Persamaan Diferensial

Bab III Persamaan Diferensial Linier 93 ln y ln c(x) P(x)dx Jika persamaan di atas dideferensialkan terhadap x, diperoleh: ( ) ( ) ( ) 1 1 P x dx dc x dx c x dy y ( ) ( ) ( ) 1 P x dx dc x c x y dx dy ( ) ( ) ( ) yP x dx dc x c x y dx dy Dari persamaan ( ) ( ) 1 ( ) P x dx C x y c x e diperoleh: dx dc x c x c x e P x y dx dy P x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx dc x Q x e P x dx ( ) ( ) ( ) P x dx Q x e dx dc x ( ) ( ) ( ) c x Q x e dx P(x)dx ( ) ( ) Dengan mensubtitusikannya ke dalam P x dx y c x e ( ) ( ). maka diperoleh selesaian umum persamaan dengan metode Lagrange P x dx P x dx y Q x e dx e ( ) ( ) ( ) atau dapat dinyatakan dengan ye Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( )

94 PERSAMAAN DIFERENSIAL Contoh soal 1 Tentukan selesaian umum persamaan x y x e dx dy cos cot 5 Jawab x P x x dan Q x e cos ( ) cot ( ) 5 Sehingga faktor integralnya e e x s x dx sin ln sin cot Selesaian umum persamaan yang dicari adalah: ye Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( ) y x e x dx x sin 5 (sin ) cos sin 5 ( cos ) cos y x e d x x y x e c x sin 5( ) cos 2. Tentukan selesaian persamaan 3 ( 2) y 2(x 2) dx dy x Jawab Persamaan dibagi dengan (x-2) diperoleh: 2 2( 2) ( 2) x x y dx dy 2 ( ) 2( 2) ( 2) 1 ( ) dan Q x x x P x Faktor integral 2 ( 2) ln( 2) 1 1 ( ) x e e e x dx x P x dx Selesaian umum persamaan diperoleh 3 ( 2) y 2(x 2) dx dy x ye Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( )

Bab III Persamaan Diferensial Linier 95 dx x x x y 2 1 2( 2) 2 1 2 x dx x y 2 ( 2) 2 x x c x y 2 2 1 2 2 2 y x x 2x c 2 1 2( 2) 2 3. Mengubah Persamaan Menjadi Persamaan Diferensial Eksak. Karena P(x) y Q(x) dx dy atau (P(x)y Q(x))dx dy 0 belum merupakan persamaan diferensial eksak untuk P(x) 0, maka perlu mencari faktor integralnya. Misal u(x) faktor integral, maka u(x){P(x)y Q(x))dx dy 0} merupakan persamaan diferensial eksak. Berdasarkan syarat persamaan diferensial eksak diperoleh dx du x x N x y u x P x dan y M x y ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) sehingga haruslah ( ) ( ) ( ) u x P x dx du x P x dx u x du ( ) ( ) P x dx u x du ( ) ( ) ln u(x) P(x) dx

96 PERSAMAAN DIFERENSIAL P x dx u x e ( ) ( ) Selanjutnya jika nilai u(x) dikalikan dengan P(x) y Q(x) dx dy , diperoleh ( ) u(x)P(x) y u(x)Q(x) dx dy u x Karena ( ) ( ) ( ) u x P x dx du x , maka ( ) u(x)P(x) y u(x)Q(x) dx dy u x ( ) ( ) ( ) ( ) y u x Q x dx du x dx dy u x Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh u(x)y u(x)Q(x)dx u x Q x d u x y ( ) ( ) ( ) 1 y e u x Q x dx P x dx ( ) ( ) ( ) adalah selesaian umum persamaan P(x) y Q(x) dx dy . Karena P x dx u x e ( ) ( ) maka diperoleh y e Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( )

Bab III Persamaan Diferensial Linier 97 Contoh 1. Tentukan selesaian umum persamaan x x x y dx dy x cos 1 2 2 Jawab Kalikan persamaan dengan x, sehingga didapat x x x y dx dy cos 2 2 Diperoleh dan Q x x x x P x ( ) cos 2 ( ) 2 dx x u x e 2 ( ) 2 ln x e = 2 1 x Jika persamaan x x x y dx dy cos 2 2 dikalikan dengan 2 1 ( ) x u x diperoleh x x y dx dy x cos 1 2 2 x y x dx d ( ) cos 2 (x y) cosx dx 2 (x y) sin x c 2 (sin ) 2 y x x c 2. Tentukan selesaian persamaan (3 1) 0 2 y dx xy dy Jawab (3 1) 0 2 y dx xy dy

98 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2 3 1 y y x dy dx 2 1 , ( ) 3 ( ) y Q y y P x 3 3 u(x) e y dy y Selesaian umum persamaan di atas xe Q x e dy P( y)dy P( y)dy ( ) y dy y xy 3 2 3 1 xy y c 3 2 2 1 3. Tentukan selesaian 2x 1 x y dx dy Jawab 2x 1 x y dx dy (2x 1) x y dx dy Didapat , ( ) 2 1 1 ( ) Q x x x P x Faktor integral P x dx I e ( ) dx x I e 1 = x 1 Primitif dari 2x 1 x y dx dy adalah Iy Q(x)Idx

Bab III Persamaan Diferensial Linier 99 dx x y x x 1 (2 1) dx x y x dx x 1 2 y x(2x ln x c) y 2x xln x cx 2 y' 4x (ln x 1) c 4. Tentukan selesaian y x dx dy 6 10sin 2 Jawab P(x) 6,Q(x) 10sin 2x x I e 6 Primitifnya Iy Q(x)Idx y e x e dx x x 10sin 2 ( ) 6 6 e x e dx x x 10 sin 2 ( ) 6 6 e x e dx x x 10sin 2 ( ) 6 6 x x e x e dx 6x 6x 5cos2 15sin 2 15 sin 2 . e x e dx x x x x 25 sin 2 ( ) 5cos2 15sin 2 6 6 ( 5cos2 15sin 2 ) 25 1 sin 2 ( ) 6 6 y e x e dx x x c x x Didapatkan primitif y ( 5cos2x 15sin 2x) c 25 10 4. Persamaan BERNOULLI Persamaan diferensial linear disebut persamaan diferensial Bernoulli jika bentuk umumnya

100 PERSAMAAN DIFERENSIAL P(x) y y Q(x) dx dy n ( ) ( ) 1 P x y Q x dx dy y n n Untuk menentukan selesaian umumnya misalkan y v 1 n Dengan menurunkan terhadap variabel x, diperoleh dx dv dx dy n y n (1 ) dx dv dx n dy y n 1 1 Substitusikan y v 1 n dan dx dv dx n dy y n 1 1 ke persamaan ( ) ( ) 1 P x y Q x dx dy y n n diperoleh ( ) ( ) 1 1 P x v Q x dx dv n (1 n)P(x)v (1 n)Q(x) dx dv Bentuk terakhir adalah persamaan diferensial linear yang selesaian umum dapat dicari dengan metode faktor integral atau metode Lagrange atau metode pengubahan persamaan diferensial eksak seperti yang telah dijelaskan pada pasal sebelumnya. Misal (1 n)P(x) p(x) dan (1 n)Q(x) q(x) maka (1 n)P(x)v (1 n)Q(x) dx dv p(x)v q(x) dx dv Maka selesaian umumnya adalah v e q x e dx p(x)dx p(x)dx ( )

Bab III Persamaan Diferensial Linier 101 Contoh soal 1. Tentukan selesaian umum persamaan 3 y xy dx dy Jawab 3 y xy dx dy y x dx dy y 2 3 1 Misal dx dy y dx dv v y maka 2 3 2 sehingga y x dx dy y 2 3 1 v x dx dv 2 1 v v x dx dv 2 2 dimana p(x) 2,dan q(x) 2x dan faktor integral x p x dx I e e 2 ( ) selesaian umumnya ve q x e dx P(x)dx p(x)dx ( ) ve x e dx 2x 2x ( 2 ) xe e c y e x x x 2 2 2 2 2 1 2. Tentukan selesaian umum persamaan (cos sin ) 2 y y x x dx dy Jawab

102 PERSAMAAN DIFERENSIAL (cos sin ) 2 y y x x dx dy y x x dx dy y cos sin 1 1 2 Misal dx dy y dx dv v y maka 1 2 dx dv dx dy y 2 1 Substitusikan ke persamaan semula, didapat: v (cos x sin x) dx dv v x x dx dv sin cos dimana p(x) 1,q(x) sin x cox dan faktor integral x p x dx I e e ( ) selesaian umumnya ve q x e dx p(x)dx p(x)dx ( ) ve x x e dx x x (sin cos ) e x c y e x x sin adalah selesaian umum persamaan (cos sin ) 2 y y x x dx dy 3.3 Soal-soal A. Selidiki apakah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dibawah ini termasuk persamaan diferensial linear. 1. y x dx dy 2 3 3 2. xdy ydx x e dx x 2 (1 ) 3. ydx (xy x 3y)dy 0

Bab III Persamaan Diferensial Linier 103 4. xdy ydx x x y dy 2 2 5. (1 sin y)dx {2y cos y x(sec y tan y)}dy 6. (2 ) 2 0 5 xy y dx xdy 7. 2 3 2xy 5x y dx dy 8. xy x dx dy (x 1) 2 9. y y x dx dy 3 10. x xy y x e 3 ' 2 B. Tentukan selesaian umum persamaan linear berikut dengan menggunakan cara yang sesuai. 1) 3xy 2 dx dy 2) 3 2xy 5y dx dy 3) x y x e dx dy 2 3 3 3 4) cos ( sin cos ) 0 4 dr r d 5) (3 1) 0 2 y dx xy dy 6) rdt tdr r e dt r 2 ( 2) 7) 8) (1 y )dx (arctan y x)dy 2 C. Tentukan selesaian masalah nilai awal 1. x xe x y dx dy dengan y(1) = e 1 2. 4 0 x y e dx dy dengan y(0) = 3 4 dy (2y cosx sin 2x)dx 0

104 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3. xy t dt dx sin 2 dengan x(0) = 0 4. y x x dx dy 2 tan cos dengan y( 4 )= 1 5. y x x x dx dy sin x cos sin dengan y( 2 ) = 2

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 105 BAB IV PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT TINGGI Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara-cara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi. Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara faktorisasi. 2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara persamaan y f (x, p). 3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara persamaan x f (y, p). 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan menggunakan cara persamaan diferensial Clairut. Persamaan tingkat satu derajat tinggi yang dijelaskan pada Bab IV dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial tingkat tinggi, (2) cara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi yang meliputi: cara faktorisasi, metode persamaan berbentuk y f (x, p) , metode persamaan berbentuk x f (y, p) dan metode persamaan diferensial Clairut.

106 PERSAMAAN DIFERENSIAL 4.1 Bentuk Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi Persamaan tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang ditulis dalam bentuk: M(x, y)dx N(x, y)dy 0 ( , ) ( , ) N x y M x y dx dy f (x, y) dx dy f (x, y) 0 dx dy Sehingga dalam bentuk yang paling sederhana persamaan diferensial tingkat satu derajat satu secara eksplisit dinyatakan dengan , , 0 dx dy f x y Secara lengkap telah dibahas pada bab II. Dengan memisalkan p = dx dy maka bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu drajat satu dapat dinyatakan secara implisit f(x,y,p) = 0. Jika p berpangkat lebih dari satu maka persamaannya dinamakan persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi atau persamaan tingkat satu derajat n. Bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu derajat-n dinyatakan dengan: ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 2 2 1 1 P x y dx dy P x y dx dy P x y dx dy P x y dx dy P x y n n n n n o dengan memisalkan p = dx dy , maka bentuk di atas dapat dinyatakan dengan ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 2 2 1 1 P x y p P x y P x y p P x y p P x y p n n n n n o atau secara implisit dinyatakan

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 107 Contoh: 1. ( 2 1) ( 2 2 ) 2 0 4 3 2 dx dy xy dx dy x y xy dx dy x y dx dy ....(1-4) ( 2 1) ( 2 2 ) 2 0 4 3 2 p x y p x y xy p xyp 2. ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 x xy dx dy x xy y dx dy xy .......(1- 2) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 2 xy p x xy y p x xy 3. ( ) ( 2 ) ( ) 0 2 2 2 2 y xy dx dy x x xy y dx dy x x ......(1-2) ( ) ( 2 ) ( ` ) 0 2 2 2 2 x x p x x xy y p y xy 4. 4 2 2 dx dy x dx dy y ........(1-4) 2 4 y 2 p x p Persamaan tingkat satu derajat tinggi pada contoh di atas dapat ditentukan derajatnya. Persamaan pada contoh 1 dan 4 berderajat empat sedangkan contoh 2 dan 3 berderajat 2. Setelah ditentukan derajatnya, akhirnya dapat ditentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang diketahui. 4.2 Selesaian Umum Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi Persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi yang dinyatakan dalam bentuk , selanjutnya dapat ditentukan selesaian umumnya setelah bentuk umum di atas dinyatakan dalam pemfaktoran yang paling sederhana. Bentuk pemfaktoran tersebut meliputi:

108 PERSAMAAN DIFERENSIAL 1) Cara faktorisasi (persamaan diselesaikan ke bentuk dx dy p 2) persamaan diselesaikan ke bentuk y f (x, p) 3) persamaan diselesaikan ke bentuk x f (y, p) 4) metode persamaan diferensial Clairut. 1. Persamaan yang dapat diselesaikan ke p = dx dy Metode ini dilakukan dengan memandang bentuk persamaan diferensial linear tingkat derajat tinggi ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 2 2 1 1 P x y p P x y P x y p P x y p P x y p n n n n n o ruas kiri sebagai polinomial dalam p. Karena polinomial maka dapat diselesaikan ke dalam n faktor real yaitu berbeda. ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 2 2 1 1 P x y p P x y P x y p P x y p P x y p n n n n n o dimana F adalah fungsi dengan variabel x dan y. Dari bentuk di atas diperoleh ( , ), ( , ) ( , ), ( , ), ( , ),.... 1 1 2 3 F x y p F x y p F x y p F x y p F x y p n n ( , ) ( , ), ( , ), ( , ),...., ( , ), 1 2 3 1 F x y dx dy F x y dx dy F x y dx dy F x y dx dy F x y dx dy n n ( , , ) ( , , ) ( , , )....... ( , , ) ( , , ) 0 1 2 3 f x y c f x y c f x y c f x y c f x y c n n Sehingga selesaian umum persamaan diferensial linear

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 109 ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 2 2 1 1 P x y p P x y P x y p P x y p P x y p n n n n n o adalah ( , , ) ( , , ) ( , , )....... ( , , ) ( , , ) 0 1 2 3 f x y c f x y c f x y c f x y c f x y c n n Setiap selesaian di atas dapat ditulis dalam bentuk yang bervariasi sebelum digabungkan dalam perkalian. Perhatikan contoh-contoh dibawah ini 1. Tentukan selesaian persamaan ( 2 1) ( 2 2 ) 2 0 4 3 2 dx dy xy dx dy x y xy dx dy x y dx dy Jawab Nyatakan persamaan dalam bentuk polinomial p, didapat ( 2 1) ( 2 2 ) 2 0 4 3 2 p x y p x y xy p xyp p(p 1)(p x)(p 2y) 0 p 0, p 1, p x, p 2y y dx dy x dx dy dx dy dx dy 0, 1, , 2 Bentuk di atas, masing-masing adalah persamaan dengan variabel terpisah Selesaiannya ( ) 0,( ) 0,(2 ),( ) 0 2 2x y c y x c y x c y ce Sehingga selesaian umumnya ( ) 0,( ) 0,(2 ),( ) 0 2 2x y c y x c y x c y ce atau dapat dinyatakan dengan ( )( )(2 )( ) 0 2 2x y c y x c y x c y ce 2. Tentukan selesaian persamaan ( ) ( 2 1) ( ) 0 2 2 x xy dx dy x y dx dy xy Jawab

110 PERSAMAAN DIFERENSIAL Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial p, didapat: ( ) ( 2 1) ( ) 0 2 2 xy p x y p x xy (xp x y)(yp x) 0 Persamaan di atas dapat diselesaikan, dengan cara 1) (xp x y) 0 ( x y) 0 dx dy x y x dx dy (x ) 1 x y dx dy (persamaan diferensial linear) Selesaiannya adalah P x dx P x dx ye Q x e ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 2 2 yx x c atau xy x c 2) (yp x) 0 ( x) 0 dx dy y (persamaan variabel terpisah) ydy xdx 0 Selesaiannya 0 2 2 y x c Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh selesaian umum persamaan ( ) ( 2 1) ( ) 0 2 2 x xy dx dy x y dx dy xy adalah ( 2 )( ) 0 2 2 2 xy x c y x c 3. Tentukan selesaian persamaan ( ) ( 2 ) ( ) 0 2 2 2 2 y xy dx dy x x xy y dx dy x x Jawab

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 111 Nyatakan persamaan di atas dalam bentuk polinomial, dan diperoleh: ( ) ( 2 ) ( ) 0 2 2 2 2 x x p x x xy y p y xy Persamaan di atas, diselesaikan masing-masing 1) ( 1) y 0 dx dy x (persamaan variabel terpisah) 0 (x 1) dx y dy Selesaiannya adalah ln y ln x 1 c Atau y c(x 1) 0 2) xp x y 0 y x dx dy x 1 x y dx dy (persamaan linear) Selesaiannya ye Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( ) Diperoleh y xln cx 0 Berdasarkan selesaian 1) dan 2) diperoleh selesaian umum persamaan ( ) ( 2 ) ( ) 0 2 2 2 2 y xy dx dy x x xy y dx dy x x adalah 2. Persamaan yang Dapat Diselesaikan ke y = f(x,p) Persamaan ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 2 2 1 1 P x y p P x y P x y p P x y p P x y p n n n n n o

112 PERSAMAAN DIFERENSIAL diubah dalam bentuk y = f(x,p). Turunkan y = f(x,p) terhadap variabel x didapat x p p f x f dx dy x p p f x f p , , 0 dx dp F x p (persaman diferensial tingkat satu derajat satu) Diperoleh primitif (x,p,c) = 0 Untuk mendapatkan primitif dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara y = f(x,p) dan (x,p,c) = 0, apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p. Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan 16 2 0 2 2 3 x p y p x (PD Linear tingkat satu derajat tiga) Jawab 16 2 0 2 2 3 x p y p x 2 3 2 16 2 p p x x y 2 2 2 16 p x y px Dengan menurunkan persaman terhadap variabel x diperoleh 4 2 2 2 2 2 16 p dx dp xp x p dx dp p x dx dy

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 113 dx dp p x p x dx dp p p x 3 2 2 32 32 2 dx dp xp x dx dp p p xp 4 4 3 2 2 32 32 ( 32 ) ( 32 ) 0 3 3 dx dp p p x x p x 32 0 3 dx dp p x p x Persamaan ini dipenuhi jika (p 32 ) 3 x = 0 atau 0 dx dp p x Dari bentuk 0 dx dp p x diperoleh x dx p dp dan p = Kx, K R Substitusikan p = Kx ke persamaan 16 2 0 2 2 3 x p y p x diperoleh 16 2( ) ( ) 0 2 3 x Kx y Kx x atau 2 0 2 3 2 c y c x Dengan mengganti K 2c Faktor 32 0 3 p x tidak diperhatikan, karena tidak memuat dx dp . 2. Tentukan selesaian persamaan 4 2 y 2 px p x Jawab Dengan menurunkan persamaan terhadap variabel x, diperoleh dx dp xp x p dx dp p x dx dy 4 3 2 2 2 4

114 PERSAMAAN DIFERENSIAL dx dp xp x p dx dp p p x 4 3 2 2 2 4 2 2 4 0 4 3 2 dx dp xp x p dx dp p x 2 1 2 0 3 p x dx dp p x Faktor , diabaikan seperti contoh 1 di atas, dari persamaan 2 0 dx dp p x persamaan 2 0 p dp x dx diperoleh selesaian xp c 2 . Pada bentuk parameter diperoleh 2 p c x , 2 2 c p c y . Hubungan yang terakhir didapat setelah 2 p c x disubstitusi ke persamaan 4 2 y 2 px p x . 3. Tentukan selesaian persamaan 2 x yp p Jawab p p x y Dengan menurunkan terhadap peubah x, diperoleh dx dp p dx dp p x y dx dy 2 ( ) 0 3 2 dx dp p p x p dp dx + p p x 3 = - 1 2 p p (persamaan diferensial linear)

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 115 Selesaiannya xe Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( ) Diperoleh p p c p dp p x p ln 1 1 1 2 2 2 4. Tentukan selesaian persamaan 2 y (2 p)x p Jawab Turunkan persamaan terhadap x diperoleh dx dp p x p dx dy 2 ( 2 ) p x dp dx 2 (persamaan diferensial linear) Selesaianya xe Q x e dx P(x)dx P(x)dx ( ) xe pe x dp pe e c p p p p 2 2 2 2 ( ) 2 4 Dengan mensubstitusikan ke persamaan diperoleh 2 2 2 2(2 ) , 8 (2 ) p p x p ce c y p p ce . 3. Persamaan yang dapat diselesaikan ke x = f(y,p) Persamaan ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) 0 1 2 2 1 1 P x y p P x y p P x y p P x y p P x y n n n n n o diubah dalam bentuk x = f(y,p). Turunkan x = f(y,p) terhadap variabel y didapat dy dp p f y f dy dx dy dp p f y f p 1

116 PERSAMAAN DIFERENSIAL , , 0 dy dp F y p (persaman diferensial tingkat satu derajat satu) selesaian dy dp F y p p , , 1 untuk memperoleh primitif (y,p,c) = 0 Untuk mendapatkan primitifnya dilakukan dengan mengeliminasikan p diantara x = f(y,p) dan (y,p,c) = 0 apabila mungkin, atau nyatakan x dan y secara terpisah sebagai fungsi parameter p. Contoh 1 Tentukan selesaian persamaan 2 4 0 3 2 p xyp y Jawab Persamaan dinyatakan dalam bentuk x = f(y,p) diperoleh p y y p x 4 2 2 Dengan menurunkan persamaan terhadap y diperoleh dy dp p y y p p dy dp y p dy dx 2 2 2 1 4 2 2 2 2 2 1 2 4 2 y p dy p dp p y y p p 2 2 0 2 3 y p dy dp p y Integrasikan 2 0 dy dp p y dan elimasikan di antara p Ky 2 dan persamaan diferensial asal maka diperoleh 3 16y K(K 2x) dengan mengambil K 2c

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 117 2 Tentukan selesaian persamaan 4 ( 3) 2 x py p Jawab. Turunkan persamaan terhadap y diperoleh dy dp p p y p dy dx 4 ( 3) 3 ( 1) 2 2 dy dp p p y p p ( 3) 3 ( 1) 4 2 2 0 ( 4)( 1) 3 ( 1) 2 2 2 dp p p p p y dy (PD variabel terpisah) Dengan cara yang sudah dibahas pada bab II diperoleh y p p ln p 1 ln c 5 3 ln 2 10 9 ln 2 10 9 ln 2 Maka 5 3 10 2 9 2 ( p 4) ( p 1) c y Substitusikan ke persamaan semula didapat 5 3 10 2 9 2 2 ( 4) ( 1) ( 3) 4 1 p p cp p x 4. Persamaan Diferensial Clairut Menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat tinggi dengan metode persamaan diferensial Clairut adalah dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y px f ( p) . Bentuk ini dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y cx f (c) yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan mengganti p dengan c pada persamaan yang diketahui.

118 PERSAMAAN DIFERENSIAL Contoh 1. Tentukan selesaian persamaan 2 y px 4 p Selesaian umumnya adalah 2 y cx 4 c 2. Tentukan selesaian persamaan 2 2 (y px) 1 p Jawab 2 2 (y px) 1 p 2 y px 1 p Selesaian umumnya ( 1 )( 1 ) 0 2 2 y cx c y cx c 2 2 (y c) 1 c 3. Tentukan selesaian persamaan 2 2 y 3px 6y p Jawab Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk persamaan Clairut. Kalikan persamaan dengan y 2 diperoleh 3 2 4 2 y 3y px 6y p Gunakan transformasi 3 v y maka dx dy y dx dv 2 3 , sehingga 3 2 4 2 y 3y px 6y p 2 3 2 dx dv dx dv v x Selesaian umumnya 2 3 2 v Kx K 3 2 3 2 y Kx K 3 2 y 3cx 6c

Bab IV Persamaan Tingkat Satu Derajat Tinggi 119 4.3 Soal-soal Tentukan selesaian umum persamaan di bawah ini 1) 6 0 2 2 2 x p xyp y 2) ( 1 ) ( 1) 0 2 2 xp y x p x y 3) 2 4 0 2 xp yp x 4) 3 0 4 xp xp y 5) 8 2 0 2 yp xp y 6) 3 0 2 2 y p px y 7) 0 2 p xp y 8) 10 4 0 3 2 y p xp y 9) 10) 0 2 xp yp y 11) 0 2 p xp y 12) 13) 2 y 2p 1 p 3 0 2 yp xp y

120 PERSAMAAN DIFERENSIAL

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 121 BAB V PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT TINGGI Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami cara menentukan akar-akar persamaan karakteristik dan mengaplikasikan dalam menentukan selesaian umum dan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi Kompetensi Dasar 1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan koefisien konstan 2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode invers fungsi operator, 3. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode ( ) 1 F D sebagai jumlah n pecahan parsial, 4. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode variasi paramater, 5. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan Metode koefisien tak tentu, dan 6. Mahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien konstan menggunakan metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik.

122 PERSAMAAN DIFERENSIAL Bab V dalam buku ini membahas hal-hal pokok tentang (1) bentuk umum persamaan diferensial tingkat tinggi, (2) selesaian umum persamaan diferensial tingkat tinggi yang meliputi: persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien konstanta, persamaan diferensial tingkat tinggi homogen dengan koefisien variabel, persamaan diferensial tingkat tinggi tidak homogen dengan koefisien variabel. 5.1 Bentuk Umum Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi dinyatakan dalam bentuk: ( ) ..... 1 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o Dengan Po P P P Pn Pn 0, , , .......... , 1 2 3, 1 adalah fungsi atau konstanta. karena Dy dx dy , D y dx d y 2 2 2 , D y dx d y 3 3 3 ,....., D y dx d y n n n 1 1 1 , dan D y dx d y n n n maka persamaan ..... ( ) 3 1 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o dapat dinyatakan dalam bentuk: ..... ( ) 1 3 3 2 2 1 1 P D y P D y P D y P D y P Dy P y Q x n n n n n n o ( ..... ) ( ) 1 3 3 2 2 1 1 P D P D P D P D P D P y Q x n n n n n n o F(D) y = Q(x)

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 123 Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) = 0, maka bentuk umumnya menjadi ( ..... ) 0 1 3 3 2 2 1 1 P D P D P D P D P D P y n n n n n n o Pada kasus Q(x) = 0 maka F(D)y = 0 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat tinggi, sedangkan jika Q(x) 0 maka F(D)y = Q(x) disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat tinggi. Contoh 1. 2 15 0 2 2 y dx dy dx d y y' ' 2y' 15y 0 2. x y e dx dy y dx dy 2 2 2 3. y'' 9y x cos x y x x dx d y 9 cos 2 2 4. 5. 3 2 2 0 2 2 2 3 3 3 y dx dy x dx d y x dx d y x ''' 3 " 2 ' 2 0 3 2 x y x y xy y

124 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 2 2 0 3 3 2 2 x D y x D y xDy y 6. y x x x dx dy x dx d y x 2 2 ln 3 2 3 3 3 x y''' 2xy' 2y x ln x 3x 3 2 x D y 2xDy 2y x ln x 3x 3 3 2 Persamaan-persamaan pada contoh di atas selanjutnya dapat dikelompokkan ke dalam persamaan homogen dan tidak homogen. Persamaan pada contoh 1 disebut persamaan diferensial linear homogen tingkat dua dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 2 disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat tiga dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 3 disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien konstan, persamaan pada contoh 4 disebut persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat dua dengan koefisien variabel, persamaan pada contoh 5 adalah persamaan diferensial linear homogen tingkat tiga dengan koefisien variabel, sedangkan persamaan pada contoh 6 adalah persamaan diferensial linear tidak homogen tingkat 3 dengan koefisien variabel. 5.2 Selesaian Umum Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi Misal ( ) 1 y y x adalah selesaian persamaan ..... ( ) 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o Maka ( ) 1 1 y c y x juga selesaian persamaan di atas. dimana 1 c adalah sebarang konstanta. Misal ( ) 2 y y x adalah selesaian persamaan

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 125 ..... ( ) 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o Maka ( ) 2 2 y c y x juga selesaian persamaan di atas. dimana 2 c adalah sebarang konstanta. Misal ( ) ( ) 1 2 y y x y x adalah selesaian persamaan ..... ( ) 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o Maka ( ) ( ) 1 1 2 2 y c y x c y x juga selesaian persamaan di atas. Dengan asumsi yang sama, misal ( ) ( ) ..... ( ) ( ) 1 2 1 y y x y x y x y x n n adalah selesaian persamaan ..... ( ) 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o , maka ( ) ( ) ..... ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 y c y x c y x c y x c y x n n n n juga selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi. Himpunan selesaian persamaan-persamaan berikut ( ), ( ), ( ) ....., ( ), ( ) 1 2 3 1 y y x y y x y y x y y x dan y y x n n disebut bebas liner jika persamaan ..... 0 1 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n c y c y c y c y c y dimana c i adalah konstanta dan terjadi hanya apabila ....... 0 1 2 3 n 1 n c c c c c . Syarat perlu dan cukup bahwa n selesaian merupakan bebas linear yaitu jika diterminan matrik ordo n x n yang masing-masing sukunya adalah selesaian dimaksud sampai turunan ke (n-1) 0. Dengan kata lain ( ) ( ) ..... ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 y c y x c y x c y x c y x n n n n adalah primitif.

126 PERSAMAAN DIFERENSIAL Jika R(X) suatu selesaian khusus maka selesaian khususnya persamaan diferensial linear tingkat tinggi dinyatakan dengan: ( ) ( ) ..... ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 y c y x c y x c y x c y x R x n n n n Untuk lebih memudahkan cara menentukan selesaian persamaan diferensial linear tinggi, maka dalam menentukan selesaian tersebut dikelompok menjadi: 1) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan 2) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan 3) persamaan diferensial homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel 4) persamaan diferensial tidak homogen tingkat tinggi dengan koefisien variabel. 1) Persamaan Diferensial Homogen dengan Koefisien Konstan Sebagaimana telah disebutkan pada awal Bab V, bahwa persamaan diferensial linear homogen tingkat tinggi dengan koefisien konstan dinyatakan dalam bentuk umum: ..... 0 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o Atau ..... 0 1 1 3 3 2 2 1 1 P D y P D y P D y P D y P D y P yn n n n n n n o atau ( ..... ) 0 1 3 3 2 2 1 1 P D P D P D P D P D P y n n n n n n o Atau F(D) y = 0 dengan Po P P P Pn Pn 0, , , .......... , 1 2 3, 1 adalah konstan. dan F(D) disebut fungsi operator diferensial.

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 127 Selanjutnya jika F(D) dapat difaktorkan, maka F(D) dapat dinyatakan dalam bentuk ( )( )( )......( ) 0 D m1 D m2 D m3 D mn . Sebaliknya jika F(D) tidak dapat difaktorkan maka tetap ditulis sebagai F(D) = 0. Bentuk ( )( )( )......( ) 0 D m1 D m2 D m3 D mn dinamakan persamaan karakteristik dengan m 1 , m 2 , m 3 , ... m n disebut akarakar persaman karakteristik. Perlu diingat bahwa tidak penting menulis persamaan karakteristik, karena akar-akarnya dapat dibaca secara langsung dari fungsi operator diferensial. Persamaan karakteristik f(m) = 0 setelah ditentukan akarakarnya, untuk menentukan selesaian umum persaamaan ..... 0 3 3 2 3 2 1 2 1 1 P y dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n q n n n n n n n n o ditentukan dengan m x i i y c e dimana mi akar persamaan karakteristik yang telah diketahui. Karena m m m mn , , ,....., 1 2 3 adalah akar-akar persamaan karakteristik, maka jenis akarakarnya adalah bilangan nyata (real) dan tidak nyata (imajiner). Untuk lebih jelasnya diberikan penjelasan sebagai berikut: A. Andaikan .... ( ) m1 m2 m3 mn 1 mn bilangan real R , maka primitif persamaan diferensialnya m x n m x n m x m x m x n n y c e c e c e c e c e 1 2 3 1 1 2 3 1 ..... sehingga melibatkan n selesaian yang bebas linear dan n konstanta sebarang. Jika m x n m x n m x m x m x n n y c e c e c e c e c e 1 2 3 1 1 2 3 1 ..... adalah selesaian maka m x n m x n m x m x m x n n y c e , y c e , y c e ,.....,y c e , y c e 1 2 3 1 1 2 3 1 juga selesaian dari persamaan.

128 PERSAMAAN DIFERENSIAL Perhatikan beberapa contoh berikut ini: 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial 5 6 0 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk Sehingga persamaan karakteristik 5 6 0 2 D D (D+2)(D+3) = 0 akar-akarnya m 1 = -2 dan m 2 = -3, keduanya berberda. Primitif persamaan di atas adalah x x y c e c e 3 2 2 1 Karena x x y c e c e 3 2 2 1 adalah selesaian Maka x x y c e dan y c e 3 2 2 1 juga selesaian 2. Tentukan selesaian persamaan diferensial 2 11 21 0 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk Sehingga persamaan karakteristik 2 11 21 0 2 D D (2D-3)(D+7) = 0 akar-akarnya persamaan karakteristik m 1 = 2 3 dan m 2 = -7, keduanya berberda. Primitif persamaan di atas adalah x x y c e c e 7 2 2 3 1 Karena x x y c e c e 7 2 2 3 1 adalah selesaian Maka x x y c e dan y c e 7 2 2 3 1 juga selesaian persamaan.

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 129 3. Tentukan selesaian persaamaan 4 6 0 2 2 3 3 4 4 dx dy dx d y dx d y dx d y Jawab Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk , sehingga persamaan karakteristiknya adalah: D(D 1)(D 2)(D 3) 0 Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya m 1 = 0, m 2 = 1, m 3 = 2, dan m 4 = 3. Karena ( ) m1 m2 m3 m4 dan bilangan real R Sehingga selesaian persamaan 4 6 0 4 3 2 D D D D y adalah . 3 4 2 3 1 2 0 1 x x x x y c e c e c e c e . 3 4 2 1 2 3 x x x y c c e c e c e Karena . 3 4 2 1 2 3 x x x y c c e c e c e Maka , , , . 3 4 2 1 2 3 x x x y c y c e y c e y c e juga selesaian. 4. Tentukan selesaian persamaan 2 0 2 2 3 3 dx dy dx d y dx d y Jawab Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk , sehingga persamaan karakteristiknya adalah: D(D 1)(D 2) 0 2 0 2 D D D 2 0 3 2 D D D y

130 PERSAMAAN DIFERENSIAL Akhirnya diperoleh akar-akar persamaan karaktristiknya m 1 = 0, m 2 = -1, m 3 = 2 Karena ( ) m1 m2 m3 dan bilangan real R Sehingga selesaian persamaan adalah . 2 3 1 2 0 1 x x x y c e c e c e . 2 1 2 3 x x y c c e c e Karena . 2 1 2 3 x x y c c e c e Maka , , . 2 1 2 3 x x y c y c e y c e juga selesaian. B. Andaikan .... ( ) m1 m2 m3 mn 1 mn m bilangan real R , maka primitif persamaan diferensialnya n mx n n n y (c c x c x ..... c x c x )e 2 1 1 2 1 2 3 dalam hal ini selesaian persamaan melibatkan konstanta sebarang dan m kali hubungan diantaranya. Karena n mx n n n y (c c x c x ..... c x c x )e 2 1 1 2 1 2 3 n mx n n mx n mx mx mx y c e c xe c x e c x e c x e 2 1 1 2 1 2 3 ..... Maka n mx n n mx n mx mx mx y c e y c xe y c x e y c x e y c x e 2 1 1 2 1 2 3 , , ,..... , Juga selesaian persamaan yang akar-akar persamaan karakteristiknya memenuhi .... ( ) m1 m2 m3 mn 1 mn m bilangan real R 2 0 3 2 D D D y

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 131 Perhatikan contoh berikut ini 1. Tentukan selesaian persamaan 4 4 0 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk Sehingga persamaan karakteristiknya adalah: sehingga akar persamaan karakteristiknya m1 m2 2 Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m 1 = m 2 Sehingga selesaian persamaan di atas adalah x y c c x e 2 1 2 ( ) Karena x y c c x e 2 1 2 ( ) x x y c e c xe 2 2 2 1 Maka x x y c e dan y c xe 2 2 2 1 juga selesaian 2. Tentukan selesaian persamaan 6 9 0 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk Sehingga persamaan karakteristik Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m 1 = m 2 = 3. Akibatnya primitif persamaan di atas adalah D 3)( D 3 0 D 3 D 3 y 0 6 9 0 2 D D y

132 PERSAMAAN DIFERENSIAL x y c c x e 3 1 2 ( ) Karena x y c c x e 3 1 2 ( ) selesaian maka x x y c e dan y c xe 3 2 3 1 juga selesaian persamaan. 3. Tentukan selesaian persamaan 9 24 16 0 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan di atas dinyatakan dalam bentuk 9 24 16 0 2 D y Dy y 9 24 16 0 2 D y Dy y Sehingga persamaan karakteristik 9 24 16 0 2 D D (3D 4)(3D 4) 0 Diperoleh akar-akar persamaan karakteristik m 1 = m 2 = 3 4 Akibatnya primitif persamaan di atas adalah x y c c x e 3 4 1 2 ( ) Karena x y c c x e 3 4 1 2 ( ) selesaian maka x x y c e dan y c xe 3 4 2 3 4 1 juga selesaian persamaan. 4. Tentukan selesaian persamaan 6 12 8 0 2 2 3 3 4 4 5 5 dx d y dx d y dx d y dx d y Jawab Bentuk lain persamaan di atas adalah 6 12 8 0 5 4 3 2 D y D D D y

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 133 Sehingga persamaan karakteristik persamaan di atas adalah ( 2)( 2)( 2) 0 2 D D D D ( 2) 0 2 3 D D Dan diperoleh akar-akar persamaan karakteristiknya m 1 = m 2 = 0 dan m 3 = m 4 = m 5 = 2 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah Karena selesaian persamaan, maka: x x x y c y c x y c e y c xe dan y c x e 2 2 5 2 4 2 1 2 3 , , , , juga selesaian persamaan. C. Andaikan terjadi kombinasi hubungan antar akar persamaan karakteristik dalam bentuk 1 dan 2 di atas yaitu: m1 m2 m3 m4 mn 1 mn .... maka primitifnya mx n mx mx m x y c e c c x c x e e c e n 1 ( ) ... 2 1 2 3 4 Perhatikan contoh berikut 1 Tentukan selesaian persamaan 9 11 4 0 2 2 3 3 4 4 y dx dy dx d y dx d y dx d y Jawab x y c c x c c x c x e 2 2 1 2 3 4 5 ( ) x y c c x c c x c x e 2 2 1 2 3 4 5 ( ) x x y c c x e c c x c x e 2 2 3 4 5 0 1 2 ( ) 6 12 8 0 2 3 2 D D D D 6 12 8 0 2 3 2 D D D D y 6 12 8 0 2 3 2 D D y D y Dy y

134 PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk 9 11 4 0 2 2 3 3 4 4 y dx dy dx d y dx d y dx d y 9 11 4 0 4 3 2 D y D y D y Dy y ( 9 11 4) 0 4 3 2 D D D D y Sehingga persamaan karakteristiknya adalah 9 11 4 0 4 3 2 D D D D 9 11 4 0 4 3 2 D D D D (D 1)(D 1)(D 1)(D 4) 0 Akar persamaan karakteristik m 1 = m 2 = m 3 = -1 dan m 4 = 4 Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah Karena selesaian persamaan, maka x x x x y c e y c xe y c x e dan y c e 4 4 2 3 2 2 2 1 , , , juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui 2. Tentukan selesaian persamaan 6 12 8 0 2 2 3 3 4 4 dx dy dx d y dx d y dx d y Jawab Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk 6 12 8 0 2 2 3 3 4 4 dx dy dx d y dx d y dx d y 6 12 8 0 4 3 2 D y D y D y Dy ( 6 12 8 ) 0 4 3 2 D D D D y Sehingga persamaan karakteristiknya adalah 6 12 8 0 4 3 2 D D D D ( 6 12 8) 0 3 2 D D D D x x y c c x c x e c e 4 4 2 1 2 3 x x y c c x c x e c e 4 4 2 1 2 3

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 135 D(D 2)(D 2)(D 2) 0 Akar persamaan karakteristik m 1 = 0, m 2 = m 3 = m 4 = 2 Sehingga selesaian umum persamaan di atas adalah Karena selesaian persamaan, maka x x x y c y c e y c xe dan y c x e 2 2 4 2 3 2 1 2 , , , juga selesaian persamaan diferensial yang diketahui. D . Jika akar-akar persamaan karakteristik tidak real (imajiner) dan misal akar-akarnya dinyatakan dalam bentuk m a bi 1.2 maka diperoleh a bi x a bi x y c e c e ( ) 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ax bix bix y e c e c e Karena ... 2! 3! 4! 5! 6! 7! 1 2 3 4 5 6 7 x x x x x x e x x , maka: ... 6! ( ) 5! ( ) 4! ( ) 3! ( ) 2! ( ) 1 ( ) 2 3 4 5 6 bix bix bix bix bix e bix bix ..... 2! ( ) 1 ( ) 2 2 b x bix dan e ... 6! ( ) 5! ( ) 4! ( ) 3! ( ) 2! ( ) 1 ( ) 2 3 4 5 6 bix bix bix bix bix bix bix ..... 2! ( ) 1 ( ) 2 2 b x bix sehingga ( ) 1 2 ax bix bix y e c e c e x y c c c x c x e 2 2 1 2 3 4 x y c c c x c x e 2 2 1 2 3 4 x x y c e c c x c x e 2 2 2 3 4 0 1

136 PERSAMAAN DIFERENSIAL ( cos sin ) 1 2 y e c bx c bx ax Perhatikan contoh berikut: 1. Tentukan selesaian persamaan 2 5 0 2 2 y dx dy dx d y Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 2 5 0 2 D D Sehingga akar-akarnya adalah 2 2 4 1.2 i m Atau m 1 2i 1..2 Dengan kata lain m 1 2i 1. atau m 1 2i 1. Sehingga selesaian persamaan di atas adalah: ( cos2 sin 2 ) 1 2 y e c x c x x 2. Tentukan selesaian umum persammaan Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik Dan diperoleh akar-akarnya m 0 i 12 , 2 1 3 34 i m , m 5 =- 3 Selesaian umum persamaan x x x c e x c x y e c x c x e c 3 3 4 5 2 1 1 2 0 ) 2 3 sin 2 3 ( cos sin ) ( cos E Akar-akar persamaan karakteristika gabungan real dan tidak real, maka selesaian umumnya menggunakan perpaduan 1)( 1 3 0 2 2 D D D D 1)( 1 3 0 2 2 D D D D y

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 137 bentuk 1, 2, 3, dan 4 di atas. Perhatikan contoh-contoh berikut: 1. Tentukan selesaian umum perasamaan diferensial ( 4 ) 0 4 2 D D y Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik ( 4 ) 0 4 2 D D y ( 4 ) 0 4 2 D D ( 4) 0 2 2 D D akar-akarnya adalah m1 m2 0 , dan m 0 2i 3.4 Sehingga diperoleh selesaian umum (D 4 + 4D 2 )y = 0 adalah ( ) ( cos2 sin 2 ) 3 4 0 0 1 2 y c c x e e c x c x x x 2. Tentukan selesaian persamaan Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik Sehingga akar-akar persamaan karakteristik m 2,m 2,m 0 4i 1 3 3.4 Dan primitifnya adalah ( ) ( cos4 sin 4 ) 3 4 2 0 1 2 y c c x e e c x c x x x 2) Persamaan Diferensial Tidak Homogen dengan Koefisien Konstan Bentuk umum persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan adalah 2 ( 2)( 16) 0` 2 D D D 2 ( 2)( 16) 0 2 D D D y

138 PERSAMAAN DIFERENSIAL ..... ( ) 3 1 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o Dengan Po P P P Pn Pn 0, , , .......... , 1 2 3, 1 adalah konstanta dan Q(x) 0 karena Dy dx dy , D y dx d y 2 2 2 , D y dx d y 3 3 3 ,....., D y dx d y n n n 1 1 1 , dan D y dx d y n n n maka persamaan ..... ( ) 3 1 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o dapat dinyatakan dalam bentuk: ..... ( ) 1 3 3 2 2 1 1 P D y P D y P D y P D y P Dy P y Q x n n n n n n o ( ..... ) ( ) 1 3 3 2 2 1 1 P D P D P D P D P D P y Q x n n n n n n o F(D) y = Q(x) Persamaan yang berbentuk F(D)y = Q(x) dengan Q(x) 0, maka bentuk umumnya menjadi ..... ( ) 3 1 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o ( ..... ) ( ) 1 3 3 2 2 1 1 P D P D P D P D P D P y Q x n n n n n n o Contoh 1. x y e dx dy dx d y 4 2 2 3 2 10 2. x D D D y e 2 2 4 4 3 5

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 139 3. x dx dy dx d y 2 cos3 2 2 Selesaian persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan dinyatakan dalam bentuk: Y y(c) y(p) y(c) disebut fungsi komplemen dan merupakan selesaian dari F(D)y = 0, y(p) disebut selesaian khusus (particular solution). Dengan demikian untuk menentukan selesaian ..... ( ) 3 1 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o Dengan P P P P P P adalah o n n 0, , , ,......., , 1 2 3 1 konstana dan Q(x) 0 Untuk menentukan y(p), dapat dilakukan beberapa cara yaitu: a) menggunakan metode invers fungsi operator, b) metode ( ) 1 F D sebagai jumlah n pecahan parsial, c) metode variasi paramater, d) metode koefisien tak tentu, dan e) metode integral khusus dimana Q(x) mempunyai bentuk yang sangat spesifik. Metode Invers Fungsi Operator Misal F(D)y Q(x) adalah persamaan diferensial linear tidak homogen dengan koefisien konstan, maka selesaiannya Y y(c) y(p) setelah ditentukan y(c) selanjutnya F(D)y Q(x)

140 PERSAMAAN DIFERENSIAL ( ) ( ) F D Q x y Misal ( ) ( )( )( )....( )( ) F D D m1 D m2 D m3 D mn 1 D mn maka ( )( )( )...( ) ( ) D m1 D m2 D m3 D mn Q x y misal ( ) ( ) 1 Q x D m u n -------------- (persamaan diferensial linear) u D m v n ( ) 1 1 ----------- (persamaan diferensial linear) .................................. t D m z ( ) 1 1 --------- (persamaan diferensial linear) yang selesaiannya telah dijelaskan pada bab III Misal ( ) ( ) 1 Q x D m u n Jika m m m m m bilangan real 1 2 3 n 1 n ..... maka Jika maka Perhatikan beberapa contoh berikut ini 1. Tentukan selesaian persamaan diferensial x y e dx dy dx d y 4 2 2 3 2 10 Jawab n m x mx y (P) e ..... Q ( x)e dx 1 m m m m m bilangan real 1 2 3 n 1 n .... n m x m m x m m x m x y P e e e Q x e dx n ( ) ..... ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 D m u Q(x) n

Bab V Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi 141 Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 3 2 0 2 D D (D 1)(D 2) 0 Sehingga akar-akarnya nyata yaitu m1 1,m2 2 Dan fungsi komplemennya x x y c c e c e 2 1 2 ( ) Selesaian khususnya ( ) ( ) 1 ( ) Q x F D y p x e D D y p 4 10 ( 1)( 2) 1 ( ) y p e e e dx dx x x x ( ) 10 . 2 y p e e e dx x x 2x ( ) 5 y p e e dx x 3x ( ) 5 x x y p e e 3 3 1 ( ) 5 x y p e 4 3 5 ( ) Sehingga selesaian persamaan x y e dx dy dx d y 4 2 2 3 2 10 adalah Y y(c) y(p) 3 5 4 2 1 2 x x x e Y c e c e ( 2 1) 4 2 2 y( p) e e 10e e dx x x x x

142 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial 3 3 1 2 2 2 3 3 y x x dx dy dx d y dx d y Jawab Persamaan diferensial di atas mempunyai persamaan karakteristik 3 3 1 0 3 2 D D D (D 1)(D 1)(D 1) 0 Sehingga akar-akarnya nyata yaitu 1 m1 m2. m3 Dan fungsi komplemennya x y(c) (c c x c x )e 2 1 2 3 Selesaian khususnya ( ) ( ) 1 ( ) Q x F D y p ( 1) ( 1)( 1)( 1) 1 ( ) 2 x x D D D y p y p e e x x e x dx x x x ( ) ( 3 4) (2 3) 2 ( ) ( 3 4) (2 3 2 ) 2 y p e e x x e x e dx x x x x y p e x x d e dx x x ( ) 3 4 ( ) 2 2 2 y( p) e e x 3x 4 dx x x 2 2 y( p) e e x x 1 2x 1 2 dx x x 2 2 y(p) e e (x x 1 e (2x 1) 2e ) dx x x x x 2 2 y(p) e ( e (x x 1) e (2x 1) 2e ) dx x x x x 2 2 y(p) e (x x 1) d e dx x x 3 y(p) e Q(x)e dx x x