Balu, Mariana Elena - Bazele statisticii

27. Coeficientul i raportul de corelaŃie au valori egale atunci când:
a) legătura dintre variabile este directă;
b) legătura dintre variabile este inversă;
c) colectivitatea este omogenă.

28. Pentru analiza dependenŃelor statistice dintre variabile, metoda
grafică permite:
a) interpretarea intensităŃii legăturii dintre variabile;
b) constatarea existenŃei legăturii statistice;
c) identificarea existenŃei, direcŃiei i formei legăturii dintre două
variabile;
d) estimarea parametrilor funcŃiei de regresie;
e) estimarea raportului de corelaŃie.

29. TendinŃa legăturii dintre două variabile se exprimă prin funcŃia:
y = a + bx + cx2. Intensitatea legăturii dintre cele două variabile se
caracterizează prin:
a) coeficientul de corelaŃie liniară;
b) coeficientul lui Spearman;
c) raportul de corelaŃie;
d) coeficientul lui Bowley.

30. Coeficientul de elasticitate se calculează astfel:
a) ritmul de modificare a variabilei factoriale raportat la ritmul de
modificare a variabilei rezultative;
b) ritmul de modificare a variabilei rezultative raportat la ritmul de
modificare a variabilei factoriale;
c) ritmul de modificare a variabilei rezultative înmulŃit cu ritmul de
modificare a variabilei factoriale;
d) modificarea absolută a variabilei rezultative raportată la modi-
ficarea absolută a variabilei factoriale.

199

7. ANALIZA STATISTICĂ A SERIILOR CRONOLOGICE

Analiza seriilor cronologice presupune studiul dinamicii unei
variabile statistice în scopul descrierii, modelării i extrapolării variaŃiei în
timp pe componente definitorii. Metoda pleacă de la analiza trecutului i
vizează extrapolarea tendinŃelor manifestate în perioada studiată,
bazându-se pe următoarele ipoteze:

– tendinŃele manifestate în trecut se vor menŃine în viitor;
– fluctuaŃiile unei variabile se reproduc la intervale regulate.

7.1. NoŃiuni. ParticularităŃi
Seria cronologică este formată din două iruri de date paralele
în care primul ir arată variaŃia caracteristicii de timp, iar cel de-al
doilea ir, variaŃia caracteristicii cercetate, de la o unitate de timp la
alta. Seriile cronologice se mai numesc serii de timp sau serii ale
dinamicii.

Exemple de serii cronologice pot fi:
– evoluŃia lunară a exporturilor sau a importurilor realizate de o
firmă;
– evoluŃia cifrei de afaceri;
– evoluŃia lunară a stocurilor de mărfuri dintr-un depozit etc.

DefiniŃia seriei cronologice (SCR) impune câteva observaŃii:
• Curgerea timpului se măsoară în succesiune cu ajutorul unei scale

de interval. UnităŃile de timp frecvent utilizate sunt: anul, trimes-
trul, luna, săptămâna, ziua.
• Seria cronologică poate fi privită ca o variabilă aleatoare, pentru
că valorile individuale se formează ca urmare a acŃiunii unui
ansamblu diferit de factori comuni sau specifici, esenŃiali sau
neesenŃiali etc.

200

• Caracterizarea evoluŃiei în timp a unui fenomen, cu ajutorul SCR
specifice, presupune ca timpul să fie variabil, iar spaŃiul i
structura organizatorică să fie constante.

Într-o SCR, variabila y este legată funcŃional de variabila timp.
Astfel, SCR poate fi scrisă: y = f(t) unde:

– t este variabila timp;
– variabila y ia valorile individuale yi.
La analiza SCR trebuie avute în vedere o serie de proprietăŃi ale
acestora:
• Variabilitatea termenilor unei SCR provine din faptul că fiecare
termen este format prin centralizarea unor date individuale. Astfel,
pot apărea diferenŃe între termenii seriei, fie ca urmare a influenŃei
factorilor aleatori, fie a acŃiunii legilor ce se manifestă ca tendinŃă
generală, imprimând fenomenelor studiate forme diferite.
• Omogenitatea termenilor este asigurată dacă datele vin din
aceea i sursă, au acela i grad de cuprindere a unităŃilor, acelea i
metode de culegere i prelucrare, ceea ce le asigură i
compatibilitatea. Datele sunt omogene dacă sunt de acela i gen i
sunt efecte ale aceluia i tip de cauză.
• Periodicitatea se referă la alegerea unităŃii de timp la care se
referă termenii unei serii cronologice.
• InterdependenŃa termenilor se explică prin aceea că termenii
seriei sunt valori succesive ale aceluia i fenomen ca urmare a
respectării principiului unităŃii de timp, spaŃiu i a structurii
organizatorice. Datorită relaŃiilor de cauzalitate, valoarea fiecărui
termen depinde de valoarea termenului anterior. În funcŃie de
natura caracteristicilor (de stoc sau de flux), observarea statistică
se face continuu în decursul unui interval, sau la momente de timp
distincte. Astfel, în practică există SCR de momente sau mărimi
de stoc i SCR de intervale sau mărimi de flux.
Deosebirea dintre cele două serii este esenŃială i are implicaŃii
asupra metodologiei statistice de analiză, astfel:
o Termenii unei SCR de momente nu sunt însumabili, ei conŃin
acele elemente ale stocului care coexistă, în mod repetat, în
momente diferite de timp. Exemplu: stocul de produse finite din
depozitele unei firme la momente diferite de timp.

201

o Termenii unei serii de intervale sunt mărimi de flux. Ei sunt
însumabili pentru că se formează prin cumulare continuă, pe
măsura curgerii timpului. Un flux este un eveniment produs
într-o perioadă de timp. Exemplu: modificarea numărului
populaŃiei între două recensăminte.

În funcŃie de numărul termenilor, seriile cronologice au lungime
mică, medie sau mare. Seriile de lungime mică au mai mult caracter de
informare, de popularizare. Analiza statistică lucrează cu SCR de lungime
medie sau mare. Pe baza acestor tipuri de SCR, legea numerelor mari,
având câmp de acŃiune, poate desprinde legităŃile de evoluŃie, poate
elabora variante de prognoză.

• Grafice statistice ale SCR
EvoluŃia unui fenomen prezentat într-o SCR poate fi vizualizat i
analizat pe baza graficelor trasate acestor serii de timp. SCR poate fi
reprezentată grafic prin:
− cronograme;
− diagrame semilogaritmice;
− diagrame polare radiale.
Aceste tipuri de grafice au fost prezentate mai pe larg în subcapitolul
2.3.3. Grafice statistice.

7.2. Sistemul de indicatori statistici ai seriilor cronologice

Caracterizarea evoluŃiei unui fenomen de masă, în complexitatea sa,
cu ajutorul termenilor unei SCR se face cu un sistem de indicatori
statistici, analitici i sintetici. În funcŃie de modul de exprimare i de
calcul, indicatorii sunt structuraŃi în: indicatori absoluŃi, indicatori relativi,
indicatori medii.

Analiza statistică a termenilor unei SCR impune alegerea unei baze
de comparare (y0) sau nivel de referinŃă, care să fie tipică procesului
analizat. În cazul variabilelor economice se impune folosirea:

• unei baze fixe – un nivel de referinŃă neschimbat pentru întreaga
perioadă analizată;

• unei baze în lanŃ – un nivel de referinŃă mobil, ce glisează în timp
simultan cu perioada la care se referă indicatorul. De regulă, se
folose te perioada imediat anterioară (yt se compară cu yt-1).

202

1. Indicatori exprimaŃi prin mărimi absolute

Indicatorii absoluŃi exprimă starea fenomenului investigat într-o

perioadă de timp sau modificările apărute succesiv în timp. În mărimi

absolute ce se exprimă în unităŃi de timp concrete (lei, metri, kilograme

etc.) ale caracteristicilor studiate se calculează indicatori statistici ce redau

nivelul, volumul agregat, modificările faŃă de diferite perioade de timp.

Indicatorii de nivel reprezintă valorile individuale ale caracteristicii

corespunzătoare condiŃiilor specifice de producere a fenomenului

urmărit. Acest indicator de nivel îl vom nota cu yt.

Volumul agregat sau suma termenilor SCR de intervale ( T yt )

∑

t =1

este un indicator ce se calculează cu precauŃie pentru că nu toate

caracteristicile au variantele însumabile.

Modificarea absolută (sporul sau scăderea absolută) exprimă cu câte

unităŃi de măsură s-a modificat valoarea individuală dintr-o perioadă

faŃă de o perioadă bază de comparaŃie (fixă sau mobilă). Astfel,

calculăm:

• Modificarea absolută cu bază fixă:

∆yt / 0 = yt − y0 , unde t = 1,T (7.1)

• Modificarea absolută cu bază mobilă:

∆yt / t −1 = yt − yt −1, unde t = 1,T (7.2)

OBSERVAłII!

• Baza fixă de comparaŃie poate fi oricare termen al seriei.

Alegerea bazei fixe de comparaŃie nu trebuie să afecteze

comparabilitatea termenilor.

• RelaŃii între sporuri:

– suma sporurilor cu bază în lanŃ este egală cu modificarea cu

bază fixă a perioadei de analiză:

∑ ( ) ( )∆y + + ...( yT − yt−1 ) = yT − y1 = ∆T /1 (7.3)
t / t−1
= y2 − y1 y3 − y2

– diferenŃa dintre două modificări absolute cu bază fixă
succesive este egală cu modificarea absolută cu bază în lanŃ a
perioadei curente, după relaŃia:

203

( )∆t /1 − ∆t−1/1 = yt − y1 − ( yt−1 − y1 ) = ∆t / t−1 (7.4)

2. Indicatori exprimaŃi prin mărimi relative

Indicatorii relativi se pot utiliza în analiza comparativă, prezentând

două aspecte:

– arată de câte ori nivelul unei variabile este mai mare sau mai

mic decât cel ales bază de comparaŃie;

– arată procentual modificarea valorii caracteristicii din perioada

raportată faŃă de cea din baza de raportare.

• Indicele de dinamică. Se calculează ca o mărime relativă a

dinamicii, care arată de câte ori (de cât la sută) s-a modificat valoarea

caracteristicii faŃă de perioada bază de comparaŃie (fixă sau mobilă).

RelaŃiile sale de calcul sunt:

I y = yt ⋅100; t, t′ = 1,T
t/t′ yt′

o Indicele de dinamică cu bază fixă:

Ity/0 = yt ⋅100; t = 1,T (7.5)
y0

o Indicele de dinamică cu bază mobilă:

I y −1 = yt ⋅100; t = 1,T (7.6)
t/t yt −1

OBSERVAłIE! Ace ti indici de dinamică, dacă sunt supraunitari sau
subunitari desemnează cre teri sau descre teri.

ProprietăŃi:

• Produsul indicilor cu bază în lanŃ este egal cu indicele cu bază

fixă al perioadei analizate:

∏ I y −1 = ITy/1 (7.7)
t/t

∏ Ity/t −1 = y2 ⋅ y3 ⋅ ... ⋅ yT = ITy/1
y1 y2 yt −1

204

• Dacă se raportează indicii dinamicii cu bază fixă din două

perioade succesive t i t-1, se obŃine indicele cu bază în lanŃ al

perioadei curente:

I y : Ity−1/1 = yt : y t −1 = I ty/t −1 (7.8)
y1 y1
t/1

• Ritmul modificărilor relative sau ritmul (rata) sporului este un

alt indicator relativ. El exprimă cu cât la sută s-a modificat nivelul

fenomenului analizat, într-o anumită perioadă faŃă de nivelul din perioada

de bază. Ritmul modificării relative se calculează:

Rty/ t′ = ∆ty/ t′ ⋅100 = yt − yt′ ⋅100 = Ity/ t′ ⋅100 − 100 (7.9)
yt′ yt′

– ritmul cu bază fixă:

Rty/ 0 = ∆yt /0 ⋅100 = Ity/ 0 ⋅100 − 100 (7.10)
y0

– ritmul cu bază mobilă:

Rty/ t −1 = ∆yt / t −1 ⋅100 = Ity/ t −1 ⋅100 −100 (7.11)
yt −1

• Valoarea absolută a unui procent de cre tere (scădere) arată

câte unităŃi fizice sau valorice revin la 1% de cre tere sau de scădere din

ritmul sporului i se determină comparând modificările absolute cu ritmul

modificărilor relative.

Aty/ t ′ = ∆yt /t′ = ∆ ty/ t ′ ⋅100 = yt′ (7.12)
Rty/t′ ⋅100 ∆yt /t′ 100

yt′

– valoarea absolută cu bază fixă:
∆yt /0
A y = y = y0 (7.13)
t/ 0 t/ 100
R 0 ⋅100

205

– valoarea absolută cu bază mobilă:

Aty/ t −1 = ∆yt / t −1 = yt −1 (7.14)
Rty/ t −1 ⋅100 100

OBSERVAłIE!
• RaŃionamentul determinării valorii absolute a unui procent de
cre tere are la bază repartizarea uniformă a modificării absolute pe
procentele ritmului de modificare relativă. Din această cauză, el exprimă
câte unităŃi de măsură revin unei cre teri de un procent.
• O problemă importantă pentru calculul indicatorilor absoluŃi i
relativi, reprezintă alegerea bazei de comparaŃie. Cu cât baza de
comparaŃie este mai bine aleasă, cu atât se sesizează mai bine regularita-
tea mi cării în timp a fenomenului analizat.

3. Indicatorii medii ai SCR

Indicatorii medii ai SCR se referă la acelea i aspecte ca i indicatorii

descri i anterior (nivel, spor, proporŃie), dar exprimarea sub formă de medie,

presupune luarea în considerare a întregului interval la care se referă SCR.

• Nivelul mediu al termenilor dintr-o SCR. Calculul acestui

indicator se justifică numai dacă termenii SCR sunt omogeni în orizontul

de timp analizat.

Nivelul mediu se calculează diferenŃiat pentru SCR de intervale

(flux) i pentru SCR de momente (de stoc):

o Pentru SCR de intervale (termenii fiind însumabili) nivelul

mediu se calculează cu ajutorul mediei aritmetice simple:

y = ∑ yt , unde t = 1,T (7.15)

T

o Pentru SCR de momente (de stoc) nivelul mediu se

calculează diferit în funcŃie de felul momentelor:

1. Media cronologică simplă (dacă momentele sunt echidistante):

y CR = y1 + y2 ⋅ +... + yt−1 + yT (7.16)
2 T −1 2

206

2. Media cronologică ponderată (dacă momentele sunt inegal
distanŃate):

y1 ⋅ t1 + y2 ⋅ t1 + t2 + ... + yn ⋅ tn−1
2 2 2
y CR = (7.17)
t1 + t1 + t2 + .... + tn−1
22 2

unde: n = numărul termenilor analizaŃi.

EXEMPLUL 1: Calculul mediei cronologice simple, când momentele

sunt echidistante. Presupunând că stocul de marfă existent în semestrul

I/2003 la o firmă se prezintă astfel:

Tabelul 7.1

Data 1 I 1 II 1 III 1 IV 1 V 1 VI 1 VII
Stocul 500 450 520 490 470 540 600

500 + 450 + 520 + 490 + 470 + 540 + 600
y CR = 2 2 = 503,3 lei/an
7 −1

EXEMPLUL 2: Calculul mediei cronologice ponderate când momen-

tele sunt inegal distanŃate va fi:

Tabelul 7.2

Data 1.01.03 28.02.03 15.04.03 01.06.03 01.07.03

Stocul 500 520 480 540 600

Timpii vor fi: t1 = 58; t2 = 46; t3 = 47; t4 = 30.

50058 + 52058 + 46 + 48046 + 47 + 54047 + 30 + 60030
22 2 2 2 = 517,4 lei/an
yCR = 58 + 58 + 46 + 46 + 47 + 47 + 30 + 30

22 2 22

• Modificarea medie absolută ( ∆ ) este media aritmetică a

modificărilor absolute de la o perioadă la alta în succesiunea lor de-a lungul

intervalului de timp analizat i se nume te spor mediu sau scădere medie.

207

∆ = ∑ ∆yt/t−1 = ∆yT/1 (7.18)
T −1 T −1

unde: T-1 este numărul modificărilor absolute cu bază mobilă.

OBSERVAłIE! Reprezentativitatea modificării medii absolute
este asigurată numai dacă modificările absolute au bază mobilă, sunt
omogene (aproximativ egale). CondiŃia variaŃiei minime a modifi-
cărilor absolute cu bază mobilă trebuie cu atât mai mult respectată cu
cât modificarea medie absolută se calculează i pe baza relaŃiei dintre
primul i ultimul termen SCR, fără să se ia în consideraŃie termenii
intermediari.

• Indicele mediu de dinamică ( I ) de cre tere (scădere) arată de
câte ori s-ar modifica în medie fenomenul analizat pe toată perioada, dacă
ar fi influenŃat numai de cauze sistematice. Se calculează ca o medie
geometrică a indicilor de dinamică cu bază în lanŃ:

I = T−1 ∏T I y −1 = T −1 yT = T −1 I y (7.19)
t/t y1 T/1

t=2

unde: T-1 este numărul de indici de dinamică cu bază mobilă.

OBSERVAłIE! Nivelul indicelui mediu de dinamică calculat este
reprezentativ pentru evoluŃia fenomenului prezentat în cadrul SCR, numai
dacă indicii de dinamică cu bază mobilă sunt aproximativ egali.

Această cerinŃă este importantă pentru că indicele mediu de
dinamică se poate calcula i în funcŃie de termenii extremi ai SCR, fără să
ia în considerare termenii intermediari.

• Ritmul mediu al dinamicii ( R )sau rata medie de cre tere sau
descre tere – exprimă cu câte procente fenomenul analizat s-a modificat,
în medie, de la un interval de timp la altul. El se calculează pe baza
indicelui mediu al dinamicii, după relaŃia:

R = I ⋅100 −100 (7.20)

OBSERVAłIE! Sistemul de indicatori ai SCR oferă informaŃii
sintetice i analitice despre evoluŃia unui fenomen de masă într-un
orizont de timp.

208

Cu toate acestea ei nu permit evaluarea componentelor determinate
de influenŃa factorilor specifici i generali care acŃionează în sub-
perioadele orizontului de timp al SCR.

EXEMPLU: ProducŃia de antibiotice a unei firme în perioada
1998-2002 se prezintă astfel:

Tabelul 7.3

Indicatori absoluŃi Indicatori relativi

Produc- Modificarea Indicele de Ritmul Valoarea

Anii Ńia absolută dinamică sporului absolută a

unui% de

cre tere

∆ ∆ I R R AIyt
yy yy yy t / t −1
t / t / t −1 t /1 t / t −1 t /1 t / t −1

1998 500 - - 100 - - - -
5
1999 480 - -20 96 96 -4 -4
4,8
20
5,1
2000 510 10 30 102 106,2 2 6,25
5,4
5

2001 540 40 30 108 105,8 8 5,88

8

2002 580 80 40 106 107,4 16 7,44

Total 2610 80

∑∑ yt ∆y
t / t−1

Pentru valoarea absolută a unui% de cre tere cu bază fixă se

calculează indicatorul: At /1 = y1 = 500 =5
100 100

Indicatorii medii:
1.Valoarea medie a producŃiei în perioada 1998-2002 – nivelul
mediu:

y = ∑ yt = 2610 = 522 lei /an
T5

209

2. Modificarea medie absolută:

∑∆ = ∆yt /t−1 = ∆yT /1 = yT − y1 = 580 − 500 = 80 = 20 lei/an
T −1 T −1 T −1 5−1 4

3. Indicele mediu de dinamică:

I = T−1 ∏T Iy = T−1 Iy = T−1 yT =4 580 = 1,0378 sau 103,78%,
t / t−1 T /1 y1 500

t=2

rezultă că producŃia de antibiotice a crescut în medie de 1,0378 ori în

perioada 1998-2002.

OBSERVAłIE!

Dacă: – I < 100% indicele semnalizează scăderea sau reducerea
fenomenului analizat;

– I = 100% indicele arată că fenomenul cercetat nu prezintă
evoluŃie, ci staŃionează;

– I > 100% indicele arată cre terea fenomenului; cu cât este
mai mare faŃă de pragul de 100%, cu atât
cre terea este mai apreciabilă.

4. Ritmul sporului (scăderii):

R = I ⋅100 −100 = 103,78-100= 3,78%

Ritmul mediu ne arată că producŃia de antibiotice a crescut cu
3,78% pe an.

7.3. Analiza statistică a componentelor SCR

Studiul fenomenelor de masă, realizat cu ajutorul statisticii, ne arată că
într-o SCR de lungime suficient de mare pot fi identificate mai multe tipuri
de componente. Astfel, W. M. Pearson (1919) descompune SCR în patru
componente: tendenŃială, ciclică, sezonieră i accidentală (ca în figura 7.1).

210

VariaŃie TREN
accidentală
VariaŃii sezoniere

ciclu

Figura 7.1. Componentele unei serii cronologice
Sursa: Jaba E., Statistică, Editura Economică, Bucure ti, 2000.

7.3.1. Componentele unei serii cronologice
1. Componenta Trend (tendenŃială) – sintetizează variaŃiile siste-
matice, lente (10-15 ani), i semnifică tendinŃa generală manifestată de
fenomenul analizat pe întreg orizontul SCR. Mărimea componentei trend
este determinată de influenŃa factorilor esenŃiali, care acŃionează în întreaga
perioadă, sintetizând aspectul variaŃiei medii al fenomenului cercetat.
Estimarea tendinŃei centrale sau ajustarea trendului se efectuează
prin diferite metode, corespunzătoare formei manifestate de acesta: liniar,
parabolic, exponenŃial, hiperbolic etc.
2. OscilaŃii sau variaŃii periodice sistematic repetabile. În funcŃie
de natura factorilor de influenŃă care determină aceste oscilaŃii, de
mărimea perioadelor la care se manifestă repetabilitatea acestora, putem
identifica variaŃii (oscilaŃii) ciclice sau sezoniere.
OscilaŃiile ciclice sunt fluctuaŃii în jurul trendului (de tip sinusoidal)
ce au un caracter regulat, desfă urându-se pe perioade lungi de timp.
Un ciclu cuprinde patru faze: expansiune, criză, recesiune, relansare.

211

yt Expansiune
Criză

Recesiune

Relansare
t

Figura 7.2. Fazele unui ciclu
Sursa: Jaba E., Statistică, Editura Economică, Bucure ti, 2000.

Ciclicitatea este determinată de factori de natură diversă care

acŃionează asupra fenomenului analizat. OscilaŃiile ciclice se pot datora

unor cauze naturale, ca de exemplu oscilaŃiile producŃiei agricole determi-

nate de ciclurile meteorologice.

Tot din această categorie fac parte i ciclurile economice

(conjuncturale), provocate de periodicitatea succesiunii diferitelor procese

economice (înnoirea aparatului de producŃie, revoluŃiile sociale, războaie

etc.). Ace ti factori generează, alături de ciclurile economice conjuncturale,

cicluri lungi, numite macrocicluri ale dezvoltării economico-sociale.

OscilaŃiile sezoniere se repetă ritmic în termene scurte, fie în jurul

componentei ciclice, fie în jurul trendului. Ele sunt sesizabile numai dacă

termenii SCR se referă la unităŃi de timp mai scurte decât anul (luna,

trimestrul etc.). Aceste oscilaŃii se pot produce:

• sub influenŃa unor factori natural-climaterici (producŃia agricolă,

producŃia de construcŃii etc.);

• sub influenŃa unor factori cu caracter social (concedii, sărbători,

tradiŃii etc.);

i afectează volumul i structura circulaŃiei mărfurilor, activitatea de

turism etc.

Astfel, dacă datele sunt:

• trimestriale: St = St+4 (7.21)

• lunare: St = St+12 (7.22)

În general, pentru o periodicitate „p” avem:

St = St+p = St+2p = ....

212

OBSERVAłIE! Cunoa terea componentei sezoniere prezintă
importanŃă pentru planificare, pentru fundamentarea deciziilor.

3. VariaŃii reziduale, accidentele faŃă de trend. Ele sunt deter-
minate de factori întâmplători, neprevăzuŃi (crize internaŃionale, greve,
revoluŃii, cutremure, inundaŃii etc.). VariaŃiile accidentale se manifestă
sub forma unor abateri mari, imprevizibile, de la ceea ce este sistematic în
evoluŃia fenomenului analizat.

OBSERVAłII!
• În cadrul acelea i SCR de lungime mare, componentele pre-
zentate sunt combinate aditiv, multiplicativ sau mixt.
• Pentru că influenŃa tuturor factorilor se manifestă simultan, în
formarea termenilor SCR separarea componentelor se face pe baza unor
ipoteze simplificatoare, a unor abstractizări. Nu există o metodă de
separare ideală a componentelor unei SCR.

7.3.2. Metode de determinare a trendului

Analiza SCR începe cu determinarea trendului, estimarea tendinŃei

( )generale în evoluŃia unui fenomen yˆ t , t = 1,T . Pentru ca trendul să

reflecte dezvoltarea medie a unui fenomen trebuie eliminate oscilaŃiile

( )sezoniere, ciclice, accidentale i înlocuiŃi termenii reali yt , t = 1,T cu
( )termenii teoretici yˆ t , t = 1,T care exprimă trendul. Estimarea tendinŃei

generale, aflarea termenilor yˆt se realizează prin operaŃii de ajustare a
SCR. Ajustarea se efectuează prin metode mecanice i prin metode
analitice.

7.3.3. Metode mecanice de ajustare a SCR

1. Metoda mediilor mobile (MMM), ca metodă de ajustare, se
folose te pentru SCR ce au un aspect de regularitate ciclică. Aceasta
presupune înlocuirea termenilor reali ai SCR cu mediile lor mobile
(glisante sau alunecătoare), ceea ce înlătură influenŃa factorilor care
provoacă oscilaŃii periodice (are loc compensarea abaterilor faŃă de
medie) i determină obŃinerea unei noi serii SCR care evidenŃiază
mi carea largă, continuă din evoluŃia fenomenului analizat.

213

Mediile mobile (MM) sunt medii aritmetice parŃiale calculate
dintr-un număr prestabilit de termeni succesivi ai SCR.

Numărul termenilor din care se calculează MM este stabilit în
funcŃie de periodicitatea oscilaŃiilor din SCR.

Cu cât este mai mare numărul de termeni din care se calculează
MM, cu atât ajustarea este mai pronunŃată, cu atât este mai lin graficul
obŃinut prin unirea mediilor mobile succesive.

• Cazul când MM se calculează dintr-un număr impar de
termeni (exemplu p=3)

Procedura de aflare a termenilor care estimează trendul este
următoarea:

– se calculează prima medie mobilă din primii 3 termeni (y1, y2, y3)
care va înlocui termenul y2;

– se calculează a 2-a medie mobilă din (y2, y3, y4) care va înlocui
termenul y3 .a.m.d. (vezi tabelul 7.4).

Tabelul 7.4

ti yi Medii mobile (MM) Valori ajustate

1 y1 -

2 y2 y1 = (y1 + y2 + y3 )/ 3 = yˆ1

3 y3 y2 = (y2 + y3 + y4 )/ 3 = yˆ2

4 y4 y3 = (y3 + y4 + y5 )/ 3 = yˆ3

5 y5 y4 = (y4 + y5 + y6 )/ 3 = yˆ4

6 y6

OBSERVAłII!
• Pentru acest caz, numărul mediilor mobile calculate este T – (p-1);
în exemplul dat 6–(3-1)=4; astfel, fiecare medie mobilă se va plasa în
dreptul termenului ce corespunde cu poziŃia termenului centrat.
• Valorile ajustate coincid cu numărul mediilor mobile calculate.
• Trendul obŃinut, reprezentat prin noul ir de valori yˆt , prezintă o
evoluŃie lină, puŃin afectată de ocuri accidentale.

214

• Cazul când MM se calculează dintr-un număr par de
termeni (p=4)

Procedura de determinare a trendului este următoarea:

– se calculează MM provizorii ( yt ), care se plasează între termenii
reali ai seriei;

– se calculează MM finale sau centrate ( yt ), care se plasează în
dreptul termenilor reali ai seriei, pe care îi vor înlocui i cu care se
face ajustarea termenilor seriei iniŃiale (vezi tabelul 7.5).

Tabelul 7.5

ti yi Medii mobile (MM) Valori ajustate
1 y1
2 y2 - ( )y1 = y1 + y2 = yˆ1
( )y2 = y2 + y3 = yˆ2
3 y3 y1 = (y1 + y2 + y3 + y4 )/ 4
y2 = (y2 + y3 + y4 + y5 )/ 4
4 y4 y3 = (y3 + y4 + y5 + y6 )/ 4

5 y5
6 y6

OBSERVAłII!
• În această ajustare se obŃin un număr de T – (p – 1) termeni
(EXEMPLU: T – (p – 1) = 6 – (4 – 1) = 3) medii mobile provizorii i T – p
(EXEMPLU: T – p = 6 – 4 = 2) medii mobile finale; dar se pierd un număr
de p = 4 termeni de la începutul i sfâr itul seriei, ceea ce ar fi un
dezavantaj.
• prezintă însă avantajul simplităŃii calculelor, precum i cel al
posibilităŃii de separare operativă a tendinŃei de fluctuaŃiile sezoniere sau
de abaterile accidentale de mică amploare.

215

EXEMPLU: Despre vânzarea de mărfuri de către o firmă în perioada
2000-2002 se cunosc următoarele date:

Tabelul 7.6

Anul Trim. Valoarea MM provizorii MM finale
vânzărilor p=4
yt yt = yˆt
yi
2000 I 25 -
2001 II 30 - -
2003 III 29 29,75 30,375
IV 35 31,125
I 30 31 31,5
II 31 31,25 31,875
III 31 31,75 31,875
IV 36 32,625
I 29 32 34,625
II 38 31,75 37,375
III 40 33,5 -
IV 49 35,75 -

39
-
-

Calculul MM provizorii:

y1 = 25 + 30 + 29 + 35 = 29,75
4

y2 = 30 + 29 + 35 + 30 = 31
4

y3 = 29 + 35 + 30 + 31 = 31,25 .a.m.d.
4

Calculul MM finale:

y1 = y1 + y 2 = 29,75 + 31 = 30,75 = yˆ1
2 2

y2 = y2 + y3 = 31+ 31,25 = 31,125 = yˆ 2 .a.m.d.
2 2

216

Tabelul final va arăta astfel:

Tabelul 7.7

Anul/Trim. I II III IV
2000 - - 30,375 31,125
2001 31,5 31,875 31,875 32,625
2002 34,625 37,375
- -

2. Metoda grafică de ajustare a trendului

Metoda grafică presupune reprezentarea grafică a seriei de date
empirice, urmată de trasarea vizuală a dreptei sau curbei, astfel încât să
aibă abateri minime faŃă de poziŃia valorilor reale în grafic.

Această ajustare vizuală se bazează pe ipoteza că acŃiunea tuturor
cauzelor ar fi fost constantă pe toată perioada, imprimând tuturor
termenilor aceea i formă de cre tere absolută sau relativă i care poate fi
interpretată pe baza liniei (curbei) valorilor reale luate în funcŃie de timp.

Graficul folosit pentru reprezentarea unei SCR este cronograma, care
se bazează pe sistemul de axe rectangulare, în care timpul este reprezentat
pe Ox, iar yt pe Oy (grafic prezentat în paragraful 2.3.3. Grafice statistice).

Metoda grafică este o metodă independentă de ajustare, cât i un
instrument de identificare a funcŃiei analitice care estimează tendinŃa
generală din evoluŃia fenomenului.

3. Metoda modificării absolute medii (metoda sporului mediu – MSM)

MSM este recomandată atunci când modificările absolute cu bază
mobilă sunt aproximativ egale sau când irul termenilor SCR se aseamănă
cu o progresie aritmetică (cu raŃia egală, cu modificarea absolută medie).

Dacă se consideră timpul dintre cei doi termeni extremi ca o

variabilă statistică (t1, t2,…tn) i notăm termenii ajustaŃi yˆt , relaŃia care
stă la baza ajustării prin procedeul modificării medii absolute va fi:

yˆt = y0 + t∆, unde t = 1,T (7.23)

y0 reprezintă termenul de luat ca bază de comparaŃie;
t reprezintă variabila de timp (poziŃie pe care o are termenul

respectiv faŃă de cel ales bază de comparaŃie).

217

OBSERVAłII!
• Primul ( yˆ1 ) i ultimul ( yˆT ) termen ajustat este identic cu primul

( y1 ) i ultimul ( yT ) termen real al seriei.
• Baza de ajustare este, de regulă, primul termen al seriei (t=1).

După natura, lungimea SCR, baza de ajustare poate fi oricare
termen din cadrul seriei, cu condiŃia ca el să fie cel mai apropiat
de linia care une te punctele extreme ale SCR.

EXEMPLU: Despre un fenomen yT se cunosc următoarele date (tabelul 7.8):

Tabelul 7.8

Anii yt Variabila MSM MIM
timp
1994 40 t yˆt = y0 + t∆ yˆt = y0 ⋅ I t
1995 42 0
1996 44 1 40+0*2,5=40 40*(1,052)0 =40
1997 46 2 40+1*2,5=42,5 40*(1,052)1 =42,08
1998 47 3 40+2*2,5=45 40*(1,052)2 =44,268
1999 50 4 40+3*2,5=47,5 40*(1,052)3 =46,568
2000 52 5 40+4*2,5=50 40*(1,052)4 =48,988
2001 57 6 40+5*2,5=52,5 40*(1,052)5 =51,536
2002 60 7 40+6*2,5=55 40*(1,052)6 =54,204
Total 438 8 40+7*2,5=57,5 40*(1,052)7 =57,036
40+8*2,5=60 40*(1,052)8 =60

Sursa: date convenŃionale

Calculăm sporul mediu absolut:

∑∆ = ∆t /t−1 = ∆T /1 = yT − y1 = 60 − 40 = 2,5
T −1 T −1 T −1 80

Bază de ajustare este ales primul termen y0 = 40.

4. Metoda indicelui mediu de dinamică (MIM)

MIM este recomandat pentru estimarea tendinŃei centrale din
evoluŃia fenomenului studiat dacă indicii de dinamică cu bază mobilă
sunt aproximativ egali, sau dacă irul termenilor SCR au tendinŃa de
cre tere de forma unei progresii geometrice (cu raŃia egală cu indicele
mediu de dinamică).

218

FuncŃia de ajustare se bazează pe relaŃia dintre primul termen,

ultimul termen i indicii dinamici cu baza în lanŃ. În virtutea proprietăŃii

determinante a mediei, fiecare indice cu baza în lanŃ se înlocuie te cu

indicele mediu i rezultă:

yˆ t = y0 ⋅ It (7.24)

OBSERVAłII!

• Primul ( yˆ1 ) i ultimul ( yˆT ) termen ajustaŃi sunt egali cu primul

( y1 ) i ultimul ( yT ) termen real al SCR.
• ObservaŃia cu privire la baza de ajustare făcută MSM este

valabilă i pentru MIM.
• Dacă pe grafic se trasează linia care une te punctele extreme, prin

punctele care reprezintă valorile ajustate se obŃine tendinŃa
generală de evoluŃie sub forma unei curbe exponenŃiale.

EXEMPLU: Pe baza datelor din tabelul 7.8, calculăm indicele mediu

de dinamică ( I ):

T y yT = 4 60 = 1,052
t/ y1 40
∏I =
= T −1 I t −1 T −1

t=2

unde: termenul bază de ajustare este y0=40.

OBSERVAłIE! În afară de metoda mediilor mobile, celelalte metode,
metoda indicelui mediu de dinamică i metoda sporului mediu, se
bazează în determinarea trendului ajustat numai pe primul i ultimul
termen al SCR. Din această cauză, ele au un caracter „mecanic”, dar pot
oferi informaŃii utile despre tendinŃa de evoluŃie a unui fenomen în
măsura în care condiŃia de omogenitate a termenilor SCR este satisfăcută.

7.3.4. Metode analitice de determinare a trendului

Metodele analitice sunt considerate, în general, de mare performanŃă
în comparaŃie cu cele mecanice, pentru că determinarea tendinŃei generale
se bazează pe toŃi termenii seriei SCR.

219

Metodele analitice se bazează pe funcŃii matematice yˆ t = f (t) ,
numite i funcŃii de ajustare a trendului, de estimare a tendinŃei
centrale, unde t reprezintă variabila de timp, iar y variaŃia în timp.

EvoluŃia unei SCR depinde de influenŃa ansamblului de factori
generali i specifici ce acŃionează pe o scară de timp. În metodele
analitice, variabila timp este luată în considerare nu ca factor de
influenŃă, ci este utilizată numai pentru ordonarea termenilor SCR.

TendinŃa de evoluŃie a fenomenelor social-economice se
aproximează pe baza reprezentărilor grafice ale SCR (cronograma) i a
altor criterii, printr-o funcŃie de ajustare, exprimată de funcŃii matematice
uzuale (parabolă de gradul I sau II, hiperbola, exponenŃială, liniară etc.)
(vezi figura 7.3).

Trend liniar Trend parabolic Trend hiperbolic Trend
exponenŃial

yˆt = a + bt yˆ t =a + bt + ct 2 1 yˆt = a + 1bt abt yˆt = abt
yˆt = a + bt bt + ct 2 yˆt = a t yˆtt =
yˆ t = a + + bt

Figura 7.3. FuncŃii de ajustare a termenilor unei SCR

OBSERVAłII!
• FuncŃia liniară yˆt = a + bt î i găse te o largă aplicabilitate în

economie, datorită calculelor mai simple pe care le presupune,
dar i pentru faptul că în intervale scurte sau medii, evoluŃia
multor fenomene poate fi aproximată printr-o dreaptă.
• În domeniul comerŃului exterior, al turismului, însă evoluŃiile pot
fi de tip exponenŃial yˆt = abt .

• În comerŃul interior, procesul de saturare a pieŃei poate face ca
vânzările pentru unele produse să înregistreze cre teri din ce în ce
mai mici, ceea ce sugerează alegerea funcŃiei semilogaritmice

220

yˆt = a + b ⋅ log t sau a parabolei yˆt = a + bt + ct 2 în vederea

descrierii tendinŃei.
După alegerea funcŃiei de ajustare, în baza criteriilor prezentate, este
necesară estimarea parametrilor. Estimarea parametrilor funcŃiei de
regresie se poate efectua prin mai multe metode, dar cea mai folosită este
metoda celor mai mici pătrate (MCMMP). Această metoda are ca funcŃie
obiectiv minimizarea sumei pătratelor abaterilor valorilor ajustate (de
trend) de la termenii reali:

min ∑ (y t − yˆ t )2 unde: t = 1, T

t

Trendul liniar

În cazul funcŃiei liniare, această condiŃie devine:

∑[yt − (a + bt)]2 = min

În scopul determinării celor doi parametrii a i b, scriem sistemul de

ecuaŃii normale, care măsoară legătura liniară dintre variabila indepen-

dentă a i variabila dependentă y (lucru prezentat în capitolul 6. Analiza

de regresie i corelaŃie). Înlocuind pe x cu t, obŃinem:

Ta + b∑t = ∑y (7.25)
a∑t + b∑t2 = ∑ ty

Deoarece timpul este o variabilă care se măsoară cu ajutorul scalei
de interval, punctul de origine (t=0) al scalei i unitatea de măsură a
variabilei timp t se aleg în mod convenabil. Pentru rezolvarea sistemului
de ecuaŃii dedus prin MCMMP se poate apela la o simplificare
importantă: se stabilesc valorile variabilei t, astfel încât ∑t = 0 (care
anihilează influenŃa timpului). Această simplificare poate fi efectuată în
felul următor:

– dacă SCR este formată dintr-un număr impar de termeni, ca
origine (t = 0) se ia termenul median, restul termenilor sunt
plasaŃi simetric faŃă de origine:

1999 2000 2001 2002 2003

-2 -1 0 1 2 t

221

– dacă SCR este formată dintr-un număr par de termeni, originea
(t = 0), se ia între termenii centraŃi (-1, 1), iar apoi restul
termenilor sunt plasaŃi simetric faŃă de origine la distanŃe egale (la
distanŃă de 2 unităŃi pentru valori întregi).

1998 1999 2000 2001 2002 2003

-5 -3 -1 1 3 5 t

Pentru ∑t = 0, sistemul de ecuaŃii normale prezentat devine:

Ta = ∑y a = (∑y)/T

b∑t2 = ∑ty de unde: b = (∑ty)/∑t2

unde: a = media variabilei yt, fiind chiar media aritmetică a termenilor y;

b = panta dreptei, care arată cu cât se modifică în medie fenomenul
studiat, la modificarea cu o unitate de timp (an, trimestru etc.)

EXEMPLU: Reluăm exemplul prezentat în tabelul 7.8:

Anii yt t t2 t . y yˆt = a + bt

1994 40 -4 16 -160 48,67+2,42 . (-4) =38,99

1995 42 -3 9 -126 48,67+2,42 . (-3) =41,41

1996 44 -2 4 -88 48,67+2,42 . (-2) =43,83

1997 46 -1 1 -46 48,67+2,42 . (-1) =46,25

1998 47 0 0 0 48,67+2,42 . (0) =48,67

1999 50 1 1 50 48,67+2,42 . (1) =51,09

2000 52 2 4 104 48,67+2,42 . (2) =53,51

2001 57 3 9 171 48,67+2,42 . (3) =55,93

2002 60 4 16 240 48,67+2,42 . (4) =58,35

Total 438 60 145

Calcularea parametrilor:

Ta = ∑y

b∑t2 = ∑ty

de unde: a = ∑y = 438 = 48,67 , b = ∑t⋅y = 145 = 2,42.
9 ∑ t2 60
T

222

Am arătat aplicarea acestei metode; interpretarea metodelor
mecanice MSM i MIM, cât i a metodei analitice le vom face în
paragraful 7.3.5. Analiza calităŃii estimării tendinŃei generale de evoluŃie
a unui fenomen (tabelul 7.9).

Atunci, când modificările cu bază în lanŃ alcătuiesc aproximativ o
linie dreaptă i acceleraŃia evoluŃiei (diferenŃele absolute de ordinul 2)
sunt aproximativ constante, se recomandă ca model de ajustare parabola
de gradul 2: yˆt = a + bt + ct 2 .

Astfel trendul parabolic va fi prezentat în următorul sistem de ecuaŃii:

Ta + b∑t + c∑t2 = ∑yt
a∑t + b∑t2 + c∑t3 = ∑ t . yt
a∑t2 + b∑t3 + c∑t4 = ∑ t2 . yt , în care ∑t i ∑t3 =0
Sistemul devine:

Ta +ct2 = ∑yt
b∑t2 = ∑ t . yt
→ a, b, c

a∑t2 + c∑t4 = ∑ t2 . yt

Dacă se poate admite că termenii seriei cresc în progresie
geometrică, adică prezintă cre teri relative aproximativ constante, atunci
ca model de ajustare se utilizează curba exponenŃială: yˆ t = abt , în care

b este aproximativ egal cu indicele mediu ( I ).

Trendul exponenŃial se transformă într-o funcŃie liniară de
logaritmi: lg yt =lg a+t.lg b

Sistemul de ecuaŃii va fi:
T.lg a + ∑ t.lg b = ∑ lg yt
∑ t.lg a +∑ t2.lg b = ∑ t.lg yt

dacă considerăm ∑t = 0 sistemul devine:
T.lg a = ∑ lg yt
∑ t2.lg b = ∑ t.lg yt → lg a i lg b

Curba logistică
Prima formă a acestei curbe a fost propusă de matematicianul
P.F. Verhult (1845) pentru utilizarea în domeniul biologiei, demografiei
i, mai târziu, în economie.

223

După autor, acest model este specific fenomenelor cu evoluŃii

neuniforme ce au în prima fază un ritm accelerat, apoi ritmul se

încetine te, în final tinzând spre zero. Forma clasică propusă de el este
dată de relaŃia1:

yˆt = k0 (7.26)
1 + ea−bt

În practica economică se folose te o formulă simplificată dată de
relaŃia2:

1 = a + bct (7.26.a)
yˆt

Dacă termenii seriei prezintă în prima perioadă de timp o cre tere

lentă, cre tere ce se accelerează apoi până la un punct de inflexiune (punct

până la care cre terea este exponenŃială), de la care ritmul se încetine te

tinzând spre o limită (nivel de saturaŃie) care nu mai este depă ită în

continuare, se utilizează ca model de ajustare curba logistică (funcŃia

logistică) folosită frecvent în studiile de piaŃă.

Astfel, de exemplu, pentru studiul vânzărilor de produse de uz

îndelungat această curbă urmează, în timp, o evoluŃie asemănătoare literei

S, care pe etape decurge astfel:

• vânzările cresc lent în perioada imediat următoare lansării

produsului pe piaŃă;

• produsul, odată acceptat, face ca vânzările să crească vertiginos;

• după un interval mai mult sau mai puŃin îndelungat, pe măsură ce

apare fenomenul de saturare a pieŃei, vânzările înregistrează cre teri tot

mai lente;

• această stare poate fi vremelnică, pentru că în continuare putem

asista fie la un declin, fie la o evoluŃie imprevizibilă, fie la o fază de

relansare, o evoluŃie datorată apariŃiei unor elemente noi (ridicarea

calităŃii produsului, promovarea vânzărilor) care determină ,,escaladarea

logisticii” (figura 7.4).

OBSERVAłIE! FuncŃia logistică face posibilă nu numai obŃinerea

tendinŃei i extrapolarea acesteia, în plus oferă informaŃii cu privire la:

1 Jaba E., Statistică, Editura Economică, Bucure ti, 2000.
2 Baron T., BădiŃă M., Korka M., Statistica pentru afaceri, Editura

Eficient, Bucure ti, 1998.

224

• nivelul limită, exprimat de valoarea parametrului (a) la care are
loc sau va avea loc plafonarea evoluŃiei variabilei dacă nu vor interveni
noi elemente de relansare a cre terii;

• perioada de timp la care a fost atins, sau va fi atins, punctul de
inflexiune al evoluŃiei în condiŃii normale de desfă urare.

Estimarea parametrilor funcŃiei logistice poate fi efectuată prin
metoda celor mai mici pătrate. Calculele sunt mult mai laborioase decât
în cazul funcŃiei liniare, ceea ce face utilă programarea lor pentru
prelucrarea electronică.

yt

a/2

t

Lansare Cre tere Maturizare Declin

Figura 7.4. Curba de cre tere logistică

Sursa: Biji E. (coord.), Baron T., Statistică teoretică i economică, Editura
Didactică i Pedagogică, Bucure ti, 1991.

7.3.5. Analiza calităŃii estimării tendinŃei generale
de evoluŃie a unui fenomen

Aprecierea calităŃii ajustării prin anumite metode este o problemă de
decizie statistică, care presupune utilizarea unor tehnici obiective.
Prezentăm câteva din cele mai uzuale tehnici folosite.

1. Se reprezintă în acela i grafic seria empirică, cât i valorile
ajustate prin diferite metode, mecanice i analitice, apoi se alege vizual
curba ajustată care se apropie cel mai mult de curba valorilor reale ale

225

seriei. Reluăm exemplu de la tabelul 7.8 i pentru cele 3 metode prezentate
(MSM, MIM, i metoda analitică) vom construi graficul (vezi figura 7.5.).

Figura 7.5. Cronograma comparării grafice a metodelor de estimare a trendului

Din analiza graficului, putem observa că, dintre metodele mecanice,
cea mai corespunzătoare este MIM, iar metoda liniară este o metodă cu
termeni ajustaŃi foarte apropiaŃi de cei reali.

2. Calitatea ajustării se poate aprecia comparând suma valorilor
empirice (∑yt) cu suma valorilor ajustate (∑ yˆt ) i se va alege acea meto-
dă de estimare a tendinŃei centrale, care duce la cea mai mare apropiere a
sumei valorilor ajustate de suma valorilor empirice. RaŃionamentul utili-
zării acestui criteriu are la bază faptul că suma abaterilor termenilor
ajustaŃi faŃă de termenii reali trebuie să fie nulă.

EXEMPLU: Din exemplul tabelului 7.8 vom avea:
– pentru MSM: ∑ yˆt = 450;
– pentru MIM: ∑ yˆt = 444,68;

226

– pentru metoda analitică: ∑ yˆt = 438,03;

– suma valorilor empirice: ∑yt= 438.
Concluzia ce rezultă din această comparare este că MIM, ca metodă
mecanică, este cea mai potrivită, dar cea mai bună metodă de estimare a
trendului este metoda analitică.

3. Se poate folosi MCMMP cu respectarea principiului conform
căruia suma pătratelor abaterilor valorilor empirice (yt) de la cele teoretice

( yˆt ) este minimă: min ∑ (yt − yˆt )2 .

t

Reluăm exemplu nostru din tabelul 7.8:

Tabelul 7.9. Analiza calităŃii estimării trendului prin MSM, MIM i MA

MSM MIM Metoda analitică
yˆt ( yt − yˆt )2
Anii yt yˆt ( yt − yˆt )2 yˆt ( yt − yˆt )2
40 0
1994 40 40 0 42,08 0,0064 38,99 1,02
44,268 0,0718
1995 42 42,5 0,25 46,568 0,3226 41,41 0,35
48,988 3,9521
1996 44 45 1 51,536 2,3592 43,83 0,03
54,204 4,8576
1997 46 47,5 2,25 57,036 0,0013 46,25 0,0625
60 0
1998 47 50 9 444,68 11,571 48,67 2,789
∑ yˆt ∑ ( yt − yˆt )2
1999 50 52,5 6,25 51,09 1,188

2000 52 55 9 53,51 2,28

2001 57 57,5 0,25 55,93 1,145

2002 60 60 0 58,35 2,722

Total 438 450 28 438,03 11,5665
∑ ( yt − yˆt )2
∑ ∑ yˆt ∑ yˆt ∑ ( yt − yˆt )2
yt

Concluzia este, la fel ca la punctul 2, că cea mai bună metodă
mecanică este MIM (min = 11,571), iar metoda analitică rămâne o
metodă foarte bună (min = 11,5665).

4. Criteriul comparării coeficienŃilor de variaŃie (V) calculaŃi pe baza

abaterii medii pătratice (σ 2 / yˆt ) faŃă de medie ( y ). Cea mai bună metodă

yt

de trend este aceea pentru care V = minim.

227

∑• σ 2 (yt − yˆt )2
abaterea medie pătratică: / yˆt =
yt T

• media: y = ∑ yt = 438 = 48,67
T9

• σMSM: 2 = 28 = 1,76 → V = 1,76 ⋅100 = 3,62%
yt / yˆt 9 48,67

• MIM: σ 2 = 11,571 = 1,134 → V = 1,134 ⋅100 = 2,329%
yt / yˆt 9 48,67

• Metoda analitică:

σ =2 11,5665 = 1,135 → V = 1,135 ⋅100 = 2,33%
yt / yˆt 9 48,67

Concluzia: Vmin = 2,329% pentru MIM
Vmin = 2,33% pentru metoda analitică.

7.4. Previzionarea indicatorilor economici prin extrapolare

SCR stau la baza cunoa terii fenomenelor social-economice pe
diferite perioade de timp, dar sunt utilizate i în calculele de prognoză.
NoŃiunea de prognoză este similară cu cea de extrapolare.

Extrapolarea (previzionarea) pe baza datelor SCR implică
operaŃia de stabilire a unor termeni viitori, situaŃi în afara orizontului de
analiză. Astfel, extrapolarea presupune stabilirea unui model de analiză
yt = f(t) i introducerea în model a valorii convenŃionale a variabilei timp,
corespunzătoare momentului pentru care se efectuează extrapolarea.

O asemenea extrapolare se nume te tendenŃială i presupune
următoarele:

1) condiŃiile de manifestare ale evoluŃiei fenomenului analizat în
orizontul SCR să se menŃină neschimbate i în orizontul de prognoză
adoptat t′ = T +1,T + k , unde k = orizont de prognoză; k >1; k ∈ N;

2) lungimea SCR trebuie să fie suficient de mare, pentru a se sesiza
regularitatea mi cării în timp a fenomenului analizat. Astfel, teoreticienii
recomandă, pentru elaborarea unor variante de prognoză prin extrapolare,
ca lungimea SCR analizată să fie mai mare de 10 ani;

228

3) „ciclicitatea” variantei de prognoză elaborată prin extrapolare
depinde nu numai de orizontul SCR, ci i de orizontul de prognoză adop-
tat. Pentru a respecta condiŃia de la punctul 1), varianta de prognoză nu
trebuie să fie prea mare. Practicienii recomandă să se utilizeze un orizont
de prognoză care să nu depă ească o treime din lungimea orizontului
pentru care s-a determinat tendinŃa generală. În funcŃie de modelul
adoptat i de lungimea orizontului de prognoză, extrapolarea este însoŃită
de o eroare de estimaŃie. Astfel, spunem că prin extrapolare se efectuează
o estimaŃie punctuală.

Elaborarea variantelor de prognoză prin metoda extrapolării
presupune prelungirea variabilei timp „t” cuprinsă în modelul de ajustare.

• Extrapolarea prin metode mecanice. În acest caz, se porne te
de la ipoteza că se păstrează aceea i bază de calcul, fenomenul va evolua
în acelea i condiŃii ca i în perioada expirată, păstrând aceea i tendinŃă de
apropiere către modificările absolute cu bază în lanŃ, metoda modificării

medie absolute ( ∆ ) (pentru fenomene care au o cre tere în progresie
aritmetică) i de apropiere către indicii cu bază în lanŃ, metoda indicelui

mediu al dinamicii ( I ) (când tendinŃa de cre tere este în progresie

geometrică).

o Pentru extrapolarea pe baza modificării medie absolute ( ∆ ):

yˆt′ = y0 + t′∆ (7.27)
pentru t′ = T +1,T + k (orizontul de prognoză)

o Pentru extrapolarea pe baza indicelui mediu ( I ):

yˆ ′t = y0 ⋅ It′ (7.28)

pentru t′ = T +1,T + k i yˆ′ = valorile extrapolate (teoretice)

OBSERVAłIE! Valorile de prognoză sunt valori probabile, ele se
apropie de valorile reale dacă se îndeplinesc condiŃiile de extrapolare.

• Extrapolarea prin metode analitice. VariaŃia timpului se
extinde în ambele sensuri în raport cu originea (∑ti = 0) care nu se
modifică. În cazul metodelor analitice de prognoză, extrapolarea este o
continuare a ajustării.

229

FuncŃiile de extrapolare vor fi:

o Pentru funcŃia liniară: yˆ ′t = a + b ⋅ t′ (7.29)
(7.30)
o Pentru funcŃia exponenŃială: yˆ ′t = abt′ (7.31)

o Pentru funcŃia parabolică: yˆ′t = a + b ⋅ t′ + c ⋅ t′2 (7.32)

o Pentru funcŃia logistică: yˆ ′t = 1+ a
eb−c⋅t′

• Extrapolarea sezonieră. Dacă datele statistice se referă la

semestre, trimestre, luni, atunci valoarea extrapolată pentru al k-lea an i

al j-lea sezon (după natura aditivă sau multiplicativă a nivelului de

evoluŃie) se determină astfel:

y′kj = yˆ kj + S′j sau y′kj = yˆ kj + S*j (7.33)

OBSERVAłIE! Gradul de complexitate al evoluŃiei fenomenului
prezentat în SCR necesită, pentru prognoză, elaborarea mai multor
variante de calcul fundamentate pe o riguroasă analiză economică.

CONCEPTE-CHEIE: serie cronologică (SCR); SCR de intervale;
SCR de momente; cronogramă; indicatori absoluŃi, relativi, medii; trendul;
MSM – metoda sporului mediu; MIM – metoda indicelui mediu;
MA – metoda analitică; extrapolarea.

ÎNTREBĂRI DE AUTOEVALUARE

1. Ce se înŃelege prin serie cronologică? Care sunt particularităŃile unei
SCR?

2. Care sunt implicaŃiile nerespectării principiului omogenităŃii i
imposibilitatea construirii unei SCR?

3. EvoluŃia în timp a unui fenomen nu este ilustrată de o serie statistică:
a) cronologică;
b) de timp;
c) dinamică;
d) de distribuŃie.

230

4. Nu este o proprietate a termenilor unei SCR:
a) variabilitatea;
b) omogenitatea;
c) periodicitatea;
d) independenŃa;
e) interdependenŃa.

5. Care este diferenŃa dintre indicatorii de stoc i indicatorii de flux?
6. Ce grafice se recomandă pentru reprezentarea unei SCR?
7. Care este sistemul de indicatori folosiŃi în caracterizarea unei SCR?

Cum se calculează ace ti indicatori?
8. Problemele care trebuie rezolvate la analiza unei SCR sunt:

a) calcularea indicatorilor absoluŃi, relativi i medii;
b) determinarea trendului;
c) analiza sezonalităŃii;
d) extrapolarea.
AlegeŃi varianta corectă: A (a,b,c,d); B (a,b,c); C (a,b).
9. Nu este posibilă însumarea termenilor SCR:
a) de momente;
b) de intervale;
c) de fluxuri;
d) exprimate în unităŃi fizice.
10. Care sunt componentele termenilor unei SCR?
11. Ce înŃelegeŃi prin trend?
12. Ce reprezintă oscilaŃiile sezoniere? Dar variaŃiile reziduale?
13. Ce metode cunoa teŃi pentru determinarea trendului?
14. DescrieŃi metodele mecanice cunoscute.
15. Ce metode analitice cunoa teŃi? DescrieŃi aceste metode.
16. Ce înŃelegeŃi prin ajustarea termenilor unei SCR?
17. Ce criterii se pot utiliza pentru alegerea metodei analitice de ajustare?
18. Ce semnificaŃie au parametrii trendului liniar?
19. Recesiunea economică este o fluctuaŃie:
a) sezonieră;
b) pe termen lung;
c) întâmplătoare;
d) ciclică.

231

20. Componenta ciclică apare ca urmare a acŃiunii:
a) factorilor sezonieri;
b) factorilor ce determină fazele de contracŃie i relaxare a
fenomenelor;
c) factorilor aleatori;
d) tendinŃei;
e) nu există această componentă.

21. Trendul unei SCR se determină prin MSM, atunci când:
a) indicii cu bază în lanŃ sunt apropiaŃi;
b) graficul are un punct de minim;
c) modificările absolute cu bază în lanŃ sunt aproximativ egale;
d) graficul are un punct de maxim.

22. Cum analizaŃi calitatea estimaŃiei trendului?
23. Ce reprezintă sezonalitatea?
24. Ce metode de determinare a sezonalităŃii cunoa teŃi? DescrieŃi-le.
25. Ce exprimă un indice de sezonalitate?
26. Componenta sezonieră a unei serii de timp apare ca rezultat al

acŃiunii:
a) fluctuaŃiilor legate de anotimp, sau similar, în cursul unei zile,

săptămâni, luni, trimestru;
b) fluctuaŃiilor ciclice;
c) factorilor aleatori;
d) tendinŃei;
e) componenta sezonieră nu există.
27. Valorile ajustate ale unei SCR pot fi, faŃă de cele înregistrate:
a) <;
b) >;
c) =;
d) <,=,>;
e) nu se pot compara.
28. Ce înŃelegeŃi prin extrapolarea termenilor unei SCR?
29. Ce presupune o extrapolare tendenŃială?

232

8. METODA INDICILOR ÎN ANALIZELE ECONOMICE

„…indicele este degetul arătător al
economiei, indicatorul progresului i al
insuccesului … el este caracteristic
pentru întreaga situaŃie”.

Helmut Swoboda

8.1. NoŃiunea de indice. ConŃinutul i funcŃiile indicilor
Metoda indicilor face parte din metodele de analiză factorială, prin
care se măsoară variaŃia în timp i în spaŃiu a unui fenomen complex în
funcŃie de modificarea factorilor de influenŃă.
Indicele statistic îndepline te o serie de funcŃii cognitive:
1) reflectă nivelul realizării fenomenului în perioada anterioară, luată

ca bază de comparaŃie;
2) caracterizează gradul în care s-a realizat fenomenul în perioada

curentă;
3) măsoară variaŃia fenomenului în timp i spaŃiu;
4) permite descompunerea fenomenelor complexe pe factori de

influenŃă.

Indicele sintetizează, într-o expresie numerică, nivelul relativ al
caracteristicii unui ansamblu de elemente care formează fenomenul
cercetat.

De exemplu, un manager poate fi interesat să tie cât din modificarea
volumului activităŃii într-o anumită perioadă s-a realizat pe seama
productivităŃii muncii i cât pe seama modificării timpului de muncă
consumat; cât din modificarea fondului de salarii s-a datorat modificării
numărul salariaŃilor i cât modificării salariului nominal etc.

233

Indicii se calculează sub formă de raport, deci sunt mărimi relative

adimensionale, ca urmare a faptului că atât la numărător, cât i la numitor

figurează două valori ale aceluia i indicator.

Specific metodei indicilor este faptul că variaŃia fenomenului complex

se descompune integral pe factorii înregistraŃi, ceea ce înseamnă că între

nivelul ansamblului i variaŃia factorilor de influenŃă trebuie să existe o

relaŃia de produs. Astfel, folosim un model multiplicativ:

Y=x× f (8.1)

EXEMPLU: Valoarea vânzărilor unei firme (V) poate fi exprimată în
funcŃie de cantitatea vândută (q) i preŃul folosit (p): v = p × q.

Fondul de salarii (Fs) poate fi exprimat în funcŃie de salariul nominal

(Sn) i numărul de salariaŃi (T): Fs = Sn ×T.
În formula 8.1, unul din factori este factor calitativ (X) – preŃul,

salariul nominal, iar celălalt factor cantitativ (f) – cantitatea de produse,
numărul de muncitori.

OBSERVAłII!
• În funcŃie de natura i conŃinutul său, factorul cantitativ (f) poate fi
însumabil direct – dacă, de exemplu, o firmă desface un produs prin mai
multe magazine proprii, prin însumarea cantităŃilor vândute în fiecare
magazin obŃinem cantitatea totală vândută.
• Factorul cantitativ poate fi neînsumabil – cazul în care o unitate
desface mai multe produse, cantităŃile vândute fiind neînsumabile.
• Factorul calitativ nu este însumabil direct, pentru că nu are sens
însumarea directă a preŃurilor unitare ale diferitelor produse.
Nivelul totalizator al acestor indicatori se obŃine ca medie a nivelurilor
individuale din care se calculează.
Indicii pot fi calculaŃi:
• la nivelul unor elemente individuale ale colectivităŃii studiate –
formând indicii individuali, notaŃi cu i;
• la nivelul unor grupe sau a întregii colectivităŃi, sintetizând astfel
variaŃia medie a fenomenului analizat. Ace tia sunt indicii sintetici (de
grup), notaŃi cu I.
Pentru o analiză economică complexă trebuie utilizaŃi indicii sintetici,
calculaŃi ca:
• indici agregaŃi;

234

• medie a indicilor individuali;
• raport a două medii.

8.2. Indicii individuali

Indicele individual se calculează la nivelul unei unităŃi a
colectivităŃii studiate.

Indicele individual al indicatorului complex (Y = x × f) exprimă

modificarea acestuia la nivelul unei unităŃi a colectivităŃii studiate:

iy = y1 = x1 f1 (8.2)
y0 x0 f0
1/ 0

Pentru cei doi factori în funcŃie de care se exprimă y, indicii

individuali vor fi:

• Indicele individual al factorului cantitativ (f): if = f1 (8.2.a)
f0
1/ 0

• Indicele individual al factorului calitativ (x): ix = x1 (8.2.b)
x0
1/ 0

RelaŃia existentă între indicii individuali:

iy = i1f/ 0 ⋅ i1x/ 0 (8.2.c)

1/ 0

8.3. Indicii sintetici

Indicii sintetici se calculează la nivelul unor grupe sau al întregii
colectivităŃi analizate, sintetizând deci variaŃia medie a fenomenului
studiat.

Elaborarea indicilor de grup presupune:
– alegerea bazei de raportare i a formulei de calcul;
– stabilirea sistemului de ponderare;
– cuprinderea fiecărui indice în sisteme coerente de informaŃii

statistice, care trebuie să arate corect variaŃia caracteristicilor
cuprinse în analiză.
Se consideră rezolvate corect aceste probleme dacă indicii sintetici
satisfac o serie de teste (reguli) de verificare:

235

1. Testul de reversibilitate în timp constă în aceea că indicele calculat
ca raport între nivelul perioadei curente i cel al perioadei de bază, trebuie
să fie o mărime inversă a indicelui obŃinut prin raportarea nivelului din
perioada de bază la cel din perioada curentă.

2. Testul de reversibilitate al factorilor constă în aceea că produsul
indicilor trebuie să conducă la indicele variabilei complexe.

3. Testul de tranzitivitate presupune obŃinerea indicelui cu bază fixă
prin înmulŃirea unui ir complet de indici cu bază mobilă pentru perioada
analizată.

4. Testul de circularitate verifică indicii cu bază mobilă prin prisma
posibilităŃii de trecere dintr-o bază de calcul în alta.

Baza de raportare este stabilită astfel încât indicele să reflecte
variaŃia reală a fenomenului studiat. Această cerinŃă este îndeplinită dacă
mărimea luată în considerare este un nivel obi nuit al caracteristicii, adică
nu reprezintă o situaŃie de excepŃie pentru colectivitatea cercetată.

Formula de calcul se alege în funcŃie de datele disponibile i de
natura elementelor din colectivitatea care alcătuie te fenomenul analizat.

8.3.1. Sisteme de ponderare folosite la construirea indicilor sintetici

De-a lungul timpului au fost concepute câteva sute de posibilităŃi de

ponderare a indicilor, dintre acestea, teoria i practica statistică a reŃinut

câteva propuneri.

Ponderea constantă (fixă), propusă de E. Laspeyres în 1864, avea

în vedere calculul unui indice de grup al preŃurilor. În relaŃiile de calcul

propuse de el, variaŃia fiecărui factor era ponderată cu nivelurile de bază (fo)
i (xo) ale consumatorului. Factorul constant este numit pondere i are rol
de comăsurător general.

• Pentru factorul intensiv:
∑I y(x)
∑1/ 0= x1 f 0 (8.3)
x0 f0

• Pentru factorul extensiv:
∑I y( f )
∑1/ 0= x0 f1 (8.4)
x0 f0

Ponderea variabilă (curentă), propusă de H. Paasche în 1874 tot

pentru calculul unui indice de grup al preŃurilor (de fapt cotaŃii de bursă),

236

are în vedere nivelurile curente ale comăsurătorului. În acest caz, variaŃia

factorilor fiind ponderată cu (f1) i (x1) ale comăsurătorului.

• Pentru factorul intensiv:
∑I y(x)
∑1/ 0= x1 f1 (8.5)
x0 f1

• Pentru factorul extensiv:
∑I y( f )
∑1/ 0= x1 f1 (8.6)
x1 f 0

OBSERVAłII!

• Formulele Laspeyres, cât i formulele Paasche nu alcătuiesc un

sistem compatibil de relaŃii de calcul, deoarece produsul variaŃiei factorilor

( I1y/(0x) i I y( f ) ) nu conduc la obŃinerea nivelului relativ al variaŃiei
1/ 0

complexe ( I1y/ 0 ).

• În literatura de specialitate au fost elaborate o serie de formule de

compromis cele mai cunoscute fiind variantele: Mathall-Edgeworth,

Drobisch, Fisher. Dintre acestea, cea mai mare notorietate o au formulele

lui Fisher, pentru că stau la baza metodologiei oficiale de estimare a

indicilor în diferite ramuri de activitate dintr-o serie de Ńări ale lumii.

Indicii Fisher sunt medii geometrice ale variabilelor cu pondere

fixă i variabilă stabilite pentru fiecare factor.

• Pentru factorul intensiv:

∑ ∑I x(F )= x1 f0 ⋅ x1 f1 (8.7)
∑ ∑1/ 0 x0 f0 x0 f1

• Pentru factorul extensiv:

∑ ∑I f (F )= x0 f1 ⋅ x1 f1 (8.8)
∑ ∑1/ 0 x0 f0 x1 f 0

Aceste relaŃii, (8.7) i (8.8), sunt cunoscute ca formule ideale pentru
că satisfac testele de verificare a indicilor sintetici.

237

OBSERVAłII!
• În practică, indicii factorului calitativ se calculează ca indici

Paasche (cel mai adesea) sau ca indici Laspeyres. Indicele
factorului cantitativ se calculează numai ca indice Laspeyres.
• Ca regulă generală de ponderare: variaŃia factorului cantitativ
se ponderează întotdeauna cu nivelele de bază ale comăsurătorului,
iar modificarea factorului calitativ se ponderează cu nivelele
curente, ale comăsurătorului (cel mai adesea).

8.3.2. Indicii agregaŃi

Indicele agregat se calculează ca raport între suma mărimilor absolute

ale indicatorilor de la nivelul colectivităŃii studiate din perioada curentă i

suma mărimilor absolute ale acelora i indicatori pentru perioada de bază:

• Pentru indicatorul complex y:
∑∑ ∑∑I
∑ y = y1 = x1 f1 (8.9)
y0 x0 f0
1/ 0

• Indicii factoriali derivaŃi din acesta:
∑∑I1∑/ 0 y(x) =
x1 f1 (8.10)
x0 f1 (8.11)

∑∑I1∑/ 0 y( f ) = x0 f1
x0 f0

Utilizând indicii din aceste relaŃii, modificările absolute vor fi:

• Modificarea absolută a lui ∑y: (8.12)

∑ ∑∆∑1/ 0y = x1 f1 − x0 f0

• Modificarea absolută a lui ∑y, datorată modificării factorului

calitativ (x):

∑ ∑∆∑1/ 0y(x) =
x1 f1 − x0 f1 (8.13)

238

• Modificarea absolută a lui ∑y, datorată modificării factorului

cantitativ (f):

∑ ∑∆∑1/ 0y( f ) =
x0 f1 − x0 f0 (8.14)

• Între cele trei modificări există relaŃia: (8.15)
∆∑1/ 0y = ∆∑1/ 0y(x) + ∆∑1/ 0y( f )

8.3.3. Indicii calculaŃi ca medie a indicilor individuali

Calculul indicilor sintetici sub formă agregată necesită cunoa terea

∑ ∑ ∑ ∑agregatelor x0 f0 , x1 f1, x0 f1, x1 f0 .
∑ ∑ ∑ ∑Agregatele x0 f0 = y0 i x1 f1 = y1 pot fi obŃinute

direct din evidenŃele agenŃilor economici, exprimând nivelul indicatorului
complex Y în cele două perioade.

∑ ∑Determinarea agregatelor x0 f1, x1 f0 necesită eforturi i chel-

tuieli suplimentare i obŃinerea separată a lui x i y este imposibilă.
De aceea, indicii sintetici se vor calcula ca medie a indicilor

individuali, egali cu indicii agregaŃi pe care-i înlocuiesc.

Variante de calcul:

∑ ∑1) dacă se cunoa te x0 f0 = y0 i iy = y1 , atunci:
y0
1/ 0

∑∑I ∑ y = y1
y0
1/ 0

Se cunoa te: iy = y1 → y1 = i1y/ 0 ⋅ y0
y0
1/ 0

∑y0
∑∑ ∑∑I
∑ y = i1y/ 0 ⋅ y0 = i1y/ 0 ⋅ x0 f 0 (8.16)
y0 x0 f0
1/ 0

239

∑ ∑2) dacă se cunoa te: x1f1 = y1

iy = y1 → y0 = 1 ⋅ y1
y0 iy
1/ 0
1/ 0

∑∑ ∑∑ ∑∑I1∑/0y =y1 =y1 = x1f1 (8.17)
y0
1 ⋅ y1 1 ⋅ x1f1
iy iy

1/ 0 1/ 0

OBSERVAłII!

• Varianta 1 – indicele sintetic al factorului complex (y) sau al

factorului cantitativ (f) este de tip Laspeyres i se calculează ca o
medie aritmetică ponderată (x0f0) a indicilor individuali (iy sau if).

• Varianta 2 – indicele sintetic al factorului calitativ este de tip

Paasche i se calculează ca o medie armonică ponderată (x1f1) a
indicilor individuali (ix).

8.3.4. Indicii calculaŃi ca raport a două medii

În practică, analizăm deseori modificarea unor indicatori de natură
calitativă, calculaŃi la nivelul unei colectivităŃi; la acest nivel, indicatorii
având caracter de medie. De exemplu: productivitatea unei firme se poate
exprima ca o medie a productivităŃii la nivel de secŃii componente ale firmei;
preŃul de vânzare al unui produs vândut în mai multe magazine se poate
exprima ca medie aritmetică a preŃurilor obŃinute în fiecare magazin etc.

Astfel, la nivelul unei unităŃi a colectivităŃii studiate: y = xf vom avea:

xi = yi (8.18)
fi

La nivelul colectivităŃii va deveni:
∑∑ ∑∑ ∑xi =
yi = xifi = x i g f (8.19)
f f i

ii

∑unde: gif = fi = structura factorului calitativ
f
i

xi = factorul calitativ
OBSERVAłIE! Nivelul mediu al factorului calitativ se poate calcula

numai în cazul în care factorul cantitativ este însumabil. De exemplu:

240

• preŃul mediu al unui produs ( p ) vândut în mai multe magazine:

∑∑ ∑p = piqi = pigiq ,
qi

unde: pi = preŃul în magazin;
qi = cantitatea vândută în magazinul i;

• productivitatea medie a muncii ( w ):
∑∑ ∑w =
wiTi = w ig T
Ti i

unde: wi = productivitatea individuală;

∑giT = Ti = structura salariaŃilor (timpul de lucru consumat).
Ti

Caracterizarea dinamicii indicatorului mediu ( x ) se realizează cu un

indice sintetic ca raport a 2 medii ( I x 0 ) care, datorită faptului că surprinde
1/

i modificarea structurii, se nume te indice cu structură variabilă
∑ ∑ ∑Ix
∑ ∑ ∑1/0= x1 = x1f1 : x0f0 = x1g1f (8.20)
x0 f1 f0
x 0g f
0

Măsurarea influenŃei celor doi factori care determină modificarea lui

( x ) se realizează cu ajutorul următorilor indici:

• Indicele cu structură fixă exprimă influenŃa factorului calitativ xi

asupra lui x , păstrând ponderea constantă în perioada curentă:
∑ ∑ ∑Ix(x)
∑ ∑ ∑1/0 = x1f1 : x0f1 = x1g1f (8.21)
f1 f1 x 0 g1f

• Indicele modificărilor structurale exprimă influenŃa factorului

cantitativ (f) asupra lui x , considerând factorul x constant, respectiv xo.
∑ ∑ ∑I =x(gf )
∑ ∑ ∑1/ 0 x0f1 : x0f0 = x 0g1f (8.22)
f1 f0
x 0g f
0

OBSERVAłIE! Între cele trei relaŃii (8.20), (8.21) i (8.22) există

următoarea legătură:

I = I = Ix x(gf )
x(x) (8.23)

1/ 0 1/ 0 1/ 0

241

8.4. Descompunerea pe factori a variaŃiei unui fenomen complex
folosind metoda indicilor

Pentru fundamentarea deciziilor economice este important să se
cunoască nu numai dinamica, ci i contribuŃia diferiŃilor factori la
modificarea în timp a unui fenomen complex.

În practica i teoria statistică, descompunerea indicelui general în
produsul indicilor factorilor se nume te descompunere geometrică, iar
separarea modificării absolute totale în suma modificărilor absolute
datorate factorilor este denumită descompunere analitică.

Procedeele folosite cel mai frecvent în statistică în descompunerea
variaŃiei unui fenomen complex pe factori de influenŃă sunt:

• metoda substituirii în lanŃ;
• metoda influenŃelor izolate a factorilor, denumită i metoda restului

nedescompus.
La descompunerea variaŃiei pe factori de influenŃă, fenomenul
complex se prezintă sub forma unui agregat obŃinut ca produs al mai multor
factori (y=xf).

Metoda substituirii în lanŃ (MSL) presupune anihilarea pe rând a

influenŃei factorilor, menŃinându-se numai variaŃia unui singur factor. În

funcŃie de succesiunea substituirii factorilor, pot fi două variante de calcul.

Indiferent de varianta aplicată, substituirea în lanŃ presupune aplicarea

următoarelor reguli:

• indicele influenŃei primului factor, de regulă cantitativ, se

construie te folosind drept pondere cealaltă sau celelalte variabile

la nivelul perioadei de bază;

• un factor, odată substituit, rămâne drept pondere la nivelul

perioadei curente, pe tot parcursul descompunerii pentru ceilalŃi

indici factoriali.

Indicii factoriali i modificările absolute corespunzătoare celor 2

variabile se calculează pe baza relaŃiilor:

Varianta I:
∑∑I1∑/0y(f ) =
x 0 f1 ∑ ∑ ∑∆∑1/0y(f ) = x0f1 − x0f0 = x0∆f (8.24)
x0f0

242

∑∑ ∑ ∑ ∑I1∑/0y(x) =x1f1
x 0f1 ∆∑1/ 0y( x) = x1 f1 − x0 f1 = f1∆x (8.25)

Varianta II:
∑∑I1∑/ 0y(f ) =
x1f1 ∑ ∑ ∑∆∑1/0y(f ) = x1f1 − x1f0 = x1∆f (8.26)
x1f0 ∑ ∑ ∑∆∑1/0y(x) = x1f0 − x0f0 = f0∆x (8.27)

∑∑I1∑/0y(x) = x1f 0
x0f0

OBSERVAłIE! La construirea indicilor de grup, alegerea uneia sau
alteia dintre cele 2 variante se realizează în funcŃie de concluziile desprinse
din analiza succesiunii schimbărilor factorilor i de datele disponibile. În
condiŃiile în care se cunosc valorile variabilelor pentru cele 2 perioade, se
optează, de regulă, pentru varianta I.

Deosebirea privind mărimea cu care influenŃează cei doi factori
modificarea variabilei complexe, în cazul celor 2 variante, poate fi sesizată pe
baza graficelor (8.1) i (8.2) construite la nivelul unei unităŃi de observare.

Varianta I: se modifică mai întâi factorul cantitativ:
a) y0 = x0 . f0 → y′ = x0 . f1
b) y′ → y1 = x1 . f1

fi

f1 Legendă:

∆y( f )

f0

∆y( x)

0 x0 x1 xi

Figura 8.1

243

Varianta II: se modifică mai întâi factorul calitativ:
c) y0 = x0 . f0 → y′ = x1 . f0
d) y′ → y1 = x1 . f1

fi

Legendă:

f1

∆y( f )

f0 ∆y(x)

0 x0 x1 xi

Figura 8.2

OBSERVAłII!
• O parte din sporul total al variabilei y se atribuie unuia din factori
în raport cu mărimea i sensul modificării factorului luat ca pondere.
De obicei, această parte se atribuie influenŃei factorului „x”.
• În practică, această metodă se folose te pentru comparaŃiile în timp
pe perioade scurte.

Metoda influenŃelor izolate a factorilor

(Metoda restului nedescompus)

Această metodă consideră că influenŃa factorilor se face în mod

uniform. Se porne te de la ipoteza că ponderile folosite pentru a evidenŃia

modificările factorilor „x” i „f” sunt cele din perioada de bază. Această

ipoteză presupune să se folosească pentru ambii factori acela i sistem de

pondere, ceea ce face să apară, pe lângă influenŃa explicită a factorilor, i o

componentă numită „Rest nedescompus”.

Dacă considerăm că y = x . f avem:
∑∑ ∑ ∑I1∑/ 0y(f ) =
x 0f1 i ∆∑1/ 0y(f ) = x0f1 − x0f0 (8.28)
x0f0 (8.29)

∑∑I1∑/0y(x) = x1f 0 ∑ ∑i ∆∑1/0y(x) = x1f0 − x0f0 .
x0f0

244

Dacă facem verificările relaŃiilor de legătură observăm: (8.30)
I1∑/ 0y ≠ I1∑/ 0y(f ) ⋅ I1∑/ 0y(x) (8.31)

iar ∆∑1/ 0y ≠ ∆∑1/ 0y(f ) + ∆∑1/ 0y(x)

sunt diferite cu o mărime care am numit-o rest nedescompus. Aceasta

apare ca urmare a faptului că indicii individuali se construiesc folosind un

singur sistem de ponderare care nu reflectă influenŃa variaŃiei ponderilor.

Geometric, mărimea restului nedescompus poate fi prezentă grafic ca în

figura 8.3, care vizualizează descompunerea pe factori a variaŃiei variabilei

„y” la nivelul unei unităŃi de observare.

fi

f1 ∆x∆f unde: ∆x∆f = restul nedescompus
x0∆f

f0
f0∆x

0 x0 x1 xi

Figura 8.3

OBSERVAłII!

• Restul nedescompus trebuie interpretat ca fiind rezultatul influenŃei
concomitente a celor doi factori: (x1-x0).( (f1-f0) = ∆x.∆f.

• În această metodă este necesară construirea unui indice care reflec-
tă interacŃiunea celor doi factori I y(x∩ f ) , cât i modificarea absolu-

tă aferentă: ∆y(x∩f ). Indicele I y(x∩ f ) care reflectă interacŃiunea

celor 2 factori se calculează ca raport între indicele factorului

calitativ (Paasche) i indicele acelea i variabile (Laspeyres):
∑ ∑I =y(x∩ f )
∑ ∑1/ 0 x1 f1 : x1 f0 , iar (8.32)
x0 f1 x0 f0

(∑ ∑ ) (∑ ∑ )∆y(x∩ f)
1/ 0
= x1 f1 − x0 f1 − x1 f0 − x0 f0 . (8.33)

245

Existând 2 factori de influenŃă, este obligatoriu ca restul nedescompus

să se separe pe cei 2 factori.

În literatura de specialitate există mai multe propuneri pentru

repartizarea restului nedescompus:

1) să se atribuie integral unuia dintre factori, situaŃie care conduce la

procedeul substituŃiei în lanŃ;

2) să se repartizeze în mod egal pe factori;

3) să se repartizeze proporŃional cu influenŃele independente ale
factorilor, i anume ∑x0.∆f i ∑f0.∆x.

În această ipostază, aplicarea procedeului influenŃelor izolate în

descompunerea pe factori se realizează în două faze:

a) se calculează influenŃa izolată a fiecărui factor, folosind indici

factoriali cu ponderi din perioada de bază (indici Laspeyres) pentru

ambii factori plus restul nedescompus;

b) se calculează cota-parte care revine fiecărui factor din restul
nedescompus (kx i kf) ca raport între influenŃa independentă a

fiecărui factor i suma celor două influenŃe absolute independente.
∑ ∑ ∑k x =
f 0 ∆x (8.34)
f0∆x + x0∆f

∑ ∑ ∑k f =
x 0∆f (8.35)
x 0∆f + f0∆x

Pornind de la modificarea absolută a variabilei y:
∑ ∑∆y
1/ 0=
x1 f1 − x0 f0

i tiind că : x1= x0 + ∆x i f1= f0 + ∆f

rezultă că:
∑ ∑( )∆y(x∩ f )
1/ 0
= (x0 + ∆x) f0 + ∆f − x0 f0 =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑= x0 f0 + x0∆f + f0∆x + ∆x∆f − x0 f0 =

= ∑ x0∆f +∑ f0∆x + ∑ ∆x∆f

∑ ∑ ∑∆y(x∩ f ) = x0∆f + f0∆x + ∆x∆f (8.36)

Sporul total al variabilei y, care revine factorului x:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∆y1(/
x) = f0∆x + ∆x∆f ⋅ f 0 ∆x (8.37)
f0∆x + x0∆f
0

246

Sporul total al variabilei y, care revine factorului f:
∑ ∑ ∑ ∑ ∑∆y1(/
f ) = x0∆f + ∆x∆f ⋅ x0 ∆f (8.38)
0 x0∆f + f0∆x

Pornind de la influenŃa absolută a fiecărui factor asupra modificării

variabilei complexe, se calculează ponderea factorilor la formarea sporului

total:

∆y( f ) ∆y(x)
∆y(x, f ) ⋅100 respectiv ∆y(x, f ) ⋅100 (8.39)

OBSERVAłII!
• Metoda restului nedescompus permite explicarea mai veridică a

cauzelor care au condiŃionat variaŃia variabilei complexe.
• Folosirea acestei metode întâmpină dificultăŃi în condiŃiile în care

cre te numărul factorilor de influenŃă. Aceasta pentru că se ampli-
fică numărul sporurilor care se datorează interacŃiunii factorilor i,
odată cu aceasta, spore te caracterul convenŃional privind atribuirea
restului nedescompus al factorilor de influenŃă.

8.5. Sisteme concrete de indici

Indicii se folosesc sub formă de sistem pentru caracterizarea evoluŃiei
în timp i spaŃiu a fenomenelor social-economice.

Printre cele mai uzuale sisteme de indici prezentăm:
– indicii valorii, volumului fizic i preŃurilor produselor sau mărfurilor;
– indicii productivităŃii muncii;
– indicii salariului mediu etc.

8.5.1. Indicii valorii, volumului fizic i ai preŃurilor

Cunoa terea modificării preŃurilor, a cantităŃilor (produse vândute sau
consumate) i a valorii constituie o cerinŃă principală a analizelor privind
modificarea producŃiei, a consumului, caracterizarea nivelului inflaŃiei.

Analiza se bazează pe faptul că valoarea, ca indicator complex, poate fi
exprimată în funcŃie de cantitatea de produse (q) i de preŃ (p): V = p× q,
unde: p = preŃul, factor calitativ; q = cantitatea, factor cantitativ.

247

Indicii individuali:

• Indicii valorii: iv = v1 = p1q1 (8.40)
v0 p0 q0
1/ 0

• Indicii preŃurilor: ip = p1 sau i1v/(0p) = p1q1 (8.41)
p0 p0 q1
1/ 0

• Indicii volumului fizic: iq = q1 sau i1v/(0q) = p0 q1 (8.42)
q0 p0q0
1/ 0

RelaŃia dintre indicii individuali:

iv = i1v/(0p) ⋅ i1v/(0q) (8.43)

1/ 0

La nivelul individual al unităŃilor ce compun colectivitatea se pot

calcula i modificările absolute:

dv = v1 − v0 = p1q1 − p0q0 (8.44)
1/ 0

( )d v( p)=
1/ 0
p1q1 − p0q1 = q1 p1 − p0 (8.45)

( )d v(q)=
1/ 0
p0q1 − p0q0 = p0 q1 − q0 (8.46)

RelaŃia dintre modificările absolute:

dv = d v( p) + d v(q) (8.47)
1/ 0 1/ 0 1/ 0

Pentru o analiză complexă la nivel sintetic, evoluŃia generală a valorii

cantităŃilor vândute, a preŃurilor pentru produsele vândute se analizează cu

ajutorul indicilor sintetici.

• Indicele sintetic al valorii ( I1∑/0v ) se poate calcula astfel:

∑∑ ∑∑I1∑/0v = v1 = p1q1 (8.48)
v0 p0q0

∑ ∑cu modificarea absolută aferentă: ∆∑1/ 0v = p1q1 − p0q0 (8.49)

Indicele sintetic al valorii se poate calcula i ca medie aritmetică
ponderată a indicilor individuali ai valorii (iv), atunci când este

cunoscută numai valoarea totală din perioada de bază:
∑∑I1∑/ 0v =
i1v/ 0 p0q0 (8.50)
p0q0

248