Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 43 2.2 Persamaan yang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan diferensial variable terpisah jika bentuk umum M(x, y)dx N(x, y)dy 0 dapat dinyatakan dalam bentuk: f 1 (x)g1 (x)dx f 2 (x)g2 (x)dy 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 dy g y g y dx f x f x F(x)dx G(y)dy 0 Selanjutnya bentuk ( ) ( ) 1 2 1 f x g y disebut faktor integrasi. Selesaian umum persamaan diferensial yang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable yang sejenis dikelompokkan dengan diferensialnya. Perhatikan beberapa contoh berikut ini. 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 2(y 3)dx xydy 0 Jawab Persamaan di atas direduksi menjadi 0 ( 3) 2 y ydy x dx c y ydy x dx ( 3) 2 dy c x y dx 3 3 2 1 dy c y dy x dx 3 3 2 1
44 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2ln x y 3ln y 3 c x y c y 2 3 ln ln ( 3) x y c y 2 3 ln ( 3) c y x y e 2 3 ( 3) y x y ce 2 3 ( 3) Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah y x y ce 2 3 ( 3) 2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial ( 3) 4 x y y dx dy Jawab Persamaan di atas dapat direduksi menjadi: x(y 3)dy 4y dx 0 3 4 x dx dy y y 0 3 4 1 x dx dy y Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh dx c x dy y dy y 3 3 4 1 dx c x dy y dy 3 4 1 y 3ln y 4ln x c y c 3ln y 4ln x 3 4 y c ln y ln x 4 3 y c ln x y
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 45 y c x y e 4 3 y x y ce 4 3 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah y x y ce 4 3 3. Tentukan selesaian persamaan diferensial xydy (y 1)(1 x)dx dengan y(1) 0 Jawab Persamaan di atas setelah direduksi, diperoleh: 0 1 1 dy y y dx x x 0 1 1 1 1 1 dx y dx x Dengan mengintegralkan masing-masing bagian, diperoleh 0 1 1 1 1 1 dy y dx x 0 1 1 dy y dx dy x dx ln x x y ln y 1 c ln x(y 1) c x y c x y x(y 1) e Karena y(1) = 0 maka 1(0+1) = e c 1 0 . Diperleh c = -1 sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan 1 ( 1) x y x y e Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini: 1. (1 ) cot 0 2 dx x y dy 2. cos y dx (1 e )sin y dy 0 x 3. (1 ) 0 2 xydx x dy
46 PERSAMAAN DIFERENSIAL 4. ( 4) ( 1) 0 2 2 x y dx y x dy 5. 3 1 dx xy dy x 7. y y e x x ' sin 1 cos 8. y y dx dy x 3 1 2 9. 2 2 1 sec ' x y y 10. y' y(2 sin x) 11. 8 (1) 0 2 3 x e dengan y dx dy y 12. (0) 1 2 1 3 4 2 2 dengan y y x x dx dy 13. 14. 4 2 cos (0) 2 x y dengan y dx dy 15. y sin x dengan y( ) 3 dx dy 2.3 Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk M(x, y)dx N(x, y)dy 0 disebut persamaan diferensial homogen jika M(x,y) dan N(x,y) fungsi homogen berderajat sama. Definisi: 1. F(x, y) disebut fungsi homogen jika y x F(x, y) G atau x y F(x, y) H
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 47 2. Fungsi F(x, y) disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi syarat F(tx,ty) t F(x, y) n Contoh: 1. y x x F(x, y) adalah fungsi homogen, karena x y H x y x x x y x x F x y 1 1 ( , ) 2. F(x, y) x y adalah fungsi homogen, karena x y F(x, y) 1 atau ( , ) 1 y x F x y 3. F(x, y) 1 xy , bukan fungsi komogen karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk x y atau H y x G 4. 2 2 F(x, y) 3x 2xy y fungsi homogen karena dapat dinyatakan dalam x y atau H y x G 5. F(x, y) ysin x , bukan fungsi homogen. 6. 2 F(x, y) y 1 x bukan fungsi homogen. 7. F(x, y) x y , fungsi homogen berderajat 1, karena: F(tx,ty) (tx) (ty) F(tx,ty) t(x y) F(tx,ty) tF(x, y)
48 PERSAMAAN DIFERENSIAL 8. F(x, y) 3x 2xy y 1 xy 2 2 (x,y) = , fungsi homogen berderajat 0, karena ( ) ( ) 2( ) ( , ) tx ty tx F x y ( ) (2 ) ( , ) t x y t x F x y ( ) (2 ) ( , ) 0 x y x F x y t ( , ) ( , ) 0 F x y t F x y 9. Dengan cara yang sama, 3 2 2 F(x, y) x 2x y 3xy adalah fungsi homogen berderajat 3 dan 2 2 G(x, y) x x y adalah fungsi homogen berderajat 2. 10. F(x, y) sin(x y) bukan fungsi homogen, karena F(tx,ty) t F(x, y) n Jika M(x, y)dx N(x, y)dy 0 adalah persamaan diferensial homogen, maka selesaian umumnya dapat ditentukan dengan cara menyatakan M(x,y) dan dan N(x,y) dalam bentuk y x atau N x y M . Demikian pula untuk N(x,y). Dengan kata lain M(x,y) dan N(x,y) dibagi dengan koefisien diferensial dx dan dy yang berpangkat tertinggi. Setelah dilakukan pembagian pada M(x,y) dan N(x,y), selanjutnya gunakan transformasi y x u atau yu = x . Atau dapat menggunakan transformasi x y v atau xv = y. x y 2x
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 49 Jika yang digunakan transformasi yu x maka diperoleh dx ydu udy . Sebaliknya jika yang digunakan transformasi xv y maka dy xdv vdx . . Akhirnya dx atau dy tetapi bukan keduanya disubstitusikan dalam persamaan diferensial semula M(x, y)dx N(x, y)dy 0 sehingga diperoleh persamaan baru dy 0 y x dx N y x M atau dy 0 x y dx N x y M Dengan memilih transformasi dy xdv vdx maka M(x, y)dx N(x, y)dy 0 Jika yang dipilih transformasi dx ydu udy maka M(x, y)dx N(x, y)dy 0 ( ) dy 0 y x ydu udy N y x M M(uu udy) N(u)dy 0 yM(u)du {uM(u) N(u)}dy 0 0 { ( ) ( )} ( ) uM u N u M u du y dy Bentuk terakhir persamaan yang diperoleh adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabel yang sejenis berkumpul dengan diferensialnya dan dengan mengintgralkan masing-masing bagian akan didapat selesaian umum persamaan diferensial homogen yang diberikan.
50 PERSAMAAN DIFERENSIAL Contoh 1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial ( ) 0 2 2 y x dx xydy Jawab Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena M(x, y) dan N(x, y) adalah persamaan homogen yang berderajat dua. Selanjutnya persamaan dibagi 2 x diperoleh persamaan dy c x y dx x y 1 2 2 Gunakan transformasi atau y ux x y u , dan dy udx xdu ,lalu subtitusikan ke persamaan semula ( 1) 0 2 u dx vdy ( 1) ( ) 0 2 u dx u udx xdu (2 1) ( ) 0 2 u dx u xdu 0 2 1 2 u udu x dx Gunakan integral untuk masing-masing bagian, sehingga: c u udu x dx 2 1 2 c u udu x dx 2 1 4 4 1 2 x ln 2u 1 c 4 1 ln 2 4ln x ln 2u 1 c 2 ln x ln 2u 1 c 4 2
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 51 ln x (2u 1 c 4 2 c x y x x 2 4 2 4 2 x y x c 2 2 4 2 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial ( ) 0 2 2 y x dx xydy adalah x y x c 2 2 4 2 2. Tentukan selesaian persamaan diferensial ( ) 0 2 2 xy y dx x dy dengan y(2) = 1 Jawab Persamaan di atas di bagi dengan x 2 0 2 2 dx dy x y x y Transformasi atau y sx sehingga dy sdx xds x y s Dengan mensubstitusikan ke persamaan asal diperoleh ( ) ( ) 0 2 s s dx sdx xds 0 2 s dx xds 2 s ds x dx = 0 c s ds x dx 2 c s x 1 ln , karena s = x y maka c y x ln x Karena y(2) = 1 maka c 2 ln 2 , sehingga selesaian khusus persamaan di atas adalah ln 2 ln 2 y x x
52 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3. Tentukan selesaian umum persamaan ( ) 3 0 3 3 2 x y dx xy dy (PD homogen) Jawab Persamaan dibagi dengan x 3 Diperoleh 1 3 0 2 2 3 3 dy x y dx x y Misal y Ax x y A dan didapat dy Adx xdA Selanjutnya substitusikan dy dalam persamaan semula didapat persamaan baru (1 ) 3 ( ) 0 3 2 A dx A Adx xdA (1 2 ) (3 ) 0 3 2 A dx x A dA 0 (1 2 ) 3 3 2 x dx dA A A 0 (1 2 ) 3 3 2 x dx A A dA 0 (1 2 ) 6 3 2 2 1 x dx A A dA ln 1 2A ln x c 2 1 3 ln1 2A 2ln x c 3 x c x y ln 1 2 2ln 3 3 x c x x y 2 3 3 3 . 2 ln c x x y 3 3 2 Berdasarkan uraian di atas, selesaian umum persamaan
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 53 ( ) 3 0 3 3 2 x y dx xy dy adalah c x x y 3 3 2 4. Tentukan selesaian umum persamaan (3 2 ) 3y 0 dengan y(1) 1 dx dy x y Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen, karena M(x,y) dan N(x,y) adalah fungsi homogen berderajat sama yaitu satu. (3 2 ) 3y 0 dx dy x y 3ydx (3x 2y)dy 0 3 2 dy 3dx 0 y x Dengan transformasi x uy dan dx udy ydu (3u 2)dy 3(udy ydu) 0 (3u 2 3u)dy 3ydu 0 3 0 2 du y dy du c y dy 3 2 2 ln y 3u c ln y c 3u 2 c u y e 2 x y e c y 3 2 Karena y(1) = 1 maka 1 3.1 2 1 e c didapat c = 3 sehingga selesaiannya dinamakan selesaian khusus (integral khusus)
54 PERSAMAAN DIFERENSIAL yaitu 3 3 2 x y y e Latihan soal 1. Selidiki apakah fungsi berikut homogen, jika homomogen tentukan derajatnya. a. f (x, y) x 2y b. y x f (x, y) e c. xy x y f x y 3 ( , ) 2 2 d. ( , ) sin( ) cos ( ) 2 f x y x y xy e. 2 2 f (x, y) xy y 3x f. 2 2 ( , ) x y x f x y g. f (x, y) x y cosx h. 2 2 2 ( , ) x y xy f x y i. x y f x y 2 ( , ) j. y x y y y x x f x y sin cos ( , ) k. y y y x f x y 3 3 5 9 ( , ) 2. Tentukan selesaian persamaan diferensial homogen berikut ini. a. xy x y dx dy 3 2 2
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 55 b. y dx dy (3x y) 3 c. 2 ( 2 ) y(4x y) dx dy x y x d. 0 2 2 xdy ydx x y dy e. x y x y dx dy tan f. (2x 5y)dx (4x y)dy 0 , dengan y(2) = 1 g. (x y)dx xdy 0 , dengan y(0) = 0 h. (3 ) ' 2 2 x y xy y dengan y(2) = 1 i. x y x y y 2 2 ' dengan y(1) = 3 j. 2 2 x t xt dt dx k. ( ) 0 2 2 2 y dx x y dy dengan y(2) = 1 3. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial M(x, y)dx N(x, y)dy 0 adalah persamaan diferensial homogen berderajat satu jika dan hanya jika M(x, y) dan N(x, y) 4. Tentukan semua selesaian dari persamaan 4 , 0 2 2 y x y untuk x dx dy x 5. Tentukan semua selesaian dari persamaan 0 16 2 2 untuk x x x y y dx dy
56 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2.4 Persamaan M(x,y) dan N(x,y) Linear, tetapi Tidak Homogen Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, disebut persamaan diferensial linear tidak homogen jika M(x,y) dan N(x,y) dalam M(x, y)dx N(x, y)dy 0 adalah fungsi linear. Sehingga berbentuk (ax by c)dx (px qy r)dy 0 Contoh: 1. (x y 2)dx (2x 2y 4)dy 0 2. (x y 1)dx (2x 2y 3)dy 0 3. (3y 7x 7)dx (7y 3x 3)dy 0 4. (3x 2y 1)dx (3x 2y 1)dy 0 Berdasarkan contoh di atas, maka persamaan diferensial tidak homogen dengan M(x,y) dan N(x,y) fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi 3 jenis yaitu: a. Bentuk r c q b p a , (parameter), sehingga diperoleh a p,b q, c r Contoh (x y 2)dx (2x 2y 4)dy 0 b. Bentuk r c tetapi q b p a , Sehingga a p,b q Contoh (x y 1)dx (2x 2y 3)dy 0 (3x 2y 1)dx (3x 2y 4)dy 0 c. Bentuk selain a) dan b) di atas. (3y 7x 7)dx (7y 3x 3)dy 0 (3x 2y 7)dx (3y 2y)dy 0
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 57 Karena bentuknya berbeda-beda, maka selesaian umum persamaan diferensial linear tidak homogen harus menyesuaikan dengan bentuknya. a. Bentuk r c q b p a Karena r c q b p a maka diperoleh a p,b q, c r Sehingga persamaan semula (ax by c)dx (px qy r)dy 0 ( px qy r)dx (px qy r)dy 0 (px qy r)dx (px qy r)dy 0 dx dy 0 dx dy c x y c (persamaan linear) Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial (x y 4)dx (2x 2y 8)dy 0 Jawab Karena 2 1 r c q b p a maka diperoleh p 2a,q 2b,r 2c Sehingga persamaan semula (x y 4)dx (2x 2y 8)dy 0 (x y 4)dx 2(x y 4)dy 0 0 2 1 dx dy dx dy c 2 1 x y c 2 1 x 2y c adalah primitif yang diminta
58 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2. Tentukan selesaian persamaan (3x 3y 6)dx (x y 3)dy 0 Jawab Karena 3 r c q b p a maka diperoleh a 3a,b 3q,c 3r Sehingga persamaan semula (3x 3y 6)dx (x y 3)dy 0 3(x y 2)dx (x y 3)dy 0 3dx dy 0 3dx dy c 3x y c Primitif persamaan di atas adalah 3x y c b. Bentuk r c tetapi q b p a , . Persamaan bentuk q b p a dapat diselesaikan dengan cara menggunakan transformasi ax by u atau px qy v . Berdasarkan transformasi tersebut, dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, sehingga diperoleh: d(ax) d(by) d(u) adx bdy du adx du bdy a du bdy dx atau adx bdy du bdy du adx b du adx dy
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 59 Dengan cara yang sama jika yang digunakan transformasi px qy v , diperoleh bentuk q dv pdx dy atau p dv pdx dx Pilih dx atau dy akan tetapi tidak keduanya, dan substitusikan ke persamaan diferensial semula. (ax by c)dx (px qy r)dy 0 0 1 (u c)dx u r dy 0 1 ( ) u r dy a du bdy u c Atau 0 1 ( ) b du adx u c dx u r Persamaan di atas adalah persamaan yang dapat direduksi ke persamaan diferensial dengan variable terpisah (separable). Contoh: 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial (x y 1)dx (2x 2y 3)dy 0 dengan y(0) = 0 Jawab Dari persamaan (x y 1)dx (2x 2y 3)dy 0, diperoleh a = 1, b = 1, c = 1, p = 2, q = 2, dan r = 3. Sehingga = . Selanjutnya gunakan transformasi x y u atau 2x 2y v Jika transformasi yang digunakan x y u maka diperoleh (u 1)dx (2u 3)dy 0 . 2 1
60 PERSAMAAN DIFERENSIAL Selanjutnya bentuk transformasi x y u didiferensialkan dx dy du dan diperoleh dx du dy atau dy du dx . Cara I (u 1)dx (2u 3)dy 0. (u 1)(du dy) (2u 3)dy 0 (u 1)du (2u 3 u 1)dy 0 (u 1)du (u 2)dy 0 direduksi menjadi PD Separable, diperoleh: 0 2 1 du u u dy du c u u dy 2 1 du c u dy du 2 1 1 y u ln u 2 c y (x y) ln x y 2 c x 2y c ln x y 2 x 2y c y u ln u 2 c 2 ( 2 ) e x y x y c Karena y(0) = 0, maka selesaian khusus persamaan (x y 1)dx (2x 2y 3)dy 0 adalah 2 ( 2 ln 2) e x y x y Cara II (u 1)dx (2u 3)(du dx) 0 (u 1 2u 3)dx (2u 3)du 0 ( u 2)dx (2u 3)du 0
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 61 (u 2)dx (2u 3)du 0 0 2 2 3 du u u dx du c u u dx 2 2 3 du c u dx du 2 1 1 x u ln u 2 c x (x y) ln x y 2 c ln x y 2 c y c y (x y 2) e Karena y(0) = 0 maka didapat c = ln 2 sehingga selesaian khusus persamaan diferensial di atas adalah x y x y e ln ( 2) 2. Tentukan selesaian persamaan (3x 2y 1)dx (3x 2y 1)dy 0 (jenis 2) Jawab Transformasikan 3x 2y u sehingga 3dx 2dy du dan diperoleh: 2 3 3 2 du dx atau dy du dy dx akibatnya persamaan (3x 2y 1)dx (3x 2y 1)dy 0 dapat dinyatakan dalam bentuk (u 1)dx (u 1)dy 0 Pilih dx atau dy, lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh ( 1) 0 3 2 ( 1) u dy du dy u (u 1)(du 2dy) 3(u 1)dy (u 1)du (2u 2 3u 3)dy 0
62 PERSAMAAN DIFERENSIAL 0 5 1 1 du dy u u du dy c u u 5 1 1 du dy c u du 5 1 5 25 6 5 1 u y c u ln 5 1 25 6 5 x y y c x y ln 5(3 2 ) 1 25 6 5 3 2 Bentuk yang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan 1 dan 2. Dalam menentukan selesaiannya gunakan transformasi (ax by c) u dan (px qy r) v Selanjutnya diferensial kan kedua bentuk transformasi di atas sehingga diperoleh d(ax) d(by) d(c) d(u) dan d(px) d(qy) d(r) d(v) adx bdy du dan pdx qdy dv Eleminasikan dx dan dy pada hasil differesial yang diperoleh secara berurutan yaitu: pdx qdy dv adx bdy du selanjutnya kalikan persamaan pertama dengan p dan kalikan persamaan kedua dengan a, maka diperoleh: apdx pbdy pdu apdx aqdy adv (pb aq)dy pdu adv bp aq pdu adv dy Dengan cara yang sama diperoleh
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 63 aq bp qdu bdv dx Substisusikan dx dan dy dalam persamaan semula, yaitu: (ax by c)dx (px qy r)dy 0 0 bp aq pdu adv v aq bp qdu bdv u Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda diferensial du dan dv, dan termasuk dalam persamaan diferensial homogen. Primitifnya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial homogen. Contoh 1 . Tentukan selesaian umum persamaan (3y 7x 7)dx (7y 3x 3)dy 0 Jawab Transformasikan u 3y 7x 7 dan v 7y 3x 3 Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian, diperoleh: du 3dy 7dx dan dv 7dy 3dx Elimasikan dx dan dy berurutan, diperoleh: dy dx dv dy dx du 7 3 3 7 atau dy dx dv dy dx du 49 21 7 9 21 3 didapat 40dy 3du 7dv 40 7dv 3du dy Dengan cara yang sama diperoleh
64 PERSAMAAN DIFERENSIAL 40 3dv 7du dx Substitusikan dy dan dx kepersaman semula, sehingga diperoleh (3y 7x 7)dx (7y 3x 3)dy 0 0 40 7 3 40 3 7 dv du v dv du u 40u(3dv 7du) 40v(7dv 3du) 0 (persamaan diferensial homogen) (3u 7v)dv (7u 3v)du 0 Bagi persamaan dengan v, diperoleh 3 7 7 3 du 0 v u dv v u Transformasikan atau u vt v u t sehingga du vdt tdv Persamaan di atas adalah persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah. (3dt 7)dv (7t 3)(vdt tdv) 0 (3 7 7 3 ) (7 3) 0 2 t t t dv t dt 0 (7 7 ) (7 3) 2 dt t t v dv dt c t t v dv 2 7 7 7 3 0 1 1 ln 7 3 ln 1 2 1 ln 2 t t v t Dengan mensubstitusi 3 7 7 7 3 3 7 3 3 y x y x v y x dan t diperoleh selesaian umum persamaan (3y 7x 7)dx (7y 3x 3)dy 0
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 65 2 . Tentukan selesaian umum persamaan (3x 2y 1)dx (3x 2y)dy 0 Jawab. Transformasikan u 3x 2y 1 dan v 3x 2y du 3dx 2dy dan dv 3dx 2dy Selanjutnya dieliminasi dx dan dy berturut dan diperoleh: 4 dv du dy dan 6 du dv dx Substitusikan dy dan dx ke persamaan semula dan diperoleh (3x 2y 1)dx (3x 2y)dy 0 0 6 4 dv du v du dv u 4u(du dv) 6v(dv du) 0 (4u 6v)du (4u 6v)dv 0 4 6 4 6 dv 0 u v du u v Transformasikan v up u v p sehingga dv udp pdu Substitusikan kepersamaan di atas, diperoleh (4 6p)du (4 6p)9udp pdu) 0 (4 6 4 6 ) (4 6 ) 0 2 p p p du p udp 0 (4 10 6 ) (4 6 ) 2 p p p dp u du dp c p p p u du (6 2)( 2) 4 6 dp c p p p u (6 2)( 2) 4 6 ln x y p ln p 2 c 5 8 ln 6 2 5 18 ln 3 2 1
66 PERSAMAAN DIFERENSIAL c x y x y x y x y x y 2 3 2 1 3 2 ln 5 8 2 3 2 1 3 2 ln 6 5 18 ln 3 2 1 2.5 Persamaan Diferensial Eksak (PDE) Persamaan diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 disebut persamaan diferensial eksak jika dan hanya jika memenuhi syarat: x N x y y M (x, y) ( , ) Contoh 1. (x y)dx (x y)dy 0 adalah PD eksak karena 1 ( , ) ( , ) y M x y M x y x y 1 ( , ) ( , ) x M x y N x y x y sehingga x N x y x M (x, y) ( , ) 2. (x y cosx)dx sin xdy 0 , adalah PD eksak karena x y M x y M x y x y x cos ( , ) ( , ) cos x x N x y N x y x cos ( , ) ( , ) sin Sehingga x N x y x M (x, y) ( , ) 3. y(x-2y) dx – x2 dy = 0, bukan persamaan diferensial eksak, x y y M x y M x y y x y 4 ( , ) ( , ) ( 2 ) x x M x y N x y x 2 ( , ) ( , ) 2 sehingga x N x y x M (x, y) ( , )
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 67 Karena maka persamaan di atas bukan persamaan diferensial eksak. Dengan cara yang sama, persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena y M (x, y) x N(x, y) . 1. ( ) 0 2 2 x y dx xydy .............persamaan diferensial homogen 2. 0 2 2 dx a x dy .......... persamaan diferensial yang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah (separable) 3. (x y 1)dx (x y 3)dy 0 ………..persamaan diferensial tidak homogen Persamaan diferensial eksak mempunyai selesaian umum F(x, y) c Menurut definisi diferensial total untuk F(x, y) c , diperoleh: dF(x, y) d(c) 0 ( , ) ( , ) dy y F x y dx x F x y Berdasarkan bentuk M(x, y)dx N(x, y)dy 0 dan 0 ( , ) ( , ) dy y F x y dx x F x y maka diperoleh ( , ) ( , ) M x y x F x y dan ( , ) ( , ) N x y y F x y Berdasarkan kesamaan di atas, maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak yang berbentuk F(x, y) c dapat dilakukan dengan dua cara. y M (x, y) x N(x, y)
68 PERSAMAAN DIFERENSIAL Cara I ( , ) ( , ) M x y x F x y dan ( , ) ( , ) N x y y F x y Dari kesamaan di atas diperoleh M x y F x y M x y dx x F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = x M x y dx G y N x y y ( , ) '( ) ( , ) x M x y dx y G'(y) N(x, y) ( , ) M x y dx dy y G y N x y dx x ( ) ( , ) ( , ) Substitusikan G(y) dalam x F(x, y) M (x, y)dx G( y) yang merupakan selesaian umum persamaan diferensial Cara II ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) M x y x F x y N x y dan y F x y Dari kesamaan di atas diperoleh y F(x, y) N(x, y)dy F(x, y) N(x, y)dy H(x) ( , ) ( , ) '( ) ( , ) ( , ) N x y dy H x M x y x M x y x F x y y M (x, y) dx G( y) x ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) M x y dx G y N x y y N x y y F x y x
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 69 N x y dy x H'(x) M (x, y) ( , ) N x y dy y H(x) M (x, y) ( , ) dx Substitusikan H(x) ke persamaan semula y F(x, y) N(x, y) H(x) Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini: (2x 3y 4)dx (3x 4y 5)dy 0 Jawab 3 ( , ) ( , ) 2 3 4 y M x y M x y x y dan 3 ( , ) ( , ) 3 4 5 y M x y N x y x y berarti persamaan di atas adalah eksak. Selesaian PD di atas adalah F(x, y) c . Untuk mendapatkan F(x, y) c dapat digunakan kesamaan ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) M x y x F x y N x y dan y F x y . 3 4 5 ( , ) x y y F x y F(x, y) (3x 4y 5)dy 3 2 5 ( ) 2 xy y y f x ( , ) ( , ) M x y x F x y 3y f '(x) 2x 3y 4 f '(x) 2x 4
70 PERSAMAAN DIFERENSIAL f (x) x 4x c 2 Sehingga primitif persamaan adalah F(x, y) 3xy 2y 5y x 4x c 2 2 2. (x y cosx)dx sin xdy 0 Jawab x y M x y M x y x y x cos ( , ) ( , ) cos x x N x y N x y x cos ( , ) ( , ) sin Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk F(x,y) = c. Untuk mendapatkan F(x,y) = c digunakan kesamaan ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) N x y y F x y M x y dan x F x y x y x F x y x y x dx x F x y cos ( , ) ( cos ) ( , ) sin ( ) 2 1 2 x y x G y x y x G y x y x y F x y sin ( ) sin 2 1 sin ( , ) 2 sin x G'(y) sin x G'(y) 0 G(y) c Diperoleh selesaian umum persamaan F x y x y sin x c x 2y sin x c 2 1 ( , ) 2 2 Soal-soal A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak 1. (3x 2y)dx (2x y)dy 0
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 71 2. ( 3) (2 4) 0 2 y dx xy dy 3. (6 2 5) (3 4 6) 0 2 2 xy y dx x xy dy 4. 0 2 1 2 2 dy y x x dx y x 5. (cosxcos y y)y' tan x sin xsin y 6. (5 4 1) ( 2 ) 0 2 2 xy y dx x xy dy 7. xdx ydy (x y )dx 2 2 8. 2 ( 1) 0 1 2 ( ) 3 2 y x dy x y dx x x y y y 9. 2( ) ( ) 0 2 2 2 x xy dx x y dy 10. 0 1 1 4 1 2 2 3 dy y x dx x y B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini: 1. 2 ( 3) 0 2 xydx x dy 2. 0 1 1 dy y xy dy x xy 3. 0 1 2 2 2 2 dy x y x dx x y y x 4. ( 2 ) 2 0 2 y x dx xy dy 5. 6. (y cos(xy) sin x)dx xcos(xy)dy 0 7. (2 cos ) ( sin 2 ) 0 2 xy y dx x x y y dy 8. (3 ln ) 0 (1) 5 2 2 x x x y dx xdy dan y 9. 2 4 3sin (2 ) 0 2 xy x dan y dx dy x
72 PERSAMAAN DIFERENSIAL 10. 0 2 ( ye cos x)dx xe dy 0 dan y xy xy 2.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak (PDTE) M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan diferensial tidak eksak jika dan hanya jika: Persamaan diferenisal tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifnya dengan cara mencari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralnya, maka persamaan diferensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan diferensial eksak. Faktor integral persamaan diferensial tidak eksak dinyatakan dengan (x,y). Setelah diketahui faktor integralnya , maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk: 0 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) persamaan diferensial ekasak x y M x y dx x y N x y dy persamaan diferensial tingkat satu derajat satu M x y dx N x y dy 0 ( , ) ( , ) Dengan M(x, y) (x, y)M(x, y) dan N(x, y) (x, y)N(x, y) Sehingga diperoleh persamaan yang merupakan persamaan diferensial tingkat satu berupa persamaan diferensial eksak yang memenuhi sifat x N x y y M (x, y) ( , ) dengan x N x y x M (x, y) ( , )
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 73 M(x, y) (x, y)M(x, y) dan N(x, y) (x, y)N(x, y) Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan diferensial eksak, sehingga selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial eksak. Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak? Karena persamaan eksak, maka: x N y ( M ) ( ) x N x N y M y M y M x N x N y M y M x N x N y M 1 dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus: a. Misal (x, y) (x) yaitu fungsi bervariabel x saja, maka 0 y dan dx d x , sehingga .0 1 M dx d N x N y M N x N y M dx 1 d Jika N x N y M suatu fungsi dari x atau f(x), maka dari
74 PERSAMAAN DIFERENSIAL N x N y M dx 1 d didapat f x dx d f x atau dx d ( ) ( ) 1 f x dx d ( ) ln f (x) dx f x dx e ( ) adalah faktor integral yang dicari b. Misal (y) yaitu fungsi bervariabel y saja maka 0 x dan dy d y = dy d , sehingga y M x N x N y M . 1 y N M x N y M .0 . 1 M x N y M dy 1 d Jika M x N y M suatu fungsi dari y atau g(y), maka dari M x N y M dy 1 d didapat
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 75 ( ) ( ) 1 g y d q y atau dy d g y dy d ( ) ln g(y)dy g y dy e ( ) adalah faktor integral yang dicari c. Jika M(x, y)dx N(x, y)dy 0 adalah persamaan diferensial homogen dengan xM(x, y)dx yN(x, y)dy 0 maka faktor integral ( , ) ( , ) 1 ( , ) xM x y yN x y x y d. Jika M(x, y)dx N(x, y)dy 0 dapat ditulis yF(xy)dx xF(xy)dy 0 dengan f(xy) g(xy) maka ( , ) ( , ) 1 ( ( ) ( )) 1 ( , ) xy F xy G xy xM x y yN x y x y e. Seringkali faktor integral (x,y) dapat diperoleh dengan pemeriksaan, hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaannya. Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan diferensial eksak. Contoh 1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut dengan terlebih dahulu menentukan faktor integrasinya. ( ) 0 2 2 x y x dx xydy
76 PERSAMAAN DIFERENSIAL Jawab y y M x y M x y x y x 2 ( , ) ( , ) 2 2 y x N x y N x y xy ( , ) ( , ) Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena x N x y y M (x, y) ( , ) Selanjutnya dicari (x,y) sebagai faktor integrxasi Karena ( ) 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) f x xy x y y N x y x N x y y M x y Maka x y e e x x f x dx ln ( ) ( , ) . Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu {( ) 0} 2 2 x x y x dx xydy {( ) 0} 3 2 2 2 x xy x dx x ydy Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian ( ) 0 2 2 x y x dx xydy yaitu 3 4 6 0 4 3 2 2 x x x y 2. Tentukan selesaian umum persamaan (2 2 ) ( 3 ) 0 4 3 2 4 2 2 xy e xy y dx x y e x y x dy y y Jawab (8 2 ) 6 1 ( , ) 3 4 2 xy e xy xy y M x y y 2 2 3 ( , ) 4 2 xy e xy x N x y y Sehingga persamaan di atas tidak eksak. Selanjutnya dicari (x,y) sebagai faktor integrasi
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 77 Karena ( ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) g y N x y y x N x y y M x y Maka 4 ( ) 1 y e g y dy Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak yaitu 0 2 2 3 4 2 4 2 2 4 4 3 dy y x y e x y x dx y xy e xy y y y Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian persamaan (2 2 ) ( 3 ) 0 4 3 2 4 2 2 xy e xy y dx x y e x y x dy y y adalah c y x y x x e y 3 2 2 Latihan A. Tentukan faktor integral persamaan berikut: 1) ( ) 0 4 4 3 x y dx xy dy 2) ( 2 ) 0 2 y x y dx x dy 3) xdy ydx x e dx 2 x 4) 0 2 y dy ydx xdy 5) 3 4( 3) 0 2 2 3 x y dx x y dy B. Berdasarkan faktor integrasi yang diperoleh tentukan selesaian persamaan: 1) ( 1) 0 2 xy dx x dy 2) (2 ) 0 4 ydx x y dy
78 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3) ( ) 2 0, 0 2 y x dx xydy x 4) (3 2 ) ( ) 0 1 2 xy y dx x x y dy 5) ( sin ) 0 2 3 3 x ydx y x e y dy y C. Buktikan bahwa jika g( y), M M y Nx adalah fungsi y saja, maka faktor integrasi untuk M(x, y)dx N(x, y)dy 0 adalah g y dy f y e ( ) ( ) 2.7 Persamaan Berbentuk y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0 Persamaan yF(xy)dx xG(xy)dy 0 juga disebut persamaan diferensial tingkat satu derajat satu karena bentuknya M(x, y)dx N(x, y)dy 0 Selesaiannya dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi xy = z, sehingga y = x z . Dengan menurunkan masing-masing variable diperoleh 2 x xdz zdx dy . Substitusikan bentuk 2 x xdz zdx dy ke persamaan semula M(x, y)dx N(x, y)dy 0 , , 0 2 x xdz zdx x z dx N x x z M x Dengan cara penyederhanaan diperoleh persamaan baru yang bentuk umumnya adalah M(x,z)dx N(x,z)dz 0 dan persamaan bentuk tersebut merupakan persamaan yang dapat dipisahkan variabel-variabelnya. Contoh.
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 79 1. Tentukan selesaian umum persamaan ( ) ( ) 0 2 2 3 2 xy y dx x x x y dy Jawab ( ) ( ) 0 2 2 3 2 xy y dx x x x y dy ( 1) (1 ) 0 2 2 y xy dx x xy x y dy Transformasikan x z y , dengan menurunkan masingmasing variable diperoleh 2 x xdz zdx dy . Sehingga persamaan semula menjadi ( 1) (1 ) 0 2 2 x xdz zdx z dx x z z x z 0 1 3 2 dz z z z x dx 0 3 2 z dz z dz z dz x dx Dengan mensubstitusikan xy = z diperoleh selesaian persamaan 2 2 2 2 2x y ln y 2xy 1 cx y 2. Sebagai latihan bagi pembaca, tentukan selesaikan persamaan di bawah ini dengan menggunakan cara seperti contoh 1 di atas. Sebagai latihan, tentukan selesaian umum persamaan 1) ( 1) (1 ) 0 2 2 y xy dx x xy x y dy 2) ( ) ( ) 0 2 2 y xy dx x x y dy (1 ) 0 3 2 x dx x z z dz c z dz z dz z dz x dx 3 2 z c z z x ln 1 2 1 ln 2
80 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3) (1 ) ( ) 0 2 2 3 2 xy x y dx x y x dy dengan y(1) = 0 4) y(1 2xy)dx x(1 xy)dy 0 dengan y(0) = 0 5) y(1 xy)dx x(xy 3)dy 0 2.8 Trayektori Suatu kurva yang memotong setiap persamaan keluarga kurva atau dari sebaliknya dengan sudut tetap disebut trayektori dari persamaan diferensial yang diketahui. Jika besar sudut = 90o maka disebut trayektori ortogonal, sedangkan jika besar sudut 90º maka disebut trayektori isogonal. a. Trayektori Isogonal Integral kurva dari persamaan f(x,y, 0 1 'tan ' tan , , y y f x y adalah trayektori isogonal dengan sudut tetap dari persamaan diferensial f(x,y,y’) = 0 b. Trayektori Ortogonal Jika = 90º maka trayektorinya disebut trayektori ortogonal Integral kurva dari persamaan diferensial 0 ' 1 , , y f x y adalah trayektori orthogonal dari persamaan f(x,y,y’) = 0. Jika dinyatakan dalam koordinat polar, integral kurva dari persamaan diferensial , , 0 2 d dr f r r adalah trayektori ortogonal dari integral kurva , , 0 d dr f r Jika suatu persamaan hendak ditentukan trayektorinya, maka beberapa langkah yang ditempuh adalah. 1. Tentukan persamaan diferensial dari persamaan keluarga kurva yang diketahui . Jika persamaan yang diketahui masih terdapat parameter maka parameter harus dieliminir terlebih dahulu.
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 81 2. Tentukan persamaan diferensial dari trayektorinya. a. Bila trayektorinya ortogonal dilakukan penggantian dx dy dengan - dy dx pada persamaan diferensial nya. b. Bila trayektori isogonal dengan sudut tetap maka lakukan penggantian dx dy dengan 1 tan tan dx dy dx dy pada persamaan diferensial nya. c. Bila trayektori = 45º maka lakukan penggantian dx dy dengan dx dy dx dy 1 1 pada persamaan diferensial nya. d. Bila trayektorinya dalam koordinat polar maka lakukan penggantian d dr dengan d dr r 2 . 3. Selesaikan persamaan diferensial baru tersebut dengan metode yang sesuai sehingga diperoleh persamaan trayektori yang diminta. Contoh 1. Tentukan trayektori ortogonal persamaan keluarga kurva x y c dengan c real 2 2 2 Jawab Persamaan diferensial dari persamaan x y c 2 2 2 adalah ( ) (2 ) ( ) 2 2 d x d y d c 2xdx 4ydy 0
82 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2 4 0 dx dy x y Untuk mendapatkan trayektori ortogonal adalah mengganti dx dy dengan - dy dx , sehingga 2 4 0 dx dy x y 2 4 0 dy dx x y 2xdy 4ydx 0 2 4 0 x dx y dy c x dx y dy 2 4 y x c 4 2ln 4ln y x c 2 4 ln lnc x y 4 2 ln2 4 y cx 2. Sebagai latihan bagi pembaca, Tentukan trayektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva 1) ( ) 2 0 2 2 x y cx 2) 3 0 2 2 y x cx 3) 0 2 2 y x c 4) x y cxy 2 2 2 ( ) 5) x y x 1 ce 2 6) r c cos 7) c x x y 2 2
Bab II Persamaan Tingkat Satu Derajat Satu 83 8) Tentukan trayektori isogonal dengan sudut tetap = 45º dari persamaan keluarga kurva a. 2 ( ) 2 2 x y c x y b. 2 2 2 x y c 2.9 Soal-soal A. Dengan menggunakan metode yang sesuai, tentukan selesaian umum persamaan diferensial di bawah ini. 1. y x y 1 ' 2. y' y 2x 1 3. (2 2 ) ( ) 0 2 xy y x dx x x dy 4. 1 1 ' 2 2 y x y 5. 0 1 1 2 dx xy x x dx xy y 6. (2 sin cos ) ( cos ) 0 2 2 x xy x y xy dx M x xy dy 7. y' xy 2xy 2 8. ( ) ( ) 0 2 2 2 y y dx y x xy dy 9. y x x y y 2 2 ' 10. (2x y 1)dx (x 3y 2)dy 0 B. Tentukan selesaian masalah nilai awal 1. y' (1 y )tan x 2 dengan y(0) = 3 2. x y dx dy 2 2 cos dengan y(0) = 4 3. ( 3 ) 2 0 2 2 x y dx xydy dengan y(2) = 6 4. (2 3) ( 4 ) 0 2 xy dx x y dy dengan y(1) = 2
84 PERSAMAAN DIFERENSIAL 5. 0 3 1 2 2 2 dy xy y dx x y C. Tentukan M(x,y) dan A sedemikian sehingga persamaan berikut eksak. 1. ( ) ( , ) 0 3 2 x xy dx M x y dy 2. ( , ) 0 1 2 2 3 dx M x y dy y x x y 3. ( 3 ) ( 4 ) 0 2 2 x xy dx Ax y dy 4. 0 1 1 3 2 2 dy x x dx x y x Ay 5. 0 1 1 1 2 2 3 dy y Ax dx x y D. Tentukan faktor integrasi dan selesaian persamaan di bawan ini 1. xdy ydx (x y )dx 2 2 2. (2y 3x)dx xdy 0 3. ( ) 2 0 2 x y dx xydy 4. xdy ydx 3x (x y )dx 2 2 2 5. ydx xdy ln x dx 0 6. (3 ) 2 0 2 2 x y dx xydy 7. (x y)dx (x y)dy 0 8. ( ) 0 2 x y dx x dy
Bab III Persamaan Diferensial Linier 85 BAB III PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial linear dan dapat mengaplikasikannya dalam menentukan selesaian khusus masalah nilai awal. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial linear dengan menggunakan cara faktor integral. 2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial linear dengan metode Lagrange. 3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial linear dengan cara mengubah persamaan diferensial menjadi persamaan diferensial eksak. 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial linear dengan cara persamaan Bernoulli. Persamaan diferensial yang dijelaskab pada bab III dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial linear, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear yang meliputi: cara faktor integral, metode Lagrange, mengubah persamaan diferensial linear menjadi persamaan diferensial eksak, dan persamaan Bernoulli. . 3.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Linear Persamaan diferensial linear dikategorikan sebagai persamaan diferensial tingkat satu derajat satu, sehingga bentuk umum persamaan diferensial linear dapat dinyatakan dengan
86 PERSAMAAN DIFERENSIAL M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Dalam hal yang lebih khusus persamaan diferensial linear tingkat satu dinyatakan dalam bentuk umum ( ) ( ) ( ) 1 p x y q x dx dy p x o dimana ( ) 0, ( ), ( ) 1 p x p x q x o adalah fungsi x yang tidak bergantung kepada variabel y. Jika masing-masing bagian pada persamaan diferensial linear di atas dibagi dengan p1(x) maka diperoleh bentuk: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 p x q x y p x p x dx dy o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 p x q x dan Q x p x p x P x y Q x dengan P x dx dy o P(x) dan Q(x) kontinu dalam suatu interval I Real. Contoh: 1. xy x P x x Q x x dx dy 2 4 , ( ) 2 , ( ) 4 2. y x P x Q x x dx dy (2 2 ), ( ) 1, ( ) 2 2 3. , ( ) 1 2 3 (2 3 ) , ( ) 3 2 3 2 3 Q x x x x y x P x dx dy x 4. yln x (x ln y)dy 0 0 ln ln y y x y dy dx y Q x y y P y y y y y y x dy dx 1 , ( ) ln 1 , ( ) ln ln ln 5. y x x x dx dy sin x cos sin 2 2 2 y cot x x , P(x) cot x,Q(x) x dx dy
Bab III Persamaan Diferensial Linier 87 Contoh persamaan 1-5 di atas adalah persamaan diferensial linear tingkat satu. Selanjutnya perhatikan persamaan diferensial tingkat satu derajat satu berikut ini. 6. xy x dx dy 3 sin 2 7. sin 1 3 x y x e dx dy 8. 2 y xy dx dy , 9. y x y dx dy 2 10. xdy y xdx 2 sin y 2 . Contoh 6-10 di atas bukan persamaan diferensial linear karena Q(x) bukan fungsi x yang tidak bergantung pada y sebagaimana syarat yang disebutkan dalam bentuk umum dan tidak sesuai dengan bentuk P(x) y Q(x) dx dy . 3.2 Cara Menentukan Selesaian Persamaan Liner Persamaan diferensial linear P(x) y Q(x) dx dy dapat ditentukan selesaian umumnya dengan beberapa cara. Masingmasing cara menggunakan pendekatan yang berbeda, walaupun pada akhirnya diperoleh bentuk umum selesaian yang sama. Beberapa cara untuk menentukan selesaian umum persamaan diferensial linear adalah: 1) menggunakan cara faktor integral 2) menggunakan metode Lagrange 3) mengubah Persamaan Menjadi PD Eksak 4) menggunakan cara persamaan Bernoulli
88 PERSAMAAN DIFERENSIAL 1. Cara Faktor Intregral Misal selesaian P(x) y Q(x) dx dy adalah y uv , dimana u dan v masing-masing fungsi dari x sehingga y' u'v uv' . Dengan cara substitusi y dan y’ ke persamaan P(x) y Q(x) dx dy diperoleh: (u'v uv') P(x)uv Q(x) v(u' P(x)u) uv' Q(x) Jika dimisalkan u' P(x)u 0 maka uv' Q(x) , Akibatnya untuk u' P(x)uv 0 diperoleh P x u dx du ( ) P x dx u du ( ) P x dx u du ( ) ln u P(x)dx P x dx u e ( ) Substitusikan u ke uv’ = Q(x), sehingga didapatkan u Q x v ( ) ' u Q x x dv ( ) dx u Q x dv ( ) dx u Q x v ( ) dx c u Q(x)
Bab III Persamaan Diferensial Linier 89 dx e Q x P( x)dx ( ) Q x e dx c P(x)dx ( ) Karena selesaiannya y = uv, maka selesaian umum (primitif) persamaan diferensial linear P(x) y Q(x) dx dy adalah y e Q x e dx c P(x)dx P(x)dx ( ) ye Q x e dx c P(x)dx P(x)dx ( ) selanjutnya P x dx e ( ) dinamakan faktor integral (I) Contoh soal 1. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial liner di bawah ini y x dx dy 2 2 Jawab P(x) 1 dan Q(x) 2 2x Faktor integralnya x dx I e e 1 Sehingga selesaian umumnya persamaan y x dx dy 2 2 adalah ye x e dx x x (2 2 ) y e e xe dx x x x (2 2 ) y e e dx e xe dx x x x x 2 2 y 2e (2e c) 2e (xe e c) x x x x x
90 PERSAMAAN DIFERENSIAL x x y 4 ce 2x 2 ce x y 2x 2ce x y 2x 2e Sehingga primitif persamaan dari y x dx dy 2 2 adalah x y 2x 2e 2. Tentukan selesaian umum persamaan ln y dx (x ln y) dy 0 Jawab ln y dx (x ln y) dy 0 y x dy y y dx 1 ln 1 y dan Q y y y P y 1 ( ) ln 1 ( ) Faktor integral e e e y y y y dy P y dy ln ln ln(ln ) ( ) Selesaian umum persamaan y x dx dy 2 2 adalah xe Q y e dy P( y)dy P( y)dy ( ) y dy y x y ln 1 ln ln y d(ln y ) y c 2 ln 2 1 Persamaan linear ln y dx (x ln y) dy 0 mempunyai selesaian umum x y y c 2 2 ln ln
Bab III Persamaan Diferensial Linier 91 3. Tentukan selesaian umum persamaan 3 2 3 (2 3x ) y x dx dy x Jawab Persamaan di atas dibagi dengan x 3 diperoleh persamaan linear baru 1 2 3 3 y dx x x dy x x P x 2 3 ( ) 3 dan Q(x) 1 Sehingga faktor integralnya x x dx x x P x dx e e e ln 2 3 1 ( ) 3 Selesaian umumnya ye Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( ) e dx x x 3 2 ln 1 1. e e dx x x 2 3 ln x e dx x 2 3 ye e c x x x 2 3 3 1 ln 1 2 1 Sehingga persamaan diferensial linear 3 2 3 (2 3x ) y x dx dy x mempunyai selesaian ye e c x x x 2 3 3 1 ln 1 2 1
92 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2. Cara Lagrange Menyelesaikan persamaan diferensial linear P(x) y Q(x) dx dy dapat juga dilakukan dengan cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan mengubah konstanta c menjadi fungsi dari x atau c(x). Perhatikan kembali persamaan P(x) y Q(x) dx dy y' P(x)y Q(x) Ambil y’ + P(x)y = 0, maka P x y dx dy ( ) P x dx y dy ( ) P x dx y dy ( ) ln y P(x) dx P x dx y e ( ) ( ) ( ) 1 P x dx C x y e P x dx c x y e e ( ) ( ) . P x dx y c x e ( ) ( ). Selanjutnya akan dicari fungsi c(x) dari persamaan P x dx y c x e ( ) ( ). maka P x dx y c x e ( ) ln ln ( ) P x dx y c x e ( ) ln ln ( ) ln