Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.1 - scan

----------------------------
REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE ECHILIBRATE
199

După montarea condensatoarelor, deoarece compensarea este completă, iar condensato3rele

absorb numai curenţi în cuadratură cu tensiunea aplicată, curentul total se reduce la compo-

nenta activă a curentului determinat anterior It 0 = 32,48 A. ~10
Tensiunea stelată necesară

generatoruiui e, În acest caz, nu-

mai:

+Uf1o 1 = 1!11 + K.z l1o 1 =

+1 220 (1 j) 32,48 1 ~ 255 V.

În figura 40.12 e reprezen- Fig. 40.12.
tată diagrama compunerii curen-
tilor si tensiunilor pe faza întîi.
Avantajul cel mai important al
compensării puterii reactive con-
sistă în reducerea consumului de
putere 11P pe linie: înainte de
compensare

11 P = .'! Rt If = .'! • l · 51,42 ~

~ 7 910 w,

după compensare :

11 P = 3 Rt I~0 = 3 · 1 · 32,482 ~

~3170W.

+ +40.4.2. Exemplul 2. O linie trifazată alimentează un receptor format din trei impedanţe

egale ?;_ = R jX = (8,4 j 11,1)!.1, montate în triunghi (fig. 40.13, a). La bornele genera-

+ +torului, tensiunea între faze are valoarea efectivă U1 = 250 V (f = 50 Hz). Impedanţele echi·

valente serie ale liniei sînt Z.1 = Rt jX1 = (0,2 j 0,3)!.1.

Să se determine curenţii de linie, tensiunile de linie aplicate receptorului şi curenţii din
laturile receptorului.

Soluţie: Se transfigurează triunghiul într-o stea echivalentă (fig. 40.13,b). Se obţine:

?_A= Z=b--. = =Z3- +== 2,8 , -,
q J 3,7 1•.

Deci, impedanţa totală pe fiecare fază va fi:

+ .!'.:J. " = 1 3 J 4 = .-~ ' e ir:p ,
!r:yA 7_• l =
T

m tp =arc tg (413) ~ 53°.

Dacă se alege ca origine de fază terl·

siurwa stelată la generator pe faza 1

Y3J !11 == 2.50! V, se obţine curentul :

'!~. ~-;N Y3 Y3~~1- - ;z"!r:.;..·.:..1:...!_ :::_3-0::---.--J=40- = 28,9 e- j r ,

~e

2 }1112 .!! ' ~f z cu valoarea efectivă 1 ! 1 1 = Iz =o 28,9=A.
12
J Ceilalţi doi curenJ:i de linie sînt :

N .(. 2")

z 1 = 28,9 e-J GJ.+3 ;
2

!_3 = 28,9 -j (<p +~)

b. e 3

Fig. 40.13. ~i~temul fiind simetric.

200 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

La receptor, tensiunea stelată JTN este:

---vr- .+Y3- Y31

lllN
= 11Z).. = ( 30 . 40 ) . 232 - j
J (2,8 J 3,7) :::::0

Valoarea efectivă a tensiunii de linie la receptor este :

u: ' 232

= Y3 1 U{NI ~ Y3. Y3 = 232 V,

iar valorile efective ale curenţilor din laturile triunghiului sînt egale cu :

lz 28,9 = 16 7 A.

j :::::0
y Y3 •1r =
1 112 1 =

41. REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE
DEZECHILIBRATE SUB TENSIUNI
LA BORNE DATE

Calculul reţelelor trifazate dezechilihrate sub tensiuni la borne date se poate
face cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, fără alte metode speciale. Pentru

retelele trifazate fără inductivităti mutuale între laturi, acest calcul se siste-
m~tizează, după cum vom arăta î~ acest capitol, în principal pe baza teoremei
potenţialului punctului neutru. Dacă neutru! O al reţelei de alimentare e acce-
sibil, vom presupune, în general, că se dau tensiunile nesimetrice,

cu (41.1)
(41.2)
Jlw + Jl2o + Jlso =!= O.

Tensiunile aplicate între faze rezultă imediat :

U12 = Uw- U20, U23 = U20- Uao• Jl.a1 = Usa- Uw (41.3)

şi sînt, în general, tot nesimetrice, satisfăcînd însă relaţia evidentă

.!1_12 + u23 + J!.sl = o. (41.4)

Dacă neutrul retelei de alimentare nu e accesibil, se pot da numai tensiunile
între faze ale ~eţelei

(41.5)

satisfăcînd relaţia (41.4) şi fiind, în rest, oarecare. În acest caz nu există tensiuni
stelate ale retelei de alimentare, decît introduse în mod conventional si neunivoc,
prin relaţiile' (41.3), luînd arbitrară una din aceste tensiuni, c~ea ce 'corespunde
alegerii unui anumit punct neutru artificial. Astfel de tensiuni stelate vor fi
numite tensiuni stelate auxiliaxe.

REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE 201

41.1. Teorema potenţialului ptmctului neutru 1

Considerăm un multipol pasiv în stea cu n ramuri, prin care intră curet1ţii

lnL, [ 2, ... , şi cu bornele de acces 1, 2, ... , n, avînd potenţialele VI, [ 2, ••• , V N

faţă de un punct de referinţă
arbitrar (fig. 41.1).,

Ramurile stelei nu sînt cuplate
inductiv între ele sau cu alte laturi
exterioare şi au impedanţele pro-

prii b, ~2 , ... , ~n• respectiv ad-

mitanţele:

-Y-1 =7-1 · (41.6)
-1

-- z2Y~=-1, ...,Y"=z1-"·

Conform teoremei poten ţialulu Fig. 41.1 acces, ponderate
·punctului neutru, potenţialul pune-
bornelor de
tului N de întîlnire a ramurilor
stelei e egal cu media aritmetică a potenţialelor
cu admitanţele laturilor corespunzătoare

VN= ErX1 +.!:'2Y2 + ••• + E.nYn (41.7)

1 - X1 + Xz + ··· + Xn

1

Tevrema se demonstrează imediat, exprimînd curenţii din laturi cu ajutorul
diferenţelor de potenţial :

şi înlocuind aceste valori în relaţia care exprimă prima teoremă a lui Kirchhoff,
aplit:ată nodului N,

li + l2 + ... + L. = o. (41.9)

Prin înlocuire, grupînd termenii care au în factor pe _[N• se obţine :

de unde rezultă teorema (41.7). Rezultatul e corect, oricare ar fi punctul de
referinţă al potenţialehr, dacă în sumele din teorema (41.7) nu se omite nici
o latură legată de nodul N.

1 Uneori, aceaştă teoremă e numită teorema lui lvlilman.

202 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

-----~----------

41.2. Receptor dezechilibrat, în stea, cu fir neutru

Curenţii de linie !_1, !_2, !_3, identici cu aceia din fazele receptorului s-ar
putea determina din relaţiile :
xlu -

Il= -;,N = (Vl- VN) = XtCUlO- JlNo)

-1

(41.10)

Ia = Q~N = Xs (Ea~ E'N) = :Xa {Jlao-Il.riOJ•

-3

dacă s-ar cunoaşte potenţialul V"' al punctului neutru sau tensiunea UNa dintre

neutrul receptorului şi cel al reţelei de alimentare, numită şi deplasarea neutru-
lui. Potenţialul E'N rezultă din teorema (41.7) care, în acest caz, se scrie :

VN = K1X:(ŢY2J;;2+r-sra:+-EorN ~ (4Lll)
- X1+rs+Ks+Xn

cu punct de referinţă arbitrar pentru potenţiale. Practic, se cunosc tensiunile
stelate ale reţelei de alimentare U10, U20, U30, care coincid cu potenţialele borne-

3

IJ.zo 13

3-KJ

jf"1

11o Y'o

Fig. 41.2 Fig. 41.3

lor, în cazul cînd neutrul reţelei de alimentare se alege drept punct de refe··
rinţă cu V 0 =0. În acest caz, VN = Vn --Ea= UNo şi teorema (41.11) capătă
fu~a: ·

(41.12}

O dată calculată această tensiune (deplasarea neutrului v. fig. 41.3), tensiunile
stelate ale receptorului, şi curenţii rezultă imediat din {41.10).

REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE DEZECHILJBRATE 203

Trebuie observat că IlNo -!- O (neutrui "se deplasează"), chiar dacă tensiunile de alimen-

tare sînt simetrice, din cauza dezechilibrului sarcinii. Dacă însă impedanţa 1~ N 1de pe firul neutru
e foarte mică (se reduce la rezistenţa şi inductivitatea echivalentă a firulni), atunci IYN 1--+ CI.)
şi flNo --+ O : deplasarea neutrului e negliJabilă în reţelele cu conductor neutru, de sec-
ţiune suficient de mare, chiar dacă sarcina e puternic dezechi!ibrată. Această consecinţă prezintă
mare importanţă practică, deoarece asigură aplicarea unor tensiuni !'le fază, practic simetrice

(dacă Il NO = O, atunci TI Nt = !l_1o etc.) receptorilor dezechilibraţi monofazaţi, conectaţi în

stea în reţelele de distribuţie de joasă tensiune. De altă parte, dacă admitanţa firului neutru
e mică sau nulă (nu avem fir neutru), deplasarea neutrului poate fi importantă (v. aplicaţia de
mai jos), producînd mieşorarea tensiunilor aplicate unora dintre faze şi creşterea tensiunilor
la celelalte, ceea ce e inadmisibil în exploatare, periclitînd securitatea instalaţiilor. Dacă, în
plus, suma admitanţelor laturilor e tnică (de ex., datorită satisfacerii unei condiţii de rezo-
nanţă), deplasarea neutrului poate atinge valori oricît de mari, mai mari decît ale tensiunilor
aplicate de reţea. Laturile stelei pot fi În acest caz mult supratensionate.

Aplicaţie: Fie un receptor trifazat pur rezistiv, constituit din lămpi de iluminat, în stea,
~u rezistenţele laturilor :

R1 = 1oo n,

în care sînt incluse şi rezistenţele conductoareior liniei de alimentare (care au inductivităţi negli-
jabile). Reţeaua de alimentare aplică tensiuni simetrice 220 /127 V, 50 Hz. Studiem deplasarea

neutrului Il.NO şi tensiunile aplicate fazelor receptorului Jl1N, !lsN IlaN in următoarele

două situaţii :
a) există un conductor neutru de inductivitate neglijabilă şi rezistenţa RN = 0,6 !)

(fi.g. 41.4, a);
b) conductorul neutru lipseşte (fig. 41.5, a).

3

R1

N
2

o !!to

3 1

o !:!w

Rw

''"\} ,\ Q,. b.
/
2
li,.ig. 'U.4

+a) În 0,1, YN = 1,67. că
- !!1o, rezultă:
tensiuniJe la
primul caz, 1':1 = 0,01,1': 2 = 1':3 = Deoarece am presupus
horne sînt sime =
tri c e, I.!2o !!ao

.[.1-NO -- O,Ol!!to+O,l (Tl2o+ !lao) -- - O' 048 ·r;
0,01 + 0,1 + 0,1 + 1,67
-10

UNo = 1 UNo 1 = 0,048 · 127 = 6,08 V.

Deplasarea neutrului e adrnisihilă, fiind sub 50/0 din tensiunea aplicată. Tensiunile de fază ale
receptorului (v. fig. 4·1.4, b) sînt practic simetrice şi egale cu cele ale reţelei.

204 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

b) În al doilea caz, YN = O (fig. 41.5,a) şi rezultă :

= O,olU1o+O,l W"ao+~so) =-0,43 ll o
+ +IT.No 1
0,01 0,1 0,1

UNo = 1Ulw 1= 0,43 · 127 = 54,6 V.

3

o

fl1N

a. b

2

Fig. 41.5

Deplasarea neutrului e acum de ordinul jumătăţii tensiunii aplicate (fig. 41.5, b). Tensiunile
de fază ale receptorului sînt :

,2r.
- J3-
+r.2:v = E2o - 0,43); U2;v ~ 95 V
!lNo = U1o (e

+!.!.sN = .Eso- !lNo = I!1o (e+.J23n-: 0,43); U 3N ~ 95 V.

Se observă că în lipsa firului neutru lămpile de pe faza 1, mai descărcată (cu rezistenţă

mai mare şi curent mai mic), sînt supratensionate inadmisibil (143%). Acest exemplu ilustrează
necesitatea utilizării conductorului neutru în retelele trifazate de distributie cu consumatori
monofazaţi. În cazul liniilor de Înaltă tensiune, ~are alimentează un numă~ mare de receptori
prin staţii de transformare, dezechilibrele consumatorilor mici se compensează prin reparti-

zarea cît mai egală a receptorilor monofazaţi pe cele trei faze şi prin utilizarea unor conexiuni

speciale ale înfăşurărilor transformatoarelor. De aceea, aceste linîi au sarcina practic echilibrată.

4.1.3. Receptor dezechilibrat în stea? făx·ă fir neutru (fig. 41.6)

În acest caz nu sînt date tensiunile stelate ale reţelei de alimentare, ci
numai tensiunile dintre faze :

_U23 = V . jB2s U_31 = Ust eir31' (41.13)

23 e· '

REZOLVAREA RETELELOR TRIFAZATE DEZECHIL!BRATE 20.5

în general nesimetrice. Numai două din aceste mărimi sînt independente, deoa-
rece suma lor e nulă, fiind suma unor tensiuni la bo:rne în lungul unei curbe

închise:

+ +u u u12 23 31 = o. (41.14)

Curenţii de linie sînt daţi, ca mai sus, de relaţiile :

r;N!_2 = = y2 (V2- ~N) (41.15)
_a

z - =!_3 = liaN I3(V3- f:N)

-3

unde V N se determină cu teorema po·
tenţialului punctului neutru (41.7),

care în acest caz se scrie :

Alegerea originii potenţialelor este Fig. '1.1.6
arbitrară şi poate fi un punct oare-

care P0 din spaţiu. În practică .se
alege astfel punctul de referinţă P0 al potenţialelor, încît exprimarea lor în
funcţie de datele problemei- tensiunile dintre faze (41.13)- să se facă cît

mai simplu.

Dacă tensiunile (41.13) sînt simetrice, se preferă să se aleagă drept poten-
ţial de referinţă (nul) potenţialul pe care I-ar avea punctul O al reţelei de ali-
mentare, simetrice, dacă ar fi accesibil- identic cu potenţialul pe care 1-ar
avea o sarcină echilibrată alimentată de această retea. Potentialele bornelor
vor fi atunci tensiunile auxiliare de fază (simetrice), definite de ;elaţiile:

v rr -J·"-' U•oo= F _,.J_t ·"ŢT - j -
v U 'V3-~~=
Ys '_1=-U1o= -12e 6.• -C,....:.=23-e • 6 oo=- ~3 1e 6
- V3V 2 = ;
-~ --O

( A:.1! 1• 1'"''J1

iar potenţialul neutrului va fi :

(41.18)

În cazul general, tensiunile (41.13) nu sînt simetrice şi se poate alege nul poten-
ţialul unei faze (de ex. V2). Potenţialele devin:

!:::2 =O; Vl = Il:12; !:::3 = Ua2 = - U2a; VN = UNz = - UzN· (41.19)

206 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE
Relaţia (41.16) ne dă atunci chiar tensiunea pe faza a doua a receptorului (după
schimbarea semnului). Pentru tensiunile de fază ale receptorului se obţin expre-
siile generale :

(41.20)

Aplicaţii. l. Dispozitiv pentru identificarea succesiunii fazelor. Considerăm un receptor
în:stea (fig. 41.7, a), avînd pe fazele l şi 2 cîte o lampă cu incandescenţă de rezistenţă R, iar
pe faza 3 un condensator de capacitate C. Se cere că se determine raportul valorilor efective

ale curenţilor din fazele l şi 2, ştiind că tensiunile de alimentare sînt simetrice: fl23 = a Q2 12,
Ua1 =~a Jl1a•

J

-----

1;

a.

Fig. 4l.î

= Alegem drept referinţă borna fazei 2, astfel că potenţialele sînt (41.19). În :acest caz , Y 1 =
j wC şi cu relaţiile (41.20) rezultă tensiunea pe faza 2 a re ceptorului :
1':2';= 1/R, Ya =

!l.sN = I2i +"."J w c

Tensiunea pe faza l a receptorului rezultă :

c~T1J 2 -lR - ~TsŢrJ• W
Il1N = - - - - - - - - =:llia _1_- a_·.:j:._w_C_R
2 +j wC 2 + j w CR
li

REZOLVAREA RETELELOR TRIFAZATE DEZECH!LIBRATE 207

iar raportul cerut al curenţilor rezultă :

1~1 UrNI= j__2:ă_

1 U~v~ 1 u~N l - e 3 • j w CR

. 2rt

+ -)3

-1 e .j w CR

Raportul 11 /12 e totdeauna supraunitar, adică lampa de pe faza l e mai luminoasă decît lampa
de pe faza 2. De aceea, acest dispozitiv se poate folosi pentru identificarea succesiunii fazelor :
dacă această ordine nu e cunoscută, conectăm receptorul la cele trei borne neidentificate ale
reţelei şi vom şti că fazele se succed în ordinea : lampa aprinsă puternic, lampa aprinsă slab,

condensatorul. Căutînd maximul raportului la R variabil, se obţine condiţia R = _!_ . pentru

wC

care

V!!.. = 2 ++ VV33 = 2 + V3 = 3,13
2
12

!!zN = Ilra j~2 ~ jl = - (0,154 + j 0,173) .!lw

În figura 41.7 e desenată diagrama vectorială corespunzătoare cazului R = 1/ wC.
2. Receptor dezechilibrat cu curenţi simetriei. Determinăm condiţia generală pe care tre-

llmie să o satisfacă impedanţele neegale ~1 , K2, ?;_3 ale unui receptor În stea, fără fir neutru, pen-

tru ca fiind alimentat cu tensiuni simetrice, să absoarbă curenţi simetriei. Cu relaţiile (41.20)
şi (41.15), curenţii au expresiile generale (care rezultă unele din altele, prin permutări circulare

ale indicilor 1, 2, 3).

.!lr2Y2Yr- IZarYaYr Ia= ..: (41.21)

l:r + Y2 + Ya

Dacă tensiunile sînt simetrice J!23 = a2Q12, J131 = aQ12, curenţii [_1 şi [ 2 se scriu:

(41.22)

Deoarece ! 3 = - l_1 - [ 2 , pentru ca aceşti curenţi să fie simetriei e necesar şi suficient ca ! 2 =

= a2[ 1, adică

sau (41.23)

Introducînd impedanţele cu Yk 1/Zk (k = 1, 2, 3), rezultă condiţia :

(41.24)

+ +Această conditie e evîdent satisfăcută dacă K1 = ~2 = ~3, deoarece 1 a a2 = O. Acesta

e cazul banal al sarcinii echilibrate. Dar ea poate fi satisfăcută şi cu impedanţe' neegale, adică
există receptoare dezechilibrate, alimentate cu tensiuni simetrice, care absorb curenţi simetriei.

Condiţia (41.24) se satisface, de exemplu, cu -?s = j w L = j VR_3 (o bobină ideală), ?;_3 =

208 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

= -= -l-
c V3j w
J'L w = - J· -=R- (un condensator ideal a cărui capacitate e legată de inducti-

vitatea bobinei prin condiţia de rezonanţă l - w2 LC = O) şi Z1 = R (v. fig. 41.8, a). Rezultă :

1!10 _2_ +ll2o-.-1- + !laojw C
v- ._UNo=
R J (() L u= - 1o (1-J.a2 3+JaV1'3-) =-2U-T-1o.
l l

-+--+jwC

R jwL

.J

o !l,o

J

2
Q. IJ.

Fig. 41.8

Curenţii sînt :

!.1 = W1o - !lNo) JR = 3.!L.o JR

I2 = (!!2::J -l!.No)Jj wL = 3!!2o!R = a2 !.1
la= (!lao- !lNo) · j w C = 3JlsoiR = a!1

şi formează un sistem trifazat simet1·ic direct ca şi tensiunile de fază ale reţelei. De observat

cf1 tensiunile de fază ale receptorului Jl1N = 3.!l1o, If_2N = j V3 I!.20 şi Jl.3N = - j V3 If_3o nu
sînt simetrice (fig. 41.8, b).

z.31 41A. Receptor dezechilibrat

Fig. 41.9 în triunghi (fig. 41.9).

Şi în acest caz sînt date tensiu-
nile dintre faze (41.13) ale reţelei de
alimentare. În reprezentarea geome-
trică aceste tensiuni (nesimetrice)
trebuie să formeze un triunghi
(fig. 41.10), deoarece suma lor e nulă

REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE DEZECHILIBRATE 209

Fig. 41.10

(rei. 41.14). Cum aceste tensiuni se aplică direct laturilor triunghiului, curenţii
din aceste laturi-- care reprezintă fazele receptorului- sînt :

=--·!_12 = I!.t2 ' -I -93 Q23 I a t =IZ-!a.a-1t • (41.25)

Z:12 7 -

-23

iar curenţii de linie sînt (v. şi fig. 41.10)

Is = lai -ba· (41.26)

Aplicaţie: Considerăm un receptor trifazat în triunghi (fig. 41.11, a) avînd:

-712 = -723 = -j -1 - ' 7 31 = i wL= - 1-·- (adică, 2LC w2 - 1 = 0),
- 2wC
wC '

ciiruia i se aplică tensiunile simetrice de succesiune directă (41.27)

_12,,.

Se obţin curenţii :

. 2:t (4l.28)

j-

1/3!_2 = a2j w C!_!12 -- j w CQ12 = - 0JC !_!12 e 3 = a !_1

V3l . 4·.'1:
!_ 3 = - - a !_!12 - j w Ca2fl12 = - wC !_!12 e1 3 = a 2 !_1•
j tu L

14-1668

210 REŢELE ELECTRICE TR!FAZATE

Se observă că în acest caz cei trei curenţi formează un sistem simetric, dar de succesiune inversă
(v. fig. 41.11, b).

Observaţii privitoare la receptoarele dezechilibrale:
a) Dacă impedanţele echivalente serie ale liniei de alimentare a unui rec~ptor în triunghi nu
sînt neglijabile, trebuie să se,ia în considerare căderile de tensiune pe linie. In acest scop, recep..

1o-------------~~

)\Qu12
10

2o--+--<

Oo 2c-./LC = 1 \
\
a.
, ,\ _,
2
Fig. 41.11 ' \.!t2

/~

-2

b.

torul în triunghi (fig. 41.12, a) trebuie transfigurat într-un receptor în stea (fig. 41.12, b),
pentru a putea calcula impedanţe echivalente pe fiecare fază, prin însumarea celor două impe-
danţe În serie : a liniei şi a receptorului echivalent. Se obţine un receptor dezechilibrat în stea.
care se studiază cu teorema potenţialului punctului neutru.

b) Dacă există impedanţe mutuale între laturile receptorului, metodele prezentate în
acest capitol nu sînt, în general, aplicabile şi trebuie să se utilizeze teoremele lui Kirchhoff.

c) Dacă un generator alimentează mai multe receptoare dezechilibrate în stea, cu neutrele
izolate, potenţialele acestor neutre nu coincid şi stelţle nu pot fi conectate cu laturile omo-

loge În paralel. In acest caz se pot transfigura stelele
in triunghiuri, laturile omologe ale tuturor acestor tri~

unghiuri fiind în paralel, ceea ce permite să se găsească

un receptor echivalent în triunghi pentru întreaga reţea.

1' 41.5. Puteri in reţele tdfazate dezechilibrate
1~·c::::!-l
41.5.1. Reţele trHazate cu fir neutru. În
2~-c:J2' -iN1 cazul sistemelor de transmisiune trifazate cu
J~-c::J'J-J1 fir neutru, zise "cu patru fire" (v. fig. 41.13),
puterea complexă (37.22) este:
b.
Fig. 41.12

REZOLVAREA REŢELELOR TRIFAZATE DEZECHII.:rBRATE 211

şi, cum (41.30)

1N = 11 + !.2 + 13, iar v",- Va = !lw (k = 1, 2, 3),

se obţine expresia :

.Puterea activă e partea reală a acestei expresii,

(41.31)

iar puterea reactivă e partea imaginară a acestei expresii,

(41.32)

În relaţiile (41.30), (41.31), (41,32) numai sumele au o semnificaţie determinată :
puterea primită pe la borne de receptorul considerat. În cazul general, fiecare
termen în parte al acestor sume nu este localizabil, în sensul că nu se poate
asocia unei anumite faze. Unii dintre termenii puterii active, de exemplu, pot
fi negativi, întreaga putere fiind pozitivă aşa cum e necesar, dacă receptorul
e pasiv. Expresia (41.32) a puterii active corespunde măsurării acestei puteri
cu trei wattmetri (fig. 41.13).

Fig. 41.13 :Fig. 41.14

41.5.2. Retele trifazate fără fir neutru. În cazul sistemelor de transmisiune
fără fir neutru: zise "cu trei fire" (fig. 41.14), puterea complexă este :

(41.33)
cu punct de referinţă arbitrar pentru potenţiale. În montajul de măsurare a
puterii active cu trei wattrnetri, punctul comun al hobinelor lor de tensilme

212 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

poate fi legat oriunde în reţea sau poate fi lăsat liber. Dacă se alege una dintre
faze, de exemplu faza 2, ca referinţă, s.e obţin expresiile :

(41.34)

(41.35)

+Qb = U12I 1 sin (UA12,J:1) ,J:A (41.36)

U32I 3 sin (U32 3).

Expresia (41.35) a puterii active corespunde măsurării acestei puteri cu doi
wattmetri (fig. 41.14).

42.]] METODA COMPONENTELOR SIMETRICE

Calculul regimurilor trifazate nesimetrice 1 prezintă importanţă practică

în construcţia şi exploatarea sistemelor· electroenergetice. Dimensionarea şi

protejarea reţelelor electrice trifazate necesită calculul unor regimuri de avarie

nesimetrice (scurtcircuite între o fază şi pămînt, scurtcircuite între două faze

şi pămînt, întreruperea unei faze etc.). Regimuri nesimetrice se creează uneori

şi în mod intenţionat, de exemplu pentru pornirea sau reglarea turaţiei la

motoarele asincrone trifazate. ·

Studiul acestor regimuri nesimetrice într-o reţea cu un număr mare de

linii, transformatoare electrice, generatoare şi motoare electrice trifazate con-

duce la necesitatea rezolvării unui sistem de ecuatii cu un număr mare de necu-
noscute. Rezolvarea unui astfel de sistem este îng~euiată considerabil de faptul

că în prezenţa cuplajelor magnetice, mai ales între elementele mobile ale maşi­

nilor electrice, relaţiile dintre tensiuni şi intensităţile cutenţilm; sînt complicate.

Pentru a simplifica aceste ecuaţii şi schemele electrice echivalente cores-

punzătoare, electrotehnicienii au elaborat metode de calcul bazate pe utilizarea

unor noi necunoscute, auxiliare. Aceste mărimi necunoscute auxiliare sînt

numite componente (ale tensiunilor, curenţilor etc.). Prin trecerea la noile

necunoscute, sistemul de ecuaţii se simplifică. Schemele electrice echivalente

corespunzătoare se simplifică şi ele. Cele mai răspîndite metode pentru calculul

regimurilor trifazate nesimetrice ale unor circuite liniare sînt cele care utili-

zează ca mărimi de calcul auxiliare "componentele simetrice", "componentele c{,
~' O" sau "componentele d, q, 0". În cele care urmează se expune metoda com-

ponentelor simetrice, care este cea mai răspîndită.

1 În acest curs, termenii simetric şi nesimetric se referă exclusiv la sistemele trifazate
de mărimi sinusoidale (tensiuni, curenţi etc.), respectiv la regimurile caracterizate prin aceste
mărimi; iar termenii echilibrat şi dezechilibrat se referă exclusiv la elementele trifazate de reţea :
receptoare, generatoare, linii etc. (adică la sistemele de impedanţe).

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 2!3

Metoda componentelor simetrice se bazează pe descompunerea sistemelor de mănmt

'trifazate nesimetrice (tensiuni electromotoare etc.) în trei sisteme componente trifazate simetrice
şi pe principiul suprapunerii efectelor (ea se poate aplica deci numai circuitelor liniare sau prac-

tic liniare). Astfel, calculul unui regim trifazat nesimetric se reduce, pentru circuite echili-
•hrate sau porţiuni echilibrate de circuit, la calculul a trei regimuri simetrice (corespunzătoare

cîte unuia dintre cele trei sisteme simetrice componente). Calculul regimurilor simetrice fiind
mai simplu decît calculul regimurilor nesimetrice, metoda e avantajoasă atunci cînd numărul
de elemente dezechilibrate e mic faţă de numărul de elemente echilibrate.

Cînd circuitul studiat conţine maşini electrice, metoda componentelor simetrice e sin-
'gura practic utilizabilă, deoarece ecuaţiile şi schemele electrice echivalente ale maşinilor se
'exprimă mult mai silllplu pentru componentele simetrice decît pentru sistemele nesimetrice
de curenţi şi tensiuni. In particular, un generator electric trifazat, echilibrat, admite o schemă
.echivalentă (de ex. în stea) cu trei generatoare monofazate, cu impedanţe interne egale, ne~
cuplate inductiv între ele numai pentru curenţi de fază simetriei (v. Observaţia b de la par.

42.1.4, b).

!

42.1. Descompunerea unui sistem trifazat de mărimi
în trei sisteme componente trifazate simetrice

42.1.1. Teorema lui Fortescue. La baza metodei componentelor simetrice

'stă ideia descompunerii unui sistem trifazat, ordonat de mărimi sinusoidale
(nesimetric) în trei sisteme de, mărimi sinusoidale trifazate simetrice, adică

avînd amplitudini egale şi defazaje relative egale, de valoare+ 2n, - 2n sau O.
33

Cele trei sisteme se numesc : sistemul de succesiulie directă sau sistemul direct ""'

(în care fiecare dintre mărimi e defazată înaintea celei care îi succede cu ~} :"""

introdus în paragraful 39.1 ; sistemul de succesiune inversă sau sistemul i:tvers

(în care fiecare dintre mărimi e defazată în urma celei care îi succede cu 2 ,
;)

introdus, de asemenea, în paragraful 39.1; sistemul omopolar, care e un sistem
ordonat de mărimi sinusoidale, cu amplitudini egale şi în fază.
, În figura 42.1 e prezentată simbolic această descompunere, fiecare în repre-
zentare geometrică, sistemul oarecare nesimetric (a) are fiecare fazor egal cu
suma fazorilor corespunzători ai unui sistem omopolar (b), direct(c), şiinvers(d).

Descompunerea unui sistem ordonat trifazat nesimetric (VI, v2, Va) în

sistemele sale componente simetrice este definită în complex de următoarele
relaţii între mărimile acestor siste~e : .

(42.1)

1 Indicele h pentru "omopolar" provine de la grafia originară "homopolar".

:::":!;::::1>"' :::1 .~-<::"'

el} \.

\,~"'

:::".-<::. :::,.-r::: ..... //
~f~~-r::;ll 1III
e--i /-$
111 _,~
'<!' ~

.-..~ ~1 !

.ci ·~.· j

~~ 7\J.::.,...-.....

:::"."1' 1

ci 1

l

1

1

1

1

1

1
1

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 2!5
--------------------------------------------------------~

Posibilitatea obţinerii unui sistem de mărimi trifazat nesimetric prin com-

punerea a trei sisteme componente simetrice este ilustrată în figura 42.2, în
care se prezintă operaţiile grafice corespunzătoare relaţiilor (42.1).

Cele trei mărimi ale fiecăruia dintre sistemele componente simetrice se pot

. 2;t

]-

exprima simplu, cu ajutorul operatorului a = e 3 , în funcţie de mărimea cores-

punzătoare fazei 1 a sistemului respectiv, numită mărime fundamentală a sis-

temului:

vh1=Eh; V 132 = Vh; vh3 = v/, (42.2)
(42.3)
vdr = vd; Vd2 = a2Vd; Vd3 = aVcl (42.4)
v3_f;l= V,; V,2 =a V,;
= a2f",.

Mărimile fundamentale E"h, yd, V; se numesc respectiv componenta omo-

polară, componenta directă şi componenta inversă a sistemului de mărimi tri·

fazat nesimetric dat (_E"1, .!::"2, V3).

Descompunerea unui sistem de mărimi trifazat în trei sisteme componente

simetrice (42.1) se exprimă cu ajutorul componentelor simetrice sub forma :

El = Eh + V d + V; (42.5)
+E2 = Eh a2 Vd +a V;

f"3 = Eh +aVa+ a2 V;.

Deoarece determinantul sistemului de ecuaţii (42.5) este

111

V3b.. = 1 a2 a = 3 j,

1 a a2

diferit de zero, rezultă că se poate determina întotdeauna un sistem, şi numai

unul, de valori vh, vd, f",, care să satisfacă aceste ecuaţii.

Ca urmare, descompunerea oricărui sistem trifazat ordonat de mărimi

sinusoidale în trei sisteme componente simetrice, unul omopolar, unul direct
şi unul invers, este unică şi totdeauna posibilă (Teorema lui Fortescue, 1918).

42.1.2. Calculul componentelor simetrice. Calculul componentelor simetrice,
corespunzătoare unui sistem dat de mărimi trifazat nesimetric, se face pe baza
relaţiilor (42.6). Aceste relaţii:

+ +l

Vh = 3(V1 E2 Ys)

Ed = ~ (V1 + aV2 + a2.!:':3)

-V;= ~3 (-V1 + a2-V2 + a-V-3)

se obţin prin rezolvarea sistemului de ecuaţii (42.5) i'n raport cu vb, vd şi E>·

Prima din ecuaţiile (42.6) se obţine adunînd cele trei ecuaţii (42.5) şi observînd

+că a 2 a+ 1 = O. A doua ecuaţie (42.6) se obţine înmulţind a doua ~l a

216 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

treia ecuaţie din (42.5) cu 1!• respectiv '!:_2, şi apoi adunînd ecuaţiile astfel obţi­
nute. A treia ecuaţie se obţine analog.

Aplicaţii : Să se determine componentele simetrice ale sistemnului de mărimi cu imaginile
complexe:

E = V, Ea = O, Ea = O. (42.7)

Aplicînd relaţiile (42.6), se obţine :

V (42.8)

vh = vd = V·==.

- - -· 3

Acest caz corespunde, În particul~r, sistemului de curenţi dintr-o linie care are fazele
2 şi 3 întrerupte. Se recomandă ca exerciţiu să se determine componentele simetrice ale cu-
renţilor dintr-o linie la care se întrerup fazele 1 şi 2.

2. Să se calculeze componentele simetrice ale sistemului de tensiuni electrice cu valorile in-

stantanee:

V2u1 = 10 sin 2rr-50·t V

+ ; )Uz= u 3 = 10 V2sin ( 2rr·SO·t V.

Reprezentarea în complex a acestor· tensiuni 'i:ste :

El= 10 V, Ea= Ea = j 10 V.

Valorile complexe ale componentelor simetrice se calculează cu ajutorul relaţiilor (42.6):
1 10

Eh = 3 (10 + jlO + j10) = 3 (1 + j2) V

1 10
EJ=3(10+a·j 10+ a 2·j 10)=3(1-j) V

1 10

Ei= 3 (10 + a2 • j 10 + a· j 10) = 3 (1- j) V..

Valorile instantanee ale componentelor simetrice ale tensiunilor sînt :

Uh = 10 V-5-· V;2- sin (2rr-50t +arc tg 2) V
-
3

~ ~)UJ = Ui = y2. V2 8in ( 2rr·50t- V.

Valorile instantanee ale tuturor mărimilor sistemelor componente simetrice se obţin sim·
plu, pe baza definiţiei acestor sisteme. De exemplu, sistemul de componente simetrice de suc-
~esiune directă este format din următoarele mărimi :

v- 7t)UJ
.
1 = -10 2 Vr2- sin ( 2rr·50t - - V
3 4

2rr)v- y- ( 7tUJz = -10. 2 2 sin 2rr-50t---- V
3 '4 3

+- v.V2 V2UJa =1-0 -
sin ( 2rr·50t-rr- 2rr)
3 43

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 217

42.1.3. Determinarea grafică a componentelor simetrice. Fazorii compo·

nentelor simetrice se pot determina simplu şi intuitiv prin realizarea grafică a

operaţiilor de însumare şi rotire corespunzătoare relaţiilor (42.6) sau a unor

! ' ..?,?-- operaţii echivalente cu acestea.
În figura 42.3 se indică obţi·
1 •....'.-...j. . . . .
-V2/ '\\l' nerea fazorilor 3 V0, 3l::"d şi 3 V;,
1 \J pe baza unor operaţii care cores·

pund respectiv cu prima, a doua

........-o.=.V-z:-=.r=· __....·-Jl1-·--·--. şi a treia ecuaţie din (42.6). S-au
elaborat însă şi metode grafice

JVd \ 2 /aV. simplificate.
1. Metodă grafică simplificată
- \a. Vz
\ .. -- ....../J pentru determinarea componentelor
~3v·-' directă şi inversă : Această metodă
Fig. 42.3 se bazează pe exprimarea compo-

nentelor simetrice directe si inverse
ale unui sistem V1, V2, V3, în funcţie de mărimile diferenţă :
,

(42.9)

Utilizînd expresiile lui V1 şi V 3 care rezultă din relaţiile precedente, a doua
şi a treia ecuaţie (42.6) se pot pune sub forma :

(42.10)

(s-a folosit identitatea l + a+ a2 = 0).
Aceste relaţii arată că suma dintre fazorul diferenţă V12 şi fazorul V23 ,

rotit cui (în sens trigonometric direct), este egală cu 3 Vd. Dacă la acelaşi

fazor diferenţă v12 se adună fazorul 1::"23• rotit cu - i (adică în sens invers),

se obţine fazorul 3 V;. Construcţiile grafice respective sînt realizate în figura
42;4,' a. Observînd că punctele M' şi M" sînt vîrfurile celor două triun-
ghiuri echiJaterale, care au segmentul 23 ca bază, construcţia se reduce
practic (fig. 42.4, b) la trasarea a două arce de cerc necesare determinării
acestor vîrfuri şi la construirea vectorilor M'l, M"2, care reprezintă mări­
mile 3l::"d şi 3 V;. Pentru a distinge cei doi vectori, remarcăm că originea

vectorului 3 Vd se află în originea vectorului 1::"23, rotit în jurul extremităţii

sale cu 60° în sens trigonometric.

2. Metodă grafică simplificată pentru determinarea componentei omopolare :
Utilizînd mărimile diferenţă, prima ecuaţie din (42,6) se poate pune sub forma :

(42.11)

218 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

+(.[Examinînd figura 42.5, se observă că vectorul BG, care reprezintă mărimea
12 - 1:::"23), are extremitatea în centrul de greutate Gal triunghiului ABC
(Deoarece BG reprezintă o treime din diagonala paralelogramului ABCD).

a.
Pig. 42.4

Rezultă că pentru determinarea componentei omopolare Ei> a unui sistem l:'1•
_E2, V3 este suficient să se unească originea comună a acestor vectori cu centrul
de greutate G al triunghiului, avînd
D A
~--
·-------------ca vîrfuri extremităţile vectorilor
daţi.
42.1.4. Filtre de componente simetrice. ~\ ,,,.1.--- //
y /~~
În acest paragraf se vor prezenta cîteva \ ~ /
exemple de circuite electrice, la a căror
borne de ieşire se obţin componentele sime- \\ /

trice ale sistemului trifazat de mărimi, apli- \/
\ \)~//
cat la bornele lor de intrare. Astfel de \ ;y
\/
circuite electrice se numesc filtre de com-
\/
ponente simetrice. \
Mai general, acest nume se dă tuturor

circuitelor electrice, la ale căror borne de
ieşire se obţin mărimi sinusoidale cu valmi

efective proporţionale cu valoarea efectivă 8

a unei componente simetrice (corespunză­ Pig. 42.5
toare mărimilor aplicate la bornele de

intrare).
I<iltrele de componente simetrice se utilizează În numeroase instalaţii de protecţie auto-

mată împotriva regimurilor nesimetrice de avarie, precum şi în măsurări.

1. Filtre de componente omopolare. Cel mai simplu filtru pentru obţinerea componentei

omopolare a unui sistem de curenţi e format din trei transformatoare de curent, cu înfăşu­

rările secundare legate în paralel (de ex. la bornele unui ampermetru) (fig. 42.6, a).

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 219

În figura 42.6, b se reprezintă un filtru pentru măsurarea [componentei omopolare a
unui siste_m de tensiuni, format din trei transformatoare de tensiune, cu secundarele legate
în serie. In aceste scheme, k este raportul de transformare al transformatoarelor respective.

..!.. (-/1+ 1 +1 ): _l}(_-1o ' -~1-/K-.f-/1- - ---1/1{(!-/z, Vi-----!/!~rf!-3~.~

/( -2 -3 1 ------=--' 7J(J!o
(!ft+Jj2+!!.1)=
7{

a. b

Pig. 42.6

2. Filt':_u pentru componenta inversă (sau directă) a unui sistem de curenţi fără componentă
omopolară: In figura 42.7 este reprezentată schema unui filtru care permite determinarea com-
ponentei inverse a unui sistem de curenţi. Acest filtru funcţionează corect numai dacă com-

+ +ponenta omopolară a sistemului de curenţi e nulă, adică dacă suma intensităţilor celor trei

curenţi e nulă i 1 i 2 i 3 = 3 iţ, = O (de ex. curenţii de linie la un sistem trifazat fără fir
neutru). Curentul măsurat de ampermetrul A se poate stabili cu teorema lui Thevenin.

Tensiunea în gol Între bornele M şi N este egală cu

În ipoteza făcută (!_h = 0), exprimînd curenţii În funcţie de componentele lor simetrice,
conform relaţiilor (42.5), se obţine:

Dacă impedanţele sînt astfel alese încît să satisface relaţia :

(42.12)

circuitul funcţionează ca filtru, care dă o tensiune I!MNo' proporţională cu componenta inversă

l;. Conform teoremei lui Thevenin, intensitatea curentului IA din ampermetrul conectat în-
tre bornele 1VIN va fi proporţională cu Q_MNo• şi deci cu componenta inversă li·

Practic, un astfel de filtru se poate realiza, de exemplu, luînd un rezistor ca element

+ .V3= = 2 2de 1• mpedanţa" ~1 r Şl• ca element de 1• mpedanţaV ~3
1r J r, un rezistor de rezis-

2 TV3tenţav
r 1egat mA sen• e cu o bob"maV de XreactanţaV = r.

+Dacă se asigură satisfacerea egalitiiţii ~1 a2~3 = O, tensiunea de mers în gol !JMNo•
L!·şi deci curentul lA, sînt proporţionale cu componenta directă
Acelaşi rezultat se obţine

cu filtrul din figura 42. 7, dacă se intervertesc fazele 2 şi 3 (v. observaţia de la sfîrşitul aces-

tui paragraf).

22J REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

3. Filtru pentru componenta directă (inversă) a unui sistem de tensiuni de linie: Deter·
minarea componentei inverse a unui sistem de tensiuni de linie se realizează adesea cu fil-
trul cu patru elemente, reprezentat În figura 42.8.
Tensiunea în gol între punctele M şi N are expresia :

!IMNo= Z.r ur2 'Z""2 + !l2a .Z..:'a·

+ Z.a la + Z.4

l(j,

?M 1 =r Fig. 42.8

'------+--c{Al>------...J
jA ]_"

Fig. 42.7

Suma tensiunilor de linie fiind nulă, componenta lor omopolară e nulă şi deci :

+ +Ilrt = Jld !l;, !Zss = a2Jld aQ_;.

Ca urmare, tensiunea !l_MNo se poate scrie sub forma :

· (Z Za) (7 ZU - +a

_MNo -
Zr -+2 ?:2 + a2 la +-- ~4 U+ -+2 ~3 3 ~' ) -U•··

_J lr lJ +

Dacă cele patru impedanţe satisfac condiţia ;

Zr +a Za (42.13)

Z:r + ?2 Za + Z4 =0

(care se verifică uşor pentru schema din fig. 42.8), tensiunea la ieşirea filtrului e proporţio­

nală cu UJ.
În siUcină, conform teoremei lui Thevenin, curentul şi tensiunea la ieşirea filtrului vor

fi proporţionali cu !Zd·
obserV ati e: Din relaţia (42.6) rezultă că componenta directă l::d a sistemului tri·

fazat (.!':r• E2• Ea),

e egală eu componenta inversă f; a sistemului (V1, V3, V2),

Ca urmare, orice filtru care serveşte la măsurarea componentelor directe permite şi mă­
surarea componentelor inverse ; pentru aceasta e suficient să se inverseze, la intrarea filtrului,

fazele 2 cu 3.

42.1.5. Cîteva proprietăţi ale componentelor simetrice ale tensiunilor şi
curenţilor. a) Prima ecuaţie din (42.6) arată că sistemele de mărimi trifazate,
a căror sumă este zero, au o componentă omopolară egală cu zero.

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 221

Din aceasta rezultă, în particular, că :
- sistemele de curenti din elemente de circuit trifazate cu conexiunea
în stea cu punct neutru i~olat (fără conductor neutru sau punere la pămînt)
au o componentă omopolară nulă;
-sistemele de tensiuni de linie au componentă omopolară nulă.
b) În cele ce urmează, pentru a stabili unele proprietăţi ale componentelor
simetrice ale tensiunilor şi curenţilor, vom calcula componentele simetrice
directe şi inverse V1d, Vu ale unui sistem de mărimi diferenţe de forma :

(42.14)

în functie de componentele simetrice Vd, V; ale sistemului de mărimi V1,

E2• Ea:

Cu ajutorul relaţiei (42.6) se obţine :

Î + +Eld = [(El- .t'2) a (E2- Ea) a2 (l:'"a- E1)J

f + +Ezi = [(E1- E2) a2 (_"[2- Ea) a (Ea- E1)].

Ef"Exprimînd mărimile 1, 2, _"[3, în funcţie de componentele lor simetrice,

relaţiile (42.5), se obţine :

vii= (1 ~ a) Ej =V·3- e-J·6" Ei· (42.15)

Relaţiile precedente se pot pune sub forma :

1 -j.:: 1 j.:':.
-Vd = -V-3= Vz, e (42.16)
a 6 -V' =-V-3 Vzie 6.

Aceste ultime relaţii exprimă, în particular, relaţiile dintre componentele
simetrice directe şi inverse ale tensiunilor de fază şi de linie la un circuit trifazat

cu conexiunea în stea.
Pentru valorile efective ale acestor mărimi rezultă :

U-= Uti. (42.17)

' V3

Ca urmare:
Toate circuitele trifazate conectate în stea la un acelaşi sistem de tensiune

de linie au aceleaşi componente simetrice directe şi inverse de tensiune, oricare
ar fi punctul neutru la care se raportează.

c) Aceeaşi relaţie (42.15) se utilizează la calcularea componentelor sime-
trice directe şi inverse ale curenţilor de linie, în funcţie de curenţii de fază la

un circuit cu conexiunea în triunghi.
Pentru valorile efective ale acestor mărimi rezultă :

(42.18)

222 REŢELE ELECTRICE TR!FAZATE

d) N esimetria sistemelor trifazate de marimi se apreciază prin :

gradul de disimetrie definit ca raportul dintre valoarea efectivă a com-

ponentei inverse şi valoarea efectivă a componentei directe a sistemului de

mărimi:

v, (42.19)
E' ·=v-d

- gradul de asimetrie definit ca raportul dintre valoarea efectivă a

componentei omopolare şi valoarea efectivă a componentei directe a sistemului

de mărimi: Eh ,= -vv--hd:- .

(42,20)

În practică, un sistem de curenţi sau de tensiuni este considerat simetric,
dacă are atît gradul de disimetrie cît şi gradul de asimetric mai mici decît 0,05.

42.2. Circuite trifazate echilibrate alimentate cu tensiuni nesimetrice

Dacă unui circuţt trifazat echilibrat i se aplică un sistem de tensiuni tri-

fazat simetric, atunci (v. par. 40) sistemul de curenţi din circuit va fi şi el sime-

tric si va avea aceeasi succesiune a fazelor ca si echilibrat de tensiuni. Este ade-

vărată si afirmatia i~versă : într-un circuit echilibrat, un sistem de curenti sime-
tric de 'o succesiune oarecare determină un sistem de tensiuni simetric ~i cu o

aceeasi succesiune ca si sistemul de curenti. '
Calculul regimurilor nesimetrice al ci~cuitelor liniare trifazate echilibrate

se face pe baza teoremei superpoziţiei. Se studiază separat fiecare din regimurile

corespunzătoare cîte unuia din sistemele componente simetrice ale tensiunilor,

şi apoi se suprapun efectele acestor sisteme de tensiuni.

Rezultă că în orice circuit echilibrat sistemele componente simetrice de suc-

cesiuni diferite sînt independente între ele.

Suprapunerea lor corespunde compunerii componentelor simetrice conform

relaţiilor (42.5).

Este important de remarcat că, datorită caracterului echilibrat al circui-

telor studiate, este suficient să se considere cîte o singură fază (şi conductorul

neutru). Aceasta permite, după cum se va vedea mai jos, utilizarea unor scheme

echivalente simple corespunzătoare relaţiilor existente între componentele

simetrice de o aceeaşi succesiune.

42.2.1. Cit·cuit tdfazat echilibrat în stea fără cuplaje magnetice. Considerăm

un circuit trifazat echilibrat, format din trei elemente de impedanţă ~ legate

în stea. Impedanţa firului neutru o notăm cu ~.N (fig. 42.9, a).

Descompunînd sistemal de tensiuni în trei sisteme componente trifazate

simetrice, aplicarea teorem.ei superpoziţiei conduce la studierea regimurilor

simetrice (par. 40.1) corespunzătoare schemelor (b), (c), (d). Pentru aceste trei

scheme, tensiunea fazei 1 a reţelei de alimentare ,!::,'10 se exprimă, respectiv, prin
relaţiile : ·

(42.21)

METODA COMPONENTELOR SIMETRICE 223

Acestor trei relaţii le corespund, respectiv, schemele (reţelele), echivalente

monofilare (a), (b), (c), reprezentate în figura 42.10. Aceste scheme redau simplu
şi intuitiv relaţiile dintre componentele simetrice de aceeaşi succesiune ale

.!.'., .1_ :id z ..!./ ..l L .1_
_l
~~ ..-=- 1 \uh ~
-"-'
\ _Lz \ N -u'a_J,. z
'1,U-ad2!d Z .1_ N L,
2 N 2 2 r=-, /V
_....-. .--=--, 2
a!!.; tflh z
a'!lu
a2_f·, .l__ lh .--=--,
ald .l_ J
3
J3 r---""> o k-,
oJ/fh
ofy Ja-ud .1../{ Jjh
L· •al; +a'J; .o_
id•o.2id•ald=O

a. Regim nestmetric c Regtm s;inelrtc mvers

Fig. 42.9

securentilor si tensiunilor; ele numesc schema de succesiune directă, schema

.de su~cesi~ne inversă şi schema de succesiune omopolară.

Impedanţele corespunzătoare sistemelor simetrice de curenţi de succesiune

{lirectă, inversă şi omopolară se numesc scurt impedanţă directă ?;_J, impedanţă
g:".inverRă. ~i şi impedanţă omopolară
Valorile lor sînt :

(42.22)

!q ld

a. c.

Fig. 42.10

Se remarcă faptul că impendanţa firului neutru intervine numai în cea
de-a treia ecuaţie din (42.21). Termenul 3~Nlh = :fNIN reprezintă căderea
de tensiune de pe firul neutru.

Practic, rezolvarea circuitului studiat (fig. 42.9, a) pe baza metodei com-
ponentelor simetrice se face în felul următor :

a) se determină componentele simetrice ale tensiunilor aplicate (rel. 42.6);
b) se formează schemele reţelelor de succesiune directă, inversă şi omo-

polară;

c) se determină componentele simetrice ale curenţilor şi ale căderilor de
tensiune pe baza utilizil.rii acestor scheme;

d) se calculează curenţii şi căderile de tensiune căutate în funcţie de com-
ponentele lor simetrice (rel. 42.5).

42.2.2. Circuit trifazat echilibrat cu cuplaje magnetice între faze. Considerăm un element
trifa:r.at de circuit, echilibrat, format din trei elemente monofazate, avînd fiecare o rezistenţă

224 RETELE ELECTRICE TRIFAZATE

R, o inductivitate proprie L şi o inductivitate mutuală M între faze (fig. 42.11) (conexiunea
elementelor monofazate rămîne arbitrară: stea, triunghi etc.). Ne propunem să determinăm
schemele de succesiune directă, inversă şi omopolară corespunzătoare. În acest scop presu-

punem că se stabileşte succesi~ sistemul de curenţi direct, invers şi omopolar.

. R+JG.JL 1, 911 1 R+Jw(L-M) _Jd
)1
1d fl>---:-.1...·.-..-._--_=__-:_._;._....-%1d
~~
~ 11~11 Jl, a. Jid

:3/ 31
.....,, .--.\ R +jc.JL
12
11 * )1 !82R

\ ~11 -- - b. _u,

1 J!2 _ _, R+_y_..;_(L_+2_M_j L
r-.'
------\~ R+jwL IJ ~ ....._____"

.J'Ili )1 91;• c J!;,
1~,,~~
J!J
1~

Fig. 42.11 Fig. 42.12

+Notînd impedanţele proprii cu ~ = r j wL şi impedanţele mutuale cu ~m = j w111

expresiile corespunzătoare căderilor de tensiune de pe faza 1 sînt :

!ld = + +~ ld ~ma2ld ~ma ld
!li= Zli + gmali + gma2 li
(42.23)

!lh = ~b + gmb + ~mlh•
+Observînd că a 2 a = -1, relaţiile de mai sus se pot scrie sub forma:

!ld = (~- gm) ld

Il;= (g-~m)l; (42.23 ')

+U h = (Z 2Zm) fb.

Ca urmare, impedanţele corespunzătoare celor trei succesiuni sînt: (42.24)

Z.d = ~l = Z- Z.m, ?h = Z. + 2Zm·

Schemele corespunzătoare de succesiune directă, inversă şi omopolară sînt repr!lzentate

în figura 42.12.
Observ aţi i : a) Datorită existenţei impedanţelor simetrice de cuplaj, impedanţa

Z.domopolar} are o valoare diferită de valoarea comună = Z_; a impedanţelor directă şi inversă.

b) In relaţiile (42.23) a intervenit aceeaşi impedanţă de cuplaj ~m atît pentru curenţii
de succesiune directă (prima relaţie) cît şi pentru curenţii de succesiune inversă (a dona re-
laţie). Acea~ta se datoreşte faptului că am considerat un circuit static cu inductivităţi mutuale
constante. In cazul circuitelor electrice ale maşinilor electrice rotative -- numite elemente di-
namice- apar, în realitate, inductivităţi variabile în timp. Pentru regimul sinusoidal, ma-
şina admite scheme echivalente cu inductivităţi mutuale constante; dar valorile acestora de-
pind de ordinea în care se succed înfăşurările fazelor interesate, faţă de sensul de rotaţie al
rotorului. Ca urmare, căderea de tensiune produsă într-o fază (r, respectiv s) de curentul din
altă fază (s, respectiv r) depinde şi de sensul mişcării rotorului faţă de aşezarea înfăşurărilor
celor două faze şi rezultă :

!J.r = ?m" · [_, respectiv Ils= Z.m,r ·lr,

cu impedanţe de cuplaj neegale : (s, T = 1, 2, 3) (42.25)

Zmrs =F Z.m"

Acest rezultat arată că la astfel de elemente dinamice teorema reciprocităţii (demonstrată
numai pentru reţele cu elemente de circuit dipolare) nu mai e valabilă. Sistemul de trei impe-
danţe echivalente cu cuplaje nereciproce ale maşinii admit însă, la curenţi simetriei, o schemă

echivalentă cu impedanţe egale necuplate. Dar valoarea comună a celor trei impedanţe egale

.,Generator Lmte L1me
zl
ErJ"::.\ 1 c: Z'/ 4
1

\.J .AZmd~Zm z f~, ~~ o'

reo lz~ 1G2 l C2 m Z{ /)2 o:;

~ zA2 ~ c \~_Zm' -Zm' z' Oi'
z,1r;3 \~ f/7 \ l [).J
f{ l

[3f::'\ 1
v A; •
•

1. 1. 1.

_!_N IN a.

Ed_n. o'

od rlfdx B

\...../ z .z- Cd 1 Gd ''-z1-:___mJ c, z(-l1' --Zm' J lJ, -Md

aldf':'\ .Zr;d az}Gd ur.lml -C.z rz; -z:n; IJ2 ZNd
\...:.) _l Gel alr;d fZt-Zml c (Z/-Z'mJ IJ.J ZMd

li.l .l b.

!cc~•aJsd•o.lr;,rO ').
B

E,f:-., z c,-Ci ls; (-Z1--ZmJ z(Z'l - Z'117J lJ,u,

. \...:.) ZGi afG; fZrZml c2 ( ZÎ - Z'n,J lJ2 ZM,

O; a.E; f":\ .lr;, a2/s, f.lr.lml c3 f.l{ -.l'ml /).J Zu,

iE,>; /!

\...:.) .l.l .l. ~~

1 1r;, <-air;, +a'JG,~o o/)1.

o OII c.

B

lh~ zGh Jh (.7_,+ 2ZmJ ['t n,(Z't"2Zm' J Mh

Dh Ehx ..lsh jh f.lt+2.lml c2 U/<- 2[n/ f)2 ZMh oh:
\.J f_Z1 <-2ZmJ
[ h. \f.:. 7\ .lsh !1> 0 fZ/+22:"/ ZMh

l .l .l

ZN 1o;, Fig. 42·13·

Jfh d

B

15-·1068

----- ------------ ------~---~---~----------- ---------------~------ -~ -----~.-

226 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE
------- -------------------------------------

necuplate depinde de natura sistemului simetric de curenţi conc;iderat. De aceea, la maşinile
electrice rotative trifazate (generatoare, motoare etc.), în schemele directe, inverse şi omo-

polare apar impedanţe diferite ZI.d =F ;ţ{_; :f- :ţ{_!J. Acest rezultat se explică intuitiv şi prin faptul

că cele trei sisteme de curenţi, direct, invers şi omopolar _produe cîmpuri magnetice diferite ;
cîmp învîrtitor, în sensul de rotaţie al rotorului, cîmp învîrtito~ În sens opus rotm:nlui ~i. cimp
alte1.·nativ "imobil~'.

4,2.203. fi\~n·marea gche::rnelor de §uccesiunc il:h.·ectiL :in-vetsă si OL"YlO}lolariL
În cazul unui circuit complicat trifazat (de ex.figA2.13, ~),echilibrat, schemele de
succesiune directă, inversă şi omopolară se pot obţine simplu, pornind de la com-
portarea sistemului în regimurile simetrice de diferite succesiuni (schemele b, eşi d).

În regimurile simetrice înlăturăm cuplajele magnetice prin înlocuirea păr­
ţilor de circuit cuplate cu elemente echivalente necuplate, conform celor prezen-

tate în paragraful 42.3.2.
Pentru obţinerea unor scheme monofazate pentru calculul componentelor

simetrice directe şi inverse, observăm că, în reţelele b, respectiv c, unirea tuturor

.l.Ma

CI-

AMh

o;,

Fig. 42.14.

punctelor neutre printr-un conductor de impedanţă nulă şi apoi înlăturarea
fazelor 2 si 3 nu modifică curentii din elementele fazei L Schemele astfel obti-
nute le nu~im schema de succesiu~e directă, respectiv schema de succesiune inver~ă
a reţelei date (fig. 42.14, a, respectiv b).

----~~------ ---------------------------- ---------------------------· --- 22i
IvlETODA COMPONENTELOR SIMETRICE

Pentru obţinerea schemei monofazate corespunzătoare componentelor

omopolare, observăm că, în reţeaua d (din fig. 42.13), triplarea impedanţelor

de pe conductorul neutru şi înlăturarea fazelor 2 şi 3 nu modifică curenţii din

faza l a acestei retele. Schema astfel obtinută (fig. 42.14, c) o numim schemă
mnopolară a :reţel~i date.
'v

Posibilitatea utilizării reţelelor directe, inverse şi omopolare, formate aşa

cum s-a indicat mai sus, se poate demonstra şi direct, scriind ecuaţiile care

decurg din aplicarea teoremelor lui Kirchhoff pentru reţelele trifazate, pentru

schemele directă, inversă şi omopolară (se constată că rezultă aceleaşi valori

pentru componentele simet·rice).

42.3. Circuite t.rifazate deze<~hilihrate

42.3.1. Reducc.r~a problemei circuitelor trifazate dezechilihrate la proble-
ma rezolvării unor circuite echilibrate. Într-un element trifazat de circuit

dezechilibrat, un sistem de curenţi trifazat simetric produce căderi de tensiune

care formează, în general, un sistem nesimetric.

Ca urmare, componentele simetrice de succesiuni diferite nu sînt indepen-

dente. Relaţiile dintre componentele simetrice sînt mult mai complicate decît

în cazul elementelor echilibrate.

Din acest motiv, calculul regimurilor nesimetrice într-un circuit conţinînd

mai multe receptoare dezechilibrate se face, de obicei, echilibrînd circuitul pe baza

teoremei compensaţiei (par. 38.2.5), prin inlocuirea impedanţelor care produc

nesimetrie prin tensiuni corespunzătoare. Aceste tensiuni apar ca necunoscute

auxiliare, ale căror valori se determină astfel încît să fie satisfăcute ecuaţiile de

funcţionare scrise separat, atit pentru par- l?dBc: trifazată ech/1/br'alti
tea simetrică de circuit cit şi pentru partea ~~
' (!?)
nesimetrică de circuit. .
'--..~· ....1.-.....-......,-------.--'r--.,_..1
care a4l2i.m3e.n2t. eCaazlăciullnnls unei reţele echilibrate 1
ingur :receptor tdfazat
11 · A,~ B,
static nesimetric. Considerăm o reţea echi-
librată (R), care alimentează un receptor

static dezechilibrat fără cuplaje inductive ~.4 ~..,~.2 ..J.2
2 82
între faze. În figura 42.15 s-a reprezentat 1/z
reţeaua echilibrată prin dreptunghiul notat _l , ls
{CU (R) şi receptorul nesimetric prin impe-

danţele sale de fază ~1, ?;2, ?;3 (fără a face A,~ 81
vreo supoziţie privitoare la modul de 111

conexiune al acestor impedanţe : stea, Fig. 42.15.

triun~~:hi etc.).
Î~locuind pe baza teoremei compensaţieî cele trei impedanţe prin surse

ideale, avînd tensiunile la borne :

{42.26)

se obţine circuitul trifazat echilibrat reprezentat în :figura 42.16.

223 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

l iReţ,ea trtfazată echtltl;ratd Determinarea relaţiilor dintre
(R} componentele simetrice ale tensiu-
1
nilor şi curenţilor şi în general, studiul

-E~=1U 1; reţelei simetrice (R) se face cu
ajutorul schemelor de succesiune

111 ~81 simetrice Rd, Ri> Rh ale acestei re-
=u ţele (R). Aceste scheme sînt repre-
-E Jl, zentate în figura 42.17.
K2
12 Relaţiile dintre curent şi tensiu-
ne la bornele acestor scheme se
112~82

fKJ -2
-13

calculează prin oricare din metodele

Fig. 42.16. cunoscute am studiul circuitelor
electrice monofazate şi sînt de forma :

+lh = - X"ABh' Uh lhsc•

(42.27)

1
!Retea mversă (R,)
Mărimile X"ABd• X"ABi• YABh re-
b-------~--------------~~-----_j prezintă respectiv admitanţele echi-

valente ale schemelor de succesiune

directă, inversă. şi omopolară pasi-
b. vizate, iar Idsc•Lsnlh ,c'sînt curenţii de

scurtcircuit debitaţi de aceste scheme,

dacă se scurtcircuitează bornele

Ad-Bd, Ai-Bi, Ah-Bh. Aceste

admitante si acesti curenti de scurt-

c. a" circuit ' dJ eterm.J ină în 'funcţie de

se

structura părţii simetrice de reţea.

Fig. 42.17. Pe de altă parte, un calcul simplu
arată că din ecuaţiile (42.26), cu aju-

torul relaţiilor (42.6), se obţin alte trei relaţii între componentele simetrice ale

tensiunilor şi ale curenţilor la bornele elementelor dezechilibrate :

(42.28),

METODA CO,\\PONENTELOR SIMETRICE 229

În aceste ecuaţii s-au notat cu ~d• ~'' ~h coeficienţii (de natura unor impe-
danţe) ale căror expresii în funcţie de impedanţele ~17 ?;_2, ~ 3 care formează
receptorul nesimetric sînt :

-~"h = -3l(r--'r-~1_-j~-

~d = ~ (.~1 + a~2 + a2~3), (42.29)

3 +=5";
1 (Z.::".:.1 - f- a2Z_2 aZ_ 3') ·

Sistemele de ecuaţii (4,2.27) şi (42.23) formează împreună un sistem de

ecuaţii cu şase necunoscute, !JJ, !J.;, Qh, !_d, fi, !_h, care reprezintă compo-

nentele simetrice ale tensiunilor şi curenţilor la bornele receptorului nesimetric.

Prin rezolvarea acestui sistem (42.27), (42.23), se pot determina deci aceste
componente. Utilizînd relaţiile (4·2.5), se calculează curenţii şi tensiunile la

bornele receptorului nesimetric.

În continuare, cunoscînd tensiunile UJ, U;, Uh de la bornele schemelor
de succesiune Rd, R;, R1" reprezentate în figura. 42.16, determinarea compo-
nentelor simetrice ale curentilor si tensiunilor din laturile retelei simetrice (R)

se face simplu, rezolvînd separat fiecare din aceste scheme.'

42.3.3. Calculul regimurilor de; avarie nesimctrice ale unor l'eţele trifaz2.te

cchilih:rate. În cazul unor scmtcircuite intre o fază şi pămînt, între două faze-

eu sau fără punere la pămînt, ca în cazul întreruperii unei faze sau a două faze,

apar regimuri de funcţionare nesimetrică" Calculul unor astfel de regimuri

prezintă imnortantă deosebită pentru protectia si dimensionarea sistemelor

electrice trifazate.' ''

Nesimetria corespunzătoare acestor scurtcircuite şi întreruperi este echi-
valentă cu prezenţa unor receptoare statice simple, pentru care, în locul rela-
ţiilor (42.28), se obţin relaţii mult mai simple. Satisfacerea unor astfel de relaţii
simple între componentele simetrice ale tensiunilor, respectiv curenţilor la locul
nesirnetriei, se face, de regulă, prin interconectarea adecvată a schemelor de

succesiuni simetrice Rh, Rd, R;.

Studiem unele exemple tipice care
se pot aplica la diferite situaţii

practice.
l. Scurtcircuit pe faza 1, cu

intreruperea fazelor 2 şi 3. Pentru

a putea aplica metoda componen-

telor simetrice, pe lîngă perechea

de horne A 1 şi B 1 (între care se
realizează scurtcircuitul), s-au con-

siderat şi perechile de horne

analoge A 2 - B 2 şi A 3 - B 3,
obţiP.Jndu-se un receptor trifazat

dezechilibrat echivalent (fig. 42.18).

Acest receptor are un conductor Fig. 42.13.

230 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

=de impedanţă nulă (~1 O) pe faza 1 şi două întreruperi pe fazele 2 Şl 3

(deci ?;2 = ?;:3 = oo); ca urmare

ul =o; I2 = l3 =o. (42.30)

Cu ajutorul relaţiilor (42.5) şi (42.6) se deduc relaţiile corespunzătoare
dintre componentele simetrice :

(42.31)

Fig. 42.19.

Se observă uşor că sat:isfaeerea ultimelor ecuaţii de către cu:renţii de la

bornele schemelor Rd, Ri, Rh se poate asigura prin legarea în sede a dipolilm: Rd.

R;, Rh (fig. 42.19). Pentru a satisface şi prima ecuaţie de către tensiunile de la

bornele aceloraşi scheme, este suficient să unim punctele Aa şi Bh printr-un

eonductor de impedanţă nulă~

Ca urmare, calculînd curenţii din aeest circuit, se ohţb eomponentele

simetrice ale curentilor si tensiunilor.
2. Scurtcircuit pe ja;;~le 2 şi 8, cu înireruperea fazei 1. În figura 42.20 s-au

notat cu A2 - B2, respeetiv cu A 3 - B 3, perechile de horne scurtcircuitate şi
cu A 1 - B1 bornele omologe (în gol) de
ne faza 1. Ecuatiile acestui receptor de-
z_( ecn1 1•'h0 h:rat s1A nt : .:;

l1 = O; J/2 = Jl.s = O.

_Cu ajutorul re~a~iilor (4·2 ..5),vr~sp?ctiv
(42.o). aceste cond1tn se cxpnma m func-

ţie d~ componentd~ simet~ice eorespun-

ză loare, astfel :

(42.33}

Fig. 42.20. Se ,_.erifică usor că satisfacerea aces-
tor ecuatii de către tensiunile si curentii
ex stenţi la bornele cores-punzatoare ale reţeldlor de succesiune directă, invc<~ă

şi omopolară ale reţelei simetrice se poate face simplu, interconectînd aceste

reţele în derivaţie, aşa cum se indică în figura 42.21.

Prin urmare, curentii si tensiunile din retelele de succesiuni simetrice ale

părţii echilibrate de reţ~a ~atisfac, datorită i~terconectării, şi ecuaţiile cores-

,\\ETODA COMPONENTELOR SIMETRICE 231

pnnzătoare părtii dezechilibrute; ca urmare, acesti curenti rcnrezintă compo-
nentele simetri~e corespunzătoare regimului ne~imetric 'studiat.

Pentru calculul unui scurtcil·cuit între două faze vom utiliza o conexiune

echivalentă în stea, ca şi pentru orice element trifazat cu conexiune in triunghi.

Aceasta se poate obţine, considerind suprapuse punctele B 1, B 2, B 3 , într-un
punct neutru, artificial izolat O.

. 42.~.4. }~plicHţii: L Scurtci_,:cui,t b_(fa;z.Q,t la bornel~ ur:z-u~ g(:'"?-erat;r, l'~ru puner:, la p~mînt.;

Cantnderarn un generator cu tensn:m1 clectrornotoare ae faz<:t sinletnce };);_, a··E_, a~~' ast:tel ca
g, Ez!id =
!Ih:=~O, =O şi cu.in;_~edan~-~le: directă Zt~~ i~..~ers_~{ .ţ; şi ~lliopolară..:2~ (fig~ 4"2.22, a),
la t::are se produce un scurt Circuit net Jnt:e Lo:rnele 2 ~1 0 far:.l .legat!.:rra Ia pa1n1nt.

o, z2 o,Scu:rtcircuitu1 e echivalent cu un !·eceptor trifarJat de~echilibr·z.t în sV;;J.~ cu ~1 :::::::: co,
·?Z2 ::::;::: = l;n = co? ca în figuro. 4·2.22~ b. Se cb~ine astfd. C:.1Zlll studiat în paragraful

Fig. 42.22.

precedent, punctul 2, în care sînt vahbile relaţ.iile (42.33) pentru componentele simp,trie<' ale
tensiunilor si curenti!or receptorului şi schema echivalentă din :figura 4.2.22, c, cu cele trei

+:reţele de sc{ccesinne' directă, inversă şi omopolară, conectate in paralel (cu z;,h tot = ,'!b +~
3 Zs = :xl). Rezultă:
lh =o

232 REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

şi cu relaţia (42.5): !:1 = !.h + !.d + !__; ~~ o

Ti' . VTE

!:2 = !_h + a2!_d +a!_;= (a2 - a) oi J _7_:_d +~:':.;

Zd +Z_;

+ +-J·3= a-Td a2 r; = (a - 2) F '~ = j VTE = -

- -- Zd + f:;
Th + Z;Zda-- -J2 •

-

2. Punere la pămînt monofazată la bornele unui generator, printr-o impedan1ă Zp·
Considerăm acelaşi generator de mai sus, la care borna fazei 1 e conectată la pămînt printr-o

impedanţă Zp (fig. 42.23, a).

b.

Fig. 42.23.

Relaţiile (42.26) sînt, în acest caz:

!1.1 = Z:.p!H !2 = O, la = O.

Înlocuind tensiunile şi curenţii, în funcţie de componentele lor simetrice, se obţin relaţiile :

== + + 12hIl.!T....d
Ţ _f h == [! 1 = d !!_; ,
..:...._i =
-
Z:p 3 Zp

corespunzătoare schemei echivalente de interconexiune din figura 42.23, b, din care rezultă :

Ld =li= lh = p;

-
Z.; + Zd + Zh + 3Z:_p

3. Regim trifazal nesimetric al unei reţele complexe. Vom presupune că în reţeaua sime-

trică, reprezentată in figura 42.13, a se realizează un scurtcircuit între punctul A, care repre-

zintă o bornă a generatorului şi punctul B de pe conductorul neutru, legat la pămînt.

Presupunînd cunoscute t.e.m. ale generatorului şi impedanţele circuitului (pentru ele-

mentele dinamice, impedanţele directe, inverse şi omopolare), urmărim determinarea curen-

ţilor şi căderilor de tensiune. Observăm că scurtcircuitul de pe faza 1 e echivalent cu un re-

ceptor dezechilibrat, de tipul din figura 42.18, conectat în stea la bornele generatoruiui (fig.

4.2.24). Conform observaţiei de la sfîrşitul parag:rafului precedent, punctele B 1, B 2, B 3 le pre-
supunem suprapuse şi formînd un punct neutru B.

Conform celor expuse în paragraful precedent, reţelele directe, inverse şi omopolare (re-

prezentate în fig. 42.14) pentru acest tip de nesimetrie se leagă în serie (fig. 4·2.19), obţinîn~

du-se reţeaua de calcul monofazată din figura 42.25.

Determinarea componentelor simetrice ale curenţilor şi căderile de tensiune ale reţelei

se reduce astfel la determinarea curenţilor şi căderilor de tensiune din această reţea de calcul.

Această operaţie se poate face şi experimental, pe modele ale reţelei de calcul obţinute, rea-

lizate în laborator, ale căror tensiunî şi curenţi se măsoară direct. Compunînd componentele
simetrice ale diferiteţilor curenli sau tensiuni, cu ajutorul relaţiei (42.5), se obţin curenţii şi
căderile de tensiune căutate din reţeaua cu scurtcircuit nesimetric. În generatoarele obişnuite,
!idde construcţie echilibrată, ;g şi E_; = O, lih
= = O.

---~---- ---------- -

Fig. 4·2.24. O(J
nu,'
1

li4t

i

j, =1/Jj,

1

Fi;r. 't2. 2.5.

23-4 - - - - - REŢELE ELECTRICE TRIFAZATE

Se ştie că puterea complexă totală a unui sistem trifazat, avînd tensiunile

de fază U v U 2, U 3 şi curenţii de fază !_1, !_2, !_3, se calculează pe baza unei expresii
de forma 41.30 :

(42.34)

+unde, cu l~, J~, 1; s-au notat valorile complexe conjugate ale lui !_1, !_2, [ 3 •
Puterea complexă §_ = P jQ se poate exprima în funcţie de componen-
tele simetrice, utilizînd relaţiile (42.5) :

+ + + +Ql = .llh !ld U;; U2 = !}__" a2 UJ aJ[;;

După gn11Jarea termenilor din (42.34), rezultă:

+ rr• u·S_ = .U.:.-.-...'.Jb~•-1 1L !...2. (1_-l.
1_3*) 11 ~TTd\_1 1 1 a?- _J2• _[_ a_I"s) -t.- -~; -r1- ac!"'1..'•2> ...L, a2J'3).
1

Deoarece :12 = a* şi a = a2 *, rezultă :

{42.35)

unde s-au notat cu Ii, J'd şi Ii valorile complexe conjugate s.le t~omponentelor

simet:rke J,,, Lh !__; ale cmenţilo:r l_"1, [ 2, Ia.

Notind cu (Pb• Yd• Cf'i defazajelc dintre componentele simetrice de aceiaŞI
nume ale tensiunilor şi curenţilor, se obţin expresiile:

cos 'Pi·

'UltiL"lele relaţii arată C~i puterea activă, respectiv reactivră, a unui circuit
trifazat este egală cu suma puterilor active, respectiv reactive, corespunzătoare
sistemelor c:mnnonente simetrice de acelasi nume ale curentilor si tensiunilor.

.L ; .• •

CUADRIPOLI

434 1'
11 CUADRIPOU ELECTRICI

Un multipol electric (v. par. 38.2) cu patru borne de acces se numeşte
cuadripol general sau tetrapol. Prin urmare, un cuad:ripol general este o reţea
electrică cu patru bornc de acces, ale d.rei laturi interioare nu prezintă cuplaje
inductive (inductivităţi mutuale) cu exteriorul (fig.43.1). Un cuadripol general
e o reţea ncizolată, ca:re constituie o parte a unei reţele mai mari, eventual izo-
lată. Curentii si tensiunile din reteaua exterioară sînt complet determinati de
structura ei şi' de potenţialele şi 'curenţii bornelor de acce~ ale cuadripolului.
Interacţiunea cuadripolului cu exteriorul e deci complet caracterizată de cele
patru potenţiale ale bo:rnelo:r şi ele cei patru curenţi p:rimi·ţi din exterior. Ale-
ge;re.a originii potenţialelo~ fiind ad.J~tra~ă, se poate alege egal cu zero poten-ţialul

unei borne; suma cu:rentllor care m.tra
într·o sumafată închisă fiind nulă !teo-
rema co~tinuitătii curentului electric de
conducţie- (3l.l0) -valabilă în regim
cuasistaţionar], unul dintre cei patru

curenti se poate exprima în functie de
ceilalti trei. Există deci numai sdse va-
riabil~ (trei potentiale si trei ~urenti)
necesare şi suficiente pe~1tru caracte;i~
zarea funcţionării unui cuadripol gene-
ral în reţeaua din care face parte.

În regimul permanent sinusoidal,

studiat cu reprezentarea în complex, .L,=4~,~-l-;--!.-3 -------"

se pot alege drept variabile caracteris- Fi[;. 43.1.
J1, J:2, J 3
tice curenţii a trei dintre borne
şi tensiunile ul, U2, aceste
JZ3 dintre

bome şi borna a patra. Dacă se aplică

anumite tensiuni la borne, curentii sînt determinati si se pot calcula, tinînd
seama de structura interioară a c~adripolului. Se obţi~ astfel trei relaţii ;

11 = fl( Ul, T:lz, ua); lz = f2 ( ul, JJ.2, Xl3); I3 = f3 (fl.I, Il2· ua), (43.1)

--------------------
236 CUADRIPOLI

numite ecuaţiile caractenst<ce ale cuadripolului, care sînt necesare şi suficiente
pentru studiul reţelei din care el face parte. Dacă se cunosc aceste ecuaţii, struc-
tura de detaliu a cuadripolului nu prezintă importanţă. Un receptor trifazat
cu fir neutru e un exemplu de cvadripol general.

Multipolii- şi, în particular, cuadripolii generali- se pot clasifica din
mai multe puncte de vedere. Multipolii pot fi liniari, parametrici sau neliniari,
după cum parametrii elementelor de circuit ale schemelor echivalente sînt in-
variabili, sînt funcţiuni date de timp, sau depind de valorile curenţilor şi ten-
siunilor; la multipolii liniari se aplică teorema superpoziţiei şi ecuaţiile carac-
teristice sînt ecuaţii liniare. Multipolii pot fi activi sau pasivi, după cum conţin
sau nu surse de energie electromagnetică; la multipolii liniari şi pasivi, curenţii
de xegim permanent se anulează o dată cu tensiunile aplicate şi ecuaţiile carac-
tcl·istice sînt liniare şi omogene. Multipolii pot fi disipativi sau nedisipativi,
după cum conţin sau nu elemente de circuit, care sînt sediul unei transformări
ire-versibile de energie în căldură (de ex. prin efect Joule-Lenz); multipolii disi-
pativi au schemele echivalente, cu rezistenţe nenule în laturi. Multipolii pot
fi reciproci sau nereciproci, după cum admit sau nu proprietatea de recipro-
citate : curentul !__; - care intră prin borna i cînd toate bornele sînt legate con-

duetiv între ele, afară de borna j la care se aplică tensiunea uj = Il faţă de

Lcelelalte- este egal cu curentul -care intră prin horna j cînd toate bornele
uisînt legate conductiv între ele, afară de horna i la care se aplică tensiunea =

U faţă de celelalte. În paragraful 38.3.5. am demonstrat această proprietate
(teorema reciprocităţii) pentru reţele electrice liniare, constituite din elemente
de circuit dipolare : generatoare, hobine, rezistoare, condensatoare, Pentru reţele
care conţin elemente de circuit multipolare (de ex. maşini electrice trifazate),
proprietatea de reciprocitate poate să nu fie verificată, chiar dacă ·reţeaua este
liniară. În cazul multipolilor neliniari, teorema reciprocităţii nu are loc decît
accidental, chiar dacă toate elementele de circuit sînt dipolare.

Se numeşte poartă a unui multipol o grupare de borne de acces pentru
care suma algebrică a curenţilor e nulă oricare ar fi potenţialele bornelor multi-
polului. O astfel de situaţie poate fi impusă numai de structura topologică a
multipolului sau a retelei exterioare la care e conectat, ca o consecintă a teoremei
continuităţii curentu'lui electric de conducţie (respectiv a primei t~oreme a lui
Kil:chhoff). Fiecărei porţii se poate asocia în mod unic o anumită putere instan-

tanee, definită de suma produselor dintre potenţialele şi curenţii bornelo:r respec-
tjve (v. rel. 37.1). Deoarece suma curenţilor e nulă, schimbarea originii poten-
ţialelor nu afectează această putere. Din acest motiv se consideră că transmi-
siunea puterii se face pe la bornele porţii - deşi în realitate e localizată în cîmpul

electromagnetic ca flux al vectorului Poynting. O poartă concretizează, deci,
una dintre căile de transfer a energiei electromagnetice între exteriorul şi inte-
riorul multipolului. În numeroase aplicaţii interesează porţile cu două borne,
avînd curenţi egali şi opuşi, care pot fi porţi de intrare sau porţi de ieşire.

Se numeşte poartă de intrare o poartă cu două borne (de ex. l , l' în
fig. 43.2), la care tensiunea aplicată U1 şi curentul [_1 sînt asociaţi după regula
de la receptoare. La o poartă de intrare, puterea complexă S 1 calculată cu aceste
mărimi e o putere primită :

CUADRIPOLl ELECTRICI 237

+_ş_l = J!.ll.l = VlD- El·L~ = Vd_1 (ex)* Vl' n~x), (43.2)
--I(curenţii primiţ.i din exterior fiind nex) = 1 şi z~~x) ~~
!_1).

Se numeşte poartă de ieşire o poartă cu două bome (de ex. 2, 2' în fig. 43.2)

la care tensiunea aplicată U2 şi curentul !_3 sînt asociaţi după regula de la genera·
toare. La o poartă de iesire, pute1·ea comnlcxă S" calculată cu aceste mărimi
e o. putere ~edată,
,'

1 _ş_2 = r.r2I; = E2,!i - r2·l~· =,

+= - (f:zl~ex)* fz·:H~"l*) (43.3)

;;Xu, Mvlttpol (curenţii pFim~ţi din exterior fiind

s =u r•-1 -1-1 n•x) = -I2 şi lJ"l ~-= l2).

• /

-u;\

.Fig. 43.2. Fig. 43.3.

43.2 Cuadripoli diporţi

Se numeşte cuadripol diport, sau numai cuadripol, un cu adripol general

ale cărui borne sînt grupate în două porţi. Prin urmare, in acest sens, un cuadri-

pol e o reţea neizolată, fără cuplaje inductive cu exteriorul, eu patru bo:rne

de acces grupate în două perechi de horne (sau porţi), avînd fiecare curenţii

egali şi opuşi (fig. 43.3). .
În cele ce urmează ne vom ocupa numai de cuad:ripolii diporţi, deoarece

acestia sînt elementele fundamentale ale lantu:rilo.r de transmisiune a energiei
eledtromagnetiee sau a semnalelor electromagnetice. Ţinînd seama de această

utilizare, una din porţi e poarta de intrare (1, 1' în fig. 43.3) - cu convenţia

de asociere a sensurilor de la receptoare - iar eealaltă e poarta de ieşire (2, 2'

în fig. 43.3) - cu convenţia de asociere a sensurilor de la generatoare.

Interacţiunea unui astîel de cuadripol cu exteriorul e complet caracteri-

zată de numai patru variabile :

ul -tensiunea de la intrare (tensiunea primară),

u2!_1 - curentul de la intrare (curentul primar),
-tensiunea de la ieşire (tensiunea secundară),

!_2 -curentul de la ieşire (curentul secundar).
În aplicaţii este foarte important să se verifice dacă cuadripolul e efectiv

diport, adică dacă cei doi curenţi de la bornele de intrare (sau de la cele de

ieşire) sînt egali şi de sens opus. Această condiţie e sigur realizată, oricare ar fi

238 CUAD!UPOLI

structura internă a cuadripolului, dacă reteaua conectată la intrare si reteaua
conectată la ieşire sînt izolate una de alta (fără legături conductoare -'fig. 43.4).
În adevăr, în acest caz există o suprafaţă închisă L, care conţine una din aceste

retele si e dusă numai prin dielectric, cu exceptia a două puncte. unde e întepată
de cele două conductoare ale bor-
''
1.,..--,,
n nelor uneia dintre porţi. Conform

1 r-- ' teoremei continuităţii, suma cu-
\ renţilor care ies din această supra-
I 1z 2 fat, ă nulă
11 11 e si deci cei doi curenti
1 1' 7 J
J

1 1!1\! 1 Jlz)\ ai unei porţi sînt egali şi opuşi.
Dacă reteaua conectată la intrare
1 rl1 -12 2' si retea~a conectată la iesire nu
1 ~înt izolate una de alta (au cel
......__ puţin o legătură conductoare între
_1 1' /..1.1
ele), numai prin analiza structurii
fl ..... 1
lor sau a cuadripolului se poate
\ '-.... __ ....- A/.. X

stabili dacă cei doi curenti ai unei
Fig. 43.4. porţi sînt în mod necesa~ (adică,

exclusiv ca urmare a primei teo-

reme a lui Kirchhoff) egali şi opuşi. Aeeastă condiţie e sigur satisfăcută, de

exemplu, ori de cîte ori cuadripolul con-ţine un transformator, care asigură

separarea conductivă a porţii de intrare de poarta de ieşire.

43.3. Ecuaţiile şi parametrii cuadripolilor liniari, pasivi şi reciproci

!fDintre cele patru variabile [ 1, [ 2, 1 şi U2 care caracterizează interacţiunea

cuadripolului cu exteriorul, numai două sînt independente din punctul de vedere

al structurii interioare a cuadripolului. Dacă, de exemplu, se aplică la borne

tensiuni !11 şi !.!2 cunoscute, teoremele lui Kirchhoff permit determinarea unică

a curenţilor [ 1 şi [ 2• Există deci între aceste patru variabile, două relaţiide forma :

F1(!1, !2, !!.1, !12) = O F2(!1' !2, !!.1, QJ = O, (43.4)

numite ecuaţiile cuadripolului sub formă implicită, a căror cunoastere e sufici-
entă pentru studiul comportării cuadripolului în reţeaua mai ~are din care
face parte.

Cuadripolul fiind prin ipoteză liniar şi pasiv, aceste ecuaţii sînt neapărat
liniare şi omogene. Dacă ecuaţiile nu ar fi liniare, nu s-ar verifica teorema super-
pozitiei caracteristică retelelor liniare. Dacă nu ar fi omogene, curentii nu s-ar
anul~ pentru U1 = O, Q_~ = O, ceea ce ar implica existenţa unor surse interioare,
care nu există în cuad:ripolii pasivi.

Coeficienţii ecuaţii.lor liniare şi omogene ale cuadripolilor reciproci mai
trebuie să satisfacă teorema reciprocităţii (par. 38.3.5) aplicată reţelei izolate,
obtinută scurtcircuitînd bornele fiecăreia dintre cele două porti. Curentul secun-

da~ !~ produs de o sursă ideală de t.e.m. E conectată într~ hornele primare

!cu sensul lui 1 (astfel că Q~ = Jj;), bornele secundare fiind scurteircuitate

CUADRIPOLI ELECTRICI 239

(Jf:; = O, v. fig. 43.5, a), trebuie să fie egal cu curentul primar J~' produs

ele aceeasi sursă ideală de t.e.m. E, conectată între bornele secundare cu sensul

l2 (astfel că u; =-ce ~- ,Ş, Y. hf!. {f3.5, b), bornele primare fiind scurtcircuitate

UZ~'= O),

Relaţia dintre coeficienţi impusă de

aeeastă egalitate (valabilă pentru orice a.
2
valoare a tensiunii EJ se numeşte con-
~-u2"!\EGD!"2
diţia de reciprocitate. 1
2'
Ecuaţiile cuadripolilor (43.4) au w;=o-J1" 1 b.

diferite forme explicite, obţinute alegînd '11

cîte o anumită pereche de variabile ca

L, !variabile independente : U2 şi -I a2,ceU~e1
eiC.
şi 1 şi [.2, U 1 şi Q 2 în

forme explicite, celelalte două variabile

sînt exprimate ca funcţii liniare ~i omo- Fig .43.5.

gene de cele două variabiie independente,

eei patru coeficienti complecsi ai acestor functii numindu-se parametrii cuadri-
poh;lui sau consta;tele cuad1:ipolului. Condiţi~ de reciprocitate (43.5) impune

o l'elaţie între aceşti patru parametri: Un cuadripol diport, liniar, pasiv şi

reciproc e caracterizat prin numai trei parametri complecşi independenţi (sau

prin şase parametri reali). Toţi cuadripolii care au aceiaşi parametri sînt echi-

valenţi între ei şi pot fi substituiţi unul altuia, fără ca această substituţie să

afecteze starea reţ.elei mai mari din care fac parte.

Caracterul pasiv al cuadrlpolului (asociat valorilor pozitive sau nule ale

rczistenţelor latu:rilor lui) mai impune satisfacerea condiţiei ca puterea activă

totală primită de cuadxipol să nu fie negativă, oricare ar fi valorile variabilelor

inf!ependente :

<'galitatea corespunzînd cuad:ripolilol" nedisipativi.
Cei trei parametri complecşi independenţi nu pot avea deci valori arbi-

t:rare, ci numai Yalorile compatibile cu con.diţia de pasivitate (43.6).

43.3.1. Forma fundamentală a ecuaţiilor cuaru.-ipolului şi parametrii

fundamentali. Deoarece funcţiunea cea mai importantă a cuadripolilor c aceea de

element al unui lmri: de transmisiune a e11e:rgiei electromagnetice sau a semnalelor

elect:romaqnetice, forma fumlamental8. a ecuatiilor cuad:ripolilor e aceea în care
m!fă2r,i[m2ilpe1·idn e:rEilnaţtiriarleini!aZ_r1e, f.1 sint expl"imr1te î~ funcţiune mărimile ieşire
de de
şi omcogene de forma :

l-Jj.. _ / i)T 1 YYŢ
l-::_1- ~~.::._2 i ~=2
(43.7)
il1 = ~Il 2 + !2!.2

Coeficientii A, B, C, D a1 acestor relatii se numesc parametrii fundamentali
ai cuadripol\iluC!~Cşi D sînt coeficienţi' adimensionali, B e o impedanţă, iar

----------------------- ----------

CLJADRIPOL!

C o admitanţă. Parametrii fundamentali au următoarele interpretări expcn-
;:;entale :

= raportul de transformare al tensiunilor la mersul în gol

= valoarea inversă a admitanţei de transfer de scurt-

circuit (43.8)

1 = valoarea inversă a impedan-ţei de transfer la mers în
gol

= raportul de transformare al curenţilor la mersul în

scurtcircuit.

Cu ajutorul ecuaţiilor (43.7), condiţia (43.5) impune egalitatea :

Şl cum E e arbitrar, rezultă condiţia de reciprociîate :

~==:1 AD-BC=l 1. (4 ') f')'~). _-;

-- -- 1

exprimată cu parametrii fundamentali. Se observă că tJ. e chiar determinantul

sistenrului (43.7) şi conform cu (4,3.9) acest determinant nu poate fi nul. Ecua-

ţiile (43.7) au deci o solu-ţie unică, dacă sînt explicitate în raport cu Jl2 şi [ 3•

Folosind regula lui Cramer, se obţine o altă formă fundamentală a ecuaţiilor

cuadripolilor, în care mărimile de ieşire Jl2, [ 2 sînt exprimate în funcţie de cele

de intrare Q1, [ 1 :

u2 = l2!11- IJL (43.10)

Iz = - Idl11 + !!I1·

43.3.2. Parametrii impedanţă. Dacă ecuaţiile fundamentale (43.7) se pot

explicita în raport cu tensiunile Jl1, Jl.2 (adică dacă ~ =/= 0), se obţine o altă

formă a ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi :

l11 = Z.nl1 + Z.12l.2 (43.11)
!12 = z._21l.1 + Z.22l.2

CUADRIPOLJ ELECTRICI 241

------- (43.12)

în care coeficienţii sînt parametrii impedanţă ai cuadripolului

== Ac = .1rr1pedant'a de 'Intrare la mers 1A11 gol

AD--RC

1 impedanţa de transfer la mers în gol

- (:

Ţinînd seama de aceste expresii, condiţia de reciprocitate exprimată cu parametrii impedmqă

se scrie :

1- z;l2 = -- ~-=-1 (43.13)

'----·- 1

Determinantul sistemului (43.11) este :

(43.14)

Cu ajutorul parametrilor impedanţă, condiţia de pasivitate (13.6) se scrie :

-P = Re { ?"t ~ -?:22 12 + ~d!2!i -;- !d2)} =

+=Re { l:nlf ·-- g22q 23:12Il'z cos (!1, !z)}:;? O.
Această condiţie poate fi satisfăcntă pentru orice valori efective [ 1, [ 2 şi pentru orice defa-
zaj al curenţilor, dacă

Re { Zn};? 0: Re { ,;'22 };? O; ; Re { Zn ---Z22 };? 1 Re { Z:12 }!;? O. (43.15)

43.3.3. Parametrii admitanţă. Dacă ecuaţ.iile fundamentale (43.7) se pot

1explicita în raport cu curenţii 1, l_2 (adică dacă J3. =/= 0), se obţine o altă forrnă

-a ecuaţiilor cuadripolilor liniari şi pasivi :

u, + Y,QuY~lL__
~-----2 ,1 (43.16)

Y__,2:!U.__ 1 + -Y--- 22F_ 2i:'

în care coeficienţii sînt parametrii admitanţă ai cuadripolului :

D = admitanţa de intrare de scurtcircuit

B

:I_D -!]~
R

-l· == acl m1. tanta c1•C transf'er u' e seurtci• rctu. t

H'

P.

16--1668

242 CUADRIPOLI

Tinînd seama de aceste expresii, condiţia de reciprocitate (43.9) exprimată cu parametrii admi-
tanţă se scrie :

(43.18)

Determinantul sistemului (43.16) este:

+~Y = l:uY22- l:t2l:a1 = l:ul:za La· (43.19)

Cu ajutorul parametrilor admitanţă, condiţia de pasivitate (43.6) conduce la relaţiile:

2 {Yn 1l

Re{l:u} ~O; Re {1:22 } <;;:O ; Re
-!:22} ~ Re{L_2 } 1 ~O· (43.20)

43.3.4. Relaţii între diferitele categorii de parametri. Dacă determinantul

D.z=/= O, parametru admitanţă se pot exprima în funcţie de parametrii impedanţă

prin relaţiile :

-~.y12
== - -~ ~.y = - k-~z.' y 22 = -~ • (43.21)

J_ 11 01 -- flz
- Qz ' - Ax ' -"

iar dacă determinantul ~v =/= O, parametrii impedanţă se pot exprima în funcţie

de parametrii admitanţă. prin relaţiile :

z -y Z2- - X~ty2 . ~21 = - I~ny ; ~22 = X~):'u • (43.22)
-22.
_1 - '
_ u - ~'
-Y

Se observă imediat că

~z • ~Y = l. (43.23)
Dacă se dau parametrii admitanţă, respectiv impedanţă,
şi dacă
Y:u =/= O, respectiv ~21 =/= O, se pot calcula parametrii fundamentali :

_.?'as

~21

(43.24)

Se numeşte cuadripol degenerat un cuadripol pentru care unul din determinanţii ~z,

respectiv ~)" este nul. Pentru cuadripolii degeneraţi au sens numai unîi dintre parametrii

definiţi mat sus pentru un cuadripol oar<!care, ceilal~i parametri fiind infiniţi sau nedeterminaţi

(v. şi par. 43.4.1.).

43.3.5. Cuadripoli simetriei. Un cuadripol poate fi alimentat pe la bornele secundare,

eare constituie, în acest caz, bornele de intrare şi poate debita pe la bornele primare, care con-

stituie, în acest caz, bornele de ieşire. Aceasta e

1' alimentarea inversă a cuadripolului (fig. 43.6),
1 care corespunde, În ecuaţii, schimbării sensului

de referinţă al curentului

1 [IJ:=Ul; !l2=!12; li=-lt= f=-[2• (43.25)
l-u1'
Ecuaţiile cu a dripolului la alimentare inversă
1 se obţin cu ( 43.25) din (43.10):

"1~,--{_________r-~2'' +Q~ = Q!l{ ~J~ (43.26)
Fig. 43.6.
!2 = fd!ll. + 4!i .

CUADRJPOL! ELECTRICI 243

Se numeşte cuadripol simetric un cuadripol la care intervertirea porţilor de intrare ~i
ne ieşire nu afectează exteriorul. Pentru aceasta e necesar şi suficient ca prin substituţia 1;?2,
ecuaţiile la alimentarea inversă să coincidă cu ecuaţiile obişnuite (43. 7). Condiţia de sime-

trie necesară şi suficientă rezultă a fi

(43.27)

Cu ajutorul parametrilor impedanţa, respectiv admitanţă, condiţia de simetrie se scrie

{v, 43.24): ~2Z = - .g;w respectiv x22 = - Xu·

(43.27')

Un cuadripol simetric reciproc are numai doi parametri independenţi, iar condiţia de
l!'eciprocitate pentru cuadripoli simetriei se scrie :

(43.28)

·43.4. Determinarea parametrilor cuadripolilor
----

Principalul obiectiv al studiului unui cuadripol consistă în determinarea

parametrilor, care sînt suficienţi şi necesari pentru caracterizarea funcţionării
cuadripolului în reţeaua mai mare din care face parte. Această determinare

se face analitic sau experimental. În paragraful 44.3 vom prezenta metode

matriceale pentru determinarea parame-

tiilor unui cuadripol de structură mai

complicată, care poate fi prezentat ca ~ =1/1
o asociaţie de cuadripoli mai simpli,
cu parametri cunoscuţi. y1 = f/..l_1

43.4.1. Determinarea analitică. Dacă .Yz = 7/.Z.,z

se cunoaşte structura interioară a cu- a. 1.2 2
adripolului, ecuaţiile fundamentale (sau
altele) se pot obţine cu ajutorul teo- it 1 z J.-lz ~ .r = 1/..Z.

remelor lui Kirchhoff, eliminînd suc- '/ J!Î .l.1= 1/.[7
cesiv curenţii laturilor interioare şi
~1; 2' .z.2= 1/.12
presupunînd date tensiunile Jl1 şi Q2•
,,
'Parametrii cuadripolului rezultă atunci
prin identificare. Se pot folosi şi direct 1
relaţiile (43.8), (43.12), (43.17), studiind
b.

regimuri particulare de mers în gol şi 11 .lt ./_2 2
scurtcircuit.
'u~ \
Aplicaţii: 1. Cuadripolul în T(fig. 43.7,a).
Scriind ecuaţiile lui Kirchhoff pe cele două -1 'z,.!:!2)
ilchiul'i, se obţin relaţiile :
,,

+1!11 = ~d.1 (?;(11 -12) = G~1 ~H1 --?;Ia z~
+\ Jl2= -?;d2 +?;([1-lz)=g[I-(.g:a .g;)[2,
c.

Fig. 43.7.

244 CUADRIPOL!

în care apar direct parametrii impedanţă

z. z22 n.~u = ~1 + g, ~12 = - ~. ~21 =
+= --<~2

Cu relaţia (43.24), parametrii fundamentali sint (cu Y = l /Z): (43.30)

A= 1 + ~1K• B = .Z'1 + g2 + YZ1~2' !d = _r, !2 =~ l + g2r.

iar cu relaţia (43.21) se pot obţine parametrii admitanţă.
2. Cuadripol în ll (fig. 43. 7, b). Scriind ecuaţia a doua a lui Kirchhoff pe ochiul central,

rezultă:

şi

11 = Y1!!1 + I = cr1 + 1:> JI1 -- xrz2

{ I2 = l - Kzil2 = YJI1- 0::-2 + Y) +.!12·

Acestea sînt ecuaţiile în care apar parametrii admitanţă : (43.31)

l':u = Y1 + y, Y12 = -- y, Y21 = y, Y22 = -( Yz + l).

Cu relaţia (43.24), parametrii fundamentali sînt (cu 2!_ = 1 /X): (43.32)

+ ++A = 1 Y2~• li = .Z", !d = Y1 Y2 ~Y1Y2, 12 = I + x~z:,

iar cu relaţia (4-3.22) se pot obţine parametrii impedanţă.

3. Cuadripolul în punte (fig. 43.7, c). La structuri mai complicate e preferabil să stu-

diem direct regimuri particulare de gol (!2 = O, sau [ 1 = O) şi scurtcircuit (Q2 = O sau Q 1 =

~~ 0), folosind relaţiile (43.8), (43.12), (43.17). In cazul cnadripolului În punte, dacă secunda-
rul e În gol (.!2 = 0), rezultă :

şi

Se obţine:

(.Z', + Z:") (~2 + Z<) . --Z- 1+Z2+Z'"'-~'--- (43.33)

Z2~3- z:1z,

Dacă secundarul e în scurtcircuit (!_l2 ~ 0), rezultă :

Se obţine

CUAD!UPOLI ELECTRICI 245

Ca verificare, se poate utiliza condiţia de reciprocitate (43. 9). Ceilalţi parametri rezultă cu re-

Jaţiile (43.12) şi (43.17).
4. Tra.n~(ormatorul liniar (fără miez de fier). Considerăm transformatorul studiat în pa-

ragraful 36.3.2. şi care eom:tituie un cnadripol eu ecuaţiile (36.24), care se pot scrie:

Q1 = (R1 + .i cu[,) [ 1 - j w!_,_12!2

+{ lJ2 = j w[~,!,- (R2 j w[2) l2·

Se constată imediat că acestea sînt ecuaţiile care conţin parametrii impedanţă : (43.34)

++~n =R, j <ob,, Z12 ~~ - j w1,z. ~~' = j wh" Z"22 = - (1?2 j wL2)·

.Cu relaţia (43.24) rezultă parametrii fan:bmentali:

+ + + + +4 =o R 1 j(J)L1 • B = {<)_~~~ (R1 j<oL1)JR2 j<uL2). C = __1_. D = R 2 jwL~ . (43.35)
jwL21 ' - jwL21 ' - jwL21 ' - jwL21

5. Cuadripoli degenera!i. În figura 43.8 sint indicate cîteva tipuri de cuadripoli dege-
neraţi, împreună cu parametrii corespunzători (care au sens). Parametrii au fost deduşi din ecua ·

~j ~~21
\ j> 1/1' \
~~) Y.n ~~.X; :Xa = -- Y: 1'21 =X; X22 =--X
Ji!z
4 = 1: !!. = z; c =o; 12 = 1

J'o-<!-----+02'

a

)il, 1Zu = Z; Zl2 = - Z; Z2r = Z; Z22 "'' - Z

.t' o-+---~---4..02' b j_=I; J1~coO; G=X; 1]_=1
b.

1 Yu=X,; X,2=0; 1:'"2,=0; l"2z=-Y2
Z11 = Z1; Zu =o; Z21 =o; Z22 = - Y2
J~-'-1 ~

-. ,1u ~

~11
.r' 1

c

+A.=- l; B. = - (Z, Z2); ~=o; !1. = -1

1 y= 1

-12 z:, + Zm

246 CUADRIPOLI

ţiile de mai jos, scrise pentru schemele a., b, c, d, în ipoteza că cei doi curenţi ai fiecărei pe~
reehi de borne sînt egali şi opuşi (cuadripoli diporţi).

a) Jl.1 =.!la + ZJ2; !.1 = Is (ecuaţiile fundamentale)

+b) Ql = Ilz; L_ = YTl2 !2 (ecuaţiile fundamentale)

(43.36}

c) !11 = ~J1; !12 = - ~2l2 (ecuaţiile cu parametrii impedanţă)

d) !!.1 = - Iln- ~1 + !iz)l2; l1 = -Iz (ecuaţiile fundamentale)

s;În cazurile a şi d nu au sens (sînt infiniţi) parametrii impedanţă, deoarece = O şi Qy = O;

în cazul b nu au sens (sînt infiniţi) parametrii admitanţă, deoarece !J. = O şi ~z = O; în cazul
c nu au sens parametrii fundamentali, deoarece 1::12 = O şi Z_12 = O, iar cuadripolul nu poate

realiza nici un transfer de energie între primar şi secundar.

4,3.4.2. Determinarea experimentală. Fără a cunoaşte structura internă
a cuadripolului, valorile numerice ale parametrilor săi (la o frecvenţă dată}
se pot determina experimental. De obicei se fac următoarele incercări :

- o încercare de mers în gol ([_2 = 0), cu alimentare directă (pe la bornele
primare);

- o încercare de scurtcircuit (U2 = 0), cu alimentare directă;

- o încercare de mers în gol (G = - [ 1 = 0), cu alimentare inversă.

(pe la bornele secundare);

--o încercare de scurtcircuit (IZ~ = Jl1 = 0), cu alimentare inversă.

Sînt suficiente trei din aceste patru încercări, în care se măsoară trei dintre
următoarele impedanţe complexe :

Impedanţa primară de mers în gol (v. şi 43.12)

~lo = ( Il1) = 4_ = ~n· (43.37)
l1 !z=O 52
Impedanţa primară de scurtcircuit (v. şi 43.17)

(43.38)

Impedanţa secundară de mers în gol (v. 43.26 şi 43.12)

z9 = (1112;)!J.=O = 12 = -- Z 2 2 · (43.39)
s;:
-·o

Impedanţa secundară de scurtcircuit (v. 43.26 şi 43.17)

z (U') B-2SC -- ~1' u '=o -- =A - - -y-1 . (43.40)

_2 1 - -22

Măsurările se fac cu puntea de impedanţe (puntea Wheatstone de curent alter-
nativ); sau cu voltmetrul şi ampermetrul(pentru măsurarea valorilor efective
şi deci a modulelor acestor impedanţe) şi cu wattmetrul (pentru măsurarea
argumentului acestor impedanţe, prin intermediul factorului de putere

cos cp = P fUI).

CUADRIPOLJ E[ECTRJCJ 247

-----------------------------------------------------------------------~

Din (43.38 ...43.40) rezultă că cele patru impedanţe sînt legate prin relaţia

IZ- 1oZ-2se = Z2oZ--1se' (43.40')

din care cauză numai trei valori independente. Parametrii fundamentali se

determină din relaţiile de mai sus şi din condiţia de reciprocitate -4!2- !!_Q_ = L

Se obţin expresiile :

(43.41}

Cele două semne de mai sus arată că există doi cuadripoli- cu parametrii fundamentali dife·

riţi prin semn- care au aceleaşi impedanţe de gol şi scurtcircuit. Această ambiguitate pro·
vine din faptul că, la măsurarea impedantelor complexe, bornele de intrare respective pot fi
intervertite, fără ca rezultatul rnăsurării să fie afectat. Ambiguitatea se poate înlătura, dacă
se măsoară şi defazajul tensiunilor la mersul în gol, adică

(43.42)

după marcarea prealabilă a bornelor cu l, l' şi 2, 2'.
Observaţie: La cuadripoli simetriei, d = Q, ;?10 = ~20 ,
capătă forma : glse = Zasc şi relaţiile (43.41}
(43.43)
V VA = D = ±

--
~~. ~-~~o lse-- ± l
l-l::loglse'

Pentru exemplificare, a se vedea paragraful 43.6.3, aplicaţia 2.

43.5. Impedanţe caracteristice

Un cuadripol alimentat direct (pe la bornele primare), care funcţionează în
sarcină cu o impedanţă l_2 = !J2 /l_2, conectată la bornele secundare (v. fig. 43.9, a).
prezintă la bornele de alimentare
o impedanţă echivalentă complexă 1 2
-2
1~~
(v. rel. 43.7) : !.§. f.P !! ) ~z

~'l = 2

IZ! = AE2 ++ !ils =

l1 CTJ2 DJ2 2'
.dZ2 + 11
(43.44) a

1 J',

numită impedanţă de intrare primară j, (_t'', A.§_,r;_ 12 Ze-2:
şi dependentă de impedanţa de sar-
cină ~2 • f' b <?
Fig. 43.9
Un cuadripol alimentat invers

(pe la bornele secundare), care func-
ţionează în sarcină cu o impe-

246 --~-~---~-----~--------------------

CUADRIPOL!

danţă ~1 = U~/l{, conectată la bornele prirnare (Y. fig. 43.9, b), prezintă
la bornele Je alimentare o irnpedanţă echivalentă complexă (v. rel. 43.26) :

12Z.t+li (43.4<5)

~-t+d

numJtă impedanţă de intrare sec11-ndară şi dependentă de impedanţa de sarcină

f'r In general, ~. 1 -=/= ~2 şi g_e =/= ~1·
2
43.5.1. Impedanţe caracteristice (ite:rative). Se numesc impedanţe carac-

teristice iterative ale unui cuadrinr oi o pereche ele impedante -Zc1 s~ i -Zc2 , definite
J

cum urmează :

1lmpedanţa caracteristică directă ~c e impedanţa de sarcină, care trebuie
conectată la bornele secundare, pentru ea impedanţa de intrare primară să fie

egală cu ea (fig. 43.10, a) :

-Z2 = z ________,. z = z.. (43.46)
~•1
_el -'1
Înlocuind aceste valori în relaţia
şi
.eu zel' se obţine cu relaţia'(43.9)·
(43.44) rezolvînd ecuaţia obt' inută în rauort

z_ = 4.=-~--:t:_ VC4+~-2+4 (43.47)

--'l 2c

şi în funcţie de impedanţele de gol şi scurtcircuit, cu relaţiile (43.41),

z z, + V z= _!_ [Z -
1 2(Z
~
._e_i 2 ~lo --o - -o~-;-z---o--)2 j=-Tz --1-- (43.48)

' ·~2o~I,,-

b.

Fig. '13.10

lmpedanţa caracteristică inversă ~ez e impedanţa de sarcină, care trebuie

conectată la bornele primare, pentru ca impedan ţa de intrare secundară să
fie egală cu ea (fig. 43.10, b),

z--l """ z.- '2 ---z~e2 = _zc.2. (43.49)

Inlocuind aceste valori în relaţia (43.45) şi rezolvînd ecuaţia obţinută în raport

cu ~c2 , se obţine cu relaţia (43.9),
z=
tJ- L'L ± v'(~:J+ Pf'+-4 (43.50)
_c2 2

şi în funcţie de impedanţele de gol şi scurtcircuit, eu relaţiile (43.41),

~e2 = ~ [~2o - ~lo +V(~~~- ~2o)2 + 4l2o~l,J (43.51)