Timotin, A. - Lectii de bazele electrotehnicii - vol.1 - scan

.METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 349

Cu relaţiile (51.17), (5Ll9) şi (51.20), soluţ.ia (51.18) se scrie:

• - 7'o
c -1) (e-Re --1) 1i(t} =- ~F!!. (y(t) --- y(l 1~)) + ~o[( RC
y(t) -- y(t --- 1~)

•J

R.c1 ' - 7'o (Sl.21)

i(t) =~ ~o [ e-Re y(t) -- e y(t -- 1~)].

Am obţinut exact soluţia (50.24), scri~ă acum strîns cu ajutorul funcţiunii treaptă lmitat«.

52 11 METODA OPERAŢIONALĂ

'- • (TRANSFORMAREA LAPLACE)

Prin aplicarea teoremelor lui Kirchhoff În valori instantanee, la studiul circuitelor electrice
liniare, se ob~ine un sistem de ecuaţii integro-dife:renţiale liniare, relaţiile (36.5) şi (36.10), cu
coefici~nţi constanţi, în care necunoscutele sînt de obicei valorile instantanee ale curenţilor.

ln regim permanent sinusoidal aceşti curenţi sînt complet determinaţi de valorile instan-
tanee ale tensiunilor de alimentare. În capitolul 34 şi următoarele am arătat că rezolvarea siste-
nmlui. de ecuaţii se simplifică în mod esenţial p:rin utilizarea reprezentării în complex a mărimilor

+sinusoidalc, care asociază fiecărei a•emenea mărimi i(t) = I V2 sin ( M y) o imagine 1n com-

plex unică l prin regula

/52,1)

cu următoarele proprietăţi principale :
-~ biunivocitatea reprezentării, asigurată de faptul că şi fiecărei imagini complexe îi

corespunde o singură mărime sinusoidală, prin regula

e- 1(l) 1 = Im { f"2 ei''''l} = 1]! 2 sin ( t.<>t ~ y) == i(t). 152.2)

·· linirn:itatea reprezentării :

e(J~l i l

--reprezentarea operaţiei de derivare printr-o operaţie algebrică : înmulţirea cu un nnmiir
(imaginar),

(S2A)

Avantajele pe care le prezintă metoda reprezentarii în complex rezultă din ace. te proprie·
tă~i şi consistă În faptul că sistemul de ecuaţii integro-d~fm·enţiale, satisfăcute de valorile instan·
tanee sinusoidale, se reprezintă biunivoc într-un sistem de ecuaţii algebrice liniare, satisfăcute do
imaginile lor in complex. Ca urmare, calculul circuitului se face mai simplu şi mal sistematie,
rezolvînd acest sistem de ecuaţii algebrice (forma complexă -rei. 36.22 - a teoremelor lui
Kirchhoff), determinind astfel imaginile complexe ale funcţiunilor necunoscute şi, cu ajutorul

reprezentării inverse (52.2), aceste funcţii însele.
O prescripţie de calcul 81', care asociază univoc fiecărei funcţiuni i(t) dintr-o anumită clasă

eo anumită imagine Sr(i), se numeşte operator. Operatorul al reprezentării în complex este
un operator liniar, (proprietatea (52.3), care admite un operator invers e-1 (52.2), şi eare an.

proprietatea remarcabilă (52.4) de a transforma derivarea într-o operaţie algebrică. 'Metoda

reprezentării În complex este, în fond. un t>xemp!u elementar de metodă operaţională.

350 - - - - CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

.În regim tranzitoriu. curenţii sînt funcţiuni de timp dintr-o clasă mult mai largă, complet
det.erminaţi atît de valorile instantanee ale tensiunilor (componentele forţate ale curenţilor)
cît şi de condiţiile iniţiale ( ccmpcnentele de regim liber ale curenţilor). Simplificarea :rezolvării
shtemului de ecuaţii integra-diferenţiale ale circuitelor liniare se poate obţine cu o metodă
operaţională, dacă se găseşte un opera tor liniar f, care să asocieze biunivoc fiecărei funcţiuni
de timp i(t) din clasa dată o imagine f(i), astfel încît operaţia de derivare a funcţiunii dec
timp să Ee transforme într-o operaţie algebrică liniară, efectuată asupra imaginii.

Da~!i aceste condiţii sînt îndeplinite, ecuaţiile integro-diferenţiale liniare ale circuitelor
se vor rerrezenta prin ecuaţii algebrice. Se pot e"tinde astfel la studiul regimului tranzitoriu
avantajele utilizării calculului în complex de la studiul regimului permanent. Metoda opera-
ţională e deci o metodă de reprezentare simbolică (v. cap. 34).

Se arată că există mai mulţi operatori eare satisfac condiţiile de mai sus, pentru diferite
dase de funcţiuni de timp, sus~:eptibile de a prezenta interes în problemele de electrotehnică.
Astfel, de exemplu, metoda descompunerii spectrale (cap. 50) poate fi prezentată ca o metodă
operaţională, În care operatorul, definit de transformarea funcţională (50. 7), asociază univoc
fiecărei funcţiuni de timp f(t) (pentru care există integrala Fourier -rei. 50.4) o imagine com-
plexă F(j w), funcţiune de o variabilă imaginară. E u.;;or de verificat că acest operator e liniar,

eă reprezentarea e biunivocă şi că derivarea se transformă în înmulţirea cu .i w. Clasa de func-

ţiuni ele timp cărora li se poate aplica integrala Fourier e însă prea restrînsă, din cauza condi-
ţiilor (50.5) şi (50.6), care exclud aplicarea acestei metode la regimuri tranzitorii, cu mărimi de

regim,permanent diferite de zero.
In electrotehnică se utilizează din ce în ce mai mult metoda operaţională, in care opera..

torul :!:. e definit cu ajutorul unei transformări funcţionale, numită transformarea lui Laplace.
Această metodă e aplicabilă unei clase mult mai largi de funcţiuni de timp decît aceea suscep-
tibilă de transformarea Fourier. Metoda se utilizează mai ales pentru studiul regimurilor tranzi-
torii ale circuitelor liniare cu parametri concentraţi (în care apar ecuaţii diferenţiale ordinare
liniare, cu coeficienţi constanţi), dar se poate aplica şi la studiul regimurilor tranzitorii in
-circuite liniare cu parametri repartizaţi, cum sînt liniile electrice lungi, studiate in capitolele
următoare (în care apar ecuaţii cu derivate parţiale liniare ~i cu coeficienţi constanţ-i).

Deoarece cea mai simplă operaţie neliniară, înmulţirea a două funcţiuni de timp, nu se
reprezintă prin înmulţirea imaginilor acestor funcţiuni, mPtoda operaţionalâ prezentată aici nu e
apiicabilă circuitelor neliniare.

;}2.1. Transformarea Laplace şi proprietăţile ei

52.1.1. ·Funcţhmile ol"iginal. Transformarea Laplace e definită de integrala :

ce (52.5)

~ f(t) e--pt dt,

o

in care f(t) e o funcţiune reală de timp, iar p = cr j w o variabilă complexă 1•
Se demonstrează convergenţa acestei integrale 2 dacă sînt îndeplinite urmă-

toarele conditii :

a) Pentr~ t >0, f(t) să fie netedă pe porţiuni (v. nota de picior de la înce-
putul paragrafului 47.1.1.).

1 În acord cu notaţiile uzuale, variabila complexă p şi func~iunile de această variabilă
F(p), care sînt imaginile Laplace ale fnncţiunilor de timp, nu vor fi subliniate. Caracterul

lor complex e suficient precizat prin prezenţa simbolului p.
2 Pentru detalii privitoare la transformarea Laplace şi la calculul operaţional se poate

;'ons_ult~ lucrarea_: ~- 1. K o n. t vo-r o ~ i e i, • "Calculul operaţional şi fenomenele tranzitorii

w. nrcw.tele electrue , Ed. ener!(etlca de Stat, 19::.5.

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 351

- - - - - - - - - ~~------

b) Pentru t>t0 > O, f(t) să. nu crească in modul mai repede decît o expo·

nenţială, adică să existe constantele pozitive A 0, cr0 şi t.0, astfel ca :
(52.6)

c) Variabila complexă p să aibă partea reală suficient de mare, adică :

IT= He{p} ;.> IT4 , (52.7)

unde IT e marginea inferioară a constantelor cr0, pentru care e satisfăcută con-
4

diţia (52.6) (abscisa absolută de convergenţă a integralei).

· Clasa funcţiunilor de timp pentru care se utilizează metoda operaţională

cu transformarea Laplace e definită în sens restrîns de condiţiile a şi b de mai

sus si de intervalul de definitie al variabilei

''

o t<:;:oo. (52.8)

Dacă această clasă :;e î:ntregeşte §Î cu funcţiunea improprie a lui Dirac 3(t),
studiată ca limită a impulsiei finite (v. par. 52.1.2)- deosebit de utilă pentru

prezentarea fenomenelor tranzitorii în anumite circuite idealizate în care apar
discontinuităţi - se obţine o clasă de funcţiuni de timp suficient de largă
pentru aplicaţiile întîlnite }n electrotehnică. Funcţiunile din această clasă se
numesc funcţiuni original. In cele ce urmează presupunem că toate funcţiunile
de timp care intervin sînt funcţiuni original.

52.1.2. Funcţiunile imagine (tnmsformatde Laplace). Fiind dată o func-
ţiune original f(t), se numeşte imagine Laplace sau transformată Laplace a ei
funcţia F(p), de variabilă complexă p, univoc asociată primei prin expresia :

00 (52.9)

F(p) = ~ f(t) c-pt dt, cu Re{p} >era.

o

Cînd He{p} <:;:cr,. şi integrala (52.5) e divergentă imaginea Laplace e definită
prin prelungirea analitică a funcţiunii de p, astfel obţinută, (ceea ce înseamnă,
practic, prin expresia în p obţinută cu 52.9).

Transformata Laplace ~ astfel definită ca o funcţiune analitică de p in
întreg planul complex, cu excepţia singularităţilor care există în semiplanul
Re{p}<cra. Se demonstrează că această regulă de asociere e biunivocă, definind

un operator notat cu simbolul f

F(p) = f[f(t)] = f[f], (52.10)

care asociază fiecărei funcţiuni originai f(t)(cu (~-0) o imagine complexă F(p)-
şi al cărui operator invers se notează cu simbolul f-t.

f(t) =f-l(F(p)J = f-1[F] (52.11)

şi asociază fiecărei imagini complexe F(p) o funcţiune de timp f(t), univoc
determinată pentru t O.

52.1.3. Transformatoarele Laplace ale unor funcţiuni uzuale. Folosind relaţia 52.9.
<'alculăm imaginile unor funcţiuni frP.cvent întîlnite in studiul regimurilor tranzitorii.

352 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZI''l'ORIU
L Imaginea unei constante. Pentru o -::onstantă C, lund O"a o= O şi Re{p} > O, rezultă :

{5.2,12)

În r'ut.icular,

f[O] =O, (52,12')

Se observă că, în acest ca:l, .integrala e divergentă pentru Re {p} ~ O. Expresi.a (52.12) defineşte
însă univoc o funcţiune analitică de p În tot planul complex, cu excepţia originii unde are un poL

2, Imaginea funcţiunii treaptă unitate ·r(t). Deoarece pentru t>o, funcţiunea treaptă (Sl.l),

e o constanti'!. de valoa1:e unitate,

f[y(t)] = r~o y(t) e·-p• dt = ~"' dt c~ p (52. !:~ i
e-pl

Il o

lnw,ginen mwi expmwnţiale. Pentru funcţiunea exponenţială eu.< se obţine:

00

Jent] =~ei"'

o

Com!derî'nd Re {pJ>:x, şe obţ.ine imaginea eăutată:

~.[e"']. =~1~
p-IY.

ŞL, w acest caz., integrala e divergentă pentru Re{p} ~<X, dar expresia (52 .14) defineşte univoc
o funcţiune analitică de p în întreg planul complex, cu excepţia punctului p = rx, unde are un poL

4. Imaginile funrţizmilor sin wt, cos wt, ch at, sh at se obţin simplu, exprimînd aceste
funetiuni prin funcţiuni exponenţiale. De exemrlu,

Cnl<eulîru:ll integrala pentru He{p} o~ t(·zu1tă hnaginca :

'[S2.1S)

'~ .), Imaginea impulsiei dreptun-

f=H ghiulare finite, neretardate. O impulsie

T dreptunghiulară finită neretardată
Fig. 52. l
(fig. 52.1) e definită de condiţiile:

l o pentru t ~ O şi

~ i pentru t > T,

i(<) .A ~·· H pentru o < t <; T

T
(52.16)

t undt' T c durata impulsiei, H c•-· A

-

'T

amplitudinea impul~iei, iar A irite-

-------~---~-~-

--~~--M-ET-O-DA~-O-PE-R-AT~IO-N~A-LA--(T-R-AN-S-FO-R-M-AR-E-A-L-A-PL-A-CE-) -------~'35~"

grala ei. Se observă că impulsia dreptunghiulară finită se poate exprima eu ajutorul funcţiunH
treaptă unitate y(t) sub forma :

(52.16 )

Imaginea aceotei impulsii rezultă :

T ~pT

J""'[nu y(·t)- e~pl u~t = H- -1--pe-~--
H y(1~- '1')'] = fn1 ( (:52.17)

o pT

Dacă integrala (aria) impulsiei dreptunghiulare e egală cu unit,.tea A = 1, se obţine impul-
sia unitate finită (nereta:rdată), de durată finită T ~i amplitr:.iline l /T, notată Oy(t)

0""7(1) = }- [y(tJ, ~-- " rl n)1-. {52.18)
(52.18')
'((t-

T

Imaginea impulsiei unitate finite rezultă. :

_ l-e-p2'

'1:1roT~.(t)J = - -p-T- -

6. Imaginea impulsiei ddta (Dirac). În aplicaţii inte•·esează adesea c&zul limltă idealizat
al impulsiei dreptunghiuhcre, de durată Ll T extrem de scurtă, Ll T -+ O şi infinit de înaltă

co}( H LllT.Jj. = : - - ..-l ~ avx, nd ari.e finr.ta, 1s1, ega~]a" cu uni.tatea (n~ g . !":n>~. 2,}· P·..eest caz J..1. n1,1ta, d en~ neste o
. '

funcţiune improprie- numită şi im-pulsie delta Eau func1iunea delta a !u.i D;rac sau f-uncţiunea
impulsie unitate, notată O(t)- cu care se poate opera ccrect~ dacă ~e efectuează calculele cu
impulsia unitate finită şi se trece la limită numai în expresiile :finale. Formal s<; scrie :

(52.19)

Imaginea :rezultă din relaţ.ia (.52.18') prin aplicarea regulii lui L'Hopita! ;

(52.20)

In tabela 52.1 se in:lică imaginile unor fm,cţiuni de timp, care intervin frecvent în studiul
circuitelor.

Vig, 52.2

2.3-1668

CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

Tabela 52.1.

f [f(t)l f(t)

1 1 S(t)

1 L~ 1

2 'l 1, y (t)

3 =·~ -~-~- e~ma
1
4 p se-"1
-
5 1
--1-- ( e ~ 1.. -e-bl)
6 -~ llb-~

i p+a _..,l-1+ -1- -.::-b: ~-1e
ah b-a b a1
17~ 1
- -1 - ( be-bi-ae_.,,)
8 +(p a)• b-a

9 1 1

1 +(p +a) (p b) sin wt

1-- 1 cos wt

1 -1 10 p (p + a) (p + b) 1
11
p sh at
12 (p +a) (p + ~)
ch ae
13 \(ij
1
pa+· 002 ';\ 1

p ~:os (we+b)

+p2 002 sin(cu&-j-b)

-a- 1

p2-a2 .Il"""""'"' Slll Wl

--

p
p2- a2·

+1 (p cos b-oo sin b)

p2 w2

1 (p sin b + w cos b)
p2 + (J)2

14 (iJ 1 e-"' cos we

I1 -- + +(p• a•) ooa
l 15
p+a
16 ---~ 1 sin wz
+(p a)2 + w2
- 1
2wp
17 $ cos wt
+(p• w2)2
1 - ---.~~---~~--
p2- (,)2

+(pZ w2)a

-

---------· 355
METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE)

Tabela 52.1. (continuare)

1 f[f(t)J i(t)
1
1 1 1 n-1 e- a l
18 (p +a)"
1 --1
19 e-pT
1 (n-1)! -
---
1 S(t- T)
20
1 -pT 11 -- y(t- T) 1
~-- -e
p l
21
- -1 - p T -a(I~T)
---
e y(t-1') e
22 TSr(t) = y(t)- y(e- T)
p+a

-1 ( l - e-pT) l
p
"

52.1.4. Corespondenţa operaţiilor fundamentale prin tl·ansformarea Laplace.
Operaţiile fundamentale cu funcţiuni de timp care intervin în ecuaţiile circui·
telor sînt înmulţirea cu un scalar, adunarea, derivarea şi integrarea. Pre-
zentăm operaţiile corespunzătoare cu imagini pe care le implică corespondenţa
biunivocă stabilită de transformarea Laplace.

1. Transformata Laplace a sumei a două (sau mai multe} funcţiuni de timp
.e egală cu suma transformatelor fiecăreia în parte. În adevăr;

+ +~1%1 (f1(t) f2(t))e-1'1 dt = ~00 f1(t)e-P' dt ~"" f2(t)e-P1 dt

j) o ()

adică: + +f[fl f~] = f[fJ f [f:J,

(52.21)

~n analogie cu (34.63').
2. Transformata Laplace a produsului dintre o constantă A şi o funcţiune

de timp e egală cu produsul dintre acea constantă şi transformata funcJiunii. În

adevăr;

~"" )..f(t)e-P' . dt = )" ~00 f(t)e-P1 • dt

adică: oo
f [)..f] =).. f[f],
(52.22)

în analogie cu (34.64'). Proprietăţile (52.21) şi (52.22) se prezintă strins prin

relaţia:

{52.23)

care exprimă proprietatea de liniaritate a transformării Laplace (teorema

liniarităţii).

356 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

3. Transformata Laplace a derivatei unei funcţiuni de timp e egală cu
produsul imaginii funcţiunii prin p, mai puţin i;aloarea iniţială a funcţiunii
(teorema derivării ). În adevăr, integTînd prin părţi, se obţine:

~ m~ m

+f [ ~] = ~ ~ e~P1 dt = f(t)e-P1 1 p ~ fe~P' dt = p ~ fc-P1 dt ~ f(O),

c oo .. o

deoarece observînd condiţiile (52.6) şi (52.7), rezultă (cu Re {p} = cr)

:PAoIim 1 f(t)e~pll Iim 1 e-(p-cral• j . Aolim e-(cr-<ra)' =O.

~~00 ~......" ~ g--:i'-00

Aşadar:

f r~-q = p f [f] ~ f(O). (52.24)
dtj

. În cazul unei derivate de ordinul (n) se obţ:ii1e; aplicind de n ori regula de mai BUS~

reiaţia;

f [:~:] = f [f"] = PH f [f]- pn-l f(o) _:_ p"-2 f(ll (o) ..... - rn-i (o). (52.25)

ln ;;azul condiţiilor iniţiale "ăe repaus" f(O) = O şi din (52.24) rezultă:

l ..f 1~ p f [f] . (52.26}
at J

Adică, derivarea funcţiunii original în raport cu timpul se rep:re7:Întă prin inmul~
ţi:rea imaginii cu variabila complexă p (în analogie cu 34.65').

4. Transformata Laplace a integralei in (O,t) a unei funcţiuni de timp e egalt'i

cu produsul imaginii funcţiunii prin _! (teorema integrării). În adevăr, cladi

p

g(t) = ~ f('t) d-r, (52.27}

Il

avem :~ = f(t) şi g(O) = O. Cu (52.24 rezultă atunci :

f [f] = f [~~] = pf [g],

de unde cu relaţia (52.27)

= ..!:.. f[f]. (52.28}

p

Integrarea funcţiunii original în timp de la O la t se reprezintă prin împărţirea
imaginii cu variabila complexă p (în analogie eu 34.67').

Teoremele de mai sus arată că transformarea Laplace îndeplineşte condi~
ţii!e cerute de a asiglua reprezentarea ecuaţiilor integro-diferenţiale ale circui~
telor prin ecuaţii algebri~.:e.

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 357

52.1.5. Alte teoreme privind transformarea Laplace

< L Teorema retardării (a întîrzierii) : Dacă cp (t) e o funcţiune original identic nulă pentru

1 O1, atunci imaginea funcţiunii retardate (v. fig. .52.3) se obţine din imaginea funcţiunii nt,re·
tardate f (l), prin înmulţirea cu cu e-PT :

(52.29)

'l'(t)

--,v'Y'ft -rJ

_'_'____.. .,.,.".

t

Fig. 52.3

ÎD adevăr., deoarece cp(t- 'r) = O pentru t. -~ -r

00 00

:f {<p(t- "\")] = \ cp(!-~·"\")e-1'1 dt = ~ cp (t -~

1=~

~

=" e -p~ ~ cp (~)

~;;:o

+2. Teorema deplasării : Dacă F(p) e o imagine, atunci funcţiunaa l!'(p >.) e imaginea

produsului dintre originalul lui F(p) şi e--1.1

+f [e- 1.1 f(t)] = F(p A) dallă f (f) = F(p). (.5.2.30)

+-~ [e-1.1 f(t)] = ~"" e--/,1 f(t)•r·l'' dt=~""f(t)e-(!'H)I dt = F(p J\),

o ([!

00

~ f(t} e-·1" dt = JF(p).

o

3. Teorema lui Borel (a produsului, a înfăşurării, a commlaţiei): Produsul imaginilor Fi(p)
~i E'~(p) a două funcţii f1(t) şi f1(t) e imaginea funcţiunii

1 (52.31)

f(t) = ~ fl(1") f2(t~-'t") (h,

O)

1 O astfel de funcţiune de timp se obtine din orice functiune f(t) dată în -- oo < ţ < oo

prh:J inmnlţi.re cu funcţiunea treaptă unitate y(t), rd. 5Ll).

35~ CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

"diră

[~f1("t") ~·t') 12 fm(t d-r = f [f1] • >.':[f2] = I<\(p) · F3(p) 1 (S2.32)

o

<t :reurema: asemănării: Schlmbana va:riahilei t cu at •x>respmHle împărţirii variabilei li~

ş] a întregii hnagini c1.1 a :

.rq ..'l:.[f(at)] =' 2_ F ( (52.33)
(1 fii

52.2. Determinarea funcţiunii {)dgiual
corespunzătoare unei transformate La:place date

52.2.1. Metcde de invcn:hme. Determinarea funcţiunii original corespun-

zătoare unei t:ramfmmate Laplace date se mai numeşte inversiunea transformării
Laplace. Principalele metode de inversiune, în ordinea utilizării lor în aplicaţii,

sînt următoarele :
l. Folosirea tabelelor de transformări. Datorită caracterului biunivoc al

>transformării, toate funcţiunile original identice pentru t O au aceeaşi imagine

şi, reciproc, toate funcţiunile cu aceeaşi imagine sînt identice pentru t >O"
O primă posibilitate de determinare a funcţiunilor original consistă în folosirea
unor tabele de corespondenţe, care conţin imaginile calculate ale unui mare

număr de funcţiuni original (cum e, în particular, tabela 52.1). Folosirea tabe-
lelor se completează cu utilizarea teoremelor prezentate în paragraful 52.1.3.
şi 52.1.4.
. 2. Teoremele dezvoltării ale lui Heaviside. În cazul cînd funcţiunea imagine

e raportul a două polinoame (în variabila·pJ; u!n care numărătorul are un grad

mai mic, se descompune această imagine în fracţii simple (v. mai jos par. 52.2.2).
3. Formula de inversiune Nlellin-Fourier (numită şi formula Riemann·

Mellin). În cazul general, funcţiunea original f(t), cu t >O, care are ca imagine

>o funcţiune F(p) dată, analitică in semiplanul Re {p} cr0, este

~f(t) co+jro

= ~rcJ ( F(p)e P' dp, (52.34)

)

integrarea făcîndu-se de-a lungul dreptei Re {p} = cr0, care lasă la stînga ei 2
toate singularităţile funcţiunii imagine.

52.2.2. Teorema dezvoltării (prima form.ă). Considerăm cazul în ca:re ima-
ginea e raportul a două polinoame prime între ele. gradul polinomului de la
numitor fiind mai mare decît gradul polinomului de la numărător şi polinomul

:\ Pentru Uernonstraţie a se cousulta ~I. I. Kontorovici, lucrarea citată.
~ Pentru demonstraţie şi indica.l,ii de utilizare se poate con•ulta M.. I. K.ontorovid,
1uer12l:re8 cil.ată.

~~~~-~~~M-ET-OD-A -O-PE-RA·TIONALA (TRANSFORMARE-A -LA-PLA-CE-) -~--- 359

de la numitor avînd n rădăcini (zerouri) simple Pk• evident diferite de cele
ale polin'Jmului de la numă:rător:

(52.35)

(prin împărtire, rapm·tul a două polinoame oarecare se poate aduce la această
formă după' separarea unui termen aditiv : polinomul-cît).

În acest caz. funcţiunea imagine se poate descompune într-o sumă de

f:racţ.ii raţionale :

F(p) = P1(p) ~""' C1~- + ~ + ...+ ~.
P~(p) p-p! p-p~ P -p,,

Pentru a calcula coeficienţii C1, ai acestei descompuneri, se formează produsui

(p - nk) ~1(p) s' i se calculează limita acestui produs cind ~p tinde către n,~.,,,, apli-
~
r P2(p)

cînd regula lui L'Hopital. Se obţine :

= cllPl."i"DP.~
['(p - p k)P-l(.p-)J P1(P1<) lpi~m·P.k p- -- P- -J.'.= P1'P(k) - • .1- . - = ·k·
p 2 (Pk)
. P~(p) P2(P)

Introducînd aceste valori ale coeficienţilm: C;, în descompunerea în fracţii raţio­

nale, rezultă relaţîa :

F(n) = f,'Pl(p~) ~._1_'~ = '>.:::.._ Pl(Pk) f [lkc],

.!. :t;;'il~(pt,) P,~Pk t;:;;f P:i(p~e)

în car'!': am notat :

P~( Pk) = ('t:P~)

,ap;p"-=P.t

şi am folosit I'elaţia (52.14), cu IX= Pk• Aplicînd teorema liniarităţii, relaţia (52.23).
se obţine:

f (t) t f 1,~~---~-~------·---~-·---~ (52.36)
= Pl(P!,) rt/'ki = -1 [Pl(Pk)]
k~l P:,(pk} P2(Pk) 1

Această relaţie se numeşte prima formă a teoremei dezvoltării (a lui I:Iea-
viside).

52.2.3. Teorema dezvoltării (a doua formă). Considerăm cazul particular

în care polinomul P:lP) are o rădăcină nulă şi deci se poate pune sub forma:

P2(p} = p P3(p),

in care rădă.cinile polinomului P 3 sînt Pk> cu k = l, 2,..., n ~- 1.

CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

Pentru găsirea funcţiunii original, aplicăm prima formă a teoremei (52.36),

+<observînd că P~(p) = p P~(p) P3(p); P~(O) = P3(0) şi P~(pk) = PkP~(Pk),

deoarece P 3(pk) = O, cu k n.
Cu aceste valori relaţia (52.36) devine :

tf(t) = P~(Pk) epkt = 1 Pt~O) + ~ P1~p4:) ·:;~ :e-- 1 -[ P1(p)] ·.·1·· (52.3"7)
k=l P2(Pk) 1 Pa\0) k=l P.kPs(Pk) pPa(P)

Această relaţie se numeşte a doua formă a teoremei dezvoltării (a lui Heaviside).

52.3. Aplicarea transformării Laplace
la studiul unor regimut·i tranzitorii

Din egalitatea celor doi membrî ai unei ecuaţii integro-diferenţiale :rezultă

egalitatea imaginilor acestor membri. Pentru ecuaţii integro-diferenţiale liniare

şi cu coeficienţi constanţi, această ultimă egalitate, pe baza teoremelor linia-

rităţii, derivării şi integrării, se exprimă sub forma unei relaţii liniare intre

imaginile functiunilor care intervin în ecuatia integro-diferentială dată. Ca
urmare, deter~inarea imaginilor funcţiunilor' necunoscute se p~ate face prin

rezolvarea unor ecuaţii algebriee. După aflarea imaginilor funcţiilor necunoscute,

cu ajutorul metodelor expuse în paragraful 52.2 se determină funcţiunile de

timp corespunzătoare acestor imagini; aceste funcţiuni de timp reprezintă

solutiile căutate, care satisfac atît ecuatiile integro-diferentiale cit si conditiile
iniţi~le date.
' . ''

Exemple: l. Se cansideră circuitul inductiv din fig. 52.4, a, care pentru t <0 e parcurs de

curentul continuu 10 = Uo • În momentul t = O se închide întreruptorul care scurt dwui-
2R
tead elementele R,L. Eeuaţia acestui circuit pentn1 t > O este :

~Rl' +. .L"~ ddti =o..

Aplicăm transformarea Laplace acestei ecuaţii, folosind teorema Hniarităţii (52.23) şi 11. deri·
vării (52.24):

1f r· Ri + L ~ = Rt [i] + L(pf li]~ i(O)) (52.33)
dt
şi cu i(O) = 10 = U0 ;2R se obţine eeuaţ.ia operaţională (între imagini) a circuitului:

+(R pL) f[iJ c- L i (O) = .!:__ U0 •

. 2R

Din această ecuaţie rezultă imaginea curentului (funcţia nemmo~entă):

-L oU' (52.39)

i: [i] = 2R_ ,= .!!!L . _1_._ •

R t-pL 2R , R

L

~~--~~---~---------~~--- 36!

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE)

Din tabela de transformări (52.1 poz. 3) şi cu (52.22) rezultă curentul instantaneu :

u --'- L (52.40)
~ll Ţ CC'"_,.:-'
i(t) = - 0 e '"
2R R

~rep:rez•mtat grafic in figura 52.4, b (de observat continuitatea curentului pentru ; = O).

R Rl

~~. l"t=~O. _j

r = L/R t

'Fig. 52.4

2. Se consideră ârcujtul tapacitiv din figura 52.5, a, al cărui condensator c lncărcat cu sar-

dna Q0, pentru t ~ O. In momentul t = O se inchide intre:nrptorul, aplicindu-se circuitului

tensiunea

(52.41)

reprezentată in figura 52.5, b. Ecuaţia ci:reuitului pentru t > O este

(cu q(O) = Q~) • (52.42)

-'iplicărn transformarea Laplace acestei ecuaţii, folosind teorema Hniarităţii (52.23) şi a inte~
gră:rii (52.28). Se obţine ecuaţia operaţională ('Intre imagini) a circuitului :

iu caHJ imaginile termenilor din membrul sting se pot calcula cu relaţiile, (52.41), (52.12), (52.14)
~i (52.22). Se obţine astfel imaginea curentului (funcţia necunoscută) în care am notat r. = R C

f(i) ~~ Uo_ p (52.43)
1'(R'P+;-1 P+:l-).
I, -o; .! "(P+~l).

""~~~--~----------

362 CIRCUITE ELECTRICE TN REGIM TRANZITORIU
Folosind teorema Iiniarităţii (52.23) şi prima formă a teoremei dezvoltării (52.36) "-(sau poz. 3
şi 7 din tabela de tranşformări 52.1), Re obţine valoarea instantanee a curentului:

i(t}

t

c.
Fig. 52.5
.l.n figura 52.5,.: e reprezentată grafic e\·oluţia curentului, iar în figura 52.5.b, evoluţia teu:lÎll·
nii u, = u-Ri de la bornele condensatorului (de observat discontinuitatea curentului i ;;i
continuitatea tensiunii u c pentru t = 0).

- - - - - - -METODA OPERAT!ONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 363

~'2A,. Forma operaţională a teoremeio1· lui Kirchhoff

.În aplicatii, calculul se sistematizează scriind direct ecuatiile operationale
eare exprimă ~elaţiile dintre imaginile curenţilor şi tensiunilo~. În acest scop,
în electrotehnică se utilizează formele operaţionale ale teoremelor lui Kirchhoff.

52A.L Forma operaţională a primei teoreme a lui Kirchhoff. Aplicînd
transformarea Laplace celor doi membri ai primei teoreme a lui Kirchhoff în
valori instantanee (36.5), scrisă pentru un nod (b)

(52.45)

l!e obţine

f[~ ik] = f[O] =O.

kE(b)

Conform teoremei Iiniarităţii (52.23) rezultă:

2: f [ik] = o. (52.46)

kE(b)

Aceasta e forma operaţională a primei teoreme a lui Kirchhoff : suma algebrică
a imaginilor curenţilor care ies dintr-un nod (b) e nulă. Notînd imaginile curenţilor~

f [i1,] = Ik(p),
forma operaţională a primei teoreme a lui Kirchhoff se scrie:

1 2: lip)= o 1· (52.4'7)

! kE(b)

52.4.2. Forma operaţională a celei de-a doua teoreme a lui Kirchhoff.

Aplicînd transformarea Laplace celor cloi membri ai celei de-a doua teoreme a
lui Kirchhoff în valori instantanee (36.8), scrisă pentru un ochi (q) :

mtq) em = m~q) (uRm + u,c", +uLm) (52.48)

se obţine cu relaţia (52.33)

+ +~ f [em] = ~ [f[uRm] f[ucm] f[urmJ]. (52.49)
mE(q) mE(q) (52.50)

Căderile de tensiune se exprimă, in funcţie de curenţi, prin relaţiile :
r + tURm =Rim,
. t
qcm(O)' Urm= d~m =
llcm = el"' Jo imdt L",, ddi; .

m at •. =l t

Imaginea căderii de tensiune rezistive rezultă din relaţia (52.22) :

f[uR",] = Rmf[im]• (52.51)

Imaginea căderi] de tensiune capacitive rezultă din relaţia (52.22), (52.28)
şi (52.12) :

(52.52)

:364 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

unde qm (O) e valoarea iniţială a sarcinii condensatorului din latura m.
Imagjnea căderii de tensiune inductive rezultă din relaţiile (52.23) ~i (52.24) :

L (52.53)

f[uLm] =p f [cl>m]-cl>m(O) = L,: pLm, f(i,]-~",(0),

::~~=1

=Punde cazul m = s corespunde induct:ivităţii proprii L",", = Lm, eazul m s,
L:L

inductivităţilor mutuale, iar <Pn,(O)= L",,i,(O) e valoarea iniţială a fluxului

•=l

hohinei din latura m.
Observînd analogia formală cu forma complexă a ecuaţiilor din cazul regi·

muh1i permanent, mărimile :

Z (p) -= R · Z (p) ~~ 1 •) (52.54)
Rm "" pCm
Cm .

se numesc impedanţele operaţionale proprii ale elementelor de circuit consi·
derate, iar

(52.55)

impedanţa operaţională de cuplaj magnetic (mutuală) dintre bobinele m şi s.
Înlocuind în relaţia (52.49) expresiile operaţionale ale căderilor de tensiune

şi trecînd în membrul stîng termenii determinaţi de condiţiile iniţiale din (52.52)
şi (52.53), se obţine :relaţia :

d>m(O)~P+~qm".{O)]= 2: ll~(Rm+PLm+ ~ )f[im]+

mE(q) Pm

j'L l (52.56)

j~l pLm,f[i,]

Cu relaţia (52.55) şi notînd cu

+ +lz".",(p) = Zm(P) = Rm pL", -1c [ {52.57)

J . . Pm

iru. pedanţa operaţională proprie a laturii m se obţine, pentrtl forma operaţio­
nală a celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, expresia :

·Ralt

(52.59)

.METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 365

Fiecare termen din membrul stîng se numeşte tensiune electromotoare opera-
ţională echivalentă a laturii considerate, se notează :

(52.60)

şi cuprinde, pe lîngă imaginea U(p) =Rl(p)
Z~(p) =R
Laplace a t.e.m. instantanee E m(P)

şi t.e.m., operaţionale echivalente

condiţiilor iniţiale Emo (p ), cores-

punzătoare valorilor iniţiale ale
fluxurilor bobinelor şi sarcinilor

condcnsatoarelor :

E (P) = <!> (O) - q"'(O) of. U(p)~ r!L l(p)+M Isfp)]-(1}(0)
mo m C Zllp)=pL
r 1j ZM(p):pM
pm

·~~-

(52.61)

Aceste t.e.m. operaţionale echi-

valente sînt nule în cazul con-

diţiilor iniţiale "de repaus" l!p) U(p} =_!_ Hpl + g{q

<Pm(O)=O, qm(O)=O, -7 Emo(p)=O. 7l pC pC

(52.62) u(l_P-pLlle Zclpl" p~

În figura 52.6 sînt reprezentate 11' Er(p}a-'O~)

'0 • pC

schemele echivalente operaţionale

ale elementelor ideale pasive de Fig. 52.6
circuit, în care apar şi surse fictive

corespunzătoare t.e.m. operaţionale echivalente conditiilor initiale. N ot:înd

imaginile curenţilor f[i,] = I,(p), cu (52.60), forma operaţională a teoremei

a doua a lui Kirchhoff devine :

L

L: Eem (p) = :2: 2; Zms{p)l,(p) (s = l,2,... m,.. L) (52.63)

mE(q) mE(q) s~l

şi se enunţă : Pentru orice ochi ( q), suma algebrică a tensiunilor electromotoare
operaţionale (inclusiv cele echivalente condiţiilor iniţiale) e egală cu. suma algebrică
a căderilor de tensiune operaţionale.

Din cele de mai sus se observă că, după introducerea în serie cu fiecare
bobină şi fiecare condensator a surselor fictive cu t.e.m. operaţionale echiva·
lente condiţiilor iniţiale, se realizează o analogie formală completă cu forma
complexă a ecuaţiilor lui Kirchhoff (36.22) de la regimul permanent sinusoidal.
Corespondenţa dintre mărimile şi relaţiile utilizate în cele două metode este
redată în tabela 52.2

Ca urmare a acestei corespondenţe, metodele şi teoremele cunoscute din

cadrul studiului în complex al circuitelor în regim sinusoidal se pot extinde,

CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

-~ 1 Tabela 52.2 ,.

Mărimelli fi&U relaţia 1 Reprezentarea in complex Metoda oper,.ţionolli
1
Mărimea instantanee 1
1 i(t), funcţiune original.
i = I V2 sin +( Wl y)

Imaginea 1= Ii'~ .~1 f[i] = I(p} =~,.i..(t)e~padt
0
1 -"-~=-=-···

Impedanţa , ~=Z(j!i>) z (p)

' - rezistorului R R

-bobinei j r.u L pL

~~ de cuplaj magnetic (m =f::: s) jwL "., 1 pL".,
1
- condensatorului -1-
~·-
1 jwC
pC
'
-----~~--
.~~~

Prima teoremă a lui Kirchhoff ::E l=O ::E I(p) =O

1

A doua teoremă a lui Kirchhoff 'ZE=:E:Ez;[ ::EE(p) = ::E::EZ(p)I(p}

-

formal neschimbate, şi la studiul regimurilor tranzitorii cu metoda operaţională :
metoda curenţilor de ochiuri, metoda potenţialelor de noduri, teoremele impea
danţelor echivalente, teoremele generatoarelor echivalente, teoremele transfi·
gurărilor etc. Singura precauţie deosebită se referă la luarea în considerare a
condiţiilor iniţiale prin tensiunile electromotoare operaţionale echivalente lor.
Dacă însă se studiază reţele în condiţii iniţiale "de repaus'" (rel. 52.62), toate
relaţiile liniare stabilite în studiul reţelelor de curent alternativ sinusoidal într~
reprezentările în complex ale tensiunilor şi curenţilor rămîn valabile între imaginile
Laplace ale tensiunilor şi curenţilor• dacă se înlocuiesc impedanţele complexe prin
impedanţe operaţionale.

52.5. Metoda operaţională de rezolvare
a circuitelor în re!!:im tranzitoriu

52.5.1. Metoda generală. Ţinînd seama de cele stabilite in paragraful pre·

{:edent, metoda de rezolvare operaţională a circuitelor electrice liniare cuprinde

următoarele etape:

a) Se formează schema echivalentă operaţională a circuitului cu sursele
fictive corespunzătoare condiţiilor iniţiale (52.61) şi sursele date. În schemă,

mărimile se notează de obicei cu simbolurile operaţionale.

b) Se aplică forma operaţională (52.47) şi (52.63) a ecuaţiilor lui Kirchhoff,

obtinîndu-se ecuatiile operationale ale circuitului si se rezolvă aceste ecuatii
iu 'raport cu im~ginile fuu~ţ.iunilor necunoscute. '
'

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 367

-----~

c j Se calculează imaginile funcţiunilor de timp date (de obicei tensiunile
electromotoare) cu transformarea directă (52.9), cu teoremele din paragrafele
52.1.3 şi 52.1.4, sau cu tabelele de transformări; se introduc aceste imagini in
expresiile imaginilor funcţiunilor necunoscute, obţinîndu-se astfel, explicit.
ca funcţiuni de variabila p aceste imagini.

dj Se determină funcţiunile de timp necunoscute cu metodele de inver·
siune (par. 52.2.1), căutînd funcţiunile original corespunzătoare imaginilor
determinate la sfîrşitul etapei precedente.

52.5.2. Aplicaţie la scrierea ecuaţiilo!l' operaţionale pentru o reţea cu anumite condiţii

iniţiale date. Considerăm reţeaua din fig. 52.1,a, în care la t < O, Întreruptorul K fiind deschis,

se stabileşte un regim permanent sub acţiunea sursei de tensiune electromotoare constantă
e1 = E,.. CnrenţU continui stabiliţi în reţea sînt În acest caz :

(52.64)

Presupunînd câ pentru t < O condensato·

ruJ _C era ~nc_ă~cat (in circuit desc~is) _cu
~arcma Q0 Şl ca m momentul t =O se mch1de
întreruptorul K (fig. 52.7, b), se cere să se

scrie ecuaţiile operaţionale necesare deter-
minării imaginibr I 1(p), J~(p), I 3(p), J4(p),
ale tuturor curenţilor din reţea. Conform
relaţiei(52.6l)şi a condiţiilor iniţiale arătate,
În schema echivalentă operaţională apar

următoarele t.e.m. operaţionale echivalente

a~:estor condiţii iniţiale

+E20 (p) = ID2(0) = L~;~(O) L~ 3i3(0) = L2I~ !1

+E 30 (p) = ID3 (0) = L 3i 3(0) L32i~(O) = '!--~------;.

~LfJ'I/o = L 23 JQ ~~-~~ 1 i
)~ .lr
. . / ql(oj' .. '~ ci~~ j
B~o(P) =~ r~ ~- = -~ {!0 /pC~. (52.65) it~. ic.J
·,~c~ ~
~ 2_,:/?.!!
Deoarece imagine"a~·sursei date din latura 1 -~·~~~~:~~
este (cu relaţia 52.12) ; '~,.._,...../
Fig. S:2.?
E 1 (p) = 2 [e1] = :t [E0] = E (52.66)
-.....!! '
p

8e obţine schema operaţională din ·· figu-
ra 52.7, c, cu ecuaţiile de mai jos scrise

pentru nodul (1), respectiv pentru ochiu·
rile (1), (2), (3);

I1(p)- I2(p) --lip)= O

-Qo= l
pC~ I 4(P)
pC4
-+ --E-o

p
RJJ1 (p)

+-;Q:o;- l
P~•
+L
2I0 =- -- I4 (p)
pC4

+ (R~+Pis)I2(p)+ pL~ 3I3 (p) (.52.67)

+ +L~3l0 = {R3 pL3)I3(p) pL33J2(p).

36l CIRCUITE ELECTRICE rN REGIM TRANZITORIU

Dac::. se rezolvă aceste ecuaţii in raport cu I 1(p), I 2(p), I 3(p), J1(p), ee pot deduce valol'ile instan·
tanee ale curenţilor :

(52.68)
cu teorema dezvoltării.

52.5.3. Aplicaţie la utilizarea formei operaţionale a teoremei generatorului echivalent

(Thevenin.) Considerăm un transformator, cu dispersiune magnetică neglijabilă (L1a = VL1L~)

Fig. 52.8

şi cu rezistenţe neglijabile ale înfăşurărilor (fig. 52.8, a), alimentat la bornele de intrare 1, l' cu
un generator de rezistenţă interioară R 1, care produce impulsii dreptunghiulare de tensiune de
forma (fig. 52.8, b):

(52.69)

Se cere tensiunea de ieşire 112 = R2i 2 la bornele rezistenţei de sarcină Rz.
În baza analogiei prezentate in paragraful 52.4.3 se poate aplica În acest caz teorema genera·
torului de tensiune echivalent sub forma

+ 0I®(P) =o~~ sau U~(p) = B.Tg(p) = R3 U~, (p) (52. 70)
R2 Z2z 1p)
• Rg + Zz 2 ~(p)

în care U 2lp) e imaginea Laplace a tensiunii secundare de mer~ in gol, iar Z22 j(p) e impedanţa
operaţională echivalentă a reţelei (cu bornele 2, 2') pa3ivizate. Deoarece în complex: am avea
(v. şi calculul analog pentru re!. 38.21)

(52.71)
(52. 72)

METODA OPERATIONALA (TRANSFORMAREA LAPLACE) 369
i5":U"3)
' t l ~" Ll L2 132oH)

~, '2 =

Rl R2

Imaginea tensiunii elect:romotoare (52.69) este (v. rei. 52.17):

ş.i imaginea explicită. a tensiunii de i(>şire rezultă :

Cu teorema Hnia:rităţii (52.23), a .retardării (52.29) şi eu (52.14) rezultă fmfcţia original fr•)pn,-
zentată in fi.g. 52.8, c):

(,):2. 7i))

52.5!4. S<udiuJ regimuîni ti•mmitor.iu 1rtin separarea cumponentei de regim per-

manent. In numeroase p:roblc"ne regimul permanent ~e poate determina fără dificultăţi cu

:rnctodelr:: cunoscute şi e să se utilizeze calculul operalional numai pentru studiul ;:-Pp:i-
eo:regpunz.J.toure acestni regim. Ecuaţ-iile operaţionale al" r,~.,
rnu1ui liber., cu conditiile

b.
c"

Fig. 32.9

gl:rnu]ui Hhe:r sînt ecu.aţiHe oh~inute prîn anularea irnagJnilor t.e.n1~ ale generatoarelor şi priu
introducerea t.e.m. operaţionale ecbivalente condiţiilor iniţiale pentru componentele de x;,gim
liber ale cu:renţilo:r.

=Studiem, ca exemplu, un circuit R, L (fig. 52.9, a), căruiu în momentul t O i se aplică

tensiu.nea sinusoid.e1ii

f~ Y2 ~in u)t 1:>2. 77)

-------~~-~-------~-- -~--

370 CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM TRANZITORIU

+inainte de aplicarea tensiunii circuitul fiind in repaus: i(O) = O. Deoarece, in general

i(t) = ip(r) it(t), unde

ip(t)= VR E ffsin(MI~q~) cu LCiJ (52.78)
sin <p = )rTR;:;;2o=+=L~2=CiJ:c::a
+L
2 2001

e curentul de regim permanent, rezultă pentru curentul de regim liber valoarea iniţială ;

V+2= -l.j (O) = 1. (O) - J.-p (O)
l.p (O) ~~ V' ER2 sin tp. , (52. 79)
L2w2

Schema operaţională echivalentă pentru curentul de regim liber e reprezentată in figura 52.9,b
şi e obţinută din schema iniţială a circuitului, pasivizînd-o şi introducînd apoi o sursă fictivă
cu t.e.m. operaţională echivalentă E10(p) = Li1 (O) corespunzătoare condiţiei iniţiale (52.79).
Rezultă imaginea curentului de regim liber :

(52.80)

Cu relaţia (52.14) se obţine valoarea instantanee a ace~tui curent

(S2Jll}

Curentul instantaneu total are deei expresia :

+ lE 1!2 1 (52.B2)

i(l) = ip (1) i1 (1) = . '---= sin

VR2 +V w2

~i c reprezentat În figura 52.9, c. De subliniat că, in regim tranzitoriu, curba curentului nu esime-
trică faţă de axa absciselor din cauza componentei aperiodice de regim liber.

O b se r va fi e: Dacă s·a:r fi aplicat metoda operaţională ecuaţiei care determină curen<:n!
total, s·ar fi ajuns la acelaşi rezultat cu un calcul mai lung, din cauza formei mal complicate pe

<:are ar fi avut-o imaginea curentului total, ca urmare a expresiei mai complicate a imaginii t.e.m.
einuşoidale a surRei.

LINII ELECTRICE LUNGI

__~.---~~======---"=====

,.....3j'i

:) • 1 LINII LUNGI ÎN REGIM TRANZITORIU

Am studiat pînă acum circuite electrice filiforme, cu parametri concent:raţi
{v. par. 31.3), adică acele circuite care admit scheme echivalente, constituite
din elemente ideale de circuit (r. L, C) strict localizate. Din punctul de vedere
al ecuaţiilor cîmpului electromagnetic, acest mod de prezentare reprezintă o
aproximaţie cu atît mai bună, cu cît viteza de variaţie a stărilor (şi deci frec-
venţa) e mai mică şi cu cît dieleetricul care mărgineşte conductoarele e mai
hun izolant.

În adevă-r, aproximaţia parametrilor concentraţi caracterizează în primul rînd regimul
cuas!staţionar (v. cap. 31), adică regimul în care nu se ia în considerare curentul de deplasare
(v. par. 31.1), decît în dielectrieul condensatoarelor. Ca urmare, valoarea intensităţii curentului
electric de conducţie se conservă în lungul unui conductor neramificat şi perfect izolat (teorema
continuităţii)- ceea ce corespunde neglijării vitezei de variaţie a sarcinii electrice q, localizate
pe suprafaţa conductorului, şi deci a intensităţii em:entului de deplasare printr-o suprafaţă
<'e lnconjoară conductontl

În al doi!.~ a rînd, aproximaţia parametrilor concentrll ţi e asociata neglijârii pierd~:rilo~
,J., c1:rent de_ eonducţie prin mediul dielectrie- niciodată perfect izolant- care mconJoara
eor::_d1~~~ctorul. In limitele acestor aproxh11aţii, În cszul unei linii cu două conductoare paralele
(fig. 53.1 ), curentul arc acelaşi sens şi aceeaşi intensitate i prin toate secţiun:ile transver3ale ale
fiecăruia dintre coaductoare. Ca urmare, tensiunea electrică în lungul fiecăruia dintre conductoara
·e proporţională cu acest cur~nt, ceea ce pe:rn1ito definirea unei rezistenţ-e echivalente~ concentrate,.
a cclo:r două conductoare. De asemenea, cîmpul magnetic H e În fiecare punct proporţional cu
intensitatea i a curentului; ca urmare, şi fluxul magnetie prin suprafaţa sprijinită pe conduc•
to<'tre e proporţional cu acec;t curent, eeea ce permite de-finirea unei inductivităţi echivalente,
<~m:.ce~trate, a .intregi~ Ii?-ii. "De ac;e~a am, studiat în paragraful 35.6 linia dP curent alternativ
eu !icnema echivalenta dn1 11gura .'b.14, "·

În numeroase aplicaţii întîlnite în tehnică, aproximaţia parametrilor con·
eeJJtrati nu e însă valabilă.

Î~ electroenergetică, respecti\' în telecmnunicaţiile pe fire, transmisiunea
Ia distanţe mari a energiei electromagnetice, respectiv a semnalelor electromag•
netice, se face cu ajutorul unor sisteme de conductoare filiforme paralele, cu
lungimea foarte mare faţă de rHstanţa dintre ele, nnmite Unii dcctrice bmgi,

:-\72 LINII ELECTRICE LUNGI

În cele ce urmează vom considera astfel de linii bifilare (cu două conductoare)
şi omogene (cu proprietăţi de material şi configuraţie geometrică invariahile in
Jungullor). La frecvenţe nu prea joase şi la lungimi suficient de mari, curentul

1

__...~

,t1 ~E \

t L

l 11 ' '

--,, i

r

Fig. 53.1

de deplasare şi curentul de pierderi prin dielectric, care, în condiţii în 1·est egale,
sînt proporţionali cu suprafaţa conductoarelor şi deci cu lungimea liniei, nu
mai pot fi neglijaţi. Ca urmare, curentul de conducţie nu mai are aceeaşi inten-

sitate în lungul fiecăruia dintre conductoare.

Teorema continuităţii nu se mai poate utiliza acum sub forma (3Ll0).

Înlocuind în legea IX a cnnservării sarcinii (v. par. 31.1) valoarea sarciDii în
funcţiune de fluxul electric (legea II), se observă că, în cazul general. se armiează
fluxul prin suprafeţe închise al vectorului

Jt = J
Ot

adică

Vectorul. Jt, numit densitatea curentului total, e egal cu sum:t iii!1t:re densitatea

curentu'nu· de conduetl·e ,,,. s1· u-' e n s 1· t . a t e a cnrentultn· d~ e Ll ep1asare o-aDc •

' .P -

Teorema continuităl-ii rămîne deci valabilă numai pentru curentul total

şi numai liniile vectorului J t trebuie Ră fie linii (practic) 1 înehise. În :figura 53.2

1 Cond3ţia de anulare a iluxuiui printr-o ~uprafaţă înehisă (şi deci a divergenţei) nu hn~lUiH~,
de fapt, închiderea propriu-zisă a liniilor de cîmp, ci numai faptul. că, urmărind suficient de mult
o linie de cîmp. fără punct<' la înfinit, se ajun!);e oridt de aproape de punctul de la care s-a

plec:Jt.

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 373

~int schiţate liniile de cîmp ale vectorilor J 1, E, H la propagarea unei unde armo-

nice pe o linie electrică lungă. Se observă că, în acest caz, liniile de curent (total)
Be inchid prin dielectricul de eonductivitate cr şi permitiYitate e, în care densi-

Fig. 53.2

tatea curentului de pierderi cr CE şi a curentului de deplasare -i:JD - "" -vE nu se
Ot Of

mai neglijează. Datorită acestui fapt, curentul are diferite valori în lungul
liniei şi poate să.-şi sehimbe eventual sensuL

Deoarece studiul fenomenelor care au loc pe liniile lungi nu se mai poate
face în regim cvasistaţionar, ar trebui să se apeleze la ecuaţiile lui Maxwell
peiJtru cimpul electromagnetic (v. cap. 29, voi. I). Studiul mai complicat, dar
exact, efectuat pe această cale arată că aceste fenomene reprezintă una dintre
modalităţ.ile de propagare ale undelor electromagnetice ghidate.

Dacă frecvenţa nu e prea mare, se poate adopta însă următorul punct de
vedere intermediar : se ţine seama de curentul de deplasare transversal, care
se închi.de Îlltre conductoare, ca şi de curentul de pierderi transversal prin izo-
laţie; se neglijează însă componentele longitudinale ale acestor curenţi, şi deci
<_lOntribuţia acestor componente longitudinale la producerea cîmpului magnctico
In aceste condiţii, în fiecare plan transversal al liniei se păstrează relaţiile din
regimul cvasistaţionar, înt:re mărimile localizate în acest plan.

De exernp1u, cirnpul Inagnetic~ ale cărui linii închise sint conţinute în plann transversale~
e p·oporţional cu curentul i din eonductor, din dreptul acestor linii de cîmp, deoarece se negli-
jeazii componenta longitudinală a curenţilor din dielectric, care ar putea să contribuie la circu-
laţia cîmpului magnetic în lungul unei linii de cîmp; de aceea şi fluxul magnetic L'l.!P, printr-o
suprafaţă IlS, sprijinită de conductoare şi corespunzăto2.re unei porţiuni de lungime foarte
mică fix a liniei, e proporţional cu intensit>;tea curentului din co:îduetoare, din dreptul acestei

374 LINII ELECTRICE LUNGI

porţiuni, ceea ee permite definirea unei inductivităţi t::.L = Ll.c!> a acelei porţiuni. În mod ana-

l

log se poate defini o capacitate t::.C Între porţiunile eorespunzătoare ale celor două conduc-
toare, o conductanţă t::.G a izolaţiei dielectricului dintre ele şi o rezistenţă L':.R a br.

Acest mod de tratare permite să se evite rezolvarea problemelor liniilor electrice lungi
din punctul de vedere al teoriei undelor electromagnetice (ceea ce ar complica foarte mult calcu·
lele) şi permite să se explice proprietăţile acestor linii- cu o apr;:~ximaţie suficientă În prae-
tică- din punctul de vedere al teoriei circuitelor electrice, mai famiiiar inginerului electrician.
Întreaga linie apare astfel echivalentă unei succesiuni de cuadripoli cu parametri concentraţi,
şi aproximaţia e cu atît mai bună, cu cît porţiunile L':.x considerate sînt mai mici. De aceea se
conside~ă po~ţi.unile elementare, de lungime dx infinit mică, iar întreaga linie se prezintă ca un
circuit electric cu parametri repartizaţi, cm act~rizabil local prin parametrii locali, raportati
la unitatea de lungime a liniei, numiţi paraaetri Eneici sau pammetri primari.

Ccnsiderăm o linie hifilara (fig. 53.3), de lungime l, şi notăm cu l,l' bornele
de intrare (dinspre generator) şi cu 2,2' bornele de ieşire (dinspre receptor).
Notăm cu x distanţa elementului curent de lungime dx al liniei de la bornele de
h'ltrare (şi cu x' = l - x distanţa de la bornele de ieşire). Se definesc următorii
parametri lineici :

Re.zistenţa. lineică :

(53.1)

Aici, !.iu1 e căderea de tensiune din lungul uneia dintre porţiunile de conductor,
pe lungimea L'lx, i e curentul din conductor din dreptul acelei porţiuni, iar 6.R
e rezistenţa electrică a ambelor conductoare pe porţiunea D.x. Cu ajutorul
rezistenţei lineice, căderea de tensiune elementară din lungul unui singur eon-
ductor pe porţiunea dx se exprimă prin relaţia :

du, ,= R2! i dx. (53,1';\

.,

.\
\

\lu

11
1

1/

1

11

1r-----~~-~~~--~---;-------·-a_:1__~_,..,.-·_

r-

LIN!! LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 375

lnductivitatea lineică :

.L t = Il.ll1 ('-L'l<-J>) = I . ~L rE_J {53.2)
n
n- a_ID
ax, o i Ll x .o..~->0 Llx

Aici, b.. (ÎJI e fluxul magnetic prin suprafaţa sprijinită pe cele două. conductoare

de lungime .6.x, iar t:.L e inductivitatea proprie corespunzătoare acestei porţiuni

a liniei. Cu ajutorul inductivităţii lineice, fluxul elementar prin suprafaţa Sr

rmărginită de curba ~- ABB'A.' corespunzătoare elementului dx, se exprimă

prin relaţia

(53 ..2')

Capacitatea lineică :

C1 =li.m r-Ll-q ) = .h.nt -.:-.\-C-. rlF~J• (53.:3)
L\x~O t.x ,.() fi.,,.,
( u/J. x

Aici, b..q e sarcina electrică, localizată pe suprafaţa unuia dintre conductoare
pe porţiunea L1x, u e tensiunea dintre acest conductor şi celălalt în dreptul
acestei porţiuni, iar ll.C e capacitatea între cele două conductoare pe porţiu­
nea L1x. Cu ajutorul capacităţii li:neice, sarcina elementară din interiorul unei

suprafeţe închise 2:, care înhracă o porţiune elementară dx a primului conductor,
se exprimă. prin relaţia :

(53,3')

C(Jnducuu~ţa lineică de izolaţie (sau perditanţa) :

(53.4)

Aici, 6.ig e curentul de conducţie, ea;:c se l:m:hide prin izolantul imperfect dintre
cele două porţ.iuni de conductoare pe lungimea 6-.x, iar t:.G e conductanţa cores-
punzătoare :L'f.''t,~:2 porţiuni elin izobtia l.iniei. Cu ajutorul conductanţei lineice
de izolaţie, eu:rer:tul de pierdere elementar, care tre::e de la un conductor la
celălalt, pe lungimea elementară dx, se exprimă prin relatia :

(53.4')

1" ., Observ_ o.: ţ _i (~ ;· a) D~~eă parfinnetr:H lineit~i ll1 ~ I~1 ~ Ct; Gt nu depiud de distanţa x
nT123 se nun::teşte om.ogena.

b) La frcevenţc suficient de joase, para~:nctrii lineiei se pot ca!c~Jla ca Î!l :regirn staţionar~
(~eoa::-ece repartiţ.ia cu.rentuiui pe secţiun~a condnctorului ~i repartiţia sar~inii pe suprafaţa con-
ductorulni sînt practic neschimbate faţă de rep;imnl stat.ionar~ iar dielectricul are numai pierderi
prin condncţie. La frecvenţe Inai înalte, re~Jartiţ:ia curentului se tnodifică (v. efectul pelicular,
cap. 55)~ iar dielectl·icul are şi pierderi prin isterezis (v. par. 49.5). Ca urrnare~ în acest caz~ para ..
metrli H~eici R,, Lt, Gz ~ Ct sînt~ de fapt~ paraxnetri echivalenţi~ care depind de frecvenţă.

c) In cazu:[ unui die!ectric otnugen, de petmitivitate z. şi pe:rm~abilitate p.., cu pjerdcri mici.,.
şi n~g.Iijîr~d ind:ctivita~ea. interinarH a' eond~:actoar~Jor liniei~ se pot utiliza urrrtăloarele expre.sii~.
~tabJJ~te :tn ]_'e;g:nn sta:p_onar.

LINII ELECTRICE LUNGI

> :-- Pentrn linia bifilară cu conductoare foarte subţiri, de rază a, situate la di•t1mţa D a

(53.5)

', par. 9J, \·ol. 1), cn <:0 = (I /36rr) 10..3 F /m ~i <=r ;::::; 1 (în aer);

Lt c~ u D = tLo -ILr,m D
In - --
-'-

na nu

(v, par. 27.6.1, vol. I), cu iJ.o = 4rd0-7 H /m şi iJ.r;::::; L
~Pentru linia coaxială (cablul coaxial), constituită din două conductoare concent.riee.,

,ie raze a şi b > a :

el z21t' ·"ero2n~: r~J_ (53. 7)
=--b-=
tm
In-- In-
a a

v, fNH. 7.4.1, voi. l)

(.53.8)

Din cele expuse mai înainte rezultă eă, in 8ecţiunea curentă a liniei, atît

eurentul cît si tensiunea sînt functiune de cele două variabile x şi t, deoarece
ele variază I{u numai în timp, ci 'şi în lungul liniei. Astfel, în secţiunea AD
(la distanţa x de bornele de intrare),

.,, ~-= 1'( :t:, t_') Şl (5:~.9)

+im· Îll ,oecţinnea BC (la distanţ.a x dx de .bornele de intrare)

= + 1'( d
X
J
X .i.. Î' t ·; "( ,i}, . ~oi(x, t)

1 f X, 1 X,
lŞl (53,10)

-f--Il( X o1.~", t) c.=. .•. l.( X,<'·,) 11 -ih~(-x-, t-) u.1X, I
ox

Funcţiunile u( x t) Şi 1~ x, t) satisfac un sistem de ecuaţii eu derivate par-ţiale,
numite ecuatiile telegrafistilor, deoare.ce au fqst stabilite pentru prima dată\
pentru a ex~;lica funcţio~area cabluzdor telegrafice.

.53.2.1. Ecu'ltine de pr.im otJ.in. Pentru a găsi aceste ecuatii, vom apl!ica

întîi legea inducţi~i electromagnetice conturului r = ABCJJA, 'şi apoi Îegea

yr.•
• 1 De e~tre. Thoms~n fulte~iOl~ lord K~ivin) în _1.8,55, ~ără a con;idera )i, indt•c,tivi~a}("'
"

lmmca (?-eghpb1la ~a ~ablur:, _m pnm:1 aproonmape) ~l ae catre G. Kw::hhorf In I85l, ţmmd

s?an;a Şl de aceasta Inductivitate.

LINII LUNGI !N REGIM TRANZITORIU 377

<:onservării sarcinii suprafeţei I:. Conturull' fiind imobil, legea inducţiei electro·
magnetice se scrie :

Aici Bc D .!
~~
~ Eds Eds .L ~ Eds ~ Eds ~- ~Eds = duf
1
f' cD
AB

Înlocuind această expresie în legea indneţiei electromagnetiee eu relaţîile
(53J.') şi (53,2') şi, după~ simplifieă:ri, rezultă ecuaţia:

(5iUl)

1~are He poate interpreta ~punînd că : scăderea tensiunii pe unitatea de lungime
a liniei e egală eu suma dintre căderea de tensiune în rezistenţa ambelor con··
ductoare şi căderea de tensiune inductivă, ambele luate pe unitatea de lungime,

Suprafaţa :2; fiind imobilă, legea de conservare a sarcinii electrice se scrie :

Ai•~i elementul de arie e orientat spre exterior, iar

+ +J(\J~ JdA = ( - i) (t ~-1r- 8iJ;i a:Jx) dig,

k

termenii din paranteză fiind în mdine: curentul eare intra în suprafaţa ::S

prin punctul A (şi care, în consecinţă, trebuie luat cu semn schimbat în calcu-

lul curentului care iese prin suprafaţa :;E), curentul care iese din suprafaţa :E

prin punctul B şţ curentul de pierdere prin izolaţie între porţiunea AB şi pm·-
ţiunea CD de conductor.

Prin înlocuirea expresiei de mai sus în legea de conservare a sareinii eleet.riee
cu relaţiile (53.3') şi (53A'), şi după simplificări rezllltă ecuaţia:

care se poate interpreta, spunînd că : scăderea de curent pe unitatea de lungime
a liniei e egală cu suma dintre curentul de pierdere prin izolaţie şi curentul
de încărcare cu sarcină a conductoarelor, ambele luate pe unitatea de lungime.
Ecuaţiile (53.11) şi (53.12) se numesc ewaţiile de primul ordin ale telegrafiştilmr

378 LINII ELECTRICE LUNGI

----~~~~~~-----------

si constituie un sistem de ecuatii cu derivate partiale simultane. Interpretările
date mai sus acestor ecuaţii p~rmit să se stabil~ască pentru fiecare tronson

elementar, de lungime dx al unei linii, schema echivalentă din figura 53.4.

la utilizarea căreia toti infinitii mici de ordin supe-

B rior sînt neglijabili. ' '

53.2.2. Ecuaţiile de al doilea ordin. Între ecua-

ţiile (53.11) şi (53.12) se pot elimina oricare dintre

funcţiunile necunoscute. Pentru a elimina pe i, se

derivează relaţia (53.ll) în raport cu .x şi se obţine

relaţia:

oc

Fig. 53.4

(în care pentru ultimul termen s-a inversat ordinea de derivare); se înlocuieşte

apoi în această expresieo~x din relat,ia (53.12)'. Se obt'ine astfel ecuat,ia cu deri-

vate parţiale a tensiunii :

(53.13)

1·

În mod asemănător, eliminînd pe u, se obţine ecuaţia cu derivate parţiale a
curentului :

+ + +o~2x_!2_ = RtGti
~(RtC, LtC,. aazt2i
•
.L,G,) ot (53.14)
' ·-

1

Curentul şi tensiunea satisfac deci ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de
aceeaşi formă, care se numesc ecuaţiile de 'rdinul al doilea ale telegrafiştilar.
Cele două ecuaţii (53.13) şi (53.14) nu pot fi rezolvate independent una de
aha, deoarece soluţiile lor sint legate prin ecuaţiile (53.11) şi (53.12). Aceste
.soluţii i(x, t) şi u(x, t) mai depind şi de condiţiile iniţiale şi la limită (la eap2t-
tul liniei).

Integrarea acestor ecuaţii în regim tranzitoriu e, în general, complicat&
şil se face cu metode operaţionale. În acest curs se va efectua (par. 53.3) numai
in cazul cel mai simplu al liniei fără pierderi.

Dacă, pentru a indica secţiunea curentă, se utilizează distanţa x' = l --- x, măsurată de
la h:-nwle de ieşire ale liniei, ecuaţiile de primul ordin iau forma :

otoo~-ix- ' = (_'.r iJu
. ,r•-f-
-- '
t..7!U

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 37\}
iar ecuaţiile de ordinul al doilea iau forma :

(53.16)

in eare funcţiunile necunoscute sînt u(x',t) şi i(x', t).

53.2.3. Bilanţul instantaneu al puterilor pe linie. Înmulţind relaţia (53.11)
cu i şi ecuaţia (53.12) cu u şi adunîndu-le, se obţine relaţia :

(53.17)

Observînd că puterea transmisă printr-o secţiune a liniei este

p = ui [W] {53.18}
(53.19)
şi că energia electromagnetică lineică este (53.20)

W = L + ='2, u2 • .6,W'
C1 hm--• [J/m]
1 1 !__ -
- 2 .2 t>x-0 .6.x

relaţia (53.17) se serie

Scăderea specifică a puterii transmise î:n lungul liniei e egală cu suma dintre
viteza de variaţie a energiei electromagnetice lineice şi puterea specifică de
pierderi pe linie, prin efect Joule-Lcnz (şi eventual prin isterezis), în conductoare
şi în izolaţie. Linia nu are pierderi numai dacă

şi (53.21)

pentru liniile fără pierdel!'i

În regim tranzitoriu, rezolvarea ecuaţiilor telegrafiştilor pentru o linie
oarecare e relativ complicată şi se poate face cu aj_?torul integralei Fourier
(v. cap. 50) sau al transformării Laplace (v. cap. 52). In cele ce urmează ne vc:m
limita Ia linia fără pierderi 1, pentru cm:e ecuaţiile telegrafiştilor au forma z

&u L.too-ti i!i C iin (53.22)
l -ar.·
---a-x =

1 La frecvenţe suficient de înalte, această prezer1tare e adesea suficientă şi pentru HnE
reale, cu pierderi, deoarece termenii cu derivate în raport cu timpul sînt proporţionali cv fn)"""

venta ~i fua:rte n~.ari faţă de termenii în care apar R 1 şi G.r (v. rel. 53.ll şi 53.12).

3'30 L!Nll ELECTRICE LUNGI

respectiv

(53.23)

53.3.1. Ecuaţiile liniilor fără pie:.·J.eri. F'iecare dintre ecuaţiile (53.23)
este o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul al doilea, de tip hiperholic, nu·
mită ecuaţia undelor, pe care am mai întîlnit-o în studiul undei electromagne-
tice plane (v. par. 29.3, vol. I). Urmînd un raţionament analog celui făcut cu
ocazia acestui studiu, se găseşte că cea mai generală soluţie a ecuaţiei (53.23)
consistă în suprapunerea unei unde directe cu o undă inversă, În cazul ecuaţiei
tensiunji, de exemplu, eea mai generală soluţie este

(53.24)

eu viteza de propagare

(53.2:5)

Aici, primul termen, ud (x -~ 'V0t) e o undă elementarâ directă de tensiune, adică

o undă care se propagă fără atenuare şi fără distorsiune în sensul x-lor pozitivi,

+ +cu viteza v0 : valorile unei astfel de unde, în momentul t şi din diferite puncte .x,

se regăsesc în momentul t ~t în punctele x ~x, cu ~x = v0 6.t, acelaşi
pentru toate punctele x (v. fig. 53.5,a). De aceea, pentru un observator mobil,
eare s-ar deplasa în sensul x-ilor pozitivi, cu viteza 110, unda directă va apărea

+ca o repartiţie spaţială invariabilă. Al doilea termen, ui (x 110t), e o undă

elementară inversă de tensiune, adică o undă care se propagă fără atenuare şi
fără d.istorsiune în sensul x-ilor negativi, cu aceeaşi viteză v0 : valorile unei astfel

+de unde, în momentul t şi din diferite puncte x, se regăsesc in momentul t b.t

in pmwtele ;l; -~ ~x, ·~u ~x = v0 ilt, acelaşi pentru toate punctele x (v.fig.

53.5,b.). De aceea, pentru un observator

mobil, care s-ar deplasa în sensul x-ilor
negativi, cu viteza 110, unda inversă va
apărea ca o :repartiţie spaţială invariabilă.

Din punctul de vedere al ecuaţiei un-

+delor, funcţiunile uAx-v0t) şi ui(x v0t)

~ sînt arbitrare. Ele se determină prin con-

diţiile concrete în care funcţionează linia,

şi anume prin condiţiile iniţiale şi cele de

la capetele liniei. La utiliz'area acestor din

urmă condi-ţii, trebuie subliniat că din

pronrietătile undelor elementare rezultă

urr~ătoar~le reguli: Într-mt moment oare-

care t > O şi într-un punct oarecare x al

liniei poate exista unda directă nwn,-ri dacă

intr-un moment t - D.t (anterior lui t) a

Fig. 53.5 existat această undă în punctul x - v0!lt,,
situat la stînga lui x; şi poate exista unda

LINII LUNGI IN REGIM TRANZITORIU 331

+inversă numai dacă într-un moment t - D.t (anterior lui t) a existat aceasti1

undă în punctul x v0 D.t, situat la dreapta lui x.
Dacă tensiunea e determinată, curentul i trebuie determinat din ecuatiile

(53.22) (şi nu din ecuaţia respectivă a undelor, care ar furniza soluţii prea g~ne­
rale, independente de acelea ale ecuaţiei tensiunii). Cu relaţia (53.24·) şi prima
ecuaţie (53.22) rezultă :

(53.26)

OUJ _ dud şi {53.27)
(53.28)
ox - d(x--"0t)

Observind că

.ecuaţia {-:.:J".J.?~ 6J' u;,evn.H~ :

de 11.mde, prin integrare,

unde f e o functiune arbitrară de x. Înlocuind această expresie în a dona
se ~hţine:
c::euaţie

Şl <'U relaţ.i~1 (53.25), r = o, adică .f = coust. {53.30)

Mărimea

(53.31)

se numeşte impedanţa cunctcril'tică a liniei fără piadai. Cu relaţiile (53.29),.
(53.30) şi (53.31), expresia cm:entului se sede :

Aici, und(] elementarli direct;ă de curent este

312 LINII ELECTRICE LUNGI

iar unda eiementară inversă de curent este

(53.34)

.fConstanta e o componentă continuă arbitrară a curentului, aceeaşi în toate

punctele liniei, determinabilă prin condiţiile iniţiale şi independentă de tensiune.
Ecuaţiile (53.24) şi (53.32) se numesc ecuaţiile liniilor fără pierderi şi reprezintă
soluţiile ecuaţiilor telegrafiştilor în regim tranzitoriu. Deoarece o constantă
poate fi totdeauna considerată fie ca undă directă, fie ca undă inversă, rezultă
că scoţînd un termen constant din ud (de exemplu), ecuaţiile liniilor fără pier·
deri pot fi scrise sub forma simetrică :

+ + +1u (x, t) =ud (x- t!of) u 1(x v0t) U0
li ++1
(x, t) = _!_ ud (x- v0t) - _!_ (x v0t) 1~ (53.35)

~ ~ u 1

în care constantele U0 şi I 0 trebuie determinate prin condiţiile iniţiale (şi sînt
independente între ele, din punctul de vedere al ecuaţiilor telegrafiştilor), iar

funcţiunile ud şi u 1 trebuie determinate prin condiţiile iniţiale şi cele de la
capetele liniei.

O b s e r va ţi i: a) În limitele de valabilitate ale formulelor (53.5), (53.6), (53. 7), (53.8)

pentru parametrii line ici ai liniei bifilare, respectiv coaxiale, se obţine, pentru viteza de propagare

pe aceste linii (presupuse fă-.:-ă pierderi) expresia :

l1 (53.36)

"o = JlLzCt = ]/[Li= c.

egală. en a vitezei de propagare a undelor electromagnetiee in dieleetrici omogeni nelimitaţ!

(v. reL 29.21, voL I.).
Dacă se iau Însă in cnn.side:rare sporul d3 huluctivitate dat de cîrn:pul magnetic din inte..

riornl conductoardor şi al,t~ _efecte, ~:e. cm~st~t:i r~ă prezenţa condu?toarel~: reduce puţi~ v:iteza
d~ propa.gp.re a und~l.:r f?Ludate ~p~ nn1e~ !aţ.a dln aceea ~.undelor ?tn medn omogene n~h!lutate,.

6) In acele~ş~ h~~~~ s~ ~npn ;.u:rrHl ~onre1e expresn pentru !mpedanţele caracterJ.5hce ~
·--,Pentru hnu:. b~fun.ra fara p1erder1:

(53.[17)

·tuufe C: e irnpedanţa de undă a die1ectricului 1·eL ~9.26er vot I)~ Pentru !inEle ae.d.en~ ~~b:işnuite

o n.gf' obţin valori între :~o şi 600

··Pentru linia coaxială (eahlul (!oaxia1):

(53.37')
bD
l)e(•arece ~ ~ - irrlpedanţa eartu~t0ti~tică a eah1e1or c.ottxi~le e de ordinul a 30.u75fl.
aa

~-~----------------·-······---·····-·····-----~-------------·---~---

- - - - - - - -LIN-II-L-UN-GI-IN REGIM T-RA-N-ZIT-O-RI-U - - - - - - - - - - 3"l3

53.3.2. Puterile transmise de undele elementare. Puterea instantanee directă.
transmisă de unda directă în sensul x-lor pozitivi, este

-zPd -- U diel -- 2 Zoi

ud -- 2 .'-.---' O• (53.38)
- tit

0

Energia electromagnetică lineică instantanee a undei directe este, cu relaţiile
(53.31) şi (53.33),

+• 2 Ctu;;~;, (53.39)

WIJ(t)' = 1·Jt 2i;t C,, _2!la -- L zr'm2 =

şi se observă că e în mod egal împărţită între cîmpul electric şi cîmpul magne•
tic. Comparînd relaţiile (53.36) şi (53.37), rezultă, cu relaţia (53.25) :

(53.40)

Aceleasi relatii se obtin pentru unda inversă, dacă se calculează puterea in·
versă, 'trans~isă în s~nsul x-lor negativi,

-z- z > o.2
p, = ~ u;~•; = Ui = oz'2• = t'oTwl':rt,• (53.41)

o

In fiecare dintre undele elementare, puterea transmisă e egală cu produsul

dintre viteza de propagare şi energia acumulată pe unitatea de lungime a

liniei.

53.3.3. Aplicafie : Se consideră o linie lungă fără pierderi, de irnpedanţă ca:racteris tică
Z0 ş;, viteză de propag~re ·v0 , avînd conectată o sarcină rezistivă, de rezistenţă R la bornele
~ecundare (fig. 53.6). In momentul. t = O ajunge la aceste horne o undă directă de tensiune,,

c•1 front dreptnnghinla:r,

11d = u. (53A2)

Se ee:re repart1ţ1a tensiunii şi a curentului într-m1 moment t > O, ştiind eă linia are bornele

primare suficient de depărtate de bornele secundare.

In acest caz., în ecuaţ.iile (53.35) avem U0 = O şi I0 = O (nu t>xistă cmenţi şi tensiuni
''_;mtin~:1 p~ l.i_nie înai?te de t = O) şi Ui = O pentru O.
b:~u~ţ.JJ.le hnulor devm: t<

+ lU u;(x, i) = u(x, t}

U- t) ~~ ZJi(x, t) f

Co:1oid0rînd acest;~ ecuaţii scrise pentru napă tul

lin.i:ji~ unde u == Ri, rezultă, eliminind neeunoscu..,

teJ.P u, şi l~ pentxu ~ > O~

1ro-- x'

Uf. (53.45) if>Zli

Fi.g-. 53.6

LINII ELECTRICE LUNGI

În acest caz, unda inversă e o undă reflectată, ~i anume pozitivă, dacă R > Z ( cazul din

+ zfig. ;-,,_~,.6., care determ1. na• o supratensm' ne u = UJ -t.- u; = (Zo2RUR)) nuIa'' , dacaV R' ~= •

R z ( 2z6 u)sau negati.va- , daea• .
<, caz care deterrn1.na• o supram. tens1. tate = -UJ--U-i = --- • - •
l

. Z0 Zo+ R Z0
Pentru un .moment t >· O

. , u;(l, t) = R--Z0 U dacă x' vt. {53.46)
Ui (x, t) = R -r- Z0
v!
1O dacă x'

~şa cum rezultă imediat din proprietăţile •mdei inverse, ,,are se propagă cu t'Q în sensul x-lor
negntiYi (şi deei al x'-lor pmdtivi).

~4·· /f LINII LUNGI IN REGIM PERMANENT

J ~ 11 SINUSOIDAL

În acest capitol vom studia liniile lungi în regim sinusoidal, adică atuncî
d:nd. curentul şi tensiunea sînt, în fiecare punct al liniei, func-ţiuni sinusoidale

fde timp de aceeaşi frecvenţă

+u t) = U (x) V2 sin ( wt 4(x)) ~~1"0';":/'1 ' 1)
+t) = I (x)V2 sin ( (,}t ~ (x) ~ 9 (x)), (54.2)

eu valorile efective U(x) şi fazele iniţiale 1 y(x) şi w(x)- cp(x) şi cu defa-

zajul q:;(x), dependente de punctul considerat x al liniei. Un astfel de regim

se stabileşte, de exemplu, într-o linie lungă, căreia i se aplică la capete tensiuni

shJusoidale de aceeaşi frecvenţă, în regim permanent (adică, după completa

<Hnortizare a regimului liber, determinat de condiţiile iniţiale).

5 1·. Stu(liul ~"2t~~laţiilor telegrafiştHc.r in ~Oil~r~iex

-----~-------~--

54. lJ_., }î-.ol'l:J.l2 CO]:nplexă ~ EA~:'t~atiilor telegrafistlîo:i' ~i euiutiile ele.inentti!I'~)~
În :regim permanent sinusoidal, te~siunea şi cux~ntul 'se pot reprezenta în
complex simplificat, imaginile lor fiind acum funcţmni de variabila spaţială x :

u (x, t) <==:: Q (x) = U (x)ej<jl(x) (54.3)
(54.4)
i (x, t) ~ l. (x) = I (x) ei(W)-•Pi"-'l).

1 Nu an1 n1ai notat faze"ie iniţiale cu ~ şi y, deoarece aer.::te sintbohrd an altă şe:rnnifi-·
ea l]lf~ în te-o-ria liniilor hu.tgi.

In ac.,•·sî caz. d<:âYall'l<· pa.rţiale ale aec'!tor 1nărimi se reprezintă a;;tfcl :

(~.Jm{V(x)f2 (54.5)
?! ?t '

:h ,--~§ d~! (.)cJ.6)

-<~·~~

dx

Cn :u:co:loj reguli., sisteund de ecuaţii diferenţiale eu derivate parţiale (în vnna-
hilek. :t şi t), p•~ care il (:onstituie ecualiile telegrafiştilor (53.11) şi (53.12), H'
ll:•:p~·,~zintă în nnnpkx printr-nn sistem de ecuaţ.ii diferenţiale <rrdinarc (in

"' :trialoila x) :

(SL7)

Acr;<tsta ·~ste Jarma c~mplew'f a ec.uatiilor de ordinul imfi ale tlllell;rnfistilor. Prin
<krn a,re se poat.e ehmn;~a succesiv'oricare dintr<> funqiunile L·n;c{moseute 1
<~:w [1 si !W ohţu1 :rdaţnle :

(54.8)

care reprezinta forma, complexă a. ecuaţiilor de ordinul al doilea ale telP:grafiştilor.
Dadi se nntem~ii

(·x ~~> O) (51.9)

al~gînd,~pri;,~ d~f'i!liJ:ie_, rădăe~na e~ parte reală pozitivă - ceuaţiile de ordinul
al do;lea (;)t.f:l capata rorma simpla :

(;)UO}

La rezolvarea ace"tor ecuaţii trebuie să se linii seama t:<l .C: şi l sînt legatt: prin

ecna!iilc de ordinul întîi (51-.7). De aeeea se rezolvă numai una dintre ecuatii ··~
de r;~cmpln, aceea a ten~iunii ~ eurentul deducîndu-se din (54.7).
'

Ecuaţiile (54!.10) sînt ecualii diferen1iale linhu(~ de ordinul II, eu codieiei•ţi

''"Hstnuţ.i. aYînd •'cnaţia caracteristidi

386 L[N!I ELECTRICE LUNGI
cu soluţiile :

Rezultă :atnnd, pent:tu soluţia generală a tensiunii ;

4i:u care 1 şi ,42 sînt constante arhl tra:re (in general complexe), Curentul se

obţine introducind această relaţie in pt·ima ecuaţie (54o7) :
l

Dacă se notează :

soluţiile generale ale fm~mei complexe a t'cuaţiilor teleg:rafl~tllor se pot pune sub
forma:

(54.15)

4 4~n care constantele arbitrare complexe 1 şi 2 sint determinabile prin condi·

ţiile de la capetele linieio Fiecare dintre termenii din :relaţia (54ol5) în parte se
numeşte soluţie complexă elementară a ecuaţiilor telegrafiştilov:.

54.1.2. Intm·pretarea solutiilor dem·entare, Atît tensiunea dt si curentul
din soluţia generală. (54.15) re;ultă prin suprapunerea a doi iterme~:i : primul
depinde de x p:rin factorul e-!", iar al doilea prin factorul e+Ix, Arfităm că
aceste soluţii elementare sînt :reprezentările în complex ale mwr unde dementare
atenuate, d:i:reetă >Ji inversiL Astfel, tmsiuneo.. iLru:tif

(54,16)

eu eoefidenttd

(54,17)

;se scrie sub fonnă separînd moduhxl şi argumentul);
cu l\"elaţia

Valoa:rea inst::mtta.:nee este:

UJ t} = Im ~+-

U"'l! LUNGI !N REGJM. PERMANENT SINUSO!DAL 337

Se ohl"ervă h:nediat că, făclnd abstracţie de faetorul exponenţial mouoton

>descrescător e-D<x (deoarece cx 0), aeeasti1 valoare instantanee reprezintă o

undă elemrntară directă, de fox-ma primu]oj termen din 1'elaţia (53.24), cn

' 1teza de propagare :

v=

n '1mită, :in aeest caz, vitezli de fază a undei--~ in sensul x-lor pozativi. La uu mo·-
rn.ent dat t, această undă directă arc o repartiţie spaţială sinusoidală, cu pe.,
rioada spaţială A, numită lungime de undă, Se observă că lungimea de umlă
. e~a _mai mică distanţă dinti:e d~1:ă p~ncte, !:~1, care undele respective sînt
w iaza şi. ea atare, e determmahda p:rm condlţ:m :

(54.21)

lut-teaga l'epa:rt.iţie se deplasează in sensul .x·lor pozitivi, c11 viteza de faz:ă

1 V=-=
~--z) ~--~r,

______' .. _, (3 ,____ _1

'finîml acum seama ţi de factorul exponenţial, :rezultă eâ unda elementară

'Hre~tă e atenuată în -"emnu propagării cu o atenuare :rd. L:l5.32) ~

- . IIJ.d=c0':.:\- ln -.-;--(-O--). 1' ' (54.23)
1 l.'d (x)

proporţională e;;u_ distanţa x, In figura 54.1, a :st: reprezintă o astfel de \mdii.

+,?J,~:mentară atenuată. directă în momentele t şi t ~t.

O analiză asen1ăuătoa:re se poate face pentr11 ten~iwli''l .ir;ver,<ii.

v.iteză în sen~ul x ..lor in funeţhme
cm:espunde, j)l'In nn:nare, unei
54,1,. b), care se propagă eu

:în 8CJ1su] .;:;i de propagare .eu

atenuare

sfi.rşit, in

;;ur[•(:rntr~J C(tnsistă !n sup:ea_t:Yn:nt:)~ea

UNU ELECHZ!CE LUNGi

1::11 curentul i nl'N s :

-___ L .._

[~ /....·. t)

-+

1

1

fi~..) Ll

:; ! .t.:L l'an:.metrii secundari ai liniî.lm: : ÎlHJ>Ntaniu cm:adel·i.,,tidi si nw-

"'lanta ll<o pro1mgare. Soluţiile generale (54.15) J;Un î:t{ eviut;nlă prop;·i:~tutea

mil.rimilot· eomplexe l!c ~i ~f, d(' a caracteriza eomplet linia i'n regim pt:nna-

w;nt sinm•oidal, de frecvenţtt dată. Ae,;c-;tP mărimi sint parametrii SN'Ii!Hlari-

:u liniilor.. f<Î anume :
Tmpeda~lţ(~ caracteristici! complexă a Jjniei:

Jli (x)

(---- l; (x))

389
Haportul dinlr!e tensiunea eomplex:\ a nuci nnd.-~ ··km•}lltarc 7i cllrentu! •.:nm ..

plex corespm1:dttor (asociat după n•gula d•: 1a reeevtuare. in ruport cu St!rHm]
do: propagare respectiv) are aeeca~i Yaloare 111 tont~ pun;tBle liniei, fiind eg;d
<":U impedanlu eat·acter:istieă. 1lodnlu! :lf't'."ki mărimi eşte imprdanţa fartv~··

tai.<ticii .~ca/ani ~i are valoarea :

O.

.•ar ar;,cnmentnl ncestPi m~'irimi 1.:s1~: clefazaJul carnt·teri.stic şi ar·~ valoarea :

., are tg

[(.rG;

(54.30)

unde. la e:...tragn·ea radiealului, ,.., reţin.: rădăeina J'll pl!Tt•.' re:.tlt1 pm:it.ivi'a
(X 0).

Interpretarea an'lt:Hil pentru soluţii!•• denl<:'!lturc .;t:~bik-;tr: r·r1 lniirim~:·,

nnmiu\ cunslaut.a. de atPuuurc, l:ar<lcterizear:ft linia din puuctul de \ edt:fi· d
rwateunl:irii undelor d<:mcntar•:
unit.ateu de hwgînw. i:n· utărimert

lm J ...i'l
! j. 1 -

nu mită cGn8iantti d•J dejltzaj li au .cunstantti de. jl.uă, ·~;;n·<teteri:wHză linia d.iu I"Juduil
de- Vf'drre al defazai nlai introdus îu tuul<J,. Plem en tar•~ p•.· un:itat<"u d0 Jm.gîw .",

390 LlNH ELECIRICE LUNG!

Pentru a calcula constantele oc şi ~ în funcţie de parametrii linei.d }:.1,

L,1, G1, Cx, observăm că din (54.30) rezultă :relaţiile :

+ j (u(L1

oc2 -~ ~~ = R 1 ~ w2 L 1 (54.35)
(54,36}
11'1 YJRz + + jwCd (Rl + (f.'7 +- C?}~" j&:JLgJJGI----~~~-~~~--~----- (54.37)
4{~-------~~--~-~---~-- -----~~------·

=V &:J2L,f) w2

r + + +1 12 = oc~ S2 = V(R;î (iJ2Ll) (Gl fJ)2 Cf).

F'ăciml Bemisu.roa şi semidife:renţa expresiilor (54.3,1) şi (54.36), rezultă expx-e--
sille <':autate :

o (54,38)

rConstanta de atenuare e pozitivă prin însuşi modul cum a fost definită con·

stanta. de propagare ~ din relaţia (54.34) rezultă atunci că şi constanta de

fază e pozitivă.
r. z,,Parametrii <1:, ~. ~c•
qJC depind de frecvenţă, şi anume intr-un mod

mai complicat decît rezultă din relaţiile de mai sus, deoarece şi parametriJ

Hneid .R1, Li> G1, depind de frecvenţă, din cauza efectului pelicular (v. cap.
56) şi al pierderilor dielect:ricf' par. 49.5) . De asemenea, viteza de fază a

undelor:

d.cpinde de frecvenţă.

()bIle,, va tii o ·~) ÎX< cazu.l liniei fără pierderi (Ri ~ \1, G1 ~ 0) parametrii se~Cnnthn'
""' valoril<l ; ·

(54At}'

ou depinde de frecvenţă. De aceea, toate componentele sinusoidale ale unei unde directe
riodice nesinusoidale se propagă neatenuate şx eu aceeaşi viteză, asigurind propagarea
distorsiuni a acestei unde (cum rezultă şi din ~tudiul liniei fără pier<lcr-i in regim tranzitoJ"h•.

~·par. 51UL L).

UNII LUNGI lN REGIM PERMANENT SlNUSOiDAL 3!H

ib) În cazu! unei linii cu pierderi mici, lucrind Im frecvenţe inalte (Rz ~ Lg oo, G:1 "ii

P<'T;Jt:mectdi Be<mnda:ri iaQ valorile

l· (54,4.3)

'

r..,z.uhă <'!.e asemenea independentii de frecvenţă.

c) In cazul liniei. cu pierderi, atît viteza de fază cit şi constanta de atenuare depind
d€ frecvenţă. Dependenţ.a vitezei de fază de frecvenţă poartă numele de .dispersiune, din cauz~t.
faptului că In optică această proprietate determină dependenţa de frecvenţă a indicelui de re·
f:nwţie şi ded fe:nomeln:il de dispershme a luminii. Dispersiun!:a are d:rept consecinţă defor"
rna:rea undelor (directe sau inverse) care se propagă pe linie, In adevăr, considerînd, pentru
~Implificare, o undă directă periodică, dar nesinusoidală, această undă poate fi considerată
ca o sup:rapunere de armonice (prin dezvoltare in serie Fourie:r), Din cauza dispersiunii, armo~
nicelc au viteze de propagare diferite, ceea ce determină alte faze iniţiale la :ieşirea din linie
decît la intrax'ea lin linie. Ca urmare, unda rezultantă va avea la ie3ire o altă formă dec'ît la
intrare, PentJrll! telecomunicaţii, aces• fenomen e supărător, deoa:rec~ :reduce fidelitatea trans~
·mishmil semnalelor pe linie, producînd distorsiuni.

Dacii iln6ă par~:metrH Iineici satisfac condi!ia lui Hemdt<id,~

se obse.rvii din re1aţia (54.40) că r8Jdica!ul, dependent de fh;cveaţâ, de la numitor devine egal
cru unitatea şi viteza de fază rezultă independentii de frecvenţă şi egală cu viteza de propa~·
gare de p>e liniile fl'!ră pierderi~

1 (54.46)

"

Condiţii>

hidle'

În td.,co:m1micaţii, Hnifi fără dispe:rsiune prezintă deosebită importanţa, din punctul
de v"dere al fidelităţii transmisiunii, in special la circuitele telefonice de frecvenţă vocala,
Bituat•J in cabluri telefoniee, pentru legă tud pe distanţe mari. Deoarece circuitele din cabluri
at~ eonductoare foa:rte apropiate, cu dielectric de permitivitate :relativ mare, capacitatea loll'
Jineic.\!_ e fmu:te :rn11:re, ia:r inductivitatea lor Hneicii. foarte mică, adică :

Rz

Lz

Pentru lll s'Jitlsface condiţia lui Heaviside, se sporeşte in mod! artificial inducti':'ita,t~a .lir~eică
med.ie " Hniei (încărcarea liniei)- ile prin intercalarea, la intervale reg~late Şl 11llCI ,faţa o~e
lungimea de undă, ill uno:r bohine de mare inductivi~ate (!;iroce,den! Pupm) ~fie pnn utili·
,;are;n unm· materiale fe:ro:magnetice în strnctuo:a dielectncuhn.

392 LINli ELECTRICE LUNG!

.Acelea~i e:!(pr~5ii caract.e.rizea?.il. eu~r.nl ]hnitJl nl linlt~i de enrt~Ht (~1Htt1nuf.l ~~u pjt~.t·dr:ri iq i~~o
laţir .

.'i4.2. Eeuaţiile liniilor elecuice lungi

Se numesc I!CIWţiile liniilor soluţiile eomplcxe ale ecuaţHluJ' telegrafiţ;­
tilor, exprimate în funcţiune de mărimile de la capetele liniei.

5rL2.L Ecuatiile liniilor exprimate în functie ,}e unda llirectă ~i tmib
iuversă. Dacă se dă unda directă de temoiune, re~pcctiv nnila inversă;]a înec·
putul liniei, respectiv la sfîrşitul liniei

(54A9)

respectiv

'!oluţiile .generale (54.15), cu relaţiile (54.18), (54.211), (51t.25) ~i (54.26) se s~riu :

l (54.51)

fu valori in:stantanee rezultă expresiile :

Se obse:r"vft. c}l, dacă l ~<..- :r ~i Hnia arc pierderi~ ( ţ"'\~,r\6 -~.'1.} 1 ~ 1 7i nnd&l iuver;:._ă ~· pra<r.itii•·,
ncglijahllil, ustfel c:'i

5,1.2.2. Ecuatiile liniilor exprimate in functÎlllie dt~ uuiriulile lie int1•a.r~.

Dadi s"' dau tensiunea şi curentul la bornele de· inu·an,

(54.54):

Cu act•;;tp Yalori, soluţ.iilt genernle Ui,Ll5) devin: (">457)

U(x) =
J(x) 1- l. ch Y- x-

1) h ..- t r raţii.' a) La linia flirii pi~:rdBri:

,,j ..2;-:: }ar :l Zo

r(

..,it jfjx :-.in {j;'; l

r (x) . ':..1eoo;'ix jZ0_f 1 ,,iu ~X 1.

l(x} 11 co' [h -- j 711 1;.in ~~x

J,) La tirJ:ia .fOarte scurlll~. ('tt !yx/ ~ l pt~utru orice x, 6-e JlOt .reţ.inc 1 dJu th~;,voltal't~a in
·.~erie a fn:neţii1or hiperbolice., 1inn1aitt~nnenH de grndnl O ~.i 1 in "'(.1'. ~t" o!)ţ.Ln~ jwnttTlt i1'ntreaq;a
!l·uie (x "c l). ccnaţ.iile ;

~·f,J:e~r~~ul.z.ltourc ~chen1ei cehi\~'aleute ell pa:rantelrii eouccntratJ din .ilţţ;llt&:t 5-1.'2.

c) Ob!iervaţia prccedentrt permite să. s•; stabile;J'<Că un crile.riu (·t;.n:itatit,, pentru a

...tptt"t:~ia dacă un circuit poate fi tratat în arn~oxinuqja para1netriloe .J:OJl('.entrHţi, adie~~

gi:n evasistaţiona_t~ Pentru neea:-!tn tx~hnie ea !~! L. "}au,
- 2·ir '
-d,~r~;trcee ;)
t !'llhuie ('H

l.

,,

f

Pot 11 tratate eq liuii ~cur le nun1ul liniile a ,-hul lnngintea 1nieă
faţă de lnngimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru,

De aceea, o linie de transmisiune n energiei de 100 km,. eare
luer•m:dt la frecvenţa in(l.ustrială- de 50 H~ (), ~ B.lO" (iO c~ 6 000 km) •e8te 1J
(l (A ~ 1 joO), pe cind o linie de antenă de J O m pentru t.el;w~ziuue, care lue<Tc1Z1\

de cirf·a 50 ~;\I}lz (/~ :~ ;ţ~Ios }50.1011 :-= (l n1) e5ie n li1rie hn1f~:ă (J,.'!c ·q.

394 L!Nll ELECTRICE LIJNOJ

54~2~:'L Ecuaţinc HlliHm: ex1u·imate 'in fum~ţ.ilme de mîhimHc df'; lii"~Er~~
Iladi, se dan tensiunea şi rnrent•Il dJl Ja bornele de

ld2, c"" JZ(l) = 4 1 f; "'~2. (SL62)
0
8.
[ 2 = [(l) = ~~ e
J;,

Gm ~ceste valori. soluţiile generale (54~15), exprimate îu .6.meţie de distauF;
x' = a~ x, măsnrata. d.e la sfi:rşitul. liniei, devin:

,=~U\O~x,~l'"o' h
e
J

(54J54}

1·

h) lnt:r("l.ag~l Htlif) (:r; ~ce~ l) r(~ptt~ZiHtâ nu c,_ladripoE reeipr'M:H_· 3i ~inJ.et:.tie,, 4,_":\l r"C'·U.aţ:lile itilJ.n~

d <i!Si<fJJJ.tl'! 1€ ' .

[)rt;t ĂI»licaţii

--~~-~

54.ol.L Imped:anţm d:e intrare al uneii linii Dad. ? ~ ; o" L~ 1!'m e impedanţ,, <mneelată b

bonxde de ii.eşire (v. !ig. 54.3), implldmwx ~chivalentii !n inirare rez1tltii din rdaţiile (.54.66)

L!Nll L UNGJ IN ·R-F-<-i-l 1-VI- -P-E- R--M-A--N-E NT - S lN U- S-O-l-D-A-L- - - - - - · - - - - - - - -
---- --- ---- -- --
-~--~~---~---~---

o 2n:
=·"J ~-

;,

Z:.:

~e ol~servill eli iJJ hnh'l e1eetr_ică fără
ca u.n transfo.nnatm: de lmpedanţe,

În cazul p<~rtieuhr dnd F = ]':_ (Jinii1 În sf<"rt de

1-

z-3 (54,69}

(JJ 16HT.~~Xll8. pn:r eapacitiv(t d(~ten:ni:nă~ ht Ji("CSÎ: {~aZ5 {) de intrare inducth;;3Î,3 ŞI inveJtP
(y, fig, 54-A, (Jj şi b),

54.3,2,_ U1_11ia adaptată, _~e ce~e, valoarea impedanţei de sarcina, care llnnlarea

coJz:npnne:nteJor :\UYP.l'~:.;c de ten,..uane tt ne e-n:rent~ llin eeuaţiil€ eu ·t: := l. ~= 0~. ~f:·

obţine;

[ l t ' ' .IJ ~t1 l

lnlo•euind! !!Ceastlt valoare .in ecna"ţi.a (54,71).
l'ezulti'O egaliit cn ţ:< (respeetlv cu

= I!j_

l'l6 UNI! clLEClRlCE lX:-iG1

c.",odiţia (3·!.!1'.1) e ded necesară ~~ i'Ltlidentă pentru anularea uwielor in•>'er:;<~ ,it; t~n­
oimw ~i d·~ enren!. În oriee punct al liniei. În cazul cînd aeeastă condiţie o r~alizatti, linia .",,
nume;;te adapltt1.<1 7i .raportul <lintre tenoiune ~~ enrent e egal Ctl impedan~a caracteri~tid'<
in vrice punct al liniei.

54.il.:). I.inia fitră distorsiuni. Dacii o linie e adaptată (reL 511. 70) şi nu prezintă dî~per­
,~uue, adică da<~ă. sa~îsf~ee ~! eondiţi: lui Heavisidc (51A5), pe. Iini.e ~e prop:"~ă ?-m~ai u.n•l•;
i:h.reet.e, cn i-H"eea~i. vtteza~ orlcHre ar tt h·.eeveuţ~J lor~ {!eea ee a"1gura hpsa orxcarei d1stor:;nuu1
la transmiterea smnnalelor nesinusoidale. De ac<•ea, cond.iţille (54.45) şi (54.70) caractt•rizează
linia fărâ disll)r~illni. prntru care, din nlaţiilt• (!l1k7l), (54.46) ~i (5tL:J.i) re1.11hă:

"'r f' 0- j ~--~ ·ţ .... Za_l(x)

u.

}l ---.- .:-i
/."

COIVDLCTOARL MASTVi'.

Cl~JPtL ELECTHO?iL\C~ETJI.

I:X CONDCCTO·\J{E 01A~JVE

:-;tudinl eire,ildor eleet.ri1:e (h· curent variabil <1 fost fiteul in ead:ru1
a două apnJ:\.imaţii fundamentalA (,, cap. 31): caracterul evaslO'tationar al

r ,.regimului de fune~ionare ~i ea:mrtcrul filiform. al eonductoarelor care eonsti-

tln.e cl·:rcuJ·.tu1. :n stncnu1 .1l·m·t·1 o· r c-1ee·tn·ce 1unp· (cap. ;~:,,3 ŞI· eap..5LJ"·} se I•n1.-a- tura-
(în cea mai mare part<:) aproxinuqia regimului evasistaţionar, ~!ar se men-
ţine, de fapt, ipoteza f·araeterulni filifonu al conduetoarelor. Jn eele ce ur-
·rneaza-~ se. ''Aox prez~nt-a cr"'teYa proH' .l enl(~., 1/", ~ ~Hre se 1.a u"~ .cons1aler~r.e ~~:part1' ţu. 1
eurentulm 1n cuprmsul eonduetoarebr, achea se renunţa la aproxrmaţw eHrac-
terului filifonn. În sdtimh se menţine ipote?.a regimului eva~ist~lţionar, adici't
~;e neglijează dem:hatea curentului de deplasare Jn = E :'}~;,' pc lîngă densi-

tatea curentului de conducţie J '"" crE. Cit timp se studiaza materiale con-

<luetoare propriu-zise (metale), eare au cunductivitatea cr >lOGQ-l m-\ ipoteza
regimului cvasistaţionar c pe deplin justificată in toate problemele tehnic•'
relative la studiul cîmpului electromagnetic din interiorul lor.

1n Hdev~J.r. adrniţlnd o 'un·iaţie :;inu:soidală cu frecveuţa~f= (!~~. a n:tăr:irni!or~ densitate;!
2~

n.Irentului de~ deplasare ur;; valoarea efcetivă JD ---~ s t;.-r.E~ iar densitatea curentului de eol!-
duc\Ε> nr0 Y:J!uanm efectivă J ~-~ r:iE. Regimul cvnsist.aţiomtr e realizat dacă J:J J. adie'i

cJg,·;) <·Jc :{ "5. d0 mule rezult'i 1wntru pulsaţia dl' lucrn conr\iţia:

r; (55.1)

[(•) <~

--r fiind u~;-n-ruuuitu1 timp dl· nA.llxa.rt u! U1Hteii.alului.

( \-: ' ~~ lunn•a z ~ Z:o ~---~ , 1

:l6 ~~

f .;( 1()16 Hz.

lele mai nwri frecvenţe utilizate a;;i in telmidi fiind de ordinul a 10 (100 :MHz'= l(JW lh. co~:­
diţia aceasta e totdeauna t'atisfăcută. De au;ea, chiar in regimul general variabil al undelur
•·lectrnmagneticr. (v. cap. S7), în care se renun~ă În general şi la aproximaţia regimu!Hi
eYaRi,ta!ionar şi la aceea a cireuitelor filiforrne, M' neg·lijează cureutnl de deplasare ;,,,
:mrdiile d(1 ('OlH]ucth,hnte ridienUL clnn ~ÎlH rnetalele.

____- -,~~~~~,-~~-~~--~----~-' ,

398 CONDUCTOARE MASIVE

55.LL Ecuaţiile hrl lo/hxwc:U ll~Itlru condudoare n:m1'1h11". Rezolvarea

problemelor repartiţiei curentului in conduetoa:re masive şi a pierderilor prin

efect J oule-Lenz corespunzătoare se poate face numai pe baza legilor cîmpului

electromagnetic şi, în partieular, pe baza eeuaţiilor lui Maxwell {par. 29.2,

vot I). Aeeste ecuaţii sînt : (55.2)

rot H ~ J +-a:n-

m

rot E iiB (55.S}
-~ ' = ' ~
iit

div D ~ p," (55,4)

div B - o {55.5)

şi reprezinta (iu ordinea de cmai sus) form;JI locală a legii ârcuituJui magneti<:

in corpuri imobile, forma locală a legii indwţiei electromagnetice în medii

imobi]e, forma locală a legii fluxului electric şi forma locală a legii
fluxului rnagnetic. Într-un mediu de permeabilitate [L, de permitivitate e şi

de conductivitate cr = "1 ('unde o e rezistivitatea) si fără cimp electric impri·
11
_p:_ ~ l

mat (cîmpul electric imprimatE; e, în general, constant şi nu prezintă inte:res
în regim variabil). ecuaţiile de mai sus se completează cu relaţiile de material:

B = ~H, D = z:E, J = crE "= ~ E, (55,6)
p

care rezultă din legea magnetizărH temporare. legea polarizatiei
electrice temporare şi legea c';nducţ.iei electrice (Ohm). În ~edii omoge~e,

mă:rimile o:, [-L şi cr sint constante. Introducînd relaţiile (55.6) in primele două

~'~uaţ.n, ~-1-e l.ln, l"~u<axwe11- ŞI· neg1l..J,.m, d. d ens,itatea eure:ntu.1u1, d-e d e pJa s a r e an ,

7ut

in eonfo:rmitate ;cu eele arătate mai înainte, se obţin 'telaţiile :

rot :H = = J

(55,7)

·caJm J sînt,
,toare

tima
in acest ~~az~) solenoid~di :