Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.1 - scan

·~---··-----

1\IETODE DE REPREZENTARE SL>1BOLICA A /Y\ARIMILOR SINUSOIDALE 99

şi se numeşte forma complexă a legii lui Ohm. Ana1ogul formal al relaţiei (34.116) este teorema
lui Joubert, demonstrată în paragraful următor- şi care se mai numeşte forma complexă genera-
lizată a legii lui Ohm.

Aceste analogii formale cu relaţiile fundamentale de la circuitele de curent continuu vor fi
Întregite prin formularea unor teoreme analoge teoremelor lui Kirchhoff (cap. 36) şi constituie
unul din marile avantaje ale reprezentării în complex. Ele sînt limitate de existenţa impedanţelor
mutuale (v. 34.4.3).

3J.4.2. Teorema lui Joubert. Fie o latură activă de circuit electric
(fig.34.21,a) cuplată magnetic cu altele, conţinînd un rezistor, o bobină, un conden-
sator şi un generator de tensiune electromotoare instantanee dată eg, aYînd
sensul de referinţă al curentului i. Inductivitatea proprie a laturii1 este L,
capacitatea condensatorului este C, rezistenţa totală a conductorului (de la
borna lla armătura 1' a condensatorului şi de la cealaltă armătură, 2', la borna 2)
este R, iar tensiunea la borne instantanee cu sensul de referinţă după regula

u. (Rece.pta;;}

-b

b.

q,PXJ E

11_~"~--.__~y i 2-g

~~
y_6 (Generator}
c.

t; 2
a.

rde la reccptoare este u 12 = ub. Fie o curbă luată în sensu curentului (de la

1 la l') prin interiorul eonductorului laturii şi prin dielectricul condensatorului
şi închisă pe la borne în sens opus tensiunii ub. Fluxul total înlănţuit de latură,

(.

e,.1 Această inductivitate include şi inductivitatea proprie a generatorului, dacă t.e.m,
corespunzătoare nu e inclusă în Pentru definirea inductivităţii laturii şi- mai general-

.a fluxului înlănţuit de latură, suprafaţa de definiţie a fluxului se consideră sprijinită de linia ten-

sienii la borne (v. şi observaţia de la par. 31.3.2).

li}[) CC!(ENTI ALTERNATIVI

calculat prin suprafaţa Sr în sensul asociat seusului curentului burghiului drept,

se ~ ,. . ~ , ~~l) = L. ~, <D (ex) Şl. • ~.
compune dm fluxul h o e care Hli.htee
m1 n 1 clm fluxul

t.e,uL a generato:rultu. e6. rV1.Hxul exter.wr (_h.(cx) e fluxul produs pn•n 1J"UO~-u•ma"

:rele em·enţii alt'u laturi. Tensiunea electromotoare inclusă în lungul curbei este :

~E (:H.ll8)

r

Ac~ast~. i[!tegrral;1 se poate lnsă Llesfa.ce pc porţiuni :

~.E a" ~ 'E1' .,,, d;; \E \E:! ,.
E ds T' fls - d&
!" t -
1J
(fir) (dielectric) 2' 2

(fir) (pc 1a borne}

Primrll şi ai treilea termen reprezintă tensiunea în lungul firului, egală, co-nform
legii conductiei electrice. cu produsul dintre rezistentă si curent.
Termenul ai' doilea c ten~iunea condensatorului, iar uÎti~u.l e tensiunea Ia borne
cu senl.n ,;;ehimb~t :

= =• Eu-1"~ R. • 1 ,. u. lt-
JJ\ \
' t --'~, -c- ub, (34.118')
u.R -•- Hc- Il•

·' . "

r

ultima egalîtate fiind valabilă pentru circuite liniare.
Egalînd expresiile (34.ll8) şi (34.118'), se obţine ecuaţia unei laturi :rccep--

toare active şi cuplate

1 ••
UR -t-- Uc - U;, " . C JR ; --+--. \t dt-ub. (34.U9)

l~ u1oeum. d =.ffi L· t• -r'· wrh (ex) ŞI. separ'ind termen•u• dependenţi de curent, se

'1'

obţine ecuaţia uncl. laturî liniare rcceptoarc :

L ~ + !c_ (Ji dt. (:li.l20)

dt

Ecuaţia cwrespunzăt.oare în complex este :

Factorul complex al curentului este chiar impedanţa complexă proprie ? a

1aturii. Se obtine astfel expresia teoremei lui Jouhert pentru laturi recept(HU'e
(v. sdhetna e~hivalcntă din fig. 34.21, b):

(., ' ''ll\•. Jlta-~1'1:1
o;..! J

b·1ETODE DE REPREZENT.::.l<E SlNiBOLlCA A .\L.3.RTJ',liLOR SINUSOIDALE 101

ce<!re pentru laturi generatoare (la care :o-a luat nb
'~eh!valentă din fig. .34.21, c) se scrie :

- u.___ [J ZI

Aceete două expresii se scriu strins :

i--·-----------------------!

1 E . .v,(e.•l ---1~- _U_"t•J = ZI 11' 122)

1~ - g -JCUW~ --" ·-

~l'numl (+) corespunzînd laturii :reccptoare şi semnul (-) Iatu.rii gtn<;ratoare.

Această relaţie constituie analognl pentru curent alternativ, l:n cnmplex,
al h~gii lui Ohm generalizate (34·.116). Suma temâunilo:r din membrd stîn~

se mJmeşte tensiune aplicată

: E' - J' i..,:..~-.r , = · ' f (r ;:} 1 -r T (31.123)

(lj (!l ::t: t.;"
- - - - - - · - --·-·--------------i

Şi coincide cu tensiunea la horne luată după regu]a de la reccptoare, h1 caz.u]

t' aturilor pas1.ve (E_g = O.)' Şl. necuplate (. ~""<•xl = oi • Cu U.JUtoru1 tens.mnn.. apl'I-
1
cate, teorema lui Joubert se enunţă : Tensiunea aplicată unei laturi de circuit

(pasive sau active, cuplate sem necuplate) e egală w produsnl dinlre impedanj:o:

proprie a laturii şi curent :

(34.124}

3.4-.4.3. Impedanţe mutuale. Fluxul cxtiCrior instan!ancu poate fi produs

rele t·,urenţii i2" i3<; us~iL ai altor 1.1 --- l laturi de circuit. In acest caz vonJL da in..

diede llaturii studiate pînă acum, al eă:rei. curent va fi i = i 1: a cărei inducti-

=• L~ Şl• al' că:. rc1~ ~ ţ• 4-•1 . \tom·" ((!X.)

Yitate extenor n
• va fi L. 11, flux Ya ,.7. txpn•ma

p:ropne

acest flux cu ajutorul rehq.iei Iui l1I<ex>>'en (31.15) :

L

"\'f

L1 _jl.·
!=2

1,11 ea re I.ntervi.n 1. nd·tlCt.:.tv.rt~ aţ"ue xntn. tla Je L •1_, ~ L·51 ·-... c·i'. 2r,: {~rnntH.,. HliH.::J!• :,rru:Iuet].-
r
::;(

YÎtll.ţi mutuale, de exemplu L 1,1 ("•'· fig. 34~.22), depi.nde ele st:rumrile de referinţă
.de pe eircuite în raport: ce~ car(3 a1 d~firu~~ă. . I)aeă /_ 12; :>O~ E.u:.xul ~produs de

{:irte rr~tul 2 foEn:cu:rs de eru.'entu}~ î':n senBnl de ref(~J~tntă considerat pe acest
encmtt) lcn·cmtmmranţme ~' ~
p P. 7 '-' \.'i. ® '' li (Y. h., g. 34: .22,a) mA tr-un sen' s dmpa11 ,:, regu!-· a
asoc1at

burghiului drept cu sensul de referinţă de pe ci.:rcuitul 2 (sensul îi:n care calcu-
lăm tensiunea dectromotoa:rc :indusă de 2 în 1). <Dacă L 12 O, fluxul produs de

circuitul 2 înlănţuie circuitul l (v. fig. 34.22,c) îtntr-un. sens opus celui asociat

după regula burghiului drept. De aceea, pe schernele echivalente ale circuitelor
(v. ]]g. 34.22, b pentru cazul din fig. 34.22, a şi fir::. 34.22\d pentru eazul din

102 CURENŢI ALTERNATIV!

------~-----

fig. 3·1.22, c), valoarea, pozitivă sau negativă, a inductivităţii mutuale trebuie
însoţitâ de indicarea sensurilor ei de referinţă de pe circuite, indicarea care se
face cu steluţe (sau puncte), plasate alături de bornele "de intrare" pentru

* '

f \---" Lz

L, ~ L"

b.
a.

d

c.
:Fig. 34.22.

acele sensuri de referinţă (bornele polarizate). Indicarea nu se face cu săgeţi,
pentru a nu se impune în nici un fel sensurile de referinţă ale curenţilor folo-

site la scrierea ecuatiilor.
Temdunea electro~otoare indusă de fluxul exterior (34.125) are (în circuite

liniarc cu L,. = const.) expresia instantanee :
5

Ld <1> 1 (ex) _ _ ~ di5 (3-U26ţ
- L~.J1
dt ls

dt

respectiv în complex: L (3.± .127)
Mărimea imaginară :
-B~lsL·

s=J

iz · ·x zL =] _rs = J (t) rs (34 .128)
J rs j1 == _sr

.\1ETODE DE !IEPREZE'lTAR.E SL\1BQLICA A MARL\1ILOR SINUSOIDALE !03

se JElme~te impedanţâ complexâ m utualâ dintre circuitele s Şl r, Iar mărimea
reală :

, X,., = cu L,. i (34.129)
5

Rt~ nnmc~tc rcctanţă mutuală (inductiYii). Deci, în cazul cînd fluxul exterior
e produs de curenţii altor laturi (liui.are) de circuit, expresia (34.122) se poate
scrie (afeetînd acum indicele 1 tuturor mărimilor referitoare la latura studiată) :

z_l _J.1

sau

L iL (34.130)

J./b1 = ~I J1 T L; ~Is L I, I=LV-JZ-Js _I s •
s=:2 1 ·~ l

··-~---·~---·------'

Semnul (+) corespunde regulii de la rcceptoare, Iar semnul (-) regulii de la
generatoare pentru Jjz,1• Mărimea

QL = -- &1 = ~ls _I, = jXL L (34.131)

(s 4= 1)

se mai numeşte cădere de tensiune indusă mutual de curentul [, în latura 1 şi
e l'gală si de semn contrar cu tensiunea electramotoare indusă de curentul !_, în
lat~ra 1':

Ji:1s = - .i CU Sfl1s = - .i Cu Lls L = - ~ L 1,. (34.132)

Comparind relaţiile (34.116) şi (34.130), se constată imediat că analogia
formală dintre relatiile fundamentale de la circuitele de curent continuu si
cele de la circuitele' de curent alternativ studiate în complex este imperfectă,
.în cazul cînd există tensiuni de induc-ţie mutuală, respectiv impedanţe mutuale,

care nu au analog în curent continuu.

Observ a tie : a) Semnele din faţa mărimilor L 15 şi X 1s din ecuaţiile (34.125), (3·4.126),
(3·t.127), (34.128) se schimbă, dacă se schimbă unul dintre .sensurile de referinţă
ale curentului J.,, sau al ten3iunii electromotoare calculate în latura l, faţă de sensurile de

referinţă indicate de bornele polarizatc, utilizate pentru definirea mărimii L 1, ~ O,

b) Semnul din faţa t.e.m. '!: generatorului fi~ se schimbă dacă sensul de referinţă al

acc--teia e opus celui al curentului. In ace-.t caz~ E r se 1na;. numeşte tensiune contraelectrornotoareo

Sistematizarca studiului reţelelor electrice cu ajutorul reprezentării în
complex se poate face în strînsă analogic cu aceea a reţelelor de curent continuu

(v. cap. 13, voi. I). La circuitele dipolare, determinarea curentului la tensiune
dată se reduce la calculul impedanţci complexe prezentate de circuit (v. rel.
34.91); de aceea interesează metodele de calcul ale acestei impedanţe în funcţie
de structura circuitului :;;i de impedanţele laturilor lui (v. cap. 35). La reţele

1()4

mai cumplicate se uti.lizează forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff
. cap. 36), cu ajutcrul cărora sr~ poate rezolva orice problemă privitoare la

reţelele Iiniare. Numeroase r:lte teoreme şi metode de rezolvare, consecinţe
~de teoremelor lui Iiirchhofft sint utiliza ~e pe;~t:ru simplificcrrea şi sisteinc~tiza­
rea calculelor (v. cap. 37).

I~IPEDJ,J'\TE ECHIVALE~~TE

Şi L'TIUZAREA. I"OR

";i admitanta (~OmiD!exă echfra1entă

~-· ·-·-··- ---~---~---..---..- ·--.ll_._ ..___ - - - - - - - - -

Consideram un circuit dipolar o<trecare D, a cărlli tensiune la horne e

sinu:;;oidală, cu imaginea i'n complex Q. Pl'esupunem că în regim permanent

curentul este, de asemenea, shmsoidal şi are imaginea în complex!_, considerată
cu sensul de referÎlY~ă asociat tensiunii la borne drtpiî regula. de la receptoare
(fig. 35.1).

Se numeşte impedan{d echivalentă complexă raportul dintre tensiunea
la borne complexă şi eurentl<l complf:x, eu sensul asociat după :regu!a de Ia
rceeptoare. ale unui! eircuit clipolar omtecare:

(35.1)

cu partea reală, R, ~ O, rl!:.istenţa echit;,,.lentă- şi. cu p:~rtea imaginară, X, ~O,
reactrmţa echivalen.td.

S~.o .nu,meşt.e admita.nţri echi•mtlfmtă comple:ră valmuea reciprocă a imJH'clan-
ţei ceh.IYalente complexe :

e-}C..i , (35.2)

cu ]'Hlrtea reală, Ge ~O, conductanl(;, er:hi•tmlentâ- ;:i cn pa.rtea imaginară Ctl
:oerrm schimbat, B, ~O, .:msceptanţ'a echivalentă. '

:M:ărimile (3fl.l} şi (35.2) se dciinesc pentru circuite oarecare, care pot fi active, ncliniare,
cup]ate cu alte circuite "le., eu singura presupunere că Ub(t) şi i(t) sint sin.usoidale (eventual
c·umponente sinusoidale ale unor funcţiuni periodice nesinusoidale). De aceea, impedanţa
rrd1in;lentă şi admitanţa echiYnlenfă nu (·tuact<"rizează circuitw la care se referă derît intr-un

J05

::.<:"egim dat de funcţionare~ }Jot depindB de v::-tlc~f.u:ea tcn~iunii ~i a curentului şi p~Jt avea păT'ţile

:~;~l:~~a1~~i~it!cî~t;~;~~~~~~l ~~I:~:u~:~~:! ,f~~;;;l~I'i;';~,;,~l~i, i~~~f\c~a~t~,e~~;:J~1:t:"ş~l~:'~~tc~~~~:

("Xte:rioarc~ in1pedanţa (2.dmitanţa) r'chiyalent3 r-o1n.ple::'-;:i! C\-.tc egale\ etl Î.t!1pedur:_ţa (ad::nhr::nţa)

.::n1~-;.plexă O.efi!lită anterior (reL 3-4.0H~ ,~·4.92) ~-i u.re parte::1 reală pnzitiYL..

l '~-I --,D·' V""7, f?\
1 pe n T~~
u rl " 1- _J._ ce
"Le~ ~~u
- ! tfe
f'er-1
!!
b.
1 ,.Y
J '~-'
!
l
t' _.J

a c.

Fig. 35.1

1Jn circuit de i1npedanţă echl,-alentă ~c adrnite o ~chenl~'i echi\-'"alentâ~ ('{tl'lStitujtii di.ntr-o

ciu;::ură latură de circuit de impedanţă l: = Ke (fig. 35.1, a). Daci'! Ee defintcfC inJarth,itn./ea

~rhivale:ntă Le şi capacitatea echicalentii C~ prin relatiile~

l Im {~t}: (35.3)

-circuitul mai admite o schendi echiv~leHt:1 8e-rie (fi;;. 35.1~ b) . t~Onlpu~ă din:tr-nu rezl~to.r ideal

de rezistenţă Re= Re {~e}. şi o bobină îdea1ă de înductivitate L 0 precum şi o st~hernă echiva~
f)T.lentă paralel (derivaţie), eompusă dintr-un rezistor ideal de conduetanţă Gc = He
}şi un

eondens'ltor ideal de capacitate ~e (v..}ig.. 35.1, c). ., . . . . •.•

Aceste sche:rne echivalente ~1nt utiazabilr~ pentru siudnu c.1n:nltuh:n. la o t:reevenţa cată

şi în regimul de funcţionare pentru care au ftBt definite ~e şi ·ye· In. gtncraJ, aeeste r:;che1ne

nu sînt realizabile În concret, deoarece pacnnetrii lor R f'J G(. ~ L 13 " C(. nu sînt neapitr:;;t p.ozi-
tiYi şi independenţi de frecventă, curn sînt r~~u.·an1etrii elernenteio:r idea]e de ci:renlt.

1n cazul general, pentru calculul impedanţei eehivalente

e necesară rezolvarea circuitului respectiv (de ex. cu. teore-

mele lui Kirchhoff, cap. 36), presupunînd că i ~·; aplică ten-

Zc;iunea _Tj_b, pentru a atla curentul absorJJi!.

Exen1plu: Cunsiderărn un dipol linia-r şi. ~1r:tiv, t'U o Eingură lr~tu:ră. E
.ueeuplată cu a1tele (fig. 3S.2)~ de hnpedanţă. proprie ~ ~f de Le.m~ 1-'~. lJin
teore!na lui Joubert pentru Jaturi receptour(~ (3~1.121) reznltă} 1 E -~ L~ ].
lmpedanţa echh·aJentă complexă (3.1.1) rezultă:

Z, j~- y Fig. cf5.:2

-'l. ~ •

fJ.:1c8. Le~nl. e sufleient de n1Hre şi prop(J'tţ-i.onală t·u eurentul. ~e poate obtine Jl'-
staut, adică se poate realiza în concret o rezistenţă echivalentă negativa.

ln cazul particular al unor dipoli liniari, pasivi ş:i fără iuduct:ivitiiţi mut•m:\e

:între laturile lor interioare, impedanţa echivalentă şi admitanţa echivalentă
se pot calcula cu teoremele impedanţelor echivalente, e...-entua1 completate
cu teoremele de transfigurare (v. par. 38.2).

~-- -~~~·~~~- -·---·--~~-·· ---~--- -·- · -~~~~ ---~-.

106 CCRE:--iŢI .\LTEF:\ATI\'I

35.2. Teoremele impeflanţelor echivalente

35.2.1. Dipoli Îr1 s~rie . ne~;uplaţi inductiY (fi;?:· ,3;).3" a). ~Fie n dipoli pa~IYI~

necuplati inductiv între ei sau cu exteriorul, ,;i conectati în serie, aYÎnr1 impc-

danţele 'complexe ~1 , ~2 , _;;; 3, "", ~' In lipsa u~or fiuxuri de inducţie cxteri•)<{re,

1'

tensiunea instantanee u11 ' == \' E ds poate fi calculată pe oncc drum luat

l

pTin exteriorul dipolilor fi(~ djrect între bornc (ulJ' fie urmînd c;uccc--

siunea liniilor tensiunilor la hr;rne :

==1 Il~,~ l.ll (35.4)

H11.

La conexiunea în serie, suma tensiunilor aplicate dipolilor e egală cu tensiunea
aplicată la borne. În complex :

.!ls - (33.4')

Deoarece dipolii sînt pasivi si necuţ;lati inductiY între ei, tensiunea fiecăruia

e egală cu produsul dintre 'impedS:nţ<; proprie şi curent (rel. 311.111) :

În regun cvasistaţionar, curentul are însă accea;;1 Yaloare în lungul circuitului
neramificat (conexiune serie) :

(:3;).6)

si îrnpărtind relatia (35.5) cu această Y<tÎoare comună I a curentului rezulta
~u relaţi~ (35.1):'

1 Z:s ~- ··· = L, ?;, (35.7)

1 Ze = ?;1 s=l

~~~~~--·

Separînd părţile reale şi ecle imaginare, se mai ohţ.in rela1iilc :

Re= L';R,; XC= )'X,. (35.8)
.L.J -
S= 1 B=-l

La dipoli în serie, necupla.ţi inductiv, impedanţa echivalentă complexâ e suma
impedanţelor complexe ale dipolilor, rezistenţa echivalentii e suma rezistenţeiar
lor, iar reactanţa echivalentă e suma reactanţelor lor. Am obţinut aceeaşi regulă

ca pentru rezistoarele în serie în curent continuu (v. par. 13.5, Yol. I).

Observ aţi i : a) Deoarece suma modulelor unor numere complexe nu este în general
egală cu modulul sumei, rezultă că regula de mai sus nu e valabilă pentru impedanţele scalare :

(exceptînd cazul cînd toţi dipolii au acelaşi defazaj).

-· ··- .. - - - - - - - - - - - - - - 107

T'.\l'ED-'.'\TE ECHl\._\LE'\TE ŞI CTILIZ.~PL\ LOR

b) Pentru ad1nitanţa rchiYalPntă co1nplexă elin relaţia (33.'-;) rezultă la d-ipoli in serie;

nl (3~.10)

~y

s=l-)

c) În cazul u nurna1 ,_loui laturj în seTie :

(35.11)

3.3.:2.2. Dipoli în paralel, necuplaţi inductiv (fig:. 35.3, b). Fie cei n dipoli

din cazul precedent, conectaţi de astă dată în paralel. Admitanţele lor complexe

sînt: -u1 -u2

~~ ~

l ~~ -~ l

În regim cYasistaţionar, elin teo- 1- ..f..1 _Iz 1
rema cnntinuităţii (31.10) rezult{t
li~; 1 l
ţ1
1' 0-,·_q_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ j

că suma curentilor care ies din- a.
tr-un rwd e nuÎă (teorenw I-a a
1
l'JUl•. -K-l'rC<PlH- Of-±', Y.. ca.p. 36')·

Tinind seama de sensurile curen-
~ilor celor n dipoli 'si ele al curen-

, . IJ

tului rezultant i, se poate scrie :

La conexiunea în paralel. curentul b.
Fig. 35.3
total absorbit e suma curentilor

dipolilor. În complex : '

r = L + !..2 + !..3 (35,12')

Deoarece dipohi sînt pasiYi şi necuplaţi inductiv între ci, curentul fiecăruia e
egal cu produsul dintre admitanţă şi tensiune (rel. 34.95):

(35.13)

1n lipsa unor fluxuri de inclncţic exterioare, tensiunea la bornele circuitului
e egală cu tensiunea aplicată fiecărui dipol în parte (conexiunea paralel) :

lh = ll1 = _llz = U 3 = .. · (35.14)

şi împărţind relaţia (35.13) cu această Yaloare comună, rezultă cu relaţia (35.2) :

y =y y n (35.15)

·---' __l -=----2 =L"tY__-:,

s ~-o-; 1

l03 CURENTI ALTERNATIV!

Sepa:rînd părţile reale şi cele imaginare, se mai obţin relaţiile :

B, = 2=:: B,. (35.16)

s=l

La dipoli în paralel, necuplaţi inductiv, admitanfa echivalentă complexă e
suma admitanţelor complexe ale rlipolilor, conductanţa echivalentă complexă
e suma conductanţelor lor, iar susceptanţa echivalentă complexă e suma suscep-
tanţelor lor. Am obţinut aceeaşi reguiă ca pentru rezistoarele .în paralel, in

curent continuu (v. par. 13.5, voi. I).

O b s e r v aţi i : a) Teon~1na nu e valabilă pentru adnritanţeJe sealare :

(:>5.17)

(exceptînd cazul cind toţi dipolii au acelaşi defazaj).
b) Pentru impedanţa echivalentă complexă, din relatia (:35.IS) reznltă la dipoli in pa-

xald:

(35.18)

c) În cazul a numai două laturi În paralel

(35.19)

llltima formulă e foarte mult utilizată în aplicaţii.

35.2.3. Aplicaţii la divizarea tensiunii şi a curentulw. Divizorul de tensiune e un sistem
de doi dipoli în serie ~1, Z2), căruia i se aplică tensiunea dată !}_, astfel că la bornele fie-
c.ăruia din dipolii componenţi se obţine o "fracţiune" a tensiunii aplicate (v. fig. 35.4, a): ! j1 ,
iar
+respectiv 1!2• Deoarece dipolii sînt în serie Z = ~1 ~2 şi l = _[J !Ze, TJ1 = b l şi
r.{j2 = ,7:2 Se obţine :

(3.'>.20)

j_ Relaţiile obţinute arată că dacă un di.po]
e capacitiv şi altul inductiv, putem

+avea JZ:1 ?~l < [l1 i~ şi tensiunile par~

ţia.le pot fi rnai mari decît tensiunea
aplicată. O divizare propriu-zisă se obţine

numai eu 'Pl = 'h· De obicei, Yl == cp2 =O
(divizor de tensiune rezistiv- sau po~

tcnţionietr.ic} sau 9 1 = Y2 = 2

(divizor de tensiune capacitiv); aceşti

divizari se folosesc la măsurarea ten-

siunilor electrice înalte.

Divizorul de curent e un sisten1 de

doi dipoli în paralel, care absoarbe din

b. exterior curentul dat T, astfel că in
fiecare din dipolii comp-;;nenţi se obţin"

Fig. 35.4 cite o "fracţiune" a curentului total

l.\\PEDANŢE ECHiVALENTE Ş[ UTILIZAREA LOR 1O~i

(fig. 35.4, b); f_H respectiv f:· Deoarece dipolii sînt În 1
+paralel, 1:'8 şi !.!_
UXn ~~"! -7~--~'-'l
~i !t = obţîne:
X= )_:: 1 ~~ iar -~1 r~Y1
L1Y2.·
Se

(35·21) i JWL3 !~L~"' 1
), jwC
Curentul dintr-o latură e proporţional deci cu 21
in-aJ.n~,Janţa celeilalte laturi. B.e1aţiile (35~21} sînt foarte
ntilizate în aplicatii~ Si în acest caz se obtine o divizare 1 • l- ~~-=lt l

propriu~zisă nun1~Î c1i cp1 = cp2. De obice{, (?1 = ;o2 = O ~~~--------~-~

(divizo1· de curent. rezistiv - sau tip shunt, care se Fig. 35.5

foloaeşte la măsurarea curenţilor intenşi).

3-5.2.4. Aplicaţie numerică !a rezolvai·ea unui circuit nuxt (serie-paralel). Se numeşte eir-

cuît mixt serie-pa:::alel un circuit constituit din doi dipoli în paralel, conectaţi în serie cu un

al treilea. Considerăm ca exemplu circuitul din figura 35.5, în care :

3Q, Lw = 2Q, u1 = 120 Y.

-:;- '~O 60,
Cul

Se determină valoarea instantanee a curentului absorbit, avînd tensiunea ca origine de fazii,
cn folosirea teoremelor impedanţelor echivalente. Impedanţele complexe ale celor trei ramuri sînt ;

1

~1 = ,- = 3, !:_2 = j wL = j2, g3 = j wC = -- j6.

I mpcdanţa echivalentă grupului paralel (L, C) este :

j 2(-j 6) 12
= - - - = 3j.
j 2 -j 6 -4j

(g_Impedanţa echivalentă a ansamblului 1 în serie cu ~23) este :

a~a cJ impedanţa scalară şi defazajul sînt :

Zc = 3 V2n, 'Pc = 7t 45° > O.

-=
4

Curentul complex, cu TT = U 120 origine de fază, este :

1= -~reJ - 3 V2120eirt/4- = 20 f f e -ir</4 = Jeir,

-

V2n~a d Ynloarea efectivă a curentului e I = 20 A, iar valorile instantanee sînt:-

V2i(t) u(t) = 120 sin cM·

O b s e r v a t i, e ; La frecvenţa considerată, circuitul a rezultat inductiv. La
freeventă de două •ori ZRe2 ac=tajnţ4a, şi Z.e = 3 -
O şi circuitul mai mare 2e_c3hi=val-e-njtă3,a 2_! 3 = u - j l2 it jl2.
adică <p, < e capacitiv. ace st i c ircu depinde de frec-

venţă~

11 o _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _CURE:\ŢI )~cLTER'\ATI\'I
,.. - - - - -

35.3. Circuite cu inductivităţi mutuale

Studiem, ca exemplu, un caz în care nu se pot utiliza teoremele imp~dan­

ţelor echivalente (35.7, 35.18), deoarece dipolii sînt cuplaţi n<agnetie: o bobină

.de rezistenţă r 1 şi inductiYitatea L 1 e conectată în serie cu o bobină de rezis-
tenţă r2 şi inductiYitate L 2• In-
ductiYitatea lor mutuală (pen-

tru sensuri de refcrintă cores-
punzătoare sensului cu;entului,

Y. fig. 35. 6, a) c notată L 1 ~
şi poate f1 pozitivă (hohine cu

u fluxuri aditive) sau negatiYă

(bobinc cu fluxuri în opoziţie).

Se cerc schema echivalentă
Le= Lt "'Lz +2L 12 serie a acestui circuit, adică

' schema în care rezistenta lui
a
echivalentă R, c în se;ie cu

b. inductivitatea echivalentă L,
(fig. 35.6, b).

Presupunem că se aplică

tensiunea Jl, de pulsaţie (•), şi

Re = 7. că sistemul absoarbe curen-

>/< ......--... * tul l = [1 = [ 2• Căderile de

tensiune la bornele fiecărei

L12 .1 e = ? bobine în parte se pot ex-
prima utilizînd teorema lui
c~'i r2 Jouhcrt sub forma (34..130) :

111

Lt L2

~

c d.

Fig. 35.6 adică :

= = + r - z•LT_T
L'l _L,, LTŢ2 [rl _LI l'z _LI J. '~·' (L I1 -'~ , 2L12)) '- - C::'.e -I '
1 -;-

Paranteza dreaptă care înmulţeşte curentul c chiar impedanţa echiYa1entă

complexă. Rezultă rezistenţa echiYalentă şi reactanţa echivalentă : (35.22)

+R, = r1 r 2 , X,= cu (L1 L 2 -:- 2 Lu),

respectiv inductiYitatea echivalentă (35.3) :

(35.23)

-----·---

unde semnul (+) corespunde hobinelor cu fluxuri aditiYc, Iar semnul (-)

corespunde hobinclo:r cu fluxuri in opoziţie.
Ca exerciţiu propunem stabilirea schemei echiYalente (din figura 35.6, d)

pentru circuitul paralel, cu laturi cuplate, din figura 35.6, c.

-------~- ----~---·------------~------

[.\\PEDA);p: ECHI\".\LECJTE S l C Il LI ZAREA LOR 111

35A. Circuite rezonante

lin sistem oscilant, mecanic sau electric, c un sistem care, în lipsa unei
"forţe" exterioare (in cazul unui circuit electric, în lipsa unei tensiuni aplicate),
poate prezenta oscilaţii proprii slab amortizate, adică un regim liber oscila-
toriu amortizat (v. par. 32.3). In cazul general, aceste oscilaţii sînt suprapuneri

de oscilaţi.i cvasisinusoidale, cu diferite frecvenţe proprii fp = ;~ .

Dl' exemplu, circuitul serie r, L. C, studiat în paragraful 32·3, avea o singură frec-
Tenţii proprie, corespunzătoare pu]saţiei (.32.27):

(35.24)

Să presupunem că unui astfel de sistel!l oscilant i se aplică o "forţă" exterioară
periodică, de frecvenţă unghiulară 0. In regim permanent, oscilaţiile forţate ale

sistemului vor avea amplitudini si faze initiale dependente de frecventa

"forţei" exterioare. Dacă această Aecvenţă v-~riază lent, se observă urmă­

toarele : pentru anumite valori ale frecYenţei exterioare, amplitudinile osci-
laţiilor trec prin valori maxime sau mm1me cu atît mai nete, cu cît
.amortizarea sistemului c mai mică; pentru aceleaşi valori ale frecvenţei (sau
foarte apropiate de acestea), oscilaţiile forţate ajung în cvadratură (deplasările)
sau În fază (vitezele) cu .,forţa" exterioară; valorile frecvenţei la care se
obser...-ă extremum-ul amplitudinilor sau Yalorile critice ale defazajelor sînt
foarte apropiate de frecven'~ele proprii ale siotemului. Acest fenomen se

1Iumestc rezonantă.

Î~ cazul cir~uitelor electrice în regim permanent sinusoidal sub tensiune

aplicată dată, fenomenul de rezonanţă consistă în trecerea amplitudinii curen-
tului absorbit din exterior prin Yalori maxime (rezonanţa propriu-zisă) sau
minime (antirezonanţa), cum şi în anularea defazajului şi a puterii reactive
.absorbite - atunci cînd frecYenţa are valori apropiate de acelea ale frecven-
~ţelor proprii.

Caracterizarea exactă a stării de rezonanţă se poate face în mai multe
moduri - care toate sînt echi-valente, :în practică, pentru circuitele slab amor-
tizate (de înaltă calitate). Astfel, pentru pulsaţia de rezonanţă 0r 1 se foloseşte
~una din următoarele trei definiţii :

uJr1 -- pulsaţia tensiunii aplicate, la care circuitul absoarbe o putere
re activă nulă, respectiv Ia care are defazaj nul;

(U,~ - pulsaţia tensiunii aplicate, la care impedanţa scalară e minimă sau
maximă, respectiv curentul e maxim sau minim la tensiune dată;

{J)r 3 =Wp -~ pulsaţia oscilaţiilor proprii.
În acest curs vom considera pulsaţia t•Jn ca pulsa(ie de rezonanţă. Pentru

circuite foarte slab amortizatc (cu rezistenţe foarte mici faţă de reactanţele

1 Prin împărţirea pulsaţiei de rezonanţă cu 2rr, acdeaşi definiţii eonduc la frecvenţa
de rezonanţă j,. = ro,-/2rr.
·

./

112 CURENŢI ALTEPNAT!Vi

bobinelor si ale condensatoarclor la frecventa de rezonantă.l, cele trei valori
Jc mai 1-ms 'tind către D valoare limită unică, 11~1n1ită pulsaţia 'ideală de rezonanţi'i ;

(limita fiind considerată la valori tinzind către zero ale rezistenţdor r,, ale
laturilor k = l, 2, .", L).

Pentru un circuit -care conţine un singur conder;.~ator de ·Capacitate C şi o singură l1n~
hină iie inducti.vitate L, pulsaţia ideală de rezonanţă :rezultă din (?.5.24) cu R __,_ O şi este :

(3S.2·J')

AceilotJ. formulă se numeşte formula lui 'l'homson. În cde ce urmenză, yom studia cele mai
simple circuite rezonante şi unele aplicaţii ale lor.

35.4.1. Circuitul cu rezonantă de tensiune (rezonantă serie). Considerăm

circuitul serie r, L, C (fig. 35.7, d), studiat pînă 'acum, c~ exemplu, cu diferite

metode. Dacă r < 2 VLfC, regimul său liber e osci1atoriu amortizat (v. reL

32.26), eu lPuls.aţia proprie (35.24).

.....w.-<-'---~o... -.......

"4'1 "' " '\
\
1- \

\ 1\

l 6===~----=,

1 /

--"'""-... /1 1
"--.
/ /

__./

a. c.

d

!Ml-'EDANŢE ECHIVALENTE Şl UTILLZARE<I LOH i !3

Curentul se poate calcula şi cu e!jutorul impedanţei echivalente con1plexe,
care c suma iinpedanţelor elementelor conectate in serie :

. ( -j j\ = Ze •·~ ()5.25)

J 1w L -
'\ cuC,;

Curentul complex sub ten;;iu.n<;a la horn c L' L~~ luat~î ca origine ele fază,

estf:;

] = _:F_-:::_
7

Cu Yaloarea ef.:ctivă :

1= u J ((o)). (3S.%)
z

Dacă pulsaţia variază in intervalul v:.> ),
curentul creşte, pornind de la valoa·
rea I (O) =o O şi are un maxim pentru
pulsaţia c.u,.2, la care impedanţa e mi-
nimă, adică reactanţa e nulă

Lw···l- = 0. (3S.27)

Cv,

adid

-· - -l- - - ' (35.28)
'VIe: --(•)2 -· uJ0 uJ, .
--/-
..

:\Iaxin.ml cm:entului este :

(35.29)

La :rez.1.mantă. impedanta circuitului e
eeală cu re~is,tenta lui si e foarte mică.
P~entru {u > (.) ~-
72 w0 ,' curentul scade,
tinzî.nd asimptotic către zero (fig. 3S.S,a),

Defazajul circuit:u1ui rez1Iltă din 1·e!a-

ţr. a ("·..1>·5,.'.),.5), :

La pulsaţii mici, circuitul e capacic

<tiv (q; 0), si anume w (O) = - .!2:. •
"' !
,

O dată cu cresterea nulsatiei, defazaj ul b.
Fig. 33.8
(negativ) sead~ în v~loar~ absolută ;~l

CURENŢI ALTERNXf!\'1
-----------·--·-----·

se anulează la pulsaţia care anulează pe tg rp, adică la pulsaţia care anulează
reactanţa (35.27). Pcilsaţia ele rezonanţă w,1 e deci tot 0J0

(35.31)

Pentru (u :> (•),.1 = 0J0, circuitul e inductiv (cp > O) ~l defazajul tinde

ca~ tre -1t cn' 1d 0J -7 00 (f>1g. 35.3, b).

2

>În figura 35.7 sînt construite diagramele vectoriale pentru (v < (00 (fig. a)>

0J = (J)o (fig. b), u) 0lo (fig. c). Din însă7i construcţia geometrică a diagramei
rezultă că vîrful fazorului căderii ele tensiune din rezistentă U, = r J .si deci
si al fazorului curentului l descriu cîte un cerc. Se mai 'obEe~vă că--î;; acest

~ircuit tensiunile la bornele comlensatorului [,~c şi ale bobinPi Jh pot atinge

la rezonanţă ·valori efective mari, şi anume, m<~i mari decît ale tensiunii aplicate
la borne. De aceea, circuitul se numeşte cirwit cu rezona.nfă de tensiune şi se
utilizează pentru amplificarea tensiunilor :<labe, aYîncl frecvenţ.a egală eu frec-

venţa lui de rezonanţă (35.28). Se numeşte factor de calitate, Q, al circuitului,

raportul dintre căderea de tensiune din bobină ~i eea aplicată la rezonanţă

(35.32)

Factorul de calitate atinge valori foarte mari -- de ordinul sutelor în circu-

itele oscilante obisnuite - si de aceea diagramele din figura 35.7 sint depăr­
tate de situatia 'realii cli{l astfel Je ci;cuite. Curbele de rezonantă din
figura 35.8 se 'pot exprima unitar, înlocuind în (35.26) ~i (35.30) para'metrii

circuitului î:n funcţie de Q şi 6)0 • Se obţin relaţiile :

? = are tg [Q {~ (35.33)

\ (•)o

Pentru r __. O. O __, :;c :-i. curentul
~ ~- }

I = ej(L0l-ljCw) tinde către

infinit la freeYenta de rezonantă,
dacă ten;;iunea la borne e menţinu'tă

ccn1stantă. Circuitul scrie de în~ltă

calitate (Q >> 1) constituie un

:ocurtcircuit pentru curenţii de frec-

Yenţă corespunzătoare, w = <.00•

35.4.2. Circuitul cu rezonantă
de curent (rezonanţă paralel).

Considerăm o bobină de rezis-

tenţă r ŞI induetivitate L in

paralel, cu un eondensator de

a. b. capacitate C. Rezistenţa laturii

Fig. 35.9 eu condensatorul o considerăm

neglijabilă (fig. 35.9, a).

1:\\PEDANTE EClll\'ALENTE ŞI UTILIZAREA LOR 115
-------------------------

Admitanţa circuitului se calculează cu tem-emele impedanţelor echivalente :

Y= 2_ = j wC + - - -1 1 - N 2LC+jmC (35.34)
-
-- ~ r - - .i "'L +r j6.lL

Curentul complex sub tensiunea la horne U = [' este :

I = Y U = Y Ue- '\

cu valoare efectivă :

I = Y U = U l(f=::Ji~q~ '~"~.,oc;c = I( w). (35.35)

1 r 0· -- cv 2L 2· o
1

Dacă pulsaţia "ariază în intervalul (0, et: ), curentul scade, pornind de la valoarea

fr,I (O) = U şi are un minim la pulsaţia c•1, 2, care se determină exact, anulînd

deri,-ata expresiei (35.35) (fig. 35.10, a). După un calcul relativ lung se obţine :

(35.36)

O .-aloare aproximativă a pulsaţici pentru eare curentul e minim se poate

«obtine observînd că dacă amortiza1·ea e sllabă atunci r 2 w2L 2 - la frecvente

m~i apropiate de rezonanţă sau mai mari- şi r2 poate fi neglijat pe lîngă CJ)2I).
Cu această aproximaţie expresia (35.35) d'"vine :

uI """' r-(.,1•--c-,1L- -- -(-uC- y,j T' r2CZ (35.37)
--L-;·;-
1

1'

şi e minimă pentru :

(35.38)

%Această Yaloarc aproximatiYă e fom:te apropiată (cu mai puţin de l 0) de

VYaloarea exactă ('35.36) .pentru ciTcuite cu O- = 2,_. Lc > 4. Cu relat,ia (35.38),

ya]oarea aproximath-ă a curentului la rczomnr~,ă este :

1ar impedanţa la rezonanţă este: (35.39)
(35AO)

Defazajul circuitului rezultă din relaţia (35.34) :

B '1(1~(t)J_, lL- ("J"~.L'.'t--- -- ;--2 IC~ )J (35.41)

arc tg - = arc tg ---·---·----------
GT

"'arc tcr --(·}L (l - o 2LC).
T'

Def2.zajul e IH!I JHmtnl 6l =" O, iar la pulsaţi] mici e iuducti_v, trecînd I)rintil'-un
r:n. .:.:.rx:i;cx1., pr~n tru a se a1.1u.1a la pu.isaţia de :rţ~'?.on.:xuţi?~ ~

<I1ra·ctâc egttlă c1.1 w0 Îa arn·1).ft!za1~1 u;~.ici~ Pentru. L~J ::/ v;r1, circuitul e capac.itiv-

(cp O) şi defazajul tinde cătnc - rr: f2 dnd <c· -,o e>.:J (fig. 35.10, b),

În JÎn figura 35. 9, b este COI!struit:{ diagrama n~ctorială pentru ={!) w, 2 c=o;;. tJJ0•
atinge la rezo-
acest circuit, curenţii din cde două 1·amu:ri Ic şi lL pot

nanţă valori efective mari, şi a.imme mai mari decit ale eurentului absorbit

sdei n utelxltiezrei~ozt.'ă" De ace eaa~.. nncliircfiuciatruela J Cem·neunrtni.ie~sYtre cz:rcuit aCvl1t mrlezforneacn~teăntdae ce>urraelnă t şi
De ntru s!ahL
. "- J. ~ •. ·' .~ cu

frecventa lui de rezommtă. Factorul de rrtlita.te este egal în acest caz cu raportul
de amp'Hf1!~are ai Ctlrentalui : ~

~? !: t~),~

r

= ---- = 1 ,1r1-y-~-· = .Q. .
-.-·
·r Y C

Curhele de rezonanţă (35.35) si i{35.4ll Q>1
se pot exprima cu ajutorul factoruh;i
de caiitate şi al pulsaţiei ideal!:' de u

:rezonanţă t•lo :

w

Q ---;. 00, Z( (u0) ----.- •:x-:J
1
şi curentul I =" u (c(,)
\.

se anulează la frecv-.enţa de rezG-

nanliL (~it~cnitrtl paralel di! î.naltă evJi-

tate ~OJ.> l) blochează trecerea curen-

ţilor frecyenţ.ă corespunzătoare.

C~r~ct1~tul pa1·alel e~te un r:Îl:-c:r;.t :tezo- Fig. 35.10

nant, la e.are eeJe t:rei condlţi.i :rnenţionate t,

ii-?-ceputu.11. ar>f;~.tui paragraf~ c~ "l~h~d ca]:acterÎ:-i-
tlCe re2;onanţe1, dne la valori otstincte pentrn

/VEI::pulsaţia d·e re:<:onanţă. Astfel, C<lo = l

.h:nd puJs~·l~i-~:l jtlea~~i dr n~zonan1~L ŢHJ.1:>~1~·L\ de

117

;:?Jinnhn·e a d.efaZ[ijului e (tin~ dat de 1(35.4,2}., de e1ax.hn al i::npe-dauţe;l dt' e. ('-JJ,'"i~ d3ltr

de şi arnindouă sînt d.ife:tite de pufsaţia p_rop.t·Je W:r'J -= G dat9 de (3.,).,24,)., Pentr11

{::ircuite]c .osc~~a:a~e~ _n~~Iizatr:'. ~~! aplî,?a~5i_ pentru p~-ro~nie1;ilile 1u~ rezonante {rad~o.tehnieD.~

:::eleo::l<rcr~nHl:!catn)~ t~etoru de eantate ~Int i()ar:t{:· r:.H-u"t :?!. toate n<·t;3te pu]~~ţi± J'X".âft}'(. eo.incid~:

35.5. fC::ireuite cu propritci'ăţi l'pe.ciale
- - - - - - - --~--·-------------------------
----

35~:.•. L Circuite generatoare tie e;u.r•~n~~ ~;·.on.''.d.i.allf~ (n.1n:ataje l:l:crach~:rot}t Considerăn1

un circuit n1ixt cn struetura din figtn·H ;;5~]1!') u. Presnpunînd COlTStantă tensiunea. aplicată

"i:'"ircuitului., deterrr.dnăn1 eondiţ.ia pentrn e~î:. ind~i(::r-en t de valoarea imped2.nţe:R ~;~., cu.:rentu~

_!3 ~lil a:il1ii aceeaşi valoare. ·

]Ti;:pedanţa echivalentă ~e t~o}Ieu~eazi1 e~o.:: teort~rwrJe (3:5.11) şi: (35.19):

Il?_~ (35 •. 17)

---~--------.

~1~2 .?aC-?1 + ?21'

-PerJ:tnll ti~a l 3 să fie indepcndlr~n.t ele va:]oru.·r::>~L lni -~~;~ t".~h· nece?ari\ sati~f:acen~:a CC'JH.:Ii1if'i con:t~

p]exe-:

(35.18)

1V 1 1~2. (!,

)t.-1 V (r • (.3.5.49)

•.i.t ~

li.~zi:~U.;t:nţ.d·,,. fiiad P'")Z;.LÎ\·- dehnitc.~ tref)ttie :--~d fie l'H1~(~ a~l1inJ>~uă:

Ge o Ft: == Ji.2 :___-:~ <~,

rc::~Yj!d:c';.Ltsu.t.l..Jt ideal1 (so:J.u .inve:::::,-,J~ .niL căror

10Etran:t:et:d ~.ti satisfac~~

~1.e rt'Z(!-LL~J_nţ.ă

j <-.~L.~ l ,J,c

-5:-(;~}c~(li --c L(·; (35.51)

~J2•.1'f~ :r.er~re-

1" şi "·

(3.5.51)

l G este :

(115.52)

(1 !;, c. cernuul de FB.lb co:respunzîn d
35.ll.
.ffi~c~rp~fri},iu:u;31ir·.,.31.511.'I]b~ c ~._·,~. :z:.f:xn:nul cle

li 3 CUIU~NTt ALTER.:\ATIV!

o-·- b.
cul., =r..JL; "'rjJL - CJC

a.

Fig. 3,).1:2.

Clreuitele dh1 ac.e:J:stă cat:eg~JTÎe d)nt aliruentate cu te~n.sinni constante şi furnizează cu~

Kre1Yţi constanţi, oricaL·~ ar fi îrnpedan~a dt~ s.eti"<;~nă 3. ln practică. totdeauna .R1 ::j:: O ~i

=FR 2 O, chiar dacă sînt foarte reici. Dt' a~eea, curentul e rnnnai aproxhnativ constant
g(pentru valori 3 nu prea mal'l).

35.5~2~ Circuit a:·~efazo.r'" Se sonsid.r'ir.l circnltnl mixt din fi~ura 3,).12, în care bobinele:
au inductivhăţi cg·~.d0 :

(35.53)

şi căutărn ce condiţ:le trebuie să fie 3atb;ficută inLre pararn!3tl·ii circt?ituJui, pentru ca s{:
existe o dife:rent.ă d .., fază de TI" /2 intra l':!. ş·i I_!, c.rlcare ~u· fi rezLtc11ţe~e R 3 ~i 1~1 • Ten5iunt"a
la borne este : ' .

(?' ~2~J ) i

1~l l?
i"'->1
lr r·--nc
l 71 ?!::1'

:"'2 T (35.54)

= L ( -'- Zs +z-l?::·1-·.'\}.

(C?,

"'-a

Explicitînd impedauţele cu rel~~ţia (35.53), 5e ol;ţine ~

(35.55}

11: partea reală a relaţiei (35.35) trebuie să fie
(35.56)
- ,Pentm ca defazajul între (~ şi !:; ,;;_ !~,e

2

nulă, adică:

În figura 35.12, b e construită diug.ran'l\Jl ."/f:ctnriaR.ă a cireuitulul dcfazor.

35.5.3· Circuite complet :a!JJerimlice., Se [nmese circuite complet aperiodice circuitele a
cămr impedantă echivalentă comolexă nu deninde de frecventă, desi au in 5tructura lur
elemente de ci;cuit reactive. În e~zu] i~1reui.t'1lll;i din figura 35.13, a, i;npeclanţa echivalentă~
complexă este ;

+jr j1u l L -1- ) L
2 --;-
\ ,,)C. C.

r -----------·----- •

j ,,)c ' l) L

r!-.'-.jr.lwL- -,.,c. c-1l..-

-·-·- - · - - - - - - - - - - - - - ll ~
L'-l<'EDANTc ECH!VALE:\TE Ş 1 UTILIZ ..I.PE \ LOt!
-------------····------·-----------

Se vede că irnpedanţa e indeŢ).'_~ndJ:>nU"t de frccYenţă, dacă nnnritorul ~i nu1nărătorul fraeţiei
sint egali ş-i se sirrrp1ifiLfJ.. C"f'ea ce are l0c pentTu :

În ace~t caz (3.S ..SI)
(35.38)
/:1 = r. x, =o.

(r .,:__ j <elL) j,. -~- -:-l--.1\

·7 .l'''C'
=r
/2 1l

~r _!_ j 1, :._,)L

Şi 1n ace~t c·az ;;.c ,<;;:Îiilplific<-1. rlacil c sati.c;;fi.!culii couc1iţia (3.3·,;7)~ .7i se obţine:
(35.39)

----·--------------------·------

Transmisiunea la distanţă a energiei electrice dă posibilita te a utilizării
surselor de energie depărtate de centrele de utilizare. În acest scop se utili-

zează linii electrice (fig. 35.14, a).
Dacă linia cş,re leagă generato:rul de receptor c scurtă(<,;, şi cap. 53 ~i 54),

ea poate fi înlocuită cu o schemă echivalentă R, L serie (<lg. 35.14, b). Cînd

este necesar să se ţină seama şi de impedanţa inte1·ioară ~i a generatorului,
se includ în pa1·ametrii liniei Tezistenta, respectiv reactanta hobinajului
gene:rato:rului. 'în acest caz, totul se' reduce la examinm~a funcţionării

d, \1
( " - - - < > - - - - - - -~-\"'J

.~J_.).E;- U r1
_J!)~21_1iu1
J

z 1 L----,o--- ______

oa

o. 6
Ji'ig. 3.).1-1.
'Fig. 35.13'

-----------------

J:.!iJ

unui c]reuit S(orie, eu rezistenţa .Re şi. reaetanţa );~.,, in :oer.ie eu un n::eep-
tor de impedanţ:ă ~~ (fig. 35.H, b). În practică se cunosc tensiunea la bor-

z_nele :receptorului fZ 2 (tensiunea seeumi1ară) şi impedanţa d:e sarcină 2• res-

pectiv curentul! ], o= Jl2 == f.
-- ~2 --

Adesea, receptn:rui e earactf';rizat de putera activă P.,. t•~nsiunea (.l., si

factorul de J~Utere cosq;2 (de cx. indnctiv). A tun ci cmentul. est-~ I 2= P 2j [l2 cos- r.p~,

iar Z2 = U2 /l2 = U~ cos q; 2 jP2•
Prohlema principală eonstii îln examinarea relaţiei între tensiunea genera-

torului E şi tens.i.uuea :M,cundară !l_2,, pentru a determina căderil.e de tensiune.
Dife~enţa va1oriJo:r efective ale tensiunilor :

i'iU :-= E -- U 2 ~· O (35.60)

~e ntuneşte varia-fie de Umsi.une. :Diferenţa tensiunilor complexe :

Ali =--= lJ; -- Jl2 (:55.61)

se numeşte cădere geometrică de umsi1.me. Sdu::ma echivalentă avînd tcoate

elementele în serie, se poate scrie rdaţia :

··...-) r u· - + rE = (z . R·e'O --;- • ,·

- '~--u ,,
]-"1~<- - = _2 -+- ('R. ( · J·-' A7 .•.,j- = _'_l:'2. ~Jj_, (35.62)

d"i~-."..~~~ue, prin calcul în complex, :rezuhă }}; şi l'l,_l!_.
eal.culul se poate faee şi grafic. Diagrama veetorială a liniei este :repezentată

'tn. n,..g?:ra 3";'); ~~'~J, . "~consiaenAnu_.] ten~J• .un~a ~TJ2 on'gm• e u__}e .f.aza' .
D.m fignra 3::, ,l;y se poate stahil1 I'el.a~]a :

(-.";J~.U·v~)•

(35.M)

se numeşte câderto longitudi-nală de tensiune, J<ur

AC= ~,t7 = RJ si.n ~Pz _,__ X 1 cos q:- 2 (35.6.5)

;,:e rn1weşte căderea trans~:'ersall'i de tensiune.

Se obs(~f\i ă eă variatia

d.~.:~ tensiune este dată ·~te

relaţia:

Ol1 =-:: }; --- IJ2 :=: .BA'

,=-,V (D~-~-"A~tTy~L.T'lt oy:____

Fig. 3.S.1S. - U2 "~ tlJ}, (3.5.66)

deoarece, practic, ( tl1 U) 2 «

<~(U2 +1'l 1 U)2 , eăde1·ile de
tensiune în linie fiind n1ici

fată de temâunea E, iar defa-

zap"1l 1P.; cl..'1~1tre .F,. ŞI' .P...' d e ase-
lnenea une.

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU HETELELc DE CURENT ALTERNATlV J2i

Valoarea efectivă a căderii geometrice de tensiune (fig. 35.lS) este:

(35.61)

În mod practic interesează VJ.riaţ,ia de tensiune, cl<eoarece reecptt;:n·ele sî.at
dimc?si.~nat? pe1;tru o. a~um~tP. Va~oare efectiy·~ a tf;nsi~n~i U2• Jn •TcţekJ<;
de d1stnlmţlC urbane de JOasa tnH'l1me se adnnte o 'anape de Tensm:w de
3-4% U2•

Dacă q>2 < O (receptor capacitiv}~ tensiu:.nea L'2 poate depăşi tensiunen E; ~Inp~l c.u~n

J:~:w.hă di.n (35.66) ~i ('.!5.64,), act>ai'tă situaţie se reali~.,~ază daf'ă:

(35. 68)

t~1 acest caz~ variaţia de tensiune re}il"ezintă o cre~t("te de tenshtne ~~ nn o p:ienlc"re de tetl-
,,iune ca în cazul din figura 35.15.

36. _! TEORE.NIELE Ll.JI KIRCHHOFF
1' 11 PENTRU RETELEJ,E DE CURENT ALTEH.NA.TIY
>

Ca Şl retelele de eurent continuu (Y. pm. 13 ..2, Yol. I),. :reţelele de curent
alternativ p;t fi studiate cu ajutorul mwr ecuaţii asoeiate nodurilor, reg,peetiY

·-nehiurilo:r, care rezultă (lm aplicarea unor tcryrnne, numite teore.rnde lui
Kirchhoff-- datorită analogiei fonnalc pe care o preziua, cu teoremele sirnilare
din curent continuu,. Pentru re-ţelele .lir:ia:re~ aJeătuitc exclusiv din elenlf.~nte

d.e circuit dipola1·e (cun1 am studiat me:ren pbă acum), teoremele lui Kirehhoff
f:onst:i.tuic o bază teoretică co:n1pletă, furnizî.nd un sistcirl de eellatii Ifrrhtrt~
în nuxnă:r egal c11 ali'lecunoscute-lo:r~ Deoa:reee aplicarea ~]ceslor teor;~x.:ne :nece-
~ită adesea un volmu mare de calcule,, s-au elaborat )i. alte metode nwi r;ish·-
J.lltt.tice, mai rapide~ sau :rr1ai adaptate lBlOl" p:rohJA.~n1e particulare . cap~ ...38)~
-.Este însă irnpo:rtant să~ se reţină că orice p:rohlernă ca:re se studiază ctr 2:C''il\~t(~

metode poate fi :rezolvată şi numai eu ajuton1l t(•on~meicr 1-ni Kirebhvff.

.16~1-L .Elemente de topologia ~{~ţeleior (v. şi par. 1.1.2.1~ voL 1~. _ S:- :Ji·n;ue)tr ~ la:
!:.tYă orice porţiune ln~rginită şi neran~ifieată de relt"a ţi f!·Oi.l., punctul de Inhl:rure a ri>)Ua
~.c~u. 1:1ai mu1te. Iatu_ri.. la aJ?lîeaţii e uti~ să se ~~o.n;,ide~e~ Ttod._u:i n~ma~ puncAtel~ ~de: hxtih~re
a. trei sau nJai ·multe 1atun~ cu. exeepţla eazuhn unet !atu.~:·1 nH.:hise 11r ea 1nsaş~. {\,... oeluul

din stînga al reţelei din fig. 36.1, a)., care e mărg·lnită de un nod cornun nruheJnr e.i ca~
pete şi ales arbitrar [(1) din fig. 36 .1). Se numeşte ochi (buclă, contur, eidu) o sueee-
8iune de laturi ale reţelei, alcătuind o eurbă închisă. O :reţea ~e numeşte conexă, dacă ori-
•t:are două nodtui ale ei pot fi unite p:rintJ'·G eurbă, c:ire treee munai p:rin latnri :1le eeţdei.

---------------------------------

122 CURENŢI ),LTERNATIVI

În curent alternativ interesează şi reţelele neconexe (fig.36 .l, a), ale căror părţi (subreţele)

conexe, izolate unele de altele, pot interacţiona prin inducţie electromagnetică (cuplaj in-

ductiv sau magnetic). Se numeşte schemă topologicrt a reţelei o schemă simplificată, în care

structura laturilor nu mai e specificată, şi

acestea sint figurate prin En1i (fig. 36.1,

b ~i :36.2). Pe schema topologică. a

unei reţ.elc se pot studia toate pmprie-

tăţilc reţelei refei:itoare la relaţiile dintre /~~
laturi, noduri :;i ochiuri. Laturile şi
ochiurile se consideră orientate, sensu- 1

!(It) A.
1
..1
\

c[:JcîJ
11) !o (3)

/1.

1 (2) L = 10 1

l2]{~E_} N =6 1

(1) (3) o 61
b. s= 2 \

5=2, !.=4, N=3. 0=3 \ "--

b.

:Fig. 36.1 "Fig. 36.2

rile Ue re[cTinţă ale .laturilor fiind indicate <:U sfigeţi plasate pe laturi (uneori, alături), iar
sensurile de Teferinţă r,le ochimilor fiind indicate cu arce de curbă deschisă dotate cu o
s :igeată şi desenate înăuntn1l sau în exteriorul ochiurilor (fig. 36.2).

Un ochi se numeşte independent fa(.ă de un sistem dat de ochi01ri, dacă existenţa lui
nu poate fi dedusă din cunoaşterea laturilor ochiurilor sistemului dat, ceea ce revine practic
la faptul cii orice integrală de contur scrisă pentru acest ochi nu poate fi exprimată ca o
combinaţie liniară a unor integrale scrise pentru ochiurile sistemului dat. Se numeşte sistem

fnndamental de ochiuri independente un sistem de O ochiuri astfel alese încît fiecare dintre
de e independent faţă de celelalte, iar oricare ochi al reţelei, neaparţinînd sistemului, nu e
independent faţ.ă de acesta. Ochiurile unui sistem fundamental furnizează numărul maxim
de ecuaţii independente ob1.inute, exprimînd integrale de contur. Pentru o reţea dată se
pot găsi mai multe sisteme fundamentale de ochiuri, dar toate au acelaşi număr O de ochiuri,
unn1ăr ce constituie o caracteristică a reţelei.

Notăm cu L nurnărul de laturi, cu N numărul de noduri, ca S numărul de subretele
conexe şi iz{llate ale reţelei. Se numeşte arbore al unei subreţele conexe p porţiune con~xă
a ei, care conţine toate nodurile acesteia şi nu conţ-ine nici un ochi. In figura 36..2 sînt
desenate ing,.oşat laturile unor arbori ale subreţelelor a şi b. Un :_!rbore are Ns - l laturi,
dacă IV, e numărul de noduri ale subreţelei conexe considerate. In adevăr, cînd construim
succesiv arborele din laturile lui, prima latură are două noduri (capetele ei), iar celelalte
aduc fiecare cîte un nod (deoarece dacă nu ar avea capătul al doilea liber s-ar forma un
ochi, ceea ce e exclus prin defini1ia arborelui). Se observă acum că dacii., pornind de la un
arbore, se adaugă succesiv cîte o latură pentru a construi reţeaua definitivă, orice nnuă
latură astfel adăugată nu aduce nici un nod în plus (prin definilie arborele le cupdnde pe
toate), dar aduce subreţelei cîte un ochi independent de celelalte şi numai cîte unul. Numărul
de laturi astfel adăugate e d~ci egal cu numărul O, al ochiurilor independente ale subreţelei

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV 123,

considerate. Nunărul de laturi L, al acestei suhreţele conexe este egal cu numărul de laturi
ale arborelui N 5 - 1, plus numărul 0 5 al ochiurilor ei independente :

L,= O, + Ns- 1.

Scriind cîte o astfel de ecuaţie pentru fiecare subreţea conexă şi însumînd cele S ecnaţi'_
scrise, se obţine pentru întreaga reţea relaţia :

L =O+ N - S.

Sub forma:

(36.1;

această relaţie permite determim:rea numărului de ochiuri independente ale nnei reţele d3tc.
Practic (deşi nu e necesar), acestea se aleg a3tfel Încît fiecare să aibă cîte o latură care s<:1
nu aparţină celorlalte (în acest fel sîntem siguri de independenţa lor, iar dacă am ales O
astfel de ochiuri independente, ştim că le-am ales pe toate).

În cele ce urmează vom presupune că : toate laturile reţelei sînt numerotate într-o.
ordine dată, cu indicii curenţi :

k, l, rn, r, s, t = l, 2, ... , L~ (36.2)

toate nodurile reţelei sint nun1erotat~~ lntt-o ordine dată, cu indicii curenţL (36.3)
b~ c~ d = l~ 2, ... , T;T,

toate ochiurile independente ale unui sistem fundamental, ales arhrit1·ar, sînt numerotate
într-o ordine dati: :

p, q = l, 2, ···~ o.

36.1.2. Prima teoremă a lui Khch.~off. Unei SU~]H'afet,·e închise "'5-:'b carA"
înconjură un nod oarecare (b) foarte aproape de nod, i se poate aplica teorema

JJcontinuităţii (31.10), Îr, = O. curentul tot:Jl ir.b = JdA, fiind în acest caz

I;b

suma algebrică a curentilor laturilor care se întîlnesc în nod. Se obţine
astfel - ca şi în curent cdntinun - pxima teoremă a lui Kirchhoff:

Suma algebrică a valorilor 1:nstantanee ale curenţilor din laturile care se
reunesc într-un nod este nuh'i :

,, . (36.5)

L_, L,z,_ ===

kE(bJ

(+),În această sumă ,;algebrică:·, curenţilor care ies din nocl li se afectează semnul
iar celo:r care intră în nod, scmr,ul (---); indicele /,: al laturii ia acele valori

1 O relaţie de acest tip a fost stabiiitii prima dată d') Euler pentru poliedrc şi de aceea

(36·1) se mai numeşte teorema lui Euler.

2 Semnul Ee semnul de apartenenţâ, folosit aici pentru a indica : latura k apar·ţine mul·-

ţimii laturilor legate la nodul (b ).

CURENŢI ALTERNATIV!

din şirul (36.2), care corespund laturilor legate la nodul (b) considerat. De exem-
plu,. în cazul nodului din figura 36.3, prima teoremă a lui. Kirchhoff se scrie :

H.elaţia (36.5) a fost stabilită utilizînd legea conserdirii sarcum şi aproximaţia
regimului evasistaţ.ionar. În ea nu. apar parametrii circuitelor. De aceea, această

relaţie c valabilă în xegi1n eva-

sistaţion.ar pentru orice fel de

circuite : liniare, parametrice,

neliniare.
36.1.3. A doua teoremă a

lui Kirchhoff. În lungul um•i

rCUrbe Închise M COlUIJUSă d:in

succesiunea liniilor tensiunilor

/ \ la borne ub ale diferitelor la-
/
\ turi m ~1~ unui ochi (p)
/
:Fig. 36.3 (fig. 36.4.'), se poate calcula
tensiunea electromotoare indusă

erp = ~ Eds, egală, în acest caz,

rn
t'U suma algebrică a tensiunilor la borne ale laturilor ochiului. Această. tensiune

dectromotoare indusă e însă nulă, deoarece fluxul magnetic prin suprafaţa Sr,

jOprijinită pe curba rp e ne- . .1 .
-_ - 1 (b)f
giijabil, ca urmare a modu-
J!ui de alegere a liniilor 1~~·~-u-r--~~·jÎ.l'm
tensiunilor la borne - care

oeolet"c regiunile de flux l \' l/ l?m ",...

itntcns, localizate în hohine Iubi' 11j1 /"'\..---,,\ 1 \.) /,

(v. ,;,i par. 31.2.2). Se ob- // f(' \J*\ ('"mr:

ţ.ine astfel cea mai generală 1 (pf· \ 1 Lm
formă a celei ele-a doua
'/ 1 11 u..
~~ 1 1 \·~"m
algebricăteoreme a lui Kirchhoff : . cm~~\
Sunw ale tenaşiuvnailloorrilolar .1.2.'--~-~'~ Af/ :\\
instantanee p..:.,_ ___ _ ...- ,_' · ,

tbuoirensecle u nl a toucrhiil o restecanruelăa:lcă- ..._ u"b;'.~ 1 p \ "0.,, ~, r~) em
i
\1 ?"" / \',~"\,\ \ţ! \ uh~_-:~ :_:)-~-~~ (c}
~ = o i;1 ------·~~-·1 (36·.6.)) Sr:. ' \l '1: - _..... \
p
t____11 nL._• _~"tr_P_Jl_i&_n~t ---..-1l ,· ~ Y. -··-
r;br; Z O

În aeeastă sumă "algebrică", p /\ \
tensiunilor la horne, al căror

sens dP :refexintă e acelasi cu Fig. 36.4
sensul de int~grare (s~nsul

E1 Semnul e semnul .de apartenenţă, foln.oit aici pentru a indica : latura m. aparţine

mulţi:nii laturilor ochiului (p ).

TEOREN1ELE LUI KIRCHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV 125

+- ),de r.eferintă al ochiului, numit şi sens de scriere al ecuaţiei), li se afcctf•a?.<"i

semnul ( iar celor al căror sens de referinţă e opus, semnul (---). Ind i-
cele m al laturii ia acele valori din şirul (36.2), care corespund laturil0r ce
aparţin ochiului (p) considerat.

De ~xemplu, în cazul ochiului din figura 36A, relaţia (36.6) se scrie :

u, u, - 0li· --
__!__ U• - - vr U.· l "'" •
vJ,t Dt; 1 r:J s
;;

O altă formă genenJJă a celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff se obţine 1nlo-
;;uind tensiunile la borne cu valorile scoase din ecuaţiile latu:rilor scrise 5uh forma
Telaţiei (34.H9), utilizat;\', la deducerea teoremei lui Joubert :

Ucm -~1-- -d~ri<~v-"-,
-+- ----ub;/l = llRm e .·t' (::16./j

ln această relaţie, ubm e tensiunea luată după regula de la l'eCCi)toare pentru

toate latm:ile retelei, uR e căderea de tensiune :rezistio; fi. dinlatu:ri, uc e tensiunea
.? rn ir:

eonde:nsatornlui conectat În serie în latura m, {\, este t.e.rrL a generatorului

1l1n lat1uă cu sensul de referintă acelasi cu al curentului im , ia:r <Vm e fhlXlJ]
magnetic total care î:rilănţuie .lai:ura (mai 1mţin fluxul c~re induc~ t.e.m. a

gc;ner_atorduî.). ·
Ţ~-nlonu<nc]t :re' J.aţ' m (';'-',6·. -1~i IA n relfrţo w (,"oh;).6) şro RcpalTAlld>. IA ntr-un 1nerrml ru t.e.m.

a.le gene:ratoarelor, se obţine o altă formă generală. a primei teoreme a lui Kir·

chhoff:
Suma algebrică a valorilor instantanee nle tensiunilor electromotoare ale

g:nera:oarelor din l~turile u~ui o_chi e egală cu suma algebrică a căderilor de ten-
.~nme t~?stontnnee dzn acele wtun :

r d(fl",].Ee"' +mE{p)
= 2:::: l UR '''. Uc "' -+· dt (36.8)

mE(p)

Această relaţie şi relaţia (36.6) au fost stabilite utilizînd numai legi generale,

RI Hl ea 1m apar explicit parametrii circuituh1i; de aceea ea este valahiLt
pentnt orir:e fel de circuite : liniare, paramet:rice şi neliniarc.

O ;, s e r v a ţ i e : Ecuaţia (36.8) poate fi dedusă ~i calculînd tensiunea electromo·

trJ<Jre în .lungul unei cu:rbe care trece numai prin laturile ochiului (nu pe la borne, cam
rp-~t:ecea curba
utilizată aiei)6

În cazul circuitelor liniare, căderile, de tensiune se pot exprima în

functie de curenti. introducînd parametrii circuitului în relaţiile (31.22),
(3L28), (31.15): , .

(36.9)·

în t::arc Rm > O este .reziste~1ţa conductorului laturii, C", > O este capacitatea
eondcm;atorulni, Lmm = Lm > O este inductivitatca proprie a laturii, Lm, ~ O

este inductivitatea mutuală dintre latura s şi latura m (L".,, = L",,), cu sensul
rQrespunzător sensului de scriere al ecuaţiei prin latura m şi sensului eurentnlai. i.
din-latura s, <'n:re indu.~e. Dacă numai unul dintre aceste sensuri nu coincide cu ce!

l26 CURENŢI ALTERNATIV!

indicat de borna polarizată corespunzătoare valorii date a inductivităţii mutuale,
semnul acestei valori trebuie schimbat.

Cu relaţia (36.9) se obţine a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru circuite
./i.niare:

(36.10)

•au, cxplicitînd căderea de tensiune de inducţie prop1·ie (s = m),

E + + t[Rmim

mE(p)
Ee," J__1:_ ( imdt +L", dim s~l Lms di,] • (36.10')
dt
mE(p) Cm dt

s-::ţm

36·1·4. Observaţii privitoare la aplicarea teoremelor lui Kirchhoff. a) Cu ajutorul ace•;tor

t~oreme se. obţin N - S ecuaţii independente de noduri (deoarece în fiecare din cele S

subretele conexe, ultimul nod - în care intră numai curenti ale căror valori au mai intrat
in ec~aţiile altor noduri cu semn schimbat -- conduce la' o ecuaţie care e egală cu suma

cu semn schimbat a celorlalte ecuaţii de noduri, şi deci nu e indpendentă de ele); O= L -
+ +- N
S ecuaţii ipdependente de ochiuri. Rezultă în total O N - S = L ecu<:ţii

integra-diferenţiale. In reţele liniare, acest sistem de ecuaţii are L funcţiuni necunoscute :

curenţii i(t) ai laturilor şi problema are o soluţie unică (în regim tranzitoriu, după preci-

zarea copdiţiilor iniţiale).

b) In ecuaţiile obţinute din cea de-a doua teoremă a lui Kirchhoff toţi termenii au sem-

i +),nul ( respectiv (-), după cum sensul de referinţă al mărimii respective coincide sau nu cn
~. ~ensul de scriere al ecuaţiei. Din cauza convenţiei suplimentare, pe care o implică semnul
~~ unei inductiYităt,i mutuale (v. par. 34.4 .3), termenii de forma L di,
au semnul
''" dt

hotărît de corespondenţa dintre sensul de scriere din ochiul cu latura m şi sensul curen-

tului din latura s, de o parte, şi sensurile indicate de bornele polarizate, de altă parte

eum s-a precizat 1nai sus.

c) Aplicarea teoremelor se face (ca în curent continuu) alegînd sensuri de referinţă

arbitrare pe laturi, alegînd ochiurile independente şi sensurile de referinţă arbitrare pentru

de, scriind ecuatiile si rezolvînd sistemul astfel obtinut.
d) Teorema' a doua a lui Kirchhoff se poate' scrie şi pentru un ochi care nu se în-

chide m1mai prin laturi, ci şi -pe o anumită porţiune- prin dielectric, direct între două

horne. In acest caz, tensiunea dintre aceste borne nu mai poate fi explicitată În funcţie
de curenţi şi rămîne în ecuaţia (36.6) neînlocuită cu relaţia (36. 7). Ecuaţia finală (36.8), res-

pectiv relaţiile (36.10), va cuprinde în membrul drept, alături de căderile de tensiune din la-

t1U'ile ochiului, si tensiunea dintre bornele prin care se închide acest ochi.
' ' e) Cea mai bcmă verifî-

care a scrjeri:i ·'5-i rezolv~rii eo-

recte a ecuaţiilor o constituie

verificarea bilanţului puterilor

(v. cap..37).

Aplicatie: Ecuatiile trans-
formatorului. Considerăm un

ansamblu de două bobine

cuplate, constituind un tram•-

formator electric (fără miez de

fier, pentru ca inductivităţile

să fie constante-v. fig. 36·5, a).

Schema echivalentă e desenată

în figura 36.5, b; în această

a. b. schemă, r 1 şi r 2 sint rezistenţele
conductoarelor înfăşurărilor, L 1
Fig. 36.5 şi L 2 sînt inductivităţile acestor

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU REŢELELE DE CURENT ALTER:'-IATIV ]27

înfăşurări, iar L 1 2, in du c tiv itatea mutuală. Bornel e pol ariz ate au fost astfel alese, încît, in
ele, O (în ca a r in tra pri aceste borne, ar da fluxuri în
raport cu L 12 > zul cînd curenţii n

acelaşi sens prin miez - cum rezultă din figura 36.5, a). Alegem sensurile de referinţă ale

tensiunilor la borne şi ale curenţilor după regula de la receptoare la prima bobină şi· după

regula de la generatoare la a doua - transforrnatorul constituind o celulă intermediară

într-un lanţ de transmisiune a energiei electromagnetice. Alegem sensurile de referinţă pe

cele două ochiuri închise cu liniile tensiunilor la borne. Ecuaţiile de ochiuri (36.9) sînt, în

acest caz (cu e1 = e2 = O, deoarece nu avem generatoare):

+O = r 1i 1 L1 di1 - L di2
12-
- dt

dt

o = + L2 ~i - L2r di,
dt dt

(semnul minus din faţa lui L 12 rezultă din regula indica t{t la punctul b de mm sus), sau :

L 1 di1 - I di2

- "12-

dt dt

(36.11)

--'-- L -di2 - L di1
21-

Jt dt

pentru verificare inrnulţirn pritna ecuaţie cu i 1 ~ a doua cu i2 şi adunău1 ecuaţiile: se oblinc

relaţia:

[L,iÎ 1.J~- ~i~-1- ,uJr.1 - (36.12)
u 2r.2 = r1 .2 dtr2.2 ~,- ti ~2 2- -,'-(-L12) l.r.l2
1-2
Lt

Diferenţa dintre puterea u1 i 1 primită pe la borne ele prima bobină (deoarece am folosit con-
venţia de la receptoare) şi puterea u 2i 2 cedată pe la borne (deoarece am folosit convenţia
de la generatoare) de a doua bobină este disipată în parte în rezistenţele înfăşurări.lor

+(r1ij r2i§) şi acumulată în parte în cîmpul magnetic al bohinelor. a cărui energie e JV (m)

(v. rei. 31.17). Semnul (-) din faţa inductivită ţii mutuale L 12 rezultă din faptul <:ă Fensul
curentului i 2 iese din borna polarizată respectivă, în loc să intre ca i 1 : valoarea inducti-
vităţii mutuale în raport cu sensurile curenţilor este (--- L 12).

36.2. Forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff

Pentru circuite liniare în regim pe:rmanent sinusoidal de pulsaţie C•l ~e
pot reprezenta în complex simplificat relaţiile (36..5), (36.6) 7i (36.10), folosind

notaţiile:

(3 (J. 1.,"'))

Vz +em :.-== Ern sin ( L·jt ~m) ~ J:;m == l!..'-meja 117

ŞI l'egulile de transpunere a operaţiilor elementare (34.81...84).
36.2.1. Forma complexă a prhnei teoreme a lui Kirchhoff. RqJTczcntînd

în complex, cu notaţiile (36.13), ecuaţia (36.5), se obţine expresia

(36.14)

123 CUHENj"l ALTE!{NAT!Vi

c~u-e se rmmţă : Sw1}a al8elnicif a imaginya~ în com.l!lex a_le. curenţilor dip_, la:u-
nl<J, cw·:e s.g _r.owwsc -l~IIr-un nod este nula. Convcnţ.nle r:rrntoare la seJnn s.mt
aceica~J. cu la valon m1<tuntance. D:~oa:rece r.•1.od.ulnt une1 su:rGe nu este e:ral eo,
surna ~no,Julilo.r termenilor, o reh,ţ.ie de forma (36.1:n nu ~e :poate scrie r~entn:
.-alorilr: efr:,·tjye (reale) :

3!i..2.:l . .Forma complex{, a tem·emci a doua a lui Kin~hhoff. :H.eprezentîm:?
în eowplrs, cu 11otaţiilc (36.13), ecuaţia {36.6), se 0hţine <'m:mţ.;:Il ce1 mai

g~~J~(·:ral al t1·orr~n11-'j :

o. (36. ]:') \

Sw.<w algdn-icâ a imu.einilor in complex ale tensiunilor la bornrde laturilor ctUP:'
alcătui::.s~ un ochi este~ :miii. ConYtor~ţiiie privitoare la semn sînt acelear;;i ea la
valori ~n'itantance. Şi în an·st caz, relaţia nu P valabilă între valori efectiv<" :

Repnezentînd în co1aplc~x ectwţia (:36.10), cu notaţiile (36.13), se ohţine :relaţi<'

(36J ti)

Dar

LL

+;[:j (<JL." T = j (uL ,J.. ~j 0lLm,L
s-=f ~=l

(s:f=.m)

'>~. (:36. 17)
.{--f

••Err;

Suma a imaginilor în complex ale tensiunilor electromotoare ale genera-

toarrdor 1• egalii cn sumu alp,ebricii it arderilor de tensiune comple:xe din a~:el<!

laturi. Gă;lerile de tensiune pot tl. r<:zistivc (R",Z,"), ind.uctivc (j (vL"J,.,),

capaeitive {~-;-- [",) sau induse ;nutu:.tl (j (,;L,115 [,) de alţi em·e.n-ţi. Conveu-
\.1 (uGr,, .
li.ik privitoare la semn sînt acelc·a~i f~a Ia vuloTi instantaxwe.

Teor<:ma a doua n lui Kirchhoff ~," noatc FiCri.e strîns. introducînd i:r:np<>
~J,.,,.,~,f.,.• ;t..l.\
(' l .,r.•tr• .1'•• :\:"/ <'. lat",l"J·l·. ;.
1_
u_._, - -

(36.J

(36.19)

TEOREMELE LUI 1\IRCHHOFF PENTRU RETELELE DE CURENT ALTERNATIV 129

Cu aceste notaţii relaţia (36.18) se scrie:

sau mat strins : (36.20)
(36.21)

. Observ a ţ ii: a) Prima sumă relativă Ia ochiul (p) se face asupra tuturor indi-
cilor m ai laturilor care aparţin ochiului (p). A doua sumă, în s, se face asupra tuturor Ia-
turilor reţelei (inclusiv s = m). Dacă o latură s nu e cuplată inductiv cu vreuna din la-

turile ochiului (p), curentul respectiv nu apare în ecuaţia acestui ochi, deoarece Zms = O.

b) Dacă se scrie explicit această relaţie, se observă că fiecare dintre impedanţele mu-
tuale ale laturilor ochiului (p) cu laturi exterioare ochiului (p) apare o singură dată, în timp
ce o impedanţă mutuală Zms între laturi m şi s, care aparţin ambele ochiului (p), apare de

două ori : o dată în termenul ZmsL< şi a doua oară în termenul ~smLm·

c) Comparînd relaţia (36.20) cu teorema a doua a lui Kirchhoff din curent continuu
::i:.Em = ::E.Rmi"" se constată că singura deosebire de ordin formal între aceste relaţii decurge
din existenţa, în curent alternativ, a impedanţelor mutuale ~ms·

36.2.3. Rezolvarea reţelelor, în complex, cu teoremele lui Kirchhoff.
Metoda generală de rezolvare a reţelelor liniare de curent alternativ sinusoidal,
cu reprezentare în complex, consistă în utilizarea sistemului de L ecuaţii

Kirchhoff independente :

b = 1,2,...,N- S = L- O

L: [tlmsls] = L: _l!J_", (36.22)

p = 1,2,...,0

mE(p} •=1 mE(p)

În reţelele disipative (cum sînt reţelele electrice obişnuite, în care totdeauna

Rm > 0), acest sistem are o soluţie unică, adică există un singur sistem de

curenţi complecşi ]1 , ] 2, ... , JL care îl satis fac (la t .e.m. date ).
in sistemelo r de ecuaţii algeb rice d
În adevăr, d te or ia e gradul 1, se ştie

că soluţia unui sistem neomogen de L ecuaţii cu L necunoscute e unică, dacă

sistemul omogen corespunzător nu are decît soluţia identic nulă; în caz contrar,

o soluţie a sistemului omogen poate fi suprapusă cu o soluţie a sistemului neo-

mogen si s-ar obtine o a doua solutie a sistemului neomogen. În cazul siste-

mului (36.22), si~temul omogen e 'acela obţinut cu !};_m = O (m = 1,2,...,L)

şi corespunde cazului fizic al unei reţele fără surse. Dar o reţea liniară disipativă

fără surse nu poate avea curenţi de regim permanent, din cauza dezvoltării

ireversibile de energie în rezistenţele laturilor (prin efect Joule-Lenz), care

cere un aport mediu constant de energie din exterior.

9-JSGS

130 CURENŢI ALTERNATIV!

În reţele nedisipative (pur reactive, fără rezistenţe), soiuţia sistemului (36.22) poate
să nu fie unică. Acest rezultat se explică prin faptul că în astfel de reţele regimul liber nu e

amortizat, regimul tranzitoriu nu se stinge niciodată şi regimul permanent consistă în su-
prapunerea regimului forţat (hotărît de sursele sinusoidale date) cu r!!gimul liber, periodic,
determinat de condiţiile iniţiale şi de frecvenţele proprii ale reţelei. In acest caz, sistemul
de curenţi care circulă la llll moment dat prin laturile reţelei, la t.e.m. date depinde de con·
diţiile iniţiale : de exemplu, de ordinea închiderii întreruptoarelor de alimentare.

La aplicarea ecuaţiilor (36.22) se urmează aceleaşi etape ca şi în cazul

teoremelor scrise cu valori instantanee (par. 36.14), cu observaţia că înainte

de a scrie ecuaţiile e necesar să se calculeze imaginile în complex ale tensiunilor

electromotoare date - pornind de la o singură formă normală (în sinus sau

în cosinus) a valorilor lor instantanee. După rezolvarea ecuaţiilor în complex,

trecerea inversă la valorile instantanee ale curentilor se face cu aceeasi formă
normală.
· '·

Verificarea calculului se face fie scriind ecuaţii suplimentare pe ochiuri

neutilizate initial, ecuatii care trebuie să fie identic satisfăcute cu solutiile com-
plexe obţinut~, fie- ~ai complet- verificînd bilanţul puterilor ~omplexe

. "' jL?cu (11 h1 (v. par. 37 şi aplicaţia 37.3.3.).
Dacă în problema dată se
jGJC;
cere o tensiune u, cu imaginea
i
!·- \~~ -~1. .Jl...'J'J 1 V, şîin(tdre) sdeosucărienoedcuuarţiiaoaar ecare
1 •wL3 doua
J·L,,·,~.w_' ~~ --~, ·~1~~ R~~r.U,I " , ~ 2 .... '(b)

R_, al ui Kirchhoff pe aleunreţoeclehii
' con stit uit din laturi
h '""'f'--"' . .( . şi închis prin linia acestei ten-
~· *.•"-~.... '\\ .~iuni (v. aplicaţia 36.3.3.) .
· ·- '') 1 ·
\ -jf;2GJ ~ l;!
J ~(1...-),_ .../ ' jelf (2 . .J _ !__
1
1 ., ' -::;..;
.E 11
( 1"-'L~t
!-1 '" jwLJ •,/ 1

1L~,,=c"-"....C_...f--_o+-~ '- ._.- J1 36.3. Apiica.ţii

(2j l~t (]) ·---

Fig. S6.6 36.3.1. Scrierea ecuatillor literale

pentru reţeaua din :figura 36.6. Reţeaua

+subretele conexe Şi O = L - N are L=4 laturi, N = 3 noduri, S = 2
S = 3 ochiuri independente. Vom avea N- S = 1

ecuaţii de noduri (de ex. pentru nodul (1) şi O = 3 ecuaţii de ochiuri pentru ochiurile

(l'), (2'), (3') alese.

Alegem sensurile de referinţă pentru curenţii de laturi. I 1, 12, l 3 I 4 şi sensurile de scriere
pe ochiuri. Ecuaţiile sînt

f (l) l2 + Ia - !.1 = O
- =.1 ~C (uLatl.~- +(2') ..;._§3 R3+ j wLa +
+/ (l') E1 = j wLd1 - j wL12Ia j wLzi2 - j wL21I1 '

J7

\ JW 31 ) Ia- j j wL2I2 j wLztll
(36.23)
l -= +(3') O (R4 j wL4)l4 - j wL,3[ 3• .'

_",---..,.,

+La rezolvarea acestw Sistem de patru ecuaţii cu patru necunoscute e preferabil să eliminăm
curent ul [ 1 = l s L (conform cu (l)) din ecuaţiile de ochiuri (1'), (2'), (3'), pentru a
un st e trei necunoscute -la care se poate aplica regula lui Cramer,
obţine sf m de trei ecuatii cu

fără a fi nevoie să se opereze cu determinanţi de ordin mai mare decît trei.

TEOREMELE LUI KIRCHHOFF PENTRU REŢELELE DE CURENT ALTERNATIV 131

36.3.2. Impedanţa echh-alentă a transfor•
matornlui în sarcină (fig. 36.7). În acest caz,

N=2, L=2, S=2, şi 0=L-N+S=2

ecuaţii independente de ochiuri. ,, - ......
Scriem ecuaţiile cu ochiurile închise pe liniile /\

tensiunilor la horne :

rr )+O = (R1 j wLr>!.1- j wLrslz- (36.2,1.) ~U1 i 1\ jG• .JL111
1•
ra f .+ +O = (R9 j wL,)l2 - jwL2rl1 .1'

Aceste ecuaţii sînt imaginile în complex ale r1 .$
ecuaţiilor (36.ll). Ele se scriu sub forma:
1
Jlr = Zri1- ~ul2 )
l
f'- JJ2 = Z2I2- Z2rl1
<>·~---""'

(36.25) Fig. 36.7

+în Z21 impedanţa

+a iar
care ?;12 = = j w L 12 e impedanţa mutuală, ~1 = R1 j wL1 e proprie
primarului, = R2 j wL~ e impedanţa proprie a secundarului.
Z2
Dacă valoarea algebrică a inductivităţii mutuale L 12 ar fi fost definită în raport cu sen-
+),surile de referinţă luate pentru curenţi, semnul din faţa lui ~12 ar fi fost ( dar acea va-
loare a inductivităţii mutuale ar fi fost negativă (L12 < O) pentru înfăşurări realizate ca în
figura 36. 5, a (cu tensiuni u1 şi u2 practic îri fază).
Dacă la bornele secundare ale transformatorului e conectată o sarcină de impedanţă

echivalentă ~...

(36.26)

şi ecuaţiile transformatorului devin :

Jlr = Zrl1 - Z12l2 [ (36.27)

f •O = (?2 + Zs>Ia- Zarii

Calculăm impedanţa echivalentă de intrare a transformatorului ; (36,28)

= !-lr·

Din a doua ecuaţie (36,27) se obţine :

:?,2 (36,29)
-Z--'=-.J.=-Z- ll

-2 1 _s

şi introducînd această valoare în prima ecuaţie (30.27), se obţine :

0'7122 , tu2L212

~::.2 J.

-2 ! -- s
cr--+---z z ·Z.e Zr -:- z1 = , (36.30)
o7 : l - =

.:::..s

36.3.3. Rezolvarea numerică a unei reţele. Datorită caracterului complex al ecuaţiilor,

rezolvarea lor literală conduce la calcule ext1·erh de laborioase. De aceea, în aplicaţii se

preferă scrierea de la început a ecuaţiilor sub fonnil numerică şi rezolvarea lor sub acestă

formă. Ca exemplu, studiem reţeaua din figura 36.8,a, în care parametrii de circuit şi t.e.m.

ale generatoarelor sînt :

20Q; L1 = 0,0318 H; L1 L 4 = 0,0636 H; 1

+L 19 = 0,0318 H; C3 = 159 t.tF; w = _ŞQ."..Hz. J. (36.31)

Y2 Y2e1 = 10 cos(wt -7!);/ 2rr 1
sin M; e2 = 50

132 CURENŢI ALTERNATIVI

Calculăm reactanţele bobinelor şi condensatoarelor :

wL1 = wL12 = 10!1; w~ = 1 (36.32)
20!1;--=-20!1 (36.33)

wC3
le1 = 10 1(2 sin wt ~ fi1 = 10ei0 = 10wL1 =

şi imaginile în complex ale t.e.m. :

e2 = 50 1(2 sin( cut-~)~ E2 = Soe-i~= -j50. •

1

\ (3') 1

\J
\

.§.2=-SOj
b.

Fig. 36.8

Pentru scrierea directă a ecuaţiilor numerice e util să notăm schema cu valorile complexe

ale impedanţelor şi t.e.m. (fig. 36·8, b). Alegem sensurile de referinţă ale curenţilor [ 10
S = 3-2 1 = 2.
de ochiuri în com-
+ +] 2 , J3 şi ochiurile

Substituind direct pe
independente (1') şi (2'), ştiind că O = L - N
(scos din ecuaţia nodului (1)) ecuaţiile
1[ 3 = 1 - [ 2

plex sînt: +10 = (20 j10)l1 - j10]2 - j20(l1 - f2)

-- (- so j) = -- (- j 20)(I1 - -!2) + (20 + i 2o + .i 20) I 2 - j 10 J1

sau (3G.:H)
(36.35)
+10 = (20 - j 10)!1 j 10[2 }

+ +j50 = j 10[1 (20 j 20)!2

cu soluţiile :

.1t .1"1:
j··- -j-·
+ Yz[ 1 ~ 1; 12 = 1 j = 2
e 4 , la = 11 -- 12 = - j= e •

Valorile instantanee ale curenţilor sînt (cu 34·78) :

i 1 = Im { V2 ei'"'}= V2 sin (cut)

i2 = Im { Yz . f' 1{2 ei"''} = 2 sin ( cut + ~) (36.36)

/4

f ~)i 3 = Iru {e-i V2 e jwt} = Y2 sin (cut-

CONSERVAREA PUTERILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 133

O b s e r v a f i i: a) Pentru a verifica rezultatele, scriem ecuaţia ochiului exterior (3'):

+ +10 - (-50j) = (20 + j 10)[1 - j 10[2 (20 j 40)[2 - j 10[1 (36.37)

+10 + 50j = 20[1 + (20+ j 30)[2 = 20(1) + (20 + j 30) (1 j)

care cu relat.ia (36.35) e satisfăcută identic.

b} O verificare mai completă se face cu bilanţul puterilor complexe (v. 37.3).
c) După determinarea curenţilor putem afla oricare dintre căderile de tensiune din
circuit. Să presupunem că se cere tensiunea UAB (fig. 36·8. a). Scriem atunci teorema a doua
a lui Kirchhoff pe ochiul ABC, închis prin laturi şi prin linia acestei tensiuni la borne:

de unde: (36.38)
(36.39)
,. -"

Jl.AB = ~1 - Ea- j blLd_2 = 10- (-j 50)- j 20(1 + j)=30 V2 e 4 1

iar

uAs=lm {30 Y-2·il"4y2-e·ll"l'/=60 sin (wt+41t) •

37.11 CONSERVAREA PUTERILOR
ÎN REŢELELE DE CURENT ALTERNATIV

Teoremele conservării puterilor se exprimă prin relaţii care sînt con-
secinţe analitice ale teoremelor lui Kirchhoff fără alte ipoteze. Aceste relaţii
se interpretează pe· baza legii transformării de energic în conductoare (rei.
31.19 şi 31.20), a teoremei energiei electrice (rei. 31.16), a teoremei energiei
magnetice (rei. 31.17), a teoremei transferului de putere la borne (rei. 31.21).

37.1. Teorema conservării puterilor instantanee

37 .1.1. Forma generală a teoremei. Fie o reţea electrică, constituită ex-
clusiv din elemente dipolare de circuit, şi ale cărei laturi nu sînt cuplate mag-
netic cu exteriorul. Reţeaua nu este însă izolată şi presupunem, pentru gene-
ralitate, că fiecare nod (c) = 1, 2,..., N constituie cîte o bornă de acces, în el

fiind injectat din exterior! curentul instantaneu i/•xJ. Conform teoremei trans-

ferului de putere la borne (rei. 31.21), reţeaua primeşte din exterior puterea
instantanee :

(37.1)

1 Faptul că un nod (a) nu e conectat în exterior, se ia în considerare punînd i ~·'") =0.

_____ ____,, ,

-13-4 -----------------C-UR-E-NŢ-I-ALTER-NA-TI-VI- - - - - - - - - - - - - - - -

unde Ve sînt potenţialele nodurilor ei faţă de un punct arbitrari (de obicei,

ultimul nod- v. fig. 37.1). " -

Din teorema întîia a lui Kirehhoff, scrisă pentru nodul (c), rezultă:

(37 .2)

\

1

1

1

/--:;

/ 1-

/

_.... / /

--~....--

:Fig. 37.1

suma algebrică din membrul al doilea fiind. luată numai asupra laturilo:r
interioare ale reţelei conectate la nod. Înlocuind relaţia (37 .2) în relaţia (37 .l)
şi ordonînd suma dublă după indicii m = 1, 2, ... , L ai curenţilor laturilor,

se obţine o sumă simplă în m, ·. al cărei fiecare termen conţine curentul im,

dat factor comun pe lîngă toate potenţialele nodurilor din care "iese" acest

curent. Deoarece o latură are numai două capete, există numai două astfel

de noduri, de exemplu, (c) şi (d), şi anume unul (c), din care curentul iese (în
care caz potenţialul ve înmulţeşte curentul im), şi unul (d), în care curentul intră
(în care caz potenţialul vd înmulţeşte curentul- im)· Rezultă deci egalitatea :

B EN L

p;, = l:; (37.3)
VcL;n = im(vc- vd).

c= 1 mE(c) m~" 1

1 Aceste potenţiale se caleulează (ca şi tensiunile la borne ub) pe curbe, ale căror puncte
sînt depărtate de regiunile de flux magnetic intens din bobine şi generatoare - ceea ce e
totdeauna posibil, dacă reţeaua nu e cuplată inductiv cu exteriorul. De asemenea, curba
închisă, determinată de linia tensiunii la borne a unei laturi şi liniile de calcul al poten-

ţialelor capetelor laturii, nu trebuie să înlănţuie fluxuri magnetice.

CONSERVAREA PUTERILOR TN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 135

Diferenţa de potenţiale în această ordine e însă chiar tensiunea la bornele
laturii, luată după regula de la receptoare (v. fig. 37.1) :

(37.4)

Astfel se obţine forma generală a teonmBi conservării puterilor instantanee:

(37 .5)

Puterea primită pcJ_a_hm:nele--de acces de o reţea necuplată inductiv cu ex-
teriorul e egală cu suma puterilor instantanee, primite de lilturî pe la borne.

37.1.2. Conservarea 1mteri!m.· instantanee in -reţde Hri:iare. În acest caz,
tensiunea la bo:rne se exprimă cu relaţiile (36.7) Ş,i (36.9) sub forma :

- + +Ubm- URm J, d'
Ucm -!,- ~l ,ml -~- , Rmt.m_ -1' ~C (37.6)
.L"_",-'-r'm.s _d::.:·- em•
rn. s•~l
(f, t

Înlocuim această expresie în relaţia (37.5) şi formăm derivate în raport cu

timpul, t,inînd seama că Rm, Cm, Lm,· sînt constante, i.a:r im = ddqtm. Se oht,ine

relaţia:

N LL 1 -~
q!, ] .ţ/-.., R -d [ " L ·L. • di,
L"-01 e-m~;'m ---~ "L\.:J' t -·
~12Cm + b-1 ~J-;;::"1
v,tC•(exl· -..Jr j.2 - dt -- ms m dt (37. 7)
m m.

m~l m=l

Suma dublă se poate descompune în doi termeni egali, iar în al doilea dintre

aceştia se pot permuta indicii mu'~i între ei (notarea indicilor şi ordinea de

sumare nu prezintă importanţă la calculul unei sume multiple) şi se poate

inlocui L,m = Lm, :

ddi_~ 1 L • di, 1 • dim

2 Lm,tm dt 2 L smts dt
L L +I,2L::; L

:[: 2.:;
• L 2L::;

L",_,l·m = =

tt!=l s=l m=l s=l s_=l m=l

(37.8)

Cu aceasta, relaţia (37.7) ia forma:

f ; [+- q;" +:~ ~ ~ ~•(ex) '

.t.......l teLe i
W .• = Lr R i2 -\- dt .t.......l 2C _1_ L..t ,;;.._; [Lm2,imis]. (37.9)
mm 1
emtr,;
c=l m=l , m=l m s=l m=l "
m=l

Interpretarea termenilor acestei relaţii rezultă .imediat cu relaţiile (37 .1 ),
(31.20), (31.19), (31.16) şi (31.17) şi se poate scrie :

(37.10)

J I,a energii păstrăm simbolurile majuscule chiar pentru valori instantanee.

136 CURENTI ALTERNATIV!

Relaţia (37.9) cu interpretarea relaţiei (37.10) reprezintă expresia teoremei
conservării puterilor instantanee in reţele liniare :

Suma dintre puterea primită instantaneu pe la bornele reţelei Pb (v.37.1)
şi puterea debitată instantaneu de generatoare

L

pg = L.:::emim (37.11)

m=l

este egală cu suma dintre puterea disipată instantaneu prin efect Joule-Lenz

(37 .12)

si viteza de variaţie a energiei electromagnetice instantanee, acumulată în
~împul magnetic al bobinelor

L

E (37.13)

m=l

ŞI în cîmpul electric al condensatoarelor reţelei

1" 2~2 = L 2

c"'
;cm .E Ewr·J = (37.14)

m=l m m=l

Această teoremă generalizează bilanţul puterilor instantanee (33.114) al unei
laturi de circuit.

37.1.3. Conservarea puterilor instantanee la o reţea izolată. În cazul unei reţele fără
borne de acce8, şi deci izolată electric de exterior, puterea Pb = O şi cele două expreBii
(37.5) şi (37.10) ale teoremei capătă formele:

~L; Ub m i", = 0 1 (37.15)

m=l

Pg = P + -d [W(m) + wr•J]. (37.16)
R dt

37.2. Teoremele conservării puterilor complexe, active şi reactive

37.2 .1. Puterea complexă, puterea activă şi puterea reactivă. În regim

permanent sinusoidal, curenţii şi tensiunile sînt de forma :

+im = Im V2 sin (wt y",) <== [m = Imei'Yrn (37.17)
+ o) ___,.=i(c•xl J(cex) lV/2 sin (wt (37.18)
=c ~ _I , Iec i~, (37.19)

+ve= V, V2 sin (wt e:,) <== t"c = V,ei•,
V2 + <==ubm = ub m sin (rot rr-J'.m)
-umb = ub m ein", (37.20)

(37.21)

1 Notaţia m < s sub semnul de gumă dublă precizează că sumarea se va face asupra

tuturor perechilor de valori permise pentru indicii distincţi, m = 1, 2, ..., L-1 şi s = 2, 3, ...

..., L, astfel că nici o pereche nu 8C repetă.

CONSERVAREA PUTERILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 137

Aşa cum am mai arătat, puterile instantanee, care sînt produse de mă­
rimi sinusoidale, nu sînt ele însele sinusoidale şi nu se pot reprezenta în com-
plex. De aceea, nici formele instantanee ale teoremei conservării puterilor
(37.5), (37.9), (37.10), (37.15) (37.16)- care exprimă însumarea, amplifica-
rea şi derivarea unor mărimi nesinusoidale - nu pot fi reprezentate în com-
plex, aşa cum au putut fi reprezentate teoremele lui Kirchhoff.

Pornind însă de la forma complexă a teoremelor lui Kirchhoff, operînd
cu puteri complexe (de tipul celor definite în par. 34.33) şi urmărind pas cu
pas demonstraţia din paragraful precedent, se poate demonstra o teoremă
a conservării puterilor complexe.

Se numeşte putere complexă primită pe la borne de o reţea fără cuplaje
inductive cu exteriorul, mărimea definită de expresia :

+_Sb ='L\N."; V~'-Jc(exJ*1='L\N.".! pb J. Qb.
VJ (• x l e i (• , -6, ) = (37.22)
[
•-1 •=1 c c

Definiţia aceasta generalizează noţiunea de putere complexă, definită în pa-
ragraful 34.33 pentru un dipol. Partea reală a acestei mărimi e egală cu pu-
terea activă primită pe la borne, definită conform cu relaţia (33.103), de va-
loare medie, pe un număr întreg de perioade a puterii instantanee primită

pe la borne (37.1):

(37.23)

Folosind teorema valorii medii a unui produs (33.29'), rezultă :

EN (37.23')

pb = VJ~ex) cos (e:,- a,)= Re {Şb}·

•=1

În analogie cu relaţia (33.110), se numeşte putere reactivă primită pe la borne
mărimea definită de expresia :

Qb = EN VJ~ex) sin (e:,- a,) = Im{Şb}, (37.24)

c=l

egală cu partea imaginară a puterii complexe (37.22).
Se numeşte putere aparentă la borne mărimea pozitivă definită de mo-

dulul puterii complexe :

+ >=S
b
'i S [ = 'L\N.."! V- ,J-(e·x)* 1 = V' p~~ Q2 O. (37.25)
b
_b 1c=l

Această mărime este definită prin analogie cu puterea aparentă a unui dipol,
(33.106), care era egală cu modulul puterii complexe respective, (34.97),
şi nu prezintă utilitate practică decît în cazul particular în care toate
produsele din suma (37.22) sînt egale (de ex., în regim trifazat echilibrat-

v. cap. 38).

138 CURENŢI ALTERNATIV!

37.2.2. Conservarea puterilor complexe. Considerăm imaginea în complex
a relatiei (37.2) şi luăm conjugata complexă a expresiei obţinute (termen cu
terme~):

_Ic(e~)* -- "L.\_"; J*m• (37.26)

mE(e)

Introducînd această expresie în relaţia (37.22), transformăm suma dublă ast-
fel obţinută în acelaşi mod cum am trecut de la relaţia (37.1) cu relaţia (37.2)
la relaţia (37.5), folosind reprezentarea în complex a relaţiei (37.4):

fhm= .E"c- fa (37.27)

Se obţine forma generală a teoremei conservării puterilor compl~.:xe:

{37.28)

Puterea complexă primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv
cu exteriorul e egală cu suma puterilor complexe primite de laturi pe la borne.

Ţinînd seama de reprezentarea în complex a relaţiei (37,6),

rL

~:: ~ j roLm,ls -lJm·
+ . +!;lbm = Rm[m (37.29)

J WL-m s=l

şi înlocuind tensiunea la borne în relaţia (37·27), se obţine egalitatea:

NL (37.30}

2: friJ"~l* + ~ Em[::,
e=l m=l ·

în care

Primul termen din paranteza dreaptă se transformă separînd din suma dublă termenii de

indici egali (m = s) şi observînd că termenii rămaşi (cu m =/= s) pot fi grupaţi doi cite doi

termeni cu aceeaşi pereche de indici, iar Lmm = Lm şi L;ns = L,mo Se obţine:

'E B E 'E r:L L L
L: ro Lms l_sli;, ~~ +(uLm rŢ"
roLms (Isi::. ·l-· lm) =

m=l .e=l m=l m<n:

:L;L:L 2roLmJ",I, cos (ym-·y_,), (37.:!1}

+~ roL",I!
m=l m<s

deoarece

+ +lsl~, 1: lm= I,Im(eHr,-r ml e~Hr,-rml) = 2IJm cos (y, ~· ym)

Înlocuind relaţia (37·31) în relaţia (37·30) şi observînd că:

____________c__o_N_s_E_R_V_A_R_E_o_A _>__'U_T_E_R_I_L_O__R__I_N__R_E_T_E_L_E__D__E__C_U_R_E_N_"_T_A__L_T_E_R_N_A_T_I_V_________i39

sînt reactanţa proprie a laturii m şi reactanţa mutnală dintre latura m şi latura s (în

raport cu sensurile de referinţă pentru care a fost definit Lms~O), rezultă forma explicită
.N

L: + L: L: + B EBJ:cJ;ex)•

lc=l
a teoremei conservării puterilor complexe : ·

LL L,

lfml:. = R",I,7, j x",r;;, + 2X",,lmi.- cos (ym--Ys)JI

m=l m=l m=l rn<•

(37.34)

care se scrie scurt :

(37.35}

Suma dintre puterea complexă primită pe la horne ş_b (v. 37.22) şi puterea complexă dehitată
de generatoarele din reţea

L

Sg~ = 'L\-t' E_m~Tm"' (37.36)

rn=l

are ca parte reală puterea activă P R• disipată în rezistenţele laturilor, iar ca parte imaginară,
puterea reactivă Qx primită de bobinele şi condensatoarele reţelei,

37.2.3. Teorema conservării puterilor active. Puterile active sînt valori
medii ale puterilor instantanee, egale cu partea reală a puterilor complexe
corespunzătoare. De aceea, separînd partea reală a relaţiei (37.28), se obţine
forma generală a teoremei conservării puterilor active:

P b = "L;' TY rcJ(c<:<) COS (<--c -- D~e)·~- L

c=l (37.37}

Puterea activă primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv cu
exteriorul e egală cu suma puterilor active, primite de laturi pe la borne.

Această formă generală poate fi explkitată, inlocuind tensiunea la borne, în funcţie de

parametrii şi curenţii laturilor. '

Rezultatul se scrie direct, luînd partea reală a relaţiei (37.34):

L: L: L:;+N Ve!~"") COS (Ee--- :5,)
L E~Jm COS (ry;m ~- yp,) = L Rml~, ~-O, (37.38)

c=l m=l m=l

care se scrie strîns :

(37 .39)

Suma dintre puterea activă primită pe la borne .Pb (v. 37.23) şi puterea activă debitată de gene-
ratoare

.Pg = EL Emlm COS (rt.m -ym)~ O (37.40)

m=l

e egală cu puterea activă disipată în laturile reţelei :

L:PR = L Rm l ' ?::-O. (37.41)

m

nJ=l

Relaţia (37.39) se mai poate ob~ine şi luînd valoarea medie pe o perioadă a expresiei (37.!0).

140 CURENŢI ALTERNATIV!

În adevăr, puterile active sînt valori medii ale puterilor instantanee, valoarea medie a pro·
dusului a două mărimi sinusoidale e egală cu produsul dintre valorile lor efective şi cosinusul
defazajului lor (v. rei. 33.29'), iar valoarea medie a derivatei unei funcţiuni periodice f(t) e nulă :

-T
-df = -l)d-f dt = -l (f(T)-f(O)) =O,
(37 .42)

dt Tdt T
o

deoarece în virtutea periodicităţii f(T) = f(O).
Relaţia (37.39) oglindeşte faptul că, în regim permanent, energia medie a cîmpului elec·

tromagnetic e constantă, iar cîmpul nu participă în medie la bilanţul puterilor, ci numai îl mijlo·

ceşte : transmite energia de la borne şi de la generatoare la conductoarele reţelei, în care energia

se disipă prin efect J oule-Lenz.

37.2.4. Teorema conservării puterilor reactive. Separînd partea imaginară
a relaţiei (37 .28), se obţine forma generală a teoremei conservării puterilor
reactive:

(37.43)

Puterea reactivă primită pe la bornele de acces de o reţea necuplată inductiv
cu exteriorul e egală cu suma puterilor reactive primite de laturi pe la borne.

Această formă generală poate fi explicitată, înlocuind tensiunea la borne în funcţie de para·
metrii şi curenţii laturilor. Rezultatul se scrie direct, luînd partea imaginară a relaţiei (37.34):

+~N V,I~"") sin(e:,- B,) ~L Emimsin (am- Ym) =

c=l m~l

E +L (37.44)
(37.45)
= Xml,;, ~~ 2 Xm,J",J, COS (Ym -y,),

m=l m<s

care se scrie strîns :

Suma dintre puterea reactivă primită pe la borne Qb (v. 37.24) şi puterea reactivă produsă de gene·
ratoare:

L (37 .46)

Qg = ~ Emim sin (a;n -ym)

m=!

e egală cu puterea reactivă primită de bobinele şi condensatoarele reţelei :

+L (37.47)

Qx = ~ Xml~,, ~~ 2Xmsimls cos (Ym -y,).

m=l m<s

Expresia (37.47) a puterii reaetive primite de bobinele şi condensatoarele reţelei se transformă,
înlocuind reaetanţele proprii şi mutuale eu (37.33) :

E---"'---- +L L J2 ~~ 2wLmJmi, eos (Ym -y,). (37 .48)

Qx = ~ wL;nl;"-

m=l m=l (!)Cm m<s

CONSERVAREA PUTERILOR IN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 141

Se observă că în afară de puterile reactive corespunzătoare inductivităţilor proprii ale laturilor
(v. şi rei. 34.26):

{37.49)

şi capacităţilor (v. şi rei. 34.29) :

Qc = - -L-~"< o (37.50 )·
m wCm

expresia de mai sus conţine pentru fiecare inductivitate mutuală Lms o putere reactivă :

Puterea reactivă (37.48) primită de bobinele şi coudensatoarele unei reţ_ele mai poate fi expri-

mată în funcţie de energia magnetică medie şi energia electrică medie. In adevăr, luînd media

pe o perioadă a energiei magnetice (37.13), şi ţinînd seama că media pătratului unei mărimi

sinusoidale e egală cu pătratul valorii ei efective, iar media produsului a două mărimi sinusoi-

dale e egală cu produsul valorilor lor efective prin cosinusul defazajului lor, se obţine : ·

~L L - --' ~L L-~[3.
L",5imis=
- _!!!

i;, + +WCm) =
~}, ~E LmJmls COS (y",- y,).
m~ 1
m=l 2 m=l 2 (37.52}
m<s

De asemenea, luînd media pe o perioadă a energiei electrice, (37.14) se obţine:

(37.53)

ştiind că tensiunea condcnsatorului e egală cu produsul dintre curent şi irnpedanţa acestuia :
-1

Vcm=Im--
(J) C,,,

Cu relaţiile (37.52) şi (37.53) se obţine din relaţia (37.48) cea mai generală expresie a puterii
reactive primite de un receptor pasiv :

(37 .54)

adică exact expresia (33.123), găsită pentru o latură de circuit. Am numit această expresie "cea
mai generală", deoarece se poate defini şi pentru un cîmp electromagnetic sinusoidal oarecare ~i
nu numai pentru o reţea cu parametri concentraţi.

Folosind această expresie, teorema conservării puterilor complexe, relaţia (37.35), se scrie ;

(37 ..55)

Analogia parţială a expresiilor (37.10) şi (37 .55) nu trebuie să inducă În eroare în ceea ce
JJriveşte legătura dintre ele: ecuaţia în complex (37.55) nu este imaginea ecuaţiei instantanee
(37.10), termenii acesteia din urmă nefiind mărimi sinusoidale. De aceea, diferenţa de semn la
parantezele din membrul drept nu are nimic paradoxal.

37 .2.5. Conservarea puterilor în reţele izolate. În cazul reţelelor izolate,
nu există conductoare de legătură cu exteriorul şi teoremele de conservare

142 CURENŢI ALTEimATIVI

a puterilor se obţin din cele enunţate pentru reţele neizolate, punînd It•> = O.
Se obtin astfel :

Teorema conservării puterilor complexe (v. rel. 37.28):

LL (37.56)
Jj_bm [;, = O

m=l

sau, explicit, (v. rel. 37.34):

Teorema conservării puterilor active (v. rei. 37.37) :

BL ubn,lm cos (~"'- Ym) =o (37.58)

m=l

sau, explicit, (v. rei. 37.38):

EL L (37.59)

Emlm COS (am-Ym) = 2:::; .Rmi;,.

m=l m=l

Teorema conservării puterilor reactive (v. rei. 37.43) :

.L:L (37.60)

Ub,Jm sin(~."- Yml =O

m=i

·.-;au, explicit, (v. rei. 37.44):

:8L L X"J! -+ I:;:L;2X",J",I, cos (y",-y,). (37.61)
E,J". sin (am -ym) =
;[:

m=l m=l m<s

37.2.6. Conservarea puterilor in reţele pasive. În reţele pasive, Em = O (m = l, 2,... , L)
şi teoremele de conservare capătă formele particulare următoare:

Teorema conservării puterilor complexe (v. rel. 37.34):

(37.62)

Teorema conserv r1i'puterilor active (v. rei. 37.38):

L LN L (37.63)
V ciJexl cos (e:c- 3c) = Rmi!. (37.M)

c-1 m=l

Teorema conservării puterilor reactive (v. rei. 37.44):

L LLN
VciJ<'"l sin (e:c- ac)= 2:L::; +9 2XmJmis cos (Ym -y,)

Xmi;;.

c-=1 m=l m<s

CONSERVAREA PUTERILOR IN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 143

37.2.7. Observaţii privitoare la teoremele de conservare a puterilor. a) Teorema conservării
puterilor se utilizează nu numai pentru determinarea regimului de puteri al unei reţele date, ci
şi pentru calculul însuşi al reţelei (v. metoda separării puterilor, par. 37.3.2) şi mai ales pent:ru
verificarea calculului făcut cu alte metode, prin verificarea bilanţului puterilor (v. par. 37.3.1).

• b) Calculul puterilor active, respectiv reactive, primite pe la borne sau date de generatoare,
!i!l face mai uşor, luînd partea reală, respectiv imaginară, a puterilor complexe (37;22) sau (37.34),

decit utilizînd expresiile (37.23') sau (37.38), respectiv (37.24) sau (37.44).

c} În toate expresiile teoremelor de conservare a puterilor dezvoltate in paragrafele pre-
<::edente s-em considerat toate tensiunile la borne Ubm (sau Jlbm) cu sensul de referinţă după regula

de la receptoare, toate t.e.m. ale generatoarelor em (sau flmJ, cu sensul de referinţă acelaşi cu al curen·
!ubi im (sau ImJ şi toate inductivităţile mutuale (sau impedanţele mutuale) Lms (sau Z."" =

= j (i)Lm,) raportate il• sensuriie de referinţă ale curenţilor im şi i,. Orice schimbare a vreunuia
dintre aceste sensuri de referinţă atrage o schimbare de semn a te:rmenului din expresia mărimii
{;are conţine mărimea afectată.

d) Bilanţul de puteri se face numai pe Întreaga reţea. Sumele care intervin trebuie efec-
tuate asupra tuturor laturilor, respectiv nodurilor.

e) În sumele care intervin în expresiile teoremelor de conservare, fiecare termen are o

semnificaţie fizieă bine precizată, reprezentînd puterea primită sau produsă de un anumit ele-

ment al reţelei. De exemplu, !llmlm * e puterea complexă produsă de generatorul din latura m,

Rmi~n e puterea instantanee disipa ta în rezistenţa latmii m, 2 (i) L ms Imi 5 cos (ym - y,) e puterea
reactivă primită de perechea de bohine din laturile m şi s şi asociată inductivităţ.ii lor mutuaie.

N
.2=:.Numai lermenii sumei care exprimă puterile la borne- instantanee pb = v,iJex), complexă §b

c=l

(v. 37.2_?}, activă Pb (v. 37.23') sau reactivă Qb (v. 37.24}- nu au, fiecare în parte; semnificaţie
fizică. In adevăr, valoarea numerică a fiecăruia dintre aceşti termeni depinde de valoarea poten-

ţialului, adică de alegerea arbitrară a punctului de potenţial nul. Un asemenea termen nu repre-
zintă deci o putere care se transmite pe la o anumită bornă: oricare dintre aceşti termeni poate

fi făcut nul, alegînd borna respectivă ca origine a potenţialelor. Puterea la borne, adică suma
tuturor acestor termeni, nu depinde ÎEsă de alegerea originii potenţialului : schimbarea acestei

origi,li adaugă la toate potenţialele o eonstantă, care iese În factor pe lîngă suma- nulă­

a tuturor curenţilor injectaţi din exterior.

!'.i.:._'"_;' ( , V) .(ex) _ ' \ ' .(ex) .J..., Vo ~ i,(ex) '\" .(ex)
O 1c L,_; Vclc •
.l. .")' , .(ex) _ VL· -,- - -1 = (37.65)
închise 2:,
L-J 'V c1t: -
L_; Vcic

~o

Ai ei, 2:=:N

d•x) =i:z.; = O, conform teoremei continuităţii, aplicată unei suprafeţe

c=l

can conţine întreaga reţea şi e Înţepată numai de conductoarele de legături la horne (v. fig. 37.1).
Această putere la borne (fluxul vectorului Poynting) se transmite strict localizat prin punctele
din dielectric ale suprafeţei 2:. Nu există nici un criteriu fizic ca;re să permită să se asocieze univoc
.f'iecărei borne cîte o parte din această putere.

f) Măsurarea puterilor active transmise pe la borne se face cu aparate nm:nite wattmetre,
fiecare wattmetru avînd o indicaţie propor1ională cu media produsi.rhii dintre tensiunea aplicată
lui şi curentul trecut prin el. Un wattmetru poate măsura deci un termen de forma v'],(ex) =
= VcJ,(ex) cos (e:c-3,). Puterea activă totală (37.23') se poate măsura deci cuN wattmetre, dacă
punctul de referinţă al potenţialelor e lăsat oarecare- şi numai cu N-l wattmetre, dacă se ia
ca referinţă nodul-1V (în acest caz, sun-'la rămînînd eu N-1 termeni)~

g} Puterile aparente (egale w modulele puterilor complexe) nu au proprietatea de conservare.
Pentru puterile aparente nu se poate formula o relaţie de tipul relaţiei (37.56), adică:

L (37.66)

:[: Ub,Jm=f=O,

m-1

pentru o reţea izolată.

144 CURENŢI ALTERNATIVI

37.3. Aplicaţii la teoremele de conservare a puterilor

37.3.1. Verificarea bilanţului puterilor la rezolvarea reţelelor. După ce s-a efectuat calculul
curenţilor unei reţele, o foarte bună verificare consistă în verificarea egalităţilor care exprimă

conservarea puterilor.

Exemplu : Considerăm reţeaua din figura 36.8, pentru care, În paragraful 36.3.3, s-au deter-
minat curenţii cu ajutorul formei complexe a teoremelor lui Kirchhoff. Dacă se cunosc expresiile
în complex ale curenţilor, cea mai rapidă verificare consistă în aplicarea relaţiei (37 .5 7) :

· gd.i + g2I; = R1I~ + R2I~ + j[wL1I~ + wL2I~ _ _!:__C IJ + wL41i +
w3

(37.67)

Am scris -11Lc1o2i, ndceiodae,r ece L 12 e definit în rapprt cu sensurile indicate de bornele polarizate cu care
curentul da r nu coincide. Inlocuind valorile numerice şi observînd că bilanţul
[2

puterilor complexe devine :

n+10.1 (-j so) (1- = 2o.12 + 2o C\f2)2 + j [ 1o.12 + 20 <V2)2 - 2o.12 + 2o< V2)2 +

, - V2]T 2 (- 10). LV2. 2 (37.68)

+ +60 j 50 = 60 j 50.

Bilanţul puterilor active (Pg = PR = 60 W) şi al celor reactive (Qg = Qx =.50 var) este

verificat.

37.3.2. Metoda separării puterilor. Egalităţile care exprimă conservarea puterilor active,

respectiv reactive, pot fi utilizate pentru rezolvarea reţelelor- scriindu-le pentru diferi te por-

ţiuni de reţea, considerate ca reţele neizolate, sau pentru întreaga reţea izolată, în numărul necesar

corespunzător numărului necunoscutelor. Se obţine astfel un sistem de ecuaţii, a cărui rezolvare

permite determinarea valorilor efective şi a defazajelor necunoscute. Această metodă de rezol-

vare se mai numeşte metoda separării puterilor şi este indicată În special pentru reţele lipsite de

inductivităţi mutuale şi atunci cînd laturile receptoare nu sînt caracterizate prin impedanţ.cle

lor complexe, ci prin puterea activă nominală,

j_, factorul de putere şi tensiunea nominală. Metoda
se utilizează şi în studiul reţelelor trifazate echili-

brate v. ar. 39).

@l!.mp/!6 · Considerăm un receptor liniar
inducti~, care absoarbe puterea activă P 1= 2,4 kw,
sub tensiunea la borne U1 = 120 V, cu factorul
J!=U de putere cos cp1 = 0,5 (fig. 37.2), şi în paralel cu

el un circuit serie (r, C), cu r2 = 3D şi - 1 = 3 .O.
-
wC2
Calculăm curentul total absorbit I (valoarea efec-

tivă) şi defazajul cp al acestui curent faţă de tensiu-
nea aplicată la borne U = U1 = 120 V.
Fig. 37.2.
Receptorul consumă putere activă şi putere

reactivă (inductivă) :

n:pl = 2 400 W; Ql = pl tg Cfll = V3Pl = 2 400 var> o.

Latura (r, C) consumă puterea activă P 2 şi puterea reactivă Q2, determinabile prin aplicarea
bilanţului puterilor pentru această latură :

P 2 = r2Ii = U2 l 2 cos cp2 = U I 2 cos cp2

(37.69)

CONSERVAREA PUTERILOR IN RETELE DE CURENT ALTERNATIV 145

de unde rezultă : ( T~ + 1.

adică: -wz)q

V9120

+ 9 = 20Y2 A.

Deci:

wp2 = T2IE = 3(20 Y2)2 = 2400

Q2 = - IE!wC2 = - 3 (2v V2)2 = - 2 400 var< O.

Conservarea puterilor active şi reactive pentru întregul circuit se serie :

+ \P = U I cos rp = P1 P2 = 4800 W
+ "Q = U I sin rp = Q1 Q2 = 1752 var > ~~~
(37.70)

··~--------·--··---·- __...

Înlocuind valorile numerice date pentru mărimile din membrul drept şi ţinînd seama că U =

= 120 V, se obţin componentele activă şi reactivă ale curentului :

1 cos 'fl = 40; 1 sin rp = B,6 > O,

adică: +I = V40 2 14,62 ~ 13,5 A

14,6 'fl ~ 20°,
tg 'fl = - - ~ 0,365;

40

37.3.3. Ameliorarea factorului de putere (v. şi par. 33.4.5). Un receptor Nl, cu P = 100 kW,
funcţionează de la cos rp = 0,6 (inductiv), sub o tensiune U = 500 V, 50 Hz. Se cere să se
determine capacitatea echivalentă Ce a bateriei de condensatoare, care trebuie conectată În
paralel cu receptorul, pentru ca factorul de putere al ansamblului să devină cos Cflb = 0,9
(v. fig. 37.3). Puterea reactivă absorbită de bateria de condensatoare este negativă şi are expresia

(v. rei. 34.29):

Qc ~=- w c.uz. (37. 71)

Puterea reactivă absorbită de receptorul inductiv este 1 u
pozitivă şi are expresia (v. rei. 33.ll1):
__ J1, __ p
Q=Ptgq:>. (37.72) cos'f'
Ce --y--
Deoarece puterile reactive se conservă, puterea reactivă
primită pe la borne va fi suma expresiilor de mai sus : 1

(37. 73) 1

Fig. 37.3.

cu tg <p = sin <p ~ 1,33. Puterea Q poate fi făcută oricît de mică în valoare absolută, alegînd

cos 'fl

în mod adecvat capacitatea c•. Factorul de putere la }Jorne cos tpb este, în acest caz, impus şi

permite să se determine raportul :

(37.H)

în care am pus PG = P, deoarece bateria de condensatoare nu absoarbe putere activă.

10-1668

•

CURENŢI ALTERNATIV! (37.75)

Din relaţiile (37.74) şi (37.73) rezultă:

Qb = P tg rp- U 2 c.u Ce = P tg 'Pb•

iar

c. p
= - (tg 'P- tg <pb).
c.uU2
Înlocuind valorile numerice, se obţine C, = 1850 fL F.

37.4. TI·ansferul maxim de putere pe la home

+Considerăm un generator de tensiune electromotoare dată -~g şi avînd

impedanţa interioară ~g = Rg j Xg = Zg ei"'g de asemenea dată (fig. 37A).

Se pune problema de a determina impedanţa de sarcină ~" care trebuie co-
nectată la bornele generatorului, pentru ca acesta să transfere sarcini! o putere

aetivă maximă.

Realizarea condiţiilor care asigură acest transfer maxim de putere se mai
tnuneşte adaptarea sarcinii la generator (din acest punct de vedere 1•

În analiza condiţiilor de adaptare interesează în practică două situaţii :
cazul general, cind se poate varia atît modulul cît şi argume~tul impedanţei
de sarci?ă.; şi cazul particular, cînd se poate varia numai modulul impedanţei
de sarcina.

37.4.1. Tmnsfen;l m_uxin-'- de putm:~ la sar·cină mn·emwe. Exprimăm pu-

+terea P transferată impedanţei de sarcină ~' = R, jX, = Z,ei P\ în funcţie

de mărimile !l;_g, ~g şi ~' :

(37. 76)

Deoarece Eg, Rg şi Xg sînt date, variabilele independente în raport cu care se caută

maximum sînt R, şi X,, iar condiţiile de

1 maxim se pot obţine anuEndderiYate-

le parjiale ale funcţiunii P=f(R,, X,).

Le vom obţine mai simplu prin

z, = Zoei'Ps = rationamentul următor : Dacă R, e
m~nţinut constant şi X, variază, ma-
ximullui P se obţine pentru minimul

= R, -+- jX, numitorului, adică pentru minimul

expresiei (X,+ Xg)2 :;:>O, care se ob-

ţine la anularea acestei expresii, adică

pentru valoarea :

Fig. 37.4. l! x __s- -.:r 1 (37 .'77)
../\._g 1

1 Există şi alte criterii de adaptare - de exemplu din punctul de vedere al anulării undei
refiec':ate la joncţiunea a două linii lungi (v. cap. 54)- care conduc În cazul general la alte con·

diţii decît cele stabilite aici.

CONSERVAREA PUTERILOR IN REŢELE DE CURENT ALTERNATIV 147

a reactanţei de sarcină. În acest caz, puterea transferată sarcinii are expresia :

p =E; R =Ez 1 (37.78)
o ( R -+ R )2 + +g R2
s1 g Rs __! 2Rr:r

.L R, c

X,+Xg=O

Cînd R, variază, această expresie e maximă cînd numitorul e m1mm, adică
pentru R,+RifR, minim. Suma a doi termeni al căror produs (R, · Ri/R,=Ri)
e constant e minimă cînd termenii sînt egali, adică pentru valoarea :

/ R, = Rz 1 (37.79)

+ +a rezistenţei de sarcma. Relaţiile (37.78) şi (37.79) reprezintă conditiile cău­

tate. Deoarece Z_ = R, j X_ si Z, = R" j X,, aceste condiţ.ii ;înt echi-
valente cu relaţiile : ' ' -~ " ,

1 z - z~l (37.80)

j _s _g 1
~---·-----'

sau.

şi (37.81)

Puterea activă transmisă pe la bome de un generator liniar dat unui dipol
receutor este maximă atunci cînd inmedanta complexă echivalentă a recep-
torului e conjugata complexă a impedanţe{ interioare complexe a generato-

:rului {teorema transferului maxim de putere).
Trebuie observat că în condiţiile de adaptare (37.80), puterea activă trans-

misă la borne este (cu 37.78 şi 37.79):

p =--E-'g~ , (37.83)
m~x 4 Rg

în timp ce puterea activă produsă de generator este :

pgl += (Rg R,)/2 = =2 pmax Eg • {37.84)
P~ p max 2Rg (37.85)

Randamentul electric al transferului de putere fiind :

-P R,I2 R,

--~- = _"_::__
+ +'Il = = _

Pg ( R, Rg)P R, Rg

are în condiVile maximului de putere la borne valoarea :

TJ l P~ P = Tj 1R=Rg = 0,5.

m.ax

Această valoare e mult prea scăzută pentru necesităţile transmisiunii de

energie. De aceea, în electroenergetică, unde se cer :randamente cît mai mari.

se lucrează cu Rg « R,, departe de condiţia de adaptare (37.80). În electro·

-1:omunicaţii, unde aspectul energetic e secundar, interesează adesea să se

143 CURENŢI ALTERNATIV!

"scoată" maximul de putere activă dintr-un generator dat şi, în acest caz,
se caută satisfacerea condiţiei de adaptare.

Expresia (37.83) arată că puterea maximă pe care o poate debita un
generator tinde către infinit, dacă impedanţa interioară tinde către zero. În

aceleaşi condiţii, tensiunea la borne

U = §g- ~1 tinde către !l;_. De

2 aceea, un generator capabil să meu-
tină o tensiune invariabilă la borne
~e mai numeşte generator de putere

~, infinită.

37.4.2. Transferul maxim de putere la

2' sarcină cu defazaj invariabil. Practic este
greu să se modifice după voie impedanţa
1' complexă a unui receptor dat, pentru a

obţine adaptarea. Se poate însă intercala

între generator şi sarcină un transformator

Fig. 37.5. (fig. 37.5), astfel că impedanţa echivalentă

prezentată generatorului nu mai este g_,, c:i

g_,l = z:l + <u2M2 (37.86}
Z2+g_,

+(v. rei. 36.30), unde g_1 = R 1 j wL1 e impeda'nţa proprie a înfăşurării primare cu N 1 spire,
+!:_2 = R 2 j w L2 e impedanţa proprie a înfăşurării secundare cu N 2 spire, iar .M = 1L1al

e inductivitatea mutuală a înfăşurărilor (în modul). Se numeşte transformator ideal un transfor-

mator care are: a) rezistenţele înfăşurărilor neglijabile, R 1 ;:::::: O, R 2 ;:::::: O; b) dispersiunea mag-
netică neglijabilă, astfel că M 2 = L1L2 (v. rei. 27.6, voi. 1) şi VL1 /L2 = N 1 !N2 (raportul de trans-
formare); c) reactanţa secundară foarte mare faţădeimpedanţa de sarcină wL2 ;!;:> Z,=l~sl·

Ţinînd seama de aceste condiţii, impedanţa de intrare a transformatorului ideal devine :

sau
(37.87)

Cu ajutorul unui transformator ideal se poate deci obţine o multiplicare a modulului impedanţei
de sarcină cu un factor egal cu pătratul raportului de transformare. Pe această cale se poate deci
modifica numai modulul impedanţei de sarcină a unui generator. De aceea interesează condiţiile

de adaptare la defazaj invariabil ale acestei impedanţe.
Puterea (37.76) se poate scrie, punînd În evidenţă variabila Z, = 1 g_, 1 :

Eg2 = E2 z
s cos 'Ps

+ + 2 Z,Zg cos (<p,- <Jlg)
z; zip = R g (37 .88)
' / g_,+Z:_g 12