Balu, Mariana Elena - Bazele statisticii

• Seria de repartiŃie (de distribuŃie) se folose te pentru gruparea
datelor după o caracteristică atributivă (calitativă sau numerică).

Seriile obŃinute după o caracteristică calitativă corespund clasifică-
rilor întâlnite curent în statistica de stat.

Seriile formate după variaŃia unei caracteristici numerice se mai
numesc serii de variaŃie, iar al doilea ir este format, de regulă, din
frecvenŃele corespunzătoare grupelor.

2.3.3. Grafice statistice

W. Plyfaif pune la punct construcŃia primelor grafice moderne în secolul
al XVIII-lea i afirmă că, prin utilizarea graficelor, se pot imprima în
memorie, în cinci minute, informaŃii al căror studiu prin tabele ar necesita
zile întregi. Graficul facilitează înŃelegerea i memorarea, invitând la
elaborarea intuitivă a ipotezelor cu privire la legităŃile specifice obiectului
cercetării, cu privire la conexiunile posibile cu alte fenomene etc.

Reprezentarea grafică este o imagine spaŃială, cu caracter
convenŃional, care, prin diferite mijloace plastice de reprezentare, reliefează
ceea ce este caracteristic, esenŃial pentru obiectul studiat.

Graficele statistice nu reprezintă decât o parte a reprezentărilor grafice
întâlnite în literatura social-economică (organigrame, diagrame ergono-
mice, scheme logice etc.).

Graficele statistice pot fi folosite în următoarele scopuri:
– interpretarea vizuală a raportului de mărime dintre doi sau mai
mulŃi indicatori statistici;
– interpretarea structurii i a mutaŃiilor de structură;
– interpretarea densităŃii de repartiŃie a frecvenŃelor;
– interpretarea formelor de realizare a interdependenŃelor dintre două
sau mai multe variabile;
– interpretarea tendinŃelor de dezvoltare a fenomenelor pentru etapa
dată;
– popularizarea datelor statistice.
Elementele constructive ale unui grafic sunt:
– titlul graficului;
– reŃeaua graficului;
– scara de reprezentare;
– graficul propriu-zis;

49

– note explicative, inclusiv legenda i sursa informaŃiilor utilizate la
construirea graficului.

Principiul de bază al reprezentării grafice a unei distribuŃii statistice îl
constituie proporŃionalitatea. Pentru a respecta acest principiu, graficele
trebuie să conŃină o serie de elemente precise care le definesc (prezentate
anterior ca elemente constructive).

Titlul graficului trebuie să fie scurt, clar, precis i complet, să
corespundă, pe cât posibil, titlului tabelului statistic ale cărui date le
reprezintă. El cuprinde informaŃii despre obiectul reprezentat, timpul i
spaŃiul la care se referă datele i unitatea de măsură. De regulă, titlul se
trece deasupra figurii graficului.

ReŃeaua graficului este constituită din totalitatea liniilor ajutătoare
folosite la construirea graficului propriu-zis, fiind suportul acestuia.
Construirea reŃelei grafice presupune respectarea unor reguli:

– liniile reŃelei trebuie să se profileze vizibil, dar nu prea accentuat,
astfel încât să faciliteze citirea graficului;

– alegerea formei reŃelei se face în funcŃie de scopul în care se
folose te graficul etc. Este recomandat ca forma reŃelei să Ńină seama de
sistemul axelor de referinŃă faŃă de care se construie te graficul.

Majoritatea graficelor statistice au la bază sistemul de axe
rectangulare, cadranul I (figura 2.1). În practică, se folosesc reŃele
rectangulare, reŃele curbilinii, reŃele de cercuri concentrice, sectoare de
cerc.

Y+

II Cadranul I

X- X+
III IV

Y-

Figura 2.1. Sistemul de axe rectangulare

Scara de reprezentare stabile te relaŃia dintre unitatea grafică de
măsură i unitatea de măsură a caracteristicii studiate. Cu ajutorul scării se
gradează axele graficului i se măsoară coordonatele punctelor. Scara se

50

construie te Ńinând seama de ordinul de mărime al indicatorilor de
reprezentat, de gradul i forma de variaŃie dintre ei i de scopul urmărit.
Alegerea unităŃii de lungime a scării se face în a a fel încât să surprindă
forma reală de variaŃie a indicatorilor de reprezentat. Dacă se prezintă
corelat mai multe caracteristici statistice, atunci scările de reprezentare
trebuie stabilite, astfel încât să poată cuprinde toate valorile indicatorilor i
să redea, într-o formă armonioasă, proporŃia, dintre ele.

Scările de reprezentare pot fi:
– uniforme, când diviziunile cotate pe suportul scării sunt
echidistante între ele (scara aritmetică);
– neuniforme, când distanŃele variabile dintre punctele cotate sunt sta-
bilite pe baza unei funcŃii curbilinii (scara logaritmică, scara binomială etc.).
Alegerea scării se face astfel încât să asigure vizualizarea corectă a
proporŃiilor reale dintre elementele care compun colectivitatea.
Scările pot fi rectilinii sau curbilinii, după cum suportul este o dreaptă
sau o curbă. Dintre reŃelele curbilinii, care folosesc sistemul coordonatelor
polare, mai importantă este diagrama polară, ce folose te în reprezentare
cercuri concentrice, fiind folosită, în special, pentru reprezentarea
sezonalităŃii unui fenomen economic.
Legenda graficului reprezintă explicarea concisă a semnelor
convenŃionale, măsurilor i culorilor folosite. Unele explicaŃii sunt trecute
chiar în spaŃiul grafic sau există i varianta când titlul graficului este
suficient de detaliat, astfel încât legenda poate să lipsească.
Sursa datelor este obligatorie în toate cazurile când se folosesc date
reale. Ea se trece sub reŃeaua fiecărui grafic pentru a identifica provenienŃa
indicatorilor cuprin i în grafic.
Notele explicative se folosesc pentru a interpreta corect graficul. Ele
pot fi trecute sub reŃeaua graficului sau în subsolul paginii, pentru a atrage
atenŃia asupra unui procedeu special de calcul statistic sau asupra modului
lor de prezentare în grafic.
Graficul propriu-zis este alcătuit dintr-o mulŃime de puncte, linii
(drepte, curbe, frânte), figuri geometrice în plan sau în spaŃiu, simboluri
natural convenŃionale construite proporŃional.
Tipuri de reprezentări grafice. Se aleg, în principal, în funcŃie de
natura seriilor statistice.
Seriile de timp pot fi reprezentate prin cronograme sau diagrame
polare.

51

Seriile de spaŃiu se reprezintă prin cartograme sau cartodiagrame.
Cele mai frecvente tipuri de grafice sunt: graficele prin coloane sau
benzi, grafice prin figuri geometrice de suprafaŃă sau de volum. Ele permit
evidenŃierea rapidă a relaŃiilor obiective dintre indicatorii prezentaŃi. Ele se
folosesc în popularizarea unor aspecte din viaŃa socio-economică, pentru a
reda imaginea unui fenomen în evoluŃia lui în timp, când distanŃele dintre
perioade sunt mari i inegale.
Graficul prin coloane se recomandă mai ales atunci când numărul
datelor reprezentate nu este prea mare i graficul este sugestiv. Se
reprezintă în cadranul I din sistemul de axe rectangulare, unde OX va fi
baza coloanelor sub formă de dreptunghi (bazele coloanelor vor fi egale),
iar pe OY se stabile te o scară a procentajului (%). Între coloane se lasă un
spaŃiu liber, egal cu mărimea bazei coloanei (dacă sunt puŃine coloane de
reprezentat) sau cu jumătate din baza coloanei în caz contrar. ÎnălŃimea
coloanei este proporŃională cu valoarea indicatorilor de reprezentat.
EXEMPLU: La o firmă cu 3 secŃii de producŃie se urmăre te
îndeplinirea programului de producŃie. Astfel, în trimestrul I 2003 acesta a
fost îndeplinit de secŃia I în proporŃie de 80%, de secŃia II – 100% i de
secŃia III – 120%. Reprezentarea grafică este următoarea:

Titlu: Graficul îndeplinirii planului de
producŃie la firma „X”

Scara: pe OY 1 cm reprezintă 20%.
Figura 2.2. Reprezentarea grafică prin coloane

52

OBSERVAłIE! La construirea acestor grafice nu se admite între-
ruperea scării, coloanele trebuie să fie neîntrerupte chiar de la linia de bază.

După modul de exprimare a caracteristicii, pot fi:
• pentru serii unidimensionale exprimate cifric:

– histograma;
– poligonul frecvenŃelor;
– curba frecvenŃelor (curbe de densitate);
• pentru serii unidimensionale cu atribut calitativ:
– diagrame de structură;
• pentru serii bidimensionale:
– corelograma (diagrama norului de puncte).

2.3.3.1. Prezentarea seriilor statistice unidimensionale

DistribuŃia statistică unidimensională prezintă corespondenŃa dintre
două tipuri de date statistice, sistematizate într-o succesiune logică: primul
ir reprezintă valorile caracteristicii de grupare, iar al doilea ir reprezintă
frecvenŃele de apariŃie.

Pentru o colectivitate C, cu „p” elemente ordonate după o variabilă X
cu valorile (x1 x2 --- xp), fiecărei valori xi îi corespunde o frecvenŃă absolută
ni. Seria statistică, definită de cuplul (xi,ni), apare astfel:

X x1 x2 --- xp cu i = (1, p)
n1 n2 --- np

Orice nivel (xi ) al caracteristicii de grupare cu frecvenŃa ei de apariŃie
(ni) formează termenul distribuŃiei (xi, ni), elementul de bază al seriei statistice.

NoŃiunea de frecvenŃă se referă la numărul unităŃilor statistice ce
corespund grupelor de unităŃi obŃinute ca rezultat al centralizărilor.

irurile de valori dintr-o serie pot fi exprimate fie sub forma
indicatorilor absoluŃi, fie ca indicatori derivaŃi.

Folosim notaŃiile:
ni = frecvenŃa absolută (se exprimă în unităŃi concrete);
ni∗ = frecvenŃe relative.

53

FrecvenŃa relativă (ni ∗) se calculează ca un indicator relativ de
structură (ca raport între parte i întreg):

ni sau ni* = ni *100
∑ ∑ni* = ni ni

ii

∑∑e: ni* = 1 i ni * = 100%
%

Poate fi exprimată sub formă de coeficient (de câte ori) sau sub formă

de procent (cât la sută), reprezentând partea considerată într-un întreg.

FrecvenŃa cumulată. FrecvenŃa poate fi cumulată atât în formă
absolută (Ni), cât i relativă (Ni*) i exprimă numărul unităŃilor, respectiv

ponderile lor faŃă de total, centralizate crescător sau descrescător nivelului

considerat al caracteristicii. Cumularea frecvenŃelor se face:

N1 = n1 N*1 = n*1
. .
. .
. .
N*i = N*i-1 + n*i
Ni = Ni-1 + ni .
. .
. .
. N*p = N*p-1 + n*p

Np = Np-1 + np

Elementele unei distribuŃii statistice unidimensionale se pot prezenta

într-un tabel simplu (tabelul 2.4):

Tabelul 2.4

Intervale FrecvenŃa FrecvenŃa FrecvenŃa FrecvenŃa
de grupare absolută absolută cumulată
relativă relativă cumulată
xi-1 - xi ni n*i Ni N*i
Total n -
1 -

A. Reprezentarea grafică a unei distribuŃii unidimensionale
Dintre graficele folosite în reprezentarea grafică a distribuŃiilor
unidimensionale amintim: histograma, poligonul frecvenŃelor, curba
cumulativă a frecvenŃelor, curba de concentrare (Lorentz).
Histograma se folose te pentru reprezentarea seriilor de distribuŃie de
frecvenŃe. Se construie te în cadranul I din sistemul axelor rectangulare
astfel: pe OX se trec intervalele de valori, respectând principiul ca
intervalele egale să fie reprezentate prin distanŃe egale, iar pe OY se trec
frecvenŃele absolute corespunzătoare.

54

Pe axe se va face în origine o întrerupere de canal cu două linii mici
paralele, pentru ca apoi să se plece de la valorile minime înregistrate atât de
caracteristică, cât i de frecvenŃe. Pe axa ordonatelor (OY) se construie te o
scară a frecvenŃelor în funcŃie de mărimea frecvenŃei maxime.

Histograma se construie te sub forma unor dreptunghiuri lipite, cu baza
pe OX, mărimea lor fiind egală la bază cu mărimea intervalului de variaŃie
respectiv. ÎnălŃimea dreptunghiului va fi dată de frecvenŃa corespunzătoare
fiecărui interval de variaŃie. Histograma arată forma de repartiŃie, densitatea
de repartiŃie a frecvenŃelor, cât i gradul de asimetrie al seriei.

EXEMPLU: Prezentarea distribuŃiei salariaŃilor după vechime (ani):

Gruparea Tabelul 2.5 FrecvenŃe Centrul de
salariaŃilor Număr cumulate interval
după vechime salariaŃi ci(xi)
6 50 5
2-8 ni 17 44 11
8-14 6 30 33 17
14-20 11 42 20 23
20-26 13 46 8 29
26-32 12 50 4 35
32-38 4 -- -
Total 4
50

RepartiŃia salariaŃilor după vechime

y

14 23 Scara:
12 Ox – 1 cm = 6 ani
Oy – 1 cm = 2
12 11 salariaŃi

10

86 44
6

4

2 8 14 20 26 32 38 x Figura 2.3.
Histograma

Figura 2.3. Histograma

OBSERVAłIE! Graficul ne arată o serie u or asimetrică.

55

Poligonul frecvenŃelor se folose te tot de cadranul I din sistemul de
axe rectangulare, unde: pe OX se trec intervalele de variaŃie sau centrele de
interval, iar pe OY se construie te scara frecvenŃelor. Fiecărui centru de
interval îi corespunde o frecvenŃă, iar la intersecŃia lor se pune un punct.
Punctele se vor uni cu linii frânte, obŃinând astfel poligonul frecvenŃelor.

Vom construi poligonul frecvenŃelor tot după exemplul prezentat în
tabelul 2.5:

RepartiŃia muncitorilor după vechime

y

14

12

10
7
8

6

4

5 11 17 23 29 35 x

Figura 2.4. Poligonul frecvenŃelor

OBSERVAłIE! SemnificaŃia indicatorilor sintetici, calculaŃi pentru o
astfel de distribuŃie, folose te la analiza gradului de omogenitate al seriei.

Curba cumulativă a frecvenŃelor se folose te când se determină pe
grafic valorile mediilor de poziŃie (mediana, cuartile, decile). Se
construie te pe baza frecvenŃelor cumulate. OperaŃia de cumulare
crescătoare a frecvenŃelor arată partea din colectivitate statistică pentru care
valoarea caracteristicii este mai mică decât x. În operaŃia de cumulare
descrescătoare, frecvenŃa cumulată indică numărul total al unităŃilor care au
nivelul caracteristicii superior lui x. Se construie te în cadranul I din
sistemul de axe rectangulare, unde: pe OX se vor lua centrele de interval
(sau intervalele de variaŃie), iar pe OY frecvenŃele cumulate. Pe grafic vor
apărea două curbe care unesc punctele de coordonate dintre limitele

56

inferioare, respectiv superioare i frecvenŃele cumulate pentru curba
crescătoare i corespunzător similar pentru cea descrescătoare. Punctul de
intersecŃie a celor două curbe va marca tendinŃa de asimetrie a seriei
prezentate grafic (vezi figura 2.5).

RepartiŃia muncitorilor după vechime

Y Ascendentă

53
46 Scara:

Ox – 1cm = 6 ani
39 Oy – 1cm = 7 muncitori
32

25

18
11 Descendentă

4

2 8 14 20 26 32 38 X

Figura 2.5. Curba cumulativă a frecvenŃelor

Curba cumulativă a frecvenŃelor se mai nume te i ogivă, în cazul în
care seria prezintă un pronunŃat accent de simetrie a distribuŃiei frecvenŃelor
în raport cu frecvenŃa maximă, ce corespunde valorii centrale a carac-
teristicii.

Curba de concentrare (Lorentz) se nume te astfel după numele
celui care a utilizat-o prima dată. Se construie te pe baza frecvenŃelor
relative cumulate, ajutând la studierea fenomenelor de concentrare sau de
diferenŃiere. Pentru construirea ei se parcurg următorii pa i:

– se calculează frecvenŃele relative;
– se cumulează crescător frecvenŃele relative;
– se calculează greutăŃile specifice ale caracteristicii i se cumulează
crescător.
Curba lui Lorentz se construie te în cadranul I. Pe axa OX se
reprezintă frecvenŃele relative cumulate, iar pe OY greutăŃile specifice

57

cumulate. Perechile de valori corespunzătoare fiecărei grupe se marchează
prin puncte în grafic. Unind punctele alăturate prin segmente de dreaptă se
obŃine curba de concentrare i linia perfectei egalităŃi a frecvenŃelor se
nume te aria de concentrare. Cu cât aria de concentrare este mai mare, cu
atât concentrarea este mai puternică.

EXEMPLU: Folosim gruparea agenŃilor economici după mărimea
profitului.

Tabelul 2.6. Gruparea agenŃilor economici după mărimea profitului (mld. lei)

Gruparea agenŃilor Număr agenŃi economici Profitul estimat
după profit xi gi% gi%
ni n*i% n*i%
5-10 cumulat
10-15 cumulat 190 1,88 1,88
15-20 1260 12,47 14,35
20-25 5 2,5 2,5 1840 18,22 32,57
25-30 2500 24,75 57,32
30-35 30 15 17,5 1620 16,04 73,36
35-40 1450 14,36 87,72
Total 40 20 37,5 1240 12,28 100
10100 100
50 25 62,5

30 15 77,5

25 12,5 90

20 10 100

200 100

Graficul agenŃilor economici după mărimea profitului

Figura 2.6. Curba de concentrare Lorentz

Din grafic, rezultă că 77,5% din totalul agenŃilor economici
concentrează 73,36 din profitul total, deci concentrarea este scăzută.

58

Dacă avem de comparat date pentru trei sau patru perioade, vom
construi un număr corespunzător de curbe de concentrare pe acela i grafic.

B. Reprezentarea grafică a diagramelor de structură
Diagramele de structură sunt folosite frecvent în prezentarea datelor
statistice pentru interpretarea mutaŃiilor intervenite în structura pe ramuri
sau pe plan teritorial. Aceste diagrame pot fi folosite pentru orice colec-
tivitate împărŃită în grupe după variaŃia uneia sau a mai multor caracteristici
statistice. Aceste diagrame presupun un raport de proporŃionalitate între
suprafaŃa figurii geometrice (pătrat, cerc, dreptunghi) i totalul structurii de
100%. Fiecare figură geometrică se va împărŃi în atâtea părŃi câte are
colectivitatea cercetată, părŃile se vor distinge prin ha urarea sau colorarea
diferită. SemnificaŃia ha urilor sau culorilor utilizate se va prezenta în
legenda graficului.
Dreptunghiul de structură se poate construi în cadranul I, cu baza pe
OX de mărimea dorită, iar înălŃimea este dată de cele 100 procente marcate
pe axa OY. În interiorul dreptunghiului se construiesc dreptunghiuri mai
mici, suprapuse, cu suprafeŃele proporŃionale cu ponderea părŃilor în colec-
tivitate.
EXEMPLU: Vrem să reprezentăm structura pe sexe a populaŃiei
României. Se consideră că populaŃia masculină este de 49% i cea feminină
de 51% (figura 2.7).

Structura pe sexe a populaŃiei României

Y Legendă:
Feminin
10 51% Masculin
Scara: OY – 1cm = 20%
0
80 X
60

40 49%

20

Figura 2.7. Dreptunghiul de structură

59

Structura pe sexe a populaŃiei României

49%
bărbaŃi

51%
femei

Figura 2.8. Pătratul de structură

Cercul de structură constă în reprezentarea părŃilor componente prin
sectoare de cerc. SuprafaŃa cercului se consideră proporŃională cu volumul
colectivităŃii (3600 = 100%). Mărimea sectoarelor de cerc se calculează pe
baza relaŃiei de proporŃionalitate (3,00 = 1%), ele fiind proporŃionale cu
ponderea părŃilor în colectivitate.

Pătratul de structură. Se construie te un pătrat a cărui suprafaŃă,
conform cu relaŃia de proporŃionalitate, este echivalentă cu 100%. SuprafaŃa
pătratului se împarte în 100 pătrate mai mici, fiecare având aria egală cu
1%. Se separă apoi prin ha uri diferite, numărul de pătrate corespunzător
fiecărei părŃi a populaŃiei.

C. Reprezentarea grafică a seriilor de timp
Reprezentarea grafică a seriilor de timp (cronologice) se realizează cu
ajutorul cronogramei i a diagramelor polare.
Cronograma se folose te pentru a desprinde tendinŃa de dezvoltare a
fenomenelor pe fiecare etapă analizată. Se construie te în cadranul I; pe axa
absciselor (OX) se construie te scara timpului, iar pe axa ordonatelor (OY),
scara valorilor seriei cronologice. La stabilirea scării timpului i nivelurilor
trebuie să se respecte proporŃionalitatea, pentru că raportul dintre scări are o
importanŃă mare asupra formei curbei i poate da o imagine denaturată
asupra dezvoltării fenomenului.

60

EXEMPLU: ProducŃia unui produs în perioada 1995-2002.

Tabelul 2.7

Anii 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Cantitatea 31 38 40 45 49 50 56 60
(mii tone)

mii tone EvoluŃia producŃiei în perioada 1995-2002

61
58
55
52
49
46
43
40
37
34
31
28

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Anii

Figura 2.9. Cronograma

OBSERVAłIE! Graficul se marchează prin puncte în plan ce se unesc
prin segmente de dreaptă în ordinea curgerii timpului.

Diagrama polară (radială) ajută la interpretarea gradului i formei
de variaŃie sezonieră. În statistica social-economică se întâlnesc frecvent
fenomene care prezintă variaŃii sezoniere săptămânale, trimestriale etc., ca
de exemplu, consumul casnic de gaze naturale, consumul de bere i băuturi
răcoritoare .a. Fenomenele cu caracter sezonier sunt specifice îndeosebi
activităŃilor din turism, comerŃ i agricultură.

La construirea graficului se folose te o reŃea de cercuri concentrice, iar
raza este proporŃională cu nivelul mediu al indicatorilor; cercul se împarte
în atâtea părŃi câŃi indicatori sunt. Drept abscisă serve te circumferinŃa
cercului pe care se notează timpul, iar ca ordonată raza sau poziŃia razei, pe
care se notează cantităŃile.

La trasarea graficului se procedează astfel:
• se calculează media lunară, trimestrială etc. a indicatorului de
reprezentat în funcŃie de variaŃia acestuia;

61

• lungimea razei se consideră egală cu media indicatorului i se
trasează cercul;

• circumferinŃa cercului se împarte în atâtea părŃi egale, câŃi indicatori
are perioada de timp respectivă (4 pentru trimestre, 12 pentru ani);

• dacă valoarea unui indicator depă e te media valorilor individuale,
atunci se vor prelungi cele două raze în afara cercului, iar dacă valoarea lor
este mai mică, atunci se vor îngro a razele numai până la punctele
corespunzătoare acesteia.

După ce s-au fixat toate punctele pe reŃeaua polară, se unesc aceste
puncte prin linii frânte sau curbe. Comparând cu linia cercului de bază se
poate interpreta cât este de mare variaŃia fiecărei luni sau trimestru în raport
cu valoarea care ar fi trebuit să fie realizată dacă fenomenul nu ar fi fost
influenŃat de nivelul sezonier.

EXEMPLU: ProducŃia trimestrială a fabricii „X”.

Tabelul 2.8

Trimestrul I II III IV Media trimestrială

ProducŃia (mii kg) 250 350 700 300 400

Scara: 1 cm = 100 mii kg (se folose te un cerc cu raza R = 4 cm).

Diagrama polară a producŃiei trimestriale la fabrica „X”

Tr.II
Tr.I
Tr.IV

Tr.III

Figura 2.10. Diagrama polară
62

D. Reprezentări grafice pentru seriile de spaŃiu
Seriile de spaŃiu (teritoriale) se pot reprezenta grafic prin cartogramă i
cartodiagramă.
Cartograma prezintă distribuŃia în spaŃiu a intensităŃii de manifestare
a unui fenomen. Construirea graficului presupune:
– gruparea unităŃilor teritoriale după o variabilă considerată;
– construirea unei hărŃi în care se delimitează unităŃile teritoriale;
– ha urarea suprafeŃelor unităŃilor teritoriale în funcŃie de intensitatea
de manifestare a fenomenului studiat.
Cartodiagramele reprezintă un tip special de cartogramă, care constă
dintr-o combinaŃie a cartogramei cu diagramele (cerc, pătrat, coloane etc.)
care se aplică pe cartogramă. Pe hartă se vor construi figurile geometrice
amintite mai sus, pentru a reda volumul sau structura diferiŃilor indicatori
distribuiŃi din punct de vedere teritorial. La întocmirea graficului se va Ńine
seama de obiectivul urmărit.
La reprezentarea grafică a distribuŃiilor teritoriale ale diferiŃilor
indicatori se mai pot folosi i figuri naturale sau simbolice, care sunt
proporŃionale cu valoarea indicatorilor de reprezentat.

2.3.3.2. Prezentarea distribuŃiilor statistice bidimensionale

O distribuŃie bidimensională prezintă variaŃia unităŃilor unei
colectivităŃi simultan după două caracteristici de grupare.

Fie o colectivitate C, cu n elemente i două variabile: X cu valorile xi,

cu i = 1, n i Y cu valorile yj , cu j = 1, p . Notăm cu nij frecvenŃele comune
ale celor două variabile. În cadrul unei distribuŃii bidimensionale se disting
două distribuŃii marginale, în X, respectiv în Y i (m+p) distribuŃii
condiŃionate.

DistribuŃiile marginale în X, respectiv în Y sunt definite de

ansamblul cuplurilor: (xi, ni.), i = 1, m i (yj, n.j), j = 1, p , unde ni.
reprezintă frecvenŃele marginale corespunzătoare valorii xi, iar n.j reprezintă
frecvenŃele marginale corespunzătoare valorii yp, definite astfel:

pm

∑ ∑ni. = nij; n.j = nij

j=1 i=1

63

RelaŃiile dintre frecvenŃele marginale i parŃiale. Suma frecvenŃelor

marginale este egală cu suma frecvenŃelor parŃiale:

mp

∑ ∑ ∑ ∑ni. = n.j = n ij

i=1 j=1 ij

În funcŃie de modul de exprimare a variabilelor x,y se pot trata
următoarele tipuri de distribuŃii bidimensionale:

– distribuŃii cu ambele variabile exprimate cantitativ;
– distribuŃii cu o variabilă exprimată cantitativ i o variabilă

exprimată atributiv;
– distribuŃii cu ambele variabile exprimate atributiv.
DistribuŃia bidimensională exprimată cantitativ se prezintă sub forma
tabelului cu dublă intrare (tabelul 2.9), numit tabel de corelaŃie.

Tabelul 2.9. Model al tabelului cu dublă intrare

xi yj y1 … yj … yp ni.

x1 n11 … n1j … n1p n1.
… …………… …

xi ni1 … nij … nip ni.
… …………… …

xm nm1 … nmj … nmp nm.

∑∑ ∑ ∑n.j
n.1 … n.j … n.p n.. = nij = ni. = n.j

ij i j

Corelograma (Diagrama norului de puncte)

Reprezentarea grafică se realizează cu corelograma cunoscută sub
denumirea „diagrama norului de puncte”. Se construie te în cadranul I al
sistemului de axe rectangulare. Pe axa OX (axa absciselor) se ia o scară a
valorilor caracteristicii factoriale (x), iar pe OY (axa ordonatelor) valorile
caracteristicii rezultative. Pe fiecare axă se va face întrerupere în origine cu
două liniuŃe paralele, pentru ca cele două scări de reprezentare să înceapă
cu valorile cele mai apropiate de limitele inferioare înregistrate pentru cele
două caracteristici.

La stabilirea scărilor de reprezentare pe cele două axe se recomandă să
se asigure o anumită proporŃionalitate între ele în raport cu gradul de
variaŃie al celor două caracteristici. Dacă se asigură o proporŃie justă între

64

cele două scări de reprezentare, atunci graficul se va întocmi corect, i cu
ajutorul lui se va putea prezenta forma obiectivă în care se produce
legătura, tipul de dependenŃă dintre cele două variabile. Fiecare unitate,
purtătoare a celor două caracteristici (xi, yj), se reprezintă pe grafic printr-un
punct. Acest tip de grafic stabile te existenŃa, direcŃia legăturii, forma de
legătură dintre cele două variabile. Pentru interpretarea legăturii putem
folosi următoarele variante de grafice care se referă la funcŃiile liniare:

Figura 2.11. Figura 2.12. Figura 2.13.
Legătură liniară directă Legătură liniară inversă Lipsă de legătură

Când punctele sunt situate aproximativ pe diagonala principală
legătura este directă, iar concentrarea lor pe diagonala secundară ne arată o
legătură inversă. Dacă punctele sunt împră tiate pe întreg câmpul de
corelaŃie fără nici o regularitate, variabilele sunt independente între ele.

Legătura directă între cele două variabile poate fi i neliniară, în acest
caz, pe grafic, apărând o linie curbă. În legăturile social-economice cel mai
frecvent apar hiperbole, parabole de gradul 2 sau ecuaŃii exponenŃiale.

Figura 2.14. Figura 2.15. Figura 2.16.
Hiperbolă Parabolă FuncŃie exponenŃială

OBSERVAłIE! Graficul prezintă avantajul că pe baza lui se poate
constata nu numai existenŃa legăturii i sensul ei, dar mai ales forma către
care tinde să se realizeze, deci se poate elabora o ipoteză statistică care să
fie utilizată la aplicarea metodelor analitice de corelaŃie.

65

EXEMPLU: Să se stabilească legătura dintre volumul desfacerilor la
export (mil. lei) i cheltuielile de publicitate (mil. lei) pentru produsele
prezentate la export:

Volumul desfacerilor Y 5 6 7 5 10 8 7 6
de mărfuri la export X 0,1 0,12 0,5 0,2 1,0 0,7 0,6 0,4
Cheltuieli de
publicitate

Din analiza făcută asupra variabilelor se stabile te că volumul
mărfurilor desfăcute la export este influenŃat de cheltuielile de publicitate.

Y ● Scara:
10 OX 1 cm = 0,2
● OY 1 cm = 1
9 ● KOY = 5/5 = 1

8● X
7 ●●
6 ●●
5 ●●

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Figura 2.17. Coxelograma (Diagrama norului de puncte)

OBSERVAłIE! Între cele două variabile există o legătură strânsă,
directă, liniară. În continuare se pot face estimaŃii cu ajutorul ecuaŃiei
dreptei.

CONCEPTE-CHEIE: prelucrarea statistică; centralizarea i gru-
parea datelor statistice; tabel statistic; serie statistică; grafic statistic.

66

ÎNTREBĂRI DE AUTOEVALUARE

1. DefiniŃi prelucrarea statistică, ca etapă a cercetării.
2. Ce tehnici de prelucrare statistică cunoa teŃi? EnumeraŃi-le.
3. DefiniŃi noŃiunea de centralizare a datelor statistice.
4. DefiniŃi gruparea statistică. EnumeraŃi tipurile de grupări statistice.
5. Care sunt condiŃiile pe care trebuie să le îndeplinească o grupare

statistică indiferent de scopul i obiectul lor? DefiniŃi noŃiunile de:
completitudine, unicitate, omogenitate, continuitatea variaŃiei
grupelor.
6. EnumeraŃi etapele necesare efectuării unei grupări statistice.
7. Ce este caracteristica de grupare?
8. Cum se stabile te numărul de grupe (r)?
9. Cum se procedează la alegerea intervalului de grupare (h)?
10. EnumeraŃi posibilităŃile de prezentare a datelor statistice.
11. Ce este un tabel statistic?
12. Ce tipuri de tabele statistice cunoa teŃi?
13. Ce este o serie statistică? Care sunt tipurile de serii statistice?
14. Cum definiŃi noŃiunea de grafic statistic?
15. EnumeraŃi i definiŃi elementele constructive ale unui grafic.
16. Câte tipuri de grafice cunoa teŃi?
17. Ce este o distribuŃie statistică unidimensională?
18. La ce se referă noŃiunea de frecvenŃă?
19. DefiniŃi noŃiunile de: frecvenŃă absolută, frecvenŃă cumulată,
frecvenŃă relativă. Formule de calcul.
20. Cum definiŃi o distribuŃie bidimensională? Dar o distribuŃie mar-
ginală?
21. Care sunt tipurile de grafice adecvate reprezentării unei distribuŃii
unidimensionale? Dar unei distribuŃii bidimensionale?

67

3. INDICATORI STATISTICI

3.1. NoŃiunea de indicator statistic. Tipuri de indicatori
Surprinderea variabilităŃii din forma de manifestare a fenomenelor de
masă necesită elaborarea de către statistică a unor metodologii i tehnici de
transformare i aplicare a unor operaŃii speciale de calcul, pentru obŃinerea
unor determinări cantitativ-numerice, denumite generic indicatori statistici.

Indicatorul statistic, în forma sa generală, este expresia numerică a
manifestărilor unor fenomene, procese, activităŃi sau categorii economice i
sociale, delimitate în timp, spaŃiu i structură organizatorică.

Deci, indicatorul statistic cuprinde două părŃi:
• o parte noŃională, cu care se define te conŃinutul i pentru care se

stabile te o metodologie unică de calcul;
• expresia numerică, concretizată ca timp, spaŃiu i delimitare

organizatorică.
Pentru cunoa terea fenomenelor de masă, indicatorii statistici îndepli-
nesc mai multe funcŃii: de măsurare, de comparare, de analiză sau sinteză,
de estimare, de verificare a ipotezelor i/sau de testare a semnificaŃiei para-
metrilor utilizaŃi.
Simpla enumerare a principalelor funcŃii ale indicatorilor statistici
pune în evidenŃă multitudinea de aspecte care trebuie avute în vedere la
elaborarea i folosirea acestora în analiză; inclusiv stabilirea condiŃiilor i
limitelor în care pot fi utilizaŃi indicatorii statistici în raport cu conŃinutul
specific al fenomenelor, al surselor de informaŃie de care se dispune în
scopul cercetării.
După etapa în care apar în procesul cercetării statistice, indicatorii
statistici pot fi primari i derivaŃi.

68

Indicatorii primari se obŃin în procesul prelucrării primare prin
operaŃii de centralizare/agregare etc. a datelor, care provin dint-o
observare totală sau parŃială.

Indicatori derivaŃi se obŃin prin comparări, abstractizări,
generalizări, sintetizări, prin aplicarea unor procedee specifice de
prelucrare a mărimilor absolute sau relative a indicatorilor primari.

Indicatorii derivaŃi au rolul de a pune în evidenŃă aspectele calitative
ale fenomenelor analizate, întrucât: exprimă relaŃia dintre părŃile colec-
tivităŃii, dintre diferite caracteristici; legăturile de interdependenŃă dintre
fenomene sau valori tipice, care se formează în mod obiectiv; contribuŃia
diver ilor factori la variaŃia unui fenomen complex etc. Indicatorii derivaŃi
se obŃin frecvent din comparare, dar i din alte metode de calcul.

ComparaŃiile dintre date pot fi făcute prin diferenŃă sau prin raportare.
Compararea prin diferenŃă a datelor se referă la unităŃi de timp
diferite, părŃi diferite din colectivitate, rezultând un indicator derivat:
modificare absolută sau diferenŃă absolută. Acest indicator semnifică
cre terea sau reducerea absolută (economia sau pierderea absolută).
Compararea prin raportare conduce la obŃinerea unui indicator
derivat mărimi relative sau indicatori relativi.

3.2. Indicatori relativi

O primă etapă în trecerea de la mărimi absolute primare la indicatorii
derivaŃi (de la concret la abstract) o reprezintă calculul i analiza
indicatorilor relativi.

Prin definiŃie, o mărime relativă exprimă numeric proporŃiile
indicatorului primar în raport cu indicatorul bază de raportare.

Pentru calculul mărimilor relative trebuie respectate următoarele
cerinŃe:

– între termenii comparaŃiei să existe o corespondenŃă logică, de
condiŃionare sau de cauzalitate;

– termenii comparaŃi să fie comparabili din punctul de vedere al
conŃinutului, sferei de cuprindere, metodologiei de calcul, unităŃilor de
măsură, surselor de informaŃii etc.;

69

– baza de comparaŃie să aibă o anumită semnificaŃie în evoluŃia
fenomenului studiat.

Asigurarea comparabilităŃii presupune efectuarea în prealabil a unei
analize calitative a datelor de care dispunem. Mărimile relative se exprimă
fie în coeficienŃi, fie în unităŃi de măsură concrete, în procente, promile etc.

În funcŃie de scopul analizei, a direcŃiei în care se efectuează
comparaŃia, mărimile relative sunt: de structură, de intensitate, de
dinamică, de coordonare i ale programării (planificării).

Asigurarea comparabilităŃii datelor este o cerinŃă esenŃială care
trebuie satisfăcută înaintea calculării mărimilor relative.

• Mărimi relative de structură (M.R.S.) se mai numesc ponderi
sau greutăŃi specifice i sunt utilizate pentru analiza structurii diferitelor
colectivităŃi statistice.

M.R.S. exprimă raportul părŃilor faŃă de întreg i oferă informaŃii
despre structurile calitativ distincte ale populaŃiei statistice.

Într-o serie statistică, ponderea sau greutatea specifică (gi) a unui

element în totalul colectivităŃii (∑xi) va fi:

r

∑gi =xi xij

m ∗100 sau gi = j =1 ∗100 , i = 1, m; j = 1, r (3.1)
mr

∑ xi ∑ ∑ xij
i =1 i=1 j=1

Mărimile relative care arată în ce raport se află numărul unităŃilor din

fiecare grupă (ni) faŃă de unităŃile din întreaga colectivitate (∑ni) se numesc
frecvenŃe relative:

∑ni* =ni *100,i = 1, m (3.2)
ni

ProprietăŃi:
– suma mărimilor relative de structură (M.R.S.) este egală cu 1 (dacă

sunt exprimate sub formă de coeficienŃi);
– suma M.R.S. este egală cu 100 (dacă sunt exprimate sub în

procente).

70

Graficul mărimilor relative de structură se realizează prin diagrame
de structură.

• Mărimi relative de coordonare (M.R.C.)

M.R.C. se folosesc pentru a compara două grupe ale aceleia i
colectivităŃi sau două colectivităŃi situate în spaŃii diferite, dar coexistente
în timp.

Notăm cu XA i XB nivelurile pe grupe ale variabilei studiate pentru o
colectivitate împărŃită în două grupe, astfel mărimea relativă de coordonare

va fi:

kA = XA sau kB = XB (3.3)
B XB XA
A

Se poate observa că direcŃia de comparare nu este unică: oricare dintre
termenii comparaŃiei pot fi luaŃi bază de comparare. De regulă, aceste
mărimi se exprimă sub formă de coeficient.

M.R.C. se folosesc în studiul variaŃiei teritoriale, astfel au caracter de
indici teritoriali. Indicii teritoriali stau la baza comparaŃiilor pe plan naŃional
(între judeŃele Ńării), pe plan internaŃional (între Ńări) sau pe zone geografice
(continente).

Reprezentarea grafică a M.R.C. se poate face:
− prin benzi i coloane, stabilind în acest fel relaŃiile existente între
diferite părŃi ale aceleia i colectivităŃi;
− prin cartograme, cartodiagrame, în studiul variaŃiei teritoriale
(judeŃe).

• Mărimi relative de intensitate (M.R.I.)

M.R.I. se calculează ca raport între doi indicatori absoluŃi, de
natură diferită, între care există o relaŃie de interdependenŃă.

M.R.I. se exprimă în unităŃi concrete de măsură i poate fi calculată

după relaŃia:

xi = yi (3.4)
zi

71

unde: xi= mărimea relativă de intensitate;
yi= variabila fenomenului de raportat;
zi= variabila fenomenului ales bază de raportare.

Din relaŃie rezultă că variabila depinde de doi factori: unul de natură

extensivă (cantitativă) zi, care poate fi asimilat frecvenŃelor absolute i astfel
este direct însumabil; altul de natură intensivă (calitativă) xi, care nu poate fi
însumat direct.

EXEMPLU. Nivelul productivităŃii muncii (W) se calculează ca raport

între nivelul producŃiei (q) i timpul de muncă consumat pentru producerea

acesteia (T): W = q
T

Nivelul total al caracteristicii (xi) se calculează prin raportarea

nivelului totalizat al caracteristicii (yi) la nivelul totalizat al caracteristicii,

∑∑conform relaŃiei: X = yi (3.5)
zi

Mărimile de intensitate au largi aplicaŃii în:

– industrie (coeficientul mecanizării, automatizării, utilizării inten-

sive, integrale a utilajului);

– agricultură (coeficientul chimizării, irigaŃiilor, recolta medie la hectar);

– turism (indicatorii eficienŃei activităŃii de turism etc.);

– demografie (coeficienŃii mi cării naturale i migratorii ai populaŃiei).

Calculul acestor indicatori permite aprofundarea analizei

fenomenelor studiate, dar se impune ca la interpretarea lor să avem în

vedere i nivelul indicatorilor absoluŃi din care s-au calculat.

Ca reprezentare grafică se pot folosi: diagrama prin coloane,

diagrama prin figuri geometrice de suprafaŃă (dreptunghi, pătrat etc.).

• Mărimi relative ale programării (planificării) (M.R.PL.) se
calculează în economia de piaŃă la nivelul unităŃilor economice, fiind
necesare elaborării programului de aprovizionare, producŃie sau desfacere
pe termene scurte sau lungi. Calculul acestor mărimi presupune preluarea
din evidenŃele unităŃii economice analizate a informaŃiilor despre:

– nivelul fenomenului analizat în perioada de bază (x0);
– nivelul planificat al aceluia i fenomen într-o perioadă curentă (xpl);
– nivelul realizat al acestuia în perioada curentă (x1).

72

Din comparaŃia sub formă de raport a celor trei nivele rezultă:

mărimea relativă a sarcinii de plan

K pl / 0 = X pl .100 , coeficientul sarcinii de plan (3.6)
X0

mărimea relativă a îndeplinirii planului

K1/ pl = X1 .*100 , coeficientul îndeplinirii planului (3.7)
X pl

mărimea relativă a dinamicii

K1/ 0 = X1 *100 , coeficientul dinamicii (3.8)
X0

Între cei trei coeficienŃi se stabile te relaŃia:

K1/ 0 = K pl / 0 * K1/ pl (3.9)

Dacă se dispune de date la nivel parŃial putem calcula M.R.PL. la

nivel de ansamblu:

∑∑Kpl/0 = Xpl ⋅100 (3.10)
X0

∑∑K1/pl = X1 ⋅100 (3.11)
X pl

M.R.PL. se exprimă procentual. Adesea se reŃine numai valoarea ce
depă e te 100, arătând procentul de cre tere programat. Coeficientul
sarcinii de plan poate fi supraunitar sau subunitar. Interpretarea lui se face
în funcŃie de conŃinutul indicatorului implicat în calcul i de corelaŃia cu
ceilalŃi indicatori ai activităŃii economice.

M.R.PL. se reprezintă grafic prin diagrame prin coloane.

• Mărimile relative ale dinamicii (M.R.D.)

M.R.D. se folosesc în scopul caracterizării statistice a evoluŃiei în
timp a fenomenului studiat. M.R.D. se calculează când avem două valori
ale aceluia i indicator înregistrat în unităŃi de timp diferite.

73

În funcŃie de baza de comparaŃie aleasă putem calcula:

mărimi relative ale dinamicii cu bază fixă

Kt /0 = Xt .100 (3.12)
X0

mărimi relative ale dinamicii cu bază mobilă (variabilă sau în lanŃ)

K t / t−1 = X t .100 (3.13)
X t−1

M.R.D. se exprimă sub formă de coeficient sau procentual.

Reprezentarea grafică se poate face prin cronogramă. În activităŃile

economico-sociale, M.R.D. se nume te indice.

CONCEPTE-CHEIE: indicator statistic (primar, derivat); mărime
relativă (M.R.S., M.R.C., M.R.I., M.R.Pl, M.R.D.).

ÎNTREBĂRI DE AUTOEVALUARE

1. Ce înŃelegem printr-un indicator statistic?
2. Ce este un indicator primar?
3. Dar un indicator derivat?
4. Cum definim o mărime relativă?
5. Care sunt mărimile relative pe care le cunoa teŃi?
6. DefiniŃi M.R.S.; formule de calcul; reprezentare grafică.
7. DefiniŃi M.R.C.; formule de calcul; reprezentare grafică.
8. DefiniŃi M.R.I.; formule de calcul; reprezentare grafică.
9. DefiniŃi M.R.P.L.; formule de calcul; reprezentare grafică.
10. DefiniŃi M.R.D.; formule de calcul; reprezentare grafică.

74

4. ANALIZA SERIILOR DE DISTRIBUłIE UNIDIMENSIONALE

4.1. Indicatorii tendinŃei centrale

Riscul, în orice iniŃiativă a unei firme, este cu atât mai mic cu cât se
cunosc mai bine manifestările individuale ale fenomenelor de masă din
domeniul ei de activitate. Astfel, adoptarea unei decizii este precedată de
cunoa terea manifestărilor acestor fenomene social-economice de masă.

Fenomenele de masă se caracterizează, în principal, prin variabilitatea
formelor de manifestare, determinate de acŃiunea combinată, în sensuri
diferite, a unui complex de factori sistematici sau întâmplători, esenŃiali sau
neesenŃiali, identificaŃi direct sau indirect.

Fenomenele de masă social-economice intră sub incidenŃa aleatorului
i sub incidenŃa legilor statistice. Acestea se manifestă nu la nivelul
fiecărei unităŃi din colectivitatea investigată, ci la nivelul colectivităŃii, ca
tendinŃă. Abaterile de la tendinŃă se compensează obiectiv reciproc. Prin
urmare, fundamentarea deciziilor presupune cunoa terea, la nivelul
colectivităŃii investigate, a tendinŃei, a ceea ce este esenŃial, comun i stabil
în formele individuale de manifestare a fenomenelor, în acest scop fiind
necesar să se determine indicatorii statistici adecvaŃi. Indicatorii cu care se
caracterizează tendinŃa centrală din forma de manifestare a fenomenelor de
masă au ca principală funcŃie aceea de a sintetiza valorile individuale
înregistrate ale caracteristicilor urmărite, astfel încât să fie posibilă substi-
tuirea acestora fără să modifice esenŃa i relaŃia obiectivă dintre date.

Indicatorii sintetici ai tendinŃei centrale trebuie să fie valori tipice, care
să fie reprezentative pentru întreaga colectivitate.

Indicatorii tendinŃei centrale se determină, în general, ca indicatori
medii sau indicatori de poziŃie, în funcŃie de scopul urmărit în
colectivitatea investigată.

75

4.1.1. Indicatorii medii

Pentru caracterizarea tendinŃei centrale din manifestarea unui fenomen
de masă se calculează media valorilor individuale ale caracteristicii
urmărite.

Media este o măsură a tendinŃei centrale, iar valoarea sa calculată
sintetizează într-un singur nivel reprezentativ tot ceea ce este tipic,
esenŃial, comun i obiectiv în apariŃia i manifestarea fenomenelor de
masă.

Media se exprimă în unităŃi concrete de măsură, dar are un caracter
abstract, pentru că valoarea ei calculată poate să coincidă sau nu cu vreo
valoare individuală înregistrată de variabila numerică urmărită. Ea are un
conŃinut cu atât mai real, cu cât este mai reprezentativă i cu cât valorile
individuale din care se calculează sunt mai omogene, mai apropiate ca
mărime, între ele. Numai în aceste condiŃii, în vecinătatea valorii medii se
concentrează cele mai multe valori individuale înregistrate, iar sintetizarea
lor într-o singură valoare se efectuează pe baza unei realităŃi obiective.

Calculul mediei trebuie să se bazeze pe folosirea unui număr mare de
cazuri individuale înregistrate, a căror variaŃie să poată fi considerată ca
întâmplătoare în raport cu întreaga masă de fenomene studiate.

De asemenea, calculul mediei trebuie să fie precedat de verificarea
omogenităŃii colectivităŃii, după caracteristica urmărită. Dacă colectivitatea
este eterogenă, chiar i după eliminarea datelor aberante, atunci ea se
structurează pe grupe omogene, iar apoi se calculează medii parŃiale pe
grupe. Astfel, media unei caracteristici pe întreg ansamblul caracteristicii,
apare ca o sinteză a mediilor parŃiale.

După natura caracteristicii urmărite, cât i după scopul analizei, se

calculează: media aritmetică ( X ), media armonică ( Xh ), media pătratică

( X p ), media geometrică ( X g ).

Media se calculează în funcŃie de natura obiectivă dintre date, dar i în
funcŃie de forma de repartiŃie a frecvenŃelor, ca medie simplă sau ponderată.

Mediile simple se folosesc atunci când repartiŃiile au frecvenŃe
singulare sau când frecvenŃele tuturor valorilor caracteristicii sunt legate
între ele i deci se pot simplifica.

76

Mediile ponderate se utilizează pentru repartiŃiile în care fiecărei
valori a caracteristicii i se poate ata a o frecvenŃă care diferă de la caz la
caz.

Media aritmetică ( X )

Media aritmetică a valorilor individuale x1, x2,..., xn ale

caracteristicii numerice X reprezintă acea valoare ( X ) care s-ar fi
înregistrat dacă toŃi factorii de influenŃă ar fi acŃionat constant (cu aceea i
intensitate) la nivelul fiecărei unităŃi înregistrate.

Astfel, dacă media aritmetică ( X ) ar substitui fiecare valoare

individuală xi, (cu i = 1, n ) valoarea totalizată obiectiv formată a

caracteristicii nu s-ar modifica. Prin urmare, fiind obiectivă aditivitatea

valorilor individuale, avem:

∑xi = nx (4.1)

∑n (4.2)

xi
X = i=1

n

unde: i = 1, n ;

xi = nivelurile individuale ale variabilei;
n = numărul unităŃilor observate.

ProprietăŃi ale mediei aritmetice utile în analiză:
1. DefiniŃia mediei aritmetice este adevărată numai dacă valorile
individuale înregistrate sunt numerice. Pentru o serie cu valori nenumerice
sau cu valori măsurabile pe o scară nominală sau ordinală, nu se poate
calcula media aritmetică.
2. Mărimea calculată a mediei aritmetice este unică: o serie nu
posedă mai multe medii aritmetice distincte.
3. Mărimea mediei aritmetice poate să coincidă sau nu cu vreo
valoare individuală înregistrată, dar precis se încadrează între valoarea
minimă i cea maximă.

Xmin< X < xmax

77

Această proprietate are rolul unui semnal de alarmă, arătând că dacă
media se plasează peste aceste limite, rezultatul este în mod sigur eronat.

4. Prin definiŃie, media aritmetică este legată de toate valorile
numerice înregistrate i, în consecinŃă, este sensibilă la prezenŃa valorilor
aberante. Astfel, seria (1,5,7,9,11,12,20,100) posedă o singură valoare

aberantă. Media calculată din primele 7 valori ale seriei este X = 9,29, iar

din toate valorile X = 20,63 ceea ce este nereprezentativ pentru serie.

5. Într-o colectivitate statistică suficient de mare, unde de obicei

multe unităŃi prezintă aceea i caracteristică (distribuŃie de frecvenŃe), media

aritmetică se va calcula ca o medie ponderată. Formula de calcul este:

∑ ∑xini = x1n1 + .... + x kn k = xn1 + ... + xnk = x ni →

ii

∑ xi ni (4.3)

X= i

∑ ni

i

unde: k = numărul variantelor distincte;

n = frecvenŃa variantei.

∑Dacă n * = ni ,
Ńinem seama de frecvenŃele relative i ni

∑x i

i n *
i

∑relaŃia devine: X = i=1 n * (4.4)
i

i

∑ ∑– dacă ni* = 1 → X = xin*i

ii

∑– ∑x i n *
i

dacă n * = 100 → X = i
i
100
i

6. Suma diferenŃelor dintre valorile individuale înregistrate i media

lor aritmetică este nulă. Această proprietate arată că, în condiŃiile acŃiunii

factorilor întâmplători, abaterile pozitive i negative faŃă de tendinŃă, la

nivelul ansamblului, se compensează reciproc.

78

∑ ∑Deci, (xi − X) = xi − nx = nx − nx = 0

ii

7. Într-o serie statistică, dacă se mic orează sau se măresc toŃi
termenii cu o constantă a, media calculată din termenii modificaŃi va fi mai
mică sau mai mare decât media termenilor reali cu constanta a.

∑ ∑X' =
(xi ± a) i xi ± na = X ± a (pentru seriile simple)
i=
n na

∑(xi ± a)ni

∑X' = i ni =

i ∑ni

∑xini

∑ ∑= i ± a i = X ± a (pentru seriile de frecvenŃe)

ni ni

ii

Deci, X' = x ± a

unde: X = media termenilor iniŃiali;

X' = media termenilor măriŃi sau mic oraŃi cu a.

8. Într-o serie statistică, dacă se împart sau se înmulŃesc toŃi termenii se-

riei cu un factor constant h i se face media noilor termeni, media astfel obŃi-

nută va fi de h ori mai mică, respectiv mai mare, decât media seriei iniŃiale.

xi
h = 1*
i∑ ∑X'' = i xi = X ; X = X'' * h (pentru seria simplă)

n hn h

∑ ∑X'' = xi n i 1 xini = X ; X = X'' * h
h
i = * i (pentru seria
∑ ∑ni h
ni h de frecvenŃe)

ii

ProprietăŃile de la puntele 7) i 8) folosesc la calculul simplificat al

mediei aritmetice:

79

∑(xi −a)

X = i h * h + a (pentru seria de simplă)
n

∑X = ( x i − a )n
h
i

i *h + a (pentru seria de frecvenŃe) (4.5)

∑ni

i

unde: a = mijlocul intervalului caracteristicii cu frecvenŃa cea mai mare;

h = mărimea intervalului.

OBSERVAłIE! Este recomandabil să se utilizeze calculul simplificat,
când seria se prezintă pe intervale egale de variaŃie.

9. Într-o colectivitate împărŃită în grupe omogene, media pe total se
poate calcula i pe baza mediilor de grupă, folosind relaŃiile:

∑ xini ∑ xi

∑X0 = i ni sau X0 = i (4.6)

r

i

unde: r = numărul mediilor de grupă.

În cazul în care caracteristica urmărită este alternativă, calculul
nivelului său mediu se face astfel:

– unităŃile colectivităŃii se împart în două grupe: una, formată din
unităŃile la care se înregistrează forma directă de manifestare a
caracteristicii, i alta, formată din acele unităŃi la care s-a înregistrat opusul
formei directe de manifestare;

– convenŃional, această caracteristică se exprimă numeric astfel: se
acordă valoarea 1 pentru variantele cu răspuns afirmativ forma directă, i
valoarea 0 variantelor cu răspuns negativ (forma opusă);

– se elaborează distribuŃia.

80

Tabelul 4.1. DistribuŃia generală a frecvenŃelor după o caracteristică alternativă

Răspuns Varianta FrecvenŃe FrecvenŃe relative
înregistrat caracteristicii absolute
M =P
DA xi M N

X=1 N-M N − M =1− M = q =1− p
NN
NU X=0

Total N p+q=1

M = unităŃi care posedă caracteristica;
N = numărul total de unităŃi ale colectivităŃii.

Media aritmetică a caracteristicii alternative este o mărime relativă de

structură: (4.7)

∑X' = i xini = (1* M) + [0 * (N − M)] = M = p
∑ni N N

i

OBSERVAłIE! RelaŃiile de calcul ale mediei aritmetice (cu frecvenŃe
absolute, cu frecvenŃe relative i prin calcul simplificat) se utilizează pentru
caracterizarea nivelului mediu al variabilelor de tip discret. În practică,
fenomenele social-economice supuse cercetării statistice trebuie înregistrate
în condiŃiile concrete de spaŃiu i timp. În cazul variabilelor continue,
cunoa terea întregii game posibile de valori individuale, cuprinse într-un
anumit interval, nefiind posibilă, folosindu-se, indiferent de modul de
variaŃie al variabilei aleatoare, relaŃiile de calcul ale mediei recomandate
pentru valorile de tip discret. Pentru aceasta este necesar să se înregistreze
ca variabile discrete.

Media armonică ( Xh )

Media armonică, ca măsură a tendinŃelor centrale într-un
ansamblu de observaŃii cantitative, se define te ca fiind egală cu valoarea
inversă a mediei aritmetice, calculată din valorile inverse ale termenilor
acelea i serii.

81

De i derivă din media aritmetică ponderată, în practică se întâlnesc două

variante ale mediei armonice, simplă i ponderată:

∑Xh = n (4.8.)
1 pentru o serie simplă (4.9)

i xi

∑ni

∑Xh = i pentru o serie de repartiŃie cu frecvenŃe

1 ni
xi
i

EXEMPLU. O persoană cheltuie te 4 lei pentru aprovizionarea cu

3 tipuri de cafea: (tip I 5kg*0,8 lei/kg; tip II 4kg*1 lei/kg; tip III

2,5 kg*1,6 lei/kg). preŃul mediu al unui kg de cafea se obŃine:

preŃ mediu = costul total = 3 * 4 = 12 = 1,044 lei / kg
cantitate totală 5 + 4 + 2,5 11,5

Acela i rezultat s-ar fi obŃinut dacă s-ar fi calculat media armonică a

celor 3 calităŃi de cafea:

preŃ mediu = 1 3 = 1,044 lei / kg
+1+ 1
0,8 1 1,6

OBSERVAłII!

1. Pentru acelea i valori pozitive, media armonică este mai mică

decât media aritmetică.

2. În cazul în care între două variabile există o relaŃie de inversă

proporŃionalitate (y=1/x), aceasta se păstrează i între mediile calculate

pentru fiecare variabilă. Astfel, dacă pentru calculul nivelului mediu al

uneia din cele două variabile se folose te media aritmetică, pentru cealaltă

se folose te obligatoriu media armonică.

3. Media armonică se utilizează pentru exprimarea tendinŃei centrale

în funcŃie de scopul cercetării i, mai ales, în funcŃie de natura obiectivă

dintre valorile variabilei numerice observate. De cele mai multe ori se

folose te pentru calculul indicelui (sintetic) al preŃurilor mărfurilor i

tarifelor serviciilor (care sintetizează indicii individuali ai acestor preŃuri i

tarife). RelaŃia de calcul este:

82

∑ p1q1
∑IP
1/ 0= i (4.10)

1 p1q1
ip
i
1/ 0

unde: p1q1 = valoarea mărfii în perioada curentă;

i1p/0 = indicele individual al preŃurilor mărfurilor de sortiment i.

4. În distribuŃiile de frecvenŃă, media armonică este indicat a se folosi

când predomină valorile mici ale seriei, seria prezentând o asimetrie către

valorile minime ale caracteristicii.

Media pătratică ( Xp )

Media pătratică reprezintă acea valoare a caracteristicii, care,
dacă ar înlocui fiecare valoare individuală din serie, suma pătratelor
termenilor seriei nu s-ar modifica.

∑Deci: x 2 = x12 + .... + x 2 = x 2 + ... + x 2 = n ⋅ x 2
i n p p p

i

Astfel, media pătratică se calculează:

∑Xp = x 2 pentru o serie simplă (4.11)
i (4.12)

n

∑∑Xp = x 2 n i pentru o serie de frecvenŃă
i

n i

OBSERVAłII!
1. Cu toate că media pătratică se poate calcula din valori individuale
pozitive, nule, negative, ea nu are sens din punct de vedere economic decât
dacă se calculează din valori pozitive.
2. Valoarea mediei pătratice este mai mare decât a mediei
aritmetice, atunci când se calculează din acelea i date.
3. Frecvent, media pătratică se utilizează pentru a caracteriza
tendinŃa centrală din ansamblul abaterilor valorilor individuale de la
valoarea medie. Se recomandă media pătratică pentru calculul nivelului

83

mediu în seriile în care predomină valorile ridicate sau când se dore te să se
acorde o importanŃă mai mare în nivelul mediu acelor unităŃi pentru care
caracteristica urmărită prezintă cele mai mari valori absolute.

Media geometrică ( Xg )

Spre deosebire de tipurile de medii prezentate anterior, care au la
bază o relaŃie de aditivitate între termenii unei serii statistice, media
geometrică se calculează pe baza unei relaŃii obiective multiplicative între
termenii aceleia i serii.

Media geometrică reprezintă acea valoare a caracteristicii
observate, care, dacă ar înlocui fiecare valoare individuală din serie,
produsul acestora nu s-ar modifica.

n

∏Deci: xi = x1 ⋅x2 ⋅...⋅ xn = xg + ... + xg = x n , de unde:
g

i=1

n (4.13)

∏Xg = n xi pentru serii simple
i=1

∑ni n

i
=∏Xg xni i pentru serii de frecvenŃă (4.14)

i=1

Media geometrică se mai nume te uneori i medie logaritmică, pentru

că se poate determina prin logaritmii valorilor individuale. Astfel:

∑ log xi

log Xg = i n pentru serii simple (4.15)

∑ ni log xi

∑log Xg = i ni pentru seria de frecvenŃe (4.16)

i

Prin aplicarea logaritmilor, media geometrică se transformă într-o

medie aritmetică a logaritmilor factorilor, iar antilogaritmul ei este o

valoare mai mică decât media aritmetică, calculată din valorile reale ale

termenilor seriei:

Xg < X

84

OBSERVAłII I PROPRIETĂłI
1. Calculul nivelului mediu, ca medie geometrică, are sens economic
numai atunci când relaŃia de multiplicare a termenilor seriei este reală. În
calculul nivelului mediu într-o serie de distribuŃie, media geometrică se
folose te mai rar, îndeosebi când termenii prezintă o evidentă concentrare
către valorile cele mai mici sau când se urmăre te să se acorde o importanŃă
deosebită valorilor individuale reduse.
2. Dacă cel puŃin o valoare individuală este nulă sau negativă,
calculul mediei geometrice este lipsit de sens.
3. În mod frecvent, media geometrică se utilizează pentru calculul
indicelui mediu al dinamicii, pentru caracterizarea tendinŃei centrale din
seria indicilor de dinamică cu bază mobilă.
4. Prin logaritmare, abaterile dintre termenii seriei se mic orează i se
obŃine un grad mai mare de concentrare a frecvenŃelor.
Între mediile prezentate există următoarea relaŃie de ordine:

Xh < Xg < X < Xp (4.17)

În concluzie, la calculul nivelului mediu al unei repartiŃii unidimen-
sionale se folose te de preferinŃă media aritmetică i complementar
celelalte tipuri de medii, dacă seria prezintă anumite particularităŃi sau în
scopul analizei aprofundate.

4.1.2. Indicatorii de poziŃie sau de structură

Caracterizarea tendinŃei centrale în seriile de repartiŃie presupune
luarea în considerare nu numai a valorilor individuale ale caracteristicii
urmărite, dar i a formei în care se repartizează unităŃile colectivităŃii după
caracteristica respectivă. De multe ori, indicatorii de poziŃie furnizează
informaŃii mult mai utile în fundamentarea deciziilor decât cele oferite de
indicatorii medii.

Indicatorii de poziŃie, în ansamblul datelor culese, evidenŃiază
tendinŃa de aglomerare, de concentrare a unităŃilor după caracteristica
studiată.

Astfel, pentru completarea analizei seriilor de distribuŃie, este necesar
să se calculeze indicatorii de poziŃie, dintre care frecvent utilizaŃi sunt:
modul (dominanta) i cuantilele.

85

Modul (dominanta) (Mo)

Modul (Mo) reprezintă acea valoare a caracteristicii care
corespunde celui mai mare număr de unităŃi, sau aceea care are cea mai
mare frecvenŃă de apariŃie.

Pentru o repartiŃie discretă în cazul unei serii X (xi,ni), cu i = 1, n ,
aflarea modului se face prin următoarele operaŃii:

1. se găse te frecvenŃa maximă a seriei (ni= nmax);
2. se cite te, în dreptul frecvenŃei maxime, valoarea caracteristicii
corespunzătoare, valoare care este egală cu modul (xi = Mo);
3. grafic, prin diagrama în baloane i observarea valorii xi,
corespunzătoare celui mai înalt balon (figura 4.1).

a) serie unimodală b) serie bimodală
Figura 4.1

Pentru o serie de distribuŃie pe intervale egale, valoarea modului

trebuie calculată. Intervalul modal se consideră intervalul care are frecvenŃa

cea mai mare.

Calculul algebric al modului se bazează pe relaŃia:

M0 = X0 +h ∆1 (4.18)
∆1 + ∆2

unde: X0 = limita inferioară a intervalului modal;
h = mărimea intervalului modal;

∆1 = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal i a celui
precedent;

∆1 = diferenŃa dintre frecvenŃa intervalului modal i a celui
următor.

86

OBSERVAłII!
1. M0 are o largă aplicabilitate practică în comerŃ i stă la baza
calculului i interpretării gradului de asimetrie a repartiŃiilor.
2. M0 poate înlocui media atunci când ea nu poate fi calculată sau nu
are sens a fi calculată (EXEMPLU: numărul mediu la încălŃăminte). În acest
caz se stabilesc valori modale (EXEMPLU: numărul de pantofi cel mai căutat).
3. M0 se exprimă în acelea i unităŃi de măsură ca i variabila studiată.

Cuantilele de ordinul K
Cuantilele sunt indicatorii care descriu anumite poziŃii localizate în
mod particular în cadrul seriilor de distribuŃie. Conceptul de cuantilă indică
o divizare a distribuŃiei observaŃiilor într-un număr oarecare de părŃi. Astfel,
cuantilele de ordin k sunt valori ale caracteristicii studiate care împart
distribuŃia ordonată a observaŃiilor în k părŃi egale. Fiecare parte are acela i
efectiv, adică 1/k din numărul total al unităŃilor. Frecvent se utilizează
următoarele cuantile:
– mediana sau cuantila de ordinul 2 (k = 2);
– quartilele sau cuantilele de ordin 4 (k = 4);
– decilele sau cuantilele de ordin 10 (k = 10);
– centilele sau cuantilele de ordin 100 (k = 100).
Cuantilele de ordin superior (k>4) se calculează în cazul distribuŃiilor
cu număr mare de grupe sau clase de valori individuale.

• MEDIANA (Me)

Mediana (Me) reprezintă acea valoare a caracteristicii localizată
în mijlocul seriei sau repartiŃiei statistice, cu valori individuale aranjate
crescător sau descrescător. Mediana împarte numărul unităŃilor
investigate în două părŃi egale: numărul valorilor individuale superioare
medianei este egal cu numărul valorilor individuale mai mici decât Me.

Din această cauză, Me se mai nume te valoarea echiprobabilă a ca-
racteristicii:

P(xi Me) = P(xi Me) = 1/2

a. Cazul seriei simple
Determinarea medianei presupune ordonarea crescătoare sau
descrescătoare a valorilor individuale ale caracteristicii. Apoi, identificarea
Me se face astfel:

87

– dacă seria ordonată are un număr impar de termeni, Me
corespunde cu valoarea caracteristicii de rang (n+1)/2.

EXEMPLU: În seria 1,5,7,14,20,25,30, mediana are valoarea 14.

Me

− dacă seria ordonată are un număr par de termeni, Me se determină,
în mod convenŃional, ca medie aritmetică între valoarea individuală de rang
n/2 i cea de rang (n+1)/2.

EXEMPLU: în seria 5,8,13,28,34,40,61,63, mediana va fi:

x4 x5 Me= (x4+x5)/2 = (28+34)/2=31
OBSERVAłII!
• În cazul seriei simple, mediana respectă pe deplin definiŃia valorii
mediane;
• În cazul seriei cu număr par de termeni, valoarea mediană se deter-
mină, în mod convenŃional, i nu este conformă definiŃiei date.

b. Cazul seriei distribuŃiei de frecvenŃe

Pentru seria de distribuŃie de frecvenŃe pe variante distincte,

semnificaŃia valorii mediane este afectată de metoda sa de calcul. În această
situaŃie este considerată valoare mediană acea valoare individuală a

caracteristicii corespunzătoare primei frecvenŃe cumulate ascendent, care

∑k

ni +1

depă e te valoarea i=1 .

2

EXEMPLU: Se consideră că, în urma unui control de calitate a 100

loturi de aparate electronice, s-au obŃinut următoarele date:

Tabelul 4.2. Determinarea Me pentru distribuŃia pe variante

Numărul de aparate Numărul de loturi Numărul cumulat
electronice cu defecte (xi) de aparate (ni) crescător de loturi
10
0 20 10
1 40 30
2 15 70
3 10 85
4 5 95
5 100
Total 100
-
88

∑k

Astfel, i=1 ni +1 = 100 +1 = 50,5
22

deci prima frecvenŃă cumulată ce depă e te 50,5 este 70 i corespunde
numărului median de aparate Me=2. Valoarea determinată nu corespunde
definiŃiei date, pentru că valoarea 2 nu împarte seria în două părŃi egale.
Astfel, numai 30% din loturi au un număr de rebuturi mai mic decât
numărul median i nu 50% cum cere definiŃia. În asemenea situaŃii se
recomandă să se renunŃe la mediană ca valoare tipică pentru caracterizarea
tendinŃei centrale i să se recurgă la alte valori tipice.

Pentru seria de distribuŃie de frecvenŃe pe intervale, valoarea

mediană se determină în mod aproximativ printr-un procedeu de

interpolare liniară bazat pe ipoteza repartizării uniforme a frecvenŃelor în

intervalul median. Mediana se determină în următoarele etape:

– se determină intervalul median (locul Me). Acesta este intervalul

care corespunde primei frecvenŃe cumulate crescător care depă e te

valoarea ∑k ni +1

i =1

2

– în cadrul intervalului median, valoarea medianei se determină prin

interpolare cu relaŃia:
∑ ∑Me = X0 + h
ni +1

i − n i−1Me (4.19)

2 i

n jMe

unde: x0 = limita inferioară a intervalului median;
h = mărimea intervalului median;

njMe = frecvenŃa absolută a intervalului median;

∑ ni−1Me = suma frecvenŃelor precedente intervalului median.

i

EXEMPLU: Se cunosc următoarele date despre vechimea muncitorilor
unei firme:

89

Tabelul 4.3

Gruparea Număr FrecvenŃe FrecvenŃe Centre
muncitorilor muncitori cumulate cumulate de
după vechime xi crescător descrescător
ni interval
0-5 5 5 74 2,5
5-10 7 12 69 7,5
10-15 10 22 62 12,5
15-20 12 34 52 17,5
20-25 18 52 40 22,5
25-30 15 67 22 27,5
30-35 7 74 7 32,5
Total ∑ ni74

Astfel, se determină:

– locul Me: ∑k +1 74 +1

ni = = 37 ,5 → Me ∈ (20 ,25 )

i =1

22

– calculul Me: 20 + 5 37 ,5 − 34 = 20 ,97 ani.

18

OBSERVAłII!
• RaŃionamentul de determinare al medianei, aplicat repartiŃiei va-
lorilor globale (xini) ale caracteristicii analizate, conduce la obŃinerea indi-
catorului de poziŃie numit medială, utilizat frecvent în studiul concentrării.
• Valorile medianei nu sunt afectate de valorile extreme ale seriei.
• Mediana este un indicator al tendinŃei centrale, mai independent
faŃă de intervalele de grupare i forma de repartiŃie comparativ cu media
aritmetică. Este mai utilă când informaŃiile sunt date într-o formă în care
calculul mediei este imposibil sau este afectat de închiderea convenŃională a
intervalelor deschise.

• Determinarea medianei se mai poate face prin calcul grafic, care se
poate realiza astfel: se trasează diagramele frecvenŃelor cumulate ascendent
i descendent; din punctul de intersecŃie al celor două curbe se trasează
perpendiculare pe axa absciselor i se cite te valoarea Me pe OX.

90

EXEMPLU: Pe baza datelor din tabelul 4.3 construim curba cumulativă
a frecvenŃelor:

ni ↗
75 Asc

65
Legendă:

55
OX: 1cm = 5 unităŃi

45 OY: 1cm = 10 unităŃi
35 KOY = (74-5)/7 = 9,8 ≈ 10

25

15 Desc

2,5 7,5 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5

Me=20,97

Figura 4.2. Calculul grafic al Me

Din punct de vedere grafic, precizăm că verticala corespunzătoare Me
împarte histograma seriei în două părŃi de aceea i suprafaŃă, pentru că ariile
dreptunghiurilor adiacente, care constituie histograma, sunt, prin definiŃie,
proporŃionale cu frecvenŃele absolute corespunzătoare.

• QUARTILELE

Quartilele sunt valori ale caracteristicii ce împart seria în patru
părŃi egale, fiecare diviziune conŃinând 25% din valorile individuale
înregistrate pentru aceea i variabilă numerică.

Procedeul de determinare al quartilelor este asemănător cu cel al
determinării medianei:

– quartila inferioară Q1 este mai mare decât 25% din termenii seriei
i mai mică decât 75% dintre ei;

– quartila a doua Q2 coincide cu Me i separă seria în două părŃi;
– quartila superioară Q3 este mai mare decât 75% din termenii seriei
i mai mică decât 25% din numărul lor.

91

Pentru seria simplă, determinarea quartilelor Q1, Q2 = Me, Q3
se face după procedeul prezentat la mediană;

Pentru seria de distribuŃie de frecvenŃe pe variante:
– Q1 este considerată ca fiind valoarea caracteristicii corespunzătoare
primei frecvenŃe cumulate ascendent care depă e te ¼ (∑ni+1);
– Q2 = Me;
– Q3 este acea valoare a caracteristicii corespunzătoare primei
frecvenŃe cumulate ascendent care depă e te 3/4(∑ni+1).

Pentru seria de distribuŃie de frecvenŃe pe intervale, unde
valorile individuale î i pierd individualitatea, valorile aproxi-
mative ale quartilelor se determină prin procedeul de
interpolare liniară astfel:
– se stabilesc intervalele în care se situează Q1, Q2, Q3. Acestea sunt
intervalele corespunzătoare primelor frecvenŃe cumulate ascendent care
depă esc ¼(∑ni+1), 2/4(∑ni+1), 3/4(∑ni+1);
– în cadrul intervalelor identificate, quartilele se determină după
următorul sistem de relaŃii:

Tabelul 4.4. RelaŃiile de calcul ale quartilelor Q1, Q2, Q3

Locul quartilei Valoarea quartilei

(∑ ) ∑1

Q1 = X 0 + h 4
Loc Q1 = ¼ (∑ni+1) ni + 1 − n pQ1
nQ1

Q2 = Me

(∑ ) ∑3

Q3 = X 0 + h 4
Loc Q3 = ¾ (∑ni+1) ni + 1 − n pQ3
nQ3

unde:

∑∑ n pQ1 , npQ3 reprezintă suma frecvenŃelor intervalelor

precedente locului pe care-l ocupă Q1 i Q3;

92

nQ1 , nQ3 reprezintă frecvenŃele absolute ale intervalelor ce conŃin
quartilele respective.

Într-o distribuŃie normală, locul quartilelor se prezintă astfel:

25% 25%
25% 25%

Q1 Q2 Q3

Me

Figura 4.3. Reprezentarea quartilelor în distribuŃia Gauss-Laplace

• DECILELE (D)
Decilele, în număr de 9, reprezintă acele valori ale caracteristicii

care împart seria în zece părŃi egale, conŃinând fiecare 10% din numărul
observaŃiilor.

Cazul seriei simple: conform definiŃiei, cele 9 decile (D1, D2,...,
D5=Me,..., D9) se determină după procedura prezentată în cazul
medianei;
Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă pe variante: decila m (Dm,
m = 1,9 ) va fi considerată acea valoare corespunzătoare primei
frecvenŃe cumulate ascendent care depă e te m/10 (∑ni+1), cu
m = 1,9 ;

93

Cazul seriei de distribuŃie de frecvenŃă pe intervale:
– se determină intervalele interdecilice reprezentând valoarea

caracteristicii pentru care frecvenŃele cumulate crescător depă esc
m/10 (∑ni+1), cu m = 1,9 ;
– apoi se determină decilele, cu relaŃiile obŃinute prin interpolare:

Tabelul 4.5. RelaŃiile de calcul ale decilelor

Locul decilei Valoarea decilei

(∑ ) ∑1

D1 = X 0 + h 10
Loc D1 = 1/10 (∑ni+1) ni + 1 − n pD1
... ... nD1

... D...5 = Me

(∑ ) ∑9

D9 = X 0 + h 10
Loc D9 = 9/10 (∑ni+1) ni + 1 − n pD9
nD9

unde: x0 reprezintă limita inferioară a intervalului decilic;
h este mărimea intervalului;
m/10 (∑ni+1) este locul decilei;

∑ npDi reprezintă suma frecvenŃelor precedente intervalului decilic;

nDi reprezintă frecvenŃa absolută a intervalului decilic.

OBSERVAłIE! Calculul decilelor este justificat când variaŃia valorilor
individuale este foarte mare.

Dacă se reprezintă pe axă, cuantilele prezentate vor fi:

94

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Q1 Me Q3

Q2

Figura 4.4. Cuantilele reprezentate pe axă

Cuantilele se folosesc pentru caracterizarea i măsurarea variaŃiei i

asimetriei intercuantilice i interdecilice.

EXEMPLU: Reluăm datele din tabelul (4.3) pentru calculul cuantilelor

de ordin K=4 i K=10.

Quartilele:

(∑ ) ∑1

Q1 = X 0 + h 4
ni + 1 − npQ1 = 10 + 5 18,75 −12 = 13,38
nQ1 10

Loc Q1 = ¼ (∑ni+1)=1/4 (74+1)=18,75 → Q1 ∈(10,15)
Q2 = Me

(∑ ) ∑3

Q3 = X 0 + h 4
ni + 1 − npQ3 = 25 + 5 56,25 − 52 = 26,42
nQ3 15

Loc Q3 = ¾ (∑ni+1)=3/4(74+1)=56,25 → Q3 ∈ (25,35)

Decilele:

Loc D1 = 1/10 (∑ni+1)=1/10(74+1)=7,5 → D1 ∈ (5,10)

(∑ ) ∑1 ni + 1 − n pD1 = 5 + 5 7,5 − 5 = 6,78
n D1 7
D1 = X 0 + h 10
...

...D5 = Me=20,97

Loc D9 = 9/10 (∑ni+1)=9/10*75=67,5 → D9 ∈ (30,35)

95

(∑ ) ∑9

D9 = X 0 + h 10
ni + 1 − n pD9 = 30 + 5 67,5 − 67 = 30,36
n D9 7

Reprezentarea valorilor pe axă:

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

Q1 Me Q3

6,78 13,38 Q2=20,97 26,42 30,36

Figura 4.5. Reprezentarea cuantilelor de ordin K = 4 i K = 10

• CENTILE
Dacă avem o colectivitate statistică cu un număr mare de unităŃi i cu
o variabilitate foarte mare, este util pentru analiză calculul cuantilelor de
ordin mai mare ca 10. Astfel, cuantila de ordin 100 se nume te centilă.
Centilele, în număr de 99, sunt valorile caracteristicii ce împart seria în 100
de părŃi egale (fiecare parte conŃinând 1/100 din numărul observaŃiilor
efectuate).
Procedeul de determinare a centilelor este asemănător cu cel al
medianei (sau al tuturor cuantilelor de ordin mai mic decât 10).
Centilele de rang 10,20,30,40,... sunt decilele D1, D2,..., D9.
Centila de rang 25=Q1, cea de rang 50=Me, iar cea de rang 75= Q3.

4.2. Indicatorii de variaŃie

Formele individuale de manifestare ale fenomenelor de masă analizate
într-o colectivitate prezintă o variabilitate (împră tiere) mai mare sau mai
mică, în funcŃie de numărul, natura, direcŃia i sensul acŃiunii factorilor
esenŃiali i întâmplători. La nivelul colectivităŃii, legea tendinŃei compor-
tamentului acestor fenomene este reflectată sintetic de indicatorii tendinŃei
centrale. Cu cât fenomenele au un grad de complexitate mai mare, cu atât
împră tierea valorilor individuale este mai mare. Deci, utilizarea corectă a

96

indicatorilor tendinŃei centrale în fundamentarea deciziilor necesită
verificarea stabilităŃii i reprezentativităŃii valorilor înregistrate de ace tia.

Astfel, valoarea mediei este reprezentativă numai în măsura în care ea
este calculată din date omogene. Aceasta înseamnă că determinarea mediei
trebuie însoŃită de verificarea omogenităŃii valorilor individuale din care s-a
calculat. Verificarea omogenităŃii necesită măsurarea i analiza împră tierii
i concentrării faŃă de valorile tipice calculate.

De exemplu, dacă avem două variabile statistice (x1) i (x2) simetrice,
ele pot avea aceea i medie, dar repartiŃiile lor sunt diferite, variabila (x1)
având o împră tiere mai mare decât variabila (x2), a a cum rezultă din
figura 4.6.

f(x)
x2

x1

x

X

Figura 4.6. Reprezentarea variabilelor x1 i x2 în cadranul I

Astfel, noŃiunea de împră tiere, dispersare, completează informaŃiile
despre seriile statistice investigate.

Analiza variaŃiei sau împră tierii valorilor individuale faŃă de tendinŃa
centrală oferă posibilitatea rezolvării unor probleme de cunoa tere
statistică. Dintre acestea se disting:

97

– analiza gradului de omogenitate a datelor din care s-au calculat
indicatorii tendinŃei centrale i verificarea reprezentativităŃii acestora;

– compararea în timp i/sau spaŃiu a mai multor serii de repartiŃie,
după caracteristici independente sau pentru aceea i caracteristică;

– separarea acŃiunii factorilor esenŃiali de acŃiunea factorilor
întâmplători, identificarea felului în care factorii esenŃiali î i modifică
acŃiunea de la o grupă (clasă) la alta;

– concentrarea valorilor individuale ale caracteristicilor i deplasarea
către valorile tipice;

– aplicarea diferitelor teste ale statisticii matematice.
Indicatorii împră tierii (variaŃiei), utilizaŃi în analizele statistice, sunt
clasificaŃi după mai multe criterii:
• După numărul variantelor luate în calcul (sau după gradul lor de
sinteză) există:
– indicatori simpli;
– indicatori sintetici.
• După modul de calcul i exprimare există indicatori ai variaŃiei
calculaŃi ca mărimi absolute i ca mărimi relative.
• După modul de sistematizare a datelor primare există:
– indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie unidimen-
sionale;
– indicatori ai variaŃiei calculaŃi pentru serii de distribuŃie multi-
dimensionale.

Indiferent de natura lor, indicatorii de împră tiere calculaŃi oferă
informaŃii necesare numai pentru cunoa terea variabilităŃii din seriile
statistice analizate, dar i pentru aprecierea „calităŃii” valorilor tipice
utilizate în procesul decizional.

4.2.1. Indicatorii simpli ai variaŃiei

Ace ti indicatori prezintă următoarele caracteristici generale:
– se determină dintr-un număr redus de valori individuale;
– se calculează în cifre absolute, folosind acelea i unităŃi de măsură
ca i pentru caracteristica studiată, cât i în mărimi relative, prin compararea
sub formă de diferenŃă a valorilor individuale extreme, sau prin compararea
sub formă de raport a fiecărei valori individuale cu valoarea lor medie;

98