Persamaan Diferensial

Bab I Pendahuluan i PERSAMAAN DIFERENSIAL Dwi Purnomo

ii PERSAMAAN DIFERENSIAL PERSAMAAN DIFERENSIAL Penulis Dwi Purnomo Layout & Cover Sang Fee Cetakan I, Agustus 2012 Diterbitkan oleh: Bayumedia Publishing Anggota IKAPI Jalan Bukit Barisan No. 23 Malang Telp/Fax : (0341) 568323 e-mail : [email protected] ISBN : 978-602-7705-23-4 Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagaian atau seluruh isi buku ke dalam bentuk apapun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk fotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit. Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2000 tentang Hak Cipta, Bab XII Ketentuan Pidana, Pasal 72, Ayat (1), (2), dan (6)

Bab I Pendahuluan iii PERSEMBAHAN Tulisan sederhana ini saya persembahkan untuk: Bapak dan Ibu (orang tua dan mertua) Dyah Anggraini (istri) Pandu Meidian Pratama (anak I) Prisma Satya Wicaksana (anak II) Sasmitha Caesar Putra (anak III)

iv PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bab I Pendahuluan v KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kehadlirat Allah SWT.,. karena atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya penulisan bahan ajar Persamaan Diferensial dapat diselesaikan sesuai dengan rencana yang telah dijadualkan dan sesuai dengan kemampuan penulis sehingga sangat memungkinkan konsep, teori, isi dan materi yang ada didalamnya terdapat kekurangan-kekurangan atau dan kesalahan. Peulisan bahan ajar dimaksudkan untuk menjadi bahan bacaan dan referensi mahasiswa yang sedang menempuh mata kuliah Kalkulus maupun Persamaan Diferensial. Tulisan ini dikelompokan menjadi enam bagian dan masing-masing bagian tersusun dalam satu bab. Isi selengkapnya masing-masing bab adalah sebagai berikut: bab I memuat hal-hal tentang pendahuluan, bab II berisi persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, bab III menjelaskan persamaan diferensial linear, bab IV menjelaskan persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi, bab V memaparkan tentang persamaan diferensial tingkat tinggi dan bab VI memuat tentang transformasi Laplace. Terselesaikannya penyusunan bahan ajar ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih atas saran dan kritiknya, antara lain kepada semua mahasiswa di program studi pendidikan Matematika Fakultas Pendidikan Ilmu Eksata dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang, kepada Bapak H. Nurcholis Sunuyeko selaku Rektor yang telah banyak memberikan motivasi dalam penulisan bahan ajar, teman-teman kolega antara lain Bapak Sulikan, Ibu Titik Purwati, Bapak H. Tjiptohardjono, Bapak Rochsun, Ibu H. Susilo Bekti, Ibu Nopem, Bapak Adi Sucipto, Bapak

vi PERSAMAAN DIFERENSIAL Rusdi, serta Bu Wili atas komentar dan dukungannya. Dan tidak kalah pentingnya bantuan do’a dari istri dan anak-anak tercinta. Harapan penulis semoga bahan ajar ini berguna dan bermanfaat dalam proses pembelajaran matematika. Selanjutnya mohon saran dan kritik guna perbaikan dikemudian hari. Malang, 5 Agustus 2012 Penulis Dwi Purnomo

Bab I Pendahuluan vii DAFTAR ISI Kata Pengantar ......................................................................... v Daftar Isi .................................................................................. vii BAB I PENDAHULUAN ....................................................... 1 1.1 Fungsi ............................................................................... 2 1.2 Turunan dan Antiturunan ................................................. 3 1.3 Persamaan Diferensial (PD) ............................................. 20 1.4 Primitif Suatu Persamaan Diferensial .............................. 22 1.5 Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas .............................. 28 1.6 Soal-soal ........................................................................... 31 BAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU ...................................................................................... 35 2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah ......................... 37 2.2 Persamaan yang Direduksi ke PD Variabel Terpisah ....... 43 2.3 Persamaan Diferensial Homogen ..................................... 46 2.4 Persamaan M(x,y) dan N(x,y) Linear tetapi Tidak Homogen ........................................................................... 56 2.5 Persamaan Diferensial Eksak ........................................... 66 2.6 Persamaan Diferenial Tidak Eksak ................................... 72 2.7 Persamaan Berbentuk y F(xy)dx + x G(xy) dy = 0 ........... 78 2.8 Trayektori Ortogonal ......................................................... 80 2.9 Soal-soal ........................................................................... 83 BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ................ 85 3.1 Bentuk Umum .................................................................. 85 3.2 Cara Menentukan Selesaian Persamaan Linear ............... 87 3.3 Soal-soal ......................................................................... 102 BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TINGGI ................................................................................. 105

viii PERSAMAAN DIFERENSIAL 4.1 Bentuk Umum ................................................................ 106 4.2 Selesaian Umum PD Tingkat Satu Derajat Tinggi ........ 107 4.3 Soal-soal ......................................................................... 119 BAB V PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI ................................................................................. 121 5.1 Bentuk Umum ................................................................. 122 5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi .............................................................................. 124 5.3 Soal-soal .......................................................................... 163 BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE ............................... 165 6.1 Transformasi Laplace ...................................................... 166 6.2 Metode Transfomasi Laplace ......................................... 172 6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace .................................... 173 6.4 Transformasi Laplace Invers .......................................... 189 6.5 Sifat-sifat Transformasi Laplace Invers ......................... 191 6.6 Metode Transformasi Laplace Invers ............................ 194 6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial ...................... 202 6.8 Persamaan Diferensial Simultan .................................... 207 DAFTAR PUSTAKA ........................................................... 213 Glosarium .............................................................................. 215 Indeks .................................................................................... 223 Penulis ................................................................................... 225

Bab I Pendahuluan 1 BAB I PENDAHULUAN Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami turunan dan antiturunan fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian umum dan selesaian khusus persamaan diferensial yang diberikan. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi ekpslisit dengan menggunakan sifat-sifat turunan fungsi. 2. Mahasiswa dapat menentukan turunan fungsi implisit dengan menggunakan kaidah diferensial dan sifat-sifatnya. 3. Mahasiswa dapat menentukan antiturunan/integral suatu fungsi 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial 5. Mahasiswa dapat menentukan persamaan diferensial suatu primitif atau persamaan keluarga suatu fumgsi ekspilisit atau implicit. 6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian khusus persamaan diferensial yang diberi syarat awal. Bab Pendahuluan dalam buku ini membahas lima hal pokok, yaitu: (1) fungsi, (2) turunan dan antiturunan, (3) persamaan diferensial, (4) primitif suatu persamaan diferensial, (5) masalah nilai awal dan syarat batas.

2 PERSAMAAN DIFERENSIAL 1.1 Fungsi Pengetahuan awal dan konsep dasar dalam matematika yang perlu dipahami untuk mempelajari persamaan diferensial adalah fungsi dan turunan fungsi. Berdasarkan tata cara penulisannya, fungsi dapat ditulis dalam bentuk eksplisit dan implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dan peubah tak bebas dapat dibedakan dengan jelas. Secara umum fungsi eksplisit ditulis berbentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah suatu fungsi yang antara peubah bebas dengan peubah tak bebas tidak dapat dibedakan secara jelas. Secara umum fungsi implisit ditulis berbentuk f(x,y) = 0. Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi yang dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan implisit. 1. 5 4 2 y x x 2. 3 2 3 1 1 x x y 3. y cos(x 5) 4. 2 2 x x x x e e e e y 5. 3 1 arcsin x x y 6. ln 1 ln 1 1 1 ln x x x x y 7. y x x x 8. 25 2 2 x y 9. 2 0 2 2 x y xy 10. 2 1 0 2 2 x y x y 11. cos xy 1 0

Bab I Pendahuluan 3 Contoh 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi ekplisit dan fungsi tersebut dapat diubah menjadi fungsi implisit. Bagaimana bentuk implisitnya ditinggalkan dalam penjelasan ini sebagai latihan bagi pembaca. Sedangkan contoh 8, 9, 10, dan 11 adalah fungsi implisit. Berbeda dengan fungsi eksplisit yang secara langsung dapat diubah menjadi fungsi impilisit, Fungsi implisit tidak semuanya dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi eksplisit dapat diubah menjadi bentuk fungsi implisit, akan tetapi ada fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Fungsi pada contoh 9 adalah fungsi implisit yang tidak dapat dinyatakan dalam fungsi eksplisit. Pengembangan dan analisis lebih lanjut, pembaca dapat membuat beberapa contoh fungsi dan selanjutnya mengelompokkan fungsi-fungsi tersebut dalam bentuk eksplisit atau implisit. Selain itu pembaca dapat membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi eksplisit. Pada prinsipnya dalam fungsi eksplisit y = f(x), x disebut peubah bebas (independent), sedangkan y disebut peubah tak bebas (dependent). Bentuk f(x,y) = 0 jika dapat diubah dalam bentuk ekplisit, x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas. Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut. 1.2 Turunan dan Antiturunan Andaikan y f (x) adalah fungsi eksplisit yang kontinu dan terdefinisi pada suatu interval, turunan (derevative) fungsi y f (x) dinotasikan y' f '(x) Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan fungsi y f (x) adalah D f (x) x atau dx dy atau dx df (x) . Turunan fungsi y f (x) didefinisikan oleh

4 PERSAMAAN DIFERENSIAL x f x x f x Lim dx dy x ( ) ( ) 0 atau t x f t f x Lim dx dy t x ( ) ( ) asalkan bentuk di atas mempunyai limit Turunan suatu fungsi sangat diperlukan dalam mempelajari persamaan diferensial. Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar tentang turunan fungsi. Misal u,v, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x yang masingmasing dapat diturunkan, c sebarang bilangan real maka: 1. (c) 0 dx d 2. (x) 1 dx d 3. 1 ( ) n n x nx dx d 4. dx du u nu dx d n n 1 ( ) 5. dx dv dx du u v dx d ( ) 6. dx dv dx du u v dx d ( ) 7. dx dw dx dv dx du u v w dx d ( ) 8. dx dw dx dv dx du u v w dx d ( ) 9. dx du cu c dx d ( ) 10. dx dv u dx du v dx du v dx dv uv u dx d ( )

Bab I Pendahuluan 5 11. dx dw vw dx dv uw dx dw uvw uv dx d ( ) 12. 2 v dx dv u dx du v v u dx d Selain rumus umum turunan fungsi tersebut di atas, terdapat beberapa aturan turunan suatu fungsi, antara lain: 1. x x dx d (sin ) cos 2. x x dx d (cos ) sin 3. x x dx d 2 (tan ) sec 4. x x dx d 2 (cot ) csc 5. x x x dx d (sec ) sec tan 6. x x x dx d (csc ) csc cot 7. 2 1 1 (arcsin ) x x dx d 8. 2 1 1 (arccos ) x x dx d 9. 2 1 1 (arctan ) x x dx d 10. 2 1 1 ( cot ) x arc x dx d 11. 1 1 ( sec ) 2 x x arc x dx d

6 PERSAMAAN DIFERENSIAL 12. 1 1 ( csc ) 2 x x arc x dx d 13. x x dx d (sinh ) cosh 14. x x dx d (cosh ) sinh 15. x h x dx d 2 (tanh ) sec 16. x h x dx d 2 (coth ) csc 17. hx hx x dx d (sec ) sec tanh 18. 2 1 1 1 (sinh ) x x dx d 19. , 1 1 1 (cosh ) 2 1 x x x dx d 20. , 1 1 1 (tanh ) 2 2 1 x x x dx d 21. , 1 1 1 (coth ) 2 2 1 x x x dx d 22. ,0 1 1 1 (sec ) 2 1 x x x h x dx d 23. , 0 1 1 (csc ) 2 1 x x x x h x dx d 24. x x e e dx d ( ) 25. x x dx d 1 (ln ) 26. a x x dx d a ln 1 ( log )

Bab I Pendahuluan 7 Rumus-rumus di atas berlaku untuk fungsi eksplisit, sedangkan fungsi implisit dapat ditentukan turunannya dengan menggunakan kaidah diferensial, yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi tersebut. Setelah diperoleh diferensial masing-masing bagian, selanjutnya kumpulkan variabel yang sejenis dan akhirnya dengan menggunakan operasi aljabar diperoleh turunan fungsi yang diberikan. Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. Tentukan dx dy dari 4 0 2 2 x y Jawab Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh ( ) ( ) (4) (0) 2 2 d x d y d d 2x dx 2y dy 0 0 2x dx 2y dy 0 x dx y dy y x dx dy 2 4 y x dx dy 2. Tentukan dx dy dari 2 0 2 2 x y xy Jawab Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel fungsi diperoleh ( ) ( ) (2) (0) 2 2 d x y d xy d d ( 2 ) (2 ) 0 0 2 2 x dy xy dx xy dy y dx

8 PERSAMAAN DIFERENSIAL (2 ) ( 2 ) 0 2 2 xy y dx x xy dy (2 ) ( 2 ) 0 2 2 xy y dx x xy dy x xy xy y dx dy 2 2 2 2 3. Tentukan dx dy dari y x x x Jawab Untuk menentukan dx dy dari fungsi di atas, maka bentuk fungsinya diubah terlebih dahulu menjadi bentuk implisit, dan diperoleh: y x x x 0 8 7 y x Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel diperoleh ( ) ( ) (0) 8 7 d y d x d 8 7 0 7 6 y dy x dx y dy x dx 7 6 8 7 Sehingga 7 6 8 7 y x dx dy Latihan soal Tentukan dx dy fungsi-fungsi berikut ini. 1. 2 1 4 x x y 2. 2 3 2 3 0 2 xy y xy

Bab I Pendahuluan 9 3. x y sin 2 1 4. cos (2 1) 0 2 y x 5. 2 1 2 1 x y 6. 2 3 y sec(1 x) 7. cos( ) 2 3 0 2 xy x y 8. 3 1 0 2 yx x y 9. cos( ) 2 3 0 2 y xy x y 10. 4 y sin 1 x Selain turunan fungsi sebagaimana dijelaskan di atas, hal lain yang mendasar untuk memahami dan mendalami persamaan diferensial adalah antiturunan. Istilah lain untuk antiturunan adalah integral. Misal y f (x) adalah turunan suatu fungsi maka antiturunannya dinotasikan dengan Ax(f(x)). Secara sederhana notasi antiturunan dilambangkan dengan f (x) dx . Jika antiturunan y f (x) adalah F(x) maka ditulis dengan f (x) dx F(x) c,c real, dan f (x) disebut integran. Jika y = f(x) suatu fungsi yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut dikatakan terintegralkan (integrable). Berikut ini diberikan beberapa rumus dasar antiturunan. 1. c c real n u u du n n . 1 1 dan n bilangan rasional dengan n 1 Akibatnya untuk n = -1 diperoleh du u c u u du u du n ln 1 1

10 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2. 3. dx f x c c real f x f x ln ( ) , ( ) '( ) 4. e du e c c real u u , 5. c c real u a a du u u , ln 6. u dv uv v du 7. sin u du cosu c. c real 8. cosu du sin u c. c real 9. sec u du tan u c. c real 2 10. csc u du cotu c. c real 2 11. secu tan u du secu c. c real 12. cscu cotu du cscu c. c real 13. tanu du ln secu c ln cosu c. c real 14. cotu du ln sin u c ln sin u c. c real 15. secu du ln secu tanu c. c real 16. cscu du ln cscu cotu c. c real 17. c a c real a u a u du arcsin . , 2 2 18. c a c real a u u a a du a u du arctan . , 1 2 2 2 2 19. c a c real u a u a a u a du ln . , 2 1 2 2 20. c a c real u a u a u a a du ln . , 2 1 2 2

Bab I Pendahuluan 11 21. u u u c a c real u a du ln . , 2 2 2 2 22. u u a c a c real u a du ln . , 2 2 2 2 23. c a c real a a u u a u a u du arcsin . , 2 2 2 2 2 2 2 24. c a c real a u arc u u a a du sec . , 1 2 2 25. u u a c a c real a u a u u a du ln . , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 26. u u a c a c real a u a u u a du ln . , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 27. c c real u u u du . 4 sin 2 2 sin 2 28. c c real u u u du . 4 sin 2 2 cos2 29. tan u du u tanu c. c real 2 30. cot u du u cotu c. c real 2 31. u du (2 sin u) cosu c. c real 3 1 sin 3 2 32. u du (2 cos u)sin u c. c real 3 1 cos3 2 33. u du tan u ln cosu c. c real 2 1 tan3 2 34. u du cot u ln sin u c. c real 2 1 cot3 2 35. u du u u ln cscu cotu c. c real 2 1 csc cot 2 1 csc3

12 PERSAMAAN DIFERENSIAL 36. c jika a b a b c real a b a b u a b a b u au bu du , . , , 2( ) sin( ) 2( ) sin( ) cos cos 2 2 37. 2 2 , 2( ) sin( ) 2( ) sin( ) sin sin c jika a b a b a b u a b a b u au bu du 38. 2 2 , 2( ) cos( ) 2( ) cos( ) sin cos c jika a b a b a b u a b a b u au bu du 39. u du n n n u u u du n n n 2 1 cos cos sin 1 cos 40. u du n n n u u u du n n n 2 1 sin sin cos 1 sin 41. tan tan , 1 1 1 tan 1 2 u u du jika n n u du n n n 42. cot cot , 1 1 1 cot 1 2 u u du jika n n u du n n n 43. sec , 1 1 2 sec tan 1 1 sec 2 2 u du jika n n n u u n u du n n n 44. csc , 1 1 2 csc cot 1 1 csc 2 2 u du jika n n n u u n u du n n n , 45. u u du n m n m n n m u u u u du n m n m n m sin cos , sin cos 1 sin cos 2 1 1 46. usin u du sin u u cosu c. c real 47. u cosu du cosu usin u c. c real 48. u u du u u n u u du n n n sin cos cos 1 49. u u du u u n u u du n n n cos sin sin 1 50. u d u sin u c. c real 2 1 sin (sin ) 2 51. u d u cos u c. c real 2 1 cos (cos ) 2 52. u d u tan u c. c real 2 1 tan (tan ) 2

Bab I Pendahuluan 13 53. u d u cot u c. c real 2 1 cot (cot ) 2 54. u d u sec u c. c real 2 1 sec (sec ) 2 55. u d u csc u c. c real 2 1 csc (csc ) 2 56. u u a c a c real a u a u u a du ln . , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 57. c a c real u a u a du u a a u u a ln . , 2 2 2 2 2 2 58. du u u a c a c real u a du ln . , 2 2 2 2 59. c a c real a u du u a a arc u u a sec . , 2 2 2 2 60. 61. c a c real a u u a u u a du . , 2 2 2 2 2 2 62. u a u c a c real a a u u du u a u ln . , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 63. du u a u u a c a c real u u a ln . , 2 2 2 2 2 2 2 64. 65. a u c a c real a u u du . , 2 2 2 2 66. 67. c a c real a u u a a u a a u u du arcsin . , 2 2 2 2 2 2 2

14 PERSAMAAN DIFERENSIAL 68. c a c real u a a u du a u a u a u ln . , 2 2 2 2 2 2 69. 70. c a c real a u a u u a u du . , 2 2 2 2 2 2 71. c a c a real a u u u a du u u a arcsin . , 2 2 2 2 2 72. c a c real u a a u u a u a du ln . , 1 2 2 2 2 73. c c real u u u u du . 1 1 1 1 ln 1 74. du u u c c real u u 2 2arctan . (1 ) 75. 76. c c real a a u u a u du . ( ) 2 2 2 2 3 2 2 77. 78. u e du u u n u e du n u n u n 1 u 79. ue du u c c real u u ( 1) . 80. ln u du u ln u u c. c real 81. c c real n u u n u u u du n n n . ( 1) ln 1 ln 2 1 1 82. a bu b bu c c real a b e e bu du au au sin ( sin cos ) . 2 2

Bab I Pendahuluan 15 83. a bu b bu c c real a b e e bu du au au cos ( cos sin ) . 2 2 84. arcsinu du u arcsinu 1 u c. c real 2 85. u du u u ln 1 u c. c real 2 1 arctan arctan 2 86. arc secu du u arc secu ln u 1 u c. c real 2 87. u c c real u u u du u u 1 . 4 (2 1) arcsin 4 1 arcsin 2 2 88. c c real u u u du u u . 2 ( 1) arctan 2 1 arctan 2 89. arc u u c c real u u arc u du 1 . 2 1 sec 2 sec 2 2 90. , 1 1 1 1 arcsin 1 arcsin 2 1 1 du c jika n u u n u n u u u du n n 91. , 1 1 1 1 arctan 1 arctan 2 1 1 du c jika n u u n u n u u u du n n n 92. , 1 1 1 1 sec 1 sec 2 1 1 du c jika n u u n arc u n u u arc u du n n n 93. sinh u du coshu c. c real 94. coshu du sinh u c. c real 95. tanh u du ln coshu c. c real 96. cothu du ln sinh u c. c real 97. du u c c real u arctansinh . cosh 1 98. c c real u du u . 2 ln tanh sinh 1 99. c c real u u u du . 4 2 sinh sinh 2

16 PERSAMAAN DIFERENSIAL 100. c c real u u u du . 4 2 sinh cosh2 101. tanh u du u tanh u c. c real 2 102. coth u du u cothu c.real 2 103. du u c c real u tanh . cosh 1 2 104. du u c c real u coth . sinh 1 2 105. sechu tanh u du sechu c. c real 106. cschu cothu du cschu c. c real 107. au b c c real a b a u du au b u ln . ( ) 2 108. c c real au b b au b a du au b u ln . 1 ( ) 2 2 109. 110. 1 2 2 ( ) 2 3 (2 2)( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 jika n a u du n n n a u u a du a u du n n n 111. 2 1 ( ) 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 a u jika n n na n u a u a u du n n n 112. 1 2 2 ( ) 2 3 (2 2)( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 jika n u a du n n n u a u a du u a du n n n 113. 2 1 ( ) 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 2 2 u a jika n n na n u u a u a du n n n 114. u e du a m u e a u e du n au 1 n au n 1 au 115. au b au b c a b c real a u au b du (3 2 )( ) . , , 15 2 2 3 2 116.

Bab I Pendahuluan 17 117. au b au b c a b c real a du au b u ( 2 ) . , , 3 2 2 118. 119. c c real au b b au b b u au b b du ln . 1 120. , 1 (2 2) (2 3) ( 1) 1 1 c jika n u au b du n b n a b n u au b u au b du n n n 121. c c real a u a n a au u u a au u du 2 arcsin . 2 2 2 2 2 122. c c real a u a au u du arcsin . 2 2 123. 124. du au u u n n a au u n u du au u u du n n n 2 1 2 1 2 2 (2 1) 2 2 125. c c real a u a du au u a u au u 2 arcsin . 2 2 2 126. du u au u n a n n au au u du u au u n n n 1 2 2 3 2 2 2 (2 3) 3 (3 2 ) 2 (2 ) 127. 1 2 2 2 (2 1) 2 1 (1 2 ) 2 2 u au u du n a n a n u au u u au u du n n n 128. 129. 130. c c real u u du u u . 3 2 2 2 tan 3 2 2 2 tan 2 ln 4 1 1 sin sin 2 2 2

18 PERSAMAAN DIFERENSIAL 131. du u u c c real u u u cos ln 1 cos . 1 cos sin cos 132. sin u du 2sin u 2 u cos u c. c real 133. c c real u u u du . 2 3 2 tan 2 3 2 tan 3 ln 3 1 1 2sin 134. c c real u u du . 3 1 2 2 tan 3 arctan 3 2 2 sin 135. c c real u u u du . 3 2 tan 1 2 3tan ln 4 1 3 5sin 136. c c real u u du . 5 3 2 tan arctan 2 1 5 3sin 137. c c real u u u u du . 2 1 tan 2 tan ln 1 sin cos 138. c c real u u du . 2 3 arctan 3 2 2 cos 139. c c real u u du . 3 4 2 5tan arctan 3 2 5 4sin

Bab I Pendahuluan 19 140. c c real u u du . 2 tan 3 3 arctan 3 2 3 2 cos 141. c c real u u du . 2 arctan 5 tan 5 2 5 3 2 142. c c real u u du u u u . cos 1 cos ln cos (1 cos ) sin 2 2 143. c c real u du u u u u . 3 2 tan 1 arctan 3 2 ln 1 tan 1 tan (2 tan )sec 2 2 2 144. c c real u u u du . 2 sec 2 2 tan 2 1 sin 145. c c real u u u du . 3sin 3 1 cos3 1 cos3 146. c c real u du u u . 2 2 sin 2 arctan 8 2 sin 2 8 cos2 2 147. 148. c c real u du u u . 3 sin 4 arctan 12 1 9 sin 4 sin 8 2 2 149. 150. c c real a u du a a u a u tan . 2 1 sec tan 2 2 1.3 Persamaan Diferensial (PD) Mencermati kembali definisi turunan fungsi yang telah dijelaskan pada pembahasan sebelumnya, terlihat bahwa jika y f (x) maka dihasilkan turunan fungsi dalam bentuk

20 PERSAMAAN DIFERENSIAL f (x). dx dy Hasil turunan fungsi yang diketahui tersebut merupakan suatu persamaan yang memuat turunan (derevative). Misal y sin 2x 2 diperoleh x x dx dy 4sin 2 cos2 atau (4sin 2xcos2x)dx dy 0. Demikian halnya jika f (x, y) 0 maka dihasilkan turunan fungsi yang dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial, yaitu dy dan dx. Misal y cos xy 0 diperoleh d(y) d(cos xy) 0 atau Berdasarkan contoh-contoh tersebut, tampak bahwa turunan suatu fungsi membentuk persamaan yang memuat derevatif atau diferensial. Selanjutnya perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini. 1. 2x dx 3 dy 0 2. x dx dy 3 2 3. xy x dx dy 2 4 4. 2 0 2 2 y dx dy dx d y 5. 4 0 2 2 3 3 y dx d y dx d y 6. 7. 8. 0 y z z x x z 9. x y y z x z 2 2 2 2 2

Bab I Pendahuluan 21 10. z y z y x z x Setiap persamaan 1-10 pada contoh di atas, juga memuat tanda turunan (derevative) dx dy atau memuat tanda diferensial dy atau dy. Sehingga persamaan yang memuat turunan atau diferensial dinamakan persamaan diferensial. Definisi: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya terdapat paling sedikit satu turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Jika dalam suatu persamaan diferensial, turunan yang muncul adalah turunan biasa, misalnya dx dy maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan parsial, misalnya x z dan y z , maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan persamaan diferensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10 di atas dinamakan persamaan diferensial parsial. Selain jenis persamaan diferensial biasa dan parsial, dalam persamaan diferensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat (degree). Tingkat suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat persamaan diferensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi dalam persamaan diferensial yang diberikan. Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini. 1. 2xdx 3dy 0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, karena turunan tertinggi dalam persamaan adalah turunan tingkat satu dan berpangkat satu.

22 PERSAMAAN DIFERENSIAL Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat dan derajat fungsi dibawah ini. 2. x dx dy 3 2 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1) 3. xy x dx dy 2 4 , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1) 4. 2 0 2 2 y dx dy dx d y , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1) 5. 3 3 dx d y 2 2 dx d y - 4 dx dy + 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3- 1) 6. 2 3 2 (y") (y') 3y x , persamaan tingkat dua derajat dua (2-2) 7. '' ( ') ' 3 y y y , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1) 8. 0 y z z x x z , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1) 9. x y y z x z 2 2 2 2 2 , persamaan tingkat dua derajat satu (2-1) 10. z y z y x z x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1) 1.4 Primitif suatu Persamaan Diferensial Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan diferensial, bahwa suatu persamaan diferensial memuat turunan dari suatu fungsi yang belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui suatu persamaan diferensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan diferensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis persamaan, tingkat, dan derajatnya. Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan fungsi yang belum diketahui suatu persamaan

Bab I Pendahuluan 23 diferensial, maka yang perlu diperhatikan adalah koefisien dari masing-masing diferensial apakah sudah sejenis. Perhatikan beberapa contoh soal di bawah ini. 1. Tentukan primitif persamaan diferensial x dx dy 2 Jawab (2 x)dx dy 0 (2 x) dx dy 0 4x x 2y c,c R 2 Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari persamaan diferensial x dx dy 2 , adalah x x 2y c 2 Selanjutnya x x 2y c 2 dinamakan selesaian umum (primitif). Selesaian umum persamaan diferensial juga disebut sebagai persamaan keluarga kurva. 2. Tentukan primitif persamaan (xy x)dx (xy y)dy 0 Jawab Persamaan di atas diubah menjadi x(y 1)dx y(x 1)dy 0 0 1 1 dy y y dx x x dy c y y dx x x 1 1 x x y c,c R 2 1 2 2

24 PERSAMAAN DIFERENSIAL dy y dx x 1 1 1 1 1 1 = dy y dx dy x dx 1 1 1 1 1 1 = c x ln x 1 y ln y 1 c (x y) ln y 1 ln x 1 c c x y x y 1 1 ( ) ln ( ) 1 1 x y ce x y Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan diferensial (xy x)dx (xy y)dy 0 adalah ( ) 1 1 x y ce x y atau ( ) ( 1) ( 1) x y y c x e Hal lain yang sering muncul dalam persamanaan diferensial adalah menentukan persamaan diferensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka kita harus melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat konstanta sebarang sebanyak n. Konstanta tersebut dikatakan penting (esensial) dan sangat menentukan bentuk persamaan diferensialnya. Contoh 1. x y c 2 2 adalah primitif dengan satu angka penting 2. x x y c e c e 3 1 2 adalah primitif dengan dua angka penting 3. y Asin ax Bcosbx adalah primitif dengan dua angka penting 4. 2 2 2 (x c) y r adalah primitif dengan dua angka penting. Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan diferensialnya mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan 25 1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang atau angka penting primitif yang diketahui. 2. Misal angka pentingnya sebanyak n, maka turunkan primitif tersebut sampai turunan ke-n. Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta jika dalam persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang yang lain. Jika fungsinya dinyatakan dalam bentuk implisit, maka dapat digunakan kaidah diferensial pada masing-masing variabelnya. 3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir semua konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta sebarang n, maka untuk mengeliminirnya diperlukan (n+1) persamaan dan diperoleh setelah primitif diturunkan sampai turunan ke-n. 4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan dalam persamaan diferensial yang dicari. 5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta sebarang yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan diferensial tidak terdapat konstanta sebarang. Perhatikan beberapa contoh berikut: 1. Tentukan persamaan diferensial dari primitif x y c 2 2 2 Jawab Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga ( ) (2 ) ( ) 2 2 d x d y d c 2 dx 4y dy 0 y x dx dy 2 Persamaan diferensial dari primitif x y c 2 2 2 adalah y x dx dy 2 2. Tentukan persamaan diferensial dari primitif y Acosax Bsin ax

26 PERSAMAAN DIFERENSIAL Jawab Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, maka Aa ax Ba ax dx dy sin cos Aa ax Ba ax dx d y cos sin 2 2 2 2 ( cos sin ) 2 a A ax B ax a y 2 Sehingga persamaan diferensial dari primitif y Acosax Bsin ax adalah 0 2 2 2 a y dx d y 3. Tentukan persamaan diferensial dari primitif 2 2 y cx c Jawab Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga y' 2cx 0 y'' 2c 2 y' c selanjutnya 2 y' c substitusikan ke persamaan 2 2 y cx c Didapat 2 2 2 " 2 " y x y y 4. Tentukan persamaan diferensial dari primitif Jawab x x y c e c e2 2 1 Primitif mempunyai 2 angka penting, sehingga x x y c e c e2 2 2 1 '

Bab I Pendahuluan 27 x x y c e c e2 2 4 1 '' Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c, maka dengan cara substitusi diperoleh persamaan y'' 3y' 2y 0 5. Tentukan persamaan diferensial dari keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x. Jawab Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x adalah 2 2 2 (x c) y r Dengan menurunkan fungsi terhadap variabel x, didapat 2( ) 2 0 dx dy x c y Selanjutnya persamaan di atas diturunkan lagi terhadap variabel x sehingga diperoleh persamaan baru 2 2 0 2 2 dx dy dx d y y Persamaan dibagi 2 diperoleh persamaan 1 0 2 2 dx dy dx d y y yang merupakan persamaan diferensial yang diminta. 6. Tentukan persamaan diferensial keluarga kurva parabola yang fokusnya di titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x. Jawab Persamaan bola yang diminta adalah 4 ( ) 2 y c c x Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh 2yy' 4c 0 yy' 2c

28 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2 yy' c Substitusikan ke persamaan semula x yy yy y 2 ' 2 ' 4 2 2 '( ' ) 0 2 y yy yy x 2 2 '( ' ) 0 2 yy yy x 1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas Setiap persamaan diferensial yang diberikan akan menimbulkan pertanyaan, apakah persamaan diferesial tersebut mempunyai selesaian?. Jika mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut tunggal?. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan terlebih dahulu tentang pengertian masalah nilai awal. Setiap selesaian persamaan differensial, banyak persoalan yang dapat dicantumkan jika diketahui n nilai-nilai y(xo), y’(xo), .... y(n-1)(xo). Contoh Persamaan diferensial x dx dy 2 mempunyai selesaian y x c,c real 2 Karena c real maka: 1. 3 2 y x memenuhi selesaian persamaan x dx dy 2 2. 3 2 1 y x memenuhi selesaian persamaan x dx dy 2 3. 100 2 y x juga memenuhi selesaian x dx dy 2 , dan seterusnya. Bentuk y x c 2 dinamakan selesaian umum persamaan diferensial x dx dy 2 sedangkan 3 2 y x , 3 2 1 y x dan

Bab I Pendahuluan 29 100 2 y x dinamakan selesaian khusus (particular solution). Nilai C sebagai konstanta real dapat ditentukan, jika dalam persamaan diferensial yang diketahui diberikan syarat awalnya. Persamaaan diferensial yang mempunyai syarat awal dinamakan masalah nilai awal (initial value problems). Definisi Masalah nilai awal adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas yang sama. Bentuk yang lain definisi di atas dapat dinyatakan dengan pernyataan sebagai berikut: Masalah nilai awal persamaan diferensial tingkat-n f(x,y,y’, y’’, ... , y (n)) = 0 yaitu menentukan selesaian persamaan diferensial pada interval I dan memenuhi n syarat awal di xo I subset dari bilangan real. Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan: f(x,y,y’,y’’, ... ,y(n-1)) = 0 dengan y(xo) = yo, y’(xo) = y1, ... , y(n)(xo) =yn-1 Atau 1 ( ) 1 ( ) ( ) ................. '( ) ( ) ( , , ', ",... ) 0 o n n o o o n y x y y x y y x y dengan f x y y y y dimana yo, y1, y2, ...yn-1 adalah kontanta Berdasarkan definisi di atas, selesaian umum persamaan diferensial memuat konstanta c, sedangkan pada persamaan diferensial dengan n syarat awal konstanta c tersebut diganti dengan bilangan real (R) yang memenuhi syarat awal.

30 PERSAMAAN DIFERENSIAL Perhatikan contoh berikut ini. 1. Tentukan selesaian masalah nilai awal (0) 1, ' y dengan y e x Jawab x y' e y e dx x y e c x (selesaian umum) Karena y(0) = 1 maka 1 = -e-0 + c dan didapat c = 2 Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah 2 x y e 2. (1) 1 1 y dengan x dx dy Jawab x 1 dx dy maka y (x 1)dx = x x c 2 2 1 Karena y(1) = 1 maka 1 = 2 1 (1) 2 + 1 + c dan diperoleh 2 1 c sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah 2 1 2 1 2 y x x atau 2 2 1 0 2 x x y 3. y 1 dx dy x dengan y(1) = 1 Jawab

Bab I Pendahuluan 31 y 1 dx dy x 0 (1 ) x dx y dy 0 (1 ) x dx y dy ln1 y ln x c ln (1 y)x c (1 y)x c Karena y(1) = 1 maka (1-1)=c1 atau c = 0 Sehingga selesaian khususnya adalah (1 y)x 0 1.6 Latihan soal-soal 1. Tentukan y’ dari y = uv jika diketahui a. 2 3 1 1 2 dan v x x x x u b. u sin x dan v 1 cos x 2 c. u 1 sin x dan v xcosx 2 d. x x dan v x u ln 1 3 1 2. Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang terintegralkan Buktikan bahwa: a. ( f (x) g(x)) dx f (x)dx g(x)dx b. ( f (x) g(x)) dx f (x)dx g(x)dx 3. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan diferensial di bawah ini a) dy (xy cosx) dx 0 b) ''' '' 2 ( ') 0 2 y xy y y xy c) 3 y' x (xy y')

32 PERSAMAAN DIFERENSIAL d) 0 3 2 2 2 3 3 vw dv d w dv d w e) 4 2 2 2 1 dx dy dx d y f) y' y sin x g) 2 2 2 x dx dy e dx d y xy h) x dx d y dx d y 2 2 4 4 3 i) y x dx dy x dx d y 3 1 3 2 2 2 j) sin( ") 1 y' y e k) y x dx dy dx d y (sin x) tan cos 2 2 l) xy x dx dy x dx d y dx d y 4 (sin ) tan 2 2 3 3 4. Tentukan persamaan diferensial dari primitif yang diketahui banyaknya angka penting berikut ini: a) y Asin x b) y sin(x A) c) y Ae B x d) x y xy y c 2 2 2 e) y c cx 2 ( ) f) x y c 2 2 2 g) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan kuadrat absis titik tersebut. h) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat titik itu.

Bab I Pendahuluan 33 5. Tentukan antiturunan dari a) f (x) sin xcos x b) f x e x x ( ) cos 2 c) f x x 4 ( ) 2sin d) f (x) sec x tan x e) f x x x 2 4 ( ) sin cos f) 2 1 3 ( ) x x f x g) f (x) 2xln x h) f (x) x 1 x i) f (x) x sin x 2 j) 2 f (x) 2e x x 6. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan diferensial x y dx dy mempunyai selesaian umum y cx 7. Diberikan persamaaan diferensial y’ = 2x a) Tunjukkan bahwa y = x2 + c adalah selesaian umumnya. b) Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4) c) Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari persamaan y = 2x + 3. d) Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat 1 0 y dx = 2 8. Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut dengan syarat awal yang diberikan. a) ln x, y(1) 2 dx dy b) , y(0) 0 y x dx dy

34 PERSAMAAN DIFERENSIAL c) cos , (0) 2, '(0) 1 2 2 x y y dx d y d) 6 , (0) 1, '(0) 1, ''(0) 4 3 3 x y y y dx d y e) , (0) 1, (1) 0 2 2 e y y dx d y x f) 2(3 2ln ), (1) ( ) 0 2 2 x y y e dx d y

Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 35 BAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara-cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dan dapat mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian khusus masalah nilai awal dengan syarat awal. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial variable terpisah (separable) dan selesaian khusus masalah nilai awal. 2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah (separable) dan selesaian khusus masalah nilai awal. 3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal. 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal. 5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal. 6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal. 7. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial berbentuk yF(xy)dx xG(xy)dy 0 dan selesaian khusus masalah nilai awal.

36 PERSAMAAN DIFERENSIAL 8. Mahasiswa dapat menentukan trayektori orthogonal dan trayektori isogonal suatu persamaan keluarga kurva. Persamaan tingkat tingkat satu derajat satu yang dijelaskan pada bab II dalam buku ini membahas delapan hal pokok, yaitu: (1) persamasaan diferensial variable terpisah, (2) persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. (3) persamaan diferensial homogen, (4) persamaan diferensial tidak homogen, (5) persamaan diferensial ekskak, (6) persamaan diferensial tidak eksak , (7) Persamaan diferensial berbentuk yF(xy)dx xG(xy)dy 0 , (8) trayektori. Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I, persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan diferensial yang didalamnya memuat turunan tertinggi yaitu turunan tingkat satu yang dilambangkan dengan dx dy . Secara umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk umum: Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi: M(x, y)dx N(x, y)dy ( , ) ( , ) N x y M x y dx dy F(x, y) dx dy ...................... bentuk eksplisit ( , , ) 0 dx dy F x y .................. bentuk implisit Bentuk umum di atas mengakibatkan jenis persamaan diferensial tingkat satu derajat satu terdiri atas beberapa jenis. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif atau selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, maka dilakukan pengelompokan menjadi beberapa jenis. M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 37 1) Persamaan diferensial variabel terpisah (separable). 2) Persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. 3) Persamaan diferensial homogen. 4) Persamanaan diferensial tidak homogen. 5) Persamaan diferensial eksak. 6) Persamaan diferensial tidak eksak. 7) Persamaan diferensial yang berbentuk y f(xy) dx + x g(xy) dy = 0. Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masingmasing mempunyai karakteristik dan ciri-ciri yang berbeda-beda. Prinsip utama dalam menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial yang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialnya. Khusus untuk persamaan diferensial yang tidak dapat dipisahkan variabelnya, maka cara lain (tabel, teorema) akan sangat membantu. Berikut ini disajikan cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat satu. 2.1 Persamaan Diferensial Variabel Terpisah (Separable) Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang mempunyai bentuk umum M(x, y)dx N(x, y)dy 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial variable terpisah jika M(x,y) = f(x) dan N(x,y) = g(y). Atau dengan kata lain M(x,y) adalah fungsi x dan N(x,y) adalah fungsi y. Sehingga bentuk umumnya M(x, y)dx N(x, y)dy 0 menjadi f(x) dx + g(y) dy = 0. Perhatikan contoh berikut ini. 1. ( 3 ) 2 0 2 x x dx y dy

38 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2 ( 3 ) (3 ) 2 2 x x x x dx dy y y x x dx dy 2 3 2 2. y dx xdy 2 0 2 dx dy y x 2 y dx dy x x y dx dy 2 3. 2 y' y 1 2x y dy x dx 2 1 2 4. x dx sin y dy 0 5. 2 2 2y 1 x dx dy 2 1 0 2 2 y dy x dx Karena tanda diferensial persamaan di atas dx dan dy berpasangan dengan variable yang sejenis, sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut cukup dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial x dx 2 dy 0 Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh: xdx 2dy c

Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 39 x c y c c 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 x y c c c x 4y c 2 4 2 c x y Persamaan 4 2 c x y disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial (SUPD). 2. Tentukan selesaian persamaan diferenesial 3 0 x dy y dx Jawab Persamaan di atas dapat diubah menjadi xdx 3ydy 0 Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh: x dx 3y dy 0 x y c 2 2 2 3 2 1 x y c 2 2 3 x y c 2 2 2 3 2 1 x y c 2 2 3 3 2 x c y Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas

40 PERSAMAAN DIFERENSIAL adalah 3 2 x c y 3. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial xdx 2ydy 0 Jawab Masing-masing bagian dari persamaan diintegralkan, diperoleh: x dx 2y dy c x y c 2 2 2 1 x y c 2 2 2 2 2 c x y Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah 2 2 c x y 4. Tentukan selesaian umum persamaan: sin x dx (1 y) dy 0 dengan y( ) = 1 Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh: sin x dx (1 y)dy c x y y c 2 2cos 2 Karena y( ) = 1 maka diperoleh c 2 2(1) (1) 2 2cos Diperoleh c = 3, sehingga selesaian khusus persamaan diferensial sin x dx (1 y) dy 0 adalah 2cos 2 3 2 x y y

Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 41 5. Tentukan selesaian umum persamaan (1 2y)dx (4 x)dy 0 Jawab Persamaan (1 2y)dx (4 x)dy 0 dapat diubah menjadi 0 4 1 2y dy x dx Selanjutnya dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh c y dy x dx 4 1 2 x ln 1 2y c 2 1 ln 4 ln (4 x) 1 2y c (4 x) 1 2y c Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah

42 PERSAMAAN DIFERENSIAL Latihan soal Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini. 1. 0 2 y dx xdy 2. cos y dx (1 e ) dy 0 x 3. (1 ) cot 0 2 dx x y dy 4. x dx dy 1 sec 3 1 5. (1 ) ' 2 2 x y 6. (1 2y)dx (4 x) dy 0 7. xdy ydx 0 dengan y(1) 1 8. (1 ) 2 0 (0) 1 2 x dx y dy dengan y 9. ' (1 ) (0) 3 3 y x y dengan y 10. x y dx dy 2 2 cos dengan y(0) = 4 11. ' 2 (1) 0 3 2 y x e dengan y y 12. ' (1 ) (0) 3 3 y x y dengan y 13. ' 2 (1) 1 3 y x dengan y 14. (1) 0 3 2 x y dengan y dx dy 15. (0) 0 2 ' 2 dengan y y y Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki ciri spesifik yaitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialnya, dengan kata lain dapat dinyatakan dalam bentuk sederhana f (x)dx g(y)dy 0