Persamaan Diferensial

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 143 y p e e x x e x e dx x x x x ( ) ( 3 4) (2 3) 2 ) 2 y p e e x x x dx x x ( ) ( 3 4 2 3 2) 2 y p e e x x dx x x ( ) ( 5 9) 2 ( ) ( 5 9) ( ) x 2 x y p e x x d e Sehingga selesaian persamaan 3 3 1 2 2 2 3 3 y x x dx dy dx d y dx d y adalah Y y(c) y(p) ( ) ( ) 7 16 2 2 1 2 3 y c c c x c x e x x x 3. Tentukan selesaian persamaan diferensial x e dx dy dx d y dx d y 2 2 2 3 3 4 4 Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 4 4 0 3 2 D D D ( 4 4) 0 2 D D D D(D 2)(D 2) 0 Sehingga akar-akarnya nyata yaitu 0, 2 m1 m2.3 ( ) 7 16 2 y p x x ( ) ( 7 16 2 y p e e x x x x y p e e x x x dx x x ( ) ( 5 9 2 5 2) 2 y p e e x x e x e dx x x x x ( ) ( 5 9 (2 5) 2 2 y p e e x x e x dx x x x ( ) ( 5 9) (2 5 2

144 PERSAMAAN DIFERENSIAL Dan fungsi komplemennya x y c c c c x e 2 1 2 3 ( ) ( ) Selesaian khususnya ( ) ( ) 1 ( ) Q x F D y p x e D D D y p 2 ( 2)( 2) 1 ( ) x e D y p 2 2 2( 2) 1 ( ) x e x y p 2 2 2 2! 1 ( ) 4 ( ) 2 2x x e y p Sehingga selesaian persamaan x e dx dy dx d y dx d y 2 2 2 3 3 4 4 adalah Y y(c) y(p) 4 ( ) 2 2 2 1 2 3 x x x e Y c c c x e Metode Penjumlahan n Pecahan Parsial. ( ) ( )( )( )...( ) 1 1 2 3 Q x D m D m D m D m y n dinyatakan dalam bentuk penjumlahan n pecahan parsial yaitu ... ( ) 1 1 3 3 2 2 1 1 Q x D m A D m A D m A D m A D m A y n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1 1 3 3 2 2 1 1 Q x D m A Q x D m A Q x D m A Q x D m A Q x D m A y n n n n

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 145 dan masing-masing merupakan persamaan diferensial linear tingkat 1 yang selesaiannya sudah dibahas pada bab III. yaitu dinyatakan dalam bentuk y A e Q x e dx A e Q x e dx A e Q x e dx A e Q x e dx m x m x n m x m x m x m x m x m x n n ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1. Tentukan selesaian persamaan 4 3 2 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 4 3 0 2 D D Sehingga akar-akarnya adalah m1 1 atau m2 3 Fungsi komplemennya adalah x x y c c e c e 3 1 2 ( ) Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan n pecahan parsial. ( ) 4 3 1 ( ) 2 Q x D D y p .2 ( 1)( 3) 1 ( ) D D y p 2 1 3 ( ) D B D A y p 2 4 3 ( 3) ( 1) ( ) 2 D D A D B D y p Diperoleh 2 1 , 2 1 A B Sehingga 2 3 1/ 2 1 1/ 2 ( ) D D y p y p e e dx e e dx x x 3x 3x 2 2 1 2 2 1 ( )

146 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 2 y( p) 1 3 1 y( p) Sehingga selesaian persamaan 4 3 2 2 2 y dx dy dx d y adalah Y y(c) y(p) 3 3 1 1 2 x x Y c e c e 2. Tentukan selesaian persamaan x y e dx dy dx d y 3 2 2 3 2 Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 3 2 0 2 D D Sehingga akar-akarnya adalah m1 1 atau m2 2 Fungsi komplemennya adalah x x y c c e c e 2 1 2 ( ) Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan n pecahan parsial. ( ) 3 2 1 ( ) 2 Q x D D y p x e D D y p 3 . ( 1)( 2) 1 ( ) x e D B D A y p 2 1 2 ( ) x e D D A D B D y p 3 2 3 2 ( 2) ( 1) ( ) Diperoleh A 1,B 1 x x x x y p e e e e 3 3 3 2 2 1 2 2 1 ( )

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 147 Sehingga x e D D y p 3 3 1 1 1 ( ) y p e e e dx e e e dx x 3x x 2x 3x 2x ( ) x x y p e e 3 3 2 1 ( ) x y p e 3 2 1 ( ) Sehingga selesaian persamaan x y e dx dy dx d y 3 2 2 3 2 adalah Y y(c) y(p) x x x Y c e c e e 2 2 1 2 2 1 3. Tentukan selesaian persamaan 5 4 (3 2 ) 2 2 y x dx dy dx d y Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 5 4 0 2 D D Sehingga akar-akarnya adalah m1 1 atau m2 4 Fungsi komplemennya adalah x x y c c e c e 4 1 2 ( ) Selesaian khususnya ditentukan dengan menggunakan metode penjumlahan n pecahan parsial. ( ) 5 4 1 ( ) 2 Q x D D y p .(3 2 ) ( 1)( 4) 1 ( ) x D D y p x x x x y p e e e e 2 2 2 1 ( )

148 PERSAMAAN DIFERENSIAL (3 2 ) 1 4 ( ) x D B D A y p (3 2 ) 5 4 ( 4) ( 1) ( ) 2 x D D A D B D y p Diperoleh 3 1 , 3 1 A B Sehingga (3 2 ) 4 1/ 3 1 1/ 3 ( ) x D D y p y p e x e dx e x e dx x x 4x 4x (3 2 ) 3 1 (3 2 ) 3 1 ( ) y p x 2 1 8 11 ( ) Sehingga selesaian persamaan 5 4 (3 2 ) 2 2 y x dx dy dx d y adalah Y y(c) y(p) 8 11 2 4 1 1 2 Y c e c e x x x Metode Variasi Parameter Selesaiannya Y y(c) y(p) Fungsi komplemen ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 y c c y x c y x c y x c y x c y x n n n n Diperoleh hubungan dasar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 x L x y x y p L x y x L x y x L x y x L x y n n n n dengan mengganti C dengan fungsi x yang tidak diketahui, yaitu L . x x x x x x x x y p e e xe e e e xe e 4 4 4 4 8 1 2 1 4 3 3 1 3 2 2 3 1 ( )

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 149 Metode ini terdiri dari cara untuk menentukan L sedemikian sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 x L x y x y p L x y x L x y x L x y x L x y n n n n menjadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1 1 2 2 3 3 1 1 x c y x y c c y x c y x c y x c y n n n n Perhatikan beberapa contoh di bawah ini: 1. Tentukan selesaian persamaan D D y e x x ( 2 ) sin 2 Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 2 0 2 D D atau D(D 2) 0 dengan akar-akar nyata dan berbeda yaitu m1 0,m2 2 sehingga fungsi kompelennya adalah x y c c c e 2 1 2 ( ) . Untuk menentukan y(p) selanjutnya dibentuk hubungan x y p L L e 2 1 2 ( ) dengan menurunkan 2 ( ) ' 2 2 ' 1 2 2 x x Dy L e L L e dan misal 0 ' 2 2 ' 1 x L L e .......(1) Karena x Dy L e 2 2 2 , x x D y L e L e ' 2 2 2 2 2 4 2 dengan memilih L e Q x e x x x 2 ( ) sin ' 2 2 .......(2) Dari (2) diperoleh Jadi (sin cos ) 4 1 sin 2 1 2 ' 2 L e x dan L e x x x x Dari (1) karena x L L e ' 2 2 ' 1 maka L e x e e x x x x sin 2 1 sin 2 ' 1 1

150 PERSAMAAN DIFERENSIAL Didapat (sin cos ) 4 1 1 L e x x x Selesaian persamaan D D y e x x ( 2 ) sin 2 adalah Y y(c) y(p) = x x x x x x c c e e x e x e x e x e 2 2 1 2 cos 4 1 sin 4 1 cos 4 1 sin 4 1 = c c e e x x x sin 2 2 1 1 2 2. Tentukan selesaman persamaan (D D)y cscx 3 Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik (D D)y cscx 3 adalah ( ) 0 ( 1) 0 3 2 D D atau D D dengan akar-akar nyata dan tidak nyata yaitu 0 dan i sehingga fungsi kompelennya adalah y(c) c c cos x c sin x 1 2 3 . Selanjutnya dibentuk hubungan y( p) L L cos x L sin x 1 2 3 dengan menurunkan diperoleh sin cos ( cos sin ) ' 3 ' 2 ' 2 3 1 Dy L x L x L L x L x dan dengan memisalkan cos sin 0 ' 3 ' 2 ' 1 L L x L x .......(1) Karena Dy L sin x L cos x 2 3 dan D y L cos x L sin x 2 3 2 ( sin cos ) ' 3 ' 2 L x L x dengan memisalkan sin cos 0 ' 3 ' 2 L x L x ......(2) maka ( sin cos ) ( cos sin ) ' 3 ' 2 3 2 3 D y L x L x L x L x

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 151 Dengan memisalkan L cos x L sin x Q(x) cscx ' 3 ' 2 .......(3) Dari (1) dan (3) Diperoleh cos sin ( cos sin ) 0 ' 3 ' 2 ' 1 ' 3 ' 2 ' 1 L L x L x L L x L x atau L cscx dan L ln cscx cot x 1 ' 1 dari (2) dan (3) diperoleh L 1 dan L cot x ' 2 ' 3 sehingga L x dan L ln sin x 3 2 Selesaian persamaan di atas adalah Y y(c) y(p) = c c cosx c sin x ln cscx cot x cosxln sin x xsin x 1 2 3 3. Tentukan selesaian persamaan x x D x y e x 2 3 ( 6 9) Jawab Persamaan karakteristiknya adalah 6 9 0 ( 3)( 3) 0 2 D D atau D D dengan akar-akar nyata dan sama yaitu m1 m2 3 , sehingga fungsi komplemen Selanjutnya dibentuk hubungan x y p L L x e 3 1 2 ( ) ( ) dengan menurunkan diperoleh (3 ) 3 ( ) ' 3 2 ' 3 1 3 2 3 1 2 x x x x Dy L L e L xe L e L xe Dengan memisalkan 0 ' 3 2 ' 3 1 x x L e L xe ......(1) Maka x x x x D y L L e L xe L L x e L xe ' 3 2 ' 3 2 ' 1 3 2 3 1 2 2 (9 6 ) 9 (3 ) 3 Dengan memisalkan ' 3 3 2 2 ' 3 2 ' 1 (3L L x)e 3L xe e x x x x x y c c c x e 3 1 2 ( )

152 PERSAMAAN DIFERENSIAL Dari (1) dan (2) diperoleh ' 2 2 ' 1 1 L x dan L x sehingga 1 1 2 L ln x dan L x Selesaian persamaan di atas adalah Y y(c) y(p) = + x x x x e 1 3 ( ln ) = x x e x e 3 3 ln Metode Koefisien tak Tentu Yang dimaksud dengan metode koefisien tak tentu adalah membuat hubungan dasar ( ) ( ) ( ) .... ( ) 1 2 3 y Ar x Br x Cr x Gr x n Dimana ( ), ( ), ( ), ... ( ) 1 2 3 r x r x r x r x n adalah suku-suku Q dan fungsifungsi ini muncul dari suku-suku Q dengan menurunkannya dan A, B, C, ....G adalah konstanta. Misal persamaannya 3 f (D) y x maka y Ax Bx Cx D 3 2 Misal persamaannya x x f D y e e 3 ( ) maka x x y Ae Be3 Misal persamaannya f (D)y sin ax maka y Asin ax Bcosax Misal persamaannya f (D)y sec x maka metode ini tidak dapat digunakan untuk menentukan selesaiannya. Selanjutnya substitusikan y kedalam f(D)y maka koefiesien A,B,C, .. diperoleh dari menyelesaikan identintas. Perhatikan contoh berikut: 1. Tentukan selesaian persamaan D D y e x x ( 2 ) sin 2 Jawab Selesaian persamaan Y y(c) y(p) Fungsi komplemennya x y c c c e 1 2 ( ) karena persamaan karakteristiknya adalah ( 2 ) 0 ( 2) 0 2 D D atau D D x c c x e 3 1 2 x c c x e 3 1 2

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 153 y(p) = Ae x Be x x x sin cos dengan menurunkan diperoleh Dy A B e x A B e x x x ( ) sin ( ) cos D y Be x Ae x x x 2 sin 2 cos 2 sehingga D D y e x x ( 2 ) sin 2 Ae x Be x e x x x x ( 2 sin 2 cos ) sin Diperoleh -2A=1 dan -2B=0 sehingga selesaian persamaan 2. Tentukan selesaian persamaan y x dx dy dx d y 4 5 sin 2 2 Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik ( 4 5) 0 2 D D Sehingga diperoleh 2 4 16 20 m1.2 2 4 2 1.2 i m m 2 i 1.2 Fungsi komplemen Selanjutnya ditentukan integral khususnya x D D y p sin 4 5 1 ( ) 2 x D y p sin 1 4 5 1 ( ) x D y p sin 4 4 1 ( ) x y c c x c x e 2 ( ) 1 cos 2 sin

154 PERSAMAAN DIFERENSIAL x D D D y p sin 1 1 1 1 4 1 ( ) x D D y p sin 1 1 4 1 ( ) 2 x D y p sin 1 1 ( 1) 4 1 ( ) y p (D 1)sin x 8 1 ( ) (cos sin ) 8 1 y( p) x x Selesaian persamaan y x dx dy dx d y 4 5 sin 2 2 Y y(c) y(p) Y c x c x e x x x sin 8 1 cos 8 1 ( cos sin ) 2 1 2 3. Tentukan selesaian persamaan 2 1 2 2 2 y x x dx dy dx d y Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 1 0 2 D D Sehingga diperoleh 2 1 1 4 m1.2 3 2 2 1 1.2 i m Fungsi komplemen 2 3 sin 2 3 ( ) cos 1 2 x c x y c c Selanjutnya ditentukan integral khususnya

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 155 ( 2 1) 1 1 ( ) 2 2 x x D D y p ( ) (1 )( 2 1) 2 y p D x x ( ) ( 2 1) (2 2) 2 y p x x x ( ) ( 3) 2 y p x Selesaian persamaan 2 1 2 2 2 y x x dx dy dx d y Y y(c) y(p) 3 2 3 sin 2 3 cos 2 1 2 x x c x Y c Metode Integral Khusus Q(x) Berbentuk Sangat Spesifik. Integral khusus persamaan diferensial f (D)y Q(x) dengan koefisien konstan dinyatakan dengan ( ) ( ) 1 Q x F D y . Untuk bentuk-bentuk tertentu Q(x) dapat dipandang sebagai bentuk khusus, 1. Jika , ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) e F a F a Q x F D Q x e maka y ax ax 2. Jika Q(x) sin(ax b) atau Q(x) cos(ax b) maka sin( ), ( ) 0 ( ) 1 sin( ) ( ) 1 2 2 2 ax b F a F a ax b F D y maka cos( ), ( ) 0 ( ) 1 cos( ) ( ) 1 2 2 2 ax b F a F a ax b F D y 3. Jika n Q(x) x maka ( ... ) , 0 ( ) 1 2 1 2 o n n o n n x a a D a D a D x a F D y

156 PERSAMAAN DIFERENSIAL Diperoleh dengan mengembangkan ( ) 1 F D dengan pangkat naik D dan menghilangkan semua suku di atas n D karena 0 n m D x 4. Jika ( ) ( ) 0 ax n m Q x e V x D x maka V F D a e V e F D y ax ax ( ) 1 ( ) 1 5. Jika Q(x) xV(x) maka Perhatikan beberapa contoh berikut 1. Tentukan selesaian persamaan 3 2 3 2 ( 2 5 6) ( 3) x D D D y e Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik ( 1)( 3)( 2) 0 ( 2 5 6) 0 3 2 D D D D D D Fungsi komplemennya adala6h x x x y c c e c e c e 2 3 3 1 2 ( ) Integral khususnya adalah 2 2 3 2 ( 3) 2 5 6 1 ( ) x e D D D y p ( 6 9 ( 1)( 3)( 2) 1 ( ) 4x 2x x e D D D y p ( 1( 3)( 2) 6 9 ( ) 4 2 D D D e e y p x x x x x e D D D e D D D e D D D y p 4 2 0 ( 1)( 3)( 2) 9 ( 1)( 3)( 2) 6 ( 1)( 3)( 2) 1 ( ) V F D F D V F D xV x F D y 2 ( ) '( ) ( ) 1 ( ) 1

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 157 ( 1)( 3)(2) 9 1( 1)4 6 3(1)6 1 ( ) 4x 2x y p e e 2 3 4 6 18 ( ) 4x 2x e e y p Selesaian persamaan 3 2 3 2 ( 2 5 6) ( 3) x D D D y e adalah Y y(c) y(p) 2 3 4 6 18 4 2 2 3 3 1 2 x x x x x e e Y c e c e c e 2. Tentukan selesaian persamaan Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik ( 4) 0 2 D Sehingga diperoleh 2 0 10 16 m1.2 m 0 2i 1.2 Fungsi komplemen Selanjutnya ditentukan integral khususnya x D y p sin 3 4 1 ( ) 2 y p sin 3x (3) 4 1 ( ) 2 y p sin 3x 5 1 ( ) x y c c x c x e 0 ( ) 1 cos 2 2 sin 2 D 4 y sin 3x 2

158 PERSAMAAN DIFERENSIAL Selesaian persamaan y x dx dy dx d y 4 5 sin 2 2 Y y(c) y(p) Y c x c x sin 3x 5 1 ( cos2 sin 2 ) 1 2 3. Tentukan selesaian persamaan Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik ( 1)( 9) 0 10 9 0 2 2 4 2 D D D D Diperoleh akar-akarnya tidak nyata dan berbeda yatu m i 1.2 dan m 3i 3.4 Persamaan komplemennya adalah Integral khususnya cos(2 3) ( 1)( 3) 1 ( ) 2 2 x D D y p cos(2 3) ( 3)(5) 1 y( p) x cos(2 3) 15 1 y( p) x Selesaian persamaan adalah Y y(c) y(p) cos 2 3 15 1 Y c1 cosx c2 sinx c3 cos3x c4 sin3x x 10 9 sin( 2 3) 4 2 D D y x y(c) c1 cos x c2 sin x c3 cos3x c4 sin3x 10 9 sin(2 3) 4 2 D D y x

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 159 Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Variabel Bentuk umum persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien variabel adalah ..... ( ) 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o Dimana 0, , , ,......., , ( ) 0 1 2 3 1 P P P P P P adalah fungsi dan Q x o n n Contoh 1. atau dapat ditulis dalam bentuk 3 2 2 0 2 2 2 3 3 3 y dx dy x dx d y x dx d y x 2. atau dapat ditulis dalam bentuk Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Variabel Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien variabel dinyatakan dengan ..... ( ) 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o Dimana 0, , , ,......., , ( ) 0 1 2 3 1 P P P P P P adalah fungsi dan Q x o n n Contoh 1. 2. y x dx dy x dx d y x dx d y x 3 2 2 1 2 2 2 3 3 3 2 2 (3 4) 2 2 2 y x dx dy x dx d y x ( 2) ( 2) 1 0 2 2 x D x y 2 2 0 2 2 2 y dx dy x dx d y x 3 2 2 0 3 3 2 2 x D x D xD y

160 PERSAMAAN DIFERENSIAL Cara yang digunakan untuk menentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen dan tidak homogen dengan koefisien konstan dan variabel adalah dengan metode substitusi yaitu e x z x z ln . Cara ini disebut metode persamaan Cauchy dan e ax b z ax b z ( ) ln . Cara ini disebut metode persamaan Legendre. Karena dx x dz e x maka z 1 dan karena . 1 ( ) ax b e ax b maka z Persamaan linear Cauchy dinyatakan dalam bentuk 0 ..... 1 3 3 3 2 3 2 2 1 2 1 1 1 P y dx dy P x dx d y P x dx d y P x dx d y P x dx d y P x n n n n n n n n n n n n n n o Dengan Po P P P Pn Pn , , , .......... , 1 2 3, 1 adalah konstanta sebarang. Persamaan linear Legendre dinyatakan dalam bentuk ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ... 1 2 2 1 2 1 1 1 P y dx dy P ax b x dx d y P ax b dx d y P ax b dx d y P ax b n n n n n n n n n n o Dengan Po P P P Pn Pn , , , .......... , 1 2 3, 1 adalah konstanta sebarang yang merupakan keadaan khusus persamaan linear Cauchy yaitu untuk a = 1 dan b = 0 yang dapat diubah ke persamaan linear dengan koefisien konstan dan variabel bebasnya disesuaikan. Selanjutnya menurut dalil rantai pada kalkulus diferensial diperoleh dx dz dz dy dx dy sehingga

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 161 1. dz dy sehingga xDy dz x dy dx dz dz dy dx dy Dy , 1 2. dz dy dx d dz x dy dx x d dz dy dx x d dx dy dx d D y 2 1 1 1 dz dy dz d y sehingga x D y dz dy dz d y dz x d y dz dy x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3. dz dy dz d y dx d dz x dy dz d y dx x d dz dy dz d y dx x d dx d y dx d D y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 y dz d y dz d y y sehingga x D y dz d y dz d y x 3 2 3 2 1 2 2 3 3 3 3 2 2 3 3 3 dan seterusnya. Dengan cara yang sama diperoleh: dan seterusnya dx dy dx d y ax b D y a dz dy (ax b)Dy a , ( ) , 2 2 2 2 , Berdasarkan substitusi di atas, akhirnya persamaan semua dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu menentukan persamaan karakteristik dan akar-akarnya sebagaimana yang telah dijelaskan pada bagian awal bab V. 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial Jawab Persamaan diferensial di atas diubah menjadi: 3 4 0 2 2 y dz dy dz dy dz d y 3 2 0 2 2 y dz dy dz dy dz d y 3 4 0 2 2 x D xD y

162 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2 0 2 2 y dz dy dz d y Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 2 0 2 dan akar-akarnya 1 dan -2 (tidak sama) Sehingga selesaiannya adalah z z y c e c e 2 1 2 Karena z ln x maka selesaian persamaan diferensial adalah x x y c e c e 2ln 2 ln 1 2 1 2 y c x c x 2. Tentukan selesaian persamaan diferensial Jawab Persamaan diferensial di atas diubah menjadi: y x x x dz dy dx dy dz d y dz d y 3 2 2 2 ln 3 2 2 2 3 3 y x x x dx dy dz d y dz d y 3 4 2 ln 3 2 2 2 2 3 y ze z dz d dz d dz d z 1 2 2 3 2 2 2 Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik dan akar-akarnya real dan tidak real Sehingga fungsi komplementernya selesaiannya adalah z z y c c e c e 2 1 2 ( ) dan integral selesaian khususnya adalah y c e e c z c z z z cos sin 1 2 3 1 2 2 0 2 x D 2xD 2 y x ln x 3x 3 3 2 3 2 0 2 2 x D xD y

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 163 ze z d d d y p z 3 3 4 2 1 ( ) 2 3 2 ze z d d d y p z 3 3 4 2 1 ( ) 2 3 2 z d d d d d d y p e z ( 1)( 2 2) 1 3 ( 2) 3( 2) 4( 2) 2 1 ( ) 2 3 2 z d z d d d y p e z ( 1)(1) 1 3 3 4 2 1 ( ) 3 2 2 z z z z z z y p e d z e e e dz e z 1 3ze 2 1 3 2 1 ( ) 2 2 Sehinggan selesaian persamaan diferensial maka selesaian persamaan diferensial adalah 5.3 Soal-soal Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut ini! 1. y''' y'' 2y 0 2. ( 6 12 8 ) 0 4 3 2 D D D D y 3. ( ) 0 4 2 D D y 4. ( 6 13 12 4) 0 4 3 2 D D D D y 5. ( 9 24 16) 0 6 4 2 D D D y 6. ( ) 0 8 6 D D y 7. ( ''' 64 ) 0 2 y y 8. 15 85 ''' 225 '' 274 ' 120 0 (5) (4) y y y y y y c x x c x c x x lnx 2 3xlnx 2 1 cosln sinln 2 1 2 3 1 3 ` 2 1 cos sin 2 1 2 3 z z z z y c e e c z c z e z ze x D 2xD 2 y x ln x 3x 3 3 2

164 PERSAMAAN DIFERENSIAL 9. y''' y'' 4y' 4y 0 10. ( 16) 0 4 D y 11. ( 2 5) 0 2 5 D D y 12. ( 5 36) 0 4 2 D D y 13. 5 7 ''' '' 8 ' 4 0 (5) (4) y y y y y y 14. y''' 3y'' 3y' y 0 15. (y'' 4y' 4y)(y' 3y) 0 16. 17. 18. 19. 20. 21. 3 4 x y''' xy' y 3x 22. xy'' (x 2)y' 2y 0 23. 24. 25. 1 1 1 ln 1 ( )1 2 2 2 x D x D y x x 2x 1 y'' 2(2x 1)y' 12y 6x 2 1 ' ' 2 ' 2 2 2 x y xy y 2 2 1 1 x D y e D y x 1 cos2x 2 1 1 sin 2 2 x D 3D 2 y sine 2 2 2 D D 2 y 2 1 x x 4 3 1 2 D D y

Bab VI Transformasi Laplace 165 BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara menentukan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers suatu fungsi serta mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode langsung (integral tak wajar) 2. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode deret. 3. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan metode pecahan parsial. 4. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside. 5. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres. Bab VI dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) Transformasi Laplace, (2) Metode transformasi Laplace, (3) Sifatsifat transformasi Laplace (4) Transformasi Laplace invers (5) Sifat-sifat transformasi Laplace invers, (6) Metode transformasi Laplace invers, (7) Penggunaan pada persamaan diferensial, (8) Persamaan diferensial simultan.

166 PERSAMAAN DIFERENSIAL 6.1 Transformasi Laplace Definisi Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh: ` 0 L{F(t)} e F(t)dt f (s) st Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ) maka ` 0 L{F(t)} e F(t)dt f (s) st p st p Lim e F t dt 0 ( ) Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Teorema Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagiansebagian dalam setiap interval 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana. No. F(t) L{F(t)} 1. 1 , 0 1 s s

Bab VI Transformasi Laplace 167 2. t , 0 1 2 s s 3. t 2 , 0 2 3 s s 4. t n n = 0,1,2,3,…. , 0 ! 1 s s n n 5. at e , 0 1 s s a 6. sin at , 0 2 2 s s a a 7. cosat , 0 2 2 s s a s 8. sinh at s a s a a , 2 2 9. coshat s a s a s , 2 2 10. t cosat 2 2 2 2 (s a ) s a 11. a t at 2 sin 2 2 2 (s a ) s Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi. Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut: 1. F(t) 1 ` 0 L{F(t)} e 1 f (s) st p st p Lim e dt 0

168 PERSAMAAN DIFERENSIAL p st p e s 0 1 lim 0 1 1 lim p se se s 1 0 s 1 f (s) 2. F(t) t ` 0 L{F(t)} e t dt st te e dt s p st st p 0 lim 1 p o st st p e s te s 1 lim 1 p sp sp p e s e e s pe s 0 0 1 0 0 1 lim 1 s s 1 0 1 2 1 s

Bab VI Transformasi Laplace 169 3. at F(t) e ` 0 L{F(t)} e t e dt st at e dt p s a t p 0 ( ) lim p s a t p e s a 0 ( ) lim 1 ( ) ( )0 1 1 lim ( ) 1 s a s a p s a e s s a 1 4. F(t) sin at L F t e dt st 0 { ( )} sin at p st p d at a Lim e 0 (cos ) 1 p st st p atd e a at e a Lim 0 0 cos ( ) 1 cos . 1 p p st st p at e dt a s at e a Lim 0 cos . cos . 1 p st st p d at a e a s at e a Lim 0 0 (sin ) 1 cos . . 1 p p st st st p e at at d e a s at e a Lim 0 0 2 cos . ( sin sin . ( ) 1

170 PERSAMAAN DIFERENSIAL p p st st st p e at at se a s at e a Lim 0 0 2 cos . ( sin sin . ) 1 p p st st st p at se a s e at a s at e a Lim 0 0 2 2 2 cos . sin sin . ) 1 p st st p at e a s at e a s a a Lim 0 2 2 2 2 cos . sin . 1 st st a e s at a e at a s a . .sin . cos 2 2 2 2 0 1 0 0 2 2 2 a s a a a s a a 1 2 2 2 2 2 a s a 5. F(t) cosat L F t e dt st 0 { ( )} cos at p st p d at a Lim e 0 (sin ) 1 p st st p atd e a at e a Lim 0 0 sin ( ) 1 sin . 1 p p st st p at e dt a s at e a Lim 0 sin . sin . 1

Bab VI Transformasi Laplace 171 p st st p d at a e a s at e a Lim 0 0 ( cos ) 1 sin . . 1 p p st st st p e at at d e a s at e a Lim 0 0 2 sin . ( ( cos ) cos . ( ) 1 p p st st st p e at at se dt a s at e a Lim 0 0 2 sin . ( cos ) cos . ) 1 p p st st st p at e a s e at a s at e a Lim 0 0 2 2 2 sin . ( cos ) cos . ) 1 p st st p at e a s at e s a a a Lim 0 2 2 2 2 sin . cos . 1 st st a e s at a e at s a a . .cos . sin 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 a s s a a 2 2 2 2 a s s a a 2 2 s a a Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > . Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi

172 PERSAMAAN DIFERENSIAL Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi. 6.2 Metode Transformasi Laplace Untuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah: a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi. Metode ini berkaitan langsung dengan definisi 0 L{F(t)} e F(t)dt st p st p Lim e F t dt 0 ( ) Contoh 0 L{F(t)} e F(t)dt st p st p e tdt 0 lim ( ) 1 lim . 0 st p p d e s t te e dt s p st st p 0 lim 1 p st st p e s te s 0 1 lim 1 s s 1 0 1 2 1 s f (s)

Bab VI Transformasi Laplace 173 b. Metode Deret Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh ( ) ... 3 3 2 0 1 2 F t a a t a t a t n n n a t 0 Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga: { ( )} { } { } { } { } ... 3 3 2 0 1 2 L F t L a L a t L a t L a t ... 2! 3 2 2 1 s a s a s ao 0 1 ! n n n s n a , syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s > a. Metode Persamaan differensial Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teoremateorema di atas. b. Menurunkan terhadap parameter c. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teoremateorema yang ada. d. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan. 6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain: a) Sifat linear Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan ( ) 1 F t dan ( ) 2 F t adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing ( ) 1 f s dan ( ) 2 f s , maka:

174 PERSAMAAN DIFERENSIAL { ( ) ( )} ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 L c F t c F t c f s c f s Bukti: 0 1 2 2 1 1 2 2 L{c F(t) c F (t)} e {c F (t) c F (t)}dt st 0 1 2 0 1 1 e c F (t)dt e c F (t)dt st st 0 2 0 1 1 2 c e F (t)dt c e F (t)dt st p st ( ) ( ) 1 1 2 2 c f s c f s 1. L{5t 3} L{5t 3a} L{5t} L{3} 5L{t} 3L{1} s s 1 3 1 5 2 s s 5 3 2 2. L{6sin 2t 5cos2t} L{6sin 2t} L{5cos2t} 6L{sin 2t} 5L{cos2t} 4 5 4 2 6 2 2 s s s 4 12 5 2 s s 3. {( 1) } { 2 1} 2 2 4 2 L t L t t { } {2 } {1} 4 2 L t L t L { } 2 { } {1} 4 2 L t L t L s s s 2! 1 2 4! 4 1 2 1

Bab VI Transformasi Laplace 175 s s s 24 4 1 5 3 4. {4 6 3sin 4 2cos2 } 5 2 L e t t t t {4 } {6 } {3sin 4 } {2cos2 } 5 2 L e L t L t L t t 4 2 4 4 3 2 6 5 1 4 3 2 2 s s s s s 4 2 16 12 12 5 4 3 2 2 s s s s s Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut. 1. t F t t e 2 ( ) 2 t 2. F(t) 6sin 2t cos2t 3. 2 F(t) (sin t cost) 4. F t t sinh t 2 1 ( ) cosh3 5. F(t) 2t 2 3 6. 2 F(t) (sin t 3) b) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika { ( )} ( ) { ( )} ( ) 2 L F t f s maka L e F t f s a t Bukti Karena ` 0 L{F(t)} e F(t)dt f (s) st , maka ` 0 L{e F(t)} e e F(t)dt at st at L e L t L t L t t 4 6 3 sin 4 2 cos 2 5 2

176 PERSAMAAN DIFERENSIAL 0 ( ) e F(t)dt s a t f (s a) Contoh: 1. Tentukan { ( )} { ( )} ( ) 3 L e F t jika L F t f s t Menurut sifat 2 di atas, L{e F(t)} f (s a) at Maka f (s 3) 2. Tentukan a s L e F t jika L F t f t { ( )}, { ( )} 2 Menurut sifat 2 di atas, L{e F(t)} f (s a) at Karena a s maka L e F t f a s L F t f t 2 { ( )} , { ( )} 2 a a s f 2 3. Tentukan 4 { ( )} {cos2 } 2 s s L e F t jika L t t Karena 4 {cos2 } 2 s s L t maka menurut sifat translasi pertama L{e F(t)} f (s 1) t ( 1) 4 1 { ( )} 2 s s L e F t t 2 5 1 2 s s s 4. Tentukan { (3cos6 5sin 6 )} 2 L e t t t Me6nurut sifat linear, { ( )} ( 3) 3 L e F t f s t

Bab VI Transformasi Laplace 177 { (3cos6 5sin 6 )} { (3cos6 )} { (5sin 6 )} 2 2 2 L e t t L e t L e t t t t 3 { cos6 } 5 { sin 6 } 2 2 L t L e t t t } Karena 36 6 {sin 6 } 36 {cos6 } 2 2 s dan L t s s L t maka menurut sifat translasi 3 { cos6 } 3 ( 2) 2 L t f s t ( 2) 36 ( 2) 3 2 s s , dan ( 2 6 5 { sin 6 } 5 2 s L t t sehingga L{ ( 2) 36 6 5 ( 2) 36 ( 2) { (3cos6 5sin 6 )} 3 2 2 2 s s s L e t t t 4 40 3 24 2 s s s Soal Tentukan transformasi Laplace fungsi 1) F t e t t 2 ( ) sin 2) 3 ( ) (1 ) t F t te 3) F(t) (3sinh 2t 5cosh 2t) t 4) t F t t e 2 ( ) ( 2) 5) 6) F(t) e (1 2t) t c. Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika L{F(t)} f (s) dan untuk t a F t a untuk t a G t 0, ( ), ( ) F t e t t t ( ) sinh 2 cosh 3 2

178 PERSAMAAN DIFERENSIAL maka L{G(t)} e f (s) as Bukti L G t e G t dt st 0 {( ( )} ( ) a a st st e G t dt e G t dt 0 ( ) ( ) a a st st e dt e F t a dt 0 (0) ( ) a st e F(t a)dt Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga 0 ( ) e F(t a)dt e F(u)du s u a a st 0 e e F(u)du as su e f (s) as Contoh Carilah L{F(t)} jika 3 2 0, 3 2 ), 3 2 cos( ( ) t t t F t Menurut definisi transformasi Laplace 0 L{F(t)} e F(t)dt st e dt e t dt st st (0) cos( 2 / 3) 2 / 3 2 / 3 0

Bab VI Transformasi Laplace 179 0 ( 2 / 3) e cosudu s u e e udu s su cos 0 2 / 3 1 2 2 / 3 s se s d. Sifat pengubahan skala Jika L{F(t)} f (s) maka a s f a L F at 1 { ( )} Bukti Karena L F t e F t dt st 0 { ( )} ( ) maka L F at e F at dt st 0 { ( )} ( ) Misal a du u at maka du adt sehingga dt Menurut definisi 0 L{F(at) e F(at)dt st 0 ( ) a du e F u a s u e F u du a u a s ( ) 1 a s f a 1

180 PERSAMAAN DIFERENSIAL Contoh: 1. Jika ( ) ( 2) 6 { ( )} 3 f s s L F t maka ) 3 ( 3 1 { (3 )} s L F t f 3 2 3 3 6 s 3 ( 6) 6.9 s Soal: 1. Hitunglah L{F(t)} jika 0,0 1 ( 1) , 1 ( ) 2 t t t F t 2. Jika (2 1) ( 1) 1 { ( )} 2 2 s s s s L F t , carilah L{F(2t)} 3. Jika { ( )} , 1/ s e L F t s carilah L{e F(3t)} t Jawab Karena { ( )} ( ), 1/ f s s e L F t s maka menurut sifat 4 diperoleh 3 3 1 { (3 )} s L F t f Sehingga 3 3 1 { (3 )} 3 s e L F t s s e s 3 1 f (s)

Bab VI Transformasi Laplace 181 Berdasarkan sifat Jika L{F(t)} f (s) maka L{e F(t)} f (s a) at (sifat 2) Maka L{e F(3t)} f (s 1) t ( 1) 3 ( 1) 1 S e s e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan Jika L{F(t)} f (s) maka L{F'(t)} sf (s) F(0) Karena Karena { ( )} ( ) ( ) 0 L F t e F t dt f s st , maka L F t e F t dt st 0 { '( )} '( ) 0 e dF(t) st p st st e F t F t d e 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 F(0) s e F(t)dt st sf (s) F(0) Jika L{F'(t)} sf (s) F(0) maka { ''( )} ( ) (0) '( ) 2 L F t s f s sF F s Bukti 0 L{F''(t)} e F"(t)dt st 0 e d(F'(t)) st

182 PERSAMAAN DIFERENSIAL 0 '( ) '( ) ( ) st st e F t F t d e 0 e F'(t) s F'(t)e dt st st ( ) (0) '(0) 2 s f s sF F Dengan cara yang sama diperoleh L F t e F t dt st { '''( )} '''( ) 0 0 e d(F''(t)) st 0 ' '( ) ' '( ) ( ) st st e F t F t d e 0 e F''(t) s e F''(t)dt st st 0 ''( ) '( ) '( ) ( ) st st st e F t s e F t F t d e ( ) (0) '(0) ''(0) 3 2 s f s s F sF F Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika L{F(t)} f (s) maka (0) (0) { ( )} ( ) (0) '(0) ... ( 2) ( 1) ( ) 1 2 n n n n n sF F L F t sf s s F s F e F '(t) s(sf (s) F (0)) st

Bab VI Transformasi Laplace 183 Contoh soal Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunanturuan, tunjukkan bahwa {sin } ( ) 2 2 f s s a a L at Misal F(t) sin at diperoleh F'(t) a cosat,F''(t) a sin at 2 sehingga { ''( ) 1 {sin } 2 L F t a L at Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunanturunan diperoleh s a s a a s a (0) 1 2 2 2 2 a s a as a 2 2 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 s a as as a a 2 2 s a a f. Tansformasi Laplace dari integral-integral Jika L{F(t)} f (s) maka s f s L F u du t ( ) ( ) 0 Bukti: Misal t G t F u du 0 ( ) ( ) maka G'(t) F(t) dan G(0) 0 sf s sF F f a L at ( ) (0) '(0) 1 {sin } 2

184 PERSAMAAN DIFERENSIAL Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh: L{G'(t)} L{F(t)} sL{G(t)} G{0} f (s) sL{G(t)} f (s) s f s L G t ( ) { ( )} Jadi diperoleh s f s L F u du t ( ) ( ) 0 Contoh 1. Carilah t du u u L 0 sin Misal t t F t sin ( ) Maka s L F t 1 { ( )} arctan Sehingga menurut sifat transformasi di atas s s s f s du u u L t 1 arctan sin ( ) 1 0 2. Buktikan s s du u u L t 1 arctan sin 1 0 Bukti: Misal (0) 0 sin ( ) 0 du maka F u u F t t t t F t sin '( ) dan tF'(t) sin t Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian 1 1 { '( )} {sin } 2 s L tF t L t

Bab VI Transformasi Laplace 185 1 1 ( ) 2 s sf s ds d ds s sf s 1 1 ( ) 2 sf (s) arctans C Menurut teorema harga awal, ( ) lim ( ) (0) 0 0 Limsf s F t F s t Sehingga diperoleh 2 c . Jadi s s sf s 1 arctan 1 ( ) Buktikan Bukti: Misal du u u F t t cos ( ) maka t t F t cos '( ) atau t{F'(t)} cost L{tF'(t)} L{ cost} ds s s sf s 1 ( ) 2 Menurut teorema harga akhir, lim ( ) lim ( ) 0, 0 0 sf s F t s t sehingga c = 0. Jadi atau s s f s 2 ln( 1) ( ) 1 0 2 ln 2 1 ( ) 2 sf s s ln s 1 c 2 1 2 1 ( ) 1 1 ( ) (0) 2 2 s s sf s ds d atau s s sf s F ds d s s du u u L t 2 cos ln 1 2

186 PERSAMAAN DIFERENSIAL g. Perkalian dengan t n Jika L{F(t)} f (s) maka { ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) f s f s ds d L t F t n n n n n Bukti. Karena f s e F t dt st 0 ( ) ( ) maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh: 0 '( ) e F(t)dt ds d f s ds df st e F t dt s st ( ) 0 0 te F(t)dt st 0 e {tF(t)}dt st L{tF(t)} Jadi { ( )} f '(s) ds df L tF t Contoh 1. Tentukan L{tsin at} Jawab 2 2 {sin } s a a L at , maka menurut sifat perkalian dari pangkat t n diperoleh , sehingga 2 2 { sin } ( 1) s a a ds d L t at n n n ds d f s L tF t ( ) { ( )} 1

Bab VI Transformasi Laplace 187 2 2 2 ( ) 2 s a as 2. Tentukan { cos } 2 L t at Menurut sifat di atas, 2 2 2 2 2 2 { cos } ( 1) s a s ds d L t at 2 2 2 2 2 (s a ) a s ds d 2 2 3 3 2 ( ) 2 6 s a s a s h. Sifat pembagian oleh t Jika L{F(t)} f (s) maka 0 ( ) ( ) f u du t F t L Bukti: Misal t F t G t ( ) ( ) maka F(t) tG(t) Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk { ( )} { ( )} ( ) L{G(t)} ds d L F t L tG t atau f s atau ds dg f (s) Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh ds dg f (s) . s g(s) f (u)du s f (u)du

188 PERSAMAAN DIFERENSIAL Jadi 0 ( ) ( ) f u du t F t L Soal-soal 1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan a. F(t) t cos2t b. F(t) tsin 3t c. F(t) t(3sin 2t 2cos5t) d. F(t) t sin t 2 e. F(t) (t 3t 2)sin 3t 2 f. F(t) t cost 3 g. F t t t 2 ( ) sin 2) Jika 0, 1 ,0 1 ( ) 2 t t t F t Carilah L{F''(t)} 3) Diketahui a. carilah L{F(t)} b. carilah L{F'(t)} c. apakah L{F'(t)} sf (s) F(0) berlaku untuk kasus ini 4) Tunjukkan bahwa 0 3 50 3 te sin tdt t 5) Tunjukkan bahwa { } 1 ( ) 2 0 2 t t u L t t e s L u u e du , 1 2 ,0 1 ( ) t t t t F t

Bab VI Transformasi Laplace 189 6) Perlihatkan bahwa a. s a s b t e e L at bt ln b. 2 2 2 2 ln 2 cos cos 1 s a s b t at bt L 7) Tunjukkan bahwa: a. s s du u u L u 1 ln 1 1 1 1 0 b. Jika L{F(t)} f (s) maka 2 0 0 1 ( ) ( ) 1 s f s L dt F u du t t 6.4 Transformasi Laplace Invers Definisi Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F(t)} f (s) maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis ( ) { ( )} 1 F t L f s . 1 L disebut operator transformasi Laplace invers. Contoh. 1. Karena t e s L 2 2 1 maka 2. Karena t e s s L cos 3 3 2 maka 3. Karena a at s a L 1 sinh 2 2 maka 2 2 1 sinh 1 a s a at L Ketunggalan Transformasi Laplace Invers Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama. 3 cos 3 2 1 s s L t 2 1 2 1 s L e t

190 PERSAMAAN DIFERENSIAL Contoh t F t e 3 1 ( ) dan 1 0 1 ( ) 2 3 e untuk t untuk t F t t Mengakibatkan 3 1 { ( )} { ( )} 2 1 1 1 s L F t L F t Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut. Teorema Lerch Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 t N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas. Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini. Nomor f(s) { ( )} ( ) 1 L f x F t 1. s 1 1 2. 2 1 s t 3. , 0,1,2,3,... 1 1 n s n n! t n 4. s a 1 at e 5. 2 2 1 s a a sin at ( ) ( ) 1 L f s F t

Bab VI Transformasi Laplace 191 6. 2 2 s a s cosat 7. 2 2 1 s a a sinh at 8. 2 2 s a s coshat 9. 2 2 2 2 2 (s a ) s a t cosat 6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah: 1) Sifat Linear Misal 1 c dan 2 c adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan ( ) 1 f s dan ( ) 2 f s berturut-turut adalah transformasi Laplace dari ( ) 1 F t dan ( ) 2 F t , maka: { ( ) ( )} { ( )} { ( )} 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 L c F t c F t L c F t L c F t { ( )} { ( )} 2 2 1 1 1 1 L c F t L c F t { ( )} { ( )} 2 1 1 2 1 1 c L F t c L F t ( ) ( ) 1 1 2 2 c f s c f s Contoh 9 12 9 3 9 3 12 2 1 2 1 2 1 s L s s L s s L 9 1 12 9 3 2 1 2 1 s L s s L 3 sin 3 3cos3 12 t t 2) Sifat translasi atau pergeseran pertama Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t maka { ( )} ( ) 1 L f s a e F t at Contoh

192 PERSAMAAN DIFERENSIAL t t s L sinh 3 9 1 2 1 maka 3 sinh 3 ( 2) 9 1 ( 2 13 1 2 2 1 2 1 t e s L s s L t 3) Sifat translasi atau pergeseran kedua Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t maka untuk t a F t a untuk t a L e f s as 0, ( ), { ( )} 1 Contoh t s L sin 1 1 2 1 maka 3 0, 3 ), 3 sin( 9 2 3 1 untuk t t untuk t s e L s 4) Sifat pengubahan skala Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t maka k t F k L f ks 1 { ( )} 1 Contoh Karena t s s L cos 1 2 1 maka diperoleh 3 cos 3 1 (3 ) 1 3 2 1 t s s L 5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t maka { ( )} ( ) (1 ) ( ) 1 ( ) 1 f s t F t ds d L f s L n n n n