. BHD. PENERBITDN. BHD. PENERBITSDN. BHD. PENERBDN. BHD. PENE
Rekod Prestasi Murid R1 Bab 1 Ubahan 1 Revisi Pantas 1 Praktis PBD 1.1 Ubahan Langsung 2 1.2 Ubahan Songsang 9 1.3 Ubahan Bergabung 14 Praktis Berformat SPM 18 Bab 2 Matriks 20 Revisi Pantas 20 Praktis PBD 2.1 Matriks 20 2.2 Operasi Asas Matriks 24 Praktis Berformat SPM 39 Zon KBAT 42 Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans 43 Revisi Pantas 43 Praktis PBD 3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans 45 Praktis Berformat SPM 57 Zon KBAT 63 Bab 4 Matematik Pengguna: Percukaian 64 Revisi Pantas 64 Praktis PBD 4.1 Percukaian 67 Praktis Berformat SPM 82 Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi 88 Revisi Pantas 88 Praktis PBD 5.1 Kekongruenan 89 5.2 Pembesaran 92 5.3 Gabungan Transformasi 96 5.4 Teselasi 105 Praktis Berformat SPM 109 Bab 6 Nisbah dan Graf Fungsi Trigonometri 113 Revisi Pantas 113 Praktis PBD 6.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut θ, 0 ° θ 360° 116 6.2 Graf Fungsi Sinus, Kosinus dan Tangen 124 Praktis Berformat SPM 131 Zon KBAT 137 Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul 138 Revisi Pantas 138 Praktis PBD 7.1 Serakan 139 7.2 Sukatan Serakan 152 Praktis Berformat SPM 161 Bab 8 Pemodelan Matematik 165 Revisi Pantas 165 Praktis PBD 8.1 Pemodelan Matematik 166 Praktis Berformat SPM 179 Jawapan 182 Kandungan 00_Strategi A+ Math Tg5(Kand).indd 2 23/10/2023 1:59 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1.1 Ubahan Langsung Direct Variation 1 (a) y O x y berubah secara langsung dengan x. x ⇒ y fi x y x = k dengan keadaan k ialah pemalar perkadaran. Kecerunan graf = k. y varies directly as x. x ⇒ y fi x y x = k where k is a constant of proportionality. Gradient of graph = k. (b) y tidak berubah secara langsung dengan x. y does not vary directly as x. y O x Garis lurus tidak melalui asalan. The straight line does not pass through the origin. 2 Ubahan Variation Hubungan ubahan Variation relation Bentuk persamaan Equation form y berubah secara langsung dengan kuasa dua bagi x y varies directly as the square of x y ∝ x2 y = kx2 y berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga bagi x y varies directly as the cube root of x y ∝ fi x 3 atau/or y ∝ x 1 3 y = k fi x 3 atau/or y = kx 1 3 3 Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. Joint variation is a direct variation in which one variable varies as a product of two or more variables. Hubungan Relation Simbol Symbol Persamaan Equation y berubah secara tercantum dengan x dan z y varies jointly as x and z y ∝ xz y = kxz y = kxz dengan keadaan k ialah pemalar/such that k is a constant. 1.2 Ubahan Songsang Inverse Variation 1 y berubah secara songsang dengan x ⇒ y fi 1 x xy = k atau y = k x , dengan keadaan k ialah pemalar. y varies inversely as x ⇒ y fi 1 x. xy = k or y = k x , where k is a constant. 2 Ubahan Variation Hubungan ubahan Variation relation Bentuk persamaan Equation form y berubah secara songsang dengan punca kuasa dua bagi x y varies inversely as the square root of x y ∝ 1 fi x atau/or y ∝ x 1 2 y = k 1 fi x atau/or y = kx 1 2 y berubah secara songsang dengan kuasa tiga bagi x y varies inversely as the cube of x y ∝ 1 x3 atau/or y ∝ x–3 y = k 1 x3 atau/or y = kx–3 y ∝ 1 xn , n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 y 1—–– x 0 n y x n 0 1.3 Ubahan Bergabung Combined Variation 1 Ubahan bergabung melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang. Combined variation involves a combination of direct variation or joint variation, and inverse variation. Hubungan Relation Simbol Symbol Persamaan Equation y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z y varies directly as x and inversely as z. y ∝ x z y = kx z y berubah secara tercantum dengan p dan q tetapi secara songsang dengan z. y varies jointly as p and q, but inversely as z. y ∝ pq z y = kpq z k ialah pemalar/ k is a constant Ubahan Variations Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Bab 1 1.1 Ubahan Langsung Direct Variation 1 (a) y O x y berubah secara langsung dengan x. x ⇒ y fi x y x = k dengan keadaan k ialah pemalar perkadaran. Kecerunan graf = k. y varies directly as x. x ⇒ y fi x y x = k where k is a constant of proportionality. Gradient of graph = k. (b) y tidak berubah secara langsung dengan x. y does not vary directly as x. y O x Garis lurus tidak melalui asalan. The straight line does not pass through the origin. 2 Ubahan Variation Hubungan ubahan Variation relation Bentuk persamaan Equation form y berubah secara langsung dengan kuasa dua bagi x y varies directly as the square of x y ∝ x2 y = kx2 y berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga bagi x y varies directly as the cube root of x y ∝ fi x 3 atau/or y ∝ x 1 3 y = k fi x 3 atau/or y = kx 1 3 3 Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan keadaan satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil darab dua atau lebih pemboleh ubah yang lain. Joint variation is a direct variation in which one variable varies as a product of two or more variables. Hubungan Relation Simbol Symbol Persamaan Equation y berubah secara tercantum dengan x dan z y varies jointly as x and z y ∝ xz y = kxz y = kxz dengan keadaan k ialah pemalar/such that k is a constant. 1.2 Ubahan Songsang Inverse Variation 1 y berubah secara songsang dengan x ⇒ y fi 1 x xy = k atau y = k x , dengan keadaan k ialah pemalar. y varies inversely as x ⇒ y fi 1 x. xy = k or y = k x , where k is a constant. 2 Ubahan Variation Hubungan ubahan Variation relation Bentuk persamaan Equation form y berubah secara songsang dengan punca kuasa dua bagi x y varies inversely as the square root of x y ∝ 1 fi x atau/or y ∝ x 1 2 y = k 1 fi x atau/or y = kx 1 2 y berubah secara songsang dengan kuasa tiga bagi x y varies inversely as the cube of x y ∝ 1 x3 atau/or y ∝ x–3 y = k 1 x3 atau/or y = kx–3 y ∝ 1 xn , n = 1, 2, 3, 1 2 , 1 3 y 1—–– x 0 n y x n 0 1.3 Ubahan Bergabung Combined Variation 1 Ubahan bergabung melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang. Combined variation involves a combination of direct variation or joint variation, and inverse variation. Hubungan Relation Simbol Symbol Persamaan Equation y berubah secara langsung dengan x dan secara songsang dengan z y varies directly as x and inversely as z. y ∝ x z y = kx z y berubah secara tercantum dengan p dan q tetapi secara songsang dengan z. y varies jointly as p and q, but inversely as z. y ∝ pq z y = kpq z k ialah pemalar/ k is a constant Revisi Pantas 1 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 1 7/11/2023 1:59:18 PM MU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SDLMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTBIT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BA
1.1 Ubahan Langsung/ Direct Variation Latihan 1 Huraikan perubahan harga berdasarkan situasi di bawah. TP 1 Describe the price change based on the situation below. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan 1 x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 2 2.5 y x 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 y x ialah permalar. Maka, y berubah secara langsung dengan x. y —– x is a constant. Thus, y varies directly as x. 2 x 2 4 6 8 10 y 0 4 12 24 40 y x 0 1 2 3 4 y x bukan pemalar. Maka, y tidak berubah secara langsung dengan x. y —– x is not a constant. Thus, y does not vary directly as x. 1 x 1 2 3 4 5 y 8 16 24 32 40 y x 8 8 8 8 8 Penyelesaian y x ialah pemalar. Maka, y berubah secara langsung dengan x. y x is a constant. Thus, y varies directly as x. 1 0.5 kg tomato / 0.5 kg of tomatoes Harga tomato berkurang separuh daripada harga RMx sekilogram. The price of tomatoes decreases half of RMx per kilogram. 2 600 g terung / 600 g of eggplants 600 1 000 = 3 5 Harga terung berkurang kepada 3 5 daripada harga RMy sekilogram. The price of eggplants decreased to 3 5 of RMy per kilogram. 3 1 1 2 kg terung / 1 1 2 kg of eggplants 1 1 2 ⇒ 1.5 Harga terung bertambah 1.5 kali harga RMy sekilogram. The price of eggplants increases 1.5 times of RMy per kilogram. Harga buah dan sayur yang dijual oleh Encik Abu berubah secara langsung dengan jisimnya. Diberi bahawa harga 1 kg tomato dan terung masing-masing ialah RMx dan RMy. The price of fruits and vegetables sold by Encik Abu varies directly as their weight. Given that the price of 1 kg of tomatoes and eggplants is RMx and RMy respectively. Nyatakan perubahan harga jika Encik Abu menjual State the price change if Encik Abu sells 2 kg tomato / 2 kg of tomatoes Penyelesaian Harga tomato bertambah dua kali harga RMx sekilogram. The price of tomatoes increases two times of RMx per kilogram. Latihan 2 Lengkapkan jadual bagi nilai y x. Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. Complete the tables for the values of y x . Determine whether y varies directly as x. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. TP 2 Praktis PBD Contoh 1 Contoh 2 2 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 2 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 x 1 2 3 4 5 y 2 8 18 32 50 y x2 2 2 2 2 2 y x3 2 1 2 3 1 2 2 5 y x 3 5.66 10.39 16 22.36 y x2 ialah pemalar. Maka, y berubah secara langsung dengan x2 . y —– x2 is a constant. Thus, y varies directly as x2 . 2 x 1 4 9 16 25 y 100 200 300 400 500 y x2 100 125 100 27 25 16 4 5 y x3 100 3.125 100 243 25 256 4 125 y x 100 100 100 100 100 y x ialah pemalar. Maka, y berubah secara langsung dengan x . y —–––x is a constant. Thus, y varies directly as x . Latihan 3 Lengkapkan jadual bagi nilai y x2 , y x3 and y x . Tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x2 , x3 atau x . TP 2 Complete the tables for the values of y x2 , y x3 dan y x . Determine whether y varies directly as x2 , x3 or x . TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. x 1 2 3 4 5 y 5 20 45 80 125 y x2 5 5 5 5 5 y x3 5 2.5 5 3 1.25 1 y x 5 14.14 25.98 40 55.9 Penyelesaian y x2 ialah pemalar. y x2 is constant. Maka, y berubah secara langsung dengan x2 . Thus, y varies directly as x2 . Contoh 3 Contoh 4 Latihan 4 Selesaikan. TP 2 Solve. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. Dengan melukis graf y melawan x, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. By drawing the graph of y against x, determine whether y varies directly as x. x 1 2 3 y 6 12 18 Penyelesaian Daripada graf, didapati garis lurus melalui asalan. Maka, y berubah secara langsung dengan x. From the graph, the straight line passes through the origin. Hence, y varies directly as x. 20 y 16 12 8 4 0 1 2 3 4 x Asalan Origin 3 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 3 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 5 Diberi ubahan x dan y. Ungkapkan y dalam sebutan x. TP 3 Given the variation of x and y. Express y in terms of x. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 y berubah secara langsung dengan punca kuasa dua x. y = 12 apabila x = 9. y varies directly as the square root of x. y = 12 when x = 9. y = k x 12 = k 9 12 = 3k k = 4 ∴ y = 4 x 2 y berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga x. y = 4 apabila x = 27. y varies directly as the cube root of x. y = 4 when x = 27. y = k3 x 4 = k3 27 4 = 3k k = 4 3 ∴ y = 4 3 3 x 3 y berubah secara langsung dengan kuasa dua x. y = 20 apabila x = 5. y varies directly as the square of x. y = 20 when x = 5. y = kx2 20 = k(5)2 20 = 25k k = 20 25 = 4 5 ∴ y = 4 5x2 y berubah secara langsung dengan kuasa tiga x. y = 4 apabila x = 2. y varies directly as the cube of x. y = 4 when x = 2. Penyelesaian y = kx3 4 = k(2)3 4 = 8k k = 4 8 = 1 2 ∴ y = 1 2 x3 1 Dengan melukis graf y melawan x, tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x. By drawing the graph of y against x, determine whether y varies directly as x. x 1 2 3 4 y 60 100 140 180 Daripada graf, didapati garis lurus tidak melalui asalan. Maka, y tidak berubah secara langsung dengan x. From the graph, the straight line does not pass through the origin. Hence, y does not vary directly as x. 2 Dengan melukis graf y melawan x , tentukan sama ada y berubah secara langsung dengan x . By drawing the graph of y against x , determine whether y varies directly as x . x 1 4 9 16 25 y 5 10 15 20 25 x 1 2 3 4 5 Daripada graf, didapati garis lurus melalui asalan. Maka, y berubah secara langsung dengan x . From the graph, the straight line passes through the origin. Hence, y varies directly as x . Bentuk persamaan Equation form Contoh 5 200 y 160 120 80 40 0 1 2 3 4 x 25 y 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 fiffx 4 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 4 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Luas permukaan melengkung, A, sebuah hemisfera berubah secara langsung dengan kuasa dua diameternya, d. Luas permukaan melengkung hemisfera itu ialah 3 850 cm2 apabila diameternya ialah 35 cm. Cari diameter hemisfera itu jika luas permukaan melengkungnya ialah 1 500 cm2 . The curved surface area, A, of a hemisphere varies directly as the square of its diameter, d. The curved surface area of the hemisphere is 3 850 cm2 when its diameter is 35 cm. Find the diameter of the hemisphere if its curved surface area is 1 500 cm2 . A ∝ d2 A = kd2 3 850 = k(352 ) k = 22 7 A = 22 7 d2 2 Isi padu bagi sebuah kubus, V, berubah secara langsung dengan kuasa tiga sisinya, x. Isi padu kubus itu ialah 64 cm3 apabila sisinya 4 cm. Cari isi padu kubus itu jika sisinya ialah 7 cm. The volume of a cube, V, varies directly as the cube of its side, x. The volume of the cube is 64 cm3 when its side is 4 cm. Find the volume of the cube if its side is 7 cm. V ∝ x3 V = kx3 64 = k(43 ) k = 1 V = x3 V = 73 = 343 cm3 Latihan 6 Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan q . Ungkapkan p dalam sebutan q. Given that p varies directly as q . Express p in terms of q. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah. TP 3 1 p = 10 dan/and q = 4 p = k q 10 = k( 4 ) 2 p = 3 dan/and q = 9 16 p = k q 3 = k 9 16 3 = k 3 4 p = 2 dan/and q = 25 Penyelesaian p = k q 2 = k 25 2 = 5k k = 2 5 ∴ p = 2 5 q Latihan 7 Selesaikan. / Solve. TP 4 TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Rintangan, R, wayar berubah secara langsung dengan panjang wayar, L. Rintangan wayar ialah 40 Ω apabila panjangnya 60 cm. Cari panjang wayar jika rintangannya ialah 70 Ω. The resistance, R, of a wire varies directly as the length of the wire, L. The resistance of the wire is 40 Ω when its length is 60 cm. Find the length of the wire if it has a resistance of 70 Ω. Penyelesaian R ∝ L R = kL 40 = k(60) k = 2 3 R = 2 3 L 70 = 2 3 L L = 105 cm R L = pemalar/ constant 40 60 = 70 L 40L = 4 200 L = 105 cm 1 500 = 22 7 d2 d2 = 7 22 × 1 500 = 477.27 d = 477.27 = 21.85 cm Latihan 8 Diberi bahawa y berubah secara tercantum dengan x dan z. Ungkapkan y dalam sebutan x dan z. TP 4 It is given that y varies jointly as x and z. Express y in terms of x and z. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 x = 7, z = 3 dan/and y = 84 y = kxz 84 = k(7)(3) 84 = 21k k = 4 ∴ y = 4xz 2 x = 6, z = 1 2 dan/and y = 14 y = kxz 14 = k(6) 1 2 14 = 3k x = 2, z = 5 dan/and y = 8 Penyelesaian y = kxz 8 = k(2)(5) 8 = 10k k = 8 10 = 4 5 ∴ y = 4 5 xz Contoh 6 Contoh 7 Kaedah Alternatif Contoh 8 k = 10 2 = 5 ∴ p = 5 q k = 3 × 4 3 = 4 ∴ p = 4 q k = 14 3 ∴ y = 14 3 xz 5 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 5 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 9 Diberi bahawa p berubah secara tercantum dengan q2 dan r. Ungkapkan p dalam sebutan q dan r. TP 4 Given that p varies jointly as q2 and r. Express p in terms of q and r. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 p = 150, q = 5 dan/and r = 2 p = kq2 r 150 = k(5)2 (2) 150 = 50k k = 150 50 = 3 ∴ p = 3q2 r 2 p = 35, q = 4 dan/and r = 7 p = kq2 r 35 = k(4)2 (7) 35 = 112k k = 35 112 = 5 16 ∴ p = 5 16 q2 r p = 18, q = 3 dan/and r = 6 Penyelesaian p = kq2 r 18 = k(3)2 (6) 18 = 54k k = 18 54 = 1 3 ∴ p = 1 3 q2 r Latihan 10 Selesaikan masalah yang berikut. TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Diberi D berubah secara langsung dengan 3 E , D = 2 apabila E = 1 216. Given D varies directly as 3 E, D = 2 when E = 1 216. (a) Ungkapkan D dalam sebutan E. Express D in terms of E. (b) Hitung nilai E jika D = 9. Calculate the value of E if D = 9. D = k3 E 2 = k3 1 216 2 = 1 6k k = 12 (a) D = 123 E (b) 9 = 123 E 3 4 = 3 E E = 3 4 3 = 27 64 2 Diberi k ∝ h2 , k = 125 apabila h = 5. Given k ∝ h2 , k = 125 when h = 5. (a) Ungkapkan k dalam sebutan h. Express k in terms of h. (b) Hitung nilai k jika h = 11. Calculate the value of k if h = 11. k = ph2 , p ialah pemalar/ p is a constant 125 = p(5)2 p = 125 25 = 5 (a) k = 5h2 (b) k = 5(11)2 = 605 3 Diberi W ∝ d 1 2, W = 495 apabila d = 121. Given W ∝ d 1 2 , W = 495 when d = 121. (a) Ungkapkan W dalam sebutan d. Express W in terms of d. (b) Hitung nilai d jika W = 180. Calculate the value of d if W = 180. 495 = k(121) 1 2 495 = 11k k = 495 11 = 45 (a) W = 45d 1 2 (b) 180 = 45d 1 2 d 1 2 = 4 d = (4)2 = 16 Diberi v berubah secara langsung dengan u2 , v = 8 apabila u = 2. Given v varies directly as u2 , v = 8 when u = 2. (a) Ungkapkan v dalam sebutan u. Express v in terms of u. (b) Hitung nilai v jika u = 5. Calculate the value of v if u = 5. Penyelesaian v = ku2 dengan keadaan k ialah pemalar. v = ku2 where k is a constant. 8 = k(2)2 8 = 4k k = 8 4 = 2 (a) v = 2u2 (b) v = 2(5)2 = 50 2(5)2 = 102 = 100 Pengiraan ini tidak menggunakan BODMAS. Murid mesti mengira kuasa dahulu, kemudian mendarab. This calculation does not perform the power first, then multiply. Contoh 9 Contoh 10 Kesilapan Umum 6 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 6 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 11 Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 1 Diberi bahawa P ∝ Q2 . Cari nilai n dalam jadual di bawah. Given that P ∝ Q2 . Find the value of n in the table below. Q 3 4 P 18 n P = kQ2 18 = k(3)2 k = 18 9 = 2 P = 2Q2 n = 2(4)2 = 32 2 Diberi bahawa s ∝ t3 . Cari nilai w dalam jadual di bawah. Given that s ∝ t3 . Find the value of w in the table below. t 2 w s 14 2 187 s = kt 3 24 = k(2)3 k = 24 8 = 3 s = 3t 3 2 187 = 3(w)3 w = 3 729 = 9 3 Diberi bahawa p ∝ 3 r . Cari nilai h dalam jadual di bawah. Given that p ∝ 3 r . Find the value of h in the table below. r 125 h p 15 6 p = k 3 r 3 h = 6 3 3 h = 2 h = 23 = 8 15 = k 3 125 15 = 5k k = 3 p = 33 r 6 = 33 h Diberi bahawa y ∝ x . Cari nilai m dalam jadual di bawah. Given that y ∝ x . Find the value of m in the table below. x 36 m y 8 3 Penyelesaian y = k x 3 = 4 3 m m = 9 4 m = 9 4 2 = 81 16 8 = k 36 8 = 6k k = 8 6 = 4 3 y = 4 3 x 1 Diberi bahawa w berubah secara tercantum dengan x dan y. w = 12 apabila x = 3 dan y = 5. Cari nilai w apabila x = 4 dan y = 3. It is given that w varies jointly as x and y. w = 12 when x = 3 and y = 5. Find the value of w when x = 4 and y = 3. w = kxy w = 4 5 (4)(3) = 48 5 12 = k(3)(5) 12 = 15k k = 12 15 = 4 5 Latihan 12 Selesaikan masalah berikut. TP 5 Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Diberi bahawa m berubah secara tercantum dengan n dan p. m = 10 apabila n = 4 dan p = 8. Cari nilai m apabila n = 12 dan p = 20. It is given that m varies jointly as n and p. m = 10 when n = 4 and p = 8. Find the value of m when n = 12 and p = 20. Penyelesaian m = knp m = 5 16 np = 5 16 (12)(20) = 75 10 = k(4)(8) 10 = 32k k = 10 32 = 5 16 Contoh 11 Contoh 12 7 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 7 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 S berubah secara tercantum dengan P dan M. S = 28 apabila P = 49 dan M = 2. Cari nilai P apabila S = 30 dan M = 5. S varies jointly as P and M. S = 28 when P = 49 and M = 2. Find the value of P when S = 30 and M = 5. S = k P M S = 2 P M 30 = 2 P (5) 30 = 10 P P = 3 ( P ) 2 = 32 ∴ P = 9 28= k 49 (2) 28= 14k k = 2 3 y berubah secara tercantum dengan x2 dan z . Cari nilai a. y varies jointly as x2 and z . Find the value of a. x z y 2 16 32 a 9 24 y = kx2 z y = 2x2 z 24 = 2a2 9 24 = 6a2 a2 = 4 ∴ a = 4 = 2 32 = k(2)2 16 32 = 16k k = 2 1 Daya bersih yang bertindak pada suatu objek berubah secara langsung dengan jisim objek dan pecutan objek. Sebuah kereta berjisim 1 000 kg bergerak pada pecutan 5 m s–2 apabila daya bersih 5 000 N bertindak ke atasnya. Cari pecutan sebuah lori berjisim 2 200 kg jika daya bersih 5 500 N bertindak ke atasnya. The net force acting on an object varies directly as the mass of the object and the acceleration of the object. A car of mass 1 000 kg moves at an acceleration of 5 m s–2 when a net force of 5 000 N acts on it. Find the acceleration of a lorry with a mass of 2 200 kg if a net force of 5 500 N acts on it. Andaikan F = daya, m = jisim dan a = pecutan Assume that F = force, m = mass and a = acceleration F ∝ ma F = kma 5 000 = k(1 000)(5) k = 1 ∴ F = ma 5 500 = 2 200 a a = 2.5 m s–2 Latihan 13 Selesaikan masalah berikut. TP 5 KBAT Menilai Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Tekanan dalam cecair, P, berubah secara langsung dengan kedalaman, h dan ketumpatan, ρ. Pressure in liquid, P, varies directly as the depth, h and the density, ρ. (a) Ungkapkan P dalam sebutan h dan ρ. Express P in terms of h and ρ. (b) Hitung nilai m. Calculate the value of m. Penyelesaian (a) P ∝ h ρ (b) m = 10(12)(1 100) P = kh ρ = 132 000 Pa 32 000 = k(4)(800) k = 10 ∴ P = 10h ρ Contoh 13 P (Pa) 32 000 m h (m) 4 12 ρ (kg m–3) 800 1 100 8 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 8 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1.2 Ubahan Songsang/ Inverse Variation Latihan 14 Huraikan perubahan pada nilai berdasarkan situasi di bawah. TP 1 Describe the change in value based on the situation below. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan. 1 Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara bilangan chef dan masa yang diambil untuk menyediakan makanan. The following table shows the relationship between the number of chefs and the time required to prepare food. Bilangan chef / Number of chefs, n 2 4 6 Masa (jam) / Time (hour), t 6 3 2 Nyatakan perubahan masa yang diambil untuk menyediakan makanan jika bilangan chef. State the change in time taken to prepare food if the number of chefs (a) berkurang separuh, (b) bertambah 1.5 kali ganda. decreases by half, increases by 1.5 times. 2 Perbelanjaan (RM), E Expenditures (RM), E 280 300 400 600 Simpanan (RM), S Savings (RM), S 1 105 1 000 850 500 Jumlah simpanan berubah secara songsang dengan perbelanjaan. Nyatakan perubahan pada jumlah simpanan dalam jadual jika The savings amount varies inversely with expenditures. State the change in savings amount in the table if (a) perbelanjaan bertambah sekali ganda, (b) perbelanjaan berkurang 30%. the expenditures are doubled, the expenses are reduced by 30%. Jumlah simpanan berkurang separuh. Jumlah simpanan bertambah sebanyak 30%. The amount of savings is halved. The amount of savings increased by 30%. 2 Tenaga kinetik, E, objek yang bergerak berubah secara langsung dengan jisim objek, m dan kuasa dua kelajuannya, v. Kinetic energy, E, of a moving object varies directly as the object mass, m and square of its speed, v. (a) Ungkapkan E dalam sebutan m dan v. Express E in terms of m and v. (b) Cari nilai p. Find the value of p. (a) E a mv2 (b) 150 = 0.5(12) p2 150 = 6v2 p2 = 25 p = 5 E = kmv2 36 = k(8)(32 ) 36 = 72k k = 0.5 E = 0.5mv2 Masa penyediaan berganda dua. The preparation time is doubled. n t 2 6 6 2 Masa penyedian berkurang 1.5 kali ganda. The preparation time reduced by 1.5 times. n t 4 3 6 2 Contoh 14 E 36 150 m 8 12 v 3 p ÷ 2 × 2 × 1.5 ÷ 1.5 × 2 E S 300 1 000 600 500 ÷ 2 E S 400 850 280 1 105 × 0.7 × 1.3 9 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 9 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 15 Lengkapkan jadual bagi nilai xy. Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x. Complete the tables for the values of xy. Determine whether y varies inversely as x. TP 2 TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. 1 x 15 7.5 5 3.75 3 y 1 2 3 4 5 xy 15 15 15 15 15 xy ialah pemalar. Maka, y berubah secara songsang dengan x. xy is a constant. Thus, y varies inversely as x. 2 x 1 3 5 7 9 y 2 4 6 8 10 xy 2 12 30 56 90 xy bukan pemalar. Maka, y tidak berubah secara songsang dengan x. xy is not a constant. Thus, y does not vary inversely as x. x 1 2 4 5 8 y 8 4 2 1.6 1 xy 8 8 8 8 8 xy ialah pemalar. Maka, y berubah secara songsang dengan x. xy is constant. Thus, y varies inversely as x. Contoh 15 Contoh 16 Latihan 16 Lengkapkan jadual bagi nilai x2 y, x3 y atau 3 x y. Tentukan sama ada y berubah secara songsang dengan x2 , x3 atau 3 x . TP 2 Complete the tables for the values of x2 y, x3 y or 3 x y. Determine whether y varies inversely as x2 , x3 or 3 x . TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang ubahan. 1 x 2 4 6 8 y 6.25 1.5625 0.6944 0.3906 x2 y 25 25 25 25 x3 y 50 100 150 200 3 x y 7.8745 2.4803 1.2618 0.7812 x2 y adalah malar. Maka, y berubah secara songsang dengan x2 . x2 y is a constant. Thus, y varies inversely as x2 . 2 x 1 2 3 4 5 y 1 1 8 1 27 1 64 1 125 x2 y 1 1 2 1 3 1 16 1 25 x3 y 1 1 1 1 1 3 x y 1 0.1575 0.0534 0.02480 0.01368 x3 y adalah malar. Maka, y berubah secara songsang dengan x3 . x3 y is a constant. Thus, y varies inversely as x3 . 3 x 1 2 3 4 5 y 225 56.25 25 14.0625 9 x2 y 225 225 225 225 225 x3 y 225 450 675 900 1 125 3 x y 225 70.87 36.0562 22.32 15.39 x2 y adalah malar. Maka, y berubah secara songsang dengan x2 . x2 y is a constant. Thus, y varies inversely as x2 . x 1 2 4 5 y 20 2.5 5 16 4 25 x2 y 20 10 5 4 x3 y 20 20 20 20 3 x y 20 3.15 0.50 0.27 x3 y adalah malar. Maka, y berubah secara songsang dengan x3 . x3 y is constant. Thus, y varies inversely as x3 . 10 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 10 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 y = 9 dan/and x = 3 y = k x 9 = k 3 k = 27 ∴ y = 27 x 2 y = 10 dan/and x = 1 2 y = k x 10 = k 1 2 k = 10 1 2 = 5 ∴ y = 5 x Latihan 17 Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan x, ungkapkan y dalam sebutan x. TP 3 Given that y varies inversely as x, express y in terms of x. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ubahan untuk melaksanakan tugasan mudah. y = 3 dan/and x = 5 Penyelesaian y = k x 3 = k 5 k = 15 ∴ y = 15 x Latihan 18 Selesaikan masalah yang berikut. TP 4 KBAT Mengaplikasi Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 Diberi y berubah secara songsang dengan x2 . Given y varies inversely as x2 . y = 2 apabila/when x = 4. (a) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. (b) Hitung nilai y jika x = 2 3 . Calculate the value of y if x = 2 3 . y = k x2 2 = k 42 2 = k 16 k = 32 (a) y = 32 x2 (b) y = 32 2 3 2 = 32 × 9 4 = 72 Diberi y berubah secara songsang dengan x3 . Given y varies inversely as x3 . y = 1 8 apabila/when x = 4. (a) Ungkapkan y dalam sebutan x. Express y in terms of x. (b) Hitung nilai y jika x = 6. Calculate the value of y if x = 6. Penyelesaian y = k x3 1 8 = k 43 k = 1 8 × 64 = 8 (a) y = 8 x3 (b) y = 8 63 = 8 216 = 1 27 Contoh 17 Contoh 18 Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https://youtu.be/YTv6Eqim8sg untuk menonton video tutorial tentang penyelesaian masalah melibatkan ubahan songsang. Video Tutorial Bentuk persamaan Equation form y = kx3 (✕) Kesilapan Umum Video Tutorial 11 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 11 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 Diberi/Given C ∝ 1 N3. C = 64 apabila/when N = 1 2 . (a) Ungkapkan C dalam sebutan N. Express C in terms of N. (b) Hitung nilai C jika N = 6. Calculate the value of C if N = 6. C = k N3 64 = k 1 2 3 k = 64 × 1 8 = 8 (a) C = 8 N3 (b) C = 8 63 = 1 27 3 Diberi K berubah secara songsang dengan H. Given K varies inversely as H. K = 5 apabila/when H = 9. (a) Ungkapkan K dalam sebutan H. Express K in terms of H. (b) Hitung nilai H jika K = 3. Calculate the value of H if K = 3. K = C H , C ialah pemalar/C is a constant 5 = C 9 5 = C 3 C = 15 (a) K = 15 H (b) 3 = 15 H H = 15 3 = 5 H = 52 = 25 Latihan 19 Selesaikan masalah yang berikut. TP 4 Solve the following problems. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. Diberi bahawa p ∝ 1 q . Cari nilai n dalam jadual di bawah. Given that p ∝ 1 q . Find the value of n in the table below. p 8 36 q 9 n Penyelesaian p = k q 8 = k 9 8 = k 3 k = 24 p = 24 q 36 = 24 n n = 24 36 n = 2 3 n = 2 3 2 = 4 9 Contoh 19 Kesilapan Umum p ∝ 24 q p = 24 q 12 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 12 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Diberi bahawa y ∝ 1 x2 . Cari nilai m dalam jadual di bawah. Given that y ∝ 1 x2 . Find the value of m in the table below. x 2 14 y 6 m y = k x2 6 = k 4 k = 24 y = 24 x2 m = 24 142 = 24 196 = 6 49 2 Diberi bahawa Q ∝ 1 3 V . Cari nilai p dalam jadual di bawah. Given that Q ∝ 1 3 V Find the value of p in the table below. V 125 p Q 3 45 Q = k 3 V 3 = 1 3 125 = k 5 k = 5(3) k = 15 Q = 15 3 V 45 = 15 3 p 3 p = 1 3 p = 1 3 3 = 1 27 Latihan 20 Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Rintangan seutas wayar, R, berubah secara songsang dengan kuasa dua jejari, r, bagi keratan rentas wayar itu. Wayar yang berjejari 0.2 cm mempunyai rintangan 100 Ω. The resistance of a wire, R, varies inversely as the square of radius, r, of the cross section of the wire. A wire with a 0.2 cm radius has a resistance of 100 Ω. (a) Ungkapkan R dalam sebutan r. Express R in terms of r. (b) Hitung rintangan wayar yang berjejari 0.08 cm. Calculate the resistance of the wire with a 0.08 cm radius. Penyelesaian (a) R ∝ 1 r 2 k = 100 × 0.22 = 4 ∴ R = 4 r 2 (b) R = 4 0.082 R = = 625 Ω k r 2 100 = k 0.22 Contoh 20 13 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 13 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 21 Tulis setiap ubahan yang berikut dalam bentuk persamaan. TP 1 Write each of the following variations in the form of an equation. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ubahan. 1 x berubah secara langsung dengan y2 dan secara songsang dengan z2 . x varies directly as y2 and inversely as z2 . x ∝ y2 z2 x = ky2 z2 2 m berubah secara songsang dengan kuasa tiga n dan secara langsung dengan punca kuasa dua p. m varies inversely as the cube of n and directly as the square root of p. m ∝ p n3 m = k p n3 p berubah secara langsung dengan kuasa dua q dan secara songsang dengan punca kuasa dua r. p varies directly as the square of q and inversely as the square root of r. Penyelesaian p ∝ q2 r ∴ p = kq2 r , k ialah pemalar k is a constant Latihan 22 Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan Q dan secara songsang dengan R2 . Ungkapkan P dalam sebutan Q dan R. TP 4 Given that P varies directly as Q and inversely as R2 . Express P in terms of Q and R. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 P = 4 3 , Q = 400 dan/and R = 10 P = k Q R2 4 3 = k 400 102 4 3 = 20k 100 4 3 = 1 5 k k = 20 3 ∴ P = 20 Q 3R2 2 P = 392, Q = 49 dan/and R = 1 4 P = k Q R2 392 = k 49 1 4 2 392 = 7k 1 16 392 = 112k k = 7 2 ∴ P = 7 Q 2R2 P = 3, Q = 36 dan/and R = 2 Penyelesaian P = k Q R2 3 = k 36 22 3 = 6k 4 k = 3 × 4 6 = 2 ∴ P = 2 Q R2 1 Tekanan bagi suatu jisim gas yang tetap berubah secara songsang dengan isi padunya apabila suhu gas itu malar. Apabila isi padu gas ialah 50 cm3 , tekanan gas itu ialah 750 Pa. The pressure of a fixed mass of gas varies inversely as its volume, when the temperature of the gas is a constant. When the volume of the gas is 50 cm3 , the pressure of the gas is 750 Pa. (a) Ungkapkan tekanan gas, P dalam sebutan isi padu, V. Express the pressure of the gas, P in terms of its volume, V. (b) Cari isi padu gas itu jika tekanannya ialah 1 200 Pa. Find the volume of the gas if its pressure is 1 200 Pa. (a) P a 1 V k = 37 500 P = 37 500 V (b) 1 200 = 37 500 V V = 37 500 1 200 = 31.25 cm3 P = k V 750 = k 50 1.3 Ubahan Bergabung/ Combined Variation Contoh 21 Contoh 22 14 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 14 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 23 Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 KBAT Mengaplikasi Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 1 Diberi B ∝ U3 R . B = 3 apabila U = 9 dan R = 27. Given B ∝ U3 R . B = 3 when U = 9 and R = 27. (a) Ungkapkan B dalam sebutan U dan R. Express B in terms of U and R. (b) Hitung nilai U jika R = 12 dan B = 16 27. Calculate the value of U if R = 12 and B = 16 27 . B = kU3 R (a) B = U3 9R (b) 16 27 = U3 9(12) 16 27 = U3 108 U3 = 16 27 × 108 = 64 U = 3 64 = 4 3 = k(9)3 27 3 = 27k k = 3 27 = 1 9 2 Diberi S ∝ P M . S = 60 apabila P = 60 dan M = 9. Given S ∝ P M . S = 60 when P = 60 and M = 9. (a) Ungkapkan S dalam sebutan P dan M. Express S in terms of P and M. (b) Hitung nilai M jika S = 27 dan P = 72. Calculate the value of M if S = 27 and P = 72. S = kP M (a) S = 3P M (b) 27 = 3(72) M M = 216 27 = 8 M = 82 = 64 60 = k(60) 9 60 = 20k k = 60 20 = 3 3 Diberi S ∝ p m dan S = 7 apabila p = 6 dan m = 4. Given S ∝ p m and S = 7 when p = 6 and m = 4. (a) Ungkapkan S dalam sebutan p dan m. Express S in terms of p and m. (b) Hitung nilai p jika S = 7 dan m = 4. Calculate the value of p if S = 7 and m = 4. S = kp m (a) S = 7p 3 m (b) 7 = 7p 3 4 7 = 7p 6 42 = 7p p = 42 7 = 6 7 = k(6) 4 7 = 3k k = 7 3 Diberi y berubah secara langsung dengan x3 dan secara songsang dengan z. y = 16 apabila x = 2 dan z = 7. Given y varies directly as x3 and inversely as z. y = 16 when x = 2 and z = 7. (a) Ungkapkan y dalam sebutan x dan z. Express y in terms of x and z. (b) Hitung nilai y jika x = 3 dan z = 9. Calculate the value of y if x = 3 and z = 9. Penyelesaian y = kx3 z 16 = k(2)3 7 16 = 8k 7 k = 16 × 7 8 = 14 (a) y = 14x3 z (b) y = 14x3 z = 14(3)3 9 = 42 Contoh 23 15 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 15 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 24 Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 KBAT Mengaplikasi Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 1 Diberi bahawa x ∝ y z2 . Cari nilai n dalam jadual di bawah. Given that x ∝ y z2 . Find the value of n in the table below. x 21 1 3 y 7 n z 2 4 x = ky z2 x = 12y z2 1 3 = 12n (4)2 12n = 16 3 n = 16 3(12) n = 4 9 21 = k(7) 22 7k = 21 × 4 k = 84 7 = 12 2 Diberi bahawa K ∝ L M3 . Cari nilai a dalam jadual di bawah. Given that K ∝ L M3 . Find the value of a in the table below. K 4 1 4 L 400 100 M 1 a K = h L M3 1 4 = 0.2 100 a3 1 4a3 = 2 a3 = 8 a = 3 8 = 2 4 = h 400 13 20h = 4 h = 0.2 K = 0.2 L M3 3 Diberi bahawa N ∝ p2 Q. Cari nilai x dalam jadual di bawah. Given that N ∝ p2 Q . Find the value of x in the table below. P Q N 2 169 26 4 9 36 x N = kP2 Q x = 1 2 (4)2 9 36 = 1 2 (16) 1 2 = 4 26 = k(2)2 ( 169 ) 26 = 52k k = 26 52 = 1 2 N = 1 2 p2 Q Diberi bahawa p ∝ q2 r . Cari nilai v dalam jadual di bawah. Given that p ∝ q2 r . Find the value of v in the table below. p 6 18 q 2 3 r 16 v Penyelesaian p = kq2 r 6 = k(2)2 16 6 = 4k 4 k = 6 p = 6q2 r 18 = 6(3)2 v v = 54 18 = 3 v = 32 = 9 Contoh 24 16 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 16 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 25 Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 Solve the following problems. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang ubahan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 1 Diberi w berubah secara tercantum dengan x dan y2 tetapi secara songsang dengan z . w = 6 apabila x = 4, y = 5 dan z = 25. Given w varies jointly as x and y2 but inversely as z . w = 6 when x = 4, y = 5 and z = 25. (a) Ungkapkan w dalam sebutan x, y dan z. Express w in terms of x, y and z. (b) Hitung nilai w jika x = 2, y = 6 dan z = 16. Calculate the value of w if x = 2, y = 6 and z = 16. (a) w = kxy2 z (b) w = 3(2)(6)2 10 16 = 27 5 6 = k(4)(5)2 25 6 = 20k k = 6 20 = 3 10 w = 3xy2 10 z 2 Diberi d berubah secara songsang dengan e3 dan secara tercantum dengan 3 f dan g. It is given that d varies inversely as e3 and jointly as 3 f and g. d e f g 14 2 64 7 24 m 27 250 Cari nilai m. Find the value of m. d = k 3 f g e3 m3 = 4 3 27 (250) 24 m3 = 125 m = 3 125 = 5 14 = k 3 64 (7) 23 14 = 7 2 k 28 = 7k k = 4 d = 4 3 f g e3 24 = 4 3 27 (250) m3 3 Diberi bahawa m ∝ pq n2 . It is given that m ∝ pq n2 . m p q n 5 8 3 4 20 15 10 a Cari nilai a. Find the value of a. m = kpq n2 60a2 = 1 500 a2 = 25 a = 25 = 5 5 = k(8)(3) (4)2 80 = 24k k = 80 24 = 10 3 m = 10pq 3n2 20 = 10(15)(10) 3a2 Diberi p berubah secara tercantum dengan q3 dan r tetapi secara songsang dengan s2 . p = 10 apabila q = 2, r = 8 dan s = 4. Given p varies jointly as q3 and r but inversely as s2 . p = 10 when q = 2, r = 8 and s = 4. (a) Ungkapkan p dalam sebutan q, r dan s. Express p in terms of q, r and s. (b) Hitung nilai p jika q = 4, r = 5 dan s = 6. Calculate the value of p if q = 4, r = 5 and s = 6. Penyelesaian (a) p = kq3 r s2 10 = k(2)3 (8) 42 10 = 4k k = 10 4 = 5 2 p = 5q3 r 2s2 (b) p = 5(4)3 (5) 2(6)2 = 200 9 Contoh 25 17 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 17 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Isi padu suatu mangkuk hemisfera, V cm3 , berubah secara langsung dengan kuasa tiga jejarinya, r. Dengan menggunakan k sebagai pemalar, ungkapkan k dalam sebutan V dan r. The volume of a hemispherical bowl, V cm3 , varies directly as the cube of its radius, r. By using k as a constant, express k in terms of V and r. A k = V r 1 3 C k = Vr 1 3 B k = V r 3 D k = Vr 3 2 Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan punca kuasa tiga q dan secara songsang dengan kuasa dua r. Jika p ∝ qmrn , nyatakan nilai m dan nilai n. It is given that p varies directly as the cube root of q and varies inversely as the square of r. If p ∝ qmrn , state the value of m and of n. A m = 1 3 , n = 2 B m = 1 3 , n = –2 C m = 3, n = 2 D m = 3, n = –2 3 Jadual 1 menunjukkan beberapa nilai pemboleh ubah y dan z dengan keadaan y berubah secara songsang dengan punca kuasa dua z. Table 1 shows some values of variables y and z such that y varies inversely as the square root of z. y 8 4 z 4 16 Jadual 1/Table 1 Ungkapkan y dalam sebutan z. Express y in terms of z. A y = 4z C y = 1 2 z2 B y = 16 z D y = 128 z2 4 Diberi bahawa y berubah secara songsang dengan 3x – 2 dan y = 4 apabila x = 6. Cari nilai x apabila y = 6. Given that y varies inversely as 3x – 2 and y = 4 when x = 6. Find the value of x when y = 6. A 9 38 C 26 3 B 3 26 D 38 9 5 Jadual 2 menunjukkan beberapa nilai pemboleh ubah x, y dan z dengan keadaan x berubah secara langsung dengan kuasa dua y dan secara songsang dengan z. Table 2 shows some values of variables x, y and z such that x varies directly as the square of y and inversely as z. x y z 8 6 9 p 3 6 Jadual 2/Table 2 Hitung nilai p. Calculate the value of p. A 2 B 3 C 5 D 9 6 Diberi bahawa m ∝ 1 n dan m = 2 apabila n = 25. Hitung nilai m apabila n = 64. It is given that m ∝ 1 n and m = 2 when n = 25. Calculate the value of m when n = 64. A 5 32 B 25 32 C 1 D 5 4 7 Jadual 3 menunjukkan nilai P, M dan R. Diberi bahawa P berubah secara langsung dengan M dan berubah secara songsang dengan punca kuasa dua R. Table 3 shows the values of P, M and R. Given that P varies directly with M and varies inversely with the square root of R. P 5 2 M 6 4 R 9 k Jadual 3/Table 3 Hitung nilai k. Calculate the value of k. A 5 C 25 B 8 D 15 8 L berubah secara songsang dengan punca kuasa tiga M. Diberi bahawa k ialah pemalar. Cari hubungan antara L dengan M. L varies inversely as the cube root of M. Given that k is a constant. Find the relationship between L and M. A L = kM3 B L = k M3 C L = kM D L = k M 1 3 9 Hubungan antara x, y dan z ialah y ∝ z x . Diberi bahawa y = 3 5 apabila z = 6 dan x = 30. Hitung nilai x apabila y = 18 dan z = 42. The relationship between variables x, y and z is y ∝ z x . It is given that y = 3 5 when z = 6 and x = 30. Calculate the value of x when y = 18 and z = 42. A 7 C 9 B 8 D 10 Praktis Berformat SPM Kertas 1 18 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 18 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Rintangan, R, bagi seutas dawai X berubah secara langsung dengan panjangnya, L, dan secara songsang dengan luas keratan rentas, A dawai itu. The resistance, R, of wire X varies directly with its length, L, and varies inversely with the crosssectional area, A, of the wire. (a) Ungkapkan R dalam sebutan L dan A jika panjang dawai X ialah 2 m dengan luas keratan rentasnya ialah 8 × 10–7 m2 mempunyai rintangan 5 ohm. Express R in terms of L and A if the length of wire X is 2 m and its cross-sectional area is 8 × 10-7 m2 has a resistance of 5 ohms. (b) Cari rintangan jika panjang dawai X ialah 1.2 m dengan luas keratan rentas 5 × 10–8 m2 . Find the resistance if the length of wire X is 1.2 m with a cross-sectional area of 5 × 10–8 m2 . [4 markah/marks] (a) R = kL A dengan keadaan k ialah pemalar such that k is a constant 5 = k(2) 8 × 10–7 2k = 40 × 10–7 k = 2 × 10–6 ∴ R = 2 × 10–6 L A 2 Apabila roket semakin jauh dari permukaan bumi, kekuatan medan graviti, g, semakin berkurang. Kekuatan medan graviti berubah secara songsang dengan kuasa dua jarak dari pusat bumi, r. Diberi kekuatan medan graviti di atas permukaan ialah 10 N kg–1 dengan jejari bumi 6 400 km. Hitung kekuatan medan graviti yang dikenakan terhadap roket yang berada 12 800 km dari pusat bumi. When the rocket travels further from the surface of the earth, the gravitational field strength, g, is decreasing. The gravitational field strength changes inversely with the square distance from the centre of the earth, r. Given the strength of the gravity field on the surface is 10 N kg-1 with a radius of earth is 6 400 km. Calculate the strength of gravity field which is imposed on rocket at 12 800 km from the centre of the earth. [4 markah/marks] g α 1 r2 g = k r2 gr2 = k 10 × 6 4002 = g × 12 8002 g = 10 × 6 4002 12 8002 = 2.5 N kg–1 3 Tempoh ayunan, T suatu spring berpemberat berubah secara langsung dengan punca kuasa dua jisim pemberatnya, m. Tempoh ayunan ialah 2.24 s apabila jisimnya 20 g. Cari The oscillating period, T a loaded spring varies directly with square root of its mass of load, m. The oscillating period is 2.24 s when the mass is 20 g. Find (a) tempoh ayunan jika jisim pemberat ialah 64 g, the period of the oscillation if the load mass is 64 g, (b) jisim pemberat jika tempoh ayunannya ialah 3.16 s. the mass of the load if the period of oscillation is 3.16 s. [8 markah/marks] T a m, T = k m, k ialah pemalar/ k is a constant 2.24 = k 20 k = 2.24 20 = 0.5 ∴ T = 0.5 m (b) R = 2 × 10–6 × 1.2 5 × 10–8 = 48 ohm Kertas 2 (a) Jika/ If m = 64, T = 0.5 64 = 4 s (b) Jika/ If T = 3.16, 3.16 = 0.5 m m = 3.16 0.5 = 6.32 m = (6.32)2 = 39.94 g 19 01_Strategi A+ Math Tg5.indd 19 23/10/2023 2:00 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
20 2.1 Matriks/ Matrices Latihan 1 Bentukkan satu matriks yang mewakili maklumat yang diberi. TP 2 Form a matrix to represent the given information. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. Dalam ujian bulan Februari, Hui Thing memperoleh 85 markah dan 75 markah masing-masing dalam Matematik dan Matematik Tambahan. Xin Yi pula memperoleh 80 markah bagi kedua-dua subjek itu. Jerrine pula memperoleh 90 markah dan 70 markah masing-masing dalam subjek itu. In the February test, Hui Thing obtained 85 marks and 75 marks in Mathematics and Additional Mathematics respectively. Xin Yi obtained 80 marks for both subjects. Jerrine obtained 90 marks and 70 marks in the subjects respectively. Penyelesaian Matematik Mathematics Matematik Tambahan Additional Mathematics Hui Thing 85 75 Xin Yi 80 80 Jerrine 90 70 2.1 Matriks/ Matrices Baris / Row 1 → Baris / Row 2 → 2.2 Operasi Asas Matriks Basic Operation on Matrices 1 [ a b ] c d = [ac + bd] ➀ × 2 2 × ➀ = 1 × 1 3 a b c d e f = ae + bf ce + df ➁ × 2 2 × ➀ 2 × 1 a b c d e f ➀ ➁ ➂ → → → Lajur Column 4 a b c d e f g h = ae + bg af + bh ce + dg cf + dh ➁ × 2 2 × ➁ 2 × 2 5 [ a b ] c d e f = [ ac + be ad + bf ] ➀ × 2 2 × ➁ 1 × 2 6 Matriks identiti, I Identity matrix, I IA = AI = A I1 × 1 = [1], I 2 × 2 = 1 0 0 1 , I3 × 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 7 Matriks P ialah matriks songsang bagi matriks Q dan sebaliknya jika PQ = I dan QP = I, dengan keadaan I ialah matriks identiti. Matrix P is the inverse matrix of matrix Q and vice versa if PQ = I and QP = I, where I is the identity matrix. Peringkat matriks Order of matrix = Bilangan × Bilangan baris lajur Number of Number of rows × columns = 2 × 3 Sama / Same Sama / Same Sama / Same Sama / Same Sama / Same Matriks itu ialah/The matrix is 85 75 80 80 90 70 2 a b [ c d ] = ac ad bc bd ➁ × 1 1 × 2 = 2 × 2 Bab 2 Matriks Matrices Bidang Pembelajaran: Perkaitan dan Algebra Revisi Pantas Praktis PBD Contoh 1 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 20 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
21 1 Zu Wei menjalankan satu eksperimen untuk mengkaji hubungan antara sudut tuju, i, dengan sudut biasan, r, bagi cahaya yang merambat dari udara ke sebongkah kaca. Dia mencatatkan keputusan eksperimen seperti berikut. Zu Wei conducted an experiment to study the relationship between incident angle, i , and refracted angle, r, of light travels from air into a block of glass. He recorded the experimental result as follow. Apabila/ When i = 20°, r = 15° Apabila/ When i = 40°, r = 34° Apabila/ When i = 60°, r = 53° Apabila/ When i = 80°, r = 72° 2 Jadual di bawah menunjukkan bilangan murid lelaki dan murid perempuan di empat buah sekolah. The table below shows the number of boys and girls in four schools. Sekolah School P Q R S Lelaki Boys 210 105 167 59 Perempuan Girls 232 98 182 68 210 105 167 59 232 98 182 68 3 SMK Bukit Emas mempunyai dua buah kelas tingkatan 1. Tingkatan 1 Merah mempunyai 26 orang murid lelaki dan 20 orang murid perempuan, manakala Tingkatan 1 Hijau mempunyai 20 orang murid lelaki dan 18 orang murid perempuan. SMK Bukit Emas has two Form 1 classes. Form 1 Merah has 26 boys and 20 girls meanwhile Form 1 Hijau has 20 boys and 18 girls. Tingkatan Form Lelaki Boys Perempuan Girls 1 Merah 26 20 1 Hijau 20 18 26 20 20 18 Latihan 2 Nyatakan bilangan baris, bilangan lajur dan peringkat setiap matriks yang berikut. TP 1 State the number of rows, number of columns and the order of each of the following matrices. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks. Matriks Matrix Bilangan baris Number of rows Bilangan lajur Number of columns Peringkat matriks Order of matrix 2 0 1 6 0 8 3 2 3 × 2 1 3 –1 5 4 2 0 2 3 2 × 3 2 2 4 –1 3 1 3 × 1 3 3 4 –9 8 2 2 2 × 2 4 [4 –6 1 0] 1 4 1 × 4 Latihan 3 Tulis satu matriks bagi setiap peringkatnya. TP 2 Write a matrix for each of the following orders. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. (a) 1 × 2 [ 3 1 ] (b) 1 × 3 [ 1 0 9 ] 1 baris dan 2 lajur 1 row and 2 columns 1 baris dan 3 lajur 1 row and 3 columns Baris Row Lajur/Column Baris Row Lajur/Column i (°) r (°) 20 15 40 34 60 53 80 72 = 20 15 40 34 60 53 80 72 Contoh 2 Contoh 3 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 21 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
22 1 2 × 1 1 4 2 3 × 1 2 7 3 3 2 × 2 1 5 3 0 4 2 × 3 7 8 9 6 3 2 5 3 × 4 1 3 4 7 2 6 5 1 9 7 4 2 6 1 × 4 [ 1 7 6 9 ] Latihan 4 Kenal pasti unsur tertentu berdasarkan matriks P, diberi bahawa P = –2 0 –4 6 0.3 9 5 8 1 . TP 2 Identify the element based on matrix P, given that P = –2 0 –4 6 0.3 9 5 8 1 . TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. 1 p31 5 2 p32 8 3 p23 9 4 p33 1 5 p11 –2 6 p12 0 7 p21 6 8 p22 0.3 p13 = –4 baris pertama/1st row lajur ke-3/3rd column –2 0 –4 6 0.3 9 5 8 1 1 3 Lajur Column Baris Row Latihan 5 Cari nilai bagi setiap yang berikut berdasarkan matriks Q, diberi bahawa Q = 8 –3 9 –1 2 2 3 6 0 . Find the values of each of the following based on matrix Q, given that Q = 8 –3 9 –1 2 2 3 6 0 . TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. TP 3 1 q23 – q21 = 6 – 2 = 4 2 q14 – q12 = –1 – (–3) = –1 + 3 = 2 3 q22 – q13 = 2 3 – 9 = – 25 3 4 2q21 + 3q22 = 2(2) + 3 2 3 = 4 + 2 = 6 8 –3 9 –1 2 2 3 6 0 q11 q23 q11 + q23 = 8 + 6 = 14 Q = Contoh 4 Contoh 5 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 22 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
23 Latihan 6 Tentukan sama ada setiap pasangan matriks adalah sama. TP 2 Determine whether each of the following pairs of matrices is equal. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. (a) 0.5 6 –1.5 7 dan/and 1 2 6 – 3 2 7 Penyelesaian 0.5 6 –1.5 7 = 1 2 6 – 3 2 7 2 p + q 51 dan/and q + p 51 p + q 51 = q + p 51 3 2 5 dan/and [2 5] 2 5 ≠ [2 5] 2 5 2 6 7 3 dan/and 2.5 6 7 3 5 2 6 7 3 = 2.5 6 7 3 1 [a – b ab] dan/and [b – a ba] [a – b ab] ≠ [b – a ba] (b) [ 2 1 3 ] dan/and [ 1 2 3 ] Penyelesaian [ 2 1 3 ] ≠ [ 1 2 3 ] ≠ Peringkat sama dan unsur-unsur sepadan adalah sama. Same order and the corresponding elements are equal. Latihan 7 Tentukan nilai x dan y bagi setiap persamaan matriks. TP 3 Determine the values of x and y for each matrix equation. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 6 x –7 5 = 6 4 y 5 Penyelesaian 7 x –7 5 = 6 4 y 5 ∴ x = 4, y = –7 Bandingkan unsur-unsur yang sepadan. Compare the corresponding elements. 1 [ 3 x 6 ] = [ 3 4 y ] [ 3 x 6 ] = [ 3 4 y ] x = 4 , y = 6 2 2x – 10 y – 1 = 3x – 10 2 2x – 10 y – 1 = 3x – 10 2 2x – 10 = 3x – 10, y – 1 = 2 x = 0 y = 3 3 6 3 4 9 2y 10 5 = 6 0.75 6 – 3x 5y – 9 10 5 6 3 4 9 2y 10 5 = 9 = 6 – 3x 2y = 5y – 9 3x = –3 2y – 5y = –9 x = –1 –3y = –9 y = 3 4 [x + 5 0.8] = 6 – 2x 2 1 3 y [x + 5 0.8] = 6 – 2x 2 1 3 y x + 5 = 6 – 2x 2 0.8 = 1 3 y 2x + 10 = 6 – 2x y = 3(0.8) 4x = –4 = 2.4 x = –1 6 0.75 6 – 3x 5y – 9 10 5 Contoh 6 Contoh 7 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 23 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
24 2.2 Operasi Asas Matriks/ Basic Operation on Matrices Latihan 8 Cari hasil tambah dua matriks yang berikut. TP 3 Find the sum of the following two matrices. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. Menambah unsur-unsur sepadan Adding the corresponding elements 7 –2 4 –5 + –3 9 –6 –1 = 7 + (–3) –2 + 9 4 + (–6) –5 + (–1) = 4 7 –2 –6 1 2 –11 2 + 4 6 5 = 2 + 4 –11 + 6 2 + 5 = 6 –5 7 2 5 –10 + –4 23 = 5 + (–4) –10 + 23 = 1 13 3 [70 –40] + [–20 20] = [70 + [–20] – 40 + 20] = [50 –20] 4 –8 1 3 9 –5 11 + –1 4 –3 6 11 –19 = –8 – 1 1 + 4 3 – 3 9 + 6 –5 + 11 11 – 19 = –9 5 0 15 6 –8 5 –7 1 2 8 20 7 3 + –5 1 2 3 3 9 2 = –7 + (–5) 1 2 + 1 2 8 + 3 20 + 3 7 + 9 3 + 2 = –12 1 11 23 16 5 6 x 6 2y 6 + 2y –6 y 3 = x + 2y 6 + (–6) 2y – y 6 + 3 = x + 2y 0 3y 9 Latihan 9 Cari hasil tolak dua matriks. TP 3 Find the subtraction of the two matrices. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 2 –3 4 – –6 –8 1 1 7 9 – 6 4 = 7 – 6 9 – 4 = 1 5 2 [ 6 3 9 ] – [ 1 6 2 ] = [ 6 – 1 3 – 6 9 – 2 ] = [ 5 –3 7 ] Menolak unsur-unsur sepadan Subtracting the corresponding elements Penyelesaian 2 –3 4 – –6 –8 1 = 2 – (–6) –3 – (–8) 4 – 1 = 8 5 3 Contoh 8 Contoh 9 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 24 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
25 3 30 50 3 9 – –10 70 –6 4 = 30 – (–10) 50 – 70 3 – (–6) 9 – 4 = 40 –20 9 5 4 8 6 3 4 –10 7 – 2 9 –1 4 –12 2 = 8 – 2 6 – 9 3 – (–1) 4 – 4 –10 – (–12) 7 – 2 = 6 –3 4 0 2 5 5 2x 6 7 5y – x –5 1 2y = 2x – x 6 – (–5) 7 – 1 5y – 2y = x 11 6 3y 6 p 7 –3 q + 2 – –2p 5 –2 –q = p – (–2p) 7 – 5 –3 – (–2) q + 2 – (–q) = 3p 2 –1 2q + 2 Latihan 10 Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal. TP 3 Express each of the following as a single matrix. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 3 –4 0 2 + –2 5 3 6 – 3 0 1 –6 = 1 1 3 8 – 3 0 1 –6 = –2 1 2 14 1 1 2 + 6 7 – 3 4 = 7 9 – 3 4 = 4 5 2 10 20 30 – –2 7 10 + 5 9 –10 = 12 13 20 + 5 9 –10 = 17 22 10 3 [ 4 9 ] – [ –2 1 ] – [ 3 8 ] = [ 6 8 ] – [ 3 8 ] = [ 3 0 ] 4 –3 10 6 12 – 4 6 5 2 + 1 7 –3 9 = –7 4 1 10 + 1 7 –3 9 = –6 11 –2 19 Penambahan dan penolakan beberapa matriks dilakukan dari kiri ke kanan. Addition or subtraction of a few matrices is done from left to right. Contoh 10 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 25 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
26 Contoh 12 Latihan 11 Cari nilai x dan y dalam setiap persamaan matriks. TP 4 Find the values of x and y for each matrix equation. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 10 5 + x –2 = 6 3y 10 + x 5 + (–2) = 6 3y 10 + x = 6 , 3 = 3y x = –4 , y = 1 2 [ 6x – 2 7 ] – [ 2x y ] = [ 3 5 ] [ 6x – 2 – 2x 7 – y ] = [ 3 5 ] 4x – 2 = 3, 7 – y = 5 4x = 5 y = 2 x = 5 4 3 3x 2y + –x 3y = 10 –10 2x 5y = 10 –10 2x = 10 , 5y = –10 x = 5 y = –2 4 –2 8 2y –6 – x 1 3 2 = 2x 7 7 –8 –2 – x 8 – 1 2y – 3 –6 – 2 = 2x 7 7 –8 –2 – x = 2x 2y – 3 = 7 –2 = 3x 2y = 10 x = – 2 3 y = 5 5 2x 0 6 –3 + 3x –2 –9 5y = –20 –2 –3 3y 5x –2 –3 –3 + 5y = –20 –2 –3 3y 5x = –20 –3 + 5y = 3y x = –4 2y = 3 y = 3 2 3 x = 2y –4 + –5 11 Penyelesaian 3 x = 2y – 5 7 ∴ x = 7, 2y – 5 = 3 2y = 3 + 5 2y = 8 y = 4 Pendaraban Suatu Matriks dengan Suatu Nombor / Multiplication of a Matrix by a Number Latihan 12 Cari pendaraban matriks bagi setiap yang berikut. TP 3 Find the multiplication of each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 1 3 2 –4 = 3 × 2 3 × (–4) = 6 –12 2 –3 4 3 6 –5 = (–3) × 4 (–3) × 3 6 (–3) × (–5) = –12 – 3 2 15 2 3 6 –12 –3 15 = 2 3 × 6 2 3 × (–12) 2 3 × (–3) 2 3 × 15 = 4 –8 –2 10 Darabkan semua unsur dengan 2 3 Multiply all the elements by 2 3 Contoh 11 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 26 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
27 Contoh 13 Latihan 13 Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal. TP 4 Express each of the following as a single matrix. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 2 5 7 + 6 –10 = 2 × 5 2 × 7 + 6 –10 = 10 14 + 6 –10 = 16 4 2 6 2 5 – 3 1 2 3 + 2 10 5 1 = 6 2 5 – 3 × 1 3 × 2 3 × 3 + 2 × 10 2 × 5 2 × 1 = 6 2 5 – 3 6 9 + 20 10 2 = 23 6 –2 3 1 2 2 –14 18 22 + 5 6 7 8 – 3 –1 3 4 3 –2 = 1 –7 9 11 + 5 6 7 8 – –3 9 4 –6 = 6 –1 16 19 – –3 9 4 –6 = 9 –10 12 25 3 3 10 3 – 10 –2 + 2 4 3 = 9 10 – 10 –2 + 8 6 = 9 – 10 + 8 10 – (–2) + 6 = 7 18 Darabkan matriks dengan nombor terlebih dahulu. Kemudian, lakukan penolakan diikuti penambahan. Multiply the number with the matrix first. Then, do the subtraction and addition. 3 1 2 8 –20 22 = 1 2 × 8 1 2 × (–20) 1 2 × 22 = 4 –10 11 4 5 1 5 –0.2 6 –2 = 5 × 1 5 5 × (–0.2) 5 × 6 5 × (–2) = 1 –1 30 –10 5 0.2 30 –90 16 29 = 0.2 × 30 0.2 × (–90) 0.2 × 16 0.2 × 29 = 6 –18 3.2 5.8 Latihan 14 Diberi bahawa A = 2 1 –3 6 , B = –1 4 0 2 dan C = 7 0 3 1 . Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal. TP 4 Given that A = 2 1 –3 6 , B = –1 4 0 2 and C = 7 0 3 1 . Express each of the following as a single matrix. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 2A + 2B 2 2 1 –3 6 + 2 –1 4 0 2 = 4 2 –6 12 + –2 8 0 4 = 2 10 –6 16 2 2A – 2C 2 2 1 –3 6 – 2 7 0 3 1 = 4 2 –6 12 – 14 0 6 2 = –10 2 –12 10 3A – B = 3 2 1 –3 6 – –1 4 0 2 = 6 3 –9 18 – –1 4 0 2 = 7 –1 –9 16 Contoh 14 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 27 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
28 Contoh 15 1 p 5 – 2 2 q = 3 10 p 5 – 4 2q = 3 10 p – 4 5 – 2q = 3 10 p – 4 = 3 , 5 – 2q = 10 p = 7 –2q = 5 q = – 5 2 2 2 5 1 – 1 3 x y = 2 3 10 2 – x 3 y 3 = 2 3 10 – x 3 2 – y 3 = 2 3 3 2[ x 3 ] = [ 7 3y ] – [ –1 5 ] [ 2x 6 ] = [ 8 3y – 5 ] 2x = 8 , 3y – 5 = 6 x = 4 3y = 11 y = 11 3 4 4 p 1 0 q – 2 –1 2 –3 1 = –10 0 6 7 4p 4 0 4q – –2 4 –6 2 = –10 0 6 7 4p + 2 4 – 4 0 + 6 4q – 2 = –10 0 6 7 4p + 2 = –10, 4q – 2 = 7 4p = –12 4q = 9 p = –3 q = 9 4 5 2 6 3x x 2 – 2 1 0 5 7 = 2 5 –3 y 2 –5 12 6x 2x 4 – 2 0 10 14 = 10 –6 y –10 10 6x 2x – 10 –10 = 10 –6 y –10 ∴ 6x = –6, 2x – 10 = y x = –1 2(–1) – 10 = y y = –12 Latihan 15 Selesaikan setiap persamaan matriks yang berikut. TP 5 Solve each of the following matrix equations. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 2 x 3 –2 2 – 6 –3 0 y = x 9 –4 10 Penyelesaian 2x 6 –4 4 – 6 –3 0 y = x 9 –4 10 2x – 6 9 –4 4 – y = x 9 –4 10 ∴ 2x – 6 = x , 4 – y = 10 2x – x = 6 –y = 10 – 4 x = 6 –y = 6 y = –6 10 – x 3 = 2 , 2 – y 3 = 3 30 – x = 6 6 – y = 9 x = 24 y = -3 3 2B – C 2 –1 4 0 2 – 7 0 3 1 = –2 8 0 4 – 7 0 3 1 = –9 8 –3 3 4 2B – C + 3A 2 –1 4 0 2 – 7 0 3 1 + 3 2 1 –3 6 = –2 8 0 4 – 7 0 3 1 + 6 3 –9 18 = –9 8 –3 3 + 6 3 –9 18 = –3 11 –12 21 5 2(A – 3B + 2C) 2 2 1 –3 6 – 3 –1 4 0 2 + 2 7 0 3 1 = 2 2 1 –3 6 – –3 12 0 6 + 14 0 6 2 = 2 5 –11 –3 0 + 14 0 6 2 = 2 19 –11 3 2 = 38 –22 6 4 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 28 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
29 1 3 9 [ 6 5 ] 2 × 1 = 1 × 2 Boleh didarab./ Can be multiplied. Peringkat matriks hasil darab/ The order of product = 2 × 2 2 4 0 1 3 2 3 × 1 ≠ 2 × 1 Tidak boleh didarab. Cannot be multiplied. 3 9 6 8 1 1 0 2 × 2 = 2 × 1 Boleh didarab./ Can be multiplied. Peringkat matriks hasil darab/ The order of product = 2 × 1 4 –2 5 4 9 [ 1 5 ] 2 × 2 ≠ 1 × 2 Tidak boleh didarab. Cannot be multiplied. Pendaraban Dua Matriks / Multiplication of Two Matrices Latihan 16 Tentukan sama ada setiap pasangan matriks yang berikut boleh didarab. Nyatakan peringkat matriks yang terhasil jika pendaraban boleh dilakukan. TP 1 Determine whether each of the following pairs of matrices can be multiplied. State the order of the product of the matrices if the multiplication can be done. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang matriks. (a) [ 2 1 4 ] 4 7 Penyelesaian 1 × 3 ≠ 2 × 1 (b) [ 4 5 ] –1 4 0.2 3 Penyelesaian 1 × 2 = 2 × 2 Boleh didarab. Peringkat matriks hasil darab = 1 × 2. Can be multiplied. The order of the product is 1 × 2. Tidak boleh didarab. Cannot be multiplied. Latihan 17 Cari hasil darab bagi setiap pasangan matriks yang berikut. TP 3 Find the product for each of the following pairs of matrices. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) [ 1 3 ] 3 4 = [1 × 3 + 3 × 4] = [15] (b) –4 3 [2 6] = –4 × 2 –4 × 6 3 × 2 3 × 6 = –8 –24 6 18 1 [ 5 1 ] 5 1 = [5 × 5 + 1 × 1] = [26] 2 [ 1 2 ] –6 3 = [1 × (–6) + 2 × 3] = [0] 3 6 7 [ 4 1 ] = 6 × 4 6 × 1 7 × 4 7 × 1 = 24 6 28 7 4 6 1 2 [ 8 –2 ] = 6 × 8 6 × (–2) 1 2 × 8 1 2 × (–2) = 48 –12 4 –1 Contoh 16 Contoh 17 1 2 [ 3 4 ] = [1 × 3 + 2 × 4] = [11] Kesilapan Umum 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 29 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
30 Contoh 18 Latihan 18 Cari hasil darab setiap yang berikut. TP 3 Find the product of each of the following. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. (a) 3 –2 2 4 2 4 = 3 × 2 + (–2) × 4 2 × 2 + 4 × 4 = –2 20 1 4 7 2 3 –1 2 = 4 × (–1) + 7 × 2 2 × (–1) + 3 × 2 = 10 4 2 0.2 –2 3 5 5 –1 = 0.2 × 5 + (–2) × (–1) 3 × 5 + 5 × (–1) = 3 10 3 1 3 5 8 1 0 6 9 = 1 × 1 + 3 × 6 1 × 0 + 3 × 9 5 × 1 + 8 × 6 5 × 0 + 8 × 9 = 19 27 53 72 4 4 2 3 –2 7 2 1 –6 3 = 4 × 2 + 2 3 (–6) 4 × 1 + 2 3 × (3) –2 × 2 + 7 × (–6) –2 × 1 + 7 × 3 = 4 6 –46 19 5 [ 2 1 ] 1 9 5 –6 = [2 × 1 + 1 × 5 2 × 9 + 1 × (–6)] = [ 7 12 ] 6 [ 8 –2 ] –1 3 –0.5 4 = [ 8 × (–1) + (–2) × (–0.5) 8 × 3 + (–2) × 4 ] = [ –7 16 ] Latihan 19 Cari nilai x dan y bagi setiap persamaan matriks. TP 4 TP 5 Find the values of x and y for each matrix equation. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. (a) x 2 –2 y 4 –3 = 10 1 Penyelesaian 4x – 6 –8 – 3y = 10 1 4x – 6 = 10 , –8 – 3y = 1 4x = 16 –3y = 9 x = 4 y = –3 (b) x 3 [ 5 y ] = 30 –24 15 –12 Penyelesaian 5x xy 15 3y = 30 –24 15 –12 5x = 30 , 3y = –12 x = 6 y = –4 5 4 1 0 6 3 6 1 9 = 4 × 3 + 1 × 1 4 × 6 + 1 × 9 0 × 3 + 6 × 1 0 × 6 + 6 × 9 = 13 33 6 54 6 8 3 2 [ 3 –1 4 ] = 8 × 3 8 × (–1) 8 × 4 3 × 3 3 × (–1) 3 × 4 2 × 3 2 × (–1) 2 × 4 = 24 –8 32 9 –3 12 6 –2 8 (b) 2 5 –1 7 3 4 0 –6 = 2 × 3 + 5 × 0 2 × 4 + 5 × (–6) –1 × 3 + 7 × 0 –1 × 4 + 7 × (–6) = 6 –22 –3 –46 Kesilapan Umum [ 2 1 ] 4 1 3 2 = 2 × 4 1 × 1 2 × 3 1 × 2 = 8 1 6 2 Contoh 19 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 30 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
31 1 3 x [ –4 y ] = –12 –6 4 – 1 3 –12 3y –4x xy = –12 –6 4 – 1 3 3y = –6 , –4x = 4 y = –2 x = –1 2 [ x y ] 2 4 5 –2 = [ 12 2 ] [2x + 5y 4x – 2y] = [ 12 2 ] 2x + 5y = 12 ..........➀ 4x – 2y = 2 ............➁ ➁ + 2: 2x – y = 1 ............➂ ➀ – ➂: 6y = 11 y = 11 6 Dari/From ➂ 2x – 11 6 = 1 2x = 17 6 x = 17 12 3 2x 2 4 2y 2 3 = x 2y 4x + 6 8 + 6y = x 2y 4x + 6 = x , 8 + 6y = 2y 3x = –6 4y = –8 x = –2 y = –2 4 x 1 2y 3 x 2 = 11 4 ; x > 0 x2 + 2 2yx + 6 = 11 4 x2 + 2 = 11 , 2yx + 6 = 4 x2 = 9 2y(3) = –2 x = 3 6y = –2 y = – 1 3 5 [ 3 2 ] x –1 –2 y = [ 3 9 ] [ 3x – 4 –3 + 2y ] = [ 3 9 ] 3x – 4 = 3 , –3 + 2y = 9 3x = 7 2y = 12 x = 7 3 y = 6 6 x 3 [ 4 –y ] = 8 –xy 12 –2 4x –xy 12 –3y = 8 –xy 12 –2 4x = 8 , –3y = –2 x = 2 y = 2 3 Latihan 20 Selesaikan persamaan matriks yang berikut. TP 4 Solve the following matrix equations. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. 1 [ 3 –2k ] 5k 1 = [13] [15k – 2k] = [13] [13k] = [13] 13k = 13 k = 1 2 [ p 3 ] –2 4 = [p + 3] [–2p + 12]= [p + 3] –2p – p = 3 – 12 –3p = –9 p = 3 3 1 3 [ 3 6 k ] –2 4 5 = [–9] 1 3 [–6 + 24 + 5k]= [–9] [18 + 5k] = [–27] 5k + 18 = –27 5k = –45 k = –9 4 [9 –1 –p] p 2 3 = [p – 1] [9p – 2 – 3p] = [p – 1] 6p – 2 = p – 1 5p = 1 p = 1 5 5 x 2 1 –y 0 2 4 1 = 8 6 –8 2 – y 8 2x + 2 –4y 2 – y = 8 6 –8 2 – y –4y = –8 , 2x + 2 = 6 y = 2 2x = 4 x = 2 [ p 3 ] 3 p = [54] Penyelesaian [3p + 3p] = [54] 6p = 54 p = 9 Contoh 20 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 31 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
32 Matriks Identiti / Identity Matrix Latihan 21 Ungkapkan setiap yang berikut sebagai matriks tunggal. TP 3 Express the following as a single matrix. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. 3 –6 9 10 1 0 0 1 – 1 0 0 1 –2 –8 4 5 Penyelesaian 3 –6 9 10 1 0 0 1 – 1 0 0 1 –2 –8 4 5 = 3 –6 9 10 – –2 –8 4 5 = 5 2 5 5 1 4 6 7 8 1 0 0 1 3 4 = 4 6 7 8 3 4 = 36 53 2 4 –3 1 2 + 2 1 0 0 1 –2 4 2 5 = 4 –3 1 2 + 2 –2 4 2 5 = 4 –3 1 2 + –4 8 4 10 = 0 5 5 12 3 1 0 0 1 4 –11 0 2 – 3 1 2 9 1 0 0 1 = 4 –11 0 2 – 3 1 2 9 = 1 –12 –2 –7 4 4 1 –2 0 1 0 0 1 2 5 – 9 2 = 4 1 –2 0 2 5 – 9 2 = 13 –4 – 9 2 = 4 –6 Matriks Songsang / Inverse Matrix Latihan 22 Tentukan sama ada matriks A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya. Determine whether matrix A is an inverse matrix of matrix B and vice versa. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 4 (a) A = 2 5 1 3 dan/and B = 3 –5 –1 2 Penyelesaian AB = 2 5 1 3 3 –5 –1 2 = 6 – 5 –10 + 10 3 – 3 –5 + 6 = 1 0 0 1 = I ∴ Matriks A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya. Matrix A is an inverse matrix of matrix B and vice versa. (b) A = 3 –2 5 –4 dan/and B = –4 2 –5 3 Penyelesaian AB = 3 –2 5 –4 –4 2 –5 3 = –12 + 10 6 – 6 –20 + 20 10 – 12 = –2 0 0 –2 ≠ I ∴ Matriks A bukan matriks songsang bagi matriks B. Matrix A is not the inverse matrix of matrix B. Matriks identiti Identity matrix Contoh 21 Contoh 22 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 32 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
33 Contoh 23 1 A = 2 3 4 5 dan/and B = 5 –3 –4 2 AB = 2 3 4 5 5 –3 –4 2 = –2 0 0 –2 ≠ I Matriks A bukan matriks songsang bagi matriks B. Matrix A is not an inverse matrix of matrix B. 2 A = –2 –3 1 4 dan/and B = – 4 5 – 3 5 1 5 2 5 AB = –2 –3 1 4 – 4 5 – 3 5 1 5 2 5 = 8 5 – 3 5 6 5 – 6 5 – 4 5 + 4 5 – 3 5 + 8 5 = 1 0 0 1 = I Matriks A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya. Matrix A is an inverse matrix of matrix B and vice versa. 3 A = 1 2 3 4 dan/and B = 4 –2 –3 1 AB = 1 2 3 4 4 –2 –3 1 = 4 – 6 –2 + 2 12 – 12 –6 + 4 = –2 0 0 –2 ≠ I Matriks A bukan matriks songsang bagi matriks B. Matrix A is not an inverse matrix of matrix B. 4 A = 5 2 7 3 dan/and B = 3 –2 –7 5 AB = 5 2 7 3 3 –2 –7 5 = 15 – 14 –10 + 10 21 – 21 –14 + 15 = 1 0 0 1 = I Matriks A ialah matriks songsang bagi matriks B dan sebaliknya. Matrik A is an inverse matrix of matrix B and vice versa. Latihan 23 Cari songsangan bagi setiap matriks di bawah. TP 5 KBAT Menilai Find the inverse of each matrix below. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. 1 4 5 7 8 4 5 7 8 –1 = 1 32 – (35) 8 –5 –7 4 = 1 –3 8 –5 –7 4 = – 8 3 5 3 7 3 – 4 3 2 3 –2 1 –6 3 –2 1 –6 –1 = 1 –18 – (–2) –6 2 –1 3 = 1 –16 –6 2 –1 3 = 3 8 – 1 8 1 16 – 3 16 3 4 –2 5 1 4 –2 5 1 –1 = 1 4 – (–10) 1 2 –5 4 = 1 14 1 2 –5 4 = 1 14 1 7 – 5 14 2 7 –2 5 1 –4 Penyelesaian –2 5 1 –4 –1 = 1 (–2)(–4) – 5(1) –4 –5 –1 –2 = 1 3 –4 –5 –1 –2 = – 4 3 – 5 3 – 1 3 – 2 3 Rumus/Formula 1 ad – bc d –b –c a Sudut Kalkulator Matriks songsang / Inverse matrix –2 5 Dalam mod MAT / In the MAT mode. 1 –4 Tekan Press Mat (2) Shift 4 Dim (1) (3) 2 = 2 Mat(11(–2) Mat(12(5) Mat(21(1) Mat(22(–4) = AC Shift 4 Mat(3) Mat c x–1 = A = –2 5 1 –4 ⇒ A–1 = 1 (–2)(–4) – 5(1) –4 1 5 –2 Ramai pelajar menukarkan b dengan c. Many students exchange b and c. Kesilapan Umum 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 33 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
34 Contoh 25 Latihan 24 Cari nilai k jika setiap matriks yang berikut tidak mempunyai matriks songsang. TP 3 Find the value of k if each of the following matrices does not have an inverse matrix. TP 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang matriks untuk melaksanakan tugasan mudah. A = 5 2k 3 4 Penyelesaian 5(4) – 2k(3) = 0 20 = 6k k = 20 6 = 10 3 1 W = k –1 2 3 3k + 2 = 0 3k = –2 k = – 2 3 2 Q = 4 –2 –6 k 4k – 12 = 0 4k = 12 k = 3 3 G = k 4 5 3 3k – 20 = 0 3k = 20 k = 20 3 4 E = –3 2 7 4 – k (4 – k)(-3) – 14 = 0 3k – 12 – 14 = 0 3k = 26 k = 26 3 a b c d tidak mempunyai matriks songsang jika ad – bc = 0. a b c d does not have an inverse matrix if ad – bc = 0. Menyelesaikan Persamaan Linear Serentak dengan Kaedah Matriks Solve simultaneous Linear Equations by Using Matrices Latihan 25 Tulis semula persamaan linear serentak yang berikut dalam bentuk persamaan matriks. Rewrite the following simultaneous linear equations in the matrix form. TP 2 Mempamerkan kefahaman tentang matriks. TP 2 1 7x + 4y = 10 5x – 2y = 7 7 4 5 –2 x y = 10 7 2 3x – y = 6 4x – 2y = 3 3 –1 4 –2 x y = 6 3 3 4x + 3y = 2 6x – 2y = 1 4 3 6 –2 x y = 2 1 4 2m – 3n = 4 n – 2m = 2 2 –3 –2 1 m n = 4 2 5 5p – 3q = 7 –6p + 3q = 1 5 –3 –6 3 p q = 7 1 6 2x + 3y = 1 –x – 21y = 4 2 3 –1 –21 x y = 1 4 7 –4p – 3q = 5 p – 7q = 3 –4 –3 1 –7 p q = 5 3 8 5x – 7y = 8 9x + 3y = 4 5 –7 9 3 x y = 8 4 (a) 8x + 3y = 2 6x + 4y = 9 Penyelesaian 8x + 3y = 2 6x + 4y = 9 8 3 6 4 x y = 2 9 (b) x – 4y = 5 2x – y = 3 Penyelesaian 1x – 4y = 5 2x – 1y = 3 1 –4 2 –1 x y = 5 3 Contoh 24 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 34 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
35 Latihan 26 Selesaikan persamaan linear serentak yang berikut dengan kaedah matriks. TP 4 TP 5 Solve the following simultaneous linear equations by using matrices. TP 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. KBAT Mengaplikasi 9 4x + 9y – 2 = 0 7x – 5y – 1 = 0 4x + 9y = 2 7x – 5y = 1 4 9 7 –5 x y = 2 1 10 2x – 9 = y 7y – 8 = 4x 2x – y = 9 –4x + 7y = 8 2 –1 –4 7 x y = 9 8 11 y = 9x + 16 4y = –5x + 10 –9x + y = 16 5x + 4y = 10 –9 1 5 4 x y = 16 10 12 y – 3x – 5 = 0 2y – 8 + 7x = 0 y – 3x = 5 2y + 7x = 8 1 –3 2 7 y x = 5 8 13 p = 3q – 9 –5q = 7p + 15 p – 3q = –9 –7p – 5q = 15 1 –3 –7 –5 p q = –9 15 14 7m – 3n = 9 – 2m 6m – 5n = 14 + m 9m – 3n = 8 5m – 5n = 14 9 –3 5 –5 m n = 8 14 1 4x + 2y = 8 3x + 2y = 6 4 2 3 2 x y = 8 6 x y = 4 2 3 2 –1 8 6 = 1 8 – 6 2 –2 –3 4 8 6 = 1 2 2 –2 –3 4 8 6 x y = 1 2 4 0 = 2 0 ∴ x = 2, y = 0 2 9x + 7y = 3 3x + 2y = –6 9 7 3 2 x y = 3 –6 x y = 9 7 3 2 –1 3 –6 = 1 18 – 21 2 –7 –3 9 3 –6 = 1 –3 48 –63 = –16 21 ∴ x = –16, y = 21 –2x + 5y = 4 3x – 4y = 1 Penyelesaian –2x + 5y = 4 3x – 4y = 1 –2 5 3 –4 x y = 4 1 x y = 1 (–2)(–4) – 5(3) –4 –5 –3 –2 4 1 = – 1 7 –16 + (–5) –12 + (–2) = – 1 7 –21 –14 = 3 2 ∴ x = 3, y = 2 Rumus Formula 1 ad – bc d –b –c a Darabkan semua unsur dengan – 1 7 Multiply all the elements with – 1 7 Contoh 26 Untuk tujuan pembelajaran Imbas atau layari http://spmmatematik.blog. onlinetuition.com.my/2016/05/48-penyelesaianpersamaan-linear.html bagi menyelesaikan persamaan linear serentak menggunakan matriks. Laman Web Meninggalkan jawapan sebagai 3 2 akan kehilangan 1 markah. Leaving the answer as 3 2 will lose 1 mark. Kesilapan Umum Laman Web 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 35 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
36 3 –2x + 5y = 10 4x – y = 6 –2 5 4 –1 x y = 10 6 x y = –2 5 4 –1 –1 10 6 = 1 2 – 20 –1 –5 –4 –2 10 6 = 1 –18 –40 –52 = 20 9 26 9 ∴ x = 20 9 , y = 26 9 4 –4x + 5y = –38 2x + y = 26 –4 5 2 1 x y = –38 26 x y = –4 5 2 1 –1 –38 26 = 1 –4 – 10 1 –5 –2 –4 –38 26 = 1 –14 –168 –28 = 12 2 ∴ x = 12, y = 2 5 10x – 2y = 5 15x + 7y = 9 10 –2 15 7 x y = 5 9 x y = 10 –2 15 7 –1 5 9 = 1 70 + 30 7 2 –15 10 5 9 = 1 100 53 15 = 53 100 15 100 ∴ x = 0.53, y = 0.15 6 5x + y = –16 6x + 2y = –12 5 1 6 2 x y = –16 –12 x y = 5 1 6 2 –1 –16 –12 = 1 10 – 6 2 –1 –6 5 –16 –12 = 1 4 –20 36 = –5 9 ∴ x = –5, y = 9 7 y = 7x + 4 2y = 6x – 5 –7x + y = 4 –6x + 2y = –5 –7 1 –6 2 x y = 4 –5 x y = –7 1 –6 2 –1 4 –5 = 1 –14 + 6 2 –1 6 –7 4 –5 = – 13 8 – 59 8 ∴ x = – 13 8 , y = – 59 8 8 2x + 5y = –5 x + 9y = 4 2 5 1 9 x y = –5 4 x y = 2 5 1 9 –1 –5 4 = 1 18 – 5 9 –5 –1 2 –5 4 = 1 13 –65 13 = –5 1 ∴ x = –5, y = 1 9 4x – 2y = 3 5x – 2y = 7 4 –2 5 –2 x y = 3 7 x y = 4 –2 5 –2 –1 3 7 = 1 –8 + 10 –2 2 –5 4 3 7 = 1 2 8 13 = 4 13 2 ∴ x = 4, y = 13 2 10 x + 9y = 86 4x + 4y = 56 1 9 4 4 x y = 86 56 x y = 1 9 4 4 –1 86 56 x y = 1 4 – 36 4 –9 –4 1 86 56 = 1 –32 –160 –288 = 5 9 ∴ x = 5, y = 9 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 36 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
37 Menyelesaikan Masalah Melibatkan Matriks / Solving Problems Involving Matrices Latihan 27 Selesaikan setiap yang berikut. TP 5 Solving each of the following. TP 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang matriks dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks. Transformasi matriks 0 –1 –1 0 memetakan ( p , q ) kepada ( 3 , 2 ) dan transformasi matriks –1 0 0 1 pula memetakan ( 3 , 2 ) kepada ( r , s ). A matrix transformation 0 –1 –1 0 maps (p, q) to (3, 2) and another matrix transformation –1 0 0 1 maps ( 3, 2 ) to ( r, s ). (a) Hitung nilai p, q, r dan s. Calculate the values of p, q, r and s. (b) Cari transformasi matriks tunggal yang memetakan ( p, q ) kepada ( r, s ). Find the transformation of a single matrix mapping ( p, q ) to ( r, s ). Penyelesaian (a) 0 –1 –1 0 –1 0 0 1 ( p, q ) ( 3, 2 ) ( r, s ) 0 –1 –1 0 p q = 3 2 –1 0 0 1 3 2 = r s 0 + (–q) –p + 0 = 3 2 –3 2 = r s –q = 3 , –p = 2 r = –3 , s = 2 q = –3 , p = –2 (b) Dari/From = 0 –1 –1 0 p q = 3 2 Darabkan persamaan di kedua-dua belah sebelumnya dengan –1 0 0 1 . Multiply both sides of the equation before it with –1 0 0 1 . –1 0 0 1 0 –1 –1 0 p q = –1 0 0 1 3 2 0 1 –1 0 p q = r s Oleh itu, penjelmaan matriks tunggal yang memetakan ( p, q ) kepada ( r, s ) ialah 0 1 –1 0 . Therefore, the transformation of a single matrix that maps ( p, q ) to ( r, s ) is 0 1 –1 0 . 1 Jadual 1 menunjukkan markah yang diperoleh tiga orang murid dalam suatu ujian yang mengandungi Kertas 1 dan Kertas 2. Jadual 2 menunjukkan pemberat markah bagi kedua-dua kertas dalam ujian itu. Table 1 below show the marks obtained by three students in a test consisting of two papers. Table 2 shows the marks weightages of the two papers in the test. Murid/Student Kertas 1/Paper 1 Kertas 2/Paper 2 Adam 80 70 Bella 60 85 Christ 85 90 Jadual 1/ Table 1 Kertas/Paper Kertas 1/Paper 1 Kertas 2/Paper 2 Pemberat/Weightage 40% 60% Jadual 2/ Table 2 Contoh 27 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 37 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
38 Dengan menggunakan kaedah matriks, cari peratusan markah yang diperoleh setiap orang murid dalam ujian itu. By using matrix method, find the percentage of marks obtained by each of the students in the test. Murid/ Student Kertas 1/ Paper 1 Kertas 2/ Paper 2 Adam 80 70 Bella 60 85 Christ 85 90 Kertas 1/ Paper 1 0.4 Kertas 2/ Paper 2 0.6 80 70 60 85 85 90 0.4 0.6 = 80 × 0.4 + 70 × 0.6 60 × 0.4 + 85 × 0.6 85 × 0.4 + 90 × 0.6 = 74 75 88 ∴ Markah Adam ialah 74%, markah Bella ialah 75% dan markah Christ ialah 88%. ∴ Adam’s marks ia 74%, Bella’s marks is 75% and Christ’s marks is 88%. 2 Satu penjelmaan linear memetakan ( 1, 0 ) kepada ( 2, 1 ) dan ( 0, 1 ) kepada ( 1, –2 ). PQR ialah sebuah segi tiga dengan bucu-bucu P( 3, 4 ), Q( –2, 5 ) dan R( 1, –4 ). A linear transformation maps ( 1, 0 ) to ( 2, 1 ) and ( 0, 1 ) to ( 1, –2 ). PQR is a triangle with vertices P( 3, 4 ), Q( –2, 5 ) and R( 1, –4 ). (a) Cari matriks yang mewakili penjelmaan linear itu. Find the matrix that represents the linear transformation. (b) Cari koordinat imej bagi P, Q dan R di bawah penjelmaan di 2(a). Find the images of P, Q, and R under the transformation in 2(a). Andaikan matriks ⇒ a b c d Assume the matrix (a) [1, 0] a b c d [2, 1] a b c d 1 0 = 1 0 a + 0 c + 0 = 2 1 ∴ a = 2, c = 1 R[1, –4] 2 1 1 –2 R'[x, y] 2 1 1 –2 1 –4 = x y 2 – 4 1 + 8 = x y –2 9 = x y ∴ R'(–2, 9) [0, 1] a b c d [1, –2] a b c d 0 1 = 1 –2 2 b 1 d 0 1 = 1 –2 0 + b 0 + d = 1 –2 ∴ b = 1 d = –2 maka, a b c d = 2 1 1 –2 (b) P[3, 4] 2 1 1 –2 P'[x, y] 2 1 1 –2 3 4 = x y 2 × 3 + 1 × 4 1 × 3 + (–2) × 4 = x y 10 –5 = x y ∴ P'(10, –5) Q[–2, 5] 2 1 1 –2 Q'[x, y] 2 1 1 –2 –2 5 = x y –4 + 5 –2 – 10 = x y 1 –12 = x y ∴ Q'(1, –12) 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 38 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
39 1 Diberi P = –2 5 3 –1 , Q = 2 3 dan R = [4 6]. Antara pendaraban matriks yang berikut, yang manakah tidak dapat dilakukan? Given P = –2 5 3 –1 , Q = 2 3 and R = [4 6]. Which of the following multiplications cannot be done? A PQ C QR B PR D RP 2 8 2 5 3 + 3 6 9 5 – 4 2 1 8 + 1 3 6 8 = A 6 3 7 –8 C 8 9 19 8 B 6 9 7 8 D 8 3 19 8 3 Diberi bahawa 4 m –3 3 –3 – 1 2 –6 8 n –4 = –5 –16 n –10 , cari nilai m dan n. Given 4 m –3 3 –3 – 1 2 –6 8 n –4 = –5 –16 n –10 , find the values of m and n. A m = 2, n = 8 B m = –2, n = 8 C m = 2, n = –8 D m = –2, n = –8 4 Diberi bahawa 2[3 h] + k[–2 1] = [–4 9], cari nilai h + k. Given that 2[3 h] + k[–2 1] = [–4 9], find the value of h + k. A 5 B 6 C 7 D 10 5 2 1 3 6 4 – –1 1 0 4 = A 2 2 6 0 C 1 3 6 4 B 3 5 12 4 D 3 7 12 8 6 Diberi bahawa [p 5] 4 0 –p 2 = [11 10], hitung nilai p. Given that [p 5] 4 0 –p 2 = [11 10], calculate the value of p. A 1 C –10 B 2 D –11 7 1 2 5 7 + 3 –3 0 2 2 – 5 1 –3 –2 = A –13 1 14 15 C –13 4 8 15 B –4 4 13 16 D 0 3 7 10 8 Jika [2 3] 3p –p = [12], maka p = If [2 3] 3p –p = [12], then p = A 1 4 C 4 B 4 3 D 6 9 Diberi bahawa K ialah matriks 2 × 2 dan K–1 = 1 3(–5) – 4(–2) –5 p 2 q . Cari nilai p dan nilai q. It is given that K is 2 × 2 matrix and K–1 = 1 3(–5) – 4(–2) –5 p 2 q . Find the values of p and q. A p = 4, q = 3 B p = –4, q = 3 C p = 4, q = –3 D p = –4, q = –3 10 Kedai Adam dan membeli 12 karton minuman anggur dan 15 karton minuman strawberi. Kedai Basri membeli 18 karton minuman anggur dan 9 karton minuman strawberi. Setiap karton minuman anggur berharga RM28 dan setiap karton minuman strawberi berharga RM25. Antara berikut, yang manakah kaedah yang betul untuk mengira jumlah bayaran bagi kedai Adam, x dan kedai Basri, y? Adam’s shop bought 12 cartons of grape drinks and 15 cartons of strawberry drinks. Basri’s shop bought 18 cartons of grape drinks and 9 cartons of strawberry drinks. Each carton of grape drink costs RM28 and each carton of strawberry drink costs RM25. Which of the following is the correct method to calculate the total payment to be made by Adam’s shop, x and Basri’s shop, y? A 12 18 15 9 28 25 = x y B 12 15 18 9 25 28 = x y C 12 18 15 9 25 28 = x y D 12 15 18 9 28 25 = x y 11 [ 5 –6 3 ] – [ 2 5 –8 ] + 3[ –1 4 3 ] = A [ 2 –7 14 ] B [ 2 3 –2 ] C [ 0 1 20 ] D [ 0 11 4 ] 12 5 3 –8 7 – 2M = –1 11 –12 7 Cari matriks M. Find matrix M. A –1 –5 –4 7 B 3 –4 2 0 C –1 11 –4 5 D –1 11 –12 5 13 Matriks 4 –2 8 x , tidak mempunyai songsangan. Cari nilai x. Matrix 4 –2 8 x has no inverse. Find the value of x. A –2 C 2 B –4 D 4 Praktis Berformat SPM Kertas 1 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 39 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
40 1 Semasa hari kantin sekolah, sekolah itu menjual kupon makanan berharga RMx setiap satu dan kupon minuman berharga RMy setiap satu. Hui Thing membelanjakan RM28 untuk lima kupon makanan dan enam kupon minuman. Xin Yee membelanjakan RM41 untuk tujuh kupon makanan dan sembilan kupon minuman. Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y. KBAT Menilai During the school canteen day, the school was selling food coupons of RMx each and drink coupons of RMy each. Hui Thing spent RM28 on five food coupons and six drink coupons. Xin Yee spent RM41 on seven food coupons and nine drink coupons. Using the matrix method, calculate the value of x and of y. [5 markah/marks] 5x + 6y = 28 = 1 3 9 × 28 + (–6) × 41 –7 × 28 + 5 × 41 = 1 3 6 9 = 2 3 ∴ x = 2, y = 3 7x + 9y = 41 5 6 7 9 x y = 28 41 x y = 1 5(9) – 6(7) 9 –6 –7 5 28 41 2 Jumlah umur Jerrine dan ibunya ialah 56 tahun. Dua tahun lalu umur ibu Jerrine ialah tiga kali umur Jerrine. The sum of the ages of Jerrine and her mother is 56 years. Two years ago, Jerrine’s mother was three times as old as Jerrine. Diberi umur Jerrine dan ibunya kini masing-masing ialah x tahun dan y tahun. Given that Jerrine and her mother present ages are x years and y years respectively. (a) Tulis dua persamaan linear dalam sebutan x dan y. Write two linear equations in terms of x and y. (b) Seterusnya, selesaikan persamaan serentak dengan menggunakan matriks. KBAT Menilai Hence, solve the simultaneous equations using matrices. [5 markah/marks] (a) x + y = 56 .......................➀ y – 2 = 3(x – 2) y – 2 = 3x – 6 –3x + y = –4 atau/or y – 3x = –4 ......➁ (b) x + y = 56 –3x + y = –4 1 –3 1 1 x y = 56 –4 x y = 1 1 – [–3] 1 3 –1 1 56 –4 = 1 4 60 164 = 15 41 \ x = 15 dan/ and y = 41 3 RM150 dibahagikan antara Hui Ting dengan Hui Kiam dengan keadaan satu perempat daripada bahagian Hui Ting adalah bersamaan dengan satu perenam daripada bahagian Hui Kiam itu. RM150 is divided between Hui Ting and Hui Kiam such that one quarter of Hui Ting’s share is equal to one sixth of Hui Kiam’s share. (a) Tulis dua persamaan linear dalam sebutan x dan y jika Hui Ting dan Hui Kiam masing-masing menerima RMx dan RMy. Write two linear equations in terms of x and y if Hui Ting and Hui Kiam received RMx and RMy respectively. (b) Seterusnya, selesaikan persamaan serentak dengan menggunakan matriks. KBAT Menilai Hence, solve the simultaneous equations using matrices. [5 markah/marks] (a) x + y = 150.......................... ➀ 1 4 x = 1 6 y 3x = 2y 3x – 2y = 0.............................. ➁ Kertas 2 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 40 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
41 (b) x + y = 150 3x – 2y = 0 1 3 1 –2 x y = 150 0 x y = 1 –2 – 3 –2 –3 –1 1 150 0 = 1 –5 –300 –450 = 60 90 \ x = 60 dan/ and y = 90 4 Jadual berikut menunjukkan bilangan buku yang dibeli oleh Fitri. The following table shows the number of books bought by Fitri. Jenis buku Type of books Bilangan buku Number of books Harga per buku (RM) Price per book (RM) Buku cerita Storybooks x 3.5 Buku rujukan Reference books y 21 Fitri membeli 11 buah buku yang terdiri daripada x buah buku cerita dan y buah buku rujukan. Jumlah harga buku-buku itu ialah RM126. Fitri bought 11 books that consists of x storybooks and y reference books. The total price of the books is RM126. (a) Tulis dua persamaan linear dalam sebutan x dan y berdasarkan maklumat di atas. Write two linear equations in terms of x and y based on the above information. (b) Seterusnya, hitung nilai x dan y dengan menggunakan kaedah matriks. KBAT Menilai Hence, calculate the values of x and y by using matrix method. [5 marks/markah] (a) x + y = 11 3.5x + 21y = 126 (b) x + y = 11 3.5x + 21y = 126 1 3.5 1 21x y = 11 126 x y = 1 21 – 3.5 21 –3.5 –1 1 11 126 = 1 17.5 105 87.5 = 6 5 ∴ x = 6 dan/ and y = 5 5 (a) Cari matriks songsang bagi 5 6 3 4 . Find the inverse matrix of 5 6 3 4 . [3 markah/marks] (b) Adila dan Hanie pergi ke sebuah pusat membeli belah untuk membeli oren dan epal. Adila membeli 5 biji oren dan 6 biji epal dengan harga RM19. Hanie membeli 3 biji oren dan 4 biji epal dengan harga RM12. Cari harga sebiji epal dan sebiji oren. KBAT Menilai Adila and Hanie went to a shopping centre to buy oranges and apples. Adila bought 5 oranges and 6 apples for RM19. Hanie bought 3 oranges and 4 apples for RM12. Find the price of an apple and of an orange. [5 markah/marks] (a) 5 6 3 4 –1 = 1 5 × 4 – 6 × 3 4 –6 –3 5 = 1 2 4 –6 –3 5 = 2 –3 –3 2 5 2 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 41 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
42 1 Terdapat beberapa ekor ayam dan kambing di sebuah ladang. Diberi bahawa haiwan-haiwan itu mempunyai sejumlah 60 kepala dan 168 kaki. There are some chickens and goats on a farm. Given that the animals have a total of 60 heads and 168 legs. (a) Tulis dua persamaan linear dalam dua pemboleh ubah. Write two linear equations in two unknowns. (b) Seterusnya, cari bilangan ayam dan kambing di ladang itu dengan menggunakan matriks. Hence, find the number of chickens and the number of goats on the farm using matrices. (a) Bilangan ayam, x dan bilangan kambing y, The number of chickens, x and the number of goats, y x + y = 60 Setiap ayam mempunyai 2 kaki dan setiap kambing mempunyai 4 kaki Each chicken has 2 legs and each goat has 4 legs 2x + 4y = 168 (b) x + y = 60 2x + 4y = 168 1 2 1 4 x y = 60 168 x y = 1 4 – 2 4 –2 –1 1 60 168 = 1 2 72 48 = 36 24 (b) x = harga sebiji oren , y = harga sebiji epal x = price of an orange , y = price of an apple 5x + 6y = 19 , 3x + 4y = 12 5 6 3 4 x y = 19 12 = x y = 1 2 4 –6 –3 5 19 12 = 1 2 4 × 19 + (–6) × 12 –3 × 19 + 5 × 12 = 1 2 4 3 = 2 3 2 x = 2, y = 3 2 6 (a) Diberi P = 3 –2 4 –5 , Q = m –5 n –4 3 dan I = 1 0 0 1 . Cari nilai m dan nilai n jika PQ = I. KBAT Menilai Given that P = 3 –2 4 –5 , Q = m –5 n –4 3 dan I = 1 0 0 1 . Find the values of m and n if PQ = I. [3 markah/marks] (b) Dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan y yang memuaskan persamaan matriks yang berikut: By using the matrix method, calculate the values of x and y that satisfy the following matrix equation. 3x – 2y = 12 4x – 5y = 23 [5 markah/marks] (a) Q = P–1 (b) 3 –2 4 –5 x y = 12 23 x y = – 1 7 –5 2 –4 3 12 23 = – 1 7 –5 × 12 + 2 × 23 –4 × 12 + 3 × 23 = – 1 7 –14 21 = 2 –3 ∴ x = 2, y = –3 = 1 3(–5) – (–2)(4) –5 2 –4 3 Bandingkan dengan Q = m –5 n –4 3 Compare with Q ∴ m = – 1 7, n = 2 ∴ x = 36 dan/ and y = 24 Bilangan ayam/ Number of chickens = 36 Bilangan kambing/ Number of goats = 24 ∴ Oren / Orange = RM2 sebiji / each Epal / Apple = RM1.50 sebji / each KBAT Menilai Zon KBAT 02_Strategi A+ Math Tg5.indd 42 23/10/2023 2:01 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans Risk and Insurance Protection 1 Insurans ialah jaminan tanggungan yang dibuat oleh sesebuah syarikat kepada pembelinya bagi menanggung risiko tertentu sebagai balasan kepada bayaran premium tertentu. Insurance is a guarantee of compensation made by a company to its buyer for specified risks in return for payment of a specified premium. 2 Risiko ialah kebarangkalian berlakunya musibah yang tidak dapat dielakkan pada masa hadapan seperti kematian, rompakan, diberhentikan kerja, kerosakan harta benda dan barang berharga, sakit atau kecederaan. Risk is the probability of a disaster that cannot be avoided in the future such as death, robbery, being fired, damage of valuable property and belongings, illness or being injured. Jenis insurans Insurance types Individu / Personal Berkumpulan / Group Insurans Hayat / Nyawa Life Insurance • Seumur hidup / Whole life • Bertempoh tetap / Endowment • Berkaitan pelaburan / Investment-linked • Insurans bertempoh / Term insurance • Insurans gadai janji baki berkurangan Mortgage Reducing Term Assurance (MRTA) Insurans Am General Insurance • Motor / Motor • Kebakaran/Pemilik rumah Fire/Houseowners • Kemalangan peribadi Personal accident • Perubatan dan kesihatan Medical and health • Perjalanan / Travel Insurans Berkelompok Group insurance Menyediakan perlindungan kepada sekumpulan individu seperti pekerja syarikat, murid sekolah dan pelajar universiti. Provides coverage to a group of individuals such as employees, pupils and students from educational. 3 Entiti yang memberi perkhidmatan insurans dikenali sebagai syarikat insurans, manakala seseorang atau entiti yang membeli insurans dikenali sebagai pemegang polisi. An entity that provides insurance is known as an insurer or insurance company, while a person or entity who buys insurance is known as the insured or policyholder. 4 Insurans bertujuan untuk memindahkan risiko kerugian kepada syarikat insurans. Kepentingan insurans ialah mengurangkan beban kewangan apabila mengalami kerugian atau kemalangan. Insurance is intended to transfer the risk of loss to the insurance company. The importance of insurance is to reduce financial burden when suffering the loss or accidents. 5 Insurans tidak boleh digunakan sebagai alat untuk keuntungan. Insurance cannot be used as a tool for profitability. 7 Insurans hayat atau insurans nyawa memberikan perlindungan jangka hayat kepada pemegang polisi. Premium dibayar sepanjang hayat seseorang dan wang termasuk bonus akan dibayar apabila pemegang insurans itu meninggal dunia atau mengalami hilang upaya menyeluruh dan kekal. Life insurance provides life-long coverage to the policyholder. Premiums are paid throughout the policyholder's life and the money including any bonuses will be paid when the insured passes away or suffers total and permanent disability. 8 Premium ialah amaun yang dibayar kepada syarikat insurans untuk perlindungan insurans. A premium is the amount paid to the insurance company for the insurance cover. 9 Faktor-faktor yang dipertimbangkan oleh syarikat insurans untuk mengira premium insurans: The factors being considered by the insurance companies when calculating an insurance premium: (a) Umur / Age (b) Jumlah perlindungan / Amount of coverage 6 Jenis-jenis insurans: Types of insurance: Bab 3 Matematik Pengguna: Insurans Consumer Mathematics: Insurance Bidang Pembelajaran: Nombor dan Operasi Revisi Pantas i-THINK Peta Pokok Untuk tujuan pembelajaran Imbas atau layari https://www.investopedia. com/terms/l/lifeinsurance.asp untuk menonton video tentang insurans hayat. Video Untuk tujuan pembelajaran Imbas atau layari https://www.youtube. com/watch?v=heHmtqhWL2w untuk menonton video tentang perbezaan antara insurans am dengan insurans hayat. Video Video 43 03_Strategi A+ Math Tg5.indd 43 23/10/2023 2:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
(c) Jenis perlindungan / Type of coverage (d) Sejarah tuntutan / Claim history (e) Maklumat peribadi / Personal information – jantina, status perkahwinan, gaya hidup, kesihatan, status merokok - gender, marital status, lifestyle, health, smoking status 10 Kadar premium ialah amaun wang yang diperlukan untuk menampung kerugian, membiayai perbelanjaan dan memberi keuntungan kepada pemegang polisi. The premium rate is the amount of money necessary to cover losses, cover expenses and provide profit to the policyholder. Premium = Nilai Muka polisi RM x × Kadar premium per RMx Premium = Face Value of policy RMx × Premium rate per RMx 11 Jadual kadar premium memberikan amaun kasar premium yang dikenakan kepada pemegang polisi. The premium rate schedule provides the gross amount of premium charged to the policyholder. 12 Nilai muka polisi ialah jumlah wang yang dipilih oleh pemegang polisi untuk mendapatkan perlindungan insurans. The face value of policy is the amount of money chosen by the policyholder to obtain insurance coverage. 13 Deduktibel ialah nilai wang tetap yang dibayar oleh pemegang polisi, manakala kos perbelanjaan perubatan yang selebihnya dibayar oleh syarikat insurans. Deductible is a fixed amount paid by the policyholder while the remaining medical expenses are paid by the insurance company. Panduan umum / Rule of thumb: Pastikan deduktibel tidak melebihi 5% daripada pendapatan tahunan kasar. Keep your deductible to no more than 5% of your gross annual income. 14 Ko-insurans atau insurans bersama ialah perjanjian bersama antara pemegang polisi dengan syarikat insurans untuk membayar peratusan (%) mengikut nisbah yang ditentukan daripada jumlah kos perubatan. Co-insurance or joint insurance is a co-sharing agreement between the policyholder and the insurance company to pay a specified percentage (%) according to the ratio determined from the total medical costs. 15 Ko-takaful ialah ko-insurans yang patuh syariah. Co-takaful is shariah-compliant co-insurance. 16 Perbandingan pelan ko-insurans, tanpa ko-insurans (ko-insurans 0%) dan deduktibel kepada pemegang polisi jika dimasukkan ke hospital. The comparison of co-insurance plans, non-co-insurance plans (0% co-insurance) and deductible to policyholder if warded. Deduktibel Deductible Ko-insurans/ Co-insurance Dengan ko-insurans With co-insurance Tanpa ko-insurans No co-insurance Pemegang polisi membayar mengikut amaun tetap yang dipersetujui daripada jumlah kos rawatan The policyholder pays according to the agreed fixed amount of the total cost of treatment Pemegang polisi membayar mengikut peratus yang dipersetujui daripada jumlah kos rawatan The policyholder pays according to the agreed percentage of the total cost of treatment Kos rawatan ditanggung sepenuhnya oleh pihak insurans The cost of treatment is fully borne by the insurer Lebih tinggi nilai wang yang dibayar oleh pemegang polisi, lebih rendah harga caruman premium The higher the value of the money paid by the policyholder, the lower the premium contribution price Lebih tinggi nilai peratus yang dibayar oleh pemegang polisi, lebih rendah harga caruman premium The higher the value of percentage paid by the policyholder, the lower the premium contribution price Harga caruman premium tinggi High premium contribution price 17 Jadual di bawah menunjukkan pengiraan melibatkan kos perubatan berjumlah RM6 000. The table below shows the calculation for the total medical cost of RM6 000. Pelan Plans Deduktibel Deductible Dengan koinsurans With coinsurance Tanpa koinsurans No coinsurance Perjanjian (Nilai) Agreement (Value) RM2 000 90/10 100/0 Kos yang dibayar oleh pemegang polisi The cost paid by the policyholder RM2 000 RM6 000 × 10% = RM600 RM0 Kos yang dibayar oleh syarikat insurans The cost paid by the insurer RM6 000 – RM2 000 = RM4 000 RM6 000 – RM600 = RM5 400 RM6 000 Untuk tujuan pembelajaran Imbas kod QR atau layari https:// youtu.be/CRpdlsyoFkU untuk menonton video tentang pengiraan deduktibel dan ko-insurans. Video Video 44 03_Strategi A+ Math Tg5.indd 44 23/10/2023 2:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
3.1 Risiko dan Perlindungan Insurans/ Risk and Insurance Protection Latihan 1 Namakan jenis insurans yang melindungi risiko di bawah. TP 1 Name the types of insurance that cover the risks below. TP 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang insurans Risiko: Kemalangan jalan raya Risk: Road accident Insurans: Insurans motor Insurance: Motor insurance 1 Risiko: Kehilangan pasport Risk: Loss of passport Insurans: Insurans perjalanan Insurance: Travel insurance 2 Risiko: Kemalangan semasa bercuti Risk: Accident while on vacation Insurans: Insurans perjalanan Insurance: Travel insurance 3 Risiko: Penyakit Risk: Illness Insurans: Insurans perubatan dan kesihatan Insurance: Medical and health insurance 4 Risiko: Kerosakan yang disebabkan oleh kebakaran Risk: Damage caused by fire Insurans: Insurans kebakaran Insurance: Fire insurance 5 Risiko: Kecacatan Risk: Disability Insurans: Insurans perubatan dan kesihatan atau insurans kemalangan diri Insurance: Medical and health insurance or personal accident insurance Praktis PBD Contoh 1 45 03_Strategi A+ Math Tg5.indd 45 23/10/2023 2:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
1 Pei Pei membeli polisi insurans hayat untuk melindungi dirinya sekiranya berlaku kemalangan diri daripada Gagah Insurance Berhad bernilai RM100 000 dengan bayaran bulanan RM150. Pei Pei buys a life insurance policy to cover herself in case of personal accidents from Gagah Insurance Berhad for RM100 000 with a monthly payment of RM150. (a) Siapakah syarikat insurans dan pemegang polisi? Who is the insurance company and the policyholder? (b) Berapakah had perlindungan? How much is the coverage limit? (c) Berapakah premium bulanan? How much is the monthly premium? (d) Nyatakan risiko yang diinsuranskan. State the risk to be insured. (a) Syarikat insurans ialah Gagah Insurance Berhad dan pemegang polisi ialah Pei Pei. The insurance company is Gagah Insurance Berhad and the policyholder is Pei Pei. (b) Had perlindungan ialah RM100 000. The coverage limit is RM100 000. (c) Nilai premium bulanan ialah RM150. The monthly premium is RM150. (d) Risiko yang akan diinsuranskan ialah risiko kecederaan tubuh badan, hilang upaya atau kematian akibat kemalangan. The risks to be insured are the risks of a bodily injury, disability or death resulting directly from accident. Latihan 2 Jawab soalan-soalan di bawah. TP 1 Answer the questions below. TP 3 Mengaplikasi kefahaman tentang insurans untuk melaksanakan tugasan mudah (a) Apakah tujuan membeli insurans? What is the purpose of buying an insurance? Penyelesaian Tujuan untuk membeli insurans adalah untuk mengurangkan beban kewangan apabila berlakunya kerugian atau kemalangan. The purpose of having an insurance is to reduce an individual’s financial burden when he/she suffers from losses or mishap. (b) Fahami situasi di bawah. Understand the situation below. Puan Aini membeli polisi insurans untuk melindungi dirinya sekiranya berlaku penyakit kritikal daripada Yakin Insurance bernilai RM250 000 dengan bayaran bulanan RM250. Puan Aini buys an insurance policy to cover herself in case of critical illnesses from Yakin Insurance worth RM250 000 with a monthly payment of RM250. (a) Siapakah syarikat insurans dan pemegang polisi? Who is the insurance company and the policyholder? (b) Berapakah had perlindungan? How much is the coverage limit? (c) Berapakah premium bulanan? How much is the monthly premium? (d) Apakah risiko yang harus diinsuranskan? What is the risk to be insured? Penyelesaian (a) Syarikat insurans ialah Yakin Insurance dan pemegang polisi ialah Puan Aini. The insurance company is Yakin Insurance and the policyholder is Puan Aini. (b) Had perlindungan ialah RM250 000. The coverage limit is RM250 000. (c) Premium bulanan ialah RM250. The monthly premium is RM250. (d) Risiko yang akan diinsuranskan ialah penyakit kritikal. The risk to be insured is critical illness. Insurans yang patuh syariah dikenali sebagai TAKAFUL. Shariah-compliant insurance is known as TAKAFUL. Contoh 2 Tip Bestari 46 03_Strategi A+ Math Tg5.indd 46 23/10/2023 2:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
2 Berikut merupakan suatu situasi. Given a situation below. Dharmes telah mengalami kemalangan jalan raya semasa memandu pulang dari kerja. Dia sedang menggunakan telefon dan tidak menyedari kereta Kamal yang sedang berhenti di simpang. Kereta Dharmes telah terlanggar belakang kereta Kamal. Terdapat kerosakan pada kedua-dua buah kereta itu. Kamal tidak mengalami sebarang kecederaan, tetapi Dharmes mengalami luka di dahinya. Dharmes mahu memfailkan tuntutan untuk kerosakan kedua-dua buah kereta itu dan juga kecederaannya. Dharmes was driving home from work when he was involved in a car accident. He was on the phone and did not notice Kamal's vehicle stopped at the junction. Dharmes' car knocked into Kamal's car from the back. Both cars were damaged. Kamal was unharmed, but Dharmes was injured on the forehead. Dharmes intended to file a claim for the damage to both cars as well as his injuries. Berdasarkan situasi di atas, bolehkah Dharmes membuat tuntutan daripada syarikat insuransnya jika dia menginsuranskan keretanya di bawah polisi komprehensif? KBAT Mengaplikasi Based on the situation above, do you think Dharmes can make claim from his insurance company if he insures his car under a comprehensive policy? Dharmes boleh membuat tuntutan untuk kerosakan kedua-dua kereta di bawah polisi komprehensif. Bagaimanapun, dia tidak boleh membuat tuntutan ke atas kecederaannya. Dharmes can make claim for the damage for both cars under the comprehensive policy. However, he cannot make claim for his injury. 3 Nyatakan empat jenis insurans yang melindungi pemegang polisi daripada risiko kemalangan. State four types of insurance that protect policy holders from the risk of accident. Kemalangan Accident Insurans kemalangan diri Personal accident insurance Insurans perubatan dan kesihatan Medical and health insurance Insurans motor Motor insurance Insurans hayat Life insurance i-THINK Peta Buih 47 03_Strategi A+ Math Tg5.indd 47 23/10/2023 2:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B
Latihan 3 Selesaikan. TP 4 TP 5 Solve. TP 4 Mengaplikasi pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang insuran dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah Cik Tan merupakan seorang jurutera perisian dengan pendapatan RM5 000 sebulan. Baru-baru ini, dia membeli insurans perubatan. Adakah kos premium tersebut sesuai untuk Cik Tan? (Andaikan bayaran premium tidak lebih daripada 6% daripada pendapatan bulanan) Ms. Tan is a software engineer whose monthly income is RM5 000. Recently, she bought a medical insurance. Is the premium cost appropriate for Ms. Tan? (Assume that the premium cost is not higher than 6% of monthly income) JADUAL MANFAAT DAN PREMIUM SCHEDULE OF BENEFITS AND PREMIUMS Jenis perlindungan Type of coverage Tarikh matang Maturity date Jumlah manfaat Amount of benefit Premium Premiums Perubatan asas Basic medical 02/02/2050 RM250 000.00 RM3 000.00 PREMIUM BULANAN/ MONTHLY PREMIUM : RM250.00 JUMLAH TAHUNAN YANG PERLU DIBAYAR/ ANNUAL AMOUNT PAYABLE: RM3 000.00 Penyelesaian 6% daripada pendapatan Cik Tan/6% of Ms. Tan's salary: 0.06 × RM5 000 = RM300 Premium bulanan yang ditawarkan ialah RM250 (kurang daripada RM300). Maka, kos premium tersebut sesuai untuk Cik Tan. The monthly premium offered is RM250 which is less than RM300. Therefore, the premium cost is appropriate for Ms. Tan. 1 Selamat Insurance Berhad menawarkan beberapa jenis premium untuk insurans perjalanan. Jadual di bawah menunjukkan premium yang ditawarkan untuk dua destinasi berbeza dengan tempoh perlindungan yang berbeza. Selamat Insurance Berhad offers several types of premiums for travel insurance. The table below shows the premiums offered for two different destinations of varying coverage periods. Bilangan hari Number of days Pemegang polisi Policyholder (RM) Pemegang polisi dan pasangan Policyholder and spouse (RM) Keluarga Family (RM) Asia Tenggara Southeast Asia Amerika Utara North America Asia Tenggara Southeast Asia Amerika Utara North America Asia Tenggara Southeast Asia Amerika Utara North America 1 – 5 40 65 78 106 90 120 6 – 10 62 76 110 135 140 182 11 – 20 86 98 173 212 228 319 Premium tahunan (18 – 70 tahun) Annual premium (18 – 70 years old) 250 300 Tidak disediakan Not available (a) Apakah faktor yang mempengaruhi kos premium insurans perjalanan? What are the factors that influence the cost for the travel insurance premiums? (b) Mengapakah premium untuk perlindungan 11 – 20 hari lebih mahal daripada perlindungan 1 – 5 hari? Why the premium for 11 – 20 days coverage is more expensive than the 1 – 5 days coverage? Contoh 3 48 03_Strategi A+ Math Tg5.indd 48 23/10/2023 2:02 PM U BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTI SMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKTILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU BAKT ILMU BAKTI SDN. BHD. PENERBIT ILMU B