Bab VI Transformasi Laplace 193 Contoh Karena t s L sin 2 4 2 2 1 dan 2 2 2 ( 4) 4 4 2 s s ds s d maka diperoleh t t t t s s L ds s d L n n ( 1) sin 2 sin 2 ( 4) 4 4 2 2 2 1 2 1 6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t maka t F t L f u du s ( ) ( ) 1 Contoh Karena t e s s L s s L 3 1 3 1 1 1 1 3 1 3 ( 1) 1 1 1 maka diperoleh ` 1 3 1 3( 1) 1 3 1 0 1 t e du u u L t 7) Sifat perkalian dengan n s Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t maka { ( )} '( ) 1 L sf s F t Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika f(t) 0 , sehingga { ( ) (0)} '( ) 1 L sf s F F t { ( )} '( ) (0) ( ) 1 L sf s F t F t dengan (t) adalah fungsi delta Dirac atau fungsi impuls satuan. Contoh arena t s L sin 5 25 5 2 1 dan sin 5t 0 maka t t dt d s s L (sin 5 ) 5cos5 25 5 2 1
194 PERSAMAAN DIFERENSIAL 8) Sifat pembagian dengan s Jika maka t F u du s f s L 0 1 ( ) ( ) Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t. Contoh Karena t s L sin 2 4 2 2 1 maka diperoleh 9) Sifat konvolusi Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t dan { ( )} ( ) 1 L g s G t maka L f s g s F u G t u du F G t { ( ) ( )} ( ) ( ) * 0 1 F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi. Contoh Karena t e s L 1 4 4 1 dan t e s L 1 2 2 1 maka diperoleh t u t t t u e e du e e s s L 2( ) 2 4 0 1 4 ( 4)( 2) 1 6.6 Metode Transformasi Laplace Invers Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain: 1) Metode pecahan parsial cos2 1 2 1 cos2 2 1 sin2 ( 4) 2 0 0 2 1 u du u t s s L t t
Bab VI Transformasi Laplace 195 Setiap fungsi rasional ( ) ( ) Q s P s , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya ( ) ( ) Q s P s dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk , 1,2,3,.... ( ) ( ) 2 dan seterusnya r as bs c As B atau as b A r r Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka dapat ditentukan ( ) ( ) 1 Q s P s L Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus. Contoh 1. Tentukan 6 3 16 2 1 s s s L Jawab ( 2)( 3) 3 16 6 3 16 1 2 1 s s s L s s s L ( 2)( 3) 2 3 3 16 s B s A s s s 6 ( 3) ( 2) 2 s s A s B s 6 ( ) (2 3 ) 2 s s A B s B A atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5
196 PERSAMAAN DIFERENSIAL 3 5 2 2 ( 2)( 3) 1 3 16 1 s s L s s s L 3 5 2 1 2 1 s L s L t t e e 2 3 2 5 2. Tentukan ( 3)( 2 2) 1 2 1 s s s s L Jawab ( 3)( 2 2) 3 ( 2 2) 1 2 1 2 1 s s Bs C s A L s s s s L ( 3)( 2 2) ( 2 2) ( )( 3) 3 2 2 2 2 2 s s s A s s Bs C s s s Bs C s A ( 3)( 2 2) 2 2 (3 ) 3 ` 2 2 2 s s s As As A Bs B C s C Sehingga ( 3)( 2 2) ( ) (2 3 ) (2 3 ) ( 3)( 2 2) 1 2 2 2 s s s A B s A B C s A C s s s s Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 Atau A = 5 4 , B = 5 4 , dan C = 5 1 Akhirnya diperoleh ( 2 2) 5 1 5 4 3 5 4 ( 3)( 2 2) 1 2 1 2 1 s s s s L s s s s L ( 1) 1 ( 1) 5 4 3 1 5 4 ( 2 2) 5 1 5 4 3 5 4 2 1 2 1 s s s L s s s s L
Bab VI Transformasi Laplace 197 e e t t t cos 5 4 5 4 3 2) Metode Deret Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh ( ) ... 4 3 3 2 2 1 s a s a s a s a f s o Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh ... 2! 3! ( ) 3 2 2 1 a t a t F t a a t o Contoh Tentukan s e L s 1 1 Jawab ... 3! 1 2! 1 1 1 1 2 3 1 s s s s s e s = ... 3! 1 2! 1 1 1 2 3 4 s s s s Sehingga ... 3! 1 2! 1 1 1 2 3 4 1 2 1 1 s s s s L s e L s 2 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 3 1 t t t + ... 3) Metode persamaan diferensial 4) Turunan terhadap statu parameter 5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema
198 PERSAMAAN DIFERENSIAL 6) Penggunaan tabel 7) Rumus inversi kompleks 8) Rumus Penguraian Heaviside Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka n k t k k k e Q P Q s P s L 1 1 '( ) ( ) ( ) ( ) Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut: Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda 1 , 2 , 3 , ... , n maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh n n k k s A s A s A s A Q s P s ... ( ) ( ) 2 2 1 1 .....(1) Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s- ) k dan mengambil s k dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim Q s s s P s Q s P s A k s k s k k k ( ) lim ( ) lim Q s s P s k s s k k ( ) ( ). lim Q s s P k s k k '( ) 1 ( ) Q s P k ...
Bab VI Transformasi Laplace 199 Sehingga (1) dapat ditulis sebagai n n n k k k Q s P Q s P Q s P Q s P Q s P s 1 . '( ) 1 ( ) '( ) ( ) ... 1 . '( ) 1 ( ) . '( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 dengan demikian n n n k k k Q s P Q s P Q s P Q s P L Q s P s L 1 . '( ) ( ) ... 1 . '( ) ( ) ... 1 . '( ) 1 ( ) . '( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 n n n k k k Q s P L Q s P L Q s P L Q s P L 1 . '( ) ( ) ... 1 . '( ( .... 1 . '( ) 1 ( . '( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 t n t n k t t k k n e Q P e Q P e Q P e Q P . '( ) ( ) . ... '( ) ( ) . ... '( ) ( ) . '( ) ( ) 1 2 2 2 1 1 n k t k k k e Q P 1 '( ) ( ) 9) Fungsi Beta Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai B(m,n) = 1 0 1 1 u (1 n) du m n a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat: 1. ( ) ( ) ( ) ( , ) m n m n B m n 2. 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 1 sin cos 2 0 2 1 2 1 m n m n d B m n m m Soal-soal 1. Tentukan, a. s L 4 1 12
200 PERSAMAAN DIFERENSIAL b. 9 2 5 2 1 s s L c. 16 4 24 4 3 8 2 2 1 s s s s L d. 3 2 3 2 7 2 5 1 s s s L e. 3 1 (s 1) s L f. 4 8 3 14 2 1 s s s L g. 12 32 8 20 2 1 s s s L h. 2 3 1 1 s s L i. 3 4 8 5 2 2 1 s s s L j. 16 4 24 ( 4) 2 2 5 1 s s s s L k. 2 2 1 ( 2 2) 1 s s s L l. ( 4)( 4) 1 2 1 s s L m. 2 3 1 ( 1) 1 s L
Bab VI Transformasi Laplace 201 2. Buktikan bahwa: a. t t e e s s s L 2 2 2 1 5 2 6 3 16 b. t t e e s s s L 2 1 2 3 1 2 1 3 1 c. 3 2 2 2 1 2 1 2 1 6 7 2 1 t t e e s s s L d. t t t e e e s s s s L 2 2 3 5 ( 2)(2 1)( 1) 11 2 5 2 2 2 1 e. 3 3cos(3 ) ( 4)( 9) 27 12 4 2 1 e t s s s L t f. sin(4 ) cos(2 ) sin(2 ) 2 1 20 64 16 24 4 2 2 1 t t t s s s s L g. 3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa a. ( 2)( 3) 1 2 11 s s s L b. ( 2)( 1)( 3) 1 19 27 s s s s L c. ( 6 11 6 2 6 5 3 2 2 1 s s s s s L d. ( 1)( 2)( 3) 2 2 1 s s s s L t t t e s s s s L 3 2 1 5 4 4cos 3sin 5 1 ( 3)( 2 2) 1
202 PERSAMAAN DIFERENSIAL 6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial ( ) 2 qY F x dx dY p dx d Y atau Y'' pY' qY F(x) dengan p,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan. Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar . Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi. Contoh Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut. 1) Y '' Y x dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2 Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh Menurut sifat (5) transformasi Laplace , sehingga ( ) { ( )} (0) "(0) .... (0) (0) (n) n n 1 n 2 n 2 n 1 L F t s L F t s F s F sF F L{Y " Y } L Y " L Y L{ x} L Y (x) y(s) { { } (0) '(0)} { } ( ) 2 s L Y sY Y L Y L x
Bab VI Transformasi Laplace 203 2 2 1 ( 2) s s y s y ( 2) 1 ( 1) 2 2 s s s y 1 2 ( 1) 1 2 2 2 s s s s y = 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 s s s s s = 1 3 1 1 2 2 2 s s s s Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers 1 3 1 1 2 2 2 1 s s s s Y L 1 3 1 1 2 1 2 1 2 1 s L s s L s L x cos x 3sin x Untuk pemeriksaan jawab di atas Y 1 cos x 3sin x Y' sin x 3cos x Y'' cos x 3sin x dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2 2) x Y Y Y e 2 '' 3 ' 2 4 dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5 Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh " 3 ' 2 { 4 } 2 x L Y Y Y L e Y ' ' Y cos x 3 sin x x cos x 3 sin x x
204 PERSAMAAN DIFERENSIAL Menurut sifat (5) transformasi Laplace , sehingga 2 4 { 3 5} 3{ 3} 2 2 s s y s sy y 3 14 2 4 ( 3 2) 2 s s s s y 3 2 3 14 ( 3 2)( 2) 4 2 2 s s s s s s y 2 2 ( 1)( 2) 3 20 24 s s s s 2 ( 2) 4 2 4 1 7 s s s Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers 2 1 ( 2) 4 2 4 1 7 s s s Y L 2 1 1 1 ( 2) 4 2 4 1 7 s L s L s L x x x e e xe 2 2 7 4 4 b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk ( ) ( ) x Y x n n sehingga transformasi Laplace diperoleh ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) L Y x ds d L x Y x n m m m n m { { } (0) '(0)} 3 { } (0) 2 { } (4 ) 2 2 x s L Y sY Y sL Y Y L Y L e " 3 ' 2 {4 } 2x L Y Y Y L e ( ) ( ) (0) "(0) .... (0) (0) (n) n n 1 n 2 n 2 n 1 L F t s f s s F s F sF F
Bab VI Transformasi Laplace 205 Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace Jika L{F(t)} f (s) maka Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut Tentukan selesaian persamaan diferensial 1) xY '' 2Y' xY 0 dengan Y(0) = 1 dan Y( )= 0 Jawab Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh: 2 1 0 2( 1) ( 1) 0 2 ds dy sy ds dy sy s 2 ' 1 2 2 ' 0 2 sy s y sy y ( 1) ' 1 2 s y ( 1) 1 ' 2 s y Diperoleh ds s C s y arctan ( 1) 1 2 Karena y 0 bila s kita dapatkan 2 c , sehingga s y s 1 arctan arctan 2 1 1 2( 1) ( 1) ( ) 0 2 1 y ds d s y s sy ds d ( 1) (0) '(0) 2( (0)) ( 1) ( ) 0 1 2 1 y ds d s y sY Y sy Y ds d L xY " L 2Y ' L xY 0 L xY " 2Y ' xY L 0 { ( )} 1 ( ) 1 ( ) ( ) f s f s ds d L t F t n n n n n
206 PERSAMAAN DIFERENSIAL Akhirnya didapat t t s Y L 1 sin arctan , hal ini memenuhi Y( ) =0 2) Y '' xY ' Y 1 , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2 Jawab Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh: Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi: 2 2 1 1 1 ' s s y s y s Faktor integral persamaan di atas adal 2 2 2 1 2 2ln 2 1 1 s s s s ds e e s e Maka 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 s s s e s s s e y ds d Sehingga s e ds s s e s y s y s 2 2 2 2 ) 2 1 (1 1 s sy s y s 1 ' ( 1) 2 2 s s y s y sy y 1 2 ( ') ' 2 .1 2 ( 1) 0 2 sy y ds d s y s s sy Y y ds d s y sY Y 1 (0) '(0) ( 1) { (0)} 2 1 L Y " L xY ' L Y L 1 L Y " xY ' Y L 1
Bab VI Transformasi Laplace 207 2 2 2 2 1 2 s e s c s s Akhirnya diperoleh y 1 2t Soal-soal Tentukan selesaian persamaan diferensial berikut: 1) Y' xY ' Y 0 dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 1 2) xY'' (1 2x)Y' 2Y 0 dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2 3) xY'' (x 1)Y' Y 0 dengan Y(0) = 5 dan Y( ) = 0 4) Y'' Y' 4xY 0 dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 0 5) Y ' ' 4Y 0 dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=7 6) x Y'' 3Y 2Y 4x 12e dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1 6.8 Persamaan Diferensial Simultan Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya. Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui nilainya pada variabel yang saling bergantung. Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan. 1. , (0) 8, (0) 3 2 2 3 bergantung pada X Y y x dt dY x y dt dX
208 PERSAMAAN DIFERENSIAL 2. , (0) 3, '(0) 2, (0) 0 2 2 bergantung pada Y Y Z Z e dt d Y t dt dZ dt dX t 3. 2, (0) 4, ' '(0) 0 , (0) 1, '(0) ' ' ' sin 3 ' ' 3 ' ' 3cos Z Z bergantung pada Y Y tY Z t Y Z te t t Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang diperoleh. Contoh Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini 1) , (0) 8, (0) 3 2 2 3 bergantung pada X Y y x dt dY x y dt dX Jawab Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh: L(2x) L(3y) dt dX L L( y) L(2x) dt dY L atau sx X(0) 2x 3y (s 2)x 3y 8 sy Y(0) y 2x (s 1)y 2x 3
Bab VI Transformasi Laplace 209 Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh: ( 1) 2 3 ( 2) ( 3 2) 2( 2) 3 6 2 s y x s s s y s x s ( 1)( 4) 3 22 ( 3 4) 22 3 (6 3 2) 22 3 2 2 s s s s s s s s y s y Analog, untuk variabel y (s 2)x 3y 8 .(s 1) (s 1)(s 2)x 3(s 1)y 8(s 1) ( 1)( 4) 8 17 ( 3 2 6) 8( 1) 9 2 s s s s s x s x Sehingga 4 2 1 5 4 2 1 5 ( 1)( 4) 3 22 ( ) 1 1 1 1 1 s L s L s s L s s s Y L y L 4 3 1 5 4 3 1 5 ( 1)( 4) 8 17 ( ) 1 1 1 1 1 s L s L s s L s s s X L x L Atau t t X e e 4 5 3 dan t t Y e e 4 5 2 merupakan selesaian persamaan diferensial simultan , (0) 8, (0) 3 2 2 3 bergantung pada X Y y x dt dY x y dt dX 2) , (0) 35, '(0) 48, (0) 27, '(0) 55 '' 4 3 15sin 2 '' ' 3 15 dengan X X Y Y Y X Y t X Y X e t (s 1)y 2x 3.3 3(s 1)y 6x 9 (s 2)x 3y 8 (2) 2(s 2)x 6y 16
210 PERSAMAAN DIFERENSIAL Jawab Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh: atau 1 15 (0) '(0) (0) 3 2 s s x sX X sy Y x 4 30 (0) '(0) 4( ( (0)) 3 2 2 s s y sY Y sx X y atau 1 15 35 48 27 3 2 s s x s sy x 4 30 27 55 4 140 3 2 2 s s y s sx y Atau Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh: ( 1)( 4)( 9) 30 ( 1)( 1)( 9) 15( 3) ( 1)( 9) 35 48 300 63 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 s s s s s s s s s s s s s x 4 2 1 3 9 45 1 30 2 2 2 s s s s s s 4 30 3 3 4 3 3 27 195 2 2 2 2 2 s s s y s s x s s 1 15 3 4 ( 4 ) ( 4 )35 21 2 s s s x s sy s s 4 30 3 4 27 195 2 2 s s y sx s 1 15 3 35 21 2 s s x sy s L Y'' L(4X) L(3Y) L(15sin2t) ' ' ( ') (3 ) (15 ) t L X L Y L x L e
Bab VI Transformasi Laplace 211 Analog, untuk variabel y 4) 2 1 3 ( 1) 60 ( 9) 30 2 2 2 s s s s s Sehingga Y L y t t e t t ( ) 30cos3 60sin 3 sin 2 1 X L x t t e t t ( ) 30cos 15sin 3 3 2cos2 1 merupakan selesaian persamaan diferensial simultan 48, (0) 27, '(0) 55 , (0) 35, '(0) ' ' 4 3 15sin 2 ' ' ' 3 15 Y Y dengan X X Y X Y t X Y X e t Soal-soal Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini: 1) , (0) '(0) (0) 0 '' 2 ' 0 ' ' 2 2 sin dengan Y Y Z Y Z Y Y Z Y Z t 2) , (0) (0) '(0) 0 ' 2 1 ' 2 '' dengan X Y Y X X Y X Y e t 3) , (0) 1, (0) 1 ' ' ' ( 1) dengan Y Z Y Z e tY Z tZ t e t t ( 1)( 4)( 9) 30 ( 3) 1 1 9 60 ( 1)( 9) 27 55 3 585 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 s s s s s s s s s s s s s y } 4 30 3 4 ( ) { 27 195 2 2 s s s y s s x s s } 1 15 3 3 3 3 {35 21 2 2 2 2 s s s x s sy s s
212 PERSAMAAN DIFERENSIAL 4) , (0) 0, '( ) 1, (0) 1 '' 2 ' 0 ' ' 2 2 sin dengan Y Y Z Y Z Y Y Z Y Z t 5) , (0) 3, '(0) 2, (0) 0 '' ' ' dengan Y Y X Y X e Y X t t
Daftar Pustaka 213 DAFTAR PUSTAKA Baiduri. 2000. Persamaan Diferensial. Malang: Universitas Muhammadiyah Press. Borreli A., Colemen C. 1987. Differential Equations: A Modelling Approach. New Jersey: Prentice-Hall Inc. Djoko Moentiarsanto dan Bambang Tri Cahyono. 1982. Persamaan Differensial, Teori, Soal, dan Penyelesaiannya. Jogjakarta: Ananda. Earl A. Codington; Norman Lewinson. 1990. Theory of Ordinary Differential Equations. New Delhi, New York: Tata Mc Graw-Hill Inc. . Edwin J. Purcell., Dale Varberg. 1989. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2 (terjemahan I Nyoman Susila dkk). Bab 18. Jakarta; Erlangga. F.R Giordano., M.D Weir. 1994. Differential Equotions As Modeling Approach. New York: Addison Weslley Publishing Company. Frank Ayres Jr., J.C Ault. 1992. Persamaan Differensial dalam satuan SI Metric. (terjemahan Lily Ratna). Jakarta: Erlangga. Frank Ayres. 1987. Transformasi Laplace. (terjemahan). Jakarta: PT Erlangga. http://dwipurnomoikipbu.wordpress.com
214 PERSAMAAN DIFERENSIAL Ismar G. 1986. Ichtisar + Soal Ujian Persamaan Differensial. Bandung: Cipta Science Series. Kartono. 1994. Penuntun Belajar Persamaan Differensial. Jogjakarta: Andi Offset. L.W.F. 1987. Differential Equotions. New York: MacMillan Publishing Company. Murray R Spiegel. 1984. Transformasi Laplace, Seri Buku Schaum teori dan soal-soal. (terjemahan Pantur Silaban dan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga. S.L Ross. 1989. Introduction to Ordinary Differential Equotions, 4th Edition. New York: John Willey and Sons. S.M Nababan. 1987. Materi Pokok Persamaan Differensial Biasa. Jakarta: Karunika-Universitas Terbuka. ST. Negoro., B. Harahap. 2005. Ensiklopedia Matematika. Bogor: PT Ghalia Indonesia. Stephen W. Goode. 1991. An Introduction to Differensial Equations and Linear Algebra. New Jersey: Prentice-Hall Inc. T.M Creses., R.M haralick. 1978. Differential Equotions for Engineers. Tokyo: MacGraw Hill Kogakusha Ltd. Wilfred Kaplan. 1961. Ordinary Differential Equations. Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company, Inc.
Glosarium 215 GLOSARIUM ISTILAH KETERANGAN Akar Persamaan Karakteristik Konstanta yang memenuhi selesaian persamaan karakteristik Contoh Persamaan Diferensial y x dx dy dx d y 3 4 sin 2 2 persamaan karakteristiknya adalah 3 4 0 2 D D akar-akar persamaan karakteristiknya adalah 4 dan -1 Angka Penting Konstanta pada selesaian persamaan diferensial Contoh xdx 2ydy 0 mempunyai selesaian umum (primiti) x y C 2 2 2 , C disebut angka penting dan primitif x y C 2 2 2 mempunyai satu angka penting Antiturunan Istilah lain yang digunakan untuk menyatakan Integral suatu fungsi dan dinotasikan dengan Bentuk Umum Penulisan yang lazim digunakan untuk menyatakan sesuatu bentuk tertentu dalam matematika Contoh Bentuk umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah M(x, y)dx N(x, y)dy 0 A f x f x dx X ( ) ( )
216 PERSAMAAN DIFERENSIAL Derajat Persamaan Diferensial Pangkat dari turunan tertinggi yang muncul dalam suatu persamaan diferensial Diferensiable Istilah yang digunakan untuk menyatakan bahwa suatu fungsi dapat ditentukan turunannya. Contoh 1 1 x y mempunyai turunan 3 2 1 1 dx x dy maka 1 1 x y dikatakan diferensiable Diferensial Perubahan yang terjadi pada variable dan dinyatakan dengan notasi . Misal 1 1,5 1 2 x dan x maka .x 0,5 Ekuivalen Senilai dan sejenis Eliminir Menjadikan nol salah satu variabel dalam suatu sistem persamaan Faktor Integral Pembagi integral Fungsi Suatu aturan korespondensi atau padanan yang menghubungkan setiap objek x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (domain) dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah hasil (range). Fungsi Betha Jika m>0 dan n>0 fungsi beta didefinisikan sebagai B(m,n) = 1 0 1 1 u (1 n) du m n a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat: 1. ( ) ( ) ( ) ( , ) m n m n B m n
Glosarium 217 2. 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 1 sin cos 2 0 2 1 2 1 m n m n d B m n m m Fungsi Eksplisit Fungsi yang secara umum dinyatakan dalam bentuk y f (x) atau z f (x, y) Fungsi Implisit Fungsi yang secara umum dinyatakan dalam bentuk f (x, y) 0 atau f (x, y,z) 0 Fungsi Operator Fungsi yang variabelnya dinyatakan dengan operator, misalnya operator diferensial dan secara umum dinyatakan dalam bentuk f (D)y Q(x) Contoh: 1. 2. Integrable Istilah lain yang digunakan untuk menyatakan bahwa suatu fungsi dapat diintegralkan Contoh xdx x c 2 2 1 Maka y = x dikatakan integrable Integral Parsial Salah satu cara yang digunakan untuk mengintegralkan fungsi dan dinyatakan dengan udv uv vdu Isogonal Tidak siku-siku Konvolusi Salah satu sifat transformasi Laplace invers yang dinyatakan dengan Jika { ( )} ( ) 1 L f s F t dan { ( )} ( ) 1 L g s G t maka 81 0 3 D D y 4 2 2 D y
218 PERSAMAAN DIFERENSIAL L f s g s F u G t u du F G t { ( ) ( )} ( ) ( ) * 0 1 F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi. Masalah Nilai Awal Persaamaan diferensial yang diberi syarat awal Contoh: Metode eliminasi Metode Lagrange Metode yang digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial liner. Operator Trasformasi Laplace Lambang untuk menyatakan transformasi Laplace suatu fungsi dan dinyatakan dengan Otogonal Besar sudut o 90 (siku-siku) Parameter Kostanta yang nilainya selalu berubah-ubah Pecahan Parsial Pecahan yang ditulis dalam bentuk penjumlahan Contoh 1 1 1 1 1 2 2 s s s Persamaan Kalimat terbuka dalam matematika yang dipisahkan oleh tanda sama dengan. Persamaan Polimial Persamaan yang dinyatakan dalam bentuk ... 0 1 1 3 3 2 1 2 a a x a x a x a x a x dan n n n n o n Persamaan Bernoulli Persamaan diferensial yang bentuk umumnya P(x) y y Q(x) dx dy n ( ) ( ) 1 P x y Q x dx dy y n n 1 2 0 (0) 1 2 x dx y dy dengan y
Glosarium 219 Persamaan Diferensial Suatu persamaan yang di dalamny terdapat turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Persamaan Diferensial Clairut Metode persamaan diferensial dengan cara mengubah persamaan semula menjadi bentuk y = px + f(p). Bentuk ini dinamakan persamaan Clairut. Persamaan Clairut mempunyai selesaian y = cx + f(c) yang diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan mengganti p dengan c pada persamaan yang diketahui. Persamaan Diferensial Eksak Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dinyatakan dalam bentuk M(x, y)dx N(x, y)dy 0 Yang menenuhi syarat x N x y y M (x, y) ( , ) Persamaan Diferensial Linear Persamaan diferensial linear tingkat satu derajat satu yang dinyatakan dalam bentuk umum ( ) ( ) ( ) 1 p x y q x dx dy p x o dimana ( ) 0, ( ), ( ) 1 p x p x q x o adalah fungsi x yang tidak bergantung kepada variabel y. Persamaan Diferensial tidak Eksak Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dinyatakan dalam bentuk M(x, y)dx N(x, y)dy 0 Yang menenuhi syarat x N x y y M (x, y) ( , ) Persamaan Karakteristik Persamaan yang digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat tinggi. Misal diketahui persamaan diferensial tingkat tinggi y x dx dy dx d y 3 4 sin 2 2
220 PERSAMAAN DIFERENSIAL Maka persamaan karakteristiknya adalah 3 4 0 2 D D Persamaan Diferensial Tingkat Satu Derajat Satu Persamaan diferensial yang didalamnya terdapat turunan tertinggi adalah turunan pertama dx dy dan turunan tertinggi tersebut berpangkat satu. Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dinyatakan dalam bentuk M(x, y)dx N(x, y)dy 0 Persamaan Diferensial Tingkat Satu Derajat Tinggi Persamaan diferenesial yang turunan tertingginya adalah turunan pertama dx dy dan bentuk umumnyaadalah ( , ) ( , ) ( , ) ... 1 ( , ) ( , ) 0 2 2 1 1 P x y dx dy P x y dx dy P x y dx dy P x y dx dy P x y n n n n n o Persamaan Diferensial Tingkat Tinggi Persamaan diferensial linear tingkat tinggi disebut pula sebagai persamaan diferensial linear tingkat-n. Secara umum persamaan diferensial tingkat tinggi dinyatakan dalam bentuk: ..... ( ) 3 1 3 2 3 2 1 2 1 1 P y Q x dx dy P dx d y P dx d y P dx d y P dx d y P n n n n n n n n n n o Dengan Po P P P Pn Pn 0, , , .......... , 1 2 3, 1 Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu M(x, y)dx N(x, y)dy 0 Dengan M(x, y) dan N(x, y) adalah fungsi homogen berderajat sama Contoh ( 0 2 2 xydx x y dy Persamaan Diferensial Simulutan Gabungan dan beberapa persamaan diferensial biasa atau parsial yang diberi syarat awal Contoh
Glosarium 221 , (0) 3, '(0) 2, (0) 0 '' ' ' dengan Y Y X Y X e Y X t t Peubah Variabel Primitif Selesaian umum persamaan diferensial atau disebut juga dengan persamaan keluarga kurva Reduksi Mengubah Rumus Penguraian Heaviside Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu k , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka n k t k k k e Q P Q s P s L 1 1 '( ) ( ) ( ) ( ) Selesaian khusus Selesaian persamaan diferensial yang diketahui syarat awal Separable Dapat dipisahkan Simultan Secara terus menerus Solusi Persamaan Diferensial Fungsi yang memenuhi suatu persamaan diferensial Substitusi Salah satu metode dalam menentukan selesaian persamaan diferensial tidak homogen dengan cara pengganti variabel. Syarat Awal Adalah persamaan diferensial tingkat n bersama dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai nilai pada variabel bebas yang sama. Syarat Cukup dan Perlu Syarat yang harus dipenuhi. Tabel Daftar Teorema Pernyataan dalam matematika yang kebenarannya dapat dibuktikan Tingkat Persamaan Turunan tertinggi yang muncul dalam suatu persamaan diferensial
222 PERSAMAAN DIFERENSIAL Diferensial Transformasi Perpindahan Transformasi Laplace Misalkan F(t) suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh: ` 0 L{F(t)} e F(t)dt f (s) st Karena L{F(t)} adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ) maka Transformasi Laplace invers Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika L{F(t)} f (s) maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace invers dari f(s). Secara simbolis ditulis ( ) { ( )} 1 F t L f s . 1 L disebut operator transformasi Laplace invers. Trayektori Persamaan keluarga kurva yang memotong primitiif suatu persamaan diferensial. Turunan Lambang matematika yang digunakan untuk menentukan nilai dari x f x x f x dx dy x ( ) ( ) lim 0 asalkan limitnya ada Variabel Peubah
Indeks 223 INDEKS A Akar persamaan, 134, 135 Antiturunan, vii, 215 B Bentuk Umum, vii, viii, 106, 122, 215 Bernoulli, 218 C Cara, vii, 108, 160, 172, 202, 208 Cauchy, 160 Clairut, 105, 108, 117, 118, 219 D Definisi, 166, 189 Derajat, viii, 107, 216, 220 Deret, 173, 197 Diferensial, v, vii, viii, 106, 117, 124, 126, 137, 159, 202, 204, 207, 213, 215, 216, 219, 220, 221, 222 E Eksak, vii, 219 Eksplisit, 217 F Faktor integral, 206 Fungsi, vii, 139, 145, 146, 147, 148, 152, 153, 154, 156, 157, 199, 216, 217, 221 H Heaviside, 165, 198, 201, 221 Homogen, vii, 126, 137, 159, 220 I Implisit, 217 Integrable, 217 Invers, viii, 139, 189, 191, 194 Isogonal, 217 K Koefisien, 126, 137, 152, 159, 202, 204 Konstanta, 195, 215 Konvolusi, 217 L Lagrange, 218 Laplace, v, viii, 165, 166, 167, 171, 172, 173, 175, 177, 178, 181, 183, 184, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 210, 213, 214, 217, 218, 222 Legendre, 160 Linear, vii, 112, 191, 214, 219
224 PERSAMAAN DIFERENSIAL M Metode, viii, 108, 121, 139, 144, 148, 149, 152, 155, 165, 172, 173, 194, 197, 207, 218, 219 O Otogonal, 218 P Pangkat, 216 Parameter, 148, 218 Parsial, 144, 217, 218 Pecahan, 144, 218 Persamaan, v, vii, viii, 105, 106, 107, 108, 110, 111, 111, 113, 115, 116, 117, 118, 122, 123, 124, 126, 127, 128, 129, 131, 132, 134, 134, 136, 137, 138, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 149, 150, 151, 153, 154, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 162, 165, 173, 202, 204, 206, 207, 213, 214, 215, 216, 218, 219, 220, 221, 222 Persamaan diferensial, 220 Peubah, 221, 222 Primitif, vii, 128, 221 R Reduksi, 221 Rumus, 198, 221 Rumus Penguraian, 198, 221 S Selesaian, vii, viii, 107, 118, 124, 136, 139, 141, 142, 144, 145, 146, 147, 150, 151, 152, 152, 154, 155, 157, 158, 158, 202, 221 Separable, 221 Simultan, viii, 207, 221 Spesifik, 155 Substitusi, 221 Syarat perlu dan cukup, 125 T Tabel, 221 Teorema, 166, 190, 221 Tingkat, viii, 106, 107, 124, 220, 221 Transformasi, viii, 165, 166, 171, 172, 173, 181, 189, 192, 193, 194, 202, 204, 213, 214, 222 Transformasi Laplace, 165 Trayektori, vii, 222 Turunan, vii, 197, 221, 222 U Umum, viii, 107, 124 V Variabel, vii, 159, 204, 221, 222
Penulis 225 PENULIS Dwi Purnomo, lahir di Metro-Lampung Tengah tanggal 4 Desember 1964 dibesarkan dalam lingkungan keluarga guru. Pendidikan Sekolah Dasar, Sekolah Lanjutan Pertama dan Sekolah Lanjutan Atas ditamatkan di MetroLampung Tengah. Setelah lulus Sekolah Lanjutan Atas penulis melanjutkan pendidikannya di Jurusan Pendididikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Lampung dan lulus pada tahun 1989. Berlatar belakang ijazah jurusan pendidikan Matematika, penulis diangkat dan ditetapkan sebagai tenaga pengajar di Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan (IKIP) Budi Utomo Malang pada tanggal 1 Maret 1990. Disela-sela kesibukannya sebagai pengajar, pada tahun 1996 penulis melanjutkan studi di program pascasarjana jurusan pendidikan Matematika IKIP Malang dan lulus pada tahun 1999. Selain sebagai pengajar, penulis juga aktif mengikuti berbagai pertemuan ilmiah dan pelatihan-pelatihan. Buku dan bahan bahan ajar yang telah dibuat penulis antara lain: (1) Kalkulus Diferensial, (2) Kalkulus Integral, (3) Kalkulus Peubah Banyak, (4) Keterampilan Guru dalam Berprofesi, dan (5) Statistika Dasar. Selain itu penulis aktif dalam memberikan pelatihan penelitian tindakan kelas dan pelatihan inovasi pembelajaran. Beberapa makalah yang ditulis dalam kegiatan pelatihan penelitian tindakan kelas antara lain: (1) Teknik Penyusunan Instrumen, Analisis Data dan Penyusunan Proposal Penelitian Tindakan Kelas. (2) Kerangka Pemikiran, Hipotesis Tindakan dan Metodologi Penelitian Tindakan Kelas, sedangkan makalah dalam kegiatan pelatihan inovasi pembelajaran antara lain, (1) Perancangan dan Pengembangan Materi Pembelajaran Inovatif. (2) Model Pembelajaran Kooperatif dan Langkah dalam
226 PERSAMAAN DIFERENSIAL Pembelajaran Kelas, dan (3) Produksi dan Penggunaan Media Pembelajaran. Riwayat Pekerjaan dan Jabatan. 1. Jabatan Lektor Kepala (803) pangkat Pembina Utama Muda IVc 2. 1990 – sekarang : Dosen IKIP Budi Utomo Malang 3. 2009 – sekarang : Ketua Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Pendidikan Ilmu Eksakta dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang.