [} :=ce ·t,7._ d1f' JJC?~rcee e luat
de fază). -- o:r1g1ne

'

. .~) .0 mamne. c,'~=TIJ?Iexa âefXnitii: d.e rn:odu;,rl,j! i:rnagilJ.itJJt ~3on1plexo ale ten..

:3JUUll Şl curent11lu.I ttara ea v:ren.nn.~ di:n. factori să fw cordugat) nu carac-
fllt eir:cuituJmi. <1-r1n d• ,t,l:t!t'''i(T"~t:J~.-, ~c:~ş~c~.~_~:,a.c;~..;.-.a'. IDGJ""'.~1" lm,e ;.
t.eriza regirn.ul perrnsne:nt

[Jl=Ule -1 j UJi SUl ([3

a:re vakri care depind de e:Iegerea arbitrară a originii timpului (prin :suma (:) v

a fazelor initiale): O astfel de :mih:ime nu are niei o semnificatie fizică ader:>iată

studiului regimului permanent. '

96

u Z==r 3't.3.4. Caracterizarea ele-
mentelor de circuit în complex.
~ •1- 1r_
Pentru studiul în complex al
_!_- circuitelor de curent alternatiY

este necesar să se cunoască pro-

prietăţile şi modul de caractc-
a. Tizare al elementelor ideale de

circuit r, L, C. Considerăm c:'i h

se aplică o tensiune sinusoidală

dată (34.86), cu imaginea cont-
u·p1exa~ rj_· =
e.iil ŞI. d.etenotn.-

~J=ţ.~uL j ..,

nărn curentul .T = I e · , pa-

rametrii caracteristici şi pu-

terile.

b. z- _1_ În studiul în complex

(fc \f=jc.;Cl! -- jwC al circuitelor, pc scheme se
figmează simbolurile imagi-
u~ 1 nilor complexe (în locul sim-
1 bolurilor mărimilor instanta-
c. l nee) alături de săgeţile sensn-
rilor de referinţă - totdealma

necesare pentru scrierea ecua-

Fig. 34.20. tiilor si interpretarea rezulta-

telor (~-. fig. 34.20).

a) Rezistorul ideal, de rezistenţă r, are ecuaţia (31.22), reprezentată în
complex, uţilizîncl regula amplificării cu un scalar (34.82) :

1! (34.103)
Rezultă :
.u = r i = u. ~ U = i r I = U i •
(34.1 04)
~-----=-~- _---=:J
Aceasta e expresia în complex a căderii de tensiune
rczisti,-e.

- impedanţa complexă a rezistorului ideal :

u ,--;.---Î
=-=IZ=r:,
.l 1 -
'·

cu Z = r, 9 = O, R = r, X = O.

- admitanţa complexă a rezistorulni ideal :

u = --_l =~ 1y l• (34.105)
1
1

.t ,

-- ''--------'

cu Y = ljr, G = ljr, B =O.

- puterea complexă a rezistorului ideal :

U I* = ~ ş_ = r J2 = C2 1 (34.1116)

-- r1

-------------

cu P = RI2 = rl2 = U2 jr > O, Q = XI2 =O.

METODE DE ftEPREZENTARE SIMBOLICA A :V\AR!MILOR S!NlJSOIDALE Dl

Am rerrăsit toate Yalorile scalare determinate cu metoda r;eprezentării i?'O·

metric;' (34.21...34.23).
b) Bobina idealc'i de :inductivitate L are ecuaţia (31.26), reprezentată în

compleT, utilizînd regula derivării (3i.83) ~i a amplificării cu un scalar (.'H.B2) :

In ::::: di = , TT (3!.107)
dt_j - UL ~ -t-,'- ::::::::::

Aceasta e expresia in complex a căderii de tensiune inductive. Hezultă :
~ ÎIT<pedanţa cm:nplexă a hobinei ideale :

(34,,108)

cu

R= O,

- adrnitanţa complexă a bohinci ideale :

l (3 -•t._."_j ()·9")

F

cu

Y = lj(,JL, G ==O,

- puterea complexă a bobinei ideale :

* =U I 1 [jl ;
j1 S = wL J2 =~ j -t~)L 't ,

1 --·

cu

P = RP =O, Q = XJ:>. = (•JLP = TPfwL >O.

Am regăsit toate valorile scalare determinate cu metoda reprezentării geome-

trice (34.24...34.26).

" c) Condensatcrul ideal de capacitate C are ecuaţia (31.30'), reprezentată

în complex, utilizînd regula integrării (3-ţ .811) ~i a amplificării eu uu .scalar

(3-!.82) :

'i -'!u = __J:__ (
C"
= iuc LU =~
=dt ',- .Uc: (:H.lll)

1 ------
i-- jmC

.-\ceasta e expresia in complex a căderii de tensiune eapacith·e. RezulUi :
-- impedanţa complexă a condensatm:nlui ideal :

(3-U.D)

- ---l:3c))

--------------------------------------- ----

9'3 CURENŢI ALTERNATIV!

cu R= O, X -1/wC.
Z = lfwC,

admitanţ.a complexă a condensatorului ideal :

= IY=jw c/ (34.113)

ŢT !__ _ _ _ _1

cu

y = c,(J) G =O, B = - (•) C <O.

- puterea complexă a condensatorului ideal :

U I* (34.114)

cu Q =X 12 = - 12 / w C = - w C U2 < O.
P = RJ2 =O,

Am regăsit toate valorile scalare determinate ~u metoda reprezentării geome-

trice (34.27...34.29).
În figura 34.20 sînt construite şi diagramele vectoriale corespunzătoare

(cu notaţia de la reprezentarea în complex).

34.4. Formele complexe ale ,Jegii lui Ohm"

. 34.4.1. Analogii cu circuitele de curent continuu. in regim staţionar, datorită lipsei tensi-
unii electromotoare indme (31.8), cîmpul electric este un cîmp potenţial şi tensiunea electrică
nu depinde de drum. De aceea, în curent continuu (v. şi par. 13, voi. I), în expresia inte-
g:rală (31.9) a legii conducţiei electrice, tensiunea în lungul firului poate fi înlocuită cu tensiunea la
}Jorne. Se obţine astfel ,,legea lui Ohm", sub forma

Ub = r i (34.115)

pentru un dipol liniar şi pasiv, de rezistenţă r, alimentat cu tensiunea la borne Ub cu sensul
asociat curentului după regula de la receptoare - sau sub forma mai generală

e ± Ub = r i i)

pentru un dipol liniar şi activ, conţinînd o sursă de tensiune electromotoare e, avind sensul
curentului. Semnul (+) din ultima relaţie corespunde dipolului receptor (sensul tensiunii la
borne e asociat sensului curentului după regula de la Hceptoare), iar semnul (-) corespunde
dipolului generator (sensul tensiunii la bornc e asociat sensului curentului după regula de Ia gene-

ratoare).
În regim nestaţionar şi deci şi în curent alternativ, d2torită existenţei tensiunii electro-

motoare induse şi a prezenţei condensatoarelor, relaţiile (34.115) şi (34-.116) nu mai sînt vala-
bile în valmi instantanee. Un analog formal al acestor relaţii se obţ.ine dacă se operează cu
im2ginile în complex ale tensiunilor şi curenţilor. Analogul formal al relaţiei (34.115) rezultă
din relaţia (34.88) de introdueere a impedanţei eomplexe, pentru dipoli liniari şi pasivi :

I!J=KLI (34.117)